Algebra

Afirmatia este adevarata [G:H]= GH Aplicatia f:C*→R+*,f(z)=IzI=zz=a2+b2 daca z=a+ib, este morfism de la grupul (C*,+,.) la grupul (R+*,+,.)? Aplicatia f:M2(Z), f(A)=Â, unde A=acbdЄM2(Z,) Â=âĉbd,nu este morfism surjectiv de inele? Aplicatia f:M2(Z)→Z,F(A)=IAI este morfism de la monoidul (M2(R),.,I2) la monoidul(Z,.,1) Aplicatia f:Z→Zn, f(α)=â este morfism surjectiv de la inelul (Z,·,1)la inelul (Zn,·,î)? Astfel in inelul Z8xZ, produsul direct al inelului (Z8,+,·) cu inelul (Z,+,·), avem(5,3).(3,-7=(ô,7)? Care este polinomul g∈Z8[X] astfel incat (2X+3)g=1

1 . A

Care sunt automorfismele grupului (Z,+)(Z fiind multimea numerelor intregi)?

Care Cate Cate Cate

sunt elementele inversabile ale inelului(Z6,+,·)? elemente inversabile sunt in inelul (Z6,+,·)? morfisme de monoizi exista de la (Q,+) la (Q,+)? morfisme de monoizi exista de la(Z*,·) la (N,+)?

Cate morfisme exista de la grupul (Q,+) la grupul(Z,+)?

C Ce morfism (morfisme) de la(Q,+)(Q fiind multimea numerelor rationale) la(Z,+)(Z fiind multimea numerelor intregi) putem definii?

A A

F A A F(7,-21) g(x)=4x2+ 6x+3 morfismu x si morfismu -x 1,5 2 nici unul NICI UNUL 1 orice morfism de tipul Kx, cu K

∈Z Consideram multimea numerelor reale si relatia binara definita pe aceasta multime astfel:ρ=x,y/x,y∈R,x=y∨x+y=3 .Atunci relatia este reflexiva si nu este tranzitiva? Constanta a∈R este astfel incat legea de compozitie ,,*” definita prin ∀(x,y)∈R2 , x*y=xy+axay este asociativa pentru a=... . Cu cine este izomorf grupul multiplicativ(R+*,·)(unde prin R+* am notat multimea numerelor reale strict pozitive)?

1

F(pt ca e o rel de echiv)

a∈{0,1}

(R,+)grup ul aditiv al nr. reale

2 Daca (C*,·,1) este grupul multiplicativ al numerelor complexe, atunci cate subgrupuri de ordin 10 ale acestui grup exista? . Daca (G,.,e) este un grup abelian atunci orice subgrup H al lui G nu este subgrup normal.

