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Índice 1.1

Introdução ............................................................................................. 2

1.2

Operações Matriciais ............................................................................ 8

1.3

Operações de Vetores ou Array .......................................................... 10

1.4

Manipulação Matricial e Vetorial ....................................................... 13

1.5

Funções Matriciais .............................................................................. 20

1.6

Polinômios e Processamento de Sinais ............................................... 21

1.7

Funções de Funções ............................................................................ 23

1.8

Gráficos ............................................................................................... 28

1.9

Controles de Fluxo .............................................................................. 36

1.10

Arquivos M ......................................................................................... 39

1.11

Manipulação de Arquivos ................................................................... 46

1.12

Depuração ........................................................................................... 48

1.13

Toolbox de Matemática Simbólica ..................................................... 48

1.14

Toolbox de Sistema de Controle ......................................................... 59

1.1 Introdução Parte do material deste texto é uma adaptação livre dos próprios manuais disponíveis do MATLAB. MATLAB é um ambiente de computação técnica de visualização e processamento numérico de alto desempenho. Ele integra análise numérica, cálculo matricial, processamento de sinais, vários aplicativos e gráficos num ambiente amigável. O nome MATLAB é acrônimo de laboratório de matrizes. Ele foi originalmente escrito para permitir um acesso fácil aos programas de cálculo matriciais desenvolvidos pelos projetos LINSPACK e EISPACK, que juntos representavam o estado da arte em programas de cálculo matricial. MATLAB também contempla uma família de aplicativos específicos chamados “toolboxes” na forma de coleções de funções MATLAB, estendendo o ambiente MATLAB na solução de problemas particulares. Entre outros, temos os seguintes toolboxes: Processamento de Sinais; Identificação de Sistemas; Redes Neurais; Otimização etc. O MATLAB trabalha essencialmente com um tipo de objeto: Matriz retangular numérica (real ou complexa). Em algumas situações existe significado especial agregado à matrizes de dimensão 1 (escalares) e matrizes com uma só linha ou coluna (vetores). A linguagem MATLAB não usa declaração preliminar ou dimensionamento de variáveis. Isso é feito de forma automática. Matrizes podem ser adicionadas no ambiente de várias formas, contudo a forma mais simples para matrizes pequenas é entrando com a lista dos elementos, seguindo a seguinte convenção:   

Separe os elementos com espaços ou vírgulas. Delimite os elementos com colchetes [ ]. Use ; (ponto-e-vírgula) para indicar o final da linha.

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Introdução ao MATLAB

Exemplo:

» A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]

Resulta: A= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

Elementos de uma matriz podem ser quaisquer expressões MATLAB. Por exemplo:

» x = [ -1.3

sqrt(3)

(1+2+3)*4/5 ]

-1.3000

1.7321

Resulta: x= 4.8000

Elementos individuais podem ser referenciados pelo seu índice (linha,coluna). Veja o exemplo a seguir:

» x(5) = abs( x(1) )

Resulta: x= -1.3000

1.7321

4.8000

0

1.3000

Ao atribuir um valor numérico à x(5), automaticamente x(4) é criado com valor nulo. Você pode construir matrizes maiores usando matrizes menores como seus elementos. Por exemplo, vamos adicionar uma linha à matriz A:

» r = [ 10 11 12 ]; » A = [ A; r ]

Isto resulta em:

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Introdução ao MATLAB

A= 1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

Você pode extrair sub matrizes de uma matriz maior usando “:” (dois pontos). Por exemplo:

» A = A( 1:3 , : );

Remove as três primeiras linhas e todas as colunas da matriz atual A e coloca o resultado em A.

A= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

Variáveis e Declarações do MATLAB Declarações no MATLAB são frequentemente feitas da seguinte forma:

»

variável = expressão

ou simplesmente,

»

expressão

Quando o nome da variável é omitido, o nome ans é usado como variável default. Uma definição normalmente termina com ENTER. Se o último caracter é um ponto-e-vírgula, ele suprime a apresentação no vídeo, embora faça a

Introdução ao MATLAB

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atribuição da mesma forma. Isto é especialmente importante nas situações que o resultado é muito grande, tal como uma matriz de 10 linhas e 10 colunas. Se a expressão é muito grande e não cabe em uma linha, use (...) para continuar a definição na linha seguinte. Exemplo:

» s = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -1/6 + 1/7 ... - 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11 - 1/12;

Você pode formar uma variável ou nome de função com uma letra seguida de qualquer quantidade de letras ou traço-baixo (underscore). O MATLAB diferencia letras maiúsculas de minúsculas e usa somente os primeiros 19 caracteres do nome.

Obtendo Informação da Área de Trabalho (workspace) Para listar as variáveis ativas use o comando who. Para obter mais informações sobre as variáveis como: nome, tamanho, número de elementos, etc., use o comando whos.

O Utilitário de HELP O comando help produz informações resumidas sobre funções específicas ou sobre tópicos do MATLAB. Para listar um grupo de funções, digite help seguido do nome do grupo de funções. Exemplo:

» help matfun

Para obter auxílio sobre uma função específica digite help e o nome da função. Exemplo:

» help inv

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Para localizar palavras-chaves em todos os arquivos do MATLAB, use o comando lookfor. Exemplo:

» lookfor inverse ifft ifft2 ifftn ifftshift acos

- Inverse discrete Fourier transform. - Two-dimensional inverse discrete Fourier transform. - N-dimensional inverse discrete Fourier transform. - Inverse FFT shift. - Inverse cosine, result in radians.

Salvando e Saindo Para sair do MATLAB digite exit. Encerrando uma seção do MATLAB, apaga-se todas as variáveis da área de trabalho (workspace). Se for necessário, salve suas variáveis digitando save. Este comando salvará todas as variáveis em um arquivo chamado matlab.mat. Para recuperar as variáveis use o comando load. Você também pode salvar somente algumas variáveis e usar o nome de um arquivo qualquer. O exemplo a seguir salva as variáveis x, y e z no arquivo temp.mat. » save temp x y z

Números e Expressões Aritméticas O MATLAB usa notação convencional com potência de dez ou unidade complexa como sufixo: -4.534i 1.760217e-11

O MATLAB usa 16 dígitos significativos e expressões aritméticas são calculadas com a seguinte prioridade, de cima para baixo

^ \ / * +

potenciação divisão à esquerda divisão à direita multiplicação subtração adição

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Algumas funções internas retornam valores especiais. A função pi retorna o valor de , a função inf retorna , etc. O MATLAB dispões das funções matemáticas elementares normalmente encontradas em calculadores científicas. Essas funções incluem, por exemplo: abs, sqrt, log, sin. Se uma operação resultar em infinito isso não implica em erro, simplesmente aquela variável terá o valor infinito. O mesmo ocorre para operações inválidas como / ou 0/0. O resultado é NaN (Not a Number).

Formato de Saída Para alterar a formatação do número a ser apresentado na tela, utilize o comando format. Exemplos:

» x = [ 4/3 1.2345e-6 ] » format short 1.3333

0.0000

» format short e 1.3333e+00

1.2345e-06

Funções Grande parte do poder do MATLAB vem do enorme conjunto de funções. Algumas das funções são internas ao processador MATLAB e outras são disponíveis como bibliotecas externas na forma de M-files. O conjunto de funções aplicadas a uma área específica é denominado toolbox. Cada usuário pode criar suas próprias funções que se comportam como se fossem funções internas. As seções adiante discutem cada uma das diferentes categorias de funções analíticas do MATLAB básico. É possível combinar funções de várias formas. Exemplo:

» x = sqrt( log(z) )

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Algumas funções usam dois ou mais argumentos, e cada argumento pode ser uma expressão. Exemplo:

» angulo = atan2(y,3*x)

Existem funções que retornam dois ou mais valores. Nestes casos, os valores de saída devem estar entre colchetes [ ] e separados por vírgula. Exemplo:

» [ V, D ] = eig( A )

A função eig calcula os autovetores e os autovalores de A, respectivamente.

1.2 Operações Matriciais Transposta de uma Matriz O caracter ' (apóstrofe) denota transposta de uma matriz. Se z for complexo, z' é o transposto conjugado complexo de z. Exemplo:

» A = [ 1 2; 3 4 ] A= 1 2 3 4

» B = A' B= 1 2

3 4

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Adicionando e Subtraindo Matrizes Os símbolos + e - denotam adição e subtração de matrizes. Portanto, a operação é definida se as matrizes têm a mesma dimensão. Exemplo:

» C=A+B C= 2 5

5 8

A adição e subtração são definidas também para o caso que um dos operandos é um escalar. Exemplo:

» D=C-2 D= 0 3

3 6

Multiplicação de Matrizes O símbolo * denota multiplicação de matrizes e é válida sempre que dimensões internas dos dois operandos forem iguais. Exemplo:

» E=A*B E= 5 11

11 25

Naturalmente, um escalar (matriz de dimensão 1) pode multiplicar ou ser multiplicado por qualquer matriz. Exemplo:

» F = 2*E F= 10 22

22 50

10

Introdução ao MATLAB Divisão de Matrizes Existe dois símbolos de divisão de matrizes: / e \. Os significados são: X = A\B é solução do sistema A*X = B X = B/A é solução do sistema X*A = B

Funções Elementares e Transcendentais O MATLAB considera expressões como exp(A) e sqrt(A) como operação sobre cada um dos elementos de um vetor (linha ou coluna). Existem funções para calculo de funções transcendentais de matrizes, quando essas são quadradas. Exemplos:   

expm logm sqrtm

exponencial de uma matriz logaritmo de uma matriz raiz quadrada de uma matriz

Outras funções elementares sobre matrizes incluem:   

poly det trace

polinômio caraterístico determinante traço

1.3 Operações de Vetores ou Array Refere-se às operações com vetores ou array as operações aritméticas realizadas elemento a elemento ao invés da operação matricial algébrica usual definida pelos símbolos * \ / ^ e '. Para indicar que a operação é elemento-aelemento usa-se um ponto (.) antes do símbolo da operação.

