Optica

Unidad 1 UNA BREVE HISTORIA DE LA OPTICA Saturday, March 07, 2009 11:21 AM En el comienzo •

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En el origen de la óptica se remota en la antigüedad. Los primeros datos aparecen en la Biblia en Éxodo 38:8 (1200 a.C), donde se relata que mientras se hacían los preparativos para el arca, Besalel remoldeaba “los espejos de las mujeres”, en un lavabo de latón la cual es una vasija de ceremonia. Los primeros espejos se hicieron de diversos materiales entre los cuales esta de cobre pulido, bronces y mas tarde de una aleación de cobre rica en estaño conocida como “especulum”, Los filósofos griegos, Pitágoras, Democrito, Empedocles, Platón, Aristóteles y otros desarrollaron varias teorías sobre la naturaleza de la luz. En el libro Catáptrica escrito porEuclides (300 a.C) habla sobre la propagación rectilínea de la luz y la ley de la reflexión. Hero de Alejandría afirmaba que la luz viajaba por el camino mas corto entre dos puntos. Arisófanes en su libro LAS NUBES menciona al vidrio quemador, el cual es una lente positiva que se utilizaba para encender fuego. En la REPUBLICA DE PLATON se habla sobre el aparente doblamiento que sufren los objetos cuando parcialmente se sumergen en el agua. El fenómeno de la Refracción fue estudiada por Cleomedes (50 d.C) y Claudio Tolomeo de Alejandría (130 d.C) el cual tabulo medidas de los ángulos de incidencia y refracción para varios medios las cuales son muy precisas. El filosofo romano Séneca (3 a.C – 65 d.C) dijo que usando un globo de vidrio con agua este se podía usar como lupa. Alhazen (1000 d.C) trabajo la ley de reflexión y los ángulos de incidencia y reflexión los puso en el mismo plano normal a la interfaz, estudio los espejos parabólicos y esféricos, e hizo una descripción detallada del ojo humano. El franciscano Roger Bacon (1215 – 1294) al parecer el inicio con la idea de usar lentes para corregir la vista, al igual que con la posibilidad de combinar lentes para formar un telescopio. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) describió la Cámara Oscura. Giovanni Battista Della Porta (1535 – 1615) en su Magia Naturales (1589) discutió sobre los espejos múltiples y las combinaciones de lentes positivas y negativas. Desde el Siglo Diecisiete No esta muy claro quien fue el inventor el Telescopio Refractor pero según los archivos de La Haya, el 2 de octubre de 1608, un fabricante de anteojos holandés llamado Hans Lppershey (1587 – 1619) solicito la patente. Galileo Galilei (1564 – 1642) tallando a mano las lentes construyo su propio telescopio. Zacharías Janssen (1588 – 1632) probablemente fue el inventor del microscopio compuesto. El lente cóncavo del microscopio fue reemplazado por un convexo por Francisco Fontana (1580 – 1656); Johannes Kepler (1571 – 1630) descubrió la Ley de la Refracción, dicho descubrimiento se considera uno de los grandes momentos de la Óptica.René Descartes (1596 – 1650) fue el primero que publico la formulación de la refracción en términos de senos. Francesco María Grimaldi (1618 – 1663) fue el primero en observar el fenómeno de la Difracción (desviación de la propagación rectilínea que ocurre cuando la luz avanza más allá de una obstrucción). Robert Hooke (1635 – 1703) propuso la idea de que la luz era un movimiento vibratorio rápido propagándose a una gran velocidad. Isaac Newton (1642 – 1727) llego a la conclusión de que la luz blanca estaba compuesta de una gran variedad de colores independientes. En 1668, Sir Isaac completo el primer telescopio reflector. Christiaan Huygens (1629 – 1695) concluyo correctamente que la luz disminuía la velocidad al entrar a medio mas densos. Descubrió el fenómeno de la Polarizacion. Samuel Klingenstjerna (1698 – 1765) repitió los mismos experimentos realizados por Newton sobre el acromatismo y se dio cuenta que estaban equivocados. En el siglo Diecinueve Agustin Jean Fresnel (1778 – 1827) calculo los patrones de difracción generados en varios obstáculos y aberturas, y explico la propagación rectilínea en medios isótropos homogéneos.

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“Cada rayo de luz tiene por consiguiente dos lados opuestos…” Huygens. En 0808 Etienne Louis Malus (1775 – 1812) descubrió que estos dos lados de la luz se hacían evidentes también bajo reflexión, y que no eran inherentes a los medios cristalinos. En 1849 Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819 -1896) efectuó la primera determinación terrestre de la velocidad de la luz, su valor calculado fue de 315,300 Km./s. El 6 de mayo de 1850 Jean Bernard León Foucault (1819 – 1868) comunico que la velocidad de la luz en el agua era Menor que en el aire. En 1845 Michael Faraday (1791 – 1867) estableció una correlación entre la luz y el electromagnetismo cuando encontró que la dirección de polarización de un haz puede alterarse con un campo magnético fuerte aplicado al medio. James Clerk Maxwell (1831 – 1879) mediante varias ecuaciones matemáticas llego a la conclusión: “la luz era una perturbación electromagnética en forma de ondas propagadas a través del éter”. La Óptica del Siglo Veinte Jules Henri Poincaré (1854 – 1912) fue uno de los primeros en percatarse de la incapacidad experimental para observar cualquier efecto del movimiento relativo al éter: “¿Nuestro éter, realmente existe? Yo no creo que observaciones mas precisas nos puedan revelar algo mas que desplazamientos relativos”. En 1905, Albert Einstein (1879 – 1955) presento su Teoría Especial de la Relatividad, entre otras cosas en esta rechazaba la hipótesis del éter: “La introducción de un éter luminifero resultaraser superflua puesto que el punto de vista que habrá de desarrollarse aquí no necesitara un espacio estacionario absoluto”. Además postulo que: “La luz siempre se propaga en el espacio con una velocidad definida c la cual es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor”. Ya olvidándose del éter, los científicos tenían que acostumbrarse a la idea que de las ondas electromagnéticas se podrían propagar a través del espacio libre. Ahora se entiende que la luz emitida por un átomo se debe a sus electrones exteriores. Después de la construcción del primer láser en 1960, los haces láser cubrieron en una década todo el rango desde el infrarrojo al ultravioleta. Y hoy en día aun nos preguntamos ¿Qué ES LA LUZ?, ya que este concepto a lo largo del tiempo ha ido cambiando. Pasted from

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Saturday, March 07, 2009 11:22 AM

El moviendo armónico simple (M.A.S.) resulta ser equivalente al desplazamiento lineal obtenido mediante: 1) Una circunferencia de referencia trozada con radio igual la amplitud del M.A.S. dado. 2) Un punto situado en la circunferencia desplazándose a velocidad uniforme por ella de modo tal que su periodo (tiempo que tarda en dar una vuelta completa) coincida con el período del MAS dado (tiempo que tarda en completar la vibración). 3) La proyección de este punto sobre una recta cualquiera situada en el plano de la circunferencia.

La figura ilustra una demostración visual de este tipo de movimiento. El punto P se mueve a lo largo de una circunferencia de radio r con velocidad uniforme v. Si trozamos en cada instante la perpendicular por P al diámetro AB, el punto P2 de intersección se moverá con movimiento armónico simple. Moviéndose de un lado a otro a lo largo de la línea recta desde Ahasta B, la velocidad Vx está cambiando continuamente. En el punto central C tiene su velocidad mayor, mientras que en A y en B, está momentáneamente es reposo. Empezando en cualquiera de los extremos de la trayectoria, la velocidad va aumentando hasta alcanzar c, desde allí disminuye otra vez, llegando al reposo en el extremo opuesto de la trayectoria. El desplazamiento de un moviendo armónico simple se define como la distancia desde el centro c hasta el punto P2 , el desplazamiento x varía en magnitud desde cero en c hasta r, el radio de la circunferencia, en A o en B. La amplitud r se define como el valor máximo de desplazamiento x y el periodo se define como el tiempo requerido para dar una vuelta completa. La frecuencia de un movimiento armónico simple está definida por le número de vibraciones completas por segundo.