D

Daca (G,.,e) este un grup atunci subgrupul unitate 1={e} si G sunt subgrupuri normale ale lui G. Daca (G,.,e) este un grup, aЄG, aplicatia φ:G→G φ(x)=axa-1 este bijectiva. Daca (G,·,e) si (G’,·,e’) doua grupuri si f:G→G’, f(x)=e’ este morfism de grupuri. Daca (R,+,·) este un inel, atunci daca IRI>1 atunci 1≠0. Daca (R,+,·) este un inel, atunci daca R nu are divizori ai lui zero, iar xy=xz sau yx=zx cu x≠0, atunci y=z. Daca (R,+,·) este un inel, atunci VxЄR avem x·0=0·x=0. Daca (R,+,·) este un inel, atunci x(-y)=(-x)y=-xy si (-x)(-y)=xy oricare ar fi x,yЄR. Daca (R,+,·) este un inel, atunci x(y-z)=xy-xz si (y-z)x=yx-zx oricare ar fi x,y,zЄR. Daca ∀x,y∈R,x≠0,y≠0, avem 1/xy=0 spunem ca R este un inel fara divizori ai lui 0? Daca a este un element de ordin finit, atunci numarul natural notat cu ord(a), ord(a)=min{kЄN*/ak=e} se numeste ordinul lui a. Daca A si B sunt multimi care verifica proprietatile:AUB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,};BA={4,5,6,7,8};{3,9}∩B=Ø;A∩B={1}, determinati multimile A si B. Daca A=abcd∈M2(Z) si f= X2-(a+d)X+ad-bc din Z[X], atunci f(A)=0010? Daca definim aZ+bZ={x+y/x∈ aZ,y∈ bZ}, unde prin Z am notat multimea numerelor intregi, atunci determinati 25Z+20Z. Daca f si g sunt doua functii monotone, de monotonii diferite, atunci gof (g compus cu f) este crescatoare? Daca f:M→M’ este un morfism bijectiv de monoizi iar f-1 este inversa aplicatiei f, atunci f-1 este morfism bijectiv de la monoidul (M’,·,e’) la monoidul (M,·,e). Daca f:R→R’ este un morfism de inele, atunci Im(f)≈ RKer(f). Daca G este un grup finit, atunci orice element aЄG are ordinul finit si ord(a)/ordG. Daca G este un grup si H1,H2 subgrupuri ale sale atunci H1U H2 nu poate fi subgrup a lui G? Daca H={2n+1/nЄ N}, atunci H este submonoid al monoidului (N,.,1) Daca I≤R, atunci I este subgrup al grupului (R,+,0)? Daca m,nЄN* sunt prime intre ele, atunci inelul Zmn nu este izomorf cu produsul direct al inelului Zm cu inelul Zn? Daca m∈N si z=cos2πm+isin2πm, atunci ord(z)=...? Daca n>1, atunci An={ σЄSn / ε(σ)= 1} nu este un subgrup de ordin n!/2 al lui Sn. Daca n≥3, grupul altern An este generat de ciclurile de ordin 3. Daca n≥5, atunci grupul altern An este simplu. Daca nЄ□ iar I=nanbncnda,b,c,dЄ□, atunci I nu este ideal bilateral al lui R. Daca nЄN si I=nZ={nqIqЄZ} atunci I este ideal al lui Z? Daca R este un domeniu de integritate exista un corp comutativ K, numit corpul fractiilor lui R, astfel incat R este subinel al lui K si pentru orice xЄK exista a,bЄR,b≠0 astfel incat x=ab-1. Daca R este un domeniu de integritate, atunci R[X] este domeniul de integritate si grad(fg)= grad(f)+ grad(g) oricare ar fi f,gЄ R[X],f≠0,g≠0. Daca R este un inel.Atunci T2(R)=ab0ca,b,cЄR nu este subinel al inelului M2(R), Daca z=1+i∈C* ,atunci ord(z)=...? Daca σЄSn,n≥2, notam cu Inv(σ) numarul perechilor (i,j) cu i<j astfel inat σ(i)> σ(j).Vom spune ca Inv(σ) este numarul inversiunilor permutarii σ. Determinati in Z7[X] restul impartirii polinomului f=5X4+3X2+X+2 la polinomul g =X+5 Determinati numarul de elemente din multimea M2(Z2) Determinati solutiile ecuatiei 3x2-4x+1=0 in Z17. Determinati solutiile ecuatiei 3x2-4x+1=0 in Z5. Determinati solutiile ecuatiei x2-x+5=0 in Z19.

E

Determinati solutiile ecuatiei x2-x+5=0 in Z7. Elementul unitate al inelului Z8xZ este (î,1)? Elementul zero al inelului Z8xZ este (ô,1)?

