Modulo Angulos Y Segmentos En La Circunferencia

Introducción

Primera parte

Propiedades de introducción

Ejercicios primera parte Segunda parte Ejercicios segunda parte Ejercicios variados

Comencemos este trabajo de auto aprendizaje midiendo tus presaberes, para esto practica un autodiagnóstico escribiendo todo lo que sepas desde años anteriores sobre el tema.

Se llama circunferencia de centro O y radio r, al conjunto de puntos del plano que están a una distancia igual a r del centro O.

C(o,r) se lee: circunferencia de centro O y radio r.

No debemos olvidar que al referirnos a circulo consideramos el conjunto de puntos de una circunferencia sumados a todos los demás que son interiores respecto a la misma. Por lo tanto, geométricamente la circunferencia es una línea y el circulo una superficie.

Puntos relacionados con la circunferencia. (posiciones relativas) A ∈ C(o.r) A centro de la circunferencia. B Punto interior. ∈ C(o.r) B interior a la circunferencia. C Punto exterior. ∉ C(o.r) C es exterior a la circunferencia.

(posiciones no relativas) OE = radio de la C. Es el segmento que une al centro de la C. con un punto de la C. DE = diámetro de la C. Es el segmento mayor que une dos puntos de la C.

(posiciones relativas) L1= recta secante: es la recta que corta la C. en dos puntos. L2= recta tangente: es la que toca la C. En un punto. L3= recta exterior: recta que no

P

corta la C. en ningún punto.

P = punto de tangencia

Cuerda: es el segmento comprendido entre dos puntos de la circunferencia. Ejemplo:

AB

Diámetro: es la mayor de las cuerdas. Ejemplo:

PQ

Los extremos de una cuerda de la circunferencia, por ejemplo AB, determinan sobre ella un arco, el al que se lo llama “arco subtenido por la cuerda”.

Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos. : arco MN que no contiene el punto P. : arco MN que contiene el punto P. 4

9

1 6

3 2

7

En dos circunferencias iguales o en una misma, a cuerdas iguales se les oponen arcos y ángulos centrales iguales.

En dos circunferencias, o en una misma, a ángulos centrales iguales se le oponen arcos y cuerdas iguales.

C(con centro en O)

es el doble de •laSudellongitud radio. El diámetro divide a la •circunferencia en dos cuerdas iguales llamadas semicircunferencias. Divide al círculos en dos partes iguales llamadas semicírculos. Todo diámetro perpendicular a una cuerda, la divide a esta en dos partes iguales.

• •

Relación entre el ángulo y el arco. Todo ángulo central vale lo mismo que aquel arco que forma.

• Se quiere saber el valor de α. • Según la propiedad:

Por lo tanto

α = 73°

Encuentra los valores de α y X, y escoge la alternativa correcta.

α= X= Alternativas: 1) α=160 ; X=40 1) α= 80 ; X=80

Relación entre el ángulo y el arco. (ángulo inscrito) Todo ángulo inscrito vale la mitad del arco que forma.

• •

Se quiere encontrar el valor de β. Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 100+190+X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X = 70. •

Según la propiedad:

Por lo tanto

β = 35°

Relación entre los ángulos Todo ángulo central vale el doble del ángulo inscrito si tienen el mismo arco.

Encuentra los valores de β y X, y escoge la alternativa correcta.

β= X= Alternativas: 1) β= 55 ; X=110 1) β= 110; X=56

De acuerdo al ejercicio que acabas de resolver podrías establecer alguna relación entre los ángulos inscritos y los ángulos semi inscritos que poseen el mismo arco. Escribe tu conclusión aquí.

Relación entre los ángulos Los ángulos inscritos que forman el mismo arco son iguales.

α = β = δ

• •

Se quiere encontrar el valor de α, β yδ . Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces: 80+52+55+75+X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X = 98. •

1) Según la propiedad: Por lo tanto

β = 49° •

2) Según la propiedad:

α = β = Por loδtanto: α = 49 ; δ = 49

Encuentra los valores de X, α, δ y β, y escoge la alternativa correcta.

α= β=

δ= X=

Alternativas:

1) α=12; β= 6; δ= 24; X=48 2) α=24; β= 24; δ= 24; X=24 3) α=12; β= 12; δ= 12; X=24

Muy bien Continua …

Relación Medida del ángulo. El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de la circunferencia, vale la semisuma de los arcos que forman las cuerdas.

