Mines Ponts 2009

602 Écolp NATToNALEDESpoNTS ET cHAUSSÉBs. Écorss NATToNALnSsupÉruEURESog rAÉRoNRUTIeUE ET DE L'ESpACE, S, DE TECHNTQUES aVANICÉB S,DES TÉLÉCOIT,IMITNICATION DESMINESDE PARIS.DESMINESOg SaNT-ÉTIENNE.DESMINESDE NANCY. oes rÉlÉcoMMUNTcATIoNS DE BRETAGNE,

(rIuÈnr rsI) Écorn PoLYTEcHNIeUE D'ADMISSION2OO9 CONCOURS

pnuurÈnn Épnnwp DEPITYSIeUE Filière MP (Duréede l'épreuve:3 heures) Llusagede la calculatrice est autorisé ENSTII4INT' TPE-EIVB Cycle Sujetmis à dispositiondesconcours: ENSAE(Statistique), 'international Les candidatssontpriës de mentionnerdefaçon apparentesur la premièrepage de la copie : PHYSIQUEI - MP L'énoncéde cetteépreuvecomporte7pages. repèrece qui lui sembleêtreuneerreurd'énoncé,il estinvitéà le Si, au coursde l'épreuve,un candidat signaler,* ,u "opi. et à poursùiw.,u .ô.porition en expliquantlesraisonsdesinitiativesqu'il auraeté amenéà prendre. qui vous (incluantdesconsidérations numériques) Il ne faudrapashésiterà formulerles commentaires pas tiendra Le barème compte pertinents, mêmelorsquel'énoncéne le demande explicitement. sembleront dela copie. derédaction decesinitiativesainsiquedesqualiæs

À pnoPos DE HEINRICHoLBERS Pallaset L'astronomeallemandHprNntcu V/. M. Olsnns (1758-1840) découwitles astérordes porte qui son la première de comète la observatiqn 1831, il réalisa 1807; 1802 en Vestaen et en orbitalesde cettecomèteont étédéterminéesinitialernentpar nom (13P/Olbers).Les caractéristiques C. F. Geuss et F. Bpssnl. Elle a étéobservéepour la dernièrefois lors de sonpassageau périhélie (distanceminimaleau Soleil) le l0 janvier 1956.Certainespropriétésde cettecomètesontexaminées dansla PartieI. qui porteaujourd'huisonnom : si I'universcontientunemultitude Or-sERsa aussiétudiéle paradoxe d'étoilesdistribuéesà peu près régulièrement,un observateurterrestrequi observele ciel dansune directionarbitrairedwrait toujoursvoir au moinsuneétoile,aussilointainesoit-elle; tout point du ciel devraitdoncsemblerbrillant, dejour cornmede nuit. Certainsaspectsdecetteaffirmationparadoxale serontdiscutésdansla partie II. gras: v, F et leursnormesen italiquelltll : v, llFll :F. Dans Lesvecteurssontnotésen caractères (r,0,rp) -etdansla baseorthonormée(er,e9,e9),on rappelle sphériques le systèmede coordonnées

quegradl(r,0,8):

{",

*l$"t

-

#Hee.

