Optica Hecht

´ Optica Eugene Hecht Alfred Zajac Cap´ıtulos seleccionados del libro original por

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido 26 de abril de 2002 Formateado con LATEX 2ε en Debian GNU/Linux 3.0

Versi´ on Preliminar

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Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´Indice general 1. Movimiento Ondulatorio 1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . 1.2. Ondas Arm´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Representaci´ on Compleja de las Ondas 1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuaci´ on Diferencial de Onda Tridimensional 1.6. Ondas Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ondas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Teor´ıa Electromagn´ etica, Fotones y Luz 2.1. Leyes B´ asicas de la Teor´ıa Electromagn´etica . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ley de Inducci´ on de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ley de Gauss El´ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Ley de Gauss Magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ondas Electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ondas Electromagn´eticas en Medios No Conductores . . . . . . 2.3.1. Dispersi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Propagaci´ on de la Luz a trav´es de un Medio Diel´ectrico 2.4. Energ´ıa de las Ondas Electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 6 8 10 12 14 17 19 22 23 25 26 26 27 28 28 29 31 35 36 41 43 43

3. Tratamiento Electromgan´ etico de la Propagaci´ on 3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Deducci´ on de las Ecuaciones de Fresnel . . 3.1.2. Interpretaci´ on de las Ecuaciones de Fresnel

de . . . . . .

la Luz 47 . . . . . . 48 . . . . . . 50 . . . . . . 53

4. Superposici´ on de Ondas 4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia 4.1.1. El M´etodo Algebraico . . . . . . 4.1.2. El M´etodo Complejo . . . . . . . 4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . 4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . 4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia

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3

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59 61 61 65 66 67 68

´INDICE GENERAL

4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Interferencias 5.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . 5.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . 5.3. Interfer´ ometros de Divisi´on de Frente de Onda . 5.4. Pel´ıculas Diel´ectricas. Interferencia de dos Haces 5.4.1. Franjas de Igual Inclinaci´on . . . . . . . . 5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . .

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69 70 73 74 78 79 83 84 86

6. Difracci´ on 89 6.1. Difracci´ on de Fraunhofer por una Rendija . . . . . . . . . . . . . 90

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Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

CAP´ITULO 1

Movimiento Ondulatorio ´Indice General 1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ondas Arm´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Representaci´ on Compleja de las Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuaci´ on Diferencial de Onda Tridimensional . . . 1.6. Ondas Esf´ ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Ondas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . .

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CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO ´ 1.1 SECCION

Ondas Unidimensionales Sea una perturbaci´on ψ que viaja en la direcci´on positiva de x con una velocidad constante v. La naturaleza espec´ıfica de la perturbaci´on no es por el momento importante. Podr´ıa ser el desplazamiento vertical de una cuerda, o de la magnitud de un campo el´ectrico o magn´etico asociado con una onda electromagn´etica, o aun la amplitud de la probabilidad cu´antica de una onda de materia. Como la perturbaci´ on est´a en movimiento, debe ser una funci´on tanto de la posici´ on como del tiempo y se puede, por consiguiente, escribir como: ψ = f (x, t)

(1.1)

La forma de la perturbaci´on en cualquier instante se puede encontrar manteniendo el tiempo constante en un determinado valor, por ejemplo t = 0. En este caso: ψ(x, t)t=0 = f (x, 0) = f (x)

(1.2)

la funci´ on ψ(x, t) representa la forma o perfil de la onda en un momento dado. El proceso es an´ alogo a tomar una “fotograf´ıa” del pulso que va viajando. Por el momento el estudio se limitar´a a una onda que no cambia su forma mientras avanza a trav´es del espacio. Tras un tiempo t desde la producci´on del pulso de la onda, ´este recorre una distancia vt a lo largo del eje x de un sistema de coordenadas S, pero en todos los aspectos permanece inalterado. Si ahora se introduce un sistema de coordenadas S 0 que viaja junto con el pulso a la velocidad v, en este sistema ψ ya no es una funci´on del tiempo, y puesto que se mueve junto con S 0 se ve un perfil constante estacionario con la misma forma funcional de la ecuaci´ on (1.2). Aqu´ı, el eje coordenado es x0 en lugar de x, de tal forma que: ψ = f (x0 )

(1.3)

La perturbaci´ on se ve igual para cualquier valor de t en S 0 como lo era en S para t = 0 cuando S y S 0 ten´ıan un origen com´ un. Se deduce que: x0 = x − vt

(1.4)

de tal forma que ψ se puede escribir en t´erminos de las variables asociadas con el sistema S como: ψ(x) = f (x − vt)

(1.5)

Entonces esto representa la forma m´as general de la funci´ on de onda unidimensional. De un modo espec´ıfico, s´ olamente se tiene que escoger la forma (1.2) y entonces sustituir x − vt por x en f (x). La expresi´ on resultante describe una onda m´ ovil que tiene el perfil deseado. Si se verifica la forma de la ecuaci´on 6

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

1.1. ONDAS UNIDIMENSIONALES

(1.5) examinando ψ despues de un incremento ∆t de tiempo y un aumento correspondiente en x de v∆t, se encuentra: f [(x + v∆t) − v(t + ∆t)] = f (x − vt) y el perfil est´a inalterado. Similarmente, si la onda estuviese viajando en la direcci´on negativa de x, es decir, hacia la izquierda, la ecuaci´ on (1.5) quedar´ıa: ψ = f (x + vt), con v > 0

(1.6)

Por consiguiente, se puede concluir que, independientemente de la forma de la perturbaci´ on, las variables x y t deben aparecer en la funci´ on como una unidad; es decir, como una variable simple de la forma x ∓ vt. La ecuaci´on (1.5) se expresa a menudo equivalentemente como una funci´on de t − x/v ya que:  f (x − vt) = F

x − vt − v

 = F (t − x/v)

(1.7)

Se desea usar la informaci´ on deducida hasta aqu´ı para desarrollar la forma general de la ecuaci´ on diferencial de onda unidimensional. Con ese prop´osito, se toma la derivada parcial de ψ(x, t) con respecto a x manteniendo t constante. Usando x0 = x ∓ vt se tiene: ∂ψ ∂f ∂x0 ∂f ∂x0 = = ya que =1 ∂x ∂x0 ∂x ∂x0 ∂x

(1.8)

Si se mantiene x constante, la derivada parcial con respecto al tiempo es: ∂f ∂x0 ∂f ∂ψ = = ∓v 0 0 ∂t ∂x ∂t ∂x

(1.9)

Combinando las ecuaciones (1.8) y (1.9) se obtiene: ∂ψ ∂ψ = ∓v ∂t ∂x

(1.10)

Esto dice que la rapidez de cambio de ψ con t y con x es igual, excepto por una constante multiplicativa. Conociendo de antemano que se necesitar´an dos constantes para especificar una onda, se puede anticipar una ecuaci´on de onda de segundo orden. Tomando las segundas derivadas parciales de las ecuaciones (1.8) y (1.9), se obtiene:     ∂2ψ ∂ ∂f ∂ ∂f ∂x0 ∂2f = = = 2 0 0 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x0 2 y ∂2ψ ∂ = ∂t2 ∂t



∂f ∓v 0 ∂x



∂ = ∂x0



∂f ∓v 0 ∂x



∂x0 ∂2f = ∓v 2 0 2 ∂t ∂x

Combinando estas ecuaciones se obtiene: ∂2ψ 1 ∂2ψ = 2 2 2 ∂x v ∂t Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(1.11) 7

CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

que es la ecuaci´ on diferencial de onda en una dimensi´on. Es claro de la forma de la ecuaci´on (1.11) que si dos funciones de ondas diferentes ψ1 y ψ2 son cada una soluciones diferentes, entonces (ψ1 + ψ2 ) es tambi´en una soluci´on. 1 De acuerdo con esto, la ecuaci´ on de onda se satisface de manera m´as general por una funci´on de onda que tiene la forma: ψ = C1 f (x − vt) + C2 g(x + vt)

(1.12)

donde C1 y C2 son constantes y las funciones son diferenciables dos veces. Esto es claramente la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a lo largo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo perfil. El principio de superposici´on es inherente en esta ecuaci´on. ´ 1.2 SECCION

Ondas Arm´ onicas Hasta ahora no se ha dado una dependencia funcional expl´ıcita a la funci´on de onda ψ(x, t), es decir, no se ha especificado su forma. La forma de onda m´ as simple tiene como perfil una curva seno o coseno. Estas se conocen variadamente como ondas senoidales, ondas arm´onicas simples, o m´as sucintamente como ondas arm´onicas. Cualquier forma de onda se puede sintetizar por una superposici´ on de ondas arm´onicas y por consiguiente ellas toman un significado especial. Se escoge para el perfil la funci´on simple: ψ(x, t)t=0 = f (x, 0) = f (x) = A sin kx = ψ(x)

(1.13)

donde k es una constante positiva conocida como el n´ umero de propagaci´ on y kx est´ a expresado en radianes. El seno var´ıa de +1 a −1 de manera que el m´ aximo valor de ψ(x) es A. Este m´aximo de la perturbaci´on se conoce como la amplitud de la onda. A fin de transformar la ecuaci´on (1.13) en una onda progresiva que viaja con velocidad v en la direcci´on positiva de x, se necesita simplemente reemplazar x por x − vt, en cuyo caso: ψ(x, t) = f (x − vt) = A sin k(x − vt)

(1.14)

Esto es claramente una soluci´on de la ecuaci´on diferencial de onda (1.11). Manteniendo fijas bien sea x o t resulta una perturbaci´on senoidal de tal forma que la onda es peri´ odica tanto en el espacio como en el tiempo. El per´ıodo espacial se conoce como la longitud de la onda y se denota por λ. Un aumento o disminuci´ on en x en la cantidad λ debe dejar ψ inalterado, es decir: ψ(x, t) = ψ(x ± λ, t) 1 Ya

que ψ1 y ψ2 son soluciones: ∂ 2 ψ1 1 ∂ 2 ψ1 ∂ 2 ψ2 1 ∂ 2 ψ2 = 2 y = 2 2 2 2 ∂x v ∂t ∂x v ∂t2

Sumando ´ estas, se obtiene: ∂ 2 ψ1 ∂ 2 ψ2 1 + = 2 2 ∂x ∂x2 v



∂ 2 ψ1 ∂ 2 ψ2 + 2 ∂t ∂t2

 ⇒

∂ 1 ∂2 (ψ1 + ψ2 ) = 2 2 (ψ1 + ψ2 ), 2 ∂x v ∂t

de manera que (ψ1 + ψ2 ) es tambi´ en una soluci´ on de la ecuaci´ on (1.11)

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Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(1.15)

´ 1.2. ONDAS ARMONICAS

En el caso de una onda arm´ onica, esto es equivalente a alterar el argumento de la funci´ on seno en ±2π. Por consiguiente: sin k(x − vt) = sin k[(x ± λ) − vt] = sin[k(x − vt) ± 2π] y as´ı |kλ| = 2π o, ya que k y λ son n´ umeros positivos k = 2π/λ

(1.16)

En forma completamente an´ aloga, se puede examinar el per´ıodo temporal, τ . Esta es la cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observador estacionario. En este caso, es el comportamiento repetitivo de la onda en el tiempo el que es de inter´es, de manera que: ψ(x, t) = ψ(x, t ± τ )

(1.17)

y sin k(x − vt) = sin k[x − v(t ± τ )] = sin[k(x − vt) ± 2π] Por consiguiente: |kvτ | = 2π Pero todas estas son cantidades positivas y as´ı kvτ = 2π o

(1.18)

2π vτ = 2π λ

de lo cual se sigue que λ (1.19) v El per´ıodo es el n´ umero de unidades de tiempo por onda, el inverso del cual es la frecuencia ν o el n´ umero de ondas por unidad de tiempo. Entonces: τ=

ν≡

1 (ciclos/s o Hertz) τ

y la ecuaci´ on (1.19) queda: v = νλ (m/s)

(1.20)

Hay otras dos cantidades que se usan a menudo en la literatura del movimiento ondulatorio que son la frecuencia angular : ω≡

2π (radianes/s) τ

(1.21)

1 (m−1 ) λ

(1.22)

y el n´ umero de onda: κ≡

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

La longitud de onda, per´ıodo, frecuencia, frecuencia angular, n´ umero de onda y n´ umero de propagaci´ on describen aspectos de la naturaleza repetitiva de una onda en el espacio y en el tiempo. Estos conceptos se aplican igualmente bien a ondas que no son arm´ onicas siempre que cada perfil de onda est´e formado por un patr´ on regularmente repetitivo. Hasta ahora se han definido un n´ umero de cantidades que caracterizan varios aspectos del movimiento ondulatorio, seg´ un lo cual existe un n´ umero equivalente de formulaciones de una onda arm´onica progresiva. Algunas de las m´as comunes de ´estas son: ψ = A sin k(x ∓ vt)   x t ψ = A sin 2π ∓ λ τ ψ = A sin 2π(κx ∓ vt) ψ = A sin(kx ∓ ωt) x  ψ = A sin 2πν ∓t v

(1.23) (1.24) (1.25) (1.26)

Debe notarse que todas estas ondas son de extensi´on infinita, es decir para cualquier valor fijo de t, x var´ıa de −∞ a +∞. Cada onda tiene s´olo una frecuencia constante y por consiguiente se dice que es monocrom´ atica. ´ 1.3 SECCION

Fase y Velocidad de Fase Sea la funci´ on de onda arm´onica de la forma: ψ(x, t) = A sin(kx − ωt) El argumento completo de la funci´on seno se conoce como la fase ϕ de la onda, de manera que: ϕ = (kx − ωt) (1.27) Para x = 0 y t = 0 se verifica: ψ(x, t)x=0 = ψ(0, 0) = 0 t=0

el cual es ciertamente un caso especial. M´as generalmente se puede escribir. ψ(x, t) = A sin(kx − ωt + ε)

(1.28)

donde ε es la fase inicial o edad del ´ angulo. Un sentido f´ısico del significado de ε se puede obtener imaginando que se desea producir una onda arm´onica progresiva en una cuerda tensa. A fin de generar ondas arm´onicas, la mano que sostiene la cuerda tendr´ıa que moverse de tal forma que su desplazamiento vertical y fuese proporcional al negativo de su aceleraci´on, es decir, el movimiento es arm´ onico simple. Pero en x = 0 y t = 0 la mano ciertamente no necesita estar en el eje x cuando est´ a a punto de moverse hacia abajo. Podr´ıa, por supuesto, comenzar su movimiento en un balanceo hacia arriba, en cuyo caso ε = π. En este u ´ltimo caso: ψ(x, t) = y(x, t) = A sin(kx − ωt + π) 10

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE

el cual es equivalente a: ψ(x, t) = A sin(ωt − kx) o

 π ψ(x, t) = A cos ωt − kx − 2 La edad del ´ angulo es entonces justamente la contribuci´on constante a la fase que se origina en el generador y es independiente de qu´e tan distante en el espacio y qu´e tan lejos en el tiempo ha viajado la onda. La fase de una perturbaci´ on como ψ(x, t) dada por la ecuaci´on (1.28) es: ϕ(x, t) = kx − ωt + ε

(1.29)

y es obviamente una funci´ on de x y t. En efecto, la derivada parcial de ϕ con respecto a t, manteniendo x constante, es la rapidez de cambio de la fase con el tiempo:   ∂ϕ =ω ∂t x

(1.30)

Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia, manteniendo t constante, es:   ∂ϕ ∂x = k t

(1.31)

Estas dos expresiones deben traer a la mente una ecuaci´on de la teor´ıa de derivadas parciales, una usada muy frecuentemente en termodin´amica, o sea: 

∂x ∂t

 = ϕ

−(∂ϕ/∂t)x (∂ϕ/∂x)t

(1.32)

El t´ermino de la izquierda representa la velocidad de propagaci´on de un punto de fase constante. Escogiendo cualquier punto del perfil de la onda, al moverse la onda en el espacio, el desplazamiento y del punto permanece constante. Ya que la u ´nica variable en la funci´ on de la onda arm´onica es la fase, ella tambi´en debe ser constante. Esto es, la fase est´a fija en un valor tal que y permanece constante correspondiendo al punto seleccionado. El punto se mueve junto con el perfil con la velocidad v y as´ı tambi´en lo hace la condici´on de fase constante. Tomando la derivada parcial de ϕ apropiada como se da por el ejemplo en la ecuaci´ on (1.29) y sustituy´endola en la ecuaci´ on (1.32) se obtiene: 

∂x ∂t

 =± ϕ

ω = ±v k

(1.33)

Esta es la rapidez con la cual el perfil se mueve y se conoce com´ unmente como la velocidad de fase. La velocidad de fase lleva un signo positivo cuando la onda se mueve en la direcci´ on en que aumenta x y negativo en la direcci´on en que Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

disminuye x. Esto concuerda con el desarrollo de v como la magnitud de la velocidad de la onda. Consid´erese la idea de la propagaci´on de fase constante y c´omo se relaciona con cualquiera de las ecuaciones de onda arm´onica, d´ıgase: ψ = A sin k(x ∓ vt) con ϕ = k(x − vt) = constante; cuando t aumenta, x debe aumentar. A´ un si x < 0 tal que ϕ < 0, x debe aumentar, es decir, se hace menos negativa. Aqu´ı, entonces, la condici´on de fase constante se mueve en la direcci´on en que aumenta x. Para: ϕ = k(x − vt) = constante cuando t aumenta, x puede ser positiva y decreciente o negativa y haci´endose m´ as negativa. En cualquier caso, la condici´on de fase constante se mueve en la direcci´ on en que disminuye x. ......................................................................... 1.3.1 Al desarrollar el an´ alisis de los fen´omenos ondulatorios se har´a claro que las Representaci´ onfunciones seno y coseno que describen las ondas arm´ onicas son poco adecuadas Compleja para la mayor´ıa de los prop´ ositos. Al hacerse m´as complicadas las expresiones de las que se est´ an formulando, las manipulaciones trigonom´etricas que se requieren Ondas para enfrentarse con ellas se hacen a´ un menos atractivas. La representaci´on de Unidimenondas con n´ umeros complejos ofrece una descripci´on alternativa que es matesionales

m´aticamente m´ as simple de trabajar. En efecto, la forma exponencial compleja de la ecuaci´ on de onda se usa ampliamente en mec´anica cl´asica y cu´antica, y tambi´en en ´ optica. El n´ umero complejo z tiene la forma: z = x + iy

(1.34)

√

donde i = −1. Las partes real e imaginaria de z son respectivamente x e y donde ambas, x e y, son n´ umeros reales. En t´erminos de las coordenadas polares (r, θ), se tiene: ( x = r cos θ y = r sin θ La f´ ormula de Euler :

2

eiθ = cos θ + i sin θ permite escribir: z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, donde r es la magnitud de z, y θ es el ´ angulo de fase de z, en radianes. La magnitud a menudo se denota por |z| y se conoce como el m´ odulo o valor absoluto del n´ umero complejo. El complejo conjugado, indicado por un aster´ısco, se encuentra reemplazando i donde quiera que aparezca, por −i, tal que:  ∗ ∗  z = (x + iy) = x − iy ∗ z = r(cos θ − i sin θ)   ∗ z = re−iθ 2 Si se tiene cualquier duda acerca de esta identidad, se toma la diferencial de z = cos θ + i sin θ donde r = 1. Esto da dz = izdθ, y una integraci´ on da z = eiθ .

12

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1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE

Las operaciones de adici´ on y sustracci´on son inmediatas: z1 ± z2 = (x1 + iy1 ) ± (x2 + iy2 ) y por consiguiente: z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 ) Obs´ervese que este proceso es muy similar a la adici´on de vectores por componentes. La multiplicaci´ on y la divisi´ on se expresan de manera m´as simple en forma polar: z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) y

z1 r1 = ei(θ1 θ2 ) z2 r2

Vale la pena en este punto mencionar un n´ umero de hechos u ´tiles, que ser´an de valor en los c´ alculos futuros. Se deduce f´acilmente de las f´ormulas de adici´on trigonom´etricas ordinarias que: ez1 +z2 = ez1 ez2 donde, por lo tanto, si z1 = x y z2 = iy, ez = ex+iy = ex eiy . El m´odulo de una cantidad compleja est´a dado por: √ |z| ≡ zz ∗ tal que: |ez | = ex . En vista de que cos 2π = 1 y sin 2π = 0, ei2π = 1; similarmente:

π

eiπ = e−iπ = −1 y ei 2 = i La funci´ on ez es peri´ odica, es decir, se repite a s´ı misma cada i2π: ez+i2π = ez ei2π = ez . Cualquier n´ umero complejo se puede representar como la suma de una parte real Re(z) y una parte imaginaria Im(z): z = Re(z) + iIm(z) tal que: Re(z) =

1 1 (z + z ∗ ) y Im(z) = (z − z ∗ ). 2 2i

De la forma polar donde: Re(z) = r cos θ y Im(z) = r sin θ, Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

13

CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

es claro que cualquier parte se puede escoger para describir una onda arm´onica. Se acostumbra, sin embargo, escoger la parte real en cuyo caso una onda arm´ onica se escribe como: h i ψ(x, t) = Re Aei(ωt−kx+ε) , (1.35) la cual es, por supuesto, equivalente a: ψ(x, t) = A cos(ωt − kx + ε). De aqu´ı en adelante, siempre que sea conveniente se escribir´a la funci´on de onda como: ψ(x, t) = Aei(ωt−kx+ε) = Aeiϕ , (1.36) y se utilizar´ a esta forma compleja en los c´alculos requeridos. Esto se hace a fin de sacarle partido a la facilidad de manejo de las exponenciales complejas. S´olo despu´es de llegar a un resultado final, y solamente si se desea representar la onda verdadera, se necesita tomar la parte real. De acuerdo con esto se ha hecho muy com´ un escribir ψ(x, t), como la ecuaci´on (1.36), donde se entiende que la onda real es la parte real. ´ 1.4 SECCION

Ondas Planas La onda plana es quiz´a el ejemplo m´as simple de una onda tridimensional. Existe en un instante dado, cuando todas las superficies sobre las cuales una perturbaci´ on tiene fase constante forman un conjunto de planos, cada uno generalmente perpendicular a la direcci´on de propagaci´on. Hay razones pr´acticas para estudiar este tipo de perturbaciones, una de las cuales es que usando sistemas ´ opticos se pueden producir f´acilmente luz semejante a ondas planas. La expresi´ on matem´atica para un plano perpendicular a un vector dado ~k y que pasa a trav´es de alg´ un punto (x0 , y0 , z0 ) es bastante f´acil de deducir. El vector de posici´on, en t´erminos de sus componentes en coordenadas cartesianas, es: ~r ≡ (x, y, z). Comienza en alg´ un origen arbitrario O y termina en el punto (x, y, z) el cual puede, por el momento, estar en cualquier lugar en el espacio. Poniendo: (~r − r~0 ) · ~k = 0

(1.37)

se fuerza al vector (~r − r~0 ) a barrer un plano perpendicular a ~k, cuando su punto extremo (x, y, z) toma todos los valores permitidos. Con: ~k ≡ (kx , ky , kz ).

(1.38)

la ecuaci´ on (1.37) se puede expresar en la forma: kx (x − x0 ) + ky (y − y0 ) + kz (z − z0 ) = 0 14

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(1.39)

1.4. ONDAS PLANAS

o como: kx x + ky y + kz z = a

(1.40)

a = kx x0 + ky y0 + kz z0 = constante.

(1.41)

donde:

La forma m´ as concisa de la ecuaci´ on de un plano perpendicular a ~k es entonces: ~k · ~r = a = constante

(1.42)

El plano es el lugar geom´etrico de todos los puntos cuya proyecci´on en la direcci´on ~k es una constante. Se puede ahora construir un conjunto de planos sobre los cuales ψ(~r) var´ıa senoidalmente, es decir:   ψ (~r) = A sin ~k · ~r   ψ (~r) = A cos ~k · ~r

(1.43) (1.44)

o ~

ψ (~r) = Aeik·~r

(1.45)

Para cada una de estas expresiones ψ (~r) es constante sobre cada plano definido por ~k · ~r = constante. Como se manejan funciones arm´onicas, se deben repetir a s´ı mismas en el espacio de un desplazamiento de λ en la direcci´on de ~k. Si no se ponen l´ımites a ~r, los planos son de extensi´on infinita y la perturbaci´on ocupa claramente todo el espacio. La naturaleza espacialmente repetitiva de estas funciones se puede expresar por: λ~k ψ (~r) = ψ ~r + k

! (1.46)

donde k es la mangitud de ~k y ~k/k es un vector unitario paralelo a ´el. En la forma exponencial, equivale a: ~

~

~

~

~

Aeik·~r = Aeik·(~r+λk/k) = Aeik·~r eiλk . Para que sea cierto, se debe tener: ~

eiλk = 1 = ei2π ; por consiguiente: λk = 2π Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

15

CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

y k=

2π . λ

El vector ~k, cuya magnitud es el n´ umero de propagaci´ on k (ya introducido), se llama el vector propagaci´ on. En cualquier punto fijo en el espacio donde ~k · ~r es constante, la fase es constante y tambi´en lo es ψ (~r); en resumen, los planos est´an inm´oviles. Para hacer que las cosas se muevan, ψ (~r) debe hacerse variar en el tiempo, algo que se puede lograr introduciendo la dependencia en el tiempo en una forma an´aloga a la de una onda unidimensional. Aqu´ı entonces: ~

ψ (~r, t) = Aei(k·~r+ωt)

(1.47)

con A, ω y k constantes. A medida que esta perturbaci´on viaja a lo largo de la direcci´ on ~k se le puede asignar una fase correspondiente en cada punto en el espacio y en el tiempo. En cualquier instante, las superficies que unen todos los puntos de igual fase se conocen como frentes de onda o superficies de onda. Obs´ervese que la funci´ on de onda tendr´a un valor constante sobre el frente de onda solamente si la amplitud A tiene un valor fijo en el frente. En general, A es una funci´ on de ~r y puede no ser constante sobre todo el espacio o ni siquiera sobre un frente de onda. En el u ´ltimo caso, se dice que la onda es inhomog´enea; pero a efectos pr´ acticos no interesa este tipo de perturbaci´on, a menos que se consideren haces de luz l´aser y reflexi´on total interna. La velocidad de fase de una onda plana, dada por la ecuaci´on (1.47) es equivalente a la velocidad de propagaci´on del frente de onda. La componente escalar de ~r en la direcci´ on de ~k es rk . La perturbaci´on en un frente de onda es constante, de manera que despu´es de un tiempo dt, si el frente se mueve a lo largo de ~k una distancia drk , se debe tener: ψ (~r, t) = ψ (rk + drk , t + dt) = ψ (rk , t) .

(1.48)

En forma exponencial, o sea: ~

Aei(k·~r∓ωt) = Aei(krk +kdrk ∓ωt∓ωdt) = Aei(krk ∓ωt) ; por consiguiente: kdrk = ±ωdt y la magnitud de la velocidad de la onda drk /dt es: ω drk = ± = ±v dt k

(1.49)

Se podr´ıa haber anticipado este resultado girando el sistema coordenado de tal forma que ~k fuese paralelo al eje x. Para esa orientaci´on: ψ (~r, t) = Aei(kx∓ωt) ya que ~k · ~r = krk = kx . La onda hab´ıa sido as´ı reducida efectivamente a una perturbaci´ on unidimensional ya discutida anteriormente. 16

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ DIFERENCIAL DE ONDA TRIDIMENSIONAL 1.5. ECUACION

La onda arm´ onica plana a menudo se escribe en coordenadas Cartesianas como: ψ(x, y, z, t) = Aei(kx x+ky y+kz z∓ωt)

(1.50)

o ~

ψ(x, y, z, t) = Aei[k(αx+βy+γz∓ωt)]

(1.51)

donde α, β y γ son los cosenos directores de ~k. En t´erminos de sus componentes, la magnitud del vector de propagaci´on est´a dado por: q
~ kx2 + ky2 + kz2 k = k =

(1.52)

α2 + β 2 + γ 2 = 1.

