Olimpiada Matematica 2009 Nivel Iii Ensino Medio

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase – Nível 3 Ensino Médio Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:

AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC 06 de junho de 2009 A duração da prova é de 3 horas. Cada problema vale 1 ponto. Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros. Você pode solicitar papel para rascunho. Entregue apenas a folha de respostas. Ao participar o aluno se compromete a não divulgar o conteúdo das questões até a publicação do gabarito no site da OBM.

1. Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314? A) 120

B) 240

C) 360

D) 480

E) 600

2. Os inteiros positivos m e n satisfazem 15m = 20n. Então é possível afirmar, com certeza, que mn é múltiplo de: A) 5

B) 10

C) 12

D) 15

E) 20

3. Se x2 = x + 3 então x3 é igual a: A) x2 + 3

B) x + 4 C) 2x + 2

E) x2 – 2

D) 4x + 3

4. Na figura, o quadrado A’B’C’D’ foi obtido a partir de uma rotação no sentido horário do quadrado ABCD de 25 graus em torno do ponto médio de AB. Qual é o ângulo agudo, em graus, entre as retas AC e B’D’?

D’

D

C C’

A’ A

B B’

A) 5

B) 25

C) 45

D) 65

E) 85

5. Um dos cinco números a seguir é divisor da soma dos outros quatro. Qual é esse número? A) 20

B) 24

C) 28

D) 38

E) 42

6. Sempre que Agilulfo volta para casa depois da escola com uma advertência, se sua mãe está em casa, ela o coloca de castigo. Sabendo-se que ontem à tarde Agilulfo não foi colocado de castigo, qual das seguintes afirmações é certamente verdadeira? A) Agilulfo recebeu advertência ontem. B) Agilulfo não recebeu advertência ontem. C) Ontem à tarde a sua mãe estava em casa. D) Ontem à tarde a sua mãe não estava em casa. E) Nenhuma das afirmações acima é certamente verdadeira. 7. Qual é o menor valor de n > 1 para o qual é possível colocar n peças sobre um tabuleiro n × n de modo que não haja duas peças sobre a mesma linha, mesma coluna ou mesma diagonal? As figuras a seguir mostram pares de peças na mesma linha, na mesma coluna e na mesma diagonal em diversos tabuleiros. •

A) 3

B) 4

•

• •

C) 5

• •

D) 6

E) 7

8. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado 4, K pertence ao lado AD, L pertence ao lado AB, M pertence ao lado BC e KLM é um triângulo retângulo isósceles, sendo L o ângulo reto. Então a área do quadrilátero CDKM é igual a

A

C) 10 D) 12 E) 14

B

K

A) 6 B) 8

L

M D

C

9. A figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos A, B, C e D são as casas e os segmentos são as ruas. De quantas casas é possível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? É permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa. A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

A

B

D

E) 4 C

10. O relógio de parede indica inicialmente meio-dia. Os ponteiros das horas e dos minutos irão formar um ângulo de 145 graus pela primeira vez:

12

9

3

A) entre 12h e 12h10min. B) entre 12h10min e 12h15min.

6

C) entre 12h15min e 12h20min. D) entre 12h20min e 12h25min. E) após as 12h25min.

11. Considere o número inteiro positivo n tal que o número de divisores positivos do dobro de n é igual ao dobro do número de divisores positivos de n. Podemos concluir que n é A) um número primo B) um número par C) um número ímpar D) um quadrado perfeito E) potência inteira de 2 12. Esmeralda tem cinco livros sobre heráldica em uma estante. No final de semana, ela limpou a estante e, ao recolocar os livros, colocou dois deles no lugar onde estavam antes e os demais em lugares diferentes de onde estavam. De quantas maneiras ela pode ter feito isso? A) 20

B) 25

C) 30

D) 34

E) 45

13. O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão. Questões →

1

2

3

4

5

6

0

1

1

1

1

0

Estudantes ↓

Arnaldo

Bernaldo

1

1

1

0

0

1

Cernaldo

0

1

1

1

1

0

⋮

⋮

Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m? A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

14. Seja f : ¢ → ¢ uma função tal que f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2 e f(x + 12) = f(x + 21) = f(x) para todo x ∈ ¢ . Então f(2009) é: A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 2009

15. Na figura, CD = BC, ∠ BAD = 72° , AB é o diâmetro e O o centro do semicírculo.

D

Determine a medida do ângulo ∠ DEC.