*: on note

#

fonction x(r). tudérivée d'une

À pnopos ot HETNRToH nLBEN

I. - La comètel3P/Olbers Les partiesI.A et I.B de ce problèmepeuventêtreabordéesindependamment.

I.A. -

Mouvementscométaires

On étudiedanscettepartie le mouvementd'un corpsponctuelM de massez, soumisà I'action d'un d'un référentielgaliléenfr. Onposerar : llOMll. centreattracteurfixe à I'origine O descoordonnées L'actionde ce centreattracteurest décriteparune forceuniqueF: -m.gradU(r), où U estune fonctionsupposée connue.On noteaussiv la vitessede M dans9,Lo : mONdAv, L: lll,oll > 0 : etC Llrn I I - Montrerque le mouvementde Mestplan de On choisirad'appeler(Oxy) ce plan, orientépar la conventionLo : Lu; l'étude du mQuvement polaires("rE). M dans(Oxy) s'effectueraen coordonnées der,C,ietU(r). Q 2-Onnote E:mE l'énergiemécaniquedeM.Exprimer€enfonction rt homogènese déplaçantdans le champ Le point M esten fait le centre d'une comèteSphérique de gravitationdu Soleil (de masseM6). Pour tout le restede la partie I.â, on adopteI'expression U(r) : -Kl, où K est une constante,et l'on se place dans le'référentiel supposéegaliléendans lequel le Soleil est fixe, homogèneet sphérique.De plus, on négligeI'influence des tous les artres corpsdu systèmesolaire. û 3 - ExprimerÀ'en fonction de la constantede la gravitationuniverselleI et de la massedu SoleilM6. E 4 - À quelleconditionsur € le mouvementdeMvérifie-t-il 161 ( r ( r*u* < ooavec,r*"* r^o? périhélieet aphéliede la trajectoire. appelées 166 et r,ou*sontrespectivement Les constantes On supposedésormaisque la condition de la question4 estvérifiée.L'origine des instants(r : 0) et desanglespolaires(E : 0) serachoisiede sortequer(r - 0) : rmniQ(t: 0) : 0. I'maxf /min o+ 2 tr 5 - Exprimer e et C en fonction de K, r,o6 et r,os*puis en fonction de K, a- -

p

e

/maxl'min

6-

a justitant votre Quelle est, sans démonstration, la nature de la trqjectoire dq M? Indiquer en

réponse,la significationphysiquedesparamètresa, p et e: lt*; !*- ? Représenterla trajectoire rt61 * r-;'1 les points et dimension,,rrn*Ou"Orar. de M enprécisant tr 7 - On étudiela partie de la trajectoirepour laquelle0 < g < z. Quel est alors le signede i? Exprimeri en fonction de e, K, C et r. Montrerque la duréec de p4rcoursde r-6 àrr(q) le long de cettetrajectoires'écrit

E î ":u

tr S - On effectuele changementde variabler : a(l - ecosf ). L'angle { est appelêanomalie excentrique.Exprimer la durée z du trajet du mobile M depuisI'instant initial jusqu'à sa position M. actuelleiepéréepar {, en fonctionde {, e, a elKpuis de Ç,e et de lapériodeI du mouvementde Quel estle nornde la r.elationqui lie T, K et a? On considèreque la trajectoirede la Tene autourdu Soleil estcirculaire,de rayon ao : I UA (unité orbitales,assezstables, astronomiçe) et depériodeTo: I année: 365,25 jours.Lescaractéristiques :0,930; au Soleil au perihélie distance e de la comètel3P/Olberssont les suivantes: excentricitê rmin: 1, l8 UA. On admettraque les relations\Ç etr(O segénéralisentà tout point de la trajectoire de cettecomète. [ 9 - À quelledatela cometereviendra-t-ellepour la prochainefois au périhélie? À quelledatela comètesetrouvera-t-ellela prochainefois à la distancer :26,06 UA du Soleil ? Ptge2lT

PhysiqueI, année2009-filière MP

en 2002 ùl'observatoirede Haute-Provence. Comètelkeya-Zhangphotographiée

I.B, -

La queuede la comète

En 1811,OLerns proposapour la premièrefois unethéoriequantitativepour expliquerla formation de la queuedescomètes,en imaginantque lesparticulesqui la composentsont soumisesà une force répulsived'origine électriquevariantcommele carréde I'inversede la distanceau Soleil.On connaît aujourd'huile mécanismede formationde la queuede la comète,en particulier si elle est forméede poussières solides.

Sz

^Sr Les poussièressont entraînéespar un flux de particules(le vent solaire) émisespar le Soleil et se I déplaçantà unevitessede I'ordre de 400km . s- . On étudiepour simplifier (cf. ci-dessus)unecomète seléplaçanten ligne droite à la vitessede 30 km.s-l ; la droite en traits pleins désignela trajectoire de la comète,et les traits pointillés la directiondu vent solaire. tr 10.- En justifiant votre réponse,indiquersi le Soleil est disposédu côté St ou du côté 52 sur la figureci-dessus. E 11 - En justifiant tout autant la réponseet sur cette même figure, la comètese déplace-t-elle dansle sensC1 --C2- C3 ou dansle sensC3-.C2- Cr? Calculerl'angle0 entreladirection Soleil
Page3lT

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A PROPOSDE HEINRICH OLBERS

II. - Le paradoxed'Olbers LespartiesII.A, II.B et II.D dece problèmepeuventêtreabordéesde manièreindépendante, à condition éventuellement d'admettrelesrésultats donnéspar l'énoncéslils n'ont paspu êtreétablis.