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Introdução ao MATLAB Somando e Subtraindo Arrays

Para a adição e subtração, as operações de arrays e as de matrizes são as mesmas. Neste caso + e - podem ser usados sem o ponto.

Multiplicando e Dividindo Arrays O símbolo .* denota multiplicação elemento-a-elemento. Se A e B têm mesma dimensão, então A.*B resulta num array cujos elementos são o produto dos elementos individuais de A e de B. Exemplo:

» x = [1 2 3]; y = [4 5 6]; » z = x.*y z= 4 10 18

A expressão A./B e A.\B resulta no quociente de cada elemento. Exemplo:

» z = x.\y z= 4.0000

2.5000

2.000

Usando Potenciação com Arrays O símbolo .^ denota potenciação elemento-a-elemento. Exemplo:

» z = x.^y z= 1

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729

Operadores Relacionais Para se comparar matrizes de dimensões idênticas, existem operadores relacionais:

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Introdução ao MATLAB

< <= > >= == ~=

menor menor ou igual maior maior ou igual igual diferente

O MATLAB compara os pares de elementos correspondentes. O resultado é uma matriz de "uns" e "zeros", onde "um" representa "verdadeiro" e "zero" representa "falso". Exemplo:

» 2 + 2 ~= 4 ans = 0

O exemplo abaixo, ilustra como encontrar os elementos da matriz A que são divisíveis por 3:

» A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]; » G = rem(A,3); » P = (G == 0) P= 0 0 1 1 0 0 0 1 0

A função rem(A,3) retorna a matriz dos restos da divisão por 3. Cada um dos elementos de G informa se a operação relacional é falsa (0) ou verdadeira (1). A função find é muito usada em conjunto com operadores relacionais. O exemplo abaixo ilustra como localizar todos os elementos de Y que são maiores que 3 e substituí-los por 10.

» Y = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]; » i = find(Y > 3.0); » Y(i) = 10*ones(size(i));

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Introdução ao MATLAB Operadores Lógicos

Os operadores &, |, e ~ são os operadores lógicos "e", "ou" e "não" respectivamente. As funções any e all são muito utilizadas em conjunto com operadores lógicos. A função any(x) retorna "1" se qualquer elemento de x for não nulo e retorna "0" caso contrário. A função all(x) retorna "1" somente se todos os elementos de x são não nulos. Essas funções são particularmente úteis na declaração de um comando if.

if all(A < 0.5) faça alguma coisa end

Funções Matemáticas Um conjunto de funções matemáticas elementares são aplicáveis elemento-a-elemento. Exemplo:

» A = [ -1 2 -3; 4 -5 6]; » B = abs(A) B= 1 2 4 5

3 6

1.4 Manipulação Matricial e Vetorial A capacidade de indexação do MATLAB permite manipulação de linhas e colunas, elementos individuais e submatrizes de matrizes. Os vetores são o ponto central da indexação e eles são gerados com o uso de “:” (dois pontos). Gerando Vetores A declaração abaixo ilustra a criação de um vetor usando (:) dois pontos:

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Introdução ao MATLAB » x = 1:5 x= 1

2

3

4

5

Você pode também criar o vetor com incrementos diferentes da unidade. No exemplo a seguir o passo é de /4. » y = 0 : pi/4 : pi y= 0.0000 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416 » z = 6: -1 : 1 z= 6 5 4 3 2 1

A uso de (:) permite a criação rápida de tabelas como ilustrado a seguir:

» x = (0 : 0.2 : 3)'; » y = exp(-x) .* sin(x); » [x y] ans = 0 0 0.2000 0.1627 0.4000 0.2610 0.6000 0.3099 0.8000 0.3223 1.0000 0.3096 1.2000 0.2807 1.4000 0.2430 1.6000 0.2018 1.8000 0.1610 2.0000 0.1231 2.2000 0.0896 2.4000 0.0613 2.6000 0.0383 2.8000 0.0204 3.0000 0.0070

Existem outras funções para a geração de vetores tal como logspace que gera um vetor espaçado logaritmicamente: » w = logspace(-1,1,5) w = 0.1000 0.3162

1.0000

3.1623 10.0000

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Introdução ao MATLAB

Indexando Elementos individuais de matrizes podem ser referenciados inserindo seus índices de linha e coluna entre parênteses. Se uma expressão for usada como índice, o índice é aproximado paro o inteiro mais próximo.

» A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; » A(3,3) = A(1,3) + A(3,1) A= 1 2 3 4 5 6 7 8 10

Usando (:) dois pontos, podemos indexar todas as linhas ou colunas ou uma parte:

» A(:,1) A= 1 4 7 » A(2:3,1:2) A= 4 7

5 8

O exemplo a seguir mostra como fazer referência explícita a algumas linhas ou colunas. Colocam-se os números das linhas e colunas dentro de colchetes:

» A( [1 3], [1 3] ) A= 1 3 7 10

Um outro uso para os dois pontos (:) é no empilhamento das colunas de uma matriz qualquer. No caso de vetores, obteremos sempre o vetor coluna:

Introdução ao MATLAB

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» A = [1 2; 3 4; 5 6]; » B = A(:) B= 1 2 3 4 5 6

Usando Vetores de 0 e 1 na Indexação Você pode usar vetores de "uns", usualmente criados a partir de operadores relacionais no referenciamento de submatrizes. Suponha que A é uma matriz de dimensão m-por-n e L um vetor linha de "zeros" e "uns" de dimensão m. Então,

» A(L,:)

especifica as linhas de A cujos elementos de L são não nulos. Ou seja, os uns de L apontam para as linhas de A. O exemplo a seguir mostra como extrair de X as linhas cuja terceira coluna é maior ou igual a 100.

» L = X(:,3) > 100; » Y = X(L,:);

Matrizes vazias A declaração,

» X=[]

atribui a matriz de dimensão zero-por-zero à X, sendo possível usar a variável X em cálculos. Criar a matriz X vazia é diferente do que apagar a variável X com o comando clear X. Com o uso de matrizes vazias é possível remover linhas e

Introdução ao MATLAB

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colunas de uma matriz, como mostra o exemplo a seguir que apaga as colunas 2 e 4 da matriz A:

» A( :, [2 4] ) = [ ]

Matrizes Especiais Existe uma coleção de funções que geram matrizes que são normalmente encontradas nos problemas de álgebra linear e processamento de sinais. Exemplos:           

compan - gera a matriz a partir do polinômio caraterístico diag - matriz diagonal pascal - constrói o triângulo de Pascal zeros - matriz de "zeros" ones - matriz de "uns" eye - matriz identidade logspace - vetores espaçados logaritmicamente linspace - vetores espaçados linearmente rand - elementos randômicos uniformemente distribuídos randn - elementos randômicos normalmente distribuídos etc ...

Construindo Matrizes a partir de Matrizes É possível formar matrizes maiores a partir de matrizes menores, envolvendo as matrizes menores entre colchetes. Por exemplo, se A é uma matriz quadrada,

» C = [ A A'; ones(size(A)) A.^2 ]

cria a matriz C com o dobro do tamanho de A. Note que na construção de matrizes usando matrizes, as dimensões das matrizes menores devem ser compatíveis ou então aparecerá uma mensagem de erro.