• •

•

Se quiere encontrar el valor de α. Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 70+110+4X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X = 45. 1) Según la propiedad:

• 2)

Encuentra los valores de X y α, y escoge la alternativa correcta. X=

α=

Alternativas: 1) α=25; X=56 2) α=135; X=135 3) α=62.5; X=25 3) α=25; X=125

Relación Medida del ángulo. Todo ángulo formado por 2 secantes que se cortan fuera de la circunferencia vale la semidiferencia de los arcos que forman las secantes.

Ejemplo •

Se quiere encontrar el valor de X.

•

1) Según la propiedad:

•

2) Podemos concluir que:

•

3) Por lo tanto, al hacer la ecuación:

Encuentra el valor de Y, y escoge la alternativa correcta. Y=

Alternativas: 1) Y=60 2) Y=30

Relación Medida del ángulo. Todo ángulo formado por dos tangentes que se cortan fuera de la circunferencia, vale la semidiferencia de los arcos que forman las tangentes.

• •

Se quiere encontrar el valor de X e Y. Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 3X+2X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X = 72.

• 1) Según la propiedad: • 2)

Encuentra los valores de X e Y y escoge la alternativa correcta. X=

Alternativas: 1) Y=90; X=45 2) Y=90; X=270 3) Y=45; X=90 3) Y=45; X=45

Y=

Relación Medida del ángulo. Todo ángulo formado por una cuerda y una secante es denominado ángulo semi inscrito. Y vale la mitad del arco que forma.

•

•

Se quiere encontrar el valor de X e Y. Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 300+2X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X =30. Según la propiedad:

•

Por lo tanto:

•

;

Encuentra los valores de X e Y y escoge la alternativa correcta. X= Y=

Alternativas: 1) Y=90; X=45 2) Y=45; X=45 3) Y=90; X=90 3) Y=45; X=90

Relación Medida del ángulo. Todo ángulo inscrito en una semi circunferencia es un ángulo rectángulo.

C(o,r) ; BC=diámetro

•

Se quiere encontrar el valor de α.

•

1) Según la propiedad: el ∠ACB=90°, por lo tanto los ∠ s CAB y CBA son iguales a 90°. Como los lados AC y CB son iguales, los dos ∠ s opuestos también son iguales.

•

Por lo tanto:

Encuentra los valores de X y α, y escoge la alternativa correcta. X= α=

Alternativas: 1) α=90; X=45 2) α =72; X=18 3) α =30; X=60 3) α =60; X=30

Relación Medida del ángulo. Todo ángulo formado por una secante una tangente, que se cortan fuera de la circunferencia, vale la semi diferencia de los arcos que forman.

• •

Se quiere encontrar el valor de α. Como la suma de todos los arcos en una circunferencia es 360°, entonces 136+5X+3X = 360, por lo tanto al resolver la ecuación nos da que X =30.

•

Según la propiedad:

•

Por lo tanto:

Si O es centro de la circunferencia, encuentra el valor de α y escoge la alternativa correcta.

X=

α=

Alternativas: 1) α=47 2) α =86 3) α =90 3) α =43

Relación entre arcos. Todos los arcos comprendidos entre dos paralelas que corten a la circunferencia valen lo mismo.

Relación Medida del ángulo. Los ángulo opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.

•

Se quiere encontrar el valor de α y β.

•

Según la propiedad:

•

Por lo tanto:

70 + β = 180°

β = 110°

85 + α = 180°

α = 95°

•

Este ejercicio también se puede resolver usando las propiedades anteriores, intentalo.

Si O es centro de la circunferencia, encuentra el valor de los ∠ s ABC y ADC. Escoge la alternativa correcta.

∠ABC = ∠ADC =

Alternativas: 1) ∠ABC=35 ; ∠ADC= 70 2) ∠ABC=95 ; ∠ADC= 85 3) ∠ABD=75 ; ∠ADC=105

• Si C es centro de la circunferencia

• Y=

• X=

• Si C es centro de la circunferencia

• X=

• X=

1) Encuentra los valores de:

• X= • Y=

2) Encuentra los valores de: • a= • X= • Y=

Segmentos en la circunferencia

Propiedad general

Teorema primero Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos iguales.

Propiedad secundaria:

Teorema primero Si se unen P con el centro de la circunferencia O, OP es bisectriz del ∠APB.

