La Politica Economica In Un Contesto Strategico (a.a. 200708)1

La Politica economica in un contesto strategico (a.a. 200708)1 (provisional notes by N. Acocella and G. Di Bartolomeo).

1. Introduction

2

2. The classical theory of economic policy: statics 5 2.1. Principles of matrix algebra

6

2.2. The Tinbergen-Theil approach 20 2.3. Controllability and sub (partial) controllability 24 3. The classical theory of economic policy: dynamics 26 3.1. Dynamic structural form (p. 125)

27

3. 2. Dynamic reduced form (127) 27 3. 3. Multipliers (129)

28

3.4. Dynamic policy objectives (132) 28 3.5. State-space form or linear system representations 28 3. 6. Stability and the instrument multiplier equivalence (p. 143) 31 3.7 The effects of instruments on the states (existence property) 35 3.8 Observability properties 35 1

Si è cercato di rendere continua la numerazione delle equazioni, ma potrebbe esservi qualche ripetizione o discontinuità o errore nel testo di riferimento alla equazione esatta, dato che il materiale contenuto in ciascun paragrafo è tratto da fonti diverse. La numerazione dei teoremi è sicuramente valida soltanto all’interno di ogni paragrafo. Potranno pertanto emergere discontinuità o duplicazioni nella numerazione da un paragrafo ad un altro.

3.9 Dynamic theory of stationary objectives. (205) 35 3.10 The target path existence problem (229) 36 4. The Lucas Critique

38

4.1. The essence of the critique

39

4.2. A Formal Exposition

40

4.3. Deep Parameters and Rational Expectations: A Solution? 41 4.4. Overtaking the Critique

42

5. Principles of game theory (see slides) 44 6. A brief analytic survey of the issue of neutrality in policy games 59 7. The theory of economic policy in a strategic context: statics 65 7.1. The policy game approach

66

7.2. Policy neutrality

70

7.3 Implications of the theory (model building & institution building)

??

8. The theory of economic policy in a strategic context: dynamics 73 8.1. The Basic Setup

74

8.2. The Golden Rule and the Equilibrium Properties 75 8.3. A Generalization: Sparse Economic Systems 78 8.4. An Example 8.5 RE

79 ??

9. References

82

1. Introduction2 Tinbergen (1952, 1956) first addressed the issue of the controllability of a fixed set of targets by policymakers endowed with given instruments in a parametric context. He stated some general conditions for policy effectiveness and the need for policymakers to have recourse to second best solutions – by maximizing the value of their preference function subject to the model representing the economy – in the case of a non-perfectly controllable system, an approach later developed by Theil (see Theil, 1964).3 More formal conditions for controllability both in a static and dynamic context were later asserted (see Preston and Pagan, 1982; Hughes Hallett and Rees, 1983). Tinbergen, Theil, and the other founding fathers of economic policy were not concerned with analyzing the effectiveness of specific policy instruments. However, in the framework of the classical theory of economic policymaking it is not difficult to find the counterpart of the concepts of policy ineffectiveness and neutrality raised in the economic literature with reference to specific instruments, monetary policy, fiscal policy or others.4 The classical theory of economic policy has been the object of fierce criticism from a number of points of view. The introduction of rational expectations led to an assertion of the ineffectiveness of monetary policy on income more forceful than that stated by Friedman (1968) (see Sargent and Wallace, 1975). In a similar way, Barro (1974) developed the argument of fiscal policy neutrality based on the assumption of ultra-rational agents. A proposition of policy neutrality or “invariance” was then stated. Apart from the critiques advanced with reference to the effectiveness of specific instruments, Lucas (1976) raised the more general and forceful argument according to which a Tinbergen-type decision model is inconsistent with the assumption of rational expectations. In more recent years a new approach to the analysis of economic policy has been developed, that of policy games.5 Within this approach the questions of effectiveness and neutrality of specific policy instruments have been raised 2

