Olimpiada Matematica 2009 Nivel Ii 8a E 9a Series

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase – Nível 2 8o ou 9o ano

Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:

AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC 06 de junho de 2009 A duração da prova é de 3 horas. Cada problema vale 1 ponto. Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros. Você pode solicitar papel para rascunho. Entregue apenas a folha de respostas. Ao participar o aluno se compromete a não divulgar o conteúdo das questões até a publicação do gabarito no site da OBM.

1. Se

A)

1 8

1 1 5 de um número é , quanto vale desse número? 8 5 8 B)

1 5

C) 1

D)

8 5

E) 2

2. Usando palitos de fósforos, podemos construir um hexágono regular, formado por seis triângulos equiláteros unitários, como mostra a figura. Juntando mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro hexágono regular com o quádruplo da área, também formado por triângulos equiláteros unitários. Quantos palitos deverão ser acrescentados? A) 12 B) 24 C) 30 D) 36

E) 48

3. De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas? A) 2

4. Se

A)

1 5

B) 4

C) 8

D) 12

E) 24

1 1 = 4, o valor de é: x+ 5 x+ 6 B)

1 4

C)

2 3

D)

4 5

E) 1

5. A figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos A, B, C e D são as casas e os segmentos são as ruas. De quantas casas é possível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? É permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa. A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

A

B

D

E) 4

C

6. Os inteiros positivos m e n satisfazem 15m = 20n. Então é possível afirmar, com certeza, que mn é múltiplo de: A) 5

B) 10

C) 12

D) 15

E) 20

7. Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314? A) 120

B) 240

C) 360

D) 480

E) 600

8. Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha ra, Penha ganha

1 e Sônia ganha 70 gramas, o peso da barra, em gramas, é: 4

A) 160

B) 200

C) 240

D) 280

2 da bar5

E) 400

9. Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 57 como soma de todos os pontos obtidos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10. Na figura abaixo, α = 18 ° e AB = AC = AD = AE. O valor do ângulo β é:

A α α α

B β

A) 18o

B) 36o

C) 15o

C

D D) 20o

E E) 30o

11. Cinco cartas iguais têm um lado branco e um lado preto. Elas se encontram em fila com a face branca para cima. Um movimento consiste em escolher um único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo, quantos movimentos são necessários para que as cartas fiquem como na figura ao lado? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Não é possível obter a configuração acima.

12. Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular, CDFG é um quadrado e DFH é um triângulo equilátero. O valor do ângulo β é: H

F

β

G D

E

C A

A) 30o

B) 36o

C) 39o

B

D) 45o

E) 60o

13. Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 corintianos, 14 flamenguistas e 10 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão em posições consecutivas, podemos concluir que: A) tal fila não existe. B) algum dos torcedores das extremidades da fila é gremista. C) algum dos torcedores das extremidades da fila é flamenguista. D) algum flamenguista é vizinho de um gremista. E) algum gremista é vizinho de dois corintianos.

14. Na figura, P é um ponto da reta CD. A região cinza é comum ao retângulo ABCD e ao triângulo ADP. Se AB = 5 cm, AD = 8 cm e a área da região cinza é 3 da área do retângulo, quanto vale a distância 4 PC? A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm

A

B

Q

D

C

P

15. A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 + 13 ou, ainda, por 7 + 11. Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam? A) 112

B) 100

C) 92

D) 88

E) 80

16. Na figura ao lado, E é o ponto médio de AB, F é o ponto médio de AC e BR = RS = SC. Se a área do triângulo ABC é 252, qual é a área do pentágono AERSF?

A

F

E

A) 168 B) 189 C) 200

B

R

S

C

D) 210 E) 220 17. Quantos pares ordenados (x, y) de números reais satisfazem a equação

(x− y ) + ( x− 2 2

A) 0

B) 1

C) 2

y − 2 ) = 0? 2

D) 3

E) infinitos

18. O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão. Questões →

1

2

3

4

5

6

Arnaldo

0

1

1

1

1

0

Bernaldo

1

1

1

0

0

1

Cernaldo

0

1

1

1

1

0

Estudantes ↓

⋮

⋮

Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m? A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 14

19. Entre os inteiros positivos n + 4018, n = 1, 2,..., 20092 , quantos são quadrados perfeitos? A) 1945

B) 1946C) 1947

D) 1948

E) 1949

20. Para cada número natural n, seja Sn a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo, S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Quanto é S1 + S 2 + S 3 + ⋯ + S10 ? A) 2925

