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ESCUELA PROFESIONAL DE FÍSICA

SISTEMAS DE MEDICIÓN Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

2015

Contenido I

Sensórica

1

1 Medidas en sistemas físicos 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Naturaleza de los Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Datos Estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Datos transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Datos dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Datos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Información analógica e información digital . . . . . . . . 1.4 Sensores primarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Aspectos Generales de los Sensores . . . . . . . . . 1.5 Estructura de un transductor . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Transductores en lazo abierto . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Transductores de lazo cerrado o servotransductores 1.6 Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Características estáticas de un sistema de medida 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Características Sistemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Modelo generalizado de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Identificación de características estáticas. Calibración . . . . . 2.4.1 Patrones de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Medidas experimentales y evaluación de resultados . . . . . . . 2.6 Precisión de los sistemas de medida en estado estacionario . . . 2.6.1 Error en la medida de un sistema con elementos ideales 2.6.2 Técnicas de reducción de error . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 5 5 6 6 7 8 10 10 11 13 15 17

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19 19 19 27 28 28 34 36 37 38

3 Características dinámicas de los sistemas de medida 47 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Función de transferencia para elementos típicos del sistema . . . . . . . . . . . . 47 iii

iv

CONTENIDO

3.3

3.4 3.5 3.6 3.7

3.8

3.2.1 Elementos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Elementos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identificación de la dinámica de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Respuesta a un escalón de los elementos de primero y de segundo 3.3.2 Respuesta sinusoidal de elementos de primero y segundo orden . Errores dinámicos en sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . Técnicas de compensación dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinación experimental de los parámetros de un sistema de medida Efectos de la carga en sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Circuito equivalente Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Ejemplo del cálculo de un circuito equivalente Thévenin . . . . . 3.7.4 Circuito equivalente Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Carga Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.6 Efectos de la carga bajo condiciones dinámicas . . . . . . . . . . Señales y ruido en los sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Efectos del ruido y la interferencia en los circuitos de medida . . 3.8.2 Fuentes de ruido y mecanismos de acople . . . . . . . . . . . . .

4 Análisis Estadístico de Datos Experimentales 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Medidas de Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Función Densidad de Probabilidad . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Función de Distribución Acumulativa . . . . . . . . . . 4.3.3 Función de Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Función de distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Función de Distribución Gaussiana . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Propiedades de la distribución normal . . . . . . . . . . 4.3.7 La función de distribución Gamma . . . . . . . . . . . . 4.3.8 Propiedades de la función gamma . . . . . . . . . . . . . 4.3.9 Función de distribución t . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Estimación de Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Estimación del Intervalo de la Media de la Población . . 4.4.2 Estimación del Intervalo de la Varianza de la Población 4.4.3 Criterio para el rechazo de datos dudosos . . . . . . . . 4.5 Correlación de los Datos Experimentales . . . . . . . . . . . . . 4.6 Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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47 50 53 54 58 61 67 70 76 77 77 80 81 83 85 88 89 91

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93 93 93 94 94 96 98 99 100 102 103 103 108 110 110 114 114 115 117 118 121

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CONTENIDO 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5

v Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste a una función potencia y = AxM . . . . . . . . . . . Ajuste aproximado a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Software para Análisis Estadístico de Datos Experimentales

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121 126 127 128 131

5 Incertidumbre Experimental 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Propagación de las Incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Consideraciones de sesgo y precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 133 133 138

6 Sensores de parámetro variable 6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Transductores potenciométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Potenciómetro de función lineal . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Potenciómetros logarítmicos y antilogarítmicos . . . . . . . . . 6.2.3 Potenciómetros trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Potenciómetros Funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 El potenciómetro como elemento del circuito . . . . . . . . . . 6.2.6 Potenciómetros Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Transductores termorresistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Circuitos de medida con sondas de resistencia metálica . . . . . 6.3.2 Detectores de temperatura resistivos (RTD) . . . . . . . . . . . 6.3.3 Termistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Curvas características de las resistencias NTC . . . . . . . . . . 6.3.5 Aplicaciones de las resistencias NTC a la termometría . . . . . 6.3.6 Otras aplicaciones de las resistencias NTC . . . . . . . . . . . . 6.3.7 Resistencias de coeficiente PTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Transductores fotorresistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 La célula fotorresistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 El fotodiodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Transductores extensométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Elementos Capacitivos e Inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Elementos Capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Elementos Inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Elementos con transformador, Electrodinámicos, Servos y Resonantes 6.7.1 Elementos con transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Transformador diferencial de variación lineal (LVDT ) . . . . . . . . . 6.8.1 Transformadores variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Transductores electroquímicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143 143 143 145 145 146 147 148 156 160 161 163 168 172 173 176 177 180 180 184 185 194 194 194 194 194 194 200 201

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vi

CONTENIDO

7 Sensores generadores de señal 7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Termopares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Efectos termoeléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Compensación de la unión de referencia . . . . . . 7.3 Sensores piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Captadores Piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Materiales piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Base Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Circuito Equivalente de un cristal piezoeléctrico . . 7.3.5 Respuesta estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.6 Respuesta dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.7 Problemas específicos relacionados con las medidas 7.3.8 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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203 203 203 203 207 209 211 211 212 214 216 217 218 219

8 Medida de presión y humedad 8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . 8.2 Medida de presión . . . . . . . . . 8.3 Dispositivos de medida de presión 8.3.1 Manómetros . . . . . . . . . 8.3.2 Tubo Bourdon . . . . . . . 8.3.3 Probador de peso muerto . 8.3.4 Transductores de presión . 8.3.5 Medida del Vacío . . . . . . 8.4 Medida de Temperatura . . . . . .

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221 221 221 222 222 226 226 228 231 234

II

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Adecuación de la Señal

235

9 El amplificador operacional 237 9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10 Confiabilidad 239 10.1 Confiabilidad de sitemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10.1.1 Principios fundamentales de sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . 239 A Cálculo de funciones polinómicas para termocuplas

243

B Definiciones de las Unidades Básicas del SI y del Radian y del Steradian1 249 B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 1

Los nombres consignados a continuación se especifican en la lengua original

CONTENIDO B.2 B.3 B.4 B.5 B.6 B.7 B.8 B.9 B.10

Meter (17th CGPM, 1983) . . Kilogram (3d CGPM, 1901) . Second (13th CGPM, 1967) . Ampere (9th CGPM, 1948) . Kelvin (13th CGPM, 1967) . Mole (14th CGPM, 1971) . . Candela (16th CGPM, 1979) . Radian . . . . . . . . . . . . . Steradian . . . . . . . . . . .

vii . . . . . . . . .

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C Prefijos del Sistema Internacional

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249 249 249 250 250 250 250 250 250 253

D Enlace de unidades básicas del SI a constantes atómicas y fundamentales 255 D.1 La Escala de Temperatura Internacional de 1990 (ITS-90) . . . . . . . . . . . . . 255

viii

CONTENIDO

Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Control automático de un proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Señal con evolución muy lenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta transitoria de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta senoidal en un sistema eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de un ECG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proceso con datos seudoaleatorios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transductor en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito equivalente para un transductor incluyendo señal de interferencia. . Transductor en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17

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Definición de no linealidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta en mV de una termocupla tipo T (Cu/CuN i). . . . . . . . . . . . . . Efectos de las entradas modificadora e interferente (a)Modificadora (b) Interferente. Potenciómetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Histéresis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Juego en engranajes. Ejemplo de histéresis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo de resolución y de potenciómetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bandas de error y función de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función densidad de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo general de un elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calibración de un elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Histéresis significativa (b) Histéresis no significativa. . . . . . . . . . . . . . . Comparación del histograma con una función densidad de probabilidad gaussiana. Error en la medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema simple de medida de la temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compensación de un elemento no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compensación para entradas interferentes.(a) Usando entradas ambientales opuestas (b) Usando un sistema diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18 Transductor de fuerza en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

4 6 7 8 8 9 13 14 15 21 22 23 23 24 25 25 26 27 27 28 35 37 37 38 39 40 41

x

LISTA DE FIGURAS 2.19 Estimación computacional del valor medido utilizando la ecuación del modelo inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

46

3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27

Sensor de temperatura en un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de un elemento para cálculo de la dinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo masa—resorte—amortiguador para un sensor elástico de fuerza. . . . . . . Circuito serie RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta a un escalón de un sistema de primer orden: Rojo, τ = 2, negro, τ = 1, azul, τ = 0.5, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinación de τ para un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden: rojo, ζ < 1, negro, ζ = 1, azul, ζ > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta ante una excitación senoidal de un sistema de primer orden. . . . . . Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden: rojo, ζ = 0.1, azul, ζ = 0.3, negro, ζ = 0.7,verde, ζ = 1.0, púrpura ζ = 2. . . . . . . . Sistema de medida con dinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de medida de temperatura con dinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de un sistema con dinámica lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de errores dinámicos con una señal de entrada periódica. . . . . . . . . . Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden. . . . . Compensación dinámica en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema y diagrama de bloques de un acelerómetro en lazo cerrado. . . . . . . . Respuesta normalizada a un escalón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pueba de la función escalón para un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . Prueba de respuesta frecuencial de un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . Pruebas de escalón e impulso para sistemas de segundo orden. . . . . . . . . . . . Prueba de la función escalón para sistemas de segundo orden. . . . . . . . . . . . Prueba de respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden. . . . . . . . . Circuito equivalente de Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito equivalente de un amplificador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalente Thévenin para un sistema de medición de temperatura. . . . . . . . Carga a.c. de un tacogenerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Función distribución de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Función de distribución acumulativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Función de distribución normal para el caso donde μ = 2, σ = 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0.104 Función de distribución normal estándar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Gráfico de la función gamma para diferentes valores de los parámetros r y α. . . 109 Función densidad de probabilidad usando la distribuci ón t Student. . . . . . . . 111

3.6 3.7 3.8 3.9

48 50 51 53 55 56 57 59 60 61 62 63 66 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 88

LISTA DE FIGURAS

xi

4.15

Distribución f (χ2 ) ≡ f (z) para algunos valores de ν. [ν = 1 (línea continua), ν = 2 (trazos), ν = 3 (puntos), ν = 5 (puntos y trazos)]. . . . . . . . . . . . . . . Intervalo de confianza para la distribución chi—cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . Valores gráficos de los pares temperatura—tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las distancias verticales entre los puntos {(xk , yk )} y la línea definida con mínimos cuadrados y = Ax + B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Línea y = Ax + B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximación de un conjunto de datos a una línea recta. . . . . . . . . . . . . . . Puntos de datos transformados {(Xk , Yk )}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste exponencial a y = 1. 6.e0.391202x obtenido por el método de linealización de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste a una parábola usando mínimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

Error por radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.1 6.2 6.3

Transductor potenciométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de una función logarítmica: línea continua A = 1, línea de trazos A = 10, línea punteada A = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de una función exponencia˙l: línea continua A = 1, línea de trazos A = 10, línea punteada A = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro trigonométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Red con potenciómetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro cargado con kR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la rotación del eje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro cargado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas de carga de potenciómetros usados para formar funciones no lineales. . . Red con potenciómetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digrama de bloques funcionales del AD5262. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bloques de la estructura interna de un potenciómetro digital . . . . Circuito RDAC equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito de amplificación para una termorresistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta para T > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta para T < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Detectores de temperatura resistivos: (a) alambre de platino (b) película delgada. Circuitos en puente Wheatstone para RTD: (a)Dos hilos (b) tres hilos . . . . . . Circuitos para RTD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variación de la temperatura de un termistor con respecto a su resistencia. . . . Circuito con termistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14

6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22

116 117 121 123 125 126 129 130 131

143 144 146 147 148 149 150 151 152 153 153 156 157 159 162 163 164 165 166 167 170 174

xii

LISTA DE FIGURAS o 6.23 Respuesta de un termistor con B = 4000 y R R1 = 1 (Línea continua), 10 (Línea punteada) y 0.1 (Línea de trazos), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.24 Circuito con NTC en puente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.25 Circuito con NTC como regulador de tensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.26 Medida de caudal usando NTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.27 Respuesta normalizada de una PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.28 Respuesta corriente—tensión de un PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.29 Familia de curvas para diferentes valores de temperatura ambiente. . . . . . . . 6.30 Circuito con un dispositivo PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.31 Histéresis en la respuesta de una PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.32 Respuesta noramlizada de una fotorresistencia para algunos valores de α. . . . . 6.33 Circuito simple con fotorresistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.34 Respuesta de una fotorresistencia en una red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.35 Respuesta de un fotodiodo a la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.36 Circuito con fotodiodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.37 Relación resistencia—deformación para galgas tipo p (línea continua) y tipo n (línea de trazos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.38 Algunas configuraciones de galgas extensiométricas de semiconductor (fabricadas por BLH electronics). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.39 Orientación de galgas extensiométricas en rosetas comunes: (a) rectangular (b) equiangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.40 Roseta de galgas extesiométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.41 Esquema básico del LVDT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175 175 176 177 178 178 179 180 180 182 183 183 185 185 188 189 192 193 195

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Termopar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Termopar con unión de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta tensión vs temperatura para algunas termocuplas. Efecto piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito eléctrico equivalente a un sensor piezoeléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

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. . . . . .

204 208 209 212 214 220

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Manómetro de tubo en U. . . . . . . . . . . . . . . Manómetro de tipo recipiente. . . . . . . . . . . . . Manómetro inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . Barómetro de mercurio. . . . . . . . . . . . . . . . Tubo Bourdon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probador de peso muerto. . . . . . . . . . . . . . . Transductor de presión con galga extensiométrica. Transductor de presión con LVDT. . . . . . . . . . Transductor de presión capacitivo. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

222 224 225 226 227 227 228 229 229

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

LISTA DE FIGURAS 8.10 8.11 8.12 8.13 D.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transductor de presión piezoeléctrico. Sensor de vacío McLeod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii . . . .

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. . . .

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. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

230 231 232 233

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

xiv

LISTA DE FIGURAS

Lista de Tablas 1.1 1.2 1.3

Principios de Transducción Física y Química . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sensores analógicos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sensores indirectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 16 18

2.1 2.2 2.3 2.4

Escala simplificada de rastreabilidad . . . . . . . . . . . Escala de rastreabilidad (Adaptada de Scarr) . . . . . . Puntos fijos definidos en el ITS—90. . . . . . . . . . . . . Efecto de la presión sobre algunos puntos definidos fijos.

. . . .

. . . .

. . . .

29 30 31 33

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Resultados de 60 mediciones de la temperatura en un ducto . . . . . . . . . . Medidas de la temperatura arregladas en intervalos. . . . . . . . . . . . . . . Valores críticos de la distribución t Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de los coeficientes de Thompson. Según: ANSI/ASME—86 . . . . . . Valores mínimos del coeficiente de correlación para un nivel de significancia a. Obtención de los coeficientes para un parábola de mínimos cuadrados . . . .

. . . .

. . . . . . .

95 96 112 118 132 132

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Tabla de verdad del control de la lógica de entrada. . . . . . . . . . . . . . Valores característicos en el potenciómetro digital . . . . . . . . . . . . . . Valores característicos en el potenciómetro digital en modo inverso . . . . Comparación de las resistencias NTC y otros sensores . . . . . . . . . . . Características de las galgas extensiométricas metálicas y semiconductoras

. . . . .

158 158 160 172 193

B.1 Unidades SI derivadas con nombres especiales y símbolos

xv

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . 252

xvi

LISTA DE TABLAS

Prólogo La aplicación del computador a la ciencia y la tecnología ha permitido desarrollar herramientas de software y hardware las cuales han permitido conocer directamente el comportamiento de sistemas físicos. Como un siguiente paso en la teoría del conocimiento de los sistemas, la experimentación ha llegado a ser el medio más adecuado para el estudio de su comportamiento. En ingeniería, se requieren experimentos diseñados cuidadosamente para concebir y verificar los conceptos teóricos, desarrollar nuevos métodos y productos, construir nuevos sistemas con, cada vez, mayor complejidad y evaluar el comportamiento y optimización de los sistemas existentes. El diseño de un sistema experimental o de medición es una actividad inherentemente interdisciplinaria. Por ejemplo, el sistema de control e instrumentación de una planta procesadora, requiere el concurso de ingenieros químicos, mecánicos, eléctricos y de sistemas. Similarmente, la especificación de la instrumentación para medir los terremotos y la respuesta dinámica de las estructuras (edificios, puentes, carreteras, etc.), involucra los conocimientos de ingenieros civiles, geólogos, ingenieros electrónicos, de sistemas. Basados en estos hechos, los tópicos presentados en este texto se han seleccionado para que sean de utilidad en el diseño de proyectos experimentales interdisciplinarios, en el área de medición e instrumentación de la medida. La primera parte del libro tiene que ver con los elementos captadores de señal (elementos primarios o sensores), mientras que la segunda parte se dedicará al estudio y aplicación de los sistemas de adecuación de la señal para ser transferida a un sistema de cómputo donde será procesada o simplemente visualizada. Una parte esencial en el texto es la parte experimental; se han desarrollado diferentes prácticas de laboratorio las cuales utilizan los dispositivos estudiados en clase para ser montados en el laboratorio y observar y analizar su comportamiento. También se ha pensado en el aspecto de la simulación de experimentos utilizando herramientas de software en tiempo real, como R R ° ° y Matlab 2 . Para ello se ha dispuesto el Laboratorio de Instrumentación de la LabView UTP, donde se pueden realizar dichas prácticas.

2

LabView

R °

y Matlab

R °

son marcas registradas de National Instruments y Mathworks, respectivamente.

xvii

xviii

PRÓLOGO

Parte I

1

Capítulo 1

Medidas en sistemas físicos 1.1

Introducción

La instrumentación trata de las técnicas, los recursos, y métodos relacionados con la concepción de dispositivos para mejorar o aumentar la eficacia de los mecanismos de percepción y comunicación del hombre [23]. La instrumentación comprende dos campos principales: instrumentación de medida e instrumentación de control. En general, en el diseño de los sistemas de medida la atención se centra en el tratamiento de las señales o magnitudes de entrada, mientras que en los sistemas de control se da especial importancia al tratamiento de las señales de salida. En el primer caso son de interés los captadores o sensores y los transductores, mientras que en el segundo los dispositivos más relevantes son los accionadores o actuadores. En la Figura 1.1 se representa un diagrama esquemático de un posible sistema de control automático de un proceso. Un análisis de dicho diagrama muestra que las magnitudes físicas captadas se convierten en señales eléctricas por los grupos captadores C1 , C2 , · · · , Cn y C´1 , C´2 · · · , C´m , conectados a los amplificadores correspondientes que proporcionan señales de salida de un nivel adecuado para su tratamiento por diversos equipos adicionales. Las señales en este esquema propuesto se agrupan en dos bloques: 1. Señales S1 , S2 , . . . , Sn que se transmiten individualmente (número pequeño o instrumentación asociada es de bajo costo). 2. Señales S´1 , S´2 , . . . , S´m para cuyo tratamiento se requieren equipos muy costosos o especiales, o cuyo número es muy elevado (como por ejemplo, la medida de temperatura en muchos puntos mediante un termómetro digital de alta precisión; la medida del tiempo con un reloj atómico en las centrales eléctricas para conocer el instante de salida y duración de un fallo en una subestación o planta remota) 3

4

CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS Directo Acondicionamiento

S2 Sn S ´1 S ´2 S ´m

C2 Cn

MEM

C ´1 C ´2 C ´m Amplificadores

Aparato de Medida

AGRUPAMIENTO Y TRANSMISIÓN

SISTEMA FÍSICO

S1

C1

UNIDAD DE CÁLCULO

Registro Indirecto

SEPARACIÓN

Controlador Doble

Figura 1.1: Control automático de un proceso. En el diagrama, los bloques “Acondicionamiento” y “Amplificadores” se refieren a los elementos o dispositivos destinados a normalizar las señales de modo que todas ellas puedan presentarse en un determinado formato compatible con el sistema de transmisión. Dichos elementos pueden incluir filtros, atenuadores, convertidores A/C, etc. Es frecuente que en un mismo sistema se tengan señales norma-lizadas en forma analógica (mismo campo de variación) y señales normalizadas en forma digital (mismo número de bits). En el esquema de la Fig. 1.1 se indica también la posibilidad de “Registro directo” de diversas magnitudes antes de su transmisión conjunta a una unidad de cálculo. El bloque “Agrupamiento y Transmisión” tiene asignada la función de reunir los canales asociados con las diferentes señales para obtener un único canal de salida (caso de transmisión secuencial o en serie), a un grupo de canales en un número general inferior al de señales (caso de transmisión digital en paralelo). Se accede así al medio de transmisión propiamente dicho, que puede constituir una línea o grupo de líneas, un equipo de transmisión—recepción de RF, una guía de ondas, un enlace por fibra óptica, etc. La naturaleza del medio dependerá de diversos factores, entre los cuales están la distancia, el costo de la instalación, el nivel de interferencias, ancho de banda necesario, número de canales, etc. Los datos transmitidos ingresarían, siempre de acuerdo con el ejemplo de la Fig. 1.1, en una unidad de cálculo, que podría ser un computador analógico o digital, o simplemente un conjunto de circuitos para tratar los datos según criterios preestablecidos. En general, la unidad de cálculo generará un flujo de información de retorno hacia el sistema, donde podrían incluirse: • Datos para registro o evaluación.

1.2. NATURALEZA DE LOS DATOS

5

• Datos o señales de accionamiento y control. En el bloque “Separación”, se individualizan estas señales en el flujo de datos de retorno, obteniéndose un grupo de canales de salida para registro o medida y otro grupo de canales de accionamiento. Los accionadores son dispositivos que realizan la función inversa de los captadores, es decir, transforman señales eléctricas en magnitudes físicas de acción directa sobre la instalación, aparato, máquina, etc., a controlar y en muchos casos constituyen verdaderos servosistemas (electromecánicos, electrohidráulicos, etc.) que, aparte de su función meramente conversora han de satisfacer adicionalemente ciertos reque-rimientos relacionados con la estabilización automática de la magniud de salida o bien con la estabilidad de su propio funcionamiento.

1.2

Naturaleza de los Datos

El conocimiento de la naturaleza de los datos que se esperan de un sistema es de la mayor importancia para la selección del equipo de captación y medida y para definir los métodos de ensayo y control a aplicar, hasta el punto de que pueden producirse grandes errores si las especificaciones de los instrumentos o equipos de medida no se adaptan correctamente a las peculiaridades de los datos que se van a tratar. Puede establecerse una primera base de clasificación atendiendo al modo de variación en función del tiempo, siendo así posible establecer diferentes categorías de datos que implican procedimientos parti-culares de tratamiento y muchas veces también criterios específicos de precisión. Es por ello que tiene importancia hacer un análisis riguroso de la información a tratar, según su naturaleza, toda vez que de su correcta identificación puede depender el procedimiento a seguir en su tratamiento, e incluso el costo de un deteminado sistema. En los párrafos siguientes se considerarán agunos tipos de datos.

1.2.1

Datos Estáticos

Se caracterizan por una evolución lenta sin fluctuaciones bruscas ni discontinuidades. Un ejemplo típico podría ser la temperatura de un determinado punto en un sistema de gran inercia térmica. Los datos de esta naturaleza están asociados normalmente con magnitudes de especial importancia, realizándose a partir de ellos con frecuencia, cálculos y análisis relacionados directamente con la evaluación del funcionamiento del sistema y su rendimiento. Debido a la naturaleza de los datos estáticos no suele ser necesario tratar individualmente cada uno de los puntos que originan señales de un mismo tipo, siendo posible utilizar técnicas de muestreo con un solo equipo de medida compartido, lo cual simplifica y hace más económica la instrumentación requerida. Es frecuente, en este aspecto encontrar, por ejemplo, un sólo termómetro central para la medida de todas las temperaturas, un único voltímetro de precisión

6

CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS y

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

12.5

25

37.5

50 x

Figura 1.2: Señal con evolución muy lenta. para la medida de todas las tensiones, etc. El muestreo suele hacerse conmutando electrónicamente las señales representativas de las variables en un único sistema de medida y registro; la mayoría de los casos digital, para lo cual se dispone de componentes y subsistemas adecuados. En general, los datos estáticos son exigidos con gran precisión ya que suelen ser utilizados para la evaluación del sistema o proceso. Frecuentemente, el límite de esta precisión está impuesto más por el dispositivo captador primario que por el equipo de medida.

1.2.2

Datos transitorios

Por lo general, representan la respuesta de un sistema a un cambio brusco en las variables de entrada, siendo más importante su análisis para determinar el comportamiento dinámico del mismo. Más que la precisión de las medidas, interesa la exactitud de la correlación temporal de las diversas magnitudes, toda vez que las señales transitorias se producen simultáneamente en diferentes puntos del sistema como resultado de una perturbación determinada (frecuentemente provocada para analizar la respuesta).

1.2.3

Datos dinámicos

Son de naturaleza periódica y se presentan en el funcionamiento estable y continuo de los sistemas. El registro de datos dinámicos es de especial interés en el análisis de la respuesta en régimen permanente a excitación senoidal, en el estudio de vibraciones, etc. La mayoría de las medidas efectuadas sobre datos periódicos en sistemas reales están relacionadas con fenómenos oscilatorios en régimen estacionario con un contenido en armónicos que incluye frecuencias comprendidas entre varios Hz y algunas decenas de kHz, a excepción de las magnitudes eléctricas para las cuales no puede fijarse ningún límite concreto.

1.2. NATURALEZA DE LOS DATOS

7 R e s p u e s t a a l e s c a ló n U (1 )

1 .4

1 .2

0 .8 Y (1)

A m plitud

1

0 .6

0 .4

0 .2

0 0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

T ie m p o (s )

Figura 1.3: Respuesta transitoria de un sistema. Estos datos pueden presentarse como reacción del sistema a excitaciones senoidales aplicadas para estudiar su respuesta en amplitud y fase, o bien se originan en diversos puntos del mismo, como ma-nifestación de su propio funcionamiento periódico (por ejemplo, dispositivos giratorios en máquinas, elementos mecánicos con movimiento alternativo, etc.). En muchos casos, interesa más el análisis espectral que el registro instantáneo de las señales.

1.2.4

Datos aleatorios

La característica más distintiva de este tipo de datos es que sus parámetros fundamentales están sujetos a fluctaciones imprevisibles y su análisis ha de efectuarse, en general, de acuerdo con criterios estadísticos y de probabilidad. Se pueden distinguir tres categorías de datos aleatorios: • Datos que interesa registrar y analizar relacionados con magnitudes aparentemente aleatorias (por ejemplo, un electroencefalograma (EEG), un electrocardiograma (ECG), ciertos datos meteorológicos, etc.). • Datos aleatorios indeseables que aparecen mezclados con las señales de interés (ruidos, interferencias, etc.). • Datos aleatorios de salida de un sistema ante una entrada asimismo aleatoria, aplicada para fines de caracterización de su respuesta (técnica de gran interés para el estudio de sistemas complejos o no lineales) (ver Fig. 1.6).

8

CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS y

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

12.5

25

37.5

50 x

Figura 1.4: Respuesta senoidal en un sistema eléctrico. 4 5 0 0 4 0 0 0 3 5 0 0 3 0 0 0 2 5 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 -5 0 0 0

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

3 5 0

4 0 0

Figura 1.5: Respuesta de un ECG.

1.3

Información analógica e información digital

Ha sido siempre un tema controvertido la conveniencia de utilizar instrumentación analógica o digital para el tratamiento de las señales derivadas de los sistemas físicos. Como es sabido la información analógica está asociada a funciones de variación continua y por lo general uniforme que pueden tomar, en principo, cualquier valor instantáneo. En contraste, la información digital se presenta ligada a señales que solo presentan ciertos niveles discretos a los que se asignan valores numéricos de acuerdo con convenios preestablecidos. En lo que respecta a las funciones analógicas, puede decirse que en general siguen fiel e instantáneamente a la magnitudes que representan, siendo así evidente que prácticamente todas las variables de interés para el ingeniero o el científico tienen una forma original analógica. Lo expuesto anteriormente justifica que el primer tratamiento de las señales sea casi siempre analógico si se tiene en cuenta que frecuentemente su nivel, a la salida de los captadores, es

1.3. INFORMACIÓN ANALÓGICA E INFORMACIÓN DIGITAL

9

Figura 1.6: Proceso con datos seudoaleatorios. muy bajo y puede incluir información no deseada (necesidad de amplificación, eliminación de ruidos e interferencias, filtrada, etc.). No obstante cuando el nivel de las señales es alto y están suficientemente depuradas y acondicionadas, se prefiere el tratamiento digital, incluso aunque en muchos casos dicho tratamiento sea únicamente un proceso intermedio para una presentación final analógica, justificándose este hecho por una serie de razones muy claras, en las que puede destacarse las siguientes: • Las señales analógicas transmitidas a través de cualquier medio son interferidas en mayor o menor grado por señales extrañas, además de distorsionarse, en cuyo caso es muy difícil, si no imposible, recuperar la información original. Las señales digitales pueden, por el contrario, regenerarse mediante técnicas de conformado, detección y corrección de error, etc. • La precisión de las medidas o registros, en el caso del tratamiento analógico, depende esencialmente de la propia precisión o calidad de los equipos o componentes. Por el contrario, si se hace uso de técnicas digitales, la exactitud depende únicamente del grado de cuantificación establecido para la codificación de la información, es decir, del número de bits. • Se dispone actualmente de una gran variedad de circuitos digitales tanto convencionales como programables, de bajo costo, lo que desplaza las tendencias de diseño hacia el tratamiento digital. De acuerdo con estas consideraciones, podría afirmarse que un sistema de captación y tratamiento de datos concebido con criterios modernos incluirá en general, aunque no exclusivamente:

10

CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS • Un conjunto de sensores, en su mayor parte analógicos, seguidos por las correspondientes unidades de amplificación (analógicas) y dispositivos de acondicionamiento necesarios en cada caso. • Uno o varios convertidores de analógico a digital (A/D). • Un sistema de tratamiento digital convencional o programable (microprocesadores, microcontroladores, procesadores de señales digitales (DSP)), usualmente asociado con subsistemas de archivo de datos. • Un sistema de presentación de datos en forma analógica (lo que requiere una segunda conversión), pseudoanalógica (gráficos mediante impresora, instrumentación virtual, dispositivos indicadores de barras, etc.) o numérica. • Posiblemente varios canales de tratamiento totalmente analógico con presentación de datos en tiempo real.

1.4

Sensores primarios

Las magnitudes físicas tratadas con sistemas electrónicos se deben convertir en señales eléctricas, como primer paso en el proceso de captación. Los transductores son los dispositivos encargados de llevar a cabo esta tranformación. Los transductores incluyen siempre un componente o componentes sensibles que reaccionan frente a la magnitud a medir o detectar proporcionando una primera señal eléctrica representativa de aquella, que usualmente precisa de algún tipo de tratamiento analógico (amplificación, adaptación de impedancias, etc.). Estas células sensibles son los denominados sensores o captadores. Los sensores aprovechan frecuentemente las propiedades de ciertos materiales que se convierten en generadores de señal en presencia de determinadas excitaciones (termopares, cristales piezoeléctricos, etc.). En otros casos, se recurre a utilizar elementos de circuito pasivos (resistencias, condensadores, etc.) cuyos valores varían en función de la magnitud a convertir y, en definitiva, los circuitos que forman parte generan señales eléctricas equivalentes a dicha magnitud.

1.4.1

Aspectos Generales de los Sensores

El término transductor a menudo se utiliza en forma intercambiable con el término sensor. La Sociedad de Instrumentación Americana (Instrument Society of America (ISA)), define un sensor como sinónimo de transductor. Esta definición aparece publicada como Standard S37.1 en 1969 (ISA,1969). Esta norma, Electrical Transducer Nomenclature and Terminology, define un transductor (sensor) como un dispositivo que proporciona una salida útil en respuesta a una excitación específica. (“a device which provides a usable output in response to a specified measurand ”). Una magnitud medible (measurand ) se define como una cantidad física, propiedad

1.5. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR

11

o condición medible (“a physical quantity, property or condition which is measured ”). Una respuesta (output) se define como una cantidad eléctrica (“electrical quantity”). Esta definición es específica a un transductor eléctrico. Sin embargo, en un sentido amplio, un transductor puede tener una respuesta que puede definirse como una cantidad física, propiedad o condición. Se puede dar la siguiente Definición 1 Un transductor es un dispositivo o sistema que produce una señal eléctrica la cual es función de una magnitud de entrada utilizando componentes sensibles que se comportan como elementos variables o como generadores de señal. Los sensores, por supuesto, no están limitados a la medición de cantidades físicas. también son utilizados para medir propiedades químicas y biológicas. Similarmente, el rango de respuestas útiles no tienen que estar restringidas a cantidades eléctricas. Se han clasificado los sensores en grupos donde la excitación (señal de entrada) y la respuesta del sensor (salida) puede ser una de las siguientes: • Mecánica —v. gr., longitud, área, volumen, flujo de masa, fuerza, torque, presión, velocidad, ace-leración, posición, longitud de onda acústica, intensidad acústica. • Térmica.—v. gr., temperatura, calor, entropía, flujo de calor. • Eléctrica —v. gr., tensión, corriente, carga, resistencia, inductancia, capacitancia, constante dieléctrica, polarización, campo eléctrico, frecuencia, momento dipolar. • Magnética —v. gr., intensidad de campo, densidad de flujo, momento magnético, permeabilidad. • Radiante —v. gr., intensidad, longitud de onda, polarización, fase, reflectancia, transmitancia, índice de refracción. • Química —v. gr., composición, concentración, oxidación/reducción, tasa de reacción, pH. Un sensor utiliza un principio de transducción físico o químico para convertir un tipo de señal de entrada a un tipo de señal de salida. Un sensor puede emplear uno o más de los principios indicados arriba para producir una señal de salida práctica. Las aplicaciones en electrónica industrial generalmente requieren la salida eléctrica de un sensor. La Tabla 1.1 muestra ejemplos de los principios de transducción físicos y químicos que se pueden utilizar en los sensores.

1.5

Estructura de un transductor

Los transductores se presentan en general en dos configuraciones fundamentales: • Transductores en lazo abierto • Transductores en lazo cerrado

12

CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS Tabla 1.1: Principios de Transducción Física y Química Sal Ent

Mecánica

Térmica

Eléctrica

Magnética

Radiante

Química

Mecánica

Térmica

Eléctrica

Magnética

Radiante

Química

(Fluido) Efectos mecánicos y acústicos (diafragma, balanza de gravedad, ecosonda) Expansión térmica (cinta bimetálica, termómetros de gas y de líquido en capilar de vidrio) Efecto radiométrico

Efectos de fricción (calorímetro de fricción). Efectos de enfriamiento. Fluómetros térmicos

Piezoelectricidad. Piezoresistividad Efectos R, L, C Efectos acústicos dieléctricos

Efectos magnetomecánicos (efectos piezomagnético, magnetoelástico, anillo de Rowland) Temperatura de Curie

Sistemas fotoelásticos (birefringencia inducida de esfuerzo). Interferómetros Efecto Sagnac Efecto Doppler Efecto termoóptico (en cristales líquidos) Emisión radiante

Activación de reacción disocia— ción térmica

Efectos electrocinéticos, electrostrictivos y electromecánicos (piezoelectricidad, electrómetros, ley de Ampère) Efectos magnetomecánicos (magnetostric— ción, magnetómetro). Efectos Joule y Guillemin Presión de radiación. Molino de luz de Crooke Higrómetro Celda de electrodeposición Efecto fotoacústico

Calentamiento Joule (Resistivo) Efecto Peltier

Ley de Biot— Savart Medidores y registradores electromagnéticos

Efectos electroópticos (Efecto Kerr) Efecto Pockels Electroluminiscencia

Almacenamiento magnético- Efecto Barnett Efecto Einsteinde Haas Efecto de Haasvan Alphen Efecto Curie Metro de radiación

Efectos magnetoópticos (efecto Faraday) Efectos Cotton— Mouton y Kerr Efecto foto— refractivo Biestabi— lidad óptica Espectroscopía (emisión y absorción) Quimiluminiscencia

Efecto termomagnético (efecto Righi-Leduc) Efecto galvanomagnético (Ettingshausen) Termopila de bolómetro

Calorímetro Celda de conductividad térmica

Efectos termoeléctricos (termorresistencia, emisión termoiónica, superconductividad). Efecto Seebeck. Piroelectricidad Ruido térmico (Johnson) Colectores de Carga Probeta de Langmuir Electrets

Efectos termomagnéticos (Ettingshausen— Nernst). Efectos galvanomagnéticos (efecto Hall, magnetoresistencia) Efectos fotoeléctricos (fotovoltaico, fotoconductivo, fotogalvánico y fotodieléctrico) Potenciometría Conductimetría Amperometría Polarografía Ionización de fla ma. Efecto Volta Efecto de campo sensible a gases

Resonancia nuclear magnética

Electró— lisis Electro— migración

Foto— síntesis diso— ciación

1.5. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR

1.5.1

13

Transductores en lazo abierto

En la Fig. 1.7 se representa un esquema general de un transductor en configuración de lazo abierto. La señal de entrada se aplica a una sonda o diipositivo que está directamente en contacto con el fenómeno a cuantificar. En muchos casos la sonda efectúa una primera conversión de magnitud para su mejor adaptación al sistema de medida. Por ejemplo, para medir la velocidad de un fluido puede utilizarse como sonda un tubo de Pitot, que transforma la velocidad en diferencia de presiones; para medir una aceleración se utiliza como sonda una masa de inercia que transforma la aceleración en fuerza.

ν

Sonda

Elementos Intermedios

ν Sensor

Preamp.

Figura 1.7: Transductor en lazo abierto. A continuación de la sonda, pueden estar dispuestos determinados elementos intermedios cuya misión es adaptar la salida de la sonda al sensor o captador primario, el dispositivo que realmete efectúa la conversión a señal eléctrica. Son ejemplos de elementos intermedios los pistones y resortes antagonistas, que se utilizan en ciertos transductores de presión para acoplar un conducto de entrada de precisión (sonda) a un sensor pasivo, los sistemas de palancas empleados en ciertos transductores de desplazamiento para amplificar mecánicamente el movimiento de un palpador (sonda), etc. De lo anterior se deduce que depende exclusivamente de la sonda y de los elementos intermedios el que un mismo sensor primario se utilice para medir magnitudes diferentes. La señal de salida del sensor (directa en el caso de los sensores generadores, o proporcionada por un circuito en el caso de los sensores de parámetro variable), puede ser amplificada en un preamplificador incorporado al transductor, como se indica en la Fig. 1.7. La inclusión de un preamplificador en el transductor es una práctica muy recomendable, por cuanto permite transmitir la señal de salida hasta los equipos de tratamiento con mejores prestaciones globales en lo que se refiere a captación de interferencias, especialmente si dicha transmisión se realiza a larga distancia. Las ventajas de la preamplificación se comprenden analizando la Fig. 1.8, que representa esquemáticamente un sistema formado por un transductor de impedancia de salida ZL y tensión de salida v0 conectado a un equipo de tratamiento de señal de impedancia de entrada Zs , al que llega una tensión vs . Se supone que existe una fuente de interferencia de tensión vn acoplada a las líneas de conexión a través de una impedancia Zn (generalmente capacitiva). En este modelo, la verdadera señal de entrada al sistema de tratamiento de señal resulta falseada, deduciéndose

14

CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

Zn

Transductor + Vn -

+

Zs Vs

-

Equipo de tratamiento + vo ZL -

Figura 1.8: Circuito equivalente para un transductor incluyendo señal de interferencia. del circuito de la Fig. 1.8 la siguiente expresión: v0 =

ZL Zn · vs + ZL Zs · vn Zs ZL + Zn ZL + Zs Zn

(1.5.1)

que demuestra que en la señal v0 de entrada al equipo de tratamiento existe una componente debida a la señal vs de salida del transductor y otra debida a la interferencia, cuyo valor es: vno =

Zs ZL · vn Zs ZL + Zn ZL + Zs Zn

(1.5.2)

que corresponde al segundo sumando de la ecuación (1.5.1). El error relativo debido a interferencia será: εi =

vno Zs ZL vn = · v0 Zs ZL + Zn ZL + Zs Zn v0

(1.5.3)

De esta ecuación se extraen dos conclusiones importantes • El error relativo de interferencia disminuye en la misma proporción en que aumenta la señal de salida del transductor. • El error relativo de interferencia disminuye al bajar la impedancia de salida del transductor, siendo nulo cuando lo es dicha impedancia. De acuerdo a esta última conclusión, se puede mejorar el sistema utilizando en el transductor preamplificadores con la mayor preamplificación posible y con la impedancia de salida más baja posible. La primera de las condiciones tiene limitaciones prácticas (la saturación de las etapas amplificadoras). La segunda, por el contrario, se consigue fácilmente utilizando amplificadores operacionales, los cuales tienen impedancias de salida en lazo cerrado prácticamente nulas en

1.5. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR

15

los circuitos usuales. Esta última condición es muy importante puesto que permite anular virtualmente el error de interferencia cuando la fuente de interferencia está acoplada de acuerdo con el modelo propuesto (caso, por ejemplo, del acoplamiento capacitivo responsable de muchas de las interferencias captadas por los sistemas de amplificación de señales débiles).

1.5.2

Transductores de lazo cerrado o servotransductores

Una disposición que se utiliza en ciertos transductores de alta precisión, corresponde a la configuración en lazo cerrado de los denominados servotransductores, cuyo esquema básico se representa en la Fig. 1.9.

ν Sonda

Σ + _

ν

β Sensor de captación

Amplificador

Elemento Intermedio

Sensor de lectura

Figura 1.9: Transductor en lazo cerrado. Como puede verse en dicha figura, el sistema incluye dos sensores primarios, que aparecen con las denominaciones de sensor de captación y sensor de lectura. La magnitud vi de entrada se aplica al sensor de captación a través de la sonda, cuya magnitud de salida es Ks vi (donde Ks es la función de transferencia de la sonda), y de un sistema de acoplamiento diferencial. La salida del sensor de captación es amplificada y aplicada a un elemento intermedio, frecuentemente de naturaleza mecánica, de función de transferencia β. La magnitud de salida del elemento intermedio se resta de la salida de la sonda en el mencionado sistema de acoplamiento diferencial y aparece además como señal de salida del servotransductor después de ser convertida en señal eléctrica en el sensor de lectura. Dentro de cada bloque se indica su función de transferencia. La señal de salida del sistema luego de hacer los cálculos correspondientes será: βAKs Kc Kl vi 1 + βAKc que, para grandes valores de la amplificación A, toma la forma aproximada v0 =

v0 ∼ = Ks Kl vi

(1.5.4)

(1.5.5)

Por lo tanto, la señal de salida del sensor de lectura es proporcional a la magnitud de entrada. Como puede observarse, en el caso de alta amplificación, el lazo de realimentación tiende a anular la diferencia entre la salida de la sonda y el elemento intermedio.

16

CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS

Tabla 1.2: Sensores analógicos directos Potenciométricos Termorresistivos Fotorresistivos De resistencia variable Piezorresistivos Extensométricos Electroquímicos De adsorción Geometría variable De parámetro variable De capacidad variable Dieléctrico variable De inductancia variable De transformador variable Fotoemisivos Fotoeléctricos Fotocontrolados Piezoeléctricos Fotovoltaicos Termoeléctricos Generadores de señal Magnetoeléctricos Electrocinéticos Electroquímicos De geometría variable Mixtos De efecto Hall Bioeléctricos

1.6. CLASIFICACIÓN

17

La gran precisión de los servotransductores queda justificada teniendo en cuenta el desarrollo anterior, por cuanto: • La medida no resulta afectada por las imperfecciones del sensor de captación, del amplificador y del elemento intermedio. • La precisión de la señal de salida sólo depende de la sonda (dispositivo también presente en los transductores de lazo abierto) y del sensor de lectura, el cual funciona en condiciones muy favorables al recibir como entrada una magnitud ya amplificada. Las ventajas más importantes de estos dispositivos son las siguientes: • Salida de alto nivel • Gran precisión • Corrección continua de las medidas • Alta resolución Entre sus desventajas, están las siguientes: • Costo elevado • Poca robustez • Dificultades en la respuesta dinámica.

1.6

Clasificación

Considerando la naturaleza de la señal eléctrica generada y el modo de obtenerla y atendiendo a los principios físicos en los cuales de basan, se propone la clasificación [23] que se muestra en la Tablas 1.2 y 1.3. En el desarrollo del texto se seguirá este esquema, con especial atención a los sensores más utilizados. Se denominan sensores análogos directos a los captadores primarios cuya señal de salida analógica representan directamente, sin ningún tipo de proceso de interpretación adicional, la magnitud de entrada. Dentro de la categaría de sensores analógicos directos se distinguen los siguientes tipos: • Sensores de parámetro variable: Son componentes de circuito pasivo cuyo valor varía en función de la magnitud de entrada. Para su funcionamiento es imprescindible que formen parte de circuitos concretos los cuales requieren alimentación externa.

18

CAPÍTULO 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS Tabla 1.3: Sensores indirectos Gravimétricos De elemento vibrante Moduladores de frecuencia

Tensométricos De condensador De reactancia variable De inductancia

Generadores de frecuencia

Digitales

Electromagnéticos Fotoeléctricos De efecto Hall Codificadores angulares Codificadores lineales Fotoelásticos

• Sensores generadores de señal: Son dispositivos que generan señales representativas de las magnitudes a medir en forma autónoma, sin requerir de ninguna fuente de alimentación. • Sensores Mixtos: Son dispositivos que, de algún modo, tienen la doble naturaleza de generadores (comportamiento activo) y de componentes pasivos (forman parte necesariamente de circuitos con fuentes de alimentación asociadas) Los sensores indirectos son captadores en donde el valor instantáneo de la señal de salida no representa directamente la magnitud de entrada, siendo necesaria una interpretación o decodificación posterior para obtener la información relativa a la magnitud a medir. Se exponen los sensores de este grupo que proporcionan señales periódicas, cuya frecuencia fundamental contiene la información sobre la magnitud de entrada. También se exponen algunos tipos de sensores digitales. Es de observar que muchos de los sensores indirectos utilizan realmente células sensibles las cuales pertenecen al grupo de los sensores analógicos directos, variando únicamente su modo de funcionamiento y los circuitos de los cuales forman parte.

Capítulo 2

Características estáticas de un sistema de medida 2.1

Introducción

Este capítulo tiene que ver con características estáticas o de estado estacionario; éstas son las relaciones que pueden ocurrir entre la salida θ y la entrada u de un elemento cuando u es o bien un valor constante, o valor que cambia muy lentamente. El comportamiento del sistema de medida está condicionado por el sensor empleado. Se plantean dos conceptos básicos relativos al concepto de la medida: exactitud y precisión. La exactitud está relacionada con las características fundamentales de la estructura de la materia y está acotada por el principio de incertidumbre. La precisión tiene que ver esencialmente con el sistema empleado para realizar la medición. Toda medida lleva asociado inevitablemente un error. El error del sistema es una medida de la diferencia entre el valor del punto de consigna (set point) de la variable controlada y el valor real de la variable que entrega la dinámica del sistema. De acuerdo con la instrumentación utilizada, puede estimarse la magnitud del error, adoptándose las precauciones necesarias para reducir su valor a límites aceptables de acuerdo con la precisión requerida. La determinación del error supone el conocimiento del valor exacto, considerándose en la práctica como valores exactos los derivados de los patrones de medida disponibles. En muchos casos; sin embargo, se toman como “patrones” las curvas de calibración suministradas por los fabricantes de los equipos de medida cuando no es necesaria una precisión extrema.

2.2

Características Sistemáticas

Las caraterísticas sistemáticas son aquellas que pueden ser cuantificadas exactamente por medios gráficos o matemáticos. Estas son distintas de las características estáticas las cuales no pueden ser cuantificadas exactamente. 19

20

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA 1. Rango El rango de entrada de un elemento está especificado por los valores máximos y mínimos de u, es decir, umin a umax . El rango de salida de un elemento está especificado por los valores máximos y mínimos de θ, es decir, θmin a θmax . Así, un transductor de presión puede tener un rango de entrada de 0 a 104 P a y un rango de salida de 4 a 20 mA; una termocupla puede tener un rango de entrada de 100 a 250◦ C y un rango de salida de 4 a 10 mV . 2. Alcance Es la máxima variación de entrada o salida, por ejemplo, el alcance de entrada es umax − umin , y el alcance de salida es θmax − θmin . Así, en los ejemplos del párrafo anterior, el transductor de presión tiene un alcance en la entrada de 104 P a y un alcance de salida de 16mA; la termocupla tiene un alcance de entrada de 150◦ C y un alcance de salida de 6mV . 3. Línea recta ideal. Se dice que un elemento es ideal si los valores respectivos de u y de θ corresponden a una línea recta. La línea recta ideal conecta el punto mínimo A(umin , θmin ) al punto máximo B(umax , θmax ) y por lo tanto tiene la ecuación: ¸ ∙ θmax − θmin (u − umin ) (2.2.1) θ − θmin = umax − umin o sea, θideal = ku + a

Ecuación de una línea recta ideal

donde k = pendiente de la recta ideal = y

θmax − θmin umax − umin

a = intercepto de la recta = θmin − kumin

(2.2.2)

(2.2.3)

(2.2.4)

Así, la línea recta para el transductor de presión anterior es θ = 1.6 × 10−3 u + 4.0 4. No linealidad En muchos casos la relación de la línea recta definida en las ecuaciones (2.2.2) y (2.2.3) no se cumple y se dice que el elemento es no lineal. La no linealidad puede ser definida (Fig. 2.1) en términos de una función N (u) la cual es la diferencia entre el comportamiento real y el ideal de la línea recta.Es decir, N (u) = θ(u) − (ku + a) o θ(u) = ku + a + N (u)

(2.2.5)

2.2. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS

θ

21

θ

θ

+ θ _

u

N

θ

u

θ

Figura 2.1: Definición de no linealidad. La no linealidad es frecuentemente cuantificada en términos de la máxima no linealidad ˆ expresada como un porcentaje de la deflexión a plena escala (f.s.d en inglés), es decir, N como un porcentaje del alcance. Así Máxima no linealidad como porcentaje de la f.s.d. =

ˆ N × 100% θmax − θmin

(2.2.6)

En muchos casos θ(u) y por lo tanto N (u) se pueden expresar como polinomios de u, es decir, m X ai ui (2.2.7) θ(u) = a0 + a1 u + a2 u2 + · · · + am um = i=0

Un ejemplo es la variación de temperatura como consecuencia de la variación de la tensión termoeléctrica en la unión de dos metales distintos. Para una termocupla tipo T (cobre-constantan), los primeros cuatro términos en el polinomio que relacionan la tensión E(T )μV y la temperatura T de la unión en ◦ C son: E(T ) = 38.74T +3.319×10−2 T 2 +2.071×10−4 T 3 −2.195×10−6 T 4 +O(T ) hasta T 8 (2.2.8) donde O(T ) significa términos de orden superior. Para el rango desde 0 hasta 400◦ C, puesto que E = 0 mV a T = 0◦ C y E = 20.869 mV a T = 400◦ C (ver Fig. 2.2), la ecuación de la línea recta ideal es: Eideal = 52.17T

(2.2.9)

y la función de corrección no lineal es: N (T ) = E(T )−Eideal = −13.43T +3.319×10−2 T 2 +2.071×10−4 T 3 −2.195×10−6 T 4 +O(T ) (2.2.10)

22

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Figura 2.2: Respuesta en mV de una termocupla tipo T (Cu/CuN i). En algunos casos expresiones diferentes de las polinomiales son más apropiadas; por ejemplo, la resistencia R(T ) Ω de un termistor a T ◦ C está dada por: R(T ) = 0.04 exp

µ

3300 T + 273

¶

5. Sensibilidad. Esta es la rata de cambio de θ con respecto a u, es decir, dθ dN =K+ du du

(2.2.11)

dθ =K du

(2.2.12)

Así, para un elemento ideal

es decir, para el transductor de presión anterior, dθ/du = 1.6 × 10−3 mA/P a. Para la termocupla cobre-constantan la sensibilidad dE/dT a T ◦ C está dada por: dE = 38.74 + 6.638 × 10−2 T + 6.213 × 10−4 T 2 − 8.780 × 10−6 T 3 + O(T ) dT la cual tiene un valor aproximado de 50μV ◦ C −1 a 200◦ C.

(2.2.13)

2.2. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS

23

6. Efectos ambientales En general, la salida θ depende no solamente de la señal de entrada u sino de entradas ambientales tales como la temperatura ambiente, la presión atmosférica, la humedad relativa, la fuente de alimentación, etc. Así, si la ecuación (2.2.5) representa adecuadamente el comportamiento del elemento bajo condiciones ambientales ‘estándar’, es decir, 25◦ C temperatura ambiente, presión atmosférica 1000 milibars, 80% de humedad relativa, fuente de alimentación de 10V ; entonces la ecuación debe ser modificada para tomar en cuenta las desviaciones en las condiciones ambientales ‘estándar’. Hay dos tipos principales de entradas ambientales:

θ

θ Sesgo de Cero = Pendiente =

Pendiente = Sesgo de Cero =

u

u

Figura 2.3: Efectos de las entradas modificadora e interferente (a)Modificadora (b) Interferente. (a) Una entrada modificadora la cual hace que la sensibilidad lineal del elemento cambie. Así, si uM es la desviación en una entrada ambiental modificadora del valor ‘estándar’ (uM es cero en condiciones estándar), entonces esta produce un cambio en la sensibilidad lineal desde k hasta k + kM uM (Fig. 2.3(a)).

Δ

Figura 2.4: Potenciómetro. (b) Una entrada interferente la cual hace que cambie la intercepción o sesgo de cero del elemento. Así, si uI es la desviación en una entrada ambiental interferente para

24

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA el valor ‘estándar’ (uI es cero en condiciones estándar); entonces esto produce un cambio en la intercepción por cero de a a a + kI uI (Fig. 2.3(b)). Los coeficientes kM , kI son referidos como constantes de acoplamiento ambiental o sensibilidades. Por lo tanto, se debe ahora corregir la ecuación (2.2.5), reemplazando ku con (k+kM uM )u y reemplazando a con a + kI uI para obtener: θ = ku + a + N (u) + kM uM u + kI uI

(2.2.14)

Un ejemplo de una entrada modificadora es la variación ∆Vs en el voltaje de alimentación Vs del sensor de desplazamiento potenciométrico mostrado en la Fig. 2.4. Un ejemplo de una entrada interferente está dado por las variaciones en la temperatura de unión de referencia T2 de una termocupla. 7. Histéresis. Para un valor dado de u, la salida θ es diferente dependiendo de si u está aumentando o está disminuyendo. La histéresis es la diferencia entre estos dos valores de θ (Fig. 2.5), es decir, (2.2.15) H(u) = θ(u)u↓ − θ(u)u↑ ˆ expresada La histéresis se cuantifica usualmente en términos de la histéresis máxima H, θ θ H

θ

u

u

Figura 2.5: Histéresis. como un porcentaje de la f.s.d., es decir, el alcance. Así, Hmax

fsd %

=

ˆ H × 100% θmax − θmin

(2.2.16)

Un simple sistema de engranajes (Fig. 2.6 ) para convertir movimiento lineal en rotatorio proporciona un buen ejemplo de histéresis. Debido al ‘juego’ en los dientes de los engranajes, la rotación θ, para un valor dado de x, es diferente dependiendo de la dirección del movimiento lineal.