3

4 5

Tratto da Acocella, N. and G. Di Bartolomeo (2006a), Equilibrium existence and policy neutrality in static LQ games, non pubblicato. A good account of early contributions to the theory of economic policy is in Hughes Hallett (1989). See Holly and Hughes Hallett (1989). As is well known, a policy game can be informally defined as a situation in which two or more agents strategically interact. More precisely, a policy game is characterized by a set of players, strategies and payoffs that are linked to strategies.

again, mainly with reference to monetary policy. More or less formal conditions leading to monetary policy ineffectiveness – or neutrality – have thus been investigated. Barro and Gordon (1983) deliver the well-known prediction of monetary neutrality as a result of the private sector expectations of the monetary policy. The private sector forms rational expectations of the money supply and acts to fully crowd-out monetary effects on real output by adjusting nominal wages, thereby creating a socially inefficient inflation bias. The same conclusion is reached if the Barro-Gordon problem is expressed in terms of a Stackelberg game between the central bank and a monopoly union, where the latter is the follower and trades off real wage and employment when setting the nominal wage rate.6 Gylfason and Lindbeck (1994) suggest that monetary policy nonneutrality arises when the private sector (labor unions) shares the objective of price stability with the central bank. Acocella and Ciccarone (1997) generalize the above result by showing that monetary policy nonneutrality is the result of unions’ sharing some objectives (not necessarily price stability) with the monetary authorities. But this rule seems to loose ground when noncompetitive markets are introduced into the picture: Soskice and Iversen (2000), Coricelli et al. (2000), Cukierman and Lippi (2001), and other studies7 show that non neutrality of monetary policy can derive from the interaction between imperfectly competitive goods and labor markets even when unions do not care for a common objective directly. Acocella and Di Bartolomeo (2004) show that in this case the rule is not violated, if reformulated in terms of unions’ sharing directly or indirectly some objective with the monetary authorities and state more general necessary and sufficient conditions for nonneutrality to hold. The conditions derived by Acocella and Di Bartolomeo (2004), except for some conclusive hints (for which see section 6), are stated in terms apparently different from those of the classical analysis of policy effectiveness and controllability. One reason that could explain the difference refers to the contexts in which policy issues are examined in the two cases: a parametric one in the case of the analysis of Tinbergen and Theil; a strategic one in the 6 7

See, among others, Stokey (1990) and Sargent (2002: Chapter 3). See Cukierman (2004) for a survey.

case of policy games. The need then arises to: 1) find conditions for policy controllability in a strategic context equivalent to those valid in a parametric context and clearly stated in the classical theory of economic policy; these should be ex ante conditions, i.e., conditions that allow us to know whether the game leads to a result of neutrality of economic policy before solving it, possibly by applying some simple counting rule of the kind stated by Tinbergen; 2) check the corresponding conditions of those stated in the analysis of the policy effectiveness or neutrality of specific instruments. There have been previous attempts at performing the task under 1). This is, e.g., the case of Holly and Hughes Hallett (1989), who consider conditions for controllability in a dynamic model with a private sector forming rational expectations. As far as this task is concerned, our analysis will have both a narrower and a wider coverage than theirs: in fact, on the one hand we will not consider differential games; on the other, we will not stick to the case of private agents forming rational expectations. We restrict ourselves to a static context and consider the case of perfect information only, since it is well known that asymmetric information is itself a source of non-neutrality. However our simple logic can be extended to more complex frameworks.

