Lista-problemas De Algebra

COLECCION DE PROBLEMAS DE ALGEBRA MATRICES 1. Determina las matrices X e Y , sabiendo que:

 1 − 2  3 X − 5 Y =  1 8

 2 4  − X + 3 Y =   3 0

2.Determine la matriz X de dimensión 2 x 2 tal que : 1 3

X

2 5

0 1

−2

=

1 1

−1

0

3

−1 0

−1

0 −1

0

1

0

1 3. Determinar la matriz X que verifica la ecuación B t - AX = A , donde : A =

1

2 1 0 , B=

y B t es la matriz traspuesta

0 1 1 1 3 1

de B. Justificar la respuesta. 4. Dadas las siguientes matrices A =

1 1 1 1

yB=

5. Determinar las matrices A y B que verifican: 2A - B =

0

−1

−1

0

Resuelve la siguiente ecuación matricial: X·B = A + B

−4 1 7 6

3 −2 −4

A + 2B =

0 3

3

5

1

justificar la respuesta.

6. Determina los valores de x e y que hacen cierta la siguiente igualdad. 1 −1

x

3

y

2

=

1

x

3

y −1

2 1 −1 0

7. Encuentra una matriz X que verifique la igualdad A·B - X = A 2 , siendo A =

1

0

1

1

0

0

8. Resolver la ecuación matricial AX +X -3I = 0 siendo I la matriz identidad de orden 2 y A = 9. Dada la matriz A =

a 0 1 b

1 0 1 yB=

0 1 1

.

1 1 0 2 0 1 2

¿que relación deben guardar las constantes a y b para que se verifique la igualdad A 2 = A?

1 1 1 10. Sea A =

1 1 1

y sea A la matriz identidad de orden 3x3.

1 1 1 a) ¿Existe algun valor real,m tal que (A - I)·(A +mI) =I b) Calcula la matriz B tal que (A -I)·B = I 11. Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los precios de coste de cada unidad son 600, 920 y 1.430 euros, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son 1.800, 2.800 y 4.000 euros. El número de unidades vendidas anualmente es de 2.240, 1.625 y 842 respectivamente. Sabiendo que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales y que la matriz de ventas, V, es una matriz fila, se pide: (a) Determinar las matrices C, I y V. (b) Obtener, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondiente a los tres artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales. 1 −2 1 12.

Calcula el rango, según los valores de k, de la matriz . A =

1

1

3

5 −1 k 13. (a) Sean A una matriz de dimensión 5x4, B una matriz de dimensión mxn y C de dimensión 3x7. Si se sabe que se puede obtener la matriz producto ABC, ¿cuál es la dimensión de la matriz B?. ¿Y la matriz ABC?. (b) Si A es una matriz, ¿existe siempre el producto A t · A?. Razone la respuesta. 14. Dadas las matrices 3 A=

2 1 −1

B=

−2 1

a) Calcular las matrices M = AB y N = BA b) Calcular P −1 , siendo P = (N - I), donde I representa la matriz identidad. 15. Resuelve: 1

2

X - 2Y =

1

0 −3

2X + Y =

3 −2

5

2

16. Un constructor construye chalés de lujo (C.L.), chalés adosados (C.A.) y viviendas de protección oficial (V.P.O.). Se sabe que cada C.L. tiene 3 cuartos de baño, 2 aseos y 2 cocinas, cada C.A. tiene 1 cuarto de baño, 1 aseo y una cocina y cada V.P.O. tiene 1 aseo y una cocina. Por otra parte, cada cuarto de baño tiene una ventana grande y una pequeña; cada aseo tiene una ventana pequeña y cada cocina tiene dos grandes y una pequeña. a) Hallar la matriz A que expresa el número de habitáculos (cocinas, cuartos de baño y aseos) en función de cada tipo de vivienda. b) Hallar la matriz B que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función del tipo de habitáculo. c) Hallar la matriz C que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función del tipo de vivienda. ¿Puede calcularse C como resultado de una operación matricial entre A y B? d) Si al final del año ha construido 10 C.L., 20 C.A. y 50 V.P.O., ¿cuántas ventanas grandes y pequeñas ha empleado en la construcción? Si el número de ventanas grandes y pequeñas se expresa por medio de una matriz D, ¿cómo puede obtenerse ésta a partir de la matriz C? e) Sabiendo que el carpintero cobra 40.000 ptas por cada ventana grande y 20.000 por cada pequeña, ¿cuánto dinero tendrá que pagar el constructor al carpintero? Si este resultado se expresa mediante la matriz E, ¿cómo puede obtenerse a partir de la matriz D? 0 17. Si A =