2.2. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS

25

θ

θ

x

x

Figura 2.6: Juego en engranajes. Ejemplo de histéresis. 8. Resolución. Algunos elementos se caracterizan por el incremento de la salida en una serie de pasos discretos o saltos en respuesta a un incremento continuo en la entrada. La resolución se define como el cambio más grande en u que puede ocurrir sin el cambio correspondiente en θ. Así, en la Fig. 2.7 la resolución se define en términos del valor ∆uR del paso más ancho; la resolución expresada como un porcentaje del f.s.d. es por lo tanto Res % =

∆uR × 100% umax − umin

(2.2.17)

Un ejemplo común es un potenciómetro de alambre devanado, en respuesta a un continuo θ

θ R

x θ

u Δ

Figura 2.7: Ejemplo de resolución y de potenciómetro. incremento en x la resistencia R se incrementa en una serie de pasos; el tamaño de cada paso será igual a la resistencia de una vuelta. Así, la resolución de un potenciómetro de 100 vueltas es de 1%. Otro ejemplo es un convertidor análogo a digital; aquí la señal digital de salida responde en pasos discretos a una tensión de entrada que se incrementa

26

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA continuamente; la resolución es el cambio en el voltaje requerido para causar que el código de salida cambie con el bit menos significativo. p (θ)

θ θ

1 2h

θ

θ

2h

h h

l

θ

θ

Figura 2.8: Bandas de error y función de probabilidad. 9. Uso y envejecimiento.Estas causas pueden afectar las características de un elemento, es decir, k y a de modo que cambien lenta pero sistemáticamente a través de su vida. Un ejemplo es la rigidez de un resorte k(t) la cual decrementa lentamente con el tiempo debido al uso, es decir, (2.2.18) k(t) = k0 − bt donde k0 es la rigidez inicial y b es una constante. Otro ejemplo corresponde a las constantes a1 , a2 , etc. de una termocupla que mide la temperatura de los gases generados en un horno de fragmentación, las cuales cambian sistemáticamente con el tiempo debido a cambios químicos en los metales de la termocupla. 10. Bandas de error. Los efectos de las no linealidades, la histéresis y la resolución en muchos sensores modernos son tan pequeños que es difícil y no vale la pena cuantificar exactamente cada efecto individual. En estos casos el fabricante define el comportamiento del elemento en términos de bandas de error (ver Fig. 2.8). Aquí el fabricante establece que para cualquier valor de u, la salida θ estará entre ±h del valor θideal de la línea recta ideal. Aquí un enunciado exacto o sistemático del comportamiento se reemplaza por un enunciado estadístico en términos de una función densidad de probabilidad p(θ). En R x2 general, una función densidad de probabilidad p(x) se define de modo que la integral x1 p(x)dx es la probabilidad Px1 ,x2 de que x caiga entre x1 y x2 . En este caso la función densidad de probabilidad es rectangular (Fig. 2.9), es decir, ⎧ 1 θideal − h ≤ θ ≤ θideal + h ⎨ 2h (2.2.19) 0 θ > θideal + h p(θ) = ⎩ 0 θideal − h > θ

2.3. MODELO GENERALIZADO DE UN ELEMENTO

27

p (x) Densidad de probabilidad

1

x

2

Figura 2.9: Función densidad de probabilidad. Se puede observar que el área del rectángulo es igual a la unidad: esta es la probabilidad de que θ caiga entre θideal − h y θideal + h.

2.3

Modelo generalizado de un elemento

Si los efectos de histéresis y resolución no están presentes en un elemento pero los efectos ambientales y no lineales sí, entonces la salida θ de estado estacionario del elemento estará dada por (2.3.1) θ = ku + a + N (u) + kM uM u + kI uI La Fig. 2.10 muestra esta ecuación en forma de diagrama de bloques para representar las Modificador

Interferente

θ

θ Entrada

0

Salida

Estático

Dinámico

Figura 2.10: Modelo general de un elemento. características estáticas de un elemento. Para efectos de completar el diagrama también se

28

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Instrumento Patrón

Instrumento Patrón

Elemento o sistema

θ

a ser calibrado

Instrumento Patrón

Instrumento Patrón

Figura 2.11: Calibración de un elemento. muestra la función de transferencia G(s) la cual representa las características dinámicas del mismo.

2.4 2.4.1

Identificación de características estáticas. Calibración Patrones de medida

Las características estáticas de un elemento se pueden encontrar experimentalmente midiendo los valores correpondientes de la entrada u, la salida θ y las entradas ambientales uM , uI , cuando u es, o bien un valor constante, o una variable que evoluciona lentamente. Este tipo de experimento se denomina calibración. Las medidas de las variables u, θ, uM uI deben ser precisas si se desea tener resultados significativos. Los instrumentos y técnicas utilizadas para cuantificar estas variables se conocen como patrones de calibración (Fig. 2.11 ). La precisión en la medida de una variable es el acercamiento al valor verdadero de la misma. Se cuantifica en términos del error de la medida, es decir, la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Así, la precisión de una galga de presión relativa a un patrón de laboratorio es la lectura más cercana al valor verdadero de la presión. Esto conduce al problema básico de cómo establecer el verdadero valor de una variable, lo cual conduce a la siguiente Definición 2 Se define el valor verdadero de una variable como el valor medido obtenido con un patrón primario. Así, la precisión de la galga de presión anterior se cuantifica por la diferencia entre la lectura de la galga, para una presión dada, y la lectura dada por el patrón de presión definido como tal. Sin embargo, el fabricante de la galga de presión puede no tener acceso al patrón primario para medir la precisión de sus productos. Él puede medir la precisión de sus galgas relativas a un patrón intermedio portátil o patrón de transferencia, es decir, un probador de presión de

2.4. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. CALIBRACIÓN

29

Tabla 2.1: Escala simplificada de rastreabilidad

↑ Incremento de precisión

Patrón Primario ↑ Patrón de transferencia ↑ Patrón de laboratorio ↑ Elemento a ser calibrado

v.,gr., patrón de presión del NPL v.,gr., probador de peso muerto v.,gr., galga de presión normalizada v.,gr., transductor de presión

peso muerto. La precisión del patrón de transferencia debe encontrarse por calibración respecto del patrón de presión primario. Esto conduce al concepto de escala de rastreabilidad la cual se muestra en forma simplificada en la gráfica siguiente. El elemento se calibra usando los patrones del laboratorio, los cuales deben ser calibrados a sí mismos por los patrones de transferencia, y estos a su vez deben ser calibrados usando el patrón primario. Cada elemento de la escala debe ser más preciso que el anterior en forma significativa. Luego de haber introducido los conceptos de patrón y rastreabilidad se puede ahora discutir con más detalle, distintos tipos de patrones. El sistema internacional de medida (SI) incluye siete unidades básicas y dos suplementarias que son compiladas y definidas en el Apéndice B. Las unidades de todas las cantidades físicas pueden ser derivadas de estas unidades básicas y suplementarias. En el Reino Unido el Laboratorio Nacional de Física (National Physical Laboratory N.P.L.) es el responsable de la realización física de todas las unidades básicas y muchas de las unidades derivadas correspondientes. El N.P.L. es por lo tanto el guardián de los patrones primarios en ese país. Hay patrones secundarios guardados en el Servicio de Calibración Británico (B.C.S.). Éstos han sido calibrados con los patrones del N.P.L. y están disponibles para calibrar los patrones de transferencia. En el N.P.L., el metro se definió usando la longitud de onda de la radiación de un láser de helio-neón estabilizado con yodo. La reproducibilidad de este patrón es de 3 partes en 1011 y la longitud de onda de la radiación ha sido relacionada precisamente con la definición del metro en términos de la velocidad de la luz. El patrón primario se usa para calibrar interferómetros de láser secundarios los cuales a su vez se usan para calibrar cintas, galgas y barras de precisión. Una escala simplificada de rastreabilidad para longitud se muestra en la Tabla 2.2. El prototipo internacinal del kilogramo está hecho en platinio-iridio y está guardado en la Agencia Internacional de Pesos y Medidas (B.I.P.M.) en París. El peso de una masa m es la

30

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Tabla 2.2: Escala de rastreabilidad (Adaptada de Scarr) Responsabilidad

BIMP y NPL

NPL

NPL o BCS o Industria

BCS o Industria

BCS o Industria

BIPM: NPL: BCS:

Longitud Radiación laser He—Ne de longitud de onda de 633 nm ↓ Longitud de onda de fuentes laser secundarias ↓ Calibración interferométrica laser de calidad de referencia para patrón de longitud ↓ Calibración comparativa de calidad operativa para patrón de longitud ↓ Calibración de galgas y de equipos de medida ↓ Medida de la pieza de trabajo International Bureau of Weights and Measures National Physical Laboratory British Calibration Service

Precisión

3 en 1011

1 en 107

1 en 106

1 en 105

1 en 104

2.4. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. CALIBRACIÓN

2

Tabla 2.3: Puntos fijos T empe ratura T90 /K t90 /◦ C —270.15 a 3a5 —268.15 13.8033 —259.3467

3

~17

~—256.15

4

~20.3

~—252.85

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

24.5561 54.6584 83.8058 234.3156 273.16 302.9146 429.7485 505.078 629.677 933.473 1234.93 1337.33 1357.77

—248.5939 —218.7916 —189.3442 —38.8344 0.01 29.7646 156.5985 231.928 419.527 660.323 961.78 1064.18 1084.62

Número 1

31

definidos en el ITS—90. Sustancia

Estado

He

V

e—H2 e—H2 (ó He) e—H2 (ó He) Ne O2 Ar Hg H2 O Ga In Sn Zn Al Ag Au Cu

T V óG V óG T T T T T M F F F F F F F

Wr (T90 )

0.00119007

0.00844974 0.09171804 0.21585975 0.84414211 1.00000000 1.11813889 1.60980185 1.89279768 2.56891730 3.37600860 4.28642053

fuerza mg que experimenta bajo la aceleración de la gravedad g. Así, si el valor local de la gravedad se conoce de manera precisa, entonces un patrón de fuerza se puede derivar de los patrones de masa. En el N.P.L., v. gr, las máquinas de peso muerto que cubren un rango de fuerza de 450N hasta 30M N se usan para calibrar celdas de carga con galgas extensométricas y otros transductores de peso. El amperio ha sido tradicionalmente la unidad básica eléctrica y ha sido efectuado en el N.P.L. usando la balanza de corriente Ayrton—Jones; aquí, la fuerza entre dos espiras que llevan corriente se equilibra con un peso conocido. La precisión de este método está limitada por los grandes pesos muertos de las bobinas y los moldes y de las muchas medidas necesarias. Por esta razón se han escogido como unidades básicas eléctricas el faradio y el voltio (o vatio); las otras unidades tales como el amperio, el ohmio, el henrio y el julio se derivan de estas dos unidades basicas con unidades de tiempo o de frecuencia, usando la ley de Ohm donde sea necesario. El faradio fue realizado usando un capacitor calculable basado en el teorema de Thompson—

32

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Lampard. Usando puentes a.c., los patrones de capacitancia y frecuencia se pueden usar para calibrar resistores estándar. El patrón primario del voltio se basa sobre el efecto Josephson en la superconductividad; éste se usa para calibrar patrones secundarios de voltaje, usualmente las baterías saturadas de cadmio de Weston. El amperio también puede ser llevado a cabo usando una balanza de corriente modificada. Como antes, la fuerza debida a una corriente I se equilibra con un peso conocido mg, pero también se hace una medición separada para el voltaje e inducido en la espira cuando ésta se mueve a una velocidad u. Igualando las fuerzas mecánica y eléctrica se obtiene la ecuación eI = mgu (2.4.1) Se pueden hacer medidas precisas de m, u y e usando patrones secundarios que puedan ser rastreados de nuevo con los patrones primarios del kilogramo, el metro, el segundo y el voltio. Idealmente se debe definir la temperatura usando la escala termodinámica, es decir la relación P V = Rθ

(2.4.2)

entre la presión P y la temperatura θ de un volumen fijo V de un gas ideal. Debido a la limitada reproducibilidad de los termómetros reales de gas, se proyectó la Escala Práctica Internacional de Temperatura (I.T.P.S.). Esta se muestra en la Tabla 2.3 y consiste de a Puntos fijos altamente reproducibles correspondientes a los puntos de fusión y ebullición o puntos triples de sustancias puras bajo condiciones específicas; b Instrumentos patrones con una salida conocida versus una relación de temperatura obtenida por calibración de los puntos fijos. Los instrumentos se interpolan entre los puntos fijos. En la Tabla 2.4 se muestran los efectos de la variación de presión sobre los valores definidos de la temperatura. Los números asignados a los puntos fijos son tales que hay exactamente 100K entre el punto de congelamiento (273.15K) y el punto de ebullición (373.15K) del agua. Esto significa que un cambio de 1K es igual al cambio de 1◦ C en la antigua escala Celsius. La relación exacta entre las dos escalas es θK = T ◦ C + 273.15 Los instrumentos de interpolación mencionados en la tabla se usan para calibrar los intrumentos patrones secundarios; v. gr., un termómetro por interpolación de resistencia de platino puede ser usado para calibrar un segundo termómetro de resistencia de platino. Los patrones disponibles para las cantidades basicas, es decir, longitud, masa, tiempo, corriente y temperatura, permiten que se realizen patrones para cantidades derivadas. Esto se ilustra en los métodos para calibrar medidores de flujo de líquidos. El promedio de flujo real a través del metro se encuentra pesando la cantidad de agua recolectada en un tiempo dado, así que la precisión con que se mide el flujo depende de la precisión de los patrones de peso y tiempo. De manera similar los patrones de presión se pueden derivar de los de fuerza y área (longitud).

2.4. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. CALIBRACIÓN

Tabla 2.4: Efecto de la presión sobre algunos puntos definidos fijos. Variación con Valor de asignación Temperatura profundidad, de temperatura con presión, p lambda Substancia en equilibrio dT /dp dT /dλ 10−3 K·m−1 10−8 K·Pa−1 T90 /K e-Hidrógeno (T) Neón (T) Oxígeno (T) Argón (T)

13.8033 24.5561 54.3584 83.8058

34 16 12 25

0.25 1.9 1.5 3.3

Mercurio (T) Agua (T) Galio Indio

234.3156 273.16 302.9146 429.7485

5.4 —7.5 —2.0 4.9

7.1 —0.73 —1.2 3.3

Estaño Zinc Aluminio Plata

505.078 692.677 933.473 1234.93

3.3 4.3 7.0 6.0

2.2 2.7 1.6 5.4

Oro Cobre

1337.33 1357.77

6.1 3.3

10.0 2.6

33

34

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

2.5

Medidas experimentales y evaluación de resultados

El experimento de calibración se divide en tres partes principales. 1. θ vs u con uM = uI = 0. Idealmente esta prueba podrá ser tomada bajo condiciones ambientales ‘estándar’ tal que uM = uI = 0, si esto no es posible todas las entradas ambientales deberán medirse. u debe incrementarse lentamente desde umin hasta umax y los valores correspondientes de u y θ deberán ser registrados a intervalos del 10% del alcance (es decir, 11 lecturas), dejando tiempo suficiente para que la salida se estabilice antes de tomar una nueva lectura. Se tomarán otros 11 pares de lecturas cuando se decremente lentamente u desde umax hasta umin . El proceso completo deberá repetirse dos veces más (arriba y abajo) hasta obtener dos conjuntos de datos: un conjunto arriba (ui , θi )I↑ y un conjunto abajo (uj , θj )I↓ , i, j = 1, 2, . . . , n (n = 33). Hay paquetes de regresión disponibles paraP la mayoría de las computadoras, los cuales m q ajustan a un polinomio, es decir, θ(u) = q=0 aq u para un conjunto de n datos de puntos. Esos paquetes usan un criterio de ‘mínimos cuadrados’. Si di es la desviación del valor polinomial θ(ui ) para los valores θi , entonces di = θ(ui ) − θi . El programa encuentra un conjunto de coeficientes a0 , a1 , a2 , etc., tales que la suma de los cuadrados P de las desviaciones es decir ni=1 d2i es mínima. Esto involucra la solución de un conjunto de ecuaciones lineales [15]. Para detectar cualquier forma de histéresis, se deberán realizar regresiones separadas sobre los dos conjuntos de datos (ui , θi )I↑ , (uj , θj )I↓ , y obtener dos polinomios θ(u)I↑ =

m X

a↑q uq

y

θ(u)I↓ =

q=0

m X

a↓q uq

(2.5.1)

q=0

Si la histéresis es significativa, entonces la separación de las dos curvas será mayor que la dispersión de los puntos de datos alrededor de cada curva individual (Fig. 2.12(a)) La histéresis H(u) está entonces dada por la ecuación (2.2.15), es decir, H(u) = θ(u)u↓ − θ(u)u↑

(2.5.2)

Si, por otra parte, la dispersión de los puntos alrededor de cada curva es más grande que la separación de las curvas (Fig. 2.12(b)), entonces H no es significativo y los dos conjuntos de datos se pueden entonces combinar y así obtener un solo polinomio θ(u). La pendiente k y el cruce por cero a de la línea recta ideal unen los puntos mínimo y máximo (umin , θmin ) y (umax , θmax ) y pueden hallarse de la ecuación (2.2.3). La función no lineal N (u) puede entonces encontrarse usando (2.2.5): N (u) = θ(u) − (ku + a)

(2.5.3)

2.5. MEDIDAS EXPERIMENTALES Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS

θ

35

θ

Abajo

Arriba

(a)

(b)

Figura 2.12: (a) Histéresis significativa (b) Histéresis no significativa. Los sensores de temperatura son frecuentemente calibrados usando puntos fijos apropiados en lugar de un instrumento patrón. Por ejemplo, una termocupla puede ser calibrada entre 0 y 500◦ C midiendo la fem en el hielo, el vapor y el punto zinc. Si la relación fem— temperatura se representa por la ecuación cúbica E = a1 T + a2 T 2 + a3 T 3 , entonces los coeficientes a1 , a2 , a3 , se pueden encontrar resolviendo tres ecuaciones simultaneas. 2. θ vs uM , uI con u = cte. Primero se necesita encontrar cuales entradas ambientales son interferentes, es decir, afectan el cruce por cero a. La entrada u se mantiene constante en u = umin y una entrada ambiental se cambia por una cantidad conocida, el resto se mantiene en valores estándar. Si hay un cambio resultante ∆θ en θ, entonces la entrada uI está interfiriendo y el valor de los coeficientes correspondientes kI estarán dados por kI = ∆θ/∆uI . Si no hay cambio en θ, entonces la entrada no es interferente. El proceso se repite hasta que todas las entradas interferentes sean identificadas y los valores correspondientes de kI sean encontrados. Se necesita ahora identificar las entradas modificadoras, es decir, las que afectan la sensibilidad del elemento. La entrada u se mantiene constante en el valor medio del rango 1 2 (umin +umax ) y cada entrada ambiental se varía a su vez por una cantidad conocida. Si un cambio en la entrada produce un cambio ∆θ en θ y no es una entrada interferente, entonces esta debe ser una entrada modificadora uM y el valor del coeficiente correspondiente kM

36

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA estará dado por: ∆θ 1 ∆θ 2 = (2.5.4) u ∆uM (umin + umax ) ∆uM Supóngase que un cambio en la entrada produce un cambio ∆θ en θ y ésta ya ha sido identificada como una entrada interferente con un valor conocido kI . Entonces se debe calcular un valor no cero de kM antes de que se pueda asegurar que la entrada es también modificadora. Puesto que (umin +umax ) ∆θ = kI ∆uI,M + kM ∆uI,M 2 entonces ∙ ¸ ∆θ 2 − kI (2.5.5) kM = (umin + umax ) ∆uI,M kM =

3. Prueba de repetibilidad. Esta prueba podrá ser llevada a cabo en el ambiente de trabajo normal del elemento, es decir, en la planta, o en un cuarto de control, donde las entradas ambientales uM , uI están sujetas a variaciones aleatorias experimentadas usualmente. La señal de entrada u deberá mantenerse constante en un valor medio del rango y la salida θ medida sobre un período extendido, idealmente varios dias, obteniéndose un conjunto de valores θk , k = 1, 2, . . . , N . El valor medio del conjunto se puede encontrar usando N

X ¯θ = 1 θk N

(2.5.6)

k=1

y la desviación estándar se encuentra usando (ver Capítulo 4) v u N u1X θ)2 σ0 = t (θk − ¯ N

(2.5.7)

k=1

Se deberá realizar un histograma de los valores de θk , con el fin de estimar la función densidad de probabilidad p(θ) y compararla con la forma de la función gaussiana (Capítulo 4).

2.6

Precisión de los sistemas de medida en estado estacionario

La precisión es una propiedad del sistema de medida completo, más que de un simple elemento. La precisión se cuantifica utilizando el error de medición ε, es decir: ε = valor medido − valor verdadero

ε = salida del sistema − entrada del sistema

(2.6.1) (2.6.2)

En esta sección se utilizará el modelo estático de un elemento simple, para calcular la salida y además el error de medida para un sistema completo de varios elementos. Se concluye examinando métodos de reducción del error del sistema.

2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO

37

40

20

0

0.97

0.98

0.99

1.00

1.01

1.02

θ

1.03

Voltios

Figura 2.13: Comparación del histograma con una función densidad de probabilidad gaussiana.

2.6.1

Error en la medida de un sistema con elementos ideales

Considérese el sistema mostrado en la Fig. 2.14 consistente de n elementos en serie. Supóngase que cada elemento es ideal, es decir, perfectamente lineal y no sujeto a entradas ambientales. Si también se asume que el sesgo o cruce por cero es cero, es decir, a = 0, entonces θi = ki ui

(2.6.3)

ecuación entrada—salida para un elemento ideal con sesgo cero, para i = 1, . . . , n, donde ki es la sensibilidad lineal o pendiente (ecuación (2.2.3)). De allí se observa que θ2 = k2 u2 = k2 k1 u, θ3 =

θ1 =

1 1

Valor verdadero

1

θ2 =

2 2

2

θ3

3

θ

θ =θ

3

3

Valor medido

Figura 2.14: Error en la medida. k3 u3 = k3 k2 k1 u, y para el sistema completo θ = θn = k1 k2 k3 · · · ki · · · kn u

(2.6.4)

Si el sistema de medida es completo, entonces ε = θ − u, dando ε = (k1 k2 k3 · · · kn − 1)u

(2.6.5)

38

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Así, si k1 k2 k3 · · · kn = 1

(2.6.6)

se tiene ε = 0 y el sistema es perfectamente preciso. El sistema de medida de temperatura mostrado en la Fig. 2.15 parece satisfacer la condición anterior. El indicador puede ser un voltímetro de bobina móvil con una escala marcada en grados Celsius, de modo que un cambio en la entrada de 1V produzca un cambio en la deflexión de 25◦ C. Este sistema tiene k1 k2 k3 = 40 × 10−6 × 103 × 25 = 1 y así parece perfectamente preciso. Este sistema; sin embargo, no es perfectamente preciso pues ninguno de los tres elementos presentes es ideal. La termocupla es no lineal, de manera que la temperatura cambia la sensibilidad, la cual ya no es de 40μV ◦ C −1 . También los cambios en la temperatura de la union de referencia hace que también cambie la fem en la termocupla. La tensión de salida del amplificador también está afectada por los Amplificador

Termocupla 1

Temperatura verdadera

40 μ V/ºC

μV 2

1000 V/ V

f. e. m.

Indicador

V voltios

3

25 ºC / V Temperatura medida

Figura 2.15: Sistema simple de medida de la temperatura. cambios en la temperatura ambiente. La sensibilidad k3 del indicador depende de la rigidez del resorte restaurador en el ensamble del indicador (caso bobina móvil). Éste es afectado por la temperatura ambiente y por el uso, haciendo que k3 se desvíe del valor nominal de 25 ◦ CV −1 . Por lo tanto, la condición k1 k2 k3 = 1 no puede ser siempre satisfecha y el sistema tendrá error. En general el error de cualquier sistema de medida depende de las características no ideales de cada elemento del sistema, es decir, la no linealidad, los efectos ambientales y estadísticos, etc. Así, con el fin de cuantificar este error de forma tan precisa como sea posible se necesita usar el modelo general para un elemento simple como se desarrolló previamente.

2.6.2

Técnicas de reducción de error

El error de un sistema de medida depende de las características no ideales de cada elemento del sistema. Usando las técnicas de calibración, se puede identificar cuales elementos en el sistema tienen el comportamiento no ideal más dominante. Se puede entonces, proyectar estrategias de compensación para estos elementos, las cuales producirán reducciones significativas en el error total del sistema. Esta sección bosqueja métodos de compensación para efectos no lineales y ambientales. Uno de los métodos más comunes de corregir un elemento no lineal es introducir un elemento de compensación no lineal en el sistema. Este método se ilustra en la Fig. 2.16. Dado un elemento no lineal, descrito por U (u), se necesita un elemento de compensación C(U ), tal que

2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO

Elemento no lineal no compensado

θ

θ

θ

Termistor

Ω 12

2 298

Compensación del elemento no lineal

Resistencia

Temperatura

348 θ

Voltaje

Ω

V

V 1.0

12

V

Puente de deflexión

1.0

0

39

2

0 θ

Total

298

348

θ

Figura 2.16: Compensación de un elemento no lineal. las características totales C[U (u)] de los elementos, estén tan cerca de la recta ideal como sea posible. El método se ilustra en la Fig. 2.16 con el uso de un puente de deflexión para compensar las características no lineales del termistor. El método más evidente para reducir los efectos de las entradas ambientales es el aislamiento, es decir, aislar el transductor de los cambios ambientales tal que efectivamente uM = uI = 0. Ejemplos de esto son la localización de la unión de referencia de una termocupla en un recinto de temperatura controlada y el uso de un resorte de elevación para aislar un transductor de las vibraciones de la estructura a la cual esta está conectado. Otro método es el de la sensibilidad ambiental cero, donde el elemento es completamente insensible a entradas ambientales, es decir, kM = ku = 0. Un ejemplo de esto es el uso de una aleación metálica con coeficientes de expansión por temperatura cero y la resistencia como un elemento de galga extensométrica. Tal material ideal es difícil de encontrar y en la práctica, la resistencia de una galga extensométrica metálica es afectada ligeramente por cambios en la temperatura ambiente. Un método más exitoso de corrección para entradas ambientales es el de entradas ambientales opuestas. Supóngase que un elemento es afectado por una entrada ambiental; entonces un segundo elemento, sujeto a la misma entrada ambiental, se introduce deliberadamente en

40

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

+

_

+ +

E le m e n to s in c o m p e n s a r

si

E le m e n to d e c o m p e n s a c ió n

+ + + _ + +

Figura 2.17: Compensación para entradas interferentes.(a) Usando entradas ambientales opuestas (b) Usando un sistema diferencial.

2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO

+

+ _

Fuerza de entrada

Elemento sensor

Fuerza de balanceo

41

+

Amplificador de ganancia alta

Tensión de salida

Fb

Elemento de retroalimentación

Figura 2.18: Transductor de fuerza en lazo cerrado.

el sistema tal que los dos efectos tiendan a cancelarse. Este método se ilustra para entradas interferentes en la Fig. 2.17 y puede ser fácilmente extendido para entradas modificadoras. Un ejemplo es la compensación para variaciones en la temperatura T2 de la unión de referencia de una termocupla. Para una termocupla de cobre-constantan, se tiene kI uI igual a −38.74T2 μV de modo que se requiere un elemento de compensación con una salida igual a +38.74T2 μV . Un ejemplo de un sistema diferencial (Fig. 2.17(b)) es el uso de dos galgas extensométricas pareadas en las ramas adyacentes de un puente, para proporcionar compensación por cambios en la temperatura ambiente. Un galga mide una fuerza de tensión +f y la otra, una fuerza de compresión igual −f . El puente sustrae efectivamente las dos resistencias de modo que el efecto tensor sea el doble y los efectos ambientales se cancelen totalmente. Un método importante de compensación es el uso de realimentación negativa de alta ganancia para entradas modificadoras y no linealidades. La Fig. 2.18 ilustra la técnica par un transductor de fuerza. El voltaje de salida de un elemento sensor de fuerza, sujeto a una entrada modificadora, se amplifica con un amplificador de alta ganancia. La salida del amplificador se realimenta a un elemento (v. gr., una bobina y un iman permanente) el cual proporciona una fuerza de balanceo opuesta a la fuerza de entrada.

42

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA Ignorando los efectos de la entrada modificadora por el momento, se tiene: ∆F

= F i − Fb

VO = kkA ∆F

(2.6.7)

Fb = kF VO es decir

VO = Fi − kF VO kkA

de lo cual se obtiene VO =

kkA 1 + kF kkA

(2.6.8)

Ecuación para la fuerza del transductor con realimentación negativa. Si la ganacia del amplificador kA se hace grande, tal que sea satisfecha la condición kF kkA À 1

(2.6.9)

1 Fi kF

(2.6.10)

entonces VO ≈

Esto quiere decir que la salida del sistema depende solamente de la ganancia kF del elemento de realimentación y es independiente de las ganancias k y kA de la trayectoria directa. Esto significa que, suponiendo que se cumple la condición anterior, los cambios en k y kA debidos a entradas modificadoras y/o efectos no lineales, tienen efectos despreciables sobre VO . Esto puede confirmarse repitiendo el análisis anterior reemplazado k con k + kM uM , de lo cual se obtiene (k + kM uM )kA FIN (2.6.11) VO = 1 + kF (k + kM uM )kA la cual otra vez se reduce a VOUT ≈

FIN kF

si

kF (k + kM uM )kA À 1

(2.6.12)

Ahora, por supuesto, se debe asegurar que la ganacia kF del elemento de realimentación no tenga cambios debidos a efectos no lineales o ambientales. Puesto que el amplificador entrega más de la potencia requerida, el elemento de realimentación puede diseñarse para baja capacidad de manejo de potencia, dando mayor linealidad y menor suceptibilidad a entradas ambientales. Dos dispositivos comunmente utilizados (transmisores de corriente), los cuales emplean este principio se discutirán más adelante . La rápida disminución de costo en los circuitos digitales integrados en los años recientes ha significado que los microcomputadores estén siendo ahora muy usados como elementos procesadores de señal en sistemas de medida. Esto significa que ahora se pueda utilizar la técnica

2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO

43

de estimación por computador del valor medido. Para este método se requiere un buen modelo de los elementos del sistema. Anteriormente se vió que la salida de estado estacionario θ de un elemento está dada en general por una ecuación de la forma: θ = ku + a + N (U ) + kM uM u + ku uI

(efecamb)

Esta es la ecuación directa; aquí θ es la variable dependiente la cual está expresada en términos de las variables independientes u, uM , uI . Anteriormente se vió cómo la ecuación directa puede derivarse de un conjunto de datos obtenidos en un experimento de calibración. Las características de estado estacionario de un elemento también se pueden representar por una ecuación alternativa. Esta es la denominada ecuación inversa; aquí la señal de entrada u es la variable dependiente y la salida θ y las entradas ambientales uI , uM son las variables independientes. La forma general de esta ecuación es 0 uM θ + kI0 u u = k´θ + N´(θ) + a´+ kM

(2.6.13)

donde los valores de k0 , N 0 (), a0 etc., son completamente diferentes de los de la ecuación directa. Por ejemplo, las ecuaciones directa e inversa para una termocupla cobre—constantan (tipo T ), con unión de referencia a 0◦ C son: Directa E = 3.845 × 10−2 T + 4.682 × 10−5 T 2 − 3.789 × 10−8 T 3 + 1.652 × 10−11 T 4 mV Inversa T = 22.55E − 0.5973E 2 + 2.064 × 10−2 E 3 − 3.205 × 10−4 E 4 ◦ C donde E es la f.e.m de la termocupla y T la temperatura de la unión medida entre 0 y 400◦ C. Ambas ecuaciones fueron derivadas usando un polinomio de mínimos cuadrados ajustado a los datos de la norma BS 4937 [4]; para la ecuación directa, E es la variable dependiente y T la variable independiente, mientras que para la ecuación inversa T es la variable dependiente y E la variable independiente. La ecuación directa es la más útil para estimación del error, mientras que la ecuación inversa es la más útil para reducción del error. El uso de la ecuación inversa en estimación por computador del valor medido, se implementa mejor en varias etapas. Con referencia a la Fig. 2.19, éstas son: 1. Tratar el sistema no compensado como un solo elemento. Usando el procedimiento de calibración explicado antes (o cualquier otro método de generación de datos) los parámetros k0 , a0 , etc., en el modelo de ecuación inversa 0 u = k 0 u + N 0 (u) + a0 + kM uM u + kI0 uI

se pueden encontrar, representando el comportamiento total del sistema sin compensación Este procedimiento facilitará la identificación de las entradas ambientales uM , uI , (puede ser más de una de cada tipo).

44

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA 2. El sistema de compensación se puede conectar al estimador. Este consiste, en primer lugar, de un computador el cual almacena los parámetros modelados k 0 , a0 , N 0 (·) etc. Si los errores debidos a las entradas ambientales se consideran significativos, entonces también son necesarios los sensores ambientales para proporcionar al computador los valores estimados u0M , u0I de estas entradas. La salida U de un sistema sin compensación también se almacena en el computador. 3. El computador entonces calcula un valor estimado inicial u0 de u, usando la ecuación inversa 0 uM U + ku0 uI u0 = k0 U + N 0 (U ) + a0 + kM 4. La presentación de los datos del elemento muestra entonces el valor medido θ el cual podrá estar cerca de u0 . En aplicaciones que no requieran alta precisión se puede terminar el proceso en esta etapa. 5. Si se requiere alta precisión, entonces puede ser posible, para perfeccionar el estimador calibrar el sistema completo. Los valores de la salida del sistema θ se miden para un rango de entradas estándar conocido, u y los correspondientes valores del error del sistema ε = θ − u calculado. Estos valores de error pueden ser debidos principalmente a efectos aleatorios pero pueden también contener una pequeña componente sistemática la cual puede ser corregida. 6. Ahora se puede hacer un intento para ajustar el conjunto de datos (θi , εi ), i = 1, 2, . . . , n, a una línea recta por mínimos cuadrados de la forma ε = kθ + b

(2.6.14)

donde b es cualquier error residual cero y k epecifica cualquier escala de error residual. 7. El coeficiente de correlación Pn θi εi q r = P i=1 P n n 2 2 i=1 θ i × i=1 εi

(2.6.15)

entre ε y θ ahora podrá ser evaluado. Si la magnitud de r es mayor que 0.5, entonces hay una correlación razonable entre los datos de ε y θ; esto significa que el error sistemático de la ecuación ¯ε = ¯ θ−u ¯ (2.6.16) está presente y se puede proceder al paso ocho para corregirlo. Si la magnitud de r es menor de 0.5 entonces no hay correlación entre los datos de ε y θ, esto significa que los errores ε son aleatorios y no se puede hacer corrección.

2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO

45

8. Si es necesario, se puede usar la ecuación (2.6.14) para calcular un valor medido mejorado θ0 = θ − ε = θ − (kθ + b) El sistema de medida de desplazamiento de la Fig. 2.19 muestra este método. El sistema sin compensación consiste de un sensor de desplazamiento inductivo, un oscilador y un disparador Schmitt. El sensor tiene una relación no lineal entre la inductancia L y el desplazamiento x, el oscilador tiene una relación no lineal entre la frecuencia f y la inductancia L. Esto significa que la ecuación inversa del modelo, relaciona el desplazamiemto x y la frecuencia f de la señal de salida del disparador Schmitt, y tiene la forma no lineal mostrada. El estimador consiste de un contador de pulsos de 16 bits y un computador. El computador lee el estado del contador al principio y al final de un intervalo de tiempo fijo y así mide la frecuencia f de la señal de pulsos. El computador entonces calcula x de la ecuación inversa del modelo usando los coeficientes del modelo almacenados en la memoria.

46

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA

Medidas de entrada del medio ambiente

θ Valor real

Sistema sin compensación

Computador Estimador

Presentación de datos

Valor medido

Estimado Sistema sin compensación Desplazamiento verdadero mm

No lineal

No lineal

Sensor inductivo

Oscilador

Estimador

Disparador Schmitt

Contador de pulsos 16 - bit

pulso/s

Desplazamiento medido

Ecuación inversa del modelo

0 a 65,535

Computador

-4 2

-264.1 + 0.3882 - 2.113 x 10 - 12 4 +5.272 x 10 - 8 - 4.928 x 10

Figura 2.19: Estimación computacional del valor medido utilizando la ecuación del modelo inverso.

Capítulo 3

Características dinámicas de los sistemas de medida 3.1

Introducción

Si la señal de entrada u de un elemento cambia de un valor a otro en forma súbita, entonces la señal de salida θ no cambiará instantáneamente a su nuevo valor. Por ejemplo, si la temperatura de entrada de una termocupla cambia súbitamente de 25◦ C a 100◦ C, algún tiempo tardará en cambiar el voltaje de salida de 1mV a 4mV . El modo en el cual un elemento responde a un cambio repentino se llama su característica dinámica, que es mejor comprendida usando una función de transferencia G(s). La primera sección de este capítulo examina la dinámica de elementos típicos y deriva su respectiva función de transferencia. La siguiente sección examina cómo las señales estándar de prueba pueden ser usadas para identificar G(s) para un elemento. Si la señal de entrada para un sistema de medida de varios elementos cambia rápidamente, entonces la forma de onda de la señal de salida del sistema es generalmente diferente de la de la señal de entrada. Se explicará más adelante cómo este error dinámico puede ser encontrado y finalmente se analizarán algunos métodos de compensación dinámica que pueden ser usados para minimizar errores.

3.2 3.2.1

Función de transferencia para elementos típicos del sistema Elementos de primer orden

Un buen ejemplo para un elemento de primer orden puede ser un sensor de temperaura con una señal eléctrica de salida, v. gr., una termocupla o un termistor. El elemento desnudo (sin funda) se pone en un fluido (Fig. 3.1). Inicialmente en t = 0− (justo antes de t = 0), la temperatura del sensor es igual a la temperatura del fluido, es decir, T (0− ) = TF (0− ). Si la temperatura 47

48

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA Salida

θ

Figura 3.1: Sensor de temperatura en un fluido. del fluido es repentinamente subida en t = 0, el sensor no está más en estado estacionario y su comportamiento dinámico se describe por la ecuación de balance de calor: Tasa de calor entrante−tasa de calor saliente = tasa de cambio del contenido de calor del sensor Asumiendo que TF > T , entonces la tasa de calor saliente será cero, y la tasa del calor de entrada W será proporcional a la diferencia de temperatura (TF − T ). De conceptos de transferencia de calor se tiene: W = U A(TF − T ) vatios

(3.2.1)

donde U [W m−2 ◦ C −1 ] es el coeficiente de transferencia de calor global entre el fluido y el sensor, y A [m2 ] es el área efectiva de transferencia de calor. El incremento del contenido de calor del sensor es mC[T − T (0− )] [J], donde m [kg] es la masa del sensor y C [Jkg −1 ◦ C −1 ] es el calor específico del material del sensor. Así, asumiendo que m y C son constantes: tasa de incremento del contenido de calor en el sensor = mC

d [T − T (0− )] dt

(3.2.2)

Definiendo ∆T = T − T (0− ) y ∆TF = TF − TF (0− ) como las desviaciones de las temperaturas de las condiciones iniciales en reposo, la ecuación diferencial que describe los cambios de temperatura del sensor es d∆T UA(∆TF − ∆T ) = mC dt es decir, mC d∆T + ∆T = ∆TF (3.2.3) UA dt Esta es una ecuación diferencial lineal en la cual d∆T /dt y ∆T se multiplican por coeficientes constantes; la ecuación es de primer orden porque d∆T /dt es el mayor derivador

3.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA ELEMENTOS TÍPICOS DEL SISTEMA 49 presente. La cantidad mC/U A tiene dimensiones de tiempo: ¸ ∙ kg × J × kg −1 × ◦ C −1 J =s = W × m−2 × ◦ C −1 × m2 W y se le refiere como la constante de tiempo τ para el sistema. La ecuación diferencial es ahora τ

d∆T + ∆T = ∆TF dt

(3.2.4)

Aunque la ecuación diferencial anterior es una descripción adecuada de la dinámica del sensor, no es la representación más útil. La función de transferencia basada en la transformada de Laplace de la ecuación diferencial da un marco de trabajo más conveniente para estudiar la dinámica de un sistema de varios elementos. La transformada de Laplace f¯(s) de una función que varía en el tiempo esta definida por Z ∞ e−st f (t)dt (3.2.5) f¯(s) = 0

√ donde s es una variable compleja de la forma s = σ+jω y j = −1. En los textos de matemáticas (v. gr., Kreyszig [16]) se encuentran tablas de transformada de Laplace para funciones estándar comunes f (t). Con el fin de encontrar la función de transferencia para el sensor se debe encontrar la transformada de Laplace de la ecuación (3.2.4), obteniéndose τ [s∆T − ∆T (0− )] + ∆T (s) = ∆T F (s)

(3.2.6)

donde ∆T (0− ) es la desviación de la temperatura en condiciones iniciales previas a t = 0. Por definición ∆T (0− ) = 0, dando τ s∆T (s) + ∆T (s) = ∆T F (s) es decir, (τ s + 1)∆T (s) = ∆T F (s)

(3.2.7)

De aquí se obtiene la función de transferencia para un elemento de primer orden como G(s) =

1 ∆T (s) = 1 + τs ∆T F (s)

(3.2.8)

La función de transferencia anterior sólo relaciona cambios en la temperatura del sensor respecto de los cambios en la temperatura del fluido. La relación global entre los cambios en la señal de salida del sensor θ y la temperatura del fluido es ∆θ(s) ∆θ ∆T (s) = ∆T ∆T F (s) ∆T F (s)

(3.2.9)

50

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

∆θ donde ∆T es la sensibilidad en estado estacionario del sensor de temperatura. Para un ∆θ elemento ideal ∆T sería igual a la pendiente k de la línea recta ideal. Para elementos no ∆θ dθ = dT , como el lineales, sujetos a pequeñas fluctuaciones de temperatura, se puede tomar ∆T − elemento derivativo que será evaluado en la temperatura de reposo T (0 ) alrededor de la cual las fluctuaciones se presentan.

Ejemplo 1 Para una termocupla de cobre—constantan, encontrar la función de transferencia que relacione la fem inducida por cambios de temperatura alrededor de 100 ◦ C, con una constante de tiempo de 10 s. Sol. Para pequeñas fluctuaciones de temperatura alrededor 100 ◦ C, ◦ uando dE dT a 100 C, usando la ecuación (2.2.13), con lo cual se obtiene

∆E ∆T

se encuentra eval-

∆E = 46 μV ◦ C −1 ∆T Así, si la constante de tiempo de la termocupla es τ = 10 s, la relación dinámica global entre los cambios en la fem y la temperatura del fluido es ∆E(s) 1 = 46 1 + 10s ∆T (s)

Δ

(3.2.10)

Δθ

Figura 3.2: Modelo de un elemento para cálculo de la dinámica. En el caso general de un elemento con características estáticas dadas por la ecuación (2.2.14), y las características dinámicas definidas por G(s), el efecto de cambios pequeños y rápidos en ∆u se evalúan usando la Fig. 3.2, en la cual la sensibilidad en reposo (∂θ/∂u)u0 = k + kM uM + (dN/du)u0 , y u0 es el valor en reposo de u alrededor del cual toman lugar las fluctuaciones.

3.2.2

Elementos de segundo orden

El sensor elástico mostrado en la Fig. 3.3 que convierte una fuerza de entrada F en un desplazamiento de salida x, es un buen ejemplo de un elemento de segundo orden. El diagrama es un

3.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA ELEMENTOS TÍPICOS DEL SISTEMA 51

kx Resorte k

Masa

vx Amortiguador ν

Figura 3.3: Modelo masa—resorte—amortiguador para un sensor elástico de fuerza. modelo conceptual de el elemento que incorpora una masa [m kg] una constante del resorte k [N m−1 ], y un regulador de constante ν [N sm−1 ]. ˙ − ) = 0 y la El sistema está inicialmente en reposo en t = 0− así que la velocidad inicial x(0 aceleración inicial x ¨(0− ) = 0. La fuerza inicial de entrada F (0− ) es balanceada por la fuerza elástica en el desplazamiento inicial x (0− ), es decir ¡ ¢ (3.2.11) F 0− = kx(0− )

Si la fuerza de entrada es repentinamente incrementada a t = 0, entonces el elemento no se encuentra en estado de reposo y su comportamiento dinámico se describe por la segunda ley de Newton, es decir fuerza resultante = masa×aceleración (3.2.12) es decir F − kx − ν x˙ = m¨ x

(3.2.13)

y m¨ x + kx + ν x˙ = F Definiendo a ∆F y a ∆x como las desviaciones en F y en x de las condiciones de reposo del estado inicial, ∆F

= F − F (0− ),

∆x˙ = x, ˙

∆x = x − x(0− ) ∆¨ x=x ¨

La ecuación diferencial ahora se convierte en ¡ ¢ m∆¨ x + ν∆x˙ + kx 0− + k∆x = F (0− ) + ∆F

(3.2.14)

52

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

la cual, usando la ecuación (3.2.11), se reduce a m∆¨ x + ν∆x˙ + k∆x = ∆F es decir, m d2 ∆x ν d∆x 1 + ∆x = ∆F (3.2.15) + k dt2 k dt k Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden en la cual ∆x y sus derivadas se multiplican por coeficientes constantes y la máxima derivada presente es d2 ∆x/dt2 . Si se define r k rad/s Frecuencia natural ω n = m y ν (3.2.16) coeficiente de amortiguación ζ = √ 2 k·m entonces m/k = 1/ω 2n , ν/k = 2ζ/ω n y la ecuación (3.2.15) se puede expresar en su forma estándar: 1 d2 ∆x 1 2ζ d∆x + ∆x = ∆F (3.2.17) + 2 2 ωn dt ω n dt k

Con el fin de encontrar la función de transferencia para el elemento, se requiere de la transformada de Laplace de la ecuación (3.2.17). Usando una tabla de transformadas se tiene que 2ζ 1 1 2 [s ∆¯ x(s) − s∆x(0− ) − ∆x(0 ˙ − )] + [s∆¯ x(s) − ∆x(0− )] + ∆¯ x(s) = ∆F¯ (s) 2 ωn ωn k

(3.2.18)

Debido a que ∆x(0 ˙ − ) = x(0 ˙ − ) = 0 y ∆x(0− ) = 0 por definición, la ecuación (3.2.18) se reduce a ¤ £ 2 ω2 (3.2.19) x(s) = n ∆F¯ (s) s + 2ζω n s + ω 2n ∆¯ k Así ∆¯ x(s) 1 = G(s) ¯ k ∆F (s) donde 1/k = sensibilidad en estado estacionario K, y G(s) =

ω 2n s2 + 2ζω n s + ω2n

(3.2.20)

La Fig 3.4 muestra un elemento eléctrico análogo, un circuito de la serie L-C-R. Las ecuacioens correspondientes a esta red están dadas a continuación: V = iR +

di q +L C dt

3.3. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO

53

> i

R

+ V

L

C

Figura 3.4: Circuito serie RLC. donde i=

dq dt

así L

1 dq d2 q +R + q =V 2 dt dt C

(3.2.21)

o d2 q R dq 1 1 + q= V + 2 dt L dt LC L

(3.2.22)

Comparando la ecuación (3.2.13) con la ecuación (3.2.22) se ve que q es análogo a x, V es análogo a F , y, L, R y 1/C son análogos a m, λ y k respectivamente. El circuito eléctrico también está descrito por la función de transferencia de segundo orden anterior, con 1 ωn = √ LC y R ζ= 2

3.3

r

C L

(3.2.23)

(3.2.24)

Identificación de la dinámica de un elemento

Con el fin de identificar la función de transferencia G(s) de un elemento, se deberán usar señales de excitación normalizadas. Las dos señales de excitación más comunes son el escalón y la onda seno. En esta sección se examina la respuesta de los elementos de primer y segundo orden ante dichas señales.

54

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

3.3.1

Respuesta a un escalón de los elementos de primero y de segundo orden

La transformada de Laplace para un escalón de altura unitaria u(t) es L{u(t)} =

1 s

(3.3.1)

Así, si un elemento de primer orden con G(s) = K/(1 + τ s) está sujeto a una señal de entrada en escalón, la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento será f¯o (s) = G(s)f¯i (s) =

K s(1 + τ s)

(3.3.2)

Expresando la ecuación (3.3.2) en fracciones parciales, se tiene ∙ ¸ A 1 B f¯o (s) = K =K + (1 + τ s)s (1 + τ s) s Igualando los coeficientes de las constantes se obtiene B = 1, e igualando los coeficientes de s se llega a 0 = A + Bτ , es decir, A = −τ . Así " # ¸ ∙ 1 1 τ 1 ¯ fo (s) = K − =K − (3.3.3) s (1 + τ s) s (s + τ1 ) Realizando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3.3.3) se llega a ∙ µ ¶¸ −t fo (t) = K u(t) − exp τ y puesto que u(t) = 1 para t > 0 ∙ µ ¶¸ −t fo (t) = K 1 − exp τ

(3.3.4)

La cual es la respuesta de un elemento de primer orden a un escalón unitario. La forma de la respuesta se muestra en la Fig 3.5, para K = 1. Ejemplo 2 Considérese el sensor de temperatura de la primera sección de este capítulo. Estudiar la respuesta temporal del sistema ante un escalón unitario, asumiendo estados inicial de 25 ◦ C y final de 100 ◦ C. Sol. Inicialmente la temperatura del sensor es igual a la del fluido, es decir, T (0− ) = TF (0− ) = 25◦ C

3.3. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO

55

fo(t)

0

2.5

5

7.5

Figura 3.5: Respuesta a un escalón de un sistema de primer orden: Rojo, τ = 2, negro, τ = 1, azul, τ = 0.5, Si TF es repentinamente elevada a 100◦ C, entonces esto representa un cambio de un escalón ∆TF de altura 75◦ C. El cambio correspondiente en el sensor de temperatura está dado por ∆T = 75(1 − e−t/τ ) y la temperatura real T del sensor en el tiempo t estará dada por T (t) = 25 + 75(1 − e−t/τ )

(3.3.5)

Así, en el tiempo t = τ , T = 25◦ + 75◦ × 0.63 = 72.3◦ C. Midiendo el tiempo tomado por T para subir a 72.3◦ C se puede encontrar la constante τ del elemento como se observa en la Fig. 3.6. Si un segundo elemento con una función de transferencia G(s) =

ω 2n s2 + 2ζω n s + ω2n

está sujeto a una señal de entrada de un escalón, entonces la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento es ω2n 1 f¯o (s) = 2 s s + 2ζω n s + ω 2n

(3.3.6)

Expresando la ecuación (3.3.6) en fracciones parciales se tiene f¯o (s) = ³

As + B 1 2 s ω2n

+

´+

2ζ ωn s + 1

C s

56

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA y

100

75

50

25

0 0

1.25

2.5

3.75

5 x

Figura 3.6: Determinación de τ para un sistema de primer orden. donde, después de hacer cálculos, A = −1/ω2n , B = −2ζ/ωn y C = 1. Aplicando los valores anteriores, la ecuación queda f¯o (s) = = =

(s + 2ζωn ) 1 − 2 s s + 2ζωn s + ω2n (s + 2ζωn ) 1 − s (s + ζωn )2 + ω 2n (1 − ζ 2 ) (s + ζω n ) 1 ζω n − − 2 2 2 2 s (s + ζωn ) + ω n (1 − ζ ) (s + ζω n ) + ω2n (1 − ζ 2 )

(3.3.7)

Hay tres casos a considerar dependiendo si ζ es mayor que 1, igual a 1, o menor que 1. Caso 1 Si ζ = 1 —Sistema con amortiguación crítica, entonces 1 1 ωn − f¯o (s) = − s s + ωn (s + ωn )2

(3.3.8)

Realizando la transformada inversa de Laplace, se tiene fo (t) = 1 − e−ωn t (1 + ω n t)

(3.3.9)

La cual representa la respuesta de un elemento de segundo orden a un escalón unitario con amortiguación crítica ζ = 1.

3.3. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO

57

Caso 2 Si ζ < 1 —Sistema subamortiguado, entonces ⎡ ⎤ q q ζ fo (t) = 1 − e−ζωn t ⎣cos ωn (1 − ζ 2 )t + q sin ω n (1 − ζ 2 )t⎦ 2 (1 − ζ )

(3.3.10)

La cual representa la respuesta de un elemento de segundo orden a un escalón con subamortiguación. Caso 3 Si ζ > 1 —Sistema sobreamortiguado, entonces ⎡ ⎤ q q ζ fo (t) = 1 − e−ζωn t ⎣cosh ωn (ζ 2 − 1)t + q sinh ω n (ζ 2 − 1)t⎦ 2 (ζ − 1)

(3.3.11)

La cual representa la respuesta a un escalón por un elemento de segundo orden con sobreamortiguación. y 1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0 0

2.5

5

7.5

10

12.5

15 x

Figura 3.7: Respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden: rojo, ζ < 1, negro, ζ = 1, azul, ζ > 1. La forma de las respuestas normalizadas se muestran en la Fig. 3.7.

58

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Ejemplo 3 Considérese la respuesta a un escalón de un sensor de fuerza con una rigidez de k = 103 N m−1 , masa m = 0.1kg y constante de amortiguación ν = 10N sm−1 . Sol. La sensibilidad en estado de reposo es S = 1/k = 10−3 mN −1 la frecuencia natural ωn = y la constante de amortiguación

p k/m = 102 rads−1

ν√ k · m = 0.5 2 Inicialmente en t = 0− , una fuerza en reposo F (0− ) = 10N causa un desplazamiento en reposo de (1/103 ) × 10 metros, es decir, 10mm. Supóngase que en t = 0 la fuerza se incrementa repentinamente de 10 a 12 N, es decir, hay un cambio en escalón ∆F de 2 N . El cambio ∆x(t) en el desplazamiento se encuentra usando ζ=

∆x(t) = S∆F u(t)fo (t)

(3.3.12)

es decir, 1 × 2 × [1 − e−50t (cos 86.6t + 0.58 sin 86.6t)] [m] 103 = 2 × [1 − e−50t (cos 86.6t + 0.58 sin 86.6t)] [mm]

∆x(t) =

(3.3.13)

Eventualmente, cuando t es grande ∆x tiende a 2 mm, es decir, x se establece a un nuevo valor en estado estacionario de 12 mm.

3.3.2

Respuesta sinusoidal de elementos de primero y segundo orden

La transformada de Laplace de una onda senoidal está dada por f¯(s) = ω/(s2 + ω 2 ). Así si una onda seno de amplitud u ˆ es la entrada a un elemento de primer orden, entonces la transformada de Laplace de la señal de salida es f¯o (s) =

u ˆω 1 1 + τ s s2 + ω 2

Expresando la ecuación (3.3.14) en fracciones parciales se obtiene

f¯o (s) = =

ˆ 1 −ωτ s + ω u ˆ ωτ 2 u + 1 + τ 2 ω 2 1 + τ s 1 + τ 2 ω 2 s2 + ω 2 u ˆ ˆ 1 ω cos φ + s sin φ ωτ 2 u +√ 2 2 2 2 1 + τ ω 1 + τs s2 + ω 2 1+τ ω

(3.3.14)

3.3. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO donde

59

−ωτ sin φ = √ 1 + τ 2ω2

1 , cos φ = √ 1 + τ 2ω2

(3.3.15)

Realizando la transformada inversa, se tiene fo (t) =

y

ˆ −t/τ ωτ 2 u u ˆ e +√ sin(ωt + φ) 1 + ω2τ 2 1 + ω2τ 2

(3.3.16)

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

5

10

15

20

25 x

-0.05

-0.1

Figura 3.8: Respuesta ante una excitación senoidal de un sistema de primer orden. En un experimento de prueba con onda seno, se espera hasta que el término transitorio haya decaído a cero y entonces se toma la medida de la señal senoidal de estado estacionario: u ˆ fo (t) = √ sin(ωt + φ) 1 + τ 2ω2

(3.3.17)

De las ecuaciones anteriores se puede ver que cuando ωτ = 1, es decir ω = 1/τ , la razón de √ amplitud = 1/ 2 y la diferencia de fase φ = −45◦ . Estos resultados permiten que el valor de τ sea encontrado mediante frecuencias experimentales (ver Fig. 3.8). Los resultados de arriba pueden ser generalizados para un elemento con una sensibi-lidad de estado estacionario K (o ∂θ/∂u) y función de transferencia G(s), sujeta a una señal de entrada sinusoidal u = u ˆ sin ωt. En el estado estacionario se pueden hacer cuatro suposiciones acerca de la señal de salida: 1. θ es también una onda seno; 2. la frecuencia de θ es también ω 3. la amplitud de θ es ˆ θ = K |G(jω)| u ˆ;

60

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA 4. la diferencia de fase entre θ y u es φ = arg G(jω).

