Muhammad Syafadol Zikri (1608105048).docx

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Disusun untuk memenuhi tugas Mandiri mata kuliah Geometri Analitik Dosen Pengampu : Nurma Izzati, M.Pd.

Disusun Oleh : Muhammad Syafadol Zikri (1608105048) Tadris Matematika B/III

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN (FITK) INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SYEKH NURJATI CIREBON

DAFTAR ISI DAFTAR ISI ...................................................................................................................... 2 A. PERSAMAAN LINGKARAN .............................................................................. 3 1. Definisi Lingkaran ........................................................................................... 3 2. Jarak dua titik ................................................................................................... 3 3. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r ............................. 4 4. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan jari – jari r ............................ 5 5. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran .............................................................. 7 B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN ............................... 9 1. Definisi Garis Singgung .................................................................................... 9 2. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran ....................... 10 3. Persamaan Garis Singgung Bergradien m ....................................................... 11 4. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran .......................... 11 C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN ................................................. 13 D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN ................................................................. 16 E. APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI .......................................... 17

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 19

2

A. PERSAMAAN LINGKARAN

C 1. Definisi Lingkaran Perhatikan gambar lingkaran di samping! Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsure, diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran . O merupakan titik pusat. OA, OB , dan OC adalah jari – jari . O Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang yang sama. Sehingga, OA = OB = OC Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa : A Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik (himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu adalah sama ( konstan ) . Titik tertentu disebut pusat lingkaran,dan jarak konstan disebut jari – jari lingkaran. 2. Jarak Dua Titik Sebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik A (x1,y1) dan B (x2,y2,) .

y B(x2,y2)

A(x1,y1)

0

C

x

Pada segitiga ABC di atas, berlaku : 𝑨𝑩² = 𝑨𝑪² + 𝑩𝑪² 𝑨𝑩² = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )² 𝑨𝑩 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari – jarinya r.

3

B

3. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Y

P(x0,y0)

O

Misalkan titik P(x0,y0) lingkaran, maka:

X

adalah sembarang titik yang terletak pada 𝑶𝑷 = 𝒓

√(𝒙𝟎 − 𝟎)𝟐 + (𝒚𝟎 − 𝟎)𝟐 = 𝒓 (𝒙𝟎 − 𝟎)𝟐 + (𝒚𝟎 − 𝟎)𝟐 = 𝒓𝟐 𝒙𝟎 𝟐 + 𝒚𝟎 𝟐 = 𝒓𝟐 Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x0 dan y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑟 2. Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

4

 Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari – jari r  Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari – jari: a. 5 b. 10 c. 8 Jawab : a. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 b. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 100 c. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 64  Tentukan panjang jari – jari lingkaran apabila diketahui persamaannya : a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 12 b. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 49 Jawab : a. 𝑟 = √12 = 2√3 b. 𝑟 = √49 = 7 4. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r

Y P ( x0,y0 )

M (a,b) X

O

Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x0,y0) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran didapat :

5

𝑴𝑷 = 𝒓 √(𝒙𝟎 − 𝒂)𝟐 + (𝒚𝟎 − 𝒃)𝟐 = 𝒓 (𝒙𝟎 − 𝒂)𝟐 + (𝒚𝟎 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :

(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐

.  Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari – jari r  Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat M(5,2) dan jari jari 4. Jawab : (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 42 𝑥 2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 16 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 25 + 4 − 16 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 13 = 0  Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran bila diketahui persamaan lingkaran : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 71 = 0 Jawab : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 71 = 0 𝑥 2 − 10𝑥 + 52 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 22 − 52 − 22 = 71 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 71 + 25 + 4 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 100 Jadi, pusat lingkaran (5,2) dan jari – jari lingkaran 10

6

5. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut : Persamaan Lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 + 𝑨𝒙 + ( 𝑨) ² + 𝒚𝟐 + 𝑩𝒚 + ( 𝑩) ² + 𝑪 − ( 𝑨) ² − ( 𝑩) ² = 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 1 1 2 1 1 (𝑥 + 𝐴)2 + (𝑦 + 𝐵) = 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶 2 2 4 4 Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝑷 (− 𝟐 𝑨, − 𝟐 𝑩) dan jari – jari lingkaran 𝑹 = √𝟒 𝑨𝟐 + 𝟒 𝑩𝟐 − 𝑪