2

1 subgrup F A A A A A A A A F(xy=0) A

A={1,2,3 9,} B={1,4,5, 6,7,8} F 5Z

F este monotona A A A F A A F

ord(z)=m F A A F A A A

F ord(z)=8 A

5 16 x1=1,x2=6 x1=1,x2=2 x1=10,x2= 10 x1=2,x2=6 A F (0,0)

(G,○,e).Daca x =e atunci avem (G,○,e). grup abelian? 3Fie Fie (G,○,e).Stabiliti daca ∀x,y∈G,x,y=x y face ca (G,○,e) sa fie un grip abelian. (G,.,e) si (G’,.,e’) doua grupuri.O aplicatie f:G→G’ se numeste morfism de la grupul G la grupul G’ . Fie daca f(xy)=f(x)f(y) oricare ar fi x,yЄG. 2

2

F

2

Fie (G,.,e) un grup finit si H un subgrup a lui G.Atunci IGI=IHI·[G:H]. Fie (G,.,e) un grup finit si n=IGI.Atunci an=e,VaЄG. Fie (G,.,e) un grup. Pentru orice valoare aЄG, aplcatiile λa:G→G , λa(x)=ax si ρa:G→G, ρa(x)=xa nu sunt bijective. Fie (G,.,e) un grup.Un subgrup N al grupului G se numeste subgrup normal al lui G daca VaЄG,VxЄN => axa-1 Є N Fie (G,·,e) si (G’,·,e’) doua grupuri si f:G→G’ un morfism de grupuri.Atunci f(e)=e’ si f(x-1)=(f(x))1 , oricare ar fi x∈G. Fie (S3,○) grupul permutarilor de ordin 3 si H un subgrup cu 3 elemente al acestui grup.Cate elemente are grupul factor S3/H? Fie A un inel cu proprietatea ca x3=x, (∀)x∈A.Atunci inelul este comutativ? Fie A un inel si I,J,L ideale bilaterale in A astfel incat I+J=A si I⊇JL.Atunci I ⊇J? Fie A un inel unitar cu proprietatea ca x12=x,(∀)x∈A. Atunci, oricare ar fi x∈A:x2=1? Fie A un inel unitar inclus in corpul C al numerelor complexe si care include intervalui (0,1).Operatiile inelului sunt cele induse de operatiile din C.Atunci A=R sau A=C,R si C avand semnificatia de mai sus. Fie A un subcorp al lui R.Atunci: Q∩K=Z? Fie A,B∈M2(R), A=cos2πn-sin2πnsin2πncos2πn, B=100-1,n∈N*.Atunci An-1=I2? Fie A={0,1,2,3,4}mAtunci ∀x∈Z∃a∈A a.i. x≡a (med5)? Fie f :Z→Z,f(x)=x2,unde prin q se intelege partea intreaga a numarului q.Atunci f este surjectiva? Fie f:□→□, f(x)2x+1. Este adevarata afirmatia f este bijectiva?

4 .

Fie f:□→□, f(x)2x+1. Este adevarata afirmatia f nu este bijectiva? Fie f:A→B si f:B→C doua functii injective.Atunci g○f nu este injectiva? Fie f:A→B si g :B→C doua functii surjective. Atunci g ○f este surjectiva? Fie f:R→R,f(x)=2x-3,x≤07x,x>0 .Atunci f este injectiva? Fie f:R→R’ un morfism de inele, atunci f este injectiv daca si numai daca Ker(f)≠0 Fie f:R→R’ un morfism de inele, atunci Ker(f) este ideal bilateral al lui R, iar Im(f) este subinel al lui R’. Fie f:Z→C*,f(k)=cos2kπn+isin2kπn, unde nЄN*.Atunci ∀(h,k)∈Z×Z avem f(hk)=f(h)f(k)?

