Notas Probabilidad (1).docx

CONTEO DIFERENTES FORMAS DE SELECCIÓN DE MUESTRAS REEMPLAZO –ORDEN G={a,b,c,d} N=4 y r=2

MUESTRA CON REEMPLAZO Y CON ORDEN Experimento aleatorio: Se selecciona de G, r elementos sucesivamente de tal forma que cada uno de los seleccionados retorna a la población y puede ser elegido nuevamente S={(aa), (ab), (ac), (ad), (ba), (bb), (bc), (bd), (ca), (cb), (cc), (cd), (da), (db), (dc), (dd) }

MUESTRA SIN REEMPLAZO Y CON ORDEN Experimento aleatorio: Se selecciona de G, r elementos sucesivamente de tal forma Que cada uno de los seleccionados pierde la posibilidad de ser elegido nuevamente. S={ (ab), (ac), (ad), (ba), (bc), (bd), (ca), (cb), (cd), (da), (db), (dc), (cd)}

MUESTRA SIN REEMPLAZO Y SIN ORDEN Se selecciona de G, r elementos simultáneamente. S={ (ab), (ac), (ad), (bc), (bd), (cd)}

MUESTRA CON REEMPLAZO Y SIN ORDEN Experimento aleatorio: Se selecciona de G, r elementos sin que importe el orden pero sustituyendo el seleccionado. S={(aa), (ab), (ac), (ad), (bb), (bc), (bd),(cc), (cd) (dd)}

Ejemplo: ¿Dé cuantas formas se puede conformar un comité integrado por un presidente,

un vicepresidente y un secretario, elegidos entre 20 aspirantes?

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO Considere un proceso desarrollado en k etapas: A1, A2,…., Ak. De tal forma que la etapa A1 Tiene n1 formas de realización, la etapa A2 tiene n2 formas de realización y así sucesivamente Hasta la etapa la etapa Ak con nk formas de realización. Entonces el número de formas en Que se desarrollará todo el proceso es n1* n2*…* nk Ejemplo: Para ir de un pueblo p1 a un pueblo p4 se debe pasar por los pueblos p2 y p3. ¿Dé Cuantas formas se puede llegar a p4 si hay 4 caminos para ir de p1 a p2, 3 para ir de p2 a p3 y 2 rutas para ir de p3 a p4?

¿Cuantas posibles resultados se tienen al lanzar un dado y una moneda simultáneamente?

EXPERIMENTO ALEATORIO: experimento que genera resultados diferentes e impredecibles aún si se repite bajo unas mismas condiciones. Ejemplos: Tiempo en llegar a la universidad Selección aleatoria de una muestra y la medición de una variable Selección aleatoria de un artículo de la producción en una empresa y su clasificación como bueno o defectuoso.

Lanzamiento de una moneda o un dado ESPACIO MUESTRAL(S,Ω). Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio Ejemplo: EA. Lanzamiento de una moneda 1 vez (cs) EA: Lanzamiento de una moneda 2 veces S=(cc)(cs)(sc)(ss) EVENTO: Característica que define un subconjunto del espacio muestral E.A. Lanzamiento de 1 dado 1 vez S={1,2,3,4,5,6} A=Número par B= Múltiplo de 3 C= Mayor a 4 D =Igual a 7 OPERACIONES ENTRE EVENTOS EVENTO COMPLEMENTO El complemento de un evento A, denotado A’ o AC,está conformado por todos los resultados opuestos a A, (es lo que le falta a A para Ser igual al espacio muestral) A’=Número impar B’= No Múltiplo de 3 C’= Menor o igual 4 D’ =S

EVENTO UNION

La unión entre dos eventos denotada como AUB está conformada por los resultados favorables a A junto con los favorables al evento B EVENTO INTERSECCION La intersección entre dos eventos denotada como AnB está dada por los resultados favorables al evento A que también son favorables al evento B EVENTO DIFERENCIA La diferencia entre dos conjuntos A-B, está dada por los resultados favorables a A que no son favorables a B EVENTO DIFERENCIA SIMETRICA

La diferencia simétrica denotada por AB, está conformada por los resultados que Pertenecen a AUB y no están en AnB Ejercicio. E.A: Lanzamiento de 1 dado dos veces Hallar el espacio muestral Definir dos eventos: A y B Hallar A’, AUB, AnB, A-B y AB