II.A. - Équilibre thermique et rayonnement On étudieun gaz parfait en équilibrethermiqueà la températureI (uniforme) dansun châmp de forcesextérieures; la force F exercéesur une moléçuledu gazde massen estF : ntG, où le champ de forcesç : -grad U dérivgdu potentielU. On noteR la constairtemolairedesgazparfaits,,//rtlaconstanted'Avocnoko, Z : ,/Am la masse molairedu gazet k : Rlle la constantede BorrzuANN. La pressiorldansle gaz estnotéeP. ' ^z Q 12 - On considèreun volumeélémentairede ce gaz,d'extensionsuffisammentfaiblepourque I'on puisseconsidérer le champde gravitationG : -Ge, constantsur ce volume. Ce volume seraconstituéd'un cylindre de gaz, compris entre les altitudesz et z * dz, de section,Set de hauteurdz, en équilibre mécanique sousI'actiondu champde forcesG et desforcesde pression.Exprimer la dérivée4P& en fonctionde G, P, T, m et k. I 13 - En déduireune équationdifférentiellereliant P etU, aveccomme

estuneconstantg,et E : mU estl'énergiepotentielled'une moléculedansle champU. Nousadmettro4sdans la suite la génëralitéde ce résultat : le nombrede moléculesd'énergieE dans une assembléede moléculesà l'équilibre thermiqueà la tempëratureT estproportionnel à exp(-E lkr). On décritmaintenantun corpssolideen équilibrethermiqueà la températureZ. Les atomesformant ce corpssont,dansce modèle,répartisendeuxpopulations,à raisonde n1 atomespar unité devolume à l'énergieE1 et n2 atomespar unité devoltrmeà l'énergie 82, aYacE2 ) \. que I'on decrira ici Ce solide absorbbet émet en pennanenceun rayonnementélectromagnétique, commeune assembléede particules(photons);on ne s'intéresseicl qu'aux photonsde fréquences d'êtreabsorbés ou émis de Pu,wcr) susceptibles voisinesde v : (82-Er)/h (où /l estla constante lors destransitionsentreles deuxniveauxd'énergie. d'émissionet d'absorptiondesphotonspar le Selonun modèleproposépar EwsruN, lesprocessus par régis les équations différentielles sont solidesecompensentet

dnr : dt

dnz

dr

- A(v)nz uv(v,T) + l- B(v)u + C(v)n2l

où ay(v,1) représentela densitévolumiquespectraled'énergieélectromagnétique:si I'on note n*(v,T) le nombre de photonspar unité de volume et par.unité de fréquence,on a alors la recoefficients positivesA(v),8(v) et C(v), appelées lation ay(v,T): hvn*(v,Z); les grandeurs quede la fréquence v. d'ErNstgItt, ne dépendent : no. gut finalement On suppose ,\*n2: .[T*,l uu(T), A(v), [3 14- Queliessont lesunitésSI de mesureet la significationphysiquedesgrandeurs B(v) et C(v) ? û 15 - DéterminerI'expressiondu rapportn2fn1 ù l'équilibre. En utilisant la relationétablie à la question13, montrerque I'on peut trouver2 fonctionsF'(v) et //(v) telles que uu(v,T): -. . l-

r(v)

/hv\

--, .l-r

fexnl;;)-a(u)j

etc(v). deA(v),8(v) etH(v)enfonction . on exprimeraF(v) Prge4lT

PhysiqueI, année2009-filière MP

II.B. - Loi de Ptanck de la densitévolumiquespectraled'énergieuy du La loi dite de PleNcr donneles expressions flux surfaciquespectralTy émis à la surfaced'un corps rayonnementà l'équilibre thermique,et du noir: 2nhv3 8nhv3. e tj r ( v , T ) : u y ( v , T )['*

F

,H

"'['*o (#) -']

I

-11

"'

I

où c estla vitessede la lumièredansle vide. û 16 - Montrerquela loi de PleNcK estcompatibleaveclesrésultatsde la question15.Déterminer lesrapports C(v)lB(v) et A(v) lB(v). Montrer que le flux surfaciquetotal j rayonnépar un corps noir se met sous la fonle tr 17 la valeurde rg et on exprimerala constanteo en fonctionde j-k,: oTV; On justifierasoigneusement -e-"]-l Ox. I : jî "-'*t [1 h, cetde I'intégrale [J 18 -

En utilisantla relationVl"l < I ,(l - ,)-r : i* .

