Modelacion Flexible

MODELACIÓN FLEXIBLE DE ELECCIONES DISCRETAS: UNA REVISIÓN CRÍTICA Ricardo Álvarez Daziano y Marcela A. Munizaga Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Chile. Casilla 228-3, Santiago, Chile. [email protected], [email protected] http://tamarugo.cec.uchile.cl/~dicidet/

RESUMEN

El enfoque de modelación comúnmente aceptado en elecciones discretas se basa en la teoría de la utilidad aleatoria, que supone que la utilidad de un individuo puede ser descompuesta en una componente determinística y otra aleatoria. La distribución que se asuma sobre el término de error juega un rol fundamental, dado que de ella dependen los distintos modelos que es posible formular. Por un lado están los modelos tradicionales de la familia Logit, que ofrecen probabilidades de elección cerradas, pero con supuestos simplificatorios –identidad e independencia- que no siempre son sostenibles. Por otro, están los modelos más sofisticados, como por ejemplo Mixed Logit, Logit Heteroscedástico de Valor Extremo y Probit, con una estructura de error más general, pero cuya estimación resulta a su vez más compleja. En el desafío de incorporar estructuras de error más generales, es importante analizar qué estructuras sería deseable poder estimar y por qué. En este trabajo se discute las principales fuentes correlación y heteroscedasticidad, así como la estructura de covarianza aceptada por modelos como el Logit Multinomial, Logit Jerárquico, Probit, Logit de Nidos Cruzados, Logit Heteroscedástico de Valor extremo y Mixed Logit. Se discute las principales propiedades de los modelos y aspectos de estimación como la identificabilidad de los parámetros. Con esta revisión se desea aclarar que la búsqueda de mayor flexibilidad no es un fin en sí mismo: cada modelo tiene asociadas potencialidades y desventajas. Este trabajo pretende difundir el uso adecuado de modelos, haciendo notar la importancia de la justificación de los supuestos que se realicen sobre el término de error. PALABRAS CLAVE elecciones discretas, correlación, heteroscedasticidad

1.

INTRODUCCIÓN

La econometría de elecciones discretas ha experimentado un crecimiento notable en los últimos años, que sólo ha sido incorporado tímidamente a la práctica. Esto se puede explicar por distintas razones, pero un factor crítico parece ser el que no se conocen claramente las ventajas y potencialidades asociadas a los modelos más nuevos. Los modelos de elección discreta utilizados en la modelación de demanda de transporte, están construidos de acuerdo a la teoría de la utilidad aleatoria (McFadden, 1974). Es así como se reconoce la complejidad de conocer la función de utilidad completa y se considera la presencia de múltiples fuentes de error. Por ello se asume que la utilidad de un individuo puede ser descompuesta en una componente determinística (observada) y otra aleatoria (no observada). El término estocástico recoge la incapacidad del modelador para observar todas las variables que influyen en la decisión, errores de medición, diferencias entre individuos, percepciones incorrectas de atributos y la aleatoriedad inherente a la naturaleza humana (Manski, 1977). La distribución que se asuma sobre el término de error juega un rol fundamental, dado que de ella dependen los distintos modelos que es posible formular (Ortúzar y Willumsen, 1994; McFadden, 2000). Por un lado están los modelos tradicionales de la familia Logit: Multinomial (McFadden, 1974) y Jerárquico (Williams, 1977; McFadden, 1978), que ofrecen probabilidades de elección cerradas, pero con supuestos simplificatorios - identidad e independencia - que no siempre son sostenibles. Por otra parte, se encuentra el modelo Probit (Daganzo, 1979), con una estructura de error general, pero cuya estimación resulta bastante compleja. En este contexto, caracterizado además por avances tecnológicos en computación y métodos numéricos, se ha cuestionado el uso de modelos simplificados y se han desarrollado algunos modelos más complejos propuestos en la literatura a nivel teórico desde hace algún tiempo, haciendo estimables por ejemplo los modelos Mixed Logit (Ben Akiva y Bolduc, 1996; Brownstone y Train, 1999), Logit Heteroscedástico de Valor Extremo (Bhat, 1995; Hensher, 1996) y Probit (Bunch, 1991; Munizaga y Ortúzar, 1997). Sin embargo en la práctica profesional se siguen utilizando los modelos más simples. Si se desea incorporar modelos que permitan estructuras de error más generales, es importante analizar qué estructuras sería deseable poder estimar y por qué. La posible existencia de correlación y heteroscedasticidad (distinta varianza) en los términos de error se puede dar entre alternativas y entre observaciones. En la segunda sección del presente trabajo se discute las principales fuentes de correlación y heteroscedasticidad que se puede detectar a nivel práctico. En la sección tres se efectúa una revisión de modelos de elección discreta y su estructura de covarianza. En la sección cuatro se muestra cómo se complica la estimación de los modelos al plantear estructuras de covarianza más sofisticadas. Por último, en la sección 5 se entregan las principales conclusiones en un marco de recomendaciones de modelación cuando se espera la presencia de correlación o heteroscedasticidad.