AXIOMAS DE PROBABILIDAD 1. P(A)>=0 A es un evento cualquiera 2. P(Ω)=1 3. P(AUB)= P(A)+P(B) si AnB=ǿ (Ay B disyuntos o mutuamente excluyentes) PASOS PARA EL CALCULO DE PROBABILIDADES 1. Definir claramente el experimento aleatorio 2. Hallar el espacio muestral, Ω 3. Asignar a cada elemento del espacio muestral (punto muestral) un valor tal que: a. No negativo b. Suma de todos los valores sea igual a 1 4. Definir una característica A (evento) y hallar P(A) como la suma de los valores de los puntos que satisfacen dicha característica. EJEMPLO: En una bodega hay 5 motores, dos de los cuales son defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente 2 para cubrir un pedido. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. Ninguno esté defectuoso? b. Exactamente uno esté defectuoso? c. Al menos uno esté defectuoso? Al menos=mínimo, A lo más, a lo sumo =máximo DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Eventos favorables/Eventos Posibles (Equiprobabilidad)

PROBABILIDAD CONJUNTA, MARGINAL Y CONDICIONAL SEXO(B) EDAD (A)

HOMBRE(B1) 4 (n11) 5(n21) 9(NB1)

<20 (A1) >=20(A2) Subtotal

MUJER(B2) 1(n12) 3(n22) 4(NB2)

Subtotal 5(NA1) 8(NA2) 13 (N)

PROBABILIDAD CONJUNTA “y” Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos simultáneamente P(AnB)

P(AinBj)=nij/N Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante menor de 20 años

y que sea mujer?

P(A1nB2)=n12/N=2/10=0.2 PROBABILIDAD MARGINAL Es la probabilidad de ocurrencia de un evento considerando todas las categorías del otro evento P(Ai)=NAi/N

P(Bj)=NBj/N

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante que tenga Menos De 20 años? P(A1)=NA1/N ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una mujer?

PROBABILIDAD CONDICIONAL Es la probabilidad de ocurrencia de un evento restringido a la ocurrencia de otro evento

P(Ai/Bj)= P(AinBj)/ P(Bj) Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante menor de 20 años dado (si se sabe)que es una mujer? P(A1/B2)= P(A1nB2)/ P(B2)=2/10/3/10=2/3 Ejemplo: Dado (si se sabe)que se elige un estudiante menor de 20 años ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una mujer?

INDEPENDENCIA ESTADISTICA Dos eventos Ay B son estadísticamente independientes si la ocurrencia de A no incide en la ocurrencia o no ocurrencia de B 1. Si P(AnB)= P(A) P(B) entonces A y B son independiente 2. Si P(A1/B2)= P(A1) entonces A y B son independientes, en caso contrario se dicen dependientes Ejemplo: son los eventos A1=Tener menos de 20 años y B2=ser mujer ¿estadísticamente independientes? P(A1nB2)= P(A1) P(B2)?

Ejemplo: Considere los siguientes 3 eventos, del experimento aleatorio: lanzamiento de 1 dado dos veces. A: El primer y segundo lanzamiento iguales B: Suma de ambos lanzamientos igual a 8 C: Primer lanzamiento igual a 4 a.Son los eventos A y B independientes estadísticamente? b.Son los eventos A y C independientes estadísticamente?

REGLAS DE PROBABILIDAD REGLA ADITIVA P(AUB) (probabilidad de A

“o”B)

P(AUB)=P(A)+P(B) si Ay B son disyuntos P(AUB)=P(A)+P(B)- P(AnB) si Ay B NO son disyuntos P(AUBUC)=P(A)+P(B)+ P(C) si Ay B son disyuntos P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AnB)-P(AnC)-P(BnC)+P(AnBnC) si Ay B NO son disyuntos

REGLA MULTIPLICATIVA P(AnB) (probabilidad de A

“y”B)

P(AnB)= P(A)P(B) si A y B son independientes P(AnB)= P(A/B)P(B) si A y B NO son independientes P(AnBnC)= P(A)P(B)P(C) si A, B y C son independientes P(AnBnC)= P(A/BC)P(B/C)P(C) si A, B y C NO son independientes EJEMPLOS: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado 1 vez se obtenga un Número par

o un 2?

A:Obtener un par B Obtener un dos

¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 5 6

o una suma de

al lanzar un dado dos veces? A:Suma igual a 5 B:Suma igual a 6

¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 4 en los dos Lanzamientos de un dado? A:Obtener un 4 en el primer lanzamiento B:Obtener un 4 en el segundo lanzamiento

En una biblioteca hay 7 libros de estadística. 4 en empaste fino y 3 en empaste rustico. Si llegan 3 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que el primero se lleve un libro en empaste fino, el segundo en empaste rustico

y el tercero empaste rustico?

A: tercer estudiante se lleva un libro empaste rustico B: Segundo estudiante se lleva un libro en empaste rustico C: Primer estudiante se lleva un libro en empaste fino. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero se lleve un libro en empaste rustico, el segundo en empaste rustico

y el tercero empaste rustico?