(1.53)

y por supuesto:

Se ha examinado ondas planas dando ´enfasis particular a las ondas arm´onicas. El significado especial de estas ondas es doble: primero, f´ısicamente, las ondas senoidales se pueden generar en forma relativamente simple usando alguna forma de oscilador arm´ onico; segundo, cualquier onda tridimensional se puede expresar como una combinaci´on de ondas planas, cada una con distinta amplitud y direcci´ on de propagaci´ on. Se puede ciertamente imaginar una serie de ondas planas como aquellas donde la perturbaci´ on var´ıa en alguna forma que no es arm´onica. Las ondas arm´onicas planas son, en efecto, un caso especial de una soluci´on m´as general de ondas planas. ´ 1.5 SECCION

Ecuaci´ on Diferencial de Onda Tridimensional De todas las ondas tridimensionales, solamente la onda plana (arm´onica o no) se mueve a trav´es del espacio con un perfil que no cambia. Entonces es claro que la idea seg´ un la cual una onda es la de propagaci´on de una perturbaci´on cuyo perfil no se altera, es algo defectuosa. Esta dificultad se puede vencer definiendo una onda como cualquier soluci´on de la ecuaci´on diferencial de onda. Obviamente, lo que se necesita ahora es una ecuaci´on de onda tridimensional. Esta deber´ıa ser bastante f´ acil de obtener, ya que se puede adivinar su forma generalizando la expresi´ on unidimensional (1.11). En coordenadas Cartesianas, las variables de posici´ on x, y y z deben ciertamente aparecer sim´etricamente 3 en la ecuaci´ on tridimensional, un hecho que se debe recordar. La funci´on de onda ψ(x, y, z, t) dada por la ecuaci´ on (1.51) es una soluci´on particular de la ecuaci´on 3 No hay distinci´ on caracter´ıstica para ninguno de los ejes en coordenadas Cartesianas. Se debe por lo tanto se capaz de cambiar lo nombres de, digamos, x a z, y a x y z a y (manteniendo el sistema derecho sin alterar la ecuaci´ on diferencial de onda.

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

17

CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

diferencial que se est´ a buscando. En analog´ıa con la deducci´on de la ecuaci´on (1.11) se calculan las siguientes derivadas parciales de la ecuaci´on (1.51): ∂2ψ = −α2 k 2 ψ ∂x2 ∂2ψ = −β 2 k 2 ψ ∂y 2 ∂2ψ = −γ 2 k 2 ψ ∂z 2

(1.54) (1.55) (1.56)

y ∂2ψ = −ω 2 ψ ∂t2

(1.57)

Sumando las tres derivadas espaciales y utilizando el hecho de que α2 +β 2 +γ 2 = 1 se obtiene: ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + = −k 2 ψ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(1.58)

Combinando esto con la derivada respecto del tiempo (1.57) y recordando que v = ω/k, se llega a: 1 ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + = 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z v ∂t

(1.59)

la ecuaci´ on diferencial de onda tridimensional. Obs´ervese que x, y, y z aparecen sim´etricamente y la forma es precisamente la que se esperar´ıa de la generalizaci´ on de la ecuaci´ on (1.11). La ecuaci´ on (1.59) se describe generalmente en una forma m´as concisa introduciendo el operador Laplaciano: ∇2 ≡

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(1.60)

de donde queda simplemente: ∇2 ψ =

1 ∂2ψ v 2 ∂t2

(1.61)

Ahora que se tiene esta ecuaci´on, que es la m´as importante, obs´ervese de nuevo la onda plana y se vea c´omo se adec´ ua al esquema de cosas. Una funci´on de la forma: ψ(x, y, z, t) = Aeik(αx+βy+γz∓vt)

(1.62)

es equivalente a la ecuaci´on (1.51) y como tal, es una soluci´on de la ecuaci´on (1.61). Se puede demostrar tambi´en que: ψ(x, y, z, t) = f (αx + βy + γz − vt) 18

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(1.63)

´ 1.6. ONDAS ESFERICAS

y ψ(x, y, z, t) = g(αx + βy + γz + vt)

(1.64)

son soluciones de ondas planas de la ecuaci´on diferencial de onda. Las funciones f y g, que son dos veces diferenciables, son arbitrarias y ciertamente no necesitan ser arm´onicas. Una combinaci´ on lineal de estas es tambi´en una soluci´on y se puede escribir esto de una manera ligeramente diferente como:     ψ (~r, t) = C1 f ~r · ~k/k − vt + C2 g ~r · ~k/k + vt

(1.65)

donde C1 y C2 son constantes. Las coordenadas Cartesianas son particularmente adecuadas para describir ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones f´ısicas, se puede frecuentemente hacer mejor uso de las simetr´ıas existentes por medio de otras representaciones coordenadas. ´ 1.6 SECCION

Ondas Esf´ ericas Imag´ınese una peque˜ na esfera puls´atil rodeada por un fluido. Al contraerse y expandirse la fuente, genera variaciones en la presi´on que se propagan hacia afuera como ondas esf´ericas. Consid´erese ahora una fuente puntual ideal de luz. La radiaci´on que emana de ella fluye radialmente hacia afuera, uniformemente en todas direcciones. Se dice que la fuente es isotr´ opica y los frentes de onda resultantes son de nuevo esferas conc´entricas con di´ ametro creciente cuando se expanden en el espacio que las rodea. La simetr´ıa obvia de los frentes de onda sugiere que podr´ıa ser m´as conveniente describirlos matem´ aticamente, en t´erminos de coordenadas polares esf´ericas. En esta representaci´ on el operador Laplaciano es:     1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∇2 ≡ 2 r2 + 2 sin θ + 2 2 (1.66) r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ donde r, θ y φ se definen por: x = r sin θ cos φ,

y = r sin θ sin φ,

z = r cos θ.

Recordando que se est´ a buscando una descripci´on de las ondas esf´ericas, de ondas que son esf´ericamente sim´etricas, es decir, aquellas caracterizadas por el hecho de que no dependen de θ ni de φ de modo que: ψ (~r) = ψ(r, θ, φ) = ψ(r).

(1.67)

Entonces el Laplaciano de ψ(r) es simplemente: ∇2 ψ(r) =

1 ∂ r2 ∂r



r2

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

∂ψ ∂r

 (1.68)

19

CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

Este resultado se puede obtener sin estar familiarizados con la ecuaci´on (1.66). Comenzando con la forma cartesiana del Laplaciano (1.60), se opera sobre la funci´ on de onda ψ(r) sim´etricamente esf´erica y se convierte cada t´ermino a coordenadas polares. Examinando solamente la dependencia de x, se tiene: ∂ψ ∂r ∂ψ = ∂x ∂r ∂x y ∂2ψ ∂2ψ = ∂x2 ∂r2



∂r ∂x

2 +

∂ψ ∂r2 ∂r ∂x2

ya que: ψ (~r) = ψ(r). Usando: x2 + y 2 + z 2 = r2 se tiene: ∂r x = , ∂x r

∂2r 1 ∂ ∂ = (x) + x 2 ∂x r ∂x ∂x

    1 1 x2 = 1− 2 r r r

y ∂2ψ x2 ∂ 2 ψ 1 = 2 + 2 ∂x r ∂r2 r

 1−

x2 r2



∂ψ ∂r

Ahora, teniendo ∂ 2 ψ/∂x2 , se forma ∂ 2 ψ/∂y 2 y ∂ 2 ψ/∂z 2 , y sumando se obtiene: ∇2 ψ(r) =

∂ 2 ψ 2 ∂ψ + , ∂r2 r ∂r

la cual es equivalente a la ecuaci´on (1.68). Este resultado se puede expresar en forma ligeramente diferente: ∇2 ψ =

1 ∂2 (rψ) r ∂r2

(1.69)

La ecuaci´ on diferencial de onda (1.61) se puede escribir entonces como: 1 ∂2 1 ∂2ψ (rψ) = r ∂r2 v 2 ∂t2

(1.70)

Multiplicando ambos lados por r, se obtiene: ∂2 1 ∂2 (rψ) = (rψ) ∂r2 v 2 ∂t2

(1.71)

Obs´ervese que esta expresi´on es precisamente la ecuaci´on diferencial de onda unidimensional (1.11), donde la variable espacial es r y la funci´on de onda es el producto (rψ). La soluci´on de la ecuaci´on (1.71) es entonces simplemente: rψ(r, t) = f (r − vt) o ψ(r, t) = 20

f (r − vt) r

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(1.72)

´ 1.6. ONDAS ESFERICAS

Esto representa una onda esf´erica que progresa radialmente hacia afuera desde el origen, con una velocidad constante v, y que tiene una forma funcional arbitraria f . Otra soluci´ on est´ a dada por: ψ(r, t) =

g(r + vt) r

y en este caso la onda est´ a convergiendo hacia el origen. 4 El hecho de que esta expresi´ on falla en r = 0 es de poca importancia pr´actica. Un caso especial de la soluci´ on general: ψ(r, t) = C1

f (r − vt) g(r + vt) + C2 . r r

(1.73)

es la onda esf´erica arm´ onica ψ(r, t) =

  A cos k(r ∓ vt) r

(1.74)

o   A ik(r∓vt) ψ(r, t) = e r

(1.75)

donde la constante A se llama la intensidad de la fuente. Para cualquier valor fijo del tiempo, esto representa una agrupaci´on de esferas conc´entricas que llenan todo el espacio. Cada frente de onda, o superficie de fase constante est´a dado por: kr = constante Obs´ervese que la amplitud de cualquier onda esf´erica es una funci´on de r, donde el t´ermino r−1 sirve como un factor de atenuaci´on. Al contrario que una onda plana, una onda esf´erica disminuye en amplitud, con lo cual cambia su perfil, cuando se expande y se aleja del origen. 5 Un pulso de onda esf´erica tiene la misma extensi´ on en el espacio en cualquier punto a lo largo de cualquier radio r, es decir, el ancho del pulso a lo largo del eje r es una constante. Se podr´ıa haber considerado una onda arm´ onica, en lugar de un pulso. En este caso, la perturbaci´ on senoidal estar´ıa acotada por las curvas: ψ=

A r

y

ψ=−

A r

La onda esf´erica que viaja hacia afuera emanada de una fuente puntual, y la onda que viaja hacia adentro convergiendo a un punto, son ciertamente idealizaciones. En realidad la luz solamente se aproxima a ondas esf´ericas como tambi´en s´ olo se aproxima a ondas planas. Cuando un frente de onda esf´erica se propaga hacia afuera, su radio aumenta. Suficientemente lejos de la fuente, una peque˜ na ´area del frente de onda se acercar´ a mucho a una porci´ on de una onda plana. 4 Otras 5 El

soluciones m´ as complicadas existen cuando la onda no es esf´ ericamente sim´ etrica. factor de la atenuaci´ on es una consecuencia directa de la conservaci´ on de energ´ıa.

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

21

CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO ´ 1.7 SECCION

Ondas Cil´ındricas Ahora se examinar´ a brevemente otro frente de onda idealizado, el cilindro circular infinito. Desafortunadamente un tratamiento matem´atico preciso es demasido complicado para hacerlo aqu´ı. Sin embargo se bosquejar´a el el procedimiento, de tal forma que la funci´on de onda resultante no evoque misticismo. El Laplaciano de ψ en coordenadas cil´ındricas es: ∇2 ψ =

1 ∂ r ∂r

 r

∂ψ ∂r

 +

1 ∂2ψ ∂2ψ + r2 ∂θ2 ∂z 2

(1.76)

donde: x = r cos θ,

y = r sin θ,

y

z = z.

El caso sencillo de simetr´ıa cil´ındrica requiere que: ψ (~r) = ψ(r, θ, z) = ψ(r) La independencia de θ significa que un plano perpendicular al eje z intersectar´a el frente de onda en un c´ırculo, el cual puede variar en r, para diferentes valores de z. Adem´ as, la independencia de z restringe el frente de onda a un cilindro circular centrado en el eje z y que tiene longitud infinita. La ecuaci´on diferencial de onda es entonces:   1 ∂ ∂ψ 1 ∂2ψ r = 2 2 (1.77) r ∂r ∂r v ∂t Se est´ a buscando una expresi´on para ψ(r), una soluci´ on de esta ecuaci´on. Despu´es de un poco de manipulaci´on en la cual la dependencia del tiempo se separa, la ecuaci´ on (1.77) se convierte en algo que se llama la ecuaci´on de Bessel. Las soluciones de la ecuaci´ on de Bessel para grandes valores de r se aproximan asint´ oticamente a formas trigonom´etricas simples. Finalmente, entonces cuando r es suficientemente grande, se puede escribir: A ψ(r) ≈ √ eik(r∓vt) r A ψ(r) ≈ √ cos k(r ∓ vt). r

(1.78)

Esto representa un conjunto de cilindros circulares coaxiales que llenan todo el espacio y que viajan hacia una fuente lineal infinita o se alejan de ella. No se pueden ahora encontrar soluciones en t´erminos de funciones arbitrarias como las hab´ıa tanto para las ondas esf´ericas (1.73) como para las planas (1.65). Una onda plana que choca en la parte posterior de una pantalla opaca plana y que contiene una rendija delgada y larga, producir´a una emisi´on, por esa rendija, de una perturbaci´on parecida a una onda cil´ındrica. Se ha hecho un uso extensivo de esta t´ecnica para generar ondas luminosas. Recu´erdese que la onda real, como quiera que sea generada, solamente se aproxima a la representaci´on matem´ atica idealizada. 22

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

1.8. ONDAS ESCALARES Y VECTORIALES ´ 1.8 SECCION

Ondas Escalares y Vectoriales Hay dos clasificaciones generales de ondas, longitudinales y transversales. La distinci´ on entre las dos proviene de una diferencia entre la direcci´on a lo largo de la cual ocurre la perturbaci´ on y la direcci´on ~k/k, en la cual se propaga la perturbaci´ on. Esto es m´ as f´ acil de visualizar cuando se trata de un medio material deformable el´ astico. Una onda longitudinal ocurre cuando las part´ıculas del medio se desplazan de sus posiciones de equilibrio, en una direcci´on paralela a ~k/k. Se origina una onda transversal cuando la perturbaci´on, en este caso el desplazamiento del medio, es perpendicular a la direcci´on de propagaci´on. En el caso de las ondas transversales, el movimiento ondulatorio est´a confinado a un plano fijo en el espacio llamado plano de vibraci´ on y por lo tanto se dice que la onda es linealmente polarizada o polarizada plana. A fin de determinar por completo la onda, se debe ahora especificar la orientaci´on del plano de vibraci´on, y tambi´en la direcci´ on de propagaci´on. Esto es equivalente a resolver la perturbaci´ on en componentes a lo largo de dos ejes mutuamente perpendiculares ambos normales a la direcci´ on de propagaci´on. El ´angulo en el cual est´a inclinado el plano de vibraci´ on es constante, de modo que en cualquier tiempo las componentes difieren de ψ por una constante multiplicativa y ambas son por lo tanto soluciones de la ecuaci´ on diferencial de onda. Se presenta un hecho muy significativo: la funci´ on de onda, de una onda transversal, se comporta en forma parecida a una cantidad vectorial. Con la onda movi´endose a lo largo del eje z se puede escribir: ~ t) = ψx (z, t)~i + ψy (z, t)~j, ψ(z, (1.79) donde, por supuesto, ~i, ~j y ~k son vectores base unitarios en coordenadas cartesianas. Una onda, plana arm´ onica escalar est´a dada por la expresi´on: ~ (~r, t) = Aei(~k·~r∓ωt) . ψ Una onda plana arm´ onica polarizada linealmente est´a dada por el vector de onda: ~ (~r, t) = Aei(~k·~r∓ωt) . ψ (1.80) o en coordenadas cartesianas por:   ~ y, z, t) = Ax~i + Ay~j + Az~k ei(kx x+ky y+kz z∓ωt) ψ(x,

(1.81)

Para este caso donde el plano de vibraci´on est´a fijo en el espacio, tambi´en lo es ~ yA ~ Recu´erdese que ψ ~ difieren solamente por un escalar y, la orientaci´ on de A. como tal, son paralelos el uno al otro y perpendiculares a ~k/k. La luz es una onda transversal y es una apreciaci´on de su naturaleza vectorial de gran importancia. Los fen´ omenos de polarizaci´ on ´optica se pueden tratar f´acilmente en t´erminos de este tipo de visualizaci´on ondulatoria vectorial. Para luz no polarizada, donde el vector de onda cambia de direcci´ on al azar y r´apidamente, las aproximaciones escalares se hacen u ´tiles, como en las teor´ıas de la interferencia y la difracci´ on.

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23

CAP´ITULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO

24

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CAP´ITULO 2

Teor´ıa Electromagn´ etica, Fotones y Luz ´Indice General 2.1. Leyes B´ asicas de la Teor´ıa Electromagn´ etica . . . . 2.1.1. Ley de Inducci´ on de Faraday . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ley de Gauss El´ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Ley de Gauss Magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ondas Electromagn´ eticas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ondas Electromagn´ eticas en Medios No Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Dispersi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Propagaci´ on de la Luz a trav´es de un Medio Diel´ectrico 2.4. Energ´ıa de las Ondas Electromagn´ eticas . . . . . . . 2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

26 26 27 28 28 29 31 35 36 41 43 43

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ ´ 2.1 SECCION

Leyes B´ asicas de la Teor´ıa Electromagn´ etica El objetivo de esta secci´on es el de revisar y desarrollar, aunque sea brevemente, algunas de las ideas necesarias para apreciar el concepto de ondas electromagn´eticas. Se sabe por experimentos que las cargas, aunque est´en separadas en el espacio, experimenta una interacci´on mutua. Como una posible explicaci´on se podr´ıa especular que cada carga emite (y absorbe) un flujo de part´ıculas indetectables (fotones virtuales). El flujo de estas part´ıculas entre las cargas se puede considerar como una forma de interacci´on. Alternativamente, se puede tomar el punto de vista cl´ asico e imaginar que cada carga est´a rodeada de algo llamado un campo el´ectrico. Entonces se necesita suponer solamente que cada carga interacciona directamente con el campo el´ectrico en el que est´a sumergido. Entonces, si una ~ en la posici´on de la carga q experimenta una fuerza F~E , el campo el´ectrico E ~ ~ carga est´ a definido por FE = q E. Adem´as se observa que una carga m´ovil puede experimentar otra fuerza F~M la cual es proporcional a su velocidad ~v . Entonces ~ tal que se tiene que definir a´ un otro campo, a saber la inducci´ on magn´etica B, ~ ~ ~ ~ FM = q~v × B. Si ambas fuerzas FE y FM ocurren simult´aneamente se dice que la carga se mueve a trav´es de una regi´on ocupada tanto por campos el´ectricos ~ + q~v × B. ~ como magn´eticos donde F~ = q E Hay otras varias observaciones que se pueden interpretar en t´erminos de estos campos y al hacerlo as´ı se puede obtener una mejor idea de las propiedades ~ y a B. ~ Como se ver´a, los campos el´ectricos f´ısicas que se deben atribuir a E son generados tanto por cargas el´ectricas como por campos magn´eticos variables con el tiempo. Similarmente, los campos magn´eticos son generados por corrientes el´ectricas y por campos el´ectricos variables en el tiempo. Esta interdependencia ~ y de B ~ es el punto clave en la descripci´on de la luz y su elaboraci´on es la de E motivaci´ on para mucho de lo que sigue. ......................................................................... 2.1.1 Ley de Inducci´ on de Faraday

Michael Faraday hizo numerosas e importantes contribuciones a la teor´ıa electromagn´etica. Una de las m´as significativas fue su descubrimiento de que un flujo magn´etico variable en el tiempo, pasando a trav´es de un circuito conductor cerrado, da como resultado la generaci´on de una corriente alrededor de ese ~ circuito. El flujo de la inducci´on magn´etica (o densidad de flujo magn´etico B) a trav´es de un ´ area abierta A, limitada por el circuito conductor est´a dado por: ΦB =

x

~ ~ · dS. B

(2.1)

A

La fuerza electromotriz inducida o f.e.m. producida alrededor del circuito es entonces:

f.e.m. = − 26

dΦB . dt

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(2.2)

´ ´ 2.1. LEYES BASICAS DE LA TEOR´IA ELECTROMAGNETICA

Sin embargo, no debe comprometerse demasiado con la imagen de alambres, corriente y f.e.m. El inter´es presente son los campos el´ectricos y magn´eticos mismos. En efecto, la f.e.m. existe solamente como un resultado de la presencia de un campo el´ectrico dado por: I

~ ~ · dL, E

f.e.m. =

(2.3)

C

tomada alrededor de la curva cerrada C, que corresponde al circuito. Igualando las ecuaciones (2.2) y (2.3) y haciendo uso de la ecuaci´on (2.1) se obtiene: x ~ ~ =−d ~ · dI ~ · dS. B E dt C

I

(2.4)

A

Se comenz´ o esta discusi´ on examinando un circuito conductor y se ha llegado a la ecuaci´ on (2.4); esta expresi´ on, excepto por la trayectoria C, no tiene referencia al circuito f´ısico. En efecto, la trayectoria se puede escoger muy arbitrariamente y no necesita estar dentro, o cerca de ning´ un conductor. El campo el´ectrico en la ecuaci´ on (2.4) no aparece directamente por la presencia de cargas el´ectricas sino del campo magn´etico variable con el tiempo. Sin cargas que act´ uen como fuentes o sumideros, las l´ıneas de campo se cierran, formando circuitos. Para el caso en el cual la trayectoria est´ a fija en el espacio y sin cambiar de forma, la ley de inducci´ on (2.4) se puede reescribir como: I

~ =− ~ · dI E

C

x ∂B ~ · dS. ∂t

(2.5)

A

Esta, es en s´ı misma una expresi´ on bastante fascinante ya que indica que el campo magn´etico variable en el tiempo tendr´a un campo el´ectrico asociado con ´el. ......................................................................... 2.1.2 Ley de Gauss El´ ectrica

Otra de las leyes fundamentales del electromagnetismo recibe su nombre del matem´ atico alem´ an Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Ella relaciona el flujo de la intensidad de campo el´ectrico a trav´es de una superficie cerrada A: ΦE =

{

~ ~ · dS E

(2.6)

A

con la carga total encerrada. La integral doble lleva un c´ırculo como recordatorio ~ est´a en la direcci´on de una normal de que la superficie est´ a cerrada. El vector dS hacia afuera. Si el volumen encerrado por A es V , y si dentro de ella hay una distribuci´ on continua de carga ρ, la ley de Gauss es entonces: { A

y ~ =1 ~ · dS E ρdV 

(2.7)

V

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27

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

La integral a la izquierda es la diferencia entre la cantidad de flujo hacia adentro y hacia afuera de cualquier superficie cerrada A. Si hay una diferencia, ser´a debida a la presencia de fuentes o sumideros del campo el´ectrico dentro de A. Claramente entonces, la integral debe ser proporcional a la carga total encerrada. La constante  se conoce como la permitividad el´ectrica del medio. Para el caso especial del vac´ıo, la permitividad del espacio libre est´a dada por 0 = 8,8542 × 10−12 C2 N−1 m−2 . La permitividad de un material se puede expresar en t´erminos de 0 como: ~ e 0 , ~ = K

(2.8)

~ e , la constante diel´ectrica (o permitividad relativa), es una cantidad sin donde K dimensiones, y es la misma para todos los sistemas de unidades. El inter´es en ~ e anticipa el hecho de que la permitividad est´a relacionada con la velocidad K de la luz en materiales diel´ectricos, como vidrio, cuarzo, etc. ......................................................................... 2.1.3 Ley de Gauss Magn´ etica

No se conoce una contraparte magn´etica de la carga el´ectrica, es decir, nunca se han encontrado de manera aislada polos magn´eticos, aunque se hayan observado ampliamente incluso en muestras del suelo lunar. A diferencia del ~ no diverge o converge hacia algucampo el´ectrico, la inducci´on magn´etica B na clase de carga magn´etica (una fuerza monopolar o una ca´ıda). Los campos de inducci´ on magn´etica se pueden describir en funci´on de distribuci´on de corrientes. Realmente, se puede considerar un magneto elemental como si fuera ~ son continuas y cerradas. una peque˜ na corriente circular donde las l´ıneas de B Cualquier superficie cerrada en una regi´on de campo magn´etico podr´ıa tener ~ entrando y saliendo de ´esta. Esta sientonces un n´ umero igual de l´ıneas de B tuaci´ on se produce por la ausencia de monopolos en el volumen cerrado. el flujo de inducci´ on magn´etica ΦB a trav´es de dicha superficie es cero; se tiene entonces el equivalente magn´etico de la ley de Gauss: { ~ =0 ~ · dS ΦB = B (2.9) A

......................................................................... 2.1.4 Ley Circuital de Ampere

Otra ecuaci´ on que ser´a de gran inter´es se debe a Andr´e Marie Amp`ere (1775~ tan1836). Se conoce como la ley circuital y relaciona una l´ınea integral de B gente a una curva cerrada C, con la corriente total i que pasa dentro de los confines de C: I x ~ =µ ~ = µi ~ · dI B J~ · dS (2.10) C

A

La superficie abierta A est´a limitada por C, y J es la corriente por unidad de ´ area. La cantidad µ se llama la permeabilidad del medio particular. Para el vac´ıo µ = µ0 (la permeabilidad del espacio libre), que se define como 4π × 10−7 N s2 C−2 .