C

A) 36o

E

B) 42o A

C) 54o

O

B

D) 63o E) 18o

16. Sabe-se que 2x2 – 12xy + ky2 ≥ 0 para todos x, y reais. O menor valor real de k é A) 9

B) 16

C) 18

D) 27

E) 36

17. A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 + 13 ou, ainda, por 7 + 11. Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam? A) 112

B) 100

C) 92

D) 88

E) 80

18. Um subconjunto de {1,2,3,…,20} é superpar quando quaisquer dois de seus elementos têm produto par. A maior quantidade de elementos de um subconjunto superpar é: A) 3

B) 4

C) 6

D) 7

E) 11

19. Para cada número natural n, seja Sn a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo, S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Quanto é S1 + S 2 + S 3 + ⋯ + S10 ? A) 2925

B) 3025C) 3125

D) 3225

20. Os círculos C1 e C2, de raios 3 e 4, respectivamente, são tangentes externamente em T. As tangentes externas comuns tocam C1 em P e Q e C2 em R e S. A tangente interna comum em T corta as tangentes externas nos pontos M e N, como mostra a figura. A razão entre as áreas dos quadriláteros MNPQ e MNRS é 1 A) 7

9 B) 16

3 C) 4

3 D) 2

E) 3325

P

R

N

C1

T Q

M

13 E) 15

S

C2

21. Dois carros deixam simultaneamente as cidades A e B indo de uma cidade em direção à outra, com velocidades constantes, e em sentidos opostos. As duas cidades são ligadas por uma estrada reta. Quando o carro mais rápido chega ao ponto médio M de AB, a distância entre os dois carros é de 96 km. Quando o carro mais lento chega ao ponto M, os carros estão a 160 km um do outro. Qual a distância, em km, entre as duas cidades? A) 320

B) 420

C) 480

D) 520

E) 560

8

22. Seja N = 8 8⋰ , em que aparecem 2009 números 8. Agilulfo ficou de castigo: ele deve escrever a soma dos dígitos de N, obtendo um número M; em seguida, deve calcular a soma dos dígitos de M; e deve repetir o procedimento até obter um número de um único dígito. Vamos ajudar Agilulfo: esse dígito é A) 1

B) 2

C) 3

D) 7

23. Alguns cubos foram empilhados formando um bloco. As figuras ao lado representam a vista da esquerda e da frente desse bloco. Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista?

E) 8

vista da esquerda

vista da frente

frente

frente

frente

E) frente

esquerda

D)

esquerda

C)

esquerda

B)

esquerda

esquerda

A)

frente

24. Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo? A) 144 cm2

B) 288 cm2

C) 364 cm2

D) 442 cm2

E) 524 cm2

25. Os lados de um triângulo formam uma progressão aritmética de razão t. Então a distância entre o incentro e o baricentro deste triângulo é: A) t

B) t

2

C) t

3

D) 2t

3

E) faltam dados

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE – NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL 3 1) B

6) E

11) C

16) C

21) C

2) C

7) B

12) A

17) B

22) A

3) D

8) B

13) D

18) E

23) C

4) D

9) C

14) C

19) B

24) B

5) D

10) E

15) C

20) E

25) C

1. Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível 3 = 25 pontos). 2. Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: www.obm.org.br

1. (B) Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X = 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y = 2, 3, ..., 9 e Z = 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro. Ou seja 6 × 8 × 5 = 240 .

m 4 4 = e a fração é irredutível, m = 4k e n = 3k, k inteiro positivo. Asn 3 3 sim, mn = 12k2, que é múltiplo de 12. Tomando k = 1, verificamos que as demais alternativas são incorretas. 2. (C) Como 15m = 20n ⇔

3. (D) Temos x 2 = x + 3 ⇔ x ⋅ x 2 = x( x + 3) ⇔ x 3 = x 2 + 3x = ( x + 3) + 3x = 4 x + 3 .

4. (D) O ângulo entre as retas AC e BD é 90 graus. Como B’D’ foi obtido a partir de uma rotação de 25 graus de BD, o ângulo entre as AC e B’D’ é 25 graus menor, sendo igual a 90 – 25 = 65 graus.

5. (D) Um dos cinco números é divisor da soma dos outros quatro se, e somente se, é divisor da soma dos cinco números. Tal soma é 20 + 24 + 28 + 38 + 42 = 152 = 4 ⋅ 38 , que é divisível por 38.

6. (E) As seguintes situações podem ocorrer para que Agilulfo não fique de castigo: 1. Agilulfo volta depois da escola com uma advertência e sua mãe não está em casa; 2. Agilulfo volta depois da escola sem advertência e sua mãe não está em casa; 3. Agilulfo volta depois da escola sem advertência e sua mãe está em casa;

Com isso, Agilulfo pode tanto ter recebido como não ter recebido advertência e sua mãe pode estar ou não estar em casa, de modo que nenhuma das afirmações nas alternativas A a D é certamente verdadeira.

