Med1_mat_f1_2017.pdf

MANUAL DO CADERNO

MEDICINA I

1

FRENTE

MATEMÁTICA

Caro(a) leitor(a), Este manual é uma importante ferramenta para a utilização dos cadernos de sala do Sistema de Ensino Poliedro, voltados para as turmas de 3ª série e Pré-vestibular. Nele, descrevemos a estrutura e as seções dos cadernos, fornecendo observações que auxiliam no trabalho a ser desenvolvido em cada disciplina. Apresentamos, também, as resoluções das questões presentes na seção “Exercícios de sala” e dos possíveis exercícios opcionais – os quais servem como uma oportunidade de aprofundar e complementar o tempo despendido para as aulas. Os cadernos possibilitam uma prática efetiva do aprendizado em sala e, quando utilizados em consonância com a fundamentação teórica contida nos livros de teoria, oferecem uma formação ainda mais ampla e completa. Os temas de abertura dos capítulos e os textos da seção “Texto complementar” dos livros podem ser usados como ponto de partida para discussões em aula e como fonte de conhecimento e curiosidades acerca dos assuntos da teoria. Indicamos, também, o acesso a diversos recursos disponíveis no portal do Sistema Poliedro (<www.sistemapoliedro.com.br>), os quais complementam o caderno e ampliam as possibilidades de aprendizado, tais como: • Resoluções das questões dos livros; • Informativo mensal Leia Agora; • Balcão de Redação PV; • Balcão de Redação Enem; • Banco de Questões Enem (para professores); • Videoaulas dos autores; e • Aulas-dica do Zoom Poliedro. Todas essas ferramentas buscam garantir a formação do aluno e o rigor acadêmico almejado pelas escolas parceiras. Vale ressaltar que o professor se mantém como principal protagonista da prática pedagógica, tendo total autonomia na utilização dos recursos oferecidos. Esperamos que se explore todo o material disponibilizado e estamos à disposição para quaisquer esclarecimentos. Sistema de Ensino Poliedro

2

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

SUMÁRIO

Estrutura geral dos cadernos ....................................................................... 4 Estrutura das aulas ....................................................................................... 6 Exercícios de sala ..........................................................................................7 Guia de estudo ..............................................................................................8 Orientações específicas ................................................................................9 Orientações: Aulas 1 e 2 Exercícios opcionais e resoluções Orientações: Aulas 3 e 4 Exercícios opcionais e resoluções Orientações: Aulas 5 e 6 Exercícios opcionais e resoluções Orientações: Aulas 7 e 8 Exercícios opcionais e resoluções Orientações: Aulas 9 e 10 Exercícios opcionais e resoluções Orientações: Aulas 11 e 12 Exercícios opcionais e resoluções Orientações: Aulas 13 e 14 Exercícios opcionais e resoluções Orientações: Aulas 15 e 16 Exercícios opcionais e resoluções Orientações: Aulas 17 e 18 Exercícios opcionais e resoluções

....................................................... 12 ....................................................... 17 ....................................................... 23 ..................................................... 29 ....................................................... 37 ....................................................... 42 ....................................................... 50 ....................................................... 57 ....................................................... 61

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

3

ESTRUTURA GERAL DOS CADERNOS Os cadernos de sala, usados em conjunto com os livros de teoria, sintetizam e facilitam a compreensão dos assuntos estudados. Todas as aulas apresentam os principais tópicos de cada tema abordado e oferecem exercícios que permitem enriquecer a discussão em sala de aula e contribuir para a fixação do aprendizado. Assim como nos livros, as disciplinas nos cadernos são divididas em frentes, que devem ser trabalhadas paralelamente. Essa divisão não só facilita a organização dos estudos, mas também permite uma visão ainda mais sistêmica dos tópicos abordados em cada disciplina.

:32)

6 (11

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> 2016 > PRÉ-VESTIBULA

> MEDICINA 1 / LARGURA:

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4

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MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

O sumário conta com um controle no qual o aluno pode organizar sua rotina de aulas e estudos, tendo uma visualização rápida de seu avanço pelos tópicos estudados.

ROTEIRO DO ALUNO MEDICINA

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias INTERPRETAÇÃO DE TEXTO

Prof.: Aula Estudo Aulas 1 e 2 ................ 46   Aulas 3 e 4 .................. 49   Aula 5 ....................... 51   Aulas 6 a 8 .................. 53   Aulas 9 e 10................ 57   Aulas 11 e 12.............. 59   Aulas 13 e 14.............. 62   Aulas 15 e 16 ............ 65   Aulas 17 e 18.............. 68  

Prof.: Aula 1 ....................... 72 Aula 2 ....................... 75 Aula 3 ....................... 78 Aula 4 ....................... 83 Aula 5 ....................... 87 Aula 6 ....................... 91 Aula 7 ....................... 95 Aula 8 ....................... 99 Aula 9 ....................... 104

Aula         

Controle para anotar as aulas já dadas e o estudo já realizado

Estudo         

Matemática e suas Tecnologias

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Aula         

HISTÓRIA Estudo         

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 162 Aulas 3 e 4 .................. 164 Aulas 5 e 6 ................ 166 Aulas 7 e 8 .................. 168 Aulas 9 e 10 .............. 170 Aulas 11 e 12 ............ 173 Aulas 13 e 14.............. 176 Aulas 15 e 16 ............ 179 Aulas 17 e 18 ............ 182

Aula         

Estudo         

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 186 Aula 3 ....................... 189 Aulas 4 e 5 ................ 191 Aula 6 ....................... 197 Aulas 7 e 8 .................. 199 Aula 9 ....................... 202 Aula 10 ....................... 205 Aula 11 ..................... 207 Aula 12 ..................... 210 Aulas 13 e 14.............. 213 Aula 15 ..................... 217 Aula 16 ..................... 220 Aulas 17 e 18.............. 222

Aula             

Estudo             

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 226 Aula 3 ....................... 230 Aula 4 ....................... 233 Aula 5 ....................... 236 Aula 6 ....................... 239 Aula 7 ....................... 241 Aula 8 ....................... 244 Aula 9 ....................... 247 Aula 10 ..................... 250 Aula 11 ..................... 253 Aula 12 ..................... 255 Aula 13 ..................... 257 Aula 14 ..................... 259 Aula 15 ..................... 261 Aula 16 ..................... 264 Aula 17 ..................... 266 Aula 18 ..................... 268

GEOGRAFIA Aula                 

Estudo                 

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 272 Aulas 3 e 4 .................. 277 Aulas 5 e 6 ................ 281 Aulas 7 e 8 .................. 286 Aulas 9 e 10 .............. 290 Aulas 11 e 12 ............ 294 Aulas 13 e 14.............. 299 Aulas 15 e 16 ............ 301 Aulas 17 e 18 ............ 305

Aula         

Estudo         

Prof.: Aula 1 a 3 .................. 424 Aulas 4 a 6 .................. 428 Aula 7 e 8.................. 436 Aula 9 ....................... 439 Aulas 10 e 11.............. 442 Aulas 12 a 18............. 447

Aula      

Estudo      

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 520 Aulas 3 e 4 .................. 522 Aulas 5 e 6 ................ 525 Aulas 7 a 10 ................ 528 Aulas 11 e 12 ............ 531 Aulas 13 e 14.............. 534 Aulas 15 e 16 ............ 537 Aulas 17 e 18 ............ 539

Aula        

Estudo        

Aula      

Estudo      

Frente 2

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 136 Aulas 3 e 4 .................. 138 Aulas 5 e 6 ................ 140 Aulas 7 e 8 .................. 143 Aulas 9 e 10 .............. 146 Aulas 11 e 12 ............ 149 Aulas 13 e 14.............. 152 Aulas 15 e 16 ............ 154 Aulas 17 e 18 ............ 157

Frente 1

Estudo         

Frente 1

Aula         

Frente 3

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 310 Aulas 3 e 4 .................. 313 Aulas 5 e 6 ................ 317 Aulas 7 e 8 .................. 320 Aulas 9 e 10 .............. 324 Aulas 11 e 12 ............ 328 Aulas 13 e 14.............. 331 Aulas 15 e 16 ............ 335 Aulas 17 e 18 ............ 340

Aula         

Estudo         

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 458 Aulas 3 e 4 .................. 461 Aulas 5 e 6 ................ 465 Aulas 7 a 9 ................ 469

Aula    

Estudo    

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Estudo      

Prof.: Aulas 1 a 3 ................ 476 Aulas 4 a 6 .................. 478 Aulas 7 a 9 ................ 480 Aulas 10 a 12.............. 483 Aulas 13 e 14 ............ 486 Aulas 15 e 16 ............ 489 Aulas 17 e 18.............. 492

Aula       

Estudo       

Prof.: Aulas 1 a 3 ................ 552 Aulas 4 a 6 .................. 555 Aulas 7 e 8 .................. 559 Aulas 9 a 11 .............. 563 Aulas 12 a 14............. 566 Aulas 15 e 16 ............ 570 Aulas 17 e 18 ............ 575

Aula       

Estudo       

Prof.: Aula 1 ....................... 378 Aula 2 ....................... 381 Aula 3 ....................... 385 Aulas 4 a 6 .................. 389 Aulas 7 e 8 ................ 396 Aulas 9 e 10 .............. 400 Aulas 11 e 12.............. 405 Aulas 13 e 14 ............ 409 Aulas 15 e 16 ............ 413 Aulas 17 e 18 ............ 418

Aula          

Estudo          

Prof.: Aulas 1 a 4 ................ 496 Aulas 5 e 6 .................. 500 Aulas 7 e 8 ................ 504 Aulas 9 a 12 .............. 507 Aulas 13 e 14.............. 510 Aulas 15 e 16 ............ 513 Aulas 17 e 18 ............ 517

Aula       

Estudo       

Prof.: Aulas 1 a 3 ................ 580 Aulas 4 a 6 ................ 583 Aulas 7 a 9 .................. 586 Aulas 10 e 11 ............ 589 Aulas 12 e 13.............. 592 Aulas 14 a 16............. 594 Aulas 17 e 18 ............ 597

Aula       

Estudo       

Frente 4

Aula      

Frente 3

Frente 1

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / KLEBER / 10-01-2017 (08:50)

Prof.: Aulas 1 a 4 ................ 344 Aulas 5 e 6 .................. 352 Aulas 7 a 9 ................ 356 Aulas 10 e 11.............. 360 Aulas 12 a 15............. 364 Aulas 16 a 18............. 370

Frente 2

BIOLOGIA

Frente 4

Frente 3

Frente 2

Frente 1

FÍSICA Prof.: Aula Estudo Aulas 1 a 5 ................ 544   Aulas 6 a 9 ................ 547  

Prof.: Aulas 1 a 4 ................ 600 Aulas 5 a 7 ................ 603 Aulas 8 a 10 .............. 606 Aulas 11 a 13............. 608 Aulas 14 a 16............. 610 Aulas 17 e 18 ............ 612

Frente 4

Frente 3

Frente 2

QUÍMICA

Frente 1

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 108 Aulas 3 e 4 .................. 110 Aulas 5 e 6 ................ 113 Aulas 7 e 8 .................. 116 Aulas 9 e 10 .............. 119 Aulas 11 e 12 ............ 123 Aulas 13 e 14.............. 126 Aulas 15 e 16 ............ 130 Aulas 17 e 18 ............ 133

Frente 2

Frente 1

MATEMÁTICA

Frente 2

2 Frente 2

Frente 1

Prof.: Aula Estudo Aulas 1 e 2 ................ 8   Aulas 3 e 4 .................. 11   Aulas 5 e 6 ................ 16   Aulas 7 e 8 .................. 21   Aula 9 ....................... 25   Aula 10 ....................... 28   Aulas 11 e 12.............. 31   Aulas 13 e 14 ............ 34   Aula 15 ....................... 37   Aula 16 ..................... 40   Aulas 17 e 18.............. 42  

Frente Única

PORTUGUÊS

1

Prof.: Aulas 1 e 2 ................ 616 Aulas 3 a 5 ................ 618 Aulas 6 e 7 ................ 621 Aulas 8 e 9 ................ 623

Aula    

Estudo    

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 28-10-2016 (10:28)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

5

ESTRUTURA DAS AULAS  RESUMO TEÓRICO Respeitando o Planejamento de aulas disponibilizado no Portal Edros, todas as aulas apresentam um resumo esquemático do tópico trabalhado no livro, sintetizando os principais conhecimentos estudados. A organização das atividades foi elaborada para aumentar a eficiência do trabalho em sala.