2. The classical theory of economic policy: statics.

8

2. Principles of matrix al 3. 2.2. The Tinbergen-Theil approach9 In this section we consider the optimization problem of a single decision-maker (from now on, without loss of generality, the Government). We assume that the Government aims to achieve certain given targets10 and, if this is not possible, to minimize deviations from them according to a quadratic function. Approaching the problem in this way has the advantage to merge together the fixed and flexible target approach making the former a particular case of the latter (see Preston and Pagan, 1982). It implies that we implicitly assume that, if the fixed target approach fails, the Government sets the instruments according to a flexible approach. Although the flexible approach is not the only alternative to the fixed one, flexible targets seem to be the alternative more in line with our attempt at reformulating the classical theory of economic policy with reference to a strategic context. 8

Throughout the paper we use the following notation. All vectors are real column vector defined by their dimension; all matrices are real matrices defined by their two dimensions. Considering two vectors, a and b, (a, b) is a column vector; considering matrices A and B with the same number of rows, [A:B] is a matrix formed by merging the two matrices. 9 This and the following sections are drawn from Acocella, N. and G. Di Bartolomeo (2005), “Non-neutrality of economic policy: an application of the Tinbergen-Theil’s approach to a strategic context”, Dept of Public Economics, University of Rome ‘La Sapienza’, W.P. 82. 10 We will later relax the assumption of a given target by considering also the possibility of non-satiation.

We first derive the policy model in its structural form (sect 2.2.1); then we analize controllability (2.2.2) and subcontrollability (2.2.3). 2.2.1 Modello di decisione The structural form is: (1) Ay + Cz = Bu + Dw where y ∈ ¡

m

is the vector of the relevant endogenous variables (Government’s

target variables), z ∈ ¡ u∈¡ C ∈¡

n

r

is the vector of irrelevant endogenous variables.

is the vector of the Government’s policy instruments, A ∈ ¡

( m + r )×r

and B ∈ ¡

( m + r )×n

( m + r )×m

,

are parameter matrices (i.e. the target and instrument

coefficient matrices), and k = Dw ∈ ¡

m+r

is a vector of constants, i.e. each

component is a linear combination of exogenous constants and/or white noise

M={1,}¡ N={1,}¡ 2, .2 . mn

shocks. We define

and

as the sets of policy targets and instruments,

respectively. By eliminating irrelevant variables z, we obtain the reduced form model (1’)

A* y = B *u + K *

−1 −1 −1 where A* = A1 − C1C2 A2 , B = B1 − C1C2 B2 , k * = ( D1 − C1 C2 D2 ) w

Box 1: passaggio da (1) a (1’) In termini di matrici partizionate la (1) può essere scritta come:  y u    [ A M C ] L  = [ B M D ]  M  z   w Risolviamo il modello eliminando le variabili irrilevanti:  a11 y1 + ... + a1m ym + c11 z1 + ... + c1r zr = b11 u1 + ... + b1n un + d11 w1 + ... + d1 j wj   am1 y1 + ... + amm ym + cm1 z1 + ... + cmr zr = bm1 u1 + ... + bmm un + dm1 w1 + ... + dmj wj  K K K a  m + r , 1 y1 + ... + am + r , m ym + cm + r , 1 z1 + ... + cm + r , r zr = bm + r , 1 u1 + ... + bm + r , n un + dm + r , 1 w1 + ... + dm + r , j wj

→ riga 1 → riga m → riga m + r

Scrivo separatamente le prime m equazioni e poi le restanti r equazioni in forma compatta… A1 y + C1 z = B1u + D1w

con : A1 : m × m; B1 : m × n; C1 : m × r ; D1 : m × j

A2 y + C2 z = B2u + D2 w

con : A2 : r × m; B 2 : r × n; C2 : r × r ; D2 : r × j

Risolvo ( A2 y + C2 z = B2 u + D2 w) per z… C2 z = B2u + D2 w − A2 y

se è possibile invertire C2 (⇔ C2 è di rango pieno ρ(C2) = r) C2−1C2 z = C2−1 ( B2u + D2 w − A2 y )

↓ z = C2−1 B2u + C2−1 D2 w − C 2−1 A2 y

inserisco questo valore di z in ( A1 y + C1 z = B1u + D1w)...