Usando las anteriores reglas, rápidamente se pueden encontrar las relaciones de magnitud y de fase para un elemento de segundo orden con G(s) =

ω 2n s2 + 2ζω n s + ω2n

De aquí se tiene G(jω) =

ω 2n (jω)2 + 2ζω n (jω) + ω2n

tal que Magnitud :

Diferencia de fase :

|G(jω)| = s∙ ³ 1− − tan−1

∙

2ζω/ω n 1 − ω2 /ω 2n

ω2 ω2n

¸

1 ´2

2

+ 4ζ 2 ωω2

n

¸ (3.3.18)

4.482 2.718 y

1.649 1

0.6065 0.3679 0.2231 0.1353 0.1353

0.2231

0.3679

0.6065

1

1.649

2.718

x

Figura 3.9: Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden: rojo, ζ = 0.1, azul, ζ = 0.3, negro, ζ = 0.7,verde, ζ = 1.0, púrpura ζ = 2. Estas características son mostradas gráficamente en la Fig. 3.9; la razón de amplitud y la fase son críticamente dependientes del valor de ζ.

3.4. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA

61

Nótese que para ζ < 0.7, |G(jω)| tiene un valor máximo el cual es más grande que la unidad. Este valor máximo está dado por |G(jω)|MAX = y ocurre en la frecuencia de resonancia q ω R = ω n 1 − 2ζ 2

1 p 2ζ 1 − ζ 2 ³ √ ´ ζ < 1/ 2

Se pueden encontrar ωR , ζ y ω n midiendo |G(jω)|MAX . Una alternativa para graficar |G(jω)| versus ω es un gráfico del número de decibeles N dB vs ω, donde N = 20 log10 |G(jω)|

(3.3.19)

Así, si |G(jω)| = 1, N = 0 dB; si |G(jω)| = 10, N = +20 dB; y si |G(jω)| = 0.1, N = −20 dB.

3.4

Errores dinámicos en sistemas de medida

La Fig. 3.10 muestra un sistema de medida completo el cual consiste de n elementos. Cada elemento i tiene un estado estable ideal y características dinámicas lineales y puede por lo tanto, ser representado por una constante de sensibilidad de estado estable Ki y una función de transferencia Gi (s). Δ

Δ

Δ θ1

1 1

Entrada: señal real

1

1

Δθ2

Δ θ1 2

2

Δθ 2

Δθ i

Δ

i

2

Δθ Salida , es decir, señal medida

Figura 3.10: Sistema de medida con dinámica. Se comienza por asumir que la sensibilidad de estado estacionario k1 , k2 , . . . , ki , . . . kn para el sistema completo es igual a 1, es decir, el sistema no tiene error de estado estacionario. La función de transferencia G(s) es el producto de las funciones de transferencia de los elementos individuales, es decir ∆¯ θ(s) = G(s) = G1 (s)G2 (s) · · · Gi (s) · · · Gn (s) ∆¯ u(s)

(3.4.1)

62

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

En principio se puede usar la ecuación (3.4.1) para encontrar la señal de salida del sistema ∆θ(t) co-rrespondiente a variaciones en el tiempo de la señal de entrada ∆u(t). Primero se encuentra la transformada de Laplace ∆¯ u(s) de ∆u(t); entonces, aplicando la transformada de Laplace, la señal de salida será ∆¯ θ(s) = G(s)∆¯ u(s) (3.4.2) Expresando ∆¯ θ(s) en fracciones parciales, y usando tablas estándar de las transformadas de Laplace, se puede encontrar la señal correspondiente en el tiempo ∆θ(t). Expresando esto matemáticamente: u(s)] (3.4.3) ∆θ(t) = L−1 [G(s)∆¯ donde L−1 denota la transformada inversa de Laplace. El error dinámico ε(t) del sistema de medida es la diferencia entre la señal medida y la señal verdadera, es decir, la diferencia entre ∆θ(t) y ∆u(t) ε(t) = ∆θ(t) − ∆u(t) (3.4.4) Usando (3.4.3) se tiene u(s)] − ∆u(t) ε(t) = L−1 [G(s)∆¯

(3.4.5)

El sistema simple de medida de temperatura de la Fig. 3.11, provee un buen ejemplo para Temperatura real

Δ

40 x 10 1 + 10

Temperatura medida -6

Δ f. e. m.

Termocupla

3

10 1 + 10 - 4 s Amplificador

Δ

Δ

25 voltios

2.5x 10

-5s 2 +

10 -2 s

+1

Registrador

Figura 3.11: Sistema de medida de temperatura con dinámica. identificar los errores dinámicos. La termocupla tiene una constante de tiempo de 10 s, el amplificador una constante de tiempo de 10−4 s y el contador es un elemento de segundo orden con ω n = 200rad/s y ζ = 1.0. La sensibilidad completa de estado estacionario del sistema es la unidad. Se puede ahora calcular el error dinámico del sistema para una entrada escalón de +20◦ C, es decir, ∆TT (t) = 20u(t) y ∆T¯T (s) = 20 × 1/s. Así, la transformada de Laplace de la señal de salida es 1 1 1 1 ¢ ¡ −4 s 1 + 10s 1 + 10 s 1 + 1 s 2 200 ∙ ¸ 1 A B Cs + D − − = 20 − s s + 0.1 s + 10−4 (s + 200)2

∆T¯M (s) = 20

(3.4.6)

3.4. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA

63

De aquí se obtiene h i 4 ∆TM (t) = 20 u(t) − Ae−0.1t + Be−10 t − Ee−200t (1 + 200t)

y el error dinámico

ε(t) = ∆TM (t) − ∆TT (t) i h 4 = −20 Ae−0.1t + Be−10 t + Ee−200t (1 + 200t)

(3.4.7)

4

donde el signo negativo indica una lectura muy baja. El término Be−10 t decae a cero después de 5 × 10−4 s, y el término Ee−200t (1 + 200t) decae a cero después de unos 25ms. El término Ae−0.1t , el cual corresponde a la constante de tiempo 10s de la termocupla, toma cerca de 50s para decaer a cero y tiene el máximo efecto sobre el error dinámico.

ω

θ

Entrada

ω

θ

ϕ

Salida

Figura 3.12: Respuesta de un sistema con dinámica lineal. Se pueden usar las reglas desarrolladas antes para encontrar el error dinámico de un sistema con una función de transferencia G(s) sujeta a una entrada sinusoidal ∆u(t) = u ˆ sin ωt. De la Fig. 3.12 se tiene ∆θ(t) = |G(jω)| u ˆ sen(ωt + φ) dando ε(t) = u ˆ [|G(jω)| sen(ωt + φ) − senωt]

(3.4.8)

donde φ = arg G(jω). Supóngase que el anterior sistema de medida de temperatura está midiendo una variación sinusoidal de temperatura de amplitud TˆT = 20◦ C y período T = 6s, es decir de frecuencia angular ω = 2π/T ≈ 1.0 rad s−1 . La respuesta frecuencial G(jω) es G(jω) =

1 (1

+ 10jω)(1 + 10−4 jω)(1 + 10−2 jω

+ 2.5 × 10−5 (jω)2 )

(3.4.9)

tal que en ω = 1 1 |G(jω)|ω=1 = p ≈ 0.10 (1 + 100)(1 + 10−8 )[(1 − 2.5 × 10−5 )2 + 10−4 ]

(3.4.10)

64

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

y

◦

arg |G(jω)|ω=1 ≈ 0 − tan−1 (10) − tan−1 (10−4 ) − tan−1 (10−2 ) ≈ −85

Se puede observar, para las anteriores ecuaciones, que los valores de |G(jω)| y arg |G(jω)| en ω = 1 están determinados principalmente por la constante de tiempo de 10s. Las características dinámicas de los otros elementos solamente estarán afectando el funcionamiento del sistema a ◦ frecuencias altas. Ya que TT (t) = 20 sen t y TM (t) = 0.1 × 20sen(t − 85 ), el error es ◦

ε(t) = 20(0.1sen(t − 85 ) − sen t) Nótese que en el caso de una entrada sinusoidal, la salida también registrará una onda seno, es decir, la forma de onda de la señal es invariante aun cuando haya una reducción en amplitud y un cambio de fase. En la práctica la señal de entrada para un sistema de medida es más probable que sea periódica en lugar de una simple onda seno. Una señal periódica es aquella que se repite en intervalos iguales de tiempo T , es decir, f (T ) = f (t + T ) = f (t + 2T ), etc., donde T es el período. Un ejemplo de una señal periódica medida es la variación de la temperatura interna de una máquina diesel; otro es la vibración de la cubierta de un compresor centrífugo [4]. Además, para el cálculo de los errores dinámicos para señales periódicas, se necesita usar análisis de Fourier. Cualquier señal periódica f (t) con período T , puede ser representada como una serie de ondas seno o coseno; éstas tienen frecuencias las cuales son armónicas de la frecuencia fundamental ω 1 = 2π/T rad s−1 , es decir, f (t) = a0 +

∞ X

an cos nω1 t +

n=1

∞ X

bn sennω 1 t

(3.4.11)

n=1

donde an = bn = ao =

2 T 2 T 1 T

Z

+T /2

f (t) cos nω 1 tdt

−T /2 Z +T /2 −T /2 Z +T /2

f (t)sen nω1 tdt

(3.4.12)

f (t)dt

−T /2

Si f (t) = ∆u(t), donde ∆u(t) es la variación de la señal de entrada medida u(t), para el estado estacionario o valor d.c. de u0 , entonces a0 = 0. Si también se asume que f (t) es impar, es decir f (t) = −f (−t), entonces an = 0 para todo n, es decir, hay solamente términos seno presentes en la serie. La señal de entrada del sistema está dada por ∆u(t) =

∞ X

n=1

u ˆn sen nω1 t

(3.4.13)

3.4. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA

65

donde u ˆn = bn es la amplitud del n—ésimo armónico a la frecuencia nω 1 . Con el fin de encontrar ∆θ(t), primero supóngase que solamente el n—ésimo armónico u ˆn sen nω1 t es la entrada para el sistema. De la Fig. 3.12, la correspondiente señal de salida es u ˆn |G(jnω 1 )| sen(nω 1 t + φn ) donde φn = arg G(jnω 1 ). Ahora se requiere usar el principio de superposición, el cual es una propiedad básica de los sistemas lineales (es decir, sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales). Esto puede establecerse como sigue: Si una entrada u1 (t) produce una salida θ1 (t) y una entrada u2 (t) produce una salida θ2 (t), entonces una entrada u1 (t) + u2 (t) producirá una salida θ1 (t)+ θ2 (t), siempre que el sistema sea lineal. Esto significa que la señal total de entrada es la suma de muchas formas de onda (ecuación 3.4.13), entonces la señal total de salida es la suma de las respuestas a cada onda seno, es decir ∞ X u ˆn |G(jnω1 )| sen (nω 1 t + φn ) (3.4.14) ∆θ(t) = n=1

El error dinámico del sistema con señal de entrada periódica es ∆ε(t) =

∞ X

n=1

u ˆn [|G(jnω 1 )| sen (nω1 t + φn ) − sen nω 1 t]

(3.4.15)

Ejemplo 4 Supóngase que la entrada al sistema de medida de temperatura es una onda cuadrada ◦ de amplitud 20 C y período T = 6s (es decir, ω 1 = 2π/T ≈ 1rads−1 ). La serie de Fourier para la señal de entrada es ∆TT (t) =

1 1 1 80 [sen t + sen 3t + sen 5t + sen 7t + · · · ] π 3 5 7

(3.4.16)

La Fig. 3.13 muestra las relaciones amplitud—frecuencia y fase—frecuencia para una temperatura de entrada; éstas definen el espectro de frecuencia de la señal. El espectro consiste de un número de líneas a frecuencias ω 1 , 3ω1 , 5ω 1 , etc., de longitud decreciente para representar las pequeñas amplitudes de los armónicos superiores. En casos prácticos se puede terminar o truncar la serie en un armónico donde la amplitud es despreciable, en este caso se escogió n = 7. Además para encontrar la señal de salida, es decir, la forma de onda registrada, se necesita evaluar la magnitud y el argumento de G(jω) en ω = 1, 3, 5, 7 rads−1 . De nuevo el valor anterior está determinado principalmente por la constante de tiempo del orden de 10s; la frecuencia alta de la señal ω = 7 aún está bajo la frecuencia natural del contador ω n = 200. La señal de salida del sistema es ∆TM (t) =

80 ◦ ◦ [0.100sen(t − 85 ) + 0.011sen(3t − 90 ) π ◦ ◦ +0.004sen(5t − 92 ) + 0.002sen(7t − 93 )] ◦

◦

◦

(3.4.17) (3.4.18)

Nótese que en la señal de salida, las amplitudes del 3 , 5 y 7 armónico han sido relativamente reducidas a la amplitud de la frecuencia fundamental. El contador de forma de onda tiene por lo

66

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Amplitud 80 π

Δ

25.5

+20 0 0

3

6

ϕº Fase

1

3

5

7

ω

-1

Espectro de frecuencia de la temperatura de entrada

0

ω

-20 Forma de la onda de tiempo de la temperatura de entrada 0.1 ω Relación de amplitud Características de la respuesta de la frecuencia en los sistemas de medida

0.01 -80º arg ω Diferencia de fase

1

3

5

7

ω

-90º -100º

Δ

2.6 +2 0

3

6

-2 Forma de la onda de tiempo de la temperatura de salida (registrada)

0 -80º

ω

-90º -100º

Espectro de frecuencia de la temperatura de salida (registrada)

Figura 3.13: Cálculo de errores dinámicos con una señal de entrada periódica.

tanto una forma diferente de la señal de entrada así como también ha sido reducida en amplitud y cambiada en fase.

Las ideas anteriores pueden ser extendidas para calcular el error dinámico para señales de entrada aleatorias. Las señales aleatorias puede ser representadas por espectros continuos de frecuencia.

3.5. TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN DINÁMICA

3.5

67

Técnicas de compensación dinámica

De la ecuación (3.4.15) se nota que además para tener E(t) = 0 para una señal periódica, se deben obedecer las siguientes condiciones: |G(jω1 )| = |G(j2ω 1 )| = · · · = |G(jnω1 )| = · · · = |G(jmω1 )| = 1

(3.5.1)

arg G(jω 1 ) = arg G(j2ω1 ) = · · · = arg G(jnω 1 ) = · · · arg G(jmω 1 ) = 0 donde m es el orden del armónico superior más significativo. Para una señal aleatoria con un espectro de frecuencia continuo que contiene frecuencias entre 0 y ω MAX , se requiere: |G(jω1 )| = 1 y

arg G(jω 1 ) = 0 para 0 < ω 6 ω MAX

(3.5.2)

Las condiciones anteriores representan un ideal teórico el cual será díficil de realizar en la práctica. En un criterio más práctico se limita la variación en |G(jω)| a un pequeño porcentaje de las frecuencias presentes de la señal. Por ejemplo, la condición: 0.98 < |G(jω)| < 1.02

para

0 < ω 6 ωMAX

(3.5.3)

asegura que el error dinámico está limitado a ≈ ±2 por ciento para una señal que contenga ωMAX Hz. frecuencias mayores a 2π Otro criterio comunmente usado es el del ancho de banda. El ancho de banda de un √ elemento o sistema es el rango de frecuencias para las cuales |G(jω)| es mayor que 1/ 2. Puesto que, sin embargo, hay un 30 % de reducción en |G(jω)| en ωB ,el ancho de banda no es un criterio particularmente usado para sistemas completos de medida. El ancho de banda se usa comunmente en la determinación de √ la respuesta en frecuencia de los amplificadores; una reducción √ en |G(jω)| desde 1 hasta 1/ 2 es equivalente a un cambio en decibeles de N = 20 log(1/ 2) = −3.0dB. Un elemento de primer orden tiene un ancho de 1 banda entre 0 y rad s−1 . τ Si en un sistema no se pueden encontrar los límites especificados del error dinámico ε(t); es decir, la función de transferencia del sistema G(s) no satisface una condición tal como (3.5.3), entonces el primer paso es identificar cuales elementos en el sistema dominan el comportamiento dinámico. En el sistema de medida de temperatura de la sección anterior, el error dinámico se debe casi totalmente a la constante de tiempo 10s de la termocupla. Teniendo identificados los elementos dominantes del sistema, el método más obvio de mejoramiento de la respuesta dinámica es el de diseño intrínseco. En el caso del sensor de temperatura de primer orden con τ = mC/UA, τ puede hacerse mínimo, minimizando la razón masa/área m/A —por ejemplo, usando un termistor en la forma de lámina p delgada. En el caso de de un sensor de fuerza de segundo orden con ωn = k/m, ω n puede hacerse máxima maximizando k/m, es decir, usando alta rigidez k y baja masa m. Sin embargo, al

68

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Figura 3.14: Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden. incrementar k, se reduce la sensibilidad de estado estacionario K = 1/k. De la respuesta al escalón en los sistemas de segundo orden y la gráfica de la respuesta en frecuencia se ve que el valor óptimo de la razón de amortiguación ζ está alrededor de 0.7. Este valor asegura un tiempo de establecimiento mínimo para la respuesta al escalón y |G(jω)| se acerca a la unidad para la respuesta en frecuencia (respuesta plana en la banda pasante) [20]. Otro método posible es el de compensación dinámica de lazo abierto (Fig. 3.15). Dado un elemento sin compensación o sistema Gu (s), se introduce un elemento de compensación Gc (s) en el sistema, tal que la función de transferencia total G(s) = Gu (s)Gc (s) satisfaga la condición requerida (por ejemplo la ecuación (3.5.3)). Así, si se emplea un circuito de adelanto—atrazo con una termocupla 3.15, la constante de tiempo total se reduce a τ 2 de modo que |G(jω)| se acerque a la unidad sobre un rango más ancho de frecuencias. El principal problema con este método es que τ puede cambiar con el coeficiente de transferencia de calor U , reduciendo así la efectividad de la compensación. Otro método consiste en incorporar el elemento a ser compensado en un sistema de lazo cerrado con retroalimentación negativa de alta ganancia. Un ejemplo es el acelerómetro de lazo cerrado mostrado en forma de esquemática y diagrama de bloques en la Fig. 3.16. La aceleración aplicada a produce una fuerza de inercia ma en la masa sísmica m. Ésta se equilibra con la fuerza que el imán permanente ejerce sobre la corriente de realimentación de la bobina. Cualquier desbalance de fuerzas se detecta por el elemento elástico de fuerza con lo cual se produce un desplazamiento el cual se detecta con el sensor de desplazamiento potenciométrico. La tensión de salida del potenciómetro se amplifica produciendo una corriente de salida la cual

3.5. TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN DINÁMICA

Elemento no compensado 1 1+ τ Termocupla

69

Elemento de compensación 1 + τ1 1 + τ2 Circuito de adelanto y atraso

1 1 + τ2

Figura 3.15: Compensación dinámica en lazo abierto. se transfiere a la bobina de realimentación a través de un resistor normalizado para generar la tensión de salida. Analizando el diagrama de bloques se encuentra que la función de transferencia total del sistema es mR ∆V¯ (s) 1 ³ ´ = . (3.5.4) 2ζ k 1 2 k k ∆¯ a(s) KF s+ 1+ as + KA KD KF ω n

ω n KA KD KF

KA KD KF

Si KA se hace suficientemente grande para que KA KD KF /k À 1, entonces la función de transferencia del sistema puede ser expresada en la forma Ks ω2ns ∆V¯ (s) = 2 ∆¯ a(s) s + 2ζ s ω ns s + ω2ns donde la sensibilidad de estado estacionario del sistema es Ks =

mR KF

la frecuencia natural del sistema ω ns = ωn

r

KA KD KF k

y la razón de amortiguamiento del sistema ζs = ζ

r

k KA KD KF

Se ve que la frecuencia natural del sistema ω ns es ahora mucho mayor que la del elemento elástico de fuerza. La razón de amortiguamiento del sistema ζ s es mucho menor que ζ, pero haciendo ζ grande puede obtenerse.un valor de ζ s ≈ 0.7. Además la sensibilidad de estado estacionario del sistema depende solamente de m, KF y R la cual puede ser constante en un alto grado.

70

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Imán

ν

Bobina

Cápsula

Fuerza de Fuerza no Inercia balanceada

Masa Sísmica Fuerza Electro magnética

Sensor de fuerza elástica

Sensor de desplazamiento potenciométrico

Resistor normalizado

Bobina e imán

Figura 3.16: Esquema y diagrama de bloques de un acelerómetro en lazo cerrado.

3.6

Determinación experimental de los parámetros de un sistema de medida

Aunque el análisis teórico de los instrumentos es vital para revelar las relaciones básicas involucradas en la operación de un dispositivo, rara vez es suficientemente preciso para proporcionar valores numéricos útiles a parámetros críticos tales como sensibilidad, constante de tiempo, frecuencia natural, etc. Ya se ha discutido la calibración estática; aquí se tratarán los métodos para determinar experimentalmente las características dinámicas [11]. Para instrumentos de orden cero, la respuesta es instantánea de modo que no existen características dinámicas. El único parámetro a ser determinado es la sensibilidad estática K, la cual se encuentra por calibración estática. Para instrumentos de primer orden, la sensibilidad estática K también se encuentra por calibración estática. Hay solamente un parámetro correspondiente a la respuesta dinámica, la constante de tiempo τ y ésta puede encontrarse por varios métodos. Un método común es aplicar una entrada escalón y medir τ como el tiempo requerido para llegar al 63.2% del valor final. Este método está influido por imprecisiones en la determinación del punto t = 0 y tampoco da una prueba de si realmente el instrumento es de primer orden. Existe un método mejorado el

3.6. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS DE UN SISTEMA DE MEDIDA71 y 1

0.75

0.5

0.25

0 0

2.5

5

7.5

10 x

Figura 3.17: Respuesta normalizada a un escalón. cual usa los datos de prueba de una función escalón redibujados en forma semilogarítmica a fin de obtener un mejor estimativo de τ y chequear en conformidad una respuesta verdadera de primer orden. Este método se plantea como sigue. De la ecuación (3.3.4) se puede escribir t θ = 1 − e− τ K

(3.6.1)

la cual se encuentra graficada en la Fig. 3.17. De aquí se obtiene 1− Ahora se define

y entonces

t θ = e− τ K

µ ¶ θ t ξ , ln 1 − =− K τ

(3.6.2)

(3.6.3)

dξ 1 =− (3.6.4) dt τ Así, si se grafica ξ vs t, se obtiene una linea recta cuya pendiente numéricamente es −1/τ . La Fig.(3.18) ilustra el procedimiento. Este da un valor más preciso de τ puesto se que usa la mejor línea a través de todos los puntos de datos en lugar de sólo dos puntos, como en el método del 63.2%. Más aún, si los puntos de datos caen cerca de la línea recta, esto asegura que el instrumento se comporta como del tipo de primer orden. Si los datos se desvían considerablemente de la línea recta se entendería que el instrumento no es de primer orden y un valor de τ obtenido por el método del 63.2% sería muy engañoso. Una verificación (o refutación) aún más fuerte de las características dinámicas de primer orden es disponible de la prueba de respuesta frecuencial, aunque a considerable costo de tiempo

72

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA 0

2.5

5

7.5

x 10

0

-2.5

-5

-7.5

y

-10

Figura 3.18: Pueba de la función escalón para un sistema de primer orden. y dinero si el sistema no es completamente eléctrico, puesto que los generadores sinusoidales no eléctricos no son ni comunes ni baratos. Si se dispone del equipo, el sistema es sujeto a entradas sinusoidales sobre un amplio rango de frecuencias y tanto la entrada como la salida son registradas. La razón de amplitud y ángulo de fase se grafican sobre escalas logarítmicas. Si el sistema es verdaderamente de primer orden, la razón de amplitud siguen las típicas asíntotas para bajas y altas frecuencias (pendiente cero y −20 dB/d´ ecada) y el ángulo de fase tiende asintóticamente a −90◦ . Si estas características están presentes, el valor numérico de τ se encuentra determinando ω en el punto de quiebre y usando τ = 1/ω b (ver Fig. 3.19). Las desviaciones de las anteriores, características de amplitud y fase indican un comportamiento diferente al de un primer orden. Para sistemas de segundo orden, K se encuentra por calibración estática y ζ y ωn se pueden obtener de diferentes maneras a través de pruebas sobre funciones en escalón o respuesta frecuencial. La Fig. 3.20(a) muestra un respuesta típica a un escalón para un sistema subamortiguado de segundo orden Los valores de ζ y ω n se pueden encontrar de las relaciones v u 1 (3.6.5) ζ = u ¸2 u∙ t π +1 ln(a/A) 2π p ωn = (3.6.6) T 1 − ζ2 Cuando un sistema está ligeramente amortiguado, cualquier entrada transitoria rápida producirá una respuesta similar a la de la Fig. 3.20(b). Entonces ζ se puede aproximar a ζ≈

ln(x1 /xn ) 2πn

(3.6.7)

3.6. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS DE UN SISTEMA DE MEDIDA73

0 ω b = τ1

φ

log ω

-20 dB / década 0º -45º -90º

Figura 3.19: Prueba de respuesta frecuencial de un sistema de primer orden. p Esta aproximación supone que 1 − ζ 2 ≈ 1.0, la cual es muy precisa cuando ζ < 0.1, y de nuevo ω n .puede encontrarse de la ecuación (3.6.6). Si al aplicar la ecuación (3.6.6), se presentan muchos ciclos de oscilación en el registro, es más preciso determinar el período T como el promedio de tantos ciclos distintos como sean posibles, en lugar de uno solo. Si un sistema es estrictamente lineal y de segundo orden, el valor de n en la ecuación (3.6.7) carece de importancia: el mismo valor de ζ se encontrará para cualquier número de ciclos. Así, si ζ se calcula para n = 1, 2, 4 y 6 y se obtienen diferentes valores numéricos de ζ, se entiende que el sistema no está siguiendo el modelo matemático postulado. Para sistemas sobreamortiguados (ζ > 1.0) no existen oscilaciones y la determinación de ζ y ω n se torna más difícil. Usualmente es más fácil expresar la respuesta del sistema en términos de dos constantes de tiempo τ 1 y τ 2 , en vez de ζ y ω n . De la ecuación (3.3.11) se puede escribir f0 (t) = 1 −

τ2 τ1 e−t/τ 2 + e−t/τ 1 τ2 − τ1 τ2 − τ1

(3.6.8)

donde τ1 , τ2 ,

1 ³ ´ p ζ − ζ 2 − 1 ωn 1 ´ ³ p ζ + ζ 2 − 1 ωn

(3.6.9) (3.6.10)

74

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA θ

Tiempo Tiempo 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

θ ciclos 1

0

(b) 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a)

Figura 3.20: Pruebas de escalón e impulso para sistemas de segundo orden. Para encontrar τ 1 y τ 2 de la curva de respuesta a una función escalón se puede proceder como sigue [2]: 1. Definir el porcentaje de respuesta incompleta Rpi como ¶ µ θ 100 Rpi , 1 − K 2. Dibujar Rpi en escala logarítmica contra una escala lineal del tiempo t. Si el sistema es de segundo orden, esta curva se aproximará a una línea recta para valores grandes de t. Prolongar esta línea hasta cero, y anotar el valor P1 donde la línea intercepta la escala Rpi . Ahora, τ 1 es el tiempo en el cual la asíntota de la línea recta tiene el valor de 0.368P1 . 3. Ahora se dibuja sobre la misma gráfica una nueva curva, la cual es la diferencia entre la asíntota en línea recta y Rpi . Si esta nueva curva no es una línea recta, el sistema no es de segundo orden. Si es una línea recta, el tiempo en el cual esta línea tiene el valor 0.368(P1 − 100) es numéricamente igual a τ 2 .

3.6. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS DE UN SISTEMA DE MEDIDA75 θ

150

P1

100 80 70

0.368

60 50 40

3

2

0.368 [

1

- 100]

20

10 5 0 0

1

τ2

2

3

4

τ1

5

6

7

Figura 3.21: Prueba de la función escalón para sistemas de segundo orden. La Fig. 3.21 ilustra este procedimiento. Una vez que τ 1 y τ 2 se han encontrado, los valores de ζ y ωn se pueden determinar de las ecuaciones (3.6.9) y (3.6.10). Para encontrar ζ y ω n o τ 1 y τ 2 también se pueden usar los métodos de respuesta en frecuencia. La Fig. 3.22 muestra la aplicación de estas técnicas. Los métodos mostrados usan solamente la curva de relación de amplitud. En este caso se aplica la siguiente relación para encontrar ζ Ap 1 = p A0 2ζ 1 − ζ 2

(3.6.11)

donde Ap es el valor máximo de la magnitud para la respuesta frecuencial (valor de la respuesta del sistema subamortiguado) y A0 es el valor de la magnitud para frecuencia cero (o frecuencia mínima si es en escala logarítmica). Si se dispone de las curvas fase—ángulo, éstas constituyen una valiosa forma de chequeo del modelo propuesto. Para sistemas de medida de forma arbitraria (en contraposición a los tipos de primer y segundo orden), usualmente se desea la descripción del comportamiento dinámico en términos de la respuesta en frecuencia. Esta información puede ser obtenida haciendo pruebas con señales sinusoidales, de pulsos, o aleatorias, siguiendo los métodos generales usados experimentalmente

76

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Figura 3.22: Prueba de respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden. para determinar los modelos matemáticos de sistemas físicos. Cuando el sistema físico a ser estudiado es un sistema de medida, la señal de salida θo es en si misma generalmente útil y no se requiere la señal de salida de un sensor separado. Sin embargo, usualmente se requiere medir la señal de entrada ui con un sensor separado, el cual sirve como el patrón de calibración y cuya precisón se conoce, y es alrededor de 10 veces mejor que la del sistema a ser calibrado. Si se puede obtener de esta manera la relación (θo /ui )(iω) para el sistema de medida, ésta define el rango de frecuencias bajo las cuales no se requieren correcciones y se proveen los datos necesarios para hacer correcciones dinámicas (usando los métodos de transformación) si se desea usar el instrumento en su rango de respuesta en frecuencia no plana.

3.7

Efectos de la carga en sistemas de medida

En la discusión de sistemas de medida, no se ha considerado hasta ahora los efectos producidos por la “carga”. Un importante efecto es la carga interna del elemento por medio de la cual un elemento dado en un sistema puede modificar las características de los elementos anteriores (por ejemplo, por drenaje de corriente). A su vez las características de este elemento pueden ser modificadas por el siguiente elemento en el sistema. Un segundo efecto más fundamental, es el del proceso de carga, donde la introducción del elemento sensible en el proceso o sistema a ser medido hace que cambie el valor de la variable medida. Así, la introducción de un sensor de temperatura dentro de un recipiente para líquido puede ocasionar que la temperatura descienda, ◦ v. gr., 0.2 C. En esta sección se discuten las dos formas de carga, primero examinando los

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA

77

principios de la carga eléctrica y luego extendiendo estos principios a los efectos de la carga en general.

3.7.1

Carga eléctrica

Se ha representado hasta ahora los sistemas de medida como bloques conectados por líneas simples donde la transferencia de información y energía está en términos de una sola variable. Así, en el sistema de medida de temperatura Fig. 2.15 la transferencia de información entre los elementos está en términos únicamente del voltaje. Por lo tanto, no se puede identificar la corriente drenada en el amplificador generada por la termocupla, ni la corriente drenada en el indicador generada por el amplificador. Con el fin de describir el comportamiento tanto del voltaje como de la corriente en la conexión de dos elementos se necesita representar cada elemento por un circuito equivalente caracterizado por dos terminales. La conexión está representada entonces por dos líneas.

3.7.2

Circuito equivalente Thévenin

El teorema Thévenin establece que cualquier red que consista de impedancias lineales y fuentes de tensión puede reemplazarse por un circuito equivalente que consiste de una fuente de tensión VT h y una impedancia en serie ZT h (Fig. 3.23). La fuente VT h es igual a la tensión de circuito

Red lineal

°

+

> i

V Th ZL

+ VL

Z Th

ZL

_

°

Figura 3.23: Circuito equivalente de Thévenin. abierto de la red a través de los términales de salida, y ZT h es la impedancia mirando hacia atras en estos terminales, con todas las fuentes de tensión reducidas a cero y reemplazadas por sus impedancias internas. Así, conectar una carga ZL a través de los términales de salida de la red es equivalente a conectar ZL a través del circuito Thévenin. La corriente i en ZL está dada por VT h (3.7.1) i= ZT h + ZL

78

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

y la tensión VL en la carga es VL = iZL =

1 VT h 1 + ZZTLh

(3.7.2)

De la ecuación (3.7.2) se ve que si ZL À ZT h , entonces VL → VT h ; es decir, que con el fin de obtener la máxima transferencia de tensión desde la red hasta la carga, la impedancia de carga debe ser mucho mayor que la impedancia Thévenin de la red. Con el fin de obtener la máxima transferencia de potencia desde la red hacia la carga, la impedancia de carga deberá ser igual a la impedancia de la red; es decir, ZL = ZT h . Ahora se puede discutir el circuito equivalente Thévenin para el sistema de medida de temperatura de la Fig. 2.15. La termocupla puede estar representada por ZT h = 20Ω (resistiva) y ET h = 40T μV , donde T es la medida de la temperatura en la unión, si se ignoran los efectos de la no linealidad y temperatura de la unión de referencia. El amplificador actúa como una carga para la termocupla y como una fuente de voltaje para el indicador. La Fig. 3.24 muestra un circuito equivalente general para un amplificador con dos pares de terminales. Usando los datos

i

N

Zo

>

+ vi

-

+ A vi

Zi -

Figura 3.24: Circuito equivalente de un amplificador. típicos de un amplificador, se tiene una impedancia de entrada ZI = RI = 2 × 106 Ω, la ganancia de voltaje de circuito abierto A = 103 , la impedancia de salida ZO = RO = 75Ω. El indicador es una carga resistiva de 104 Ω. El circuito equivalente completo para el sistema se muestra en la Fig. 3.25, y usando la ecuación (3.7.2) se tiene 104 2 × 106 y V = 1000V (3.7.3) n I 2 × 106 + 20 75 + 104 Si la escala del indicador muestra que un cambio de 1V en VL produce un cambio en la deflexión ◦ de 25 C, entonces la temperatura medida seráTM = 25VL . Ésto da ¶µ ¶ µ 104 2 × 106 TM = T = 0.9925T (3.7.4) 2 × 106 + 20 104 + 75 VI = 40 × 106 T

es decir, se ha introducido un factor ZL /ZT h + ZL en cada interconexión de dos elementos para admitir la carga. El error por carga εL = −0.0075T ; es además el error de estado estacionario debido a las imperfecciones de los elementos.

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 75

20

T

+

>

>

40T μV

-

Temperatura verdadera Termocupla

79

+

TM=25V L

+

vi

1000 vi

2M

10k

Temperatura medida

-

Amplificador

Indicador

Figura 3.25: Equivalente Thévenin para un sistema de medición de temperatura. El error por carga en el ejemplo anterior es pequeño, pero si no se toma cuidado, éste puede ser muy grande. Supóngase ahora, que un electrodo de vidrio para medir pH, con sensibilidad 59 mV por pH, es decir, ET h = 59pHmV y ZT h = RT h = 109 Ω, está conectado directamente a un indicador 1 pH/mV. La medida de pH es con ZL = RL = 104 Ω y una escala de sensibilidad 59 µ ¶ 104 1 pHM = 59pH ≈ 10−5 pH (3.7.5) 104 + 109 59 es decir, aquí estará efectivamente un indicador cero para cualquier valor no cero. Así el probelma es resuelto conectando el eléctrodo a un indicador por medio de amplificador buffer. Esté está caracterizado por ZIN grande, ZOUT pequeño y una ganancia unitaria A = 1. Por ejemplo, un amplificador operacional con una etapa de entrada con FET conectado con un seguidor de voltaje, tendrá una ZIN = 1012 Ω, ZOU T = 10Ω. El indicador del valor pH para el sistema modificado (Fig:(zz)) es 1012 104 pH pHM = 12 × 10 + 109 104 + 10 y el error por carga es ahora −0.002pH, es cual es negativo. Un ejemplo del efecto de la carga ac, se muestra en la Fig. 3.26, la cual representa el circuito equivalente de un tacogenerador con reluctancia variable conectado a un registrador. El voltaje Thévenin VT h para el tacogenerador es tipo ac con una amplitud Vp y una frecuencia angular ω, ambos proporcionales a la velocidad mecánica angular ω r . En este ejemplo, Vp = (5.0×10−3 )ω r V y ω = 6ω r rad s−1 . La impedancia Thévenin ZT h para el tacogenerador es una inductancia y una resistencia en serie (un imán rodeado por una bobina), es decir, ZT h = RT h + jωLT h . Así, si ω r = 103 rad s−1 ; Vp = 5V, ω = 6 × 103 rad s−1 y ZT h = 1.5 + j6.0kΩ, tal que la amplitud del voltaje registrado es VˆL = Vp

10 RL = 5p = 3.85V |ZT h + RL | [(11.5)2 + (6.0)2 ]

(3.7.6)

Si la escala de sensibilidad del registrador alcanza el valor de 1/(5 × 10−3 )rad s−1 , la velocidad angular registrada es 770rad s−1 . Este error puede eliminarse bien sea incrementando la

80

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA L th 1H R th

V th

RL 10k

1.5k + Vp sen ω t -

V

L

Registrador

Tacogenerador de reluctancia variable

Figura 3.26: Carga a.c. de un tacogenerador. impedancia del registrador o cambiando su sensibilidad para evitar los efectos de la carga. Una mejor alternativa es reemplazar el registrador por un contador que mida la frecuencia en lugar de la amplitud de la señal del tacogenerador.

3.7.3

Ejemplo del cálculo de un circuito equivalente Thévenin

La Fig.(zz) muestra un digrama esquemático de un sensor potenciométrico para medida de desplazamientos d. La resistencia del potenciómetro varia linealmente con el desplazamiento. Así si x = d/dT es el desplazamiento fraccional, la resistencia correspondiente es Rp x, donde Rp Ω es la resistencia total del potenciómetro. El voltaje Thévenin ET h es el voltaje de circuito abierto a través de los terminales de salida AB. La relación entre ET h y la fuente de voltaje Vs es igual a la relación de la resistencia fraccional Rp x; que es Rp x ET h = , Vs Rp

dando

ET h = Vs x

(3.7.7)

La impedancia Thévenin ZT h se encuentra escogiendo una fuente de voltaje Vs = 0, reemplazando la fuente por sus impedancia interna (se asume cero), y calculando la impedancia vista desde los terminales AB como se muestra en la Fig.(zz). Asi 1 1 1 + = RT h Rp x Rp (1 − x) dando RT h = Rp x(1 − x)

(3.7.8)

Así el efecto de conectar una carga resistiva RL (el registrador o el indicador) a través de los terminales AB es equivalente a conectar RL a través del circuito Thévenin.El voltaje de carga

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA es VL = ET h

81

RL RL = Vs x RT h + RL Rp x(1 − x) + RL

es decir VL = Vs x

1 (Rp /RL )x(1 − x) + 1

(3.7.9)

La relación entre VL y x es no lineal, el valor de la linealidad depende de la relación Rp /RL (Fig.zz). Así el efecto de la carga en un sensor potenciométrico lineal es introducir un error no lineal en el sistema dando ¾ ½ 1 N (x) = ET h − VL = Vs x 1 − (Rp /RL )x(1 − x) + 1 es decir N (x) = Vs

½

x2 (1 − x)(Rp /RL ) 1 + (Rp /RL )x(1 − x)

¾

(3.7.10)

el cual se reduce a N (x) ≈ Vs (Rp /RL )(x2 − x3 ) si Rp /RL ¿ 1 (situación normal). N (x) tiene ˆ = 4 Vs (Rp /RL ) cuando x = 2 , corresponde a dN/dx = 0 y un valor un valor máximo de N 27 3 ˆ como un porcentaje de la escala full de deflexión o giro Vs negativo d2 N/dx2 . Expresando N voltios da: ˆ = 400 Rp % ≈ 15 Rp % (3.7.11) N 27 RL RL Los requerimiento de no linelidad de la sensibilidad y la máxima potencia son usados para especificar los valores de Rp y Vs para una aplicación dada. Supóngase que un potenciómetro de rango 10cm está conectado a un registrador de 10Ω. Si la máxima no linealidad no debe exceder 3 el 2%, entonces se requiere 15Rp /RL 6 2, es decir Rp 6 20 15 × 10 Ω; así un potenciómetro de 1KΩ podrá ser adecuado. Como la sensibilidad es dVL /dx ≈ Vs , la sensibilidad mas grande que Vs

3.7.4

Circuito equivalente Norton

EL teorema Norton establece que cualquier red que contenga impedancias lineales y fuentes de voltaje puede ser reemplazado por un circuito equivalente consistente de una fuente de corriente iN en paralelo con una impedancia ZN (Fig.zz). ZN es la impedancia vista desde los terminales de salida con todas las fuentes de voltaje reducidas a cero y reemplazadas por su impedancia interna, y iN es la corriente que fluye cuando los terminales están corto circuitados. Conectando una carga ZL a través de los terminales de la red es equivalente a conectar ZL a través del circuito Norton. El voltaje VL a través de la carga está dado por VL = IN Z, donde 1/Z = 1/ZN + 1/ZL , dando ZN · ZL (3.7.12) VL = iN ZN + ZL

82

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

De (3.7.12) se nota que si ZL ¿ ZN , entonces VL → iN ZL ; es decir, que además para desarrollar la máxima corriente a través de la carga, la impedacnia de carga deberá ser más pequeña que la impedancia Norton para la red. Un ejemplo común de una fuente de corriente es un transmisor de presión diferencial electrónico que entrega una señal de corriente a la salida, en un rango de 4 a 20mA, proporcional a la presión diferencial de entrada, de rangos típicos de 0 a 2 × 104 P a. La (Fig.zz) muestra un circuito equivalente típico para el transmisor conectado a un registrador por medio de un cable. Usando (3.7.12), a través de la carga total RC + RR del registrador y el cable es VL = iN

RN (Rc + RR ) RN + RC + RR

(3.7.13)

y la relación VR /VL = RR /(Rc + RR ) dondo el voltaje del registrador VR = iN RR

RN RN + RC + RR

(3.7.14)

Usando los datos dados, se tiene que VR = 0.9995iN RR tal que el voltage del registrador diverja del rango deseado de 1 a 5V solamente el 0.05 por ciento. Un segundo ejemplo de un generador de corriente está dado por un cristal piezoeléctrico actuando como un sensor de fuerza. Si una fuerza F es aplicada a cualquier cristal, entonces los átomos del cristal experimentan un pequeño desplazamiento x proporcional F . Para un material piezoeléctrico el cristal adquiere una carga q proporcional a x es decir, q = Kx. El cristal puede por lo tanto ser visto como una fuente de corriente Norton de magnitud iN = dq/dt = K(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad de las deformaciones atómicas. Este efecto se discute mejor en la sección 8.7. donde se ve que el cristal actúa como capacitor CN en paralelo con la fuente de corriente iN . La figura 5.11 muestra el circuito equivalente y los valores típicos de los componentes para un cristal conectado por medio de un cable capacitivo CC a un grabador que actúa como una carga resistiva RL . El voltaje VL através de la carga está dado por iN Z, donde Z es la impedancia de CC , CN y RL en paralelo. Puesto que 1 Z

= CN s + CC s +

Z =

1 RL

RL 1 + RL (CN + CC )s

donde s denota el operador de Laplace. La función de transferencia que relaciona los cambios dinámicos de la corriente de la fuente y el voltaje de la grabadora es así RL ∆V¯L (s) = ∆¯ıN (s) 1 + RL (CN + CC )s

(3.7.15)

Así, el efecto de la carga eléctrica en este ejemplo es para introducir una función de transferencia en un sistema de medición de fuerza; esto afectará la exactitud dinámica.

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA

3.7.5

83

Carga Generalizada

Se ha visto en la sección previa como los efectos de la carga eléctrica pueden ser descritos usando un par de variables, el voltaje y la corriente. El voltaje es un ejemplo de una variable a través de o esfuerzo y, corriente es un ejemplo de variable de traspaso o flujo x. ˙ Una variable de esfuerzo conduce a una de flujo a través de una impedancia. Otros ejemplos de pares esfuerzo-flujo son fuerza-velocidad, torque-velocidad angular, diferencia de presión-flujo de volumen, diferencia de temperatura-flujo de calor. Cada par y − x˙ tiene la propiedad de que el producto y x˙ representa potencia en vatios (excepto por las variables de temperatura, que tienen dimensiones de vatios×temperatura). La tabla 5.1. (adaptada de [2] ) enlista los pares de esfuerzo-flujo de diferentes formas de energía y cada par define las cantidades relacionadas de impendancia, rigidez, flexibilidad e inertancia. Así se ve que los conceptos de impedancia están aplicados a mecánica, fluídica y sistemas térmicos también como electricos. Para un sistema mecánico la masa es análoga a la inductancia eléctrica, la constante de amortigüamiento es análoga a la resitencia eléctrica, y 1/rigidez es análogo a la capacitancia eléctrica. Para un sistema térmico la resistencia térmica es análoga a la resistencia eléctrica, la capacitancia térmica es análoga a la capacitancia eléctrica. Esto significa, que pueden generalizarse los circuitos eléctricos equivalentes de Thévenin y de Norton a sistemas no eléctricos. Se pueden entonces estudiar ejemplos de como un elemento sensor primario puede ‘cargar’ el proceso o el sistema a ser medido. La Fig.(zz) muestra un sistema mecánico o ‘proceso’ representado por una masa, un resorte y un amortiguador. La fuerza F aplicada a el proceso está siendo medida por un sensor de fuerza, que consiste de un elemento elástico en unión con un sensor de desplazamiento potenciómetrico. El sensor elástico de fuerza puede también representarse por una masa, un resorte y un amortigüador. Bajo condiciones de estado estacionario cuando la velocidad sea x˙ = 0 y la acaleración sea x ¨ = 0, se tienen las siguientes ecuaciones de balance de fuerzas: = kp x + Fs

proceso

F

sensor

Fs = ks x

(3.7.16)

mostrando que la relación entre la fuerza medida Fs y la fuerza verdadera F es Fs =

Ks 1 F = F ks + kp 1 + kp /ks

(3.7.17)

Además se ve que para minimizar el error de carga en el estado estacionario el sensor de rigidez ks podrá ser mucho más grande que la rigidez procesada kp . Bajo condiciones de inestabilidad cuando x˙ no sea cero, la segunda ley de Newton da las siguientes ecuaciones diferenciales: proceso sensor

¨ F − kp x − λp x˙ − Fs = mp x rFs − ks x − λs x˙ = ms x ¨

(3.7.18)

84

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

es decir

Z dx˙ + λp x˙ + kp xdt ˙ = F − Fs dt Z dx˙ + λs x˙ + ks xdt ˙ = Fs ms dt

mp

(3.7.19)

Utilizando las analogias dadas al principio, el sensor puede representarse por Fs conduciendo x˙ a través del circuito mecánico L, C, R ,ms , 1/ks , λs ; y el proceso puede representarse por F − Fs conduciendo x˙ a través del circuito mecánico L, C, R ,mp , 1/kp , λp . Si ∆x, ∆F y ∆Fs se derivan de las condiciones estacionarias iniciales, entonces la transformada de Laplace de las ecuaciones (3.7.19) son: ¶ µ kp ___ ∆x˙ = ∆F¯ − ∆F¯s (3.7.20) mp s + λp + s ¶ µ ks ___ ∆x˙ = ∆F¯s ms s + λs + s Usando la tabla () se puede definir la función de transferencia de la impedancia mecánica por ___ ZM (s) = ∆F¯ / ∆x˙ (s), tal que impedancia del proceso

kp s ks (s) = ms s + λs + s

ZMP (s) = mp s + λp +

impedancia del sensor

(3.7.21) (3.7.22)

De (3.7.20) y (3.7.22) la relación entre los cambios dinámicos entre la fuerza medida y la real es ∆ F¯s (s) =

ZMS ∆F¯ (s) ZMS + ZMP

(3.7.23)

Además para minimizar los efectos de la carga dinámica, la impedancia del sensor ZMS puede ser mucho más grande que la impedacnia del proceso ZMP . La Fig.() muestra el circuito equivalente para el sistema: proceso , sensor de fuerza y el registrador. Se ve que el circuito equivalente completo para el sensor de fuerza es una red de cuatro terminales o de dos puertos. Esto es similar al circuito equivalente para un amplificador electronico (Fig.zz) excepto que aquí el puerto de entrada involucra transferencia de energía mecánica. La Fig.(zz) muestra un cuerpo caliente, es decir, un ‘proceso’ térmico cuya temperatura Tp está siendo medida por un sensor termocupla. Bajo condiciones de inestabilidad, las consideraciones de razón de flujo de calor son dadas por las siguientes ecuaciones diferenciales: proceso sensor

dTp dt dTs Ms Cs dt

Mp Cp

= Wp − Ws , = Ws ,

Wp = Up Ap (TF − Tp ) Ws = Us As (Tp − Ts )

(3.7.24)

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA

85

donde M masa C calor específico U coeficiente de transferencia de calor A área de transferencia de calor Las cantidades Mp Cp , Ms Cs tiene las dimensiones de calor/temperatura y son análogas a la capacitancia eléctrica. Las cantidades Up Ap , Us As tiene las dimensiones de razón de flujo de calor/temperatura y son análogas a 1/(resistencia eléctrica). El circuito equivalente para el proceso y la termocupla está mostrado en la Fig. (zz). Se ve que la relación entre TF y Tp depende de un divisor de potencia 1/Up Ap ,Mp Cp y la relación entre Tp y Ts dependen del divisor de potencia 1/(Us As ), Ms Cs . De nuevo la termocupla puede representarse por una red de dos puertos con un puerto de entrada térmico y un puerto de salida eléctrico. En conclusión se nota que la representación de los elementos de un sistema de medida por redes de dos puertos permite que los efectos de la carga del proceso y entre los elementos sea cuantificados.

3.7.6

Efectos de la carga bajo condiciones dinámicas

El tratamiento de los efectos de la carga por medio de la impedancia, la admitancia, etc., se ha discutido en las sección () para condiciones estáticas. Todos esos resultados pueden ser inmediatamente transferidos para el caso de la operación dinámica generalizando las definiciones en términos de las funciones de transferencia Las ecuaciones básicas que se refieren a valor sin alteración qi1u y al valor real medido qi1m en la entrada del dispositivo es ui1m = ui1m = ui1m = ui1m =

1 ui1u Zgo /Zgi + 1 1 ui1u Ygo /Ygi + 1 1 ui1u Sgo /Sgi + 1 1 qi1u Cgo /Cgi + 1

(3.7.25) (3.7.26) (3.7.27) (3.7.28)

Las cantidades Z, Y, S y C fueron previamente consideradas por ser la razón de pequeños cambios en dos variables sistemas de afines bajo condiciones establecidas. Para generalizar esos conceptos, ahora se definen las cantidades Z, Y, S, y C como funciones de transferencia relacionando las mismas dos variables bajo las mismas condiciones excepto que ahora se considera la operación dinámica. Es decir, se debe obtener (teóricamente o experimentalmente) Z(s), Y (s), S(s), y C(s) si se desea usar el método operacional de función de transferencia y Z(iω), Y (iω), S(iω), y C(iω) si se desea usar el método de respuesta en frecuencia. Si esas cantidades deben ser encontradas experimentalmente usualmente la forma de respuesta en frecuencia es en su mayor parte usada. Esto significa, entonces que en la búsqueda,

86

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

se supone, Z(iω),una de las dos variables involucradas en la definición de Z juega el papel de una entrada cantidad la cual se varia sinusoidalmente en diferentes frecuencias. Esto causa un cambiosinusoidal en la otra variable (salida), y asi se puede hablar de una razón de amplitud y ángulo de fase entre esas dos cantidades, haciendo ahora Z(iω) un número complejo que varia con la frecuencia. (Si el sistema es un poco no lineal, la aproximación efectiva Z llega a ser una función también de amplitud de entrada). En la ecuación (3.7.25) por ejemplo, Zgo y Zgi podrán ahora ser números complejos; si esas son conocidas, se puede calcular la amplitud y fase de qi1m si la amplitud, fase, y frecuencia de una sinusoidal qi1m son dadas. La cantidad qi1m entonces podrá ser la entrada actual (qi ) pára el dispositivo de medida, y se puede calcular qo si la función de transferencia (qo /qi )(iω) se conocen. Es decir ∙ ¸ θo 1 (iω) Qi1u (iω) Qo (iω) = Zgo (iω)/Zgi (iω) + 1 ui

(3.7.29)

Así se puede definir una función de transferencia cargada (θo /ui1u )(iω) como (θo ) θo 1 (iω) , (iω) ui1u Zgo (iω)/Zgi (iω) + 1 ui

(3.7.30)

donde θo , salida real del dispositivo de medida que no tiene carga en sus salidas ui , valor de la variable medida que puede existir si el dispositivo de medida no produce cargabilidad sobre el medio medido. Las ecuaciones (3.7.26), (3.7.27) y (3.7.28) pueden ser modificadas en forma similar. También, si las ecuaciones diferenciales que relacionan θo (t) se necesitan, se puede escribir (θo ) θo 1 (s) = (s) ui1u Zgo s)/Zgi (s) + 1 ui

(3.7.31)

y entonces se obtine la ecuación diferencial en la forma usual por medio del “producto cruz” [Zgo (s) + Zgi (s)]

n X i=0

ai si θo = [Zgi (s)]

m X

bj sj ui1u

(3.7.32)

j=0

Un ejemplo de los métodos anteriores puede ser útil. Considérese un dispositivo para medir la velocidad translacional, como se muestra en la Fig.(). La función de transferencia sin carga que relaciona el desplazamiento de salida x0 y la velocidad (medida) de entrada vi es obtenida como sigue: ¨o Bi (x˙ i − x˙ 0 ) − Kis xo = Mi x xo Ki (s) = 2 2 vi s /ω ni + 2ζ i s/ωni + 1

(3.7.33) (3.7.34)

3.7. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA

87

donde Ki , sensibilidad estática del instrumento ,

Bi Kis

m/(m/s)

Bi ζ i , relación de amortiguación del instrumento , √ 2 Kis Mi ω ni , frecuencia natural del instrumento sin amotiguación ,

(3.7.35) (3.7.36) r

Kis Mi

rad/s

(3.7.37)

Se ve que el instrumento es de segundo orden y asi se medirá vi exactamente para frecuencias suficientemente bajas realtivas a ω in . Supóngase ahora conectar el instrumento a un sistema de vibración cuya velocidad deseamos medir, como en la Fig.(). La presencia del instrumento de medida distorcionará la velocidad que se trata de medir. El caracter de esta distorsión puede ser calculado aplicando la ecuación (3.7.26), puesto que la cantidad medida es velocidad (un flujo variable), y asi la admitancia es la cantidad apropiada para usar. Se determina la admitancia de entrada Ygi (s) = (v/f )(s) de la Fig.() como sigue: f − kis x0 = Mi x ¨o

(3.7.38)

f = Bi (v − x˙ o )

(3.7.39)

¡ ¢ (1/Bi ) s2 /ω 2ni + 2ζ i s/ω ni + 1 v Ygi (D) = (s) = f s2 /ω 2ni + 1

(3.7.40)

También y, eliminado xo , se obtiene

La Fig.() también muestra las frecuencias características de esta admitancia de entrada. La admitancia de salida Ygo (s) = (v/f )(s) del sistema de medida es obtenida de la Fig.(): f − B x˙ − Ks x = M x ¨ (1/Ks ) s v (s) = 2 2 Ygo (s) = f s /ω n + 2ζs/ω n + 1

(3.7.41) (3.7.42)

La frecuencia característica de esta admitancia de salida se muestra en la Fig.(). Se puede ahora escribir xo (s) = vi1u xo (s) = vi1u

xo 1 (s) Ygo (s)/Ygi (s) + 1 vi Ki ω 2ni 1 ¡ 2 ¢ s2 + 2ζ i ω ni s + ω2ni Bi s + ω 2ni ω 2n (1/Ks ) s + 1 s2 + 2ζω n s + ω 2n s2 + 2ζ i ω ni s + ω 2ni | {z } efecto de la carga

(3.7.43)

88

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

donde xo , salida real del dispositivo de medida vi1u , velocidad que puede existir si el dispositivo de medida no produce cargabilidad. La Fig.() muestra que en este ejemplo el efecto de la carga es más severo para frecuencias cercanas a la frecuencia natural del sistema de medida, pero cercano a cero para frecuencias muy bajas o muy altas. Puesto que los efectos de la carga pueden ser expresados en términos de frecuencia, ellos pueden ser manejados para toda clase de entradas usando apropiadamente series de Fourier, transformada, o densidsad espectral de la media cuadrada.

