Mecanismos

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS. 1.1 Definiciones. 1.2 Clasificación de elementos y pares. 1.3 Grados de libertad de un mecanismo: criterio de Grübler. ‡ ‡

Problemas del Tema 1 Problemas adicionales del Tema 1

Bibliografía: Apuntes y Capitulo 2 del Norton. Referencias

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

1

1.1 Definiciones. ‡

‡

‡

Mecanismo: sistema mecánico compuesto por varios sólidos unidos de forma imperfecta, es decir, permitiendo el movimiento relativo entre si. „ Planos „ Tridimensionales Elemento: cada una de las partes móviles que constituyen el mecanismo; un elemento fijo es aquel que no puede moverse; normalmente, los elementos se consideran sólidos rígidos. Par cinemático: la forma de conexión o unión de dos elementos de un mecanismo. Permite algunos movimientos y restringe otros

‡

Cadena cinemática: conjunto de elementos enlazados entre si mediante pares cinemáticos. Puede ser: „ Abierta: en la cadena existe al menos un elemento que solo tiene un par „ Cerrada: La unión de cadenas cinemáticas simples puede dar lugar a otras más complicadas.

Cadena cerrada

Cadena abierta

Mecanismo Elemento Par cinemático

Cadena unión de las anteriores

Elemento fijo (suelo) TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

2

1.1 Definiciones. ‡

Movilidad de una cadena cinemática: número de parámetros necesario para definir la posición de una cadena cinemática.

y f1

yA xA ‡

f2

x

f3 Parámetros xA yA f1 f2 f3 Movilidad: M=5

Nueva definición de mecanismo: Cadena cinemática en la que uno de sus elementos se hace fijo.

Φ1

Φ2

Parámetros Φ1 Φ2 2 grados de libertad

Cadena cinemática

Φ1

Φ2

Parámetros Φ1 Φ2 2 grados de libertad TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.1 Definiciones. ‡

Grados de libertad de un mecanismo: número de parámetros necesario para definir la posición de un mecanismo. La relación entre movilidad de una cadena cinemática y los grados de libertad de aquellos mecanismos a que da lugar es, „ Mecanismos planos: G=M-3 „ Mecanismos espaciales: G=M-6 explicación: del mecanismo a la cadena cinemática se pasa liberando el elemento fijo, que tiene 3 grados de libertad en el plano y 6 grados de libertad en el espacio.

‡

Inversiones de una cadena cinemática: número de mecanismos distintos a los que da lugar. Se considera que dos mecanismos son distintos si lo son topológicamente, no dimensionalmente. „ La cadena de 4 barras tiene una única inversión, el cuadrilátero articulado plano.

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.1 Definiciones. ‡

Inversiones de una cadena cinemática: número de mecanismos distintos a los que da lugar. Se considera que dos mecanismos son distintos si lo son topológicamente, no dimensionalmente. „ La cadena de 4 barras tiene una única inversión, el cuadrilátero articulado plano. „ La cadena de Stephenson tiene tres inversiones: ‡ 1. Fijando los elementos 3 o 5. ‡ 2. Fijando los elementos 4 o 6. ‡ 3. Fijando los elementos 1 o 2.

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

2 1 4

5

3 6

5

1.1 Definiciones. ‡

Inversiones de una cadena cinemática: número de mecanismos distintos a los que da lugar. Se considera que dos mecanismos son distintos si lo son topológicamente, no dimensionalmente. „ La cadena de 4 barras tiene una única inversión, el cuadrilátero articulado plano. „ La cadena de Stephenson tiene tres inversiones. „ La cadena de Watt tiene dos inversiones ‡ 1. Fijando los elementos 3 o 4. ‡ 2. Fijando los elementos 1,2,5 o 6.

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1

2

4

3

5

6

6

1.2 Clasificación de elementos y pares. ‡

Clasificación de elementos „ En función del número de pares que posea: ‡ Unitario o monario ‡ Binario ‡ Ternario ‡ Cuaternario ‡ … pares „ Hay alguno elementos que reciben un nombre especial por su movimiento en el mecanismo ‡ Manivela, si da vueltas alrededor de un eje fijo ‡ Balancín, si oscila alrededor de un eje fijo ‡ Biela, si gira alrededor de un centro instantáneo de rotación Manivela

Biela

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1.2 Clasificación de elementos y pares. ‡

Clasificación de pares „ Por el número de grados de libertad que permiten „

Por el número de elementos que confluyen en el par

„

Además, ‡ Pares esclerónomos ‡ Pares reónomos

Clase II Cilíndrico Permite 2 gdl

Clase I ‡ ‡

‡ ‡

‡ ‡

Pares holónomos Pares no holónomos

De Revolución Permite 1 gdl

Perfectos Imperfectos Pares inferiores Pares superiores

Clase III Esférico Permite 3 gdl

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.2 Clasificación de elementos y pares. ‡

Clasificación de pares „ Por el número de grados de libertad que permiten.

