List A Nova

Universidade Estadual do Ceará PROBABILIDADE I Prof. Jorge Luiz de Castro e Silva LISTA 2 DE EXERCÍCIOS - NOVA PROBABILIDADES EM ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS 1) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (P). As peças são inspecionadas e suas condições registradas. Isto é feito até que duas peças defeituosas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorrer em primeiro lugar. Descreva o espaço amostral para este experimento. 2) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com filamento partido. Essas lâmpadas são verificadas uma a uma até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva o espaço amostral do experimento. 3) Considere 4 objetos a, b, c, d. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listados represente o resultado de um experimento. Sejam os eventos A e B definidos por: A = {a está na 1ª posição} B = {b está na 2ª posição} a) Enumere todos os elementos do espaço amostral do experimento. b) Enumere todos os elementos dos eventos A∩B e A∪B. 4) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjunto as seguintes afirmações verbais: a) Ao menos um dos eventos ocorre; b) Exatamente um dos eventos ocorre; c) Exatamente dois dos eventos ocorrem; d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente. 5) Demonstre o Teorema “Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩ B) – P(A∩ B) – P(B∩ C) + P(A∩B∩C)”. 6) Um certo tipo de motor elétrico falha apenas nas seguintes situações: emperramento dos mananciais, queima dos rolamentos ou desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima e esta é quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Tendo esse motor falhado, qual será a probabilidade de que isso tenha acontecido devido a cada uma dessas circunstâncias?

7) Suponha que A e B sejam eventos tais que p(A) = x, P(B) = y e p(A∩B) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z: a) P(Ac∪Bc) b)P(Ac∩B) c) P(Ac∪B)

d) P(Ac∩Bc)

8) Suponha

que A, B e C sejam eventos tais que P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(A∩B)=P(C∩B)=0 e P(A∩C) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra.

9) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens com mais de 21 anos, 4 homens com menos de 21 anos, 6 mulheres com mais de 21 anos e 3 mulheres com menos de 21 anos de idade. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os

seguintes eventos: A={a pessoa é maios de 21 anos}; B={a pessoa é menor de 21 anos}; C={a pessoa é homem}; D={a pessoa é mulher}. Calcule: a) P(B∪D) b) P(Ac∩Cc) 10) Em uma sala 10 pessoas estão usando emblemas enumerados de 1 a 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número do seu emblema é anotado. Qual a probabilidade de que o menor número de emblema seja 5? Qual a probabilidade de que o maior número do emblema seja 5? 11) Uma remessa de 1500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1100 perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas. a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas? b) Qual a probabilidade de que sejam encontradas ao menos 2 peças defeituosas? 12) Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória e sem repetição de qualquer um deles. Qual a probabilidade de que pelo menos um dígito ocupe o seu lugar próprio? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3 e 4 ocupem os seus lugares próprios quando são escritos em ordem aleatória e sem repetição? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3, 4, ..., n ocupem os seus lugares próprios na mesma situação descrita em ordem aleatória e sem repetição? 13) Dois homens H1 e H2, e três mulheres, M1, M2 e M3, estão num torneio de xadrez. As pessoas de mesmo sexo têm igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes mais probabilidade de ganhar do que qualquer mulher. Se haverá somente uma pessoa vencedora, encontre a probabilidade de que uma mulher vença o torneio. 14) Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Encontre a probabilidade de que : a) ambas sejam de espadas; b) uma seja de espadas e a outra de copas. 15) Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que: a) nenhuma seja defeituosa; b) exatamente uma seja defeituosa; c) pelo menos uma seja defeituosa. 16) Numa classe há 10 homens e 20 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres têm olhos castanhos. Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser um homem ou ter olhos castanhos.