Como en la ecuaci´ on (2.8): µ = Km µ0 28

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(2.11)

´ ´ 2.1. LEYES BASICAS DE LA TEOR´IA ELECTROMAGNETICA

donde Km es la permeabilidad relativa sin dimensiones. La ecuaci´ on (2.10), aunque a menudo es adecuada, no es la verdad completa. Las cargas m´ oviles no son la u ´nica fuente del campo magn´etico. Esto se evidencia por el hecho de que mientras se est´a cargando o descargando un con~ en la regi´on entre sus placas. Este campo densador, se puede medir un campo B es indistinguible del que rodea los alambres aun cuando ninguna corriente en realidad atraviesa el condensador. Obs´ervese, sin embargo, que si A es el ´area de cada placa y Q la carga en ella: E=

Q A

Cuando la carga var´ıa, el campo el´ectrico cambia y: 

∂E i = ∂t A

es efectivamente una densidad de corriente. James C. Maxwell supuso la existencia de tal mecanismo, al que llam´o densidad de corriente de desplazamiento, definida por: ~ ∂E J~D =  . ∂t

(2.12)

La reformulaci´ on de la ley de Ampere, como: I

~ =µ ~ · dI B

C

x A

~ ∂E J~ +  ∂t

! ~ · dS

(2.13)

fue una de las contribuciones m´ as grandes de Maxwell. Aclara que aun cuando ~ variable en el tiempo estar´a acompa˜ ~ J~ = 0, un campo E nado por un campo B. ......................................................................... 2.1.5 Ecuaciones de Maxwell

El conjunto de expresiones integrales dadas por las ecuaciones (2.5), (2.7), (2.9) y (2.13) han llegado a conocerse como las ecuaciones de Maxwell. Recu´erdese que estas son generalizaciones de resultados experimentales. Esta formulaci´on muy simple de las ecuaciones de Maxwell gobierna el comportamiento de los campos el´ectricos y magn´eticos en el espacio libre donde  = 0 , µ = µ0 y ambas ρ y J~ son cero. En este caso: I

~ =− ~ · dI E

C

I

(2.14)

A

~ = µ0 0 ~ · dI B

C

{

x ∂B ~ ~ · dS, ∂t x ∂E ~ ~ · dS, ∂t

(2.15)

A

~ = 0, ~ · dS B

(2.16)

~ = 0. ~ · dS E

(2.17)

A

{ A

Obs´ervese que excepto por un escalar multiplicativo, los campos el´ectricos y magn´eticos aparecen en las ecuaciones con una simetr´ıa notable. Sin embargo Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

29

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

~ afecta a B, ~ B ~ a su vez afectar´a a E. ~ La simetr´ıa matem´atica supone una si E gran simetr´ıa f´ısica. Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma diferencial la que ser´a bastante m´ as u ´til para deducir los aspectos ondulatorios del campo electromagn´etico. Esta transici´ on se puede lograr f´acilmente haciendo uso de dos teoremas del c´ alculo vectorial, a saber, el teorema de la divergencia de Gauss: { y F~ · dS = ∇ · F~ dV A

V

y el teorema de Stokes: I C

~ = F~ · dI

x

~ ∇ × F~ · dS

A

Aqu´ı la cantidad F~ no es un vector fijo, sino una funci´on que depende de las variables de posici´ on. Es una regla que asocia a un vector u ´nico, por ejemplo en coordenadas cartesianas, F~ (x, y, z) con cada punto (x, y, z) en el espacio. Las ~ yB ~ se conocen como funciones vectoriales valuadas de este tipo, tales como E campos vectoriales. Aplicando el teorema de Stokes a la intensidad de campo el´ectrico se tiene: I x ~ = ~ ~ · dI ~ · dS E ∇×E Al comparar esto con la ecuaci´on (2.5) se deduce que: x

~ =− ~ · dS ∇×E

x ∂E ~ ~ · dS ∂t

Este resultado debe ser cierto para todas las superficies limitadas por la trayectoria C. Esto puede ser el caso solamente si los integrandos son iguales, es decir, si: ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t ~ Una aplicaci´ on similar a B del teorema de Stokes, usando la ecuaci´on (2.13) da como resultado: ! ~ ∂E ~ ~ ∇×E =µ J + . ∂t El teorema de la divergencia de Gauss aplicado a la intensidad del campo el´ectrico da: { y ~ = ~ · dS ~ E ∇ · EdV. Si se hace uso de la ecuaci´on (2.7) esto queda: y 1y ~ ∇ · EdV = ρdV,  V

V

y como esto es cierto para cualquier volumen (es decir, para un dominio cerrado arbitrario) los dos integrandos deben ser iguales. Por consiguiente, en cualquier punto (x, y, z, t) en el espacio-tiempo. ~ = ρ/ ∇·E 30

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ 2.2. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

En la misma forma, el teorema de la divergencia de Gauss aplicado al campo B y combinado con la ecuaci´ on (2.9) da: ~ =0 ∇·B Las ecuaciones correspondientes para el espacio libre, en coordenadas cartesianas, son como sigue: ∂Ey ∂Bx ∂Ez − =− , ∂y ∂z ∂t ∂Ez ∂By ∂Ex − =− , ∂z ∂x ∂t ∂Ex ∂Bz ∂Ey − =− , ∂x ∂y ∂t

(2.18)

∂Ez ∂Ey ∂Bx − = µ0 0 , ∂y ∂z ∂t ∂Ex ∂Ez ∂By − = µ0 0 , ∂z ∂x ∂t ∂Ex ∂Bz ∂Ey − = µ0 0 , ∂x ∂y ∂t

(2.19)

~x ~y ~z ∂B ∂B ∂B + + = 0, ∂x ∂y ∂z ~y ~z ~x ∂E ∂E ∂E + + = 0. ∂x ∂y ∂z

(2.20) (2.21)

La transici´ on se ha hecho entonces de la formulaci´on de las ecuaciones de Maxwell en t´erminos de integrales sobre regiones finitas, a una reformulaci´on en t´erminos de las derivadas en puntos en el espacio. Ahora se tiene todo lo que se necesita para comprender el proceso magn´ıfico por el cual los campos el´ectricos y magn´eticos acoplados de modo no separado, y sosteni´endose mutuamente, se propagan hacia el espacio como una entidad simple, libre de cargas y corrientes, sin materia, sin ´eter. ´ 2.2 SECCION

Ondas Electromagn´ eticas Tres observaciones, a partir de las cuales se puede construir un modelo cualitativo, son f´ acilmente aprovechables y estas son la perpendicularidad general de los campos, la simetr´ıa de las ecuaciones de Maxwell, y de la interdependencia ~ yB ~ en esas ecuaciones. de E Al estudiar la electricidad y el magnetismo uno pronto se entera del hecho de que hay un n´ umero de relaciones que se describen por productos vectoriales, o si lo desea, por reglas de la mano derecha. En otras palabras, un suceso de un tipo produce una respuesta af´ın perpendicularmente dirigida. De inter´es inmediato ~ variable en el tiempo, genera un campo B ~ es el hecho de que un campo E, ~ que es en todas partes perpendicular a la direcci´on en la que E cambia. En la Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

31

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

~ variable con el tiempo genera un campo E ~ que es misma forma, un campo B ~ cambia. Se podr´ıa, por perpendicular en todas partes a la direcci´on en la que B ~ yB ~ en una lo tanto, anticipar la naturaleza transversal general de los campos E perturbaci´ on electromagn´etica. Ahora, se considerar´a una carga que de alguna manera se acelera desde el reposo. Cuando la carga est´a sin movimiento, tiene asociada a ella un campo el´ectrico uniforme radial que se extiende hasta el infinito. En el instante en que ~ se acelera en la vecindad de la carga la carga comienza a moverse, el campo E y esta alteraci´ on se propaga hacia el espacio con velocidad finita. El campo el´ectrico variable con el tiempo induce un campo magn´etico por medio de la ~ ecuaci´ on (2.15) o (2.19). Pero la carga est´a aceler´andose, ∂ E/∂t en s´ı misma no ~ variable con el tiempo genera un campo E, ~ (2.14) es constante y as´ı el campo B ~ ~ o (2.18), y el proceso contin´ ua con E y B acoplados uno a otro en la forma de un pulso. A medida que un campo cambia, genera un nuevo campo que se extiende un poco m´ as all´a, y as´ı el punto se mueve de un punto al siguiente a trav´es del espacio. Se puede trazar una analog´ıa muy mecanicista, pero muy descriptiva, si se imaginan las l´ıneas del campo el´ectrico como una densa distribuci´on radial de cuerdas. cuando de alguna manera se sacude, cada cuerda individual se distorsiona para formar un pliegue que viaja alej´andose de la fuente. Todos se combinan en cualquier instante para producir un pulso tridimensional, expandi´endose. ~ y B ~ pueden, m´as apropiadamente, considerarse como dos Los campos E aspectos de un s´ olo fen´omeno f´ısico, el campo electromagn´etico, cuya fuente es una carga en movimiento. La perturbaci´on, una vez que ha sido generada en el campo electromagn´etico, es una onda sin atadura que se mueve m´as all´a de su fuente e independientemente de ella. Ligados uno a otro como una sola unidad, los campos magn´eticos y el´ectricos variables en el tiempo se regeneran uno a otro en un ciclo sin fin. Las ondas electromagn´eticas que llegan a la tierra del relativamente cercano centro de la galaxia han estado volando durante treinta mil a˜ nos. No se ha considerado a´ un la direcci´on de propagaci´on de la onda con respecto a los campos que la constituyen. Obs´ervese, sin embargo, que el alto grado de simetr´ıa en las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre sugiere que la ~ como perturbaci´ on se propagar´a en una direcci´on que es sim´etrica tanto a E ~ Eso implicar´ıa que una onda electromagn´etica no podr´ıa ser puramente a B. ~ yB ~ no son paralelos). longitudinal (ya que E Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre se pueden transformar en dos expresiones vectoriales extremadamente concisas: ~ = 0 µ0 ∇2 E

~ ∂2E ∂t2

y ~ ∂2B 2 ∂t ~ yB ~ de manera que las El Laplaciano ∇2 , opera sobre cada componente de E dos ecuaciones vectoriales en realidad representa un total de seis ecuaciones escalares. Dos de estas expresiones, en coordenadas cartesianas son: ~ = 0 µ0 ∇2 B

∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex + + = 0 µ0 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂t2 32

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(2.22)

´ 2.2. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

y ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey ∂ 2 Ex + + =  µ 0 0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t2

(2.23)

precisamente con la misma forma para Ez , Bx , By y Bz . Ecuaciones de este tipo, que relacionan las variaciones de espacio y tiempo de alguna cantidad f´ısica, se estudiaron hace ya mucho por Maxwell y sirvieron para describir el fen´omeno de onda. Cada componente del campo electromagn´etico (Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz ) obedece, por lo tanto, a la ecuaci´ on diferencial escalar de onda: 1 ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + = 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z v ∂t a condici´ on que: v=√

1 . 0 µ0

(2.24)

A fin de evaluar v Maxwell hizo uso de los resultados de los experimentos el´ectricos efectuados en 1856 en Leipzig por Wilhelm Weber (1804-1891) y Rudolph Kohlrausch (1809-1858). De modo eqivalente, ya que a µ0 se le asigno un valor de 4π × 10−17 m kg/C2 (en MKS) uno puede determinar 0 directamente de medidas simples de capacidad. En cualquier caso: 0 µ0 ≈ (8,85 × 10−12 s2 C2 /m3 kg)(4π × 10−17 m kg/C2 ) o 0 µ0 ≈ 11,12 × 10−18 s2 /m2 . Y ahora, el momento de la verdad: en el espacio libre, la velocidad predicha de todas las ondas el´ectromagn´eticas ser´ıa: v=√

1 ≈ 3 × 108 m/s. 0 µ0

Este valor te´ orico estaba en notable acuerdo con la velocidad previamente medida de la luz (315300 km/s) determinada por Fizeau. Los resultados de los experimentos de Fizeau, desarrollados en 1849 usando una rueda dentada rotatoria, estaban en manos de Maxwell y le hicieron comentar que: Esta velocidad [es decir, su predicci´ on te´ orica] est´ a tan cerca de la luz que parece que tenemos una fuerte raz´ on para concluir que la luz en s´ı misma (incluyendo calor radiante, y otras radiaciones si las hay) es una perturbaci´ on electromagn´ etica en la forma de ondas propagadas a trav´ es del campo electromagn´ etico de acuerdo con las leyes electromagn´ eticas.

Este brillante an´ alisis fue uno de los grandes triunfos intelectuales de todos los tiempos. Se ha hecho costumbre designar la velocidad de la luz en el vac´ıo por el s´ımobolo c, cuyo valor por ahora aceptado es: c = 2,997924562 × 108 m/s ± 1,1m/s El car´ acter transversal de la luz, verificado experimentalmente, se debe ahora explicar dentro del contexto de la teor´ıa electromagn´etica. Con ese fin, se considerar´a el caso bastante simple de una onda plana propag´andose en la direcci´on Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

positiva de x. La intensidad de campo el´ectrico es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial 2~ ~ = 0 µ0 ∂ E ∇2 E ∂t2 ~ es constante sobre cada uno de un conjunto infinito de planos perpendonde E diculares al eje x. Es, por consiguiente, una funci´on solamente de x y t, es decir ~ = E(x, ~ E t). Volvi´endo a las ecuaciones de Maxwell y en particular a la ecuaci´on ~ es igual a cero). (2.21) (la cual generalmente se lee como la divergencia de E ~ Ya que E no es una funci´on ni de y ni de z, la ecuaci´on se reduce a: ∂Ex =0 ∂x

(2.25)

La componente del campo el´ectrico en la direcci´on de x, es decir, en la direcci´ on de propagaci´ on, es constante. Esto no es de importancia, ya que interesa solamente la onda electromagn´etica, y no ning´ un campo no variable que puede ~ asociado con la onda plana residir en la misma regi´on del espacio. El campo E, es entonces exlusivamente transversal. Sin p´erdida de generalidad, se trabajar´a con ondas linealmente polarizadas u ondas planas, donde la direcci´on de vibra~ es fija. Se puede entonces orientar los ejes coordenados de tal ci´ on del vector E forma que el campo el´ectrico sea paralelo al eje y, donde: ~ = Ey (x, t)~j E

(2.26)

Volvi´endo a la ecuaci´ on (2.18), se deduce que: ∂Bz ∂Ey = ∂x ∂t

(2.27)

y que Bx y By son constantes, y por consiguiente sin inter´es por el momento. El ~ dependiente del tiempo solamente puede tener una componente en la campo B direcci´ on de z. Es claro entonces que en el espacio libre, la onda electromagn´etica plana es, en efecto, transversal. No se ha especificado la forma de la perturbaci´on y solamente se ha dicho que era una onda plana. Las conclusiones son por consiguiente muy generales, aplic´ andose igualmente bien a pulso como a ondas continuas. Ya se ha dicho que las funciones arm´ onicas son de particular inter´es porque cualquier forma de onda se puede expresar en t´erminos de ondas senoidales usando las t´ecnicas de Fourier. Por consiguiente, se limitar´a la discusi´on a ondas arm´onicas y se escribir´ a Ey (x, t) como: Ey (x, t) = E0y cos[ω(t − x/c) + ε],

(2.28)

siendo c la rapidez de propagaci´on. La densidad de flujo magn´etico asociado se puede encontrar por integraci´on directa de la ecuaci´on (2.27), o sea: Z ∂Ey dt. Bz = − ∂x 34

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ 2.3. ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES

Usando la ecuaci´ on (2.28) se obtiene: Z E0y ω Bz = − sin[ω(t − x/c) + ε]dt c o Bz =

1 E0y cos[ω(t − x/c) + ε] c

(2.29)

Se ha omitido la constante de integraci´on, que representa un campo independiente del tiempo. Comparando este resultado con la ecuaci´on (2.28), es evidente que: Ey = cBz .

(2.30)

Ya que Ey y Bz difieren solamente por un escalar, tienen as´ı la misma dependen~ yB ~ est´ cia del tiempo, E an en fase en todos los puntos en el espacio. Adem´as, ~ ~ ~ E = Ey (x, t)j y BBz (x, t)~k son mutuamente perpendiculares y su producto ~ × B, ~ apunta en la direcci´on de propagaci´on ~i. vectorial E Las ondas planas, aunque tienen mucha importancia, no son las u ´nicas soluciones de las ecuaciones de Maxwell. La ecuaci´on diferencial de onda permite muchas soluciones, entre las cuales est´an las ondas esf´ericas y cil´ındricas. ´ 2.3 SECCION

Ondas Electromagn´ eticas en Medios No Conductores La respuesta de los materiales diel´ectricos o no conductores a los campos electromagn´eticos es de especial inter´es en la ´optica. Se manejar´an diel´ectricos transparentes en la forma de lentes, prismas, l´aminas, pel´ıculas, etc. Sin mencionar el oc´eano de aire que las rodea. El efecto neto de introducir un diel´ectrico isotr´opico homog´eneo en una regi´on del espacio libre es cambiar 0 a  y µ0 a µ en las ecuaciones de Maxwell. La velocidad de fase en el medio se hace ahora: 1 v=√ . µ

(2.31)

La raz´ on entre las velocidades de una onda electromagn´etica en el vac´ıo y en la materia se conoce como ´ındice de refracci´ on absoluto n y est´a dado por: c n= = v

r

µ . 0 µ0

(2.32)

En t´erminos de la permitividad relativa y la permeabilidad relativa del medio, n queda: n=

p

Ke K m .

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(2.33) 35

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

La gran mayor´ıa de las substancias, con la excepci´on de los materiales ferromagn´eticos, son s´ olo muy d´ebilmente magn´eticas; ninguna es realmente no magn´etica. A´ un as´ı, Km generalmente no se desv´ıa de uno en m´as de unas pocas partes en 104 (por ejemplo para el diamante Km = 1−2,2×10−5 ). Poniendo Km = 1 en la f´ ormula para n resulta una expresi´on conocida como la relaci´ on de Maxwell, o sea: p n = Ke , (2.34) aqu´ı se supone que Ke es la constante diel´ectrica est´ atica. Como se indica Gases a 0o C y 1√atm Substancia Ke n Aire 1.000294 1.000293 Helio 1.000034 1.000036 Hidr´ ogeno 1.000131 1.000132 Di´ oxido de carbono 1.00049 1.00045 L´ıquidos a 20o√C Substancia Ke n Benceno 1.51 1.501 Agua 8.96 1.333 Alcohol et´ılico (etanol 5.08 1.361 Tetracloruro de carbono 4.63 1.461 Bisulfuro de carbono 5.04 1.628 S´ olidos a temperatura√ambiente Substancia Ke n Diamante 4.06 2.419 Ambar 1.6 1.55 S´ılice fundida 1.94 1.458 Cloruro de sodio 2.37 1.50

Cuadro 2.1: Relaci´on de Maxwell. Los valores de Ke corresponden a las frecuencias m´ as bajas posibles, en algunos casos tan bajas como 60 Hz, mientras que n est´ a medida a alrededor de 0,5 × 1015 Hz. Se us´ o luz D del sodio (λ = 589,29 nm).

en la tabla 2.1, esta relaci´on parece ser efectiva solamente para algunos gases simples. La dificultad aparece porque Ke , y por consiguiente n, son en realidad dependientes de la frecuencia. La dependencia de n con la longitud de onda (o color) de la luz es un efecto muy conocido llamado dispersi´ on. En efecto, Sir Isaac Newton us´ o prismas para dispersar la luz blanca en sus colores constitutivos hace m´ as de 300 a˜ nos y el fen´omeno era bien conocido aunque no se entendiera entonces. Hay dos preguntas interrelacionadas que vienen a la mente en este punto: (1) ¿Cu´ al es la base f´ısica para la dependencia de n con la frecuencia? y (2) ¿Cu´ al es el mecanismo por el cual la velocidad de fase en un medio se hace efectivamente diferente de c? Las respuestas para ambas preguntas se pueden encontrar examinando la interacci´on de una onda electromagn´etica incidente con el arreglo de ´ atomos que constituyen un material diel´ectrico. ......................................................................... 2.3.1 Dispersi´ on

Cuando un diel´ectrico se somete a un campo el´ectrico aplicado, la distribuci´ on interna de carga se distorsiona bajo su influencia. Esto corrresponde a la generaci´ on de momentos el´ectricos dipolares, los cuales, a su vez, contribuyen al campo interno total. De una manera m´as clara, el campo el´ectrico separa las 36

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´ 2.3. ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES

cargas positivas y negativas en el medio (cada par de los cuales es un dipolo) y ´estas entonces contribuyen una componente de campo adicional. El momento dipolar resultante por unidad de volumen se denomina la polarizaci´ on el´ectrica ~ son proporcionales y se pueden P~ . Para la mayor parte de los materiales P~ y E relacionar satisfactoriamente por: ~ = P~ . ( − 0 )E

(2.35)

La redistribuci´ on de carga y la consecuente polarizaci´on pueden ocurrir por medio de los siguientes mecanismos. Hay mol´eculas que tienen un momento dipolar permanente como resultado de compartir en forma desigual sus electrones de valencia. Estas se conocen como mol´eculas polares, de las cuales la mol´ecula no lineal de agua es un ejemplo bastante t´ıpico. Cada enlace hidr´ogeno-ox´ıgeno es covalente polar, con el extremo H positivo con respecto al extremo O. La agitaci´ on t´ermica mantiene los dipolos moleculares orientados al azar. Con la introducci´ on de un campo el´ectrico, los dipolos se alinean a s´ı mismos y el diel´ectrico toma una polarizaci´ on orientacional. En el caso de mol´eculas y ´ atomos no polares, el campo aplicado distorsiona la nube de electrones, desplaz´andola relativamente al n´ ucleo y produciendo por consiguiente un momento dipolar. Adem´ as de esta polarizaci´ on electr´ onica, hay otro proceso que es espec´ıficamente aplicable a mol´eculas, como por ejemplo el cristal i´onico NaCL. En la presencia de un campo el´ectrico, los iones positivos y negativos sufren un desplazamiento uno respecto al otro. Por consiguiente se inducen momentos dipolares, resultando en lo que se llama polarizaci´ on i´ onica o at´ omica. Si el diel´ectrico se somete a una onda electromagn´etica arm´onica incidente, la estructura de las cargas el´ectricas internas experimentar´a fuerzas y/o torques variables con el tiempo. Estas ser´an proporcionales a la componente del campo el´ectrico de la onda. 1 Para diel´ectricos polares las mol´eculas en rea~ lidad sufren rotaciones r´ apidas, aline´andose ellas mismas con el campo E(t). Pero estas mol´eculas son relativamente grandes y tienen momentos de inercia apreciables. A altas frecuencias impulsoras ω, las mol´eculas polares ser´an incapaces de seguir las alteraciones del campo. Sus contribuciones a P~ disminuir´an y Ke caer´ a marcadamente. la permitividad relativa del agua es muy constante desde aproximadamente 80, hasta cerca de 1010 Hz, despu´es de lo cual cae muy r´apidamente. En contraste, los electrones tienen poca inercia y pueden continuar siguiendo el campo que contribuye a Ke (ω) a´ un a frecuencias ´opticas (de alrededor de 5 × 1014 Hz). Entonces la dependencia de n en ω est´a gobernada por el juego interno de los varios mecanismos de polarizaci´on que contribuyen a la frecuencia particular. Es posible deducir una expresi´ on anal´ıtica para n(ω) en funci´on de lo que pasa dentro del medio a nivel at´ omico. Aun cuando esto es en realidad el dominio de la mec´ anica cu´ antica, el tratamiento cl´asico lleva a resultados muy similares y al hacerlo as´ı se provee de un modelo conceptual sumamente u ´til. En efecto ese modelo ser´ a usado una y otra vez mientras se examine la reflexi´on, refracci´on, difracci´ on y muchos otros fen´ omenos. Imag´ınese que los electrones exteriores o de valencia est´ an ligados a sus ´ atomos o mol´eculas respectivas por una fuerza 1 Las fuerzas que surgen de la componente magn´ ~M = etica del campo tienen la forma F ~ en comparaci´ ~E = q E ~ para la componente el´ q~v × B on con F ectrica; pero v  c y as´ı se deduce ~M es generalmente despreciable. de la ecuaci´ on (2.30) que F

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´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

el´ astica restauradora (−me ω02 x) que es proporcional al desplazamiento x de los electrones del punto de equilibrio. El ´atomo entonces se parece a un oscilador ~ forzado cl´asico que est´ a siendo impulsado por el campo alterno E(t) el cual se supone que se aplica a lo largo de la direcci´on x. La fuerza (FE ) ejercida sobre un electr´ on de carga qe por el campo E(t) de una onda arm´onica de frecuencia ω es de la forma: FE = qe E(t) = qe E0 cos ωt. Consecuentemente, la segunda ley de Newton da la ecuaci´on del movimiento, es decir, la suma de las fuerzas es igual a la masa multiplicada por la aceleraci´on: qe E0 cos ωt − me ω02 x = me

d2 x dt2

La constante ω0 es la frecuencia natural del oscilador y es igual a la ra´ız cuadrada de la raz´ on entre la constante el´astica y la masa. Es la frecuencia oscilatoria del sistema no impulsado. Para satisfacer esta expresi´on x tendr´a que ser una funci´ on cuya segunda derivada no sea muy diferente de x misma. Adem´as se puede anticipar que el electr´on oscilar´a con la misma frecuencia que E(t) y as´ı se pude “conjeturar” la soluci´on: x(t) = x0 cos ωt y sustituirla en la ecuaci´on para evaluar la amplitud de x0 . En esta forma se encuentra que: qe /me x(t) = 2 E0 cos ωt (ω0 − ω 2 ) o qe /me E(t). x(t) = 2 (ω0 − ω 2 ) Sin una fuerza impulsora (sin onda incidente) el electr´on oscilante vibrar´a con su frecuencia de resonancia o natural ω0 , E(t) y x(t) tienen el mismo signo, lo que significa que la carga puede seguir la fuerza aplicada, es decir, que est´a en fase con ella. Sin embargo, cuando ω > ω0 , el desplazamiento x(t) est´a en la direcci´ on opuesta a la de la fuerza instant´ anea qe E(t) y por consiguiente 180o fuera de fase con ella. Hay que recordar que se est´a hablando acerca de dipolos oscilantes donde para ω0 > ω el movimiento relativo de la carga positiva es una vibraci´ on en la direcci´on del campo. Por encima de la resonancia la carga positiva est´ a a 180o fuera de fase con el campo y se dice que el dipolo est´a retrasado π rad. El momento dipolar es igual a la carga qe multiplicada por su desplazamiento y si hay N electrones contribuyendo por unidad de volumen, la polarizaci´on el´ectrica, o densidad de momentos dipolares, es: P = qe xN Por consiguiente: P =

qe2 N E/me (ω02 − ω 2 )

y de la ecuaci´ on (2.35)  = 0 + 38

P (t) q 2 N E/me = 0 + e 2 . E(t) (ω0 − ω 2 ) Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ 2.3. ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES

Usando el hecho de que n2 = Ke = /0 se puede llegar a una expresi´on para n como funci´ on de ω que se conoce como ecuaci´ on de dispersi´ on: N qe2 n (ω) = 1 + 0 me 2



1 ω02 − ω 2

 .

Hasta ahora se ha supuesto la existencia de s´olo una frecuencia natural ω0 . Para explicar la observaci´ on de un comportamiento m´as complicado, se generalizar´an las cosas suponiendo que hay N mol´eculas por unidad de volumen cada una con fj osciladores que tienen frecuencias naturales ω0j donde j = 1, 2, 3... En este caso: ! fj N qe2 X 2 (2.36) n (ω) = 1 + 2 − ω2 0 me j ω0j Este es esencialmente el mismo resultado que aparece en el tratamiento cu´antico, con la excepci´ on de que algunos de los t´erminos deber ser reinterpretados. En efecto, las cantidades ω0j ser´ıan entonces las frecuencias caracter´ısticas a las cuales un ´ atomo puede abosorberPo emitir energ´ıa radiante. Los t´erminos fj que satisfacen el requisito de que j fj = 1, son los factores de peso conocidos como la intensidad de los osciladores. Ellos reflejan el ´enfasis que se debe dar a cada uno de los modos. Siendo una medida de la probabilidad de ocurrencia de una transici´ on at´ omica dada, las fj se conocen tambi´en como probabilidades de transici´ on. Una reinterpretaci´ on similar de los t´erminos fj se requiere a´ un cl´asicamente ya que de acuerdo con los datos experimentales se exige que sean menores que la unidad. Esto es obviamente contrario a la definici´on de fj que llev´o a la ecuaci´on (2.36). Se supone entonces que una mol´ecula tiene muchos modos de oscilaci´on pero que cada uno de ellos tiene una frecuencia e intensidad bien definidas. Obs´ervese que cuando ω es igual a cualquiera de las frecuencias caracter´ısticas, n es discontinua, contrariamente a la observaci´on real. Esto es simplemente el resultado de haber despreciado el t´ermino de amortiguamiento que deber´ıa de haber aparecido en el denominador de la suma. Incidentalmente, el amortiguamiento, en parte, es atribuible a la p´erdida de energ´ıa cuando los osciladores forzados (los cuales son, por supuesto, cargas aceleradas) reirradian energ´ıa electromagn´etica. En s´ olidos, l´ıquidos y gases a alta presi´on (≈ 103 atm), las distancias interat´ omicas son aproximadamente 10 veces menores que las de un ´ gas a TPN. 2 Atomos y mol´eculas en esta proximidad relativamente cercana experimentan fuertes interacciones mutuas y resulta una fuerza “friccional”. El efecto es un amortiguamiento de los osciladores y una disipaci´on de su energ´ıa dentro de la substancia en la forma de calor (movimiento molecular). Este u ´ltimo proceso se llama absorci´ on. Si se hubiese incluido un fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad (de la forma γdx/dt) en la ecuaci´on de movimiento, la ecuaci´on de dispersi´on (2.36) hubiese quedado: n2 (ω) = 1 +

2 TPN:

N qe2 X fj 2 − ω 2 + iγ ω . 0 me j ω0j j

(2.37)

Temperatura y presi´ on normal = STP Standard Temperature and Pressure.