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.2 Clasificación de elementos y pares. ‡

Clasificación de pares „ Por el número de grados de libertad que permiten.

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.2 Clasificación de elementos y pares. ‡

Clasificación de pares „ Por el número de grados de libertad que permiten „ Por el número de elementos que confluyen en el par

Binario

„

Ternario

Cuaternario

Ademas, ‡ Pares esclerónomos: el movimiento relativo que permiten es libre ‡ Pares reónomos: el movimiento relativo que permiten está en función del tiempo ‡

‡

‡ ‡

‡

‡

Pares holónomos: las restricciones que introducen dependen de las coordenadas y del tiempo Pares no holónomos: las restricciones que introducen dependen también de las velocidades. Pares perfectos: si las fuerzas de enlace no producen trabajo Pares imperfectos: en caso contrario Pares inferiores: contacto de superficie entre los elementos (revolución, prismático, cilíndrico, …) Pares superiores: contacto de línea o punto entre elementos (levas, engranajes, rodadura, …) TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.2 Clasificación de elementos y pares. ‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡

‡

Pares esclerónomos: el movimiento relativo que permiten es libre (par de revolución en un péndulo simple) Pares reónomos: el movimiento relativo que permiten está en función del tiempo (par de revolución en el mecanismo biela manivela de una motor [3]) Pares holónomos: las restricciones que introducen dependen de las coordenadas y del tiempo Pares no holónomos: las restricciones que introducen dependen también de las velocidades (par de rodadura) Pares perfectos: si las fuerzas de enlace no producen trabajo Pares imperfectos: en caso contrario Pares inferiores: contacto de superficie entre los elementos (revolución, prismático, cilíndrico, …) Pares superiores: contacto de línea o punto entre elementos (levas, engranajes, rodadura, …)

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.3 Grados de libertad de un mecanismo: criterio de Grübler ‡

Conocido el número de elementos y de pares de un mecanismo, el criterio de Grübler permite determinar el número de grados de libertad de un mecanismo.

‡

Caso plano: G=3(n-1)-2pI-pII Siendo n el nº de elementos, incluyendo el fijo pI los pares de clase I pII los pares de clase II

‡

Esta expresión se obtiene considerando todos los grados de libertad de los elementos móviles como si estuviesen libres, y restando después los que impiden los pares. Así, los pares de clase I restringen dos gdl por par y los de clase II restringen uno.

‡

Caso espacial: G=6(n-1)-5pI-4pII-3pIII-2pIV-pV

‡

Ejemplos (caso plano):

n=4 / pI=4 / pII=0

n=4 / pI=3 / pII=1

G=3(n-1)-2pI-pII=3(4-1)-2*4-0=9-8=1

G=3(n-1)-2pI-pII=3(4-1)-2*3-1=9-7=2

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.3 Grados de libertad de un mecanismo: criterio de Grübler

n=5 / pI=6 / pII=0 G=3(n-1)-2pI-pII=3(5-1)-2*6-0=12-12=0 ¡ Es una estructura ! ‡

n=6 / pI=7 / pII=0

G=3(n-1)-2pI-pII=3(6-1)-2*7-0=15-14=1 Excepciones „ Pares terciarios „ Posiciones singulares „ Configuraciones estructurales especiales ‡ Estructuras en mecanismos ‡ Mecanismos esféricos n=6 / pI=6 / pII=0 G=3(n-1)-2pI-pII=3(6-1)-2*6-0=15-12=3 ¡ falso ! Terciario

Dos binarios

El par terciario equivale a 2 binarios / pI=7 G=3(n-1)-2pI-pII=3(6-1)-2*7-0=15-14=1

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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1.3 Grados de libertad de un mecanismo: criterio de Grübler ‡

Excepciones „ Pares terciarios „ Posiciones singulares ‡ El criterio puede fallar sólo para ciertas posiciones del mecanismo, apareciendo grados de libertad infinitesimales.