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Análise de Dados Esta seção apresenta uma introdução à análise de dados usando o MATLAB. Técnicas mais poderosas estão disponíveis usando funções de álgebra linear e funções de processamento de sinais na seção 1.6 (polinômios e processamento de sinais). Convenção Por convenção, as diferentes variáveis em um conjunto de dados são colocadas em colunas, permitindo observação vertical dos dados através das linhas. Portanto, um conjunto de dados de 50 amostras de 13 variáveis é armazenado numa matriz de dimensão 50-por-13. O conjunto de dados armazenados na matriz count será usado para ilustrar o uso de algumas funções

» count = [ 11 43 38 61 12

57 178 163 420 59

291 1011 1095 2407 287 ]

Para esse exemplo temos 5 observações para 3 variáveis. Isso pode ser obtido como segue:

» [n,p] = size(count) n= 5 p= 3

Um grupo de funções (abaixo) confere a capacidade de análise de dados básica:  max - máximo valor  min - mínimo valor  mean - valor médio  median - mediana

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Introdução ao MATLAB          

std sort sum prod cumsum cumprod diff corrcoef cov var

- desvio padrão - ordenação - soma dos elementos - produto dos elementos - soma cumulativa dos elementos - Produto cumulativos dos elementos - Aproximação numérica da derivada - Coeficientes de correlação - Matriz de covariância - Variância

Para argumentos vetoriais não faz diferença se o vetor é linha ou coluna. Para arrays as funções são orientadas por colunas. Continuando com o exemplo anterior, as declarações abaixo

» mx = max(count) » mu = mean(count) » sigma = std(count)

resultam em: mx = 61

420

2407

mu = 1.0e+003 * 0.0330

0.1754

1.0182

sigma = 21.4126 147.9503 865.7639

Ajuste de Curvas Uma das alternativas possíveis no MATLAB para encontrarmos os coeficientes de p(x) a partir de dados tabelados é através da função polyfit, onde n é o grau do polinômio.

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Introdução ao MATLAB

px  c1x d  c2x d 1    cn A sintaxe usada é a seguinte, onde x é a abscissa, p o valor da função para cada x(i) e n o grau do polinômio. » c = polifit(x,p,n)

1.5 Funções Matriciais Autovalores e Autovetores Se A é uma matriz n-por-n, os n números  que satisfazem a equação Ax = x, são os autovalores de A. Eles são encontrados usando

» eig(A)

Se o comando for usado com dois parâmetros de saída, obteremos os autovalores em D e os autovetores em X: » [X,D] = eig(A)

Norma, Posto e Condicionamento As funções MATLAB que calculam a norma, posto e número de condicionamento de uma matriz são:    

cond norm rank rcond

- número de condicionamento usando norma-2 - norma-1, norma-2, norma-F e norma- - posto da matriz - estimativa do condicionamento

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1.6 Polinômios e Processamento de Sinais O MATLAB possui funções para manipulação polinomial e para o processamento digital de sinais. Essas funções operam primordialmente com vetores. Representação de Polinômios O MATLAB representa polinômios como vetores linha contendo os coeficientes ordenados em ordem decrescente dos expoentes. Por exemplo, o polinômio característico de

A= 1 4 7

2 5 8

3 6 0

é » p = poly(A) p= 1 -6 -72 -27

Esta é a representação MATLAB do polinômio s3  6s2  72s  27. As raízes dessa equação são

» r = roots(p) r= 12.1229 -5.7345 -0.3884

Essas raízes são os mesmos que os autovalores da matriz A. Você pode reconstruir o polinômio original com a função poly

» p2 = poly(r) p2 = 1 -6 -72 -27

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Introdução ao MATLAB

Considere os polinômios a(s)  s2  2s  3 e b(s)  4s2  5s  6 . O produto dos polinômios é a convolução dos seus coeficientes

» a = [1 2 3]; b = [4 5 6]; » c = conv(a,b) c= 4 13 28 27 18

Você pode utilizar a convolução inversa para dividir dois polinômios, e no caso do exemplo, obter b novamente.

» [q,r] = deconv(c,a) q= 4 5 6 r= 0 0 0 0 0

A lista de funções de polinômios inclui:         

poly roots polyval polyvalm conv deconv residue polyder polyfit

- polinômio característico - raízes de um polinômio - cálculo do valor numérico do polinômio - cálculo do polinômio de matrizes - multiplicação (convolução) - divisão (deconvolução) - expansão em frações parciais - derivada do polinômio - ajuste polinomial de curva

Processamento de Sinais Vetores são usados, por exemplo, para armazenar sinais de dados amostrados, ou seqüências, para o processamento dos sinais. Para sistemas com múltiplas entradas, cada linha da matriz corresponde a uma amostra. O MATLAB básico contém as funções a seguir, enquanto que o Signal Processing Toolbox contém muitas funções adicionais.

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Introdução ao MATLAB           

abs angle conv deconv fft ifft fftshift fft2 ifft2 fftshift conv2

- magnitude complexa - ângulo de fase - convolução - deconvolução - transformada rápida de Fourier - transformada rápida inversa de Fourier - alterna quadrantes de matrizes - FFT de duas dimensões - FFT inversa de duas dimensões - rearranja os resultados da FFT - convolução de duas dimensões

Filtragem de Dados A função,

» y = filter(b,a,x)

filtra os dados do vetor x com o filtro descrito pelos vetores a e b, criando o dado y filtrado. x

H(z)

y

A estrutura do filtro é dada a seguir pela sua função de transferência de tempo discreta H ( z) 

Y ( z ) b(1)  b(2) z 1    b(nb) z  ( nb1)  X ( z) 1  a(2) z 1    a(na) z  ( na1)

1.7 Funções de Funções A classe de funções MATLAB para cálculo que não é sobre matrizes numéricas, mais sim com funções matemáticas é aqui designada por funções de funções (funfun) e incluem:

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Introdução ao MATLAB

   

Integração Numérica Equações não lineares e Otimização Solução de Equações Diferenciais etc

Para o uso das funções de funções, é usual representar as funfun através de arquivos-M (M-files). Por exemplo, a função f (x ) 

1 1  6 2 (x  0,3)  0,01 (x  0,9)2  0,04

foi codificada num arquivo com extensão .m, por exemplo chamado humps.m, cuja listagem é mostrada a seguir: % listagem do arquivo humps.m function y = humps(x) y = 1./((x-.3).^2 + .01) + 1./((x-.9).^2 + .04) - 6; end

O gráfico dessa função é obtido como segue » x = -1:.01:2; » plot(x,humps(x)) 100

80

60

40

20

0

-20 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

25

Introdução ao MATLAB Integração Numérica

Uma função, tal como humps, pode ser integrada numericamente pelo processo chamado de quadratura que é uma funfun denomindada quad. Exemplo:

» q = quad('humps',0,1) q= 29.8583

A maioria das funções de funções permite que se use o @ em vez de colocar o nome da função entre aspas simples. » q = quad(@humps,0,1) q= 29.8583

Note que o primeiro argumento da função quad é o nome de uma função. Isso mostra porque essa função é chamada função de função (é uma função que opera com outras funções). Os outros dois argumentos são os limites de integração.

Equações Não Lineares e Funções de Otimização No MATLAB básico encontramos algumas funções para a manipulação de equações não lineares e para otimizações. Exemplos:  

fminsearch fzero

- mínimo de uma função multivariável - zero de uma função de uma variável

Continuando com o exemplo definido pela função humps.m, a localização do mínimo da função na região de 0.5 a 1 é calculada com fminsearch:

26

Introdução ao MATLAB » xm = fminsearch('humps',0.5, 1) xm = 0.6370

e o seu valor no mínimo é

» y = humps(xm) y= 11.2528

A localização do zero da função que está próximo de x = 0 e de x = 1 é,

» xz1 = fzero('humps',0) xz1 = -0.1316 » xz2 = fzero('humps',1) xz2 = 1.2995

No Optimization Toolbox há inúmeras outras funções como, por exemplo,        

fgoalattain fmincon fminsearch fsolve fzero fminimax linprog quadprog

- otimização de metas - minimização com restrições - minimização sem restrições - solução de equações algébricas não lineares - busca de zeros - solução do problema minimax - programação linear - programação quadrática

Equações Diferenciais Duas das funções disponíveis para a solução de equações diferenciais ordinárias são:  

ode23 ode45

- método Runge-Kutta de ordem baixa - método Runge-Kutta de ordem média

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Introdução ao MATLAB

Considere a equação diferencial de segunda ordem conhecida como equação de Van der Pol.

x  (x 2  1)x  x  0 Esta equação pode ser escrita como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem

x1  x1 (1  x22 )  x2 x 2  x1 O primeiro passo para simular este sistema é criar um arquivo que contem este sistema de equações diferenciais. Chamaremos este arquivo de vdpol.m function xponto = vdpol(t,x) xponto(1,1) = x(1).*(1-(x(2).^2))-x(2); xponto(2,1) = x(1); end

Para simular a equação diferencial no intervalo 0  t  20, use a função ode23.

» » » »

t0 = 0; tf = 20; x0 = [0 0.25]'; [t,x] = ode23( 'vdpol', [t0 tf], x0 ); plot(t,x)

% condições iniciais

3

2

1

0

-1

-2

-3 0

5

10

15

20

28

Introdução ao MATLAB

Para a solução numérica de equações diferenciais recomenda-se também o SIMULINK que é uma extensão gráfica do MATLAB para a simulação de equações diferenciais.

