Le Modele De Solow Slides_chap2

Chapitre II Croissance et accumulation de capital : Le modèle de Solow

Introduction

1

Le modèle de Solow

1.1 1.1.1

Hypothèses Croissance de la population active L˙ t = n Lt ⇔ Lt = L0 ent

La fonction de production

1.1.2

 Fonction de production agrégée :

Yt = F (Kt , Lt )  On impose les propriétés suivantes :

∗

Rendements factoriels décroissants dF >0 = dK dF FL0 = >0 dL

FK0

∗

:

et

00 FKK

et

00 FLL

Rendements d'échelle constants

d2 F = <0 dK 2 d2 F = <0 dL2

F (zK, zL) = zF (K, L) 1

∗

Conditions d'Inada vériées

lim FK0 = 0

et

limL→∞ FL0 = 0

lim FK0 = ∞

et

limL→0 FL0 = ∞

K→∞ K→0

∗

Pas de progrès technique dans un premier temps

 Ecriture en forme intensive On note :

Y L K k = L C c = L y =

En divisant

Y

par

L

Y 1 y= = F (K, L) = F L L



K L , L L



 =F

 K ,1 L

soit

y = f (k)  Productivités marginales des facteurs de production :

FK0 = f 0 (k) FL0 = f (k) − kf 0 (k)  Les conditions d'Inada impliquent

lim f 0 (k) = ∞,

k→0

lim f 0 (k) = 0

k→∞

L'équilibre macroéconomique de court terme (a) Marché des facteurs de production 1.1.3

wt = f (kt ) − kf 0 (kt ) rt = f 0 (kt ) − δ avec le taux de dépréciation du capital exogène

2

δ (0 < δ < 1)

(b) Fonction de consommation Ct = (1 − s)Yt avec

0<s<1

le taux d'épargne

exogène et constant

(c) Marché des biens et services - Equilibre sur le marché des biens et services :

Yt = Ct + It avec

It

l'investissement

- Ecart entre revenu et consommation = Epargne = Investissement

St = It = sYt

La dynamique de l'économie Accumulation du capital et dynamique de l'économie (a) La loi d'évolution du capital par tête 1.2

1.2.1

- Equation d'accumulation du stock de capital :

K˙ t = It − δKt K˙ t = sF (Kt , Lt ) − δKt - Evolution du stock de capital par travailleur

∂kt dK ∂kt dLt d(Kt /Lt ) = + k˙ t = dt ∂Kt dt ∂Lt dt 1 dK K dL = − 2 L dt L dt ˙ Kt Kt L˙ t = − Lt Lt Lt sF (Kt , Lt ) − δKt Kt = −n Lt Lt k˙ t = sf (kt ) − (n + δ)kt 3

(1)

(b) Dynamique de l'économie - Quand

sf (kt ) > (n + δ)k → k˙ t > 0 - Quand

sf (kt ) < (n + δ)k → k˙ t < 0 - Quand les deux termes sont égaux :

sf (kt ) = (n + δ)k → k˙ t = 0 k

est constant, on le note

k∗

- Figure 1

Le sentier de croissance équilibrée (SCE)

1.2.2

 SCE = situation où toutes les variables de l'économie croissent à un taux constant.  Taux de croissance du PIB/tête

k˙ t f (k) =s − (n + δ) kt k

(2)

 Figure 2  Pour que l'économie soit sur le SCE :

s

- Or



˙ k/k

f (k) − (n + δ) k

sf (k) k

0

soit constant, soit

constant

s [f 0 (k)k − f (k)] = <0 k2

- L'économie ne sera à l'état stationnaire que si

∗ ∗

k˙ = 0 ∗ soit k tel

si

que

f (k ∗ ) = 4

n+δ ∗ k s

k

est constant

 Quand

k = k∗

- Variables par tête sont constantes (y ,

k , c) (k) et (f (k) − kf 0 (k)) n (L, K , Y , C )

- Taux d'intérêt et le taux de salaire constants (f - Grandeurs agrégées croissent au taux