,exprimer1en fonctionde certaines

n:0

valeursdesfonctionsF d'Eur.pRet 6 de RIBUnNN,on rappelleque f 6 : l t - vtr(x* - ' - / l) : xf(x)etÇ@): E -. f@) : l e-tf-t -dt, V.x€ IR*, Jo n=rÈ

O n p e u t c a l c u l e r f ( 1 )l:, ( ( 4 ) : 7 r 4 / g 0 , e t m e s u r e r k : 1 , 3 8 x 1 0 - 2 3 J . K - t , h : 6 , 6 2 x 1 0 - 3 4 J . s , ? c : 3,00 x 108m.s-I , déterrninerla valeurnumériquede o. Quelestle nom de cetteconstante

[.C. -

Le ciel est clair, le jour. ..

On étudieici un modèlesimplifié d'universillimité, les étoilesétanttoutesassimiléesà dessphères de mêmerayonrR6,de mêmetempératurede surface16, dont le rayonnementest régi par la loi de de manièrequasi-uniforme PLANCKaffirméeà la partieII.B. Cesétoilessontrépartiesstatistiquement considérécommeune tout I'univers, (noRà 1) dans < à raisonde 16 étoilespar unité de volume sphèrede grandrayonrR- et de centreO. L'espacecomprisentre.lesétoilesestvide. voisinaged'une desétoiles On considèreuneplanètesphérique,de centreO, derayon.R, disposée,au ci-dessus(appeléeétoile locale) et à beaucoupplus grande.distancede toutes les autresétoilesde I'univers.La distanced entrele centrede la planèteet celui de sonétoile localevérifie d 2 R6 > Ro. On négligetouteprésenced'atmosphèreautourde la planète,et on fait I'hypothèseque cettedernière montretoujoursla mêmefaceà l'étoile locale. Pour les applicationsnumériques,on adopterales valeursrelativesau couple Soleil-Tene: Tg: 5 700K, Ào : 750000km, d :150 x 106lan. tr 19 - Dansun premiermodèle,on ne tient compteque de l'étoile locale.On considèred'une part que la faceéclairéede la planèteest à températureuniformeT" et d'uttte part que cetteplanett 9t1 un *yonn.*ent conformeà la loi de PleNcn. DéterminerI'expressionet la valeur numériquede I en régimepermanent.Quelle est,dansce modèle,la températurede la facenon éclairée? P.**,*,.-.---m n 20 - On étudiemaintenantun modèleoù la températurede la partie + éclairéede la planèten'est pasuniforme; un point P de la faceéclairéeest caractérisépail'angle0faiiparlerayonvecteurCPmenédepuislecentreC"-.--Æ de laplanèteavecla directiond'éclairement.Déterminer,à l'équilibre radia$-.Wffi X4ffi tif locàI,I'expressionde latempératureZ(g) d'unpoint de la faceéclairéeen planète la de moyenne fonction de Ts, Ro,d et 0. On définit la température 1

ff

I'exà toutela surface^Sde la planète.Déterminer J"(p)ds, I'intégraleétantétendue i JJ de I. pressionet la valeurnumérique purf :

Page5l7

Tout'nez la page S.V.P.

A PROPOSDE HEINRICH OLBERS

Q 2l - Ce modèlevous paraît-il satisfaisantpour décrirela températurede surfacede la Tene? Commentproposeriez-vous de I'améliorer? On adopteenfin un modèle plus complet,destinéà rendrecompte,deséchangesthermiquesentre les différentes partiesadjacentes de la swfacede la planète.Celle-ciest décritecommeune couche sphériquede rayon Rr, de faible épaisseure K Rp,conductricethermiqueavecla conductivitéthermique I constante.En régime permanent,la températurede sa surface f(0) ne dependque de I'angle0. t 22 - Rappeleret justifier qualitativementla loi de Fountrn de la conductionthermique.En déduirequela ternpératuref (0) vérifie l'équationdifférentielle I

ffi*

d /.