TEOREMAS DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

Considere una partición de Ωes decir 1. Ei≠vacio 2. EinEj=vacio 3. UEi= Ω P(B)= P(BnE1)+ P(BnE2)+...+ P(BnEk) P(B)= P(B/E1)P(E1)+ P(B/E2)P(E2)+...+ P(B/Ek)P(Ek)

En una fábrica, tres máquinas E1, E2 y E3 producen el 25%, 35% y 40% del total de la producción, respectivamente. Se sabe por experiencia pasada que el 2% de la maquina E1, el 3% de la maquina E2 y el 4% de la maquina E3 son artículos defectuosos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso? b. Si un artículo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea producido por la maquina E2? VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzamiento de 1 dado 1 vez*******? X: No. De puntos en la cara superior del dado X 1 2 3 4 5 6

f(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

F(X) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6=1

Función de masa de probabilidad 𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) Función de distribución acumulada 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖 ≤𝑥

Propiedades 1. 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1 2. Si 𝑥 ≤ 𝑦 entonces 𝐹(𝑥) ≤ 𝐹(𝑦)

MEDIA, VALOR ESPERADO O ESPERANZA 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑥

VARIANZA 𝜎 2 = 𝑉(𝑋) = ∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑥 2 𝑓(𝑥) − 𝜇2 𝑥

𝑥

3. CONTINUAS Función de densidad de probabilidad 1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 ∞ 2. ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1

𝑏

3. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)=∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 4. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) Función de distribución acumulada 𝑥

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 −∞

MEDIA ∞

𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −∞

VARIANZA ∞ 2

𝜎 = 𝑉(𝑋) = ∫ (𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞

−∞

= ∫ 𝑥 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 𝜇2 −∞

EA. Lanzamiento de 1 dado 2 veces X: Suma de los puntos de los dos dados   

Hallar FDP Graficar Hallar la acumulada Hallar E(X) y V(X)

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Cara cterist icas

Uniforme Discreta Cada uno de los valores que asume tiene la misma probabilidad

1 𝑛

FDP

Binomial

Binomial negativa

Geométrica

Hipergeométrica

Poisson

Consiste en la repetición de n ensayos independientes Bernoulli(Experimento con dos posibles resultados disyuntos: éxito y fracaso con probabilidades constantes p y (1-p), respectivamente)

Consiste en la repetición de ensayos independientes Bernoulli

Consiste en la repetición de ensayos independientes Bernoulli

Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n sin reemplazo

Considere un intervalo de número reales en el espacio o en el tiempo. Si dicho intervalo se puede dividir en subintervalos lo suficientemente pequeños tales que: 1. La probabilidad de más de una ocurrencia en el intervalo es cero 2. La ocurrencia en un subintervalo es independiente de la ocurrencia en los demás subintervalos y es directamente proporcional la longitud de los mismos. Entonces el proceso se distribuye Poisson

𝑛 ( ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥

𝑥 − 1 (1 ( ) − 𝑝) 𝑥−𝑟 𝑝𝑟 𝑟−1 𝑥 = 𝑁𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑟 𝑟 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑝 = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜 𝑥 = 𝑟, 𝑟 + 1, 𝑟 + 2, ..

(1 − 𝑝) 𝑥−1𝑝 𝑥 = 𝑁𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑟 1 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑥 = 1,2, …

𝐾 𝑁−𝐾 ( )( ) 𝑥 𝑛−𝑥 𝑁 ( ) 𝑛

𝑒 −𝜆 𝜆𝑥 𝑥! 𝑥 = 𝑁𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑥 = 0,1,2, … 𝜆 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑛𝑝

𝑟 𝑝 𝑟(1 − 𝑝) 𝑝2

1 𝑝 (1 − 𝑝) 𝑝2

𝑛𝐾 𝑁 𝐾 𝐾 𝑁−𝑛 𝑛 (1 − ) ( ) 𝑁 𝑁 𝑁−1

𝜆

𝑥 = 𝑁𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑛 = 𝑁𝑜. 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑝 = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖

E(X) V(X)

(𝑏 + 𝑎) 2 (𝑏 − 𝑎 + 1)2 − 1 12

𝑛𝑝(1 − 𝑝)

Ejemplo: La probabilidad de que un semáforo esté en verde en una mañana es del 20%. Suponga que cada mañana representa un ensayo independiente a. En 5 mañanas ¿cuál es la probabilidad de que el semáforo este en verde Una vez? b. En 5 mañanas ¿cuál es la probabilidad de que el semáforo este en verde Al menos 2 veces? c. En 5 mañanas ¿cuál es la probabilidad de que el semáforo este en verde tres veces? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera vez que el semáforo esta en Verde sea la quinta mañana que usted pasa por el cruce? e. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que el semáforo esta en Verde sea la quinta mañana que usted pasa por el cruce? El número de baches que necesitan reparación urgente en una carretera Intermunicipal tiene una distribución con una media de 5 baches por Kilometro.

