Mutua
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- Words: 1,506
- Pages: 12
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
1
Indut^ancia Mutua Pode-se construir um transformador rudimentar enrolando-se dois os esmaltados num cilindro ferro-magnetico.
Mesmo Sentido
Sentidos Opostos c f168
As marcas junto aos enrolamentos mostram o sentido de acoplamento magnetico. A convenc~ao utilizada indica que um acrescimo de corrente entrando por uma das marcas implica num acrescimo de corrente saindo pela outra. Correntes entrando pelas marcas reforcam o uxo no meio magnetico.
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
i1 v1
c f09
2
i2 M
+
+
;
; L1
v2
L2
Adotando-se a convenc~ao receptor para os dois enrolamentos, tem-se di di v1 = L1 1 + M 2 dt dt v2 = M
di1 di + L2 2 dt dt
onde os par^ametros L1, L2 e M s~ao grandezas positivas.
Obs.: Como as correntes de convenc~ao entram pelas marcas, os sinais nas equaco~es s~ao todos positivos.
O enrolamento da esquerda e conhecido como direita como secundario.
primario e o da
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
3
Interpretac~ao Fsica dos Par^ametros L1, L2 e M O acoplamento entre os indutores do primario e do secundario pode ser quanticado atraves das seguintes montagens:
a) Secundario em aberto i1
+
;
c f09
i2 = 0
M
+
v1
i2
=)
; L1
v1 = L1
di1 dt
L2
v2
=)
L1o = L1
L1o Indut^ancia vista do primario com o secundario em aberto (\open").
b) Secundario em curto v2 = 0
=)
Denindo-se fator
di2 M di1 =; dt L2 dt
=)
v1
0 = B@L1
de acoplamento magnetico 4 pM k= L1 L2
1
M 2 CA di1 ; L2 dt
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
4
tem-se v1 = L1 1 ; k
2
di1
dt
=)
L1s = L1 1 ; k
2
L1s Indut^ancia vista do primario com o secundario em curto (\short").
O fator de acoplamento magnetico k pode ser obtido a partir das medidas de L1o e L1s. Note que k = 0 implica L1s = L1 = L1o. N~ao ha uxo concatenado entre as duas bobinas e portanto, n~ao existe acoplamento magnetico (=) M = 0). Para k = 1, L1s = 0, ou seja, o primario se comporta como uma indut^ancia nula, impedindo a variac~ao de uxo no meio magnetico. A bobina do secundario em curto tambem se op~oe a qualquer variac~ao de seu uxo. Existe portanto um acoplamento total entre o uxo do p primario e do secundario (=) M = L1L2 ).
Conclui-se que 0 k 1.
O fator de acoplamento k pode ser visto como uma medida da relac~ao entre o uxo concatenado e o uxo disperso (\leakage").
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
5
A gura ilustra as linhas de campo dos uxos concatenado e disperso. Note que, se as bobinas forem afastadas, o uxo concatenado diminui (k ! 0). Fluxo Disperso
Fluxo Concatenado
c f173
i1 v1
i2 M
+
+
;
; L1
c f09
v2
L2
c) Primario em aberto: i1 = 0 L2o
=)
v2 = L2
=)
di2 dt
Indut^ancia vista do secundario com o primario em aberto.
d) Primario em curto: L2s = L2 1 ; k v1 = 0 L2s
L2o = L2
=)
M di2 di1 =; dt L1 dt
=)
2
v2
0 = B@L2
; ML
2
1
1 CA di2
dt
Indut^ancia vista do secundario com o primario em curto.
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
6
e) Bobinas em fase Considere um circuito formado por duas bobinas em serie e em fase (uxos que se reforcam). i
v
+
;
c f10
v = v1 + v2
v1 v2
+
;
+
;
L1 M L2
i = i1 = i2
=) v = (L1 + L2 + 2M ) portanto
di dt
4 L + L + 2kpL L Lf = 1 2 1 2
Para L = L1 = L2 =) Lf = 2L(1 + k) =) 2L Lf 4L Note que para dois indutores n~ao acoplados, Lf = 2L (resultado ja conhecido). Se o acoplamento for perfeito, Lf = 4L .
