M Iii (5-6)

UNIDAD X NUMER-OSCOMPLEJOS ,.

..

I

Introducción

En el estudio delconj~mto de los números complejos, tratados en la presente unidad, se demuestra que dicho conjunto cumple con los postulados de campo. Se desarrona el álgebra de los números cOll,lplejos utilizando el concepto d~ par ordenado y se establecen las operaciones fundamentales de suma y multiplicación, y SUspropiedades. Asimi;mo se presenta la forma rectangular, el manejo de los números imaginario" .y.las operaciones de"resta y división. Para terminar, se analiza la solución de ecuaciones en la fo~ma rectangular y la obtención de raíces cuadradas. Es conveniente hacer notar la utilización frecuent-e de los números complejos en todas las ramas de: álgebra, por ejemplo: Funciones cuadráticas y polinominales y SJj.empleo en la geometría analítica. Como aplicación práctica citaremos la de teoría de circuitos de corriente alterna, de gran importancia en la vida moderna.

97

.

Q'bjetivos General~s

Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:

l. 2. 3. 4. 5.

Mencionará las características de los números complejos. Resolverá operacipnes de 'suma y multiplicación con números complejos aplicandó

laspropiedadesconmutativay asociativa.

"

98

.

I

.

Resolverá operaciones de resta y división con números complejos utilizando la forma rectangular de expresión. . Resolveráoperaciones de raíz cuadrada con números complejos. Graficará y obtendrá elvalor absoluto de números complejos.

Diagrama temático estructural

.

-<,

Concepto de

.

.....

Números

complejo

campo

I

I

:

.

I

Ecuaciones de la forma x2 + k = O

Forma rectangular

pefinicióJi I

\

.

.

Operaciones

,

Raíces ".

/

-

Glosa"rio

Conjunto de números" complejos: conjunto de pares ordenados con componenteal reales. Forma rectanp1ar de 108números conplejos: a + bl Números complejos conjugados: n~eros complejos expresados en la forma' rectangUlar

que sólo difieren en el signo de su parte imaginaria. i : respresenta al conjugado de 1 Valor aheoIuto de: 1: I z 1, = .J;2

100

+ b2

'

Módul,o 5

\

'/

OBJETIVOSESPECIFICOS Al terminar de estudiar este, módulo, el alumno:

1. 2. 3. 4.

'\

Explicará que es un número complejo. Explicará cuando dos números,complejos son íguaie$ entre si..' Efectuará sumas con números complejos.

Aplicará las propiedades conmutativa y asociativa en la suma de número~complejos. ESQUEMA-RESUMEN

,

'Solución de una ecación del tipo y = X2 + 1

l

\ I

\ Par\ ordenado

Números complejos

I

Operaciones con números

, complejos' Propied

L I'.

Definición

SV

/ "'-

conmutatlVa

Propiedad asociativa

Multiplicación .r

(módulo, 6)

101

I

5. V

Números complejos

En un tema artterior fue mostrado que a ecuaciones como + 1, les corresponden gráficasque no intersecan al eje X.

= X2

V

=

X2

+ 1

.

x

.

Figura1 Ello 'significaque para ningún "x E R", resulta V que SI en y

Conjunto delosnúmeros complejoL

102

=

X2

+ 1 a x, se le asignan valores reales,

= 0,0

sea X2 + 1

siempre será distinto de cero; cuandó esto sucede decimos que la ecuación no tiene solución 'en el conjunto de los números reales; las soluciones de tales ecuaciones están contenidas' en un conjunto de números al que llamamos El Conjunto de los Números Complejosy lo representaniOS.por medio de la letra e, este conjunto e es un sistema matemático que vamos a describir en este c'apítulo; una parte

de e tiene exactamente el mismo comportamiento que tiene el conjunto de los núme,ros reales, razón por la que podemos trabajár con

R como si fuera subconjunto propio de C.