Controllo della conformabilità: A

*

y

+

C

*

z

=

B

* u

+

D

*

w (m + r) x m jx1

mx1

(m + r) x 1 r) x 1

(m + r) x r

rx1

(m + r) x 1

(m + r) x n

nx1

(m + r) x 1

(m + r) x j

(m +

The linear reduced-form model11 can be written in matrix form as: (2) y = A−1 Bu + A−1k = Cu + C (provided A – remember that this is indeed A* in (1’) – is non-singular from our rank assumptions), or as (3) y%= Cu (FORMA RIDOTTA CONSOLIDATA nel quale

y% è il vettore degli obiettivi

“consolidati” (y – il termine noto)) dove pongo y%= y − A−1k ; C = A−1 B , e y è il vettore degli obiettivi desiderati. Vedi es. (file “Notes esercizio da lezione fulvimari”) D’ora in poi useremo la notazione y al posto di y%, pur volendo riferirci agli obiettivi consolidati e indicheremo con

y

un dato vettore di obiettivi

consolidati. 2.2.2 Controllability of the model Consideriamo il problema di un singolo decision-maker, il governo, che abbia determinati targets (valori desiderati) riguardo ai suoi obiettivi. Il governo può riuscire o non a raggiungere esattamente tali valori prefissati (target values). Il modo generale per affrontare il problema del governo è di dire che esso vuole minimizzare una funzione di perdita che dipende dai quadrati delle deviazioni dei valori effettivi degli obiettivi rispetto a tali targets values (quadratic loss function). Se il governo controlla il sistema, e riesce perciò esattamente a raggiungere i valori prefissati degli obiettivi, la perdita è uguale a zero. Se il governo non controlla il sistema, la perdita sarà positiva, ma, appunto, minima. Affrontando il problema in questo modo fondiamo insieme il caso di obiettivi fissi e di obiettivi flessibili, rendendo il problema con obiettivi fissi un caso particolare

di

quello

con

obiettivi

flessibili.

Così

facendo

assumiamo

implicitamente che, se fallisce l’approccio per obiettivi fissi (perché non si controlla il sistema), il governo userà gli strumenti a sua disposizione in modo 11

Questa è la forma del modello nella quale gli obiettivi sono espressi in termini soltanto di strumenti e vi sono tante equazioni quanti gli obiettivi, ognuna per un obiettivo.

tale da rendere minima la perdita. Comunque, il problema con obiettivi flessibili non è solo un’alternativa al problema con obiettivi fissi. Infatti, la formulazione per obiettivi flessibili è più in linea con il tentativo di riformulare la teoria classica della politica economica in un contesto strategico. Comunque, per il momento partiamo da un problema impostato in termini di obiettivi fissi e, quindi, dalla forma ridotta consolidata (3), dove è stata tolta la tilde alla y, per semplicità. (3) y = Cu Definiamo: Efficacia di uno strumento di politica economica: uno strumento j ∈ u è efficace rispetto alla variabile obiettivo i ∈ y se cambiamenti dello strumento determinano cambiamenti nel valore dell’obiettivo. In caso contrario lo strumento è inefficace. Neutralità (esogena) della politica economica: la politica economica è neutrale rispetto ad una certa variabile i ∈ y se tutti gli strumenti sono inefficaci ai fini del raggiungimento della variabile obiettivo stessa. Quindi, con riferimento alla (2’): – se cij = 0 (moltiplicatore dello strumento j per l’obiettivo i) → un determinato strumento (j) è inefficace per raggiungere l’obiettivo i → inefficacia. – se ho una colonna di zeri (cij = 0 ∀i e j = j ) → inefficacia dello strumento in questione per il raggiungimento di qualsiasi obiettivo. – se ho una riga di zeri (cij = 0 ∀j e i = i ) → tutti gli strumenti sono inefficaci ai fini del raggiungimento di quel preciso obiettivo → neutralità delle politiche economiche (o della politica economica in generale). → quando usiamo 1 solo strumento, neutralità ed efficacia sono la stessa cosa. → quando usiamo più strumenti neutralità ed inefficacia non sono la stessa cosa. Lo scopo del governo è controllare il sistema economico, Ay = Bu + k, e determinare i valori della variabile obiettivo → Definiamo … controllabilità: possibilità che manovrando un vettore di strumenti si raggiunga