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
7
f) Bobinas em Contra-fase Considere agora o mesmo circuito formado por duas bobinas em serie mas com as bobinas em oposic~ao de fase (uxos que se op~oem). i
v
+
;
v1 v2
+
; M ; +
c f10a
v = v1 ; v2
L1
L2
i = i1 = ;i2
=) v = (L1 + L2 ; 2M ) portanto
4 L +L Lc = 1 2
di dt
p ; 2k L L 1
2
Para L = L1 = L2 =) Lc = 2L(1 ; k) =) 0 Lc 2L Note que para dois indutores n~ao acoplamento for perfeito, Lc = 0 .
acoplados, Lc = 2L e se o
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
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Indut^ancia Mutua e Quadripolos i1
v1
i2
M
+
;
; L1
c f09
+
v2
L2
Em variaveis transformadas de Laplace, tem-se V1(s) = sL1I1(s) + sMI2(s) V2(s) = sMI1(s) + sL2I2(s)
Para simplicar a notac~ao, V e I ser~ao denotados sem (s). Matricialmente, tem-se 2 3 2 64 V1 75 = 64 sL1 sM V2 sM {zsL2 |
Z
onde Z
32 3 75 64 I1 75 I } 2
Matriz Imped^ancia
Obs.: Note que Z12 = Z21 = sM (quadripolo recproco).
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
9
As equaco~es tambem poderiam ser escritas na forma 2 3 2 64 V1 75 = s 64 L1 M V2 M {zL2 |
L
32 3 75 64 I1 75 I } 2
Matriz Indut^ancia Obtendo a Matriz de Transmiss~ao a partir da Matriz Imonde L
ped^ancia, tem-se (lembre-se que I2 = ;I2 na convenc~ao utilizada para a Matriz de Transmiss~ao). 2 66 66 V1 66 66 4I 1
Note que
3 2 77 66 77 66 77 = 66 77 66 5 4
L1 M 1 sM
0 LL sM @ 1 2
M2 L2 M
;
1 32 1A 7777 6666 V2 77 66 77 66 54 I 2
3 77 77 77 77 5
v 1 uuut L2
L2 L = p2 = M k L1L2 k L1
Alem disso, como a indut^ancia e proporcional ao numero de espiras ao quadrado, isto e, L1 = N12 v u u L 4 Denindo-se n = ut 2
L1
=
N2 N1
L2 = N22
relac~ao de espiras
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
10
=)
L2 n L1 1 = e = M k M nk Colocando em funca~o do fator de acoplamento k e da relac~ao de espiras n, tem-se 0 1 8 > 1 1 > > V1 = V2 + sM @ 2 ; 1A I2 > > nk k < > > > > > : I1
=
1 n V2 + I2 sM k
Como trata-se de um quadripolo recproco, o determinante da Matriz de Transmiss~ao e igual a 1. Supondo-se acoplamento perfeito k = 1, tem-se c f174
8 > > > V1 = > > < > > > > > : I1 =
i1
i
2 1 : n 1 V + + n 2 v1 v2 ; ; 1 V2 + nI2 sM Note que V2 = nV1 , ou seja, a relac~ao entre a tens~ao do secundario e a tens~ao do primario e igual a n.
Note tambem que I1 = nI2 para V2 = 0, ou seja, a corrente no primario e igual a n vezes a corrente de curto circuito do secundario. 1 V e a corrente de magnetizac~ao do meio. A parcela sM 2
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
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Transformador Ideal
Supondo-se acoplamento perfeito k = 1 8 > > V = 1V > 1 > n 2 < > > > 1 > > I = V + nI2 : 1 sM 2 e desprezando-se a corrente de magnetizac~ao (M sucientemente grande), tem-se 8 > 1 > > V = > < 1 n V2 > > > > : I1 = nI2
que descrevem um Transformador Ideal. i1 v1 c f174
i2
1 : n +
+
;
;
v2
N1 : N2
Note que e a relac~ao entre as espiras do primario e secundario (ou seja, o valor de n) que e importante, e n~ao os valores absolutos N1 e N2 .
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
Transformaca~o de Imped^ancia no Transformador Ideal i1
c f177
i2
+ v1
+
Z
;
Zeq
12
;
v2
A imped^ancia \vista" atraves do transformador pode ser calculada: V2 = ZI2
Para o transformador ideal
Zeq =
V1 I1
8 > > V = nV1 > < 2 > > > : I1 = nI2
=) Zeq =
Z V2=n = 2 nI2 n
Conservac~ao de Pot^encia Complexa no Transformador Ideal
No transformador ideal, com s = j! , tem-se V1I1 = V2I2 (conservase a pot^encia ativa e reativa). Note tambem que V1I1 = V2 I2.
mutua
1
Indut^ancia Mutua Pode-se construir um transformador rudimentar enrolando-se dois os esmaltados num cilindro ferro-magnetico.