Demostración Teorema primero Se quiere demostrar que: 1) AP = BP. 2) OP es bisectriz del ∠APB. 3) ∠APO = ∠BPO Para esto es necesario: Demostrar que el el triángulo OPA es ≅ con el triángulo POB. 

•

•

•

•

Primero. Se quieren encontrar los valores de AP y BP. Para lo cual debemos encontrar el valor X. Como ya sabemos que los radios de una circunferencia son iguales formulamos la siguiente ecuación: 2X = 20, por lo tanto X = 10. Al saber que X = 10, determinamos que AP =30. Según la propiedad AP = BP, por lo tanto BP también vale 30, así obtenemos los valores de AP y BP . Segundo. Se quiere encontrar el valor del ángulo 1. Si observamos bien el arco AC es igual a 50°, por lo tanto el ∠ AOP también es igual a50°. Y como ∠OAP es igual a 90°, podemos formular la siguiente ecuación: 90° + 50° + ∠APO = 180°, por lo tanto ∠APO = 40°

Según la propiedad OP es bisectriz, por el ∠APO es igual al ∠OPB, también vale 40°-

• Si AC = 20cm, CE = 12cm, FB = 6cm y HD = 4 cm, encuentra el valor del perímetro del cuadrilátero ABCD

Alternativas: 1) ABCD = 47cm 2) ABCD = 20cm 3) ABCD = 68cm 3) ABCD = 80cm

Introducción a la propiedad

Teorema segundo Para esta propiedad es necesario tener un poco más de conocimiento, por lo cual se darán a conocer algunas partes de los segmentos de la circunferencia.

Teorema

Teorema segundo

Al trazar dos secantes desde un punto exterior, el producto de un segmento secante con su respectivo segmento exterior es igual al otro segmento secante con su respectivo segmento exterior.

Demostración Se quiere demostrar que. 1) AP • BP = CP • DP 2) ∠ 1 = ∠ 2 ( para que lados homólogos sean proporcionales). Para esto es necesario demostrar: Que el triángulo ADP es semejante con el triángulo CBP.

Teorema Segundo

•

Primero. Se quiere encontrar el valor de X. Para lo cual debemos encontrar el valor Y. Como AP es igual a 40, podemos determinar y según la siguiente ecuación: 3Y + Y = 40, por lo tanto obtenemos que Y = 10.

•

De esta manera sabemos los valores de AB = 30 y BP = 10

•

Segundo. Se quiere encontrar el valor de X. Según la propiedad AP • BP = DP • CP, por lo tanto podemos plantear la siguiente ecuación: 40 • 10 = (X + 6) • 6, de esta manera obtenemos que X es igual a 60.6.

•

Encuentra el valor de Z.

Alternativas: 1) Z = 15.6 2) Z = 50 3) Z = 56 3) Z = 17.6

Teorema tercero • Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces: • El cuadrado del segmento tangente en igual al producto del segmento secante por el segmento exterior.

Demostración Se quiere demostrar que: 1) AP2 = BP • CP 1) ∠1 = ∠2 (para que lados homólogos sean proporcionales) Para esto es necesario demostrar: Que el triángulo ACP es semejante al triángulo ABP.

Teorema tercero

• Como ya tenemos las medidas necesarias para aplicar la fórmula, inmediatamente podemos formar la ecuación: (5 + 4) • 4 = X2, por lo tanto X es igual a 6.

•

Encuentra el valor de X.

Alternativas: 1) X = 27 2) X = 81 3) X = 6 3) X = 24

Teorema cuarto Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia: El producto de los dos segmentos formados por una cuerda y el punto de intersección es igual al producto de los segmentos formados por la otra cuerda y el punto de intersección.

Demostración Se quiere demostrar que: 1) AE • EB = CE • ED 1) ∠1 = ∠2 ; ∠3 = ∠4 (para que lados homólogos sean proporcionales) Para esto es necesario demostrar: Que el triángulo AEC es semejante al triángulo DEB.

Teorema cuarto

• Como ya tenemos las medidas necesarias para aplicar la fórmula, inmediatamente podemos aplicar la propiedad:

• Por lo tanto: 5• 10 = X • (2 •X) 50 = 2X2 25 = X2 /√ 5=X • Por lo tanto: CE = 5 y ED = 10

• Encuentra el valor de CD. • Para esto te daremos una pista: • Una cuerda perpendicular al diámetro es cortada en segmentos iguales por éste.

