Articulo Final 2.docx

Dispersión de una partícula relativista usando el potencial de Wood-Saxon en una ecuación de Klein-Gordon Mullisaca Palomino A., Carlos Chilo A., Castro Cuba P., Hancco Cuba R. Vilca Huayhua. Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa Escuela Profesional de Fisica Correo-e: [email protected] Abstract. Resolvemos la ecuación de Klein-Gordon en presencia de un potencial Woods-Saxon espacialmente unidimensional. Las soluciones de dispersión se obtienen en términos de funciones hipergeométricas y se deriva la condición para la existencia de resonancias de transmisión. Se muestra cómo la condición de reflexión cero depende de la forma del potencial. Donde se encontró el comportamiento de los coeficientes de reflexión y transmisión frente a la energía, apareciendo unos picos los cuales decrecen en amplitud a medida que aumenta la energía.

1.-Introduccion La ecuación de Klein-Gordon representa la primera tentativa de unificar las ideas cuánticas con la relatividad especial de Einstein. En la ecuación de Schrödinger en potenciales unidimensionales muestra que, a medida que el impulso va a cero, el coeficiente de reflexión va a la unidad a menos que el potencial V (x) soporte una resonancia de energía cero (R. Newton, 1982). En este caso, el coeficiente de transmisión va a la unidad, convirtiéndose en una resonancia de transmisión (D. Bohm, 1951). La situación para los potenciales de corto alcance en la ecuación de Klein-Gordon es completamente diferente. La ausencia de estados supercríticos en la ecuación de Klein-Gordon en presencia de interacciones potenciales de corto alcance nos previene la existencia de resonancias de transmisión para valores dados del potencial. En el caso unidimensional, las ecuaciones de KleinGordon se pueden resolver en términos de funciones especiales y, por lo tanto, el estudio de estados ligados y dispersión es conveniente trabajar con el potencial Woods-Saxon se vuelve más manejable. A pesar de su relativa simplicidad, los procesos de dispersión de partículas escalares relativistas por potenciales unidimensionales exhiben las mismas propiedades físicas que las ondas en presencia de potenciales radiales.

2 Marco Teorico

Figura 1: Potencial de Woods Saxon para diversos parámetros de a y L (grafica hecha en matlab versión1.7 )

2.2 Ecuacion de Klein-Gordon Para poder determinar la ecuación de Klein Gordon debemos primero determinar el lagrangiano que me cumpla la ecuación de Euler Lagrange. El lagrangiano seria: 1 1 𝐿 = 𝜕𝜇 𝜙𝜕𝜇 ∅ − 𝑚2 ∅2 (2) 2 2 La ecuación de Euler Lagrange seria: 𝜕𝐿

2.1 Potencial de Wood-Saxon

𝜕∅

El potencial de Woods-Saxon es: Θ(−x)

Donde 𝑉0 es real y positivo; a>0 y L>0 y también es real y positivo. Θ(x) es Heaviside step function. La forma del potencial de Woods-Saxon es mostrada en la figura 1

Θ(x)

𝑉(𝑥) = 𝑉0 [1+𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) + 1+𝑒 𝑎(𝑥−𝐿)]

(1)

− 𝜕𝜇 (

𝜕𝐿

)=0

𝜕(𝜕𝜇 ∅)

Utilizando la ecuación de Euler Lagrange y derivando el lagrangiano podemos obtener la ecuación de Klein Gordon {𝜕𝑢 𝜕 𝑢 + 𝑚2 }𝜙(𝑥, 𝑡) = 0 Dónde:

(3)

(5)

𝜕𝜇 𝜕𝜇 =

1 𝜕2 𝑐 2 𝜕𝑡 2

− ∇2

(6)

𝐵=

Pero nuestra ecuación de Klein Gordon está representada en una sola dimensión y con 𝑐 = 1 + {(𝐸 − 𝑉(𝑥))2 − 𝑚2 }∅(𝑥) = 0 (7) Donde E es la energía, V(x) es el potencial, m es la masa de la partícula. 𝑑𝑥 2

3 Metodología 3.1 Ecuacion de Klein Gordon aplicado a un potencial de Woods- Saxon x<0. Consideremos resolver la ecuación (1) incluyendo el potencial para x<0 con E2>0. Ecuación seria de la siguiente manera: 𝑑𝑥 2

𝑉0 1+𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿)

+ [(𝐸 − [

2

]) − 1] ∅(𝑥) = 0 (8)