ONDAS ARMONICAS

La forma de onda más simple, en la cual el perfil es una curva seno o coseno se conocen como anclas sinuisoldales, ondas armónicas simples o bien, ondas armónicas. Cualquier onda puede simplificarse por una superposición de ondas armónicas. El perfil de la función es: ψ (x,t) |t=0 = ψ(x) = A sen kx = f(x) Donde:

~(10)

k= número de ondas kx esta en radianes, que no es una unidad física. El seno varía de +1 a -1, de manera que el máximo valor de ψ(x) es A. Este máximo de la perturbación se conoce como amplitud de la onda. Para trasformar la ec. (10) en una onda progresiva que viaja con velocidad v en la dirección positiva de x, necesitamos reemplazar x por (x – vt), en cuyo caso: ψ (x,t) |t=0 = ψ(x) = A sen k(x-vt) = f(x-vt) ~(11) Esto es claramente una solución de la ecuación de onda. Si se mantiene fija x o t, se obtiene una perturbación sinusoidal de forma que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo. El periodo espacial se conoce como longitud de onda y se denota por λ. 1 nm = 1x10-9 m 1 μm = 1x10-6 m 1 Å = 1x10-10 m Un aumento o disminución de x en la cantidad λ no debe afectar ψ, es decir: ψ (x,t) |t=0 = ψ(x ± λ,t) ~(10) En el caso de una onda armónica, esto es equivalente a alterar el argumento de la función seno en ± 2π, por lo tanto: sen k (x - vt) = sen k [ (x ± λ) – vt ] = sen [ k (x – vt) ± 2π ] y | kλ | = 2π

~(11) En forma similar pasamos a examinare el periodo temporal τ, es decir, la cantidad de tiempo que una onda completa tarda en superar a un observador estacionario. En este caso, lo interesante es el comportamiento repetitivo de la onda en el tiempo, de manera que: ψ (x,t) = ψ (x , t ± τ)

~(12)

y sen k (x - vt) = sen k [x – v (t ± τ)] = sen [ kx – vt ± kτv ] = sen [ kx – vt ± 2π] por lo tanto | kvτ| = 2π kvτ= 2π

~(1 3)

El periodo es el número de unidades de tiempo por onda, cuyo inverso es la frecuencia temporal v o el número de ondas por tiempo (i e por segundo)

~(14) En unidades de ciclos por segundo o Hertz. La ecuación (13) queda entonces: V=vλ )

~(15

ONDAS MECANICAS El moviendo ondulatorio aparece prácticamente en todas las ramas de la física. Todos estamos familiarizados con las ondas en el agua. Las ondas en medios elásticos deformables, junto con las ondas sonoras ordinarias del aire, son ejemplos de las llamadas ondas mecánicas. Se originan en el desplazamiento de alguna porción de un medio elástico de su posición normal, lo que hace que oscile de alguna porción de un medio elástico de su posición normal, lo que hace que oscile alrededor de una posición de equilibrio. Debido a las fuerzas elásticas sobre las capas adyacentes, la alteración se trasmite de una capa a la siguiente a través del medio. La energía de las ondas se encuentra tanto en forma de energía cinética como de energía potencial, y su transmisión proviene de que pasan de una parte de la materia a la siguiente, y no por un movimiento de largo alcance de la materia misma. Así, las ondas mecánicas se caracterizan por el trasporte de energía de la materia. Para la trasmisión de las ondas mecánicas, se necesita un medio material, para trasmitir las ondas electromagnéticas.

ESPECTRO ELECTROMAGNETICO

Se denomina espectro electromagnético al conjunto de ondas electromagnéticas, o más concretamente, a la radiación electromagnética que emite (espectro de emisión), o absorbe (espectro de absorción) una sustancia. Dicha radiación sirve para identificar la sustancia, es como una huella dactilar. Los espectros se pueden observar mediante espectroscopios que, además de permitirnos observar el espectro, permite realizar medidas sobre éste, como la longitud de onda o la frecuencia de la radiación. Van desde las de menor longitud de onda, como son los rayos cósmicos, los rayos gamma y los rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud de onda, como son las ondas de radio. En cualquier caso, cada una de las categorías son de ondas de variación de campo electromagnético. La tabla siguiente muestra el espectro electromagnético, con sus longitudes de onda, frecuencias y energías de fotón:

Espectro Electromagnético Frecuencia (Hz)

Energía (J)

Longitud de onda (m) Rayos gamma

< 10 pm

>30.0 EHz

>19.9E-15 J

Rayos X

< 10 nm

>30.0 PHz

>19.9E-18 J

Ultravioleta Extremo

< 200 nm

>1.5 PHz

>993E-21 J

Ultravioleta Cercano

< 380 nm

>789 THz

>523E-21 J

Luz Visible

< 780 nm

>384 THz

>255E-21 J

Infrarrojo Cercano

< 2.5 µm

>120 THz

>79.5E-21 J

Infrarrojo Medio

< 50 µm

>6.00 THz

>3.98E-21 J

Infrarrojo Lejano/submilimétrico

< 1 mm

>300 GHz

>199E-24 J

Microondas

< 30 cm

>1.0 GHz

>1.99e-24 J

Ultra Alta Frecuencia Radio

<1 m

>300 MHz

>1.99e-25 J

Muy Alta Frecuencia Radio

<10 m

>30 MHz

>2.05e-26 J

Onda Corta Radio

<180 m

>1.7 MHz

>1.13e-27 J

Onda Media (AM) Radio

<650 m

>650 kHz

>4.31e-28 J

Onda Larga Radio

<10 km

>30 kHz

>1.98e-29 J

Muy Baja Frecuencia Radio

>10 km

<30 kHz

<1.99e-29 J

Fuentes de Excitación de estas radiaciones:

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Las ondas de radiofrecuencia

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La radiación infrarroja

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La luz visible

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Radiación ultravioleta

Sus frecuencias van de 0 a 109 Hz, se usan en los sistemas de radio y televisión y se generan mediante circuitos oscilantes. Las ondas de radiofrecuencia y las microondas son especialmente útiles por que en esta pequeña región del espectro las señales producidas pueden penetrar las nubes, la niebla y las paredes. Estas son las frecuencias que se usan para las comunicaciones vía satélite y entre teléfonos móviles. Los cuerpos calientes producen radiación infrarroja y tienen muchas aplicaciones en la industria, medicina, astronomía, etc. Es una región muy estrecha pero la más importante, ya que nuestra retina es sensible a las radiaciones de estas frecuencias. A su vez, se subdivide en seis intervalos que definen los colores básicos (rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta). Los átomos y moléculas sometidos a descargas eléctricas producen este tipo de radiación. No debemos de olvidar que la radiación ultravioleta es la componente principal de la radiación solar. La energía de los fotones de la radiación ultravioleta es del orden de la energía de activación de muchas reacciones químicas lo que explica muchos de sus efectos.