Mesmo Sentido
Sentidos Opostos c f168
As marcas junto aos enrolamentos mostram o sentido de acoplamento magnetico. A convenc~ao utilizada indica que um acrescimo de corrente entrando por uma das marcas implica num acrescimo de corrente saindo pela outra. Correntes entrando pelas marcas reforcam o uxo no meio magnetico.
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mutua
i1 v1
c f09
2
i2 M
+
+
;
; L1
v2
L2
Adotando-se a convenc~ao receptor para os dois enrolamentos, tem-se di di v1 = L1 1 + M 2 dt dt v2 = M
di1 di + L2 2 dt dt
onde os par^ametros L1, L2 e M s~ao grandezas positivas.
Obs.: Como as correntes de convenc~ao entram pelas marcas, os sinais nas equaco~es s~ao todos positivos.
O enrolamento da esquerda e conhecido como direita como secundario.
primario e o da
EA612 - Circuitos Eletricos II
mutua
3
Interpretac~ao Fsica dos Par^ametros L1, L2 e M O acoplamento entre os indutores do primario e do secundario pode ser quanticado atraves das seguintes montagens:
a) Secundario em aberto i1
+
;
c f09
i2 = 0
M
+
v1
i2
=)
; L1
v1 = L1
di1 dt
L2
v2
=)
L1o = L1
L1o Indut^ancia vista do primario com o secundario em aberto (\open").
b) Secundario em curto v2 = 0
=)
Denindo-se fator
di2 M di1 =; dt L2 dt
=)
v1
0 = B@L1
de acoplamento magnetico 4 pM k= L1 L2
1
M 2 CA di1 ; L2 dt
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4
tem-se v1 = L1 1 ; k
2
di1
dt
=)
L1s = L1 1 ; k
2
L1s Indut^ancia vista do primario com o secundario em curto (\short").
O fator de acoplamento magnetico k pode ser obtido a partir das medidas de L1o e L1s. Note que k = 0 implica L1s = L1 = L1o. N~ao ha uxo concatenado entre as duas bobinas e portanto, n~ao existe acoplamento magnetico (=) M = 0). Para k = 1, L1s = 0, ou seja, o primario se comporta como uma indut^ancia nula, impedindo a variac~ao de uxo no meio magnetico. A bobina do secundario em curto tambem se op~oe a qualquer variac~ao de seu uxo. Existe portanto um acoplamento total entre o uxo do p primario e do secundario (=) M = L1L2 ).
Conclui-se que 0 k 1.
O fator de acoplamento k pode ser visto como uma medida da relac~ao entre o uxo concatenado e o uxo disperso (\leakage").
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mutua
5
A gura ilustra as linhas de campo dos uxos concatenado e disperso. Note que, se as bobinas forem afastadas, o uxo concatenado diminui (k ! 0). Fluxo Disperso
Fluxo Concatenado
c f173
i1 v1
i2 M
+
+
;
; L1
c f09
v2
L2
c) Primario em aberto: i1 = 0 L2o
=)
v2 = L2
=)
di2 dt
Indut^ancia vista do secundario com o primario em aberto.
d) Primario em curto: L2s = L2 1 ; k v1 = 0 L2s
L2o = L2
=)
M di2 di1 =; dt L1 dt
=)
2
v2
0 = B@L2
; ML
2
1
1 CA di2
dt
Indut^ancia vista do secundario com o primario em curto.
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mutua
6
e) Bobinas em fase Considere um circuito formado por duas bobinas em serie e em fase (uxos que se reforcam). i
v
+
;
c f10
v = v1 + v2
v1 v2
+
;
+
;
L1 M L2
i = i1 = i2
=) v = (L1 + L2 + 2M ) portanto
di dt
4 L + L + 2kpL L Lf = 1 2 1 2
Para L = L1 = L2 =) Lf = 2L(1 + k) =) 2L Lf 4L Note que para dois indutores n~ao acoplados, Lf = 2L (resultado ja conhecido). Se o acoplamento for perfeito, Lf = 4L .
