List A Nova

Universidade Estadual do Ceará PROBABILIDADE I Prof. Jorge Luiz de Castro e Silva LISTA 3 DE EXERCÍCIOS - NOVA VARIÁVEL ALEATÓRIA – ESPERANÇA – VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO 1) A função P(x) = x/5, em que x assume os valores 0, 1, 2 e 3, define uma função de probabilidades? Justifique. 2) Encontre a média µ , a variância σ 2 e o desvio padrão σ de cada uma das seguintes distribuições: a)

b) Xi P(Xi)

2 1/4

3 1/2

8 1/4

Xi P(Xi)

-1 0,3

0 0,1

1 0,1

2 0,3

3 0,2

3) Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória denotando o menor dos dois números observados. Encontre a distribuição de probabilidades de X. 4) Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X: número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X. 5) Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras que ocorrem. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de X. 6) Dada a distribuição de probabilidades: X P(X) a) b) c) d)

0 0

1 A2

2 A2

3 A

4 A

5 A2

Ache A. Calcule P(X ≥ 4). Calcule P(X < 3). Calcule P(|X – 3| < 2).

7) Duas cartas são selecionadas aleatoriamente de uma caixa que contém 5 cartas numeradas 1, 1, 2, 2 e 3. Seja X a soma e Y o máximo dos dois números obtidos. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de: a) X b) Y 8) As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num Sábado são, respectivamente 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas por carro? SE chegam ao litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas em 10 horas de contagem? 9) Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. O s pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 95%. a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado? b) Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados? c) Se um pacote é indenizado o produtor tem um prejuízo de R$ 24,50, e se o pacote não é indenizado, tem um lucro de R$ 50,40. Qual o lucro esperado por pacote? 10) Uma moeda é lançada até que seja observado uma cara ou quatro coroas, o que ocorrer primeiro. Encontre o número esperado de lançamentos da moeda.

11) Um caixa contém 10 transistores dos quais 2 são defeituosos. Um homem seleciona 3 objetos. Encontre o número esperado de objetos defeituosos selecionados. 12) A probabilidade do time A vencer qualquer jogo é 1/2. A joga com o time B num torneio. O primeiro time que ganhar dois jogos seguidos ou um total de três jogos, vence o torneio. Supondo que não exista a possibilidade de empate, encontre o número esperado de jogos do torneio. 13) Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 10,00 se 3 caras ocorrerem, R$ 5,00 se 2 caras ocorrerem, R$ 3,00 se 1 cara ocorrer e R$ 2,00 se nenhuma cara ocorrer. Supondo o jogo honesto, quanto poderia apostar? 14) Sendo P(X = x) = 0,5x, x = 1, 2, 3, ...., calcule E(X). 15) Uma turma de Estatística compreende 3 canhotos e 24 destros. Selecionam-se aleatoriamente dois estudantes diferentes para um projeto de coleta de dados, representando-se por X o número de estudantes canhotos escolhidos, calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA – COVARIÂNCIA – CORRELAÇÃO 16) Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: X\Y 1 3 a) b) c) d)

-3 0,1 0,3

2 1,2 0,1

4 0,2 0,1

Encontre as distribuições de X e Y; Calcule Cov (X; Y); Determine ρ (X; Y); X e Y são independentes?

17) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições: X 1 2 P(X) 0,6 0,4 Distribuição de X

Y P(Y)

5 10 0,2 0,5 Distribuição de Y

15 0,3

Encontre a distribuição conjunta de X e Y. 18) Uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja X igual a 0 ou 1, conforme ocorra cara ou coroa no primeiro lançamento, e seja Y o número de caras que ocorram. Determine: a) as distribuições de X e Y; b) a distribuição conjunta de X e Y; c) Cov(X;Y). 19) Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: N.º de aparelhos de TV em cores. Considere o quadro: X Y

1 2

2 1

3 3

1 1

3 3

2 3

3 2

1 1

2 2

3 3

a) Verificar, usando o coeficiente de correlação, se há dependência entre as duas variáveis; b) Determinar a renda familiar média de quem possui 2 aparelhos de TV. Use a distribuição de probabilidades E(X/Y = 2). 20) Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: número de carros da família. Considere o quadro:

X Y

2 1

3 2

4 2

2 2

3 1

3 3

4 3

2 1

2 2

3 2

Calcule: a) E(2X – 3Y) b) Cov(X;Y) c) Var(5X – 3Y) δ) ρ 21) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam: X = 0, se a primeira bola for verde, ou X = 1, se a primeira bola for vermelha; e Y = 0, se a segunda bola for verde, ou Y = 1, se segunda bola for vermelha. a) Determinar a distribuição conjunta para X e Y. b) Calcular E(X), E(Y), V(X) e V(Y). c) Calcular E(X + Y) e V(X + Y). d) Calcular o coeficiente de correlação de X e Y. 22) Suponha que (X,Y) tenha uma distribuição de probabilidade: X\Y 1 2 3

1 1/18 0 1/12

2 1/6 1/9 1/4

3 0 1/5 2/15

a) Mostre que a tabela anterior é realmente uma distribuição de probabilidade. b) Calcule E(X/Y = 2). c) Calcule V(Y/X = 1) 23) a) Complete o quadro abaixo, supondo que X e Y são independentes. b) Calcule a esperança de Y, dado que X = 2. c) Seja Z = 4X – 3Y, calcule E(Z) e V(Z). d) Encontre a distribuição de Z e obtenha através da mesma os valores de E(Z) e V(Z) (observe que esses são os mesmos obtidos no item c). Respostas: 1) Não, pois a soma das probabilidades é diferente de um. 2) a) µ = 4; σ 2 = 5,5; σ = 2,3 b) µ = 1; σ 2 = 2,4; σ = 1,5 3) X 1 2 3 4 5 P(X) 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 µ = 2,5; σ 2 = 2,1; σ = 1,4 4) X P(X)

0 1/35

1 12/35

2 18/35

3 4/35

X 0 1 P(X) 1/16 4/16 µ = 2; σ 2 = 1; σ = 1

2 6/16

3 4/16

5)

6) a) 01 b) 4/9 c) 2/9

4 1/16

6 1/36

d) 7/9 7) a) X 2 3 P(X) 0,1 0,4 µ = 3,6; σ 2 = 0,84; σ = 0,9

b)

4 0,3

5 0,2

Y 1 2 3 P(Y) 0,1 0,5 0,4 µ = 2,3; σ 2 = 0,41; σ = 0,64 8) 3,15 pessoas e 126.000 pessoas 9) a) 0,9638 b) 72,4 c) R$ 47,69 10) 1,875 11) 0,6 12) 2,875 13) R$ 4,50 14) 02 15) µ = 0,222; σ 2 = 0,19; σ = 0,436 16) a) X 1 3 P(X) 0,5 0,5 b) –1,2

Y P(Y)

-3 0,4

2 0,3

4 0,3

d) Não, pois por exemplo, P(X = 1,Y = -3) ≠ P(X = 1).P(Y = -3)

c) –0,4

17) X\Y 1 3

-3 0,1 0,3

2 0,2 0,1

4 0,2 0,1

18) a) X P(X)

0 1/2

1 1/2

X\Y 0 1

0 0 1/8

1 1/8 2/8

Y P(Y)

0 1/8

1 3/8

b) 2 2/8 1/8

3 1/8 0

c) –0,25 19) a) ρ = 0,7113, há dependência linear entre X e Y b) E(X/Y = 2) = 2 20) a) 0,1 21) a) X\Y 0 1

b) 0,28 0 1/10 3/10

b) 0,6; 0,6; 0,24 e 0,24

c) 10,01

d) 0,533

1 3/10 3/10 c) 1,2 e 0,36

d) –0,25

22) a) Todos os valores variam de 0 a 1 e a correspondente soma é 1 b) 41/19 c) 3/16 23) a) Use p(xi,yj) = p(xi).p(yj), ∀ i, j

2 3/8

3 1/8

b) 3,3

c) –2,3 e 16,53