Nome da aula

Cada disciplina tem marcação em uma posição para melhor manuseio do material

Frente 1

E�������� � �������� �� �������� Trata-se da segunda parte da morfologia. Estudo dos morfemas – elementos que constituem o vocábulo – e de um dos processos de formação de palavras – a derivação (prefixal, sufixal e parassintética). Para os exames modernos, o destaque é para o emprego dos neologismos (palavras inventadas), sua formação e funcionalidade para o texto. (Sua presença é marcante no Modernismo brasileiro.)

 Morfemas

Além das desinências, do radical, da vogal temática, temos como morfemas os afixos (prefixo e sufixo); são eles que possibilitam a formação de novas palavras (morfemas derivacionais). Os afixos que se antepõem ao radical chamam-se prefixos; os que se pospõem denominam-se sufixos; os afixos possuem uma significação maior que as desinências. Já a vogal de ligação e a consoante de ligação são morfemas insignificativos, servem apenas para evitar dissonâncias (hiatos, encontros consonantais), sequências sonoras indesejáveis. Veja: Re

fazer

Cinz

Frente e número de aula

Aulas

7e8

Radical

Frente 1

Aulas

O radical é a base significativa da palavra; raiz é o morfema originário que contém o núcleo significativo comum a uma família linguística.

1e2

Prefixo

I��������� � ������ ��� ���������

Os prefixos de nossa língua são de origem latina ou grega. Alguns apresentam alteração em contato com o radical. Assim, o prefixo an,, indicador de privação, transforma-se em a diante de consoante. Ex.: amoral, anaeróbico. Os prefixos possuem mais independência que os sufixos,  Conceitos básicos da teoria dos pois se originam, em geral, de advérbios ou preposições, que conjuntos têm ou tiveram vida independente. Os entes primitivos da teoria dos conjuntos são: o elemento, o conjunto e a relação de pertinência. O diagrama Sufixo seguir representa uma situação em que x1 é elemento do Os sufixos podem ser nominais, averbais ou adverbiais. conjunto A, mas x2 não é. Formam, respectivamente, nomes (substantivos, adjetivos), verbos e advérbios (a partir de adjetivos). Ex.: anarquismo, A malufar, rapidamente..

x2

x1

 Derivação

eiro

Indicada por A ∩ B, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto formado apenas pelos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos, A e B. Indicamos por A – B o conjunto dos elementos de A que não pertencem ao conjunto B, e por B – A o conjunto dos elementos de B que não pertencem ao conjunto A.

•

Prefixo Cant

Radical

a

Radical r

Vogal Desinência temática

Radical Cha

Sufixo l

eira

Sufixo Radical Consoante de ligação

Quando um grupo de palavras possui o mesmo radical, diz-se que o grupo é formado de palavras cognatas (pedra/ pedreiro/pedreira); quando as palavras irmanam-se pelo sentido, temos a série sinonímica, a família ideológica: casa, moradia, lar, mansão, habitação etc.

EXERCÍCIOS DE SALA ► Texto para a questão 1.

Você conseguiria ficar 99 dias sem o Facebook? Uma organização não governamental holandesa está propondo um desafio que muitos poderão considerar im-

Derivação prefixal: cria-se uma palavra derivada a partir de um prefixo. Ex.: disenteria. Derivação sufixal: cria-se uma palavra derivada a partir de x1 ∈A um sufixo. Ex.: doutorado. • Derivação parassintética: cria-se uma palavra derivada x2 ∉A por meio do acréscimo simultâneo de um prefixo e um O conjunto vazio é aquele que não possui elementos: sufixo. Se retirarmos qualquer um dos afixos, não tereA = ∅ ⇔ n(A) = 0. mos palavra. Ex.: adoçar. O conjunto universo é aquele que possui todos os ele• Derivação prefixal e sufixal: acréscimo não simultâneo de mentos que podem estar relacionados a um determinado prefixo e sufixo. Retirando-se um dos afixos (ou os dois), conjunto A, tanto aqueles que pertencem ao conjunto A ainda teremos palavra. Ex.: deslealdade. Obs.: Alguns linquanto aqueles que não pertencem a ele. Para diferenciar guistas não consideram esse tipo de derivação. o conjunto universo dos demais conjuntos em um diagrama, usamos a figura de um retângulo. Esse retângulo deve cercar completamente tanto o conjunto A quanto todos os demais conjuntos que possam ser estabelecidos em um determinado problema. Feito isso, a região exterior ao conjunto A passa a representar o conjunto complementar de A. possível: ficar 99 dias sem dar nem uma “olhadinha” no Há várias opções para a representação do complemenFacebook. O objetivo é medir o grau de felicidade dos usuátar de um conjunto A em relação ao conjunto universo. rios longe da rede social. Todas elas designam o conjunto dos elementos que não O projeto também é uma resposta aos experimentos pertencem ao conjunto A. psicológicos realizados pelo próprio Facebook. A diferença , A = Ac = A = UA = {x ∈ U| x ∉ A}

 Interseção e diferença entre conjuntos

A

•

PORTUGUÊS | MEDICINA I U

B A–B

A∩B

B–A

n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B) n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B) Observação: dois conjuntos A e B são chamados de disjuntos quando A ∩ B = ∅.

 União de conjuntos

Indicada por A ∪ B, a união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos de A e todos os elementos de B.

A

21

A PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / KLEBER / 10-10-2016 (17:44)

U

U

B A∪B

A

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(A) + n(A) = n(U)

108

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

Disciplina e caderno

6

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

PDF FINA

 EXERCÍCIOS DE SALA

EXERCÍCIOS DE SALA Além das questões do livro, é apresentada uma seção de exercícios específicos sobre o assunto das aulas, os quais possibilitam a fixação dos conteúdos estudados e oferecem preparação adicional aos alunos. Em cada aula, há a proposta de o professor resolver as questões com toda a classe ou pedir aos alunos que as respondam individualmente. Nesse momento, aspectos relevantes da aula são retomados, dando oportunidade ao professor e aos alunos de discutirem possíveis dificuldades. Todos os exercícios têm sua resolução apresentada neste manual.

AL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

As questões são de importantes exames vestibulares de todo o Brasil ou autorais, em momentos nos quais a explicação exige.

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

7

 GUIA DE ESTUDO Ao final de cada aula, o caderno de sala oferece um guia que orienta o aluno para os estudos que serão realizados em casa. A seção “Guia de estudo” direciona a leitura, no livro de teoria, dos assuntos que foram tratados e indica exercícios pertinentes a serem resolvidos, visando consolidar o conhecimento adquirido em sala. Levando em conta que o tempo de estudo em casa deve ser cumprido de forma satisfatória, esse guia é pensado com bastante cuidado. Ao especificar o número de exercícios a serem feitos, consideram-se o tempo destinado à leitura da teoria e também o tempo que será despendido para a resolução das questões. Assim, o resultado é a satisfação do aluno, que consegue cumprir suas metas diárias de estudo em um tempo possível.

GUIA DE ESTUDO

1

Química | Livro 1 | Frente 3 | Capítulo 3

2

I. Leia as páginas de 282 a 284. II. Faça os exercícios 5 e 6 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 38, de 40 a 42 e de 44 a 46.

3

GUIA DE ESTUDO Português | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 1 I. Leia as páginas de 7 a 15. II. Faça os exercícios de 1 a 3 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos de 4 a 9

GUIA DE ESTUDO Geografia | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 1 I. Leia as páginas de 12 a 18. II. Faça os exercícios 10 e 11 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 48, 56, 70, 71, 78, 80, 81 e 83.

GUIA DE ESTUDO História | Livro 1 | Frente 2 | Capítulo 3 I. Leia as páginas de 131 a 134. II. Faça o exercício 2 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 10, 12, 14, 16 e 19.

GUIA DE ESTUDO Biologia | Livro 1 | Frente 2 | Capítulo 3 I. Leia as páginas de 117 a 120. II. Faça os exercícios 1 e de 3 a 5 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos de 5 a 10.

1

8

Indicação de disciplina, livro, frente e capítulo correspondente à aula.

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

2

Localização das páginas do livro com a teoria estudada.

3

Seleção de exercícios.

ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS A história da Matemática constitui um dos momentos mais interessantes do conhecimento. Ela nos permite compreender a origem das ideias que formam a nossa cultura. Tal história iniciou-se, aproximadamente, há 3.500 a.C., quando egípcios e babilônicos fizeram sistemas de escrita numérica. Nesses 5.500 anos de história, o desenvolvimento da Matemática permitiu ao ser humano avanços importantíssimos e imprescindíveis em diversos campos, como arquitetura, medicina, química, engenharia e outros. A Matemática serve como base para todo o raciocínio lógico humano, e essa é a visão que o Poliedro quer passar aos seus parceiros: uma disciplina que permite ao aluno desenvolver raciocínios não apenas numéricos, mas construções lógicas de ideias. O material trabalha as mais diversas habilidades, como construir linhas de raciocínio, determinar condições de existência, inferir probabilidades e determinar a significância de números, entre outras ferramentas, para resolver problemas a partir de situações concretas ou de construções abstratas, ou seja, o material pretende dar ao aluno as ferramentas para que ele seja capaz de resolver qualquer problema matemático proposto. A disciplina divide-se em três frentes igualmente importantes: a Frente 1 se ocupa de temas como conjuntos e os diversos tipos de funções; a Frente 2 trata de porcentagens, problemas gerais, divisibilidade, números complexos e equações algébricas; já a Frente 3 aborda a geometria, na seguinte ordem: plana, analítica e espacial. Todas as frentes se complementam, entrelaçando-se em conceitos que são usados em mais de uma frente, além de contarem com uma série de exercícios diversificados e atualizados para auxiliar o aluno a aprender Matemática.

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

9

Frente 1

Aulas

1e2

I��������� � ������ ��� ���������

 Conceitos básicos da teoria dos conjuntos Os entes primitivos da teoria dos conjuntos são: o elemento, o conjunto e a relação de pertinência. O diagrama a seguir representa uma situação em que x1 é elemento do conjunto A, mas x2 não é. A

x2

x1

 Interseção e diferença entre conjuntos

Indicada por A ∩ B, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto formado apenas pelos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos, A e B. Indicamos por A – B o conjunto dos elementos de A que não pertencem ao conjunto B, e por B – A o conjunto dos elementos de B que não pertencem ao conjunto A.

A

x1 ∈ A x2 ∉ A

U

O conjunto vazio é aquele que não possui elementos: A = ∅ ⇔ n(A) = 0. O conjunto universo é aquele que possui todos os elementos que podem estar relacionados a um determinado conjunto A, tanto aqueles que pertencem ao conjunto A quanto aqueles que não pertencem a ele. Para diferenciar o conjunto universo dos demais conjuntos em um diagrama, usamos a figura de um retângulo. Esse retângulo deve cercar completamente tanto o conjunto A quanto todos os demais conjuntos que possam ser estabelecidos em um determinado problema. Feito isso, a região exterior ao conjunto A passa a representar o conjunto complementar de A. Há várias opções para a representação do complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo. Todas elas designam o conjunto dos elementos que não pertencem ao conjunto A. , A = Ac = A = UA = {x ∈ U| x ∉ A} A U

B A–B

A∩B

B–A

n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B) n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B) Observação: dois conjuntos A e B são chamados de disjuntos quando A ∩ B = ∅.

 União de conjuntos

Indicada por A ∪ B, a união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos de A e todos os elementos de B.

A U

B A∪B

A

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(A) + n(A) = n(U)

108

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

10

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Aulas 1 e 2

EXERCÍCIOS DE SALA 1 Se x é um número inteiro e (5x – 3) é elemento do conjunto dos números inteiros positivos menores que 100 e formados por dois algarismos iguais, então a soma dos possíveis valores de x é: A 21 C 99 E 495 B 93 D 468

4 UEG 2016 Em uma pesquisa realizada com 35 moradores na periferia de uma grande cidade para saberem a modalidade de leitura que realizam regularmente entre jornal, revista e outros livros, foi constatado que: 15 pessoas leem jornal, 17 pessoas leem revista, 14 pessoas leem outros livros, 7 pessoas leem jornal e revista, 6 pessoas leem revista e outros livros, e 5 pessoas leem jornal, revistas e outros livros. Diante dessas informações verifica-se que A 5 pessoas não leem nenhuma das três modalidades. B 4 pessoas não leem nenhuma das três modalidades. C 3 pessoas não leem nenhuma das três modalidades. D 2 pessoas não leem nenhuma das três modalidades. E 1 pessoa não lê nenhuma das três modalidades.