Figura 3.27:

3.8

Señales y ruido en los sistemas de medida

Representación estática de las señales aleatorias a. La Fig.(zz) muestra un registro de una señal aleatoria obtenido durante una observación periódica To . Puesto que la señal es aleatoria no se puede escribir por medio de una ecuación algebraica continua y(t) para la señal de voltaje y en el tiempo t. Se puede, sin embargo, escribir por medio de los valores y1 a yN de N muestras tomadas en intervalos iguales ∆T durante To . La primera muestra y1 es tomada en t = ∆T , la segunda y2 es tomada en t = 2∆T , la i—ésima yi es tomada en t = i∆T , donde i = 1, . . . , N .Los intervalos de muestreo∆T = To /N deben satisfacer el teorema de muestreo de Nyquist. Ahora se puede usar ese muestreo para para calcular las cantidades estáticas de la sección observada

3.8. SEÑALES Y RUIDO EN LOS SISTEMAS DE MEDIDA

89

de la señal. Esas cantidades estáticas observadas proporcionan una estimación buena del comportamiento futuro de la señal, una vez la observación periódica es completada, con tal que: a. To sea suficientemente extenso, es decir N es suficientemente grande. b. la señal sea estacionaria, es decir, las cantidades estáticas de los términos grandes no cambian con el tiempo.

3.8.1

Efectos del ruido y la interferencia en los circuitos de medida

En la sección ?? se vió que la interconexión de dos elementos de medida, tales como una termocupla y un amplificador o transmisor de presión diferencial y una grabadora, pueden ser representados por un circuito equivalente, en el cual, ambos, una fuente de voltaje Thévenin o una fuente de corriente Norton se conecta a una carga. En una instalación industrial, la fuente y la carga por lo general se encuentran a 100m de distancia y los ruidos o voltajes de interferencia pueden presentarse. La figura ??? muestra un sistema de transmisión de voltaje sujeto a una serie de modos de interferencias; aquí un ruido o interferencia de voltaje VSM es una serie con medida de señal de voltaje ET h . La corriente i a través de la carga es i=

ET h + VSM ZT h + Rc + ZL

y el voltaje correspondiente a través de la carga VL =

ZL (ET h + VSM ) ZT h + Rc + ZL

(3.8.1)

Normalmente se hace ZL À Rc + ZT h para obtener la máxima transferencia de voltaje para la carga; bajo estas condiciones la ecuación (3.8.1) llega a ser VL = ET h + VSM

(3.8.2)

Esto significa que en un sistema de transmisión de voltaje todo el VSM está a través de la carga, esto afecta el siguiente elemento en el sistema y posiblemente resulte un error en el sistema de medida. Se define la relación de señal a ruido o señal a interferencia S/N decibeles por µ ¶ µ ¶ ET h Ws S = 20 log10 = 10 log!0 dB (3.8.3) N VSM WN donde ET h y VSM los valores rms de los voltajes, Ws y WN son las correspondientes potencias de la señal total y del ruido. Así si ET h = 1 V, VSM = 0.1 V , S/N = +20 dB. La Fig.() muestra un sistema de transmisión de corriente sujeto a las mismas series de modo de interferecnia de voltaje VSM . La fuente de corriente Norton iN se divide en dos partes, una

90

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

parte a través de la impedancia de la fuente ZN , la otra parte a través de ZL . Usando la regla del divisor de corriente, la corriente a través de la carga debido a la fuente es i=

ZN ZN + Rc + ZL

Además aqui hay una interferencia de corriente iSM =

VSM ZN + Rc + ZL

a través de la carga debido a la interferencia de voltaje. El voltaje total a través de la carga es por lo tanto VL = iZL + iSM ZL ZN ZL = iN ZL · + VSM · ZN + Rc + ZL ZN + Rc + ZL

(3.8.4) (3.8.5)

Normalmente se hace Rc + ZL ¿ ZN para obtenr la máxima transferencia de corriente para la carga; bajo estas condiciones la ecuación (3.8.5) llega a ser VL ≈ iN ZL +

ZL VSM ZN

(3.8.6)

Puesto que ZL /ZN ≈ 1, esto significa que con un sistema de transmisión de corriente solamente una pequeña fracción de VSM está a través de la carga. Así un sistema de transmisión de corriente tiene una mayor inmunidad inherente a las series de modos de interferencia que un sistema de transmisión de voltaje. En una termocupla el sistema de medida de temperatura, por esta razón, puede ser mejor convertir los milivoltios de la fem de la temocupla en una señal de corriente precedente a la transmisión, más bien que transmitir la fem directamente. La Fig.(c) muestra un sistema de transmisión de voltaje sujeto a modo común de interferencia en el cual los potenciales de ambos lados de la señal del circuito son creados por VCM relativo al plano común a tierra. Si como, ZL À Rc + ZT h , la corriente i → 0 para que el potencial caíga a iRc /2 etc. puede ser despreciado. Bajo estas condiciones: Potencial en B = VCM Potencial en A = VCM + ET h y VL = VB − VA = ET h . Esto significa que el voltaje a través de la carga no está afectado por VCM ; Allí hay, sin embargo, la posibilidad de conversión de un voltaje en modo común a modo serie.

3.8. SEÑALES Y RUIDO EN LOS SISTEMAS DE MEDIDA

3.8.2

91

Fuentes de ruido y mecanismos de acople

Fuentes de ruido interno El movimiento aleatorio inducido por la temperatura de los electrones y otros transportadores de carga en resistores y semiconductores da un aumento a un correspondiente voltaje aleatorio llamado termal o ruido de Johnson. Este tiene una densidad de potencia espectral que es uniforme a lo largo de un rango infinito de frecuencias (ruido blanco) pero proporcional a la temperatura absoluta θK de el conductor, es decir: φ = 4Rkθ watts/Hz

(3.8.7)

donde R ohmios es la resistencia de el conductor y k es la constante de Boltzmann= 1.4 × 10−23 JK −1 . De la ecuación ???? el ruido de potencia termal total entre las frecuencias f1 y f2 Hz es Z f2

W =

f1

4Rkθ df = 4Rkθ(f2 − f1 ) vatios

y de eq??? el voltaje rms correspondiente es p √ VRMS = W = 4Rkθ(f2 − f1 )

(3.8.8)

(3.8.9)

Así, si R = 106 Ω, f2 −f1 = 106 Hz y θ = 300K, VRMS = 130μV y es por lo tanto comparable con las señales de bajo nivel como la salida de puente de galga de esfuerzo. Un tipo similar de ruido es llamado ruido de disparo; este ocurre en transistores y se debe a las fluctuaciones aleatorias de la media en los cuales los transportadores difunden a través de una unión. Este es de nuevo caracterizado por una densidad de potencia espectral a través de un amplio rango de frecuencias.

92

CAPÍTULO 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

Capítulo 4

Análisis Estadístico de Datos Experimentales 4.1

Introducción

Prácticamente en todos los procesos de medición se observan características aleatorias. Aún si el mismo sistema de medición se utiliza para medir repetidamente un parámetro fijo, los resultados no tendrán el mismo valor. Esta aleatoriedad puede ser causada por variables no controladas (o no controlables) que afectan la medida, o en la carencia de precisión en el proceso de medición. En algunos casos la aleatoriedad de los datos es tan dominante que es difícil distinguir los datos de los valores indeseables. Esto es común en experimentos en las ciencias sociales y a veces en ingeniería. En tales casos, la estadística puede ofrecer herramientas que permiten separar valores indeseables de los datos recogidos

4.2

Conceptos Generales

En ingeniería, la tendencia general de datos es usualmente evidente; sin embargo, a menudo se requieren las herramientas estadísticas para identificar y generalizar las características de los datos de prueba o determinar los límites en la incertidumbre de los mismos. Los tipos de errores en las mediciones se discutieron antes y generalmente se dividen en dos categorías: de sesgo y de precisión (o sistemáticos y aleatorios, respectivamente). Los errores de sesgo son consistentes, los errores por repetición pueden a menudo minimizarse por calibración del sistema de medición. Son los errores de precisón los que mejor se pueden tratar utilizando métodos de análisis estadístico. Los conceptos estadísticos son útiles no solo para la interpretación de los datos experimentales sino también para planeamiento de los experimentos, particularmente aquellos con un gran número de variables independientes o parámetros. Para aplicar análisis estadístico a datos experimentales se pueden plantear varios pasos: 93

94

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES • Los datos se caracterizan por la determinación de los parámetros que especifican la tendencia central y la dispersión de los mismos. • En el siguiente paso se selecciona la función de distribución teórica que sea más adecuada para explicar el comportamiento de los datos. • Se puede entonces utilizar la función teórica elegida para predecir algunas propiedades de los datos.

4.2.1

Medidas de Tendencia Central

El parámetro más común usado para describir la tendencia central es la media, la cual se define por: n

. x1 + x2 + · · · + xn X xi = x ¯= n n

(4.2.1)

i=1

donde los xi son los valores de los datos de la muestra y n es el número de mediciones. Para una población con un número finito de elementos, N, con valores xi , la media se denota con el símbolo μ y está dada por: N

. x1 + x2 + · · · + xn X xi μ= = N N

(4.2.2)

i=1

Los otros dos parámetros que describen la tendencia central son la mediana y la moda. Si las mediciones se ordenan en orden creciente o decreciente la mediana es el valor del centro del conjunto. Si el conjunto tiene un número par de elementos, la mediana es el promedio de los dos valores centrales. La moda es el valor de la variable que corresponde al valor pico de la probabilidad de ocurrencia del evento. En un espacio muestral discreto, la moda puede identificarse fácilmente como el valor de más frecuente ocurrencia. En un espacio muestral continuo, la moda se toma como el punto medio del intervalo de datos con la frecuencia más alta. Para algunas distribuciones (v. gr., distribución uniforme), puede no existir la moda, mientras que para otras distribuciones (v. gr., distribución bimodal) puede haber más de una frecuencia pico y más de una moda. Para una que tenga más de una moda, las frecuencias de ocurrencia de cada moda no requieren ser las mismas. Aunque es común para la media, la mediana y la moda tener valores muy cercanos, en algunas hojas de datos pueden aparecer valores significativamente diferentes.

4.2.2

Medidas de Dispersión

Dispersión es la separación o variabilidad de los datos. Las siguientes cantidades son las más utilizadas para representar la magnitud de la dispersión de variables aleatorias alrededor de su valor medio:

4.2. CONCEPTOS GENERALES

95

Tabla 4.1: Resultados de 60 mediciones de la temperatura en un ducto Número de Temperarura lecturas [◦ C] 1 1089 1 1092 2 1094 4 1095 8 1098 9 1100 12 1104 4 1105 5 1107 5 1108 4 1110 3 1112 2 1113 • La desviación de cada medida se define como . di = xi − x ¯

(4.2.3)

• La desviación media se define como n

. X |di | d¯ = n

(4.2.4)

i=1

• La desviación estándar de la población, para una población con un número finito de elementos, se define como v uN X (xi − x ¯)2 . u σ=t (4.2.5) N i=1

La desviación estándar muestral, se define como v u n X (xi − x ¯)2 . u S=t n−1

(4.2.6)

i=1

La desviación estándar muestral se usa cuando los datos de una muestra se utilizan para estimar la desviación estándar de la población.

96

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla 4.2: Medidas de la temperatura arregladas en intervalos. Intervalo Número de [◦ C] medidas 1085 ≤ T < 1090 1 1090 ≤ T < 1095 3 1095 ≤ T < 1100 12 1100 ≤ T < 1105 21 1105 ≤ T < 1110 14 1110 ≤ T < 1115 7 1115 ≤ T < 1120 2 La varianza se define como varianza =

½

σ2 S2

para la población para una muestra

(4.2.7)

Ejemplo 5 En la Tabla 4.1 se dan los resultados de las mediciones de la temperatura tomadas en un ducto de gas recalentado. Encontrar los valores correspondientes a los parámetros media, mediana, desviación estándar, varianza y moda. Sol. En la Tabla 4.2 se muestran los datos arreglados para intervalos de temperatura. Para las mediciones de temperatura de la Tabla 4.1 los resultados son Media x ¯ = 1103◦ C Mediana xm = 1104◦ C Desviación estándar S = 5.79◦ C Varianza S 2 = 33.49◦ C 2 Moda m = 1104◦ C

4.3

Probabilidad

La probabilidad es un valor numérico que expresa la posibilidad de ocurrencia de un evento relativo a todas las posibilidades en un espacio muestral. La probabilidad de ocurrencia de un evento A se define como el número de ocurrencias exitosas (m) dividido por el número total de resultados (n) en un espacio muestral, evaluada para n À 1. Entonces m (4.3.1) n El evento puede ser representado por una variable aleatoria continua x, en cuyo caso la probabilidad será representada por P (x). Para una variable aleatoria discreta xi , la probabilidad se representa por P (xi ). Las siguientes son algunas propiedades asociadas con la probabilidad: Probabilidad de un evento A =

4.3. PROBABILIDAD

97

1. La probabilidad siempre es un número positivo con un valor máximo de 1, =⇒ 0 ≤ P (x) ó P (xi ) ≤ 1. 2. Si un evento A tiene certeza de ocurrir, P (A) = 1. 3. Si un evento A tiene certeza de no ocurrir, P (A) = 0. 4. Si el evento A¯ es el complemento del evento A, entonces ¯ = 1 − P (A) P (A)

(4.3.2)

5. Si los eventoa A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia de A o B es P (A Y B) = P (A) + P (B) (4.3.3) 6. Si los eventos A y B son independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran simultáneamente es P (A ∩ B) = P (A) · P (B) (4.3.4) 7. La probabilidad de la ocurrencia de A o B o ambos es P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) 8. La suma de las probabilidades de todos los valores posibles de x es 1 n X

P (xi ) = 1

(4.3.5)

i=1

9. La media de la población para una variable aleatoria discreta, llamada también el valor esperado (esperanza) de x, E(x), está dada por: μ=

n X

xi P (xi ) = E(x)

(4.3.6)

i=1

10. La varianza de la población está dada por σ2 =

n X (xi − μ)2 P (xi ) i=1

(4.3.7)

98

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

4.3.1

Función Densidad de Probabilidad

Para una variable aleatoria continua, una función f (x), llamada función densidad de probabilidad, se define tal que la probabilidad de la ocurrencia de la variable aleatoria en un intervalo entre xi y xi + dx está dado por f (xi )dx = P (xi ≤ x ≤ xi + dx)

(4.3.8)

Para evaluar la probabilidad de que x ocurrirá en un intervalo finito desde x = a hasta x = b, se puede integrar la ecuación (4.3.8) para obtener P (a ≤ x ≤ b) =

Z

b

f (x)dx

(4.3.9)

a

Para una variable aleatoria continua, la probabilidad de que x tenga un valor simple único, es cero. Si los límites de intregración se extienden desde −∞ hasta +∞, se puede asegurar que la medición está en el rango y la probabilidad será P (−∞ ≤ x ≤ ∞) = 1. La definición de f (x) permite ahora establecer la media de una población con función densidad de probabilidad f (x): Z ∞ xf (x)dx (4.3.10) E(x) = μ = −∞

Este también es el valor esperado (esperanza), E(x) de la variable aleatoria, el cual a veces se denomina primer momento. La varianza de la población está dada por σ2 =

Z

∞

−∞

(x − μ)2 f (x)dx

(4.3.11)

La cual también se conoce como segundo momento. Ejemplo 6 La vida de un cierto tipo de rodamiento puede caracterizarse por una función de distribución de probabilidad de ½ 0 x < 10h f (x) = 200 x > 10h x3 f (x) se muestra en la Fig. 4.1. (a) Calcular la esperanza de vida de los rodamientos. (b) Si se toma un rodamiento de la línea de producción, ¿cuál es la probabilidad que su vida ( x) sea menor que 20h, mayor que 20h y, finalmente, 20h?

4.3. PROBABILIDAD

99 0.2

0.1

0 0

12.5

25

37.5 h

Figura 4.1: Función distribución de probabilidad. Sol. (a) Usando la ecuación (4.3.10), E(x) = μ =

Z

∞

xf (x)dx =

10

Z

∞

10

Las probabilidades requeridas están dadas por P (x < 20) =

Z

20

f (x)dx =

−∞

Z

¯ 200 200 ¯¯∞ x 3 dx = − = 20h x x ¯10 10

0dx +

−∞

Z

20

10

P (x > 20) = 1 − P (x ≤ 20) = 0.25

200 dx = 0.75 x3

P (x = 20) = 0

4.3.2

Función de Distribución Acumulativa

La función de distribución acumulativa es otro método para presentar datos para la distribución de una variable aleatoria. Esta se utiliza para determinar la probabilidad que una variable aleatoria tenga un valor menor que o igual que un valor específico. La función distribución acumulativa para una variable aleatoria continua (rv) se define como Z ∞ f (x)dx = P (rv ≤ x) (4.3.12) F (rv ≤ x) = F (x) = −∞

Para una variable aleatoria discreta, ésta se define como F (rv ≤ xi ) =

i X j=1

P (xi )

(4.3.13)

100

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Las siguientes relaciones resultan de la definición de la función distribución acumulativa: P (a < x ≤ b) = F (b) − F (a)

(4.3.14)

P (x > a) = 1 − F (a)

El uso de la función acumulativa se demuestra en el siguiente Ejemplo 7 Encontrar la probabilidad que el tiempo de vida de uno de los rodamientos del ejemplo anterior sea menor que (a) 15 horas y (b) 20 horas, usando la función de distribución acumulativa. Sol. (a) Usando la ecuación (4.3.12) se obtiene para la función de distribución acumulativa (la respuesta gráfica se puede ver en la Fig. 4.2) Z x Z x f (x)dx = 0dx = 0 para x ≤ 10 F (x) = −∞ −∞ Z x 200 100 = 0+ dx = 1 − 2 para x > 10 3 x x 10 y

1

0.75

0.5

0.25

0 0

12.5

25

37.5

50 x

Figura 4.2: Función de distribución acumulativa.

4.3.3

Función de Distribución Binomial

La distribución binomial está definida para variables aleatorias discretas que pueden tener solamente dos resultados posibles éxito o falla. Esta distribución tiene aplicación en control de calidad de la producción, cuando la calidad de un producto es o aceptable o inaceptable. Las siguientes condiciones deberán ser satisfechas para que la distribución binomial pueda ser aplicable a un cierto experimento:

4.3. PROBABILIDAD

101

1. Cada ensayo en el experimento puede tener solamente dos posibles resultados, éxito o falla. 2. La probabilidad de éxito permanece constante a través del experimento. Esta probabilidad se denota por p y usualmente se conoce o se estima para una población dada. 3. El experimento consiste de n ensayos independientes. La distribución binomial proporciona la probabilidad P de encontrar exactamente r éxitos en un total de n ensayos y se expresa como µ ¶ n! n r n−r p (1 − p) = pr (1 − p)n−r (4.3.15) P (r) = r r!(n − r)! El número éxitos esperado en n pruebas para una distribución binomial es μ = np La desviación estándar de una distribución binomial es p σ = np(1 − p)

(4.3.16)

(4.3.17)

Ejemplo 8 Un fabricante de una cierta marca de computadores afirma que sus computadores son con-fiables y que solamente el 10% de las máquinas requiere reparación durante el período de garantía. Determinar la probabilidad de que en una producción de 20 computadores, 5 requieren reparación en el período de garantía. Sol: Se puede aplicar distribución binomial debido al resultado de aprobado/fallado del proceso. se definirá éxito como no requiere reparación en el tiempo de garantía, en este caso, de acuerdo a las pruebas del fabricante, p = 0.9. Otras suposiciones para la aplicación de esta distribución son que todos los ensayos son independientes y que las probabilidades de éxito y fallo son las mismas para todos los computadores. El problema consiste en determinar la probabilidad P de tener 15 éxitos r de todas las 20 máquinas n. µ ¶ 20 P = 0.915 (1 − 0.9)5 = 0.032 15 La conclusión aquí es que hay una pequeña posibilidad (3.2%) de que haya exactamente 5 computadores para reparación de los 20 dados. Ejemplo 9 Un fabricante de bombillas ha descubierto que para una producción dada, el 10% de las bombillas es defectuoso. Si se compran 4 de estas bombillas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar que las cuatro, tres, dos, una y ninguna de las bombillas sea defectuosa?

102

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Sol. De nuevo se puede usar la distribución binomial. El número de ensayos es 4 y si se define éxito como falla de bombilla p = 0.1. La probabilidad de tener cuatro, tres, dos, uno y cero bombillas defectuosas se puede calcular usando la ecuación (4.3.15). Entonces µ ¶ 4 P (r = 4) = 0.14 (1 − 0.1)4−4 = 0.0001 = 0.01% 4 µ ¶ 4 P (r = 3) = 0.13 (1 − 0.1)4−3 = 0.0036 = 0.36% 3 µ ¶ 4 P (r = 2) = 0.12 (1 − 0.1)4−2 = 0.0486 = 4.86% 2 µ ¶ 4 P (r = 1) = 0.11 (1 − 0.1)4−1 = 0.2916 = 29.16% 1 µ ¶ 4 P (r = 0) = 0.10 (1 − 0.1)4−0 = 0.6561 = 65.61% 0 La probabilidad total de todos los cinco resultados posibles es P = P (r = 4) + P (r = 3) + P (r = 2) + P (r = 1) + P (r = 0) ∼ =1

4.3.4

Función de distribución de Poisson

Definición 3 Sea x una variable aleatoria que toma los valores posibles 0, 1, . . . , n. Si P (x = k) =

e−α αk , k!

k = 0, 1, . . . , n

(4.3.18)

se dice que x tiene una distribución de Poisson con parámetro α > 0. Teorema 1 Si x tiene una distribución de Poisson con parámetro α, entonces E(x) = α y S(x) = α Prueba.

∞ −α k X e α

E(x) =

k!

k=0

haciendo λ = k − 1, se encuentra E(x) =

∞ −α λ+1 X e α λ=0

De igual manera, 2

E(x ) =

λ!

∞ X e−α αk = (k − 1)!

=α

∞ X k2 e−α αk k=0

k!

k=1

∞ −α λ X e α k=1

=

λ!

=α

∞ X ke−α αk k=1

(k − 1)!

4.3. PROBABILIDAD

103

Procediendo como antes ∞ ∞ ∞ −α λ X X X e α e−α αλ+1 e−α αλ =α +α = α2 + α E(x ) = (λ + 1) λ λ! λ! λ! 2

λ=0

λ=0

λ=0

Puesto que la primera suma representa E(x) mientras que la segunda suma es igual a uno. Luego S(x) = E(x2 ) − (E(x))2 = α2 + α − α2 = α Nótese esta propiedad de la variable aleatoria de Poisson: su esperanza es igual a su varianza. Existen tablas disponibles para la distribución de Poisson [19].

4.3.5

Función de Distribución Gaussiana

La función de distribución normal (Gaussiana) es una función simple de distribución, la cual es útil para un número grande de problemas comunes que involucran variables aleatorias continuas. La distribución normal se ha utilizado para describir la dispersión de los datos en las mediciones en las cuales la variación en el valor medido se deben totalmente a factores aleatorios, y la ocurrencia de desviaciones tanto positivas como negativas son igualmente probables. La función densidad de probabilidad normal está dada por µ ¶ (x − μ)2 1 (4.3.19) f (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π En esta ecuación x es la variable aleatoria. La función tiene dos parámetros, la dsviación estándar de la población, σ, y la media de la población, μ. Un gráfico de f (x) vs x para valores diferentes de σ (0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0) y un valor fijo de μ (2) se muestra en la Fig. 4.3. Como se ve en la figura, la distribución es simétrica alrededor del valor medio, y la menor de las desviaciones estándar es el valor de pico más alto de en la función.

4.3.6

Propiedades de la distribución normal

1. Sea f (x) unaR función densidad de probabilidad. Evidentemente, f (x) ≥ 0. Se debe +∞ verificar que −∞ f (x)dx = 1. Demostración. Haciendo

u= se puede escribir 1 I=√ 2π

Z

x−μ σ

+∞

−∞

µ 2¶ u exp − du 2

(4.3.20)

104

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES 1

0.75

0.5

0.25

0 0

1.25

2.5

3.75

5

x

Figura 4.3: Función de distribución normal para el caso donde μ = 2, σ = 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0. Para calcular esta integral, primero se toma el cuadrado de I, es decir, µ 2¶ µ 2¶ Z +∞ Z +∞ 1 1 u v 2 du √ dv I = √ exp − exp − 2 2 2π −∞ 2π −∞ ¶ µ 2 Z +∞ Z +∞ 1 u + v2 = dudv exp − 2π −∞ −∞ 2

(4.3.21)

Introduciendo coordenadas polares: u = r cos θ,

v = r sen θ

(4.3.22)

se tendrá como elemento de área: dudv = rdrdθ

(4.3.23)

Cuando u y v varían entre −∞ y +∞, r variará entre 0 y +∞ y θ lo hará entre 0 y 2π. Luego µ 2¶ Z 2π Z +∞ 1 r 2 rdrdθ r exp − I = 2π 0 2 0 ¯ Z 2π 2 ¯∞ 1 − r2 ¯ −e = ¯ dθ 2π 0 0 Z 2π 1 = dθ = 1 2π 0 Por lo tanto I = 1, lo cual se quería demostrar. 2. Considérese la forma del gráfico de f (x). Éste tiene la forma de campana indicada en la Fig. 4.3. Puesto que f˙(x) depende sólo de x mediante la expresión (x − μ)2 , es evidente

4.3. PROBABILIDAD

105

que el gráfico de f (x) será simétrico respecto a μ. El parámetro σ puede interpretarse geométricamente. Obsérvese que para x = μ, el gráfico de f (x) es cóncavo hacia abajo. Cuando x −→ ±∞, f (x) −→ 0, asintóticamente. Puesto que f (x) ≥ 0 para todo x, esto significa que para grandes valores de x (positivos o negativos), el gráfico de f (x) será cóncavo hacia arriba, teniendo los puntos de inflexión en x = μ ± σ. Esto es, σ unidades a la derecha y a la izquierda de μ el gráfico de f (x) cambia de concavidad. Así, si σ es relativamente grande, el gráfico de f (x), tiende a ser ‹‹achatado››, mientras que si σ es pequeño el gráfico de f (x) tiende a ser ‹‹aguzado›› (ver Fig. 4.3). 3. De acuerdo a la definición de función densidad de probabilidad en la ecuación (4.3.9), para una población dada, la probabilidad de tener un valor simple de x entre un límite inferior x1 y un límite superior x2 es µ ¶ Z x2 Z x2 1 (x − μ)2 P (x1 ≤ x ≤ x2 ) = f (x)dx = √ exp − dx (4.3.24) 2σ 2 σ 2π x1 x1 Puesto que f (x) está en la forma de una función de error, la integral anterior no puede ser evaluada analíticamente, por lo que la integración debe hacerse numéricamente. Para simplificar el proceso de integración numérica, se modifica el integrando con un cambio de variable de modo que la integral evaluada numéricamente es general y útil para todos los problemas. Una variable adimensional z se define como z=

x−μ σ

(4.3.25)

Ahora es posible definir la función z2 1 f (z) = √ e− 2 2π

(4.3.26)

la cual se denomina función de densidad normal estándar. Ella representa la función de densidad de probabilidad normal para una variable aleatoria z con media μ = 0 y σ = 1. Esta función normalizada se muestra en la Fig. 4.4. Tomando la diferencial de la ecuación (4.3.25), dx = σdz. la ecuación (4.3.24) entonces se transformará a µ 2¶ Z z2 Z z2 1 z dz (4.3.27) f (z)dz = √ exp − P (x1 ≤ x ≤ x2 ) = 2 2π z1 z1 La probabilidad de que x esté entre x1 y x2 es la misma de que la variable transformada z esté entre z1 y z2 P (x1 ≤ x ≤ x2 ) = P (z1 ≤ z ≤ z2 ) = P (

x−μ x2 − μ x1 − μ ≤ ≤ ) σ σ σ

(4.3.28)

La probabilidad P (z1 ≤ z ≤ z2 ) tiene un valor igual al área demarcada como (z1 y z2) en la Fig. 4.4. La curva mostrada en la figura es simétrica con respecto al eje vertical en

106

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES z = 0, lo cual indica que con esta distribución, las probabilidades de desviaciones positivas y negativas desde z = 0 son iguales. Matemáticamente se tiene P (−z1 ≤ z ≤ 0) = P (0 ≤ z ≤ z1 ) =

P (−z1 ≤ z ≤ z2 ) 2

(4.3.29)

Como se mencionó, la integral en la ecuación (4.3.24) tiene dos parámetros (μ y σ) y

0.4

0.3

0.2

0.1

0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5

z1 z z2

Figura 4.4: Función de distribución normal estándar. deberá ser integrado numéricamente para cada aplicación. El término α es igual a la suma de las áreas de las colas de la derecha y de la izquierda en la Fig. 4.4. Estos conceptos pueden ser reestablecidos como P [−zα/2 ≤ z ≤ zα/2 ] = 1 − α Sustituyendo para z, se obtiene ¸ ∙ ¸ ∙ σ σ x ¯−μ ¯ + zα/2 √ ¯ − zα/2 √ ≤ μ ≤ x =1−α P −zα/2 ≤ √ ≤ zα/2 = P x σ/ n n n puede también plantearse que

σ μ=x ¯ ± zα/2 √ n

con un nivel de confianza de 1 − α. 4. Considérese 1 E(x) = √ 2πσ

Z

+∞

−∞

µ ¶ (x − μ)2 x exp − dx 2

(4.3.30)

(4.3.31)

(4.3.32)

4.3. PROBABILIDAD

107

Haciendo, como antes, z = x−μ σ , se obtiene µ 2¶ Z +∞ 1 z E(x) = √ dz (σz + μ) exp − 2 2π −∞ µ 2¶ µ 2¶ Z +∞ Z +∞ 1 1 z z dz + √ μ dz = √ σ z exp − exp − 2 2 2π −∞ 2π −∞ La primera de las integrales anteriores es igual a cero puesto que el integrando, µ 2¶ Z +∞ 1 z g1 (z) = √ σ dz z exp − 2 2π −∞

(4.3.33)

(4.3.34)

tiene la propiedad de que g1 (z) = −g1 (−z), y, por lo tanto, g1 (z) es una función impar. La segunda integral µ 2¶ Z +∞ 1 z dz (4.3.35) exp − g2 (z) = √ 2 2π −∞ representa el área total bajo la función densidad de probabilidad total y, por lo tanto, es (ver el primer ítem) igual a la unidad. Luego E(x) = μ 5. Considérese 1 E(x ) = √ 2πσ 2

x−μ σ ,

Z

+∞

−∞

¶ µ (x − μ)2 dx x exp − 2 2

se obtiene µ 2¶ Z +∞ 1 z 2 2 dz (σz + μ) exp − E(x ) = √ 2 2π −∞ Z +∞ Z −z 2 1 2μσ +∞ −z2 = √ σ 2 z 2 e 2 dz + √ ze 2 dz + 2π −∞ 2π −∞ Z +∞ −z 2 μ2 e 2 dz +√ 2π −∞

Haciendo nuevamente z =

(4.3.36)

(4.3.37)

-La segunda integral nuevamente es igual a cero por el argumento usado anteriormente. La última integral (sin el factor μ2 ) es igual a la unidad. Para calcular la primera integral 2 R +∞ 2 go (z) = √σ2π −∞ z 2 e−z /2 dz, se integra por partes, obteniéndose σ2 go (z) = √ 2π

Luego

Z

+∞

−∞

z 2 e−z

2 /2

Z +∞ ¯+∞ σ2 σ2 2 2 ¯ dz = − √ ze−z /2 ¯ +√ e−z /2 dz = 0 + σ 2 −∞ 2π 2π −∞ E(x2 ) = σ 2 + μ2

108

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES y por lo tanto S(x) = E(x2 ) − (E(x))2 = σ 2 Así se encuentra que los dos parámetros μ y σ 2 que caracterizan la distribución normal son la esperanza y la varianza de x, respectivamente. En otros términos, si se sabe que x está distribuido normalmente, sólo se sabe que su distribución de probabilidades es de cierto tipo. Si además, se conoce E(x) y S(x), la distribución de x está completamente especificada.

4.3.7

La función de distribución Gamma

Antes de definir la función de distribución gamma, se debe realizar antes la siguiente Definición 4 La función gamma denotada por Γ se define como Z ∞ Γ(p) = xp−1 e−x dx, para p > 0

(4.3.38)

0

Si se integra por partes (haciendo u = xp−1 y dv = e−x dx), se obtiene: Z ∞ ¯ −x p−1 ¯∞ Γ(p) = −e x + (p − 1)xp−2 e−x dx 0 Z ∞ 0 = 0 + (p − 1) xp−2 e−x dx 0

= (p − 1)Γ(p − 1)

(4.3.39)

Se ve que la función gamma sigue una relación recursiva. Suponiendo que p es un entero positivo, haciendo p = n y aplicando la ec (4.3.39) repetidamente se obtiene: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1)

= (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)

Sin embargo, Γ(1) =

R∞ 0

= (n − 1)(n − 2) · · · Γ(1) e−x dx = 1, por lo tanto se obtiene Γ(n) = (n − 1)!

(4.3.40)

Si n es un entero positivo. Ejercicio 1 Verificar que Γ( 12 ) =

Z

0

∞

x−1/2 e−x dx =

√ π

(4.3.41)

4.3. PROBABILIDAD

109

Sol. Haciendo cambio de variable x = − 12

x Γ( 12 ) =

Z

∞

=

µ

u2 2

¶− 12

x−1/2 e−x dx =

0

Z

u2 2

=

y sustituyendo en (4.3.41) se obtiene

√ −1 2u

∞√

2u−1 e−

dx = udu u2 2

udu =

0

√ Z 2

∞

e−

u2 2

du

(4.3.42)

0

De las propiedades de la distribución normal se puede ver que r r Z ∞ 2 π π − u2 I= e du = 2 2 0

(4.3.43)

Sustituyendo (4.3.43) en (4.3.42) se llega al resultado de la ecuación (4.3.41). Con la ayuda de la función gamma se puede presentar ahora la distribución gamma de probabilidades. Definición 5 Sea x una variable aleatoria continua que toma siempre valores no negativos. Se dice que x tiene una distribución de probabilidades gamma si su función densidad de probabilidad está dada por α (αx)r−1 e−αx , para x > 0 Γ(r) = 0, para otro valor

f (x) =

(4.3.44) (4.3.45)

Esta distribución depende de dos parámetros, r > 0 y α > 0. La Fig. 4.5 muestra el gráfico de la ecuación (4.3.44) para diversos valores de r con α = 1 (color negro) y α = 12 (color azul). y

1

0.75

0.5

0.25

0 0

2.5

5

7.5

10 x

Figura 4.5: Gráfico de la función gamma para diferentes valores de los parámetros r y α.

110

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

4.3.8

Propiedades de la función gamma

• Si r = 1, la ecuación (4.3.44) se transforma en f (x) = αe−αx , la cual se denomina distribución exponencial la cual aparece como un caso especial de la distribución gamma. • En la mayoría de las aplicaciones a probabilidades, el parámetro r será un entero positivo. En este caso, existe una relación entre la función de distribución acumulativa de la función gamma y la distribución conocida como de Poisson, la cual se expondrá en seguida. Considerando la integral I=

Z

a

∞

y r e−y dy r!

R∞ en donde r es un entero positivo y a > 0. Luego, r!I = a y r e−y dy. Integrando por partes haciendo u = y r y dv = e−y dy, se obtiene Z ∞ r!I = e−a ar + r yr−1 e−y dy a

La integral en esta expresión es exactamente de la misma forma que la integral original con la sustitución de r por r − 1. Así, al continuar integrando por partes, se obtiene £ ¤ r!I = e−a ar + rar−1 + r(r − 1)ar−2 + · · · + r!

Por tanto

I = e−a I = e−a

¸ ar ar−1 a2 + + ··· + +a+1 r! (r − 1)! 21 r r X ak X = P (y = k) k!

∙

ki=0

i=0

en donde y tiene una distribución de Poisson con parámetro α.

4.3.9

Función de distribución t

La forma funcional de la distribución t está dada por [18] f (t, ν) =

Γ( ν+1 2 ) ³ √ νπΓ( ν2 ) 1 +

t2 ν

´ ν+1

(4.3.46)

2

donde Γ(x) es la función matemática conocida como función gamma. La Fig. 5.2.16 muestra la distribución t Student para diferentes valores de los grados de libertad ν. Como en la distribución normal, éstas son curvas simétricas. Cuando el número de muestras se incrementa, la distribución

4.3. PROBABILIDAD

111 y

0.4

0.3

0.2

0.1

0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5 x

Figura 4.6: Función densidad de probabilidad usando la distribuci ón t Student. t tiende a la distribución normal. La distribución t puede ser utilizada para estimar el intervalo de confianza del valor medio de una muestra con cierto nivel de confianza para tamaños pequeños de la muestra (menores que 30). La probabilidad de que t caiga entre −tα/2 y tα/2 es entonces 1 − α. Esto puede establecerse como P [−tα/2 ≤ t ≤ tα/2 ] = 1 − α

(4.3.47)

Sustituyendo para t, se obtiene ∙ ¸ ∙ ¸ S S x ¯−μ P −tα/2 ≤ √ ≤ tα/2 = P x ¯ − tα/2 √ ≤ μ ≤ x ¯ + tα/2 √ =1−α S/ n n n

(4.3.48)

puede también plantearse que S μ=x ¯ ± tα/2 √ n

(4.3.49)

con un nivel de confianza de 1 − α. puesto que tablas completas de la distribución t podrían resultar voluminosas, es práctica común especificar solamente los valores críticos de t que son funciones de ν y α. Estos son los valores que se requieren para las ecuaciones (4.3.48) y (4.3.49). La Tabla 4.3 presenta estos valores críticos de t Ejemplo 10 Un fabricante de circuitos integrados (CI) desea estimar el tiempo de falla media de un CI con un 95% de confianza. Se han probado seis sistemas y se han obtenido los siguientes datos (tiempo de operación en horas): 1250, 1320, 1542, 1464, 1275, 1383. Estimar la media y el 95% de intervalo de confianza sobre la media.

112

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Tabla 4.3: Valores críticos de la distribución t Student α/2 ν 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 1 3.078 6.314 12.706 31.823 63.658 2 1.886 2.920 4.303 6.964 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.054 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131. 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 ∞ 1.283 1.645 1.960 2.326 2.576

4.3. PROBABILIDAD

113

Sol. Puesto que el número de muestras es n < 30, se puede utilizar la distribución t para estimar el intervalo de confianza. Primero se calcula la media y la desviación estándar de los datos 1 x ¯ = × (1250 + 1320 + 1542 + 1464 + 1275 + 1383) = 1372.3 h 6 #1/2 " 5 1 X S= (xi − x ¯) = 114 h 5 i=1

El 95% de confianza corresponde a α = 0.05. De la Tabla 4.3, para ν = n − 1 = 5 y α/2 = 0.025, tα/2 = 2.571. Usando la ecuación (4.3.49) y un intervalo de confianza de 95%, el tiempo medio de falla será S 114 μ=x ¯ ± tα/2 √ = 1372 ± 2.571 × √ = 1372 ± 120 h n 6 Se debe notar que si se incrementa el nivel de confianza, el intervalo estimado también se incrementará y viceversa. Ejemplo 11 En el ejemplo anterior, reducir el intervalo de confianza de 95% a ±50 h. Determinar cuantos CI adicionales deberán ser ensayados en este caso. Sol. puesto que no se conoce el número de muestras no se puede seleccionar la curva de distribución t apropiada. De aquí que el proceso de solución se debe realizar por ensayo y error. Para obtener el primer estimativo del número de muestras n, se asume que n > 30, de modo que se pueda utilizar la distribución normal Entonces se puede aplicar la ecuación (4.3.32) y el intervalo de confianza será σ ¯ ± 50 μ=x ¯ ± zα/2 √ = μ = x n de modo que ³ σ σ ´2 zα/2 √ = 50 y n = zα/2 50 n

Para un nivel de confianza de 95%, α/2 = 0.025. Usando la distribuciónnormal estándar, se encuentra que z0.025 = 1.96. Usando S = 114 (del ejemplo anterior) como un estimativo para σ, se obtiene un primer estimativo de n: µ ¶ 114 2 n = 1.96 × = 20 50

Puesto que n < 30, se puede utilizar la distribución t en lugar de la distribución normal. Se puede usar n = 20 para el siguiente ensayo. Para ν = n − 1 = 19 y α/2 = 0.025, de la Tabla 4.3 se obtiene t = 2.093. Este valor de t se puede utilizar con la ecuación (4.3.49) para estimar un nuevo valor de n: S ¯ ± 50 μ=x ¯ ± tα/2 √ = x n

114

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES S tα/2 √ = 50 n µ µ ¶2 ¶ 114 2 S n = tα/2 = 2.093 = 23 50 50

Se puede usar este número como un valor de ensayo y recalcular n, pero resultará siendo el mismo. Nótese que con pruebas adicionales, el valor promedio de la muestra, x ¯, también puede cambiar.

4.4 4.4.1

Estimación de Parámetros Estimación del Intervalo de la Media de la Población

Se desea hacer un estimativo de la media de la población la cual toma la forma μ=x ¯±δ

ó

x ¯−δ ≤μ≤ x ¯+δ

(4.4.1)

donde δ es la incertidumbre y x ¯ es la media muestral. El intervalo x ¯ − δ hasta x ¯ + δ se denomina intervalo de confianza de la media. Sin embargo, el intervalo de confianza depende de un concepto llamado el nivel de confianza, algunas veces llamado grado de confianza. El nivel de confianza es la probabilidad de que la media de la población caerá entre el intervalo especificado: Nivel de confianza = P (¯ x−δ ≤μ≤x ¯ + δ)

(4.4.2)

El nivel de confianza está normalmente expresado en términos de una variable α llamada nivel de significancia: Nivel de confianza = 1 − α (4.4.3) α es entonces, la probabilidad de que la media caerá fuera del intervalo de confianza. El teorema del límite central hace posible realizar un estimativo del intervalo de confianza con un adecuado nivel de confianza. Considérese una población de la variable aleatoria x con un valor medio μ y una desviación estándar σ. De esta población se podría tomar varias muestras diferentes cada una de tamaño n. Cada una de estas muestras podría tener un valor medio x ¯i , pero no se podría esperar que cada una de estas medias tenga el mismo valor. En efecto, los x ¯i son valores de una variable aleatoria. El teorema del límite central establece que si n es suficientemente grande, los x ¯i tienden a una distribución normal y la desviación estándar de estas medias estará dada por σ (4.4.4) σ x¯ = √ n La población no necesita estar distribuida normalmente para que las medias estén distribuidas normalmente. La desviación estándar de la media también se denomina error estándar de la media. Para que se pueda aplicar el teorema del límite central, el tamaño n de la muestra,

4.4. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

115

debe ser grande. En la mayoría de los casos, el valor de n debe ser superior a 30, para que sea considerado grande. Del teorema de límite central se pueden establecer las siguientes conclusiones: • Si la población original es normal, la distribución para los x ¯i será normal. • Si la población original es no normal y n es grande (n > 30), la distribución para los x ¯i será normal • Si la población original es no normal y si n < 30, los x ¯i seguirán una distribución normal sólo en forma aproximada. Si el tamaño de la muestra es grande, se puede usar directamente el teorema del límite central para hacer un estimado del intervalo de confianza. Puesto que x ¯ está distribuido normalmente, se puede usar el valor z ecuación (4.3.25): z=

x ¯−μ σ x¯

(4.4.5)

y usar la función de distribución normal estándar para estimar el intervalo de confianza sobre z. σ es la desviación estándar de la población la cual, en general, no se conoce. Sin embargo, para un tamaño grande de muestras, la desviación estándar de muestras, S, puede usarse como una aproximación de σ.

4.4.2

Estimación del Intervalo de la Varianza de la Población

En muchas situaciones la variabilidad de la variable aleatoria es tan importante como su valor medio. La mejor estimación de la varianza de la población, σ 2 , es la varianza muestral, S 2 . Como para la media de la población, es también necesario establecer un intervalo de confianza para la varianza estimada. Para poblaciones distribuidas normalmente, se usa la función χ2 para el propósito de establecer un intervalo de confianza. Considérese una variable aleatoria x con valor medio de población μ y desviación estándar σ. Si se asume que x ¯ = μ, la ecuacióm (4.2.5) se puede escribir como n 1 X 2 S = (xi − μ)2 (4.4.6) n−1 i=1

la función

χ2

se define como

n 1 X (xi − μ)2 χ = 2 σ 2

(4.4.7)

i=1

Combinando las ecuaciones (4.4.6) y (4.4.7), se obtiene χ2 = (n − 1)

S2 σ2

(4.4.8)

116

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES La función densidad de probabilidad par auna población distribuida normalmente está dada

por 2 /2

(χ2 )(ν−2)/2 e−χ f (χ ) = 2ν/2 Γ(ν/2) 2

para χ2 > 0

(4.4.9)

donde v es el número de grados de libertad y Γ es una función que se puede obtener de tablas normalizadas. En la Fig. 4.7 se muestran algunas gráficas con variación del parámetro ν. y

1

0.75

0.5

0.25

0 0

2.5

5

7.5

10 x

Figura 4.7: Distribución f (χ2 ) ≡ f (z) para algunos valores de ν. [ν = 1 (línea continua), ν = 2 (trazos), ν = 3 (puntos), ν = 5 (puntos y trazos)]. Como con otras funciones de densidad de probabilidad, la probabilidad que la variable χ2 caiga entre cualquier par de valores es igual al área bajo la curva entre esos valores (como se ilustra en la Fig. 4.8).En forma de ecuación, esto es P (χ2ν,1−α/2 ≤ χ2 ≤ χ2ν,α/2 ) = 1 − α

(4.4.10)

α es el nivel de significancia como se definió antes y es igual a (1−nivel de confianza). Sustituyendo para χ2 en la ecuación (4.4.8), se obtiene ¸ ∙ S2 2 2 (4.4.11) P χν,1−α/2 ≤ (n − 1) 2 ≤ χν,α/2 = 1 − α σ Puesto que χ2 es siempre positivo, esta ecuación puede arreglarse de modo que se pueda dar un intervalo de confianza sobre la varianza de la población (n − 1)S 2 (n − 1)S 2 2 ≤ σ ≤ χ2ν,α/2 χ2ν,1−α/2

(4.4.12)

4.4. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS y

117

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

2.5

5

7.5

10 x

Figura 4.8: Intervalo de confianza para la distribución chi—cuadrado. En la ecuación (4.4.11), α es el área total de los extremos mostrados en la Fig. 4.8, de modo que cada extremo (cola) tiene un área de α/2.

4.4.3

Criterio para el rechazo de datos dudosos

En algunos experimentos sucede que uno o más valores medidos aparecen por fuera de línea con el resto de datos. Si se puede detectar alguna falla clara en la medición de aquellos valores específicos, éstos se pueden descartar. Pero a veces es difícil detectar estos datos erroneos. Existe un número de métodos estadísticos para el rechazo de estos valores. Las bases de estos métodos es eliminar los valores que tienen baja probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, los valores de los datos que se desvían de la media por más de dos o por más de tres en la desviación estándar deberán ser rechazados. Se ha encontrado que el criterio de rechazo denominado sigma—dos y sigma—tres debe modificarse para tener en cuenta el tamaño de la muestra. Más aún, dependiendo del tipo de criterio de rechazo que se emplee, podrían eliminarse datos buenos e incluírse datos malos. El método recomendado en el documento de ANSI/ASME, 86 [1] es la técnica de Thompson τ modificada. En este método, si se tienen n medidas con una media x ¯ y una desviación estándar S, se pueden arreglar los datos en orden ascendente x1 , x2 , . . . , xn . Los valores extremos (el más alto y el más bajo) son candidatos a rechazo. Para estos puntos descartables, la desviación, δ, se calcula como ¯| δ i = |xi − x

(4.4.13)

y se selecciona el valor más grande. El siguiente paso es encontrar un valor de τ de la Tabla 4.4.

118

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Tabla 4.4: Valores de los coeficientes de Thompson. Según: ANSI/ASME—86 n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

τ 1.150 1.393 1.572 1.656 1.711 1.749 1.777 1.798 1.815 1.829

n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

τ 1.840 1.849 1.858 1.865 1.871 1.876 1.881 1.885 1.889 1.893

n 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

τ 1.896 1.899 1.902 1.904 1.906 1.908 1.910 1.911 1.913 1.914

n 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

τ 1.916 1.917 1.919 1.920 1.921 1.922 1.923 1.924 1.925 1.926

El valor más grande de δ i se debe comparar con el producto de τ y la desviación estádar, S. Si δ > τS

(4.4.14)

los valores de los datos se pueden rechazar. De acuerdo a este método, sólo el valor de un dato deberá ser eliminado. Se deberá recalcular la media y la desviación estándar de lo datos restantes y repetirse el proceso. Se deberá repetir el proceso hasta que ningún dato deba ser eliminado. Ejemplo 12 Se tomaron nueve medidas de tensión en un circuito eléctrico obteniéndose los siguientes datos: 12.02, 12.05, 11.96, 11.99, 12.10, 12.03, 12.00, 11.95, 12.16 V. Determine si algún dato tomado debe ser rechazado. Sol. Para los nueve valores anteriores, V¯ = 12.03V y S = 0.07.Utilizando la prueba deThompson se obtiene: ¯ ¯ δ 1 = ¯Vm´ax − V¯ ¯ = |12.16 − 12.03| = 0.13 ¯ ¯ δ 2 = ¯Vm´ın − V¯ ¯ = |11.95 − 12.03| = 0.08

Usando la Tabla 4.4 para n = 9, τ = 1.777. Entonces τ S = 1.777 × 0.07 = 0.124. Puesto que δ 1 = 0.13 > τ S = 0.124, deberá ser rechazado. Ahora deberá recalcularse S y V¯ , lo cual da 0.05 y 12.02, respectivamente. Para n = 8, τ = 1.749, τ S = 0.09 y ninguno de los datos restantes deberá rechazarse.

4.5

Correlación de los Datos Experimentales

La dispersión debida a errores aleatorios es una característica común de virtualmente todas las mediciones. Sin embargo, en algunos casos la dispersión puede ser tan grande que es difícil

4.5. CORRELACIÓN DE LOS DATOS EXPERIMENTALES

119

detectar una tendencia. Considérese un experimento en el cual una variable independiente x varía sistemáticamente y entonces se mide la variable dependiente y. Se desea determinar si el valor de y depende del valor de x. Para determinar si hay dependencia entre los datos y una cierta variable, se define un parámetro estadístico llamado coeficiente de correlación el cual se puede utilizar para determinar si una tendencia aparente es verdadera o es puramente una consecuencia del azar. El coeficiente de correlación, rxy , es un número cuya magnitud puede usarse para determinar si en efecto existe una relación funcional entre dos variables medidas x y y. Si se tienen dos variables x y y y el experimento conduce a n pares de datos [(xi , yi ), i = 1, n], se define el coeficiente de correlación lineal como

rxy = ∙

n P

(xi − x ¯)(yi − y¯)

i=1 n P

(xi − x ¯)2

i=1

n P

(yi − y¯)2

i=1

¸1/2

(4.5.1)

donde x ¯ y y¯ son los valores medios de x y de y obtenidos experimentalmente y están dados por n

1X x ¯= xi n i=1

n

1X y¯ = yi n

(4.5.2)

i=1

El valor resultante de rxy caerá en el rango de −1 a +1 Un valor de +1 podría indicar una relación lineal perfecta entre las variables con una pendiente positiva (es decir, un incremento en x resulta en un incremento en y). Un valor de −1 indica una relación lineal perfecta con pendiente negativa (un incremento en x produce un decremento en y). Un valor de cero indica que no hay correlación lineal entre las variables. Aún si no hay correlación, es poco probable que rxy sea exactamente cero. Para un tamaño dado de muestras, se puede utilizar la teoría estadística para determinar si un rxy calculado tiene significado o es consecuencia del azar. Para problemas prácticos, se puede simplificar este proceso en la forma de una tabla simple. Los valores críticos de r, definidos como rt se han calculado [34] y se muestran en la Tabla 4.5. rt es función del número de muestras y del nivel de significancia, α. Los valores de r en esta tabla son los valores límites que podrían esperarse por puro azar. Por cada valor rt en la tabla hay solamente una probabilidad α de que un valor experimental de rxy sea mayor por puro azar. Inversamente, si el vaor experimental excede el valor en la tabla, se puede esperar que ese valor experimental muestre una correlación real con el nivel de confianza 1 − α. Para propósitos prácticos, se toma a menudo el nivel de confianza como 95%, el cual corresponde a un valor de α de 0.05. Para un conjunto de datos dado, se obtiene rt de la tabla y se compara con el valor calculado de los datos rxy . Si |rxy | > rt , se puede suponer que y depende de x en una manera no aleatoria y puede esperarse que una relación lineal ofrecerá alguna aproximación a la verdadera relación funcional. Un valor de |rxy | < rt implica que no se tendrá confianza en que exista una relación funcional lineal No es necesario que la relación funcional

120

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

sea realmente lineal para que se pueda calcular un coeficiente de correlación significativo. Por ejemplo, una relación funcional parabólica que muestre una pequeña dispersión en los datos puede mostrar un alto valor en el coeficiente de correlación. Por otra parte, algunas relaciones funcionales, mientras sean más fuertes (v.gr., funciones circulares multivaloradas) resultaraán en un valor muy bajo de rxy . Se deben tener otras precauciones cuando se usan coeficientes de correlación: • Un simple valor de los datos mal tomado, puede ocasionar un efecto fuerte en los valores de rxy . • También es un error concluir que un valor significativo del coeficiente de correlación implica que un cambio en una variable causa un cambio en la otra. La casualidad deberá determinarse desde otro ángulo del problema Ejemplo 13 Se sabe que los tiempos por vuelta en una carrera de automóviles dependen de la temperatura ambiente. Se tomaron en la misma pista, en diferentes carreras, para el mismo carro y con el mismo piloto, los siguientes datos: Temperatura ambiente (◦ C) Tiempo por vuelta (s)

4.4 65.3

8.3 66.5

12.8 67.3

16.7 67.8

18.9 67

31.1 66.6

¿Existe una relación lineal entre estas dos variables? Sol. Primero, se grafican los datos como en la Fig. 4.9. Mirando la gráfica, podría pensarse que hay una ligera correlación entre la temperatura ambiente y el tiempo de giro. Se calculará el coeficiente de correlación para determinar si esta correlación es real o es debida al azar. Se puede determinar este coeficiente utilizando la ecuación (4.5.1). Para ello se hacen los cálculos como se muestra en la tabla siguiente: x 65.3 66.5 67.3 67.8 67.0 P 66.6 = 400.5 x ¯ = 66.75

y 4.4 8.3 12.8 16.7 18.9 P 31.1 = 92.2 y¯ = 15.367

x−x ¯ −1.45 −0.25 0.55 1.05 0.25 −0.15

(x − x ¯)2 2.10 0.06 0.30 1.10 0.06 P 0.02 = 3.66

y − y¯ −10.967 −7.067 −2.567 1.333 3.533 15.733

(y − y¯)2 120.28 49.94 6.59 1.78 12.48 P247.53 = 438.6

(x − x ¯)(y − y¯) 15. 90 1. 77 −1. 41 1. 40 0.88 P -2. 36 = 16. 18

Ahora se puede calcular el coeficiente de correlación utilizando la ecuación (4.5.1):

4.6. AJUSTE DE CURVAS

121

Figura 4.9: Valores gráficos de los pares temperatura—tiempo.

rxy = ∙

n P

(xi − x ¯)(yi − y¯)

i=1 n P

(xi − x ¯)2

i=1

n P

(yi − y¯)2

i=1

¸1/2 =

16. 18 [3.66 ∗ 438.6]1/2

= 0.403 83

Para un nivel de confianza de 95%, α = 1 − 0.95 = 0.05. Para los seis pares de datos, de la Tabla 4.5, se obtieneun valor de rt = 0.811. Puesto que rxy < rt , se puede concluir que la aparente tendencia en los datos es probablemente causada por pura casualidad.