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

39

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

Mientras que esta expresi´on est´a bien para medios enrarecidos tales como gases, hay a´ un otra complicaci´on con la que se debe encontrar si se ha de aplicar a substancias densas. Cada ´atomo interacciona con el campo el´ectrico local en el que est´ a sumergido. A diferencia de los ´atomos aislados considerados antes, los que est´ an en un material denso experimentan tambi´en el campo inducido por sus compa˜ neros. Consecuentemente un ´atomo “ve” adem´as del campo aplicado E(t) otro campo, a saber P (t)/30 . Sin entrar en detalles aqu´ı se puede demostar que: n2 − 1 N qe2 X fj = 2 − ω 2 + iγ ω . 2 n +2 30 me j ω0j j

(2.38)

Hasta ahora se ha estado considerando osciladores electr´onicos exclusivamente, pero los mismos resultados hubiesen sido aplicables para iones ligados a sitios at´ omicos fijos. En ese caso me ser´ıa reemplazado por las masas i´onicas considerablemente mayores. Entonces, mientras la polarizaci´on electr´onica es importante sobre el espectro ´ optico completo, las contribuciones de la polarizaci´on i´onica afectan n significativamente s´olo en regiones de resonancia (ω0j = ω). Por el momento se limita la discusi´on, en su mayor parte, a situaciones donde 2 la absorci´ on es despreciable (es decir, ω0j − ω 2  γj ω) y n es real, tal que: n2 − 1 N qe2 X fj = 2 − ω2 . n2 + 2 30 me j ω0j

(2.39)

Los gases transparentes, l´ıquidos y s´olidos sin color tienen sus frecuencias caracter´ısticas fuera de la regi´on visible del espectro (lo cual es la raz´on por la que ellos, en efecto, sean incoloros y transparentes). En particular, los vidrios tiene frecuencias naturales efectivas mayores a las del visible, en el ultravioleta, 2 donde se hacen opacos. En los casos en los cuales ω0j  ω 2 por comparaci´on ω 2 puede ser despreciada en la ecuaci´on (2.39) dando un ´ındice de refracci´on esencialmente constante sobre esa regi´on. Por ejemplo, las frecuencias caracter´ısticas importantes para los vidrios ocurren en longitudes de onda de alrededor de 100 nm. El centro del rango visible es aproximadamente cinco veces aquello y, de 2 2 ah´ı, ω0j  ω 2 . Obs´ervese que cuando ω aumenta hacia ω0j , (ω0j −ω 2 ) disminuye y n aumenta gradualmente con la frecuencia. Esto se llama dispersi´ on normal. En la regi´ on ultravioleta, cuando ω se aproxima a una frecuencia natural, los osciladores comenzar´ an a resonar. Sus amplitudes aumentar´an marcadamente y esto ser´ a acompa˜ nado por amortiguamiento y una fuerte absorci´on de energ´ıa de la onda incidente. Cuando ω0j = ω en la ecuaci´on (2.38) el t´ermino de amortiguamiento obviamente se hace dominante. Las regiones cercanas a ω0j son llamadas bandas de absorci´ on. Ah´ı dn/dω es negativa y se dice que el proceso es dispersi´ on an´ omala (es decir, anormal). Si pasa luz blanca a trav´es de un prisma de vidrio, el az´ ul que la constituye dendr´ıa un ´ındice mayor que el rojo y por consiguiente ser´ a desviado en un ´angulo mayor. En contraste, si se usa un prisma celda que contiene una soluci´on colorante con una banda de absorci´on en el visible, el espectro ser´a marcadamente alterado. Todas las substancias poseen bandas de absorci´ on en alguna regi´on del espectro electromagn´etico de frecuencia de manera que el t´ermino dispersi´ on an´ omala, habiendo sido acarreado desde finales del siglo XIX, es ciertamente un nombre mal puesto. 40

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ 2.3. ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES

Como se ha visto, los ´ atomos dentro de una mol´ecula tambi´en pueden vibrar alrededor de sus posiciones de equilibrio. Pero los n´ ucleos son masivos y as´ı las frecuencias oscilatorias naturales ser´an bajas, en el infrarrojo. Mol´eculas como H2 O y CO2 tendr´ an resonancia tanto en el infrarrojo como en el ultravioleta. Si el agua fuese atrapada dentro de una pieza de vidrio durante su fabricaci´on, estos osciladores moleculares estar´ıan a disposici´on y existir´ıa una banda de absorci´on infrarroja. La presencia de ´ oxidos tambi´en resultar´a en una absorcion infrarroja. A las frecuencias a´ un m´as bajas de las ondas de radio, el vidrio ser´a de nuevo transparente. En comparaci´on, una pieza de vidrio coloreado evidentemente tiene una resonancia en el visible donde absorbe un rango particular de frecuencia transmitiendo el color complementario. Como punto final, obs´ervese que se la frecuencia impulsora es mayor que cualquiera de los t´erminos ω0j , entonces n2 < 1 y n < 1. Tal situaci´on puede ocurrir por ejemplo si se dirigen rayos X a una placa de vidrio. Este es un resultado intrigante ya que lleva a v > c en aparente contradicci´on con la relatividad especial. Haciendo un resumen parcial entonces, en la regi´on visible del espectro, la polarizaci´ on electr´ onica es el mecanismo operativo que determina n(ω). Cl´asicamente se imagina a los osciladores electr´onicos vibrando a la frecuencia de la onda incidente. Cuando la frecuencia de la onda es apreciablemente diferente de una frecuencia caracter´ıstica o natural, las oscilaciones son peque˜ nas y hay poca absorci´ on. En resonancia, sin embargo, las amplitudes del oscilador aumentan y el campo hace una cantidad mayor de trabajo sobre la carga. La energ´ıa electromagn´etica removida de la onda y convertida en energ´ıa mec´anica se disipa entonces t´ermicamente dentro de la substancia y se habla de un pico o banda de absorci´ on. El material, aunque es esencialmente transparente a otras frecuencias, es muy opaco a la radiaci´ on incidente en sus frecuencias caracter´ısticas. ......................................................................... 2.3.2 Propagaci´ on de la Luz a trav´ es de un Medio Diel´ ectrico

El proceso mediante el cual la luz se propaga a trav´es de un medio con una velocidad diferente de c es bastante complicado y esta secci´on est´a dedicada a hacerlo al menos f´ısicamente razonable, dentro del contexto del modelo de osciladores simples. Consid´erese una onda electromagn´etica incidente o primaria (en el vac´ıo) incidiendo sobre un dielectrico. Como se ha visto, ella polarizar´a el medio y llevar´a a los osciladores electr´ onicos a vibraci´on forzada. Ellas a su vez, reirradiar´an o esparcir´ an energ´ıa en la forma de peque˜ nas ondas electromagn´eticas de la misma frecuencia de la onda incidente. En una substancia cuyos ´atomos o mol´eculas est´an dispuestos con alg´ un grado de regularidad, estas ondas tender´an a interferirse mutuamente. Esto es, se superpondr´an en ciertas regiones donde ellas se reforzar´ an o reducir´ an unas a otras en grados variables. Como ejemplo exam´ınese la configuraci´ on muy simplificada de una onda refractada en un arreglo ordenado de ´ atomos. Ah´ı una onda plana incidente en dicho arreglo se esparce en un patr´ on complicado de peque˜ nas ondas. Estas a su vez se superponen para formar frentes de ondas planas a los que se denomina onda secundaria. Por razones emp´ıricas, solamente, se puede anticipar que la onda primaria residual y la onda secundaria se combinar´ an para dar la u ´nica perturbaci´on observada dentro del medio, es decir la onda refractada. Tanto la onda electromagn´etica primaria como la secundaria se propagan a trav´es de los espacios interat´ omicos con la velocidad c. Y a´ un as´ı el medio ciertamente puede poseer un ´ındice de refracci´on diferente de uno. Puede suceder Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

41

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

que la onda refractada tenga una velocidad de fase menor, igual, o a´ un mayor que c. La clave de esta aparente contradicci´on reside en la relaci´on de fase entre las ondas secundaria y primaria. El modelo cl´ asico predice que los osciladores electr´onicos ser´an capaces de vibrar casi completamente en fase con la fuerza impulsora, es decir la perturbaci´on primaria, solamente a frecuencias relativamente bajas. Cuando la frecuencia del campo electromagn´etico aumenta, los osciladores se retrasar´an, su fase estar´a retrasada por una cantidad proporcionalmente grande. Un an´alisis detallado lleva al hecho de que en resonancia el retraso de la fase llegar´a a 90o , aumentando despu´es a casi 180o , o media longitud de onda, a frecuencias muy superiores al valor caracter´ıstico particular. Adem´ as de estos retrasos hay otro efecto que debe ser considerado. Cuando las ondas esparcidas se recombinan, la onda secundaria resultante est´a retrasada ella misma con respecto a los osciladores en 90o . El efecto combinado de ambos de estos mecanismos es que a frecuencias inferiores a la de la resonancia, la onda secundaria est´a retrasada con respecto a la primaria en una cantidad entre 90o y 180o aproximadamente, mientras que a frecuencias superiores a la de la resonancia el retraso est´a entre 180o y 270o . Pero un retraso de fase de δ >180o es equivalente a un retraso de 360o −δ [ejemplo, cos(θ − 270o ) = cos(θ + 90o )]. Para recapitular, debajo de la resonancia la onda secundaria va atr´as de la primaria; arriba de la resonancia va delante de la primaria. La onda resultante o refractada acordemente estar´a adelante o detr´as de la onda incidente (espacio libre) en una cierta cantidad ε. El proceso es progresivo y a medida que la luz atraviesa el medio la fase es continuamente retardada o avanzada. Ahora se desea mostrar que esto es precisamente equivalente a un cambio en la velocidad de fase. En el espacio libre la perturbaci´ on en alg´ un punto P se puede escribir como: Ep (t) = E0 cos ωt Si P est´ a rodeada por un diel´ectrico, habr´a un desplazamiento acumulativo de la fase εP el cual fue formado mientras la onda se mov´ıa a trav´es del medio hacia P . El n´ umero de crestas de onda que llegan al diel´ectrico por segundo debe ser el mismo que el n´ umero por segundo que se propaga en ´el. Esto es, la frecuencia debe ser la misma en el vac´ıo que en el diel´ectrico, aun cuando la longitud de onda y la rapidez pueden ser diferentes. Una vez m´as, pero esta vez en el medio, la perturbaci´ on en P es: EP (t) = E0 cos(ωt − εP ) Un observador en P tendr´ıa que esperar un tiempo mayor para que una cresta dada llegue cuando ´el est´a en el medio que lo hubiera tenido que esperar en el vac´ıo. En otras palabras, si se imaginan dos ondas paralelas de la misma frecuencia, una en el vac´ıo y una en un medio material, la onda en el vac´ıo pasar´ a P un tiempo εP /ω antes que la otra onda. Entonces es claro que un retraso de fase de εP corresponde a una reducci´on en la rapidez, v < c y n > 1. Similarmente, un adelanto de fase produce un aumento en la rapidez, v > c y n < 1. El proceso de esparcimiento es continuo y as´ı los desplazamientos acumulativos de fase se van sumando conforme la luz penetra en el medio. Es decir, ε es una funci´ on de la longitud del diel´ectrico atravesado; como debe ser si v es constante. 42

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ 2.4. ENERG´IA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Una soluci´ on rigurosa del problema de la propagaci´on se conoce como el teorema de extinci´ on de Ewald-Ossen. Aunque el formulismo matem´atico, que involucra ecuaciones integrodiferenciales, es demasiado complicado para tratarlo aqu´ı, los resultados son ciertamente de inter´es. Se encuentra que los osciladores electr´onicos generan una onda electromagn´etica que tiene esencialmente dos t´erminos. Uno de estos anula exactamente la onda primaria dentro del medio. El otro, que es la u ´nica perturbaci´ on que permanece, se propaga a trav´es del diel´ectrico con una velocidad v = c/n como la onda refractada. ´ 2.4 SECCION

Energ´ıa de las Ondas Electromagn´ eticas ......................................................................... 2.4.1 Irradiancia

Una de las propiedades m´ as significativas de la onda electromagn´etica es que transporta energ´ıa. La luz de la estrella m´as cercana viaja a 25 millones de millones de millas para llegar a la Tierra y a´ un as´ı lleva suficiente energ´ıa para hacer trabajo en los electrones dentro del ojo. Cualquier campo electromagn´etico existe dentro de alguna regi´ on del espacio y es por consiguiente muy natural considerar la energ´ıa radiante por unidad de volumen, es decir la densidad de energ´ıa u. Para un campo el´ectrico solo, se puede calcular la densidad de energ´ıa (por ejemplo entre las placas de un condensador) y obtener: uE =

0 2 E . 2

(2.40)

Similarmente, la densidad de energ´ıa del campo B solo (como se podr´ıa calcular dentro de un toroide) es: uB =

1 2 B . 2µ0

(2.41)

Recu´erdese que se dedujo la relaci´on E = cB espec´ıficamente para una onda plana (2.30), no obstante ser´ a muy general en su simplicidad. Se deduce entonces que: uE = uB

(2.42)

El flujo de energ´ıa a trav´es del espacio en la forma de una onda electromagn´etica es compartido por los campos constitutivos, el´ectricos y magn´eticos. Ya que: u = uE + uB , claramente: u = 0 E 2

(2.43)

o equivalentemente: u=

1 2 B . µ0

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(2.44)

43

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

Para representar el flujo de energ´ıa electromagn´etica, se simbolizar´a con S el transporte de energ´ıa por unidad de tiempo (la potencia) a trav´es de un ´area unitaria. En el sistema MKS tendr´ıa entonces las unidades de W/m2 . Sea una onda electromagn´etica que viaja con una velocidad c a trav´es de un ´area A. Durante un intervalo de tiempo ∆t muy peque˜ no, solamente la energ´ıa contenida en el volumen cil´ındrico, u(c∆tA), cruzar´a A. Entonces: S=

uc∆tA = uc ∆tA

(2.45)

1 EB. µ0

(2.46)

o, usando la ecuaci´ on (2.43): S=

Ahora se hace la suposici´on razonable (para medios isotr´opicos) de que la energ´ıa ~ correspondiente fluye en la direcci´ on de la propagaci´on de la onda. El vector S es entonces: ~= 1E ~ ×B ~ S µ0

(2.47)

~ = c2 0 E ~ × B. ~ S

(2.48)

o

~ es la potencia por unidad de ´area que cruza una superficie La magnitud de S ~ Se le conoce como el vector de Poynting, en honor cuya normal es paralela a S. de John Henry Poynting (1852-1914). Aplicando ahora estas consideraciones al caso de una onda plana arm´onica, polarizada linealmente, viajando a trav´es del espacio libre en la direcci´on de ~k:   ~ =E ~ 0 cos ~k · ~r − ωt E (2.49)   ~ =B ~ 0 cos ~k · ~r − ωt . B (2.50) Usando la ecuaci´ on (2.4)   ~ = c2 0 E ~0 × B ~ 0 cos2 ~k · ~r − ωt . S ~ ×B ~ oscila entre m´aximos y m´ınimos. A frecuenDebe ser evidente aqu´ı que E ~ cias ´ opticas, S es una funci´on variable del tiempo extremadamente r´apida y as´ı su valor instant´ aneo es una cantidad impr´actica de medir. Esto m´as bien sugiere que se empleen promedios. Es decir, que se absorba la energ´ıa radiante durante un intervalo finito de tiempo usando, por ejemplo, una fotocelda, una pel´ıcula fotogr´ afica o la retina del ojo humano. El valor promediado en el tiempo del vector de Poynting, simbolizado por hSi, es una medida de la cantidad muy significativa conocida como la irradiancia, I. En este caso ya que D E cos2 ~k · ~r − ωt = 12 , hSi = 44

c2 0 ~ ~ E0 × B 2

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(2.51)

´ 2.4. ENERG´IA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS

o I ≡ hSi =

c0 2 E . 2 0

(2.52)

La irradiancia es por consiguiente proporcional al cuadrado de la amplitud del campo el´ectrico. Dor formas alternativas adicionales de decir la misma cosa son simplemente: c 2 B µ0

(2.53)

 I = 0 c E 2 .

(2.54)

I= y

Dentro de un diel´ectrico isotr´ opico, homog´eneo y lineal, la expresi´on para la irradiancia queda:

 I = v E 2 . (2.55) ~ es considerablemente m´as afectiva al ejercer fuerYa que, como se ha visto, E ~ ~ zas sobre las cargas B, E ser´ a referido como el campo ´ optico y se usar´a casi exclusivamente la ecuaci´ on (2.54). La rapidez de flujo de la energ´ıa radiante es la potencia o flujo radiante, generalmente expresado en vatios. Si se divide el flujo radiante que incide o sale de una superficie, por el ´ area de la superficie, se tiene la densidad de flujo radiante (W/m2 ). En el primer caso, se habla de la irradiancia, y en el u ´ltimo de la existencia; y en cualquier caso de la densidad de flujo. Hay detectores, como el fotomultiplicador, que sirven como contadores de fotones. Cada cuanto del campo electromagn´etico, que tiene una frecuencia ν, representa una energ´ıa hν (constante de Planck, h = 6,625 × 10−34 J s). Si se tiene un haz monocrom´atico de frecuencia ν, la cantidad I/hν es el n´ umero promedio de fotones que cruzan un ´area unitaria (normal al haz) por unidad de tiempo, es decir la densidad de flujo de fot´ on. Si tal haz incidiera sobre un contador con ´ area A, entonces AI/hν ser´ıa el flujo de fotones incidentes, es decir, el n´ umero promedio de fotones que llegan por unidad de tiempo. Se vio antes que la soluci´ on de onda esf´erica de la ecuaci´on diferencial de onda tiene una amplitud que var´ıa inversamente con r. Se examinar´a ahora lo mismo dentro del contexto de la conversaci´on de energ´ıa. Considerando una fuente puntual isotr´ opica en el espacio libre, emitiendo energ´ıa igualmente en todas direcciones, es decir emitiendo ondas esf´ericas. Se rodea la fuente con dos superficies esf´ericas imaginarias de radios r1 y r2 . Sean E0 (r1 ) y E0 (r2 ) las amplitudes de las ondas sobre la primera y segunda superficies, respectivamente. Si se ha de conservar la energ´ıa, la cantidad total de energ´ıa que pasa a trav´es de cada superficie por segundo debe ser la misma ya que no hay otras fuentes o sumideros presentes. Multiplicando I por el ´area de la superficie y tomando la ra´ız cuadrada, se obtiene: r1 E0 (r1 ) = r2 E0 (r2 ). Puesto que r1 y r2 son arbitrarias, se deduce que: rE0 (r) = constante Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

45

´ CAP´ITULO 2. TEOR´IA ELECTROMAGNETICA, FOTONES Y LUZ

y la amplitud debe caer inversamente con r. La irradiancia de una fuente puntual es proporcional a 1/r2 . Esta es la bien conocida ley del inverso del cuadrado, la cual se verifica f´ acilmente usando una fuente puntual y un expos´ımetro fotogr´ afico. Obs´ervese que si se visualiza un haz de fotones viajando radialmente alej´ andose de la fuente, se obtiene claramente el mismo resultado.

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CAP´ITULO 3

Tratamiento Electromgan´ etico de la Propagaci´ on de la Luz ´Indice General 3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.1. Deducci´ on de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . 50 3.1.2. Interpretaci´ on de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . 53

47

´ ´ DE CAP´ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANETICO DE LA PROPAGACION LA LUZ

Hasta ahora se ha podido deducir las leyes de reflexi´on y refracci´on usando tres puntos de vista diferentes: el principio de Huygens, el teorema de Malus y Dupin y el principio de Fermat. Cada uno de ellos a su vez da un punto de vista valioso y distinto en s´ı mismo. Otro punto de vista a´ un m´as poderoso se obtiene de la teor´ıa electromagn´etica de la luz. Al contrario de las t´ecnicas anteriores que no dicen nada sobre las densidades de flujo radiante, incidente, reflejado y transmitido (es decir Ii , Ir , It respectivamente), la teor´ıa electromagn´etica trata ´estas dentro del marco de una descripci´on bastante m´as completa. El cuerpo de informaci´on que forma el tema de la ´optica se ha acumulado a lo largo de muchos siglos y al mismo tiempo que el conocimiento del universo f´ısico se hace m´ as extenso, las descripciones te´oricas concominantes deben ser a´ un m´ as completas. Ello en general, trae consigo una complejidad aumentada. Y as´ı, en lugar de usar la formidable maquinaria matem´atica de la teor´ıa cu´antica de la luz, muy frecuentemente se aprovechar´a los puntos de vista m´as simples de tiempos m´ as simples (por ejemplo, los principios de Huygens, Fermat, etc.). Entonces, aunque se vaya a desarrollar otra descripci´on m´as extensa de la reflexi´ on y la refracci´on, ciertamente no se pondr´a de lado esos m´etodos anteriores. En efecto, a trav´es de este estudio se usar´a la t´ecnica m´as simple que se pueda dar resultados suficientemente precisos para los prop´ositos particulares. ´ 3.1 SECCION

Ondas en una Interfase Sup´ ongase que la onda de luz monocrom´atica incidente es plana y que por tanto tiene la forma: ~i = E ~ 0i ei(~ki ·~r−ωi t) E

(3.1)

  ~i = E ~ 0i cos ~ki · ~r − ωi t E

(3.2)

o m´ as simplemente:

~ 0i es constante en el tiempo, es decir que la onda es linealmente Suponiendo que E polarizada o polarizada en un plano. Se ver´a que cualquier forma de luz se puede representar por dos ondas ortogonales polarizadas linealmente de tal forma que esto realmente no representa una restricci´on. Es preciso notar que as´ı como el origen del tiempo, t = 0, es arbitrario, as´ı tambi´en lo es el origen O en el espacio, donde ~r = 0. Entonces, sin hacer suposiciones acerca de sus direcciones, frecuencias, longitudes de onda, fases o amplitudes, se puede escribir las ondas reflejadas y transmitida como:   ~r = E ~ 0r cos ~kr · ωr tεr E

(3.3)

  ~t = E ~ 0t cos ~kt · ωt tεt E

(3.4)

y

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Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE

~ i , que se introducen debido a Aqu´ı εr y εt son constantes de fase relativas a E que la posici´ on del origen no es u ´nica. Las leyes de la teor´ıa electromagn´etica llevan a ciertos requisitos que deben satisfacer los campos y se referir´ a a ellos como las condiciones de frontera. Espec´ıficamente, uno de estos requisitos es que la componente de la intensidad del ~ que es tangente a la interfase, debe ser cont´ınua a trav´es de campo el´ectrico E, ~ En otras palabras, la componente tangencial ella (lo mismo es cierto para H). ~ en un lado de la superficie debe ser igual a la del otro lado. Entonces total de E ya que ~un es el vector unitario normal a la interfase: ~ i + ~un × E ~ r = ~un × E ~t ~un × E

(3.5)

    ~ 0i cos ~ki · ~r − ωi t + ~un × E ~ 0r cos ~kr · ~r − ωr t + εr ~un × E   ~ 0t cos ~kt · ~r − ωt t + εt = ~un × E

(3.6)

o

Esta relaci´ on se debe mantener en cualquier instante de tiempo y en todo punto ~ i, E ~r y E ~ t deben tener precisamente de la interfase (y = b). Consecuentemente, E la misma dependencia funcional de las variables t y r, lo cual quiere decir que:     ~ki · ~r − ωi t = ~kr · ~r − ωr t + εr y=b y=b   (3.7) = ~kt · ~r − ωt t + εt . y=b

Con esto, los cosenos en la ecuaci´ on (3.6) se anular´ıan dejando una expresi´on independiente de t y r, como en efecto debe ser. Como esto debe ser cierto para todos los valores del tiempo, los coeficientes de t deben ser iguales, obteni´endose: ωi = ωr = ωt .

(3.8)

Hay que recordar que los electrones dentro del medio est´an sujetos a vibraciones forzadas (lineales) a la frecuencia de la onda incidente. Claramente, cualquier luz que sea esparcida tiene la misma frecuencia. Adem´as.     ~ki · ~r = ~kr · ~r + εr y=b y=b   (3.9) = ~kt · ~r + εt , y=b

donde ~r termina en la interfase. Los valores de εr t εt corresponden a una posici´on dada de O y entonces ellos permiten que la relaci´on sea v´alida independientemente de esa ubicaci´ on. Por ejemplo, el origen se podr´ıa escoger de modo que ~r fuese perpendicular a ~ki pero no a ~kr o ~kt . De los primeros dos t´erminos se obtiene: h  i ~ki − ~kr · ~r = εr . (3.10) y=b

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

49

´ ´ DE CAP´ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANETICO DE LA PROPAGACION LA LUZ

Recordando la ecuaci´ on (1.42), esta expresi´on simplemente dice que el punto extremo de ~ r barre un plano (que es por supuesto la interfase) perpendicular     ~ ~ al vector ki − kr . Dici´endolo de manera ligeramente diferente, ~ki − ~kr es paralelo a ~un . Obs´ervese, sin embargo, que ya que las ondas  reflejada  e inci~ ~ dente est´ an en el mismo medio ki = kr . Del hecho de que ki − kr no tiene   componente en el plano de la interfase, es decir ~un × ~ki − ~kr = 0, se concluye que: ki sin θi = kr sin θr y por consiguiente se tiene la ley de la reflexi´on, es decir: θi = θr   Adem´ as, ya que ~ki − ~kr es paralelo a ~un , los tres vectores ~ki , ~kr y ~un est´an en el mismo plano, que es el plano de incidencia. De nuevo, de la ecuaci´on (3.9) se obtiene: h  i ~ki − ~kt · ~r = εt (3.11) y=b

  y por consiguiente ~ki − ~kt es tambi´en normal a la interfase. Entonces, ~ki , ~kr , ~kt y ~un son todos coplanares. Como antes, las componentes tangenciales de ~ki y ~kt deben ser iguales y consecuentemente: ki sin θi = kt sin θt .

(3.12)

pero como ωi = ωt , se puede multiplicar ambos lados por c/ωi para obener: ni sin θi = nt sin θt lo que, por supuesto, es la ley de Snell. Finalmente, se observa que si se hubiese escogido el origen O en la interfase es evidente por las ecuaciones (3.10) y (3.11) que εr y εt hubieran sido ambas nulas. Tal disposici´on, aunque no tan instructiva, es ciertamente m´ as simple y consecuentemente se usar´a de aqu´ı en adelante. ......................................................................... 3.1.1 Deducci´ on de las Ecuaciones de Fresnel

~ i (r, t), E ~ r (r, t) Se acaba de encontrar la relaci´on que existe entre las fases de E ~ t (r, t) en la frontera. Hay a´ y E un una interdependencia compartida por las ~ ~ ~ amplitudes E0i , E0r y E0t que ahora se pueden evaluar. Con ese fin se supone que una onda monocrom´ atica plana incide en una superficie plana que separa dos medios isotr´ opicos. Cualquiera que sea la polarizaci´on de la onda, se resolver´an ~ y B ~ en componentes paralelas y perpendiculares al plano de sus campos E incidencia y se tratar´ an estas componentes separadamente. ~ perpendicular al plano de incidencia. Sup´ongase ahora que E ~ es Caso 1. E ~ perpendicular al plano de incidencia y que B es paralelo a ´el. Como E = vB se tiene que: ~k × E ~ = vB ~

(3.13)

~k · E ~ = 0.