2 UEPG 2013 Uma prova continha dois problemas: 30 alunos acertaram somente um problema, 22 acertaram o segundo problema, 10 alunos acertaram os dois problemas e 17 alunos erraram o primeiro problema. 01 10 alunos erraram os dois problemas. 02 20 alunos erraram o segundo problema. 04 18 alunos acertaram apenas o primeiro problema. 08 45 alunos fizeram a prova. Soma:

3 Uerj 2015 Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos alunos da escola, sabe-se que: – não leem esses jornais; – leem o jornal O Estudante; – leem o jornal Correio do Grêmio. Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais.

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 1 I. Leia as páginas de 7 a 11. II. Faça os exercícios de 1 a 4 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 4, de 13 a 16 e 39.

MATEMÁTICA | MEDICINA I

109

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

11

 Orientações

Nessas duas primeiras aulas, fazer a introdução à teoria dos conjuntos. Apresentar os conceitos primitivos (conjunto, elemento e pertinência) e ensinar as operações entre conjuntos (união, interseção e diferença).

OPCIONAL 1 PUC A negação da proposição x ∈ (A ∪ B) é: (a) x ∉ (A ∩ B) (b) x ∉ A ou x ∈ B (c) x ∉ A e x ∉ B

(d) x ∈ A ou x ∉ B (e) x ∉ A ou x ∉ B

OPCIONAL 2 FGV Uma pesquisa de mercado sobre determinado eletrodoméstico mostrou que 37% dos entrevistados preferem a marca X, 40% preferem a marca Y, 30% preferem a marca Z, 25% preferem X e Y, 8% preferem Y e Z, 3% preferem X e Z e 1% prefere as três marcas. Considerando que há os que não preferem nenhuma das três marcas, a porcentagem dos que não preferem nem X nem Y é: (a) 20% (b) 23% (c) 30% (d) 42% (e) 48%

OPCIONAL 3 Uern 2013 Em um grupo de 87 pessoas, 51 possuem automóvel, 42 possuem moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos. O número de pessoas desse grupo que possuem automóvel e moto é: (a) 1 (b) 11 (c) 17 (d) 19

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1

Alternativa: A. 5x – 3 ∈ {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} 5x ∈ {14, 25, 36, 47, 58, 69, 80, 91, 102} 36 47 58 69 91 102  14 , , , , 16, , x ∈  , 5,  5 5 5 5 5 5 5  

Portanto, a soma dos valores inteiros de x é: 5 + 16 = 21

2

Soma = 12 Sendo P o conjunto dos alunos que acertaram o primeiro problema e S o conjunto dos alunos que acertaram o segundo problema, temos do enunciado que: n(P ∪ S) – n(P ∩ S) = 30, n(S) = 22, n(P ∩ S) = 10 e n(P) = 17 A afirmação 04 está correta, pois: n(P ∪ S) – 10 = 30 n (P ∪ S) = 40  n(P – S) + n(S) = = 40  n(P – S) + 22 = 40  n(P – S) = 18 A afirmação 08 está correta, pois: n(P) = n(P – S) + n(P ∩ S) = 18 + 10 = 28  ⇒ n (U) = n (P) + n(P) = 28 + 17 = 45

12

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

A afirmação 01 está incorreta, pois: n(U) – n(P ∪ S) = 45 – 40 = 5 A afirmação 02 está incorreta, pois: n(S) = n(U) – n(S) = 45 – 22 = 23 P

P

S

10

12

22

S

18

5

23

28

17

45

3

B

A 520 –x

x

440 –x

84 + 520 – x + x + 440 – x = 840 ⇔ x = 204

4

Alternativa: D. R

L

1

9 2

5

8

8 0

J

35 – (9+1+8+2+5+8) = 35 – 33 = 2

Opcional 1: Alternativa: C. A negação de x ∈ (A ∪ B) é x ∉ (A ∪ B), que pode ser representada pelo diagrama: A

B

U x Logo, x ∉ A e x ∉ B.

Opcional 2: Alternativa: E. P(X ∪ Y) = 37% + 40% – 25% = 52% P(X ∪ Y) = 100% – 52% = 48%

Opcional 3: Alternativa: B. Sendo A o conjunto das pessoas que possuem automóvel e M o conjunto das pessoas que possuem moto, temos do enunciado que: n(U) = 87, n(A) = 51, n(M) = 42 e n(A ∪ M) = 5 Portanto: n(A ∪ M) + n(A ∪ M) = n(U)  n(A ∪ M) + 5 = 87  ⇔ n(A ∪ M) = 82 Então: n(A) + n(M) – n(A ∩ M) = 82 ⇔ 51 + 42 – n(A ∩ M) = 82  n(A ∩ M) = 11

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

13

Frente 1

Aulas

3e4

S�����������, �������� � ������� {x ∈R | a ≤ x ≤ b} = [a, b] a

b

a

b

R

R

{x ∈R | a < x < b} = ]a, b[

 Subconjuntos ou partes de um conjunto

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos. Exemplo: {2; 3; 4} = {3; 2; 4; 3}. Dizer que A é subconjunto de B, ou que A é parte de B, significa dizer que todo elemento de A também é elemento de B, mas isso não garante que todo elemento de B seja também elemento de A. Para representar essa relação, usa-se o símbolo ⊂, que pode ser lido como “é subconjunto de” ou “é parte de”, ou, ainda, “está contido em”. A ⊂ B ⇔ (x ∈A ⇒ x ∈ B) Propriedades: • ∅⊂A⊂U • A⊂A • A⊂BeB⊂C⇒A⊂C • A⊂BeB⊂A⇔A=B

A

U

B

O conjunto das partes de um conjunto A é representado por P(A), e seus elementos são todos os possíveis subconjuntos de A; por exemplo:

a

R

b

{x ∈R | a ≤ x < b} = [a, b[ a

R

b

{x ∈R | a < x ≤ b} = ]a, b] R

a

{x ∈R | x ≤ a } = ]–∞, a] R

a

{x ∈R | x > a} = ]a, ∞[ Observação: o parêntese também pode ser usado no lugar do colchete aberto na representação dos intervalos reais, como em: [a, b[ = [a, b).

 Produto cartesiano

O produto cartesiano entre dois conjuntos A e B, indicado por A × B, é o conjunto cujos elementos são pares ordenados (x, y) tais que a abscissa x é elemento de A e a ordenada y é elemento de B. A × B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B} Exemplo: Sendo A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, então o produto cartesiano A×B pode ser representado das seguintes maneiras: • Como um conjunto de pares ordenados: A × B = {(1, 4); (1, 5); (2, 4); (2, 5); (3, 4); (3, 5)}

A = {1; 2; 3} ⇒ P(A) = {∅; {1}; {2}; {3}; {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}; A}.

Se A é um conjunto com exatamente n elementos, o número de partes de A, incluindo a parte vazia e o próprio conjunto A, é dado pela expressão: 2n.

•

Como um diagrama de setas: A 2

 Intervalos reais

3

Alguns subconjuntos de R podem ser representados na forma de intervalos da seguinte maneira: Sejam a e b números reais tais que a < b.

a

B 1

b

R

{x ∈R | a ≤ x ≤ b} = [a, b]

•

Como um gráfico cartesiano:

5 4

R a

b

{x ∈R | a < x < b} = ]a, b[

110

1 2 3 R

a b MATEMÁTICA | MEDICINA I {x ∈R | a ≤ x < b} = [a, b[ a

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52) R

b

{x ∈R | a < x ≤ b} = ]a, b] a

14

{x ∈R | x ≤ a } = ]–∞, a]

R

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I R a

4 5

Aulas 3 e 4 • • •

 Funções

Propriedades: (A × B) × C = A × (B × C) A×B≠B×A n(A × B) = n(A) × n(B)

Observação: sendo A um determinado conjunto, a notação A2 indica o produto cartesiano A × A.

 Relações cartesianas

Qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamado de relação cartesiana entre os conjuntos A e B. Exemplo: Sendo A = {1; 2; 3; 4} e B = {2; 4; 6}, a relação R = {(x, y) ∈ A × B tal que x ≥ y} pode ser representada das seguintes maneiras: • Como um conjunto de pares ordenados: R = {(2, 2); (3, 2); (4, 2); (4, 4)} •

•

Como um diagrama de setas: A

B 1 2 3

•

Como um diagrama de setas: A

4 5

Como um gráfico cartesiano:

B 1 2 3 4

•

As relações cartesianas entre dois conjuntos A e B, tais que todo elemento x de A esteja relacionado a um único elemento y de B, são denominadas funções de A em B. Exemplo: Sendo A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, a função f: A → B tal que f(x) = 4 + (x – 2)2 pode ser representada das seguintes maneiras: • Como um conjunto de pares ordenados: f = {(1, 5); (2, 4); (3, 5)}

2 4 6

5 4

Como um gráfico cartesiano: 1 2 3 6

Dessa forma, pode-se associar a grandeza do tempo ao eixo das abscissas e assim representar a evolução de outra grandeza qualquer y ao longo do tempo x, por exemplo.

4 2 1 2 3 4

EXERCÍCIOS DE SALA 1

• •

PUC-PR 2016 As afirmações a seguir são verdadeiras: Todo maratonista gosta de correr na rua. Existem maratonistas que são pouco disciplinados.

Dessa forma, podemos afirmar que: A Algum maratonista pouco disciplinado não gosta de correr na rua. B Algum maratonista disciplinado não gosta de correr na rua. C Todo maratonista que gosta de correr na rua é pouco disciplinado. D Todo maratonista pouco disciplinado não gosta de correr na rua. E Algum maratonista que gosta de correr na rua é pouco disciplinado.

2 No buffet de sobremesas de um restaurante mineiro, as opções de doces caseiros formam um conjunto com sete elementos distintos: goiabada, arroz doce, além dos doces de leite, abóbora, banana, coco e figo. Considerando que, quando uma pessoa se serve desses doces, ela faz um prato que representa um subconjunto não vazio do conjunto desses doces caseiros, o número total de opções distintas que uma pessoa tem para se servir deles é: A 7 B 63 C 127 D 720 E 5.039 MATEMÁTICA | MEDICINA I

111

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

15

Aulas 3 e 4 3 UEG 2016 Dados os conjuntos A = {x ∈ R | –2 < x ≤ 4} e B = {x ∈ R | x > 0} a intersecção entre eles é dada pelo conjunto A {x ∈ R | 0 < x ≤ 4} B {x ∈ R | x > 0} C {x ∈ R | x > –2} D {x ∈ R | x ≥ 4}

4 Considerando que os valores de x representam o domínio e os valores de y a imagem de possíveis funções f: x → y, observe os seguintes gráficos. y

y

x

x

I

II

y

y

y

1 x

x

III

IV

x

V

De acordo com a definição de função, qual das alternativas abaixo está correta? A Somente os gráficos I, II e III representam funções. B Somente os gráficos I, II e IV representam funções. C Somente os gráficos I, III e IV representam funções. D Somente os gráficos I, III, IV e V representam funções. E Todos os gráficos representam funções.

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 1 I. Leia as páginas 12 e 13. II. Faça o exercício 5 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 2, 5 e 26. Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 2 I. Leia as páginas de 26 a 28. II. Faça o exercício 3 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 3, 4 e 6.