4.6

Ajuste de Curvas

La aplicación de técnicas numéricas en la ciencia y la ingeniería involucra con mucha frecuencia el ajuste a curvas de los datos experimentales. A continuación se estudiarán algunos métodos para ajustar datos experimentales a una curva dada siguiendo un proceso sistemático.

4.6.1

Regresión lineal

A menudo se presenta el caso en el cual un experimento produce un conjunto de puntos a partir de datos tomados a pares (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), donde las abscisas {xk } son distintas. El problema es determinar una fórmula y = f (x) que relacione estas variables. Usualmente,

122

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

se escoge una clase de fórmulas posibles y entonces se deben determinar los coeficientes. Hay muchas posibilidades diferentes que pueden utilizarse para un cierto tipo de función. Hay a menudo, un modelo matemático subyacente, basado en la situación física, que determinará la forma de la función. En esta sección se enfatizará la clase de funciones lineales de la forma: y = f (x) = Ax + B

(4.6.1)

Si se conocen todos los valores numéricos {xk }, {yk } con varios digitos significativos de precisión, entonces la interpolación polinomial se puede usar exitosamente; de otra forma no. ¿Cómo encontrar la mejor aproximación lineal de la forma de la ecuación (4.6.1) que se ajuste cercanamente a estos puntos? Para responder a esta pregunta, se requiere discutir los errores (también llamados desviaciones o residuos), es decir: ek = f (xk ) − yk

para 1 ≤ k ≤ n

(4.6.2)

Hay varias normas que pueden ser usadas con los residuos en la ecuación (4.6.2) para medir cuan cerca de la curva y = f (x) están los datos. Máximo error

E∞ (f ) = max {|f (xk ) − yk |} 1≤k≤n

(4.6.3)

n

Error promedio

E1 (f ) =

1X |f (xk ) − yk | n

(4.6.4)

!1

(4.6.5)

k=1

Error RMS

Error estádar de la estimación

E2 (f ) =

Eyx

Ã

n

1X |f (xk ) − yk |2 n k=1

2

v uP n n P P u n 2 yk − B yk − A xk yk u t k=1 k=1 = k=1 n−2

(4.6.6)

Criterio para un mejor ajuste Sea {(xk , yk )}nk=1 un conjunto de n puntos, donde las abscisas {xk } son distintas. La línea de mínimos cuadrados y = f (x) = Ax + B es la línea que minimiza el error de la raíz cuadrática media E2 (f ). P La cantidad E2 (f ) será un mínimo si y solamente si la cantidad n(E2 (f ))2 = nk=1 (Ax + B − yk )2 es mínima. El siguiente resultado explica este proceso

4.6. AJUSTE DE CURVAS

123

Teorema 2 (Ajuste de una línea recta utilizando mínimos cuadrados) Supóngase que {(xk , yk )}nk=1 son n puntos, donde las abscisa {xk , }nk=1 son distintos. Los coeficientes de la línea de mínimos cuadrados y = Ax + B son las solución del siguiente sistema lineal conocido como la ecuación normal. y

4

3

2

1

0 0

1.25

2.5

3.75

5 x

Figura 4.10: Las distancias verticales entre los puntos {(xk , yk )} y la línea definida con mínimos cuadrados y = Ax + B.

⎡

n P

⎢ k=1 ⎢ n ⎣ P k=1

x2k xk

n P

⎤

⎡

¸ xk ⎥ ∙ ⎢ ⎥ A =⎢ ⎣ ⎦ B n

k=1

n P

⎤

xk yk ⎥ ⎥ ⎦ yk

k=1 n P

(4.6.7)

k=1

Prueba. Geométricamente, se comienza con la línea y = Ax + B La distancia vertical dk desde el punto (xk , yk ) hasta el punto (xk , Axk + B) sobre la línea es dk = |Axk + B − yk | (ver Fig. 4.10) Se debe minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales dk : n n X X 2 (Axk + B − yk ) = d2k E(A, B) = k=1

(4.6.8)

k=1

El valor mínimo de E(A, B) se determina haciendo las derivadas parciales ∂E/∂A y ∂E/∂B iguales a cero y resolviendo estas ecuaciones para A y B. Nótese que {xk } y {yk } son constantes en la ecuación (4.6.8) y que A y B son las variables. Fijando B, y derivando E(A, B) con respecto a A, se obtiene n

n

k=1

k=1

X ∂E(A, B) X = 2(Axk + B − yk )(xk ) = 2 (Ax2k + Bxk − xk yk ) ∂A

(4.6.9)

124

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Ahora, fijando A y derivando E(A, B) con respecto a B, se obtiene n

n

X ∂E(A, B) X = 2(Axk + B − yk ) = 2 (Axk + B − yk ) ∂B k=1

(4.6.10)

k=1

Haciendo las derivadas parciales iguales a cero en (4.6.9) y (4.6.10), y usando la propiedad de distribución de la suma se llega a: 0=

n n n n X X X X (Ax2k + Bxk − xk yk ) = A x2k + B xk − xk yk k=1

0=

k=1

k=1

n n n X X X (Axk + B − yk ) = A xk + nB − yk k=1

k=1

(4.6.11)

k=1

(4.6.12)

k=1

Estas ecuaciones escritas en forma de matriz conducen al resultado (4.6.7). Problema 1 (Ajuste de una línea recta usando mínimos cuadrados) Construir la mejor línea recta que se ajuste a los datos dados por los n puntos (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ). R ° Sol. El siguiente programa en Matlab resuelve el problema. Nótese que también aparecen los valores de los puntos dados. En la gráfica de la Fig. 4.11 se muestra la mejor recta factible para este problema. X=[-1,0,1,2,3,4,5,6]’; Y=[10,9,7,5,4,3,0,-1]’; D=length(X)*sum(X’*X)-sum(X)*sum(X); A=1/D*(length(X)*sum(X’*Y)-sum(X)*sum(Y)); B=1/D*(sum(X’*X)*sum(Y)-sum(X)*sum(X’*Y)); fprintf(’A= %12.3f\n’,A) fprintf(’B= %12.3f\n’,B) x=-2:0.01:10; y=A*x+B; plot(x,y) hold on plot(X,Y,’r*’) hold off grid on xlabel(’x’),ylabel(’y’) title(’Ajuste de una recta usando mínimos cuadrados’ ) La mejor recta resultante será

y = −1.607x + 8.643

4.6. AJUSTE DE CURVAS

125 A j u s t e d e u n a r e c t a u s a n d o m ín i m o s c u a d r a d o s

12 10 8 6

y

4 2 0 -2 -4 -6 -8 -2

0

2

4 x

6

8

10

Figura 4.11: Línea y = Ax + B el error estándar de la función estimada es v r u n n n X X X 281 − 8.643 ∗ 37 + 1.607 ∗ 25 1 u 2 t = 0.480 28 Eyx = √ yk − B yk − A xk yk = 8−2 n − 2 k=1 k=1 k=1

Esto representa la desviación de los datos y alrededor de los datos predichos por la mejor línea de ajuste. La mejor línea de ajuste, junto con los datos se encuentra graficada en la Fig. 4.11. La regresión lineal de dos variables es una característica estándar en la mayoría de los programas de hoja de cálculo en los computadores, requiriendo solamente la entrada de dos columnas de números. Ejemplo 14 La siguiente tabla representa la salida (V ) de un transformador diferencial variable lineal (LVDT) para cinco datos de entrada. Determinar la mejor recta que se ajuste a estos datos y hacer la gráfica correspondiente. L [cm] v[v]

0.00 0.05

0.50 0.52

1.00 1.03

1.50 1.50

2.00 2.00

2.50 2.56

Sol. Para resolver el problema, aplicamos los datos en el programa del Problema 1, obetiéndose: A = 0.9977 B = 0.0295

126

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES La mejor línea recta resultante será y = 0.9977x + 0.0295

donde y es la tensión y x el desplazamiento. El error estándar de la estimación para estos datos se obtiene como antes, aplicando la ecuación (4.6.6): v u n ¶1/2 µ n n X X X 14.137 − 0.0295 ∗ 7.66 − 0.9977 ∗ 13.94 1 u 2 t Eyx = √ y −B yk − A xk yk = = 0.0278 6−2 n − 2 k=1 k k=1 k=1 Esto representa la desviación de los datos de y alrededor de los datos predichos por la mejor línea recta. Esta recta, junto con los datos se grafica en la Fig. 4.12.

Figura 4.12: Aproximación de un conjunto de datos a una línea recta.

4.6.2

Ajuste a una función potencia y = AxM

Algunas situaciones involucran f (x) = AxM , donde M es una constante conocida. En este caso hay solamente un parámetro A es determinado. Teorema 3 Ajuste a una función potencia. Supóngase que {(xk , yk )}nk=1 son n puntos, donde las abscisas son distintas. El coeficiente A de la curva de potencia con aproximación por mínimos cuadrados y = AxM está dada por

4.6. AJUSTE DE CURVAS

127

A=

n P

k=1 n P

xM k yk (4.6.13)

k=1

x2M k

Usando la técnica de mínimos cuadrados, se obtiene un mínimo de la función E(A) así: n X 2 E(A) = (AxM k − yk )

(4.6.14)

k=1

En este caso es suficiente resolver E´(A) = 0. La derivada es n n X X M M M E´(A) = 2 (Axk − yk )(xk ) = 2 (Ax2M k − xk yk ) k=1

(4.6.15)

k=1

Entonces, el coeficiente A es la solución de la ecuación 0=A

n X

x2M k

k=1

−

n X

xM k yk

(4.6.16)

k=1

la cual se reduce a la fórmula en la ecuación (4.6.13).

4.6.3

Ajuste aproximado a una curva

Método de linealización de datos para y = CeAx Supóngase que se tienen los puntos (x1 , y1 ), . . . , (x1 , y1 ) y se desea ajustar a una curva exponencial de la forma y = CeAx

(4.6.17)

El primer paso es tomar el logaritmo en ambos lados: ln(y) = Ax + ln(C)

(4.6.18)

Entonces se introduce el cambio de variables: Y = ln(y),

X (x)

y

B = ln(C)

(4.6.19)

Esto resulta en una relación entre la nueva variable X y Y : Y = AX + B

(4.6.20)

128

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Los puntos originales (xk , yk ) en el plano xy se transforman en los puntos (Xk , Yk ) = (xk , ln(yk )) en el plano XY. Este proceso es llamado linealización de datos.Entonces el método de mínimos cuadrados de la ecuación (4.6.20) ajusta la línea a los puntos {(Xk , Yk )}. Las ecuaciones normalizadas para encontrar A y B son: ⎡ n ⎤ ⎤ ⎡ n n P 2 P P ∙ ¸ ⎢ k=1 Xk Yk ⎥ ⎢ k=1 Xk k=1 Xk ⎥ A ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ n = (4.6.21) n ⎣ P ⎦ B ⎦ ⎣ P Xk n Yk k=1

k=1

El parámetro C se calcula de la ecuación (4.6.17), una vez hallados los valores de A y B: C = eB

(4.6.22)

Ejemplo 15 Use el método de linealización de datos y encuentre el ajuste exponencial y = CeAx para los puntos dados por (0,1.5), (1,2.5), (2,3.5), (3,5) y (4,7.5). Sol. Aplicando la transformación (4.6.19) se obtiene: {(Xk , Yk )} = {(0, ln(1.5)), (1, ln(2.5)), (2, ln(3.5)), (3, ln(5.0)), (4, ln(7.5))}

= {(0, 0.40547), (1, 0.91629), (2, 1.25276), (3, 1.60944), (4, 2.01490)}(4.6.23)

La ecuación de la recta Y = AX + B ajustada por mínimos cuadrados para los puntos (4.6.23) está dada después de cálculos (ver Problema 1) por Y = 0.391202X + 0.457367

(4.6.24)

y la gráfica correspondiente se muestra en la Fig. 4.13. El valor de C se determina de la ecuación (4.6.22), es decir, C = e0.457367 = 1. 6. De aquí se obtiene el ajuste exponencial dado por: y = 1. 6e0.391202x

(4.6.25)

cuya gráfica se muestra en la Fig. 4.14.

4.6.4

Ajuste polinomial

Cuando el métodoprecedente se adapta para usar las funciones {fj (x) = xj−1 }y el índice de los rangos de sumación desde j = 1 hasta j = m + 1, la función f (x) será un polinomio de grado m: (4.6.26) f (x) = c1 + c2 x + c3 x2 + · · · + cm+1 xm Ahora se mostrará como encontrar, v. gr., la parábola con mínimos cuadrados, y la extensión a un polinomio de grado más alto.

4.6. AJUSTE DE CURVAS

129

y

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

1.25

2.5

3.75

5 x

Figura 4.13: Puntos de datos transformados {(Xk , Yk )}. Teorema 4 (Parábola con mínimos cuadrados) Supóngase que {(xk , yk )}nk=1 son n puntos, donde las abscisas son distintas. Los coeficientes de la parábola por mínimos cuadrados y = f (x) = Ax2 + Bx + C

(4.6.27)

son los valores solución de A, B y C del sistema lineal à n X

x4k

k=1

à n X k=1

x3k

! !

A+

à n X

x3k

k=1

A+

à n X k=1

à n X

x2k

k=1

x2k

!

! !

A+

B+

à n X

x2k

k=1

B+

à n X k=1

à n X k=1

xk

!

xk

! !

C = C =

B + nC =

n X k=1 n X

yk x2k yk xk

(4.6.28)

k=1

n X

yk

k=1

Prueba. Los coeficientes A, B y C minimizarán la cantidad

0 = E(A, B, C) =

n X ¡ k=1

Ax2k + Bxk + C − yk

¢2

(4.6.29)

130

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES y

10

7.5

5

2.5

0 0

1.25

2.5

3.75

5 x

Figura 4.14: Ajuste exponencial a y = 1. 6.e0.391202x obtenido por el método de linealización de los datos Las derivadas parciales relativas a A, B y C deben ser cero. Esto resulta en n

0 =

X¡ ¢ ∂E =2 Ax2k + Bxk + C − yk (x2k ) ∂A k=1

0 = 0 =

∂E =2 ∂B ∂E =2 ∂C

n X ¡

k=1 n X k=1

¢ Ax2k + Bxk + C − yk (xk )

(4.6.30)

¡ 2 ¢ Axk + Bxk + C − yk

Usando la propiedad distributiva de la adición y llevándola a forma de matriz se obtiene: ⎡ Pn ⎤ ⎤⎡ ⎤ ⎡ Pn P P 2 A x4k Pnk=1 x3k Pnk=1 x2k k=1 yk xk Pk=1 P n n 2 ⎣ nk=1 x3 ⎦ ⎣ B ⎦ = ⎣ nk=1 yk xk ⎦ (4.6.31) k=1 xk k Pk=1 xk Pn Pn n 2 n C k=1 xk k=1 xk k=1 yk que es la misma expresión dada por la ecuación (4.6.30)

Ejemplo 16 Encontrar la parábola con mínimos cuadrados para los cuatro puntos (−3, 3), (0, 1), (2, 1) y (4, 3). Sol. Los datos y operaciones de suma El sistema lineal quedará: ⎡ 353 45 ⎣ 45 29 29 3

requeridas, se muestran en la Tabla 4.6 ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 29 A 79 3 ⎦⎣ B ⎦ = ⎣ 5 ⎦ 4 C 8

4.6. AJUSTE DE CURVAS

131

La solución de este sistema lineal es A = 585/3278, B = −631/3278, C = 1394/1639 y la parábola deseada es y = 0.17846x2 − 0.1925x + 0.85052 3

2.5

2

1.5

1

0.5 0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75 x

Figura 4.15: Ajuste a una parábola usando mínimos cuadrados. La respuesta gráfica se puede ver en la Fig. 4.15.

4.6.5

Software para Análisis Estadístico de Datos Experimentales

El análisis estadístico y la presentación de los datos ha llegado a ser una característica necesaria de muchos proyectos de ingeniería y administración. La mayoría de las hojas de cálculo electrónico contienen funciones estadísticas y algunos programas contienen altas capacidades esR R R R ° ° ° ° tadísticas (v. gr., Matlab , SWP , Stella , Excel , etc.). Los mejores programas contienen no solamente cálculos par determinar la media y la dispersión estándar, ordenamiento de datos e histogramas, sino también cálculos de coeficientes de regresión lineal y no lineal, coeficientes R ° de correlación y tablas de funciones de distribución (t, χ2 , etc) (Simscript ).

132

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES

Tabla 4.5: Valores mínimos del coeficiente de correlación para un nivel de significancia a. α n 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 3 0.951 0.988 0.997 1.000 1.000 4 0.800 0.900 0.950 0.980 0.990 5 0.687 0.805 0.878 0.934 0.959 6 0.608 0.729 0.811 0.882 0.917 7 0.551 0.669 0.754 0.833 0.875 8 0.507 0.621 0.707 0.789 0.834 9 0.472 0.582 0.666 0.750 0.798 10 0.443 0.549 0.632 0.715 0.765 11 0.419 0.521 0.602 0.685 0.735 12 0.398 0.497 0.576 0.658 0.708 13 0.380 0.476 0.553 0.634 0.684 14 0.365 0.458 0.532 0.612 0.661 15 0.351 0.441 0.514 0.592 0.641 16 0.338 0.426 0.497 0.574 0.623 17 0.327 0.412 0.482 0.558 0.606 18 0.317 0.400 0.468 0.543 0.590 19 0.308 0.389 0.456 0.529 0.575 20 0.299 0.378 0.444 0.516 0.561 25 0.265 0.337 0.396 0.462 0.505 30 0.241 0.306 0.361 0.423 0.463 35 0.222 0.283 0.334 0.392 0.430 40 0.207 0.264 0.312 0.367 0.403 45 0.195 0.248 0.294 0.346 0.380 50 0.184 0.235 0.279 0.328 0.361 100 0.129 0.166 0.197 0.233 0.257 200 0.091 0.116 0.138 0.163 0.180

Tabla 4.6: Obtención de los coeficientes para un parábola de mínimos cuadrados xk yk x2k x3k x4k xk yk x2k yk −3 3 9 −27 81 −9 27 0 1 0 0 0 0 0 2 1 4 8 16 2 4 4 3 16 64 256 12 48 P P P P P P P =3 =8 = 29 = 45 = 353 =5 = 79

Capítulo 5

Incertidumbre Experimental 5.1

Introducción

El análisis de la incertidumbre es parte vital de cualquier programa experimental o diseño de sistemas de medida. En este capítulo, se proporcionarán métodos para combinar las incertidumbres de las fuentes de manera que se pueda estimar la incertidumbre de los resultados finales de un experimento. Cualquier resultado experimental involucrará algún nivel de incertidumbre que puede ser originada por diferentes causas tales como la carencia de precisión del equipo de medida, variación aleatoria de los elementos de medición (parámetros físicos) y aproximaciones en los datos recolectados. Todas estas incertidumbres pueden eventualmente afectar el resultado final de la medición, llevando al sistema a una incertidumbre global. A este resultado se le denomina propagación de la incertidumbre y es un aspecto importante de cualquier experimento en ingeniería. El análisis de incertidumbre se efectúa en varias etapas del proceso: • Etapa de diseño. Para seleccionar las técnicas de medición y los dispositivos requeridos. • Después de completar la toma de datos. Para demostrar o verificar la validez de los resultados. • Mientras se realizan o se validan los experimentos. Para identificar las acciones correctivas Los aspectos básicos se presentan en este capítulo. Para detalles adicionales se puede consultar la Norma ANSI/ASME(1986) [1].

5.2

Propagación de las Incertidumbres

Sea R, una función resultante de n variables independientes medidas x1 , x2 , . . . , xn dada por R = f (x1 , x2 , . . . , xn ) 133

(5.2.1)

134

CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

Las xi son las cantidades medidas (salidas de instrumento o componentes). Se puede relacionar un pequeño cambio en R, δ con pequeños cambios en los xi , δxi a través de la expresión diferencial n

δR =

X ∂R ∂R ∂R ∂R δx1 + δx2 + · · · + δxn = δxi ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂xi

(5.2.2)

i=1

Esta ecuación es exacta si los δ son infinitesimales: de otra forma, es una aproximación. Si R es un resultado calculado basado en los xi medidos, se pueden reemplazar los valores de los δxi por las incertidumbres en las variables, denotadas por wxi y δR se puede reemplazar por la incertidumbre en el resultado denotada por wR . Cada uno de los términos de la ecuación (5.2.2) puede ser positivo o negativo y, puesto que se designarán los w como un rango más/menos para la mayoría de los errores probables, la ecuación (5.2.2) no producirá un valor verdadero para wR . Podría ser posible, en principio, que los términos positivos y negativos llegaran a cancelarse obteniéndose eventualmente un valor de cero para wR. Por lo tanto, se utiliza estimar el valor de la incertidumbre de R haciendo positivos todos los términos del miembro de la derecha de la ecuación (5.2.2). En forma matemática, quedará: ¯ n ¯ X ¯ ∂R ¯ ¯ ¯ w wR = x i ¯ ∂xi ¯

(5.2.3)

i=1

No es muy probable que todos los términos en la ecuación (5.2.2) sean simultáneamente positivos o que los errores en los x individuales estén en el extremo del intervalo de incertidumbre. Consecuentemente, la ecuación (5.2.3) producirá un estimativo muy alto para wR . Un mejor estimativo para la incertidumbre está dado por v u n µ ¶2 uX ∂R t wx (5.2.4) wR = ∂xi i i=1

Las bases conceptuales para la ecuación (5.2.4) se discuten, v.gr., en Coleman y Steel [9]. A veces se conoce como raiz cuadrada de la suma de los cuadrados (rcs). Cuando se usa la ecuación (5.2.4), el nivel de confianza en la incertidumbre del resultado R, será la misma que los niveles de confianza de las incertidumbres en los x. Como conclusión, es conveniente que todas las incertidumbres utilizadas en la ecuación (5.2.4) sean evaluadas al mismo nivel de confianza. Hay una restricción significativa para el uso de la ecuación (5.2.4). Cada una de las variables, como se dijo al principio, deben ser independientes entre si. Esto es, un error en una variable no deberá estar correlacionado con el error en otra. Si las variables no son independientes, la formulación es ligeramente diferente y se discute en [1] y en [9]. Cuando en el problema se conoce una cierta precisión total necesaria y se desea saber qué precisiones se requieren en los componentes, puede emplearse un método aproximativo. Para

5.2. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES

135

ello es posible apreciar que este problema es matemáticamente indeterminado, ya que existe un número infinito de combinación de estimativos para las incertidumbres individuales que puedan dar por resultado la misma incertidumbre total. Los medios para eliminar esta dificultad se encuentran en el método de efectos iguales. En esta teoría se supone simplemente que cada fuente de error contribuirá con una cantidad de error igual. Matemáticamente, si v u n µ ¶2 uX ∂R t wx wR = ∂xi i i=1

entonces, si cada término contribuye con el mismo error se tendrá: sµ ¶2 ∂R wx n wR = ∂x

(5.2.5)

y de aquí se obtiene despejando wx : wR wx = √ ¡ ∂R ¢ n ∂x

(5.2.6)

De esta expresión, se puede obtener el error admisible, wx para cada medida que deba realizarse. Ejemplo 17 Para calcular el consumo de potencia en un circuito resistivo, se han medido la tensión y la corriente en el mismo encontrándose para la tensión V = 120 ± 2 V y para la corriente I = 10 ± 0.2 A.Calcular el errormáximo posible y el mejor estimativo de la incertidumbre en el cálculo de la potencia. Suponer el mismo nivel de confianza para V e I. Sol. Escribiendo la ecuación de potencia P = V I y calculando las derivadas parciales respecto a V e I se obtiene ∂P = I = 10A ∂V

∂R = V = 120V ∂I

Entonces wP m´ax wP

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂P ¯ ¯ ∂P ¯ ¯ ¯ wV ¯ + ¯ wI ¯ = 10 × 2 + 120 × 0.2 = 44W = ¯ ∂V ∂I ¯ sµ ¶2 µ ¶2 p ∂P ∂P wV wI = + = (10 × 2)2 + (120 × 0.2)2 = 31.24W ∂V ∂I

El máximo error en 44W es del 3.67% de la potencia (P = V I = 120×10 = 1200W ) mientras que valor estimativo de la incertidumbre es a 31.24W es 2.60%. Si la resultante R es dependiente solo del producto de las variables medidas, es decir,

136

CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

R = Cxλ1 1 xλ2 2 · · · xλnn

Se puede demostrar que la ecuación (5.2.4) toma una forma más simple: v u n µ X wi ¶2 wR u =t λi R xi

(5.2.7)

(5.2.8)

i=1

Esta fórmula es más fácil de usar puesto que el error fraccional en el resultado R, está relacionado directamente con los errores fraccionales en las medidas individuales. Cada uno de los exponentes λ1 , λ2 , · · · , λn puede ser positivo o negativo. Una característica importante de las ecuaciones (5.2.4) y (5.2.8) es que, puesto que los términos individuales son elevados al cuadrado antes de sumarse, los términos de valor mayor tienden a ser dominantes. La ecuación (5.2.4) también se puede utilizar en la fase de diseño de un esperimento para determinar la precisión requerida de los instrumentos y otros componentes. Ejemplo 18 Considérese un experimento para medir, por medio de un dinamómetro, el promedio de potencia transmitida por un eje giratorio. La fórmula para la potencia en caballos de fuerza puede escribirse como: 2πνLF (5.2.9) Php = 550t donde ν $ revoluciones del eje durante el tiempo t, L $ longitud del brazo del par motor, [pies], F $ fuerza en el extremo del brazo del par, [lbf], t $ tiempo que dura el experimento, [s].Si para una observación específica los datos son: ν = 1202 ± 1.0 rev

F

= 10.12 ± 0.04 lbf

L = 15.63 ± 0.05´

t = 60.00 ± 0.50 s

Sol. Transformando la ecuación (5.2.9) en función de unidades de pulgada, se tiene νLF νLF 2π =κ 12 × 550 t t −4 donde κ = 9.520 0 × 10 . Calculando las diferentes derivadas parciales, se obtiene: ∂Php LF 15.63 × 10.12 = κ = 9.52 × 10−4 × = 2.509 7 × 10−3 ∂ν t 60 ∂Php νF 1202 × 10.12 = κ = 9.52 × 10−4 × = 0.19301 ∂L t 60 ∂Php νL 1202 × 15.63 = κ = 9.52 × 10−4 × = 0.29809 ∂F t 60 ∂Php νLF 1202 × 15.63 × 10.12 = −κ 2 = 9.52 × 10−4 × = 5.0278 × 10−2 ∂t t 602 Php =

(5.2.10)

5.2. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES

137

El error absoluto máximo será: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂Php ¯ ¯ ∂Php ¯ ¯ ∂Php ¯ ¯ ∂Php ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ whpm´ax = ¯ wν ¯ + ¯ wL ¯ + ¯ wF ¯ + ¯ wt ¯¯ ∂ν ∂L ∂F ∂t

whpm´ax = 2.5097 × 10−3 × 1.0 + 0.19301 × 0.05 + 0.29809 × 0.04 + 5.0278 × 10−2 × 0.5

whpm´ax = 4.9223 × 10−2 hp

La potencia total está dada por: Php = κ

νLF 1202 × 15.63 × 10.12 = 9.52 × 10−4 × = 3.0167 hp t 60

El resultado puede, entonces, expresarse como Php = 3.017 ± 0.049 hpó Php = 3.017 ± 1.6% hp

La ecuación (5.2.4) puede usarse para estimar el límite de la incertidumbre en la medida

whp = whp =

sµ

∂Php wν ∂ν

¶2

+

µ

∂Php wL ∂L

¶2

+

µ

∂Php wF ∂F

¶2

+

µ

∂Php wt ∂t

¶2

p (2.5097 × 10−3 × 1.0)2 + (0.19301 × 0.05)2 + (0.29809 × 0.04)2 + (5.0278 × 10−2 × 0.5)2

whp = 2.9556 × 10−2

Se puede observar que whp < whpm´ax Se puede afirmar que el error es quizá tan grande como 0.049hp, pero probablemente no mayor que 0.029 hp. Supóngase que en el ejemplo anterior se desea medir la potencia con una precisión del 0.5%.¿Qué precisiones se requieren en las medidas individuales? Sol. Utilizando la ecuación (5.2.6), se obtiene para cada parámetro: wν = wL = wF

=

wt =

wR √ ¡ ∂R ¢ n ∂ν wR √ ¡ ∂R ¢ n ∂L wR √ ¡ ∂R ¢ n ∂F wR √ ¡ ∂R ¢ n ∂t

3.0167 × 0.005 = 3.005rev =√ 4 × 2.5097 × 10−3 3.0167 × 0.005 = √ = 3.9074 × 10−2 pulg 4 × 0.19301 3.0167 × 0.005 = 0.0253lbf = √ 4 × 0.29809 3.0167 × 0.005 = 0.15s =√ 4 × 5.0278 × 10−2

(5.2.11) (5.2.12) (5.2.13) (5.2.14)

Si se encuentra que el mejor instrumento y técnica disponibles para medir, v. gr., la fuerza, F, son buenos sólo hasta 0.04 lbf en lugar de 0.025 lbf que pide la ecuación (5.2.13), esto significa

138

CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

necesariamente que Php no medirse al 0.5%. Sin embargo, ello no quiere decir que una o más de las otras cantidades (ν, L o t), deban medirse con mayor precisión que la requerida en las ecuaciones (5.2.11), (5.2.12) y (5.2.14), respectivamente. Haciendo una o más de estas medidas con mayor precisión, puede contrarrestarse el error excesivo en la medida de F.

5.2.1

Consideraciones de sesgo y precisión

En las primeras fases del diseño de un experimento, no es práctico separar los efectos del sesgo y los errores de precisión. Se puede usar la ecuación (5.2.4) con estas incertidumbres de las variables medidas para estimar la incertidumbre resultante. En un análisis más detallado, es deseable mantener separado el análisis de la incertidumbre en el sesgo (sistemática) con la incertidumbre en la precisión (aleatoria). Estas incertidumbres conocidas como límite de sesgo y límite de precisión, respectivamente, se denotan por los símbolos B y P. El error de precisión es aleatorio en medidas individuales y su estimación depende del tamaño de la muestra. El error de sesgo no varía durante lecturas repetidas y es independiente del tamaño de la muestra. El error de precisión usualmente se determina por mediciones repetidas de la variable de interés (o mediciones repetidas en pruebas de calibración). Los datos medidos se usan para calcular la desviación estándar muestral de las mediciones, la cual se denomina índice de precisión, Sx en análisis de incertidumbre. " #1 n 2 1 X 2 Sx = (xi − x ¯) (5.2.15) n−1 i=1

Entonces se puede determinar el límite de precisión, Pxi , para una medida simple xi puede entonces estimarse utilizando el método t Student : Pxi = tSx

(5.2.16)

donde t es la función de nivel de confianza (v.gr., 95%) y los grados de libertad. El uso de la distribución t en la ec (5.2.16) es diferente de la discusión de la distribución t dada en la desigualdad (4.4.14). En ese caso la distribución t se aplica solamente al intervalo de confianza sobre la media de un conjunto de medidas. En ANSI/ASME 86 [1]; sin embargo, la distribución t se aplica al cálculo del intervalo de confianza de una medida individual cuando la desviación estándar se basa en una muestra pequeña. Si se desea predecir la incertidumbre de la media, x ¯, de las medidas (xi ), se sigue la formulación dada antes. Puesto que la desvición estándar de la media se relaciona con la desviación estándar de las mediciones por Sx Sx¯ = √ n

(5.2.17)

la incertidumbre de la media estará dada por Px¯ = tSx¯

(5.2.18)

5.2. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES

139

El intervalo de incertidumbre en la precisión está dado por tSx ∆Px¯ = ± √ n

(5.2.19)

El límite de sesgo, B, permanece constante si se repite la prueba bajo las mismas condiciones. Los errores de sesgo incluyen aquellos errores que son conocidos pero no se han eliminado por medio de calibración y otros errores fijos que pueden ser estimados pero no eliminados del proceso de medida. Para combinar las incertidumbres de precisión y sesgo, se usa la expresión p w = P 2 + B2 (5.2.20)

El nivel de confianza en la incertidumbre, w, que el nivel de confianza en P.En ANSI/ASME 86 se recomienda que para análisis de incertidumbre se use un nivel de confianza del 95%. Existen muchas situaciones en las cuales resulta un error grande de sesgo debido a la instalación de los dispositivos de medida. Un ejemplo es la medición de la temperatura de un gas caliente cuando se retiene el gas en un contenedor frío. La transferencia de calor por radiación entre las paredes del contenedor y el dispositivo de medida resultará en valor medido inferior a la verdadera temperatura del gas. Errores dinámicos y espaciales también pueden introducir grandes errores de sesgo. En muchos casos es posible reducir el error de sesgo corrigiendo analíticamente los datos. Este proceso de corrección puede reducir significativamente este tipo de error, pero como el proceso de corrección es en sí mismo incierto, el proceso no puede reducir el error de sesgo a cero. Ejemplo 19 Para estimar el valor calórico de un campo de gas natural se tomaron diez muestras y valor calórico de cada muestra se midió con un calorímetro. Los valores medidos en kJ/kg son 48530, 48980, 50210, 49860, 48560, 49540, 49270, 48850, 49320, 48680 Asumiendo que el calorímetro no introduce error de precisión, calcular el límte de precisión (a) de cada medida (b) el límite de precisión de la media de las medidas. Usar un nivel de confianza del 95%. Sol. Tomando xi como el valor calórico, la media será x ¯=

1X xi = 49180 kJ/kg n

La desviación estándar de las muestras es:

∙P ¸1 (xi − x ¯)2 2 = 566.3 kJ/kg Sz = n−1

140

CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

Usando distribución t de Student para un nivel de confianza de 95% y grados de libertad de 10 − 1 = 9, el valor de t se encuentra como t = 2.26 (a) El límite de precisión de cada muestra será Pi = tSx = 2.26 × 566.3 = 1280 kJ/kg

√ (b) Puesto que Sx¯ = Sx / n, el límite de precisión del valor medio será tSx 2.26 × 566.3 √ = 404.7kJ/kg Px¯ = √ = n 10 Ejercicio 2 La especificación dada por el fabricante para el calorímetro en el ejemplo anterior, establece que el calorímetro tiene una precisión de 1.5% del rango total de 0 a 100000 kJ/kg. Calcular el estimativo de la incertidumbre total (a) del valor medio de las medidas del ejemplo, (b) una medida del valor calórico dado como 49500 kJ/kg, el cual fue medido posteriormente a las medidas dadas en el ejemplo. Sol. Los datos disponibles son: Valor medio x ¯ = 49180 kJ/kg Límite de precisión de la media Px¯ = 404.7 kJ/kg Límite de precisión del valor individual Pi = 1280 kJ/kg Error de sesgo B = 0.015 × 105 = 1500 kJ/kg Se ha supuesto que la ‹‹exactitud› › está definida sólo con el error de sesgo (a) El límite de precisión de la media es 404.7 kJ/kg. De acuerdo a la ec (5.2.20), la incertidumbre total de la medida con un nivel de confianza de 95% será p p w = P 2 + B 2 = 404.72 + 15002 = 1553. 6 kJ/kg

el cual es 3.1% del valor medio. (b) El límite de precisión de una medida individual es 1280kJ/kg. Consecuentemente, la incertidumbre de una medida de este estilo con 95% de nivel de confianza será wi = (Pi2 + B 2 )1/2 = (12802 + 15002 )1/2 = 1971. 9 kJ/kg el cual es el 4% del valor medido. Ejemplo 20 Como se muestra en la Fig. ??, un sensor para medir temperatura se usa para medir la temperatura, Tg , de un gas caliente en un ducto. La lectura del sensor Ts, es de 773 K y la temperatura de la pared, Tw , es de 723K. Se espera que el sensor tenga una lectura más baja que la verdadera temperatura del gas debido a que el sensor se enfría por radiación hacia

5.2. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES

141

Figura 5.1: Error por radiación. la pared más fría del ducto. Se puede utilizar la siguiente fórmula para corregir el error de la medida debido a la radiación: ∈ (5.2.21) ∆Tc = Tg − Ts = σ(Ts4 − Tw4 ) h σ es la constante de Stefan—Boltzmann, la cual tiene un valor de 5.669×10−8 W/m2 —K, h es el coeficiente de transferencia de calor entre el gas y el sensor de temperatura y ∈ es la emisividad de la ½ superficie del sensor de temperatura. La temperatura debe estar en K. El valor de ∈ es +0.1 0.9 + y el valor de h es 50 ± 10 W/m2 —K. Se puede despreciar la incertidumbre en la −0.2 medida de la temperatura. Determinar (a) La corrección de la temperatura y (b) la incertidumbre en la corrección. Sol. (a) Sustituyendo en la ecuación (5.2.21) se obtiene ∆Tc = Tg − Ts =

∈ 5.669 × 10−8 × 0.9 σ(Ts4 − Tw4 ) = (7734 − 7234 ) = 85. 506 K h 50

(b) Se puede utilizar la ecuación (5.2.8) para estimar las incertidumbres. Se debe notar que el intervalo de la incertidumbre positiva es diferente al de la negativa, debido a que la emisividad tiene incertidumbre asimétrica. "µ ¶2 ³ ´ #1/2 "µ ¶2 µ ¶2 #1/2 w∈+ 0.1 10 wh 2 + + = + = 0.228 79 w∆T = ∈ h 0.9 50 + w∆T = 0.228 79 × 86 = 19. 676 K

142

CAPÍTULO 5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

− w∆T =

"µ

w∈− ∈

¶2

+

³ w ´2 h

h

#1/2

=

"µ

0.2 0.9

¶2

+

µ

10 50

¶2 #1/2

= 0.298 97

− = 0.298 97 × 86 = 25.711 K w∆T

El mejor estimativo de la temperatura será Tg = 773 + 86 = 859 +

½

+19.7 −25.7

½ +19.7 a un intervalo de . Es este intervalo el que Así se ha reducido el error de sesgo de −25.7 deberá aplicarse en un análisis completo de la incertidumbre. El error de sesgo máximo se ha reducido a menos de un tercio de su valor original. 86◦

Capítulo 6

Sensores de parámetro variable 6.1

Introducción

Los transductores de parámetro variable constituyen un importante grupo de captadores de señal, pu-diendo afirmarse que cubren la mayor parte de las aplicaciones industriales. Se caracterizan por su robustez y simplicidad constructiva porque producen una salida que está relacionada con la variación de un determinado parámetro eléctrico pasivo (resistencia, capacitancia, inductancia, acoplamiento magnético, etc.) originada por una variación proporcional de la magnitud física que se quiere medir.

6.2

Transductores potenciométricos

Un potenciómetro consiste esencialmente en un resistencia fija sobre la cual desliza un cursor accionado por rotación, por deslizamiento lineal, o por ambos efectos combinados. Se trata pues, de elementos de tres terminales (ver Fig. 6.1) de los cuales dos corresponden a los extremos de la resistencia y el tercero está conectado al cursor.

A + vi -

R

| x Rf(x) | B

+ o -

v

Figura 6.1: Transductor potenciométrico. 143

144

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

En la Fig. 6.1 están indicados los siguientes parámetros R: Resistencia total. x: Desplazamiento del cursor a partir de un extremo de referencia. Rf (x): Resistencia comprendida entre el extremo de referencia y el cursor, siendo 0 ≤ f (x) ≤ 1 Supóngase que se aplica una tensión vi entre los terminales A y B con la polaridad indicada. En este caso, la tensión v0 de salida entre el cursor y el extremo de referencia B será: vi = vi f (x) R expresión que indica que la tensión de salida está relacionada con la tensión de entrada mediante una función que depende únicamente de las características constructivas del potenciómetro y del desplazamiento del cursor. v0 = Rf (x)

Cursor

vS vO

Figura 6.2: Potenciómetro angular. Atendiendo a la naturaleza del desplazamiento x, se tienen los siguientes tipos de transductores potenciométricos: • Potenciómetros de desplazamiento lineal: El cursor desliza longitudinalmente sobre un elemento resistivo rectilíneo (ver Fig. 6.1). • Potenciómetros angulares: El cursor desliza sobre un elemento resistivo en forma de sector circular, girando alrededor de un punto central (la variable x corresponde al ángulo girado) (ver Fig. 6.2). • Potenciómetros multivuelta o helicoidales: En este caso el elemento de resistencia tiene forma de hélice de varios pasos (normalmente 10 ó 20) y el cursor desliza sobre el mismo,

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS

145

girando alrededor de un eje central y desplazándose al simultáneamente paralelo al mismo (la variable x corresponde al ángulo θ de giro que puede ser, por supuesto, superior a 360◦ ). • En otro tipo de disposición constructiva, el elemento resistivo es rectilíneo y el cursor está accionado por un tornillo sin fin cuyo eje es paralelo a dicho elemento. Atendiendo, por otra parte, a la naturaleza de la función f (x), se pueden obtener diferentes tipos de potenciómetros. A continuación se muestran algunos prototipos funcionales.

6.2.1

Potenciómetro de función lineal

La función f (x) es del tipo f (x) = Kx

(6.2.1)

y como para x = xm´ax (cursor lo más alejado posible del extremo de referencia) se cumple que f (xmax ) = 1 = Kxmax se tiene f (x) =

6.2.2

x xmax

=⇒ v0 =

x xmax

vi

(6.2.2)

Potenciómetros logarítmicos y antilogarítmicos

Para los potenciómetros logarítmicos la función f (x) es del tipo µ ¶ x f (x) = M log A +B xmax

(6.2.3)

y con las condiciones de contorno f (0) = 0, f (xmax ) = 1, se deduce 0 = M log B =⇒ B = 1 1 = M log(A + 1) =⇒ M = o sea f (x) =

1 log(A + 1)

³ ´ x log A xmax +1 log(A + 1)

(6.2.4)

y la tensión de salida será µ ¶ x 1 v0 = f (x)vi = log A + 1 vi log(A + 1) xmax

(6.2.5)

146

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE y

1

0.75

0.5

0.25

0 0

0.25

0.5

0.75

1 x

Figura 6.3: Respuesta de una función logarítmica: línea continua A = 1, línea de trazos A = 10, línea punteada A = 100. De lo anterior se deduce que existen infinitas funciones posibles haciendo variar el parámetro A. Para A = 0 se tiene el caso particular del potenciómetro lineal. Por otra parte, es de observar que el carácter de la función logarítmica es absolutamente general ya que no se ha hecho referencia a la base de la misma. En la Fig. 6.3 se observa la respuesta normalizada para algunos valores de A. Los potenciómetros antilogarítmicos corresponden a una función f (x) inversa de la correspondiente a los logarítmicos y, mediante razonamiento similar, se llega a la forma analítica: f (x) =

x 1 (A + 1) xmax − 1 A

o sea

(6.2.6)

x

(A + 1) xmax − 1 v0 = vi A

(6.2.7)

x , es decir, el potenciómetro Al igual que en el caso anterior, para A = 0 se obtiene f (x) = xmax lineal. La respuesta normalizada para algunos valores de A, aparecen graficados en la Fig. 6.4.

6.2.3

Potenciómetros trigonométricos

Normalmente son giratorios (x = θ =ángulo de giro) y la tensión de salida es proporcional al seno o al coseno del desplazamiento angular del cursor (únicas funciones trigonométricas acotadas). La disposición constructiva difiere sustancialmente de la representada en la Fig. 6.1 ya que, dada la naturaleza de las funciones seno y coseno (que toman valores positivos y negativos), es necesaria una fuente de alimentación de doble polaridad. En la Fig. 6.5 se ilustran las conexiones asociadas a un potenciómetro senoidal—cosenoidal con dos cursores a 90◦ .

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS y

147

1

0.75

0.5

0.25

0 0

0.25

0.5

0.75

1 x

Figura 6.4: Respuesta de una función exponencia˙l: línea continua A = 1, línea de trazos A = 10, línea punteada A = 100. Por supuesto, la resistencia estará diseñada de modo que su variación con el ángulo θ responda a la función trigonométrica. Realmente, se trata de cuatro potenciómetros ya que se tiene un elemento resistivo por cada cuadrante. Considerando, por ejemplo, el cursor que forma un ángulo θ con la horizontal, puede escribirse: v0 =

R(θ) vi = vi senθ R( π2 )

o sea

π R(θ) = R( )senθ 2 en el primer cuadrante. El potenciómetro completo estará constituido por resistencias simétricas con la misma ley de variación, dispuestas en los cuatro cuadrantes.

6.2.4

Potenciómetros Funcionales

En estos potenciómetros la función F (x) es general, y en muchos casos empírica, adaptada al caso particular en estudio. Entre ello, son de particular interés los llamados potenciómetros programables o potenciómetros gene-radores de funciones, que permiten la síntesis de cualquier función F (x) mediante aproximación por tramos rectilíneos. Se caracterizan por tener una serie de tomas intermedias accesibles en terminales exteriores a los que se aplican tensiones continuas preajustadas según los valores de la función y que pueden obtenerse, por ejemplo, mediante potenciómetros convencionales. De acuerdo con este principio, la tensión v de salida en el cursor móvil tomará los mencionados valores preajustados al pasar dicho cursor por cada una de las tomas intermedias, variando linealmente entre cada dos tomas adyacentes.

148

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.5: Potenciómetro trigonométrico. Tomando como variable independiente x el desplazamiento del cursor, puede así construirse la función F (x) que pasa por una serie de puntos discretos cuyas coordenadas corresponden a los valores de x asociados a las tomas y a los valores de tensión preajustados en dichas tomas.

6.2.5

El potenciómetro como elemento del circuito

Hasta ahora se ha considerado el transductor potenciométrico como elemento aislado generador de una señal representativa de la magnitud a medir, sin tener en cuenta los efectos que produce su inclusión en el circuito de medida. Antes de seguir adelante, se considera necesario hacer algunas reflexiones relacionadas con el comportamiento eléctrico del potenciómetro y, puesto que ya se determinado la amplitud de la señal producida en su salida (en ausencia de carga exterior), se procederá a deducir sus impedancias de entra y salida, con lo cual quedará totalmente definido como componente. Para ello, y con referencia a la Fig. ??, suponiendo conectada una impedancia ZL de carga entre los bornes de salida, se tendrá como impedancia de entrada: Zi = R [1 − f (x)] +

ZL Rf (x) ZL + Rf (x)

y operando la expresión anterior: Zi =

ZL + Rf (x) [1 − f (x)] R ZL + Rf (x)

(6.2.8)

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS

149

Figura 6.6: Red con potenciómetro. En cuanto a la impedancia de salida, y según el teorema de Thévenin, equivaldrá a la combinación en paralelo de Rf (x) y R [1 − f (x)], o sea:

R2 f (x) [1 − f (x)] = Rf (x) [1 − f (x)] R Derivando esta última expresión e igualando a cero, se obtiene Zo =

dZi df (x)

(6.2.9)

= R [1 − 2f (x)] = 0

1 (6.2.10) 2 de donde se deduce que la impedancia de salida es máxima cuando las resistencias entre el cursor y los extremos son iguales. f (x) =

Ejemplo 21 Un potenciómetro lineal de resistencia R está cargado por una resistencia de valor kR. Sea α la proporción del recorrido total del contacto deslizante (6.7). Encontrar la la expresión de la salida del potenciómetro versus α. Solución: La salida se mide a través de la resistencia αR en paralelo con kR. Se computa la razón k de la salida respecto a la entrada. Tratando la Fig. como un divisor de voltaje. E0 H= = Ei

αR(kR) αR+kR αR(kR) αR+kR + (1 − α)R

Simplificando esta expresión, αkR2 αk = 2 2 αkR + (1 − α)R (α + k) αk + α + k − α2 − αk αk = 2 −α + α + k . Se verifica esta expresión para una carga muy liviana, k = ∞. La expresión correcta para el . potenciómetro sin carga es k = α. H =

150

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

+

vi αR

-

vo

kR

Figura 6.7: Potenciómetro cargado con kR. Ejemplo 22 Determinar el error de no linealidad que se produce en un potenciómetro lineal por causa de la carga. Solución: Restando la salida real con carga de la salida teórica sin carga: Error(ε) = α − Simplificando la expresión del error: ε=

−α2

αk +α+k

α2 (1 − α) −α3 + α2 + αk − αk = −α2 + α + k α − α2 + k

y 0.125

0.1

0.075

0.05

0.025

0 0

0.25

0.5

0.75

1 x

Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la rotación del eje. En aplicaciones de gran precisión, el potenciómetro se carga muy ligeramente, o sea, k > 10. Para esta condición 2 ∼ α (1 − α) (6.2.11) ε= k

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS

151

0.15

0.125 y 0.1

0.075

0.05

0.025

0 0.25

0.5

0.75

1

x

Figura 6.8: Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la rotación del eje. Ejercicio 3 Usando (6.2.11), encontrar el punto donde el error de no linealidad es máximo. Solución: Se encuentra εmax por diferenciación respecto de α. Como ε = dε 1 = (2α − 3α2 ) = 0, dα k

o

α2 −α3 k ,

α(2 − 3α) = 0

Resolviendo para α, 2 3 Evidentemente, la curva de error tiene pendiente cero en el origen y un valor máximo en α = 2/3, aproximadamente. α1 = 0,

α2 =

Ejercicio 4 Usando (6.2.11), encontrar el valor del máximo error debido a la carga. Dibujar ε versus α. Solución: Se sustituye α = 2/3 en (6.2.11): ε=

( 2 )2 (1 − 23 ) 1 4 1 4 α2 (1 − α) = 3 = × × = k k k 9 3 27k

Si k = 10 ε=

4 ∼ = 1.5% 270

Una buena regla para recordar es 15 % k En la Fig.6.8 se ha dibujado la curva del error. El resultado es universal si se grafica kε en vez de ε. Para desarrollar características no lineales, los potenciómetros pueden ser cargados de varias maneras. Para desarrollar no linealidades sustanciales se requiere una gran carga a la salida. εmax =

152

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Ejercicio 5 Analizar las no linealidades que pueden desarrollarse cargando ya sea la parte superior o la parte inferior del potenciómetro de la Fig. (6.9).

(1-α)R k2R +

vi αR

-

k1R

vo

Figura 6.9: Potenciómetro cargado. Solución: la ecuación de salida básica para las cargas de la Fig.(hacer Fig.) se desarrolla fácilmente tratando la red como un divisor de voltaje. Se tiene, H=

k1 R(αR) k1 R+αR k1 R(αR) (k2 R)(1−α)R k1 R+αR + k2 R+(1−α)R

Simplificando la expresión de H: H=

k1 α(k2 + 1 − α) k1 α(k2 + 1 − α) + k2 (1 − α)(k1 + α)

o H=

k1 α(k2 + 1 − α) −α2 (k1 + k2 ) + α(k1 + k2 ) + k1 k2

Para encontrar las funciones de varga separadas, se hace k2 = ∞: H1 =

−α2 k2

k1 k2 α k1 α = 2 + αk2 + k1 k2 −α + α + k1

A continuación se hace k1 = ∞: H2 =

k1 α(k2 + 1 − α) α(k2 + 1 − α) = 2 −α k1 + αk1 + k1 k2 −α2 + α + k2

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS

153

1 0.9 0.8 y 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

Figura 6.10: Curvas de carga de potenciómetros usados para formar funciones no lineales. La Fig. 6.10 muestra el gráfico de k1 y k2 versus el ángulo del eje para varios valores de k1 y k2 . las curvas universales del diagrama permiten una investigación simple de las posibilidades de modelación no lineal de curvas. Ejemplo 23 Tomando como referencia la Fig. (6.11), demostrar que el voltaje del punto nulo corresponde a la suma de los voltajes de entrada. +

V

v1

-

v2 vn

+

V I1

In

I2

Rn

0

R2 R1

RL

Figura 6.11: Red con potenciómetros.

Solución: Si los potenciómetros de entrada se han dispuesto en V1 , V2 , V3 , . . . , Vn , los voltajes

154

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

en el punto cero son: V0 = V1 − I1 R1 = V2 − I2 R2 = V3 − I3 R3 ) = Vn − In Rn Las corrientes individuales pueden calcularse fácilmente: I1 = I2 = I3 = In =

V1 − V0 R1 V2 − V0 R2 V3 − V0 R3 Vn − V0 Rn

donde G1 , G2 , G3 , . . . , Gn =

= (V1 − V0 )G1 = (V2 − V0 )G2 = (V3 − V0 )G3 = (Vn − V0 )Gn 1 1 1 1 , , ,··· , R1 R2 R3 Rn

Como la suma de las corrientes que entran al nodo deben ser igual a la corriente que circula desde el punto 0 a tierra, (V1 − V0 )G1 + (V2 − V0 )G2 + (V3 − V0 )G3 + · · · + (Vn − V0 )Gn = V0 G0 Reordando, V1 G1 + V2 G2 + V3 G3 + · · · + Vn Gn = V0 (G1 + G2 + G3 + · · · + Gn ) Disponiendo G1 + G2 + G3 + · · · + Gn = GT la conductancia total a tierra desde el punto 0; entonces V0 = V1

G1 G2 G3 Gn + V2 + V3 + · · · + Vn GT GT GT GT

(6.2.12)

El voltaje V0 del nodo es la suma de los voltajes individuales aplicados, cada uno multiplicado por un factor de escalmiento apropiado tal como se requiere. Ejemplo 24 Dos potenciómetros de 1000 ohms se excitan en la forma que se muestra en la Fig. (). Calcular la corriente por el contacto deslizante del potenciómetro cuando P1 se dispone en +7 V y el otro se dispone para producir un mínimo valor de 0 en el punto cero. ¿Provoca esta corriente una imprecisión en la posición? ¿Qué efecto tiene la impedancia de entrada R0 del amplificador en los resultados?

