Nasab

Nama :

Kelas :

Dion Rasfuza

(060502)

Halis Mustofa

(060448)

Tegar Muhadis

(060488)

7B

Aplikasi Persamaan Legendre Tentang Legendre Adrien-Marie Legendre (18 September 1752 – 10 Januari 1833) ialah matematikawan Prancis. Ia membuat sumbangan penting atas statistik, teori bilangan, aljabar abstrak dan analisis matematika. Kebanyakan karyanya disempurnakan oleh lainnya: karyanya pada akar polinomial mengilhami teori Galois; karya Abel pada fungsi elips dibangun pada Legendre punya; beberapa karya Gauss dalam statistik dan teori bilangan melengkapi teori Legendre. Pada 1830 ia memberikan bukti pada teorema akhir Fermat untuk eksponen n = 5, yang diberikan hampir secara serentak oleh Dirichlet pada 1828. Dalam teori bilangan, ia mengkonjekturkan hukum timbal balik kuadrat, yang kemudian dibuktikan Gauss. Ia juga melakukan karya pioner pada prima, dan pada penerapan analisis pada teori bilangan. Konjektur 1796nya dari teorema bilangan prima dengan tepat dibuktikan oleh Hadamard dan de la Vallée-Poussin pada 1898. Legendre melakukan sejumlah karya impresif pada fungsi elips, termasuk klasifikasi integral elips, namun mengambil percobaan jenius Abel untuk mempelajari invers fungsi Jacobi dan memecahkan masalah dengan sempurna. Dalam mekanika teori, ia dikenal untuk transformasi Legendre, yang digunakan untuk berangkat dari formulasi mekanik Lagrangian ke Hamiltonian. Aplikasi Momen Legendre telah banyak digunakan pada aplikasi pengenalan pola, pengindeks-an citra, pengenalan wajah, dll karena kemampuannya sebagai deskriptor citra invariant. Namun komputasinya yang kompleks dengan error aproksimasi yang signifikan sering menjadi masalah dalam penggunaan momen Legendret. Tugas akhir ini akan membandingkan beberapa metode komputasi momen Legendre dalam aplikasi rekonstruksi 1

citra dan merekomendasikan yang terbaik dengan error minimal dan waktu komputasi yang efisien. Proses komputasi dilakukan dengan mensampling citra input dan mengaproksimasi polinomial Legendre. Momen Legendre didapat dari perkalian polinomial Legendre dengan fungsi citra. Kemudian citra direkonstruksi dari polinomial Legendre dan momen Legendre yang terbentuk. Beberapa varian pengembangan dari proses komputasi ini antara lain Exact Legendre Moment (ELM), Speedy Legendre Moment (SLM), Exact Geometric Moment (EGM), Zeroth Order Approximation (ZOA), dan Simpson’s Rule (SR). Dari hasil rekonstruksi citra disimpulkan bahwa ELM merupakan metode terbaik untuk citra berwarna atau keabuan. Sedangkan untuk citra biner, SLM merupakan metode terbaik. Keakuratan hasil rekonstruksi dipengaruhi oleh ukuran block encoding dan orde maksimum polinomial. Semakin kecil ukuran block encoding, semakin akurat haslinya, tetapi waktu komputasinya lama. Orde polinomial yang tinggi juga menyebabkan waktu komputasi yang lama, tetapi hasil yang didapat akan lebih akurat. Polinomial Legendre dalam perluasan multipole

Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

2

yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi listrik Φ sumbu z pada z

(r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada

= a (Gambar 2) bervariasi seperti

Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials

3