Alternativas: 1) X = 27 2) X = 16 3) X = 12

Te invitamos a resolver la siguiente gama de ejercicios

1) Si en la figura BP = AB ; CD = 14 ; DP = 4. • BP=

2) si en la figura: CP = 4√6 ; AO = 5.

• AP=

3) Si en la figura: CD = 0.5 ; BP = 4; CP = 21. • AP=

4) Si en la figura: OC = 5 ; AE = 6 ; BD = 4

Determina: AD

5) Si en la figura: AP = 90 ; AB : BP = 7 : 8 ; DP = 16

Determina: CP

Problemas con enunciado Problemas con enunciado

Cada enunciado viene acompañado de su correspondiente resolución. Se aconseja evitar consultar ésta de buenas a primera, pues, de obrar así, lo que se ejercita es el botón del ratón y no la mente.

Nota: las medidas son esquemáticas; se quiere decir que si no hay proporción en el dibujo con respecto a las medidas es totalmente irrelevante.

EJERCICIOS Problema 1 Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan en una circunferencia. Si la longitud de los segmentos de una cuerda son 3,5 cm. y 6,4 cm. y la longitud del segmento de la otra cuerda es 2,3 cm. ¿ Cuanto medirá el otro segmento? Haz el esquema en tu cuaderno para que se te haga más fácil resolverlo. Respuesta: Pulse aquí

Explicación problema 1 1.- Primero se comienza dibujando la circunferencia, trazando las cuerdas que se intersectan entre ellas y se agregan las medidas correspondientes: 2.- Ahora se aplica el teorema 4 que dice; si se trazan dos C A cuerdas que se cortan dentro de 6,4 cm. una circunferencia. El producto x de los 2 segmentos de una E 3,5 cm. cuerda son iguales al producto de los segmentos de la otra B 2,3 cm. cuerda. Entonces:

D

AE · BE = CE · DE

3.- Ahora resolvemos con la formula: 6,4 · 3,5 = 2,3 · x se hace la multiplicación: 22,4 = 2,3x Pasamos dividiendo el 2,3 9,74 = x

Por lo tanto el segmento que faltaba era de 9,74 cm.

Problema 2 X = 38º Calcula el ángulo que tiene y.

A

y

Cx

X Respuesta: Pulse aquí

Consejo: Si no sabes pásalo,

C

mas vale hacer los que sabes de inmediato y dejar lo difíciles para el final.

Explicación problema 2 1.- Primero se observa que en la circunferencia se dibujan dos tangentes que se unen en un punto exterior.

2.- Ahora se aplica la propiedad de el ángulo formado por dos tangentes.

A

La formula sería:

∠α

B

y

Cx

X P

= ACB - ADB

2

3.- Se reemplazan los valores y quedaría así: 38º = x – y ( x en reemplazo del ángulo ABC)

2 C

Entonces se resuelve la ecuación quedando: x – y = 76 Ahora se puede deducir que ACB + ADB es igual al ángulo total de la circunferencia. Queda: X + y = 360º

Continuación explicación problema 2 4.- Ahora con las ecuaciones logradas anteriormente se puede realizar un sistema de ecuaciones que ya debes haber aprendido en clases anteriores: •

Escribimos las ecuaciones y se encierran en el sistema de ecuaciones:

x – y = 76º x + y = 360º

Se suma vertical y queda: 2x = 436 /:2 X =218 Para calcular y: Se reemplaza la x en cualquier ecuación: 218 + y = 360º y = 142º

Respuesta: El valor del arco que faltaba es de 142º.

Problemas con enunciado sin respuestas. •

Desde un punto A situado fuera de la circunferencia, se traza un segmento secante de 16 cm. que determina una cuerda de 5 cm. Si el radio de la circunferencia, es de 7cm. ¿Cuál es la distancia de A al centro de la circunferencia?

• a) e)

El radio de una circunferencia es de 15 cm. Hallar: La distancia del centro a una cuerda cuya longitud es de 18 cm. La longitud de una cuerda que dista 9 cm. del centro.

•

En una circunferencia, una cuerda que mide 16 cm. está a la distancia de 6 cm. del centro. Hallar la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es de 8 cm.

Muy bien, ya conoces todas las propiedades, felicitaciones.

Pero no olvides que ahora debes aplicarla a la vida real, así que adelante.