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS

155

Solución: Usando (6.2.12) V0 = V1

G1 G2 + V2 , GT GT

GT = G1 + G2 + G0

Sustituyendo valores numéricos, 1 1 1 = 10−4 Ω, G2 = = 10−4 Ω, G0 = = 10−5 Ω R1 R2 R0 = (2 × 10−4 ) + 10−5 = 21 × 10−5 Ω 10−4 10−4 10 = V1 + V = (V1 + V2 ) V 2 21 × 10−5 21 × 10−5 21

G1 = GT V0

Para anular el voltaje de error con V1 = +7, V2 debe disponerse en −7 v. En el caso general, el drenaje de corriente puede introducir errores en la carga, que a su vez pueden ser evaluados. Sin embargo, en el caso actual, las cargas en ambos potenciómetros son idénticas. Por lo tanto, para condiciones de equilibrio, las salidas de voltaje de ambos potenciómetros, al ser efectadas en forma igual por la carga, no conducen a imprecisiones en la posición del eje. La impedancia de entrada del amplificador afecta el factor de escalamiento de la salida más no la posición del punto nulo. Ejercicio 6 Los potenciómetros del problema anterior desarrollan su salida total para un ángulo de rotación de 320◦ . Si se gira el potenciómetro P2 en un grado de su posición de equilibrio nulo, ¿qué voltaje de error aparece en el punto cero? Solución: Tal como antes V1 = +7,

V2 = −7 + ∆V

donde ∆V es el voltaje de salida de P2 para un desplazamiento de un grado de la posición nula. Hay 20 V a través de los 320◦ del potenciómetro. Por lo tanto, un grado es equivalente a 1 20 = V = ∆V 320 116 El incremento de voltaje en el punto de suma P0 es µ ¶ µ ¶ 1 10 1 ∼ 10 +7 − 7 + = V0 = = 30mV 21 16 21 16 El gradiente del sistema es de 30 mV /grado.

156

6.2.6

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Potenciómetros Digitales

Un tipo de potenciómetros programables son los potenciómetros digitales (PD) los cuales constan de un dispositivo resistivo variable (VR) de 2n posiciones (si n = 8, entonces se tendrán 256 posiciones). Estos dispositivos realizan la misma función de ajuste electrónico que los de tipo mecánico. Los PD se fabrican de uno o más canales, cada uno de los cuales está constituido por varias etapas: • Un resistor fijo con toma central (cursor). El valor del resistor se determina por un código digital cargado en un registro de desplazamiento. • Un latch (cerrojo) del VR, donde se programa el valor de la resistencia entre el cursor y cada uno de los terminales fijos del resistor, la cual varía linealmente de acuerdo al código digital transferido. • Un registro de desplazamiento serie—paralelo, el cual se carga desde una interface serie y actualiza el latch del VR. En la Fig. 6.12 se muestra el diagrama en bloques de un potenciómetro digital comercial, el cual consta de dos canales con un registro serie de 9 bits cada uno. Cada bit es transferido al registro en el flanco positivo del CLK.

Figura 6.12: Digrama de bloques funcionales del AD5262.

Interface digital El AD5260/AD5262 contiene una interface de control de entrada serial de tres hilos. Las tres entradas son el reloj (CLK ), El selector de circuito (CS) y la entrada de datos serie (SDI ). La

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS

157

Figura 6.13: Diagrama de bloques de la estructura interna de un potenciómetro digital entrada de CLK sensible al flanco positivo, requiere transiciones limpias para evitar transferencia incorrecta de datos al registro de entrada serie. La lógica trabaja bien. La Fig. 6.13 muestra el diagrama de bloques con más detalle de la circuitería interna del dispositivo. Cuando CS está bajo, el reloj carga el dato en el registro serie en cada flanco positivo del reloj (ver Tabla 6.1). El terminal de salida de datos serie (SDO) contiene un FET de canal n de drenador abierto. Esta salida requiere un resistor de pull—up (v. gr.: Rp = 2kΩ) con el fin de transferir los datos al pin SDI del siguiente circuito. Programación del resistor variable La resistencia nominal del registro RDAC entre los terminales A y B está disponible, para el potenciómetro de la Fig. 6.12 con valores de 20 kΩ, 50 kΩ y 200 kΩ. La resistencia nominal (RAB ) del VR, para este caso particular, tiene 256 puntos de contacto, accesibles por el cursor, más el terminal de contacto B. Los datos de ocho bits en el latch RDAC se decodifican para seleccionar una de las 256 posiciones. Supóngase que se va a utilizar un arreglo de 20 kΩ. El primer valor de la conexión del cursor con respecto al terminal B será de 00H . Puesto que, de acuerdo al fabricante, hay una resistencia de contacto de 60 Ω con el cursor, tal conexión conduce a un mínimo de resistencia de 60 Ω entre los terminales W y B. La segunda conexión es el primer punto intermedio (tap) que corresponde a 138 Ω, es decir, RAB + RW = 78Ω + 60Ω = 138Ω RW B = 256

158

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Tabla 6.1: Tabla de verdad del control de la lógica de entrada. CLK L P

CS L L

PR H H

SHDN H H

X

P

H

H

X X

H X

H L

H H

X X

H H

P H

H L NOTE:

Register Activity No SR effect, enables SDO pin Shift One bit in from the SDI pin. The eighth previously entered bit is shifted out of the SDO pin. Load SR data into RDAC latch based on A0 decode A0 = 0, RDAC #1, A0 = 1, RDAC #2 No Operation Sets all RDAC latches to midscale, wiper centered, & SDO latch cleared. Latches all RDAC latches to 80H. Open circuits all resistor A—terminals, connects W to B, turns off SDO output transistor. P = positive edge, X = don’t care, SR = shift register

Tabla 6.2: Valores característicos en el potenciómetro digital D [decimal] RW B [Ω] Estado de salida 256 19982 Escala plena 128 10060 Escala media 1 138 1 LSB 0 60 Escala cero para el dato 01H . La conexión es el siguiente tap que representa 216Ω (78 × 2 + 60) para el dato 02H y así sucesivamente. Cada incremento en el valor del dato (1LSB) mueve el cursor hacia arriba en una escalera de resistencias hasta que el último punto se alcanza en 19982Ω (RAB − 1LSB + RW ). El cursor no conecta directamente al terminal B. En la Fig. 6.14 se puede observar un diagrama simplificado del circuito RDAC equivalente. La ecuación general que determina la resistencia de salida programada digitalmente entre los terminales W y B es: D RAB + RW (6.2.13) RW B (D) = 256 donde D es el equivalente decimal del código binario que se carga en el registro RDAC de 8 bits, y RAB es la resistencia nominal total. Por ejemplo, para RAB = 20 kΩ, VB = 0 V y el circuito del terminal A está abierto, se obtienen los valores de la resistencia de salida RW B para los correspondientes valores de los códigos del latch RDAC, los cuales se muestran en la Tabla 6.2. Los resultados serían los mismos si fuera el terminal A el que se conectara con W . En la condición de escala cero la resistencia es muy baja, por lo cual se debe tener cuidado

6.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS

159

Figura 6.14: Circuito RDAC equivalente. con el flujo de corriente entre los terminales W y B manteniéndolo en un límite de 5 mA. Si no se hace esto podría destruirse el conmutador interno. De igual modo que el potenciómetro mecánico, la resistencia del RDAC entre el cursor W y el terminal A también produce una resistencia controlada digitalmente RW A . Cuando se usan estos terminales, el terminal B deberá estar abierto o conectado al cursor. Este modo de operación hace que el valor de la resistencia RW A empiece al valor máximo de la resistencia y decremente en la medida que el valor de los datos cargados en el latch se incrementen. La ecuación general para esta operación es RW A (D) =

256 − D RAB + RW 256

(6.2.14)

En la Tabla 6.3 se pueden observar algunos valores característicos para este modo de operación. La distribución típica de la resistencia nominal RAB de canal a canal está ajustada en ±1%. Programación del potenciómetro como divisor de tensión El potenciómetro digital genera fácilmente tensiones de salida de W a B y de W a A de modo que sean proporcionales a la tensión de entrada de A a B. Ignorando temporalmente el efecto de la resistencia de contacto, por ejemplo, si se conecta el terminal A a +5 V y el terminal B a

160

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Tabla 6.3: Valores característicos en el potenciómetro digital en modo inverso D [decimal] RW B [Ω] Estado de salida 256 60 Escala plena 128 10060 Escala media 1 19982 1 LSB 0 20060 Escala cero

tierra se produce una tensión de salida de W a B empezando en cero voltios hasta 1 LSB menor que +5 V . La ecuación general que define la tensión de salida W a tierra para cualquier tensión de entrada dada entre los terminales AB es VW (D) =

D 256 − D VA + VB 256 256

(6.2.15)

La operación del potenciómetro digital en el modo de divisor resulta en una operación más precisa con respecto a la temperatura. A diferencia del modo de reóstato, la tensión de salida es dependiente de la relación de los resistores internos RW A y RW B y no de sus valores absolutos.

6.3

Transductores termorresistivos

En general, la resistencia óhmica de un material conductor o semiconductor depende en mayor o menor grado de la temperatura, de modo que existirá una relación R = f (T )

(6.3.1)

siendo R la resistencia del elemento sensible y T su temperatura y estando determinada la función f por la naturaleza del material. Se define como coeficiente de temperatura α el cociente entre la variación diferencial relativa de resistencia dR/R y la variación correspondiente de temperatura dT α=

dR R

dT

=

1 dR R dT

(6.3.2)

Para los conductores usuales la ley de variación es lineal, del tipo R = R0 (1 + κT )

(6.3.3)

manteniéndose el coefieciente κ sensiblemente constante en una amplia gama de temperaturas (4.2 × 10−3 ◦ C −1 para el Cu, 6.6 × 10−3 ◦ C −1 para el Ni y 3 9 × 10−3 ◦ C −1 para el Pt). Es de destacar que la precisión de estos parámetros es tan alta que los termómetros de resistencia metálica se utilizan frecuentemente como patrones para medidas térmicas (por ejemplo, el termómetro de resistencia de platino se emplea como patrón internacional entre −190◦ C y

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

161

660◦ C), pero también es necesario observar que su aplicación industrial presenta algunos inconvenientes relacionados con problemas de contaminación del elemento metálico, defectos de aislamiento, poca robustez, etc. En aplicaciones de termometría el elemento sensible forma parte, en general, de un puente de Wheatstone con el objeto el obtener señales de amplitud relativamente grandes sin amplificación. Aunque existen muy diversos tipos de sondas termométricas de resistencia metálica, se citarán dos muy utilizados industrialmente: El captador de bulbo, que incluye una vaina metálica protectora que contiene el hilo de resistencia y un material de sellado a través del cual salen los conductores terminales, utilizándose normalmente para medida de temperatura de líquidos y gases. Por otra parte, el captador de superficie, consiste en una malla muy fina de hilo metálico (por ejemplo, níquel) embebida en una placa de material aislante que se aplica a la superficie cuya temperatura ha de medirse. Otra aplicación clásica de los transductores de resistencia metálica variable, es el llamado anemómetro de hilo caliente. El captador tiene en uno de sus extremos un hilo conductor muy delgado (diámetro del orden de 0.005 mm) a través del cual se hace pasar una corriente eléctrica de caldeo. Si dicha corriente se mantiene constante, la tensión que aparece entre extremos de la sonda será proporcional a la resistencia de la misma, la cual dependerá a su vez de la temperatura, que estará determinada por las condiciones de refrigeración impuestas por la corriente del fluido cuya velocidad desea conocerse. La relación de velocidad—tensión de salida viene dada por la curva de calibración que acompaña al transductor.

6.3.1

Circuitos de medida con sondas de resistencia metálica

Aunque son muy diversos los circuitos utilizados con sondas de resistencia metálica, se expone a continuación, a modo de ejemplo, un esquema basado en la alimentación a corriente constante de la termorresistencia, procedimiento que permite obtener directamente una tensión aproximadamente proporcional a la temperatura (con el error de linealidad inherente a la propia ley de variación de la resistencia). En la Fig. 6.15, el amplificador operacional U1 está conectado como fuente de corriente e inyecta en la sonda una corriente i = vi /R1 (siempre que R À Rs ), sirviendo el potenciómetro P1 para ajustar el valor de dicha corriente. El amplificador U2 está conectado como sumador y su tensión vo de salida es: vo = Kf (iRs − vp ) = Kf

µ

Rs vi − vp R1

¶

(6.3.4)

y sustituyendo, en primera aproximación, Rs = Ro (1 + κθ), donde R0 es la resistencia de la sonda para θ = 0, se tiene: ∙ ¸ R0 (1 + κT ) vi − vp vo = Kf (6.3.5) R1

162

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.15: Circuito de amplificación para una termorresistencia. Para T = 0, el potenciómetro P2 deberá ajustarse de modo que se cumpla vo = 0, para lo cual, según la ecuación (6.3.5), R0 vp = vi (6.3.6) R1 obteniéndose entonces: vo =

R0 κKf T vi R1

(6.3.7)

La resistencia variable conectada como realimentación del amplificador U2 servirá, obviamente, para el ajuste de fondo de escala dado que la tensión de salida es proporcional a Kf , de acuerdo con la ecuación (6.3.7). La sensibilidad absoluta del circuito es: ¯ v ¯ ∂vo Ro ¯S o ¯ = = κ Kf vi θ ∂θ R1

(6.3.8)

mientras que la sensibilidad relativa con respecto a todos los parámetros involucrados estará dada por ∂vo λ vo vo vo = STvo = Sκvo = SK = SR = −SR =1 (6.3.9) Sλvo = o 1 f ∂λ vo

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

6.3.2

163

Detectores de temperatura resistivos (RTD)

Una característica de los metales es que su resistencia eléctrica es función de la temperatura del metal. Así, un alambre de metálico de longitud l, combinado con un dispositivo de medición de resistencia es un sistema de medida de temperatura. Los sensores de temperatura basados en el efecto de la resistencia de un metal se conocen como detectores de temperatura resistivos (RTD). Los RTD se usan para medir directamente la temperatura, tienden a ser muy estables. Por otra parte, las sondas RTD son en general fisicamente más grandes que las termocuplas, resultando en un resolución espacial más pobre y una respuesta transitoria más lenta. Los sensores RTD más comunes se construyen de platino, aunque se pueden utilizar otros metales incluyendo níquel y aleaciones de níquel. Para el platino la relación resistencia temperatura está dada por la ecuación Callendar—Van Dusen: RT = Ro {1 + α[T − δ(0.01T − 1)(0.01T ) − β(0.01T − 1)(0.01T )3 ]}

(6.3.10)

donde α, β y δ son constantes, dependientes de la pureza del platino la cual se determina por calibración. La constante dominante es α, la cual tiene un valor de 0.003921/◦ C para la denominada curva de calibración ‹‹americana››, o 0.003851/◦ C para la curva de calibración ‹‹europea››. Para la curva de calibración americana, δ = 1.49 y β = 0 para T > 0. y β = 0.11 para T < 0.Fácilmente se puede adquirir los sensores correspondientes a cada curva. En las Figs. 6.16 y 6.17 se muestra la respuesta de R vs T para valores positivos y negativos de la temperatura, respectivamente. y

300

250

200

150

100

50

0 0

125

250

375

500 x

Figura 6.16: Respuesta para T > 0. Hay un gran número de configuraciones de elementos sensores RTD. La Fig. 6.18 muestra un sensor de hilo de platino devanado y un sensor de película delgada. En el sensor de hilo devanado, el platino se enrolla en un bobina y el ensamble completo se monta en una cubierta de cerámica o de vidrio. El encapsulado previene daño o contaminación. En el diseño de película

164

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE 150

y

125

100

75

50

25

0 -100

-75

-50

-25

0

x

Figura 6.17: Respuesta para T < 0. delgada, el platino se monta en un sustrato de cerámica y entonces es encapsulado con cerámica o vidrio. El diseño de película delgada es una tecnología más nueva y está ganando favor debido a su más bajo costo. Es importante en el diseño de las sondas RTD minimizar el esfuerzo sobre el platino debido a la expasión térmica, puesto que el esfuerzo también causa cambios en la resistencia. Como en el caso de las galgas extensométricas, el puente de Wheatstone es un circuito apropiado para medir el cambio de resistencia en los RTD. La Fig.6.19 muestra un puente de Wheatstone que podría utilizarse para medir la resistencia de un RTD. Hay que tener en cuenta la resistencia propia del alambre de conexión puesto que va a estar sometido al cambio de temperatura igual que la sonda. Si la temperatura cambia, también cambiará la resistencia del hilo. Si Vo se mide en la forma como está indicado, las resistencias en el hilo estarán en la misma rama del puente donde está el RTD y el cambio en la resistencia del hilo simplemente se sumará al cambio de resistencia del RTD. El circuito del la Fig. 6.19 (a) será adecuado si la resistencia de los alambres terminales es baja y no se requiere gran precisión. Despreciando las resistencias de los alambres terminales y asumiendo que R1 = R4 , el análisis del circuito conduce la siguiente expresión para la resistencia del RTD: RRTD = R2

Vcc − 2Vo Vcc + 2Vo

(6.3.11)

Se debe notar que el cambio en la resistencia de los RTD es muy grande comparada con las galgas extensométricas (como se verá más adelante), y la posible linealización para las galgas no es factible para los circuitos RTD. Como consecuencia, la ecuación (6.3.11) muestra una relación no lineal entre la tensión medida y la resistencia del RTD. Un circuito alternativo llamada el puente RTD de tres hilos se muestra en la Fig. 6.19 (b) donde un hilo adicional C, se ha agregado. Con este circuito, Rha (la resistencia del hilo A)

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

165

Alambres terminales

Película de platino Cápsula de cerámica

Alambre de platino

Sustrato

1 cm (a)

(b)

Figura 6.18: Detectores de temperatura resistivos: (a) alambre de platino (b) película delgada. estará en la misma rama del puente como R2 y Rhb (la resistencia del hilo B), estará en la misma rama que el RTD Si los hilos de los terminales son del mismo material, tienen el mismo diámetro y longitud y siguen la misma trayectoria, los cambios en la resistencia de los terminales tendrán un efecto muy pequeño sobre Vo . No hay corriente a través de Rhc , de modo que esta resistencia no afecta al circuito. Para este circuito, incluyendo las resistencia de los terminales (con R1 = R4 ), la resistencia del RTD estará dada por RRTD = R2

Vcc − 2Vo 4Vo − Rterm Vcc + 2Vo Vcc + 2Vo

(6.3.12)

donde Rterm corresponde a la resistencia de los terminales. El segundo término en esta ecuanción usualmente es pequeño, pero para obtener los mejores resultados, se deberá determinar el valor inicial de la resistencia de los terminales. El hecho de que Rterm (se supone que todos los terminales tienen la misma resistencia) tenga efecto en la medida, es una consecuencia de la operación del puente en el modo desbalanceado. Es posible operar el puente en un modo balanceado en el cual el resistor R2 se ajusta tal que Vo sea cero. En este caso, RRTD = R2 y las resistencias de los terminales no afectarán el resultado. Desafortunadamente, es difícil usar sistemas de adquisición de datos con el modo balanceado. Para medidas de alta precisión, sin embargo, es preferible el modo balanceado. La Fig.6.20 presenta dos circuitos más utilizados para determinar la resistencia de un RTD. En la Fig. 6.20 (a), la caída de tensión a través del RTD es sensada con dos terminales que no conducen corriente y por lo tanto no tienen caída de tensión. Para este circuito la resistencia es

166

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.19: Circuitos en puente Wheatstone para RTD: (a)Dos hilos (b) tres hilos una función lineal de la tensión medida y está dada por RRTD = Vo I

(6.3.13)

En este circuito Vo es proporcional a la resistencia del RTD en lugar que al cambio de resistencia como en el caso con los circuitos de puente Wheatstone. La Fig. 6.20 (b) utiliza cuatro terminales portadores de corriente siguiendo la misma trayectoria del RTD. Dos de los terminales más el RTD están en la misma rama A—D y los otros dos terminales más R3 estarán el rama D—C. Como con el puente de tres hilos, los cambios en las resistencias de los terminales compensan y tienen un efecto despreciable sobre Vo . La fórmula para evaluar la resistencia del RTD es RRTD = R3

Vcc − 2Vo 8Vo − Rterm Vcc + 2Vo Vcc + 2Vo

(6.3.14)

Como el puente de tres hilos, para mediciones precisas, se deberán conocer las resistencias nominales de los terminales cuando se trabaja en el modo desbalanceado. Puesto que existe un flujo de corriente a través del RTD cuando está situado en un circuito de medición, hay una disipación de potencia y por lo tanto el RTD tiene autocalentamiento. Este no es normalmente un problema cuando se mide temperaturas en líquidos pero puede producir error cuando se mide temperatura en gases. Se puede estimar este efecto de autocalentamiento, usando

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

167

Figura 6.20: Circuitos para RTD. dos tensiones de alimentación diferentes mientras se mide una temperatura estática. Cualquier diferencia en la resistencia indica un problema potencial de autocalentamiento. El problema de autocalentamiento se puede minimizar usando fuentes de alimentación de bajo voltaje; sin embargo, se reducirá la salida del circuito sensor. Como se mencionó, las sondas RTD tienen potencialmente muy alta precisión (±0.001◦ C) pero con las técnicas actuales utilizadas en ingeniería, no se requiere que el sensor tenga alto grado de precisión. Esto dependerá esencialmente del sistema de adecuación y adquisición de los datos. Por otra parte, las incertidumbres en los resistores del puente y los dispositivos de medida de voltaje tendrán un precisión limitada. Ejemplo 25 Una sonda RTD tiene una resistencia de 100Ω a 0◦ C. Las constantes de la ecuación Callendar—Van Dusen son α = 0.00392, δ = 1.49 y β = 0 para T > 0. ¿Cuál será la resistencia a (i) 300◦ C? (ii) Se desea medir la temperatura a −50◦ C, ¿Cuál será el valor de la resistencia en este caso? Sol. (i) Sustituyendo en la ecuación (6.3.10) se obtiene RT

= Ro {1 + α[T − δ(0.01T − 1)(0.01T ) − β(0.01T − 1)(0.01T )3 ]}

= 100(1 + 0.00392(300 − 1.49(0.01 × 300 − 1)(0.01 × 300))) = 214.10Ω

(ii) Para este caso T < 0 y se debe utilizar el factor β = 0.11. Reemplazando en la misma ecuación se llega a RT

= Ro {1 + α[T − δ(0.01T − 1)(0.01T ) − β(0.01T − 1)(0.01T )3 ]}

= 79.944Ω

Ejemplo 26 Se dispone de una RTD de platino de 100Ω que tiene un coeficiente de disipación térmica ϑ = 6mW/K en aire y ϑ = 100mW/K en agua. Si se desea que el error por autocalentamiento sea inferior a 0.1◦ C, ¿cuánta corriente puede circular por la resistencia según esté al aire o inmersa en agua?

168

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Sol. Si la potencia disipada es Pd , el calentamiento experimentado será ∆T =

Pd I 2R = ϑ ϑ

y, por lo tanto, la corriente máxima permitida será r ∆T ϑ I= R Con la sonda en el aire, I=

r

(6.3.15)

(6.3.16)

(0.1) × (0.006) = 2.4495 mA 100

Con la sonda inmersa en agua I=

r

(0.1) × (0.1) = 10 mA 100

Obsérvese que la inmersión en el agua permite mayor flujo de corriente.

6.3.3

Termistores

Como con el RTD, el termistor es un dispositivo que tiene una resistencia dependiente de la temperatura. Sin embargo, el termistor, un dispositivo semiconductor muestra un mayor cambio en la resistencia con respecto a la temperatura que el RTD. El cambio en la resistencia con la temperatura en el termistor es muy grande, del orden del 4% por grado centígrado. Es posible construir termistores con una característica de resistencia vs temperatura con pendiente positiva o negativa. Sin embargo, los dispositivos termistores más comunes tienen una pendiente negativa NTC ; lo que significa, que un incremento en la temperatura produce un decremento en la resistencia, lo opuesto de los RTD. Están constituidos por mezclas sinterizadas de polvos de óxidos metálicos (de hierro, titanio, níquel, cobalto, cromo, etc) y semiconductores, en forma de discos, barras, placas y otras configuraciones. Los termistores son altamente no lineales, mostrando una relación logarítmica entre la resistencia (en kΩ) y la temperatura: 1 = a + b ln R + c(ln R)2 + d(ln R)3 T

(6.3.17)

Para identificar los parámetros a, b, c y d, basta medir R a cuatro temperaturas distintas y resolver el sistema de ecuaciones como se indica en la ecuación (6.3.18). ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ −1 ⎤ T1 1 ln R1 (ln R1 )2 (ln R1 )3 a ⎢ 1 ln R2 (ln R2 )2 (ln R2 )3 ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢ T −1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ (6.3.18) ⎣ 1 ln R3 (ln R3 )2 (ln R3 )3 ⎦ ⎣ c ⎦ = ⎣ T −1 ⎦ 3 1 ln R4 (ln R4 )2 (ln R4 )3 d T4−1

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

169

A partir de a, b, c y d el valor de T con una resistencia medida R viene dada por T = (a + b ln R + c(ln R)2 + d(ln R)3 )−1 − 273.15

0

C

Ejemplo 27 Los siguientes son datos de resistencia y temperatura, en kΩ y Kelvin respectivamente, para el caso de un termistor con encapsulado de acero de 10 kΩ dados por el fabricante: T1 T2 T3 T4

= 253.15 R1 = 78.91 = 293.15 R2 = 12.26 = 343.15 R3 = 1.99 = 393.15 R4 = 0.4818

R ° Sol: El siguiente programa realizado en Matlab , permite calcular los coeficientes a, b, c y d, así como realizar la gráfica de T vs R la cual se puede apreciar en la Fig. 6.21.

T1=253.15; R1=78.91; T2=293.15; R2=12.26; T3=343.15; R3=1.990; T4=393.15; R4=0.4818; y=[1/T1;1/T2;1/T3;1/T4]; A=[1,(log(R1)),(log(R1))^2,(log(R1))^3;1,(log(R2)),(log(R2))^2,(log(R2))^3; 1,(log(R3)),(log(R3))^2,(log(R3))^3;1,(log(R4)),(log(R4))^2,(log(R4))^3]; x=A^(-1)*y; R=1.0:0.1:100.0; T=(x(1)+x(2)*log(R)+x(3)*(log(R)).^2+x(4)*(log(R)).^3).^(-1)-273.15 plot(R,T) Para el caso dado se obtienen los siguientes valores de los coeficientes: a = 2.700 × 10−3 b = 2.6138 × 10−4 c = 3.416 × 10−6 d = 1.2714 × 10−7 Siendo dispositivos semiconductores, los termistores están restringidos a temperaturas relativamente bajas. Muchos están restringidos a temperaturas por debajo de 100◦ C y generalmente no hay disponibles para medir temperaturas por encima de 300◦ C. Los sensores de termistores pueden llegar a ser muy precisos, del orden de ±0.1◦ C, pero la mayoría no lo son tanto. Otra forma de expresar la relación de la resistencia de coeficiente de temperatura negativo con la temperatura absoluta es de la forma: B

R = R0 e

³

1 T

− T1

0

´

(6.3.19)

donde R es la resistencia a la temperatura absoluta T . El parámetro B es la denominada temperatura característica del material, y tiene valores entre 2000 K y 5000 K, pero varía con

170

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.21: Variación de la temperatura de un termistor con respecto a su resistencia. la temperatura, aumentando al aumentar ésta. Para el modelo Thermowid de Siemens, por ejemplo, (6.3.20) B(TC ) = B[1 + γ(TC − 100)] donde TC es la temperatura en grados centígrados, γ = 2.5 × 10−4 /K para TC > 100◦ C y γ = 5 × 10−4 /K para TC < 100◦ C.B también varía de una a otra unidad para un mismo material salvo en el caso de modelos intercambiables. Se puede definir un coeficiente de temperatura tomando logaritmos neperianos y diferenciando, B dR = − 2 dT R T es decir, B 1 dR =− 2 (6.3.21) α= R dT T coeficiente siempre negativo y muy dependiente de la temperatura, el cual representa la sensibilidad relativa del sistema. A 25◦ C y con B = 4000K, resulta α = −4.5%/K, que es más de diez veces superior a la de la Pt100. El valor de B se puede encontrar midiendo la resistencia del termistor a dos temperaturas conocidas T1 y T2 . Si la resistencia respectiva es R1 y R2 , se tendrá 1 ln R R2 (6.3.22) B= 1 1 T1 − T2

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

171

Ejercicio 7 Se han tomado medidas con un termistor obteniéndose datos así: T1 = 50◦ C, R1 = 50kΩ. Se decrementa la temperatura a 25◦ C con lo cual la resistencia se incrementa en un 50%. Encontrar el valor de B del termistor. ¿Cuál será el valor de R0 ? Solución. Aplicando la ecuación (6.3.22) se obtiene B=

3

1 ln R R2

1 T1

−

1 T2

=

50×10 ln 50×10 3 ×1.5

1 273.15+50

−

1 273.15+25

= 1562. 6

y el valor de la resistencia Ro se obtiene despejándola de la ecuación (6.3.19): −B

R0 = R1 e

³

1 T

− T1

0

´

1

1

= 50 × 103 × e−1562.6( 273.15+50 − 273.15 ) = 121.17 kΩ

Para algunas aplicaciones de los termistores, interesan no tanto sus características resistencia— temperatura como la relación entre la tensión en bornes del termistor y la corriente a su través. En régimen transitorio se tendrá W = V I = I 2 RT = δ(T − Ta ) + cp

dT dt

(6.3.23)

50×103 = 50 000donde δ (mW/K) es la constante de disipación térmica del termistor, cp (mJ/K) es su capacidad calorífica y Ta es la temperatura ambiente. En régimen estacionario dT /dt = 0 y queda I 2 RT

= δ(T − Ta ) V2 VI = = δ(T − Ta ) RT

(6.3.24) (6.3.25)

La tensión máxima en bornes del termistor en función de la temperatura puede obtenerse a partir de la ecuación (6.3.25) y de B (6.3.26) V = RI = IAe T 2 resulta, 2

V = δ(T − Ta )A exp

µ

B T

para tensión máxima se cumplirá dV 2 /dT = 0, que lleva a 1 = (T − Ta ) cuyas soluciones son B T = 2

Ã

1±

r

¶

B T2

4Ta 1− B

(6.3.27)

(6.3.28) !

(6.3.29)

172

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Tabla 6.4: Comparación de las resistencias NTC y otros sensores Captador Margen Sensibilidad Precisión Estabilidad

Termistor (absoluta) Resistencia metálica Termopar

−260◦ C a +300◦ C −200◦ C a +1000◦ C −260◦ C a +2800◦ C

10 KΩ/◦ C 0.2Ω/◦ C 40 − 50μV /◦ C

±0.01◦ C ±0.01◦ C ±0.1◦ C

0.03 ◦ C/a˜ no 0.01a 0.003 ◦ C/a˜ no ◦ 0.1 a 0.03 C/a˜ no

y la temperatura correspondiente al máximo resulta ser la obtenida tomando el signo menos. Obsérvese que esta temperatura depende del material (B) [28]. En la zona de autocalentamiento el termistor es sensible a cualquier efecto que altere el ritmo de disipación del calor. Esto permite aplicarlo a las medidas de caudal, nivel, conductividad calorífica (vacío, composición, etc.). Si la velocidad de extracción de calor es fija, el termistor es sensible a la potencia eléctrica de entrada y entonces se puede aplicar al control de nivel de tensión o de potencia. Recientemente han aparecido las resistencias de coeficiente de temperatura positivo o PTC, elementos semiconductores construidos por cristales de titanato de bario. Estas resistencias tienen la propiedad de modificar su estructura cristalina a una cierta temperatura que varía según la naturaleza y concentración de determinadas impurezas incorporadas al material base (por ejemplo, estroncio). A este cambio de estructura cristalina, que es reversible, corresponde una variación enorme de la resistividad alrededor de una temperatura crítica de transición comprendida entre −50◦ C y +140◦ C (márgenes usuales). La resitencia puede variar en un factor del orden de 104 y el coeficiente de temperatura (en este caso positivo) puede ser hasta 100 veces superior al de una resistencia NTC. A continuación se analizará las características y aplicaciones de ambos tipos de resistencias sensibles a la temperatura. Es de destacar que, al contrario de las termocuplas que responden a diferencias de temperatura, las resistencias NTC o PTC son sensibles a la temperatura absoluta. Por otra parte, una de sus cualidades más sobresalientes es que presentan grandes variaciones de resistencia al variar la temperatura, por lo cual los dispositivos termométricos que utilizan termistores se caracterizan siempre por su alta sensibilidad. Se trata, además de componentes muy robustos, fiables y económicos. Los únicos inconvenientes son su lentitud de respuesta, las grandes tolerancias de fabricación, la necesidad de un envejecimiento artificial para poder garantizar una estabilidad razonable y el campo de medida limitado. En el cuadro siguiente se resumen algunos datos comparativos de las resistencias NTC con otros componentes sensibles a la temperatura.

6.3.4

Curvas características de las resistencias NTC

Como se sabe, el valor de la resistencia de estos componentes viene dado por la expresión B( T1 − T1 )

R = Ro e

0

(6.3.30)

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

173

La temperatura T0 suele ser de 198K (25◦ C), y el coeficiente B puede ser del orden de 4000K. En la Fig. ?? se representa esta función para varios termistores comerciales (siendo el parámetro de las curvas el coeficiente B). 54.6

y

7.389

1

0.1353

0.01832 200

250

300

350

400

450

500

x

Respuesta de termistores comerciales para algunos valores de B. Muchas veces, en el diseño de circuitos, interesa la curva característica tensión-corriente, para cuya justificación es necesario tener en cuenta no solo la temperatura ambiente, sino también los efectos de autocalentamiento.

6.3.5

Aplicaciones de las resistencias NTC a la termometría

Las resistencias NTC se aplican ampliamente en circuitos temométricos. Como se verá a continuación, pese a la no linealidad de su resistencia en función de la temperatura, puede optimizarse el diseño obteniéndose sistemas de medida muy sensibles con errores por falta de linealidad aceptables. En la Fig. 6.22 se representa un circuito típico muy simple para medida de temperatura en donde el termistor se hace funcionar en el primer tramo de su característica. La tensión de salida del divisor es Vo = VCC

R1 R1 + R(T )

Sustituyendo R(T ) por su función se obtiene 1

Vo = 1+

R0 B R1 e

³

1 T

− T1

o

´ VCC

cuya representación gráfica normalizada se ilustra en la Fig. 6.23.

(6.3.31)

174

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

+

NTC

R(T)

Vcc

+ R1

Vo

-

Figura 6.22: Circuito con termistor. La curva presenta un punto de inflexión para una determinada temperatura TL que corresponderá a la máxima linealidad. La temperatura TL se calcula haciendo d2 Vo =0 dt2 obteniéndose

B − 2TL B( 1 − 1 ) R0 e TL T0 (6.3.32) B + 2TL La expresión (6.3.32) permite así calcular la resistencia R1 óptima en función de las características del termistor y de la temperatura TL central del campo de medida. En cuanto a la elección de VCC , habrá que llegar a un compromiso entre precisión (valores de VCC pequeños para evitar el autocalentamiento) y sensibilidad (valores de VCC grandes). Para ello se admite un incremento ∆T máximo sobre la temperatura ambiente Ta a medir, incremento que estará asociado con el error por autocalentamiento. De acuerdo con esto, se tiene: R1 =

∆T = T − Ta siendo la potencia máxima disipada en la NTC (correspondiente a R = R1 ): Wmax = de donde

2 VCC ∆T = 4R1 Rθ

r

R1 ∆T Rθ La sensibilidad absoluta del sistema para T = TL es ¯ µ ¶ VCC B 2 dvs ¯¯ = −1 S= dT ¯T =TL B 4TL2 VCC =

(6.3.33)

(6.3.34)

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS y

175

1

0.75

0.5

0.25

125

250

375

500 x

Ro R1

Figura 6.23: Respuesta de un termistor con B = 4000 y punteada) y 0.1 (Línea de trazos), respectivamente.

= 1 (Línea continua), 10 (Línea

El único inconveniente de este circuito es que, para el origen de la escala termométrica que se adopte, la tensión de salida no es nula. Para evitar esto, se utiliza la configuración en puente (ver 6.24), en donde la tensión de salida será

R2

NTC

+ Vcc

A R1

Vo

R(T)

+ B R1

Figura 6.24: Circuito con NTC en puente.

vo = VBA = VCC

µ

R1 R1 − R(T ) + R1 R1 + R2

¶

que solo se diferencia en una constante de la tensión dada por (6.3.31).

176

6.3.6

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Otras aplicaciones de las resistencias NTC

En la Fig. 6.4 se ilustra muy esquemáticamente una aplicación de una resistencia NTC, donde el termistor funciona en la zona regenerativa. En este caso el termistor actúa como un estabilizador de temperatura. Nótese que se tiene la respuesta dada por la ecuación (6.3.31).

Figura 6.25: Circuito con NTC como regulador de tensión.

Respuesta de tensión de un NTC. La Fig.6.26 representa un circuito de aplicación a la medida del caudal de fluidos. En este caso uno de los termistores (sonda de referencia) está en contacto con el fluido en reposo y el otro (sonda de medida) está situado en el interior del ducto a través del cual circula el fluido cuyo caudal quiere medirse. El fluido en movimiento afecta a la resistencia térmica de la sonda de medida desequilibrando el puente y obteniéndose una medida indirecta del caudal.

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

177

Figura 6.26: Medida de caudal usando NTC.

6.3.7

Resistencias de coeficiente PTC

Las resistencias de coeficiente de temperatura positivo o PTC, tienen la propiedad de experimentar un cambio drástico en su valor cuando se alcanza una temperatura crítica característica del material. Por debajo de dicha temperatura la resistencia es baja (del orden de 100Ω) y por encima, la resistencia es muy alta (del oreden de 10M Ω). Dado que no existe una ecuación que exprese rigurosamente este comportamiento y puesto que el cambio se produce en el estrecho intervalo de temperaturas, la curva queda idealizada como se ilustra en la Fig. 6.27, donde se representa cualitativamente la curva resistencia—temperatura de estos dispositivos.Tomando como base esta simplificación, es fácil deducir la forma de la característica tensión—corriente. En efecto, si v e i son, respectivamente, la tensión aplicada y la corriente se tiene, al igual que en las resistencias NTC: v2 (6.3.35) T − Ta = Rθ vi = Rθ R(T ) Para remperatura ambiente (Ta ) constante y tensiones muy bajas, T será menor que Tc y el valor de la resistencia será R1 por lo cual la curva v − i será una recta tal que v = Rmin i (primer tramo de la característica estática, Fig. 6.28).

178

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.27: Respuesta normalizada de una PTC.

Figura 6.28: Respuesta corriente—tensión de un PTC.

La temperatura crítica se alcanza cuando la tensión toma un valor V1 tal que: V2 Tc − Ta = Rθ 1 Rmin

∴ V1 =

s

Rmin (Tc − Ta ) Rθ

(6.3.36)

Si se sigue aumentando v se produce el tránsito hacia el valor R2 a temperatura constante Tc , luego la potencia disipada será así mismo constante, de acuerdo con (6.3.35), es decir: Tc − Ta = Rθ vi

(6.3.37)

6.3. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS

179

función que corresponde gráficamente a una hipérbola equilatera en el diagrama v − i (segundo tramo). Finalmente cuando R(T ) toma el valor Rmax la tensión aplicada es tal que: s V22 Rmax (Tc − Ta ) Tc − Ta = Rθ ∴ V2 = (6.3.38) Rmax Rθ Para tensiones superiores a V2 la relación v/i se mantiene nuevamente constante e igual a Rmax y la característica vuelve a ser una recta de ecuación v = iRmax (tercer tramo). Es de observar que los tramos primero y tercero no dependen de la temperatura ambiente, por lo cual, una familia de curvas para diferentes valores de Ta tendría el aspecto que se muestra en la Fig. 6.29.

Figura 6.29: Familia de curvas para diferentes valores de temperatura ambiente. Las resistencias PTC se aplican fundamentalmente en la detección de umbral de temperatura (protecciones térmicas, detectores de incendio, etc.) siendo muy simples, por lo general, los circuitos correspondientes. Puesto que Rmax À Rmin las resistencias PTC se comportan prácticamente como un interruptor que se abre y se cierra en la proximidades de Tc . Además, y como una ventaja adicional, en dichos circuitos este efecto se produce por histéresis, lo cual evita la ambigüedad en el tránsito. Con el objeto de poner de manifiesto lo anterior, considérese el circuito de la Fig. ?? que representa el montaje más simple de detector de temperatura. Del mismo modo que en el caso de las resistencias NTC, la expresión v = V − iR define una recta de carga cuya intersección con la curva característica corresponde a una determinada temperatura ambiente y constituye el punto de funcionamiento. En la Fig. 6.31 se representa v en función de T evidenciándose el efecto de histéresis. Para que el funcionamiento tenga lugar es preciso que la pendiente de la recta de carga sea menos negativa que la de la zona hiprbólica, lo cual se cumple, si Rl ≥ Rmin

(6.3.39)

180

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.30: Circuito con un dispositivo PTC.

Figura 6.31: Histéresis en la respuesta de una PTC.

6.4

Transductores fotorresistivos

Los más importantes dentro de este grupo son, sin duda, la célula fotorresistiva (fotorresistencia) y el fotodiodo.

6.4.1

La célula fotorresistiva

La célula fotoresistiva o LDR es esencialmente una resistencia cuyo valor varía con la intensidad de la radiación luminosa incidente y consiste en una capa delgada de selenio, germanio, sulfuro de plomo, sulfuro de cadmio, antimonio, indio y algunos otros metales o compuestos metáicos, dispuesta sobre un substrato cerámico o plástico. La capa fotorresistiva suele tener forma ondulada y está protegida por una lámina transparente que constituye una de las caras de la cápsula que contien la célula. La resistencia de elemento disminuye a medida que aumenta la intensidad

6.4. TRANSDUCTORES FOTORRESISTIVOS

181

de la radiación según la ley de variación que depende del material utilizado. Con el objeto de ilustrar el principio físico en que se basan las resistencias LDR, la Fig. representa un bloque de un material semiconductor fotosensible provisto de dos electrodos exteriores entre los que está aplicada la tensión v, y sobre el cual incide radiación luminosa de intensidad L y longitud de onda λ. El número de electrones liberados por unidad de tiempo por efecto fotoeléctrico puede expresarse en la forma N = ηLAd (6.4.1) donde η es un parámetro que depende de λ, A es el ancho de la zona expuesta y d su longitud. Si τ es la vida media de los electrones libres y v la velocidad media a la que se desplazan por acción del campo eléctrico asociado con el potencial v, el número efectivo de ellos que contribuirá a la corriente en el circuito exterior, será: Nef = η L A d

vτ d

(6.4.2)

ya que el producto vτ es la longitud recorrida durante su vida media. Por otra parte, si E = v/d es el campo eléctrico, se cumple: v = μe E = μe

v d

(6.4.3)

v τ d

(6.4.4)

donde μe es la movilidad de los electrones, luego Nef = η LA μe

La corriente eléctrica se obtendrá multiplicando Nef por la carga q del electrón: i = qNef = η L A μe

v τ q d

(6.4.5)

y la resistencia medida entre los electrodos puede obtenerse de la expresión anterior R=

v d 1 = i η A μe q τ L

(6.4.6)

la vida media τ por otra parte, está ligada con la intensidad luminosa L mediante uan expresión del tipo (6.4.7) τ = τ −β 0 L De este modo, la resistencia R será de la forma R = K I˜−α donde K=

d A q μ η τ0

182

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Figura 6.32: Respuesta noramlizada de una fotorresistencia para algunos valores de α. El exponente α puede variar, según el tipo de célula, entre 0.7 y 1.5. En la Fig. 6.32 se ilustra cualitativamente la función R(L) pudiendo observarse que se producen grandes variaciones de resistencia, dado el orden α, sobre todo para bajos niveles de iluminación. Ls fotorresistencias son, pues, captadores muy sensibles al igual que los termistores. En cuanto a la curva característica tensión—corriente no tiene ninguna particularidad dado que, para L constante, será una recta que pasa por el origen. El principal inconveniente de las resistencias fotosensibles es su fuerte dependencia de la temperatura para baja iluminación. Para combatir este efecto suelen conectarse resistencias normales en paralelo obteniéndose curvas de resistencia global en función de la intensidad de iluminación más estables a expensas de sacrificar la sensibilidad. Otro inconveniente importante es su lentitud de respuesta ante variación brusca de intensidad luminosa, con constantes de tiempo del orden de segundos. Este hecho limita las aplicaciones de las fotorresistencias a frecuencias muy bajas . Las células LDR se utilizan como captadores primarios para fotometría, si bien pueden formar parte de transductores más complejos en donde se detecta, por ejemplo, la interrupción de un haz luminoso, un cambio de transparencia, etc. En la Fig. 6.33 se representa un circuito muy simple para medidas fotométricas. La tensión de salida es la proporcionada por el divisor de tensión formado por R(L) y R1 , es decir: vo =

R1 R1 1 V = V = V K −1 R1 + R(L) R1 + KL−a 1 + R1 L

(6.4.8)

cuya representación gráfica se ilustra en la Fig. 6.34 Se observa, como ocurría con los termistores NTC, la posible existencia de un punto de inflexión, que se determina haciendo: d2 vo =0 (6.4.9) dL2

6.4. TRANSDUCTORES FOTORRESISTIVOS

183

Figura 6.33: Circuito simple con fotorresistencia.

Figura 6.34: Respuesta de una fotorresistencia en una red. con lo cual se obtiene

α − 1 −a L (6.4.10) α+1 c donde Lc es la abscisa de dicho punto de inflexión. Este valor Lc deberá corresponder al centro del margen de medida, para máxima linealidad, o sea R1 = K

Lc =

Lmin + Lmax 2

(6.4.11)

siendo Lmin y Lmax las intensidades de iluminación en los extremos de dicho margen. La ecuación que proporciona R1 demuestra que para que exista punto de inflexión, α tiene que ser mayor que 1. Es decir, la condición α>1

(6.4.12)

184

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

podría ser el criterio de elección de la célula para que fuese válido el procedimiento de diseño que se está proponiendo. Puesto que, además, (6.4.13) KL−a c = R(Lc ) la expresión de R1 puede escribirse también en la forma α−1 R(Lc ) (6.4.14) α+1 No hay criterios claros para elegir un determinado tipo de célula en fotometría, a excepción de que α sea mayor que la unidad. Los fabricantes suelen recomendar células de alta resistencia para fuertes iluminaciones y de baja resistencia para iluminaciones débiles. En cuanto a la tensión de alimentación V , puede elegirse, como en el caso de las resistencias NTC, admitiendo un incremento ∆T de temperatura sobre la ambiente, pudiendo aplicarse la misma fórmula r R1 ∆T V ≤2 Rθ La sensibilidad absoluta del circuito que se está estudiando, en el centro de la escala de medida, es: ¯ V α2 − 1 dvs ¯¯ (6.4.15) = S= dL ¯L=Lc LC 4α R1 =

6.4.2

El fotodiodo

Puede también considerarse dentro del grupo de captadores fotorresistivos al fotodiodo. En los fotodiodos se aprovecha el aumento de la conductividad inversa de unión PN por absorción de radiación luminosa. Dicho aumento se debe a la generación de pares electrón—hueco al incidir los fotones sobre el material semiconductor, creándose así una corriente inversa de fugas dependientes de la intensidad de la radiación. En la Fig. 6.35 se representa una familia de curvas características de un fotodiodo. Para L = 0 se tiene la curva típica de un diodo semiconductor. Para intensidades luminosas crecientes (L1 , L2 , etc) las curvas toman la forma ilustrada en la figura presentando un desplazamiento descendente. Los tramos del primer y cuarto cuadrante corresponden al funcionamiento como generador fotovoltaico. Los tramos horizontales del tercer cuadrante corresponden, por el contrario, al funcionamiento como fotorresistencias pasivas, aplicación más usual, dado que los valores de la corriente inversa son sensiblemente proporcionales a las intensidades luminosas (fotometría). En la Fig. 6.36 se representa un dispositivo fotométrico basado en estos dos modos de funcionamiento. Admitiendo que la corriente inversa del fotodiodo es proporcional a la intensidad luminosa L, es decir, i = Kd L, donde Kd es una constante particular para cada fotodiodo, la tensión de salida será: (6.4.16) vo = iR1 = R1 Kd L

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS

185 i 1.25

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0

0.5

1

-1.25

-2.5

Figura 6.35: Respuesta de un fotodiodo a la excitación. __>

i

D + V

+ R1

vo

-

Figura 6.36: Circuito con fotodiodo. con una sensibilidad absoluta de S=

dvs = R1 Kd dL

(6.4.17)

Los fotodiodos son más estables con la temperatura que las células LDR y, por supuesto, mucho más lineales y de respuesta mucho más rápida. Su único inconveniente es que las corrientes que manejan son muy pequeñas (del orden de microamperios). Se utilizan en fotometría, detección de impulsos luminosos, lectura óptica de cintas perforadas, lectura de caracteres, medida de transparencia, etc.

6.5

Transductores extensométricos

Constituyen un importante grupo de captadores de amplia aplicación en la medida de deformaciones de estructuras sólidas sometidas a esfuerzos. Su principio de funcionamiento se basa en

186

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

la variación de resistencia de un hilo conductor por efecto de un alargamiento. Cuando se aplica una fuerza a una estructura, los componentes de la estructura cambian ligeramente en sus dimensiones y se dice que está sometida a un esfuerzo. Los dispositivos que miden estos pequeños cambios en las dimensiones se denominan galgas extensométricas. La galga extensométrica es un dispositivo muy común utilizado en la medición de esfuerzos en las estructuras y también como un elemento sensor en una amplia variedad de transductores, incluyendo aquellos usados para medir fuerza, aceleración y presión. Las galgas extensiómetricas y los acondicionadores de señal asociados son sencillos, baratos y muy confiables. Considérese un hilo metálico de longitud l sección A, y resistividad ρ, su resistencia eléctrica R es l R=ρ A Si se le somete a un esfuerzo en dirección longitudinal, cada una de las tres magnitudes que intervienen en el valor de R experimenta un cambio y, por lo tanto, R también cambia de la forma dρ dl dA dR = + − (6.5.1) R ρ l A El cambio de la longitud que resulta de aplicar una fuerza F a una pieza unidimensional, siempre y cuando no se entre en la zona de fluencia (Fig), viene dado por la ley de Hooke, σ=

dl F =E =E A l

donde E es una constante del material, denominada módulo de Young, σ es la tensión mecánica y es la deformación unitaria. es adimensional, pero para mayor claridad se suele dar en ‹‹microdeformaciones› › (1 microdeformación = 1μ = 10−6 m/m). El término dl/l se define como esfuerzo axial, ∈a . dl ∈a = l Si se considera ahora una pieza que además de la longitud l tenga una dimensión transversal t, resulta que como consecuencia de aplicar un esfuerzo longitudinal no solo cambia l sino que también lo hace t. El cambio en la dimensión transversal respecto a la longitudinal depende de la relación entre los esfuerzos transversal y longitudinal, los cuales están dados por la ley de Poisson: (6.5.2) t = −ν ∈a donde ν es el denominado coeficiente de Poisson. El signo menos indica que cuando la longitud se incrementa, la sección decrece.Su valor está entre 0 y 0.5, siendo, por ejemplo, de 0.17 para la fundición maleable, de 0.303 para el acero y de 0.33 para el aluminio y el cobre. Obsérvese que para que se conservara constante el volumen debería ser ν = 0.5.

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS

187

Para el hilo conductor considerado anteriormente, si se supone una sección cilíndrica de diámetro D, se tendrá D2 A=π 4 dD dl dA =2 = −2ν (6.5.3) A D l Debe notarse que esta relación es válida independientemente de la forma geométrica de la sección transversal del hilo conductor. La variación que experimenta la resistividad como resultado de un esfuerzo mecánico se conoce como efecto piezorresistivo. Estos cambios se deben a la variación de la amplitud de las oscilaciones de los nudos de la red cristalina del metal. Si éste se tensa, la amplitud aumenta, mientras que si se comprime, la amplitud disminuye. Si la amplitud de las oscilaciones de los nudos aumenta, la velocidad de los electrones disminuye, y ρ aumenta. Si dicha amplitud disminuye ρ también disminuye. Para el caso de los metales, resulta que los cambios porcentuales de resistividad y de volumen son proporcionales dV dρ =C ρ V donde C es la denominada constante de Bridgman, cuyo valor es de 1.13 a 1.15 para las aleaciones empleadas comúnmente en galgas, y de 4.4 para el platino. Aplicando (6.5.3), el cambio de volumen se puede expresar como V =

πlD2 4

dV dl dD dl = +2 = (1 − 2ν) V l D l y, por lo tanto, si el material es isótropo y no se rebasa su límite elástico, (6.5.1) se transforma finalmente en dR =∈a [1 + 2ν + C(1 − 2ν)] (6.5.4) R En este punto, es útil definir el factor de galga axial (Función de sensibilidad relativa), Sa : Sa =

dR/R

(6.5.5)

a

Combinando las ecuaciones (6.5.4) y (6.5.5), se obtiene Sa = 1 + 2ν + C(1 − 2ν)

(6.5.6)

El valor de Sa es del orden de 2 para la mayoría de los metales, salvo para el platino en cuyo caso es del orden de 6.

188

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

Así pues, para pequeñas variaciones la resistencia del hilo metálico deformado puede ponerse de la forma R = R0 (1 + x) donde R0 es la resistencia en reposo y x = Sa . El cambio de resistencia no excede el 2%. En el caso de un semiconductor, al someterlo a esfuerzo predomina el efecto piezorresistivo. Las expresiones de la relación resistencia-deformación son para un caso concreto [7]: • para un material tipo p:

dR = 119.5 + 4 R0

2

• para un material tipo n

dR = −110 + 10 2 R0 donde R0 es la resistencia en reposo a 25◦ C, y se supone una alimentación a corriente constante.