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Rayos X

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Rayos gamma

Si se aceleran electrones y luego, se hacen chocar con una placa metálica, la radiación de frenado produce rayos X. Los rayos X se han utilizado en medicina desde el mismo momento en que los descubrió Röntgen debido a que los huesos absorben mucho más radiación que los tejidos blandos. Se producen en los procesos nucleares, por ejemplo, cuando se desintegran las sustancias radioactivas. Es también un componente de la radiación cósmica y tienen especial interés en astrofísica. (Editado por Erika Karina Falcon Ruiz - Wednesday, 18 de February de 2009, 00:25) (Editado por Erika Karina Falcon Ruiz - Wednesday, 18 de February de 2009, 18:28) Pasted from

1.3.- Teoria Corpuscular , 1.4 Propiedades de la luz, 1.5 Espectro electromagnetico Saturday, March 07, 2009 11:45 AM

Tarea #1: Ecuaciones de Maxwell Saturday, March 07, 2009 12:03 PM Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla: Nombre

Ley de Gauss:

Ley de Gauss para el campo magnético:

Ley de Faraday:

Forma diferencial

Forma integral

Ley de Ampère generalizada: Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la cantidad

era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla: Símbolo Nombre

Valor numérico

Unidad de medida Tipo SI

Velocidad de la luz en el vacío

metros por segundo

definido

Permitividad

faradios por metro

derivado

Permeabilidad magnética

henrios por metro

definido

Expresión de las ecuaciones para una frecuencia constante En las ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales no son solo funciones de la posición, en general son funciones de la posición y del tiempo, como por ejemplo . Para la resolución de estas ecuaciones en derivadas parciales, las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la práctica, la resolución de dichas ecuaciones pueden contener una solución armónica (sinusoidal). Con ayuda de la notación compleja se puede evitar la dependencia temporal de los resultados armónicos, eliminando así el factor complejo de la expresión . Gran parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas, además de no ser solo función de la posición. En lugar de la derivación parcial en el tiempo se tiene la multiplicación del factor imaginario , donde es la frecuencia angular. En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:

Tarea #2: Resumen de la historia de la óptica Monday, March 16, 2009 12:22 PM

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En el comienzo

En el origen de la óptica se remota en la antigüedad. Los primeros datos aparecen en la Biblia en Éxodo 38:8 (1200 a.C), donde se relata que mientras se hacían los preparativos para el arca, Besalel remoldeaba “los espejos de las mujeres”, en un lavabo de latón la cual es una vasija de ceremonia. Los primeros espejos se hicieron de diversos materiales entre los cuales esta de cobre pulido, bronces y mas tarde de una aleación de cobre rica en estaño conocida como “especulum”, Los filósofos griegos, Pitágoras, Democrito, Empedocles, Platón, Aristóteles y otros desarrollaron varias teorías sobre la naturaleza de la luz. En el libro Catáptrica escrito porEuclides (300 a.C) habla sobre la propagación rectilínea de la luz y la ley de la reflexión. Hero de Alejandría afirmaba que la luz viajaba por el camino mas corto entre dos puntos. Arisófanes en su libro LAS NUBES menciona al vidrio quemador, el cual es una lente positiva que se utilizaba para encender fuego. En la REPUBLICA DE PLATON se habla sobre el aparente doblamiento que sufren los objetos cuando parcialmente se sumergen en el agua. El fenómeno de la Refracción fue estudiada por Cleomedes (50 d.C) y Claudio Tolomeo de Alejandría (130 d.C) el cual tabulo medidas de los ángulos de incidencia y refracción para varios medios las cuales son muy precisas. El filosofo romano Séneca (3 a.C – 65 d.C) dijo que usando un globo de vidrio con agua este se podía usar como lupa. Alhazen (1000 d.C) trabajo la ley de reflexión y los ángulos de incidencia y reflexión los puso en el mismo plano normal a la interfaz, estudio los espejos parabólicos y esféricos, e hizo una descripción detallada del ojo humano. El franciscano Roger Bacon (1215 – 1294) al parecer el inicio con la idea de usar lentes para corregir la vista, al igual que con la posibilidad de combinar lentes para formar un telescopio. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) describió la Cámara Oscura. Giovanni Battista Della Porta (1535 – 1615) en su Magia Naturales (1589) discutió sobre los espejos múltiples y las combinaciones de lentes positivas y negativas. Desde el Siglo Diecisiete No esta muy claro quien fue el inventor el Telescopio Refractor pero según los archivos de La Haya, el 2 de octubre de 1608, un fabricante de anteojos holandés llamado Hans Lippershey (1587 – 1619) solicito la patente. Galileo Galilei (1564 – 1642) tallando a mano las lentes construyo su propio telescopio. Zacharías Janssen (1588 – 1632) probablemente fue el inventor del microscopio compuesto. El lente cóncavo del microscopio fue reemplazado por un convexo por Francisco Fontana (1580 – 1656); Johannes Kepler (1571 – 1630) descubrió la Ley de la Refracción, dicho descubrimiento se considera uno de los grandes momentos de la Óptica.René Descartes (1596 – 1650) fue el primero que publico la formulación de la refracción en términos de senos. Francesco María Grimaldi (1618 – 1663) fue el primero en observar el fenómeno de la Difracción (desviación de la propagación rectilínea que ocurre cuando la luz avanza más allá de una obstrucción). Robert Hooke (1635 – 1703) propuso la idea de que la luz era un movimiento vibratorio rápido propagándose a una gran velocidad. Isaac Newton (1642 – 1727) llego a la conclusión de que la luz blanca estaba compuesta de una gran variedad de colores independientes. En 1668, Sir Isaac completo el primer telescopio reflector. Christiaan Huygens (1629 – 1695) concluyo correctamente que la luz disminuía la velocidad al entrar a medio mas densos. Descubrió el fenómeno de la Polarizacion. Samuel Klingenstjerna (1698 – 1765) repitió los mismos experimentos realizados por Newton sobre el acromatismo y se dio cuenta que estaban equivocados.

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En el siglo Diecinueve

Agustin Jean Fresnel (1778 – 1827) calculo los patrones de difracción generados en varios obstáculos y aberturas, y explico la propagación rectilínea en medios isótropos homogéneos. “Cada rayo de luz tiene por consiguiente dos lados opuestos…” Huygens. En 0808 Etienne Louis Malus (1775 – 1812) descubrió que estos dos lados de la luz se hacían evidentes también bajo reflexión, y que no eran inherentes a los medios cristalinos. En 1849 Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819 -1896) efectuó la primera determinación terrestre de la velocidad de la luz, su valor calculado fue de 315,300 Km./s. El 6 de mayo de 1850 Jean Bernard León Foucault (1819 – 1868) comunico que la velocidad de la luz en el agua era Menor que en el aire. En 1845 Michael Faraday (1791 – 1867) estableció una correlación entre la luz y el electromagnetismo cuando encontró que la dirección de polarización de un haz puede alterarse con un campo magnético fuerte aplicado al medio. James Clerk Maxwell (1831 – 1879) mediante varias ecuaciones matemáticas llego a la conclusión: “la luz era una perturbación electromagnética en forma de ondas propagadas a través del éter”. La Óptica del Siglo Veinte Jules Henri Poincaré (1854 – 1912) fue uno de los primeros en percatarse de la incapacidad experimental para observar cualquier efecto del movimiento relativo al éter: “¿Nuestro éter, realmente existe? Yo no creo que observaciones mas precisas nos puedan revelar algo mas que desplazamientos relativos”. En 1905, Albert Einstein (1879 – 1955) presento su Teoría Especial de la Relatividad, entre otras cosas en esta rechazaba la hipótesis del éter: “La introducción de un éter luminifero resultaraser superflua puesto que el punto de vista que habrá de desarrollarse aquí no necesitara un espacio estacionario absoluto”. Además postulo que: “La luz siempre se propaga en el espacio con una velocidad definida c la cual es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor”. Ya olvidándose del éter, los científicos tenían que acostumbrarse a la idea que de las ondas electromagnéticas se podrían propagar a través del espacio libre. Ahora se entiende que la luz emitida por un átomo se debe a sus electrones exteriores. Después de la construcción del primer láser en 1960, los haces láser cubrieron en una década todo el rango desde el infrarrojo al ultravioleta. Y hoy en día aun nos preguntamos ¿Qué ES LA LUZ?, ya que este concepto a lo largo del tiempo ha ido cambiando. Pasted from

Tarea #3 Velocidad de onda y fase armónicas Sunday, March 08, 2009 10:21 AM

Ondas armónicas unidimensionales Introducción Cuando en un alambre o una cuerda sujeta en ambos extremos, se realiza en uno de ellos en forma continuada y uniforme movimientos ascendentes y descendentes, provocan a lo largo de la misma la propagación de pulsos de onda en forma continua como se ve en la figura.

