Laboratorio 1 De Fisica 1 Castillo Meta.docx

“Año del dialogo y la reconciliación nacional”

Universidad nacional de ingeniería Facultad de ingeniería geológica, minera y metalúrgica

Física 1 Informe de laboratorio n° 1

Medición Integrantes (mesa B3): Herrera Flores Carlos Juniors Aguilar Aymachoque Alberto Olivares Pastrana Pablito Docente: Castillo Alejos Efraín

2018

Introducción En

este

informe

vamos

a

plasmar

nuestras

experiencias adquiridas en la primera práctica de laboratorio, donde se dio un estudio al error experimental y como este se encuentra presente en todo acto de medición, generando la incertidumbre probabilística

que

muchas

veces

pasa

por

desapercibido, daremos paso así a nuevos juicios con los cuales vamos a reforzar nuestras capacidades y habilidades, contribuyendo en gran medida a la formación académica.

EXPERIMENTO N.º 01: Medición y error experimental (incertidumbre) OBJETIVOS:  Luego de realizar el conteo de frijoles, vamos a comparar los datos obtenidos durante este experimente en una curva de distribución de frecuencias.  Comprender como se interpreta una medida y como se calcula su incertidumbre experimental.

MARCO TEÓRICO: Realizar una medición significa transformar las observaciones en números, a través de los cuales podemos verificar las leyes de la naturaleza. Para comprender como se realiza un proceso de medición, definamos algunos términos que son de gran utilidad para informar los resultados le una medición.

Magnitud Denominamos magnitud a aquellos parámetros que pueden ser medidos directa o indirectamente en una experiencia. Un ejemplo de magnitud es la longitud, la masa, el tiempo, la fuerza, etc.

La Medida

El concepto de medir está relacionado con la acción de comparar una determinada magnitud contra un "patrón" preestablecido que reúne determinadas características. Como es de esperarse, en todo proceso de comparación, existen diversos factores que escapan al control más riguroso (fluctuaciones estadísticas), lo cual provoca que en principio ninguna medición sea exactamente igual a la anterior. Las mediciones consecutivas de una determinada magnitud, en principio pueden ser muy dispersas o muy parecidas, dependiendo del grado de reproducibilidad de la medición, lo cual a su vez depende de la calidad del instrumento usado para la medición y de la habilidad del experimentador.

Precisión y Exactitud La precisión y exactitud son características propias de un instrumento de medición. Se entiende por exactitud de un instrumento de medición, al grado de aproximación de una medida dada por este instrumento comparada con el valor que se obtendría utilizando un instrumento patrón; es decir un instrumento muy exacto que da lecturas muy próximas a las "reales" (un instrumento patrón indica la medida "real"). Por su parte, la precisión de un instrumento es la medida de la reproducibilidad de mediciones consecutivas. Es decir, un instrumento de baja precisión indicará medidas muy dispersas de una misma magnitud, mientras que un instrumento muy preciso dará medidas muy similares.

Incertidumbre Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida (temperatura, presión, humedad, etc.) sino también por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador. Cada medida tiene asociada una incertidumbre. Esto determina en la medición un rango o cota en la cual no se puede asegurar donde está el valor real. Un ejemplo simple es aquel en el que se mide con una cinta métrica. La medida buscada puede encontrarse justo en medio de dos de

las líneas que me marcan los milímetros: ¿qué valor se acepta como válido?

PARTE EXPERIMENTAL Materiales  Un tazón  Frijoles  Papel milimetrado

Procedimiento Deposite los frejoles en el tazón. Coja un puñado de frejoles del recipiente una y otra vez hasta lograr un puñado. Luego de haber cogido el puñado cuente el número de frejoles obtenidos y apunte el resultado en el cuaderno de apuntes y repita la operación por lo menos cien veces, llenando una tabla como se presenta a continuación:

Cálculos y resultados 1.

Determine la media aritmética (nmp) de los 100 números obtenidos:

nmp=

Σ(28+29+30+...+35+30) 100

nmp=

2.