112

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16

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

 Orientações

Mostrar aos alunos uma noção de subconjuntos (inclusão) e trabalhar as partes de um conjunto. Apresentar a eles o produto cartesiano e suas propriedades. Definir e fazer a notação de intervalos reais, mostrar o que é par ordenado e montar representações por meio de diagramas de flechas e do sistema cartesiano. OPCIONAL 1 Dados os conjuntos A = [–3; 2] e B = [–2; 0], se forem representados os produtos cartesianos A × B e B × A em um mesmo sistema ortonormal de coordenadas, com os eixos graduados em centímetros, a área da região que corresponde ao conjunto (A × B) ∪ (B × A) ficará com: (a) 10 cm2 (c) 14 cm2 (e) 20 cm2 2 2 (b) 12 cm (d) 16 cm OPCIONAL 2 Considere o conjunto M, de todas as mulheres que existem ou já existiram na face da Terra, e as seguintes relações de parentesco definidas em M2: P1 = {(x, y) tal que x é mãe de y}. P2 = {(x, y) tal que x é irmã de y}. P3 = {(x, y) tal que x é filha de y}. Sobre essas três relações, é correto afirmar que: (a) todas elas são funções. (c) apenas P1 é função. (b) apenas P1 e P2 são funções. (d) apenas P3 é função.

(e) nenhuma delas é função.

OPCIONAL 3 Quais das relações (x, y) podem ser classificadas como funções de A em B? Justifique sua resposta se existir alguma relação que não seja função. I A

II B

A

IV

III A

B

B

A

B

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1

Alternativa: D. Se A ⊂ B, temos o diagrama:

U

A

B x

Portanto, se x ∉ B, então x ∉ A.

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

17

2

Alternativa: E. Sendo: X o conjunto dos maratonistas. Y o conjunto das pessoas que gostam de correr na rua. Z o conjunto dos maratonistas pouco disciplinados. Temos: da primeira afirmação que: X ⊂ Y. da segunda afirmação que: Z ⊂ X e Z ≠ ∅. E o diagrama:

Z1

Z

X

Y

Portanto, existe z1 ∈ Z, isto é, um maratonista pouco disciplinado e, como z1 ∈ Y, esse maratonista também gosta de correr na rua.

3

4

Alternativa: C. Sendo D o conjunto dos sabores dos doces, temos que n(D) = 7 e que D possui 27 = 128 subconjuntos distintos. Porém, como um desses subconjuntos é vazio e, sendo assim, não representa uma opção de sobremesa, temos que o número total de opções é 128 – 2 = 127. Alternativa: E. Representando os intervalos reais, temos:

–2

0

4

–2

0

4

Logo, a intersecção possui apenas os números reais do intervalo 0 < x < 4.

5

Alternativa: C. Uma função não pode ter dois valores de y relacionados ao mesmo valor de x; sendo assim, os gráficos II e V não representam funções.

Opcional 1: Alternativa: D. y

2

–3 –2

0

2 x

–2 –3

Área = 5 · 2 + 2 · 5 – 2 · 2 = 16

18

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Opcional 2: Alternativa: D. Como algumas mulheres têm mais de uma filha, temos em P1 que existe x associados a mais de um elemento y. Logo, P1 não é função. Da mesma forma, existem mulheres que têm mais de uma irmã. Logo, P2 não é função. Como toda mulher é filha de uma única mãe, temos em P3 que todo elemento x está associado a um único elemento y. Logo, P3 é função.

Opcional 3: Apenas as relações I e II são funções de A em B.



A relação III não representa uma função de A em B, pois existe um elemento em A que não se relaciona com nenhum elemento de B. A relação IV não pode ser classificada como uma função de A em B, pois, nessa relação, existe um elemento de A que se corresponde com dois elementos de B e, ainda, um elemento em A que não se relaciona com nenhum elemento de B.

ANOTAÇÕES                                      

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

19

Frente 1

Aulas

5e6

F������

 Domínio de uma função

Usa-se a notação “f( )” para indicar qual é a variável da função. Assim, escrevendo f(x) estamos indicando que a função f tem variável x, e escrevendo f(2) e f(–1) estamos indicando que essa variável está respectivamente assumindo os valores 2 e –1. O domínio de uma função é o conjunto que contém todos os possíveis valores de sua variável. Esse conjunto pode ser identificado de três maneiras. I. Alguns enunciados declaram explicitamente o domínio de uma função. Exemplos: Dada uma função de domínio real f(x) = ... Seja uma função f: R – {2} → R, ... II. Outros enunciados declaram o domínio de uma função através de um contexto como, por exemplo, dizendo que x é o preço de uma mercadoria ou que x é o número de pessoas de uma comissão. III. Em alguns problemas, as funções são apresentadas apenas em sua forma algébrica, sem declaração de domínio ou contexto. Nesses casos, deve-se admitir como domínio da função o mais amplo subconjunto de R, cujos elementos obedeçam às seguintes condições de existência: • Nenhum denominador pode ser nulo. Denominadores ≠ 0 • Nenhum radicando de índice par pode ser negativo. Radicandos de índice par ≥ 0 • Todos os logaritmandos devem ser positivos. Logaritmandos > 0 • As bases de todos os logaritmos devem ser positivas. Bases > 0 • Nenhuma base de logaritmo pode ser unitária. Bases ≠ 1

 Imagem de uma função

Sendo y = f(x), o conjunto imagem da função f é aquele que possui todos os possíveis valores de y. Por exemplo, se o domínio de uma função for o conjunto {1, 2, 3, 4}, então sua imagem será o conjunto {f(1), f(2), f(3), f(4)}. Entretanto, para se definir uma função basta conhecer o conjunto dos valores aos quais ela se aplica (domínio); não é necessário que se conheçam todos os resultados que essa função pode gerar. Por isso, quando se declara uma função f: A → B, o conjunto A indica, necessariamente, o domínio da função, mas o conjunto B não indica necessariamente o conjunto imagem. O conjunto B, denominado contradomínio da função, deve, necessariamente, conter a imagem da função: D(f ) = A f : A →B ⇔  Im(f ) ⊂ B O conjunto imagem da função será o intervalo obtido ou a reunião dos intervalos obtidos por esta projeção. y 5

y = f(x)

Im(f) = [1, 5] 1 0

2

7

x

D(f) = [2, 7]

Observação: Projetando-se o gráfico da função sobre o eixo das abscissas (Ox), encontra-se o seu domínio [2, 7].

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

20

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

113

Aulas 5 e 6

 Tipos de função • • • • • • • • •

Dada uma função f : A → B, podemos classificá-la das seguintes maneiras: Função constante, se para quaisquer elementos x1 e x2 de A temos f(x1) = f(x2). Função estritamente crescente, se x1 < x2  f(x1) < f(x2). Função estritamente decrescente, se x1 < x2  f(x1) > f(x2). Função injetora, se x1 ≠ x2  f(x1) ≠ f(x2). Função sobrejetora, se a imagem de f coincidir com o contradomínio B: Im(f) = B. Função bijetora, se for injetora e sobrejetora. Função periódica, se existir um número positivo t, tal que f(x + t) = f(x) para todo valor de x. Função par, se f(–x) = f(x). Função ímpar, se f(–x) = –f(x).

EXERCÍCIOS DE SALA 1 Esboce o gráfico e determine os conjuntos domínio e imagem da função y = 1 + x − 2.

2

UFJF 2015 Segue abaixo o gráfico da função f: R → R. y

f

x – 23 –4

–3

3

4

23

Considere as seguintes afirmações: I. f possui 2 raízes racionais. II. A função f assume valor mínimo quando x = –3 e x = 3. III. A função f é crescente em (–4, 0) ∪ (4, +∞) e decrescente em (– ∞, –4) ∪ (0, 4). É CORRETO afirmar que: A Apenas I é verdadeira. B Apenas II é verdadeira. C Apenas III é verdadeira. D Apenas II e III são verdadeiras. E Apenas I e III são verdadeiras.

114

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 24-10-2016 (13:12)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

21

Aulas 5 e 6 3 Cefet-RJ 2016 A seguir temos o gráfico de temperatura, em graus Celsius (eixo vertical), no Rio de Janeiro para os dias 1, 2, 3 e 4 de setembro de 2015 (onde no eixo horizontal temos a marcação do início de cada dia). Considerando esse gráfico, qual dia foi registrada a menor temperatura máxima no Rio de Janeiro. 34 32 30 27 25 23 21 18 16 01/09

Valor da diária (R$) 160

P

140

Q

120 100 80 02/09

03/09

04/09

.

A B C D

4 Enem 2015 Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis. Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, conforme o gráfico.

Dia 1. Dia 2. Dia 3. Dia 4.

60 40 20 0

20 40 60 80 100 120 140 160 Distância percorrida (km)

Disponível em: <www.sempretops.com>. Acesso em: 7 ago. 2012.

O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)? A De 20 a 100. B De 80 a 130. C De 100 a 160. D De 0 a 20 e de 100 a 160. E De 40 a 80 e de 130 a 160.

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 2 I. Leia as páginas de 29 a 31. II. Faça o exercício 4 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 5, 7, 13 e 19.

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 24-10-2016 (13:12)

22

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

115

 Orientações

Essas aulas devem ser usadas para diferenciar os conceitos de relação e função, bem como definir de forma clara o que é uma função. O conceito de função apresentado nessas aulas servirá de base para diversas aulas posteriores, portanto merece toda atenção necessária para não deixar dúvidas.

OPCIONAL 1 Esboce o gráfico e determine os conjuntos domínio e imagem da função y = 25 − x 2 . OPCIONAL 2 FGV 2012 Seja f uma função tal que f( xy ) = f( x ) para todos os números reais positivos x e y. Se f(300) = 5, então y

f(700) é igual a:

15 7 16 (b) 7 (a)

17 (c) 7

(d)

8 3

(e)

11 4

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1

A condição de existência da função f é: x – 2 ≥ 0  x ≥ 2. Portanto, o domínio da função é o intervalo [2,+∞[. •x=2y=1 •x=3y=2 •x=6y=3 • x = 11  y = 4 4 3 2 1 0

2 3

6

11

Do gráfico, temos que a imagem da função é o intervalo [1, +∞[.

2

3

Alternativa: E. I = V, pois f(–3) = f(3) = 0, e os números –3 e 3 são racionais. II = F, pois a função assume seu valor mínimo quando x = ±4. III = V, pois com x1 < x2, temos: f(x1) < f(x2), nos intervalos –4 < x < 0 e x > 4, e f(x1) > f(x2), nos intervalos 0 < x < 4 e x < –4. Alternativa: B. De acordo com o gráfico, as temperaturas máximas diárias valem aproximadamente: Dia 1 → 34 °C Dia 2 → 20 °C Dia 3 → 24 °C Dia 4 → 25 °C Portanto, a menor temperatura máxima diária foi de aproximadamente 20 °C e ocorreu no dia 2.

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

23

4

Alternativa: A. De acordo com o gráfico: P(x) = Q(x) ⇔ x = 20 ou x = 100 P(x) < Q(x) ⇔ 20 < x < 100

Opcional 1: Como se trata de uma função par, temos que: •x=0⇒y=5 • x = 3 ⇒ y = 4 e x = –3 ⇒ y = 4 • x = 4 ⇒ y = 3 e x = –4 ⇒ y = 3 • x = 5 ⇒ y = 0 e x = –5 ⇒ y = 0 Domínio = [–5; 5] Imagem = [0; 5]

5

–5

5

Opcional 2: Alternativa: A. Se f( xy ) =

f( x ) , temos: y

f(300) = f(100 ⋅ 3) =

f(100) =5 3

Portanto, f(100) = 15 f(100) f(700) = f(100 ⋅ 7) = 7 15 . Logo, f (700 ) = 7

ANOTAÇÕES

24

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

ANOTAÇÕES                                                    

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

25

Frente 1

Aulas

7e8

F������ ��������� � ��������

 Funções compostas

B

Sendo A, B e C três subconjuntos de R, dadas as funções f: A → B e g: B → C, existe uma função h: A → C, tal que h(x) = g(f(x)), denominada função composta por f e g, capaz de efetuar todas as transformações numéricas definidas nas funções f e g, necessariamente, nessa ordem.

 Função inversa

a1

f

a2

f

a3

f

f –1

b1

f –1

b2

f –1

b3

B

“O que uma função faz a função inversa desfaz.” Como a imagem de uma função bijetora é o domínio de sua função inversa, pode-se determinar essa imagem impondo-se as condições de existência à forma algébrica de sua função inversa.

116

b2

f A

a1

f

b3

f

h

a2 h

a3 h

Sendo A e B dois subconjuntos de R, dada uma função bijetora f: A → B, existe uma função f–1: B → A, denominada função inversa de f, capaz de anular todas as transformações numéricas definidas na função f. A

b1

c1

C

c2 c3

Esse símbolo evita o uso excessivo dos parênteses em composições com mais de duas funções. Observe que a ordem de leitura de uma função composta é contrária à ordem de aplicação das funções que a compõem. A sentença g(f(x)) é lida como “g de f de x”, mas a primeira aplicação é a da função f.