,

"

Unnúmero

DefiJúción: Un número' complejo es un par ordenado con componentes reales, a, b y recíprocamentecadapar ordenado de números reales es un número complejo.

es...

complejo ,

'

. De acuerdo con la definición podemos representar a e en términos de la notación de conjuntos como sigue: , . C {z Iz (a, b); a, b E R} Con toda seguridad habrás notado ya, que cada número com'plejo se representa geométricamente como un punto. del plano, y recíprocamente cada punto del 'plano representa un número com-

=

plejo. Sean

ZI

=

,

= (-3,

O), Z2

= (1,2)"

= (2,1)

Z3

.

tres númer08 complejos c~yas. gráficas está~ dadas en la figur~ 2. y .

\

.

x

'ZI

...... -3

FigUra 2.

Defiiúeión: Dos ~úmeros complejos son iguales si y sólo si tienen el mismo primer componente y tambiéD: son iguales sus segundos componentes. Simbólicamente: sean ZI, .Z2 E ZI

Ejemplo

3 (2'

e si ZI =

= Z:i si Y sólo si -1)

(x, v)'

=

3 (2'

-

al

(al,

bd,

= á2

Y b1

'Z2

= (a2,

Igualdadde números comp,lejos.

b2)

.= b2

2

2)

= (3,2) si Y sólo si X =

3 YY= 2 103,

5.1

Suma de números complejos

Como siguiente paso en la descripción del conjunto de números complejos definiremos la operación suma en dicho conjunto, además mostraremos que en e existe un elemento identidad para dicha operación y que cada elemento de e tiene su inverso aditivo, en el mismo conjunto.

= (al, bd,

Definición: sean, ,ZI, Z2 E e, ZI Z1 + Z2 = (al

C6mo

. sumln 'dos n6meros

complejos.

Z2 = (a2, b2)

+ a2, b1 + b2) -

Por definición, la suma de dos números complejos es un par ordenado con componentes (a 1 + a2) Y (b 1 + b2), como, al, a2, b 1, b2 son números reales y ya que R es cerrado respecto a la operación suma, cntonces (al + 32) E R Y (b1 + b2) E R; podemos concluir que los componentes del par ordenado que representa la suma son números reales, esto significa que la suma de dos números complejos es a su vez número complejo. Dicho de 'otra manera el conjunto e es cerrado respecto a la operación suma. Ejemplo: Efectuar la operación indicada ,

Ejemplos:

(1,2)

+ (3,

-

4)

= (1 + 3, 2 + = (4, - 2)

(- 4)

+ (2, 1) = '(1 + 2, 3 + 1) = (3,4) (2, x) + (3,y) = (2, + 3, x' + y) = (5, X + y)

(1,3)

Ejemplo: Encuentra el valor de bt, y) si (x, y) = (1, -2) + (2,5) (x, y) (1 + 2, -2 + 5) (x, y) .(3,3) , x 3, Y= 3

= = =

5.11 Propiedades conmutativa y asociativa para la suma en

e

Hemos mostrado
104

sean

Zl

\

Zl

Z1

Z,

+

+

= (al, +

Z2

Z2

Z2

b1), Z2

e

E

= (a2, b2)

= (a 1, b 1) + (a2, b2) = (al +a2, b1 +b2) = (a2 + al, b2 + b1) = (a2, b2) + (a 1, b 1) = Z2 + Z 1

= Z2

+

Demostraci6n 'de la propl8dad conmutativa.

hipótesis :cerradura para suma en e propiedad de sustitución defínición de suma

Z1 .

postulado suma para definición propiedad propiedad igualdades

co:.imutativo de la números reales de SUI1\8en e de sustitución transitiva de las . Demostraci6n

20.. Para mostrar que la suma es asociativa necesitamos que para toda tema de números complejos Zl, Z2, Z3 E e ZI + (Z1 + Z3) (ZI + Z2) + %3

de la propiedad

=

ZI

= (al-'

.

Zl

+

= + = (al,b1)

b1), Z1 (a2, b2), ~3 ZI (Z2 Z3) E

e

+

(Z1 +Z3)

= (al, = (al = «al

= (a3, b3)

+ [(a2,b2) + (a3,b3)] bd + (a1 + a3, b1 + b"3) + (a1 + a3), bl + (1)2+ b3») + a2) + a3, (b1 + b2) + b3»

= [(al + a1), (bl + b2)] + (a3, b3) [(al,bl).+ (a2,b2)] + (a3,b3) (ZI + Z1) + Z3'

=

Zl

+

(Z2

+ Z3)

= = (Zl

+ Z2) +

Z3

,

asociativa.

hipótesis cerradura para suma en e propiedad de sustitución definición de suma en e definición de suma en e postulado asociativa de la suma 'en R 'definiciónde suma en e definición de suma en e propiedad de sustitución propiedad transitiva de l~sigualdades ¿Qué igualdad debe, satisfacer el elemento identidad?