(3.14)

ypor supuesto

50

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE

~ B ~ y el vector de propagaci´on ~k forman un sistema derecho. Haciendo es decir E, uso de nuevo de la continuidad de las componentes tangenciales del campo ~ se tiene que en la frontera en cualquier tiempo y en cualquier punto: el´ectrico E, ~ 0i + E ~ 0r = E ~ 0t E

(3.15)

donde los cosenos se anulan. Se debe mencionar entre par´entesis que los vectores de campo mostrados realmente deber´ıan ser visualizados en y = 0 (es decir, en la superficie) de donde han sido desplazados a fin de hacer las cosas m´as claras. ~r y E ~ t deben ser normales al plano de incidencia Obs´ervese que mientras que E por simetr´ıa, se est´ a adivinando que ellos deben apuntar fuera de la interfase ~ i lo hace. Las direcci´ ~ se derivan entonces de la cuando E ones de los campos B ecuaci´on (3.13). Se necesita invocar otra de las condiciones en la frontera a fin de obtener una ecuaci´ on m´ as. La presencia de substancias materiales que son polarizadas el´ectricamente por la onda tiene un efecto definido en la configuraci´on del cam~ es continua, al pasar po. Entonces, mientras que la componente tangencial de E la frontera, su componente normal no lo es. En su lugar la componente normal ~ es la misma en cualquier lado de la interfase. Similarmente, la del producto εE ~ es continua como lo es la componente tangencial de componente normal de B ~ Aparece aqu´ı el efecto de los dos medios a trav´es de sus permeabilidades µ−1 B. µi y µt . Esta u ´ltima condici´ on en la frontera ser´a la m´as f´acil de usar, particularmente aplicada a la reflexi´ on en la superficie de un conductor. Entonces la ~ continuidad de la componente tangencial de B µ requiere que: −

~i ~r ~t B B B cos θt , cos θi + cos θr = − µi µr µt

(3.16) ~

donde los lados izquierdo y derecho son las magnitudes totales de B µ paralelas a la interfase en los medios incidente y transmitido, respectivamente. La direcci´on ~i positiva es aquella en la que aumenta x de tal forma que las componentes de B ~ y Bt aparecen con signos menos. De la ecuaci´on (3.13) se tiene: Ei vi Er Br = vr Et Bt = vt Bi =

(3.17) (3.18) (3.19)

Entonces, ya que vi = vr y θi = θr , la ecuaci´on (3.16) se puede escribir como: 1 1 (Ei − Er ) cos θi = Et cos θt . µi vi µi vi

(3.20)

Haciendo uso de las ecuaciones (3.2), (3.3) y (3.4) y recordando que los cosenos que aparecen ah´ı son iguales a uno en y = 0, se obtiene: ni nt (E0i − E0r ) cos θi = Et cos θt . µi µt Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(3.21)

51

´ ´ DE CAP´ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANETICO DE LA PROPAGACION LA LUZ

Combinado esto con la ecuaci´on (3.15) se obtiene: 

E0r E0i



E0t E0i



=− ⊥

ni µi ni µi

cos θi − cos θi +

nt µt nt µt

cos θt

(3.22)

cos θt

y 

= − ni ⊥

µi

2 nµii cos θi cos θi +

nt µt

(3.23)

cos θt

El sub´ındice ⊥ sirve como un recordatorio de que se est´a tratando el caso en el ~ es perpendicular al plano de incidencia. Estas dos expresiones, que son que E afirmaciones completamente generales que se aplican a cualquier medio homog´eneo, isotr´ opico y lineal, son dos de las llamadas ecuaciones de Fresnel. Muy a menudo se trata con diel´ectricos para los cuales µi ≈ µt ≈ µ0 ; en consecuencia la forma m´ as com´ un de estas ecuaciones es simplemente:  r⊥ ≡

E0r E0i



E0t E0i



≡

ni cos θi − nt cos θt ni cos θi + nt cos θt

(3.24)

≡

2ni cos θi ni cos θi + nt cos θt

(3.25)

⊥

y  t⊥ ≡

⊥

Aqu´ı r⊥ denota la amplitud del coeficiente de reflexi´ on mientras que t⊥ es la amplitud del coeficiente de transmisi´ on. ~ paralelo al plano de incidencia. Se puede deducir un par similar Caso 2. E ~ est´a en el plano de incidencia. La de ecuaciones cuando el campo incidente E, ~ en ambos lados de la frontera continuidad de las componentes tangenciales de E lleva a: E0i cos θi − E0r cos θr = E0t cos θt .

(3.26)

En forma muy parecida a la anterior, la continuidad de las componentes tan~ genciales B µ da: 1 1 1 E0i + E0r = E0t µi vi µr vr µt vt

(3.27)

Usando el hecho de que µi = µr = y θi = θr estas f´ormulas su pueden combinar para dar dos m´ as de las ecuaciones de Fresnel :  tk ≡

E0r E0i



E0t E0i



= k

nt µt ni µi

cos θi − cos θt +

ni µi nt µt

cos θt cos θi

(3.28)

y  tk ≡

52

= k

2 nµii cos θi ni µi

cos θt +

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

nt µt

cos θi

.

(3.29)

3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE

Cuando los dos medios que forman la interfase son diel´ectricos, los coeficientes de amplitud vienen a ser: rk =

nt cos θi − ni cos θt ni cos θt + nt cos θi

(3.30)

tk =

2ni cos θi ni cos θt + nt cos θi

(3.31)

y

Usando la ley de Snell se puede hacer una simplificaci´on adicional de la notaci´on, por medio de la cual las ecuaciones de Fresnel para medios diel´ectricos devienen en: sin(θi − θt ) sin(θi + θt ) tan(θi − θt ) rk = tan(θi + θt ) 2 sin θt cos θi t⊥ = sin(θi + θt ) 2 sin θt cos θi tk = sin(θi + θt ) cos(θi − θt ) r⊥ = −

(3.32) (3.33) (3.34) (3.35)

Se debe introducir una nota de advertencia antes de que se proceda a examinar el considerable significado de los c´alculos anteriores. T´engase en mente que las direcciones (o m´as precisamente las fases) de los campos fueron seleccionadas muy arbitrariamente. Por ejemplo, ciertamente se podr´ıa haber supuesto ~ r apuntaba hacia adentro, por lo que B ~ r hubiese tenido que ser invertique E do tambi´en. Si se hubiese hecho eso, el signo de r⊥ habr´ıa resultado positivo, mientras que los otros coeficientes de amplitud no habr´ıan cambiado. Los signos que aparecen en las ecuaciones (3.32) hasta (3.35), en este caso +, excepto el primero, corresponden al conjunto particular de direcciones de campo seleccionadas. El signo menos, como se ver´a, solamente significa que no se adivina correctamente la direcci´ on de Er . No obstante hay que tener presente que la literatura no es uniforme y que se puede encontrar cualquier posible signo bajo el t´ıtulo de ecuaciones de Fresnel. Para evitar confusi´on, tales ecuaciones deben estar relacionadas con las direcciones espec´ıficas de los campos de las que fueron deducidas.

.........................................................................

3.1.2 Esta secci´ on est´ a dedicada a un examen de las implicaciones f´ısicas de las Interpretaci´ on ecuaciones de Fresnel. En particular se est´ a interesado en determinar las amde las plitudes fraccionarias y densidades de flujo que se reflejan y refractan. Adem´ as Ecuaciones interesa cualquier posible corrimiento de fase que pueda aparecer en el proceso. de Fresnel

1. Coeficientes de amplitud. Se examinar´a ahora brevemente la forma de los coeficientes de amplitud sobre el rango completo de valores de θi . A incidencia casi normal (θi ≈ 0) las tangentes en la ecuaci´on (3.33) son esencialmente iguales a los senos, en cuyo caso:     sin(θi − θt ) rk θ =0 = [−r⊥ ]θi =0 = i sin(θi + θt ) θi =0 Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

53

´ ´ DE CAP´ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANETICO DE LA PROPAGACION LA LUZ

Se volver´ a despu´es al significado del signo menos. Despu´es de desarrollar los senos y usar la ley de Snell esta expresi´on queda:     nt cos θi − ni cos θt rk θ =0 = [−r⊥ ]θi =0 = (3.36) i nt cos θi + ni cos θt θi =0 la cual se deriva tambi´en de las ecuaciones (3.24) y (3.30). En el l´ımite, cuando θi va a 0, cos θi y cos θt se acercan ambos a la unidad y, consecuentemente,     nt − ni rk θ =0 = [−r⊥ ]θi =0 = (3.37) i nt + ni θi =0 Entonces, por ejemplo, en una interfase aire (ni = 1) vidrio (nt = 1,5) cerca de una incidencia normal, los coeficientes de reflexi´on son iguales a ±0,2. Cuando nt > ni se deduce de la ley de Snell que θi > θt y as´ı r⊥ es negativo para todos los valores de θi . Por el contrario, rk comienza siendo positivo en θi = 0 y decrece gradualmente hasta que se anula cuando θi + θt = 90o ya que tan π/2 es infinita. El valor particular del ´angulo de incidencia para el cual esto ocurre se denota por θp y se conoce como el angulo de polarizaci´ ´ on. 1 Cuando θi aumenta m´as all´a de θp , rk se hace a´ un m´ as negativa hasta llegar a -1.0 a los 90o . A incidencia normal las ecuaciones (3.25) y (3.31) llevan directamente, a:   tk θ

i =0

= [t⊥ ]θi =0 =

2ni . ni + nt

(3.38)

Asumiendo que: t⊥ + (−r⊥ ) = 1

(3.39)

es v´ alida para todo valor de θi mientras que: tk + rk = 1

(3.40)

es v´ alida solamente a incidencia normal. La discusi´ on anterior, en su mayor parte, estaba restringida al caso de reflexi´ on externa es decir nt > ni . La situaci´on opuesta de reflexi´ on interna en la cual el medio incidente es m´as denso (ni > nt ), es ciertamente tambi´en de inter´es. En ese caso θt > θi y r⊥ , como se describe en la ecuaci´ on (3.11), ser´a simplemente positiva. r⊥ aumenta desde su valor inicial (3.37) en θi = 0 llegando a m´as de uno en lo que se llama ´ angulo cr´ıtico, θc . Espec´ıficamente θc es el valor especial del ´angulo de incidencia para el cual θt = π/2. En la misma forma, rk comienza negativamente (3.37) en θi = 0 y despu´es aumenta hasta llegar a m´as de uno en θi = θc , como es evidente seg´ un la ecuaci´on de Fresnel (3.30). Como antes rk pasa por cero en el ´ angulo de polarizaci´ on θp0 . Los ´angulos de polarizaci´on θp0 y θp para la reflexi´on interna y externa en la interfase entre los mismos dos medios son simplemente complemento el uno del otro. Posteriormente se regresar´ a a la reflexi´on interna, donde se demostrar´a que r⊥ y rk son cantidades complejas para θi > θc . 1 Este

54

angulo se conoce tambi´ ´ en como ´ angulo de Brewster

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE

2. Corrimientos de fase. Debe ser evidente seg´ un la ecuaci´on (3.32) que r⊥ es negativo independientemente de θi cuando h i nt > ni . Adem´as se vio anteriormente que si ~r en la direcci´on opuesta, la primera ecuaci´on de se hubiese escogido E ⊥

Fresnel (3.32), hubiese cambiado de signo haciendo que r⊥ se tornara positivo. relativas h Entonces i h eli signo de r⊥ est´a asociado con las direcciones h i ~ ~ ~ de E0i y E0r . Recu´erdese que una inversi´on de E0r es equiva⊥ ⊥ ⊥ h i ~r . lente a introducir un corrimiento de fase, ∆ϕ⊥ , de π radianes en E ⊥ h i h i ~i ~r Por consiguiente en la frontera E y E ser´an antiparalelos y por ⊥ ⊥ lo tanto fuera de fase en π uno respecto del otro, como lo indica el valor negativo de r⊥ . Cuando se consideran las componentes normales al plano de incidencia no hay confusi´on sobre si los dos campos est´an en fase o π radianes fuera de fase; si son paralelos est´an en fase; si son antiparalelos est´ an π fuera de fase. Resumiendo entonces, la componente del campo el´ectrico normal al plano de incidencia sufre un corrimiento de fase de π radianes bajo reflexi´ on cuando el medio incidentte tiene un ´ındice m´ as bajo que el medio transmisor. Similarmente t⊥ y tk son siempre positivas y ∆ϕ = 0. Adem´ as, cuando ni > nt no resulta corrimiento de fase en la componente normal al reflejarse, es decir ∆ϕ⊥ = 0 siempre que θi < θc . h i h i h i ~i , E ~r y E ~t . Las cosas son menos obvias cuando se consideran E k

k

k

Es necesario ahora definir m´ as expl´ıcitamente lo que se quiere decir por en fase ya que los vectores de fase son coplanares pero generalmente no colineales. Las direcciones del campo se escogieron de tal forma que mirando cualquiera de los vectores de propagaci´on en la direcci´on en que viene la ~ B ~ y ~k se ven con la misma orientaci´on relativa sea cual sea el rayo luz E, incidente, reflejado o transmitido. Se puede usar esto como la condici´on ~ est´en en fase. Equivalentemente requerida a fin de que los dos campos E pero m´ as simplemente, dos campos en el plano incidente est´ an en fase si sus componentes son paralelas y fuera de fase si son antiparalelas. Hay ~ est´an fuera de fase, tambi´en lo que notar que cuando un par de campos E ~ estan sus campos asociados B y viceversa. Con esta definici´on se necesita ~ solamente ver los vectores normales al plano de incidencia, sean ellos E ~ o B, para determinar la fase relativa de los campos acompa˜ nantes en el ~i y E ~ t est´an en fase como lo est´an B ~i y B ~t plano incidente. Entonces, E ~ ~ ~ ~ mientras que Ei y Er est´ an fuera de fase junto con Bi y Br . Similarmente ~ i, E ~r y E ~ t est´ ~ i, B ~r y B ~ t. E an en fase como lo est´an B Ahora, el coeficiente de amplitud de reflexi´on para la componente paralela est´ a dado por: nt cos θi − ni cos θt rk = nt cos θi + ni cos θt el cual es positivo (∆ϕk = 0) siempre que: nt cos θi − ni cos θt > 0 es decir, si: sin θi cos θi − cos θt sin θt > 0. Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

55

´ ´ DE CAP´ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANETICO DE LA PROPAGACION LA LUZ

o equivalentemente: sin(θi − θt ) cos(θi + θt ) > 0.

(3.41)

Este ser´ a el caso para el que ni < nt si (θi + θt ) <

π 2

(3.42)

(θi + θt ) >

π 2

(3.43)

y para ni > nt cuando

h i h i ~ 0r y E ~ 0i estar´an en fase (∆ϕk = 0) hasta Y as´ı, cuando ni < nt , E k

k

que θi = θp y fuera de fase en π radianes h dei ah´ı en adelante. La transici´on ~ 0r va a cero en θp . Por el conno es en realidad discontinua ya que E k

trario, para reflexi´on interna rk es negativa hasta θp0 lo cual quiere decir que ∆ϕk = π. Desde θp0 a θc , rk es positiva y ∆ϕk = 0. M´as all´a de θc , rk se hace compleja. y ∆ϕk aumenta gradualmente hasta π para θi = 90o . La forma funcional real de ∆ϕk y ∆ϕ⊥ para reflexi´on interna en la regi´on donde θi > θc se puede encontrar en la literatura. 3. Reflectancia y transmitancia. Hay que recordar que la potencia por unidad de ´area que cruza una super~ el vector de Poynting, est´a ficie en el vac´ıo cuya normal es paralela a S, dado por: ~ = c2 0 E ~ × B. ~ S Adem´ as, la densidad de flujo radiante (W/m2 ) o irradiancia es entonces: I = hSi =

c0 2 E . 2 0

Esta es la energ´ıa promedio por unidad de tiempo que cruza un ´area ~ (en medios isotr´opicos S ~ es paralela a ~k). En el caso unitaria normal a S que se considera sean Ii , Ir y It las densidades de flujo incidente, reflejado y transmitido respectivamente. Luego, la porci´on de energ´ıa incidiendo normalmente en un ´ area unitaria de la frontera por segundo es Ii cos θi . Similarmente, Ir cos θr y It cos θt son las energ´ıas por segundo que salen de un ´ area unitaria de la frontera normalmente en cada lado. La reflectancia R es la raz´ on del flujo (o potencia) reflejado al incidente, es decir: R≡

Ir cos θr Ir = , Ii cos θi Ii

(3.44)

mientras que la transmitancia T es la raz´on del flujo transmitido al incidente y est´ a dada por: T ≡ 56

It cos θt . Ii cos θi

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(3.45)

3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE 2 El cociente Ir /Ii es igual a (vr r E0r /2)(vi i E0i /2) y ya que las ondas reflejadas e incidente est´ an en el mismo medio vr = vi , r = i , y

 R=

E0r E0i

2

= r2 .

(3.46)

En la misma forma (suponiendo µi = µt = µ0 ): nt cos θt ni cos θi

T =



E0t E0i

2

 =

nt cos θt ni cos θi



t2 ,

(3.47)

donde se us´ o el hecho de que µ0 t = 1/vt2 y µ0 vt t = nt /c. La energ´ıa total que llega al ´ area A por unidad de tiempo debe igualar a la energ´ıa que fluye fuera de ella por unidad de tiempo; Ii A cos θi = Ir A cos θr + It A cos θt ,

(3.48)

Es evidente aqu´ı que el ´ area transversal del haz transmitido, A cos θt es m´ as grande que la de los haces incidente o reflejado (que son iguales). Multiplicando ambos lados por c esta expresi´on queda: 2 2 2 ni E0i cos θi = ni E0r cos θi + nt E0t cos θt

o  1=

E0r E0i

2

 +

nt cos θt ni cos θi



E0t E0i

2 .

(3.49)

Pero esto es simplemente R+T =1

(3.50)

donde no hay absorci´ on. Es conveniente usar las formas componentes, es decir: 2 R⊥ = r⊥

Rk =

(3.51)

rk2 

T⊥ =

(3.52)

nt cos θt ni cos θi



nt cos θt ni cos θi



t2k

(3.53)

t2k

(3.54)

y  Tk = Se puede demostrar que: Rk + Tk = 1

(3.55)

R⊥ + T⊥ = 1

(3.56)

y

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

57

´ ´ DE CAP´ITULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANETICO DE LA PROPAGACION LA LUZ

Una caracter´ıstica interesante de estas curvas se verfica f´acilmente, al menos cualitativamente, y ella es que ambas Rk y R⊥ se acercan a uno cuando θi → 90o . Esto significa que casi cualquier interfase diel´ectrica muy lisa se comportar´ a como un espejo para la incidencia rasante. Int´entese observar una fuente luminosa usando esta p´agina como una superficie de frontera donde θi ≈ 90o . Se podr´a ver una imagen bastante clara de la fuente reflejada en el papel. Cuando θi = 0 el plano incidente queda indefinido y cualquier distinci´on entre las componentes paralela y perpendicualr de R y T desaparece. En este caso las ecuaciones (3.51) hasta (3.54) junto con (3.37) y (3.38) llevan a: 2  nt − ni (3.57) R = Rk = R⊥ = nt + ni y T = Tk = T⊥ =

4nt ni . (nt + ni )2

(3.58)

Entonces el 4 % de la luz incidente normalmente en una interfase airevidrio ser´ a reflejada tanto internamente, ni > nt , como externamente, ni < nt . Esto obviamente ser´a de gran inter´es para cualquiera que est´e trabajando con un sistema complicado de lentes con diez o veinte de tales fronteras aire-vidrio. En efecto, si se mira perpendicularmente una pila de alrededor de 50 portaobjetos de microscopio (los cubreobjetos son mucho m´ as delgados y m´as f´aciles de manejar en grandes cantidades) la mayor parte de la luz se reflejar´a. La pila se comportar´a como si fuese un espejo.

58

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

CAP´ITULO 4

Superposici´ on de Ondas ´Indice General 4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . 4.1.1. El M´etodo Algebraico . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. El M´etodo Complejo . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . 4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . .

59

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. 61 . 61 . 65 . 66 . 67 . 68 . 69 . 70

´ DE ONDAS CAP´ITULO 4. SUPERPOSICION

En los cap´ıtulos siguientes se estudiar´an los fen´omenos de polarizaci´on, interferencia y difracci´ on. Todos ellos comparten una base conceptual com´ un ya que en su mayor parte tienen relaci´on con varios aspectos del mismo proceso. Afirmando esto en los t´erminos m´as simples, se dir´a que interesa saber qu´e sucede cuando dos o m´ as ondas de luz se superponen en la misma regi´on del espacio. Las circunstancias precisas que gobiernan esta superposici´on, por supuesto, determinan la perturbaci´ on ´optica final. Entre otras cosas, se est´a interesado en comprender c´ omo las propiedades espec´ıficas de cada onda constitutiva (es decir, amplitud, fase, frecuencia, etc.) influencian la forma u ´ltima de la perturbaci´on compuesta. Es preciso recordar que cada componente del campo de una onda electromagn´etica (Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz ) satisface la ecuaci´on de onda diferencial tridimensional escalar. 1 ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t2 Una caracter´ıstica muy significativa de esta expresi´on es que es lineal, es decir, ψ (~r, t) y sus derivadas aparecen solamente con la primera potencia. Por lo tanto, si ψ1 (~r, t) , ψ2 (~r, t) , . . . , ψn (~r, t), son soluciones individuales de la ecuaci´ on (1.59), cualquier combinaci´ on lineal de ´estas a su vez, ser´a una socuci´on. Entonces ψ (~r, t) =

n X

Ci ψi (~r, t)

(4.1)

i=1

satisface la ecuaci´ on de onda, donde los coeficientes Ci son simplemente constantes arbitrarias. Esta propiedad, conocida como principio de superposici´ on, sugiere que la perturbaci´on resultante en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas constitutivas separadas. Ahora s´olo se est´a interesado en sistemas lineales donde el principio de superposici´on es en realidad aplicable. T´engase en mente, sin embargo, que ondas de amplitud grande, bien sean ondas de sonido u ondas de una cuerda, pueden generar una respuesta no lineal. El haz de un l´ aser de alta intensidad enfocado (donde el campo el´ectrico podr´ıa ser tan alto como 1010 V/cm) puede evocar efectos no lineales. Por comparaci´ on, el campo el´ectrico asociado con la luz del sol aqu´ı en la Tierra tiene una amplitud de alrededor de 10 V/cm. Hay muchos casos en los que no se necesita preocuparse con la naturaleza vectorial de la luz y por el momento el estudio se restringir´a a tales casos. Por ejemplo, si todas las ondas de luz se propagan a lo largo de la misma l´ınea y comparten un plano com´ un constante de vibraci´on, cada una de ellas podr´ıa ser descrita en t´erminos de una componente del campo el´ectrico. Todas ´estas podr´ıan ser paralelas o antiparalelas en cualquier instante y podr´ıan entonces ser tratadas como escalares. Mucho m´as se dir´a acerca de este punto conforme se progrese; por ahora se representar´a la perturbaci´on ´optica por una funci´on escalar E (~r, t) que es una soluci´on de la ecuaci´on (1.59). Este procedimiento lleva a una teor´ıa escalar simple que es altamente u ´til siempre que se sea cuidadoso al aplicarla. 60

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA ´ 4.1 SECCION

Suma de Ondas de la Misma Frecuencia ......................................................................... 4.1.1 El M´ etodo Algebraico

Recu´erdese que se puede escribir una soluci´on de la ecuaci´on diferencial de onda en la forma: E(x, t) = E0 sin[ωt − (kx + ε)]

(4.2)

en la cual E0 es la amplitud de la perturbaci´on arm´onica que se propaga a lo largo de la direcci´ on positiva del eje x. Alternativamente, h´agase: α(x, ε) = −(kx + ε)

(4.3)

E(x, t) = E0 sin[ωt + α(x, ε)].

(4.4)

tal que

Sup´ongase entonces que se tienen dos de tales ondas E1 = E01 sin(ωt + α1 )

(4.5)

E2 = E02 sin(ωt + α2 )

(4.6)

y

las dos con la misma frecuencia y velocidad, superponi´endose en el espacio. La perturbaci´ on resultante es la superposici´on lineal de estas ondas. Entonces E = E1 + E 2 o, al desarrollar las ecuaciones (4.5) y (4.6) E =E01 (sin ωt cos α1 + cos ωt sin α1 ) + E02 (sin ωt cos α2 + cos ωt sin α2 ). Por lo tanto E =(E01 cos α1 + E02 cos α2 ) sin ωt + (E01 sin α1 + E02 sin α2 ) cos ωt. Ya que los t´erminos entre par´entesis son constantes en el tiempo, se hace E0 cos α = E01 cos α1 + E02 cos α2

(4.7)

E0 sin α = E01 sin α1 + E02 sin α2 .

(4.8)

y

Esta no es una sustituci´ on obvia pero ser´a leg´ıtima siempre que se pueda despejar E0 y α. Con ese fin, se eleva al cuadrado y se suman las ecuaciones (4.7) y (4.8) para obtener 2 2 E02 = E01 + E02 + 2E01 E02 cos(α2 − α1 )

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(4.9) 61

´ DE ONDAS CAP´ITULO 4. SUPERPOSICION

y dividiendo la ecuaci´ on (4.8) por la (4.7) se obtiene tan α =

E01 sin α1 + E02 sin α2 E01 cos α1 + E02 cos α2

(4.10)

la perturbaci´ on total queda entonces: E = E0 cos α sin ωt + E0 sin α cos ωt o E = E0 sin(ωt + α).