 Propriedades:

Sendo f: A → A e g: A → A duas funções bijetoras, temos, para todo x ∈ A, que: • f–1°f(x) = f°f–1(x) = x • f–1°f°g(x) = g(x) • f°g°g–1(x) = f(x)

MATEMÁTICA | MEDICINA I

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

g

A composição entre duas ou mais funções também pode ser indicada pelo símbolo ( ° ). Assim: y = g°f(x) ⇔ y = g(f(x))

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26

g g

Aulas 7 e 8

EXERCÍCIOS DE SALA 1

UPF 2015 Considere a função real g, cuja representação gráfica está parcialmente ilustrada na figura a seguir. Sendo g ° g a função composta de g com g, então, o valor de (g ° g)(–2) é:

y 4

x –5

A B C D E

–4

–2

0

2

3

0 4 2 –2 –5

3 UFSM 2012 Os praticantes de exercícios físicos se preocupam com o conforto dos calçados utilizados em cada modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em corridas, caminhadas etc. A numeração para esses calçados é diferente em vários países, porém existe uma forma para converter essa numeração de acordo com os tamanhos. x Assim, a função g(x)= converte a numeração dos tênis fa6 bricados no Brasil para a dos tênis fabricados nos Estados Unidos, e a função f(x) = 40x + 1 converte a numeração dos tênis fabricados nos Estados Unidos para a dos tênis fabricados na Coreia. A função h que converte a numeração dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos é: 20 1 A h(x) = x + 3 6 2 B h(x) = x + 1 3 20 C h(x) = x + 1 3 20x + 1 D h(x) = 3 2x + 1 E h(x) = 3

2 UEG 2015 O gráfico das funções y = f(x) e y = g(x) é mostrado na figura a seguir 7 6 5 4 3 2 1 –3

–2

–1

–1 –2 –3 –4 –4

y

4

y = g(x)

Uece 2016 A função real de variável real definida por x +2 é invertível. Se f –1 é sua inversa, então, o valor x −2 de [f(0) + f –1(0) + f –1(–1)]2 é A 1. B 4. C 9. D 16. f(x) =

1

2

3 y = f(x)

De acordo com o gráfico, verifica-se que o valor de g(f(2)) + f(g(0)) é: A –2. B 0. C 1. D 3.

MATEMÁTICA | MEDICINA I

117

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 24-10-2016 (13:13)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

27

Aulas 7 e 8 5 Unicamp 2016 Considere o gráfico da função y = f(x) exibido na figura a seguir.

D

y

y x

x

O gráfico da função inversa y = f –1(x) é dado por: A y

x

B

y

x

C

y

x

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 2 I. Leia as páginas de 33 a 35. II. Faça os exercícios 1 e 2 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 8, de 16 a 18, de 20 a 22, 24 e 28.

118

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28

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

 Orientações

Apresentar aos alunos o conceito de inversão e discorrer sobre as funções compostas.

OPCIONAL 1 Fuvest 2011 Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é: (a) 4 (b) 5 (c) 6

(d) 7 (e) 8

OPCIONAL 2 Sendo f( x ) = 3 ⋅ x + 6, a medida, em graus, do ângulo agudo determinado pelas retas que, em um mesmo sistema de coordenadas ortonormais, representam os gráficos das funções f(x) e f –1(x) é: (a) 15° (d) 60° (b) 30° (e) 75° (c) 45°

OPCIONAL 3 Dadas duas funções de domínio real: f(x)= x +1 e g(x) = 100x2 – 16, assinale a alternativa com a composição 5

que define a função h(x) = 4x2 + 8x – 12. (a) f°g(x) (b) g°f(x) (c) f°f(x)

(d) f–1°g(x) (e) f–1°f(x)

OPCIONAL 4 UFBA 2012 Determine f–1(x), função inversa de f: R − {3} → R −  1 , sabendo que f(2x − 1) = 3

x ∈ R – {2}.

x , para todo 3x − 6

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1 2

Alternativa: B. Resolução: g(g(–2)) = g(0) = 4 Alternativa: C. Do enunciado, temos o diagrama: EUA

Brasil

g

f

Coreia

h Logo: h( x ) = f(g( x )) = 40g( x ) + 1 = 40 ⋅

3

x 20 + 1= x +1 6 3

Alternativa: A. fg(x) = 2 · (x – k) + 1 = 2x – 2k + 1 gf(x) = 2x + 1 – k f(g(x)) = g(f(x)) ⇔ 2x – 2k +1 = 2x + 1 – k ⇔ k = 0

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

29

4

Alternativa: C. Trocando as variáveis y e x da função f, temos: y+2 y−2 x( y − 2) = y + 2 xy − 2x = y + 2 xy − y = 2x + 2 y( x − 1) = 2x + 2 2x + 2 y = f −1( x ) = x −1 x=

Assim, temos: 0+2 = −1 0−2 2⋅0 + 2 f −1(0) = = −2 0 −1 2( −1) + 2 f −1( −1) = =0 −1− 1 Portanto: [f(0) + f–1(0) + f–1(–1)]2 = [–1 –2 + 0]2 = 9 f(0) =

5

Alternativa: C. Os gráficos de uma função e de sua inversa devem ser simétricos em relação à reta bissetriz dos quadrantes ímpares.

Opcional 1: Alternativa: D. f(g(x)) = g(x) 2g(x) – 9 = g(x) g(x) = 9 x2 + 5x + 3 = 9 x2 + 5x – 6 = 0 x = 1 ou x= –6 Logo, a soma dos valores absolutos dessas soluções é: 1 + 6 = 7.

Opcional 2: Alternativa: B.

3 f( x ) = 3 ⋅ x + 6 ⇔ f −1( x ) = ⋅x −2 3 3 Sendo α e β as respectivas inclinações das retas que representam esses gráficos, temos que:

tgα = 3 ⇔ α = 60° 3 ⇔ β = 30° 3 Sendo θ o ângulo agudo determinado por essas retas, temos, do teorema do ângulo externo no gráfico a seguir, que: θ + 30° = 60° ⇔ θ = 30° tgβ =

f

f –1 60° 30° θ

30

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

30°

Opcional 3: Alternativa: B. (a) f  g( x ) =

g( x ) + 1 100 x 2 − 15 = = 20 x 2 − 3 5 5

(b) g  f( x ) =100f(x)2 − 16 = 100 ⋅

( x + 1)2 − 16

25 g  f( x ) = 4 ⋅ x 2 + 2x + 1 − 16 = 4x 2 + 8x − 12

(

)

x +1 − 1 x + 1− 5 1 x − 4 (c ) f  f(x) = 5 = ⋅ = 5 5 5 25 (d) Como f −1( x ) = 5x − 1, temos: f −1  g( x ) = 5g( x ) − 1 = 500 x 2 − 81 (e) f −1  f( x ) = x

Opcional 4: Sendo g(x) = 2x – 1, temos que Então, como g−1( x ) = f(g(g−1( x ))) = f( x ) =

f(g( x )) =

x . 3x − 6

x +1 , temos a composição: 2

g−1( x ) 3g−1( x ) − 6

x +1 3x − 9

Portanto:

f −1( x ) =

−9x − 1 9x + 1 = −3x + 1 3x − 1

ANOTAÇÕES                        

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

31

ANOTAÇÕES

32

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Frente 1

Aulas

9 e 10

F����� �� 1º ����

 Função afim

•

Chamamos de função do primeiro grau, ou função afim, as sentenças do tipo f(x) = ax + b, em que a ≠ 0 é denominado coeficiente angular, ou taxa de variação unitária, e b é o coeficiente linear, ou taxa fixa. No plano cartesiano, o gráfico de uma função do primeiro grau é representado por uma reta inclinada, ou seja, uma reta que não é vertical nem horizontal. Se a > 0, a função é crescente: y

y = f(x)

b

•

a reta intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0; b), pois: f(0) = b;  −b  a reta intercepta o eixo das abscissas no ponto  , 0 ,  a   −b  −b pois é a raiz da função: f   = 0 . a  a 

 Função linear

Se b = 0, a função f(x) = ax é denominada função linear, e seu gráfico é representado por uma reta que passa pela origem do plano cartesiano. As funções lineares são usadas para relacionar os valores de duas grandezas x e y que sejam diretamente proporcionais, caracterizando, assim, o único tipo de função em que é válida a regra de três simples.

 Função identidade

θ –b a

x

f(x) = ax + b

Se a = 1 e b = 0, a função f(x) = x é denominada função identidade, e seu gráfico é representado pela reta que contém as bissetrizes dos quadrantes ímpares. y

f(x) = x

Se a < 0, a função é decrescente: y y = f(x)

45o x

b θ –b a

x

Os gráficos usados como exemplos são tais que b > 0, mas, em todos os casos, ou seja, mesmo quando b ≤ 0, temos que: • se o domínio da função é real, sua imagem também é real: D(f) = R ⇔ Im(f) = R; • o coeficiente angular da função é igual à tangente do ângulo de inclinação da reta: a = tg θ;

 Função constante

As funções do tipo f(x) = ax + b com a = 0 são constantes, pois assumem a forma f(x) = b. As funções constantes têm grau zero, seus gráficos são representados por retas horizontais que interceptam o eixo y em (0; b) e, além disso, têm imagem unitária: Im(f) = {b}.

MATEMÁTICA | MEDICINA I

119

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 24-10-2016 (13:14)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

33

Aulas 9 e 10

EXERCÍCIOS DE SALA 1 UEG 2016 A função f(x) que representa o gráfico a seguir, onde k é uma constante não nula, é dada por: y

2 UFABC Calcule a área do trapézio em destaque na figura, assumindo que os valores numéricos no plano cartesiano estão em centímetros. y

k

reta

x 1

2

A

k  x, se 0 ≤ x ≤ 2 f(x) =  2 k, se 2 < x ≤ 5 

B

k, se 0 ≤ x ≤ 2 f(x) =  3k, se 2 < x ≤ 5

3

4

5

3

1

C

k  , se 0 ≤ x ≤ 2 f(x) =  2 kx, se 2 < x ≤ 5 

D

kx, se 0 ≤ x ≤ 2 f(x) =  k, se 2 < x ≤ 5

E

k  x, se 0 ≤ x ≤ 2 f(x) =  2 k, se 2 < x ≤ 5 

120

0

1

2

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

34

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

4

x

Aulas 9 e 10 3 Enem 2010 (2ª aplicação) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidos 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007. 18

No de sacolas (em bilhões)

4 Uepa 2015 Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), a população da Terra atingiu a marca de 7,2 bilhões de habitantes em 2013, dados publicados no estudo “Perspectivas de População Mundial”. De acordo com as projeções de crescimento demográfico, seremos 8,1 bilhões de habitantes em 2025 e 9,6 bilhões de habitantes em 2050. Supondo que a partir de 2025 a população mundial crescerá linearmente, a expressão que representará o total de habitantes (H), em bilhões de pessoas, em função do número de anos (A) é: A H = 0,060⋅A + 8,1. B H = 0,036⋅A + 7,2. C H = 0,060⋅A + 9,6. D H = 0,036⋅A + 8,1. E H = 0,060⋅A + 7,2.

No de anos (após 2007) 0

9

De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011? A 4,0 B 6,5 C 7,0 D 8,0 E 10,0

MATEMÁTICA | MEDICINA I

121

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

35

Aulas 9 e 10 5 Unicamp 2016 O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014. Lucro líquido (milhares de reais) 600 500

A

400 300

B

200 100

C Ano 2013

2014

Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que A A teve um crescimento maior do que C. B C teve um crescimento maior do que B. C B teve um crescimento igual a A. D C teve um crescimento menor do que B.

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 2 I. Leia as páginas de 31 a 33. II. Faça o exercício 4 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos de 9 a 12, 14, 26 e 27.

122

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

36

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

 Orientações

Utilizar essas aulas para tratar da função do primeiro grau, bem como de suas propriedades. Demonstrar a construção do gráfico e tratar das funções linear, identidade e constante.