El elemento identidad' (x, y) para la suma de números complejos,debe satisfacer la siguiente igualdad: Para todo. (a, b) E e . 1. (a, b) + (x, y) (a, b)

=

Usando la definición de suma de números complejos tenemos (a, b) (a + x, b + y)

=

Haciendo uso 'de la definición de igualdad de números complejos resulta: a +x = a ; b + y b Como a, x, b, y, son números reales estas ecuaciones son . ciertas si x y = O,consecuentemente el elemento identidad para la suma de números complejos es el par ordenado (0,0).

=

=

Ejemplo:

(2,3) +(0,0).

'

= (2' + O, 3 + O) = (2,3) . 100

De la misma manera podemos establ~cereJ inverso aditivo de

cada número complejo.

'

,

Recordemos que el inverso aditivo de un elemento en un conjunto, es otro elemento del mismo conjunto tal que al efectuar la suma de ambos~ se obtiene el elemento identidad' para la suma.

Sea (x, y) el inverso aditivo de (a, b)

~a

+

+

=

(x, y) (0,0) x,. b + y) (0,0)

entonces~ (a, b)

=

a + x = O, b + y = O x

= -a,'Y = -b

,

definición de suma definición de igualdad de números complejos propiedad del, inverso aditivo

para números reales. Por ~to,

,

el inverso aditivo de (a, b)es el par ordenado (-a, -b)

REACTIVOS DEAUTOEVALUACION

l. Efec.túa las operaciones indicadas en el siguiente conjunto de problemas.

a) b) c) d) e) 'f) g) h)

(3, -1) + (1,6) (-2, 4) + (3,2) (2, -3) + (-2,3) (-3,4) + (1, -2) 9 7 4. (3 - ) + (- - -' - ) , 6 2' 6 (1, ~4) + (3, -2) (-2,4) + (~2, 4) (O,3) + (O,2)

2. Encuentra el valor de (x, y) en cada problema ~do igualdad de números complejos.

=

"

las definiciones de suma e

a) be, y) (3',2) + (3,4) b) (x~y) '= (-1,3) + (2, -4) c) (6,2) = (x, y) ,+ (4, -1) d) ,(-7,2) (1, -2) + (x, y). e) (-2, 1) (-2, 1) + (x,yt (3, -7) = (2. -8) + (x, y) . 'f) 11 13 ) ) g (2' ¡ - (x, y) +. ~- 2" ¡)

=

=

106

.

Módulo6 OBJETIVOS ESPEtlFICOS .

l. 2.. 3. 4.

Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:

Definirá la múltiplicación con números complejos Explicará la p~opiedad conmutativa para la multiplicación con números complejos. Resolverá multiplicaciones con números complejos. '. Mencionará c,:,ál es él elemento identidad para la multiplicación con númerós com-

plejos. 5. 6.

.

Explicará por que el conjuntO de los números complejos.es un campo... . . Explicará. ~omo se asocian los números reales 'a los complejos en I~ o~raciones suma y re~ta.

de

ESQUEMA-RESUMEN

Concepto

de campo

.

Números . l

comp eJos .

Cerradura

o

..g

i~ ~~ Q,)

~

¡:¡..¡

Conmutativa. Asociativa Distributiva Elementos identidad Elementos inverso

O peraclones

con numeros complejos . #

.

Suma

(módulo5) Propiedad co~utativa MultiplicaciÓn

I -

Identidad multiplicativa

107'

6.1

Existencia delelemento i.dentidad.