2.

HETEROGENEIDAD DEL TÉRMINO DE ERROR

Como se dijo en la introducción, en algunos casos sería deseable levantar los supuestos de independencia y homoscedasticidad e incorporar lo que se puede denominar heterogeneidad del término de error, agregando flexibilidad a la modelación. A continuación se discute algunos de esos casos.

En primer lugar, es necesario recordar que si se asume un supuesto simplificatorio que obvia la estructura real de la matriz de covarianza, el modelo perderá su capacidad de reproducir la realidad de un modo correcto y adecuado. Si se aplica un modelo para una situación particular en la cual los supuestos con los que fue construido no se cumplen, entonces se cae en un error de especificación del modelo y eventualmente se obtendrá parámetros estimados y probabilidades de elección inconsistentes (Horowitz, 1981). A modo de ejemplo, se puede mencionar los efectos de la conocida propiedad de Independencia de Alternativas Irrelevantes (IAI), propia del modelo Logit Multinomial y, en general, de cualquier modelo que suponga independencia de los términos de error (Ben-Akiva y Lerman, 1985). Horowitz (1981) plantea que hay dos formas potenciales de solucionar este problema: incluir variables independientes adicionales en un intento por recoger aquellas variables que están causando el levantamiento del supuesto iid, o bien trabajar con modelos más generales que el Logit, que no necesiten dicho supuesto. Este último camino, que puede describirse como la relajación del supuesto iid de los términos de error, puede subdividirse en (Bhat, 1997): • • •

Errores correlacionados idénticamente distribuidos. Errores independientes no idénticamente distribuidos. Errores correlacionados no idénticamente distribuidos.

Estos grupos de supuestos estadísticos del comportamiento se asocian a grupos de modelos específicos. A continuación se describe distintas fuentes de heteroscedasticidad y correlación. Heteroscedasticidad Hay características de modelación que pueden implicar que no todas las alternativas tengan la misma varianza del término de error. Esto es lo que puede llamarse heteroscedasticidad entre alternativas (Munizaga et al, 2000). Un ejemplo claro es el de un individuo que se ve enfrentado a un experimento de elección en el cual una de las alternativas es la que él o ella utiliza habitualmente. Es probable que su percepción de los atributos sea mucho más precisa para esa opción que para las restantes, presentando por tanto una menor varianza. Otra causa que se puede identificar es el caso en que algunas alternativas presentan mayor varianza que otras en sus atributos, como por ejemplo en el caso de alternativas de transporte que comparten infraestructura (transporte de superficie) versus alternativas que cuentan con vía exclusiva (metro). En el caso de heteroscedasticidad entre observaciones, probablemente el ejemplo más claro es la estimación con datos mixtos de Preferencias Reveladas y Preferencias Declaradas. Como se trata de bases de datos de distinta naturaleza, no se puede suponer que ambas tengan la misma varianza del término de error. Otro ejemplo, que es posible encontrar, es cuando algunos usuarios poseen información más precisa sobre los atributos de las alternativas que otros (producto por ejemplo de dispositivos de información en línea). Correlación En términos estadísticos, levantar el supuesto de independencia de los términos de error corresponde a aceptar términos fuera de la diagonal en la matriz de covarianza. Recogiendo los trabajos de Horowitz (1981) y Munizaga (1997), las fuentes de correlación pueden ser agrupadas en tres grandes grupos:

