Matematicas I

Rubro 1.3.1.10

Fecha de aplicación: Semestre 2007B

MATEMATICAS I UBICACIÓN ESQUEMATICA DE LA ASIGNATURA

CONTENIDO • • • •

Unidad I. Introducción al Álgebra. Unidad II. Polinomios de una variable. Unidad III. Ecuaciones de primer grado. Unidad IV. Ecuaciones de segundo grado.

REPRESENTACION GRAFICA DE LA ASIGNATURA

OBJETIVO DE LA ASIGNATURA EL ESTUDIANTE:  Resolverá

problemas o situaciones algebraicas mediante el uso de métodos o modelos matemáticos como operaciones con polinomios, ecuaciones lineales, simultáneas de dos y tres variables y ecuaciones cuadráticas que le permitan su aplicación en la vida cotidiana, en un ambiente de responsabilidad, tolerancia y respeto.

UNIDAD I. Introducción al álgebra OBJETIVO: El estudiante construirá el lenguaje algebraico generalizando modelos aritméticos, de razones, proporciones, series y sucesiones, mediante la resolución de problemas o situaciones en un ambiente cooperativo, de respeto y de tolerancia.

1.1. PROBLEMAS ARITMÉTICOS. 1.1.1. NÚMEROS REALES. NUMEROS REALES ( R) RACIONALES ( Q ) ENTEROS ( Z)

IRRACIONALES ( I )

FRACCIONARIOS

NATURALES ( N )

POSITIVOS

NEGATIVOS

NEGATIVOS

CERO

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES • Las operaciones fundamentales con los números reales son la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación. Propiedades de la Suma: Nombre

Representación

Enunciado

Conmutativa

a+b=b+a

Asociativa

a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)

Elemento neutro (Cero) Inverso

a+0=a

El orden de los sumandos no altera la suma. Pueden sumarse los dos primero y al resultado sumarle el tercer número o al primer número sumarle el resultado de la suma de los dos últimos. Todo número sumado con cero es

aditivo

igual al mismo número. a+(-a)=0

Para todo número real a existe un número (-a), llamado inverso aditivo tal que suma de éstos es igual a cero.

Regla de los signos para la suma:

•

•

Al sumar dos o más números de igual signo, se suman los valores absolutos de los números y al resultado se la antepone el mismo signo.

•

Al sumar dos números de signo diferente, se restan lo valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo del mayor.

En álgebra, cuando se utilizan la ley de los signos antes mencionados se dice que la operación es suma, lo que implícitamente incluye a a la resta o sustracción.

Propiedades de la Multiplicación: Nombre

Representación

Enunciado

Conmutativa

a∙b=b ∙a

Asociativa

a ∙ b ∙ c = (a∙b) ∙ c = a ∙(b ∙c)

Elemento neutro (uno) Inverso

a ∙ 1=a

El orden de los factores no altera la suma. multiplicarse los dos Pueden primero y el resultado multiplicarlo por el tercer número o multiplicar el primer número por el multiplicado producto del por los Todo número dos uno últimos. es igual al mismo número.

a ∙ (1/a)=1

multiplicativ o Distributiva

a(b+c)=ab+ac

El inverso multiplicativo de todo número es su recíproco, de tal manera que el producto de ambos es igual la unidad. El producto de auna suma por un número es igual a suma del producto de ese númeropos cada sumando.

Regla de lo signos de la multiplicación:  Al

multiplicar dos números de igual signo, el resultado es positivo.

 Al

multiplicar dos números de signos diferentes, el resultado es negativo.

De las reglas anteriores se deduce que cuando se multiplican más de dos números, el producto es:  Positivo si existe un número par de factores negativos. Negativo si existe un número impar de factores negativos.

DIVISIÓN. •

Definición: Es la operación inversa de la multiplicación y permite dado el producto de dos factores (llamados dividendo y divisor respectivamente) hallar el otro factor llamado cociente • Propiedades: a+b a b o Distributiva:c

=

b

+

c

o La división entre cero no existe.

• regla de lo signos:  Si se dividen dos números de igual signo, el cociente será positivo; si son de signo contrario, el cociente será negativo.

OPERACIONES CON FRACCIONES •

Suma: 1.

Si los denominadores son iguales, el resultado será una fracción cuyo numerador será la suma algebraica de los numeradores con el mismo denominador.

a c a+c + = b b b

5.

Si los denominadores son diferentes, el resultado es una fracción, cuyo denominador será el m.c.m* de los denominadores y el numerador será la suma algebraica del producto de cada numerador por el cociente de m.c.m a c ad + bc entre el denominador de cada fracción + = correspondiente. b d bd *m.c.m. mínimo común múltiplo

•

Multiplicación: El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores. a c ac



*

b d •

=

bd

División: 

El cociente o división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la a c ad segunda. ÷ =

b

d

bc

OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Los símbolos de agrupamiento comúnmente utilizados en operaciones algebraicas son: (

)

[

]

{

} Paréntesis

Corchetes

Llaves

Cuando aparecen dos o más símbolos de agrupamiento, el orden que se sigue para eliminar cada uno de ellos es: 1. Realizar las operaciones indicadas en los paréntesis. 2. Realizar las operaciones indicadas en los corchetes y 3. Efectuar las operaciones contenidas en las llaves.