En la Fig. 6.37 se observa la respuesta resistencia vs deformación para los dos tipos de semiconductores.Puesto que se pueden fabricar galgas semiconductoras con alta resistencia, se

Figura 6.37: Relación resistencia—deformación para galgas tipo p (línea continua) y tipo n (línea de trazos). pueden obtener dispositivos de salida muy alta (5 V o más), característica que no se puede dar en las galgas metálicas, en las cuales hay una alta limitación de corriente. La ecuación básica para un puente sobre un voladizo es: (6.5.7) vo = a Sa vi Con esta ecuación, es posible obtener el valor de salida de los puentes activos completos que utilizan galgas semiconductoras. Debe notarse que la tensión de salida no depende de la resistencia

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS

189

Figura 6.38: Algunas configuraciones de galgas extensiométricas de semiconductor (fabricadas por BLH electronics). de la galga. El factor de galga para galgas de alta resistencia también es considerablemente grande y el factor de alinealidad es algo más bajo. Ejemplo 28 Si un puente activo completo de 2000 Ω se monta sobre un voladizo con un buen disipador térmico. Encontrar la excitación posible y la tensión de salida correspondiente. Se supone potencia máxima disipada de 250 mW, esfuerzo de más y menos 1500μm/m con un factor de galga S de 148. Sol.

p √ vi = 2 P R = 2 250 × 10−3 × 2 × 103 = 44. 721 ≈ 45

Sustituyendo este valor para la tensión de entrada en la ecuación (6.5.7) se obtiene vo = 1500 × 10−6 × 148 × 44. 721 = 9. 928 1 ∼ = 10V. Para el caso de un puente alimentado con 10 V, se tendrá un salida de alredeor de 2V (2.22V ). En la Fig. (6.38) se muestran las configuraciones de algunas galgas semiconductoras comerciales. Se ofrecen galgas extensométricas semiconductoras con vidrio fenólico encapsuladas y no encapsuladas. Debido a las altas propiedades de instalación requeridas para voltajes altos, se recomienda usar las de tipo encapsulado. Se puede observar que existe una relación entre el cambio de resistencia de un material y la deformación que experimente éste. Si se conoce la relación entre esta deformación y el esfuerzo que la provoca ??, a partir de la medida de los cambios de resistencia se podrán

190

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

conocer los esfuerzos y, en su caso, las magnitudes que provocan dichos esfuerzos en un sensor apropiado. Un resistor dispuesto de forma que sea sensible a la deformación constituye una galga extensométrica. Cabe considerar algunas limitaciones en la aplicación de este principio de medida [28]: • El esfuerzo aplicado no debe llevar a la galga fuera del margen elástico de deformaciones. Éste no excede del 4% de la longitud de la galga y va desde unas 3000μ para las semiconductoras a unas 40000 μ para las metálicas. • La medida de un esfuerzo sólo será correcta si es transmitido totalmente a la galga. Ello se logra pegando ésta cuidadosamente mediante un adhesivo elástico que sea suficientemente estable con el tiempo y la temperatura. A la vez, la galga debe estar aislada eléctricamente del objeto donde se mide, y protegida del ambiente. • Se debe estar en un estado plano de deformaciones, es decir, que no haya esfuerzos en la dirección perpendicular a la superficie de la galga. Para que la resistencia eléctrica de ésta sea apreciable se disponen varios tramos longitudinales y en el diseño se procura que los tramos transversales tengan mayor sección, pues así se reduce la sensibilidad transversal a un valor de sólo el 1% o el 2% de la logitudinal. • La temperatura es una fuente de interferencias por varias razones. Afecta a la resistividad del material, a sus dimensiones y a las dimensiones del soporte. Como resultado de todo ello, una vez la galga está dispuesta en la superficie de medida, si hay un cambio de temperatura, antes de aplicar algún esfuerzo se tendrá ya un cambio de resistencia. En galgas metálicas este cambio puede ser de hasta 50μ /◦ C. • Un factor que puede provocar el calentamiento de la galga es la propia potencia que disipe cuando, al medir su resistencia, se haga circular por ella una corriente eléctrica. En las galgas metálicas la corriente máxima es de unos 25 mA si el soporte es buen conductor (cobre, acero, aluminio) y de 5 mA si es mal conductor (plástico, madera). La potencia permitida aumenta con el área de la galga y va desde 0.77 W/cm2 a 0.15 W/cm2 , según el soporte. En las galgas semiconductoras, la potencia máxima disipable es de unos 250 mW . • Las fuerzas termoelectromotrices presentes en la unión de dos metales distintos, ya que pueden dar una tensión de salida superpuesta a la de interés si se alimenta la galga con corriente continua. Su presencia se reconoce si cambia la salida al variar la polaridad de la alimentación. Deben corregirse bien mediante el método de insensibilidad intrínseca, por selección de materiales, bien mediante filtrado, a base de alimentar las galgas con corriente alterna. Idealmente, las galgas deberían ser puntuales para poder medir los esfuerzos en un punto concreto. En la práctica sus dimensiones son apreciables, y se supone que el punto de medida

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS

191

es el centro geométrico de la galga. Si se van a medir vibraciones, la longitud de onda de éstas debe ser mucho mayor que la longitud de la galga. Si por ejemplo, ésta es de 5 mm y se mide en acero, donde la velocidad del sonido es de unos 5900 m/s, la máxima frecuencia medible es del orden de 100kHz. Si se mide en una superficie no uniforme, como el hormigón, puede interesar, en cambio, realizar un promedio de deformaciones para no caer en error debido a una singularidad en la superficie. En muchas situaciones, la superficie de una estructura se comprime o tensiona simultanemanete en más de una dirección, llevando a una condición llamada esfuerzo biaxial, si una estructura se carga en una dirección existe un esfuerzo transversal (como lo predice la ecuación (6.5.2)). Este efecto está incluido cuando los fabricantes determinan los factores de galga. En el esfuerzo biaxial, sin embargo, hay una expansión transversal que resulta del esfuerzo transverso. Esta expansión transversal afectará la salida de galga extensométrica y puede describirse con un factor de galga transversal, St . Similar a la ecuación (6.5.5) la cual define el factor de galga axial, St se define por dR/R (6.5.8) St = t

Los fabricantes miden un factor, Kt , llamado la sensibilidad transversal, la cual se suminstra al usuario. Ésta es definida como St Kt = (6.5.9) Sa Los valores de Kt son normalmente muy pequeños, siendo posible valores menores que 0.01. Para una galga sencilla Budynas [8] proporciona la siguiente fórmula para el error en un esfuerzo axial debido a un esfuerzo transversal aplicado: µ ¶ ˆa − a Kt t = ν+ 1 − νKt a a donde a es el esfuerzo axial verdadero y ˆa es el esfuerzo que la medida podría predecir si se despreciara el esfuerzo transversal. Para Kt = 0.01, ν = 0.3 y t / a = 2, el error en el esfuerzo axial es 2.3%. Aunque la galga es ligeramente sensible a los esfuerzos transversales, para propósitos prácticos, una simple galga extensométrica puede medir el esfuerzo únicamente en una dirección. Para definir el estado del esfuerzo sobre una superficie, es necesario especificar dos esfuerzos lineales ortogonales x y y y un tercer esfuerzo llamado cizalladura (esfuerzo cortante), γ xy , el cambio entre dos líneas originalmente ortogonales cuando un sólido se somete a un esfuerzo. Estos esfuerzos se pueden determinar por tres galgas situadas adecuadamente en un arreglo llamado roseta extensométrica. La Fíg. 6.39 muestra los dos arreglos más comunes de estas tres galgas: La roseta rectangular, y la roseta equiangular. En la roseta rectangular, las galgas se colocan a ángulos de 0◦ , 45◦ y 90◦ . En la roseta equiangular, están arregladas a 0◦ , 60◦ y 120◦ . cada una de estas galgas mide el esfuerzo lineal en la dirección del eje de la misma.

192

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

y

y

120º

SG3

SG2

45º

SG2

SG3

60º

x

x

SG1

SG1

(a)

(b)

Figura 6.39: Orientación de galgas extensiométricas en rosetas comunes: (a) rectangular (b) equiangular. De acuerdo a Popov [29], si se puede describir el campo del esfuerzo en un plano sobre un sólido por los valores x , y y γ xy , el esfuerzo lineal en una dirección θ al eje x se puede representar por 2 2 (6.5.10) θ = x cos θ + y sen θ + γ xy senθ cos θ Esta ecuación puede aplicarse a cada una de las galgas extensométricas en una roseta, resultando en tres ecuaciones simultaneas: θ1

=

θ2

=

θ3

=

2 x cos θ 1 2 x cos θ 2 2 x cos θ 3

2 y sen θ 1 2 y sen θ 2 2 y sen θ 3

+ + +

+ γ xy senθ1 cos θ1 + γ xy senθ2 cos θ2 + γ xy senθ3 cos θ3

La roseta proporciona medidas de θ1 , θ2 y θ3 , de aquí se obtienen valores para Para la roseta rectangular, la solución es: x

=

0◦

y

=

90◦

γ xy = 2

45◦

(6.5.11)

x, y

y γ xy .

(6.5.12) −(

0◦

+

90◦ )

Para la roseta equiangular, la solución es: x y

= =

γ xy =

0◦

2

60◦

2 √ ( 3

−2 60◦

120◦

3

−

−

120◦ )

0◦ )

(6.5.13)

6.5. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS

193

Tabla 6.5: Características de las galgas extensiométricas metálicas y semiconductoras Parámetro Metálicas Semiconductoras Margen de medida, μ 0.1 a 40000 0.001 a 3000 Factor de sensibilidad 1.8 a 2.35 50 a 200 Resistencia, Ω 120, 350, 600, . . .5000 1000 a 5000 Tolerancia en la resistencia, % 0.1 a 0.2 1a2 Tamaño, mm 0.4 a 150 1a5 En muchos libros de mecánica de materiales se proporcionan métodos para evaluar los esfuerzos máximos normal y cortante de estos valores de deformación. No es fácil construir los rosetas extensométricas, éstas se pueden obtener de los fabricantes con la forma definida, un ejemplo se muestra en la Fig.6.40.

Figura 6.40: Roseta de galgas extesiométricas.

Tipos y aplicaciones Los materiales para la fabricación de galgas extensométricas son diversos conductores metálicos, como las aleaciones constantan, advance, karma, y también semiconductores como el silicio y el germanio. Las aleaciones metálicas escogidas tienen la ventaja de un bajo coeficiente de temperatura porque en ellas se compensa parcialmente la disminución de la movilidad de los electrones al aumentar la temperatura con el aumento de su concentración [28]. Las galgas pueden tener o no soporte propio, eligiéndose en su caso en función de la temperatura a la que se va a medir. Para aplicaciones de sensores táctiles en robots, se emplean también elastómeros conductores. Para la medida de grandes deformaciones en estructuras biológicas se emplean galgas elásticas que consisten en un tubo elástico lleno de mercurio u otro líquido conductor [26]. Las galgas metálicas con soporte pueden ser de hilo bobinado o plegado con soporte de papel, o impresas en fotograbado. En este caso se dispone de una gran variedad de configuraciones, adaptadas a diversos tipos de esfuerzos. Hay modelos para diafragma, para medir torsiones, para determinar esfuerzos máximos y mínimos y sus direcciones (rosetas múltiples), etc.

194

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

En la Tabla 6.5 se presentan algunas de las características habituales de las galgas metálicas y semiconductoras [28]. El factor de sensibilidad se determina por muestreo, pues una vez utilizada la galga es irrecuperable. Se da entonces el valor probable de S y la tolerancia. Los métodos de ensayo y la especificación de características para las galgas metálicas está normalizado [27]. Las galgas extensométricas se pueden aplicar a la medida de cualquier variable que pueda convertirse, con el sensor apropiado, en una fuerza capaz de provocar deformaciones del orden de 10μm incluso inferiores. Una aplicación singular del efecto piezorresistivo es la medida de presiones muy elevadas (1.4GP a a 40GP a) mediante las denominadas galgas de manganina. La manganina es una aleación (84% Cu, 12% Mn, 4% Ni) que tiene un coeficiente de temperatura muy bajo. Si se somete un hilo de manganina a una presión en todas direcciones, se presenta un coeficiente de resistencia de entre 0.021 y 0.028 μΩ/Ω/kP a, de modo que el cambio de resistencia da información sobre la presión a que está sometido.

6.6

Elementos Capacitivos e Inductivos

6.6.1

Elementos Capacitivos

6.6.2

Elementos Inductivos

6.7 6.7.1

Elementos con transformador, Electrodinámicos, Servos y Resonantes Elementos con transformador

Transformadores de núcleo sencillo

6.8

Transformador diferencial de variación lineal (LVDT )

El transformador diferencial de variación lineal (LVDT ) se basa en la variación de la inductancia mutua entre un primario y cada uno de los dos secundarios al desplazarse a lo largo de su interior un núcleo de material ferromagnético, arrastrado por un vástago no ferromagnético, unido a la pieza cuyo movimiento se desea medir. Al alimentar el primario con una tensión alterna, en la posición central las tensiones inducidas en cada secundario son iguales y, al apartarse de dicha posición el núcleo, una de las dos tensiones crece y la otra se reduce en la misma magnitud. Normalmente los dos devanados se conectan en oposición—serie, como lo indica la Fig. 6.41. El modelo matemático correspondiente se deduce del análisis de la Fig(6.41). Si la resistencia 0 +R , total en el primario se designa por R1 = Rg + Rb1 y la del secundario por R2 = Rb2 + Rb2 c

6.8. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT) R b2

. M1 Rg + v

R b1

___> i1

.

L2

___> i2

Rc

R' b2

M3

.

L1

195

1

-

|^x

L3

M2

Figura 6.41: Esquema básico del LVDT. se tiene el siguientes sistema de ecuaciones: ¸ ∙ ¸∙ ¸ ∙ −(M1 − M2 )s R1 + sL1 i1 v1 = −(M1 − M2 )s R2 + sL2 + sL02 − sM3 0 i2

(6.8.1)

A partir de esta expresión, se obtiene i2 =

M1 −M2 L1 (L2 +L02 −2M3 )−(M2 −M1 )2 2 s

+

sv1 R2 L1 +R1 (L2 +L02 −2M3 ) R1 R2 s + L1 (L2 +L0 −2M 2 L1 (L2 +L02 −2M3 )−(M2 −M1 )2 3 )−(M2 −M1 ) 2

(6.8.2)

La tensión de salida es, pues, v0 =

−(M2 −M1 )Rc L1 (L2 +L02 −2M3 )−(M2 −M1 )2 2 s

+

sv1 R2 L1 +R1 (L2 +L02 −2M3 ) R1 R2 L1 (L2 +L02 −2M3 )−(M2 −M1 )2 s + L1 (L2 +L02 −2M3 )−(M2 −M1 )2

(6.8.3) En la posición central, M2 = M1 , y según (6.8.3), v0 = 0, tal como se había anticipado. En las otras posiciones del núcleo, L1 , L2 , L02 , M3 y M2 − M1 varían aproximadamente de la forma siguiente: M3 presenta variaciones lentas alrededor de x0 ; M2 − M1 tiene una variación muy rápida y lineal, alrededor de x0 ; L2 + L02 se mantiene prácticamente constante y L1 tiene variaciones lentas alrededor de x0 . Para analizar cual es finalmente la relación entre la tensión de salida y la posición del vástago, conviene considerar primero el efecto de la resistencia de carga Rc . Si el secundario está en vacío, la expresión final de la tensión de salida se reduce a v0 =

s(M1 − M2 )v1 sL1 + R1

La corriente en el primario viene dada en estas condiciones por v1 i1 ≈ sL1 + R1

(6.8.4)

(6.8.5)

196

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

de forma que i1 es prácticamente constante, independientemente de la posición del vástago. Combinando (6.8.4) y (6.8.5) se llega a v0 = (M2 − M1 )si1

(6.8.6)

que indica que v0 es proporcional a M2 −M1 y, por lo tanto, al desplazamiento del vástago, y que está desfasasa 90◦ respecto a la corriente del primario. De la expresión (6.8.4) se deduce, además, que v0 /v1 tiene respuesta de paso alto respecto a la frecuencia de la tensión de alimentación. Cuando f1 = R1 /L1 , la sensibilidad es del 70% (−3dB) de la que se tiene a partir de frecuencias unas diez veces mayores. Si el secundario no está en vacío, pero se acepta que L2 +L02 −2M3 es prácticamente constante con la posición del vástago y se designa por 2L2 , y que 2L2 L1 À (M2 − M1 )2 , la expresión de la tensión de salida pasa a ser sv1 −M2 )Rc v0 = (M12L (6.8.7) R2 L1 +2R1 L2 R1 R2 1 L2 2 s + s + 2L 2L1 L2 1 L2 Resulta, pues que la sensibilidad aumenta al hacerlo la resistencia de carga. También aumenta inicialmente al hacerlo f1 , pero a partir de una determinada frecuencia decrece. En la h Fig 2() ise (1−ω )ω j −1 presenta esta evolución para un determinado modelo. 9ω2 +(1−ω2 )2 , 9ω2 +(1−ω2 )2 , tan 3ω2 y

1.5

1

0.5

0 0

2.5

5

7.5

10 x

-0.5

-1

-1.5

y

0.25

0.125

0 0

2.5

5

7.5

10 x

-0.125

-0.25

6.8. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT)

y

197

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

2.5

5

7.5

10 x

De () se deduce también que hay un desfase entre la tensión del primario y la del secundario, que depende de f1 . Este desfase es nulo a la frecuencia 1 fn = 2π

µ

R1 R2 2L1 L2

¶1 2

(6.8.8)

que es la misma frecuencia a partir de la cual la sensibilidad decrece. Si se excita el primario con f1 = fn , la salida es entonces independiente de f1 , y viene dada por v0 =

(M1 − M2 )Rc v1 R2 L1 + 2L2 R1

(6.8.9)

Así pues, a una frecuencia dada la tensión de salida es proporcional a la diferencia de acoplamiento mutuo entre el primario y cada uno de los secundarios. Si éste es proporcional a la posición del vástago, también lo será la tensión de salida. Obsérvese que en este caso, aunque el dispositivo responde al desplazamiento con un cambio de impedancia mutua, la salida es propiamente una tensión alterna modulada en amplitud, no un cambio de impedancia como sucedía con los sensores diferenciales. Al comportamiento ideal descrito en los párrafos anteriores, cabe señalarle algunas limitaciones. La primera es que en los dispositivos reales, en la posición central la tensión de salida no pasa por cero, sino por un mínimo. Ello se debe a la presencia de capacidades parásitas entre primario y secundarios que apenas cambian con la posición del vástago y también a la falta de simetría en los bobinados y circuitos magnéticos. Normalmente es inferior al 1% de la tensión a fondo de escala. Otra limitación es la presencia de armónicos en la salida, más visible en el nulo. Aparece, sobre todo, el tercer armónico de la alimentación, debido a saturaciones de los materiales magnéticos. Esta interferencia se puede eliminar bastante bien a base de un filtro de pasa bajas en la salida.

198

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

La temperatura es otra posible fuente de interferencias, pues varía la resistencia eléctrica del primario. Si la temperatura aumenta, lo hace también la resistencia, con lo que se reduce la corriente en el primario, y con ella la tensión de salida, si se alimenta a tensión constante. Si la frecuencia de alimentación es alta, entonces predomina la impedancia de L1 frente a la de R1 y el efecto es menor. Las derivas térmicas pueden expresarse de la forma VT = V25 [1 + α(T − 25) + β(T − 25)2 ]

(6.8.10)

donde T es la temperatura expresado en grados Celsius, α es una constante que depende de la frecuencia, y β es otra constante. Para reducir las interferencias térmicas, se ha propuesto un LVDT autocompensado que utiliza dos pares de secundarios en vez de un solo par []. Las tensiones de un par se restan de la forma habitual (v01 − v02 ), pero las tensiones del otro par, que son respectivamente iguales a las del primer par, se suman (v01 + v02 ). La relación (v01 − v02 )/(v01 + v02 ) es entonces proporcional al desplazamiento del núcleo, pero en cambio es relativamente insensible a las variaciones en la corriente y frecuencia de excitación, y a los cambios de temperatura ambiente y de los devanados. Las ventajas del LVDT son múltiples y justifican por que es un sensor tan frecuente. En primer lugar, su resolución teórica es infinta y en la práctica superior al 0.1%. Tienen también un rozamiento muy bajo entre núcleo y devanados, por lo que imponen poca carga mecánica, sobre todo si se los compara con los potenciómetros. La fuerza magnética que se ejerce sobre el núcleo es proporcional al cuadrado de la corriente en el primario; es cero en la posición central y aumenta linealmente con el desplazamiento. Es mayor que en un sensor capacitivo, pero la tensión de salida es mayor aquí. El bajo rozamiento les da vida casi ilimitada y alta fiabilidad. Su tiempo medio antes de fallar puede ser de hasta 2 × 106 h. Otra ventaja es que ofrecen aislamiento eléctrico entre el circuito del primario y el del secundario, con lo que pueden tener referencias o puestas a tierra distintas. Esto es una ventaja ante la posible presencia de bucles de masa (). Ofrecen también aislamiento entre el sensor (vástago) y el circuito eléctrico, ya que están acoplados magnéticamente. Esto tiene interés al medir en atmósferas peligrosas, por cuanto queda limitada la energía que se puede disipar dentro del recinto de medida. Tienen, además, alta repetibilidad (del cero sobre todo) por su simetría; sensibilidad unidireccional, alta linealidad (hasta el 0.05%); alta sensibilidad, si bien depende de la frecuencia de alimentación, y respuesta dinámica elevada. En la construcción del LVDT, el primario se devana a lo largo del centro del núcleo y los secundarios se disponen simétricos respecto al centro. Los tres devanados se recubren con una sustancia impermeable para que puedan funcionar con una humedad ambiental elevada. Para solucionar el problema de que el margen lineal es de solamente el 30% de la longitud total del transformador, se emplean disposiciones especiales que permiten obtener una relación margen/longitud de 0.8. El núcleo es una aleación de hierro y níquel, y está laminado longitudinalmente para reducir las corrientes de Foucault. El vástago que lo arrastra no debe ser magnético. Todo el conjunto

6.8. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT)

199

puede apantallarse magnéticamente para hacerlo inmune a campos externos. Los alcances de medida pueden ir desde ±100μm a ±25cm, las tensiones de excitación aceptadas, de 1 a 24 Vrms , con frecuencias de 50 Hz a 20 kHz. Las sensibilidades disponibles van de unos 0.1 V/cm a 40 mV/ μm por cada voltio de alimentación. La resolución puede ser de hasta 0.1 μm. Hay modelos que incorporan la electrónica de modo que aceptan una alimentación de tensión continua. Ellos tienen ya el oscilador, amplificador y demodulador, y dan una tensión continua a la salida. Se habla entonces de transformadores diferenciales de ‹ ‹continua›› (DCLVDT). Hay también versiones para desplazamientos angulares (RVDT) con un margen lineal de ±20◦ y sensibilidad del orden de 10 mV/grado pero en general, sus prestaciones son inferiores a las de los modelos lineales. En el cuadro () se recogen las principales características de un LVDT comercial. En [] se propone un nuevo tipo de LVDT que es plano en vez de cilíndrico y carece de núcleo en sus devanados. Su aplicación es la detección de posición en motores lineales de continua. El circuito equivalente para el LVDT es un generador de tensión alterna con frecuencia igual a la de excitación del primario, modulada en amplitud por el desplazamiento del vástago, y con una impedancia de salida constante e inferior, en general, a 5 kΩ. El desfase entre la tensión aplicada aplicada al primario y las tensiones en el secundario es, con el secundario en vacío [ecuación (6.8.4)] ωL1 R1

(6.8.11)

ω(R1 L1 + 2R1 L2 ) R1 R2 − 2L1 L2 ω 2

(6.8.12)

φ = 90◦ − tan−1 Si el secundario no está en vacío, es entonces [6.8.7] φ = 90◦ − tan−1

Si no se puede trabajar a la frecuencia de desfase nulo, se puede ajustar el desfase mediante alguno de los circuitos de la Fig (). Las aplicaciones más inmediatas de los LVDT son las medidas de desplazamiento y posición. En particular, es muy frecuente como detector de cero en servosistemas de posición en aviones y submarinos. Si se pone un muelle entre el chasis y el extremo lejano del vástago, se puede emplear como palpador en máquinas—herramienta, pues entonces el muelle garantiza el contacto continuado con el perfil que se desea seguir. Aquí también, mediante el empleo de los sensores primarios adecuados, se pueden medir otras magnitudes que pueden provocar finalmente desplazamiento del núcleo. En la Fig() se muestra como se puede aplicar un LVDT a las medidas de aceleración e inclinómetros mediante un sistema inercial (a) y a la medida de presiones mediente un tubo de Bourdon (b), que fue su primer aplicación, o mediante un diafragma, fuelle o cápsula. Se pueden aplicar a los instrumentos basados en un flotador, siempre y cuando los devanados sean herméticos. El flotador arrastra el vástago, o es él mismo el núcleo, y su movimiento

200

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

es detectado en forma de diferencia de tensión en los dos secundarios. Los rotámetros y los detectores de nivel se prestan fácilmente a este uso. Las células de carga y los medidores de par, donde se produce un desplazamiento muy pequeño, pueden emplear también un LVDT como sensor.

6.8.1

Transformadores variables

Si en un transformador uno o varios de los devanados pueden desplazarse, lineal o angularmente, respecto a los demás, variando el acoplamiento entre primario y secundarios, es decir, la inductancia mutua entre ellos, también variará la tensión inducida en los devanados si uno o varios se excitan con una tensión alterna. En la Fig() se representa esquemáticamente la situación para el caso de un solo primario y un solo secundario. la inductancia mutua entre primario y secundario es dφ (6.8.13) M12 = N2 2 di1 donde N2 es el número de vueltas del secuindario e i1 es la corriente en el primario. El flujo abarcado por el secundario φ2 es φ2 = B · S = BS cos α = μHS cos α = μ

N1 i1 S cos α l

(6.8.14)

donde S es la sección del secundario, N1 el número de vueltas del primario, l su longitud, μ la permeabilidad magnética del núcleo y α la inclinación relativa entre el primario y el secundario. Así pues, μ (6.8.15) M12 = N2 N1 S cos α = M cos α l Si se considera el secundario en vacío y se aplica al primario una tensión sinusoidal de frecuencia ω, en el secundario se obtendrá di1 v2 = M12 (6.8.16) dt v2 = jωi1 M12 = ωiM (cos α)(cos ωt) = k cos α cos ωt

(6.8.17)

Es decir, la tensión de salida tiene la misma frecuencia que la de entrada, pero su amplitud depende de la inclinación relativa entre los devanados, si bien no de una forma proporcional. Este principio de medida se presta bien a las aplicaciones donde hay que determinar una posición o desplazamiento angular. Por su pequeño momento de inercia, los transformadores variables imponen, en general, menos carga mecánica al eje de giro que los codificadores digitales, que requieren discos grandes para tener alta resolución. Por su construcción, aguantan mayores temperaturas y más humedad, choques y vibraciones que los codificadores y ciertos potenciómetros, por lo que son particularmente considerados en las aplicaciones militares y aeroespaciales.

6.9. TRANSDUCTORES ELECTROQUÍMICOS

201

Según se verá, los transformadores variables pueden transmitir la información analógica hasta 2 km de distancia, con cable adecuado, y allí hacer la conversión a digital. En cambio, los codificadores digitales sufren mucha interferencia si se transmite directamente su señal de salida, en particular en aquellas aplicaciones donde hay campos electromagnéticos intensos, como puede ser el posicionamiento de antenas (radar). Otra ventaja es que hay desplazamiento eléctrico entre la excitación de entrada y la salida, y ello reduce, por ejemplo, las interferencias conducidas. En el cuadro () se recogen los valores de la excitación máxima aproximada propia de distintos sistemas de medida de posiciones angulares. Las ventajas de los transforamdores variables han llevado al desarrollo de diversas configuraciones físicas, cuya comercialización con una marca determinada ha tenido en algunos casos tanto éxito que todos los dispositivos similares se conocen con el mismo nombre comercial. Una de las disposiciones físicas más simple es el denominado potenciómetro de inducción (Fig()). Consiste en dos devanados planos concéntricos, uno fijo, estator, y otro móvil, rotor, que puede girar respecto al primero, cada uno con su propio núcleo ferromagnético. Si uno de los dos se alimenta con una tensión sinusoidal, la tensión inducida en el otro, en circuito abierto, viene dada por (6.8.17)

6.9

Transductores electroquímicos

Estos transductores tienen escasa aplicación industrial y se basan en la detección del nivel de un electrolito por la variación que se produce en la resistencia entre dos electrodos sumergidos. Pueden utilizarse directamente en la medida de nivel de líquidos con propiedades electroquímicas, y en la medida de pequeñas presiones (proporcionales a la altura del electrolito en el receptáculo del transductor, que se uniría mediante un conducto adecuado provisto de diafragma o pistón al punto de medida). El inconveniente más importate de este transductor es la alteración progresiva que se va produciendo en el electrolito por efecto de los fenómenos de electrólisis que tienen lugar. • Captadores de variación de nivel de mercurio. En los que una columna de mercurio de altura variable cortocircuita diferentes tomas intermedias de una cadena de resistencias. Su aplicación inmediata es la medida de presiones. • Captadores de discos de carbón. Constituidos por una pila de discos de grafito (aproximandamente 10 mm de diámetro y 2 mm de espesor) cuya resistencia global disminuye al crecer la presión aplicada debido a la variación de resistencia entre las superficies superpuestas de las caras. Estos dispositivos son poco precisos pero muy robustos, obteniéndose relaciones entre resistencias extremas de 10 : 1.

Sensores de reactancia variable

202

CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE

En este tipo de sensores se aprovecha la variación de la reactancia de algún dispositivo inductivo o capacitivo o una combinación de ambos. La respuesta suele ser no lineal, por lo cual, se requieren circuitos de compensación de tipo diferencial. También presentan limitaciones a la máxima frecuencia de variación admisible de la variable medida, pues debe ser inferior a la frecuencia de excitación empleada. Algunos de estos sensores son generadores intrínsecos de señal. Sensores capacitivos Un capacitor consiste en dos conductores separados por un dieléctrico (sólido, líquido o gaseoso), o el vacío. Funcionan por el principio de que la capacitancia de un condensador es función de la distancia entre las placas y del área de las mismas:

donde es el coeficiente dieléctrico de las sustancia entre las placas ( para el aire), es la permitividad del vacío 8.85 × 10−12 C 2 /N − m2 , A es el área de la placa superpuesta y d es la distancia entre las placas. Si A tiene unidades de m2 y d está en metros, C tendrá unidades de faradios. Como se muestra en la Fig. , hay dos modos de usar un transductor capacitivo para medidas de desplazamiento. En la Fig. (a) una placa se mueve de modo que la distancia, d, entre las placas varía. Alternativamente, [Fig. (b)],una de las placas se puede mover paralela a la otra, de modo que el área enfrentada varía. En el primer caso, la capacitancia es aproximadamente una función lineal del desplazamiento. Puesto que la salida del sensor capacitvo no es un voltaje, se requiere acondicionamiento de la señal. Se puede utilizar un puente Wheatstone de corriente alterna para este propósito. En general los sensores capacitivos son no lineales. su linealidad depende del parámetro que varía y de si se mide la impedancia o la admitancia del condensador. En un condensador plano, por ejemplo, con Sensores Inductivos Sensores Electromagnéticos

Capítulo 7

Sensores generadores de señal 7.1

Introducción

Se denominan sensores generadores aquellos que generan una señal eléctrica a partir de la magnitud que miden sin necesidad de alimentación eléctrica. Ofrecen una alternativa para medir muchas de las magnitudes ordinarias, sobre todo temperatura, fuerza y magnitudes afines. Pero, además, dado que se basan en efectos reversibles, están relacionados con diversos tipos de accionadores o aplicaciones inversas en general. Es decir, se pueden emplear para la generación de acciones no eléctricas a partir de señales eléctricas. Igualmente serán analizados los sensores fotovoltaicos y algunos de magnitudes químicas (relacionadas con la composición) para las que hasta el momento se han visto pocas posibilidades de medida. Algunos de los efectos que se describen aquí pueden producirse inadvertidamente en los circuitos, y ser así fuente de interfencias Es el caso de las fuerzas termoelectromotrices, de las vibraciones en cables con determinados dieléctricos o de los potenciales galvánicos en soldaduras o contactos. La descripción de los fenómenos asociados, con vistas a la transducción, permite también su análisis cuando se trate de reducir interferencias.

7.2 7.2.1

Termopares Efectos termoeléctricos

Los sensores termoeléctricos se basan en dos efectos que, a diferencia del efecto Joule, son reversibles. se trata del efecto Peltier y del efecto Thompson. Históricamente fue primero Thomas J. Seebeck quien descubrió, en 1822, que en un circuito de dos metales distintos homogéneos, A y B, con dos uniones a diferente temperatura, aparece una corriente eléctrica Fig. 7.1. Es decir, hay una conversión de energía térmica a eléctrica, o bien, si se abre el circuito, hay una fuerza termo—electromotriz (f.t.e.m) que depende de los 203

204

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Alambre de cobre Alambre de metal A

DVM

Unión sensora

Alambre de metal B

Terminal DVM

Figura 7.1: Termopar. metales y de la diferencia de temperatura entre las dos uniones. Al conjunto de estos dos metales distintos con una unión firme en un punto a una zona se denomina termopar. La relación entre la f.t.e.m., VAB , y la diferencia de temperatura entre las uniones, T , define el coeficiente Seebeck, SAB , dVAB = SA − SB (7.2.1) SAB = dT donde SA y SB son, respectivamente, la potencia termoeléctrica absoluta de A y B. En general, SAB no es constante sino que depende de T , y suele crecer al aumentar T . Es importante anotar que mientras la corriente que circula por el circuito depende de la resistencia de los conductores, en cambio la f.t.e.m. no depende ni de la resistividad, ni de la sección, ni de la distribución o gradiente de temperatura. Depende solo de la diferencia de temperatura de las uniones y de la naturaleza de los metales. Esta fuerza electromotriz se debe al efecto Peltier y al efecto Thompson. El efecto Peltier descubierto por Jean C.A. Peltier en 1834, consiste en el calentamiento o enfriamiento de una unión entre dos metales distintos al pasar corriente por ella. Al invertir el sentido de la corriente, se invierte también el sentido del flujo de calor. Es decir, si una unión antes se calentaba (cedía calor), al cambiar el sentido de la corriente se enfría (absorbe calor), y si primero se enfría ahora se calienta. Este efecto es reversible e independiente del contacto, es decir, de la forma y dimensiones de los conductores. Depende sólo de su composición y de la temperatura de la unión. Esta dependencia resulta ser además lineal y viene descrita por el coeficiente de Peltier, π AB , que por tener dimensiones de tensión se llama a veces “tensión de Peltier”. Se define como el calor generado en la unión AB por unidad de corriente que circula de B hacia A dQp = ±π AB Idt

(7.2.2)

7.2. TERMOPARES

205

Para una union a temperatura absoluta T , se demuestra que π AB = T (SB − SA ) = −π BA

(7.2.3)

El hecho de que el calor intercambiado por unidad de superficie de la unión sea proporcional a la corriente y no a su cuadrado, marca la diferencia respecto al efecto Joule. En éste, el calentamiento depende del cuadrado de la corriente, y no cambia al hacerlo su dirección. El efecto Peltier es también independiente del origen de la corriente, que puede ser, pues, incluso de origen termoeléctrico. En este caso las uniones alcanzan una temperatura diferente a la ambiental, y por ello puede ser una fuente de errores. El efecto Thompson, descubierto por William Thompson (Lord Kelvin) en 1847-54, consiste en la absorción o liberación del calor por parte de un conductor homogéneo con temperatura no homogénea por el que circule una corriente. El calor liberado es proporcional a la corriente —no a su cuadrado— y, por ello, cambia el signo al hacerlo el sentido de la corriente. En otras palabras, se absorbe calor si la corriente y el calor fluyen en direcciones opuestas, y se libera calor si fluyen en la misma dirección. El flujo neto de calor por unidad de volumen, Q, en un conductor de resistividad r, con un gradiente longitudinal de temperatura, dT dx , por el que circula una densidad de corriente J, será, Q = −Jσ

dT dx

(7.2.4)

donde σ es el denominado coeficiente de Thompson. Con referencia al circuito de la Fig. 7.1, se observa que si la corriente que circula es suficientemente pequeña para poder despreciar el efecto Joule, se pueden considerar exclusivamente los efectos termoeléctricos reversibles. En este caso, la energía termoelectromotriz producida, dVAB dT ·∆T , debe coincidir con la energía térmica neta transformada. Para el caso de un termopar con una temperatura T + ∆T en un unión y T en la otra, el calor absorbido en la unión caliente es π AB (T +∆T ), mientras que el calor liberado en la unión fría es −π AB T. Por efecto Thompson, se libera en A un calor −σ A (∆T ), mientras que en B se absorbe un calor σ B (∆T ). El balance energético es así dVAB ∆T = π AB (T + ∆T ) − π AB (T ) + (σ B − σ A )∆T dT

(7.2.5)

Dividiendo ambos términos por ∆T y pasando al límite cuando ∆T tiende a 0, resulta dπ AB dVAB = + (σ B − σ A )∆T dT dT

(7.2.6)

esta expresión indica que el efecto Seebeck es, de hecho, el resultado de los efectos Peltier y Thompson, y expresa el teorema fundamental de la termoelectricidad. Las expresiones (7.2.1) y (7.2.6) permiten pensar en la aplicación de los termopares a la medida de temperaturas. Si en un circuito se mantiene una unión a temperatura constante

206

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

(unión de referencia), la f.t.e.m. será función de la temperatura a la que esté sometida la otra unión, que se denomina unión de medida. Los valores correspondientes a la tensión obtenida con determinados termopares, en función de la temperatura de esta unión cuando la otra se mantiene a 0◦ C, están tabulados. El circuito equivalente es una fuente de tensión con una resistencia de salida distinta en cada rama (la de cada metal). Para cobre y constantan, por ejemplo, pueden ser 300Ω y 10Ω. Ahora bien, la aplicación de los termopares a la medida está sujeta a una serie de limitaciones que conviene conocer para su uso correcto. • La temperatura máxima que alcance el termopar debe ser inferior a su temperatura de fusión. Por lo tanto, hay que elegir un modelo adecuado a los valores de temperatura a medir. • El medio donde se va a medir no debe atacar a ninguno de los metales de la unión. • La corriente que circule por el circuito de temopares debe ser mínima. De no ser así, dado el carácter reversible de los efectos Peltier y Thomson, la temperatura de los conductores, y en particular la de las uniones, sería distinta a la del entorno, debido al flujo de calor desde y hacia el circuito. Según la intensidad de la corriente, incluso el efecto Joule podría ser apreciable. Todo esto llevaría a que la unión de medida alcanzara una temparatura distinta a la que se desea medir y la unión de referencia una temperatura diferente a la supuesta, con los consiguientes errores. • Los conductores deben ser homogéneos, por lo que conviene extremar las precauciones para que no sufran tensiones mecánicas (por ejemplo, al instalarlos), ni térmicas (por ejemplo, debidas al envejecimiento si hay gradientes de temperatura importantes a lo largo de su tendido). • Se debe mantener una de las dos uniones a una temperatura de referencia fija si se desea medir la de la otra unión, pues todo cambio en dicha unión de referencia será una fuente de error. Repercute en ello que la tensión de salida es muy pequeña, por cuanto la sensibilidad típica es de 6 a 75μV /◦ C. Si además la temperatura de referencia no es muy próxima a la de la medida, resultará que la señal ofrecida tendrá un nivel alto constante en el que los cambios de temperatura de interés puede que provoquen sólo pequeñas variaciones de tensión. • Si se desea una precisión elevada, la no linealidad de la relación entre f.t.e.m. y temperatura puede ser importante. Una fórmula aproximada y con validez general es VAB ≈ C1 (T1 + T2 ) + C2 (T12 − T22 )

(7.2.7)

donde T1 y T2 son las temperaturas absolutas respectivas de cada unión, y C1 y C2 son constantes que dependen de los materiales A y B. La realización de termopares útiles

7.2. TERMOPARES

207

viene limitada, precisamente, por el interés de que C2 sea muy pequeña, y esto restringe mucho las posibilidades de elección. Para el termopar de cobre/constantan, por ejemplo, se tiene (7.2.8) EAB ≈ 62.1(T1 + T2 ) + 0.045(T12 − T22 )μV Esta no linealidad puede que requiera una corrección que se realiza en el circuito de acondicionamiento de señal. Considerando todos los factores, es díficil tener un error menor que 0.5◦ C. La tolerancia de unas a otras unidades del mismo modelo, puede ser de varios grados Celsius. A pesar de estas limitaciones, los termopares tiene muchas ventajas y son, con mucha diferencia, los sensores más frecuentes para la medida de temperaturas. Por una parte, tienen un alcance de medida grande, no sólo en su conjunto, que va desde −270◦ C hasta 3000◦ C, sino en cada modelo particular. Por otra parte, su estabilidad a largo plazo es aceptable y su fiabilidad elevada. Además, para temperaturas bajas tiene mayor exactitud que las RTD, y por su pequeño tamaño permiten tener velocidades de respuesta rápidas, del orden de milisegundos. Poseen también robustez, simplicidad y flexibilidad de utilización, y se dispone de modelos de bajo precio que son suficientes en muchas aplicaciones. Dado que no necesitan excitación, no tienen los problemas de autocalentamiento que presentan las RTD, en particular al medir la temperatura de gases.

7.2.2

Compensación de la unión de referencia

La simplicidad general de los termopares ha conducido a su amplio uso como sensores para medida de la temperatura. Hay, sin embargo, un número de complicaciones en su uso: 1. La medida de tensión se debe hacer sin flujo de corriente. 2. Las conexiones a dispositivos de medida de tensión resultan en uniones adicionales. 3. La tensión depende de la composición de los metales usados en los hilos. Para que un termopar pueda ser usado como medidor de temperatura, no debe haber flujo de corriente a través de los hilos y la unión. Esto es porque el flujo de corriente no solo resultará en pérdidas resistivas sino que también afectará las tensiones termoeléctricas. Reunir este requisito actualmemte no es un problema puesto que se dispone de voltímetros electrónicos y de sistemas de adquisición de datos con muy alta impedancia de entrada. La segunda complicación tiene que ver con el hecho de que realmente hay tres uniones en la Fig. 7.1. Además de la unión sensora, hay dos uniones donde el termopar se conecta con el DVM. La lectura de la tensión así, es función de tres temperaturas (la unión sensora y las uniones a los terminales del DVM), dos de las cuales son de ningún interés. La solución a este problema se muestra en la Fig. 7.2(a).

208

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Alambre de metal A

Alambre de metal A

Cobre

Unión sensora

Unión sensora DVM

Alambre de metal B

Metal A Unión de referencia (a)

DVM

Alambre de metal B

Metal B Uniones de referencia

(b)

Figura 7.2: Termopar con unión de referencia.

Se usan dos termocuplas, la segunda se denomina unión de referencia. La unión de referencia se mantiene a una temperatura conocida fija. La temperatura de una mezcla de hielo y agua pura a 1 atm. (0◦ C). Se dispone actualmente de dispositivos electrónicos que simulan eléctricamente la unión de referencia fría sin la necesidad de disponer realmente de la mezcla hielo—agua. Aún hay dos uniones en los terminales del DVM, pero cada una de estas uniones está construida con los mismos materiales y si los dos materiales pueden mantenerse a la misma temperatura, las tensiones en los terminales se cancelarán. Se pueden mantener los dos terminales a la misma temperatura colocándolos en un mismo recinto aislado térmicamente conenctados con un conductor térmico pero en una estructura aislada eléctricamente. Con la temperatura de la unión de referencia conocida, la tensión medida es función únicamente de los materiales con los cuales está construido el termopar y la unión sensora de temperatura. El circuito de la Fig. 7.2(b) es eléctricamente equivalente a la Fig. 7.2(a) y producirá la misma tensión en el DVM. Finalmente, la tensión generada depende fuertemente de la composición de los hilos utilizados para formar el termopar. Este problema ha sido resuelto restringiendo los materiales utilizados para construir los termopares. Cuando se fabrican los alambres para los termopares de acuerdo a las normas establecidas por el National Institute of Standards and Technology (antiguamente conocido como National Bureau of Standards NBS), se pueden usar las curvas de calibración normalizadas para determinar la temperatura con base a las tensiones medidas. Puesto que la tensión de salida es en general función no lineal de la temperatura, se requieren tablas, gráficos o funciones polinomiales para interpretar los datos de la tensión leída. La Fig. 7.3 muestra las curvas de calibración tomadas de las funciones polinomiales dadas por Creus [10] para varios R ° termopares. El programa desarrollado en Matlab está listado en el Apéndice A.

7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS

209

Figura 7.3: Respuesta tensión vs temperatura para algunas termocuplas.

7.3

Sensores piezoeléctricos

What is Piezoelectricity? An overview & History In the 1880s, Pierre and Jacque Curie discovered that some crystalline materials, when compressed, produce a voltage proportional to the applied pressure and that when an electric field is applied across the material, there is a corresponding change of shape. This characteristic is called piezoelectricity or pressure electricity (Piezo is the Greek word for pressure). Piezoelectric ceramics respond rapidly to changes in input voltage, and power supply noise is the only limiting factor in the positional resolution. Although high voltages are used to produce the piezoelectric effect, power consumption is low, and energy consumption is minimal in maintaining a fixed position with a fixed load. Although piezoelectricity is found in several types of natural materials, most modern devices use polycrystalline ceramics such as lead zirconate titanate (PZT). A material is said to possess piezoelectric properties if an electrical charge is produced when a mechanical stress in applied. This is commonly referred to as the “generator effect”. The converse also holds true; an applied electric field will produce a mechanical stress in the material. This is commonly referred to as the “motor effect”. Some naturally occurring crystalline materials possessing these properties are quartz and tourmaline. Some artificially produced piezoelectric crystals are Rochelle salt, ammonium dihydrogen phosphate (ADP) and lithium sulphate (LH).

210

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Another class of materials possessing these properties is polarized piezoelectric ceramic. They are typically referred to as ferroelectric materials. In contrast to the naturally occurring piezoelectric crystals, ferroelectric ceramics are of “polycrystalline” structure. the most commonly produced piezoelectric ceramics are: lead zirconate titanate (PZT), barium titanate, lead titanate and lead metaniobate. Production of all of the piezoelectric ceramic materials involve detailed processing. Material properties may be altered by modifying the chemical composition and manufacturing processes. The provides the designer a means of tailoring the materials properties to the application. Many processes are involved in the production of piezoelectric ceramics. The first ceramic process consists of mixing the raw materials. The powders are then heated which reacts the constituent materials into a compound. This process is commonly referred to as “calcining”. The calcined powders are then ground into very fine particles. The production of ceramic shapes requires that a binder be added. The binder holds the parts together prior to firing. Ceramic parts may be formed to many shapes including; bars, plates, discs, rings, cylinders and hemispears. The formed parts are then bisque fired at low temperatures in order to drive off the binders and provide some mechanical strength. The second firing, or “high firing” completes the chemical bounding of the constituent material dimensions. Electrodes are applied to the desired surfaces. a final firing bonds the electrode material to the ceramic surfaces. Activation of the piezoelectric ceramic properties on a macroscope level occurs in the “polling” process. The electroded part is heated in a dielectric oil bath. A high electric field is applied across the electrodes resulting in an aligning of the dipoles within the material. The material is now fully activated. From the moment the activated ceramic material is removed from the poling apparatus, the material properties undergo changes. The process of change is referred to as “aging”. Aging of the ceramic occurs very rapidly in the first few hours. After a few days the changes in the material properties are very small and decrease logarithmically. The aging process can be attributed to the relaxation of the dipoles in the material. Piezoelectric ceramic materials possess electrical, mechanical and electromechanical properties resulting from the chemical formulation and the manufacturing processing. Typical electrical parameters are the dielectric constant “K”, and the dissipation. High dielectric constants are desirable for they result in low impedance. Low dissipations are desirable for they result in low electrical losses. Typical electromechanical parameters are the electromechanical coupling, “k”, and piezoelectric “g” and “d” constants. Higher electromechanical couplings result in a more efficient transfer of electrical energy to mechanical energy. Typical mechanical parameters are the density and elastic constants, “S” from which the resonant properties may be determined. Many of these properties are dependent upon the axis of measurement. The axis being defined relative to the poled axis. Depolarization of the piezoelectric ceramic can result if it is exposed to excessive heat, electrical drive or mechanical stress or any combination thereof. The temperature at which piezoelectric ceramic will be totally depoled is known as the “curie point”.

7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS

211

Piezoelectric ceramics also possess “pyroelectric” properties. A change in ceramic temperature will result in a change in mechanical dimensions. The mechanical change produces stress within the ceramic and corresponding electrical charge on the electrode surfaces. Very high potentials can be created, caution should be exercised when handling piezoelectric ceramic.

7.3.1

Captadores Piezoeléctricos

La piezoelectricidad consiste en la aparición de desequilibrios de carga eléctrica en determinadas zonas de láminas talladas según ciertos ejes, en respuesta a una deformación de la red cristalina provocada, por ejemplo, por la aplicación de una fuerza. El fenómeno es reversible de modo que, si se crea una distribución asimétrica de cargas, se produce una deformación correspondiente en el cristal. Es así lógico que estos materiales se utilicen tanto en sensores primarios de deformación, como en accionadores mecánicos (por ejemplo, generadores de ultrasonidos, posicionadores de elementos mecánicos, etc).

7.3.2

Materiales piezoeléctricos

Entre los materiales naturales que manifiestan el fenómeno descrito están los cristales de cuarzo y turmalina, y entre los materiales sintéticos que se comportan del mismo modo pueden citarse la sal de Rochelle y el titanato de bario, además de ciertos compuestos de tipo cerámico utilizados actualmente. El titanato de bario, concretamente, pertenece al grupo de los denominados materiales ferroeléctricos, de los cuales el más representativo podría ser el zirconato de plomo. Deben su nombre a la analogía entre los dominios eléctricos, concepto que se utiliza en la interpretación teórica de sus propiedades, y los “dominios magnéticos” a los que se hace referencia en la teoría del ferromagnetismo. Durante el proceso de fabricación, se “polarizan” calentándolos por encima del punto Curie y se dejan enfriar lentamente en presencia de un fuerte campo eléctrico (obsérvese la analogía con el proceso de fabricación de los imanes y la dualidad campo magnético—campo eléctrico). Los dispositivos que utilizan materiales ferroeléctricos se caracterizan por su gran robustez y capacidad para soportar grandes esfuerzos. Se emplean además frecuentemente como actuadores y, en especial, en sistemas de generación de ultrasonidos. Recientemente se están utilizando también los polímeros ferroeléctricos entre los cuales destaca el fluoruro de polivinilideno, material de alta sensibilidad piezoeléctrica y piroeléctrica que sive de base para algunos sensores modernos experimentales de diversas magnitudes mecánicas, eléctricas y ópticas. Actualmente se estudia su aplicabilidad a la detección tactil en robots y en prótesis de miembros. En aplicaciones como sensores, destacan los cristales de cuarzo tallados según determinadas direcciones preferentes en forma de láminas sobre cuyas caras opuestas se depositan electrodos metálicos (generalmente de oro o de plata). Dependiendo de la dirección del corte,

212

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Figura 7.4: Efecto piezoeléctrico se consiguen láminas sensibles a deformaciones por compresión, esfuerzo cortante o flexión (ver Fig.7.4)

7.3.3

Base Teórica

Las relaciones mecanoeléctricas para un material piezoeléctrico vienen dadas por las siguientes ecuaciones (unidimensionales): δ = δ(T, E) D = D(T, E)

→

→

δ =s·T +d·E

D =ε·E +d·T

donde δ Deformación unitaria T Esfuerzo E Campo eléctrico D Desplazamiento ε Constante dieléctrica s Inversa del módulo de Young d Constante piezoeléctrica (C/N ) En estos materiales, tanto la deformación mecánica como el vector desplazamiento eléctrico se deben a una cambinación del esfuerzo y campo eléctrico aplicado al material. Un índice de la conversión viene dado por el coeficiente de acoplamiento electromecánico (K), definido como la raíz cuadrada de la relación entre la energía disponible y la almacenada (para frecuencias muy por debajo de la frecuencia de resonancia del elemento). Puede demostrarse que K=

d2 ε·s

7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS

213

La generalización de las ecuaciones anteriores a tres dimensiones, proporciona las siguientes relaciones: [δ i ] = [δ i,j ][Tj ] + [di,k ][Ek ]

j, n = 1, 2, . . . 6

[Di ] = [εl,m ][Em ] + [dl,n ][Tn ]

i, k, l, m = 1, 2, 3

donde se cumple que di,j = dj,i εl,m = 0

∀l 6= m

(indicando los subíndices 1, 2 y3 esfuerzos de tracción/compresión y los subíndices 4, 5 y 6, esfuerzos de cizalladura) Fig. Con el fin de comprender el comportamiento en circuito de los sensores piezoeléctricos, es interesante abordar teóricamente un modelo simple unidimensional al que responden con bastante aproximación los cristales tallados prismáticamente cuando funcionan en régimen de compresión—tracción que, por otra parte, es el usual en muchos de los transductores basados en este tipo de sensores Fig En la Fig. se representa esquemáticamente un cristal piezoeléctrico en forma de lámina con electrodos metálicos depositados sobre las caras opuestas. En la misma figura se ilustra el equilibrio dinámico del cristal sometido a una fuerza F de compresión, de modo que se produce una disminución z en su espesor. Los terminales del cristal aparecen cortocircuitados, es decir no existe diferencia de potencial entre ellos y no se tiene en cuenta, por lo tanto, la fuerza debida a la reversibilidad del efecto piezoeléctrico. La deformación genera una carga Q cuyo valor es aproximadamente proporcional al acortamiento unitario del espesor del cristal, para deformaciones muy pequeñas, o sea: Q=K

z e

(7.3.1)

donde K es una constante que depende del material y de la dirección de la talla y e es el espesor del cristal antes de la deformación. Si, en el caso más gnenral, se supone que z está variando con el tiempo a una velocidad dz/dt y una aceleración d2 z/dt2 , considerando el sentido positivo de z indicado en la Fig., Se obtien derivando la expresión (7.3.1): i=

K dz dQ = dt e dt

(7.3.2)

donde se ha considerado que el espesor e permanece constante. Existe pues una corriente de desplazamiento interno de cargas proporcional a la velocidad de deformación, que circularía por el conductor de cortocircuito entre terminales.

214

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Por otra parte, como se indica en la Fig., intervienen en el caso más genral, además de la fuerza F aplicada, otras solicitaciones que definen el equilibrio dinámico del sistema y que pueden expresarse del modo siguiente en función de z y sus derivadas 2 Fuerza de inercia a la masa m equivalente del cristal m ddt2z dz r dt Fuerza asociada a las resistencias pasivas (del tipo de rozamiento viscoso, proporcional a la velocidad) l Cm z Fuerza de reacción elástica, proporcional a la deformación, donde Cm , es la llamada capacidad mecánica, inversa de la elastancia mecánica del cristal para el modo de deformación considerado. El equilibrio dinámico se expresará indicando balance de fuerzas que actúa sobre el sistema: F =m

l dz d2 z +r + z 2 dt dt Cm

(7.3.3)

y teniendo en cuenta (7.3.2) resulta e l me di re + i+ F = K dt K K Cm

7.3.4

Z

idt

(7.3.4)

Circuito Equivalente de un cristal piezoeléctrico

Considérece ahora el esquema de la Fig. (7.5) que representa un circuito L, R, C en serie alimentado por un generador de tensión v(t).

R +

L

C

R

C

δF

δF -

L

+

Co

-

Figura 7.5: Circuito eléctrico equivalente a un sensor piezoeléctrico. De acuerdo con la teoría de circuitos, la relación entre v(t) e i(t) estará dada por la ecuación 1 di(t) + Ri(t) + v(t) = L dt C

Z

i(t)dt

(7.3.5)

Dado que los términos funcionales de los segundos miembros de las ecuaciones (7.3.4) y (7.3.5) son idénticos, puede establecerse una equivalencia entre ambas expresando la proporcionalidad

7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS

215

entre las funciones de los primeros miembros y entre los coeficientes correspondientes del segundo, o sea u(t) LK RK Cm K = = = =δ (7.3.6) F me re Ce donde δ sería el factor de proporcionalidad. De la ecuación anterior, se deducen las expresiones u(t) = δF

∴ L=

eδ K eδ m ∴ R = r ∴ C = Cm K K eδ

Resulta así que puede establecerse una analogía entre el cristal en su equilibrio dinámico y un circuito resonante serie con amortiguamiento, en donde son válidas las siguientes relaciones: • La tensión de alimentación es proporcional a la fuerza. • La resistencia es proporcional al coeficiente representativo del efecto del amortiguamiento mecánico del sistema. • La inductancia es proporcional a la masa equivalente del cristal. • La capacidad eléctrica es proporcional a la capacidad mecánica. Estas conclusiones son de gran utilidad para el estudio de circuitos con cristales piezoeléctricos, toda vez que el cristal puede ser sustituido por un circuito L, R, C equivalente alimentado por un generador de tensión proporcional a la fuerza aplicada, como se muestra en la Fig.(izquieda). Si se abre el corto circuito entre los terminales físicos del cristal, quedará intercalado en el buque el condensador C0 correspondiente a la disposición de los dos electrodos separados por el propio cristal (dieléctrico) y, en este caso, la corriente i(t) no podría ser medida fisicamenteya que estaía formada por el desplazamiento interno de cargas que se almacenarían, en definitiva, en dicho condensador. El circuito equivalente completo es el representado en la derecha de la Fig. (), donde los pintos a y b corresponden a los terminales físicos del sensor A modo de ejemplo, se indican a continuación los parámetros eléctricos d un cristal de cuarzo de frecuencia de resonancia igual a 10M Hz (corte AT). En aplicaciones como sensor, donde el funcionamiento tiene lugar a frecuencias muy inferiores a la de resonancia mecánica del cristal (obviamente coincidente con la resonancia eléctrica de su circuito equivalente), tanto las velocidades como las aceleraciones tienen valores tan bajos que es posible despreciar los términos asociados a estas magnitudes, con lo cual el circuito equivalente se reduce al ilustrado en el lado izquierdo de la Fig.(). En el lado derecho de dicha figura se muestra una configuración aun más simplificada que resulta de la anterior aplicando el teorema de Thevenin entre los terminales a y b, en donde el generador corresponde al original afectado del coeficiente δ = C/(C + C0 ) del divisor de tensión capacitivo y la impedancia interna está formada por los dos condensadores en paralelo.