3052 =30.52 100

Determinamos la INCERTIDUMBRE NORMAL (Δnmp), para ello procederemos de la siguiente manera:

Primero calculamos: 100

P=

1 ∑ ( N k −nmp)2 100 1

Del cuadro obtenemos que: P=

1 (6.3504+2.3104 +0.2704+ …+ 20.0704+0.2704) 100

P=

1 (1218.96) 100

P=12.1896

Por último, calculamos:

[

100

1 Δnmp= ( N k −nmp)2 ∑ 100 1

]

1 2

Δnmp=√ P

Así entonces tenemos: Δnmp=√12.1896 Δnmp=3.4914

nk

n k-30,52

(n k-30,52) 2

1

28

-2.52

6.3504

2

29

-1.52

2.3104

3

30

-0.52

0.2704

4

25

-5.52

30.4704

5

29

-1.52

2.3104

6

32

1.48

2.1904

7

36

5.48

30.0304

8

27

-3.52

12.3904

9

29

-1.52

2.3104

10

39

8.48

71.9104

11

33

2.48

6.1504

12

40

9.48

89.8704

13

22

-8.52

72.5904

14

26

-4.52

20.4304

15

34

3.48

12.1104

16

38

7.48

55.9504

17

29

-1.52

2.3104

18

35

4.48

20.0704

19

34

3.48

12.1104

20

26

-4.52

20.4304

21

31

0.48

0.2304

22

29

-1.52

2.3104

x

23

29

-1.52

2.3104

x

24

35

4.48

20.0704

25

28

-2.52

6.3504

26

27

-3.52

12.3904

27

26

-4.52

20.4304

28

29

-1.52

2.3104

29

27

-3.52

12.3904

30

28

-2.52

6.3504

31

32

1.48

2.1904

32

30

-0.52

0.2704

k

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

33

30

-0.52

0.2704

34

31

0.48

0.2304

35

30

-0.52

0.2704

36

31

0.48

0.2304

37

28

-2.52

6.3504

38

29

-1.52

2.3104

39

31

0.48

0.2304

40

28

-2.52

6.3504

41

27

-3.52

12.3904

42

26

-4.52

20.4304

43

24

-6.52

42.5104

44

30

-0.52

0.2704

45

29

-1.52

2.3104

46

34

3.48

12.1104

47

32

1.48

2.1904

48

26

-4.52

20.4304

49

33

2.48

6.1504

50

32

1.48

2.1904

51

24

-6.52

52.5104

52

33

2.48

6.1504

53

30

-0.52

0.2704

54

28

-2.52

6.3504

55

27

-3.52

12.3904

56

32

1.48

2.1904

57

28

-2.52

6.3504

58

31

0.48

0.2304

59

30

-0.52

0.2704

60

28

-2.52

6.3504

61

29

-1.52

2.3104

62

30

-0.52

0.2704

63

34

3.48

12.1104

64

27

-3.52

12.3904

65

26

-4.52

20.4304

66

27

-3.52

12.3904

67

34

3.48

12.1104

68

33

2.48

6.1504

69

35

4.48

20.0704

70

32

1.48

2.1904

x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

71

35

4.48

72

30

-0.52

0.2704

73

36

5.48

30.0304

74

32

1.48

2.1904

75

29

-1.52

2.3104

76

33

2.48

6.1504

77

31

0.48

0.2304

78

32

1.48

2.1904

79

28

-2.52

6.3504

80

33

2.48

6.1504

81

31

0.48

0.2304

82

36

5.48

30.0304

83

34

3.48

12.1104

84

33

2.48

6.1504

x

85

33

2.48

6.1504

x

86

36

5.48

30.0304

87

28

-2.52

6.3504

88

26

-4.52

20.4304

89

30

-0.52

0.2704

x

90

30

-0.52

0.2704

x

91

25

-5.52

30.4704

92

27

-3.52

12.3904

93

32

1.48

2.1904

94

33

2.48

6.1504

95

31

0.48

0.2304

96

30

-0.52

0.2704

97

39

8.48

71.9104

98

33

2.48

6.1504

99

35

4.48

20.0704

30

-0.52

100

3052

20.0704

x x x x x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x x

0.2704 1218.96

x 1

0

2

2

7

m=puñado más pequeño=22 M=puñado más grande=40 Δnmp=3.4914

8

10

11

13

8

9

10

6

5

4

0

1

2

1

3.

Dibujamos en un plano la frecuencia versus el número de frejoles; trazamos a nuestro criterio, la mejor curva normal. A 2/3 de la altura máxima trace una recta horizontal, generándose el segmento AB. 14

13

12

11 10

10

10 9

8

8

8

7 6

6

5 4

4 2

2

2

2

1

0 22

1 0 23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

0 37

38

1 39

40

hmax =10.8 → sa ´ esta en 7.2

4.