(4.11)

La onda compuesta (4.11) es arm´ onica y de la misma frecuencia que las constitutivas aunque su amplitud y fase son diferentes. La densidad de flujo de una onda de luz es proporcional a su amplitud al caudrado en virtud de la ecuaci´on (2.52). Entonces de deduce de la ecuaci´on (4.9) que la densidad de flujo resultante no es simplemente la suma de las densidades de flujo componentes —hay una contribuci´ on adicional 2E01 E02 cos(α1 − α2 ) conocida como el t´ermino de interferencia. El factor crucial es la diferencia en fase entre las dos ondas que interfieren E1 y E2 δ ≡ (α1 − α2 ). Cuando δ = 0, ±2π, ±4π, . . . la amplitud resultante es un m´ aximo mientras que δ = ±π, ±3π, . . . da un m´ınimo. En el primer caso, se dice que las ondas est´an en fase, cresta sobre cresta. En el u ´ltimo caso las ondas est´ an 180o fuera de fase y los valles est´an sobre las crestas. Obs´ervese que la diferencia de fase puede aparecer por una diferncia en la longitud del camino atravesado por las dos ondas o tambi´en por una diferencia en la fase incial, es decir, δ = (kx1 + ε1 ) − (kx2 + ε2 )

(4.12)

2π (x1 − x2 ) + (ε1 − ε2 ) λ

(4.13)

o δ=

Aqu´ı x1 y x2 son las distancias desde las fuentes de las dos ondas hasta el punto de observaci´ on y λ es la longitud de onda en el medio en que viajan. Si las ondas est´ an inicialmente en fase en sus emisores respectivos, entonces ε1 = ε2 , y δ=

2π (x1 − x2 ) λ

(4.14)

Esto tambi´en se aplicar´ıa al caso donde dos perturbaciones de la misma fuente viajen diferentes rutas antes de llegar al punto de observaci´on. Ya que n = c/v = λ0 /λ δ= 62

2π n(x1 − x2 ). λ0

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(4.15)

4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA

La cantidad n(x1 − x2 ) se conoce como la diferencia de camino ´ optico y se expresar´a por la abreviatura D.C.O. o por el s´ımbolo Λ. Hay que recordar que es posible, en situaciones m´ as complicadas, que cada onda viaje a trav´es de un n´ umero de medios diferentes con espesores diferentes. Obs´ervese tambi´en que Λ/λ0 = (x1 − x2 )/λ es el n´ umero de ondas en el medio que corresponde a la diferencia de camino. Ya que cada longitud de onda est´a asociada con un cambio de fase de 2π radianes, δ = 2π(x1 − x2 )/λ, o m´as brevemente δ = k0 Λ,

(4.16)

donde k0 es el n´ umero de propagaci´on en el vac´ıo, es decir, 2π/λ0 . Las ondas para las que ε1 − ε2 es constante, independientemente de su valor, son coherentes; una situaci´ on que se supondr´a que se consigue en casi toda esta discusi´ on. Hay un caso especial que es de alg´ un inter´es y es la superposici´on de las ondas E1 = E01 sin[ωt − k(x + ∆x)] y E2 = E02 sin(ωt − kx), donde en particular E01 = E02 y α1 − α2 = k∆x. Se deja demostrar que en este caso las ecuaciones (4.9), (4.10) y (4.11) llevan una onda resultante de      k∆x ∆x sin ωt − k x + . (4.17) E = 2E01 cos 2 2 Esto pone de manifiesto claramente el papel dominante que juega la diferencia de caminos, ∆x, especialmente cuando las ondas emitidas est´an en fase (ε1 − ε2 ). Hay muchos casos pr´ acticos donde uno arregla justamente estas condiciones como se ver´ a m´ as tarde. Si ∆x  λ la resultante tiene una amplitud muy cercana al valor 2E02 ; mientras que es cero si ∆x = λ/2. En la primera situaci´on se dice que hay interferencia constructiva mientras que en la u ´ltima hay interferencia destructiva. Para aplicaciones repetidas del procedimiento usado para llegar a la ecuaci´on (4.11) se puede demostrar que la superposici´ on de cualquier n´ umero de ondas arm´ onicas coherentes que tienen una frecuencia dada y viajan en la misma direcci´ on lleva a una onda arm´ onica de la misma frecuencia. Por simple casualidad se ha escogido representar las dos ondas en t´erminos de funciones seno pero el mismo resultado hubiese aparecido si se hubiese usado funciones coseno. Entonces en general la suma de N de tales ondas, E=

N X

E0i cos(αi ± ωt)

i=1

est´a dada por E = E0 cos(α ± ωt)

(4.18)

donde E02 =

N X i=1

2 E0i +2

N X N X

E0i E0j cos(αi − αj )

(4.19)

j>i i=1

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

63

´ DE ONDAS CAP´ITULO 4. SUPERPOSICION

y N X

tan α =

i=1 N X

E0i sin αi (4.20) E0i cos αi

i=1

H´ agase una pausa por un momento y cont´entese con que estas relaciones son en efecto verdaderas. Imag´ınese que se tiene un n´ umero muy grande de fuentes independientes (N ) donde los ´angulos de fase, αi , est´an ahora completamente al azar. En otras palabras, la fase inicial para cada fuente puede tener cualquier valor entre 0 y 2π en una forma que no tiene ninguna relaci´on con alguna otra fuente, o los emisores pueden estar localizados al azar, o ambas cosas. Aunque es aplicable a fuentes de luz, este arreglo se puede tambi´en visualizar con generadores de microondas o aun con violines. Los resultados que se obtienen se aplican bien sea que las amplitudes sean todas iguales o no, pero el primer caso es m´ as simple de apreciar. Por lo tanto, h´agase que cada amplitud en la ecuaci´ on (4.19) sea E01 . Si N es suficientemente grande, cos(αi − αj ) tomar´a valores tanto positivos como negativos con la misma probabilidad y el segundo t´ermino en la ecuaci´ on (4.19) se aproximar´a a cero. Por lo tanto: 2 E02 = N E01

(4.21)

La densidad de flujo resultante debida a N fuentes que tienen fases al azar est´ a dada por N veces la densidad de flujo de cualquier fuente. En otras palabras, est´ a determinada por la suma de las densidades de flujo individuales. Por ejemplo, la luz que emana de una fuente t´ermica (en contraposici´on con lo que sucede en un l´ aser) est´ a compuesta de radiaci´on de un gran n´ umero de emisores at´omicos. Las ondas generadas por estas fuentes microsc´opicas tienen fases al azar y entonces sus densidades de flujo individuales se combinan en la manera que se ha considerado para formar la densidad de flujo total. Adem´ as, los emisores at´omicos var´ıan en fase r´apidamente y al azar y por consiguiente tambi´en lo hace as´ı la onda total que resulta de la fuente. Dos o m´as fuentes t´ermicas separadas (l´amparas de descarga, iluminadores fotogr´aficos, focos, etc.) ser´ an incoherentes en virtud de estas r´apidas variaciones en δ. Ya que la densidad de flujo es proporcional al promedio en el tiempo de E02 , tomada generalmente sobre un intervalo de tiempo grande, y ya que las α son funciones del tiempo a trav´es de fases iniciales, cos [αi (t) − αj (t)] promediar´a de nuevo a cero. En el otro extremo, si las fuentes son coherentes y est´an en fase en el punto de observaci´ on, es decir, αi = αj , la ecuaci´on (4.19) quedar´a E02 =

N X

2 E0i +2

N X N X

i=1

E0i E0j

j>i i=1

o equivalentemente E02

=

N X

!2 E0i

i=1

64

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

.

(4.22)

4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA

De nuevo suponiendo que cada amplitud es E01 , se obtiene 2 E02 = (N E01 )2 = N 2 E01 .

(4.23)

En este caso de fuentes coherentes en fase se tiene una situaci´ on en que las amplitudes se suman primero y entonces se elevan al cuadrado para determinar la densidad de flujo resultante. La superposici´on de ondas coherentes generalmente tiene el efecto de alterar la distribuci´on espacial de la energ´ıa pero no la cantidad total presente. Si hay regiones donde la densidad de flujo es mayor que la suma de las densidades de flujo individuales, habr´a regiones donde ser´a menor que esa suma. ......................................................................... 4.1.2 El M´ etodo Complejo

A menudo es matem´ aticamente conveniente hacer uso de la representaci´on compleja de las funciones trigonom´etricas cuando se est´a manejando la superposici´ on de perturbaciones arm´ onicas. La onda E1 = E01 cos(kx ± ωt + ε1 ) o E1 = E01 cos(α1 ∓ ωt) se puede entonces escribir como: E1 = E01 ei(α1 ∓ωt) ,

(4.24)

si se recuerda que se est´ a solamente interesado en la parte real. Sup´ongase que hay N de tales ondas que se superponen con la misma frecuencia y viajando en la direcci´ on positiva de x. La onda resultante est´ a dada por: E = E0 ei(α+ωt) la cual es equivalente a la ecuaci´ on (4.18) o despu´es de sumar las ondas componentes   N X E= E0j eiαj  eiωt . (4.25) j=1

La cantidad E0 eiα =

N X

E0j eiαj

(4.26)

j=1

se conoce como la amplitud compleja de la onda compuesta y es simplemente la suma de las amplitudes complejas de las constitutivas. Ya que E02 = (E0 eiα )(E0 eiα )∗ ,

(4.27)

siempre se puede calcular la irradiancia resultante de las ecuaciones (4.26) y (4.27). Por ejemplo, si N = 2, E02 = (E01 eiα1 + E02 eiα2 )(E01 e−iα1 + E02 e−iα2 ), de donde

h i 2 2 E02 = E01 + E02 + E01 E02 ei(α1 −α2 ) + e−i(α1 −α2 )

o 2 2 E02 = E01 + E02 + 2E01 E02 cos(α1 − α2 ),

la cual es id´entica a la ecuaci´ on (4.9). Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

65

´ DE ONDAS CAP´ITULO 4. SUPERPOSICION ......................................................................... 4.1.3 Suma de Fasores

La suma descrita en la ecuaci´on (4.26) se puede representar gr´aficamente como la suma de vectores en el plano complejo. En la jerga de la ingenier´ıa electr´ onica la amplitud compleja se conoce como fasor y se especifica por su magnitud y fase; a menudo se escribe simplemente en la forma E0 ∠α. El m´etodo de la suma de fasores que se va a desarrollar ahora se puede emplear sin apreciar su relaci´ on con el formalismo de los n´ umeros complejos. En bien de la simplicidad, en su mayor parte se evitar´a el uso de esa interpretaci´on en lo que sigue. Imag´ınese entonces que se tiene una perturbaci´on descrita por: E1 = E01 sin(ωt + α1 ). Se representa la onda por un vector de longitud E01 girando en sentido contrario a los puntos de un reloj con una rapidez ω tal que su proyecci´on en el eje vertical es E01 sin(ωt + α1 ). Si se hubiese trabajado con las ondas coseno, se habr´ıa tomado la proyecci´on sobre el eje horizontal. Incidentalemente, el vector rotatorio es por supuesto el fasor E01 ∠α1 y las notaciones R e I denotan los ejes real e imaginario. Similarmente, una segunda onda es E2 = E02 sin(ωt + α2 ) La suma algebraica, E = E1 +E2 , es la proyecci´on en el eje I del fasor resultante determinado por la suma de vectores de los fasores componentes. La ley de los cosenos aplicada al tri´ angulo de lados E01 , E02 y E0 da 2 2 E02 = E01 + E02 + 2E01 E02 cos(α2 − α1 ),

donde se hizo uso del hecho de que cos[π − (α2 − α1 )] = − cos(α2 − α1 ). Esta es id´entica a la ecuaci´ on (4.9), como debe ser. Usando el mismo diagrama, obs´ervese que tan α est´ a dada tambi´en por la ecuaci´on (4.10). Generalmente interesa encontrar E0 en lugar de E(t) y ya que E0 no est´a afectada por el constante girar de todos los fasores, a menudo ser´ a conveniente poner t = 0 y as´ı eliminar esa rotaci´on. Algunos esquemas muy elegantes como la curva de vibraci´ on y la espiral de Cornu ser´ an explicados con la t´ecnica de la suma de fasores. Adem´as, es un punto de vista gr´ afico que a menudo permite entender mejor el problema. Como ejemplo final se examinar´a brevemente la onda resultante de la suma de: E1 E2 E3 E4

= 5 sin ωt = 10 sin(ωt + 45o ) = sin(ωt − 15o ) = 10 sin(ωt + 120o )

y E5 = 8 sin(ωt + 180o ). donde ω est´ a en grados por segundo. En los fasores 5∠0o , 10∠45o , 1∠120o y o 8∠180 cada ´ angulo de fase, bien sea positivo o negativo, tiene como referencia la horizontal. S´ olo se necesita leer E0 ∠α con una escala y un transportador para obtener E = E0 sin(ωt + α). Es evidente que esta t´ecnica ofrece una ventaja tremenda en velocidad y simplicidad si no en precisi´on. 66

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA ......................................................................... 4.1.4 Ondas Estacionarias

Se vio que la soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial de onda consist´ıa en una suma de ondas viajantes, ψ(x, t) = C1 f (x − vt) + C2 g(x + vt). En particular se va a examinar dos ondas arm´ onicas de la misma frecuencia propag´ andose en direcciones opuestas. Una situaci´on de inter´es pr´actico aparece cuando la onda incidente se refleja hacia atr´as por alg´ un tipo de espejo; una pared r´ıgida funcionar´ıa para ondas de sonido o una l´amina conductora para ondas electromagn´eticas. Imag´ınese entonces que una onda incidente que viaja a la izquierda, EI = E0I sin(kx + ωt + εI )

(4.28)

llega a un espejo en x = 0 y se refleja hacia la derecha en la forma: ER = E0R sin(kx − ωt + εR ).

(4.29)

La onda compuesta en la regi´ on a la derecha del espejo es E = EI + ER . Se podr´ıa efectuar la suma indicada y llegar a una soluci´on general en forma muy parecida a la de la secci´ on 4.1. Hay, sin embargo, algunos conocimientos f´ısicos que se pueden obtener tomando un camino ligeramente m´as restringido. La fase inicial εI se puede poner en cero simplemente poniendo en marcha el reloj cuando EI = E0I sin kx. Hay algunas cualidades determinadas por el arreglo f´ısico que deben ser satisfechas por la soluci´on matem´atica y se conocen formalmente como condiciones de contorno. Por ejemplo, si se estuviese hablando de una cuerda con un extremo atado a una pared en x = 0, ese punto debe tener siempre desplazamiento cero. Las dos ondas que se superponen, una incidente y la otra reflejada, deben sumarse de tal manera que den una onda resultante cero en x = 0. Similarmente, en la frontera de una l´amina perfectamente conductora la onda electromagn´etica resultante debe tener una componente del campo el´ectrico nula paralela a la superficie. Suponiendo que E0I = E0 , las condiciones de contorno requieren que en x = 0, E = 0 y ya que εI = 0 se deduce de las ecuaciones (4.28) y (4.29) que εR = 0. La perturbaci´on compuesta es entonces: E = E0I [sin(kx + ωt) + sin(kx − ωt)]. Aplicando ahora la identidad 1 1 sin α + sin β = 2 sin (α + β) cos (α − β) 2 2 se obtiene E(x, t) = 2E0I sin kx cos ωt.

(4.30)

Esta es la ecuaci´ on de una onda estacionaria, en contraste con una onda viajera. Su perfil no se mueve en el espacio; claramente no es de la forma f (x ± vt). En cualquier punto x = x0 la amplitud es una constante igual a 2E0I sin kx0 y E(x0 , t) var´ıa arm´ onicamente con cos ωt. En ciertos puntos, que son x = 0, λ/2, λ, 3λ/2, . . ., la perturbaci´ on ser´a cero en todo instante. Estos seconocen como nodos o puntos nodales. A medio camino entrecada par adyacente de nodos, es decir, en x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, . . ., la amplitud tiene un valor de Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

67

´ DE ONDAS CAP´ITULO 4. SUPERPOSICION

±2E0I y esos puntos se conocen como antinodos. La perturbaci´on E(x, t) ser´a cero para todos los valores de x donde quiera que cos ωt = 0, es decir, cuando t = (2m + 1)τ /4 donde m = 0, 2, 3, . . . y τ es el per´ıodo de las ondas componentes. Si la reflexi´ on en el espejo no es perfecta, como es a menudo el caso, la onda compuesta tendr´ a una componente viajera junto con la onda estacionaria. Bajo tales condiciones habr´ a una transferencia neta de energ´ıa en contraste con la onda estacionaria pura donde no hay ninguna. Fue mediante la medici´on de las distancias entre los nodos de ondas estacionarias como Hertz pudo determinar la longitud de onda de la radiaci´on en sus hist´ oricos experimentos. Unos pocos a˜ nos m´as tarde, en 1890, Otto Wiener demostr´ o por primera vez la existencia de ondas estacionarias en las ondas luminosas. El arreglo que utiliz´o consiste en un haz paralelo de luz cuasimonocrom´ atica normalmente incidente reflej´andose en un espejo plateado en la cara frontal al haz. Una pel´ıcula fotogr´afica, transparente y delgada de menos de λ/20 de espesor se ha depositado en una placa de vidrio, inclinada con respecto al espejo con un ´ angulo de 10−3 radianes. En esa forma la placa de pel´ıcula intersecta el patr´ on de ondas planas estacionarias. Despu´es de revelar la emulsi´ on se encontraron una serie de bandas ennegrecidas paralelas, equidistantes. Estas correspond´ıan a las regiones donde la pel´ıcula fotogr´afica hab´ıa intersectado los planos antinodales. Muy significativamente, no hubo ennegrecimiento de la emulsi´ on en la superficie del espejo. Se puede demostrar que los nodos y antinodos de la componente del campo magn´etico de una onda electromagn´etica estacionaria se alternan con los del campo el´ectrico. Esto se podr´ıa haber sospechado del hecho de que t = (2m + 1)τ /4, E = 0 para todos los valores de x y as´ı para conservar energ´ıa se deduce que B 6= 0. De acuerdo con la teor´ıa, Hertz (1888) previamente hab´ıa determinado la existencia de un punto nodal del campo el´ectrico en la superficie de su reflector. Por consiguiente, Wiener pudo concluir que las regiones ennegrecidas estaban asociadas con los antinodos del ~ Entonces es el campo el´ectrico el que dispara el proceso fotoqu´ımico. campo E. ~ es el En una forma muy parecida Drude y Nernst demostraron que el campo E responsable de la fluorescencia. Estas observaciones son tdas muy entendibles ~ del campo de ya que la fuerza ejercida en un electr´on por la componente B una onda electromagn´etica es generalmente despreciable en comparaci´on con la ~ Es por estas razones que se refiere al campo el´ectrico como la del campo E. perturbaci´ on ´ optica o campo de luz. ´ 4.2 SECCION

Suma de Ondas de Diferente Frecuencia Hasta ahora el an´ alisis se ha restringido a la superposici´ on de ondas con la misma frecuencia. Sin embargo, en realidad nunca se tiene perturbaciones de ning´ un tipo que sean estrictamente monocrom´aticas. Ser´a bastante m´as realista, como se ver´ a, hablar de luz cuasimonocrom´atica que est´a compuesta de un estrecho rango de frecuencias. El estudio de tal luz llevar´a a los importantes conceptos de ancho de banda y tiempo de coherencia. La habilidad para modular efectivamente la luz hace posible acoplar sistemas electr´ onicos y ´ opticos en una forma que ciertamente tendr´an efectos de 68

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA

gran alcance sobre toda la tecnolog´ıa en las d´ecadas por venir. Adem´as, con el advenimiento de las t´ecnicas electro-´opticas, la luz est´a comenzando a jugar un nuevo y significativo papel como transportador de informaci´on. Esta secci´on est´a dedicada a desarrollar algunas de las ideas matem´aticas que se necesitan para apreciar este nuevo ´enfasis. ......................................................................... 4.2.1 Pulsos

Consid´erese ahora la perturbaci´ on compuesta que aparece de la combinaci´on de las ondas: E1 = E01 cos(k1 x − ω1 t) E2 = E01 cos(k2 x − ω2 t) las cuales tienen amplitudes iguales y fase inicial cero. La onda neta: E = E01 [cos(k1 x − ω1 t) + cos(k2 x − ω2 t)] puede formularse de nuevo como 1 E = 2E01 cos [(k1 + k2 )x − (ω1 + ω2 )t] 2 1 × cos [(k1 − k2 )x − (ω1 − ω2 )t] 2 usando la identidad 1 1 cos α + cos β = 2 cos (α + β) cos (α − β). 2 2 Ahora se definen las cantidades ω y k, que son la frecuencia angular promedio y el n´ umero de propagaci´ on promedio, respectivamente. Similarmente las cantidades ωm y km se designan como la frecuencia de modulaci´ on y el n´ umero de propagaci´ on de modulaci´ on. Por lo tanto, se hace ω≡

1 (ω1 + ω2 ) 2

ωm ≡

1 (ω1 − ω2 ) 2

(4.31)

k≡

1 (k1 + k2 ) 2

km ≡

1 (k1 − k2 ); 2

(4.32)

y

entonces E = 2E01 cos(km x − ωm t) cos(kx − ωt).

(4.33)

La perturbaci´ on total se puede considerar como una onda viajera de frecuencia ω que tiene una amplitud modulada o variable en el tiempo E0 (x, t) tal que E(x, t) = E0 (x, t) cos(kx − ωt),

(4.34)

E0 (x, t) = 2E01 (x, t) cos(km x − ωm t).

(4.35)

donde

En las aplicaciones de inter´es aqu´ı ω1 y ω2 siempre ser´an muy grandes. Adem´as, si ellas son comparables entre s´ı, ω1 ≈ ω2 , entonces ω  ωm y E0 (x, t) cambiar´ıa Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

69

´ DE ONDAS CAP´ITULO 4. SUPERPOSICION

lentamente mientras que E(x, t) variar´ıa muy r´apidamente. La irradiancia es proporcional a: 2 cos2 (km x − ωm t) E02 (x, t) = 4E01 o 2 E02 (x, t) = 2E01 [1 + cos 2(km x − ωm t)]. 2 Obs´ervese que E02 (x, t) oscila alrededor de un valor de 2E01 con una frecuencia 2ωm o simplemente (ω1 − ω2 ) que se conoce como la frecuencia de palpitaci´ on. En otras palabras, la frecuencia de modulaci´on, que corresponde a la envolvente de la curva, es la mitad de la frecuencia de palpitaci´on. Podr´ıa parecer que, como la forma de la onda entre dos nodos consecutivos se repite a s´ı misma, esa distancia debe ser la longitud de onda de la envolvente, pero este no es generalmente el caso. Las palpitaciones fueron observadas por primera vez usando luz en 1955 por Forrester, Gudmundsen y Johnson. A fin de obtener dos ondas de frecuencia ligeramente diferente usaron el efecto Zeeman. Cuando los ´atomos de una l´ampara de descarga, en este caso mercurio, se sujetan a un campo magn´etico, sus niveles de energ´ıa se dividen. Como resultado de ello la luz emitida contiene dos frecuencias componentes ν1 y ν2 que difieren en proporci´on a la magnitud del campo aplicado. Cuando estas componentes se recombinan en la superficie de un tubo mezclador fotoel´ectrico la frecuencia de palpitaci´on, ν1 − ν2 se genera. Espec´ıficamente, el campo estaba ajustado de tal manera que ν1 − ν2 = 1010 Hz que corresponde convenientemente a una se˜ nal de microondas de 3 cm. La corriente fotoel´ectrica registrada ten´ıa la misma forma que la curva E02 (x). El advenimiento del l´aser ha hecho desde entonces considerablemente m´as f´ acil la observaci´ on de las palpitaciones usando luz. Aun una palpitaci´on de unos pocos Hz en 1014 Hz se puede observar como una variaci´on en la corriente del fototubo. La observaci´ on de las palpitaciones representa ahora un medio particularmente simple y sensible de detectar peque˜ nas diferencias en la fecuencia. El efecto Doppler, que explica el desplazamiento de frecuencia cuando la luz se refleja en una superficie m´ovil, provee otra serie de aplicaciones de las palpitaciones. Esparciendo luz con un objeto, bien sea s´olido, l´ıquido o incluso gaseoso, y mezclando entonces las ondas original y reflejada, se obtiene una medida precisa de la velocidad del cuerpo. En forma muy parecida en escala at´omica, la luz de l´ aser cambiar´ a su fase al interaccionar con ondas de sonido que se mueven en un material (este fen´omeno se llama esparcimiento Brillouin). Entonces 2ωm queda como una medida de la velocidad del sonido en el medio.

.........................................................................

La perturbaci´ on examinada en la secci´on anterior,

4.2.2 Velocidad de Grupo

E(x, t) = E0 (x, t) cos(kx − ωt), consiste en una onda portadora de alta frecuencia (ω), modulada en amplitud por una funci´ on coseno. Suponiendo, por un momento, que la onda no estuviera modulada, es decir, E0 = constante. Cada peque˜ na cresta en la portadoras viajar´ıa a la derecha con la velocidad de fase usual. En otras palabras:   v = −

70

∂ϕ ∂t

∂ϕ ∂x

x=cte . t=cte

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA

De la ecuaci´ on (4.34) la fase est´ a dada por ϕ = (k − ωt) y por lo tanto ω . (4.36) k Claramente, ´esta es la velocidad de fase bien sea que la portadora est´e modulada o no. en el caso anterior las crestas simplemente cambian peri´odicamente de amplitud conforme van viajando. Evidentemente, hay otro movimiento en el que se est´a interesado y es la propagaci´ on de la envolvente moduladora. Sup´ongase que las ondas constitutivas, E1 (x, t) y E2 (x, t), avanzan con la misma velocidad, v1 = v2 . Imag´ınese, si se quiere, las dos ondas arm´ onicas con diferentes longitudes de onda y frecuencias dibujadas en hojas separadas de pl´astico transparente. Cuando ´estas se superponen de cierta manera la resultante es un patr´on estacionario de palpitaciones. Si ambas hojas se mueven hacia la derecha con la misma velocidad para simular ondas viajeras, las palpitaciones obviamente se mover´an con la misma velocidad. La rapidez con la cual la envolvente de modulaci´on avanza se conoce como velocidad de grupo o simb´ olicamente como vg . en este caso la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase de la portadora (la velocidad promedio, ω/k). En otras palabras, vg = v = v1 = v2 . Esto se aplica espec´ıficamente a medios no dispersores en los cuales la velocidad de fase es independiente de la longitud de onda de tal forma que las dos ondas tengan la misma velocidad. Para una soluci´ on de aplicaci´ on m´ as general se examinar´a la expresi´on para la envolvente de modulaci´ on: E0 (x, t) = 2E01 (x, t) cos(km x − ωm t). v=

La velocidad con la que se mueve la onda est´a de nuevo dada por la ecuaci´on (1.32) donde ahora se donde ahora se puede olvidar de la onda portadora. La modulaci´ on por consiguiente avanza con una rapidez dependiente de las fases de la envolvente (km x − ωm t) y as´ı: ωm vg = km o ω1 − ω2 ∆ω vg = = . k1 − k2 ∆k Obs´ervese, sin embargo, que ω puede ser dependiente de λ o, equivalentemente, de k. La funci´ on particular ω = ω(k) se llama relaci´ on de dispersi´ on. Cuando el rango de frecuencia ∆ω, centrado alrededor de ω, es peque˜ no ∆ω/∆k es aproximadamente igual a la derivada de la relaci´on de dispersi´on, es decir vg =

dω . dk

(4.37)

La modulaci´ on o se˜ nal se propaga con una velocidad vg que puede ser mayor, igual o menor que la velocidad de fase v, de la portadora. La ecuaci´on (4.37) es muy general y ser´ a cierta, tambi´en, para cualquier grupo de ondas que se superponen siempre que su rango de frecuencia sea angosto. Ya que ω = kv, la ecuaci´ on (4.37) da vg = v + k

dv . dk

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(4.38) 71

´ DE ONDAS CAP´ITULO 4. SUPERPOSICION

como una consecuencia, en medios no dispersores donde v es independiente de λ, dv/dk = 0 y vg = v. Espec´ıficamente en el vac´ıo ω = kc, v = c y vg = c. En medios dispersores v1 6= v2 , donde n(k) no se conoce, ω = kc/n y es u ´til reformular vg como: c kc dn vg = − 2 n n dk o   k dn vg = v 1 − (4.39) n dk Para medios ´ opticos en regiones de dispersi´on normal, el ´ındice de refracci´on aumenta con la frecuencia (dn/dk > 0) y como resultado vg < v. Claramente, se deber´ıa definir un ´ındice de refracci´ on de grupo ng ≡

c vg

(4.40)

que se debe distinguir cuidadosamente de n. A. A. Michelson en 1885 midi´o ng en bisulfuro de carbono usando pulsos de luz blanca y obtuvo 1.758 en comparaci´on con 1.635. La teor´ıa de la relatividad especial hace muy claro que bajo ninguna circunstancia una se˜ nal se puede propagar con una velocidad mayor que c. Sin embargo, ya se ha visto que bajo ciertas circunstancias la velocidad de fase puede exceder a c. La contradicci´on es solamente aparente y es debida al hecho de que mientras que una onda monocrom´atica puede en efecto tener una rapidez mayor que c, ella no puede llevar informaci´on. En contraste, una se˜ nal en la forma de cualquier onda modulada se propagar´a con la velocidad de grupo que es siempre menor que c en medios normalmente dispersores. 1

1 En regiones de dispersi´ on an´ omala donde dn/dk < 0, vg puede ser mayor que c. Aqu´ı, sin embargo, la se˜ nal se propaga con otra velocidad m´ as, muy diferente, concida como la velocidad de se˜ nal vs . Entonces vs = vg excepto en una banda de absorci´ on de resonancia. En todos los casos vg corresponde a la velocidad de transferencia de energ´ıa y nunca excede a c.

72

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

CAP´ITULO 5

Interferencias ´Indice General 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . Interfer´ ometros de Divisi´ on de Frente de Onda . Pel´ıculas Diel´ ectricas. Interferencia de dos Haces 5.4.1. Franjas de Igual Inclinaci´ on . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . .

73

. . . . . .