1.1.2. RAZONES Y PROPORCIONES. 

Razón: Se define como la comparación de dos magnitudes. Matemáticamente significa comparar las cantidades mediante una división.



Notación La Razón entre dos cantidades a y b se puede representar como: a a:b ; a a b ; b

En cada caso se lee “a es a b”



Conclusiones sobre las razones:  Las

magnitudes o cantidades que se relacionan deben expresarse usando las mismas unidades.  La razón es un número; sin embargo requiere una correcta interpretación.  La razón debe escribirse como una expresión irreductible, es decir que ya Ejemplos: no pueda simplificarse. Escalas: mapas, planos de construcción, etc. Estadísticas deportivas. Razón reductible

12 6 3 = = 20 10 5

Razón irreductible

PROPORCIONES  La

proporción es una igualdad entre dos razones

 Notación:

a:b = c:d

a c = b d

Se lee “ a es a b como c es a d”

 Se

llaman medios a los números que ocupan la segunda y tercera posición en la proporción (b y c).



Los extremos de una proporción son los números que ocupan la primera y cuarta posición (a y d).



Propiedad Fundamental “Dos razones forman una proporción si y solo si el producto de sus extremos es igual al producto de sus a c medios”= ⇔ ad = bc

b



 

d

Esta propiedad es de gran utilidad para calcular un elemento desconocido de una proporción. Para ello basta con aplicar la propiedad y despejar el elemento desconocido. Para fines de calculo al elemento desconocido se le asigna una letra del alfabeto.

VARIACION PROPORCIONAL 

PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra también aumenta o al disminuir la primera, la segunda también disminuye, es A C BC decir: = x= A B x EJEMPLOS: •La distancia recorrida y el tiempo que se emplea en hacerlo, cuando la velocidad es constante. •El lado de un polígono regular y el valor de su perímetro. •El radio y el área de una circunferencia. •El costo del consumo de la electricidad y el número de kilowatts hora consumidos.



PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al aumentar una la otra disminuye o al disminuir la primera la segunda aumenta, es decir: A 1 = B C x



AC x= B

EJEMPLOS: Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla. o Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo en recorrerla. o Para una cantidad de alimento, el número de personas y el tiempo que tarda en consumirlos. o



Proporcionalidad Compuesta: Es la combinación de proporcionalidades directas e inversas o ambas.



APLICACIONES DE LAS PROPORCIONES: o Regla De Tres o Porcentajes

I. REGLA DE TRES La regla de tres es una operación combinada de multiplicación y división entre cuatro cantidades (una de ellas desconocida), siempre y cuando dichas cantidades sean proporcionales.



La regla de tres puede ser:

Simple: Cuando en ella intervienen dos magnitudes. o Compuesta: cuando en ella intervienen tres o  Solución de una regla de tres simple: más magnitudes. o

1.

Si las magnitudes son directamente proporcionales, se escribe el supuesto (datos conocidos) y la pregunta (dato desconocido), uno debajo del otro de manera que las unidades de las magnitudes correspondan. El valor de la incógnita se calcula aplicando la Propiedad Fundamental de las Proporciones:

S: B

A —

P: x

C

—

Por lo tanto

BC x= A



Solución de una regla de tres simple: 1.

Si las magnitudes son inversamente proporcionales, se escribe el supuesto (datos conocidos) y la pregunta (dato desconocido), uno debajo del otro de manera que las unidades de las magnitudes correspondan. El valor de la incógnita se calcula multiplicando los datos del supuesto y dividirlo entre el valor conocido de la pregunta:

S: B

A —

P: x

C

—

Por lo tanto

AB x= C



Solución de una regla de tres compuesta: 1. 2.

3.

4.

5.

Escribir el supuesto y la pregunta. Comparar las magnitudes con la incógnita para establecer si la relación es directa o inversamente proporcional. A las magnitudes directamente proporcionales se les coloca un signo (+) debajo un signo (-) encima. A las magnitudes inversamente proporcionales se les coloca un signo (-) debajo un signo (+) encima. El valor de la incógnita es igual al valor conocido de su misma especie multiplicado por todas las cantidades que llevan el signo (+), dividido entre el producto de todas las cantidades que llevan el signo (-).



Ejemplos: 1.

S: P: 

S: P:

Un automóvil recorre 120 Km. con 15 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer con 20 litros? x=

120 Km — 15 L x km — 20 L

(120)(20) = 160 15

Para hacer una obra en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 7 días?

x=

42 días — 23 obreros 7 días — x obreros

(42)(23) = 138 7

1. Si 80 empleados tienen sueldos iguales y gana $60,000 en 15 días. ¿Cuánto ganarán 100 empleados en 30 días? (-)

(-)

S:

80 emp. — $60,000 — 15 días x = (60,000)(100)(30) = 150,000

P:

100 emp. — (+)

x$

— 30 días (+)

(80)(15)



II. PORCENTAJES •

El porcentaje o tanto por ciento de una cantidad significa que dicho número puede dividirse en cien partes iguales y se representa con el símbolo %.