Este conjunto ininterrumpido de pulsos de onda, constituyen un tren de onda. Vamos admitir que en la propagación de las ondas, no se deforman, aunque en realidad es esto cierto solo para las ondas electromagnéticas. Aceptado el concepto de la no dispersión de los pulsos que constituyen las ondas, vamos a estudiar solo las ondas que pueden ser descriptas matemáticamente por medio de las funciones seno y coseno. Cualquier tipo de onda, puede ser considerada como la suma de infinitas ondas armónicas. Precisamente por medio del teorema de Fourier, se pueden obtener expresiones de funciones complejas de cualquier tipo por medio de la suma de infinitas funciones armónicas. Las ondas, en general pueden tener una forma cualquiera, pero todas estas formas complejas, están formadas por una serie de ondas sinodales con longitudes y fases apropiadas, de modo que su superposición, nos da una onda de características especiales. Un caso particular como puede ser la onda cuadrada, puede obtenerse por la suma de frecuencias armónicas impares. Es fácil de comprobar que la superposición de ondas de frecuencia f0, 3f0, 5f0, etc. y cuyas amplitudes sean A0, A0/3, A0/5, etc. dan por resultado una onda cuadrada, debiendo además existir una adecuada relación entre las fases para obtener el resultado previsto. Al valor " f0 " se le llama frecuencia fundamental y la " nf0 " es el armónico de orden "n", siendo " n " un número entero. En la figura que sigue vemos como nos vamos aproximando a la obtención de una onda cuadrada mediante la suma de armónicos de orden impar.

En la figura vemos las siguientes ondas Onda fundamental identificada con n = 1 color azul Tercer armónico identificado con n = 3 color violeta Quinto armónico identificado con n = 5 color amarillo Onda suma de las tres ondas n = 1+3+5 identificada con el color rojo En color gris se plantea la forma cuadrada a la que se va aproximando la suma de ondas armónicas. Del punto de vista matemático, a través del análisis llamado de Fourier, podemos analizar la combinación necesaria de funciones seno y coseno para obtener una onda de cualquier tipo. Según el teorema de Fourier cualquier función puede ser representada con la exactitud deseada mediante la suma de funciones seno y coseno.

Ondas armónicas en una dimensión Si el tipo de función de onda es una función seno o coseno, la onda que da lugar se denomina onda armónica. y = f(x,t) = A . sen qk(x - v.t)r es una expresión tipo de onda armónica. Al valor A se le denomina amplitud y corresponde al máximo valor de la ordenada, donde k es una constante que permite adecuar la medida de longitud a una medida angular. Podemos obtener otra forma de expresión de la función de onda aplicando la propiedad distributiva y nos queda que donde el valor ω se le denomina frecuencia angular (ω = kv). Una propiedad muy importante de las ondas armónicas, es que son monótonas y no experimentan ningún cambio en su forma. Estas ondas tienen una velocidad de propagación constante. La función de la onda armónica es de dos variables, y = f(x,t). Si mantenemos constante la variable "x", esta función determina la elongación del punto de coordenada "x" en función del tiempo. En cambio si mantenemos constante la variable "t", obtenemos la elongación de cada punto del medio en dicho instante visualizando la forma del medio.

Longitud de onda y frecuencia La longitud de onda que representamos por λ (de una onda armónica) es la distancia que existe entre dos crestas sucesivas (distancia entre dos pulsos sucesivos). Como la función es de dos variables, vamos a suponer que el tiempo t permanece constante y vale t0 para este caso tendremos que . Como ω = kv y como k y v son constantes el valor ωto también lo es y lo llamaremos δ, que corresponderá a la constante de fase. Por lo tanto nos quedaría que Si asumimos que las abscisas de dos crestas consecutivas son x1 y x2 su diferencia no será ni más ni menos que la longitud de onda λ por lo que y como el valor de la amplitud en cada caso es el mismo, tendremos que y para que esto se produzca kx2 - δ y kx1 - δ deben diferir en un número entero de 2π es decir Si tomamos n = 1 tendremos la condición que correspondería a crestas consecutivas por lo que y como tendremos que donde se vincula la longitud de onda con el número de onda resulta las siguientes relaciones

Número de onda De aquí podemos deducir que k (número de onda) es 2π veces el número de longitudes de onda por unidad de longitud. Por ejemplo si λ = 0,1 m tendremos que

y precisamente 10 es la cantidad de longitudes de onda que ocupan una longitud de 1 m. Observemos la forma que varía la posición de un punto de la onda en el transcurso del tiempo. Para esto dejaremos variar libremente el tiempo manteniendo el valor de x = xo constante. La función tomará ahora la forma

pero podemos realizar las siguientes igualdades sabiendo que

obtendremos que y = A . sen (kxo-ωt) = - A . sen (ωt-kxo) pero además como tenemos que - A . sen (ωt-kxo) = A . sen (ωt-kxo +π) por lo que y = A . sen (ωt - δ1) siendo δ1 = (kxo-π) De lo expresado se concluye que el movimiento de cada una de las partículas que forman la onda realizan un Movimiento Armónico Simple en la dirección perpendicular al desplazamiento de la onda transversal. Además conocemos que

y que

que corresponden a las definiciones de frecuencia y período del movimiento armónico simple. La velocidad de propagación es el cociente entre el desplazamiento que experimenta la onda y el tiempo insumido. Considerando un desplazamiento igual a la longitud de onda, el tiempo insumido es el período y podemos expresar a la velocidad de la siguiente manera

Otra forma de expresar la función de onda es sustituyendo el valor de "k" por su relación con "λ" y tendremos que si tomamos δ = 0

y como

que es otra forma de la función de onda armónica.

Energía asociada a un punto de la onda

Como ya se vio, el movimiento ondulatorio trasmite una perturbación de un punto a otro (energía) sin transporte neto de materia. En particular si consideramos ondas armónicas, cada partícula del medio describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) y la energía máxima de esa partícula será

En consecuencia la energía transportada es función de (cuadrado de la frecuencia) y de (cuadrado de la amplitud) La rapidez con que esta energía se trasmite se mide por la llamada intensidad de onda "I" y que en el Sistema Internacional (SI), tiene como unidad el w/m2 (watt por metro cuadrado) por lo que de acuerdo a lo visto .

Debilitamiento de una onda En la propagación, una onda se va debilitando a medida que se aleja de la fuente generadora, en consecuencia esa pérdida de intensidad dará lugar a una disminución de la amplitud de la onda. Este debilitamiento puede ser atribuido a la propiedad del medio que transforma la energía mecánica en calor que se disipa. A este fenómeno se llama atenuación.

Superposición e Interferencia de ondas armónicas Según el Principio de Superposición " cuando se propagan dos o más ondas por un medio, la perturbación resultante en cada punto del medio es igual a la suma algebraica de las perturbaciones que producirían cada una de las ondas por separado". Caso

Superposición de ondas armónicas de igual amplitud, frecuencia y

1

longitud de onda moviéndose en la misma dirección con diferencia de fase inicial.