il valore degli obiettivi o dei valori predeterminati (n.b. la controllabilità ci assicura l’esistenza della soluzione del nostro problema di politica economica) Definiamo più in particolare: a) controllabilità forte: si ha se il governo può determinare i valori delle variabili obiettivo per ogni possibile vettore di obiettivi desiderati scegliendo un’appropriata politica (i vettori di strumenti). La controllabilità forte è la capacità del governo di raggiungere qualsiasi valore prefissato degli obiettivi. b) controllabilità debole: si ha se il governo, dato uno specifico vettore di obiettivi desiderati può determinare tale vettore scegliendo la politica appropriata. La controllabilità debole è la capacità del governo di raggiungere un certo valore prefissato di obiettivi. NB: controllabilità forte

⇒ controllabilità debole ⇐ /

La controllabilità è una condizione di esistenza di almeno una soluzione la controllabilità assicura l’esistenza del problema, ma non assicura né l’unicità della politica, né tanto meno determina la politica stessa. NB: controllabilità

⇒ non neutralità della politica ⇐ /

– Dal p.v. analitico, dato il sistema, y = Cu , si ha: b) controllabilità debole, se, per un dato vettore di obiettivi consolidati, y , si ha:

ρ[C : y ] = ρ[C ] ≤ min { m, n} infatti

C = A−1 B ↓

dove

ρ[ A] = ρ [ A−1 ] = m ρ[ B ] = min { m, n}

Nel fare questo prodotto so solo che sicuramente ρ[C ] ≤ min { m, n} a) controllabilità, forte, se ∀ dato vettore di obiettivi y (→ obiettivi naturali)

ρ[C ] = m → min { m, n} ≥ ρ [C ] = m il che richiede n ≥ m Questo tipo di controllabilità incorpora la famosa regola di Tinbergen riguardo al numero di obiettivi e di strumenti. Formalmente il teorema di Tinbergen comprende sia a) che b). Tinbergen Theorem: il governo può raggiungere ogni vettore di obiettivi indipendenti attraverso un appropriato vettore di strumenti ⇔ il numero di strumenti indipendenti è = o ≥ al numero degli obiettivi. Ecco perché la controllabilità forte incorpora la regola di Tinbergen: affinché

valga la controllabilità forte deve essere C matrice di rango pieno, ossia le m equazioni devono essere l.i. tra loro e contemporaneamente deve essere m ≤ n → ma questa è proprio la regola di Tinbergen. Dunque, la regola di Tinbergen incorpora 2 condizioni: 1. (numero di strumenti indipendenti ≥ numero di obiettivi; n ≥ m); questa è condizione necessaria ma non sufficiente 2. regola di indipendenza: gli strumenti l.i. devono essere n ≥ m. Questa è condizione necessaria e sufficiente. Il teorema di Tinbergen può sostenere l’unicità della soluzione, che si ha se ρ(C) = m = n (cioè il numero di obiettivi indipendenti deve essere uguale al numero di strumenti indipendenti). La soluzione del disegno di politica del sistema, y = Cu , esiste ed è unica se m = n. Infatti: Cu = y C −1Cu = C −1 y u = C −1 y (soluzione del disegno di politica) ↓ u = ( A−1 B)−1 y = B −1 Ay = B−1 y Se invece ρ(C) = m < n la soluzione non è unica, ma avrò 