1

1

𝑅 = −√4 𝐴2 + 4 𝐵 2 − 𝐶

tidak diambil, karena jari – jari lingkaran

selalu positif.  Contoh Soal . Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika persamaan lingkarannya adalah : a. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 8𝑦 − 23 = 0 b. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑦 − 24 = 0 Jawab : a. 𝐴 = −10, 𝐵 = 8 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = −23 1 1 𝑃𝑢𝑠𝑎𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑃 = (− 𝐴, − 𝐵) = (5, −4) 2 2 1 1 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑎𝑘𝑟𝑎𝑛 𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶 4 4

7

1

1

𝑅 = √4 (−10)2 + 4 8 + 23 = √25 + 16 + 23 = √64 = 8

b. 𝐴 = 0, 𝐵 = −10, 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = −24 1 1 𝑃𝑢𝑠𝑎𝑡 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑃 = (− 𝐴, − 𝐵) = (0,5) 2 2

1 1 𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶 4 4 = 1

1

√ 02 + (−10)2 + 24 4 4 = √0 + 25 + 24 = √49 = 7  Kesimpulan yang dapat diperoleh adalah :  Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r adalah 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2  Persamaan Lingkaran dengan pusat M(a,b) dan jari jari r adalah (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2  Persamaan Lingkaran dengan bentuk Umum : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 1

1

Memiliki pusat lingkaran 𝑃 (− 2 𝐴, − 2 𝐵) 1

1

Dan jari - jari 𝑅 = √4 𝐴2 + 4 𝐵 2 − 𝐶

8

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 1. Definisi Garis Singgung Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut! g≡Garis Singgung

D=0 r P(a,b

)

A(x1,y2 ) g ≡ Garis singgung A(x1,Y1) titik singgung 𝐴𝑃 ⊥ 𝑔

O(0,0)

9

Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini:

T(X1,y1)

Y=mx +c

99 Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

Y=m+c 2 Y=m+c 1 Garis singgung bergradien m

9

Y=m2x+c2

Y=m1x+c1 R(x1,y1) Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut: Persamaan Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Persamaan Garis Singgung 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟 2 (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟 2 1 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 + 𝐴(𝑥 + 𝑥1 ) 2 1 + 𝐵(𝑦 + 𝑦1 ) + 𝐶 2 =0

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran.  Contoh Soal . Tentukan Persamaan Garis singgung Lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10 yang melalui titik (-3,1). Jawab : Titik (-3,1)⇒ 𝑥1 = −3 dan 𝑦1 = 1, terletak pada 𝐿 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10 Persamaan garis singgungnya 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟 2 (−3)𝑥 + (1)𝑦 = 10 −3𝑥 + 𝑦 = 10 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10 yang melalui titik (-3,1) adalah −3 + 𝑦 = 10

10

3. Persamaan Garis Singgung Bergradien m Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah Persamaan Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 2

2

𝑥 + 𝑦 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Persamaan Garis Singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2 Ubah bentuk persamaan 2 ke (𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 gunakan rumus 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2

4. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m. a. Menggunakan rumus Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) pada lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 adalah 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) adalah dengan (𝑦1 − 𝑏)(𝑥1 − 𝑎) ± √(𝑦1 − 𝑏)2 + (𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟 2 𝑚= (𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟 2 b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m. Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 yang malalui (7,1) Jawab Persamaan 1 : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 1 = 𝑚 (𝑥 − 7) 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 Persamaan 2 : 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1 + 𝑚2

11

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1 + 𝑚2 → 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 5√1 + 𝑚2 = 7𝑚 + 1 25(1 + 𝑚2 ) = 49𝑚2 − 14𝑚 + 1 25 + 25𝑚2 = 49𝑚2 − 14𝑚 + 1 24 − 14 − 24 = 0 (4𝑚 + 3)(3𝑚 − 4) = 0 3 4 𝑚1 = − 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 = 4 3 Persamaan Garis singgung 1 𝑚1 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 3 3 𝑦 = − 4 𝑥 − 7 (− 4) + 1 4𝑦 = −3𝑥 + 21 + 4 3𝑥 + 4𝑦 = 25 Persamaan Garis singgung ke 2 𝑚2 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 4 4 𝑦 = 3 𝑥 − 7 (3) + 1 3𝑦 = 4𝑥 − 28 + 3 4𝑥 − 3𝑦 = 25