El resultado de ondas armónicas de la misma frecuencia y longitud de onda, lo que varía es la fase y la amplitud de la onda resultante dependiendo de la diferencia de fase entre las ondas que la componen. onda armónica 1

onda armónica 2 el valor de δ es precisamente la diferencia de fase que existe en este caso entre las ondas. La onda suma será

realizando el siguiente cambio de variable nos queda y aplicando la expresión trigonométrica correspondiente a la suma de seno de ángulos nos queda que

En esta expresión reconocemos como amplitud resultante de las suma de ondas el valor

se puede además observar que la frecuencia es la misma así como la longitud de onda y solamente difiere con las ondas originales en que la fase de la suma es

En el gráfico se observa la suma de las ondas " y1 " e " y2 " ambas tienen un desfasaje de 90º y, se observa que la onda color naranja presenta un desfasaje de 45º como demostraremos. Si el valor de δ que es la diferencia de fase entre las ondas que se superponen es 0, entonces en el cálculo de la amplitud obtendríamos que ySUMA= 2 A dado que el valor del cos 0 = 1. Si el valor de δ es π, entonces las ondas estarán en contrafase. La interferencia para δ = 0 es perfectamente constructiva y para δ = π, la interferencia será perfectamente destructiva dado que ySUMA= 2 A cos 1/2(π) = 0 La diferencia de fase en ondas armónicas como las que vimos, se justifica por la diferencia de caminos que existe en el recorrido de cada onda que se va a superponer. Si δ = 2π corresponde a una diferencia de caminos de una longitud de onda por lo que el ángulo de desfasaje en función del recorrido está dado por la relación que existe entre la diferencia de caminos y la longitud de onda. Por lo tanto

. Si entonces la diferencia de camino será una longitud de onda y δ = 2π y se produce una interferencia perfectamente constructiva. Si

entonces

y se producirá una interferencia perfectamente destructiva. Caso 2

Superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia casi iguales.

Supongamos dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes y de amplitudes iguales, que se mueven en la misma dirección partiendo de un mismo punto, estando en fase para x = 0 y t = 0. Sean sus expresiones y1 = A . cos (k1.x - ω1.t) y2 = A . cos (k2.x - ω2.t) donde sabemos que el valor de k = 2.π/λ y ω = 2.π.f La suma de ambas, podremos realizarla gráficamente o por medio de la relación trigonométrica de la suma de cosenos.

En la figura, se observa precisamente el caso de dos ondas con la misma amplitud y frecuencias de onda muy próximas que se grafican en rojo y negro en el diagrama superior y su suma en azul en el diagrama inferior. A cierta distancia del origen, las ondas se desfasan 180º (π radianes) y posteriormente a una distancia doble vuelven a estar en fase y así sucesivamente. Precisamente para el valor x = a, se produce una suma de las ondas que da una amplitud resultante nula, pues es donde se encuentran desfasadas 180º. Cuando x = 2a, tendremos una coincidencia de los picos de las ondas de máxima amplitud, y allí aparecerá la amplitud máxima en la onda suma, pues las ondas sumadas están en fase. Para x = 3a nuevamente la amplitud resultante o suma de ambas ondas es nula, pues vuelven a estar desfasadas 180º. Cuanto mayor es la diferencia de frecuencias, más rápidamente se desfasan llegando a la interferencia constructiva. Usando la relación de suma de cosenos de ángulos

tendremos que la suma de ambas amplitudes será

donde tendríamos que si

la expresión de y nos quedaría

llamando ∆k a k2-k1 y ∆ω a ω2−ω1

y

la expresión de y resulta

como se estableció previamente, las frecuencia son muy parecidas y por lo tanto sus longitudes de onda también, entonces los valores de ∆k y ∆ω son muy pequeños y los valores de son prácticamente iguales a la frecuencia y número de onda de una de las ondas primitivas.. Por lo tanto el resultado es una onda de aproximadamente la misma longitud y frecuencia de las ondas originales, pero su amplitud se encuentra modulada por el factor

Velocidad de fase y de grupo En cuanto a la velocidad de la onda resultante

que es prácticamente igual a la de las ondas que se superponen. A esta velocidad se le denomina velocidad de fase. La envolvente de esta onda suma tiene un número de onda 1/2∆k y una frecuencia angular de 1/2∆ω.

La velocidad de la onda envolvente la podremos calcular a partir de la expresión del factor que modula la amplitud de esta onda y obtendremos extrayendo que ∆k de factor común que

por lo que

corresponde a la velocidad de la envolvente llamada normalmente velocidad de grupo. La relación entre ambas velocidades depende del medio por el cual se propagan. En un medio donde la velocidad de fase no depende de la frecuencia de la onda, ambas velocidades serán iguales y el medio por el cual se propagan se denomina medio sin dispersión. Ondas de este tipo son las ondas que se propagan por el aire (ondas sonoras), o las ondas luminosas que se propagan en el vacío así como las ondas que se propagan en una cuerda perfectamente elástica. En cambio cuando la frecuencia depende del medio, como el caso de ondas en el agua, ondas en una cuerda no perfectamente flexible, las velocidades serán diferentes y el medio será dispersivo.

Suma fasorial de ondas armónicas

Se puede resolver la suma de ondas armónicas de la misma frecuencia, mediante representación fasorial de las mismas. Para ello vamos a sumar las ondas y1 = yA . sen (kx - ωt) e y2 = yB . sen (kx - ωt + δ) Para obtener analíticamente las suma de ambas funciones ya vimos el procedimiento anterior en interferencia de ondas. Las sumas de estos fasores, geométricamente hablando, se deben realizar para un caso puntual, es decir para valores determinados de x y t. Por lo tanto si estos valores son constantes, las expresión kx - ωt toman un valor constante que llamaremos α. Por lo tanto las ondas a sumar quedan expresadas como y1 = yA . sen α e y2 = yB . sen (α + δ) Si suponemos que la amplitud yA forma un ángulo α con el eje de las x tendremos que la expresión yA . sen α representa la componente sobre el eje y de yA o sea y1. Por igual razonamiento tendremos que la amplitud yB forma un ángulo α + δ por lo que yB . sen (α + δ) representa la componente sobre el eje de las y de yB o sea y2.

Como se puede observar en el dibujo adjunto la onda resultante o suma está dada por la expresión ysuma = yC . sen (α+δ') en la misma vemos que el valor yC corresponde a la amplitud de la onda resultante y δ' corresponde a la diferencia de fase entre la onda resultante y la onda yA. Podemos ver además que la expresión que relaciona las amplitudes de la tres ondas es Ahora supongamos que hacemos variar el tiempo t por lo que el valor del ángulo α varía, permaneciendo el ángulo de fase δ constante.

Tarea #4 Ejercicios Wednesday, March 18, 2009 10:08 PM

1. ¿Cuantas ondas de luz ( λ = 580 mm) caben en una distancia en el

espacio igual al espesor del papel (0.003 in)? ¿Hasta donde se extendera el mismo numero de microondas ( ν = 1010 Hz, es decir, 10 GHz y v = 3 x 10 8 m/s)? 1. La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de 3 x 108 m/s, calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de 5 x 1014 Hz. Comparela con la longitud de onda de una onda electromagnetica de 60 Hz 1. Considere una onda luminosa que tiene una velocidad de fase de 3 x 108 m/s y una frecuencia de 6 x 1014 Hz. ¿Cual es la distancia mas corta de una onda a lo largo de dos puntos cualesquiera que tienen una duferencia de fase de 300? ¿Que cambio de fase ocurre en un punto dado en 10-6s, y cuantas ondas han pasado por ahi en ese tiempo?