Alternativas similares: cuando hay alternativas que poseen variables no observadas comunes o correlacionadas. Los casos más frecuentes en modelación de transporte son: alternativas de transporte privado versus alternativas de transporte público, presencia de alternativas combinadas, y modelación de elección de ruta en que algunas rutas comparten arcos. Algunos de estos casos es posible representarlos con una estructura de covarianza diagonal por bloques (en que no hay correlación cruzada). Variaciones en los gustos: si existe variaciones en los gustos y no se recoge en la modelación, entonces se obtiene la presencia de una variable no observada, propia del individuo (el parámetro de gusto individual), que es fuente de correlación entre alternativas y entre observaciones. El enfoque usual es considerar que los gustos son fijos y estables en el tiempo, y para modelar las potenciales diferencias lo que se hace es segmentar (Swait y Bernardino, 2000), sin desconocer que puede ser deseable modelar variaciones dentro de cada segmento. Múltiples respuestas en PD: Cuando a una persona se le aplica una encuesta de preferencias declaradas (PD), se le somete a varios juegos de elección. Ciertamente en este caso es razonable sostener que las respuestas de un mismo individuo podrían estar correlacionadas. Sin embargo, no existe consenso en la forma de representar esa correlación en un modelo estimable, y en general los estudios no han llegado a resultados concluyentes (ver Ortúzar et al, 1997). Munizaga (1997) plantea que el problema puede ser representado asumiendo la presencia de variaciones en los gustos entre individuos, al suponer que todas las observaciones de un mismo individuo corresponderán a un mismo valor de los parámetros de gusto. Una aplicación en esta línea es posible encontrarla también en el trabajo de Revelt y Train (1998).

3.

MODELOS DE ELECCIÓN Y SU ESTRUCTURA DE COVARIANZA

3.1. El Logit Multinomial (MNL) Como el MNL supone errores Gumbel independientes e idénticamente distribuidos, entonces no acepta correlación ni heteroscedasticidad. Luego, la matriz de covarianza asociada a este modelo es diagonal. Además, como la varianza del término Gumbel se asocia con el factor de escala, entonces se tiene: σ 2 0 L 0    0 σ2 O M  π2 Σ= = σ 2 I J n ×J n = 2 I J n × J n  M O O 0 6λ   2  0 L 0 σ 

(1)

Para que el modelo sea identificable, debe fijarse el valor del factor de escala. En la mayoría de los casos implícitamente se hace el supuesto que el factor de escala (λ) es igual a uno. 3.2. El modelo Logit Jerárquico (LJ) El modelo Logit Jerárquico fue construido para representar correlación entre grupos disjuntos de alternativas, las que se asocian a un nido. Consideremos, entonces, dos alternativas i,j en el nido k. A cada una de estas alternativas se le asocia una función de utilidad:

U in = Vin + µkn + ξin U jn = V jn + µkn + ξ jn

(2) (3)

donde ξin ~ Gumbel (0,λk) y µkn ~ f(0, σµ2 ), una distribución tal que µkn + máxi ξin ~ Gumbel (0,Λ). Es claro que ambas alternativas comparten el término µkn, que por cierto es el causante de la correlación presente entre i y j. Por lo tanto al calcular la covarianza se obtiene: cov(U in ,U jn ) = var( µkn ) = σ µ2

(4)

Además, por construcción del modelo, la varianza es var(U in ) = var( µkn ) + var( ξin ) = σµ2 + σξ2 = σε2