0

Salaire et taux d'intérêt

1.2.3

- Leur valeur sur le SCE est respectivement donnée par :

r∗ = f 0 (k ∗ ) − δ w∗ = f (k ∗ ) − f 0 (k ∗ ) ⇒

Salaire réel d'équilibre

w∗

constant

- Au cours de la transition

w˙ t = −kt f 00 (kt )k˙ t w˙

du signe de

k˙ (f 00 (k) < 0)

Et

r˙t = f 00 (kt )k˙ t r˙ du signe opposé ⇒ Quand k < k ∗ :

à

k˙ (f 00 (k) < 0) k˙ > 0,

w˙ > 0,

r˙ < 0

Processus de convergence dans le cas d'une fonction de production Cobb-Douglas (a) Résolution 1.3

- Fonction de production sous forme intensive :

y = f (k) = Ak α avec

0<α<1

et

A>0

- Equation fondamentale de Solow

k˙ t = sAktα − (n + δ)kt 5

- Changement de variable, soit

bt =

b=

1 1−α k A t

K Y le coecient de capital.

et

1 b˙ t = (1 − α)kt−α k˙ t A

Alors

1 (1 − α)kt−α [sAktα − (n + δ)kt ] b˙ t = A = (1 − α)(s − (n + δ)bt ) - Equation diérentielle linéaire du premier ordre à coecients constants - Solution stationnaire :

b∗ =

s n+δ

- D'où :

b˙ t = −(1 − α)(n + δ)(bt − b∗ ) dont la solution est

bt = b∗ + (b0 − b∗ )e−(1−α)(n+δ)t

(b) Implication : Vitesse de convergence - Equation (3) : vitesse de convergence de

b

vers

b∗

(3)

est

β = (1 − α)(n + δ)

- Avec n = 1% par an, - Durée

T

δ

= 5% et

α = 0.3,

(en années) du processus de convergence

de la distance entre On cherche

T

b0

et

β = 0.042 pour que b comble

on obtient

b∗ ?

tel que

bT − b∗ = 0.1(b0 − b∗ ) - Soit

1 b∗ − bT 1 T =− ln ∗ = − ln 0.1 (1 − α)(n + δ b − b0 β 6

90%

⇒ T ' 54.8

années

- Demi-vie

⇒ 1.4 1.4.1

1 T = − ln 0.5 ' 16.5 β

années

Très rapide Le rôle du taux d'épargne Taux de croissance et taux d'épargne : le long terme

- Soit une augmentation du taux d'épargne

s, ds > 0.

- Pas d'incidence sur le taux de croissance de long terme

n

- Joue sur le niveau de la production et du capital par tête stationnaires :

∂k ∗ f (k ∗ ) = f 0 (k∗ ) ∂s s k∗ − f 0 (k ∗ ) 1.4.2

Taux de croissance et taux d'épargne : la dynamique de transition

 A tout instant

t

:

gk = - Donc

1.4.3

sf (kt ) k˙ t = − (n + δ) kt kt

∂gk f (kt ) = >0 ∂s kt

Synthèse

Figures 3 & 4

Remarque :

le rôle de

n

7

pour

k 6= k ∗

2

La dimension normative du modèle de Solow : la règle d'or

Le stock de capital optimal

2.1

- La consommation par travailleur :

c = f (k) − sf (k)

- Le long d'un SCE

sf (k ∗ ) = (n + δ)k ∗ | {z } | {z } épargne

⇒

investissement

Consommation par tête stationnaire :

c∗ = f (k ∗ ) − (n + δ)k ∗

- Choisir

k∗

c∗ atteigne un maximum k ∗ = kg∗ tel que :

pour que

- Ceci advient pour

dc(kg∗ ) = f 0 (kg∗ ) − (n + δ) = 0 ∗ dkg ⇒ f 0 (kg∗ ) = n + δ - Equation (4) = SCE de

(4)

la règle d'or

- Taux d'épargne permettant d'atteindre

kg∗

:

(n + δ)kg∗ sg = f (kg∗ ) - Représentation graphique : Figure 5

8

(5)

2.2

La transition vers la règle d'or : la possibilité de l'inecience dynamique - Le SCE de règle d'or est tel que

f 0 (kg∗ ) = n + δ ⇔ rg = n

(6)