Mutiplicaciones de números eOlDpl~jo8

Al definir la multiplicaCión de' números complejos mostraremos, que existe en e el elemento identidad para dicha operación, y que cada elemento de e excepto (O, O), tiene en el mismo conjunto su inverso multiplicativo, que la multiplicación de números comple,

jós es conmutativa y aceptaremos que es asociativa y que se distribuye sobre la suma.

c; ~I = (81,b1), Z2 = (82,b2)

ZI. Z2 =, (81, b1) . (82, b2J = (8182

-

blbi,

81b2 + b(82)

. establece... ,

-

Definieión: sean ,11, Z2 e

El producto denúmeros complejos

Nota que el producto o resultado de la multiplicación de dos números complejos, está dado en términos de tres operacio~es con' números reales; el conjunto R es cerrado respecto a estas tres operacionesporlo que (8182 - b1b2) e R y (8Jb2 + bla2) e R,

los componentes del par ordenado qué representan al producto son ,

números reales,- esto es, el producto de dos números complejos es un

núm~ro complejo. ' 6.11 si z 1

Propiedad conmutativa para la multiplicación'

.

e

Z2 'E

mostrar que

Z1

.

= Z2 . Z 1

Z2

sean ZJ

= (al,

entonces

=

ZI ~Z2

y Z2

.

ZI

b1),

Z2

(8182

-

= (82.

= (82' b2)

b1b2, a1b2

- b2bl,

81

82bl

+

b1a2)

-+- h281

dado que la multiplicacióny la sumade númerosreales80nconmutativas, podemos expresar'. , .Z2' ZI

=

(8281

- b~bl,

'

b28J + 82bll

= (8182 -

o sea Z2Z1

=

(8182

-

b1b2,

81b2

+

b182)

con lo qu~ tenemos ZIZ2. Z2Z1

108

= (81 a2 -

= (8182 -

bl b2, al b2 + b182) blb2,

81b2

+

b182)

blb2,

81b2

+

b182)

.

=

y entonces z 1Z2 Z2 Z 1 , por la propiedad transitivade las igual- . dades. Por lo. tanto: la multiplicación de números complejos es'con~ . mutauva.

(3, -1) (2,5)

Ejemplo.! :

=,(3.2 - (-1)5, 3.5 = (6 + 5, 15 - 2) = (1.1, 13)

+ ,-1).2) .

Ejemplo2:

(2,3) (0,1) = (2. O - 3 . 1, .2 . 1 + 3. O) = (O - 3, .2 + O) , = (-3, 2)

Ejemplo 3~

(1,2) (1,0)

= (1 . 1 - 2 . O, 1 . O + 2. = (1 - O, 0'+ = (1,2)

I

.

1)

2)

.'

¿C6mo

6.12 Identi~ad multiplicativa

-establecemos

Si existe en e un elemento identidad pará la multiplicación, este elemento debe ser un (x, y) tal que. haga cierta la siguiente igualdad para todo (a,b) E e, de la cual partimos para determinarlo

=

(a, b) (x, y) (a, b) - by, ay + bx) = (a, b)

hipótesis definición de ~ultiplicación

(ex IX

- by =

a.

y

ay + bx

el elemento identidad?

de números complejos definición de ipaldad de números complejos.

=b

Resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos:

x

=1

y=O

luego (1,0) es el elemento identidad para la multiplicación. . Conviene hacer notar que los valores de. x y de y no dependen de a ni de b y por lo tanto (1,0) funciona como elemento identidad para todo (al b) E e. De la misma forma podemos estlÍblecer la existencia en e de un inverso multiplicativo (recíproco) para cada elemento del conjun-

to con excepción de (0,0). . Sean (a, b), (x, y) E e con (a, b) (x, y) = (1,0) (ax by, ay + bx) (1,0)

-

,

IX.

=

- by =1 Y ay + bx = ,

hipótesis r definición .de multiplicación enC O' definición de igualdl\dde nú. ,

meros compl,ejos

'

¿Podemos .

demostrar

I1exlstencil del multiplicativo?

.109

,.

.

.

Resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos:

- by = 1

(1)

IX

(2)

ay + "bx

(1) (3)

ax by bx + ay

-

a2x

.:..

Iby

=O = 1.

ordenando

=O

=a

multiplicando (1) por'. y (2) porb y 8um~ndo

=O (4) (a2 + b2) X = a aby + b2x a

.

.

x

= a2 +.~

sj a2 + b2 =1=O, es decir si (a, b) =F (0,0)

~-bY=1

sustituyendo x

~

sumando

.