(5)

cuyo valor resulta independiente de la alternativa. En otras palabras, el LJ resulta homoscedástico por construcción. Luego, en términos generales  var( µkn )  cov(U in ,U jn ) = var( µkn ) + var(ξin )  0 

i , j ∈ Ck , i ≠ j i , j ∈ Ck , i = j ~

(6)

En resumen, este modelo permite una matriz de covarianza homoscedástica diagonal por bloques, modelando correlación positiva entre alternativas. Si se extiende el modelo a más niveles, entonces es capaz de recoger casos en que algunas alternativas son más similares entre sí que otras 1 (manteniendo siempre la estructura diagonal por bloques, es decir, sin correlación cruzada). La relación entre la magnitud de la correlación y el parámetro estructural del modelo φk = Λ/λk está dada por: 1 − φk2 corr (Uin , U jn ) =   0

i, j ∈ Ck , i ≠ j

(7)

y consecuentemente, la covarianza está dada por: π2 cov(U in ,U jn ) = (1 − φ ) 2 6Λ 2 k

(8)

Por ejemplo, consideremos una situación de elección con cuatro alternativas. Supongamos además que éstas pueden agruparse en dos nidos de dos alternativas cada uno. En este caso específico la matriz de covarianza tiene la forma:  1 (1 − φ12 ) 0 0   2 2  π  (1 − φ1 ) 1 0 0  Σ= 6Λ2  0 0 1 (1 − φ22 )    0 (1 − φ22 ) 1   0

(9)

Para una excelente revisión de este modelo se propone consultar Ortúzar (2001), Munizaga y Ortúzar (1999) y Carrasco y Ortúzar (2002). 1

La estructura de nidos de una elección multidimendional debe ser interpretada como distintos niveles de similitud y no como jerarquías entre las decisiones.

3.4. El modelo Logit de Nidos Cruzados (CNL) Desarrollado por Vovsha (1997), ampliado en trabajos de Papola (2000) y Koppelman y Wen (2000a) e implementando una idea original de Williams (1977)2 , este modelo GEV corresponde a una generalización del LJ y permite que una alternativa pertenezca a la vez a más de un nido con diferentes grados de similitud α, permitiendo modelar estructuras de correlación cruzada. La expresión general para la matriz de covarianza de un Logit de Nidos Cruzados es (Papola, 2000): cov(U i ,U j ) =

π2 6Λ2

∑α

1/ 2 ik

⋅ α1jk/ 2 (1 − φk2 )

(10)

k

Para la diagonal se cumple que: cov(U i ,U i ) = var( U i ) =

π2 6Λ2

∑ α1ik/ 2 ⋅α1ik/ 2 (1 − 0) = k

π2 6Λ2

∑αik = k

π2 6 Λ2

(11)

Un punto importante de destacar, es que existe cierta confusión en la aplicación del modelo CNL. En modelos de elección de ruta es práctica usual considerar una matriz de covarianza proporcional a la utilidad 3 (Papola, 2000; Yai et al, 1997). Para construir esta matriz se necesita que la función de utilidad pueda ser descompuesta en elementos separables; en el caso de elección de ruta típicamente se considera la impedancia de cada arco. Esto ha motivado una metodología de estimación del CNL que calcula los parámetros αik imponiendo que la covarianza del modelo corresponda a una matriz dada. Para facilitar la estimación, se utiliza una forma artificial de construir los nidos, en que las alternativas de elección (rutas) definen los nidos; mientras que los arcos (componentes separables que definen una ruta) son considerados alternativas elementales. En términos más simples, los nidos se crean a partir de las verdaderas alternativas, y como alternativas se consideran elementos que permitan obtener una matriz proporcional a la utilidad. La confusión se crea al asociar esta metodología como una condición del modelo, lo que puede llevar a asumir correlación cruzada cuando en efecto no la hay. No está de más señalar, que el modelo también permite trabajar con una estructura de nidos tradicional. Existe otro modelo, denominado Logit Combinatorial Pareado (PCL), propuesto originalmente por Chu (1989) y retomado en estudios recientes como el trabajo de Bekhor (1999) y Koppelman y Wen (2000b), que junta las alternativas de a pares, asociándoles un parámetro de similitud entre ellas. Este modelo no se ha incluido en este trabajo, debido a que su estructura de covarianza puede ser fácilmente modelada como un caso particular del CNL. 3.5. El modelo Logit Heteroscedástico de Valor Extremo Este modelo, cuya implementación es reciente (ver Munizaga et al, 2000) se basa en suponer que los errores distribuyen independiente, pero no idénticamente, Valor Extremo de Tipo I (Bhat, 1997; Hensher, 1996). Los elementos en la diagonal de la matriz de covarianza están 2