7 1  4 2

OPCIONAL 1 Mackenzie 2010 Na figura, considere os gráficos das funções f(x) = ax + b e g(x) = mx + n. Se P =  , , o valor de

a+n b×m

é: y f

4 3 2 P

1 0

x 1

2

3

4

–1 –2 –3 g –4

(d) 5 (e) 1

(a) 3 (b) 2 (c) 6

OPCIONAL 2 Enem 2011 O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações desse setor no mês de fevereiro com as de janeiro desse ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é: (a) y = 4.300x (c) y = 872.005 + 4.300x (e) y = 880.605 + 4.300x (b) y = 884.905x (d) y = 876.305 + 4.300x OPCIONAL 3 O gráfico a seguir representa a função f: R → R, dada por f(x) = ax + b com a e b reais. y y = f(x) x

De acordo com o gráfico, conclui-se que: (a) a > 0 e b > 0 (c) a < 0 e b = 0 (b) a < 0 e b < 0 (d) a > 0 e b < 0

(e) a < 0 e b > 0

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1

Alternativa: A.

k Para 0 ≤ x ≤ 2, temos uma função linear com coeficiente angular igual a tg(θ) = . 2 Para 2 ≤ x ≤ 5, temos a função constante y = k. k  x, se 0 ≤ x ≤ 2 Logo : f ( x ) =  2 k, se 2 < x ≤ 5

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

37

2

3

Como a reta que representa o gráfico dessa função passa pelo ponto (0; 1), temos que se trata de uma função afim do tipo y = a ⋅ x + 1. Como essa reta também passa pelo ponto (1; 3), temos que 3 = a ⋅ 1 + 1 ⇔ a = 2. Assim, temos que: y = 2x + 1. As bases do trapézio, em centímetros, medem f(2) = 5 e f(4) = 9. A altura do trapézio, em centímetros, mede 4 – 2 = 2. 5 cm + 9 cm ⋅ 2 cm = 14 cm2. Portanto, sua área vale: 2 Alternativa: E. Como a reta que representa o gráfico dessa função passa pelo ponto (0; 18), temos que se trata de uma função afins do tipo y = a · x + 8. Como essa reta também passa pelo ponto (9; 0), temos que: O = a · 9 + 18 ⇔ a = – 2 Portanto: y = –2x + 18 Assim, para x = 2011 – 2007 = 4, temos: y = – 2 · 4 + 18 = 10

4

Alternativa: A. Sendo a e b os coeficientes da função y = f(x) = ax + b, em que x representa o número de anos (A) e y o total de habitantes (H), em bilhões, temos que x = 0 representa o ano de 2025 e, assim, f(0) = 8,1 ⇔ b = 8,1. Além disso, como x = 25 corresponde ao ano de 2050, temos que: f(25) = 9,6. Assim: a · 25 + 8,1 = 9,6 ⇔ a = 0,060. Logo: f(x) = 0,060 · x + 8,1, ou ainda, H = 0,060 · A + 8,1.

5

Alternativa: B. Os coeficientes angulares das funções A(x), B(x) e C(x) valem: A → –100 B → +100 C → +200 Portanto, C teve um crescimento maior do que B.

Opcional 1: Alternativa: E.

Como o gráfico de g(x) = mx + n é uma reta que passa pelo ponto (0; 4), temos que n = 4. Como essa reta também passa pelo ponto (2; 0), temos que m ⋅ 2 + 4 = 0 ⇔ m = –2. Como o gráfico de f(x) = ax + b é uma reta que passa pelo ponto (0; –3), temos que b = –3.

7 1  7 1 Como essa reta também passa pelo ponto  ; , temos que a ⋅ − 3 = ⇔ a = 2. 4 2  4 2 a+n 2+4 Portanto: = =1 b ⋅ m −3 ⋅ ( −2)

Opcional 2: Alternativa: C.

Se o incremento (taxa de variação) de trabalhadores no setor varejista for constante nos seis primeiros meses desse ano, durante esse período a função y = f(x) pode ser modelada por f(x) = a ⋅ x + b, com a = 4.300. Como em fevereiro (x = 2) o total de trabalhadores com carteira assinada atingiu 880.605, temos: f(2) = 880.605 4.300 ⋅ 2 + b = 880.605 8.600 + b = 880.605 b = 872.005 Logo: y = 4.300 ⋅ x + 872.005

Opcional 3: Alternativa: D.

Como a função é crescente, temos que a > 0. Como a interseção do gráfico com o eixo Oy acontece em um ponto de ordenada negativa, temos que b < 0.

38

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Frente 1

Aulas

11 e 12

F����� �� 2º ����

 Função quadrática

Chamamos de função quadrática, ou função do segundo grau, toda sentença do tipo f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0. O discriminante de uma função quadrática é parâmetro ∆, dado pela expressão: ∆ = b2 – 4ac. No plano cartesiano, os gráficos das funções desse tipo são representados por parábolas com eixos de simetria verticais. O ponto de intreseção de uma parábola com seu eixo de simetria é denominado vértice da parábola. −b −∆ . As coordenadas desse vértice são dadas pelas expressões: xv = e yv = 2a 4a Todas as funções desse tipo têm domínio real, mas suas imagens dependem da ordenada do vértice e do sentido da concavidade de sua parábola.

Se a > 0, então a parábola tem sua concavidade voltada para cima:  

Im(f) = [ y v , +∞ [ ⇔ Im(f) = y ∈ R : y ≥

Vértice: (xv, yv)

−∆   4a 

Se a < 0, então a parábola tem sua concavidade voltada para baixo:  

Im(f) = ] − ∞, y v ] ⇔ Im(f) = y ∈ R : y ≤

−∆   4a 

As raízes de uma função quadrática são dadas pelas seguintes expressões: x1 =

−b − ∆ −b + ∆ e x2 = 2a 2a

O valor do discriminante ∆ serve tanto para indicar o número de raízes de uma função quadrática, quanto o número de pontos de interseção da parábola com o eixo das abscissas.

xv x1

x2

∆>0

x1

x1 = xv = x2

∆=0

x2

∆<0

x1 = xv = x2

xv

MATEMÁTICA | MEDICINA I

123

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

39

Aulas 11 e 12 Outras propriedades das funções quadráticas • •

Toda função do tipo f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0 é tal que: −b A soma de suas raízes é: x1 + x 2 = a c O produto de suas raízes é: x1 ⋅ x 2 = a

•

x1 + x 2 −b  x v = 2 = 2a O vértice da parábola que representa seu gráfico é dado por:   y = f (x ) = − ∆ v  v 4a

• • •

Seu gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, c) Sua forma fatorada é expressa por: f(x) = a(x – x1)(x – x2) Sua forma reduzida é expressa por: f(x) = a(x – xv)2 + yv

EXERCÍCIOS DE SALA 1 Determine a expressão y = f(x) da função cujo gráfico é representado por uma parábola que: a) intercepta os eixos nos pontos (–3, 0), (1, 0) e (0, 6). y

6

–3

0

1

x

b) tem vértice (5, 1) e intercepta o eixo Oy em (0, 2). y

2

2 Fuvest 2015 A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado? A 60 B 90 C 120 D 150 E 180

1 0

124

5

x

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 24-10-2016 (13:14)

40

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Aulas 11 e 12 3 Unifesp 2015 A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t) = – 0,05t2 + 2t + 25. Nessa função, considera-se t = 0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira. a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez? b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose?

4

Albert Einstein 2016 Suponha que, em janeiro de 2016,

um economista tenha afirmado que o valor da dívida externa do Brasil era de 30 bilhões de reais. Nessa ocasião, ele também previu que, a partir de então, o valor da dívida 9 poderia ser estimado pela lei D(x) = − ⋅ x2 + 18x + 30 em 2 que x é o número de anos contados a partir de janeiro de 2016 (x = 0). Se sua previsão for correta, o maior valor que a dívida atingirá, em bilhões de reais, e o ano em que isso ocorrerá, são, respectivamente, A 52 e 2020. B 52 e 2018. C 48 e 2020. D 48 e 2018.

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 3 I. Leia as páginas de 49 a 56. II. Faça o exercício 4 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos 13, 14, 16, 17, de 19 a 21 e de 23 a 25.

MATEMÁTICA | MEDICINA I

125

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 24-10-2016 (13:15)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

41

 Orientações

Expor a definição da função polinomial do 2o grau. Realizar a construção do gráfico da função do 2o grau. Demonstrar a influência dos coeficientes da função nas propriedades geométricas da parábola. Encontrar as coordenadas do vértice e relacioná-las com os pontos de máximo e mínimo. Mostrar o processo de cálculo das raízes e explicar como fazer a soma e obter o produto destas. Ensinar também a forma fatorada e reduzida de um trinômio do 2o grau. OPCIONAL 1 PUC (Adapt.) Considere que o material usado para a confecção de certo tipo de tapete tem um custo de R$ 40,00 por tapete. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por x reais e, assim, conseguir vender (100 – x) tapetes por mês. a) Escreva a função que expressa o lucro obtido na venda de cada tapete em função do preço x. b) Escreva a função que expressa o lucro mensal do fabricante em função do preço x. c) Determine qual deverá ser o preço de cada tapete a fim de que o lucro mensal do fabricante seja máximo.

OPCIONAL 2 Fuvest A função f: R → R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x+1) – f(x) = 6x – 2, para todo número real. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a: 11 6 7 (b) 6 (a)

(c)

5 6

(e) −

5 6

(d) 0

OPCIONAL 3 Unicamp 2012 Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre:

30 m 40 m

(a) 4,1 e 4,4 m. (b) 3,8 e 4,1 m.

(c) 3,2 e 3,5 m. (d) 3,5 e 3,8 m.

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1

a) Do gráfico, temos que c = 6, x1 = –3 e x2 = 1. c Como x1 ⋅ x 2 = , temos: a 6 −3 ⋅ 1 = ⇔ a = −2 a −b Como x1 + x 2 = , temos: a −b ⇔b=4 −3 + 1 = −2 Portanto: f(x) = –2x2 + 4x + 6 b) Como xV = 5 e yV = 1, temos: f(x) = a(x – 5)2 + 1. Do gráfico, temos que f(0) = 2; assim: 1 2 a (0 − 5) + 1 = 2 ⇔ a = 25 1 1 2 2 Portanto: f( x ) = ( x − 5) + 1 = x 2 − x + 2 25 25 5

42

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

2

Do gráfico, temos: b xv = − = 10 ⇒ b = −20a 2a Então: f(x) = ax2 – 20ax + c f(10) = 100a – 200a + c = 200 f(30) = 900a – 600a + c = 0

Alternativa: D. f(x)=ax2+bx+c,a<0 y 200 C

10

30

Logo: −100a + c = 200 (I)  (II)  300a + c = 0

x

Fazendo 3 ⋅ (I) + (II) 4c = 600 ⇒ c = 150

3

a) Pelo enunciado, temos: C( t ) = −0, 05t 2 + 2t + 25

40 = −0, 05t 2 + 2t + 25 0, 05t 2 − 2t + 15 = 0 t = 10 h ou t = 30 h Logo, a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez às 11 + 10 = 21 h da segunda-feira.

b) Construindo o gráfico da função, temos: C(t)

25

20



t

−2 = 20 h. Dessa forma, ele deverá prescrever a segunda dose do 2 ⋅ ( −0, 05) medicamento 20 horas após a primeira, que foi ministrada às 11 horas da segunda-feira, portanto às 7 horas da

Ao calcular o x do vértice, obtemos t =

terça-feira.

4

Alternativa: D. Com a = – 9 , b = 18 e c = 30, temos: 2 −b = 2⋅a −∆ yV = = 4⋅a xV =

−18 =2 −9 −864 = 48 −18

Portanto, o maior valor da dívida ocorrerá no ano de 2016+2 = 2018, e esse aumento será de 48 bilhões de reais.

Opcional 1: a) Lunitário(x) = V – C = x – 40 b) Lmensal(x) = (100 – x) ⋅ Lunitário(x) Lmensal(x) = (100 – x) ⋅ (x – 40) Lmensal(x) = –x2 + 140x – 4.000 c)

xv =

−b −140 = = 70 reais 2a −2

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

43

Opcional 2: Alternativa C. Se o gráfico da função f é uma parábola, temos que f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Para x = 0, temos: f(1) – f(0) = 6 ⋅ 0 – 2 a + b + c – c = –2 a + b = –2 (I) Para x = –1, temos: f(0) – f(–1) = 6 ⋅ (–1) – 2 c – (a – b + c) = –8 –a + b = –8 (II) Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II, obtemos: b = –5 e a = 3. Logo, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a −b = 5 . 2a 6

Opcional 3: Alternativa: B.