1.8 Gráficos O sistema gráfico do MATLAB oferece uma variedade de técnicas sofisticadas para representar e visualizar dados. São funções gráficas em 2-D e 3-D. Gráficos 2-D O MATLAB fornece uma variedade de funções para a visualização de dados em duas dimensões (2-D). Funções Gráficas Elementares A lista abaixo sumariza as funções gráficas básicas. Elas diferem apenas na escala dos eixos. Cada entrada pode ser um vetor ou uma matriz e as escalas são ajustadas automaticamente para acomodar os dados de entrada.          

plot loglog semilogx semilogy title xlabel ylabel text gtext grid

Criando um Gráfico

- gráfico de vetores ou de colunas de matrizes - escala logarítmica nos dois eixos - escala logarítmica no eixo x e linear em y - escala logarítmica no eixo y e linear em x - adiciona um título ao gráfico - adiciona um nome ao eixo x - adiciona um nome ao eixo y - mostra um texto na posição especificada - coloca o texto no gráfico usando o mouse - coloca linhas de grid

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Introdução ao MATLAB

Se y é um vetor, plot(y) produz um gráfico linear dos elementos de y em função do indexador de y. Se você especificar dois vetores como argumentos, plot(x,y) produz um gráfico de y versus x. Você pode também especificar vários conjuntos de dados e definir o estilo da linha e sua cor para cada conjunto de dados, tudo isso num mesmo comando:

» » » » » » » »

t = 0:pi/100:2*pi; x = sin(t); y1 = sin(t + 0.25); y2 = sin(t + 0.5); plot(x,y1,'r-',x,y2,'g--') title('Defasagem') xlabel('x=sin(t)') ylabel('y=sin(t+)')

Defasagem 1 0.8 0.6 0.4 0.2 y=sin(t+)

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0

0.5

1

x=sin(t)

Estilos de Linhas, Marcadores e Cores Tal como se mostrou no exemplo anterior, você pode passar um caractere como um argumento à função plot para especificar um dos vários estilos de

30

Introdução ao MATLAB

linha, símbolos e cores. Na declaração plot(X,Y,S), S é uma string de 1, 2 ou 3 caracteres (delimitados por apóstrofes) com as funções definidas pela tabela a seguir. Se você não especificar uma cor, ele usa as cores da tabela automaticamente.

Símbolo y m c r g b w k

Cor amarela magenta ciano vermelha verde azul branca preta

Símbolo . o x + * : -. -s d v ^ < > P h

Linha ponto círculo marca x marca + marca * sólida pontilhada traço-ponto tracejada quadrado diamante triângulo (p/ baixo) triângulo (p/ cima) triângulo (p/esquerda) triângulo (p/diereita) pentragrama hexagrama

Adicionando Linhas num Gráfico Existente Você pode adicionar outras curvas em um gráfico que já foi construído usando o comando hold. Quando você seleciona hold on, o MATLAB não remove as linhas atuais, ao invés disso ele adiciona as linhas atuais ao gráfico atual. O que ele pode fazer é mudar a escala dos eixos automaticamente se os novos dados não se acomodarem dentro da escala anterior. Exemplo:

31

Introdução ao MATLAB

» » » » »

plot(x) hold on plot(y1,'--') plot(y2,'-.') hold off

Resulta, 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

50

100

150

200

250

Dados Imaginários e Complexos Quando os argumentos da função plot são complexos, isto é, eles têm parte imaginária diferente de zero, a parte imaginária é ignorada exceto quando plot é usado com um único argumento. Nesta situação, o comando é um comando gráfico resumido da parte real versus a parte imaginária. Portanto, plot(z), quando z é um vetor ou matriz complexa, é equivalente à, plot(real(z),imag(z)). Para ilustrar isso, o exemplo a seguir usa a distribuição dos autovalores de uma matriz 20-por-20 randômica: » plot(eig(randn(20,20)),’x’)

32

Introdução ao MATLAB Distribuição de Autovalores 4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4 -4

-2

0

2

4

6

Exibindo Gráficos de Matrizes A função plot pode ter um único argumento, como plot(Y). Ela desenha uma curva para cada coluna de Y. O eixo x é formado pelo índice de cada linha. Se X e Y são matrizes, plot(X,Y) exibe o gráfico das colunas de X versus colunas de Y. X = 0:pi/50:2*pi; Y = sin(X); Z = cos(X); W = log(X); A = [Y' Z' W']; plot(A)

» » » »

Resulta, 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 0

20

40

60

80

100

120

33

Introdução ao MATLAB Importando Dados

Você pode importar e exibir o gráfico de dados gerados fora do MATLAB. Suponha você tenha um arquivo chamado dados.dat contento valores de duas funções e da variável independente: 2.3 3.1 4.5 5.6 4.8 4.7 4.4 4.0 4.2

1.0 1.9 2.2 2.6 3.5 4.7 5.3 6.0 7.1

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

O comando load dados.dat produz uma matriz chamada dados, 9-por-3. A seguir, mostra-se como renomear cada uma das variáveis e como exibir o gráfico de cada função separadamente. load dados.dat F1 = dados(:,1); F2 = dados(:,2); X = dados(:,3); subplot(211), plot(X,F1) subplot(212), plot(X,F2)

» » » » » »

Resulta, 6 5 4 3 2 0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

8 6 4 2 0

34

Introdução ao MATLAB

Funções Gráficas Especializadas em 2-D O MATLAB inclui uma variedade de funções especializadas, conforme descrito resumidamente a seguir.           

bar compass errorbar feather fplot hist polar quiver rose stairs fill

- gráfico de barras - gráfico de ângulos com setas - gráfico de barras de erros - gráfico de ângulos - calcula e exibe o gráfico de uma função - cria um histograma - gráfico em coordenadas polares - cria um gráfico de um gradiente - histograma em ângulo - gráfico similar ao de barras sem linhas internas - desenha um polígono e preenche o interior

Gráfico de Funções Matemáticas Você pode exibir o gráfico de uma função, y  f (x) . A solução pela força bruta é calcular a função para algumas centenas de pontos no intervalo de interesse. Por exemplo, a função a seguir oscila com freqüência tendendo para infinito quando x  0,5.

» x = (0:1/2000:1)'; » plot(x,cos(tan(pi*x)))

Resulta,

35

Introdução ao MATLAB y = c o s ( t a n ( p i* x ) )

1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1 0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

No exemplo, a função é exibida no intervalo [0,1]. Neste caso, a função fplot é mais efetiva para obtermos a representação gráfica da função, pois ela escolhe automaticamente uma quantidade maior de pontos na faixa que é necessário maior resolução gráfica. Para usar a função fplot, primeiro crie um arquivo que conterá a função a ser exibida por meio de um gráfico, por exemplo com o nome fofx.m

function y = fofx(x) y = cos(tan(pi*x)); end

Agora basta passar o nome da função como argumento de fplot.

» fplot('fofx',[0 1], 25,20,10)

Resulta,

36

Introdução ao MATLAB y = cos(tan(pi*x))

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gráficos 3-D O MATLAB oferece uma variedade de funções para a visualização de dados em 3-D. Contudo, não faremos um detalhamento, visto que o assunto é longo e pouco interessante para os nossos objetivos.

1.9 Controles de Fluxo O MATLAB possui declarações para controle de fluxo tal como aqueles encontrados na maioria das linguagens de computador. O controle de fluxo torna o MATLAB mais do que uma calculadora científica, permitindo que seja usado como uma linguagem de programação de alto nível completa. FOR O MATLAB possui a sua versão própria dos loops DO ou FOR. Com isso é possível repetir um grupo de declarações por um número predeterminado de vezes. Por exemplo,

» for i = 1:n, x(i) = 0, end

Introdução ao MATLAB

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impõe o valor "0" para todos os primeiros n elementos de x. Se n é menor que "1", a construção ainda é permitida, mas as declarações internas ao loop não são executadas. Se x não existe ou tem menos elementos que x, então espaços adicionais são alocados automaticamente. Você pode criar loops dentro de loops e pode fazer as declarações diretamente no prompt do MATLAB, embora o uso de um M-file seja recomendado nestes casos.

» for i = 1:1:m » for j = 1:1:n » A(i,j) = 1/(i+j-1); » end » end » A

A expressão do for é usualmente do tipo m : i : n, onde m é o valor inicial, n o final e i o incremento, sendo que esse pode ser negativo.

WHILE Tal como o for, a declaração while também é para realizar um grupo de declarações um certo número de vezes. A diferença básica é que no while, o controle do loop é feito por uma condição lógica. Para ilustrar, vamos resolver um problema: Qual é o primeiro inteiro n para o qual n! (fatorial de n) é um número de 100 dígitos ?

» n = 1; » while prod(1:n) < 1.e100, n = n+1; end » n

A função prod realiza os produtos dos elementos do argumento. Logo, prod(1:n) é o fatorial de n.

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IF e BREAK Os exemplos a seguir ilustram a utilização da declaração if. O primeiro exemplo mostra como um cálculo pode ser dividido em três casos dependendo do sinal e da paridade de n.

if n < 0 A = -1; elseif rem(n,2) == 0 A=0 else A=1 end

O segundo exemplo envolve um problema não resolvido da teoria dos números: "Pegue um número inteiro. Se ele for par, divida por dois; se for impar, multiplique ele por 3 e some 1. Repita esse processo até que o inteiro seja igual a um. O problema é saber se existe algum inteiro para o qual o processo nunca termina". Este programa MATLAB ilustra as declarações while e if. Também é mostrado o uso da função input que interrompe a execução para a entrada de dados e da declaração break que permite interromper um loop.