G=0 „

G=1 Infinitesimal

G=1

G=2 Infinitesimal

Configuraciones estructurales especiales ‡ Estructuras en mecanismos ‡ Mecanismos esféricos

n=9 / pI=12 / pII=0 G=3(n-1)-2pI-pII=3(9-1)-2*12-0=24-24=0 n=5 / pI=6 / pII=0 G=3(n-1)-2pI-pII=3(5-1)-2*6-0=12-12=0 ¡ falso, hay 1 gdl ! El criterio falla debido a la especial configuración del mecanismo

¡ falso, hay 1 gdl ! El mecanismo de la dcha tiene 1 gdl y el de la izda es hiperestático de grado 1.El criterio falla debido a la especial distribución de barras.

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1.3 Grados de libertad de un mecanismo: criterio de Grübler ‡

Excepciones „ Pares terciarios „ Posiciones singulares „ Configuraciones estructurales especiales ‡ Estructuras en mecanismos ‡ Mecanismos planos considerados espaciales (ejes paralelos). ‡ Mecanismos esféricos: los ejes de los pares confluyen en un punto.

n=4 / pI=4 / pII=0

n=4 / pI=4 / pII=0

G=6(n-1)-5pI=6(4-1)-5*4=18-20=-2

G=6(n-1)-5pI=6(4-1)-5*4=18-20=-2

¡ falso, hay 1 gdl ! El criterio falla debido a la especial configuración del mecanismo, todos los ejes de los pares son paralelos.

¡ falso, hay 1 gdl ! El criterio falla debido a la especial configuración del mecanismo, todos los ejes se cortan en un punto.

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1.3 Grados de libertad de un mecanismo: criterio de Grübler ‡

Excepciones „ Pares terciarios „ Posiciones singulares „ Configuraciones estructurales especiales ‡ Estructuras en mecanismos ‡ Mecanismos planos considerados espaciales (ejes paralelos). ‡ Mecanismos esféricos: los ejes de los pares confluyen en un punto.

2

Junta de Cardan: transmite rotación entre ejes que se cortan. Fijadas estas direcciones, n=4 / pI=4 / pII=0 G=6(n-1)-5pI=6(4-1)-5*4=1820=-2

1

α

3

β

4

¡ falso, hay 1 gdl ! El criterio falla debido a la especial configuración del mecanismo, todos los ejes de los pares se cortan en un punto.

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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Problemas del Tema 1 ‡

Determinar el número de grados de libertad de cada mecanismo que se presenta aplicando el criterio de Gruebler [1].

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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Problemas del Tema 1 ‡

Determinar el número de grados de libertad de cada mecanismo que se presenta aplicando el criterio de Gruebler

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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Problemas del Tema 1 ‡

Determinar el número de grados de libertad de cada mecanismo que se presenta aplicando el criterio de Gruebler

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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Problemas del Tema 1 ‡

Determinar el número de grados de libertad de cada mecanismo que se presenta aplicando el criterio de Gruebler

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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Problemas del Tema 1 ‡

Por medio del mecanismo de la figura se consigue ajustar la longitud del recorrido de los pistones de un motor. Para cada pistón, la parte de abajo del elemento de control se ajusta a lo largo de una arco prescrito por la horquilla de control. La parte de arriba del elemento de control se une al elemento principal, que a su vez se conecta al eje central [2].

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Cigüeñal Elemento principal Pistón Biela Elemento de control Tornillo Tuerca de control Horquilla

TEMA 1. ANALISIS TOPOLOGICO DE MECANISMOS

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Problemas del Tema 1 ‡

‡

Cuando el elemento de control se halla próximo a la vertical, el elemento principal tiene restringido el movimiento horizontal y el resultado es un recorrido del pistón pequeño. Cuando se gira la tuerca de control el recorrido del pistón aumenta. El ángulo entre el elemento de control y el eje del cilindro varía entre 0 y 70 º; el recorrido del pistón varía entre 2.54 y 10.08cm. Dibujar el diagrama cinemático simplificado considerando el tornillo y tuerca como una deslizadera. Utilizar el criterio de Gruebler para hallar el número de grados de libertad del mecanismo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Cigüeñal Elemento principal Pistón Biela Elemento de control Tornillo Tuerca de control Horquilla

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Referencias ‡ ‡ ‡

[1] Diseño de mecanismos. Análisis y Síntesis. Arthur G. Erdman & George N. Sandor. Tercera Edición. Prentice Hall, isbn: 970-17-0163-1. [2] Poulkiot, H.N., W.R. Delameter. And C, W, Robenson, “ A Variable-Displacement Spark Engine,” SAE Paper No. 770114, 1977. [3] Mecánica del automóvil. JM Alonso Pérez.Paraninfo, 1996. isbn:84-283-1584-1

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