Podemos modelar a trajetória da bola segundo uma função do 2o grau: f(x) = ax2 + bx + c. Sendo conhecidos os pontos de referência: f(0) = 0, f(30) = 3 e f(40) = 0, podemos montar o sistema: a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = 0 f(0) = 0   2 f(30) = 3 ⇒ a ⋅ 30 + b ⋅ 30 + c = 3 f(40) = 0  2  a ⋅ 40 + b ⋅ 40 + c = 0 c = 0 1 2  ; b= ; c=0 900 ⋅ a + 30 ⋅ b + c = 3 ∴ a = − 100 5 1600 ⋅ a + 40 ⋅ b + c = 0  Assim, temos a função f( x ) = −

1 2 ⋅ x2 + ⋅ x 100 5

A altura máxima (yv) ocorre quando x = 20, de modo que: f(20) = −

1 2 ⋅ 202 + ⋅ 20 = 4, ou seja, 4 metros. 100 5

Outra abordagem possível seria adotar uma escala mais adequada no eixo x e optar pela forma fatorada do polinômio de 2º grau: f( x ) = a ⋅ ( x − x1) ⋅ ( x − x 2 ) ⇒ f( x ) = a ⋅ ( x − 0) ⋅ ( x − 4)

Para calcular o parâmetro a, fazemos f(3) = 3: f(3) = a ⋅ (3 − 0) ⋅ (3 − 4) ⇒ 3 = a ⋅ (3) ⋅ ( −1) ∴ a = −1 Finalmente, na função identificada, aplicamos x = 2 para obter: f(2) = −1⋅ (2 − 0) ⋅ (2 − 4) = 4

ANOTAÇÕES  

             

44

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

ANOTAÇÕES                                                    

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

45

Frente 1

Aulas

13 e 14

I���������

 Inequações de 1º grau

Sendo f(x) = ax + b, com a ≠ 0, temos que:

b  f(x) > 0 ⇔ x > − a  b  • Se a > 0, então: f(x) = 0 ⇔ x = − a   b f(x) < 0 ⇔ x < − a 

–b a

b  f(x) > 0 ⇔ x < − a  b  • Se a < 0, então: f(x) = 0 ⇔ x = − a   b f(x) < 0 ⇔ x > − a 

–b a

 Inequações de 2º grau

Sendo f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0, temos que: f(x) > 0 ⇔ S = R  • Se ∆ < 0, então: f(x) = 0 ⇔ S = ∅  f(x) < 0 ⇔ S = ∅ f(x) > 0 ⇔ S = R − {xv }  • Se ∆ = 0, então: f(x) = 0 ⇔ S = {xv }  f(x) < 0 ⇔ S = ∅ f(x) > 0 ⇔ S = ]−∞,x1 [ ∪ ]x2 , +∞ [  • Se ∆ > 0, então:  f(x) = 0 ⇔ S = {x1 ,x2 }   f(x) < 0 ⇔ S = ]x1 ,x2 [

126

xv

x1

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

46

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

x2

Aulas 13 e 14 E, com a < 0, temos que: f(x) > 0 ⇔ S = ∅  • Se ∆ < 0, então: f(x) = 0 ⇔ S = ∅  f(x) < 0 ⇔ S = R f(x) > 0 ⇔ S = ∅  • Se ∆ = 0, então: f(x) = 0 ⇔ S = {x V }  f(x) < 0 ⇔ S = R − {x V }

xv

f(x) > 0 ⇔ S = ]x1 ,x2 [  • Se ∆ > 0, então: f(x) = 0 ⇔ S = {x1 ,x2 }  f(x) < 0 ⇔ S = ]−∞,x1 [ ∪ ]x2 , +∞ [

x1

x2

 Inequações-produto

As inequações do tipo f(x) · g(x) ≠ 0 podem ser resolvidas fazendo-se primeiro a análise individual dos sinais de f(x) e g(x), para depois verificar as seguintes equivalências lógicas: f(x) · g(x) > 0  f(x) e g(x) têm o mesmo sinal f(x) · g(x) < 0  f(x) e g(x) têm sinais contrários

 Inequações-quociente As inequações do tipo

f(x) ≠ 0 podem ser resolvidas como as inequações-produto, pois: g(x) f(x) > 0 ⇔ f(x) ⋅ g(x) > 0 g(x) f(x) < 0 ⇔ f(x) ⋅ g(x) < 0 g(x) f(x)

f(x)

≤0 e ≥ 0 , as soluções podem ser E, uma vez garantidas as condições de existência das inequações do tipo g(x) g(x) encontradas de acordo com as seguintes equivalências lógicas:

f(x) ≥ 0 ⇔ f(x) ⋅ g(x) > 0 ou f(x) = 0 g(x) f(x) ≤ 0 ⇔ f(x) ⋅ g(x) < 0 ou f(x) = 0 g(x)

MATEMÁTICA | MEDICINA I

127

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

47

Aulas 13 e 14

EXERCÍCIOS DE SALA 1 PUC-RJ 2013 O conjunto das soluções inteiras da inequação x2 – 3x ≤ 0 é: A {0, 3} B {1, 2} C {−1, 0, 2} D {1, 2, 3} E {0, 1, 2, 3}

128

2 Uern 2012 A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a inequação-produto 2x + 1 (3x – 7) · (x + 4) < 0 e a inequação-quociente > 0 é: 5−x A 3 B 5 C 6 D 7

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 27-10-2016 (13:24)

48

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Aulas 13 e 14 3 Unesp 2016 A demanda de um produto químico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p de acordo com as seguintes funções: 3p2 − 21p 5p − 10 . D(p) = eF(p) = 4 − 2p 3 Admitindo-se p > 1 e sabendo que 7569 = 87, determine o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p > 1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva.

4 UFJF 2012 Sejam f: R→ R e g: R→ R funções definidas por f(x) = x – 14 e g(x) = − x2 + 6x − 8, respectivamente. a) Determine o conjunto dos valores de x, tais que f(x) > g(x). b) Determine o menor número real k, tal que f(x) + k ≥ g(x) para todo x ∈ R.

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 3 I. Leia as páginas 54 e 55. II. Faça o exercício 5 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos de 25 a 33 e 35.

MATEMÁTICA | MEDICINA I

129

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 27-10-2016 (13:24)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

49

 Orientações

Explicar separadamente o sinal de cada uma das funções. Em seguida, falar sobre as equivalências lógicas e o quadro de sinais. Esse estudo ajudará o aluno na realização de exercícios complexos de inequação, muito comuns nos vestibulares atuais. OPCIONAL 1 Resolver, no universo dos números reais, as seguintes inequações: a) x2 – 9 < 0

c) x3 ≥ 4x

b) x2 – 5x > 0

d)

x −3 ≤0 x+2

OPCIONAL 2 FGV-RJ A figura mostra o gráfico da função f(x) = 1 + x – 2x3. y

f(x)=1+x – 2x3 1

0

1

x

Resolva a inequação: f(x) > 1.

OPCIONAL 3 PUC-RJ 2013 O conjunto das soluções inteiras da inequação x2 – 3x ≤ 0 é: (a) {0, 3} (b) {1, 2} (c) {−1, 0, 2}

(d) {1, 2, 3} (e) {0, 1, 2, 3}

2 OPCIONAL 4 UFSC (Adapt.) Determine o conjunto-solução da inequação x − 3x + 1 ≤ 1 .

x

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1 Alternativa: E. Como f(x) = x2 – 3x é função de segundo grau com a > 0, ∆ > 0, x1 = 0 e x2 = 3, temos que: f(x) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3. Então, o conjunto-solução dessa equação no universo dos números inteiros é S = {0, 1, 2, 3}. 2

Alternativa: A. Analisando os sinais das funções crescentes a(x) = 3x – 7 e b(x) = x + 4, temos: a(x) b(x) a(x)⋅b(x)

-

-

+

-

+

+

+

-

+

-4 7  Portanto, a(x) ⋅ b(x) <0 ⇔ S1 =  − 4,  . 3  Assim, os números inteiros pertencentes a esse conjunto-solução formam o conjunto: P = {–3, –2, –1, 0, 1, 2} Agora, analisando os sinais da função crescente n(x) = 2x + 1 e da função decrescente d(x) = 5 – x, temos:

n(x) d(x) n(x) d(x)

50

-

+

+

+

+

-

+

-

-

1 2

5

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Portanto, n( x ) > 0 ⇔ S2 =  − 1 , 5  .  2  d( x )   Assim, os números inteiros pertencentes a esse conjunto-solução formam o conjunto: Q = {0, 1, 2, 3, 4}. Logo: P ∩ Q = {0, 1, 2}, e a soma dos elementos desse conjunto é 0 + 1 + 2 = 3.

3

Quando D(p) = F(p), temos a seguinte equação: 3p2 − 21p 5p − 10 = 4 − 2p 3 19p2 − 103p + 40 = 0 8 p = 5 ou p = 19 Então, como p > 1, temos p = 5. Quando D(p) > 0, temos a seguinte inequação: 3p2 − 21p >0 4 − 2p



4

O numerador dessa fração N(p) = 3p2 – 21p é positivo quando p < 0 ou p > 7 e negativo quando 0 < p < 7. O denominador dessa fração D(p) = 4 – 2p é positivo quando 2 < p e negativo quando p < 2. Portanto, N(x) e D(x) têm o mesmo sinal quando p < 0 (positivo) ou quando 2 < p < 7 (negativo). Como p>1, a resposta é 2 < p < 7. a) x2 – 7x + 15 > 6x – 12

x2 – 10x + 21 > 0 x < 3 ou x > 7 2 b) x − 7 x + 15 − 3 > 0 x−2 x 2 − 7 x + 15 − 3 ⋅ ( x − 2) >0 x−2 x 2 − 10 x + 21 >0 x−2

Do item anterior, o numerador dessa fração N(x) = x2 – 10x + 21 é positivo quando x < 3 ou x > 7 e negativo quando 3 < x < 7. O denominador dessa fração D(x) = x – 2 é positivo quando 2 < x e negativo quando x < 2. Portanto, N(x) e D(x) têm o mesmo sinal quando 2 < x < 3 (positivo) e quando x > 7 (negativo).

Opcional 1:

a) Analisando o sinal da função y = x2 – 9, temos que: y < 0 ⇔ –3 < x < 3 Portanto: S = ]–3; 3[ b) Analisando o sinal da função y = x2 – 5x, temos que: y > 0 ⇔ x < 0 ou x > 5. Portanto: S = ]– ∞; 3[ ∪ ]5; +∞[ c) x3 ≥ 4x x3 – 4x ≥ 0 x(x2 – 4) ≥ 0 x(x + 2)(x – 2) ≥ 0 Analisando o sinal da função y = x(x + 2)(x – 2), temos que: y ≥ 0 ⇔ –2 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2. Portanto: S = [–2; 0] ∪ [2; +∞[

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

51

d)

x −3 ≤ 0 ⇔ ( x − 3) ( x + 2) ≤ 0 e x ≠ −2 x+2 Analisando o sinal da função y = (x – 3)(x + 2), temos que: y ≤ 0 ⇔ –2 ≤ x ≤ 3.

Mas, como x ≠ –2, temos: –2 < x ≤ 3. Portanto: S = ] –2; 3]

Opcional 2:

1 + x – 2x3 > 1 x – 2x3 > 0 Dividindo essa desigualdade por –2, temos:

1 x<0 2 1  x  x2 −  < 0 2  x3 −

 2  2 xx +  < 0   x −  2 2   

 2 2 2  2 Analisando o sinal de y = x  x + ou 0<x< .   x −  , temos que: y > 0 ⇔ x < −  2 2 2 2      Portanto: S =  −∞; − 2 [ ∪ ]0; 2  2 2  

Opcional 3: Alternativa: E.

Como f(x) = x2 – 3x, é função de segundo grau com a > 0, ∆ > 0, x1 = 0 e x2 = 3; portanto, temos que: f(x) ≥ 0  0 ≤ x ≤ 3. Então, o conjunto-solução dessa equação no universo dos números inteiros é S = {0, 1, 2, 3}.