Haciendo una sustitución 𝑦 = −𝑒 (2) seria: 𝑦

𝑑2∅ 𝑑2𝑦

+

𝑑∅ 𝑑𝑦

+

1

[(𝐸 − [

𝑎2 𝑦 𝜇 (1

𝑉0

1−𝑦 −𝜆1

−𝑎(𝑥+𝐿)

𝑖𝑘 𝑎

;

√𝑎2 −4𝑉0 2

𝑘 = √𝐸 2 − 1;

2

𝑅= 𝑅=|

]) − 1] ∅(𝑥) = 0 (9)

√1−(𝐸−𝑉0 )2

; 𝜆=

𝑎

1

; 𝜆1 = − + 𝜆; 2 La solución general de la ecuación (10) puede ser expresado en términos de las funciones hipergeométrica como: ℎ(𝑦) = 𝐷12 𝐹1 (𝜇 − 𝜆1 − 𝜈, 𝜇 − 𝜆1 + 𝜈, 1 + 2𝜇, 𝑦) 2𝑎

+𝑦 −2𝜇 𝐷22 𝐹1 (−𝜇 − 𝑣 − 𝜆1 , −𝜇 + 𝑣 − 𝜆1 , 1 − 2𝜇, 𝑦)

(11)

Utilizando la función: ∅(𝑦) = 𝑦 𝜇 (1 − 𝑦)−𝜆1 ℎ(𝑦) Reemplazando (11) en (12) obtenemos:

(20)

𝛤(𝑎)𝛤(𝑐−𝑏)

𝑎 = 𝜇 − 𝜆1 + 𝜈 ; 𝑏 = 𝜇 − 𝜆1 − 𝜈 𝑐 = 1 + 2𝜇 Haciendo aproximaciones sobre el comportamiento del potencial. ∅𝑖𝑛𝑐 (𝑥) = 𝐴𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿)𝜇 (21) ∅𝑟𝑒𝑓 (𝑥) = 𝐵𝑒 𝑎(𝑥+𝐿)𝜇 (22) ∅𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑥) = 𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿)𝑣 (23) Y con la definición de densidad de corriente eléctrica ya utilizada para el caso de un potencial tangente hiperbólico. 𝑖 𝑗⃗ = (∅∗ ∇∅ − ∅∇∅∗ ) (24)

2

𝜇=

(19)

𝛤(𝑏)𝛤(𝑐−𝑎) 𝛤(𝑐)𝛤(𝑎−𝑏)

+{

la ecuación

Poniendo ∅ = 𝑦 − 𝑦) ℎ(𝑦), la ecuación (9) se reduce a una ecuación hipergeométrica: 𝑦(1 − 𝑦)ℎ(𝑦)´´ + [(1 + 2𝜇) − (2𝜇 − 2𝜆1 + 1)𝑦]ℎ(𝑦)´ −(𝜇 − 𝜆1 + 𝜈)(𝜇 − 𝜆1 − 𝜈)ℎ(𝑦) = 0 (10) Donde los parámetros: 𝜈=

𝛤(𝑐)𝛤(𝑏−𝑎)

Dónde:

𝑑 2 ∅(𝑥)

𝑑 2 ∅(𝑥)

𝐴=

(12)

∅(𝑦) = 𝑦 𝜇 (1 − 𝑦)−𝜆1 𝐷12 𝐹1 (𝜇 − 𝜆1 − 𝜈, 𝜇 − 𝜆1 + 𝜈, 1 + 2𝜇, 𝑦) +𝑦 −𝜇 (1 − 𝑦)−𝜆1 𝐷22 𝐹1 (−𝜇 − 𝑣 − 𝜆1 , −𝜇 + 𝑣 − 𝜆1 , 1 − 2𝜇, 𝑦)

(13) Nosotros obtuvimos ∅(𝑦) y reemplazando 𝑦 = −𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) entonces la ecuación de onda seria: −𝜆1

∅(𝑥) = −𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿)𝜇 (1 + 𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) 𝐷12 𝐹1 (𝜇 − 𝜆1 − 𝜈, 𝜇 − 𝜆1 + 𝜈, 1 + 2𝜇, −𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) )

|𝐵|2

𝑗𝑟𝑒𝑓

(25)

= |𝐴|2

𝑗𝑖𝑛𝑐

𝛤(2𝜎)𝛤(𝜇−𝜆1 −𝜈)𝛤(1+𝜇+𝜆1 −𝜈) 2 𝛤(𝜇−𝜆1 +𝜈)𝛤(1+𝜇+𝜆1 +𝜈)𝛤(−2𝜎) 𝑗𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 𝑣 1

𝑇=

=

| (26)