Tarea #5 Experimento de Young Sunday, March 08, 2009 10:52 AM

El experimento de Young, también denominado experimento de la doble rendija, fue realizado en 1801 por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la naturaleza corpuscular u ondulatoria de la luz. Young comprobó un patrón de interferencias en la luz procedente de una fuente lejana al difractarse en el paso por dos rejillas, resultado que contribuyó a la teoría de la naturaleza ondulatoria de la luz. Posteriormente, la experiencia ha sido considerada fundamental a la hora de demostrar la dualidad onda corpúsculo, una característica de la mecánica cuántica. El experimento puede realizarse con electrones, átomos o neutrones, produciendo patrones de interferencia similares a los obtenidos cuando se realiza con luz, mostrando, por tanto, el comportamiento dual onda-corpúsculo de la materia. El experimento de Young. La primera comprobación experimental de la teoría ondulatoria de la luz la proporcionó el polifacético científico inglés Tomás Young, cuando utilizando la luz del sol y un simple dispositivo (dispositivo de Young), determinó la longitud de onda de las ondas luminosas. Se denomina interferencia de la luz al hecho de que al superponerse dos o más ondas luminosas en un punto, bajo ciertas condiciones, la iluminación en ese punto no es igual a la suma de las iluminaciones que tendría si cada una de ellas llegara en ausencia de la otra o las restantes. Cuando se produce la interferencia, en esa región la iluminación no es uniforme, aparece una sucesión de zonas claras y oscuras llamadas patrón de interferencia o cuadro interferencial. (Figura 1).

La instalación experimental que se utiliza para demostrar las características de la interferencia, con el dispositivo de Young, la mostramos en la figura 2.

Figura 2. Montaje experimental típico del dispositivo de Young. Para obtener la expresión de trabajo, consideremos el esquema que se muestra en la figura 3. Una rendija F deja pasar un estrecho haz de luz proveniente de una fuente luminosa. Por difracción en F la luz llega a las rendijas F1 y F2 y los rayos que de aquí emergen interfieren en P sobre la pantalla.

La diferencia de recorrido óptico coincide con la diferencia de camino geométrico si n=1 ( vacío ).

lo cual se indica en el gráfico. Al plantear (1) consideramos que D es mucho mayor que d, de manera que los rayos r1 y r2 puedan considerarse paralelos entre sí con buena aproximación. La diferencia de fase será entonces:

Si en P se tiene un máximo de intensidad, se cumple que:

La expresión (3) refleja la simetría del patrón respecto al máximo central ( m=0 ), situado en el centro de la pantalla. Del gráfico puede obtenerse la relación:

como que θ es pequeño se cumple que sen θ es aproximadamente igual a la tan θ, entonces podemos demostrar que:

La distancia lineal sobre la pantalla entre los dos máximos de orden m y m+1, es decir consecutivos será entonces:

Normalmente en los laboratorios de óptica se escoge un juego de doble abertura, se mide en el microscopio la separación entre las rendijas (a) se fija la distancia L, se utiliza un filtro y con un micrómetro ocular se determinan las posiciones lineales de varios máximos o mínimos consecutivos.

Unidad 2 Wednesday, March 11, 2009 9:46 AM

Principio de Fermat Thursday, April 16, 2009 12:30 AM

Este principio, en el cual basa toda la óptica geometrica, plantea que un rayo luminoso va de un punto a otro a lo largo de la trayectoria que le toma el menor o mayor tiempo posible. Dicho de manera más estricta, el tiempo de viaje debe ser un extremo o estacionario con respecto al de otras trayectorias. La figura I.3 muestra ejemplos de estos casos, donde la luz debe ir de l punto P1 al P2 despúes de relejarse en un espejo.

La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente igual a 300 000 km/seg y se representa por la letra c. En cualquier otro medio transparente la velocidad es v, menor que c, y su valor depende del medio que se considere. El índice de refracción n de un material se define como:

(I.1) Dado un material, el índice de refracción n es función del color o longitud de onda de la luz. En general este índice aumenta al disminuir la longitud de onda, como se muestra en la figura I.4 para dos vidrios típicos. Ya que la máxima sensibilidad del ojo está dada por la luz amarilla, el índice de refracción se especifica en general para este color. El cuadro I.2 muestra los valores de este índice para varios materiales. CUADRO I.2. Índices de refracción Para varios materiales Material

Índice de refracción

Vacío Aire Agua Cuarzo fundido Acrílico Crown borosilicato Crown ordinario Bálsamo de

1.0000 1.0003 1.33 1.46 1.49 1.51 1.52 1.53

Canadá Flint ligero Crown de bario denso Flint extra denso Diamante

1.57 1.62 1.72 2.42

Usando la definición de índice de refracción, el tiempo t de viaje de la luz para ir de un punto P1 a otro punto P2 en un medio homogéneo o inhomogéneo está dada por:

(I.2) donde ds2 = dx2 + dy2 + dz2. El camino óptico CO para este rayo se define como:

(I.3) Con el uso de esta definición, el principio de Fermat se puede enunciar de la siguiente manera: “De todas las trayectorias geométricamente posibles para que la luz viaje de un punto P1 a otro punto P2, sólo son permitidas físicamente aquellas que tienen un valor extremo (máximo, mínimo o estacionario) para el camino óptico.

El principio de Fermat es análogo óptico del principio de mínima acción de la mecánica. Este principio no se puede probar por medio de la óptica geométrica, pero sí con la óptica física o de ondas. Pasted from

Reflexión Thursday, February 12, 2009 6:52 PM

.

Reflexión: La figura muestra un haz de luz compuesta de una serie de frentes de ondas planas con un determinado ángulo sobre una superficie, suave y plana (vidrio). Sigamos la trayectoria de un frente de onda a medida que esta va adentrándose por entre las moléculas de la superficie. A medida que desciende el frente de entrada activa dispersor por dispersor, cada un de los cuales radia un flujo fotónico que podemos considerar como un tren de ondas hemisférico al medio incidente. Debido a que la longitud de onda es mucho mayor que la separación entre las moléculas, los trenes de onda que son radiados hacia atrás al medio incidente avanzan juntos y se añaden constructivamente en una dirección con lo que solo hay un frente reflejado bien definido. La dirección de haz reflejado viene determinada por la diferencia reflejada entre los dispersores atómicas, determinada por el ángulo que dibuja la onda incidente en la superficie, denominado ángulo de incidencia. •

Ley de Snell:

• •

• •

Refracción: Los frentes de onda se doblan a medida que cruzan la frontera debido a la diferencia de velocidad Indice de refracción

• •

LEY DE LA REFLEXION La ley de la reflexión dice que el rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie reflectora está en un plano común. Esta ley es una consecuencia obvia del principio de Fermat.

La segunda ley dice que la magnitud del ángulo de reflexión es igual a la magnitud del ángulo de incidencia. Consideremos la figura I.5, donde un rayo de luz parte del punto P1(0,y1) y llega al punto P2(x2,y2) después de reflejarse en un espejo plano sobre el punto P(x,0). Si el índice de refracción es 1.0 el camino óptico del punto P1al punto P2 es:

(I.4) Como este camino óptico tiene que ser un extremo, imponemos la condición:

(I.5) de donde podemos ver fácilmente que: sen I = - sen I´ (I.6) y, por lo tanto, I = -I´, que es la segunda ley de la reflexión.

FORMA VECTORIAL DE LA LEY DE LA REFLEXION Algunas veces es muy difícil seguir en forma matemática la trayectoria de un rayo luminoso después de muchas reflexiones y refracciones. El problema es especialmente difícil cuando la trayectoria no está contenida en un plano, lo que ocurre en cualquier sistema con prismas y/o espejos con orientaciones diversas. En estos casos el sistema se puede analizar de manera más sencilla con las leyes de la reflexión y la refracción en forma vectorial.

Podemos escribir la ley de la reflexión en esta forma considerando la figura I.7. Ahí S1, es un vector unitario a lo largo de la dirección del rayo incidente, S2 un vector unitario a lo largo de la dirección del rayo reflejado y P un vector unitario a lo largo de la normal a la superficie reflectora.