B) 3025 C) 3125 D) 3225E) 3325

21. Em uma folha quadriculada em que cada quadrado tem lado 2cm, são desenhados dois círculos como na figura ao lado. A distância mínima entre os dois círculos mede: A) 3cm B) 10 cm C)

(

10 + 3 cm

)

D)

(

10 − 2 cm

E)

(

10 − 3 cm

)

)

22. Quantos números naturais de 1 a 100, inclusive, podem ser escritos na forma de potência a b , com a, b ∈ ¥ e a, b > 1? A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

23. Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo? A) 144 cm2

B) 288 cm2

C) 364 cm2

D) 442 cm2

E) 524 cm2

24. Os inteiros 0 < x < y < z < w < t são tais que w = z(x + y) e t = w(y + z). Sendo w = 9, então t é igual a C) 63

D) 72

E) 81

frente

C) frente

esquerda

B)

esquerda

A)

esquerda

25. Alguns cubos foram empilhados formando um bloco. As figuras ao lado representam a vista da esquerda e da frente desse bloco. Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista?

vista da esquerda

D) frente

vista da frente

E) frente

esquerda

B) 54

esquerda

A) 45

frente

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE – NÍVEL 2 (8º. ou 9º. anos) GABARITO GABARITO NÍVEL 2 1) C

6) C

11) B

16) A

21) E

2) C

7) B

12) C

17) C

22) B

3) C

8) B

13) E

18) D

23) B

4) D

9) C

14) E

19) B

24) A

5) C

10) A

15) B

20) B

25) C

1.

Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível 2 = 25 pontos).

2. Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: www.obm.org.br

1. (C) Se um oitavo do número é

1 8 5 , então esse número vale , de modo que desse número é 5 5 8

5 8 ⋅ = 1. 8 5

2. (C) Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do hexágono, como na figura abaixo:

Assim a quantidade de palitos adicionais, em preto na figura, é 30.

3. (C) Seja C1 o casal 1 e C2 o casal 2. É fácil ver que podemos permutar os dois casais nos bancos, ou seja, teremos as seguintes configurações: C1C2 e C2C1 . Além disso, podemos trocar as posições do marido e da mulher em cada casal. Pelo princípio multiplicativo temos 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.

4. (D)

1 1 5 1 4 = 4⇔ x+ 5= ⇔ x+ 6= ⇔ = . x+ 5 4 4 x+ 6 5

5. (C) Possível caminho: BADBCD A

B

D

C

É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver as situações abaixo:

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

m 4 4 = e a fração é irredutível, m = 4k e n = 3k, k inteiro positivo. Asn 3 3 sim, mn = 12k2, que é múltiplo de 12. Tomando k = 1, verificamos que as demais alternativas são incorretas. 6. (C) Como 15m = 20n ⇔

7. (B) Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X = 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y = 2, 3, ..., 9 e Z = 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro. Ou seja 6 × 8 × 5 = 240 .

8. (B) Veja que Nelly e Penha pegam juntas representam

2 1 13 + = da barra. Portanto, os 70 gramas de Sônia 5 4 20

7 20 ⋅ 70 = 200 gramas. da barra. Dessa forma, o peso da barra será 20 7

9. (C) A soma máxima dos pontos é 6 × 10 = 60 e portanto em no máximo três lançamentos o número é obtido não é o máximo.

Assim, em pelo menos sete lançamentos o número é obtido é o máximo 6.

10. (A) A circunferência de centro A e raio AB contém os pontos C, D e E. Logo a medida do ângulo µ é igual a metade da media do ângulo central E µAC , ou seja, β = inscrito E BC

2α = α = 18° . 2

11. (B) Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas, são necessários pelo menos dois movimentos. Por outro lado, com apenas dois movimentos, a segunda carta seria preta. Assim, a quantidade mínima é três, conforme o exemplo abaixo:

12. (C) As medidas dos ângulos internos de um triângulo equilátero, de um quadrado e de um pentágono

(

regular

são,

respectivamente,

60° ,

90° e

)

(5 − 2) ⋅ 180° = 108° . 5

Assim,

µ = 360° − ( 60° + 90° + 108° ) = 102° . m H DE Temos

ainda

que

o

β + β + 102° = 180° ⇔ β =

triângulo

HDE

é

isósceles

com

HD

=

DE

e

portanto,

180° − 102° = 39° 2

13. (E) Como temos 14 + 10 = 24 torcedores não corintianos, na fila deve existir, sempre entre dois torcedores corintianos, exatamente um torcedor de outra equipe.

14. (E) Traçando uma paralela a DC por Q, temos que Área(ABQ) = Área(AQM). Logo Q é ponto médio de BC.