Opcional 4: Analisando o sinal de y = (x2 – 4x +1) · x, temos que:

y ≤ 0 ⇔ x ≤ 0 ou 2 − 3 ≤ x < 2 + 3 . Mas, como x ≠ 0, temos: S = ] − ∞; 0 [∪ ] 2 − 3; 2 + 3[

ANOTAÇÕES                 

52

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

ANOTAÇÕES                                                    

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

53

Frente 1

Aulas

15 e 16

F����� �����������

As funções exponenciais são aquelas em que a variável apresenta-se como sendo o expoente de uma potência de base positiva e diferente de 1; por exemplo: y = 2x ou y = (0,5)x. Se a base for unitária, a função será constante, pois 1x = 1 para todo x real.

 Gráficos de funções exponenciais

Sendo a, b e c números reais, tais que a ≠ 0, b > 0 e b ≠ 1, os gráficos das funções do tipo f(x) = a ⋅ bx + c podem ser estudados em quatro casos, nos quais c > 0. c>0

0
b>1 y

y

a>0 c 0

x

c 0

y

x y

c

Todos os gráficos da tabela apresentam uma linha horizontal pontilhada em que y = c. Essa linha é denominada assíntota da curva exponencial e serve para indicar a tendência do crescimento da função, embora a função nunca atinja o valor da constante c. Nos casos em que a constante c for negativa (c < 0), os gráficos terão o mesmo comportamento dos exemplos da tabela, mas com a reta assíntota situada abaixo do eixo das abscissas.

 Imagem de uma função exponencial

Sendo f(x) = a · bx + c com a ≠ 0, b > 0 e b ≠ 1, temos que: • Se a > 0, então a imagem da função é o intervalo aberto ]c, +∞[. • Se a < 0, então a imagem da função é o intervalo aberto ]–∞, c[.

c

a<0 0

x

x 0

130

MATEMÁTICA | MEDICINA I PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 21-10-2016 (10:52)

54

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Aulas 15 e 16

EXERCÍCIOS DE SALA 1 Imed 2016 Em relação à função real definida por g(x) = 2x + 1, é correto afirmar que g(g(0)) corresponde a: A 1. B 2. C 3. D 4. E 5.

2 UFRGS 2016 Considere a função ƒ definida por ƒ (x) = 1 – 5 ⋅0,7x e representada em um sistema de coordenadas cartesianas. Entre os gráficos abaixo, o que pode representar a função ƒ é A y

0

x

B

y

0

C

y

0

x

y

D

0

E

x

x

y

0

x

MATEMÁTICA | MEDICINA I

131

PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 24-10-2016 (13:17)

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

55

Aulas 15 e 16 3 Uerj 2013 Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual. t

V ( t ) = V0 ⋅ ( 0,64 ) 2

4 Unicamp 2011 Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas) t minutos após o café ser despejado. M(t) 16

Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos.

12 8 4 0 0

50

100

150

200

t

Pelo gráfico, podemos concluir que: t   4−  75 

A

M(t) = 2

B

M(t) = 2

C

M(t) = 2

D

M(t) = 2

t   4−  50  t    5−  50  t    5−  150 

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 4 I. Leia as páginas 72 e 73. II. Faça o exercício 3 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos de 6 a 9, 14, 16, 20 e 22.

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MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

 Orientações

Nessas aulas, realizar a construção de gráficos de funções exponenciais da forma: f(x) = b + c · ax e exemplificar resoluções de equações desse tipo. Demonstrar também a aplicação da função exponencial no cálculo dos juros compostos.

OPCIONAL 1 UFJF 2012 Seja f:R → R uma função definida por f(x) = 2x. Na figura a seguir está representado, no plano

cartesiano, o gráfico de f e um trapézio ABCD, retângulo nos vértices A e D e cujos vértices B e C estão sobre o gráfico de f. y y = f(x) = 2x

C B

A –1

0

1

D 2

3

x

A medida da área do trapézio ABCD é igual a: (a) 2 8 (b) 3 (c) 3 (d) 4 (e) 6

OPCIONAL 2 FGV-RJ 2012 O número N de habitantes de uma cidade cresce exponencialmente com o tempo, de modo que, daqui a t anos, esse número será N = 20.000(1 + k)t, onde k é um número real. Se daqui a 10 anos a população for de 24.000 habitantes, então daqui a 20 anos ela será de: (a) 28.000 habitantes. (d) 28.600 habitantes. (b) 28.200 habitantes. (e) 28.800 habitantes. (c) 28.400 habitantes.

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1

2

3

Alternativa: E Resolução: Como g(0) = 20 + 1 = 1 + 1 = 2, temos que g(g(0)) = g(2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5. Alternativa: A. Como em f(x) = 1 – 5 · 0,7x, temos a = –5, b = 0,7 e c = 1, a função é crescente e tende para uma assíntota positiva, como mostram as alternativas a e d. Como f(0) = – 4, o gráfico deve interceptar o eixo das ordenadas baixo da origem do sistema, como mostram as alternativas a, c e e. Do enunciado, temos V0 = 50.000 e t = 3. Assim: 3

V(3) = 50.000 · (0,64)2 3

V(3) = 50.000 · 0, 64 V(3) = 50.000 · 0,83 V(3) = 50.000 · 0,512 V(3) = 25.600 reais

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

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4

Alternativa: A. Seja M(t) = 2at + b A partir do gráfico, observa-se que:

M(0) = 16 ⇒ 2a(0 )+b = 24 ⇒ b = 4 M(150) = 4 ⇒ 2a(150 )+b = 22 ⇒ 150a + b = 2 ⇒ a = Portanto: M( t ) =

−1 75

t    4−  75   2

Opcional 1: Alternativa: C.

As bases do trapézio medem: AB = f(1) = 21 = 2 e CD = f(2) = 22 = 4.

A altura do trapézio mede: AD = 2 – 1 = 1. 1 Portanto, a área do trapézio é: ( 2+4) ⋅ = 3 . 2

Opcional 2: Alternativa: E.

Do enunciado, temos que: 20.000(1 + k)10 = 24.000 ⇔ (1 + k)10 = 1,2 Elevando ambos os membros dessa igualdade à segunda potência, obtemos: (1 + k)20 = 1,44 Portanto, daqui a 20 anos a população será de: 20.000(1 + k)20 = 20.000 ⋅ 1,44 = 28.800 habitantes.

ANOTAÇÕES

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MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

Frente 1

Aulas

17 e 18

E������� � ���������� ������������  Propriedades das funções exponenciais •

Todas as funções do tipo f(x) = bx, com b > 0 e b ≠ 1, têm domínio real e são injetoras. Portanto: bx1 = bx2 ⇔ x1 = x2

•

Todas as funções do tipo f(x) = bx, com b > 1, são crescentes. Portanto:

•

Todas as funções do tipo f(x) = bx, com 0 < b < 1, são decrescentes. Portanto:

bx1 < bx2 ⇒ x1 < x2

bx1 < bx2 ⇒ x1 > x2 y = bx

bx

1

bx

2

b

x2

bx x1

•

x2

y = bx

1

x2

x1

Todas as funções do tipo f(x) = bx, com b > 0 e b ≠ 1, têm imagem estritamente positiva. Portanto, não existe número real x que anule f(x) ou que a torne negativa.

∃ x ∈ R | bx ≤ 0

MATEMÁTICA | MEDICINA I

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MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

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Aulas 17 e 18

EXERCÍCIOS DE SALA 1

Considere as seguintes afirmações: I. A equação 2x = 3 não admite solução real. II. A equação 4x = 2 admite mais de uma solução real. III. A equação 5x = 0 admite uma única solução real. IV. A equação 3x = − 9 não admite solução real.

3

PUC-RJ 2015 Seja f(x) = 4x – 6 ⋅2x + 8. a) Calcule f(0). b) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) = 168. c) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) < 0.

Estão corretas apenas: A as afirmações I e IV. B a afirmação IV. C a afirmação III. D as afirmações I e II. E as afirmações I e III.

2 Unifesp 2012 Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma certa espécie de animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais é dado aproximadamente pela função f(t) = 750 ⋅ 2–(0,05)t, com t em anos, t ≥ 0. Determine, com base na função, em quantos anos a população de animais estará reduzida à metade da população inicial.

4

Sobre os números naturais pertencentes ao conjunto-

x

32 4 , é correto afirmar que: -solução da inequação   ≤ 243 9 A B C D E

o maior deles é 2. o menor deles é 2. o maior deles é 3. o menor deles é 3. o maior deles é 4.

GUIA DE ESTUDO Matemática | Livro 1 | Frente 1 | Capítulo 4 I. Leia as páginas de 74 a 76. II. Faça os exercícios 4 e 5 da seção “Revisando”. III. Faça os exercícios propostos de 1 a 5, 10, 11 e 17.

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MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

 Orientações

Ao longo dessas aulas, explicar, por meio da análise de gráficos, as propriedades das funções exponenciais do tipo f(x) = bx .

OPCIONAL 1 Unifesp 2012 Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma certa espécie de animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais é dado aproximadamente pela função f(t) = 750 · 2–(0,05)t, com t em anos, t ≥ 0. Determine, com base na função, em quantos anos a população de animais estará reduzida à metade da população inicial.

OPCIONAL 2 A soma das soluções da equação exponencial 9x – 12 · 3x + 27 = 0 é igual a: (a) 12 (b) 9

(c) 6 (d) 3

(e) 1

OPCIONAL 3 UCS 2012 Um modelo matemático para determinar o número de bactérias em determinado objeto é a função definida por N(t) = 500 · 2t em que t é o tempo, em horas, a partir da observação inicial. Segundo esse modelo, o tempo, em horas, para que a quantidade de bactérias no objeto atinja 7.000, é dado por um número pertencente ao intervalo: (a) [99, 100] (c) [6, 7] (e) [1, 2] (b) [13, 14] (d) [3, 4]

RESOLUÇÕES | EXERCÍCIOS DE SALA

1

2

Alternativa: B. I e II. Falsas, pois como 2x e 4x são funções injetoras e têm imagem positiva, essas equações admitem uma única solução real cada. III. Falsa, pois como a imagem da função 5x é estritamente positiva, essa equação não admite solução real. IV. Verdadeira, pois 3x > 0, para todo x real. A população atual é de f(0) = 750 animais. Então: 750 = 375 2 750 ⋅ 2−( 0,05 )t = 375 f( t ) =

2−( 0,05 )t = 2−1 −(0, 05)t = −1 t = 20 anos

3

4

a) Como toda potência de expoente zero é igual a 1, temos que: f(0) = 1 – 6 + 8 = 3. b) Fazendo y = 2x na equação: 4x – 6 · 2x = 8 = 168, obtemos y2 – 6y – 160 = 0, cujas raízes são y = 16 ou y = –10. Então, como y > 0, de 2x = 16 obtemos x = 4. c) Com a mesma substituição na inequação 4x – 6 · 2x + 8 < 0, obtemos y2 – 6y + 8 < 0 ⇔ 2 < y < 4. Então, como 2 > 0, de 21 < 2x < 22 obtemos 1 < x < 2. Alternativa: C. 2x

5

Como 9 = 32, 4 = 22, 243 = 35 e 32 = 25, temos que:  2  ≤  2  . 3 3     2 Como a base está entre 0 e 1, temos: 2x ≥ 5. 3 Portanto: x ≥ 2,5 e o menor valor inteiro de x é 3.

MANUAL DO CADERNO MEDICINA I

61

Opcional 1: A população atual é de f(0) = 750 animais. Então: 750 f( t ) = = 375 2 750 ⋅ 2−( 0,05 )t = 375 2−( 0,05 )t = 2−1 −(0, 05)t = −1 t = 20 anos

Opcional 2: Alternativa: D.

Fazendo y = 3x, temos que y2 = (3x)2 = (32)x = 9x, e y2 – 12y + 27 = 0  y = 3 ou y = 9. Como 3x = 3, x = 1 e 3x = 9  x = 2, temos que a soma das soluções dessa equação é 1 + 2 = 3.

Opcional 3: Alternativa: D.

Do enunciado, devemos ter N(t) = 7.000. 500 · 2t = 7.000 2t = 14 Observando que 8 < 14 < 16 implica: 23 < 2t < 24 e que 2t é função crescente, pode-se concluir que: 3 < t < 4.

ANOTAÇÕES                                 

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