Williams describe un modelo al que llama Logit de Correlación Cruzada, sin asumir directamente una distribución para los errores. 3 Se asume que la matriz de covarianza es proporcional a las impedancias de las rutas (por ejemplo, el largo o costo de cada ruta define cada varianza; y el largo o costo común entre rutas, cada covarianza).

dados por: σi2 =

π2 2 θi 6

(12)

Consecuentemente los elementos fuera de la diagonal son cero. Nótese que para hacer identificable el modelo, debe fijarse uno de los factores de escala θi. La propiedad IAI no rige en este modelo a menos que todos los parámetros de escala sean iguales. Aún más, Bhat (1995) demostró que un cambio marginal en la utilidad determinística de una alternativa induce cambios en la partición de mercado del resto que serán más pequeños para aquellas alternativas con un parámetro de escala mayor. 3.6. El modelo Probit El modelo Probit asume que el vector aleatorio εn que contiene a los errores de cada alternativa, distribuye en conjunto Normal multivariada, con una matriz de covarianza general. εn = (ε1n ,K , εin , K, εJ n n ) t , εn ~ N 0 J n ×1 , Σ J n × J n (13)

(

 σ12  σ Σ n =  12  M  σ1 J n

σ12 L σ1 J n   σ22 M  O M   L L σJ2n 

)

(14)

Sin embargo, no todos los elementos de la matriz de covarianza pueden ser estimados econométricamente. Existen restricciones de identificabilidad que se deducen a partir de estudiar el modelo desviado con respecto a una alternativa (ver Bolduc, 1992). Esto hace particularmente interesante la discusión de la estructura de la matriz de covarianza esperada en cada caso particular de modelación. 3.7. El modelo Mixed Logit (ML) El modelo Mixed Logit se deriva de suponer un término de error iid Gumbel, tal como lo hace el MNL, pero con una componente de error adicional que es la que permite trabajar con mayor flexibilidad (Brownstone y Train, 1999). Dada la siguiente función de utilidad: U in = Vin + ηin + εin

(15)

donde η ~ f(η/θ*) y ε es iid Gumbel. Para construir la matriz de covarianza consideremos que ηin = µn t zin , que zn es la matriz de dimensión K×J que contiene a los vectores zin para cada alternativa perteneciente al conjunto de elección del individuo (i ∈ Cn ) y que εn es un vector aleatorio iid Gumbel con matriz de covarianza Σ ε que contiene a los elementos εin . Si se asume que cada término de µn tiene una función densidad con media cero y varianza σ2 k y que el vector en su conjunto tiene una matriz de covarianza Ω, entonces la matriz de covarianza del modelo (Σ), puede escribirse como: Σ = z nt ⋅ Ω ⋅ z n + Σ ε = znt ⋅ Ω ⋅ z n + σ ε2 I

(16)

Dependiendo de los supuestos considerados sobre los distintos términos de error, se puede modelar correlación y heteroscedasticidad (Brownstone y Train, 1999; Munizaga y Álvarez, 2000); su estructura puede entenderse como una parametrización de la matriz de covarianza, que puede ser tan general como se desee. En otras palabras, el ML permite trabajar con estructuras complejas de heterogeneidad, tales como correlación cruzada y variaciones en los gustos; sin embargo, la flexibilidad en términos de la matriz de covarianza que el modelo puede representar está limitada por las estructuras que se puedan generar a partir de los términos de error adicionales, y sujeta a las restricciones de identificabilidad.

