Mediciones Y Error

Materia: Física para ingeniería Nombre: Miguel Domínguez Número de cuenta: 07018655 Fecha: 18-06-09 Profesor: M en B. Pedro González Luna

Tarea: # 5 Ciclo escolar: 09-03 Grupo: TG02A

Mediciones y error 2.4.1. Limite de error, intervalo de confianza y riesgo calculado Para entender y apreciar los métodos del análisis de mediciones es importante tomar en cuenta que el valor numérico que resulta de una medición no es solamente un numero único, como el entero 10 o como el numero irracional π; representa mucho mas. Sea que resulte de haber efectuado una sola medición o varias repetidas; una medición es una muestra del conjunto de todas las observaciones posibles y, por lo tanto, es representativa de un sector de nuestra realidad. Está sujeta fluctuaciones estadísticas debidas al medio ambiente y otros agentes, pues se obtiene mediante el uso de instrumentos que no pueden ser del todo exactos y, además, el observador es un ser humano que por su naturaleza puede cometer en menor o mayor grado y constituye el elemento final del proceso de medición.

2.4.2. Tipos de medición Las mediciones pueden ser: Directas: Una medida o mediciones la consideramos directa cuando disponemos de un instrumento de medida que la obtiene, así deseamos medir la distancia de un punto a a un punto b, y disponemos del instrumento que nos permite realizar la medición, esta es directa. Indirectas: No siempre es posible realizar una medida directa, porque no disponemos del instrumento adecuado que necesitas tener, porque el valor a medir es muy grande o muy pequeño depende, porque hay obstáculos de otra naturaleza, etc. Medición indirecta es aquella que realizando la medición de una variable, podemos calcular otra distinta, por la que estamos interesados. Ejemplo: Queremos medir la altura de un edificio muy alto, dadas las dificultades de realizar la medición directamente, emplearemos un método indirecto. Colocaremos en las proximidades del edificio un objeto vertical, que sí podamos medir, así como su sombra. Mediremos también la longitud de la sombra del edificio. Dada la distancia del Sol a la tierra los rayos solares los podemos considerar paralelos, luego la relación de la sombra del objeto y su altura, es la misma que la relación entre la sombra del edificio y la suya.

Llamaremos: So: a la sombra del objeto Ao: a la altura del objeto 1

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Se: a la sombra del edificio Ae: a la altura del edificio

Luego

Esto nos permite calcular la altura del edificio a partir de las medidas directas tomadas.

2.4.3. Errores experimentales. El origen de los errores de medición es muy diverso, pero podemos distinguir: Son los que se producen siempre, suelen conservar la magnitud y el sentido, se deben a desajustes del instrumento, desgastes, etc. Dan lugar a sesgo en las medidas. Se clasifican en las siguientes categorías: 1. 2. 3. 4.

Teóricos Instrumentales Ambientales De observación

Errores Teóricos Estos conciernen a las ecuaciones o relaciones que se usan en el diseño o calibración de los instrumentos o en la determinación de mediciones directas.

Errores Instrumentales Puesto que el observador y el medio ambiente forman parte del proceso de medición, es difícil separar los errores puramente instrumentales. Pero se puede hacer, y actualmente los fabricantes de instrumentos garantizan que sus instrumentos tendrán “errores de no más de ______” Al tratar de reducir un límite de error de cierta magnitud cambiando los instrumentos por otros mejores, es más costoso que la reducción que se logra. Sin embargo, no sucede así si los fabricantes complementan los instrumentos con novedades en método, tecnología y manufactura.

Errores ambientales

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Con toda certeza cada experimentador debe encarar el hecho de que los cambios en las propiedades del medio ambiente afectaran no solo en le comportamiento de sus instrumentos y las relaciones entre las cantidades que vaya a medir, sino que aquello que pretende medir. Las soluciones más simples son: 1. Aislar el experimento 2. Controlar el ambiente, como se haría en un domo lunar o se realiza ahora con la temperatura y la humedad controladas, el aire acondicionado, las habitaciones libres de polvo, etc. En una región no aislada, no controlada, los factores ambientales que principalmente se deben tomar en cuenta son: 1. La temperatura 2. La presión 3. La humedad

Errores de observación Los fabricantes hacen lo posibles para evitar que el observador comenta errores mediante el diseño de instrumentos y las instrucciones que proporcionan, reduciendo la necesidad de que el experimentador haga las mediciones a su juicio.