1 1 0

es la matriz fila y B =

1

es la matriz columna

1 a) b)

Calcula las matrices A·B y B·A De las matrices calculadas en el apartado a), ¿es alguna inversible? 1

1

t

t

0

−1

−6 −1

0

18. Dada la matriz A = a)

Hallar los valores de t para los cuales A no tiene inversa.

b)

En el caso t = 2, hallar, si existe, la matriz X que cumple: XA =

1 0 −1

19. Determina la matriz X que cumple la ecuación BX-A=2X siendo A= 1 −1

20. Dada la matriz A =

0

7 −7 3

1

−2 1

yB=

0

3

hallar las matrices X que verifiquen: A·X=X·A.

1

1 −1 0 21.

Encuentra una matriz X que verifique la igualdad A·B −1 - A· X = A, siendo

Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales a) A −1 · X = C · D b) 2 · X ·A t - A = A −1 23. Determinar la matriz X que verifica la ecuación B t - AX =2· A ,

A=

1

0

1

1

0

0

1 0 1 y

B=

0 1 1

.

1 1 0

22.

0

−1

0 −1

0

1

0

1 donde :

24.

A=

1

1

y B t es la matriz traspuesta de B.

0 1 1 1 3 1

1

0

−1 2

·X - 2·

1

1

0 −1

=

5

1

−1 3

1 0

−1 1 2 1

d) X · A = A

2 1 0 B=

,

Halla X en la ecuación:

25. Dada la matriz A=

c) X · B + B = B −1

, determinar la matriz B que verifica: B - I = A t - A

−1

,

0 1

siendo I la matriz unidad respecto al producto de matrices, A t la matriz traspuesta de A y A −1 la matriz inversa de A 26. Despeja X en las siguientes ecuaciones matriciales: a) 3A·X +B = X + 2I

b) A·X·B = A·B 1

27. Dada la matriz A=

1 0

−1 1 2 1

c) B t - 2X·A = A

, determinar la matriz B que verifica: B·A t – I = A ,

0 1

siendo I la matriz unidad respecto al producto de matrices, A t la matriz traspuesta de A 28. Despeja X en las siguientes ecuaciones matriciales: a) A·X -X = B·X + 2I b) A·X·B = A·B

c) 3X = 2X·A - A

2

29. La matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es:

1

2

1

1

a

a

1 4a 1 1 y la de los términos independientes:

1 2a

a) Estudia la compatibilidad del sistema según los valores de a. b) Resuelve el sistema en el caso en que es compatible indeterminado. 30. Resolver la ecuación matricial AX - X -3I = 0 siendo I la matriz identidad de orden 2 y A =

4 0 1 4

SISTEMAS DE ECUACIONES 1.Siendo a un número real cualquiera, se define el sistema: x + 2y − az = 1 −y + z

= 0

ax + z

= a

Discutir dicho sistema en función del valor de a. Encontrar todas sus soluciones para a = 1 2.Se considera el sistema: x − 9y + 5z = 33 x + 3y − z

= −9

x−y+z

=

5

Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones. Determinar si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema que resulta sea equivalente al anterior. Razona la respuesta. 3. Discutir y resolver según los valores del parametro a. 3x − 2y + az = 2 x−y+z = 0 ax + 2y − 2z = −3 4. Discutir y resolver, cuando sea posible, el siguiente sistema, según los valores de α: x + αy + z = α + 2 x + y + αz = 3 x + y + z = 3α 5. En el supermercado, por 2 litros de leche, 2 barras de pan y 1 Kg de azúcar le cobraron un día 4,90 €. y otro día, por 1 litro de leche, 1 barra de pan y 1 Kg de azúcar pagó 3,20 €. a) ¿ Puede determinar con estos datos los precios de la barra de pan, el litro de leche y el Kg. de azúcar? ¿Y alguno de ellos? Razona la repuesta b) Si un tercer día le piden 5,40 € por tres litros de leche y tres barras de pan, ¿puede estar seguro de que alguno de los tres días se han equivocado al hacer la cuenta? Razona la respuesta. 6. Discutir y resolver el siguiente sistema segun los valores del parametro m. x + 2y + z = 0 x−y−z = 0 mx − z = 0 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: −y + z = −2 x + 2y + 4z = 3 2x + 4y + 8z = 1 8. Discutir y resolver según los valores del parametro a. ax + y = 2 y+z = 1 x + ay = 1 9. Dado el sistema:

3

3x − 2y + z = 5 2x − 3y + z = 4 a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible. b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado. 10. Discutir y resolver el siguiente sistema segun los valores del parametro m. x+y+z = 0 x−y+z = 0 mx + z = 0 11.

Discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x + 3y − z = 0 x + y + 2z = 0 −x − 7z = 0

12.

Discutir y resuolver, usando el método de Gauss, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x + 3y − z = 0 x + y + 2z = 0 −x − 7z = 0

13. Discutir y resolver el siguiente sistema segun los valores del parametro m. x+y+z = 1 2x − y + z = 0 x + y + mz = m 14. Discutir y resolver según el valor del parámetro λ , el sistema de ecuaciones lineales: x + λy + z = λ + 2 x + y + λz = −2λ + 1 λx + y + z = λ 15. Discutir y resolver por Cramer según el valor del parámetro , el sistema de ecuaciones lineales: x + λy + z = 1 x + λy − λz = λ 2x + y + 2z = −1 16. Discutir el sistema de ecuaciones, en función del parametro m. 3x + 2m + 3y = 1 −3mx + y = 1 16. Hallar x, y, z para que se verifique:

 1  1   1 1  y      x  2  +  2 1 ⋅   =  0   − 1  0 1  z   0        PROGRAMACION LINEAL 1. Una empresa de bicicletas se dedica al montaje de dos tipos de bicicletas, unas de carretera y otras de montaña. Dispone de una seccion de montaje y otra de pintura Las horas de mano de obra que se necesitan para que las bicicletas esten en condiciones de salir al mercado son: para las bicicletas de carretera, cuatro de montaje y dos de pintura y para las bicicletas de montaña, cuatro de montaje y cuatro de pintura. En el taller de montaje hay 10 operarios y en el de pintura 7, que trabajan como máximo seis horas diarias. El beneficio bruto que se obtiene de cada bicicleta de carretera es de 100 € y de cada bicicleta de montaña de 120€. Calcula la producción diaria que optimice los beneficios brutos. 2. Unapromotora debe construir un total de 100 viviendas de dos tipos A y B. En cada vivienda del tipo A obtiene un beneficio bruto de 1000€ y en la de tipo B de 1500€ Tiene que haber el triple de viviendas de tipo A que de tipo B. Por otra parte , el ayuntamiento al que pertenecen los terrenos obliga a construir al menos 20 viviendas de tipo B. Determina el número de viviendas que se construiran de cada tipo si el promotor desea obtener los máximos beneficios posibles. 3. Una papelería dispone de 270 metros cuadrados de cartón y 432 metros de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: de tamaño folio y de tamaño cuartilla. Para una del primer tipo se necesitan 0,20 m2 de cartón y 30 cm de cinta y se vende a 1,40 € la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan 0,15 m2 de cartón y 27 cm de cinta y se vende a 1,10 € la unidad. a) Representa la región factible. b) ¿Cuántas carpetas han de fabricarse de cada tipo para obtener los mayores ingresos? 4