4.

EL COMPROMISO ESTIMABILIDAD/FLEXIBILIDAD

En general se puede afirmar que al adquirir mayor flexibilidad en el término de error modelado, se pierden las facilidades de estimación asociadas a los modelos más simples. Los modelos MNL y LJ pueden ser estimados simplemente mediante máxima verosimilitud, debido a que sus probabilidades de elección presentan expresiones matemáticas cerradas. Por otro lado, los modelos más flexibles requieren de simulación para la estimación de los parámetros. Esto debido a que la expresión de la probabilidad de elección corresponde a una integral que carece de primitiva. Por ello es posible hablar de un compromiso entre estimabilidad y flexibilidad. 4.1. Estimación por máxima verosimilitud simulada Existen distintos métodos que intentan resolver el problema de la estimación de modelos con funciones objetivo analíticamente intratables. Dependiendo del contexto de modelación, la función objetivo puede ser una función de logverosimilitud, una función de pseudologverosimilitud o una función momento condicional (Bhat, 2000). Asimismo, es posible reconocer tres grupos metodológicos de evaluación de integrales multidimensionales: Métodos de integración por cuadratura : Relacionado con la teoría de polinomios ortogonales, estos métodos corresponden a una integración numérica a través de interpolación polinomial. Sin embargo, la construcción de fórmulas de integración eficientes basadas en interpolación polinomial para integrales multidimensionales es sustancialmente más compleja que para problemas unidimensionales, donde este tipo de métodos es altamente utilizado. Métodos de Simulación de Monte Carlo (o Pseudo Monte Carlo): Los métodos de integración basados en simulación de Monte Carlo obtienen el integrando para una secuencia aleatoria de puntos y calculan el promedio de estos valores. La idea básica que hay detrás es el reemplazo de una esperanza continua por un promedio discreto para puntos aleatoriamente seleccionados. El método se ve respaldado por la ley de los grandes números, la que prácticamente asegura la convergencia. En términos prácticos no se dispone de secuencias de números aleatorios, sino de secuencias determinísticas pseudoaleatorias que aparecen como aleatorias a la luz de los tests estadísticos. Simulación de Cuasi Monte Carlo: El concepto básico de estos métodos (MCMC) es el mismo de la simulación de Monte Carlo: se evalúa la integral multidimensional reemplazando con un promedio de los valores del integrando calculados en puntos discretos. Sin embargo, en vez de utilizar números pseudoaleatorios se recurre a secuencias que distribuyen de manera