^r7\ (.,*,m) + al/@)- r4(o)l: o

on exprimerala constanted en fonction desdonnéesdu problèmeset la fonctionZ@) enfonctionde 1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII6, Ro et d pour 0 < 0 { n. On ne chercherapas à résoudrecette équation dfrentielle.

II.D.

et la nuit ?

Dans les modèlesdéveloppésci-dessus,la températuredes planètessur lew face sombrèapparaît commetrèsfaible; ellesne sonten effet éclairéesquepar .Rpà R* ) 16.

tr 23 - Exprimerle nombredN d'étoilescomprisesentredeux sphèresde centreC et de rayonr et r * dr. En déduirela puissancethermiquereçuepar la planetede la part de cesetoiles.On négligeraici tout phénomèned'absorptionou d'ombre : les etoilesne s'occultentpas.En déduireque la puissance KR-, où on exprimerar en fonction de laconstanteo des totalereçuepar laplanètes'écrit 9: questions17 et 18 ainsique de T6, Rç,,Rp etn6. <sil'universest Q24-Leparadoxedelanuitnoireouparadoxed'Olberspeutêtreexpriméeainsi: infini, le rayonnementprovenantdesétoilesI'est aussiet le ciel de nuit dewait êtreilair; si par contre I'universest fini, il n'est pas stableet s'effondrera.> Expliquerbrièvementla naturede I'instabiliæ évoquéeici.

Prge617

PhysiqueI, année2009 -filière MP

Le paradoxede la nuit noire ne se présenteplus dansle cadredesmodèlesd'universmodernes(en standard,ou < big bang>). Dansce modèle,I'universest particulierdansle modèlecosmologique s'éloignede celui-ci situéeà la distancer de la planètede l'observateur fini et uneétoilequelconque I estla constante 18 HUBBLE' :2,5 de : 1g,x H6 Ho.r, où V à la vitesse radialement On sait aussi,en supposantvalide Ia cinématiqueclassiquenon relativiste,que la longueurd'ondeL apparentede la lumière reçuede la part d'une étoile qui émetde la lumièreà la longueurd'onde 16 estÂd: Âo (1 + V/c), où c :3,0 x 108m.s-l estla vitessede la lumière: c'estI'effetDOPPLERFrzpau. tr 25 - En utilisant la loi de Pleucr donnéeenII.B, montrerque la longueurd'ondeÂ- correspond'énergiethermiqued'un corpssolideà latempérature dantau maximumd'émissionderayonnement p en fonctiondeh,k,c etx* solutionnon Z, vérifiela relationL* : plT. ônexprimerala constante nullede l'équation3 - x :3e-'. Comments'appellecetteloi ? t 26 _En utilisant la loi précédenteet en supposantvalide la cinématiqueelassiquenon relativiste, déterminerla températureapparente7} d'une étoile située à la distancer de I'observateur.Faire I'applicationnumériquepour une étoile semblableau Soleil, mais situéeà dix milliards d'annéesestla distanceparcouruedansle vide par la lumièrependant lumièrede la Terre (une année-lumière uneannée). tr 2?- En considéranttoujoursla cinématiqueclassiquenon relativiste,montrerqueI'effet DOppLBnFtzpau permetde lever le paradoxed'Olssns dansununiversinfini. On donnen6 nl lQ-57 6-3 ainsique le flux surfaciquemoyenreçu.duSoleil sur la Terreio È l kW.m-2. tr 28 - Le modèledu < big bang> prévoitque I'universest âgéd'environ 13,7milliards d'années' Montrerque dansle cadrede ce modèleet sansmêmeconsidérerI'effet Dopplgn-FrzBilu,le paradoxed'OlsERS ne tient plus. On notera.Rllla distancemanimalede l'étoile observabledansle cadre du modèledu < big bang>. J Zg -Lalongueur d'onde du ma,ximumdu rayonnementthermiquedu Soleil est 1o :520 nm. Lesprocessusphysiquesles plus anciensobservés,et donc les plus lointains,sontassociésau rayonTa:2,7 K- Quelleest appa"rentl a une température nementdiffgs cosmologique.Ce rayonnement la longueurd'onde apparenteÂo associéeau maximumd'émissiondu rayonnementdifftrs cosmoloquandet par qui ce rayonnementa été gique? Dansquel domainespectralse situe-t-elle? Savez-vous ! découvert? FIN DE LA PARTIE II

FINDEl'Épnnwn