𝜆

a. ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar ningún bache? b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un bache? c. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un bache en un tramo de 2 kilómetros? DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA

DISTRIBUCI ÓN NORMAL

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

GAMMA

X: Longitud del intervalo entre conteos sucesivos o hasta que ocurre el primer conteo(falla) en un proceso Poisson con media 𝜆 >0

1 𝑏−𝑎 𝑎<𝑥<𝑏

𝑓(𝑥) =

𝐸(𝑥) =

𝑎+𝑏 2

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 2 1 𝑥−𝜇 1 0≤𝑥<∞ − ( ) = 𝑒 2 𝜎 √2𝜋𝜎 −∞ < 𝑥 <∞

𝐸(𝑋) = 𝜇 −∞ < 𝜇 <∞

𝐸(𝑋) =

1 𝜆

𝜆𝑟 𝑥 𝑟−1 𝑒 −𝜆𝑥 Γ(𝑟) 𝑥>0 𝑟>0 ∞ 𝑟−1 −𝑥 Γ(𝑟) = ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 𝑟>0 0 Γ(𝑟) = (𝑟 − 1)Γ(𝑟 − 1) = (𝑟 − 1)! Γ(0) = 0!; Γ(1/2) = 𝜋 1/2 𝑟 𝐸(𝑋) = 𝜆 𝑓(𝑥) =

ERLANG

CHI CUADRADO

Caso particular de la distribución Gamma cuando r es entero (r>0) X: Longitud del intervalo hasta que ocurren r fallas en un proceso Poisson con media 𝜆 >0 (Suma de r exponenciales)

Caso particular Modela el tiempo hasta que de la ocurre una falla en muchos distribución sistemas físicos diferentes Gamma cuando 1 𝜆= 2 1 3 𝑟 = , 1, , 2 2 2

𝜆𝑟 𝑥 𝑟−1 𝑒 −𝜆𝑥 (𝑟 − 1)! 𝑥>0 𝑟 = 1,2,3, ..

𝑓(𝑥) =

WEIBULL

𝛽 𝑥 𝛽−1 −(𝑥 )𝛽 ( ) 𝑒 𝛿 𝛿 𝛿 𝑥>0 𝛿 > 0 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝛽 > 0 forma

𝑓(𝑥) =

𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒

𝐸(𝑋) =

𝑟 𝜆

𝑥 𝛽 −( ) 𝛿

1 𝐸(𝑋) = 𝛿Γ (1 + ) 𝛽

𝑉(𝑥) (𝑏 − 𝑎)2 = 12

𝑉(𝑋) = 𝜎 2 𝜎>0

𝑉(𝑋) =

1 𝜆2

𝑉(𝑋) =

𝑟 𝜆2

𝑉(𝑋) =

𝑟 𝜆2

𝑉(𝑋) = 𝛿 2 Γ (1 2 1 2 2 + ) −𝛿 [Γ (1 + )] 𝛽 𝛽

UNIFORME Sea X la corriente medida en n alambre delgado de cobre en miliamperes. Suponga que el rango es 0 a 250 MA suponga que la función de densidad de X es f(x)=0.05, 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 EXPONENCIAL En una red de computadoras de una corporación, el acceso de usuarios al sistema puede modelarse como un proceso de Poisson con una media de 25 accesos por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya acesos en un intervalo de 6 minutos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el siguiente accesos este entre 2 y 3 minutos? c. Determine el intervalo de tiempo tal que la probabilidad de que no haya accesos en el intervalo sea de 0.90 d. E(X), V(X) X: tiempo en horas desde el principio del intervalo hasta el primer acceso a.P(x>0.1) b.P(0.033<X<0.05)

ERLANG Las fallas de las unidades de procesamiento central (CPU) de los sistemas de

computadoras se modelan por un proceso Poisson. Generalmente las fallas son de carácter aleatorio en el gran número de circuitos semiconductores de las unidades. Suponga que las unidades que fallan se reparan de inmediato y que el número promedio de fallas por hora es de 0.0001. Sea X el tiempo hasta que ocurren cuatro fallas en el sistema. Determine la probabilidad de que X exceda 40 000 horas P(X>40 000) r=4; 𝜆 = 0.0001 WEIBULL El tiempo para que ocurra una falla (en horas) de un rodamiento en un eje mecánico 1

se modela por una distribución Weibull con 𝛽 = 2 𝑦 𝛿 = 5 000 horas a. Determine el promedio para que ocurra una falla b. Determine la probabilidad de que un rodamiento dure por lo menos 6000 horas 𝐸(𝑋) = 5000Γ (1 +

1 ) 0.5

P(X>6000)=1-𝐹(6000) = 1 − 1 − 𝑒

−(

6000 1/2 ) 5000

=0.301