𝑗𝑖𝑛𝑐 𝜇 |𝐴|2 𝑣 2 𝛤(𝜇−𝜆1 −𝜈)𝛤(1+𝜇+𝜆1 −𝜈) 2

𝑇=| | | 𝜇

𝛤(1+2𝜇)𝛤(−2𝜈)

(27)

| (28)

3.2 Ecuacion de Klein Gordon aplicado a un potencial de Woods- Saxon x>0. Consideremos resolver la ecuación (1) incluyendo el potencial para x>0 con E2>0. Ecuación seria de la siguiente manera: 𝑑 2 ∅(𝑥) 𝑑𝑥 2

𝑉0 1+𝑒 𝑎(𝑥−𝐿)

+ [(𝐸 − [

2

]) − 1] ∅(𝑥) = 0 (29)

Haciendo una sustitución 𝑧 −1 = 1 + 𝑒 𝑎(𝑥−𝐿) la ecuación (29) seria: 𝑎2 𝑧(1 − 𝑧)

𝑑 𝑑∅ (𝑧(1 − 𝑧) ) + [(𝐸 − 𝑉0 𝑧)2 − 1]∅(𝑥) = 0 𝑑𝑧 𝑑𝑧

(28) Poniendo ∅ = 𝑧 −𝜈 (1 − 𝑧)−𝜇 𝑔(𝑧) la ecuación (28) seria: 𝑧(1 − 𝑧)𝑔(𝑧)´´ + [(1 − 2𝜈) − 2(1 − 𝜈 − 𝜇)𝑧]𝑔(𝑧)´ 1 1 - ( -ν-μ-λ) ( -ν-μ + λ) g(z)=0 (29) 2 2 Donde los parámetros son los mismos para el potencial de Woods- Saxon x<0. La solución general de la ecuación (29) puede ser expresado en términos de las funciones hipergeométrica como:

−𝜆1

−𝑒 𝑎(𝑥+𝐿)𝜇 (1 + 𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) 𝐷22 𝐹1 (−𝜇 − 𝑣 − 𝜆1 , −𝜇 + 𝑣 − 𝜆1 , 1 − 2𝜇, −𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) (14) Las ondas incidentes y reflejados son: −𝜆1

∅𝑖𝑛𝑐 (𝑥) = −𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿)𝜇 (1 + 𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) 𝐷12 𝐹1 (𝜇 − 𝜆1 − 𝜈, 𝜇 − 𝜆1 + 𝜈, 1 + 2𝜇, −𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) (15) −𝜆1

∅𝑟𝑒𝑓 (𝑥) = −𝑒 𝑎(𝑥+𝐿)𝜇 (1 + 𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) 𝐷22 𝐹1 (−𝜇 − 𝑣 − 𝜆1 , −𝜇 + 𝑣 − 𝜆1 , 1 − 2𝜇, −𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) (16) Damos D1=A y D2=B. −𝑎(𝑥+𝐿)𝜇

−𝑎(𝑥+𝐿) −𝜆1

∅𝑖𝑛𝑐 (𝑥) = −𝐴𝑒 (1 + 𝑒 ) −𝑎(𝑥+𝐿) 𝐹1 (𝜇 − 𝜆1 − 𝜈, 𝜇 − 𝜆1 + 𝜈, 1 + 2𝜇, −𝑒 ) (17) −𝜆1

∅𝑟𝑒𝑓 (𝑥) = −𝐵𝑒 𝑎(𝑥+𝐿)𝜇 (1 + 𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) 𝐹1 (−𝜇 − 𝑣 − 𝜆1 , −𝜇 + 𝑣 − 𝜆1 , 1 − 2𝜇, −𝑒 −𝑎(𝑥+𝐿) ) (18) Donde A y B

1 1 𝑔(𝑦) = 𝐷12 𝐹1 ( − 𝜇 − 𝜆 − 𝜈, − 𝜇 + 𝜆 − 𝜈, 1 − 2𝜈, 𝑧) 2 2 1 1 +𝑧 2𝜈 𝐷22 𝐹1 ( − 𝜇 − 𝜆 + 𝜈, − 𝜇 + 𝜆 + 𝜈, 1 + 2𝜈, 𝑧) (30) 2

2

Utilizando la función: ∅ = 𝑧 −𝜈 (1 − 𝑧)−𝜇 𝑔(𝑧)

(31)

Reemplazando (30) en (31) obtenemos: −𝜇

∅(𝑧) = 𝑧−𝜈 (1 − 𝑧)