El error de paralaje Se denomina paralaje a la desviación angular de la posición aparente de un objeto, dependiendo del punto de vista elegido. Como se muestra en el esquema, la posición del objeto observado, en O, varía con la posición del punto de vista, en A o en B, al proyectar O contra un fondo suficientemente distante. Desde A el objeto observado parece estar a la derecha de la estrella lejana, mientras que desde B se ve a la izquierda de aquélla. El ángulo AOB es el ángulo de paralaje: ángulo que abarca el segmento AB desde O.

Errores aleatorios (esporádicos, accidentales, erráticos) Son los que se producen de un modo no regular, variando en magnitud y sentido de forma aleatoria, son difíciles de prever y dan lugar a la falta de calidad en la medición. 3

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En ingeniería y física, el error aleatorio es aquel error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar durante el proceso de medición. Se contrapone al concepto de error sistemático. En un estudio de investigación, el error aleatorio viene determinado por el hecho de tomar sólo una muestra de una población para realizar inferencias. Puede disminuirse aumentando el tamaño de la muestra. Cuantificación: 1. Prueba de hipótesis 2. o cálculo de intervalo de confianza La ausencia de error aleatorio se denomina precisión.

Errores residuales Estos se introducen algunas veces para describir los errores sistemáticos remanentes pero indeterminados, siempre presentes o sospechados después de que se ha realizado toda corrección posibles. Puesto que son indeterminados, se deben de incluir entre los errores aleatorios, aunque se deban tratar de manera un tanto diferente.

Error absoluto Es el error en valor absoluto que se comete expresado en las mismas unidades que la magnitud medida.

Error relativo Es la relación que existe entre el error absoluto y la magnitud medida, es adimensional y suele expresarse en porcentaje.

Error estándar Si no hemos valorado el error que comentemos al medir, lo tomamos como erro estándar: • •

Cinco veces la apreciación del instrumento El 5% de la magnitud medida

El error estándar es la mayor de estas medidas.

2.2.3.1. Calculo del error en medidas directas Errores en las medidas directas El origen de los errores de medición es muy diverso, pero podemos distinguir:

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•

Errores sistemáticos: son los que se producen siempre, suelen conservar la magnitud y el sentido, se deben a desajustes del instrumento, desgastes etc. Dan lugar a sesgo en las medidas.

•

Errores aleatorios: son los que se producen de un modo no regular, variando en magnitud y sentido de forma aleatoria, son difíciles de prever, y dan lugar a la falta de calidad de la medición.

Error estándar Si no hemos valorado el error que cometemos al medir, tomamos como error estándar: •

Cinco veces la apreciación del instrumento.

•

El 5% de la magnitud medida.

El error estándar es la mayor de estas medidas. Una forma de calcular el error en una medida directa, es repetir numerosas veces la medida:

Si obtenemos siempre el mismo valor, es porque la apreciación del instrumento no es suficiente para manifestar los errores, si al repetir la medición obtenemos diferentes valores la precisión del Instrumento permite una apreciación mayor que los errores que estamos cometiendo. En este caso asignamos como valor de la medición la media aritmética de estas medidas y como error la desviación típica de estos valores.

2.4.3.2. Errores en las medidas indirectas o derivadas Cuando el cálculo de una medición se hace indirectamente a partir de otras que ya conocemos, que tienen su propio margen de error, tendremos que calcular junto con el valor indirecto, que suele llamarse también valor derivado, el error de éste, normalmente empleando el diferencial total. A la transmisión de errores de las magnitudes conocidas a las calculadas indirectamente se le suele llamar propagación de errores.