'- 1 = by

.1 - .1 - 181= by

-b 181

8irnplicando

=Y

-1

en ambos lados

~fectuand~

= by .2 +

by

= .2.+. 181en (1)

.

multiplicando por

,.

.~

ambos lados

de donde el inverso.multiplicativode (a, b), si (a, b) =F (0,0) es.

.

-18

~.I + 181~ .1 + 182) En el caso en que (a, b) = (0,0),no es posible encontrar un complejo (x, y) tal que (1, b) (x, y) =, (1,0)

- .y, o. Y + o. x)

ya que (0,0) (x, y) = (O. x O . (O O, O

= -

+ O)

= (0,0)

y (0,0) =1=(1,0)'. pues O =1=1

Por tal razón, d~imos que el elemento (0,0) no tiene inverso .

Diultiplicativo.

.

.

110

.J

-

Ejemplo: Determina el recíproco de (1,2) 1 Y b 2 Solución: En este caso a

=

=

= -L = .51 1 +. 4

luego' -!.a~ + b~

.

por lo que el recíproco de (1,2) es .

= .=.!= - !& 1+ 4

y -=.L a~ + b2 (1

&'

-

!&)

Comprueba este resultado multiplicando I

1 ) (-&' - -2&) -- ( -5'1 --2& ) (1,2) = (10' ) "

(1 ,2

El recíproco de z = (a, b) se a~08tumbra escribir como' .! 6 ---L. ,

4.~

,z

(a. b)

El conjunto de los números complejos es 101campo

Hemos establecido un conjunto en el que se han definido dos operaciones, suma y multiplic~ción; ambas operaciones son binarias, ~s decir, ~l conjunto es cerrado respecto a cada una de estas operaciones. Cada operación es ~onmutativa y asociativa, adell)ásla multiplicación se distribuye sobre la suma; para cada operación existe en el conjunto un elemento identidad, 'y ca~ elemento del "Conjunto tiene en el mismo conjunto un inverso para la suma, y si es diferente de (0,0) tiene también un inverso para la multiplicación; dadas estas. características del conjunto debemos ~onsiderarlo como un. campo, ya que satisface los seis postulados que definen un campo o sea: Cerradura: Plita toda ZII Z2, E e. ZI +' Z2 E e Z 1 Z2 E e

¿Qué propiedades debe satisfacel' el cO,njunto

de los nimeros . complejos para

quesea un cámpo?

.

Conmutativa . Z1 + Z1

Asociativa

Distributiva Para toda

Z2

= 2:2. +

. Z2 =Z2 . Z 1

Z1

. ZI ,+ (Z2 + Z3) =' (ZI + Z2) + Z3 (ZI Z2) .. z.¡ ZI (Z2 Z3)

. .

= .

ZI, Z2. Z3 E e

ZI (Z2 + Z3)

= ZI Z1 + ZI Z3

Identidades Existen el) e dos elementos (0,0) y (1,0) diferentes entre sí tales que,

. si (a, bl E e

'

111

'(a, b) + (O,O) = .(0, O) + (a,'b) = (a, b)

y (a, b) (1, O) = (1, O) (a, b) = (a, b) (O,O) esel elemento identidad para la suma (1, O) es el eleme~to identidad para la multiplicación

Inversos

= (ap)

Para cada z

-z =-

tal que (a, b)

e

E existe (a,bt = (-a, ~)

+

también en e un elemento

(-a, -b) = (-a, -b) + (a,b) = (O,O,

Para cada z E e, z ::1= (O,O)existe un 1. z E e tal que

z. !z'

.

,= !z

. = (,. 'O) Z'

,

Ordenaci6n del conjunto de los n6meros

Para ordenar el conjunto de los 'números reales, fue necesario que indujeras la corr~spondencia .biUnívoca entre este conju~to R y el conjunto de puntos en una línea recta llamada recta numérica o

reales.

escala numérica (figura 3). Es esta correspondencia la que nos per-

'

mite ul)icar a un punto en la recta cuando conocemos su coordenada o número real asociado. I

-4

I

I

I

-3

-2

-1

I

I

I

I

I

I

O

1

2

3

4

5

.

Figura 3 .