1 1 𝐷12𝐹1 ( − 𝜇 − 𝜆 − 𝜈, − 𝜇 + 𝜆 − 𝜈, 1 − 2𝜈, 𝑧) 2 2

1 1 +𝑧𝜈 (1 − 𝑧)−𝜇 𝐷22 𝐹1 ( − 𝜇 − 𝜆 + 𝜈, − 𝜇 + 𝜆 + 𝜈, 1 + 2𝜈, 𝑧) 2 2

(32)

Cuando 𝑑2 = 0 hacemos el limite 𝑥 → ∞ ,y dando valor 𝑧 → 0 , entonces 𝑧 −1 → 𝑒 𝑎(𝑥−𝐿) ∅𝑅 → 𝑑1 𝑒 𝑖𝑘(𝑥−𝐿)

(32)

Utilizando la densidad de corriente que es la ecuación (24) entonces deducimos que:

Cuando 𝑥 → −∞ ; 𝑗𝐿 = 𝑗𝑖𝑛 − 𝑗𝑟𝑒𝑓 𝑥→∞; 𝑗𝑅 = 𝑗𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 Además las funciones de onda son: ∅𝑖𝑛𝑐 (𝑥) = 𝐴𝑒 𝑖𝑘(𝑥+𝐿) ∅𝑟𝑒𝑓 (𝑥) = 𝐵𝑒 −𝑖𝑘(𝑥+𝐿) ∅𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑥) = 𝑒 𝑖𝑘(𝑥−𝐿)

(33) (34) (35)

Entonces los Coeficientes de reflexión (R) y transmisión (T) para el potencial de Woods- Saxon 𝑅=

𝑗𝑟𝑒𝑓 𝑗𝑖𝑛𝑐

=

(∅∗ 𝑟𝑒𝑓 ∇∅𝑟𝑒𝑓 −∅𝑟𝑒𝑓 ∇∅∗ 𝑟𝑒𝑓 ) ∅∗ 𝑖𝑛𝑐 ∇∅𝑖𝑛𝑐 −∅𝑖𝑛𝑐 ∇∅∗ 𝑖𝑛𝑐

(36)

Reemplazando las funciones de onda en la ecuación (36) obtenemos: |𝐵|2

𝑅 = |𝐴|2

(37)

El coeficiente de trasmisión es: 𝑇=

𝑗𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 𝑗𝑖𝑛𝑐

=

(∅∗ 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 ∇∅𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 −∅𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 ∇∅∗ 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 ) ∅∗ 𝑖𝑛𝑐 ∇∅𝑖𝑛𝑐 −∅𝑖𝑛𝑐 ∇∅∗ 𝑖𝑛𝑐

resonancias dependen del parámetro de forma a cada vez más amplio como el potencial WoodsSaxon se acerca a una barrera cuadrada. La Fig. 3 muestran que, el coeficiente de transmisión desaparece para valores de la fuerza potencial E - m E + m. La Fig. 3 también muestran que el ancho de la transición las resonancias disminuyen a medida que disminuye el parámetro a. También concluimos que, a pesar del hecho que el comportamiento de los estados supercríticos para la ecuación de Klein-Gordon en presencia de los potenciales de corto alcance son cualitativamente diferentes de los observados para las partículas de Dirac, las resonancias de transmisión para la ecuación de Klein-Gordon unidimensional poseen el misma estructura rica que observamos para la ecuación de Dirac.

(38)

Reemplazando las funciones de onda en la ecuación (38) obtenemos: 𝑇=

|𝑑1 |2 |𝐴|2

(39)

3 Resultados y Análisis Para Wood-saxon

Figura 4: Coeficiente de reflexión vs la energía para el potencial de Wood-Saxon.(hecho en matlab versión 1.7)

Figura 2: Coeficiente de reflexión vs la energía para el potencial de Wood-Saxon.(hecho en matlab versión 1.7)

Figura 2: Coeficiente de reflexión vs la energía para cada una barrera de potencial variable .(hecho en matlab versión 1.7)

Figura 3: Coeficiente de reflexión vs la energía para el potencial de Wood-Saxon.(hecho en matlab versión 1.7)

La Fig. 2 muestran que el ancho de la transmisión las

4 Conclusiones -Se estudió el fenómeno de superradiancia utilizando el potencial de Wood-Saxon en la ecuación de Klein –Gordon. -Se estudió el potencial de Wood-Saxon variando sus parámetros de amplitud y ancho del pozo.