´ Comparamos el semi-ancho sa

¿ AB ∨ ¿ 2 = ¿

con Δ(nmp)

De la gráfica, tenemos los siguientes datos: ~

| AB|=2 ´sa ¿ (33.9−26.8 )=7.1 Δnmp=3.4914 ; sa=3.55 ´ sa ´ Como observamos (Δnmp) y tienen valores muy cercanos, entonces el semi ancho puede ser considerado aproximadamente como la desviación estándar.

Preguntas 1)

En vez de medir puñados, ¿podría medirse el número de frejoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.? Sí, es posible hacer ese tipo de mediciones, incluso se lograría que la incertidumbre normal sea mucho menor debido a que la variación de un conteo a otro será mínima porque estos recipientes tienen forma definida al contrario del cerrado de la mano.

2)

Según usted ¿a qué se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus compañeros? La diferencia se debe principalmente a las dimensiones de las manos, también a otros factores como la presión al cerrar el puño o incluso la sudoración.

3)

Después de realizar los experimentos, ¿Qué ventaja le ve a la representación de π [r, r+1 > frente a π [r, r+2 >? Es más ventajoso trabajar con el ancho de clase de π [r, r+1> pues al tener menos ancho, tenemos más disposición de datos, por lo tanto, la incertidumbre generada es menor frente a los generados por intervalos mayores como π [r, r+2>.

4)

¿Qué sucedería si los frejoles fuesen de tamaños apreciablemente diferentes? La cantidad de frejoles extraídos en cada experimento variarían demasiado, pues la variación volumétrica involucraría en el número de frejoles representada mediante una relación inversa, debido a ello la desviación estándar sería muy grande.

5)

En el ejemplo mostrado se debían contar alrededor de 60 frejoles por puñado. ¿Sería ventajoso colocar solo 100 frijoles en el

recipiente, y de esta manera calcular el número de frijoles que quedan en el recipiente? Si solo colocáramos 100 frijoles sí sería ventajoso ya que la cantidad a contar sería menor y solo se efectuaría una resta mental para hallar el resultado 6)

¿Qué sucedería si en el caso anterior colocara sólo, digamos,75 frijoles en el recipiente? En este caso si un puñado regular contiene 60 frijoles, lo que quedaría en el vaso serian en promedio 15 frijoles, el proceso para hallar el resultado sería más rápido

7)

La parte de este experimento que exige “más paciencia” es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea entre tres personas ¿Cuál de las sugerencias propondría usted? ¿Por qué? A. Cada participante realiza 33 o 34 extracciones y cuenta los frejoles correspondientes. B. Uno de los participantes realiza las cien extracciones, pero cada participante cuenta 33 o 34 puñados Definitivamente la alternativa b que nos dice que solo uno realice la extracción pero que los tres hagan el conteo del puñado, porque el puñado sería más uniforme de una persona respecto de tres y así la incertidumbre sería menor.

8)

Mencione tres posibles hechos que observaría si en vez de 100 puñados extrajeran 1000 puñados.  La desviación estándar sería más pequeña.  Podría haber errores debido al cansancio que lleva contar ya que serían demasiados conteos.  Los resultados serían más exactos, pero menos precisos

9)

¿Cuál es el promedio aritmético de las desviaciones?

n=100

∑

k=1

(

N k −nmp ´ ´ Σ ( 28+29+30+...+35+ 30 )−100( nmp) = n 100

)

n=100

∑

k=1

10)

=0 ( N −nnmp´ )= 3052−3052 100 k

´ ) en vez de ¿Cuál cree usted es la razón para haber definido ∆ (nmp tomar simplemente el promedio de las desviaciones?

El promedio de las desviaciones siempre te va a dar como resultado cero, es decir no habría incertidumbre. 11)

Después de realizar el experimento coja Ud. Un puñado de frejoles. ¿Qué puede Ud. afirmar sobre el número de frejoles contenido en tal puñado (antes de contar)? Se puede afirmar que esta entre m y M, y que además es muy probable que el valor que se obtenga con mayor frecuencia sea nmp± Δnmp esto es para nuestro caso, 30.52± 3.4914 .