F

Fie f=2X+2ЄZ4[X].Atunci ∃g(X)ЄZ4[X] astfel incat f(X)g(X)=ô? Fie f=3+2XЄZ4[X].Atunci ∃g(X)ЄZ4[X] astfel incat f(X)g(X)=1? Fie f=ax+b,cu coeficientul in Z3, atunci avem (f(x))3=f(x)? Fie F=2X4-2X3-15X2+10X+3 ∈Z[X].Sa se calculeze f(3). Fie F=2X4-2X3-15X2+10X+3 ∈Z[X].Sa se determine catul impartirii lui f la x-3 Fie functia f:A→B cu proprietatea : ∀(x1,x2)∈A×A, x1≠x2⇒f(x1) ≠ f(x2) este adevarata afirmatia f este bijectiva? Fie functia f(-1,0)→511,12, f(x)=2x2+35x2+6.Stabiliti daca functia este bijectiva. Fie functiile f,g:R→R date d f(x)=ax+b cu a,b∈R,a≠0, respectiv g(x)=3x+5.Sa se determine a si b astfel incat f○g=g○f.

3

A A A A A F A F 1

A A F pt. ca x2=x F,pt.ca A=C unde C este mu nr. complexe F A A A

F (este injectiva) F (este bijectiva) F (este injectiva) A F(pt ca este bijectiva) A A F pentru ca f(h+k)=f(h )+f(k) A F f(X)g(X)≠1 F((f(x))3=f x3)) f(3)=6 2X3+4X2+ 3X+1 F (este injectiva) A

A=1,B=0

Fie functiile f:R→R o functie cu proprietatea (f○f)(x)=x2-x+1 pentru oricare x∈R .Atunci calculati f(1). Fie G un grup cu 6 elemente .Atunci G este intotdeauna izomorf cu grupul (Z6,+)? Fie G un grup cu proprietatea ∀ x∈G: x2=e.Atunci stabiliti daca grupul G este izomorf cu (Z6,+) Fie G un grup finit si a,bЄG doua elemente oarecare astfel incat ab=ba.Daca ord(a) =m,ord(b)=n si (m,n)=1 atunci ord(ab)=mn Fie G un grup.Exista o Submultime stricta H a lui G (adica H sa fie inclusa in G) astfel incat (∀)a∈H si ∀b∈G sa rezulte ab∈H? Fie G=1ab01c001/â,b,c∈Z3.Atunci ∀A∈G:A3=I3? Fie grupul (Z,+) si multimea 5Z={5m/m ∈Z}.Stabiliti daca 5Z este subgrup al grupului (Z,+), dar nu este normal? Fie grupul (Z10,+).Cate subgrupuri are acest grup? Fie grupul (Z12,+).Cate grupuri factor are acest grup? Fie grupul (Z4,+,ô) si 3∈Z4, atunci ord(3)=5? Fie grupul simetric (S3,⊥).Atunci numarul subgrupurilor lui S3 este... Fie grupul simetric (S3,⊥).Atunci numarul subgrupurilor normale ale lui S3 este. Fie grupul simetric (S3,○).Atunci gasiti numarul subgrupurilor normale ale lui S3. Fie grupul simetric (S3,○).Atunci stabiliti numarul subgrupurilor lui S3. Fie H={ σ ЄSn/ σ (n)=n}, atunci H nu este subgrup al lui Sn. Fie H={2n/nЄ N}, atunci H este submonoid al monoidului (N,+,0)? Fie K = ab-baa,bЄZ3.Atunci stabiliti daca (K,+,*) este un inel cu divizori ai lui zero.

F

Fie K si K’ doua corpuri.O aplicatie f:K→K’ se numeste morfism (izomorfism) de corpuri daca este morfism (izomorfism) de la K la K’considerate ca inele. Fie M o multime cu 3 elemente. Cite legi de compozitie se pot defini pe M? Fie M si N doua multimi finite avand m, respectiv n elemente .Cate functii bijective definite pe M cu valori in N exista? Fie M si N doua multimi finite avand m, respectiv n elemente m≤n. Cate functii injective definite pe M cu valori in N exista? Fie M si N doua multimi finite avand m, respectiv n elemente.Cate functii definite pe M cu valori in N exista? Fie M2(nZ) multimea matricelor patrate cu coeficienti in nZ.Daca f:M2(Z) → M2(Zn) este morfismul cu actiunea fabcd=âbĉd avem Ker(f)=M2(nZ) si Im(f)=M2(Zn)? Fie M2(R) multimea matricelor cu doua linii, doua coloane si elemente din multimea numerelor reale.Multimea I=00ab/a,bЄR este ideal la stanga al inelului (M2(R),+,·), dar nu este ideal la dreapta al acestui inel? Fie morfismele de grupuri f:Z→C*, f(x)= cos2kπ5+isin2kπ5. Atunci Kerf=...