Correspondencia' biunfvoca entre los elementos de C y ros puntos

En 'esta ,unidad te hemos indica~o que existe una correspondencia biunívoca entre lo~ elementos de e -(pares ordenados con 'componentes reales) y los puntos del plano. Todo pun.to del plano se determina cuando conocemos su, par ordenado o número complejo

del plano.

asociado.

'

,

Cuando el segundo componente del par ordenado es cero, la gráfi<;adel número complejo es un punto en el eje X. 112

y.

a . f

z

= (a, b)

lb ,

, I I

x

....

Figura4 y

z = (a,O)

x

Figura5 Con lo anterior' hemos considerado dos formas distintas de referimos a u~ punto de una recta: mediante un nrm.ero real que nos indica la separación entre el origen y el punto o mediante Un par ordenado que ubica el punto en el plano. Este hecho de poder referimos a cada punto del eje X mediante un número real a ó mediante el par (8,0), nos ayuda a visualizar la corresp.ondenciabiunívoca

Relaci6n entre punto en el plino y plr ordenado.

entre los elementos 8 e R y (8,0) e e y que esta correspondencia se p'reserva a través de las operaciones suma y multiplicación.

113

... .

Ejemplo:

& + 3 = 8 (6,0) + (3,0) = (8,0)

La suma de dos

reales es el número asooiado

números-

con la suma de sus correspondientes complejos.

Ejemplo:

4 + (-4) :::; O (4,0) + (-4,0)(0,0)

=

El producto de d08 número8 reáIes es el número asociado con el productó de SU8correspondient~

3 (3,0)

& ..

(6,0)

. .

= 1

1: 3

. (t'

complejoS.

O) = (1,0)

=

3

16

. (3,0) = (.15,0)

En forma general

.

+

b

* * (a, P) + (b, O) y

*

= (a + b, O)

. b = a. b * * (a, O) . (b, O) = (a. b, O) a

*

El conjunto de númerosreales essubconjunto delconjunto denúmeros complejos.

=a+b

.

Dado que 108 números complejos de la forma (a, 1) tienen exactamente el mismo comportamiento de los números reales en ló Jfeferente a las operaciones de suma y multiplicación, no existe impedimento para representar ~l número complejo (a, O) como a, y considerar al' conjunto de los números reales como un subconjunto

de C.

Si k E R k (., b) = CIt,O) (a, b) = (k. a' ~ O. b, k. b + O. a) ==(lea,kb)

114

o sea .

= -1 = (-a,

~jempl08: si k

-1 (a, b)

..

si

k =,2, 2

'.

-b) (a, b) = (3, -4)

. (3, - 4)

= (6, -

8)

Es probable que. te preguntes por qu~ en lugar de' los números' complejos' de la forma (a, O) no consideramos los de la forma (O, b); la razón es'la siguiente:

Aún cuando existe la cor,respondenciabiunívoca entre los eleImentos de R y los del {z e e I z (O, b)} esta correspondencia no .

=

se preselVa a través de la multiplicación

.

.a .(0; a)

2 (0,2)

b

. '(O,'b) .

.

3 (0,3)

=

..

ab

= (-ab, O)

= 6 = (-6, O)

REACTIVOS DE'AUTO~VALUACION

1.

Efectúa las operaciones indicadas en el siguiente conjunto de problemas:'

a) (3, -1) b) (-2,4) c) (2, -3) d) (-3,4)

(1,5) (3,2) (-2,3) (11,-2)

'1

e) (3, 2) (1,

-

1

2)

:f) (1, ":'4) (3, -2J g) (-1, 2) (-1, 2) n) (0,3) (0,2) i) (x, y) (0,0) j) (0,1) (0,1) . k)(O~1)3 1) (0,1)4. lIS

2. E~cuent,"a (x,y), (-x, ~y), -( 1 » si existen. . x,y . a)

"

b) e) . d). e)--

: ; f)

g)

l. 116

='(-1,2)

(x, y')

(2,3)

(-2,1) (x,y) = (1,0) (x,y) = (-.1,3) (2,- 4)' (6,2) = (x, y) (4, -1) (

(3, -~)= (2,-3) (x,.y) (x, y)

= (-1,2) (-

1

-2

i'

-¡-)

(x,y). = (2, -4) (,~' i)