12

C. HUBUNGAN ANTARA GARIS DAN LINGKARAN 𝒍𝟑 Y

B

𝒍𝟏

A P 0

X C 𝒍𝟐

Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran, misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis 𝑙1 yang memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis 𝑙2 yang memotong lingkaran di satu titik saja, yaitu titik C dan garis 𝑙3 yang tidak memotong lingkaran. Sehingga posisi garis terhadap lingkaran ada 3 macam, yaitu: 1. Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

B A

D>0

garis memotong pada 2 titik yang berbeda

13

2. Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut Garis Menyinggung Lingkaran

A

D= 0 garis menyinggung pada satu titik

3.

Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran

D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

14

Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan: 𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 1. Jika

D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda D= 0 garis menyinggung pada satu titik D>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

 Contoh Soal Tentukan posisi garis y = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒕𝒆𝒓𝒉𝒂𝒅𝒂𝒑 𝒍𝒊𝒏𝒈𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟗! Penyelesaian: y = 2𝑥 + 3 subsitusi pada 𝑥 2 + 𝑦 2 = 49 𝑥 2 + (2𝑥 + 3)2 = 49 𝑥 2 + 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 = 49 5𝑥 2 + 12𝑥 − 40 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 =122 − 4(5)(40) =944 D>0 Maka garis memotong pada dua titik yang berbeda

15

D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran : Pada gambar a lngkaran 𝒍𝟏 dan 𝒍𝟐 berpotongan di dua titik yang berlainan -

Jika pusat lingkaran 𝑙2 berada di lingkaran 𝑙1, atau sebaliknya dikatakan 𝑙1 dan 𝑙2 berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i) Jika pusat lingkaran 𝑙2 di luar lingkaran 𝑙1 atau sebaliknya ,dikatakan 𝑙1 dan 𝑙2 berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii)

(b)

𝒍𝟏 dan 𝒍𝟐 bersinggungan

Pada gambar b (i) lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di dalam sedangkan gambar b(ii), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di luar

16

(c).

𝒍𝟏 dan 𝒍𝟐 Tidak berpotongan maupun bersinggungan

Pada gambar c(i), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung didalam Pada gambar c(ii), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung diluar Jika lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di kataka 𝑙1 dan 𝑙2 saling lepas. Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu:  Dua lingkaran sepusat atau kosentris



Lingkaran 𝑙1 dikatakan sepusat dengan lingkaran 𝑙2 , jika pusat lingkaran 𝑙1 berimpit dengan pusat lingkaran 𝑙2 , tetapi jari – jari lingkaran 𝑙1 tidak sama dengan jari – jari lingkaran 𝑙2 Dua lingkaran berimpit Lingaran 𝑙1 dikatakan berimpit dengan lingkaran 𝑙2 jika pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙1 sama dengan pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙2

17

E. APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Aplikasi Garis Singgung Lingkaran sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya diterapkan dalam proses menaikkan atau menurunkan sebuah drum minyak dari truk. Pada belakang truk dipasang sebuah papan sehingga papan tersebut menyangga antara belakang truk dengan tanah. Drum minyak yang berada dalam truk dapat diturunkan dengan aman atau sebaliknya.

18

DAFTAR PUSTAKA Bird, John. 2002. Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Praktis Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga

Budiyono. 1984. Matematika Program Inti. Malang : Widia Duta

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 2 untuk SMA kelas XI Program Ilmu Alam. Jakarta : Erlangga

http://directory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita%20SMA/TUGAS% 20KAPITA/KELOMPOK%2013%20LINGKARAN/MAKALAH%20BAB%201 3%20LINGKARAN.docx (diakses tanggal 3 Januari 2018)

19