- Que se passe-t-il si l'économie n'est pas sur le SCE de la règle d'or ? - Deux cas de gures Selon que l'économie (sur son SCE) a plus ou moins de capital que le stock de capital de règle d'or.  Trajectoire de la consommation par tête durant la dynamique de transition vers le SCE de règle d'or : Figure 6

(a) Cas où k

∗

> kg∗

 Soit

r1 = f 0 (k1∗ ) − δ < n  Il faut diminuer

s

 Inecience dynamique  Figure 6, graphique de gauche

(b) Cas où k

∗

< kg∗

 Soit

r2 = f 0 (k2∗ ) − δ > n  Le taux d'épargne devrait augmenter  Gain de consommation par tête futur  Mais baisse instantanée  Figure 6, graphique de droite  Gain en termes de bien-être ?

9

3

Le modèle de Solow avec progrès technique

Le modèle avec progrès technique augmentant le travail

3.1

- La fonction de production devient :

Yt = F (Kt , At Lt )

-

At At

= ecience du facteur travail croît au taux exogène constant

g

:

A˙ t =g At - En normalisant

A0 = 1

:

Yt = F (kt , egt Lt ) ou encore

Yt = F (Kt , Et ) Et = At Lt = egt Lt

le travail ecace

- Fonction Cobb-Douglas avec rendements d'échelle constants

Yt = K α (egt Lt )1−α -

E = AL

croit au taux

n+g

 Analyse précédente est conservée A condition de remplacer ecace :

L

par

E

et de raisonner en unités de travail

Y Y = AL E K K b k= = AL E yb =

10

3.2

La dynamique de l'économie

 Accumulation du capital physique :

K˙ t = It − δKt soit

 On étudie la  Comme

b k

K˙ t = sF (Kt , At Lt ) − δKt dynamique de b k ≡ K/AL

est une fonction de

K, L

and

(7)

A

∂b kt ˙ ∂b kt ˙ ∂b kt ˙ ˙ b kt = Kt + Lt + At ∂Kt ∂Lt ∂At  Soit

i Kt h ˙ K˙ t ˙ − At Lt + Lt At At Lt [At Lt ]2 Kt L˙ t Kt A˙ t K˙ t ˙ b − − kt = At Lt At Lt Lt At Lt At ˙ b kt =

 On a

K/AL = b k Evolution de

K˙

A˙ t =g At

(8)

L˙ t =n Lt

: Equation (7)

 Donc

sYt − δKt ˙ b − nb kt − gb kt kt = At Lt Yt ˙ b kt = s − (δ + n + g)b kt At Lt  Avec

Y AL

= f (b k),

on obtient

˙ b k t = sf (b kt ) − (δ + n + g)b kt 11

(9)

Le sentier de croissance équilibrée

3.3

- Dans quel cas

K

croît-il à taux constant ?

- On a

K˙ = sF (K, AL) − δK K˙ t At Lt = sF (1, −δ Kt Kt ⇒

SCE = situation où

⇔

b k Equation (9)

⇒

˙ b k=0

SCE tel que :

sf (b k ∗ ) = (n + g + δ)b k∗

(a) Propriétés -

b k

reste constant

 Variables en unités de travail ecaces constantes - Taux d'intérêt réel constant :

r∗ = f 0 (b k∗) - Le salaire ecace

w bt = wt /At

constant :

w b = f (b k∗) − b k ∗ f 0 (b k∗) Le salaire réel sur le SCE :

∗

gt

w =e

⇒ Salaire réel croît au taux g - K/L et Y /L croissent au taux

h

i ∗ ∗ 0 b∗ b b f (k ) − k f (k )

du progrès technique

g

- L'ensemble des variables par tête plus largement -

K

et

Y

croissent au taux

n + g,

de même que l'ensemble des variables

agrégées

12

(b) Statique comparative (c) Règle d'or - Nouvelle condition de maximisation de la consommation :

f 0 (b k∗) = n + g + δ soit

r =n+g - Interprétation identique

4

La convergence des revenus par tête

Modèle de Solow et faits stylisés de la croissance

4.1

 Prédictions du modèle de Solow avec progrès technique sur la vitesse de convergence avec toujours

bt = Kt /Yt bt = b∗ + (b0 − b∗ )e−(1−α)(n+δ+g)t



g=

2 %,

n = 1%, δ = 5%

et

α = 1/3,

on obtient

β = 5.3%

(10) par an

- Demi-vie du processus de convergence de 13 ans

T =  Très rapide et

a priori

ln 2 = 13 β

peu réaliste

 Etudes empiriques, autour de deux types d'analyses

∗ ∗ 4.2

Prédictions du niveau des variables stationnaires Convergence et rattrapage

Prédictions du niveau des variables stationnaires avec le modèle de Solow

A partir de l'article de Mankiw, Romer et Weil (A Contribution to the Empirics of Economic Growth,