17) Sejam A e B eventos com P(A)=3/8, P(B)=1/2 e P(A∩B)=1/4. Determine: a)P(A∪B)

b)P(Ac)

c)P(Bc)

d)P(Ac∩Bc)

e)P(Ac∪Bc)

f)P(A∩Bc)

g)P(B∩Ac)

18) Lança-se um par de dados não viciados. Calcule a probabilidade de o máximo dos dois números ser maior ou do que 4. 19) Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA

20) Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que: a) nenhuma seja vermelha; b) exatamente uma seja vermelha; c) todas sejam da mesma cor. 21) As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol? 22) Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m.. 23) A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de: a) A ganhar todas as três; b) Duas partidas terminarem empatadas; c) A e B ganharem alternadamente. 24) São retiradas uma a uma, aleatoriamente, bolas de uma urna até obter-se a primeira bola branca. A cada tentativa sem sucesso, a bola azul é devolvida à urna e, além disso, dobra-se a quantidade de bolas azuis da urna. Sabendo que inicialmente a urna contém 4 bolas azuis e 6 brancas, calcular a probabilidade de obter-se a primeira bola branca no máximo na 3ª tentativa. 25) Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona 5 peças. O lote será aceito se forem observadas 0 ou 1 defeituosas. Há 20 defeituosas no lote. a) Qual a probabilidade de o lote ser aceito? b) Supondo aceito o lote, qual a probabilidade de ter sido observado só um defeito? 26) A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta tenha vindo de A? 27) Num certo colégio, 4 % dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 de altura. 60% dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75m. Qual a probabilidade de que seja homem? 28) Uma caixa tem 3 moedas: uma não viciada, outra com 2 caras e uma terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é de 1/5. Uma moeda é selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a 3ª moeda tenha sido selecionada? 29) A urna X contém 2 bolas azuis, 2 brancas e 1 cinza, e a urna Y contém 2 bolas azuis, 1 branca e 1 cinza. Retira-se uma bola de cada urna. Calcule a probabilidade de saírem 2 bolas brancas sabendo que são bolas da mesma cor. 30) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Dois artigos são escolhidos ao acaso, sem reposição. Ache a probabilidade de que: a) ambos sejam perfeitos; b) ambos tenham defeitos graves;

c) ao menos 1 seja perfeito; d) no máximo 1 seja perfeito; e) exatamente 1 seja perfeito; f) nenhum tenha defeitos graves; g) nenhum deles seja perfeito; Respostas:

1) Ω ={DD, DPD, DPPD, DPPP, PDD, PDPD, PDPP, PPDD, PPDP, PPPD, PPPP} PPP  ... P D } 2) Ω ={D, PD, PPD, PPPD, ...,  N −r

3)a) Ω ={abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, bacd, badc, bcad, bcda, bdca, bdac, cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba, dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba} b) A∩B={abcd, abdc} A∪B={abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb, cbad, cbda,, dbac, dbca} 4) a) (A∪B∪C)=(Ac∩Bc∩Cc)c b) (A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C) c c c c c) (A∩B∩C ) ∪(A∩B ∩C)∪(A ∩B∩C) d) (A∩B∩C)c 5) sugestão: desmembrar dois a dois a probabilidade da união entre os conjuntos. 6) emperramento: 8/13; queima: 4/13 e desgaste: 1/13 7) a) 1 - z b) y - z c) 1 - x + z d) 1 - x - y + z 8) 5/8 9) a) 8/9 b) 1/6 10) 1/12 e 1/20 11)a) C400,90.C1100,310 / C1500,200 b) 1 – [(C1100,400 + 400.C1100,399) / C1500,200] 12) 2/3; 1/24 e 1/n! 13) 3/7 14) a) 1/17 b) 13/102 15) a) 24/91 b) 45/91 c) 67/91 16) 2/3 17) a) 5/8 b) 5/8 c) 1/2 d) 3/5 e) 3/4 f) 1/8 g) 1/4 18) 5/9 19) 5/16 20) a) 14/55 b) 28/55 c) 3/44 21) 49/50 22) 0,973 23) a) 1/8 b) 5/72 c) 5/36 24) 0,8338 25) a) 0,8038 b) 0,5 26) 10/19 27) 8/11 28) 2/17 29) 2/7 30) a) 3/8 b) 1/120 c) 7/8 d) 5/8 e) 1/2 f) 91/120 g) 1/8