Cálculo del error en las medidas indirectas 5

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Partiendo de unas medidas directas y de los errores de esas medidas, y conociendo una ecuación por la que a partir de las medidas conocidas podemos calcular el valor de una medida indirecta, un método de cálculo del error de esta medida indirecta es el cálculo diferencial, equiparando los diferenciales a los errores de cada variable. En el ejemplo de la altura del edificio, tenemos tres variables independientes la sombra del edificio, la sombra del objeto y la altura del objeto, y una variable dependiente la altura del edificio que calculamos mediante las otras tres y la ecuación que las relaciona, como ya se ha visto. Ahora calculemos el error cometido en la altura del edificio según todo lo anterior, la ecuación que tenemos es:

la derivada parcial respecto de la ecuación respecto a la sombra del edificio se calcula considerando las otras variable como constantes y tenemos:

del mismo modo derivamos respecto a la sombra del objeto:

y por último respecto a la altura del objeto:

La definición de diferencial es:

Que en nuestro caso será:

Sustituyendo sus valores:

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Tener en cuenta que todas las derivadas parciales se han tomado con signo positivo, dado que desconocemos el sentido del error que se pueda cometer durante la medición. Donde: : es el error que hemos cometido al calcular la altura del edificio. : es el error de medida de la sombra del edificio. : es el error de medida en la altura del objeto. : es el error de medida en la sombra del objeto.

2.4.3.3. Medidas e incertidumbres Medir consiste en comparar una magnitud con otra que utilizamos como patrón (unidad). Este proceso lleva siempre implícito una indeterminación, es decir siempre que medimos, por razones muy diversas y, en general, difíciles de evitar, corremos el riesgo de no “acertar” con el valor exacto de la magnitud que queremos conocer. Unas veces esto es debido a la imperfección de nuestros instrumentos, o al diseño del proceso de medida, o a factores ambientales, etc. De manera que cuando expresamos el valor “medido” de una magnitud debemos siempre hacer una estimación del grado de confianza con el que hemos realizado la medida. De acuerdo con el origen de estos errores podemos clasificarlos en: • • •

Error humano: Descuido al hacer las medidas, forma inadecuada de hacerlas, etc. Limitaciones de los aparatos: Pueden ser debidas a estar estropeados, mal calibrados o tener poca precisión. Influencias ajenas al experimento: Interferencias, variaciones de temperatura, etc.

Estimación del error experimental Este error no es una equivocación es la incertidumbre en la magnitud medida introducida en el proceso de comparación. Como toda medida tienen un error, cualquiera otra cantidad derivada de ella también lo tendrá. Este error se puede expresar en forma absoluta en las mismas unidades, o en forma relativa como porcentaje de la magnitud medida.

Tratamiento estadístico de datos 2.5.1 Probabilidad e incertidumbre 7

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Cuando en un experimento intervienen varios factores que pueden causar incertidumbre, aumenta o disminuye el valor con cierta probabilidad y con diferentes efectos.

2.5.2. Histograma El histograma es un medio gráfico a través del cual se resume y demuestran las variaciones de un conjunto de datos, en otras palabras, se observa de manera mas clara la magnitud y la frecuencia con la que aparecen las fluctuaciones y de esta manera es posible hacer comparaciones. Los histogramas generalmente aparecen graficados de la siguiente manera:

2.5.3. Promedio, moda y mediana En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media), de un conjunto finito de números, es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muéstrales.

La moda es la medida que aparece con mayor frecuencia; y la mediana es el valor que queda en el centro de una tabla construida con los valores en orden creciente.

2.5.4. Determinación del error experimental Podía calcularse el error para cada medida como la resta entre valor medido xi menos el valor real x, es decir: ei = xi – x, La dificultad de esta medición radica en que normalmente no se conoce el valor real x, que estamos buscando, Solo en los casos en que se mida un objeto patrón puede saber con certeza el valor de x. En realidad, lo que conocemos es la mejor estimación de x como el valor promedio ((x)) de las medidas. di = xi – (x), 8

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el que será más parecido al erro de la medida según el promedio que se aproxime al valor verdadero x. Otra manera de expresar la dispersión es por medio de la desviación típica o la normal, la que se define como el límite de la raíz cuadrada de la suma de los residuos al cuadrado entre el número de medidas:

De manera que el resultado de un experimento se expresa como el valor promedio (x) ± la estimación de la desviación normal: es decir Magnitud – resultado del experimento = (x) ± s. Donde:

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