Fie multimea U={z ∈C/IzI=1}.Stabiliti daca U este subgrup al grupului (C*,·), dar nu este normal? Fie multimea U={z∈C/z5=1}.Cate elemente are aceasta multime? Fie multimea U={z∈C/z7=1}.Cate elemente are aceasta multime? Fie nЄN* si (Zn,.,Î)monoid multiplicativ al claselor de resturi modulo n.Aplicatia f:Z→Zn,f(a)=â aste morfism de la monoidul(Zn,.,Î)? Fie permutarea τ∈S6, τ=123456512436.Determinari ordinul permutarii τ2. Fie permutarea τ∈S6, τ=123456512436.Stabiliti ordinul permutarii τ-1. Fie permutarea σ∈S6 ,σ=1 2 3 4 5 6 3 1 5 2 6 4 , Atunci numarul inversiunilor permutarii σ este... Fie permutarea σ∈S6 ,σ=1 2 3 4 5 6 3 2 4 1 6 5, Atunci ordinul lui σ in S6 este: Fie permutarea σ=1 2 3 4 5 3 5 1 2 4 , σ∈S5 are descompunerea σ=2,33,44,5? Fie permutarea σ=1 2 3 4 5 6 7 8 3 2 1 5 6 4 8 7 ,σ∈S8 are descompunerea

5 .

F

σ=1,36,84,5,7,? 4

f(1)=1

F F(e comutativ) A F F (A3=A)

F

2 2 F (=4) 6 3 3 6 F A F(e un corp comutati cu 9 elemente A

3 la a 9a mn Anm nm A F

Kerf(f)=5 Z={5q/q∈ } F pt.ca U este subgrup normal a grupului C 5 5 A

τ =12 2

0 la -1=3 3 3 A F

Fie permutarea τ∈S9, τ=1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 6 9 7 3 2 1 8 5 . Descompuneti permutarea in produs de ciclici disjuncti. Fie Q(2)={a+b2 /a,bЄQ}. Atunci (Q(2),+,·) este grup necomutativ? Fie Q(2)={a+b2/a,b∈Q}.Atunci (Q(2),+,*)este inel comutativ cu divizori ai lui zero? Fie R un inel astfel incat x6=x, ∀x∈R.Stabiliti daca 1+1=6? Fie R un inel astfel incat x6=x, ∀x∈R.Stabiliti daca x5=5,∀x∈R? Fie R=M2(Z) si I=a0b0a,b,ЄZatunci I este ideal la stanga lui R si nu este ideal la dreapta? Fie R=M2(Z) si J=00aba,b,ЄZatunci J este ideal la stanga lui R si este ideal la dreapta al lui R? Fie T2(R) ={ab0c/a,b,cER} multimea matricelor superioar triunghiulare din M2(R).Atunci T2(R) nu este submonoid al monoidului (M2(R),.,I2) Fie U grupul multiplicativ al numerelor complexe de modul 1,C* grupul multiplicativ al numerelor complexe si R+* grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive si nenule.Stabiliti daca C*/R+* este izomorf cu U. Fie Z[i]={a+ib,ab∈Z }.Determinati multimea elementelor sale inversabile, U(Z[i]). Fie z∈C* , z=i , atunci ord(i)=...? Fie σ∈Sn, n=3, cu proprietatea ∀ π∈Sn:σ○π= π○ σ. Atunci stabiliti daca σ=e= permutarea identica. Fie σЄSn,n>1 si σ=τ1◦τ2◦...◦τm o reprezentare a lui σ ca produs de transpozitii.Atunci numerele m si Inv(σ) au aceeasi paritate si deci ε(σ)= (-1)m. Fieun grup Gsi x un element de ordin finit din G.Daca m,n sunt doi intregi pozitivi cu proprietatile (m,n)=1 ord (xm)=n ord (xn)=m atunci ord (x)=mn? Functia f:(0,∞)→(-2,2),f(x)= 2x-2x+1 este injectiva si nu este surjectiva? Functia f:R→R,f(x)=x2007- 4x2005+2 este bijectiva? Gasiti solutiile ecuatiei 3x2-4x+1=0 in Z19. Gasiti solutiile ecuatiei x2-x+5=0 in Z17. solutiile ecuatiei 3x -4x+1=0 in Z . 6Gasiti Grupul (Z ,+) este ciclic? . G Grupul (ZxZ ,+) este finit generat, dar nu este ciclic. 2