De esta figura podemos ver que S2 = S1 + ay que a = ( 2 cos I) P; por lo tanto podemos demostrar que: S2 = S1 + ( 2 cos I) P = S1 – 2S1 – 2 (S1 . P) P (I.10) que es la forma vectorial de la ley de la reflexión. Responder Pasted from

a c

b

LEY DE LA REFRACCION Thursday, April 16, 2009 12:59 AM

La primera ley de la refracción dice que el rayo incidente, el rayo refractor y la normal a la superficie refractora están en un plano común. Esta ley también es una consecuencia inmediata del principio de Fermat. La segunda ley, llamada también ley de Snell, se puede deducir de la figura I.6, donde es fácil ver que el camino óptico está dado por:

(I.7)

Por el principio de Fermat debemos imponer la condición:

(I.8) de donde podemos observar que: n sen I = n´sen I´ (I.9) que es precisamente la ley de Snell. FORMA VECTORIAL DE LA LEY DE LA REFRACCION

En la figura I.8 se define los vectores S1, S2 y P de manera similar a como se hizo en la forma vectorial de la ley de la reflexión.

Podemos observar que: S2 = b – a. (I.11) Las proyecciones de b y de S2 sobre la superficie refractora tiene el mismo valor, esto es: | b | sen I = | S2 | sen I’ = sen I’, (I.12) usando la ley de Snell obtenemos que | b | = n / n’ y, puesto que b y S1 son paralelos entre sí, vemos que:

(I.13) Por otro lado, el valor de | a | se puede encontrar proyectando S2 y b sobre la normal a la superficie y luego como sigue:

(I.14) Sustituyendo las ecuaciones 1.14 y 1.13 en 1.11, la forma vectorial de la ley de refracción queda: S2 = μS1 – Гp, (I.15) donde:

(I.16)

(I.17) Pasted from

Refracción en superficies esféricas So = Distancia del objeto Si = Distancia imagen Θ << 1 ; Se consideran rayos "paraxiales"

"La derivada respecto a la posición tiene que ser 0 del camino optico" OPL = Optical path link

Veamos los triangulos OAC y ACI, recordando que : Y la ley de los cosenos:

Entonces:

Nos indica en que punto (posicion) se forma la imagen de un objeto La distancia focal esta relacionada con el radio de curvatura

Wednesday, March 11, 2009 9:49 AM

R

o a

Reflexion Total Interna Thursday, April 16, 2009 1:06 AM

Consideremos, como se muestra en la figura I.9, muchos rayos luminosos que llegan desde todas las direcciones posibles a un agujerito muy pequeño sobre una superficie refractora.

Un rayo con un ángulo de incidencia de 900 se refracta con un ángulo θL que se puede obtener de la ley de Snell:

(1.18) De aquí podemos observar entonces fácilmente que no existirán rayos refractados con un ángulo mayor que θL. Este ángulo, llamado ángulo crítico, ángulo límite o ángulo de reflexión total, es función únicamente del índice de refracción del material. Muchos refractómetros miden el índice de refracción de diversos materiales por medio de una medición directa del ángulo crítico. Un rayo que llegara a la superficie refractora desde el lado del índice de refracción mayor n´ con un ángulo de incidencia mayor que el ángulo crítico no podrá refractarse. Este fenómeno, llamado de reflexión total interna, es el principio de trabajo de muchos prismas. Pasted from

Thursday, April 16, 2009 1:08 AM

Trazo de rayos en una superficie esférica La superficie esférica refractora es la más común y la más útil en óptica, después de la plana. En una superficie refractora como la que se muestra en la figura I.10 podemos definir los siguientes parámetros:

a)Centro de curvatura: es el centro de una esfera imaginaria que contiene a la superficie refractora. b)Radio de curvatura: es la distancia de la superficie refractora al centro de curvatura. c)Vértice: es un punto sobre la superficie refractora, en el centro de su abertura libre. Esta abertura se supone de forma circular. d)Eje óptico: es una línea recta imaginaria que pasa por el vértice y el centro de la curvatura.

A superficie esférica refractora puede llegar rayos luminosos con muy diversas orientaciones. Según su dirección, los rayos que inciden en una superficie esférica se pueden clasificar en los siguientes tipos: a)Rayo meridional: es cualquier rayo que junto con el eje óptico definen un plano al que llamamos meridional. En este caso la normal a la superficie y el rayo refractado están en el plano meridional. b)Rayo paraxial: es un rayo meridional cuyo ángulo con respecto al eje óptico es muy pequeño. c)Rayo oblicuo: es cualquier rayo que no sea meridional. En este caso el rayo ni tiene un punto común con el eje óptico ni es paralelo a él. Los rayos tangenciales son un caso particular de rayos meridionales contenidos en un solo plano meridional, llamado también plano tangencial; estos parten de un punto común en el objeto. Los rayos sagitales por su parte son un caso particular de rayos oblicuos contenidos en un solo plano llamado plano sagital perpendicular al tangencial y que pasa por el centro de la abertura del sistema óptico. La figura I.10 muestra una superficie esférica refractora y un rayo meridional que incide en el punto P. La normal a la superficie en el punto P es M y el centro de curvatura es C. Por definición, todos los parámetros r, L. L’, I, I’, excepto U y U’, son positivos en la figura I.10. De hecho, el radio de curvatura r es positivo si el centro de curvatura está a la derecha del vértice y negativo si está a la izquierda de éste; las distancias L y L’ son positivas si sus respectivos cruces A o B están a la derecha del vértice y negativas si están a la izquierda; los ángulos U y U’ tienen el mismo signo de sus pendientes; los ángulos I y I’ son positivos si sus pendientes son mayores considerando su signo, que la pendiente de la normal M y negativos en caso

contrario, y los ángulos I y I’ tienen el mismo signo en una refracción y signo contrario en una reflexión. Aplicando la ley trigonométrica del seno al triángulo PCB:

(I.19) y aplicando la misma ley al triángulo PCA:

(I.20) aplicando ahora una bien conocida relación entre los ángulos de un triángulo al PAB: U – I = U’ - I’. (I.21) La última relación que necesitamos es la ley de Snell: n sen I = n’ sen I’ (I.22) En estas cuatro relacionales los parámetros r, n y n’ son en general fijos y conocidos, y las cantidades L, L’, I, I’, U, U’ variables. Como tenemos cuatro ecuaciones, todas las variables pueden ser calculadas si dos cualquiera de los tres parámetros L, I, U, para el rayo incidente son especificados. Un rayo paraxial es un rayo meridional cuyo ángulos I y U son tan pequeños que sen I y sen U pueden ser reemplazados sin sacrificar mucha precisión por los valores de I y de U expresamos en radianes. Llamamos óptica de primer orden a la óptica geométrica que considera sólo rayos paraxiales. Las ecuaciones básicas de la óptica de primer orden se mantienen haciendo los siguientes reemplazos en las ecuaciones I.19 a I.22: sen I → i sen I’ → i’ sen U → u sen U’ → u’ L→l L’ → l’ (I.23) se obtiene así: (I.24) (I.25) u – i = u’ – i’ (I.26) n i = n’ i’. (I.27) Las variables L y L’ se han sustituido por l y l’ para tener presente que los valores obtenidos con estas ecuaciones son sólo aproximaciones de primer orden. La mayor parte de las propiedades de las lentes y sistemas ópticos se pueden obtener con bastante precisión usando óptica de primer orden, con la única excepción de las aberraciones monocromáticas.