A

B

Q

M

D

C

P

Dessa forma os triângulos ABQ e QCP são congruentes e com isso, PC = AB = 5.

15. (B) Para obtermos a maior diferença possível devemos tomar o maior e o menor primo cuja soma seja 126. Como 123 = 3 . 41, 121 = 112 ,119 = 7 ⋅ 17,115 = 5 ⋅ 23, tal representação é 113 + 13, cuja diferença é 113 – 13 = 100.

1 BC. Sabemos ainda que, como E é ponto médio de AB, a altura 3 do triângulo EBR com relação à base BR é igual à metade da altura do triângulo ABC com relação à 16. (A) Temos que BR = RS = SC =

base BC e, consequentemente, área ( EBR ) =

( FSC ) =

1 1 1 ⋅ área ( ABC ) = área ( ABC ) . Analogamente, área 3 2 6

1 2 área ( ABC ) = ⋅ 252 = 168. 6 3

17. (C) Para x e y reais:

(x− y ) + ( x− 2 2

y − 2)

2

( x = 1 e y = − 1) x = y2 x = y2 x − y2 = 0 = 0⇔ ⇔ 2 ⇔ ⇔ ou x− y− 2= 0 y − y− 2= 0 ( y = − 1 ou y = 2 ) ( x = 4 e y = 2)

18. (D) Após completas a tabela, teremos quatro 1´s em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos 18 × 4 = 72 1´s em toda a tabela. Se a quantidade de 1´s é a mesma em cada coluna, e temos seis colunas, teremos

72 = 12 1´s por 6

coluna.

19. (B) Inicialmente, podemos observar que: 1. Como 632 = 3969 e 642 = 4096, 632 < 4018 < 642. 2.

20092 + 4018 < 20092 ⋅ 2009 + 1 ⇔ 20092 + 4018 < ( 2009 + 1)

2

3. Logo, entre os inteiros positivos n + 4018, n = 1, 2,..., 20092 , encontramos os quadrados perfeitos 642 ,652 ,..., 20092 , isto é, 2009 − 64 + 1 = 1946 ao todo.

20. (B) S1 = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55 S2 = 2 + 4 + 6 + ... + 20 = 2(1 + 2 + 3 + ... + 10) = 2 S1 S3 = 3 + 6 + 9 + ... + 30 = 3(1 + 2 + 3 + ... + 10) = 3S1 ⋮

⋮

⋮

S10 = 10 + 20 + 30 + ... + 100 = 10(1 + 2 + 3 + ... + 10) = 10S1

Logo S1 + S2 + S3 + ... + S10 = S1 + 2S1 + 3S1 + ... + 10S1 = (1 + 2 + 3 + ... + 10) S1 = S1 ⋅ S1 = 552 = 3025.

21. (E) A distância mínima entre os dois círculos é determinada pelo segmento que une os seus centros. Observando, então, a figura abaixo, concluímos que tal distância é igual a 32 + 12 − 2 − 1 =

(

)

10 − 3 cm.

1cm

2cm

1cm

3cm

22. (B) Listando todas as potências menores ou iguais a 100: Quadrados: 22 ,32 ,...,102 Cubos: 23 ,33 , 43 = 82 Demais potências: 24 = 42 ,34 = 92 , 25 , 26 = 82 Portanto 12 naturais podem ser escritos na forma indicada.

23. (B) A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos, que são dois triângulos de área 24 ⋅ 12 = 144. Dessa forma, a área total é 288. 2

24. (A) Considerando que x, y e z são inteiros positivos, da equação 9 = z(x + y) chegamos as seguintes possibilidades (z = 3 e x + y = 3) ou (z = 1 e x + y = 9). Porém 0 < x < y z e, portanto, z = 3, y = 2 e x = 1. Assim, t = w(y + z) = 9(2 + 3) = 45.

25. (C) Considere a quantidade de cubos no quadradinho central da vista de cima apresentada na alternativa C. Esse é o único do meio da vista da frente e portanto deve ter 1 cubo; esse é também o único do meio da vista da esquerda e portanto deve ter 2 cubos, o que não é possível. Então a vista de cima não pode ser a que está apresentada na alternativa C.

frente

frente

D)

3 2

E) 1 1 frente

esquerda

B)

3 2 1 1 1

esquerda

3 2 1 1 1 1

esquerda

A)

esquerda

As figuras a seguir indicam possíveis quantidades de cubos em cada quadradinho da vista de cima das demais alternativas. 3 2 1 1 frente