12)

Mencione Ud. alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frejoles en el presente experimento. Los pallares son más grandes que los frijoles, por lo que habría menos pallares que frijoles en un puñado y la incertidumbre sería menor ya que saldría casi la misma cantidad de pallares en cada extracción.

EXPERIMENTO N.º 02: Propagación del error experimental OBJETIVOS:  Familiarizarnos con los instrumentos de medida más precisos como por ejemplo el empleo del pie de rey, para así obtener

medidas mucho más exactas que al emplear instrumentos más rudimentarios como la regla de metal.  Expresar los errores al medir directamente longitudes con escalas en milímetros y en 1/20 de milímetro.  Determinar magnitudes derivadas o indirectas, calculando la propagación de las incertidumbres.

MARCO TEÓRICO: En el proceso de medición el tratamiento de errores nos lleva al tema de la propagación de estos, al buscar expresar el valor de magnitudes que se determinan indirectamente. Teniendo en cuenta que el error de medición directa de una magnitud x, es ∆ x; y que ∆ x ≪ x ; se puede usar la aproximación. ∆ x ≅ dx

Así, para cualquier magnitud indirecta, por ejemplo: V = V (x,y) Cuya ecuación diferencial es: ⅆV =

∂V dx + ∂x

∂V dy ∂y

podremos calcular el error de V si se conoce explícitamente V = V ( x , y ) y se hace las aproximaciones ∆ V ≅ dV

∆ y ≅ dy

∆ X ≅ dx

Entonces reemplazando las aproximaciones se obtiene la siguiente ecuación:

∆V=

∂V .∆ X ∂x

Para los casos en se tenga: SUMA = y ±

∆ X +∆ y ) ¿

+

∂V .∆ y ∂y

¿

RESTA = y ± ¿

∆ X +∆ y )

PRODUCTO = y ± xy . COCIENTE =

x y

±

(

Δx Δ y + x y

)

x Δx Δy . + y x y

(

)

PARTE EXPERIMENTAL Materiales  Un paralelepípedo de metal  Un vernier (pie de rey)  Regla graduada en milímetros

Procedimiento Como primer paso coja el paralelepípedo de metal y mida sus tres dimensiones con la regla metálica graduada en milímetros. Luego vuelva a medir el paralelepípedo, pero esta vez utilizando el pie de rey. Tomar apuntes de cada una de las medidas hechas en un cuaderno de apuntes, no olvidar que cada medida debe estar provista de su respectiva incertidumbre.

Cálculos y resultados 1. Determine el área A y el volumen del paralelepípedo

AREA

A=largo × ancho=a ×b

A ± ∆ A=(a ± ∆ a)×(b ± ∆ b)

 Con las medidas de la regla a=32± 0.05 y b=33 ± 0.05 a ×b=32 ×33=1056 mm

2

error relativo 1=

0.05 =0.0016 32

error relativo 2=

0.05 =0.0015 33

suma de erroresrelativos=0.0031=0.31 error absoluto=1056× 0.0031=3.27 mm

2

Los errores se expresan con una cifra significativa error absoluto=3 mm2 → el areaes igual a ( 1056 ±3 mm 2)

 Con las medidas del vernier a=33.0 ±0.025 y b=33.3± 0.025 a ×b=33 ×33.3=1098.9 mm

error relativo 1=

0.025 =0.00076 33

error relativo 2=

0.025 =0.00075 33.3

2

suma de erroresrelativos=0.00151=0.151 error absoluto=1098.9× 0.00151=1.66 mm2

Los errores se expresan con una cifra significativa error absoluto=2mm

2

→ el areaes igual a ( 1098.9± 2 mm2 )

VOLUMEN Hallaremos el volumen del paralelepípedo, pero sin considerar el espacio vacío que tiene

V =area× altura= A × c

V ± ∆V =( A ± ∆ A) ×(c ± ∆ c )

 Con las medidas de la regla A=1056 ± 3 y c=11 ± 0.05 A ×c=1056 × 11=11616 mm

3

error relativo 1=

3 =0.0028 1056

error relativo 2=

0.05 =0.0045 11

suma de erroresrelativos=0.0073=0.73 3

error absoluto=11616 ×0.0073=84.8=85 mm

→ el volumen es igual a ( 11616 ±85 mm 3)