•

Todo porcentaje puede representarse en forma de fracción con denominador 100 o como número decimal.

•

El porcentaje relaciona dos cantidades directamente proporcionales.



El calculo de tanto por ciento de una cantidad es un caso particular de la Regla de tres simple en el cual uno de los valores conocidos es siempre 100.



Los casos que pueden darse en el cálculo de porcentajes son:  

  

Encontrar el porcentaje de una cantidad. Encontrar la cantidad total cuando se conoce un porcentaje de la misma y la cantidad que le corresponde. Obtener el porcentaje que representa una cantidad de otra. El porcentaje que es mayor una cantidad de otra. El porcentaje que es menor una cantidad de otra.

Tasa de interés Se llama tasa de interés al porcentaje que una cantidad invertida (capital) o préstamo recibido genera en un tiempo establecido. Este interés puede mensual o anual según lo establezca la institución financiera.





Ejemplo: 1.

2.

El señor garcía recibe $60,000 de aguinaldo y decide invertirlo a 30 días a una tasa de interés anual de 3.28%.¿Cuánto recibe por concepto de intereses? El señor Donato Hernández solicitó un préstamo de $45,000 a un mes de plazo. Si la tasa anualizada por préstamo personal es de 25%. ¿Cuánto es la cantidad que deberá pagar al finalizar dicho plazo?

1.2.LENGUAJE ALGEBRAICO. 1.2.1. ALGORITMOS GEOMÉTRICOS Y ARITMÉTICOS • Algoritmos Geométricos: Frecuentemente y con ayuda de figuras geométricas, se logra obtener la relación lógica de un conjunto de datos de un problema. Por lo tanto se busca generar una regla o unCalcular algoritmo geométrico. 1. el perímetro de una cadena de 50 triángulos equiláteros unidos por sus lados, donde cada lado mide 1 cm. Representar la regla como fórmula matemática. 2. Calcular el perímetro de una cadena de 8 rectángulos unidos, donde cada rectángulo mide 2cm de largo y 1 cm de ancho. Representar la regla como fórmula matemática. 3. Representar gráficamente los números hallar la suma de los 9 primeros.

impares

y

1.2.2. SUCESIONES Y SERIES LINEALES.  Una sucesión es un conjunto ordenado de números que se deducen unos de otros mediante una regla definida. Los números de la sucesión reciben el nombre de  Cuando una sucesión tiene un número fijo términos. de términos se dice que es finita; de lo contrario es llamada infinita:  Finita: 5,10,15,20,25  Infinita: 1,3,5,…

 Notación: Si a1 representa el primer término de una sucesión, a2 el segundo, a3,le tercero y así sucesivamente, entonces la sucesión puede denotarse como: a1,a2, a3, a4,…an El termino an se llama término general o n-





Los términos de una sucesión pueden calcularse si se conoce la Regla especifica (término general), sustituyendo el valor de n en la fórmula. Ejemplo: hallar los primeros cinco términos de la sucesión cuyo n-ésimo término es an=5n-2 se conocen alguno términos de la Cuando sucesión, se puede determinar la expresión (fórmula) del término general an observando su configuración aparente. Ejemplo: Determinar una expresión para el término general de la siguiente sucesión: 2, 6,10,14,…an



SERIES Se llama Serie a la suma de los términos de una sucesión, es decir: Sn=a1+a2+a3+…+an



NOTACIÓN Para denotar una serie se utiliza la notación sigma: ∑ n la suma de el símbolo: an Representa

∑ i =1

a1+a2+a3+…+an

Donde: an

término general (regla o fórmula).

i

término inicial de la sucesión

n

término final de la sucesión

i y n se conocen también como limites inferior y superior respectivamente de la sucesión.

SUCESIÒN ARITMETICA 



Si la regla establecida para obtener los términos de una sucesión consiste en sumar al anterior un número constante llamado diferencia o razón, entonces la sucesión se llama Sucesión Aritmética. La diferencia o razón (d) se calcula restando dos términos de la sucesión. P. ej. an=7,14,21,28,… d=14-7=7 ; d=21-14=7 ; d=28-21=7 El término general de una Donde: sucesión aritmética está a1 primer término dada por:

an = a1 + (n − 1)d



La suma o serie de una sucesión aritmética está dada por: n

( a1 + an ) n

i =1

2

∑ an =

an

último término

n cantidad términos d

diferencia

de

BIBLIOGRAFÍA  Cuellar

José A. “Matemáticas I para bachillerato”. México, McGraw-Hill, 2003.

 Pulido

Chiunti Antonio, Vélez Castillejos M.A. “Matemáticas I”. Segunda edición. México, Nueva Imagen, 2007.

 Rodríguez

López Manuel, García Licona M.A. “Matemáticas 1 para bachillerato”. México, Editorial ST Distribución S.A de C.V. 2005.