7. (B) Diremos que uma casa ataca outra se elas estiverem na mesma linha, coluna ou diagonal do tabuleiro. Em um tabuleiro 2 × 2 duas casas quaisquer se atacam, de modo que não é possível colocar 2 peças que não se ataquem no tabuleiro. Em um tabuleiro 3× 3 , cada casa do canto ataca outras 6, sobrando somente 2 casas que estão na mesma diagonal; portanto, se colocarmos peça em uma das casas do canto não é possível colocar as outras duas. Todavia, não é possível colocar 3 peças sem que duas se ataquem se não for permitido escolher casas do canto:

•

A figura a seguir exibe uma possibilidade para n = 4.

• •

• •

8. (B) Temos ∠ ALK = 180° − ∠ KLM − ∠ BLM = 180° − 90° − ∠ BLM = 90° − ∠ BLM = ∠ BML , ambos os ângulos ∠ KAL e ∠ LBM são retos, de modo que os triângulos KAL e LBM são congruentes. Portanto, sendo x = AK, AL = 4 – x, LB = x e BM = AL = 4 – x. Logo a área do trapézio AKMB é igual a AK + BM x + (4 − x) ⋅ AB = ⋅ 4 = 8 e, consequentemente, a área de CDKM é 42 – 8 = 8. 2 2

9. (C) Possível caminho: BADBCD

A

B

D

C

É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver as situações abaixo:

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

10. (E) Entre 12h e 12h30min, o ângulo entre os ponteiros cresce continuamente. Como o ângulo formado entre os ponteiros às 12h25min é menor do que 5 ⋅ 30° −

20 ⋅ 30° = 140° , o ângulo entre os 60

ponteiros formam 145 graus pela primeira vez após as 12h25min. 30º 12

1

9

3

6

5

11. (C) Sendo n = 2α p1α 1 p2α 2  pkα k a fatoração canônica de n, temos 2n = 2α + 1 p1α 1 p2α 2  pkα k . Assim, a quantidade de divisores positivos de n é (α + 1)(α 1 + 1)(α 2 + 1) (α k + 1) e a quantidade de divisores positivos de 2n é (α + 1 + 1)(α 1 + 1)(α 2 + 1) (α k + 1) . Essa quantidade é o dobro da anterior quando (α + 2)(α 1 + 1)(α 2 + 1)  (α k + 1) = 2(α + 1)(α 1 + 1)(α 2 + 1) (α k + 1) ⇔ α + 2 = 2(α + 1) ⇔ α = 0 . Isso quer dizer que n não tem fatores 2, ou seja, n é ímpar.

 5 5⋅ 4 = 10 maneiras de escolher os livros que serão guardados onde estavam antes. 12. (A) Há   = 2  2 Os três demais livros, que denominaremos A, B, C, na ordem em que estavam antes, podem ser guardados na ordem BCA ou CAB. Assim, há 10 ⋅ 2 = 20 possibilidades para Esmeralda guardar seus livros sobre heráldica.

13. (D) Após completas a tabela, teremos quatro 1´s em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos 18 × 4 = 72 1´s em toda a tabela. Se a quantidade de 1´s é a mesma em cada coluna, e temos seis colunas, teremos

72 = 12 1´s por 6

coluna.

14. (C) Tomando x – 21 no lugar de x, obtemos f(x – 21) = f(x) = f(x – 21 + 12) = f(x – 9) = f(x – 9 + 12) = f(x + 3). Assim, f(2009) = f(2006) = … = f(5) = f(2) = 2.

15. (C) Como o quadrilátero ABCE é inscritível, ∠ DEC = ∠ DBA . Sendo AB um diâmetro, o ângulo ∠ ACB é reto, de modo que AC é altura e mediana do triângulo ABD. Portanto ABD é isósceles com AB = AD e ∠ ABD =

180° − ∠ BAD 180° − 72° = = 54° . Assim, ∠ DEC = 54° . 2 2

16. (C) Temos 2 x 2 − 12 xy + ky 2 = 2( x − 3 y ) 2 + ( k − 18) y 2 . Assim, se k ≥ 18 então 2x2 – 12xy + ky2 ≥ 0 para todos x, y reais. Além disso, tomando x = 3y > 0, para k < 18 obtemos 2x2 – 12xy + ky2 < 0. Logo o menor valor de k é 18.

17. (B) Para obtermos a maior diferença possível devemos tomar o maior e o menor primo cuja soma seja 126. Como 123 = 341, 121 = 112 ,119 = 7 ⋅ 17,115 = 5 ⋅ 23, tal representação é 113 + 13, cuja diferença é 113 – 13 = 100.

18. (E) Um subconjunto é superpar se, e somente se, não contém dois números ímpares. Assim, subconjuntos superpares contêm no máximo um ímpar e, portanto, 10 + 1 = 11 números.