216

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

Puede decirse que el cristal piezoeléctrico, dentro de las aproximaciones indicadas, equivale a un generador de tensión proporcional a la fuerza aplicada en serie con un condensador que corresponde aproximadamente al definido físicamente por la geometría del sensor (es decir, el condensador C0 ), siempre referido al modelo de la Fig(). El estudio de la respuesta de los cristales piezoeléctricos a solicitaciones estáticas proporciona interesantes relaciones entre los parámetros que se están manejando y otros dependientes de las propiedades elásticas del material y de su geometría.

7.3.5

Respuesta estática

Si se supone sometido el cristal a una fuerza constante y el sistema está en reposo, la carga almacenada en las placas será 1F z (7.3.7) Q=K =K e ES donde E es el módulo de Young, F la fuerza aplicada y S la superficie sobre la que actúa (la de los electrodos de acuerdo con el modelo de la Fig()). Por otra parte, de acuerdo a la definicón de Cm , se tiene, en condiciones estáticas (la única fuerza que se opone a F es la reacción elástica del cristal) 1 z (7.3.8) F = Cm deduciendose de estas dos ecuaciones la relación λ S =E Cm e

(7.3.9)

Mediante diferentes operaciones, se obtienen además estas otras expresiones que proporcionan los valores de ω.R y L en función de los parámetros físicos del cristal entre los que se cuenta la capacidad C. La tensión de salida del sensor piezoeléctrico para excitación estática es, según la Fig.() δ=

K CES

∴ R=

e e C r ∴ L= m ∴ us = δ F CES CES C + C0

(7.3.10)

en donde, sustituyendo el valor de δ según (equ), se tiene us =

1 K ∼ K F F = ES C + C0 ESC0

(7.3.11)

expresión en la que puede sustituirse C0 por el valor correspondiente al condensador plano de superficie S, espesor e y constante dieléctrica ε, obteniéndose: K e us ∼ = Eε S 2

(7.3.12)

7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS

217

Puede observarse que esta sensibilidad es función de las características físicas del cristal (E, e, K) y de su configuración geométrica (e/S 2 ), siendo fuertemente dependiente de la superficie de lascaras que sirven de soporte a los elctrodos. Obviamente, la sensibilidad referida a presión (F/S) tendría una expresión idéntica a la anterior pero en el denominador aparecería S sin elevar al cuadrado.

7.3.6

Respuesta dinámica

Suponiendo aplicada una fuerza variable senoidalmete, es decir de la forma F (t) = Fm senωt la tensión de salida del sensor en régimen permanente se deduce del circuito equivalente, siendo su módulo: CδFm p (7.3.13) |us | = C0 ((1 − LCω 2 )2 + R2 C 2 ω 2 ) Esta misma expresión puede ponerse en función de los parámetros mecánicos del cristal utilizando las equivalencias ya conocidas, con lo que resulta |us | =

Cm KFm p 2 ω2 ) eC0 ((1 − LCm ω 2 )2 + r2 Cm

(7.3.14)

En la Fig.() se representa el módulo de laa tensión de salida en función de ω observándose que para frecuencias bajas la curva es muy horizontal, es decir la tensiónde salida depende un poco de la frecuencia. existe además un valor de ω para el que la función es máxima, que corresponde a la resonancia mecánica del cristal, o bien a la resonancia eléctrica del circuito equivalente, y que puede calcularse igualendo a cero la derivada, obteniéndose: s 1 r2 − (7.3.15) ω0 = 2πf0 = mCm 2m2 donde ω 0 y f0 son la pulsación y la frecuencia de resonancia, respectivamente. En las aplicaciones como sensor, un criterio a seguir es que las frecuencias contenidas en la magnitud excitadora sean muy inferiores a la de resonancia del cristal, con objeto de operar en la parte plana de la curva. En otro tipo de aplicaciones (osciladores, generadores de ultrasonidos, etc) el cristal se hace funcionar precisamente a su frecuancia de resonancia. En estos casos, en que no existe una fuerza exterior aplicada, el cristal se considera como elemento del circuito pasivo y es interesante observar que presenta dos frecuencias de resonancia (que corresponde a las denominadas resonancia serie y resonancia paralelo). En efecto, la impedancia entre los puntos a y b del circuito equivalente de la Fig.() es: z=

1 1 + RCp + LCp2 CC0 CC0 2 (C + C )p 1 + R C+C0 p + L C+C0 p 0

(7.3.16)

218

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

cuyo módulo, para funcionamiento en alterna (p = ωj), tiene un mínimo y un máximo correspondiente a las dos frecuencias de resonancia mencionadas. Una primera aproximación válida consiste en despreciar el efecto amortiguador de la resistencia R (en efecto, los factores Q son usualmente de decenas de millares), con lo cual: z(ω) ∼ =

1 1 − (ω/ωs )2 (C + C0 )ωj 1 − (ω/ω p )2

(7.3.17)

donde ω s (pulsación de resonancia serie) y ω p (pulsación de resonancia paralelo) son: 1 1 ωs ∼ ∴ ωp ∼ =√ =q CC0 LC L (C+C 0)

(7.3.18)

Dado que, como se ha explicado anteiormente, C0 es mucho mayor que C, las pulsaciones o frecuencias de resonancia serie y paralelo son casi iguales, es decir: ωs ∼ = ωp

(7.3.19)

Los osciladores de cristal oscilan una frecuencia comprendida entre la de resonancia serie y la de resonacia paralelo, en los diseños más usuales, con un ligero desplazamiento hacia la resonancia paralelo. No obstante, de acuerdo con (eq), la frecuencia de oscilación es prácticamente igual a ambas y a la de resonancia mecánica del cristal (). En ciertos casos, los cristales se hacen oscilar a múltiplos de la frecuencia fundamental (sobretonos) forzando determinados modos de vibración en los que se producen ondas estacionarias. Dependiendo de las características del cristal, pueden excitarse modos de vibración a compresión, a cortadura, a flexión, etc. En la Fig.() se ilustra cualitativamente el módulo de la impedancia dada por () en función de la pulsación ω. Es de destacar que existen sensores basados en la variación de la frecuencia de oscilación con el incremento de la masa del cristal al fijarse sobre un recubrimiento sensible determinadas substancias (microgavimetría selectiva), pero se trata en este caso de sensores indirectos.

7.3.7

Problemas específicos relacionados con las medidas

Los circuitos equivalentes de los cristales piezoeléctricos muestran dificultades de las medidas en muy baja frecuencia con este tipo de sensores (impedancia de salida infinita para frecuencia cero). No obstante, pueden aplicarse vitualmente en cualquier rango de frecuencias utilizando los denominados amplificadores de carga, que consisten esencialmente en integradores. En la Fig.() se muestra en foram esquemática un sisterma que muestra un integrador analógico conectado a un sensor piezoeléctrico, que aparece sustituido por su circuito equivalente. La tensión de salida de este circuito, viene dada por la siguiente expresión: us =

1

C

1+(p/ωs )2 R (c + C0 )p + 1 C0 1+(p/ωp )2 a

δF

(7.3.20)

7.3. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS

219

que, para magnitudes con un contenido armónico de muy baja frecuencia, puede aproximarse como C Qc us = − δF = − (7.3.21) Ca Ca La tensión de salida es, pues, aproximadamente proporcional a la carga Qc alamcenada en el condensador Ca . Los amplificadores de carga permiten así medidas incluso en condiciones estáticas (de hecho, la expresión anterior es exacta en tales condiciones), entregando una salida proporcional a la fuerza aplicada. Su principal problema práctico es que tienden a saturarse a largo plazo por integración de pequeños errores de deriva de continua, lo que obliga a utilizar amplificadores operacionales de altas prestaciones en lo que se refiere a deriva, tensiones de desviación (offset) y corrientes de polarización. Adicionalmente, suele ser necesario cortocircuitar periódicamente el condensador de integración para eliminar errores acumulados. Por supuesto, puede utilizarse cualquier esquema de integrador además del ilustrado en la Fig.(). Otro problema que se presenta algunas veces cuando el cable de conexión de señal es largo existen perturbaciones mecánicas ambientales (acústicas, vibratorias, etc), es que dicho cable puede comportarse como un transductor microfónico, apareciendo ruido en la señal. Muchos fabricantes disponen de cable especial para evitar o mitigar este efecto. Adicionalmente, la capacidad parásita asociada se suma al valor de C0 , reduciéndose la amplitud de la señal disponible por efecto de divisor capacitivo con el condensador C. Es recomendable preamplificar la señal muy cerca del sensor. La instrumentación asociada a las medidas con transductores piezoeléctricos es usualmente no diferencial con el crislta aislado a tierra, realizándose en este caso la conexión masa—pantalla— tierra en el extremo de la carga final de utilización (aparato de registro, osciloscopio, etc). La Fig.() ilustra un esquema de apantallamiento recomendado cuando se utiliza un amplificador de carga que tien conectada interiormente la masa al blindaje, pudiendo apreciarse que las pantallas de los conduntores de entrada y salida del amplificador “puentean” el blindaje de este último. Esta disposición es la más favorable para evitar interferencias producidas por diferencias de potencial entre la tierra de señal (tierra remota) y la de los aparatos de registro o medida fianles (tierra local) ya que las correintes implicadas circulan principalmente por las pantallas y blindaje del amplificador y no por los conductores de señal. Se respetan al mismo tiempo las reglas básicas de apantallamiento de la instrumentación no diferencial (continuidad directa entre pantallas y blindaje y conexión a masa de estos elementos).

7.3.8

Aplicaciones

Los sensores piezoeléctricos encuentran aplicación en multitud de transductores analógicos directos (medidores de fuerza y presión, acelerómetros, micrófonos, etc) que se caracterizan, en general, por su fiabilidad, robustez y capacidad para trabajar en ambientes hostiles. Podría afirmarse, no obstante, que las realizaciones de mayor difusión se refieren a medidas dinámicas, dados los problemas que presentan en muy baja frecuencia. Sin embargo, existen transductores

220

CAPÍTULO 7. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL

basados en cristales piezoeléctricos de gran precisión que son exitados por magnitudes estáticas o cuasiestáticas.En los transductores en que la magnitud excitadora puede cambiar de signo (por ejemplo, un acelerómetro que puede medir aceleración y desaceleración) y este hecho implica una inversión de la solicitación mecánica (por ejemplo, se pasa de compresión a tracción), se prefiere “polarizar” mecánicamente el cristal sometiéndolo a una deformación inicial a la que se superpone en un sentido u otro la debida a la magnitud a medir. En la Fig.() se muestra esquemáticamente, por por ejemplo, la estructura de un acelerómetro típico, donde puede observarse como el cristal está precomprimido por un resorte dispuesto entre la carcasa del transductor y la masa de inercia que actúa como sonda. La fuerza de precompresión puede ajustarse haciendo girar la tapa roscada sobre la que se apoya el resorte. y

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0 0

0.25

0.5

0.75

1 x

Figura 7.6:

Capítulo 8

Medida de presión y humedad 8.1

Introducción

En este capítulo se proporcionan las bases técnicas de los sistemas comunes usados para medir presión y humedad. Se incluyen los dispositivos de medida más corrientes, aunque deberá notarse que en la práctica de ingeniería también se emplean otros dispositivos. En este capítulo también se hace una introducción a la tecnología de fibra óptica en los sistemas de medida los cuales incluyen sensores para presión, temperatura y otras variables físicas.

8.2

Medida de presión

La presión se mide en tres formas diferentes: presión absoluta, presión atmosférica y presión diferencial. La presión absoluta se usa en termodinámica para determinar el estado de una sustancia, se mide con relación al cero absoluto de presión. La presión atmoférica es la presión ejercida por la atmósfera terrestre medida con un barómetro. A nivel del mar esta presión es cercana a 760mm Hg absolutos o 14.7 psia (libras por pulgada cuadrada absoluta) y estos valores definen la presión ejercida por la atmósfera estándar. La presión diferencial es la diferencia de presión entre dos puntos de un sistema. El vacío es la diferencia de presiones entre la presión atmosférica existente y la presión absoluta, es decir, es la presión medida por debajo de la atmosférica. Existen dispositivos para medir directamente la presión en cada forma. Aunque algunos dispositivos miden directamente la presión absoluta, es común hacer dos medidas con dos dispositivos —uno para determinar la presión absoluta ambiente y el otro para determinar la presión atmosférica. La presión absoluta es entonces pabs = pamb + patm 221

(8.2.1)

222

CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

En el sistema inglés de unidades, las presiones absoluta, atmosférica y diferencial se dan normalmente en unidades de libras por pulgada cuadrada en la forma de psia, psig y psid, respectivamente. En el sistema de unidades SI, la presión se expresa en pascal, Pa (o kilopascal, kPa) agregando la palabra absoluta, atmosférica o diferencial. Un pascal es una presión de un newton por metro cuadrado. 1P a = 1N/m2

8.3

(8.2.2)

Dispositivos de medida de presión

Existen tres dispositivos tradicionales para medida de presión los cuales no tienen salida eléctrica pero aún son muy utilizados por lo cual merecen ser mencionados. El manómetro y el tubo Bourdon (desarrollado por E. Bourdon en 1849) son usados debido a que se puede leer directamente la presión. El tercer dispositivo, el sensor de peso muerto, es valioso para calibración de otros dispositivos de medida de presión. Ninguno es adecuado para medidas dinámicas.

8.3.1

Manómetros

El manómetro más simple es el tubo en U mostrado en la Fig. 8.1 Consiste de un tubo de vidrio o plástico en forma de U parcialmente lleno con un líquido. El dispositivo se emplea para medir presión diferencial o atmosférica en líquidos o gases. Si el fluido a ser sensado es un líquido, entonces el fluido dentro del manómetro debe ser no miscible y más denso que dicho fluido.

ρs

Tubo transparente en U

Densidad ρm Δh (R)

Figura 8.1: Manómetro de tubo en U. Los fluidos deberán también tener diferentes colores de modo que la interface (menisco) sea

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN

223

visible fácilmente. La diferencia de presión en el extremo del manómetro se puede calcular de ∆P = P1 − P2 = ∆hg(ρm − ρs ) = Rg(ρm − ρs )

(8.3.1)

donde ∆h = R es la diferencia de niveles de las dos interfaces, ρm es la densidad del líquido del manómetro, ρs es la densidad del fluido sensado y g es la aceleración de la gravedad. Para los gases, ρs es muy pequeña con respecto a ρm y se puede despreciar, dando ∆P = Rgρm . Aunque la presión tiene unidades de psi o Pa, es común expresarla como la altura de una columna de un fluido. Si una presión se divide entre ρg, el resultado tiene unidad de altura. Por ejemplo, en el sistema inglés de unidades, si se usa la densidad del agua, la presión puede expresarse como pies de agua o pulgadas de agua. La presión atmosférica usualmente se expresa de esta manera —30 pulgadas o 760 mm Hg, por ejemplo. Cuando se expresa la presión como la altura de una columna de un fluido, también es necesario conocer la temperatura del fluido puesto que ésta afecta la densidad. Por ejemplo, la densidad del agua varía 0.75% entre 10 y 40◦ C. Es común usar la densidad del agua a 4◦ C, 1000kg/m3 o 62.43lbm/f t3 . También es común especificar la densidad del fluido usando el término gravedad específica, S, la cual es la razón de la densidad del fluido a la densidad del agua a una temperatura específica (usualmente 4◦ C). Los manómetros son normalmente precisos aún sin calibración. Los principales factores que afectan su precisión son la escala y la densidad del fluido del manómetro. Las escalas se pueden construir de forma precisa y mantener su precisión con el tiempo. Las densidades de los fluidos también son conocidas y pueden ser fácilmente chequeadas. La expansión térmica afecta tanto a la escala como a la densidad del fluido, pero se pueden hacer correcciones analíticas para eliminar los errores. Los manómetros de U también tienen el inconveniente de que es necesario leer la localización de las dos interfaces. Una variación común, el manómetro de tipo recipiente, se muestra en la Fig. 8.2. En esta configuración, el área de la sección transversal es muy grande comparada con el área del tubo transparente y cuando se aplica una presión, el cambio en la elevación de la superficie del recipiente es muy pequeño comparado con el cambio de elevación en el tubo. Como resultado, sólo se requiere una lectura. Los dispositivos tienen un ajuste, de modo que la lectura es cero cuando no hay presión diferencial aplicada. Para aplicar los manómetros a medida de gases se puede usar directamente la ecuación (8.3.1), ya que ρs ≈ 0. Para líquidos, la fórmula aplicable es más complicada puesto que el recipiente y la columna no están a la misma altura. Para aplicaciones a líquidos, el usuario deberá seguir el análisis sobre manómetros dado, v. gr., en Streeter y Wylie [31]. Cuando se tienen presiones diferenciales muy bajas se puede usar el llamado manómetro inclinado (Fig. 8.3), el cual tiene mayor resolución con lo cual se incrementa la sensibilidad. Éste se puede utilizar para medir presiones tan bajas como 0.1 pulgadas de una columna de agua. El tubo inclinado hace que un pequeño cambio en la altura del fluido cause un gran desplazamiento en la dirección del tubo transparente.

224

CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD Tubo transparente

R P1

Recipiente

Figura 8.2: Manómetro de tipo recipiente. Para los gases, ∆P = ∆hρg = Rsen θρg

(8.3.2)

donde R es la lectura y θ es el ángulo entre el tubo del manómetro y la dirección horizontal. Se utiliza generalmente aceite con una densidad más baja que el agua. En la mayoría de los casos, se comprime la escala del manómetro de modo que las lecturas estén en las unidades de presión apropiadas. Otro instrumento de medida de presión es el barómetro el cual se emplea para medir la presión atmosférica (Fig. 8.4). Este dispositivo es esencialmente un manómetro tipo recipiente en el cual se evacúa una de las piernas de modo que la presión sobre ella sea el vapor de mercurio. Se debe hacer corrección de la temperatura en la lectura de la presión en el barómetro ya que ésta afecta la presión del vapor del mercurio y la escala de medida. Hay una cantidad de diferentes variaciones de manómetros diseñados para altas o bajas presiones. Para altas presiones son preferibles dispositivos no manométricos tales como los transductores de presión discutidos más adelante. Una variedad de dispositivos conocidos como micromanómetros se usan para medir bajas presiones. Para el vacío (presiones muy bajas), se usa un sensor manométrico llamado sensor de McLeod, el cual se verá más adelante. Ejemplo 29 Se aplica una diferencia de presión de gas de 125kPa a las piernas de un tubo en U. El manómetro contiene Hg con una gravedad específica de 13.6. Determinar la lectura del manómetro.

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN

225

P2

θ

P1

Δh R

Figura 8.3: Manómetro inclinado. Sol. Usando la ecuación (8.3.1), ρs = 0, se obtiene R=

∆P ∆P 125000 = = = 0.937 88 m ρm g Sρagua g 13.6 × 1000 × 9.8

Ejemplo 30 Una presión está dada como 58 psi. ¿Cuál es la presión expresada como pulgadas de Hg y pies de agua? Sol. Usando la ecuación (8.3.1), ρs = 0, se obtiene 2

lbf pul lbf ·pies 58 pul 2 144 pies2 32.17 lbf ·s2 ∆P = ∆h = pies = 9. 836 9 pies Hg = 118. 04. pulg Hg lbm ρHg g 13.6 × 62.43 pies 3 32.17 s2

Similarmente, para pies de agua se tiene 2

lbf pul lbf ·pies 58 pul 2 144 pies2 32.17 lbf ·s2 ∆P ∆h = = 133. 78 pies de H2 O = pies lbm ρH O g 62.43 pies 3 32.17 s2 2

Ejemplo 31 Se aplica una presión de gas a la cámara de un manómetro tipo recipiente. La columna está abierta a la atmósfera y el fluido del manómetro tiene una gravedad específica de 2.0. Si la lectura es de 47.5 cm, encontrar la presión aplicada. Sol. Usando la ecuación (8.3.1), se obtiene P1 − P2 = P1 − 0 = Rρm g = 0.475 × 2.0 × 9.8 × 1000 = 9310.0 = 9.31kP a

226

CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

Vacío

Tubo transparente

R

Figura 8.4: Barómetro de mercurio. Ejemplo 32 Se desea diseñar un manómetro inclinado para medir una presión de gas entre 0 y 3 pulg. de una columna de agua con una resolución de 0.01pulg. El fluido del manómetro es agua y es posible leer la pendiente de la escala con una resolución de 0.05 pulg. ¿Cuál será el ángulo θ, y cómo de largo deberá ser el tubo inclinado? Sol. El ángulo puede determinarse del requisito de resolución; 0.01 pulg. de agua corresponde a 0.05 del tubo inclinado. Por lo tanto sen θ = 0.01/0.05, θ = 11.5◦ . Puesto que la elevación total es de 3.0 pulg. en la longitud del tubo, sen θ = 3/L, =⇒ L = 15 pulg.

8.3.2

Tubo Bourdon

Un dispositivo de medida de presión muy común, el tubo Bourdon, se muestra en la Fig. 8.5. Es un dispositivo sencillo para obtener lecturas rápidas de presión en los fluidos. El principio básico de operación es que un tubo curvo y aplanado tratará de enderezarse cuando sea sometido a una presión interna. El terminal del tubo se conecta con un engranaje a un indicador rotatorio. Puede utilizarse para presiones hasta de 20000 psi o más, aunque no tiene alta precisión —son comunes errores de hasta el 5%. Se pueden obtener dispositivos de mucha mejor respuesta con errores de hasta del 0.5% a plena escala. Los tubos Bourdon son utilizados algunas veces como dispositivos de sensado de presión remotos. La deflexión del tubo es sensada con un LVDT o un potenciómetro los cuales transmiten una señal eléctrica al lugar de adquisión de datos.

8.3.3

Probador de peso muerto

El probador de peso muerto, mostrado en la Fig. 8.6 es un dispositivo que se utiliza a menudo para calibrar otros dispositivos de medida de presión a presiones moderadas o altas. El dispositivo de medida de presión a ser calibrado, sensa la presión del aceite contenido en una cámara.

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN

Tubo tipo Bourdon

227

Sección A - A

Señal de presión

Figura 8.5: Tubo Bourdon.

Un arreglo cilindro—pistón se conecta en la cima de la cámara donde se pueden colocar pesas. Un tornillo separado de un pistón puede ser utilizado para ajustar el volumen de la cámara de modo que el pistón con la pesa este situado en la mitad de su rango posible de movimiento. La presión del fluido es entonces el peso del pistón —el peso del arreglo dividido entre el área del pistón. El dispositivo es muy preciso puesto que el área del pistón y el valor de la pesa se pueden determinar con alta precisión.

Dispositivo a ensayar

Pesas W

Área de pistón, A Tornillo con rosca de desplazamiento

Aceite

Manivela

Figura 8.6: Probador de peso muerto.

228

8.3.4

CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

Transductores de presión

Un dispositivo muy común y relativamente barato para medir presión en un fluido es el transductor de presión de diafragma con galga extensométrica, esquematizado en la Fig. 8.7. La presión de prueba se aplica a un lado del diafragma, una presión de referencia al otro lado y la deflexión del difragma se sensa con galgas extensométricas. En los diseños más comunes, la presión de referencia es la atmosférica, de modo que el transductor mide dicha presión. En algunos casos el lado de referencia del transductor es evacuado y sellado de modo que el transductor mide presión absoluta. Finalmente, ambos lados del transductor se pueden conectar a diferentes presiones de prueba de modo que la medida es presión diferencial. Los transductores para cada una de estas aplicaciones tienen detalles de construcción ligeramente diferentes.

Galga extensiométrica

Presión de referencia

Señal de presión

Diafragma

Figura 8.7: Transductor de presión con galga extensiométrica. Antiguamente, el diafragma era usualmente hecho de metal y se utilizaban galgas metálicas. Más recientemente, ha llegado a ser común construir el diafragma de un material semiconductor (silicio) con galgas extensométricas de semiconductor embebidas en el diafragma. Esta es una técnica de construcción menos costosa y, puesto que las galgas extensométricas de semiconductor tienen factores de galga más altos, se mejora la sensibilidad. El sicilio no es resistente a la corrosión producida por algunos fluidos, por lo que se incluye además algún material resistente a la corrosión en el diafragma, con la región situada entre los dos diafragmas llena de un fluido. Normalmente, el acondicionador de señal en puente de Wheatstone se construye en el transductor (todas las ramas del puente son galgas activas) y se conectan galgas extensométricas para compensar la temperatura. La mayoría de los transductores de presión de galga extensométrica producen una salida de corriente continua en el rango de los milivoltios, pero algunos incluyen amplificadores internos que tienen las salidas en el rango de 0 a 5 ó de 0 a 10 V. Las unidades de salida de mayor tensión son menos susceptibles al ruido eléctrico ambiente. La presión también se puede sensar con dispositivos LVDT. La Fig. 8.8 muestra un arreglo con una cámara flexible (cápsula) y un LVDT para sensar el desplazamiento. Este diseño es

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN

229

Presión de referencia

Cápsula

LVDT

Señal de presión

Núcleo del LVDT

Figura 8.8: Transductor de presión con LVDT. más costoso que los sensores que usan galgas extensométricas pero pueden ser más durables en aplicaciones que requieren un tiempo de vida más largo. Muchos transductores de presión de servicio pesado usados en la industria de control de procesos usan sensores LVDT. En las industrias de procesos, la salida de tensión usualmente se convertirá en corriente de 4 a 20 mA para la transmisión de la señal. Los sensores capacitivos a veces se usan como transductores de presión y son particularmente útiles para presiones muy bajas (tanto como 0.1 Pa), puesto que los sensores capacitivos pueden detectar deflexiones extremadamente pequeñas. Un esquema de un transductor de presión capacitivo se muestra en la Fig.8.9. Placa móvil del capacitor

Diafragma Presión de referencia

Señal de presión

Placa fija del capacitor

Figura 8.9: Transductor de presión capacitivo. Las medidas de presiones que varían muy rápidamente en el tiempo presentan muchos problemas técnicos. El fluido y el diafragma (u otro elemento de desplazamiento) forman un sistema

230

CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

dinámico de segundo orden. Si el diafragma es muy flexible, la frecuencia natural será baja y la salida del transductor será engañosa para variaciones de presión a alta frecuencia. Los transductores usados para medidas de presión a alta frecuencia, tales como los procesos de combustión en una máquina de combustión interna, normalmente usan un elemento de sensibilidad piezoeléctrica.

Figura 8.10: Un esquema de de un transductor piezoeléctrico se muestra en la Fig.8.11 Estos transductores generalmente usan elementos de sensibilidad piezoeléctrica de efecto transversal. Los materiales piezoeléctricos son muy rígidos y esos transductores en muchas aplicaciones tienen una frecuencia natural alta.Los transductores piezoeléctricos de presión pueden tener frecuencias naturales por encima de 150 kHz y son usables por encima de maás o menos 30 kHz. La geometría de los transductores piezoeléctricos es diferente de los transductores discutidos anteriormente —el diafragma es del tipo flusf-mounted, y cuando el transductor es instalado este llega a hacer contacto directo con el fluido en la pipeta o cámara. La razón para esto es doble. Si una cavidad fue incluída como en los otros transductores, esta puede significativamente alterar lo medido, debido a la presión. Además la frecuencia natural, puede ser reducida y la habilidad para responder a los transitorios puede ser empeorada. Las lineas de sensibilidad afectan la frecuencia natural, haciendo determinante la dependencia de la frecuencia natural en la aplicación. Otros tipos de transductores de presión son también disponibles con elevación a nivel, pero estos son frecuentemente para uso en fluidos sucios, en los cuales la cavidad puede llegar a ser tapada o difícil de limpiar

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN

231

Elemento (s) piezoeléctrico (s)

Diafragma

Conector eléctrico

Figura 8.11: Transductor de presión piezoeléctrico.

8.3.5

Medida del Vacío

La necesidad de medir presiones absolutas muy bajas (vacío) existe tanto en el laboratorio como en la industria. El frio—seco de los alimentos se realiza en un ambiente vacio. Las presiones de vacío absoluto se miden en unidades de torr. Esta unidad se define como 1/760 de la atmósfera estándar. Puesto que la atmósfera estándar es 760mm de mercurio, 1 torr es 1mmHg. Norton (1982) dio las siguientes definiciones para rangos de presiones de vacío: Vacío bajo 760 a 25 torr Vacío medio 25 a 10−3 torr Vacío alto 10−3 a 10−6 torr Vacío muy alto 10−6 a 10−9 torr Vacio ultra-alto Inferior a 10−9 torr Los dispositivos de medida de presión descritos previamente pueden ser usados para medición de vacios bajos y medios. Los manómetros, los calibradores bourdon, y calibradores similares usan un fuelle instalasdo de un tubo bourdon y los transductores de diafragma capacitivos pueden medir vacios hasta 10−3 torr. Transductores especializados de diafragma capacitivo pueden medir vacios tan bajos como 10−5 torr [Norton (1982)].A continuación, se discutiran tres dispositivos especializados de medida de vacio: el calibrador de McLeod, calibradores de conductividad térmica,. y calibradores de ionización. Ese es un calibrador mecánico usado para graduación, y los otros dos proveen salidas electricas. Calibrador McLeod El principio de operación es para comprimir un volumen grande de gas a baja presión en uno más pequeño y después medir esa presión. Un bosquejo de una variación del calibrador McLeod se muestra en la Fig..8.12(a). La cámara grande con volumén V es llenada completamente con

232

CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

gas a presión baja. Luego, el émbolo es empujado hacia abajo hasta que el mercurio ascienda al nivel h2 en el tubo capilar 2 Fig..8.12(b). En el modelo de operación mostrado aqui, el nivel de h2 es el mismo como el tope del tubo capilar 1 S eñal de vacío P vac C apilar de sección transversal,a

Tubo capilar 2

h2 h1

Tubo capilar 1 É m bolo

Punto A M ercurio

(a)

(b)

Figura 8.12: Sensor de vacío McLeod. El gas originalmente contenido en el volumén V ha sido comprimido dentro del tubo capilar 1.y tiene un volumén y una presión dados por V 0 = a(h2 − h1 )

(8.3.3)

P 0 = Pvac + (h2 − h1 )

(8.3.4)

donde a es el área de la sección transversal de los tubos capilares.Puesto que se determina la presión en la torre, las unidades de h son mmHg. En el rango que el calibrador McLeod es ausado, la presión de vacío, Pvac es normalmente negativa comparada con (h2 − h1 ). La ley de gases ideales relaciona las condiciones antes y después de la compresión: P 0V 0 Pvac V = T T

(8.3.5)

Si el sistema llega al equilibrio térmico después de compresión, las temperaturas inicialñ y final pueden ser las mismas. Combinando las ecuaciones (8.3.3) y (8.3.5), se obtiene Pvac =

(h2 − h1 )a(h2 − h1 ) = k(h2 − h1 )2 V

(8.3.6)

8.3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN

233

Esto es, la presión sensada es igual a la diferencia de las alturas al cuadrado multiplicada por una constante k. La escala puede ser marcada para ser leída directamente en unidades de torr. El calibrador McLeod es útil para medir vacios en un rango 103 a 10−6 torr. Deben se usados con gases secosque no se condensen mientra es comprimido en el tubo capilar El calibrador McLeod tiene algunos inconvenientes para su uso y son usados principalmente para calibrar otros dispositivos de medida de vacío. Calibradores de vacío de Conductividad Térmica Estos equipos están basados en el hecho de que la conductividad térmica de los gases a bajas presiones es función de la presión Aunque estos equipos no por lo normal sensan vacios tan bajos coma la galga McLeod, ellos proveen una salida eléctrica y son simples de usar. Un sensor de conductividad térmica llamado galga Pirani está representado en la Fig().

Figura 8.13: Un filamento calentado está localizado en el centro de un canal conectado a la fuente de vacio. La transferencia de calor del filamento a la pared está dado por q = C(Tf − Tw )Pvac

(8.3.7)

donde Tf es la temperatura del filamento, Tw es la temperatura del canal pared, la geometría del canal y el área de la superficie del filamento. La presión del vacío debe ser lo suficientemente menor para que el gas fluya libremente, el cual debe ser grande comparado con las dimensiones del canal.

234

CAPÍTULO 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD

Un método de usar la galga Pirani se muestra en la Fig(), en la cual está ubicada en un puente Wheatstone. A medida que la presión desciende, la diferencia de temperatura entre el filamento y la pared incrementará,aumentando la resistencia del filamento. La salida del puente, la cual es función de la resistencia del sensor es así una medidad de la presión del gas. Desde que la transferencia de calor es también función de la temperatura del ambiente un canal sellado de referencia está incluído en el puente para compensación. Hay muchos diseños de galgas de conductividad térmica que se pueden usar en presiones tan bajas como 10−3 torr. Galgas de Ionización en vacío Este sensor está basado en el principio de que a medida que los eléctrones energizados pasan a través de un gas ellos ionizaran algunas de las moléculas del gas. El número de iones generados depende de la densidad del gas y en consecuencia de la presión. Una galga de ionización está mostrada esquemáticamente en la Fig(). El sensor físicamente se asemeja al tubo de vacío conocido como triodo aunque el modo de operación es distinto. El cátodo es un filamento calentado y el circuito crea una corriente de electrones entre el cátodo y la malla. Los electrones ionizaran algunas de las moléculas del gas creando iones positivos y más electrones. Los electrones serán atraídos a la malla pero los iones serán atraídos a la placa, la cual es mantenida a un voltaje negativo (a diferencia del triodo donde la placa es mantenida en un voltaje positivo). La corriente de iones y la corriente de la placa se miden separadamente. La presión puede ser obtenida de i+ Pvac = si− donde i+ es la corriente de la placa (iones), i− es la corriente de la malla (electrones), y s es una constante para el circuito dado. Las galgas de ionización no pueden ser usadas en presiones mayores a 10−3 torr debido a que el filamento se deterioraria. Sin embargo, ella puede medir presiones tan bajas como 10−7 torr. Una variación de la galga descrita, la galga Bayard—Alpert puede medir presiones tan bajas como 10−12 torr.

8.4

Medida de Temperatura

Para la medida de la temperatura se usan tradicionalmente..

Parte II

Adecuación de la Señal

235

Capítulo 9

El amplificador operacional 9.1

Introducción

Los amplificadores operacionales son dispositivos lineales de alta versatilidad y prestaciones su area de aplicaión es muy amplia: Una de las aplicaiones prácticas más interesantes es en la solución de ecuaciones algebraicas y diferenciales, así como en la emulación de sistemas complejos en ingeniería tales como en el modelado de máquinas electricas y sistemas de control.En tales casos, el circuito puede analizarse escribiendo las ecuaciones del modelo matemático del sistema y simular el proceso con la ayuda de un simulador como Spice. De otra parte queda la opción de montar la red y observar su funcionamiento en tiempo real con la ayuda de la instrumentación correspondiente. En este artículo se estudiará el comportamiento de las redes con opam en sistemas lineales . En la primera parte se analizará la red planteando condiciones de equilibrio dinámico en las corrientes de polarización de los nodos de entrada . En la segunda parte, se aplicarán los resultados obtenidos, para la solución práctica de ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales lineales. Finalmente se plantea la solución de ecuaciones diferenciales lineales a través de ecuaciones de estado. Esto conduce a un concepto ya planteado [?] concerniente al problema del filtro; se plantean los conceptos necesarios que conducen al diseño e implementación de filtros universales de segundo orden usando integradores y sumadores. Pra este caso se emplearán integradores Miller no inversores. Éstos tienen como característica particular su configuración con realimentación positiva (red pórtico), sin embargo ofrecen la gran ventaja de su alta impedancia de entrada y la opción de no requerir inversores adicionales para tomar la señal. Los resultados son obtenidos de simulación en un sistema simple como es Circuit Maker [?] y de datos tomados en el Laboratorio de Electrónica de la UTP.

237

238

CAPÍTULO 9. EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

Capítulo 10

Confiabilidad En anteriores secciones se definió la precisión de un sistema de medida y se explicó cómo un error de medida puede ser calculado, bajo condiciones de estabilidad estable y dinámica. La confiabilidad es otra característica importante de un sistema de medida; no es bueno tener un sistema de medida exacto el cual está contantemente fallando y requiriendo reparación. La primera sección de este cápitulo tiene que ver con la confiabilidad de sistemas de medida; primero explicando los principios fundamentales de confiabilidad, entonces se discute la confiablidad de sistemas prácticos, y finalmente se examinan formas de confiabilidad.

10.1

Confiabilidad de sitemas de medida

10.1.1

Principios fundamentales de sistemas de medida

Probabilidad Si un número aleatorio de pruebas independientes son hechas, entonces la probabilidad P de que un evento particular ocurra está dada por la relación P =

número de ocurrencias del evento número total de pruebas

(10.1.1)

en el límite que el número total de pruebas tienda a infinito. Así la probabilidad de que un lanzamiento de moneda muestre caras tiendo al valor teórico de 12 bajo un núemro grande de pruebas. Confiabilidad R(t) La confiabilidad de un elemento de medida o sistema puede ser definada como: ‘la probabilidad que el elemento o sistema pueda operar a un nivel determinado de funcionamiento, para un periódo específico, sujeto a condiciones ambientales especificadas’. En el cso de un sistema de medida ‘nivel determinado de funcionamiento’ puede significar una precisión de ±1.5 por ciento. Si el sistema está dando un error de medida fuera de esos límites, entonces se le considera como fallado, aunque normalmente siempre esta sea otra forma de trabajo La importancia de las condiciones ambientales sobre la canfiabilidad de sistemas de 239

240

CAPÍTULO 10. CONFIABILIDAD

medida será discutida completamente más adelante. La confiabilidad varia con el tiempo, un sistema de medida que ha sido justamente chequeado y calibrado podrá tener una confiabilidad de 1 cuando inicialmente se coloque en servicio. Seis meses después, la confiabilidad puede ser solamente 0.5 como la probabilidad de que una falla aumentara. No confiabilidad.F (t) Esta es la ‘probabilidad que el elemento o sistema falle durante la operación a un nivel determinado de funcionamiento, para un período especificado, sujeto a condiciones ambientales especificas’. Puesto que el equipamento tiene ya sea fallo o no fallo la suma de la confiabilidad y no confiabilidad debe ser la unidad, es decir R(t) + F (t) = 1

(10.1.2)

La no confiablidid depende también del tiempo; un sistema que ha sido justamente chequeado y calibrado podrá tener una no confiabilidad de cero, cuando inicialmete se coloque en servicio, aumentando, es decir, 0.5 después de seis meses. Tiempo medio entre fallas (M:T:B:F) Las anteriores definiciones, mientras el uso sea extremo, sufren la desventaja de tener que especificar un período particular de operación del equipo. Una medida más usual de funcionamiento la cual no involucra el período de operación es el tiempo medio entre fallas (M.T.B.F). M.T.B.F es aplicable a cualquier tipo de equipo el cual puede ser reparado por medio del reemplazo de una componente fallada o unidad, y es de esta manera adecuado para describir elementos de medida o sistemas. Supóngase que N elementos idénticos o sistemas están probados para un período total T . Cada falla es registrada, el equipo es reparado, se coloca fuera de servicio y el número total de fallas NF durante T se encuentra. El M.T.B.F observado es NT M.T.B.F = (10.1.3) NF donde el intervalo de prueba T no incluye el tiempo total de reparación. Así si se graban 150 faltas para 200 transductores diferenciales de presión por 1.5 años, el M.T.B.F. observado es de 2.0 años. Taza de falla λ.Es el promedio del número de fallas, por item de equipo, por unidad de tiempo. La taza de falla de varios elementos y sistemas de medida es aproximadamente constante durante la mayor parte de la vida útil. En este caso la taza de falla es el reciproco de M.T.B.F, es decir 1 (10.1.4) λ= M.T.B.F y la taza de fallo observada es NF (10.1.5) λ= NT Variación en la taza de fallo λ durante el tiempo de vida del equipo. La taza de falla, de un tipo de elemento o sistema dado, varia a través de la vida del equipo. Es posible identificar tres fases distintas cada una con diferentes caracteristicas de falla: antes de la falla, durante la falla (vida normal de trabajo) y falla por desgaste. Estas son mostradas en la Fig. (zz),

10.1. CONFIABILIDAD DE SITEMAS DE MEDIDA

241

la llamada curva de bañera. La región de fallo temprana, permanece posiblemente seis meses, es debido a componentes débiles y falta de conocimiento en la operación del sistema, la región madura, permanece posiblemente 10 años, está caracterizada por una constante baja de taza de fallo, todos los componentes débiles han sido removidos y el sistema está siendo operado correctamente. La región de falla por desgaste está caracterizada por un incremento de la taza defalla cuando las componentes tienden al fin de su vida útil. Relación entre R(t), F (t) y λ, por la constante λ. Supóngase que n0 items idénticos de un equipo son escogidos en un tiempo de operación t = 0.

242

CAPÍTULO 10. CONFIABILIDAD

Apéndice A

Cálculo de funciones polinómicas para termocuplas Cálculo de funciones polinómicas FEM - temperatura (Norma IEC IPTS-68) de termocuplas Ing Luis Enrique Avendaño M. Sc. UTP 1. Termocupla tipo R hold on grid on xlabel(’Temperatura T o C’),ylabel(’Tensión V’) title(’Gráfica de las termocuplas tipo R, S, B, J, T, E y K’) for t=-50:630.74, A=[0 5.289139 1.39111e-2 -2.400524e-5 3.620141e-8 -4.464502e-11 3.849769e-14 -1.537264e17]; T1=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7]’; E1=dot(A,T1); plot(t,E1) end hold on for t=630.74:1064.43, B=[-2.641801e2 8.046868 2.989229e-3 -2.687606e-7]; T2=1e-6*[1 t t.^2 t.^3]’; E2=dot(B,T2); plot(t,E2) end hold on for t=1064.43:1665, C=[1.5540414e4 4.2357773e3 1.4693087e2 -5.2213890e1]; ta=(t-1375)/300; 243

244 APÉNDICE A. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS T3=1e-6*[1 ta ta.^2 ta.^3]’; E3=dot(C,T3); plot(t,E3) end hold on for t=1665:1767.6, D=[2.0416695e4 6.6850914e2 -1.2301472e1 -2.7861521]; ta1=(t-1715)/50; T4=1e-6*[1 ta1 ta1.^2 ta1.^3]’; E4=dot(D,T4); plot(t,E4) end 2. Termocupla tipo S (Pt 10% Rd-Pt) hold on for t=-50:630.74, As=[0 5.399578 1.251977e-2 -2.244822e-5 2.845216e-8 -2.244058e-11 8.505417e-15]; T1s=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6]’; E1s=dot(As,T1s); plot(t,E1s) end hold on for t=630.74:1064.43, Bs=[-2.982448e2 8.237553 1.645391e-3]; T2s=1e-6*[1 t t.^2]’; E2s=dot(Bs,T2s); plot(t,E2s) end hold on for t=1064.43:1665, Cs=[1.3943439e4 3.6398687e3 -5.0281206 -4.2450546e1]; tas=(t-1365)/300; T3s=1e-6*[1 tas tas.^2 tas.^3]’; E3s=dot(Cs,T3s); plot(t,E3s) end hold on for t=1665:1767.6, Ds=[1.8113083e4 5.6795375e2 -1.2112492e1 -2.8117589]; ta1s=(t-1715)/50; T4s=1e-6*[1 ta1s ta1s.^2 ta1s.^3]’;

245 E4s=dot(Ds,T4s); plot(t,E4s) end 3. Termocupla tipo B (Pt 30% Rd-Pt-6% Rd) hold on for t=0:1820, Ab=[0 2.4674601620e-1 5.9102111169e-3 -1.4307123430e-6 2.1509149750e-9 -3.1757800720e12 ... 2.4010367459e-15 -9.0928148159e-19 1.3299505137e-22]; T1b=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8]’; E1b=dot(Ab,T1b); plot(t,E1b) end 4. Termocupla tipo J (Pt 30% Rd-Pt-6% Rd) hold on for t=-210:760, Aj=[0 5.0372753027e1 3.0425491284e-2 -8.5669750464e-5 1.3348825735e-7 -1.7022405966e-10 ... 1.9416091001e-13 -9.6391844859e-17]; T1j=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7]’; E1j=dot(Aj,T1j); plot(t,E1j) end hold on for t=760:1200, Bj=[2.9721751778e+5 -1.5059632873e+3 3.2051064215 -3.2210174230e-3 1.5949968788e-6 ... -3.1239801752e-10]; T2j=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5]’; E2j=dot(Bj,T2j); plot(t,E2j) end 5. Termocupla tipo T (Cu/Cu Ni) hold on for t=-270:0, At=[0 3.8740773840e1 4.4123932482e-2 1.1405238498e-4 1.9974406568e-5 9.0445401187e-7 ... 2.2766018504e-8 3.6247409380e-10 3.8648924201e-12 2.8298678519e-14 1.4281383349e-16 ... 4.8833254364e-19 1.0803474683e-21 1.3949291026e-24 7.9795893150e-28]; T1t=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8 t.^9 t.^10 t.^11 t.^12 t.^13 t.^14]’; E1t=dot(At,T1t); plot(t,E1t)

246 APÉNDICE A. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS end hold on for t=0:400, Bt=[0 3.8740773840e1 3.3190198092e-2 2.0714183645e-4 -2.1945834823e-6 1.1031900550e-8 ... -3.0927581898e-11 4.5653337165e-14 -2.7616878040e-17]; T2t=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8]’; E2t=dot(Bt,T2t); plot(t,E2t) end 5. Termocupla tipo E (Ni Cr/Cu-Ni) hold on for t=-270:0, Ae=[0 5.8695857799e1 5.1667517705e-2 -4.4652683347e-4 -1.7346270905e-5 -4.8719368427e-7 ... -8.8896550447e-9 -1.0930767375e-10 -9.1784535039e-13 -5.2575158521e-15 -2.0169601996e-17 ... -4.9502138782e-20 -7.0177980633e-23 -4.3671808488e-26]; T1e=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8 t.^9 t.^10 t.^11 t.^12 t.^13]’; E1e=dot(Ae,T1e); plot(t,E1e) end hold on for t=0:100, Be=[0 5.8695857799e1 4.3110945462e-2 5.7220358202e-5 -5.4020668085e-7 1.5425922111e-9 ... -2.4850089136e-12 2.3389721459e-15 -1.1946296815e-18 2.5561127497e-22]; T2e=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8 t.^9]’; E2e=dot(Be,T2e); plot(t,E2e) end 5. Termocupla tipo K (NiCr/NiAl) hold on for t=-270:0, Ak=[0 3.9475433139e1 2.7465251138e-2 -1.6565406716e-4 -1.5190912392e-6 -2.4581670924e-8 ... -2.4757917816e-10 -1.5585276173e-12 -5.9729921255e-15 -1.2688801216e-17 -1.1382797374e20]; T1k=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8 t.^9 t.^10]’; E1k=dot(Ak,T1k);

247 plot(t,E1k) end hold on for t=0:1372, Bk=[-1.8533063273e1 3.8918344612e1 1.6645154356e-2 -7.8702374448e-5 2.2835785557e-7 ... -3.5700231258e-10 2.9932909136e-13 -1.2849848798e-16 2.2239974336e-20]; T2k=1e-6*[1 t t.^2 t.^3 t.^4 t.^5 t.^6 t.^7 t.^8]’; K=125e-6*[1 1 1 1 1 1 1 1 1]; Tko=[exp(-0.5*((1-127)/65).^2) exp(-0.5*((t-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^2-127)/65).^2) ... exp(-0.5*((t.^3-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^4-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^5-127)/65).^2) ... exp(-0.5*((t.^6-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^7-127)/65).^2) exp(-0.5*((t.^8-127)/65).^2)]; Tk=dot(K,Tko); E2k=dot(Bk,T2k); Ek=E2k+Tk; plot(t,Ek) end

248 APÉNDICE A. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS

Apéndice B

Definiciones de las Unidades Básicas del SI y del Radian y del Steradian1 B.1

Introduction

The following definitions of the SI base units are taken from Ref. [5]; the definitions of the SI supplementary units, the radian and steradian, which are now interpreted as SI derived units, are those generally accepted and are the same as those given in Ref. [6]. It should be noted that SI derived units are uniquely defined only in terms of SI base units; for example, 1V = 1m2 · kg· s−3 · A−1 .

B.2

Meter (17th CGPM, 1983)

The meter is the length of the path travelled by light in vacuum during a time interval of 1/299 792 458 of a second.

B.3

Kilogram (3d CGPM, 1901)

The kilogram is the unit of mass; it is equal to the mass of the international prototype of the kilogram.

B.4

Second (13th CGPM, 1967)

The second is the duration of 9 192 631 770 periods of the radiation corresponding to the transition between the two hyperfine levels of the ground state of the cesium-133 atom. 1

Los nombres consignados a continuación se especifican en la lengua original

249

250APÉNDICE B. DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BÁSICAS DEL SI Y DEL RADIAN Y DEL STER

B.5

Ampere (9th CGPM, 1948)

The ampere is that constant current which, if maintained in two straight parallel conductors of infinite length, of negligible circular cross section, and placed 1 meter apart in vacuum, would produce between these conductors a force equal to 2 × 10 −7 newton per meter of length.

B.6

Kelvin (13th CGPM, 1967)

The kelvin, unit of thermodynamic temperature, is the fraction 1/273.16 of the thermodynamic temperature of the triple point of water.

B.7

Mole (14th CGPM, 1971)

1. The mole is the amount of substance of a system which contains as many elementary entities as there are atoms in 0.012 kilogram of carbon 12. 2. When the mole is used, the elementary entities must be specified and may be atoms, molecules, ions, electrons, other particles, or specified groups of such particles. In the definition of the mole, it is understood that unbound atoms of carbon 12, at rest and in their ground state, are referred to. Note that this definition specifies at the same time the nature of the quantity whose unit is the mole.

B.8

Candela (16th CGPM, 1979)

The candela is the luminous intensity, in a given direction, of a source that emits monochromatic radiation of frequency 540 × 1012 hertz and that has a radiant intensity in that direction of (1/683) watt per steradian.

B.9

Radian

The radian is the plane angle between two radii of a circle that cut off on the circumference an arc equal in length to the radius.

B.10

Steradian

The steradian is the solid angle that, having its vertex in the center of a sphere, cuts off an area of the surface of the sphere equal to that of a square with sides of length equal to the radius of the sphere.

B.10. STERADIAN

251

(a) The radian and steradian may be used with advantage in expressions for derived units to distinguish between quantities of different nature but the same dimension. (b) In practice, the symbols rad and sr are used where appropriate, but the derived unit "1" is generally omitted. (c) In photometry, the name steradian and the symbol sr are usually retained in expressions for units. (d) This unit may be used in combination with SI prefixes, e.g. millidegree Celsius, m◦ C.

252APÉNDICE B. DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BÁSICAS DEL SI Y DEL RADIAN Y DEL STER Tabla B.1: Unidades SI derivadas con nombres especiales y símbolos Derived quantity

SI derived unit in terms of other SI units...

Name plane angle solid angle frequency force pressure, stress energy, work, quantity of heat power, radiant flux electric charge, quantity of electricity electric potential difference, electromotive force capacitance electric resistance electric conductance magnetic flux magnetic flux density inductance Celsius temperature luminous flux illuminance activity (referred to a radionuclide) absorbed dose, specific energy (imparted), kerma dose equivalent, ambient dose equivalent, directional dose equivalent, personal dose equivalent, organ equivalent dose

radian (a) steradian (a) hertz newton

Expression in terms of SI base units m·m−1 = 1 (b) m2 ·m−2 = 1 (b) s−1 m·kg·s−2

rad sr (c) Hz N

pascal

Pa

N/m2

m−1 ·kg·s−2

joule

J

N·m

m2 ·kg·s−2

watt

W

J/s

m2 ·kg·s−3

Coulomb

C

volt

V

W/A

F Ω S Wb T H ◦C lm lx

C/V V/A A/V V·s Wb/m2 Wb/A

farad ohm siemens weber tesla henry degree Celsius lumen lux becquerel

(d)

s·A

cd·sr (c) lm/m2

m2 ·kg·s−3 ·A−1 m−2 ·kg−1 ·s4 ·A2 m2 ·kg·s−3 ·A−2 m−2 ·kg−1 ·s3 ·A2 m2 · kg·s−2 ·A−1 kg·s−2 ·A−1 m2 · kg·s−2 ·A−2 K m2 ·m−2 ·cd=cd m2 ·m−4 ·cd=m−2 ·cd s−1

Bq

gray

Gy

J/kg

m2 ·s−2

sievert

Sv

J/kg

m2 ·s−2

Apéndice C

Prefijos del Sistema Internacional El 11o congreso del CGPM (1960) adoptó una primera serie de prefijos y símbolos de los mismos para formar los nombres y símbolos de los múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI. En los últimos años las unidades se han extendido a las dadas en la tabla siguiente: 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24

yota zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto ato zepto yocto

253

Y Z E P T G M k h da d c m μ n p f a z y

254

APÉNDICE C. PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Apéndice D

Enlace de unidades básicas del SI a constantes atómicas y fundamentales The figure below represents some of the links between the base units of the SI and the fundamental physical and atomic constants. It is intended to show that the base units of the SI are linked to the real world through the unchanging and universal constants of physics. In the figure, • the surrounding boxes, lines and uncertainties represent the real world. The uncertainties next to the base units are estimates of the standard uncertainties of their best practical realizations; those next to the fundamental constants represent the uncertainty of our knowledge of these constants (from the 1998 CODATA adjustment). • the grey, fuzzy links to the outside reflect the unknown long-term stability of the kilogram artefact and its consequent effects on the practical realization of the definitions of the ampere, mole and candela. The ampere’s definition, for example, involves the kilogram, but an alternative link is the Josephson-effect constant (KJ-90) and von Klitzing’s quantum-Hall resistance (RJ-90), both of which were given fixed, conventional values in 1990.

D.1

La Escala de Temperatura Internacional de 1990 (ITS-90)

The International Temperature Scale of 1990 (ITS-90) came into effect on 1 Janurary 1990, replacing the IPTS-68 and the EPT-76. The ITS-90 differs from the IPTS-68 in a number of important respects: - it uses the triple point of water (273.16 K), rather than the freezing point of water (273.15 K), as a defining point 255

256APÉNDICE D. ENLACE DE UNIDADES BÁSICAS DEL SI A CONSTANTES ATÓMICAS Y FUNDA

Figura D.1:

D.1. LA ESCALA DE TEMPERATURA INTERNACIONAL DE 1990 (ITS-90)

257

- it extends to lower temperatures: 0.65 K instead of 13.8 K - it is in closer agreement with thermodynamic temperatures - it has improved continuity and precision - it has a number of overlapping ranges and sub-ranges - in certain ranges it has alternative but substantially equivalent definitions - it includes the helium vapour pressure scales - it includes an interpolating gas thermometer as one of the defining instruments - the range of the platinum resistance thermometer as defining instrument has been extended from 630 ◦ C up to the silver point, 962 ◦ C - the Pt/10 % Rh-Pt thermocouple is no longer a defining instrument of the scale - the range based upon the Planck radiation law begins at the silver point instead of at the gold point, but options exist for using any one of the silver, gold or copper points as reference points for this part of the scale. For further details please refer to the following BIPM publications: - Preston-Thomas H., The International Temperature Scale of 1990 (ITS-90), Metrologia, 1990, 27, 3-10; Metrologia, 1990, 27, 107-127 - Techniques for approximating the International Temperature Scale of 1990 - Supplementary information for the International Temperature Scale of 1990

258APÉNDICE D. ENLACE DE UNIDADES BÁSICAS DEL SI A CONSTANTES ATÓMICAS Y FUNDA

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260

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