74 78 79 83 84 86

CAP´ITULO 5. INTERFERENCIAS ´ 5.1 SECCION

Consideraciones Generales La luz es, por supuesto, un fen´omeno vectorial; los campos el´ectricos y magn´eticos son campos vectoriales. Una apreciaci´on de este hecho es fundamental para cualquier tipo de entendimiento intuitivo de la ´optica. No es necesario decir que hay muchas situaciones en las que el sistema ´optico en particular est´a de tal manera configurado que la naturaleza vectorial de la luz es de poco significado pr´ actico. Se deducir´ a por lo tanto las ecuaciones de interferencia b´asicas dentro del contexto del modelo vectorial, delineando despu´es las condiciones bajo las cuales el tratamiento escalar es aplicable. De acuerdo con el principio de superposici´on, la intensidad del campo el´ec~ en un punto en el espacio que proviene de los campos separados E ~ 1 , E, ~ trico E, . . ., de varias fuentes que contribuyen, est´a dada por: ~ =E ~1 + E ~2 + . . . . E ~ Una vez m´ as se hace notar que la perturbaci´on ´optica, o campo luminoso E, var´ıa en un tiempo sumamente r´apido, aproximadamente: 4,3 × 1014 Hz a 7,5 × 1014 Hz, haciendo que el campo real sea una cantidad pr´acticamente indetectable. Por otro lado, la irradiancia I puede ser medida directamente usando una gran variedad de sensores (por ejemplo, fotoceldas, bol´ometros, emulsiones fotogr´aficas u ojos). Realmente, si se va a estudiar la interferencia, entonces es mejor que se ataque el problema por medio de la irradiancia. Gran parte del an´ alisis que sigue se puede efectuar sin especificar la forma particular de los frentes de onda y los resultados son por consiguiente muy generales en su aplicabilidad. Sin embargo, con el prop´osito de simplificar, se considerar´ an dos fuentes puntuales S1 y S2 emitiendo ondas monocrom´aticas de la misma frecuencia en un medio homog´eneo. Adem´as, perm´ıtase que su separaci´ on a sea mucho m´as grande que λ. Col´oquese el punto de observaci´on P lo suficientemente lejos de las fuentes de tal forma que los frentes de onda en P sean planos. Por el momento se considerar´an solamente ondas linealmente polarizadas de la forma:   ~ 1 (~r, t) = E ~ 01 cos ~k1 · ~r − ωt + ε1 E y   ~ 2 (~r, t) = E ~ 02 cos ~k2 · ~r − ωt + ε2 E Anteriormente se vi´ o que la irradiancia en P est´a dada por: D E ~2 I = v E Puesto que solamente son concernientes las irradiancias relativas dentro del mismo medio, se despreciar´an, al menos por el momento, las constantes y se pondr´ a: D E ~2 . I= E 74

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

5.1. CONSIDERACIONES GENERALES

D E ~ 2 es, por supuesto, el promedio en el tiempo de Lo que se quiere decir por E E D ~ ·E ~ . Por la magnitud de la intensidad del campo el´ectrico al cuadrado o E consiguiente, ~2 = E ~ · E, ~ E donde ahora

    ~2 = E ~1 + E ~2 · E ~1 + E ~2 E

y por lo tanto: ~2 = E ~ 12 + E ~ 22 + 2E ~1 · E ~2 E Tomando el promedio en el tiempo de ambos lados, la irradiancia queda: I = I1 + I2 + I12

(5.1)

siempre que: D E ~ 12 , I1 = E D E ~2 I2 = E 2 y D E ~1 · E ~2 . I12 = 2 E La u ´ltima expresi´ on se conoce como t´ermino de interferencia. Para evaluarlo en este caso espec´ıfico, se forma:   ~1 · E ~2 = E ~ 01 · E ~ 02 cos ~k1 · ~r − ωt + ε1 E   × cos ~k2 · ~r − ωt + ε2 o equivalentemente: ~1 · E ~2 = E ~ 01 · E ~ 02 [cos(~k1~r + ε1 ) × cos ωt E + sin(~k1 · ~r + ε1 ) sin ωt] × [cos(~k2 · ~r + ε2 ) cos ωt

(5.2)

+ sin(~k2 · ~r + ε2 ) sin ωt]. Recordando que el promedio en el tiempo de alguna funci´on f (t), tomado sobre un intervalo T , es: hf (t)i =

1 T

Z

t+T

f (t0 )dt0 .

(5.3)

t

El per´ıodo τ de las funciones arm´ onicas es 2π/ω y para la mayor´ıa de los prop´ositos presentes T  τ . En ese caso el coeficiente 1/T frente a la integral tiene un efecto dominante. Despu´es de multiplicar y sacar el promedio, la ecuaci´on (5.2) queda: D

  E ~1 · E ~2 = 1 E ~ 01 · E ~ 02 cos ~k1 · ~r + ε1 − ~k2 · ~r − ε2 , E 2 Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

75

CAP´ITULO 5. INTERFERENCIAS



 donde se utiliz´ o el hecho de que cos2 ωt = 12 , sin2 ωt = 0. El t´ermino de interferencia es:

1 2

y hcos ωt sin ωti =

~ 01 · E ~ 02 cos δ I12 = E (5.4)   y δ, igual a ~k1 · ~r − ~k2 · ~r + ε1 − ε2 , es la diferencia de fase que proviene de combinar una diferencia de longitud de trayectoria y una diferencia de fase incial. ~ 01 y E ~ 02 (y por consiguiente E ~1 y E ~ 2 ) son perpendiculares, Obs´ervese que si E I12 = 0 y I = I1 + I2 . Dos estados ortogonales P tales se combinan para dar un estado R, L, P o E, pero la distribuci´on de densidad de flujo quedar´a inalterada. La situaci´ on que casi siempre ocurre en el trabajo que sigue corresponde a ~ 01 paralelo a E ~ 02 . en ese caso, la irradiancia se reduce al valor encontrado en E el tratamiento escalar. Bajo esas condiciones: I12 = E01 E02 cos δ. Esto se puede escribir en una forma m´as conveniente notando que:

 E2 I1 = E12 = 01 2 y

 E2 I2 = E22 = 02 2 El t´ermino de interferencia queda: p I12 = 2 I1 I2 cos δ, en donde la irradiancia total es: p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ.

(5.5)

En varios puntos en el espacio, la irradiancia resultante puede ser mayor, menor o igual a I1 + I2 dependiendo del valor I12 , es decir, dependiendo de δ. Un m´ aximo en la irradiancia se obtiene cuando cos δ = 1, tal que: p Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2 . cuando δ = 0, ±2π, ±4π, . . . . En este caso la diferencia de fase entre las dos ondas es un m´ ultiplo entero de 2π, y las perturbaciones est´an en fase. Se habla de esto como interferencia constructiva total. Cuando 0 < cos δ < 1 las ondas est´an fuera de fase, I1 + I2 < I < Imax y el resultado se conoce como interferencia constructiva. En δ = π/2, cos δ = 0, las perturbaciones ´opticas est´an 90o fuera de fase y I = I1 + I2 . Para 0 > cos δ > −1 se tiene la condici´on de interferencia destructiva, I1 + I2 > I > Imin . El m´ınimo en la irradiancia resulta cuando las ondas est´an 180o fuera de fase, valles sobre crestas, cos δ = −1, y p Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2 . 76

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

5.1. CONSIDERACIONES GENERALES

Esto, por supuesto, ocurre cuando δ = ±π, ±3π ± 5π, . . ., y recibe el nombre de interferencia destructiva total. Otro caso algo especial, aunque no muy importante aparece cuando las am~ 01 = E ~ 02 . Ya plitudes de ambas ondas que llegan a P son iguales, es decir, E que las contribuciones a la irradiancia de ambas fuentes son entonces iguales, haciendo I1 = I2 = I0 . La ecuaci´ on (5.5) se puede ahora escribir como: I = 2I0 (1 + cos δ) = 4I0 cos2

δ 2

(5.6)

de lo cual se deduce que Imin = 0 y Imax = 4I0 . La ecuaci´ on (5.5) es igualmente v´alida para las ondas esf´ericas emitidas por S1 y S2 . Tales ondas se pueden expresar como: ~ 1 (r1 , t) = E ~ 01 (r1 )ei(kr1 −ωt+ε1 ) E y ~ 2 (r2 , t) = E ~ 02 (r2 )ei(kr2 −ωt+ε2 ) E Los t´erminos r1 y r2 son los radios de los frentes de onda esf´ericos que se superponen en P , es decir, ellos especifican las distancias de las fuentes J. En este caso: δ = k(r1 − r2 ) + (ε1 − ε2 ). La densidad de flujo en la regi´ on que rodea a S1 y S2 ciertamente variar´a de punto a punto al variar (r1 − r2 ). No obstante, del principio de conservaci´on de la energ´ıa, se espera que el promedio espacial de I permanezca constante e igual al promedio de I1 + I2 . El promedio espacial de I12 debe ser por lo tanto cero, una propiedad verificada por la ecuaci´on (5.4) ya que el promedio del t´ermino del coseno es, en efecto, cero. La ecuaci´ on (5.6) ser´ a aplicable cuando la separaci´on entre S1 y S2 sea peque˜ na en comparaci´ on con r1 y r2 y cuando, adem´as, la regi´on de interferencia ~ 01 y E ~ 02 tambi´en sea peque˜ na en el mismo sentido. Bajo estas circunstancias E pueden considerarse independientes de la posici´on, es decir, constantes en la ~ 01 = peque˜ na regi´ on examinada. Si las fuentes emisoras son de igual intensidad E ~ E02 , I1 = I2 = I0 y se tiene: I = 4I0 cos2

1 [k(r1 − r2 ) + (ε1 − ε2 )] 2

Los m´aximos de irradiancia ocurren cuando: δ = 2πm siempre que m = 0, ±1, ±2, . . .. Similarmente, los t´erminos para los cuales I = 0, aparecen cuando: δ = π(2m + 1). Estas expresiones se pueden reescribir de tal forma que la m´axima irradiancia ocurre cuando: 2πm + (ε2 − ε2 ) (r1 − r2 ) = (5.7) k y la m´ınima cuando (r1 − r2 ) =

π(2m + 1) + (ε2 − ε2 ) k

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

77

CAP´ITULO 5. INTERFERENCIAS

Cualquiera de estas ecuaciones define una familia de superficies, cada una de las cuales es un hiperboloide de revoluci´on. Los v´ertices de los hiperboloides est´an separados por distancias iguales a los lados derechos de las ecuaciones (5.7). Los focos est´ an localizados en S1 y S2 . Si las ondas est´an en fase al salir del emisor ε1 − ε2 = 0, y las ecuaciones (5.7) se simplifican a: 2πm = mλ k   1 π(2m + 1) (r1 − r2 ) = = m+ λ k 2 (r1 − r2 ) =

para irradiancia m´ axima y m´ınima, respectivamente. Las zonas claras y oscuras que se ver´ıan en una pantalla colocada en la regi´on de interferencia se conocen como franjas de interferencia. ´ 5.2 SECCION

Condiciones para la Interferencia Si el patr´ on de interferencia que corresponde a las ecuaciones (5.7) es observable, la diferencia de fase (ε1 − ε2 ) entre las dos fuentes debe permanecer bastante constante en el tiempo. Tales fuentes son coherentes. Dos haces que se superponen y que vienen de emisores separados interferir´an, pero el patr´on resultante no se sostendr´a el tiempo suficiente para ser f´acilmente observable. Una fuente t´ıpica contiene un gran n´ umero de ´atomos excitados, cada uno capaz de radiar un tren de onda aproximadamente por 10−8 s. Dos fuentes distintas por consiguiente podr´ıan mantener sus fases relativas, en el mejor de los casos, 10−8 s. El patr´ on de interferencia resultante ser´ıa constante en espacio solamente durante ese lapso, antes de que var´ıe al cambiar la fase, y de ah´ı en adelante permanecer´ıa estable por otro momento, solamente para cambiar de nuevo y as´ı sucesivamente. Por consiguiente, ser´ıa in´ util intentar ver o fotografiar el patr´on de interferencia resultante de dos l´amparas. Se han usado dos l´aseres separados para generar patrones de interferencia. La forma m´as com´ un de resolver el problema, como se ver´ a, es hacer que una fuente se utilice para producir dos fuentes secundarias coherentes. Si dos haces deben interferir para producir un patr´on estable, deben tener casi la misma frecuencia. Una diferencia de frecuencia significante resultar´ıa en una diferencia de fase dependiente del tiempo, variando r´apidamente el cual a su vez har´ıa que I12 se promediase a cero durante el intervalo de detecci´on. Los patrones m´ as claros existir´an cuando las ondas que interfirieron tengan amplitudes iguales o casi iguales. Las regiones centrales de las franjas oscuras y claras corresponden entonces a interferencia completamente destructiva o constructiva, respectivamente, dando m´aximo contraste. En la secci´ on previa se supuso que dos vectores de perturbaciones ´opticas superpuestos estaban linealmente polarizados y paralelos. No obstante, las f´ormulas de la secci´ on anterior se aplican tambi´en a situaciones m´as complicadas; realmente el tratamiento es aplicable sin importar el estado de polarizaci´on de las ondas. Para apreciar esto, es preciso recordar que cualquier estado de polarizaci´ on se puede sintetizar en estados P ortogonales. Para luz natural (no 78

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ ´ DE FRENTE DE ONDA 5.3. INTERFEROMETROS DE DIVISION

polarizada) estos estados P son mutuamente incoherentes, pero ello no representa ninguna dificultad particular. Sup´ ongase que cada onda tiene su vector de propagaci´on en el mismo plano de tal forma se pueden marcar los estados P ortogonales constitutivos con res~k y E ~ ⊥ , los cuales son paralelos y perpendiculares al pecto a ese plano, es decir, E plano respectivamente. Entonces, cualquier onda plana polarizada o no, se pue~k +E ~ ⊥ ). Imag´ınese entonces que la sondas (E ~ k1 + E ~ ⊥1 ) de escribir en la forma (E ~ k2 + E ~ ⊥2 ) emitidas desde dos fuentes coherentes id´enticas se superponen y (E en la misma regi´ on del espacio. La distribuci´on de densidad de flujo resultante consistir´ıaD de dos patrones precisamente superE deDinterferencia independientes, E 2 2 ~ ~ ~ ~ puestas, (Ek1 + E⊥1 ) y (Ek2 + E⊥2 ) . Por consiguiente, puesto que se dedujeron las ecuaciones en la secci´on anterior, espec´ıficamente para luz lineal, ellas son aplicables tambi´en, para cualquier estado de polarizaci´on incluyendo luz natural. ~ ⊥1 y E ~ ⊥2 son siempre paralelas una a otra E ~ k1 Obs´ervese que aunque E ~ k2 , las cuales est´ y E an en el plano de referencia, no necesariamente lo son. Ser´an paralelas solamente cuando los dos haces son paralelos entre s´ı (es decir, ~k1 = ~k2 ). La naturaleza vectorial inherente del proceso de interferencia, como se manifiesta en la representaci´ on del producto escalar (5.4) de I12 , no puede por consiguiente ignorarse. Como se ver´a, hay muchas situaciones pr´acticas en las que los dos haces son casi paralelos y para ´estos la teor´ıa escalar funciona perfectamente. Fresnel y Arago hicieron un estudio extensivo de las condiciones bajo las cuales la interferencia de luz polarizada ocurre y sus conclusiones resumen algunas de las consideraciones anteriores. Las leyes de Fresnel-Arago son las siguientes: 1. Dos estados P coherentes ortogonales no pueden interfereir en el sentido de que I12 = 0 y no resulten franjas. 2. Dos estados P coherentes y paralelos interfieren en la misma forma que la luz natural. 3. dos estados P ortogonales constitutivos de la luz natural no pueden interferir para formar un patr´ on f´acilmente observable aunque se giran para alinearlos. Este u ´ltimo punto es comprensible ya que estos estados P son incoherentes. ´ 5.3 SECCION

Interfer´ ometros de Divisi´ on de Frente de Onda La ecuaci´ on (r1 − r2 ) = mλ determinaba las superficies de irradiancia m´axima. Ya que la longitud de onda λ para la luz es muy peque˜ na, un gran n´ umero de superficies que corresponden a los valores m´ as bajos de m existir´an cerca y ambos lados del plano m = 0. Un n´ umero de franjas paralelas y bastante rectas por consiguiente aparecer´an en una pantalla colocada perpendicularmente al plano (m = 0) y en la vecindad de ´el, y para este caso la aproximaci´on r1 ≈ r2 ser´a v´alida. Si S1 y S2 son Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

79

CAP´ITULO 5. INTERFERENCIAS

entonces desplazados normalmente a la l´ınea S1 S2 , las franjas solamente ser´an desplazadas paralelamente a s´ı mismas. Pr´acticamente, dos rendijas angostas por consiguiente aumentar´an la irradiancia dejando esencialmente inalterada, por otro lado, la regi´ on central del patr´on de las dos fuentes puntuales. Consid´erese una onda plana monocrom´atica hipot´etica iluminando una rendija larga y angosta. De esa rendija primaria emerger´a una onda cil´ındrica; y sup´ ongase que esta onda, a su vez, cae en dos rendijas S1 y S2 muy juntas, angostas y paralelas. Cuando existe simetr´ıa, los segmentos del frente de onda primario que llegan a las dos rendijas estar´an exactamente en fase, y las rendijas constituir´ an dos fuentes secundarias coherentes. Se espera que donde quiera que las dos ondas que vienen de S1 y S2 se superpongan, ocurrir´a interferencia (siempre que la diferencia de camino ´optico sea menor que la longitud de coherencia, c∆t). En una situaci´ on f´ısica realista la distancia entre cada una de las pantallas ser´ıa larga en comparaci´on con la distancia a entre las dos rendijas, y todas las franjas estar´ıan bastante cerca del centro O de la pantalla. La diferencia de camino entre los rayos a lo largo de S1 P y S2 P se puede obtener, con buena aproximaci´ on, bajando una perpendicular desde S2 hasta S1 P . Esta diferencia de camino est´ a dada por:


S1 B = S1 P − S2 P

(5.8)

o
S1 B = r1 − r2 . Continuando con esta aproximaci´on la diferencia de camino se puede expresar como: r1 − r2 = aθ

(5.9)

ya que θ ≈ sin θ.

Obs´ervese que θ=

y s

(5.10)

y as´ı r 1 − r2 =

a y. s

De acuerdo con la secci´on (5.11), la interferencia constructiva ocurrir´a cuando: r1 − r2 = mλ.

(5.11)

Entonces, de las u ´ltimas dos relaciones se obtiene: ym = 80

s mλ. a

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(5.12)

´ ´ DE FRENTE DE ONDA 5.3. INTERFEROMETROS DE DIVISION

Esto da la posici´ on de la m-´esima franja brillante sobre la pantalla si se cuenta el m´aximo 0 como la franja cero. La posic´on angular de la franja se obtiene sustituyendo la u ´ltima expresi´ on en la ecuaci´on (5.10) θm =

mλ a

(5.13)

Esta relaci´ on se puede obtener directamente mediante m´etodos geom´etricos. Para el orden m-´esimo de interferencia, m longitudes de onda enteras deben caber dentro de la distancia r1 − r2 . Por consiguiente, del tri´angulo S1 S2 B se obtiene: mλ . θm = a El espacio entre franjas en la pantalla se puede obtener f´acilmente de la ecuaci´ on (5.12). La diferencia en las posiciones de dos m´aximos consecutivos es: ym+1 − ym =

s s (m + 1)λ − mλ a a

o

s λ. (5.14) a Ya que este patr´ on es equivalente al obtenido para dos ondas esf´ericas superpuestas (al menos en la regi´on r1 ≈ r2 ), se puede aplicar la ecuaci´on (5.6). Usando la diferencia de fase ∆y =

δ = k(r1 − r2 ). La ecuaci´ on (5.6) se puede reescribir como: I = 4I0 cos2

k(r1 − r2 ) 2

siempre que, por supuesto, los dos haces sean coherentes y tengan irradiancias iguales a I0 . Con a r1 − r2 = y s la irradiancia resultante queda: I = 4I0 cos2

yaπ . sλ

Los m´ aximos consecutivos est´ an separados por la ∆y dada en la ecuaci´on (5.14). Una observaci´ on visual directa del patr´on de las franjas se puede hacer perforando dos peque˜ nos agujeros en una tarjeta delgada. Los agujeros deben ser aproximadamente del tama˜ no del tipo de imprenta usado para el punto en esta p´agina y con sus centros separados alrededor de 3 radios. Una l´ampara en la calle, las luces de un autom´ ovil o un sem´aforo en la noche, localizados a pocos metros de distancia servir´ a como fuente de ondas planas. Esta tarjeta debe ser colocada directamente frente y muy cerca del ojo. El patr´on es mucho m´as f´acil de observar usando rendijas, pero vale la pena ensayar los agujeritos. Las microondas, debido a su gran longitud de onda, tmabi´en ofrecen una forma f´ acil de observar la interferencia de doble rendija. Dos rendijas (por ejemplo, λ/2 de ancho por λ de largo, separados por 2λ) cortadas en un pedazo de l´amina u hoja met´ alica servir´ an muy bien como fuente de onda secundaria. Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

81

CAP´ITULO 5. INTERFERENCIAS

La configuraci´ on interferom´etrica discutida antes, con fuentes puntuales o de rendija, se conoce como experimento de Young. El principio f´ısico y las consideraciones matem´ aticas se aplican directamente a otros interfer´ometros de divisi´on de frente de onda. Entre los m´as comunes de ellos est´an el espejo doble de Fresnel, el prisma doble de Fresnel y el espejo de Lloyd. El espejo doble de Fresnel consiste en dos espejos planos metalizados al frente e inclinados uno respecto al otro con un ´angulo muy peque˜ no. Una porci´on del frente de onda cil´ındrico proveniente de la rendija S se refleja en el primer espejo, mientras que otra porci´on del frente de onda se refleja en el segundo espejo. Un campo de interferencia existe en el espacio en la regi´on deonde las dos ondas reflejadas se superponen una sobre la otra. Las im´agenes (S1 y S2 ) de la rendija S en los dos se pueden considerar como fuentes coherentes separadas, colocadas con una separaci´ on a. De la ley de la reflexi´on se deduce que SA = S1 A, SB = S2 B, de tal forma que SA+AP = r1 y SB +BP = r2 . La diferencia de camino ´optico entre los dos rayos es simplemente r1 −r2 . Los m´aximos ocurren en r1 −r2 = mλ como era el caso para el interfer´ometro de Young. De nuevo, la separaci´on de las franjas est´ a dada por: s ∆y = λ a donde s es la distancia entre el plano de las dos fuentes virtuales (S1 , S2 ) y la pantalla. N´ otese que el ´angulo θ entre los espejos debe ser muy peque˜ no si los vectores de campo el´ectrico para cada uno de los dos haces son paralelos o casi ~1 y E ~ 2 las ondas de luz emitidas por las fuentes paralelos. Repres´entese por E coherentes virtuales S1 y S2 . En cualquier instante de tiempo en el punto P en el espacio, cada uno de estos vectores se puede resolver en componentes, paralelas y perpendiculares al plano de la p´agina. Con ~k1 y ~k2 paralelas a AP y BP ~1 y E ~ 2 en el plano de respectivamente, debe ser evidente que las componentes E la pagina se acercan al paralelismo solamente para θ peque˜ na. El prisma doble de Fresnel o biprisma consiste en dos prismas unidos en las bases. Un frente de onda cil´ındrico simple llega a ambos prismas. La porci´on superior del frente de onda se refracta hacia abajo, mientras que el segmento inferior se refracta hacia arriba. En la regi´on de superposici´on ocurre la interferencia. Aqu´ı de nuevo, existen dos fuentes virtuales, S1 y S2 , separadas por una distancia A la cual puede ser expresada en t´erminos del ´angulo α del prisma donde s  a. La expresi´on para la separaci´on de las franjas es la misma que antes. El u ´ltimo interfer´ ometro de divisi´on de frente de onda que se considerar´a es el espejo de Lloyd. Consiste en una pieza plana de diel´ectrico o metal que sirve como espejo, del cual se refleja una porci´on del frente de onda cil´ındrico que sale de la rendija S. Otra porci´on del frente de onda procede directamente de la rendija a la pantalla. Para la separaci´on a, entre las dos ondas coherentes, se toma la distancia entre la rendija real y su imagen S1 en el espejo. El espacio entre las franjas est´ a de nuevo dado por as λ. La caracter´ıstica que distingue a este dispositivo es que a incidencia rasante (θi ≈ π/2) el haz reflejado sufre un cambio de fase de 180o (hay que recordar que el coeficiente de reflexi´on para las amplitudes es entonces igual a -1). Con un cambio de fase adicional de ±π. δ = k(r1 − r2 ) ± π 82

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ 5.4. PEL´ICULAS DIELECTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES

y la irradiancia queda: I = 4I0 sin2

 πay  sλ

.

El patr´ on de franjas para el espejo de Lloyd es complementario del de interfer´ometro de Young; el m´ aximo de de un patr´on existe para valores de y que corresponden a los m´ınimos en el otro patr´on. La orilla superior del espejo es equivalente a y = 0 y ser´ a el centro de una franja oscura en lugar del de una franja brillante como en el sistema de Young. La mitad inferior del patr´on ser´a obsturida por la presencia del espejo mismo. Consid´erese, entonces, qu´e pasar´ıa si una hoja delgada de material transparente se colocara en la trayectoria de los rayos que viajan directamente a la pantalla. La hoja transparente tendr´ıa el efecto de aumentar el n´ umero de longitudes de onda en cada rayo directo. El patr´on entero se mover´ıa hacia arriba hasta donde los rayos reflejados viajar´ıan un poco m´ as antes de interferir. Debido a la simplicidad obvia inherente de este sistema se ha encontrado u ´til en una regi´on muy ancha del espectro electromagn´etico. Las superficies reflectoras reales han variado de cristal por rayos X, de vidrio com´ un para luz, de pantallas de alambre para microondas, a un lago o incluso la ionosfera de la tierra para ondas de radio. Todos los interfer´ ometros anteriores se pueden demostrar muy f´acilmente. La fuente de luz debe ser fuerte; si no se dispone de un l´aser, una l´ampara de descarga o un arco de carb´ on seguida por una celda de agua, para enfriar las cosas un poco, trabajar´ıa satisfactoriamente. La luz no es monocrom´atica, pero las franjas, que ser´ an coloreadas, a´ un se pueden observar. Una aproximaci´on satisfactoria a la luz monocrom´atica se puede obtener con un filtro colocado frente al arco. Un l´ aser He-Ne de baja potencia es quiz´a la fuente m´as f´acil para trabajar y con ella no se necesitar´ a una celda de agua o filtro. ´ 5.4 SECCION

Pel´ıculas Diel´ ectricas. Interferencia de dos Haces Los efectos de la interferencia se observan en materiales transparentes, el espesor de los cuales var´ıa en un amplio rango. El rango de valores va desde pel´ıculas con espesores menores que la longitud de onda de la luz (por ejemplo, para luz verde λ0 es aproximadamente igual a 1/150 el espesor de esta hoja de papel) hasta placas con varios centr´ımetros de espesor. Se dice que una capa de alg´ un material es una pel´ıcula delgada para cierta longitud de onda de radiaci´on electromagn´etica cuando su espesor es del orden de la longitud de onda. A cominezos de la d´ecada de los cuarenta, el fen´omeno asociado con pel´ıculas delgadas diel´ectricas, aunque era bien conocido, hab´ıa tenido aplicaciones limitadas. El despliegue espectacular de colores que aparece en las capas de aceite y en las pompas de jab´ on, aunque est´etica y te´oricamente son agradables, fueron pr´acticamente s´ olo bellas curiosidades. El advenimiento de t´ecnicas adecuadas de deposici´on al vac´ıo en la d´ecada de 1930 trajo consigo la capacidad de producir recubrimientos precisamente controlados a escala comercial y con eso, a su vez un renacimiento del inter´es. Durante la Segunda Gerra Mundial, ambos lados encontraban al enemigo con una variedad de dispositivos ´ opticos recubiertos y alrededor de 1960 se usaban profusamente recubrimientos de multicapas. Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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CAP´ITULO 5. INTERFERENCIAS ......................................................................... 5.4.1 Franjas de Igual Inclinaci´ on

Inicialmente, se considerar´a el caso sencillo de una placa transparente y paralela de material diel´ectrico con un espesor d. Sup´ongase que la pel´ıcula es no absorbente y que los coeficientes de reflexi´on de amplitud en las caras son tan bajos, que u ´nicamente se necesitan considerarse los dos primeros haces reflejados E1r y E2r (ambos han sufrido s´olo una reflexi´on). En la pr´actica los haces reflejados varias veces (E3r , etc.) por lo general decrecen muy r´apidamente, como puede ser demostrado para las interfases entre aire-agua y aire-vidrio. Por el momento, se considerar´a a S como una fuente puntual monocrom´atica. La pel´ıcula sirve como un dispositivo de divisi´on de amplitud, tal que E1r y E2r pueden ser considerados como provenientes de dos fuentes coherentes virtuales colocadas atr´ as de la pel´ıcula. Los rayos reflejados son paralelos cuando dejan la pel´ıcula y se pueden unir en un punto P sobre el plano focal de un objetivo de telescopio o sobre la retina del ojo cuando est´a enfocado al infinito. La diferencia de camino ´ optico para los dos primeros rayos reflejados est´a dada por:


 Λ = nf AB + BC − n1 AD

y puesto que AB = BC = d/ cos θt ,
2nf d − n1 AD . cos θt
Ahora, para encontrar una expresi´on para AD , se escribe:

AD = AC sin θi ; Λ=

si se hace uso de la ley de Snell, esto se transforma en:

nf AD = AC sin θi , n1 donde
AC = 2d tan θt .