% Problema clássico "3n+1" da teoria dos números while 1 n = input('Entre com n [negativo aborta] = '); if n <= 0, break, end while n > 1 if rem(n,2) == 0 n = n/2 else n = 3*n+1 end end end

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1.10 Arquivos M A maneira mais simples de se usar o MATLAB é no modo de comando. Quando você entra com uma linha de comando, ele processa e imediatamente mostra o resultado. O MATLAB também pode executar uma sequência de comandos que está armazenada num arquivo. Os arquivos que contém declarações MATLAB são chamados M-files porque usam a extensão “.m”. Por exemplo, o arquivo bessel.m contém declarações MATLAB para o cálculo de funções Bessel. Um M-file consiste de uma sequência de declarações MATLAB normais, podendo incluir referencias a outros M-files. Um M-file pode chamar ele próprio de forma recursiva. Você pode criar um M-file usando um editor de texto tal como o Bloco de Notas do Windows, ou outro qualquer. Dois tipos usuais de M-files são: lotes (scripts) e funções (functions). Arquivos scripts automatizam uma sequência de comandos. Arquivos de função permitem criar novas funções às existentes. Ambos, scripts e funções são arquivos texto tipo ASCII.

Arquivos Scripts O exemplo a seguir ilustra como calcular os primeiros 16 números de Fibonacci usando um arquivo script. Suponha que o nome do arquivo seja fibno.m. Digitando fibno (sem a extensão) no prompt do MATLAB, faz com os comandos contidos no arquivo sejam executados. Note que depois da execução do programa as variáveis f e i permanecem na área de trabalho (workspace) do MATLAB. Verifique isso com who. Isso acontece porque os scripts operam globalmente com dados no workspace. Os demos fornecidos junto como MATLAB são bons exemplos de como usar scripts para realizar tarefas mais complexas. Para chamar os demos digite demo no prompt do MATLAB.

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% M-file (script) para calcular números de Fibonacci menores de 1000 f = [ 1 1]; i = 1; while f(i) + f(i+1) < 1000 f(i+2) = f(i) + f(i+1); i = i + 1; end plot(f)

Arquivos de Funções

Um M-file que contém a palavra function no início da primeira linha é um arquivo de função. Uma função difere de um script no fato de que argumentos podem ser passados; variáveis definidas e manipuladas no arquivo são locais à função e não operam globalmente no workspace. A função listada a seguir tem o nome media1.m.

function y = media1(x) % calculo da média % soma / m % inicio do programa [m,n] = size(x); if m == 1 m = n; end y = sum(x) / m; end

Por exemplo, se z é um vetor de inteiros de 1 a 99, sua média pode ser calculada como segue:

» z = 1:99; » media1(z) ans = 50

Introdução ao MATLAB

41

A seguir, descreve-se alguns detalhes de mean.m:    



A primeira linha declara o nome da função, os argumentos de entrada e os de saída. Sem esta linha, o arquivo é um script ao invés de função; O símbolo % indica que o resto da linha é um comentário e deve ser ignorado; As primeiras linhas documentam um M-file e são mostradas quando pedimos help media1; As variáveis m, n e y são locais à função e não existem no workspace depois que do término da função. (Caso a variável já existisse antes da chamada de media1, ela continuaria existindo depois e inalterada); Não foi necessário colocar os inteiros de 1 a 99 numa variável chamada x. De fato, nós usamos media1 com uma variável chamada z. O vetor z foi passado ou copiado dentro da função onde ela tornou-se uma variável local chamada x.

Você pode criar uma função um pouco mais complexa que media1, chamada stat, que também calcula o desvio padrão. Neste exemplo ilustramos o uso de múltiplos argumentos de saída.

function [mean,stdev] = stat(x) [m,n] = size(x); if m == 1 m = n; end mean = sum(x) / m; stdev = sqrt(sum(x.^2)/m - mean.^2); end

Uma função que calcula o posto de uma matriz usa múltiplos argumentos de entrada: No caso geral teríamos múltiplos argumentos de entrada e de saída.

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function r = rank(x,tol) % rank (posto em Português) da matriz s = svd(x); if (nargin == 1) tol = max(size(x)) * s(1) * eps; end r = sum(s > tol); end

Este exemplo também mostra o uso da variável permanente nargin para encontrar o número de argumentos de entrada. A variável nargout, embora não usada neste exemplo, contém o número de argumentos de saída. Criando um Help para Seus Arquivos Pessoais você pode criar um help online para os seus M-files pessoais entrando o texto em uma ou mais linhas de comentário, começando sempre pela segunda linha do arquivo. Por exemplo, o arquivo da função angle,

function p = angle(h) % % % % % % % %

ANGLE Phase angle. ANGLE(H) returns the phase angles, in radians, of a matrix with complex elements. Class support for input X: float: double, single See also ABS, UNWRAP.

% Copyright 1984-2010 The MathWorks, Inc. % $Revision: 5.7.4.2 $ $Date: 2010/04/21 21:31:19 $ p = atan2(imag(h), real(h));

têm 8 linhas contíguas de comentário a partir da segunda linha. Quando digitamos help angle, todo esse bloco é mostrado. O mecanismo de help ignora linhas de comentário que aparecem mais a frente, depois de uma declaração ou mesmo uma linha em branco.

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Informações Úteis Quando você chama uma função pela primeira vez, o MATLAB compila a função e a coloca na memória. Ela estará então disponível para os usos subsequentes sem a necessidade de ser compilada. Permanecerá na memória até o final da seção ou até que você fique com pouca memória, acarretando na sua eliminação automática. O comando what mostra uma listagem dos M-files no diretório atual do disco. O comando type lista os M-files. De uma maneira geral, quando você digita um nome de algo no MATLAB, por exemplo, whoopie, o interpretador do MATLAB executa os seguintes passos:

1. 2. 3. 4.

Procura por whoopie como variável; Verifica se whoopie é uma função interna; Procura um o arquivo whoopie.m no diretório atual; Procura um o arquivo whoopie.m nos diretórios especificados pelo path do MATLAB.

INPUT e PAUSE A função input permite obter dados do usuário. por exemplo,

n = input('Entre com o valor de n = ')

interrompe a execução, mostra a frase na tela, espera, e então atribui o valor ou expressão digitada para a variável n. O comando pause interrompe a execução até que o usuário pressiona uma tecla qualquer. pause(n) interrompe por n segundos antes de continuar.

44

Introdução ao MATLAB Variáveis Globais

Cada função MATLAB possui suas próprias variáveis locais que são separadas daquelas de outras funções e daquelas que estão no workspace. Contudo, se você declarar uma variável como global, todas as funções e o workspace vão enxergar a mesma variável. Para diferenciar das demais variáveis, costuma-se identificar uma variável global declarando-a com um nome longo e em letras maiúsculas, embora isso não seja uma imposição. Suponha que você queira estudar o comportamento dos coeficientes  e  no problema do modelo predador-vítima de Latka-Volterra.

d  y1   y1   y2 y1 dt d  y2    y2   y2 y1 dt Crie o arquivo lotka.m:

function yp = lotka(t,y) % modelo Votka-Voltera global ALFA BETA yp = [y(1) - ALFA*y(1)*y(2); -y(2) + BETA*y(1)*y(2)]; end

Interativamente, entre como as seguintes declarações:

» » » » »

global ALFA BETA ALFA = 0.01; BETA = 0.02; [t,y] = ode23( 'lotka', [0 10], [1; 1] ); plot(t,y)

Uma vez que ALFA e BETA são globais você pode alterá-las interativamente e novas soluções podem ser obtidas sem ter que editar nenhum arquivo e sem passar os valores como argumentos.

Introdução ao MATLAB

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Variáveis Alfanuméricas Variáveis do tipo texto são introduzidas no MATLAB envolvendo o texto com quotas simples (apóstrofos). Por exemplo,

» s = 'Ola' s= Ola

O texto é armazenado num vetor, um caracter por elemento. Desejando concatenar textos, use colchetes:

» s = [s, ' Pessoal'] s= Ola Pessoal

Valores numéricos são convertidos em variáveis do tipo texto via sprintf, num2str e int2str. Exemplo,

» c = 23; » title(['A temperatura é ',num2str(c),' graus C'])

A Função EVAL A função eval é usada com variáveis do tipo texto para implementar recursos de macros de texto. A função eval(t) força que o texto contido na variável t seja "resolvido". O exemplo a seguir mostra como usar o comando load para carregar 10 arquivos sequencialmente numerados: dados1.mat, dados2.mat, ...