11

15

20

Grupurile (□*,·,1) si (□*,·,1) nu sunt izomorfe Grupurile (□,+,0) si (□*+,·,1) nu sunt izomorfe Grupurile (□,+,0) si (□,+,0) sunt izomorfe In inelul Z8xZ, produsul direct al inelului (Z8,+,·) cu inelul (Z,+,·), avem (5,3)+(3,-7)=(ô,3)? In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x2=x} atunci stabiliti dacaO2∈G si I2∉G? In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x2=x} determinati matricea U, daca U∈G este o matrice inversabila. In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x2=x} gasiti doua matrice P,Q∈G astfel incat P+Q∉G In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x2=x} sa se determine numarul de elemente din G. In multimea M2(Z2) se considera multimea G={XЄM2(Z2)/x2=x} si B=1111, atunci stabiliti dacaB∉G? In multimea M3(Z2) se considera multimea G=1a001c001/a,b,c Є Z2, atunci A,B ∈G?

7 . I

In multimea M3(Z2) se considera multimea G=1ab01c001/a,b,c Є Z2, atunci 100010001∈G? In multimea M3(Z2) se considera multimea G=1ab01c001/a,b,c Є Z2, atunci determinati A3,A ∈G Inelul (Z,+,·) al numerelor intregi nu este domeniu de integritate.

K K=ab-baa,bЄR este corp in raport cu adunarea si inmultirea matricelor si K≈C? de compozitie x○y=(x+y-xy+1) ,∀x,y∈R.Gasiti elementul neutru. 8Legea Legea de compozitie x○y=(x-1) +1,∀x,y∈(1,∞).Gasiti elementul neutru. ln (y-1)

5

(1,4,7)(2 6)(3,9,5 (8) F F(este cor comut.) F(1+1=0 F(x2=x) A F F A

{1,-1,i,-i ord(i)=4

F(σ=(1,2) A A

DA F pt. ca este sur si nu inj x1=1,x2= 3 x1=4,x2= 4 x1=1,x2= F pt. ca este fini generat F(este ciclic) A A F F(0,4) F U=I2

P=1100,Q =0011 8 A A A A3=I3 F A e=-1 e+1

L M

Legea de compozitie x○y=Ix-yI ,∀x,y∈M unde M={0,1,2,3,4}. Solutiile ecuatiei (x○y)○3=1 sunt {1,4}? Legea de compozitie x○y=x+y-2xy ,∀x,y∈R.Gasiti elementul neutru. Legea de compozitie x○y=x+y-5 ,∀x,y∈Z admite ca element simetric pe 10+x? M2(Z) nu este subinel al inelului M2(R)? M2(Zn) nu este ideal bilateral al lui M2(Z)? Multimea S a sirurilor Cauchy de numere reale este subinel al inelului □□ al sirurilor de numere reale. O permutare σЄSn este impara daca ε(σ)= 1. O permutare σЄSn este para daca ε(σ)= -1. Orice grup G de ordin p, p numar prim, nu este simplu. Orice grup G de ordin p2, cu p numar prim , este comutativ? Orice gtrup (G,.,e) de ordin 3 este izomorf cu grupul aditiv (Zε,+,ô)al claselor de resturi modulo 3. Orice subgrup al unui grup abelian este normal?