 Con las medidas del vernier A=1098.9 ± 2 y c=11.5 ±0.025 A ×c=1098.9 ×11.5=12637.35 mm

error relativo 1=

2 =0.0018 1098.9

error relativo 2=

0.025 =0.0021 11.5

3

suma de erroresrelativos=0.0039=0.39 error absoluto=12637.35× 0.0039=49.3=49 mm

3

→ el volumen es igual a ( 12637.35 ∓49 mm3 )

2. Ahora para 100 paralelepípedos Si coloco un paralelepípedo sobre otro, lo único que va a variar es su altura.

El área de la base permanece igual ¿Pero cuánto vale 100c?  Con las medidas de la regla 100 c=(100± 0)×(c ± ∆ c ) 100 c=(100± 0)×(11 ± 0.05) 100 ×c=100 ×11=1100 mm error relativo 1=0

error relativo 2=

0.05 =0.0045 11

suma de erroresrelativos=0.0045=0.45 error absoluto=1100 ×0.0045=4.9=5 mm →100 c es igual a ( 1100 ± 5 mm )

 Con las medidas del vernier 100 c=(100± 0)×(11.5 ±0.025) 100 ×c=100 ×11.5=1150 mm error relativo 1=0

error relativo 2=

0.025 =0.0021 11.5

suma de erroresrelativos=0.0021=0.21 error absoluto=1150 ×0.0021=2.4=2mm →100 c es igual a ( 1150 ± 2 mm )

En cuanto al volumen, este si varía

VOLUMEN V =area× altura= A × 100 c V ± ∆V =( A ± ∆ A) ×(100 c ± ∆ 100 c)

 Con las medidas de la regla A=1056 ± 3 y c=1100 ± 5 3

A ×c=1056 × 1100=1161600 mm error relativo 1=

3 =0.0028 1056

error relativo 2=

5 =0.0045 1100

suma de erroresrelativos=0.0073=0.73 error absoluto=1161600 ×0.0073=8479.6=8480 mm3 → el volumen es igual a ( 1161600 ± 8480 mm3 )

 Con las medidas del vernier A=1098.9 ± 2 y c=1150 ±2

A ×c=1098.9 ×1150=1263735 mm3 error relativo 1=

2 =0.0018 1098.9

error relativo 2=

2 =0.0017 1150

suma de erroresrelativos=0.0035=0.35 error absoluto=1263735× 0.0035=4423.1=4423mm

3

→ el volumen es igual a ( 1263735 ± 4423 mm3 )

Largo a

Con regla

Con vernier

32± 0.05

33.0 ±0.025

% de incertidumbre regla vernier 0.16

0.076

Ancho b Alto c A V a100 b100 c100 A100 V100

33 ±0.05 11± 0.05 1056 ±3 11616 ± 85 32± 0.05 33 ±0.05 1100± 5 1056 ±3 1161600 ± 8480

33.3 ±0.025 11.5 ± 0.025 1098.9 ±2 12637.35± 49 33.0 ±0.025 33.3 ±0.025 1150± 2 1098.9 ±2 1263735± 442

0.15 0.45 0.28 0.73 0.16 0.15 0.45 0.28 0.73

0.075 0.21 0.18 0.38 0.076 0.075 0.17 0.18 0.03

Preguntas 1. ¿Las dimensiones de un paralelepípedo se pueden determinar con una sola medición? Si o no, ¿Cuál es el procedimiento más apropiado? No, debido a que para la medición de las dimensiones del paralelepípedo existen diferentes instrumentos, cada uno con una unidad de medida diferente y distintos márgenes de error. Para nuestro experimento de considero más apropiado la medición con el Vernier. 2. ¿Qué es más conveniente para calcular el volumen del paralelepípedo: una regla en milímetros o un pie de rey? Considero que es más conveniente usar un vernier ya que las medidas que obtenemos con este, nos dan menos incertidumbre que las medidas obtenidas con la regla.

EXPERIMENTO N.º 03: grafica de resultados de una medición OBJETIVOS:

 Determinar las condiciones para que un péndulo simple tenga su periodo independiente de su amplitud angular θ ( θ ≤12 ° ) .  Determinar la relación entre el periodo y la longitud l del péndulo.  Construir funciones polinómicas que representen a dicha función.