» fname = ‘dados’; » for i = 1:10 » eval( [ 'load ', fname, int2str(i) ] ) » end

A função eval é especialmente útil na passagem de argumentos de funções cujo parâmetro é um nome de outra função. Um exemplo típico é o

Introdução ao MATLAB

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função fplot que passa como argumento o nome da função a ser exibida, exemplo:

» fplot( 'sin', [0 10] )

1.11 Manipulação de Arquivos Os comandos load e save recuperam e armazenam dados do workspace em disco. Os comandos dir, type, delete e cd servem à manipulação de arquivos. Para a maioria desses comandos devemos especificar o path, wildcards e o drive de destino como normalmente se faz no DOS. O comando type difere do comando type usual de uma forma importante. Se nenhuma extensão é especificada, o MATLAB considera a extensão “.m” como default. Portanto, esse comando é normalmente usado para obtermos uma rápida listagem de um M-file na teta do computador. O comando diary cria um diário (log) da sua seção MATLAB na forma de um arquivo ASCII. Todos os comandos e resultados, exceto gráficos, são automaticamente acrescentados ao arquivo de diário. Transferência de Dados Você pode introduzir dados de outros programas dentro do MATLAB. Similarmente, você pode exportar dados do MATLAB para outros programas. Também é possível usar o formato que o MATLAB usa para armazenar dados: MAT-files. Importando Dados O melhor método de importar dados depende de quantos dados existem, qual o seu formato, etc. A seguir, listamos algumas opções:

47

Introdução ao MATLAB 

Entre com os dados como uma lista explícita dos elementos. Se o número de elementos for pequeno (10-15 elementos) é mais simples digitar os dados explicitamente usando colchetes.



Crie um M-file e escreva os dados de forma explícita usando um editor de texto.



Carregue os dados de um arquivo ASCII.



Escreva um programa em C para converter seus dados no formato dos MAT-files e então use o comando load.



Importe os dados do Excel.

Exportando dados do MATLAB Para exportar dados também existem várias opções, das quais algumas são listadas a seguir:



Para matrizes pequenas use o comando diary para criar uma arquivo de diário e então liste as variáveis neste arquivo. Você pode, mais tarde, usar um editor de texto para manipular os dados.



Salve os dados num formato ASCII usando o comando save com a opção -ascii. Por exemplo, » A = rand(4,3); » save temp.dat A -ascii

cria um arquivo ASCII chamado temp.dat 

Salve os dados como MAT-files usando o comando save e então escreva um programa em C ou FORTRAN para reformatar os dados conforme necessário para a aplicação.



Exporte os dados para o Excel.

Introdução ao MATLAB

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1.12 Depuração Embora o MATLAB seja uma linguagem menos complexa que outras linguagens de programação, ele tem sua sintaxe própria e você pode precisar corrigir alguns erros. O MATLAB encontra erros de sintaxe durante a fase de compilação e esses erros, em geral, são simples de corrigir. O MATLAB também encontra erros na fase de execução do programa; esses erros tendem a ser mais difíceis de solucionar por causa do workspace local às funções ser perdido quando um erro interrompe a execução. Quando isto ocorre, retornamos ao workspace base do MATLAB. Se você usou ponto-e-vírgula para suprimir os resultados intermediários da tela, não terá como saber onde o erro ocorreu. Para mostrar os resultados intermediários, você pode usar um dos métodos a seguir:   



Remova os ponto e vírgula de interesse; Use a declaração keyboard para permitir que o workspace seja examinado no ponto da declaração; Torne a primeira linha da função uma linha de comentário de tal forma que a função possa ser executada como um script, fazendo com que os resultados intermediários sejam acessíveis no workspace base do MATLAB; Use o depurador do MATLAB.

1.13 Toolbox de Matemática Simbólica Com o Toolbox de processamento simbólico é possível resolver e manipular expressões matemáticas simbólicas resolvendo analiticamente, por exemplo, diferenciações, integrações, simplificações, transformadas, solução de equações etc. Variáveis Simbólicas Para declarar, por exemplo, as variáveis x e y como objetos simbólicos use o comando syms:

Introdução ao MATLAB

49

» syms x y

Depois de criados os objetos simbólicos, se podem realizar cálculos matemáticos tais como:

» z=x+x+y z= 2*x + y

Matriz de variáveis simbólicas Depois de declarar as variáveis simbólicas elas podem fazer parte da definição de uma matriz. Exemplo:

» syms a b c d e f g h i » A = [ a b c ;d e f; g h i ] A= [ a, b, c ] [ d, e, f ] [ g, h, i ]

Note que não é necessário declarar explicitamente a matriz A como um objeto simbólico. Agora podemos operar simbolicamente com a matriz A. Veja alguns exemplos:

» determinante = det(A) determinante = a*e*i - a*f*h - b*d*i + b*f*g + c*d*h - c*e*g » B=A+A B= [ 2*a, 2*b, 2*c ] [ 2*d, 2*e, 2*f ] [ 2*g, 2*h, 2*i ]

50

Introdução ao MATLAB Simplificações

Existem algumas funções que alteram a forma de uma função simbólica. Os exemplos a seguir ilustram alguns desses comandos: pretty, collect, expand, horner, factor, simplify. » syms x » f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6; » pretty (f)

% visualização elegante

3 2 x - 6 x + 11 x – 6 » syms x » f = (x-1)*(x-2)*(x-3); » collect (f)

% agrega potências iguais

x^3 - 6*x^2 + 11*x – 6 » syms a x y » f = a*(x + y); » expand (f)

% distributiva

a*x + a*y » syms x » f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6; » horner (f)

% forma aninhada

x*(x*(x - 6) + 11) - 6 » syms x » f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6; » factor (f)

% fator de menor ordem

(x - 3)*(x - 1)*(x - 2) * syms x y * f = exp(x) * exp(y); * simplify (f) exp(x + y)

% simplificação

51

Introdução ao MATLAB

Substituições Use o comando subs para realizar substituições diversas. Exemplos: » syms x » f = 2*x^2 - 3*x + 1; » subs( f, {x}, {1/3} ) ans =

% x  1/3

2/9

» syms x y » f = x + y; » subs( f, {x, y}, {2,-3} ) ans =

% x  2, y  -3

-1

» syms x y m » f = x + y; » subs( f, {x, y}, {2, m} ) ans =

% x  2, y  m

m+2

Diferenciação Simbólica Use o comando diff para realizar diferenciações. Veja alguns exemplos:

» syms x » f = sin(x)^2; » diff(f) ans = 2*cos(x)*sin(x)

52

Introdução ao MATLAB » syms x y » f = sin(x)^2 + cos(y)^2; » diff(f, y) ans =

% derivada parcial de f em relação a y

-2*cos(y)*sin(y)

Integração Simbólica Use o comando int para realizar integrações simbólicas. Veja alguns exemplos: » syms x y » f = x^2 + y^2; » int(f, y) ans =

% integral indefinida de f em relação a y

x^2*y + y^3/3

» syms x y » f = x^2 + y^2; » int(f, y, 3, 5) ans =

% integral definida desde 3 até 5

2*x^2 + 98/3

Solução de Equações Algébricas Use o comando solve para determinar a solução de equações ou sistemas de equações. Veja alguns exemplos a seguir e note que ao definir a equação utiliza-se o sinal (==). Caso o sinal (==) seja omitido, o lado direito da equação é suposto nulo. Veja os dois casos a seguir » syms x » f = ( x^2 + 5*x == -6 ); » solve( f ) ans = -3 -2

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Introdução ao MATLAB

» syms x » f = ( x^2 + 5*x - 6 ); » solve( f ) ans = -3 -2

Nas equações com múltiplas variáveis simbólicas, pode-se especificar para qual variável a equação deve ser resolvida. No exemplo a seguir a função depende de x e y e sua solução é determinada em relação a y.

» syms x y » solve ( 6*x^2 - 6*x^2*y + x*y^2 - x*y + y^3 - y^2 == 0, y ) ans = 1 2*x -3*x

No exemplo a seguir mostra-se uma forma possível de representar e resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas. » » » »

syms x1 x2 f1 = ( x1*x2 + x2 == 3 ); f2 = ( x1 - x2 == 1 ); [ xx1, xx2 ] = solve( f1, f2, x1, x2 ) xx1 = 2 -2

xx2 = 1 -3

A verificação da exatidão da solução pode ser feita com o comando subs, atribuindo os valores numéricos das soluções encontradas nas funções. » subs( f1, {x1,x2}, { xx1(1), xx2(1) } ) » subs( f2, {x1,x2}, { xx1(2), xx2(2) } ) ans =

ans =

3 == 3

1== 1

54

Introdução ao MATLAB Gráficos de Funções Simbólicas

O comando ezplot é uma das formas mais imediatas para se exibir o gráfico de uma função explícita ou mesmo implícita. Veja os exemplos a seguir: » syms x » ezplot(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6) » title('Função Explícita: y = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6') Função Explícita: y = x 3 - 6*x 2 + 11*x - 6 100

0

-100

-200

-300

-400

-500

-6

-4

-2

0

2

4

6

x » syms x y » ezplot( (x^2 + y^2)^4 == (x^2 - y^2)^2, [-1 1] ) » title( 'Função Implícita no intervalo [-1,1] ' )