19. (B) S1 = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55 S2 = 2 + 4 + 6 + ... + 20 = 2(1 + 2 + 3 + ... + 10) = 2 S1 S3 = 3 + 6 + 9 + ... + 30 = 3(1 + 2 + 3 + ... + 10) = 3S1 ⋮

⋮

⋮

S10 = 10 + 20 + 30 + ... + 100 = 10(1 + 2 + 3 + ... + 10) = 10S1

Logo S1 + S2 + S3 + ... + S10 = S1 + 2S1 + 3S1 + ... + 10S1 = (1 + 2 + 3 + ... + 10) S1 = S1 ⋅ S1 = 552 = 3025.

20. (E)

P C1

R

N T

O1 Q

M

O2

S

C2

Sejam O1 e O2 os centros de C1 e C2, respectivamente. Os triângulos O1PQ e O2RS são semelhantes, assim

PQ O1 P 3 = = . Além disso, os segmentos tangentes NP, NT e NR são congruentes e MN é RS O2 R 4

paralelo a PQ e RS. Assim, M e N são pontos médios de QS e PR, respectivamente. Assim, MN é base média do trapézio PQSR, de modo que MN =

PQ RS MN MN PQ + RS = = 3+ 4 = . Assim, . 3 4 3,5 2 2

A razão entre as áreas dos trapézios MNPQ e MNRS, que têm alturas iguais, é

MN + PQ 2 MN + RS 2

=

3,5 + 3 13 = . 3,5 + 4 15

21. (C) Seja 2x a distância entre as cidades, em quilômetros. Quando o carro mais rápido chega ao ponto M, ele percorre x km e o mais lento, x – 96 km (situação 1).

x

1)

96

x – 96

160

2)

96 Quando o carro mais lento chega ao ponto M, ele percorre mais 96 km e o carro mais rápido mais 160 km. Como as velocidades dos carros são constantes,

⋰8

22. (A) Como 88 ≡ ( − 1) 9

8⋰

8

x − 96 96 = ⇔ 5( x − 96) = 3 x ⇔ 2 x = 480 km. x 160

≡ 1, a soma dos dígitos de todos os números que Agilulfo deve escrever é 9

congruente a 1 módulo 9. Portanto, quando Agilulfo obtiver um número de um único dígito, ele vira 1.

23. (C) Considere a quantidade de cubos no quadradinho central da vista de cima apresentada na alternativa C. Esse é o único do meio da vista da frente e portanto deve ter 1 cubo; esse é também o único do meio da vista da esquerda e portanto deve ter 2 cubos, o que não é possível. Então a vista de cima não pode ser a que está apresentada na alternativa C.

frente

3 2 1 1 1

D)

frente

3 2

E) 1 1 frente

esquerda

B)

esquerda

3 2 1 1 1 1

esquerda

A)

esquerda

As figuras a seguir indicam possíveis quantidades de cubos em cada quadradinho da vista de cima das demais alternativas. 3 2 1 1 frente

24. (B) A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos, que são dois triângulos de área 24 ⋅ 12 = 144. Dessa forma, a área total é 288. 2

25. (C) Sejam (AB, AC, BC) a progressão aritmética, G o baricentro de ABC e I o incentro de ABC. Sejam também b = AC e r o inraio de ABC. B

I A

G C

L M

A área de AGC é um terço da área de ABC, que é igual a

r (b − t + b + b + t ) 3br = . Assim, a área de 2 2

br AC ⋅ r = . Logo a altura relativa a G de AGC é r e, portanto, as distâncias de I e G a AC são 2 2 iguais, o que prova que GI é paralelo a AC. AGC é

Sendo BL a bissetriz de ∠ ABC e M o ponto médio de AC, temos AM =

AL AB b − t AL b− t AL b − t b− t = = ⇔ = ⇔ = ⇔ AL = . LC BC b + t AL + LC b − t + b + t b 2b 2

setrizes, AM − AL =

b b− t t − = . 2 2 2

Os triângulos BLM e BIG são semelhantes, assim,

IG BG 2 2 t t = = ⇔ IG = ⋅ = . LM BM 3 3 2 3

Outra solução: utilizando as notações da solução anterior, G =

I=

b e, pelo teorema das bis2

A+ B + C e 3

(b − t )C + bB + (b + t ) A b( A + B + C ) + t ( A − C ) A + B + C t ⋅ CA t ⋅ CA = = + = G+ b− t+ b+ b+ t 3b 3 3b 3b

⇒ I − G=

t ⋅ CA t ⋅ b t t ⋅ CA t ⋅ CA t ⇔ GI = ⇒ GI = = = ⇔ GI = 3b 3b 3b 3b 3 3

Assim,