Angulos Circunferencia

CP: ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS CP_3

Prof. José Juan Aliaga Maraver

Ángulos central e inscrito P

∝ : Inscrito

c

∝

β : Central

ϕ

C β

∝ B

ϕ =π-2 ∝ ϕ =πβ β=2∝

A

Ángulo Central -. Es aquel que tiene su vértice en el centro en la circunferencia y tiene por medida el arco comprendido. Ángulo inscrito-. es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas.

Ángulos central e inscrito P c

∝2

∝1

∝ = ∝ 1+ ∝ β = β1 + β2

C β2 A

β=2∝ β1 B

“Un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.”

2

Ángulos en la circunferencia ∝2

∝ = ∝ 1+ ∝ 2 ∝1

β = β1 + β2 β=2∝

β1 β2

“Un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.”

Aplicaciones del ángulo inscrito: Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo α dado.-es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α. P P P P P P P

•Arco capaz: Aplicación en demostraciones El ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico

A

Hc c hb a B

Hb

Or ha

hc

Ha

b

C

Arco capaz de Π /2 : Tangente desde un punto a una circunferencia c

T R

C

P

La tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son ortogonales

Construcción del Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo α dado P

∝

A

∝

B

Construcción del Arco Capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo Π/2 dado P ∝

A β= π

∝ =π/2

B

CP_3P_01

Arco capaz

Construir un triángulo conocido un lado , su ángulo opuesto y una tercera condición. Datos (Lado c, a, Ángulo A). Incógnita (Construir triángulo ABC)

a

A

c

Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y una segunda condición Datos (Hipotenusa a, ángulo C). Incógnita (Construir triángulo rectángulo ABC) C c

CP_3P_02

Ángulos en la circunferencia B

5-.En la figura adjunta se cumple:

V F β + γ = δ

β

c

+ ε

V

F

ϕ = 2 . α

V

F

ϕ = δ

+ ε

γ

F

BCD – ACD = BDA

V

F

BAC = BCD

V

F

BAD + DCB = 180º

δ

E α F ϕ ε

A D

6-.En la figura adjunta se cumple:

V

C

B

A

C

D

CP_3P_03

Arco capaz

1-.Determinar un punto P en el interior del triángulo dado, desde el cual se vean sus tres lados bajo el mismo ángulo.

2-.Dado un punto P y una recta r, situados a una distancia de 38mm, dibujar un ángulo de 45º con vértice en P que intercepte en r un segmento de 30mm.