9 . O

P

Pe multimea G=(-1,∞) se considera legea de compozitie x○y=xy+x+y, ∀x,y∈G.Determinati grupul (M,*) astfel incat functia f:G→M. data de relatia f(x)=x+1, ∀x∈G sa fie un izomorfism al celor doua grupuri. Pe multimea G=(-1,∞) se considera legea de compozitie x○y=xy+x+y , ∀x,y∈G determinati elementul neutru. Pe multimea numerelor naturale consideram operatia algebrica m⊥n=mn.Atunci operatia este asociativa si nu este comutativa? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y =x+y+2 atunci R/Q nu este parte stabila? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y =x+y+5atunci stabiliti daca R/Q este parte stabila in rapot cu legea ‘’○’’? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y =x+y+5 atunci determinati elementul neutru. Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y =x+y+5 atunci gasiti solutia ecuatiei 2x○4x=6+5,x∈R. Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy+6x+6y+15 atunci x○y=2(x+3)(y+3)-3? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy+6x+6y+15 atunci x○(-3)=(3)○x=(-1)? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy+6x+6y+15 atunci stabiliti daca Q/Z este parte stabila in rapot cu legea ‘’○’’? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy-2x-2y+3 atunci x○1=1○x=2? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy-2x-2y+3 atunci solutia ecuatiei x○x ○x○x ○x =1, x∈R va fi x=3? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy-2x-2y+3 atunci Q/Z este parte stabila in rapot cu legea ‘’○’’? Pe multimea R se considera legea de compozitie x○y=2xy-2x-2y+3 atunci x○y=(x-1)(y-1)+1? Pe R este definita legea de compozitie x*y=xy+3x+3y+m.Egalitatea(2*3)*4=175 are loc pentru... Pe R se defineste legea de compozitie x*y=x+y+mxy, unde m∈R, cu proprietatea ca multimea [-1,∞) este parte stabila a lui R in raport cu aceasta operatie algebrica.Determinati e elementul neutru al acestei legi de compozitie. Pe R se defineste legea de compozitie astfel x*y=ax+by+c, ∀x,y∈R unde a,b,c ∈R.Calculati suma S=a2+b2+c2 stiind ca aceasta lege de compozitie admite elementul neutru e=3.

6

F pt.ca {0,4} e=0 A F F A F F F A A A

M={R+,·} e=0 F A F e=- 3 x=1 A F F x=1 A F m=2 e=0 S=11

Pe R se defineste legea de compozitie x*y=xy-2x-2y+6 pentru oricare x,y∈R.Atunci gasiti suma elementelor din R care coincid cu simetricele lor fata de aceasta lege. Pe Z definim legea de compozitie x*y=xy-6x-6y+42.Suma elementelor simetrizabile in raport cu aceasta lege este... Pentru monoidul (zn,-,î) multimea elementelor inversabile din Z esteU(Zn)= {âЄZn/(a,n)=1} unde s-a notat cu (a,n) cel mai mare divizor comun al numerelor intregi a si n. Pentru orice x,y∈R se defineste legea de compozitie x*y=ln(ex+ey).Multimea solutiilor ecuatiei (x*x)*x=0 este... Polinomul X3+X+1∈Z2[X] este ireductibil?