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f) Bobinas em Contra-fase Considere agora o mesmo circuito formado por duas bobinas em serie mas com as bobinas em oposic~ao de fase (uxos que se op~oem). i
v
+
;
v1 v2
+
; M ; +
c f10a
v = v1 ; v2
L1
L2
i = i1 = ;i2
=) v = (L1 + L2 ; 2M ) portanto
4 L +L Lc = 1 2
di dt
p ; 2k L L 1
2
Para L = L1 = L2 =) Lc = 2L(1 ; k) =) 0 Lc 2L Note que para dois indutores n~ao acoplamento for perfeito, Lc = 0 .
acoplados, Lc = 2L e se o
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Indut^ancia Mutua e Quadripolos i1
v1
i2
M
+
;
; L1
c f09
+
v2
L2
Em variaveis transformadas de Laplace, tem-se V1(s) = sL1I1(s) + sMI2(s) V2(s) = sMI1(s) + sL2I2(s)
Para simplicar a notac~ao, V e I ser~ao denotados sem (s). Matricialmente, tem-se 2 3 2 64 V1 75 = 64 sL1 sM V2 sM {zsL2 |
Z
onde Z
32 3 75 64 I1 75 I } 2
Matriz Imped^ancia
Obs.: Note que Z12 = Z21 = sM (quadripolo recproco).
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9
As equaco~es tambem poderiam ser escritas na forma 2 3 2 64 V1 75 = s 64 L1 M V2 M {zL2 |
L
32 3 75 64 I1 75 I } 2
Matriz Indut^ancia Obtendo a Matriz de Transmiss~ao a partir da Matriz Imonde L
ped^ancia, tem-se (lembre-se que I2 = ;I2 na convenc~ao utilizada para a Matriz de Transmiss~ao). 2 66 66 V1 66 66 4I 1
Note que
3 2 77 66 77 66 77 = 66 77 66 5 4
L1 M 1 sM
0 LL sM @ 1 2
M2 L2 M
;
1 32 1A 7777 6666 V2 77 66 77 66 54 I 2
3 77 77 77 77 5
v 1 uuut L2
L2 L = p2 = M k L1L2 k L1
Alem disso, como a indut^ancia e proporcional ao numero de espiras ao quadrado, isto e, L1 = N12 v u u L 4 Denindo-se n = ut 2
L1
=
N2 N1
L2 = N22
relac~ao de espiras
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10
=)
L2 n L1 1 = e = M k M nk Colocando em funca~o do fator de acoplamento k e da relac~ao de espiras n, tem-se 0 1 8 > 1 1 > > V1 = V2 + sM @ 2 ; 1A I2 > > nk k < > > > > > : I1
=
1 n V2 + I2 sM k
Como trata-se de um quadripolo recproco, o determinante da Matriz de Transmiss~ao e igual a 1. Supondo-se acoplamento perfeito k = 1, tem-se c f174
8 > > > V1 = > > < > > > > > : I1 =
i1
i
2 1 : n 1 V + + n 2 v1 v2 ; ; 1 V2 + nI2 sM Note que V2 = nV1 , ou seja, a relac~ao entre a tens~ao do secundario e a tens~ao do primario e igual a n.
Note tambem que I1 = nI2 para V2 = 0, ou seja, a corrente no primario e igual a n vezes a corrente de curto circuito do secundario. 1 V e a corrente de magnetizac~ao do meio. A parcela sM 2
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mutua
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Transformador Ideal
Supondo-se acoplamento perfeito k = 1 8 > > V = 1V > 1 > n 2 < > > > 1 > > I = V + nI2 : 1 sM 2 e desprezando-se a corrente de magnetizac~ao (M sucientemente grande), tem-se 8 > 1 > > V = > < 1 n V2 > > > > : I1 = nI2
que descrevem um Transformador Ideal. i1 v1 c f174
i2
1 : n +
+
;
;
v2
N1 : N2
Note que e a relac~ao entre as espiras do primario e secundario (ou seja, o valor de n) que e importante, e n~ao os valores absolutos N1 e N2 .
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Transformaca~o de Imped^ancia no Transformador Ideal i1
c f177
i2
+ v1
+
Z
;
Zeq
12
;
v2
A imped^ancia \vista" atraves do transformador pode ser calculada: V2 = ZI2
Para o transformador ideal
Zeq =
V1 I1
8 > > V = nV1 > < 2 > > > : I1 = nI2
=) Zeq =
Z V2=n = 2 nI2 n
Conservac~ao de Pot^encia Complexa no Transformador Ideal
No transformador ideal, com s = j! , tem-se V1I1 = V2I2 (conservase a pot^encia ativa e reativa). Note tambem que V1I1 = V2 I2.
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