“inteligente” más uniformemente en el dominio de integración. El no usar números pseudoaleatorios para definir los puntos discretos en los que se evalúa el integrando no conlleva ningún tipo de problemas; de hecho, lo importante es que en esta secuencia cuasi aleatoria los números elegidos sean lo suficientemente representativos del espacio de integración, de modo que, por medio de una mayor dispersión de estos puntos, se asegure una convergencia más rápida. Las secuencias cuasi aleatorias más utilizadas en el último tiempo son las denominadas series de Halton (Bhat, 2000). Para el caso del modelo HEVL, la integral que describe su probabilidad de elección no puede ser evaluada directamente, pero puede ser reescrita de forma de evaluarla usando cuadratura de Gauss-Laguerre (Bhat, 1997; Munizaga et al, 2000). El método de estimación del Probit más difundido en la actualidad es el simulador de probabilidades GHK (ver Munizaga y Ortúzar, 1997), el cual entrega buenos resultados, aún considerando números bajos de repeticiones. Sin embargo, para casos extremos presenta dificultad para encontrar las probabilidades. En el trabajo de Munizaga y Alvarez-Daziano (2001) se encontró dos casos específicos en los que falla el simulador: alternativas con probabilidad muy baja de ser escogidas (lo que en la literatura se denomina outliers ) y alternativas con un grado de correlación muy alto. En primer lugar, si una alternativa tiene una probabilidad muy baja de ser escogida, entonces se afecta la matriz de covarianza y por ello no siempre es posible descomponerla. Por otro lado, si la correlación es muy alta, numéricamente ambas alternativas aparecen virtualmente iguales, por lo que la matriz de covarianza se vuelve semidefinida positiva. Así, al presentar columnas linealmente dependientes se viola que sea definida positiva, ya que deja de ser de rango completo y el vector de error sólo se mueve en un subespacio del originalmente definido. Dado que el simulador GHK se basa justamente en que la matriz de covarianza sea definida positiva, se vuelve imposible encontrar la factorización de Cholesky que permite reducir el problema. En cuanto a los procedimientos de estimación de los modelos Mixed Logit la recomendación de la literatura es utilizar métodos de Máxima Verosimilitud Simulada a través de Métodos Pseudo Monte Carlo (MPMC) y Cuasi Monte Carlo (MCMC). El análisis de convergencia en el contexto de errores estocásticos correlacionados realizado por Munizaga y AlvarezDaziano (2001), mostró que el uso de series de Halton asegura una convergencia más rápida, por lo que se requiere un menor número de repeticiones de la simulación en comparación al uso de números pseudoaleatorios, siendo esto coincidente con lo reportado en otros estudios. Esta situación se explica por dos causas: En primer lugar, se encuentra el hecho intrínseco de las series de Halton, que permiten cubrir el dominio de integración de una forma inteligente. Sin embargo, esta explicación no es suficiente, ya que la convergencia más rápida de los MCMC no está asegurada a no ser que el integrando se trate de una función con buenas propiedades matemáticas. Es así como se encuentra la segunda explicación que vuelve los MCMC la alternativa más atractiva: los modelos Mixed Logit poseen un integrando tipo Logit. Esta función es suave, diferenciable y bien comportada, lo que permite asegurar una tasa de convergencia menor. 4.2. Identificabilidad de los parámetros Tanto en la literatura como en la aplicación práctica, el análisis de la identificabilidad suele restringirse a la normalización de uno de los parámetros para fijar los efectos de escala

propios de los modelos de elección discreta. Esto se cumple en general en los modelos con estructuras de error más simples (Ben-Akiva y Lerman, 1985); sin embargo, al agregar flexibilidad aparecen otros efectos que no permiten identificar la totalidad de los parámetros. Bunch (1991) presenta reglas claras que permiten concluir de qué forma se pueden identificar los parámetros, considerando condiciones de orden y rango. La condición de orden, necesaria para la identificabilidad, establece una cota para el número de parámetros identificables en un modelo determinado. Para efectuar el análisis conviene separar los términos de la matriz de covarianza que son constantes a lo largo de la muestra de los que no lo son. Las condiciones de orden sólo aplican a la porción constante de la matriz de covarianza y, considerando un conjunto universal de elección (C, compuesto de J alternativas), establece el siguiente máximo para el número de parámetros identificables: s* =

J ( J − 1) −1 2

(17)