se calculeze elementul 2 S Sa Sa se calculeze elementul 6

2005

in Z8 in Z7. Sa se determine polinoamele fЄZ3[X] astfel incat grad f=1,f2=X2 Se considera corpurile (R,+,·) si (R,○,*), unde ∀x,y∈R,x○y=x+y-2, x*y=xy-2x-2y+6. Daca f;R→R, f(x)=ax+b este izomorf de corpuri de la (R,+,·) la (R,○,*), atunci determinati a si b? Se considera elementul z=cos(7π)+i sin(7π) apartinand grupului multiplicativ al numerelor complexe(C*,·,1).Determinati ordinul lui z. Se considera elementul z=cos(75π)+isin(75π) apartinand grupului multiplicativ al numerelor complexe(C*,·,1).Atunci determinati ordinul lui z. Se considera inelul (Z,*,⊥) unde x*y=x+y+2 x ⊥y=xy +2x+2y+2 ∀x,y∈Z.Fie T numarul divizorilor lui zero ai acestui inel.Atunci T=... Se considera inelul (Z,*,⊥) unde x*y=x+y-3 x ⊥y=xy-3x-3y+12 ∀x,y∈Z.Fie P∈Z[X] polinomul care are drept radacini elementele inversabile ale inelului si coeficientul dominant egal cu unu.Notam cu S suma patratelor elementelor inversabile.Atunci S=? Se considera multimea G=(0,∞)XR pe care se defineste legea de compozitie (a1,x1)○ (a2,x2)=(a1a2,a1x2+x1),gasiti elementul neutru? Se considera multimea G=(0,∞)XR pe care se defineste legea de compozitie (a1,x1)○ (a2,x2)=(a1a2,a1x2+x1),gasiti elementul simetrizabil? Se considera multimea G={a+b2 /a,b∈Q,a2+b2≠0}, care impreuna cu operatia de inmultire formeaza un grup abelian.Determinati inversul lui 6+72. Se considera multimea M={1,2,3,4}.Cate submultimi de doua elemente exista? Se considera permutarea σ,τ∈S4 ,σ=1 2 3 4 2 1 3 4 , τ=1 2 3 4 1 3 4 2 .Sa se rezolve ecuatia σ11·x=τ Se considera permutarea σ,τ∈S5 ,σ=1 2 3 4 5 3 4 2 1 5 , τ=1 2 3 4 5 2 5 4 1 3 .Determinati permutarea x∈S3 cu proprietatea ca x○σ= τ. 2007

7

4 infinit 8 A x=ln3 F

0 6 x,2x a=1,b=2

7 10 T=0 S=5 e=(1,0)

X’=1/ax/a -3 /31+7/622 6 X=1 2 3 4

2341

X=1 2 3 4

51425

3 Se considera permutarea σ∈S10 ,σ=1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 5 1 4 7 10 8 2 6 9 .Gasiti ordinul permutarii. Se considera permutarea σ∈S5 ,σ=1 2 3 4 5 3 4 2 1 5 .Atunci determinati σ120. SL2(R)≤ GL2(R), unde SL2(R)={XЄM2(R)/IXI=1}? Stabiliti daca ∃ â,b∈Z5 astfel incat (â+b)5≠ â5+b5. Stabiliti daca (R,+) si (Q,+) sunt izomorfe. Stabiliti daca a 3=a,∀ a∈Z3 Stabiliti X2+X+1=... in Z3 Stiind ca legea de compzite x○y=a2xy-ax-ay+7, ∀x,y∈R* admite element neutru sa se determine acesta. Stiind ca legea de compzite x○y=xy-x-y+2, ∀x,y∈R admite element neutru sa se determine acesta.

T

T2(Z)=xy0zx,y,zЄZCM2(Z) este o Z-subalgebra a Z-algebrei M2(Z)?

U

Un domeniu de integritate finit este corp.Inelul (Zp,+,·) este corp daca si numai daca p este numar prim? Un grup (G,.,e) se numeste simplu daca are cel putin doua elemente si nu are subgrupuri normale diferite de 1={e} si G. Un inel comutativ R cu 1≠0 si cu divizori ai lui 0 se numeste domeniul de integritate sau inel integru.

8

12 02 A F F A (x+2)2 e=1 e=2 A A A F