Lista Capitulo2.pdf

PROFESOR:

CARLOS CRUZ

UPIITA – IPN

LISTA DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL

CAPITULO II

1. Suponga que u   u1 , u2 , u3  , v   v1 , v2 , v3  , w   w1 , w2 , w3  son coplanares. a. Demuestre que existen a , b, c no todos cero tales que: au1  bu2  cu3  0 av1  bv2  cv3  0 aw1  bw2  cw3  0

b. Explique porque u1 v1 w1

2. Sea A   cos sen  Determine:  sen cos    3. Si A   1 2 B  0 2  hallar  2 0 1  2     4. Sabiendo que

5. Si

1 3 7 y   A 1   2 0 4   0 124 1   

que

a b b  a b  b b a 

 I  adjA   b T

u2 v2 w2

A2 , A3

A

1

u3 v3  0 w3

y

Ak . ¿Como son los resultados?

1 2 B 1    5 AT   2 B .

3 1 5   ( AB) 1   1 3 0  3 7 2  

con a  b y

calcular

A  3 encontrar

B.

A.

6. Si  a b 

b a   

a. Para que valores de a y b la matriz A es no singular b. Halle A

1

nxn entonces adj A  A n1 8. Si A es una matriz invertible de nxn , demuestre que:  adj A1  1 A  adj  A1  A 7. Muestra que si A es una matriz

9. Mostrar que si 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝑛 > 1, entonces 𝑎𝑑𝑗(𝑎𝑑𝑗𝐴) = |𝐴|𝑛−2 𝐴 10. Demuestre que si A es ortogonal, entonces A  1 11. Demuestre que si AT   A y A  M nxn , entonces A   1n A 12. Dos matrices de orden nxn son semejantes si existe una matriz no singular P de orden nxn tal que A  P 1 B P . Muestre que si A y B son semejantes, entonces A  B 13. Suponga que A

es una matriz cuadrada talque A 4  0 . Explique porqué A no puede ser

invertible. 14. Encuentre una fórmula para rA cuando A es una matriz de nxn y r   2 15. Usando la Adjunta de una matriz, hallar la inversa de 1 a a 2  1 b b

 1 c 

16. Si

a b b  T adjA    b a b  b b a 

con a  b y

A  3 encontrar

 c 2 

A.

1

PROFESOR:

CARLOS CRUZ

UPIITA – IPN

LISTA DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL

CAPITULO II

17. Sea Jn la matriz nxn que tiene unos en todas sus entradas. Demuestra que: 1 ( I n  J n ) 1  I n  Jn n 1  1 12 13  1 18. Usando la Adjunta de una matriz, hallar A de: A   1 1 1   2 3 4  13 14 15  19. Si A   1 2 , B   0 2  hallar:  A1 B 1 1   5 AT 2  2 B  1 2   2 0      1 2 , 1 0 2  y  1 0 A1    B  1  1 C   1 2  1 0      

20. Si

a) 4  2 A1C 1 1 B   2 AT 2 C A2  CA1

Hallar:

b) 4  2 A1C 1 1 B   2 AT 2 C A2  CA1 21. Si A   1 2 , B 1  0 2  y C   1 0   3 2 1  2  2 0      

A

Hallar:

C 1 

1

1

 5 AT C 2 A  2 AB 2

22. Resolver el siguiente determinante: a)

d)

4 2 3 2 2 0 8 2

3 4 1 5  30 1 3 6 4

3 1 1 1 .2 8 2 5 1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 0 0

0 0 3  18 0 0

b)

e)

8 20 0 4 8 , 0 15 0 1 9 0 6 0 0 3 0 0 6 0 4 3 4 4 1 5 3

7 1 0 1 2 1 3 3 5 4 1 4 3 1 2 2 1 0 0 0

c)

0 0 0 6 3 0

f)

1 2 0 0

2 1 2 0

0 2 1 2

6 9 0 6 0 3 0 3 4 1

0 , 0 5 2 1

0 0 0 0 1

3 6 1 9 0 3  216 4 3 5 3

23. Utilizando únicamente operaciones elementales por renglón o columna (no desarrolle los determinantes) para verificar si es verdadero o falso las siguientes afirmaciones: a)

a b 1 a a 1 b bc 1 b  b 1 c ca 1 c c 1 a

24. Para que valores de

, 

b)

y 

1 a bc 1 a a 2 1 b ca  1 b b 2 1 c ab 1 c c 2

la siguiente matriz es no singular justifique:  sen 2 sen 2  sen 2     A  cos 2  cos 2  cos 2    1 1 1  

1 a a2 25. Calcule 1 b b 2 1 c c2 26.