Formula de Gauss

Esta fórmula representa uno de los resultados más importantes de la teoría de primer orden y se puede derivar directamente de las ecuaciones I.24 a I.27. Aquí deduciremos esta fórmula a partir de las ecuaciones exactas y las aproximaciones de primer orden se harán al final. De la ecuación I.19 podemos obtener:

(I.28) de aquí podemos ver que:

(I.29) y luego multiplicando ambos por n / r:

(I.30) de manera similar, usando la ecuación I.20:

(I.31) Si se resta ahora la ecuación I.30 de la ecuación I.31 miembro a miembro, se obtiene: `

(I.32) si usamos aquí las aproximaciones para rayos paraxiales (primer orden) obtenemos finalmente la fórmula de Gauss:

(I.33) Esta fórmula nos da la distancia l’ de la superficie refractora a la imagen, conocida la distancia l de la superficie al objeto. Dada la distancia l’, con independencia del ángulo de incidencia. De aquí podemos concluir que, dentro de los límites de la óptica de primer orden, la imagen de un objeto puntual es también puntual.

Formación de Imágenes Una superficie refractora, una lente o un sistema de lentes, al formar una imagen de un objeto establece una correspondencia uno a uno entre puntos luminosos del objeto y puntos de la imagen. La función del sistema formador de imágenes es refractar (o reflejar) la luz proveniente de un punto en el objeto y enviarla a un solo punto en la imagen, como se muestra en la figura I.11. El objeto cuya imagen se va a forma puede ser de cualquiera de los siguientes dos tipos:

a)Objeto real: el objeto es real cuando la distancia L para la primera superficie refractora es negativa, es decir cuando el objeto está a la izquierda del sistema óptico, como se muestra en las figuras I.12 y I.14. El objeto es real cuando a la izquierda de la lente está el objeto físico mismo o una imagen formada ahí por otro sistema óptico. b)Objeto virtual: consideremos otro sistema colocado entre el sistema óptico de la figura I.11 y su imagen. Este otro sistema cambiará la posición y el tamaño y quizá la orientación de la imagen. Por simple convención se dice en este caso que la imagen formada por le primer sistema es el objeto del cual forma una imagen el segundo sistema. Como el objeto del segundo sistema está a la derecha de él, se plantea que es un objeto virtual. En este caso L es positiva, como se puede observar en las figuras I.13 y I.15.

Al igual que el objeto, la imagen también puede ser real o virtual, como veremos enseguida:

a)Imagen real: una imagen real se puede observar de dos maneras; colocando una pantalla en el lugar donde se forma la imagen, u observándola directamente con el ojo desde una distancia grande a la derecha de donde la imagen se ha formado. En este caso la distancia L es siempre positiva, como se ve en las figuras I.12 y I.13. b)Imagen virtual: los rayos que parten de un punto del objeto pueden no converger sino divergir después de pasar por el sistema óptico y, por lo tanto, no formar ninguna imagen real. Sin embargo, los rayos tendrán un punto aparente de convergencia, formando así una imagen virtual. Este tipo de imágenes puede observarse con el ojo, pero no se pueden formar sobre un apantalla. En este caso de la distancia L es siempre negativa, como se ve las figuras I.14 y I.15.

Teoremas del seno y de Lagrange El teorema óptico del seno establece una relación entre el tamaño de la imagen y el grado de convergencia o divergencia de los rayos en el plano de la imagen. Este teorema lo deduciremos aquí usando la figura I.16, donde todos los parámetros ahí indicados son positivos.

Si suponemos que el campo es muy pequeño, de tal forma que H sea mucho menor que L, podemos observar que:

(I.34) Utilizando ahora las ecuaciones I.19 y I.20 podemos constatar que: n H sen U = n’ H’ sen U’. (I.35) Éste es el teorema óptico del seno, se puede concluir que este teorema es válido sólo para campos pequeños, si la abertura es muy pequeña (rayos paraxiales) y si los rayos considerados son sagitales.

El triple del producto n H sen U se dice que es un invariante óptico porque en cualquier sistema óptico formado con superficies refractoras y/o reflectoras centradas su magnitud es la misma antes y después de cualquier superficie. Se dice que el sistema óptico está formado de superficies centradas cuando todos sus centros de curvatura están sobre una recta común llamada eje óptico. La aproximación paraxial de este teorema se conoce con el nombre de teorema de Lagrange y se escribe: h n u = h’ n’ u’. (I.36) Pasted from

Tarea #1: Trazo de rayos

Thursday, April 02, 2009 10:16 AM

Laser Lente Al pasar por el centro de la lente no sufre cambio

Lente Laser Al incidir el haz reractado sale perpendicular al eje optico

Laser Lente Cuando el haz incide paralelo, la refracción emerge por el foco

Laser

Lente Una imagen es real cuando esta despues del laser

Lente Al sobreponer dos lentes la imaen llega de la manera inicial

Laser

Lente

Una imagen es real cuando esta despues del laser

Tarea #2: Problemas Thursday, April 02, 2009 10:16 AM • So, fo + a la izq de V

• •

• • •

Si, fi + a la der de V R + cuando C esta a la derecha de V yo, yi + por encima del eje optico xo + a la izq de fo xi + a la der de f

Una lente de vidrio biconvexa delgada con indice de refraccion 1.5 tiene radios de curvatura de 30 cm y 60 cm. Debe recoger una imagen de la mitad del tamaño natural de una lámpara de techo. ¿Cuáles deben ser las distancias entre la lente y la lámpara y entre la lente y la pantalla? Construyase un diagrama apropiado de los rayos

R1= 30 cm (Superficie convexa) R2= 60 cm (Sup. Cóncava) (-) Ng=1.5 Solucion empleando la formula:

Encontramos el valor de la distancia focal de la lente para este ejercicio, la convencion de signos (de hecht) indica que R1>0 y R2<0

Del enunciado del problema nos indica que el aumento deceado es ½

Actividades:

Resolver los problemas presentado y contestar las preguntas referentes a: Formación de Imágenes en Espejos y Lentes. 1. Un espejo cóncavo tiene una distancia focal de 40 cm. Determine la posición del objeto para el cual la imagen resultante es derecha y cuatro veces el tamaño del objeto. 1. Un espejo convexo tiene una distancia focal de -20 cm., Determine la posición del objeto para el cual la imagen tendrá la mitad del tamaño del objeto. 1. Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura de 60 cm. Calcule la amplificación de la imagen de un objeto colocado frente al espejo a las siguientes distancias: a) 90 cm. b) 20 cm. c) 15 cm. 1. La altura de la imagen de une espejo cóncavo es cuatro veces mas grande que la altura del objeto cuando este se encuentra a 30 cm. frente al espejo. ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? 1. Calcule la posición de la imagen y la amplificación del objeto colocado a: a) 20 cm. b) 60 cm. frente a un espejo convexo de distancia focal de -40 cm. 1. Una vela se encuentra a 49 cm. frente a un espejo esférico convexo con un radio de curvatura de 70 cm. a) ¿Donde se localiza la imagen?, b) ¿Cual es la amplificación? 1. Una lente divergente tiene una distancia focal de -20 cm. Un objeto de 2 cm. de altura esta a 30 cm. del centro de la lente. Encuentre la posición de la imagen. 1. Una lente convergente de distancia focal 10 cm. forma la imagen de un objeto colocado a: a) 30 cm.b) 10 cm.y c) 5 cm. de la lente. Encuentre la distancia imagen y describa la imagen en cada caso. 1. ¿Cuál es la máxima amplificación de una lente que tiene un distancia focal de 10 cm., y cual es la amplificación de la misma lente con el ojo relajado? 1. Un objeto localizado a 32 cm. frente a una lente forma una imagen sobre una pantalla a 8 cm., detrás de la lente.a) Encuentre la distancia focal de la lente, b) Determine la amplificación, c) ¿Es la lente convergente o divergente? 1. Una lente delgada convergente tiene una distancia focal f. Encuentre las distancia objeto si la imagen, es a) real y dos veces el tamaño del objeto, b) virtual y dos veces el tamaño del objeto. Pasted from

Foco

R2 c c

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