Função Implícita no intervalo [-1,1] 1

0.8

0.6

0.4

y

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

55

Introdução ao MATLAB Solução de Equações Diferenciais

Para ilustrar como usar o comando dsolve, considere a equação diferencial ordinária de 1ª ordem com condição inicial y(0)  1 .

d   y (t )    y (t ) dt   » syms x(t) » f(t) = (diff(x) == -x); » [xx] = dsolve(f(t), x(0) == -1) xx = -exp(-t)

Considere agora a equação diferencial ordinária de 2ª ordem com condições iniciais y(0)  1 e y(0)  0 .

d2  y (t )   cos  2t   y(t ) 2  dt  

» » » » »

syms y(t) Dy = diff(y); y(t) = dsolve( diff(y, 2) == cos(2*t) - y, y(0) == 1, Dy(0) == 0 ); y(t) = simplify(y); pretty( y(t) )

1 -

/ t \4 8 sin | --- | \ 2/ ---------------3

56

Introdução ao MATLAB

Muitas vezes as equações diferenciais estão na forma de um sistema de equações. Para ilustrar um caso desses considere o sistema a seguir com x1 (0)  1 e x2 (0)  0 .

d   x1 (t )   x2 (t ) dt   d   x2 (t )   6 x1 (t )  5 x2 (t ) dt  

» » » »

syms x1(t) x2(t) f1(t) = ( diff(x1) == x2 ); f2(t) = ( diff(x2) == -6*x1 -5*x2 ); [xx1, xx2] = dsolve( f1(t), f2(t), x1(0) == 1, x2(0) == 0 ) xx1 = (exp(-3*t)*(18*exp(t) - 12))/6

xx2 = -exp(-3*t)*(6*exp(t) - 6)

57

Introdução ao MATLAB

Transformada de Laplace Os comandos laplace e ilaplace determinam a transformada e antitransformada de Laplace, respectivamente. Veja os exemplos:

Função dada

Comandos MATLAB syms s t F = laplace( 2*exp(-5*t) - 5*exp(-2*t) ) F = collect(F) F= (- 3*s - 21)/(s^2 + 7*s + 10)

syms s t F = laplace( exp(-t)*cos(3*t) ) F= (s + 1)/((s + 1)^2 + 9)

syms s t f = ilaplace ( s/(s^2 + 4*s + 5) ) f= exp(-2*t)*(cos(t) - 2*sin(t))

syms s t f = ilaplace( 5/((s+1)*(s+2)^2) ) f= 5*exp(-t) - 5*exp(-2*t) - 5*t*exp(-2*t)

58

Introdução ao MATLAB

Transformada Z Os comandos ztrans e iztrans determinam a transformada Z e antitransformada Z, respectivamente. Veja os exemplos: Função dada

f (k )  sen(k )

Comandos MATLAB syms k z f = sin(k); F = ztrans(f, k, z) (z*sin(1))/(z^2 - 2*cos(1)*z + 1)

F ( z) 

z  z  0, 2  z  0,5 z  1

syms z k F = z / ( (z+0.2)*(z+0.5)*(z-1) ); f = iztrans(F,k); disp('f(k) = ') pretty(f) f(k) = k k 20 (-1/2) 25 (-1/5) ------------ - ------------ + 5/9 9 9

59

Introdução ao MATLAB

1.14 Toolbox de Sistema de Controle No Toolbox de Sistema de Controle, os modelos de sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) são representados por Objetos. Os objetos de modelos são estruturas de dados e atributos que permitem a manipulação de sistemas LTI com entidades únicas. Os objetos de modelos podem representar sistemas escalares, ou seja, de entrada e saída únicas (SISO) e sistemas vetoriais de entradas e saída múltiplas (MIMO), tanto de tempo contínuo como de tempo discreto. Os sistemas LTI podem ser especificados no espaço de estados (objeto SS), por meio e funções de transferência (objeto TF) e modelos dados pelos seus zeros, polos e ganho (objeto ZPK). Função de Transferência Uma função de transferência SISO é caraterizada pelo seu numerador e denominador. Por exemplo, a função de transferência

F ( s) 

s s 2  2s  10

é representada por um objeto TF que contém os coeficientes do polinômio do numerador e do denominador: » numerador = [ 1 0 ]; » denominador = [ 1 2 10 ]; » F = tf ( numerador, denominador ) F= s -------------------s^2 + 2 s + 10 Continuous-time transfer function.

Matrizes de transferência (funções de transferência MIMO) são formadas por elementos que são funções de transferência. Exemplo:

60

Introdução ao MATLAB

s    s 2  2s  10   F ( s )     1  F ( s)        F ( s)  s 1   2    s  1  » F1 = tf ( [ 1 0 ], [ 1 2 10 ] ); » F2 = tf ( [ 1 -1 ], [ 1 1 ] ); » F = [ F1 ; F2 ] F= From input to output... s #1: --------------------s^2 + 2 s + 10

#2:

s-1 ------s+1

Continuous-time transfer function.

Uma maneira talvez mais visual de definir uma função de transferência é definindo primeiro a função “s”. Por exemplo, veja como isso seria feito para o caso da função de transferência

F ( s) 

s s 2  2s  10

» S = tf ('s'); » F = S / (S^2 + 2*S + 10) F= s -------------------s^2 + 2 s + 10 Continuous-time transfer function.

61

Introdução ao MATLAB Zero-Polo-Ganho

Um modelo SISO pode ser caraterizado pelos seus zeros, polos e ganho. Por exemplo, a função de transferência

F ( s)  5

 s  1 s  2   s  3 s  4 

é representada por um objeto ZPK por meio dos valores de seus zeros, polos e ganho: » » » »

zeros = [ -1 -2 ]; polos = [ -3 -4 ]; ganho = [ 5 ]; F = zpk( zeros, polos, ganho ) F= 5 (s+1) (s+2) --------------------(s+3) (s+4) Continuous-time transfer function.

Espaço de Estados Um modelo SISO ou MIMO pode ser caraterizado pelas Matrizes A, B, C e D da representação no espaço de estados. Exemplo, seja

dx  Ax  Bu dt y  Cx  Du em que,

62

Introdução ao MATLAB

 0 A  2 1 C 0

1 0 B  1 3  1 0 D  0 3 

1 0  0 0 

é representada por um objeto SS pelas matrizes A, B, C, D: » » » » »

A = [ 0 1 ;-2 -3 ]; B = [ 0 1 ; 1 0 ]; C = [ 1 1 ; 0 3 ]; D = [ 0 0 ; 0 0 ]; sist = ss( A,B,C,D ) sist = a= x1 x2 x1 0 1 x2 -2 -3 b= u1 u2 x1 0 1 x2 1 0 c= x1 x2 y1 1 1 y2 0 3 d= u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time transfer function.

Tempo Discreto Para criar modelos LTI de tempo discreto, simplesmente adicione um parâmetro referente ao tempo de amostragem Ts (em segundos) aos objetos TF, ZPK, e SS:

63

Introdução ao MATLAB

sist = tf ( num, den, Ts ) sist = zpk ( z, p, k, Ts ) sist = ss (A, B,C,D,Ts )

por exemplo, o comando a seguir cria um função de transferência de tempo discreto com um período de amostragem de 0,1 segundos:

» G = tf( [1 -1], [1 -0.5], 0.1 ) G= z-1 ------z - 0.5 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function.

Uma maneira talvez mais visual de definir uma função de transferência de tempo discreto é definindo primeiro a função “z” e o período de amostragem. Por exemplo, veja como isso seria feito para o caso da seguinte função de transferência para Ts = 0,1s.

G( z ) 

z 1 z  0,5

» Ts = 0.1; » Z = tf ( 'z', Ts ); » G = (Z - 1) / (Z - 0.5) G= z-1 ------z - 0.5 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function.

Introdução ao MATLAB

64

Dados do Objeto LTI As funções TF, ZPK, e SS colocam todos os dados modelo numa estrutura LTI. Para se extrair os dados de um objeto LTI utilizam-se os seguintes comandos, onde Ts é o período de amostragem. Estas funções fazem uma conversão de modelos automática (veja a seção a seguir):

[ num, den, Ts ] = tfdata (sist) [ z, p, k, Ts ] = zpkdata (sist) [ A, B, C, D, Ts ] = ssdata (sist)

O exemplo a seguir ilustra o uso desses comandos. Note que como o sistema é de tempo contínuo, Ts retorna nulo indicando isso.

» » » » »

zeros = [ -1 -2 ]; polos = [ -3 -4 ]; ganho = [ 5 ]; F = zpk ( zeros, polos, ganho ); [ A, B, C, D, Ts ] = ssdata (F) A= -3.0000 -2.0000 0 -4.0000 B= 2.8284 2.8284 C= -3.5355 -3.5355 D= 5 Ts = 0

65

Introdução ao MATLAB Conversão de Modelos

Para converter um objeto para um tipo específico de modelo LTI use as próprias funções TF, ZPK, e SS:

sist_novo = tf (sist) sist_novo = zpk (sist) sist_novo = ss (sist)

O exemplo a seguir mostra como converter de espaço de estados para zero-polo-ganho e função de transferência.