Este número es igual a la cantidad de elementos en la matriz de covarianza diferenciada con respecto a una alternativa cualquiera, menos un término que se escoge arbitrariamente a fin de fijar la escala del modelo 4 . La condición de rango, suficiente para la identificabilidad, es más restrictiva que la condición de orden y se basa en el análisis del rango de la matriz de covarianza diferenciada, pasando por alto su estructura interna. De esta forma, de acuerdo al rango se obtiene el número de columnas linealmente independientes que pueden ser usadas para encontrar los parámetros de la matriz. Bolduc (1992) y Bunch (1991) describen un mecanismo para encontrar la condición de rango, para el cual se estudia la matriz Jacobiana de la matriz de covarianza desviada. El número de parámetros que pueden ser estimados resulta igual al rango de la matriz Jacobiana, menos uno (al fijar la escala del modelo). Si de las condiciones de orden y rango se concluye que se debe imponer restricciones de identificabilidad (normalizaciones), entonces se requiere la condición de matriz definida positiva (Ben Akiva et al, 2001) para determinar el conjunto aceptable de normalizaciones. La normalización se requiere debido a que hay infinitas soluciones posibles asociadas a la estructura de covarianza. Así, la normalización permite encontrar una solución única, sin cambiar la estructura de covarianza de la diferencia de utilidades. Una normalización será válida, entonces, si la matriz de covarianza diferenciada es igual a la matriz no normalizada (teórica) del modelo y si aquélla es definida positiva. La aplicación de estas condiciones se justifica porque la identificabilidad de los parámetros no siempre es intutiva. Por ejemplo, si se trabaja con alternativas agrupadas en dos nidos según un Nested Mixed Logit 5 (ver Munizaga y Alvarez-Daziano, 2001), no es posible estimar la varianza propia de cada nido (que es la que induce correlación). La explicación simple es que en la matriz de covarianza desviada con respecto a una alternativa, que es la que el modelo “observa” durante la estimación, sólo aparece la suma de las varianzas, permitiendo identificar esa suma, pero no cada componente por separado. El peligro está en la factibilidad de estimar este modelo, ocultando el problema y conduciendo a conclusiones erróneas. 4

En el caso de parámetros aleatorios, la matriz de covarianza varía de individuo a individuo. Esto ofrece un límite que en efecto no representa una restricción (Ben Akiva et al, 2001) 5 Este modelo se construye agregando una componente de error adicional propia de cada nido.

5.

CONCLUSIONES

Cada modelo de elección discreta posee sus propiedades, ventajas y limitaciones que deben ser consideradas a la hora de tomar el desafío de incorporar a la modelación los últimos avances en econometría. Hay que estudiar con cuidado las hipótesis sobre las cuales se basa la forma actual de modelar, analizando rigurosamente cada especificación particular. Así, se puede promover el uso de herramientas más sofisticadas en aquellos casos en los que se justifica adecuadamente los supuestos utilizados y se ha analizado sus consecuencias previo a la estimación de los parámetros. Lo primero tiene que ver con cuánta flexibilidad (estructura de la matriz de covarianza) se necesita de acuerdo al contexto de modelación; por otro lado, se debe tener claro cuáles serán las implicancias en términos de la estimación del modelo. En este trabajo se ha ofrecido una síntesis de los modelos de elección discreta más utilizados, poniendo énfasis en el compromiso flexibilidad/estimación. Se ha descrito la estructura de error asociada a cada uno de ellos y las técnicas de estimación de los modelos más flexibles. También se trató el tema de la identificabilidad de los parámetros. En conjunto se hace ver la necesidad de estudiar en profundidad la matriz de covarianza, como una herramienta útil para contestar la difícil pregunta de qué modelo utilizar para una situación dada. Finalmente, es posible dar algunas recomendaciones de modelación. Ante la presencia de correlación entre alternativas es posible utilizar los modelos Logit Jerárquico, Logit de Nidos Cruzados, Probit y Mixed Logit. Sin embargo, nótese que cada uno va a tener sus propios supuestos y que se requiere un número elevado de observaciones para recoger adecuadamente los parámetros asociados a correlación. Para modelar variaciones en los gustos es posible usar Probit, aunque el Mixed Logit aparece como una aplicación natural. A través de un Mixed Logit en panel de datos es posible abordar el problema aún pendiente de correlación entre observaciones. Si se desea modelar heteroscedasticidad, entonces se debe recurrir a modelos cuya matriz de covarianza acepte elementos distintos en la diagonal: Mixed Logit y el modelo Logit Heteroscedástico de Valor extremo son una posibilidad. AGRADECIMIENTOS Esta investigación ha sido parcialmente financiada por Fondecyt el programa Milenium.

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