The Quarterly Journal of Economics, 1992) 13

4.2.1

Evaluation du modèle de Solow avec progrès technique

- Fonction de production Cobb-Douglas à rendements d'échelle constants et PT incorporé au travail. En notations intensives

ybt = b ktα - Alors à l'état stationnaire

b∗ k



s n+g+δ



s n+g+δ

=

yb∗ =

1  1−α

α  1−α

- Produit par tête le long du SCE :

yt∗ = yb∗ At = yb∗ egt  = egt

s n+g+δ

α  1−α

(11)

- Equation (11) en log :

ln yt = gt +

α [ln s − ln(n + g + δ)] 1−α

- MRW (1992) estiment l'équation (12) sous la forme suivante :

ln yi = a + b(ln si − ln(ni + 0.05)) + i - Résultats

ln yi = |{z} 6.87 + |{z} 1.48 (ln si − ln(ni + 0.05)) (0.12)

Avec

(0.12)

R2 = 0.59

Interprétation

14

(12)

∗ Coecients de si et ni : signes conformes à la théorie ∗ R2 élevé ∗ Limite : la valeur estimée de b implique une valeur de α α b= 1 − alpha Pour

b = 1.48,

on a

trop forte

α ' 0.6

- Ces résultats amènent MRW (1992) à la conclusion suivante (p. 407-408) :

Yet all is not right for the Solow model. Although the model correctly predicts the directions of the eects of saving and the data the eects of saving and population growth on income are too large. To understand the relation between saving, population growth, and income, one must go beyond the textbook Solow. 4.2.2

Le modèle de Solow augmenté du capital humain

 Fonction de production

Yt = Ktα Htγ (At Lt )1−α−γ

α+γ <1

Soit, en unités de travail ecace

ybt = b ktαb hγt avec

yb = Y /(AL) b k = K/(AL)b h = H/(AL)  Equations d'accumulation en notations intensives :

b kt = sK ybt − (n + g + δ)b kt b ht = sH ybt − (n + g + δ)b kt  A l'état stationnaire

sαK sγH ∗ yb = (n + g + δ)α+γ 

soit pour le PIB par tête :

15

1  1−α−γ

yt = egt



sαK sγH (n + g + δ)α+γ

1  1−α−γ

En log :

ln yt = gt +

1 [α ln sK + γ ln sH − (α + γ) ln(n + g + δ)] 1−α−γ

(13)

 MRW (1992) estiment l'équation (13) sous la forme :

ln yi = a + bK (ln sKi − ln(ni + 0.05)) + bH (ln sHi − ln(ni + 0.05)) + i - Résultats (même échantillon)

0.67(ln sHi − ln(ni + 0.05)) 0.73(ln sKi − ln(ni + 0.05)) + |{z} ln yi = |{z} 7.86 + |{z} (0.14)

avec

⇒

(0.07)

(0.12)

R2 = 0.78

Importance de l'accumulation de capital humain dans la croissance :

Including human-capital accumulation lowers the esti- mated eects of saving and population growth to roughly the values predicted by the augmented Solow model. Moreover, the augmented model accounts for about 80 percent of the cross- country variation in income. Given the inevitable imperfections in this sort of cross-country data, we consider the t of this simple model to be remarkable. It appears that the augmented Solow model provides an almost complete explanation of why some countries are rich and other countries are poor.