MARCO TEÓRICO: Ajuste de los mínimos cuadrados El método de los mínimos cuadrados es un método estadístico que permite encontrar la curva que mejor ajusta a una serie de datos experimentales. El método se basa en minimizar las diferencias entre los datos experimentales y los que proporcionaría la curva que sustituye a los datos. Para una recta: Si los datos presentan una tendencia lineal, es decir, tienden a formar una recta, digamos, de ecuación y=mx +b entonces se pueden deducir las constantes “m” y “b” de la siguiente manera n

S=∑ D 2i i =1 n

S=∑ (b+ m x i− y i )2 i =1

Para obtener el mínimo de S igualamos a cero las derivadas parciales de S con respecto a los coeficientes m y b . n

dS =2 ∑ (b+m x i− y i)=0 db i=1 n dS =2 ∑ (b+m x I − y i ) x i=0 dm i=1

De donde obtenemos n

(∑ ) ( ∑ ) (∑ ) ( ∑ ) nb+

i=1

x i m=0

n

i=1

n

x i b+

i=1

x 2i m−

n

i=1

x i y i =0

Nótese que en este sistema de ecuaciones las variables son m y b , lo demás se puede calcular con los datos experimentales. Para una parábola: Para una parábola c +bx +a x 2 siguiendo un procedimiento similar al anterior se pueden obtener las tres constantes, en este caso, como es evidente se obtienen un sistema de tres ecuaciones. n

n

n

( ) (∑ ) (∑ ) (∑ ) (∑ ) (∑ ) (∑ ) (∑ )

∑ y i=nc+ ∑ x i i=1

n

∑ x i yi = i=1 n

∑ x 2i y i = i=1

b+

i=1

n

i =1 n

i=1

i=1

n

x i c+

x 2i c+

2 i

x 2i a n

x b+

i=1 n

i=1

x 3i b+

i=1 n

i=1

x 3i a x 4i a

Y con este sistema de ecuaciones se pueden calcular a , b y c .

PARTE EXPERIMENTAL

Materiales    

Un péndulo simple de 1.5 m de longitud Regla graduada en milímetros Un cronometro Papel milimetrado

Procedimiento Sostenga el péndulo de manera que el hilo de soporte forme un ángulo ө con la vertical. Suéltelo y mida el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas.

k

lk

t k1

t k2

t k3

tk4

t k5

tk

tk

2

1

15

8.56

8.35

8.39

8.5

8.45

8.45

71.4025

2

20

9.78

9.63

9.64

9.72

9.88

9.73

94.6729

3

25

10.63

10.6

10.74

10.74

10.58

10.6

112.36

4

30

11.44

11.41

11.47

11.45

11.43

11.44

130.8736

5

35

12.34

12.05

12.24

12.23

12.29

12.23

149.5729

6

40

12.97

13.16

13

13.12

13.15

13.08

1171.0864

7

45

13.89

13.77

13.72

14.11

13.16

13.73

188.5129

8

50

14.63

14.59

14.35

14.45

14.63

14.53

211.1209

9

55

15.25

15.36

15.16

15.21

15.37

15.27

233.1729

10

60

15.84

15.69

15.77

15.88

15.72

15.78

249.0084

i

Ti

li

T il i

Ti 2

Ti 2 l i

Ti 3

Ti 4

1

8.45

15

126.75

71.4025

1071.03

603.35

5098.31

20

194.6

94.6729

1893.458

921.16

8962.95

2

9.73

3

10.6

25

256

112.36

2809

1191.01

12624.76

4

11.44

30

343.2

130.8736

3926.208

1497.19

17127.89

5

12.23

35

428.05

149.5729

5235.05

1829.27

22372.05

6

13.08

40

523.2

171.0864

68.43.45

2237.81

29270.55

7

13073

45

617.85

188.5129

8483.08

2588.28

35537.11

8

14053

50

726.5

211.1209

10556.04

3067.58

44572.03

9

15.27

55

839.85

233.1729

12824.50

3560.55

54369.60

10

15.78

60

946.8

249.0084

14940.50

3929.35

62005.18

�

375

124.84

5011.8

15585.0256

68582.35

21425.58

291940.48

Cálculos y resultados  Grafique la función discreta f (T k )={ ( T 1 , l 1) ; ( T 2 ,l 2 ) ; ( T 3 , l 3 ) ; … .; ( T 10 ,l 10 ) }

Para hallar la mejor grafica se ajustará la forma de la ecuación de la parábola: f ( x )=a0 +a1 x+ a2 x 2