(5.15)

La expresi´ on para Λ ahora es: Λ=

2nf d (1 − sin2 θt ) cos θt

o finalmente Λ = 2nf d cos θt .

(5.16)

La diferencia de fase correspondiente y asociada con la diferencia de camino optico es entonces justamente el producto del n´ ´ umero de propagaci´on del vac´ıo y Λ, es decir, k0 Λ. Si la pel´ıcula est´a sumergida en un solo medio, el ´ındice de refracci´ on se puede escribir simplemente como n1 = n2 = n. Hay que darse cuenta, por supuesto, que n puede ser menor que nf , como en el caso de la pompa de jab´ on en aire; o mayor que nf , como con una capa de aire entre dos placas delgadas de vidrio. En cualquier caso habr´a un corrimiento adicional en la fase como resultado de las reflexiones mismas. Hay que recordar que, independientemente de la polarizaci´on de la luz incidente, los dos haces, uno reflejado interna y el otro externamente, sufrir´an un cambio relativo de fase de π radianes. De acuerdo a ello: δ = k0 Λ ± π 84

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ 5.4. PEL´ICULAS DIELECTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES

y m´as explicitamente 4πnf d cos θt ± π λ0

(5.17)

4πnf q 2 nf − n2 sin θi ± π λ0

(5.18)

δ= o δ=

El signo de corrimiento de fase no es relevante, de tal modo que se escoger´a el signo negativo para hacer las ecuaciones un poco m´as simples. En luz reflejada un m´aximo de interferencia, un punto brillante, aparecer´a en P cuando δ = 2mπ, o sea, un m´ ultiplo par de π. En ese caso la ecuaci´on (5.17) puede ser arreglada para obtener d cos θt = (2m + 1)

λf 4

m = 0, 1, 2, . . . , m´aximos

(5.19)

donde se ha usado el hecho de que λf = λ0 /nf . Esto tambi´en corresponde a m´ınimos en la luz transmitida. Los m´ınimos de interferencia en luz reflejada (m´aximos en transmitida) resultan cuando δ = (2m ± 1)π, es decir, m´ ultiplos impares de π. Para tales casos la ecuaci´on (5.17) da: d cos θt = 2m

λf . 4

(5.20)

El hecho de que aparezcan m´ ultiplos pares e impares de λf /4 en las ecuaciones (5.19) y (5.20) es bastante significativo, como se ver´a posteriormente. Se puede, por supuesto, tener una situaci´ on donde n1 > nf > n2 o donde n1 < nf < n2 como en el caso de una pel´ıcula de fluorita depositada sobre un elemento ´optico sumergido en aire. El corrimiento de fase en π no se presentar´ıa y las ecuaciones anteriores tendr´ıan que ser modificadas apropiadamente. Si la lente empleada para enfocar los rayos tiene una abertura peque˜ na, las franjas de interferencia aparecer´ an sobre una porci´on peque˜ na de la pel´ıcula. Solamente los rayos que salen de la fuente puntual, los cuales son reflejados directamente hacia la lente, podr´ an ser observados. Para una fuente extensa, la luz llegar´ a a la lente desde varias direcci´ones y el patr´on de franjas se extender´a para cubrir una ´ area mayor de la pel´ıcula. El ´ angulo θi o equivalentemente θt , determinado por la posici´on de P , a su vez controlar´ a δ. Las franjas que aparezcan en los puntos P1 y P2 son, correspondientemente, conocidas como franjas de igual inclinaci´ on. Hay que recordar que cada fuente puntual sobre la fuente extendida es incoherente con respecto a las otras.
Obs´ervese que conforme la pel´ıcula se hace m´as gruesa, la separaci´on AC entre E1r y E2r tambi´en aumenta ya que:
AC = 2d tan θt . Cuando s´ olo uno de los rayos puede entrar a la pupila del ojo, el patr´on de interferencia desaparecer´ a. La lente m´as grande de un telescopio puede ser usada entonces para atrapar ambos rayos, haciendo una vez m´as posible la observaci´on Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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CAP´ITULO 5. INTERFERENCIAS

del patr´ on. La separaci´ on tambi´en puede disminuirse reduciendo θt y por lo tanto θi , o sea, observando la pel´ıcula casi a incidencia normal. Las franjas de igual inclinaci´ on observadas en esta forma para placas gruesas se conocen como franjas de Haidinger. Con una fuente extendida ellas consisten de una serie de bandas circulares conc´entricas centradas sobre la perpendicular del ojo a la pel´ıcula. Conforme el observador se mueve, el patr´on tambi´en lo hace. ......................................................................... 5.4.2 Franjas de Igual Espesor

Existe toda una clase de franjas de interferencia para las cuales el espesor ´ptico, nf d, es el par´ o ametro dominante m´as que θi . Estas se llaman franjas de igual espesor. Bajo iluminaci´on con luz blanca la iridiscencia de pompas de jab´ on, capas de aceite (con unas cuantas longitudes de onda gruesa), e incluso superficies de metal oxidado, todas ellas son resultados de variaciones en el espesor de la pel´ıcula. Las bandas de interferencia de este tipo son an´alogas al contorno de l´ıneas de altura constante de un mapa topogr´afico. Cada franja es el lugar geom´etrico de todos los puntos en la pel´ıcula para el cual el espesor optico es constante. En general, nf no var´ıa, de tal modo que las franjas en ´ realidad corresponden a regiones de igual espesor en la pel´ıcula. Como tal, ellas pueden ser bastante u ´tiles para determinar aspectos diferentes de la superficie de elementos ´ opticos: lentes, prismas, etc. Por ejemplo, una superficie que va a ser examinada se puede poner en contacto con un plano ´ optico. 1 El aire entre el espacio de las dos superficies genera un patr´on de interferencia de pel´ıculas delgadas. Si la superficie bajo prueba es plana, una serie de bandas rectas e igualmente espaciadas indicar´a una pel´ıcula de aire en forma de cu˜ na, resultando proveniente, generalmente, del polvo entre los planos. Dos piezas de placas de vidrio separadas en un extremo por una tira de papel formar´an una cu˜ na satisfactoria con la cual se observar´an estas bandas. Cuando se ve casi a incidencia normal, los contornos provenientes de una pel´ıcula no uniforme se llaman franjas de Fizeau. Para una cu˜ na delgada de angulo peque˜ ´ no α, la diferencia de camino ´optico entre los dos rayos reflejados puede ser aproximada por la ecuaci´on (5.16), donde d es el espesor para un punto particular, es decir: d = xα Para ´ angulos peque˜ nos de θi la condici´on para interferencia m´axima es:   1 λ0 = 2nf dm m+ 2 o 

1 m+ 2

 λ0 = 2αxm nf .

Puesto que nf = λ0 /λf , xm puede escribirse como:  xm =

m + 12 2α

 λf .

1 Una superficie se dice que est´ a ´ opticamente plana cuando se desv´ıa no m´ as de λ/4 respecto a un plano perfecto. En el pasado, los mejores planos fueron hechos de cuarzo fundido transparente. Ahora hay disponibles materiales de vidrio-cer´ amica (por ejemplo, CER-VIT) que tiene coeficientes de expansi´ on t´ ermica muy peque˜ nos (alrededor de un sexto de los de cuarzo). Se pueden hacer planos individuales de λ/200 o un poco mejores.

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Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ 5.4. PEL´ICULAS DIELECTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES

Los m´ aximos ocurren a distancias del v´ertice dadas por λf /4α, 3λf /4α, etc., y las franjas consecutivas est´ an separadas por una distancia ∆x, dada por: ∆x =

λf 2α

Obs´ervese que la diferencia de espesor de la pel´ıcula entre m´aximos adyacentes es simplemente λf /2. Puesto que el haz reflejado en la superficie inferior cruza la pel´ıcula dos veces (θi ≈ θt ≈ 0), los m´aximos adyacentes difieren en longitud de camino ´ optico por λf . Tambi´en se observa que el espesor de la pel´ıcula para varios m´ aximos est´ a dado por: 1 λf dm = (m + ) 2 2 el cual es un m´ ultiplo impar de un cuarto de longitud de onda. Cruzando la pel´ıcula dos veces se obtiene un cambio de fase de π el cual, cuando se suma al corrimiento de π resultante de la reflexi´on, pone a los dos rayos en fase. Cuando una pel´ıcula de jab´ on se ilumina con luz blanca las bandas son de varios colores. La regi´ on negra en la parte superior es una porci´on donde el espesor de la pel´ıcula es menor que λf /4. Dos veces esto, m´as corrimiento adicional de λf /2 debido a la reflexi´ on, es menor que una longitud de onda completa. Los rayos reflejados, por lo tanto, est´ an fuera de fase. Como el espesor decrece a´ un m´as, la diferencia de fase total se aproxima a π. La irradiancia para el observador alcanza un m´ınimo (5.5) y la pel´ıcula aparece negra en luz reflejada. 2 Si se presionan juntos dos portaobjetos de microscopio bien limpios. La pel´ıcula de aire encerrada entre ambos generalmente no ser´a uniforme. con la iluminaci´on ordinaria de una habitaci´ on, una serie de bandas irregulares y coloreadas (franjas de igual espesor) ser´ an claramente visibles sobre la superficie. Los portaobjetos (l´ aminas delgadas de vidrio) se distorsionar´an si se someten a presi´on y por lo tanto las franjas se mover´ an y cambiar´an. Es m´as, si las dos piezas de vidrio son presionadas juntas en un punto, por ejemplo, empleando la punta de un l´apiz, se formar´ a alrededor de ese punto una serie de franjas conc´entricas, casi circulares. Conocido como anillos de Newton. 3 Colocando una lente sobre un plano ´ optico e iluminando a incidencia normal con luz cuasimonocrom´atica, la cantidad de uniformidad en el patr´on de c´ırculos conc´entricos es una medida del grado de perfecci´ on en la forma de la lente. Siendo R el radio de curvatura de una lente convexa, la relaci´ on entre la distancia x y el espesor d de la pel´ıcula est´a dada por: x2 = R2 − (R − d)2 , o m´as simplemente por: x2 = 2Rd − d2 2 El corrimiento relativo π de fase entre las reflexiones interna y externa es indispensable si la densidad de flujo reflejada tiende a cero suavemente, conforme la pel´ıcula se hace m´ as delgada y finalmente desaparece. 3 Robert Hooke (1635-1703) e Isaac Newton, ambos en forma independiente, estudiaron una gama de fen´ omenos en pel´ıculas delgadas como pompas de jab´ on hasta pel´ıculas de aire entre lentes. Citando el libro Opticks de Newton: Tom´ e dos objetos de vidrio, el uno una lente plano-convexa para un telescopio de catorce pies, y el otro una lente doble-convexa para uno de quince pies; despu´ es de esto, la otra con su lado plano hacia abajo, las presion´ e lentamente hasta hacer aparecer colores en forma sucesiva que sal´ıan de en medio de los c´ırculos.

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CAP´ITULO 5. INTERFERENCIAS

Puesto que R  d esto se convierte en: x2 = 2Rd. Nuevamente se aproximar´a suponiendo que se necesita u ´nicamente examinar los primeros dos haces reflejados E1r y E2r . El m-´esimo orden de interferencia para un m´ aximo ocurrir´ a en la pel´ıcula delgada cuando su grueso est´e de acuerdo con la relaci´ on:   1 2nf dm = m + λ0 . 2 El radio del m−´esimo anillo brillante se encuentra por lo tanto combinando las dos u ´ltimas expresiones para obtener: s  1 m+ λf R. (5.21) xm = 2 Igualmente, el radio del m-´esimo anillo negro es: xm =

p

mλf R.

(5.22)

Si las dos piezas de vidrio est´an en buen contacto (sin polvo), la franja central en ese punto (x0 = 0) claramente ser´a el m´ınimo de orden cero, un resultado comprensible puesto que d se hace cero en ese punto. En luz transmitida, el patr´ on observador ser´ a el complementario del de luz reflejada discutido antes, de tal modo que el centro aparecer´a ahora brillante. Los anillos de Newton, que son franjas de Fizeau, pueden distinguirse del patr´ on circular de franjas de Haidinger por la manera como los di´ametros de los anillos var´ıan con el orden m. La regi´on central en el patr´on de Haidinger corresponde al valor m´ aximo de m mientras que justamente lo opuesto se aplicar´a a los anillos de Newton. Un taller de ´ optica en el negocio de producci´on de lentes tendr´a un conjunto de precisas placas esf´ericas de referencia o medidores. Un dise˜ nador puede entonces especificar la precisi´on de la superficie de una lente nueva en t´erminos del n´ umero y regularidad de los anillos de Newton, los cuales ser´an observados con un instrumento de prueba particular. Se debe mencionar que el uso de placas de prueba en la manufactura de lentes de alta calidad da lugar a t´ecnicas mucho m´ as complicadas incluyendo interfer´ometros de l´aser.

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Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

CAP´ITULO 6

Difracci´ on ´Indice General 6.1. Difracci´ on de Fraunhofer por una Rendija . . . . . 90

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´ CAP´ITULO 6. DIFRACCION ´ 6.1 SECCION

Difracci´ on de Fraunhofer por una Rendija Consid´erese que se ilumina una pantalla con un foco puntual y coherente S, de longitud de onda λ y se interpone entre dicho foco y la pantalla un diafragma formado por una rendija de anchura a, de manera que la distancia L entre el diafragma con la rendija y la pantalla sea mucho mayor que la anchura de la rendija a. Hechas estas consideraciones y teniendo en cuenta que la luz presenta dos comportamientos muy distintos la pregunta es ¿se observar´a en la pantalla lo mismo si es uno u otro el modo de interacci´on de la luz? Pues bien, dependiendo de la naturaleza que supongamos para la luz dos son los posibles resultados de este experimento, que se describir´an a continuaci´on. Atendiendo exclusivamente a la naturaleza corpuscular de la luz esto es lo que se deber´ıa ocurrir: Los fotones se propagan en todas direcciones desde el foco puntual S, extendi´endose por todo el espacio; algunos de ellos viajar´an en direcci´ on a la pantalla, pero al estar interpuesto el diafragma entre el foco y la pantalla parte de estos u ´ltimos se pegar´an contra la placa del diafragma y ah´ı finalizar´ a su viaje, de manera que sobre la pantalla se proyectar´a la sombra del diafragma; sin embargo, otros (los que salen del foco S formando un peque˜ no angulo) conseguir´ ´ an pasar a trav´es de la rendija y llegar´an a la pantalla ilumin´ andola. Seg´ un esta descripci´on el resultado final que cabe esperar es que se observe una zona iluminada semejante a la abertura, con contornos n´ıtidos y bien delimitados entre la luz y la sombra. Sin embargo si se atiende a la naturaleza ondulatoria de la luz, el estudio del fen´ omeno es m´ as complicado, pues deber´ıa ocurrir lo siguiente: Un frente de ondas esf´erico se propaga desde el foco puntual a trav´es del espacio, si adem´as el foco puntual est´ a alejado del diafragma y la rendija de ´este es relativamente peque˜ na, se puede considerar que el frente de ondas incidente sobre la rendija es plano. De acuerdo con el principio de Huygens, cada punto sobre el frente de ondas realiza el mismo papel que un foco puntual, emitiendo a su vez, frentes de onda esf´ericos. Estos nuevos frentes de ondas producidos en la rendija est´ an destinados a interaccionar unos con otros. Se producir´an fen´omenos de interferencia en los cuales unos frentes de ondas al interferir con otros se reforzar´ an (interferencia constructiva) mientras que en otros casos se debilitar´an (interferencia destructiva). La interferencia constructiva m´axima entre dos frentes se producir´a cuando ambos frentes est´en en fase, o lo que es lo mismo, cuando en las ondas de cada frente coinciden espacialmente crestas y nodos; en este caso las amplitudes de las ondas se sumar´ an y la amplitud resultante ser´a m´axima. La condici´on de interferencia constructiva entre dos frentes de ondas es que el ´angulo de desfase entre ambos sea 0 o 2πm, siendo m un n´ umero entero. Toda interferencia que se produzca entre dos frentes de ondas diferente de la descrita dar´a lugar a ondas con amplitud menor que la m´axima, pudiendo incluso darse extinciones en el caso particular de que los frentes que interfieran est´en desfasados en media longitud de onda, (cuando las crestas de las ondas de un frente coinciden espacialmente con los valles de las ondas de otro frente) en este caso la suma de las ondas de dichos frentes dan lugar a amplitudes de radiaci´on m´ınimas, que se conoce como interferencia destructiva. La condici´on de interferencia destructiva 90

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA 6.1. DIFRACCION

entre dos frentes de ondas es que el ´angulo de desfase entre ambos sea π o πm, siendo m un n´ umero entero. Para analizar la distribuci´ on de la intensidad luminosa en la pantalla tras las interferencias de los frentes de onda procedentes de la rendija, consid´erese un punto gen´erico de la pantalla P situado en ella, de manera que el tren de ondas procedente de uno de los focos se propaga hasta P formando un ´angulo θ con respecto a la normal a la rendija. Puesto que la rendija es peque˜ na y la pantalla se encuentra muy alejada del diafragma, se puede considerar que los rayos (o mejor dicho, las l´ıneas directrices a lo largo de las cuales se propagan las ondas luminosas) que llegan al punto P de la pantalla salen paralelos entre s´ı de los focos puntuales situados en la rendija. Consid´erese tambi´en que la rendija de anchura a se divide en N subintervalos iguales tales que en el medio de cada subintervalo haya un foco puntual emisor de ondas luminosas. Si se denota por d a la distancia entre dos focos puntuales adyacentes y puesto que la anchura de la rendija es a, resulta que la distancia de separaci´on d entre dos focos adyacentes es d = a/N . Esta distancia de separaci´on entre los focos hace que exista una diferencia de trayectos entre las ondas que de ellos salen hacia el punto P , siendo, a su vez, esta diferencia de trayectos la causa de que entre estas ondas haya una diferencia de fase dada por: δ=

2π d sin θ λ

(6.1)

Se puede calcular la amplitud de la radiaci´on en el punto P , para el cual las ondas procedentes de dos fuentes adyacentes difieran en una fase igual a δ. La siguiente figura muestra el diagrama de fasores para la suma de N ondas procedentes de los N focos puntuales que difieren de fase de la primera onda en δ, 2δ, . . . , (N − 1)δ. Cuando N es muy grande y δ muy peque˜ na, el diagrama de fasores es aproximadamente un arco de circunferencia, pero en cualquier caso se puede escribir φ = (N − 1)δ, siendo φ la diferencia de fase existente entre la onda del primer foco y la onda del u ´ltimo foco. La amplitud de la radiaci´on resultante en el punto gen´erico P es Eθ , que resulta ser la longitud de la cuerda de este arco, y se calcula en funci´ on de la diferencia de fases entre la onda del primer foco y la onda del u ´ltimo foco. Del anterior diagrama de fasores se tiene: 1 Eθ = 2r sin φ 2

(6.2)

Donde r es el radio del arco, que puede calcularse en funci´on de la longitud del arco y el ´ angulo de desfase φ entre la primera y u ´ltima ondas. r=

N E0 φ

(6.3)

Donde E0 es la amplitud de la radiaci´on de cada foco independiente de los dem´as. Sustituyendo esta expresi´ on en la precedente se obtiene: Eθ = 2

N E0 1 N E0 1 sin φ ⇒ Eθ = 1 sin φ φ 2 2 φ 2 Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

(6.4)

91

´ CAP´ITULO 6. DIFRACCION

La amplitud m´ axima de la radiaci´on (y por tanto su intensidad) se dar´a en aquel punto en el que todas las ondas interfieran constructivamente, de manera que se satisfaga que el desfase de todas las ondas es 0, situaci´on que se da cuando θ = 0 y en este caso la amplitud m´axima es N E0 , y puesto que la intensidad de la radiaci´ on en cualquier punto de la pantalla es proporcional al cuadrado de la amplitud de la radiaci´on incidente en dicho punto, se obtiene la siguiente expresi´ on para la intensidad de la radiaci´on en el punto gen´erico P : ( Imax ∝ (N E0 )2 Eθ2 Eθ2 Iθ ⇒ = ⇒ Iθ = Imax ⇒ 2 2 Imax (N E0 ) (N E0 )2 Iθ ∝ Eθ  2 1 1 N E0 ⇒ Iθ = Imax sin φ 1 2 (N E0 )2 2φ es decir:  Iθ = Imax

sin 12 φ 1 2φ

2 (6.5)

El segundo factor del segundo miembro no hace m´as que modular la intensidad m´ axima Imax , ya que toma valores entre 0 y 1 dependiendo del desfase φ entre la primera y u ´ltima onda. El desfase φ depende del desfase existente entre dos ondas de dos focos adyacentes, que a su vez, depende del ´angulo θ formado por la l´ınea de propagaci´on de las ondas hasta un punto P en la pantalla y la normal a la rendija. Esta dependencia de la intensidad con el ´angulo θ da lugar a m´ aximos y m´ınimos de difracci´on sobre la pantalla. A continuaci´on se har´a una discusi´ on acerca de las distintas situaciones que se pueden dar seg´ un la anterior expresi´ on: 1. Intensidad m´ınima. El valor m´ınimo posible de la intensidad en un punto P de la pantalla es Iθ = 0. La situaci´on de intensidad m´ınima se produce cuando el segundo factor de la expresi´on general de la intensidad vale 0, que se produce cuando φ = 2πm, como bien puede comprobarse tras sustituir dicho valor. Como el desfase entre dos ondas adyacentes y el desfase entre las ondas del primer y u ´ltimo foco est´a relacionadas por φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusi´on de que φ = 2πm se cumple cuando δ = 2πm/(N − 1) ≈ 2πm/N (cuando N es grande). Esto significa que todos los fasores se hallan formando un pol´ıgono regular cerrado. Por otro lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes est´a relacionado con el angulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre que la situaci´on δ = 2πm/N se da ´ cuando a sin θ = mλ: δ=

2π 2πm 2π d sin θ ⇒ = d sin θ ⇒ mλ = N d sin θ λ N λ

Puesto que d = a/N se obtiene finalmente: a sin θ = mλ

m = 1, 2, 3, . . .

(6.6)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un ´angulo θ con respecto a la normal a la rendija, y verifique la expresi´on anterior se halla en oscuridad, es decir: Iθ = 0 (6.7) 92

Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

´ DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA 6.1. DIFRACCION

2. M´ aximos relativos de intensidad. En los puntos P de la pantalla en los que no se cumpla la anterior condici´on es evidente que no habr´a oscuridad. En dichos puntos incidir´ a siempre algo de radiaci´on, aunque sea muy poca, y el valor de su intensidad oscilar´a entre 0 < Iθ ≤ Imax . Esta situaci´on se produce cuando el segundo factor de la expresi´on general de la intensidad vale entre 0 y 1, que se produce cuando φ 6= 2πm. De todos los valores posibles que puede tomar φ, existen algunos para los que la intensidad en la pantalla presenta m´ aximos relativos. Estos m´aximos relativos aparecen cuando φ = 2π(m + 12 ). Como el desfase entre dos ondas adyacentes y el desfase entre las ondas del primer y u ´ltimo foco est´a relacionadas por φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusi´on de que φ = 2π(m + 21 ) se cumple cuando δ = 2π(m+ 12 )/(N −1) ≈ 2π(m+ 12 )/N (cuando N es grande). Esto significa que todos los fasores se hallan completando m circunferencias y media, aproximadamente. Por otro lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes est´ a relacionado con el ´angulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre que la situaci´ on δ = 2π(m + 12 )/N se da cuando a sin θ = (m + 12 )λ:
  2π m + 21 2π 2π 1 δ= d sin θ ⇒ = d sin θ ⇒ m + λ = N d sin θ λ N λ 2 Puesto que d = a/N se obtiene finalmente:   1 λ m = 1, 2, 3, . . . a sin θ = m + 2

(6.8)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un ´angulo θ con respecto a la normal a la rendija, y verifique la expresi´on anterior se halla iluminado con la siguiente intensidad: " #2 1
Iθ = Imax m = 1, 2, 3, . . . (6.9) m + 12 π Estos m´ aximos relativos reciben el nombre de m´aximos secundarios de difracci´ on, lo hace suponer que debe existir un m´aximo principal. Pues bien, es a este m´ aximo principal al que corresponde la situaci´on de iluminaci´on con intensidad m´ axima en la pantalla. 3. Intensidad m´ axima. El valor m´aximo posible de la intensidad en un punto P de la pantalla es Iθ = Imax . La situaci´on de intensidad m´axima se produce cuando el segundo factor de la expresi´on general de la intensidad vale 1, que se produce cuando φ = 0, como bien puede comprobarse tras sustituir dicho valor y eliminar previamente la indeterminaci´on tipo 00 mediante la regla de L‘Hˆ opital. Como el desfase entre dos ondas adyacentes y el desfase entre las ondas del primer y u ´ltimo foco est´a relacionadas por φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusi´on de que φ = 0 se cumple cuando δ = 0. Esto significa que todos los fasores est´an en l´ınea, o lo que es lo mismo, que las ondas procedentes de todos los focos est´an en fase. Por otro lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes est´a relacionado con el angulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre que la situaci´on δ = 0 se da cuando: ´ δ=

2π 2π d sin θ ⇒ 0 = d sin θ λ λ Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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´ CAP´ITULO 6. DIFRACCION

Que ocurre cuando: θ = 0o

(6.10)

Y como se dec´ıa, la intensidad en este caso es: Iθ = Imax

(6.11)

Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un ´angulo θ igual a 0 con respecto a la normal a la rendija, se halla iluminado por radiaci´ on de intensidad m´axima igual a Imax (y amplitud m´axima N E0 ). La distancia existente ∆y entre el m´aximo principal y el primer m´ınimo de difracci´ on est´ a relacionada con el ´angulo θ y la distancia L que separa la rendija de la pantalla por: ∆y tan θ = L Puesto que la pantalla est´a bastante alejada del diafragma, el ´angulo θ es muy peque˜ no y puede hacerse la aproximaci´on tan θ ≈ sin θ, de manera que la anterior expresi´ on se convierte en: ∆y sin θ = L Sustituyendo el valor de sin θ de la anterior ecuaci´on en la expresi´on que caracteriza los m´ınimos de difracci´on, se obtiene finalmente: ∆y =

Lλ a

(6.12)

Finalmente, la descripci´on del fen´omeno que se observar´ıa es la siguiente: la mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un m´aximo central de difracci´ on ancho, aunque, existen bandas de m´aximos secundarios m´as peque˜ nos a cada lado del m´ aximo central. Para una longitud de onda determinada λ, la anchura del m´ aximo central var´ıa en raz´on inversa con la anchura de la rendija. Es decir, si se aumenta la anchura de la rendija a, disminuye el ´angulo θ en que la intensidad es por primera vez nula, origin´andose un m´aximo de difracci´on central m´ as estrecho. Inversamente, si disminuye la anchura de la rendija, aumenta el ´ angulo correspondiente al primer m´ınimo, dando as´ı un m´aximo central de difracci´ on m´ as ancho. Cuando la rendija es muy peque˜ na, no existen puntos de intensidad nula en el diagrama, pues en este caso la rendija act´ ua como una fuente lineal, radiando energ´ıa luminosa esencialmente por igual en todas direcciones. Si, por el contrario, la rendija es muy ancha (mucho mayor que la longitud de onda de la radiaci´on), simplemente no se observar´an los fen´omenos de interferencia y difracci´on. Como puede verse, el tama˜ no de los objetos que interaccionan con la luz influye en el comportamiento de ´esta, mostr´andose fundamentalmente como corp´ usculos (fotones) con objetos macrosc´opicos, y como ondas con objetos que tienen un tama˜ no similar a la longitud de onda de la luz.

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Juan Manuel Enrique Mu˜ nido

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