Convergence La convergence absolue (a) Les prédictions du modèle 4.3

4.3.1

 Modèle de Solow (avec PT) prédit que sur le SCE

sf (b k ∗ ) = (n + g + δ)b k∗  Figure 8

16

(b) Tests empiriques 4.3.2

La convergence conditionnelle

 Considérons un pays riche et un pays pauvre Le premier ayant un stock de capital

b k0

et un taux d'épargne plus élevé

que le second - Partons de l'équation d'accumulation

˙ b k = sf (b k) − (n + g + δ)b k soit

# b sf ( k) ˙ b −b k k = (n + g + δ) n+g+δ " # ∗ b b k f (k) b = (n + g + δ) −k ∗ b f (k ) "

- En utilisant le fait qu'à l'état stationnaire

(n + g + δ)b k∗ s= f (b k∗) - Taux de croissance du capital par unités de travail ecace

" # ˙ ∗ b b b k f (k) k gbk = = (n + g + δ) −1 b k f (b k ∗ )b k∗ - Plus

b k

est proche de

b k∗,

plus

gk

est faible

- Figure 9

Les tests empiriques de l'hypothèse de convergence Comment tester l'hypothèse de convergence dans les données?

4.3.3

17

- Equation fondamentale du modèle de Solow avec fonction de production CobbDouglas :

- Log-linéarisation

˙ b k = sb k α−1 − (n + g + δ) b k ∗ autour de l'état stationnaire k : ln b kt − ln b k ∗ = e−βt (ln b k0 − ln b k∗

avec

β = (1 − α)(n + g + δ)

- Soit

ln b kt = e−βt ln b k0 + (1 − e−βt ) ln b k∗  Production par tête

yt = At yt = egt ybt = egtb ktα Soit en log

ln yt = gt + α ln b k h t i −βt −βt ∗ b b = gt + α e ln k0 + (1 − e ) ln k avec

1

b k0 = k0 = y0α et



s b k∗ = n+g+δ

1  1−α

- On obtient alors



ln y0 ln s − ln(n + g + δ) ln yt = gt + α e−βt + (1 − e−βt ) α 1−α α −βt e (ln s − ln(n + g + δ)) ln yt = gt + e−βt ln y0 + 1−α



soit

ln yt − ln y0 = gt − (1 − e−βt ) ln y0 +

18

α −βt e (ln s − ln(n + g + δ)) 1−α

(14)

Les résultats de Mankiw, Romer et Weil (1992)  Test de l'hypothèse de convergence absolue  Variable dépendante = log-diérence du PIB par personne en âge de travailler entre 1960 et 1985.

1  Test de la convergence absolue 98 pays OCDE (22 pays) constante -0.266 3.69

Tab.

(0.380)

ln y0 R2 β

(0.68)

0.0943

-0.341

(0.050)

(0.079)

0.03 -0.036

0.46 0.0167

Ecart-type entre parenthèses.

ln y0 correspond à la valeur en 1960. Source :

Mankiw, Romer et Weil (1992)

 Test de la convergence conditionnelle (Equation (14))  Appliqué au modèle de Solow avec PT et capital humain Tab.

constante

2  Test de la convergence conditionnelle 98 pays OCDE (22 pays) 2.46 3.55 (0.48)

ln y0

-0.402

(0.061)

(0.069)

(0.082)

(0.152)

(0.06)

(0.141)

0.46 0.0142 0.48

0.86 0.0206 0.38

0.5

ln sK − ln(n + g + δ) ln sH − ln(n + g + δ) R2 β α

(0.63)

-0.289

0.396

0.238

0.236

Ecart-type entre parenthèses. Le taux de croissance du PIB par tête est calculé sur la période 1960-1985.

ln y0 correspond à la valeur en 1960. Source :

Mankiw, Romer et Weil (1992)

Autres analyses économétriques de la croissance  Principaux déterminants de la croissance, analyses en coupe instantanées (travaux de Barro) sur des centaines de pays

19

 La variables expliquée est le taux de croissance du PIB/tête.  Les variables explicatives pertinentes, avec leur signe, sont

∗ lny (-) ∗ lns (+) ∗ ln(n + g + δ) (-) ∗ scolarisation masculine (+) ∗ espérance de vie (en log) (+) ∗ taux de fécondité (en log) (-) ∗ taux de consommation gouvernementale ∗ indice du respect de la loi (+) ∗ indice de démocratie (+) ∗ indice de démocratie au carré (-) ∗ taux d'ination (-)

5

(-)

Quelle stabilité de la croissance ?