1 a D4  2 a a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d es el determinante de Vandermode de 4x4, demuestre d2 d3

que:

D4  b  a c  a d  a c  bd  bd  c 

2

PROFESOR:

CARLOS CRUZ

UPIITA – IPN

LISTA DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL

CAPITULO II

27. ¿Es verdadera la siguiente igualdad? Justifica tu respuesta. 1 1 1 1

a b c d

a2 b2 c2 d2

1 1 a3 a b b3  2 2 c3 a b 3 3 a b3 d

1 c c2 c3

1 d d2 d3

a b b  b

28. Demuestra que b a b  b

b b a  b  a  b       b b b  a

n 1

29. Estimar el determinante

a  (n  1)b

1 1 1 1 3 3 1 3 6

1 3 6

1 3 6

3  n  1



30. Usando propiedades elementales de los determinantes, hallar el siguiente determinante: a0 a1 a2 x x 0 0 x x

an 0 0

0

x

0

0

31. Usando propiedades elementales de los determinantes, hallar el siguiente determinante de orden 𝑛𝑥𝑛: x 0

y x

0 y

0 0 0 0

0 y

0 0

0 0

x 0

y x

32. Usando propiedades elementales de los determinantes, hallar el siguiente determinante: 1 d f c a 0 e g a 0 = NO USAR COFACTORES 2 0 0 0 0 1 0 b 0 0 0 b h 0 0 33. Usando propiedades elementales de los determinantes, hallar el o los valores de k para que el siguiente determinante se diferente de cero: 1 0 0 0 0 0

2 2 1 1 2 0 0 0 5 k 1 0 2 1 k 0 1 2 4 3 3 1 1 1

1 = 0 0 0 0 1 0

NO USAR COFACTORES

34. Usando propiedades elementales de los determinantes, hallar el o los valores de k para que el siguiente determinante se diferente de cero: 1 2 2 1 1 2

0 4 0 0 0 0

0 5 k 1 0 0

0 0 0 2 1 3 1 2 1 0 k 4 1 0 3 1 0 2 0

NO USAR COFACTORES

35. Es falso o verdadero la siguiente igualdad justifique.

3

PROFESOR:

CARLOS CRUZ

UPIITA – IPN

LISTA DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL a1 1 0 1 a2 1 Dn  0 1 a3

Si

0

0

0 0 1

0 0 0



CAPITULO II

Dn  an Dn 1  Dn 2

1 an

0

36. Es falso o verdadero la siguiente igualdad justifique.

ab ac bc 1 c b a  c a  b b  c  2(a  b  c) 1 b b bc ba ac 1 b a 37. Si

1 0 0 1 0 0 y . Hallar C 1 si es que existe, de: A  1 1 0 B  1 2 0 1 1 1 1 2 3

A1 B  BC

Use la adjunta para hallar inversa si es necesario 38. Prueba lo que se te indica en cada caso a) Si B  P 1 AP, prueba que B n  P 1 An P para n  1

b) Sean

2 A   13 3

1 4 3 4

  

 125  1 3 1 P  verifique que P AP    1 4  0

y

0  1

 3 3  1 5 n  4 3  An  17    7  12     4 4  4 3 

y deduce que

39. Usando la Adjunta de una matriz, hallar la inversa de: a)

 1 A   12  13

1

 13  1  4   15 

2

1 3 1

4

b)

1 a a 2    B  1 b b 2  2 1 c c   

k  1 0  0

c)

40. Obtener la inversa de: 1  1 A  1   1 

41. Si

2I  3 A  T

1

1 3 1 8 0  0

3 1 0 0

0 0 1 3

0 0 3  1

0 0 2 0 2 3 2 3

0 k 1 0

0 0 k 1

0  0 0  k

0  0 0   n 

encontrar A .

42. Encontrar si es posible, a la matriz 𝑿 que satisface a la ecuación: 𝑴𝑿𝑨 = 𝑩 + 𝟐𝑪𝑻 3 0 A  0 3

1 1 B  3 3

43. Si A3  a , B3  b y a.

3  A3 B 1 

1

T 1

 AB 



 2 1 C  1 3 

 2 1 M    3 1

C3  abc con a, b, c  0 hallar: b)

d C 

A1 BT

 1a A

n

d. Si  BA T  3C 1  2  CA 1  a b

1



c) Si 2 ABC   BA T  a b , hallar C  ?

bB

hallar

C ?

4

PROFESOR:

CARLOS CRUZ

UPIITA – IPN

LISTA DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL

CAPITULO II

44. Supongamos que A es una matriz 2x1 y B una matriz 1x2, si C  A2 x1 B1x 2 ¿C es invertible? Justifique. 45. Supongamos que A es una matriz 3x2 y B una matriz 2x3, si C  A3 x 2 B2 x 3 ¿C es invertible? Justifique. 46. Demuestre que: a. u  v 2  u 2  v

2

si y sólo si u  v  0

u v  u v  2 u 2 v 2

b.

2

47. Demuestre que u  v  u

2

v cos 

2

3 Donde u y v  R

y  es el ángulo que hay entre

u y v. 48. Demuestre que u  v  u v sen  49. Demuestre que u  v  14 u  v 2  14 u  v 50. En  si n

2

u es ortogonal a u y v entonces ¿ u es ortogonal a t u  k v ?

51. Probar que si las matrices 𝐴 y 𝐵 son ortogonales entonces las matrices 𝐴−1 y 𝐴𝐵 también son ortogonales.

5