» sist = ss ( -2, 1, 1, 3 ); » zpk ( sist ) ans = 3 (s+2.333) ----------------(s+2) » tf ( sist ) ans = 3s+7 ----------s+2

Para a conversão do tempo contínuo para o tempo discreto utilizam-se as funções específicas c2d e d2c, respectivamente. A sintaxe dos comandos é:

sysd = c2d ( sysc, Ts ) sysc = d2c ( sysd )

% Ts = periodo de amostragem (s)

66

Introdução ao MATLAB

Na conversão presume-se o uso de um segurador de ordem zero (ZOH). Para usar um método de conversão diferente, deve-se especificar o método num terceiro parâmetro de entrada:

sysd = c2d ( sysc, Ts, 'zoh' ) sysd = c2d ( sysc, Ts, 'foh' ) sysd = c2d ( sysc, Ts, ‘impulse’ ) sysd = c2d ( sysc, Ts, 'tustin' ) sysd = c2d ( sysc, Ts, 'matched' )

% Segurador de ordem zero % Segurador de 1ª ordem % Invariância ao impulso % Aproximação de Tustin % Equivalência polo-zero

sysc = d2c ( sysd, 'zoh' ) sysc = d2c ( sysd, 'foh' ) sysc = d2c ( sysd, 'tustin' ) sysc = d2c ( sysd, 'matched' )

% Segurador de ordem zero % Segurador de 1ª ordem % Aproximação de Tustin % Equivalência polo-zero

Operações com Modelos Os objetos de modelos permitem as diversas operações aritméticas. Exemplos:

» sist = sist1 + sist2

» sist = sist1 * sist2

Introdução ao MATLAB

67

» sist2 = inv ( sist1 )

» sist = [ H1 H2 ]

» sist = [ H1 H2 ]

Resposta Temporal Existem várias funções que permitem investigar o comportamento temporal de sistemas LTI:

68

Introdução ao MATLAB Resposta Temporal impulse

Resposta à função impulso unitário

initial

Resposta à condição inicial

gensig

Resposta ao gerador de sinal

lsim

Resposta a uma entrada arbitrária

step

Resposta ao degrau unitário

As funções step, impulse e initial podem gerar automaticamente um horizonte temporal de simulação. A sintaxe associada a essas três funções é:

step ( sist ) impulse ( sist ) initial ( sist, x0 )

% x0 = vetor de condições iniciais

Exemplo:

» sist = [ tf ( 1, [1 1 1] ) , tf ( 1, [1 1] ) ] » step ( sist ) Step Response From: In(1)

From: In(2)

1.4

1.2

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12 0

Time (seconds)

2

4

6

8

10

12

69

Introdução ao MATLAB » step( sist,10 )

% simula de 0 até 10 segundos

» t = 0 : 0.1 : 10 » step ( sist, t )

% vetor temporal a cada 0,1s % simula em função do t especificado

» t = 0 : 0.1 : 10 » u = sin ( t ) » lsim ( sist, u, t )

% entrada particular % simula para a entrada especificada

Resposta em Frequência 102 O quadro a seguir resume algumas das funções disponíveis para a análise em frequência de sistemas LTI:

Resposta em Frequência bode

Diagramas de Bode

margin

Margens de Ganho e de Fase

nyquist

Diagrama de Nyquist

nichols

Carta de Nichols

As funções podem gerar os valores das frequências para os quais a resposta será calculada. A escolha da faixa desses valores é feita em função dos polos e zeros da função. Para impor uma dada faixa particular de frequências num interval [wmin, wmax], use a seguinte sintaxe.

bode( sist, { wmin , wmax } )

% Atenção às ‘chaves’

O exemplo a seguir plota os diagramas de Bode da função no intervalo que vai de 0,1 até 10 rad/s

70

Introdução ao MATLAB

» sist = tf (1, [1 1 1] ) » bode( sist, { 0.1 , 10 } ) Bode Diagram 10

Magnitude (dB)

0 -10 -20 -30 -40 0

Phase (deg)

-45 -90 -135 -180 -1

0

10

10

1

10

Frequency (rad/s)

É possível também especificar um vetor particular de pontos com espaçamento logaritmo, por exemplo, desde 10^(-1) até 10^(+1) e com 100 pontos:

» w = logspace( –1, +1, 100) » bode( sist, w )

Resposta Numérica 105 Para se obter os valores numéricas das respostas temporais e frequenciais deve-se usar as variáveis de retornos das funções. Veja alguns exemplos de sintaxes a seguir:

[ y, t ] = step( sist ) [ ganho, fase, w ] = bode( sist ) [ real, imaginario, w ] = nyquist( sist )

71

Introdução ao MATLAB

O exemplo a ilustra mostra como criar gráficos customizados a partir dos dados numéricos de respostas temporais e frequenciais: » » » »

F = tf ( [1 -1], [1 0.1 1] ) [ganho,fase,w] = bode(F) [ y , t ] = step(F,15) [ p , z ] = pzmap(F)

» » » » » »

subplot( 221 ) semilogx( w, 20*log10(ganho(:))), grid on title('Diagrama de Bode de Ganho (dB)' ) subplot(223) semilogx(w,fase(:)), grid on title('Diagrama de Bode de Fase (graus)')

» » »

subplot(222) plot(t,y), grid on title('Resposta ao Degrau unitário')

» » » »

subplot(224) plot(z,'ro'), hold, plot(p,'bx'), grid on axis([-0.5 1.5 -1.5 1.5]) title('Diagrama de Polos e Zeros')

Diagrama de Bode de Ganho (dB) 40

1

20

0

0

-1

-20

-2

-40 -2 10

0

10

2

Resposta ao Degrau unitário

-3

10

0

Diagrama de Bode de Fase (graus) 200

5

10

15

Diagrama de Polos e Zeros 1

100 0 0 -1 -100 -2 10

0

10

2

10

-0.5

0

0.5

1

1.5

Introdução ao MATLAB

72

Redução de Ordem Recomenda-se usar a função mineral para se obter a mínima realização de um modelo e forçar o cancelamento de polos e zeros nos objetos. O exemplo a seguir mostra seu efeito cancelando o zero em -1 com o polo em -1 da função T(s) de malha fechada.

» G = tf ( 1, [1 1] ) » T = G / (1 + G) T= s+1 ------------------s^2 + 3 s + 2 » T = mineral ( T ) T= 1 ---------s+2

Lugar Geométrico das Raízes Uma análise bastante comum nos problemas de controle é a determinação da estabilidade e do desempenho de sistemas lineares em função de um dado parâmetro. Este costuma ser um ganho, uma taxa de amostragem etc. Um caso típico é o ajuste fino da sintonia de um controlador através do ganho. Desta forma é interessante conhecermos a priori a influência deste ganho na resposta. Temos duas possibilidades: (i) Simular o comportamento da saída temporal para todos os valores possíveis do ganho; (ii) Inferir o comportamento da saída através dos valores dos polos de malha fechada (admitindo que a resposta é mais influenciada pelos polos que pelos zeros). A opção pelo cálculo dos polos nos parece mais razoável mesmo com o auxílio do computador. A resposta temporal poderá ser mal condicionada (dificuldades numérica) e poderá ser difícil percebermos tendências e propriedades. Uma dificuldade na avaliação da resposta por meio dos polos de malha fechada é que as contribuições de cada polo não podem ser somadas. Devemos estabelecer um critério de dominância e relacionar o comportamento

73

Introdução ao MATLAB

da saída ao comportamento destes polos dominantes. Para suprir tal problema utiliza-se a simulação temporal na validação do projeto. O Matlab possui a função rlocus que automatiza a construção do lugar das raízes a partir da função de transferência de malha aberta. Exemplo:

k (s - 2) r(t)

C(t) 3

2

s + 2s + 3s + 4

» G = tf( [1 -2], [1 2 3 4] ) » rlocus( G) » Root Locus 10 8

Imaginary Axis (seconds-1)

6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5 -1

Real Axis (seconds )

1

1.5

2

2.5

74

Introdução ao MATLAB

Interfaces Gráficas

O Toolbox de controle do MATLAB possui uma interface gráfica denominada sisotool que permite o projeto gráfico iterativo de sistemas de controle escalares (SISO) por meio de ferramentas como: Lugar das raízes, Diagrama de Bode, Carta de Nichols e Resposta Temporal. A estrutura geral admitida pelo ambiente de projeto possui quadro funções de transferência (F, C, G, H) onde C e F são funções ajustáveis e representam o controlador e o préfiltro, respectivamente. A função G é relativa ao modelo da planta e H é o modelo do sensor. A sintaxe do comando é:

» sisotool

r

-->[ F ]-->O--->[ C ]--->[ G ]----+---> - | | +-------[ H ]----------+

y

Outra dessas interfaces que é bastante útil na análise de sistemas de controle é a denominada ltiview que permite todo tipo análise de respostas no domínio do tempo e da frequência de sistemas LTI (step, impulse, lsim, initial, bode, bodemag, nyquist, nichols, sigma, pzmap, iopzmap). A sintaxe do comando é:

» ltiview