c) Calcula dichos ingresos. 4.Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas , produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 2000 pts y 3000 pts por unidad, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos, teniéndose las siguientes restricciones: El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por día y operario. Cada mesa requiere 2 horas para su fabricación; cada silla, 3 horas. La jornada laboral máxima es de 10 horas. El material utilizado en cada mesa cuesta 400 pts. El utilizado en cada silla cuesta 200 pts. Cada operario dispone de 1200 pts diarias para material. Expresénse la función objetivo y las restricciones del problema. Represéntese gráficamente la región factible y calcúlense los vértices de la misma. Razónese si con estas restricciones un operario puede fabricar diariamente una mesa y una silla, y si esto le conviene a la empresa. : 5. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños, el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión de un adulto es de 800 pesetas, mientras que la de un niño es de un 40% menos. El número de adultos no puede superar al doble del número de niños. Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta de entradas?. ¿Cuántas de las entradas serán de niño?. 6. Por 9 entradas de Patio (BP), 6 de Anfiteatro I (AI) y 9 de Anfiteatro II (AII) ha pagado 480 euros. A otra persona le han cobrado 140 euros por 4 de AI y 6 de AII y una tercera persona paga 160 euros por 3 de BP, 2 de AI y 3 de AII. a) Determina, sólo con estos datos, el precio de las Butacas de Patio. b) ¿Puedes determinar el precio de las entradas de Anfiteatro I y II? c) Si le dicen que el precio de las de Anfiteatro I es el doble de las de Anfiteatro II, ¿podrías entonces determinar eses precios?. Si la respuesta es si, determínalos. 7. Una empresa juguetera manufactura trenes y muñecas de madera en sus dos talleres dedicados a carpinteria y a pintura. Cada muñeca se vende a 2.700 pesetas y tiene un costo de 2.400 pesetas. Cada tren se vende a 2.100 pesetas y tiene un costo de 1.900 pesetas. Una muñeca requiere 2 horas de trabajo de pintura y una de carpinteria, mientras que cada tren requiere 1 hora de pintura y una de carpintería. Cada semana el taller de pintura dispone de 100 horas y el de carpinteria de 80. Teniendo en cuenta que los pedidos de muñecas no superan las 40 unidades por semana. a) Que producción debe tener el taller para maximizar las ganancias . b) Cúal sera el beneficio obtenido. 8. Un empresario fabrica dos productos A y B. La fabricación de un Kilo de A necesita 4 horas de trabajoy un gasto de 60 € en material, obteniendose un beneficio de 45 €.La fabricación de un Kilo de B necesita 8 horas de trabajoy un gasto de 48 € en material, obteniendose un beneficio de 33 €. Cada semana el empresario dispone de 200 horas de trabajo. Además firmó un contrato que le obliga a fabricar un mínimo de 15 Kg de A y 10 Kg de B. Si no puede gastar más de 1920€ en material, a) ¿Cuántos Kilos por semana debe fabricar de cada producto para obtener el máximo beneficio? b) ¿ Cual sera ese beneficio máximo? 9. Resolver el problema de programación lineal por el método gráfico Las limitaciones de pesca que impone la Unión Europea obligan a una empresa pesquera a capturar como máximo 50 toneladas de atún y 40 toneladas de anchoas. Además el total de la pesca no puede exceder de 70 toneladas. Si los beneficios que obtiene dicha empresa son de 3 euros por kilogramo de atún y de 5 euros por kilogramo de anchoas, se pide: a) ¿Qué cantidades de cada especie deben capturarse para obtener beneficios máximos? b) ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos? Justificar las respuestas. 10. Resolver el problema de programación lineal por el método algebraico Una tienda de ropa deportiva tiene en su almacén 200 balones y 300 camisetas. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contiene 1 balón y 3 camisetas y el lote B está formado por 2 balones y 2 camisetas. La ganancia obtenida con la venta de un lote tipo A es de 12 euros y de 9 euros con cada lote tipo B. Sabiendo que el número máximo de lotes del tipo A es de 80, determinar: a) El número de lotes de cada tipo que deben prepararse para obtener una ganancia máxima. b) La ganancia máxima. Justifica la respuesta. 11. Una papelería dispone de 270 metros cuadrados de cartón y 432 metros de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: de tamaño folio y de tamaño cuartilla. Para una del primer tipo se necesitan 0,20 m2 de cartón y 30 cm de cinta y se vende a 1,40 € la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan 0,15 m2 de cartón y 27 cm de cinta y se vende a 1,10 € la unidad. a) Representa la región factible. b) ¿Cuántas carpetas han de fabricarse de cada tipo para obtener los mayores ingresos? c) Calcula dichos ingresos. 12. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficio de la empresa por año es 25.000 €. por electricista y 20.000 por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio máximo? 5

13. En una tienda de artículos deportivos se pueden adquirir, entre otros productos, raquetas de bádminton y raquetas de tenis. El beneficio por la venta de cada raqueta es de 20 y 25 euros, respectivamente. Por cuestiones de estrategia comercial, se decide vender al día, como máximo, 6 raquetas de bádminton y 5 de tenis. Considerando que el número total de raquetas vendidas no puede ser mayor que 7. 1) representa la región factible, 2) halla el número de raquetas que debe venderse de cada clase para que el beneficio sea máximo y 3) calcula ese beneficio máximo. 14. El consejo de dirección de cierta empresa desea invertir 100 millones de euros en sus dos factorias A y B. Razones técnicas desaconsejan que la inversión en cualquiera de las factorias supere el triple de la que se realica en la otra. Por otra parte para conseguir subvenciones de la comunidad es necesario que la inversión en A sea al menos de 20 millones y en B de 40 millones. La rentabilidad esperada es del 10% en A y del 7% en B. Cuantifica la inversión que debe realizarse en cada factoria para maximizar la rentabilidad. 15. Un autobús Madrid-Paris ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y para no fumadores al precio de 60 euros. Al no fumdor se le deja llevar 50 Kg de peso y al fumador 20 Kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equaje de hasta 3000 Kg, ¿cuál debe ser la oferta de pazas de la compañia para optimizar el beneficio?

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