Haciendo el ajuste a la parábola mínimo cuadrático: n

n

n

∑ y 1=a0 n+a1 ∑ x i+ a2 ∑ xi2 i=1 n

n

i=1

n

i=1

n

i=1 n

i=1 n

i=1 n

i=1 n

∑ x i yi =a0 ∑ x i+ a1 ∑ xi2 +a 2 ∑ x i3 ∑ x i2 y i =a0 ∑ x i2+ a1 ∑ x i3 +a2 ∑ x i4 i=1

i=1

i=1

i=1

Reemplazando los datos: 375=a0 10+ a1 124.84+a 2 15585.02 5011.8=a0 124.84+ a1 15585.02+a 2 21425.58 68582.35=a0 15585.02+ a1 21425.58+ a2 291940.48 Del cual obtenemos a0 =α =−5.7686 a1= β=0.4145 a2=γ =0.2363 f ( x )=−5.7686+0.4145 x +0.2363 x2

70 60 50

lk

40 30 20 10 0

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Tk

 Grafique la función discreta {( T 12 ,l 1 ) ; ( T 22 ,l 2 ) ; ( T 32 , l 3 ) ; … . ; ( T 102 , l 10) }

Chart Title 70 60 50 40 30 20 10 0 60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

f ( x )=−4.1163 +0.2646 x−0.0001 x2

preguntas (1) Anteriormente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la “masa” del péndulo. ¿Qué sucede si en vez de ello usted lanza la “masa”?

El periodo del péndulo aumentará, pero resulta inútil calcular un promedio de los tiempos obtenidos ya que en todas las mediciones no podemos asegurar (por no tener instrumentos para medirla) que la fuerza con que se lanza la “masa” es siempre la misma. (2) ¿Depende el periodo del tamaño que tenga la “masa”? Explique. Si, por que una masa más compacta (menor volumen) tendría menos consistencia de parte del aire que una masa de menor volumen.

(3) ¿Depende el periodo del material que constituye la “masa” (pe: una pesa de metal, una bola de papel, ¿etc.)? El periodo del péndulo depende únicamente de la longitud del péndulo y de la gravedad, mediante la fórmula: T: periodo

l: longitud

T ≈2π

√

l g

donde

g: gravedad

(4) ¿Depende el periodo del material que constituye la “masa”? (Por ejemplo: una pesa de metal, una bola de papel, etc.) Utilizando la respuesta en la pregunta anterior, no depende o no influye en el periodo del péndulo el material del cuerpo (lo que determina la masa). (5) Supongamos que se mide el periodo con θ = 5° y con θ = 10°. ¿En cuál de los casos resulta mayor el periodo? El periodo del péndulo cuando el ángulo es menor de 10° se aproxima al enunciado en la pregunta 2, pero para mayor exactitud el periodo del péndulo se define como:

T =2 π

√[

2 φ φ φ l 1 1.3 1.3.5 1+ sin2 o + sin 4 o + sin6 o + … g 2 2 2.4 2 2.4 .6 2

T: periodo

()

( )

l: longitud

(

)

g: gravedad

]

ϕ: ángulo de

desviación Haciendo uso de esta fórmula más detallada, se puede determinar fácilmente que un ángulo de desviación ϕ = 10° genera u mayor periodo de oscilación. (6) Para determinar el periodo (duración de una oscilación completa), se ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una oscilación ¿Por qué no es conveniente hacer la medición con solo un intento? El hecho que se realicen 10 repeticiones del experimento permite tener una mayor precisión en la magnitud del tiempo promedio del péndulo, y por consiguiente aproximarnos más al valor exacto. (7) Para determinar a, b y c se eligieron tres puntos ¿Por qué no dos? ¿Por qué no cuatro? 2 � ( x ) = a + bT + cT La función representa a una parábola, por

lo tanto: Primero, no se eligieron dos puntos, porque por dos puntos cualesquiera pasan infinitas parábolas Segundo, tres puntos cualesquiera no colineales determinan un plano y una parábola está incluida en un plano por lo tanto tres puntos cualesquiera no colineales determinan una parábola Tercero, no se pueden elegir cuatro ni cinco ni seis, etc. porque no cumplirían con la regla de correspondencia en la ecuación de la parábola ya que ese cuarto punto se puede encontrar en el interior o exterior o tener la posibilidad de que se encuentre en la misma curva de la parábola.