-Donde se encontró el comportamiento de los coeficientes de reflexión y transmisión frente a la energía, apareciendo unos picos los cuales decrecen en amplitud a medida que aumenta la energía. Apéndice I Código Matlab para la Figura 1

Variación de la amplitud para el potencial de Wood-Saxon. L=2; a=2; m=1; Vo=4; x=linspace(L,-1*L,10000); V=1./(1+exp(1*a.*(x+L)))+1./(1+exp(a.*(x-L))); hold on plot(x,V,'r'); plot(x,0.9*V,'b'); plot(x,0.8*V,'g'); plot(x,0.7*V,'c'); grid; axis([-2.5 2.5 1.0 2.1]); xlabel('POSICION X'); ylabel('POTENCIAL V');

Variación del tamaño de pozo para el potencial de Wood-Saxon. L=2; a=10; x=linspace(L,-1*L,10000); V=1./(1+exp(1*a.*(x+L)))+1./(1+exp(a.*(x-L))); V1=1./(1+exp(1*a.*(x+0.9*L)))+1./(1+exp(a.*(x0.9*L))); V2=1./(1+exp(1*a.*(x+0.8*L)))+1./(1+exp(a.*(x0.8*L))); V3=1./(1+exp(1*a.*(x+0.7*L)))+1./(1+exp(a.*(x0.7*L))); hold on plot(x,V,'r'); plot(x,V1,'b'); plot(x,V2,'g'); plot(x,V3,'c'); grid; axis([-2.5 2.5 1.0 2.1]); xlabel('POSICION X'); ylabel('POTENCIAL V'); Código Matlab para la Figura 2 Coeficiente de reflexión vs la energía para el potencial de WoodSaxon a=5; b=2; m=1; E=linspace(m,2*a,10000); v=sqrt((E+a).^2-m.^2)./(2*b); lb=(b+sqrt(b.^2-4*a.^2))./(2*b);

u=sqrt((E-a).^2-m.^2)./(2*b); A=gamma(sqrt(1+4.*u.^2)).*gamma(2.*v )./(gamma(sqrt((lb).^2+(u+v).^2)).*g amma(sqrt((1-lb).^2+(u+v).^2))); B=gamma(sqrt(1+4*u.^2)).*gamma(2*v). /(gamma(sqrt((lb).^2+(uv).^2)).*gamma(sqrt((1-lb).^2+(uv).^2))); T=u./(v.*A.^2); plot(E,T); grid; xlabel('Energia E'); ylabel('Coeficiente Transmitancia T'); title('Coeficiente de Transmitancia para una Energia E'); Código Matlab para la Figura 3 Coeficiente de transmisión vs la energía para el potencial de WoodSaxon a=5; b=2; m=1; E=linspace(m,2*a,10000); v=sqrt((E+a).^2-m.^2)./(2*b); lb=(b+sqrt(b.^2-4*a.^2))./(2*b); u=sqrt((E-a).^2-m.^2)./(2*b); A=gamma(sqrt(1+4.*u.^2)).*gamma(2.*v )./(gamma(sqrt((lb).^2+(u+v).^2)).*g amma(sqrt((1-lb).^2+(u+v).^2))); B=gamma(sqrt(1+4*u.^2)).*gamma(2*v). /(gamma(sqrt((lb).^2+(uv).^2)).*gamma(sqrt((1-lb).^2+(uv).^2))); T=u./(v.*A.^2); plot(E,T); grid; xlabel('Energia E'); ylabel('Coeficiente Transmitancia T'); title('Coeficiente de Transmitancia para una Energia E'); ylabel('Transmitancia T'); title('Transmitancia en funcion de la Energia'); Agradecimientos Si los hay, los agradecimientos deberán ubicarse al final del trabajo, justo antes de las referencias. Esta sección no llevará numeración. Utilice el formato estándar de IEEE Computer o Communications of the ACM para las referencias, es decir, una lista numerada, ordenada alfabéticamente por apellido del primer autor y referenciada en el texto por un número entre corchetes (ejem., “[1]”). Todas las referencias deben ser documentos accesibles públicamente. Finalmente, note que el título de esta sección no lleva numeración. Considere el siguiente ejemplo: Referencias [1] Anderson, R.E. Social impacts of computing: Codes of professional ethics. Social Science Computing Review. Vol. 10, No. 2, (Winter 1992), pp.453-469.

[2] Harmon, J.E. The Structure of Scientific and Engineering Papers: A Historical Perspective. IEEE Trans. On Professional Communication. Vol 32, No. 2, (September, 1989), pp. 132-138. [3] Pierson, M.M. and Pierson, B.L. Beginnings and Endings: Keys to Better Engineering Technical Writing. IEEE Trans. On Professional Communication. Vol 40, No. 4, (December, 1997), pp. 299-304. [4] Strunk, W. and White, E.B. The Elements of Style. Fourth Edition, Boston: Allyn and Bacon. 2000.