Instabilité de la croissance selon Harrod et Domar Les hypothèses

5.1 5.1.1

n d'épargne exogène et constant s (0 < s < 1) de dépréciation du capital δ

- Taux de croissance de la population - Taux - Taux

- Progrès technique exogène, neutre au sens de Harrod, croissant à taux constant

g At = A0 egt

-

Mais

⇒

: technologie à facteurs complémentaires

En unités de



 K AL Y = F (K, L) = min , v z travail ecaces (y = Y /(AL), k = K/AL)   k 1 y = f (k) = min , v z 20

L'accumulation du capital

5.1.2

- Accumulation de capital physique :

K˙ = I − δK ⇒ K˙ = sY − δK - Soit, en notations intensives :

k˙ = sf (k) − (n + δ + g)k c'est-à-dire :

  min kv , z1 k˙ =s − (n + δ + g) k k

(15)

Les conditions de la croissance

5.1.3

- Cas où le stock de capital est totalement employé et la main d'oeuvre excédentaire :



 K AL K min , = v z v

soit :

∗

k 1 < v z

Alors

Y = aK ⇒ Y˙ = aK˙ ∗

Soit

Y˙ = a(sY − δK) ∗

Sachant que

K = vY

:

1 Y˙ = [sY − δvY ] v ie

∗

Y˙ s = −δ Y v

(16)

Equation d'évolution du capital (en notations intensives) :

γk =

s − (n + g + δ) v 21

(17)

 Cas où le plein-emploi est réalisé et où une partie du stock de capital est inutilisé :



 AL K AL min , = v z z

soit :

∗

1 k > v z

Alors :

Y = ∗

∗

AL Y˙ A˙ L˙ ⇒ = + z Y A L

Soit :

Y˙ =n+g Y

Equation d'évolution du capital (en notations intensives) :

γk = 5.1.4

(18)

s − (n + g + δ) vz

(19)

L'instabilité de la croissance

- A quelle condition(s) y a-t-il équilibre dans la croissance ? A partir des équations (16) et (18) :

s −δ = |v {z }

taux garanti

n+g | {z }

taux naturel

- La croissance est stable si la condition (20) est remplie - Si elle ne l'est pas ?

Premier cas

:

s v


- L'économie tend vers une situation où

AL z

−

- Le chômage augmente donc dans l'économie

Second cas

:

s v

>n+g+δ

- Partant d'une situation où

k 1 < v z 22

K v augmente

(20)

- Accumulation de capital à taux constant (Equation (17)) Jusqu'à ce que

k 1 = v z - Accumulation de capital à taux décroissant (Equation (19))

Extinction de la croissance : existence d'un facteur rare Le modèle de Solow avec terre Le cadre d'analyse

5.2

5.2.1

- Fonction de production

Y = K α Lβ T γ avec

α+β+γ =1

- Taux de croissance du produit :

T˙ K˙ L˙ Y˙ +γ =α +β Y K L T |{z} |{z} n

0

Sentier de croissance équilibrée - S'il existe un sentier de croissance équilibré au taux

γY = γK = g - Alors il doit vérier

g=

β 1−α−γ n= n 1−α 1−α

Rémunération des facteurs sur le SCE - Rémunération du capital

r=α 23

Y K

g,

ie tel que

⇒

Constante

- Rémunération du travail

w=β=α ⇒

Salaire réel décroissant

- Rémunération de la terre

t=γ ⇒

Y L

Y T

Croissante

Avec progrès technique augmentant la productivité de la terre

5.2.2

- Fonction de production

Yt = Ktα Lβt (At Tt )γ avec

α+β+γ =1

- Et

At = eµt A0 (normalisation

A0 = 1) µ

= taux de croissance du progrès technique aug-

mentant la productivité de la terre - Le taux de croissance du produit :

" # ˙ ˙ ˙ ˙ Y K L A T =α +β +γ + Y K L A T soit

- S'il existe un SCE au

Y˙ K = α + βn + γµ Y K taux g , alors g=

-

g

est supérieur à

n

ssi

βn + γµ 1−α

µ>n

24