n – m

soluzioni

(molteplicità delle soluzioni). 2.2.3. Individuazione della politica (policy design) in sistemi di tipo non Tinbergen (n < m). Assumiamo ora che il modello di politica fallisca nel soddisfare i criteri di controllabilità forte e debole (e sappiamo che la controllabilità è il requisito base per l’esistenza della soluzione) Questo implica che la soluzione di first best non potrà essere raggiunta anche se le azioni del governo possono essere efficaci, anche se cioè questo può essere in grado di influenzare i suoi obiettivi e “andare vicino” al loro raggiungimento. Formalmente, il fallimento nel trovare una soluzione al problema con obiettivi fissi genera una soluzione di second best in termini di un approccio per obiettivi flessibili. Dunque, se ho sistemi di tipo non Tinbergen (n < m), e quindi ho un problema con obiettivi flessibili, dovrò ragionare cercando di min la funzione di perdita

del governo (loss function, che normalmente è una funzione quadratica degli scostamenti delle variabili rilevanti dai loro valori obiettivo) che sarà del tipo: (4) U = ( y − y ) ' Q( y − y ) con Q = matrice simmetrica semidefinita positiva (loss function to be minimized) e ( y − y ) ' Q( y − y ) = forma quadratica. NB: Usiamo funzioni quadratiche non solo per via della loro trattabilità matematica, ma anche per le utili proprietà economiche. Infatti, deviazioni dai target values implicano ↑ dei costi e il sms tra ogni coppia di variabili obiettivo non è mai costante, ma dipende dal valore delle 2 variabili nel punto in cui sono osservate.12 U = ( y − y ) ' Q( y − y )  min  u →  s.t.  y = Cu  min U = (Cu − y ) ' Q(Cu − y ) u

∂U = 2C ' Q [ Cu − y ] = 0 ∂u C ' QCu = C ' Qy FOC :

(5) C ' QCu = C ' Qy da cui sinteticamente (5’) Φu = K Φ La soluzione esiste se e solo se (controllabilità debole):

ρ (Φ : K Φ ) = ρ (Φ ) o se e solo se Φ è non singolare (controllabilità forte). Se sono soddisfatte le condizioni di controllabilità forte, la soluzione è: u = (C ' QC ) −1 C ' Qy

Box 2: Derivazione del policy design nel caso di obiettivi 12

More in detail, “quadratic cost functions are of particular interest in game theory, firstly because they constitute second-order approximations of other types of nonlinear functions, and secondly because they are analytically tractable, admitting in general closed-form equilibrium solutions which provide insights into the properties and features of the equilibrium solution concept into consideration.” (Başar and Olsder, 1995: 197). However, Taylor approximations are usually based on a more general specification of quadratic functions, which also includes linear terms. We refer to the latter as LQ-form, but introduce it only later since for the purposes of this section we can use the simpler quadratic form. For a more formal description of LQ-functions and their properties, see Frisch (1969), who is the father of the idea of loss functions representing the players’ preferences rather than the aggregation of those of individual agents, and Petit (1990: Chapter 6).

flessibili Consideriamo il caso seguente, che corrisponde al caso b) del successivo par. 2.2.5.: min ( y − Cu ) ' Q ( y − Cu )  u

Le forme che noi usiamo sono tutte quadratiche e bilineari. Ogni matrice di queste forme quadratiche si può sempre rendere simmetrica e pertanto, in questo caso una matrice della forma quadratica e la sua trasposta sono uguali: cioè Q = Q’. Posso ora procedere alla minimizzazione     min  ( y − Cu ) ' Q ( y − Cu )  =  { y ' Qy − y ' QCu − (Cu ) ' Qy + (Cu ) ' QCu  = 14 2 43 u  forma quadratica forma   bilineare  

[ y ' Qy − y ' Bu − u ' Dy + u ' Eu ] } ,

dove ho posto QC = B, C’Q = D, C’QC = E con E: (n × m)(m × m)(m × n) = n × n   min  { y ' Qy − { y ' Bu − u{' Dy + u{' Eu  = min L u  forma quadratica forma bilineare forma biline are forma quadratica  Se nella derivazione di L voglio esprimere tutto in termini di vettori riga:13 ∂L = − {y ' {B − y ' D '+ u1'4 E2 '+ 43 u ' E = − y ' B − y ' D '+ 2u ' E = 0 1 4 4 4 2 4 4 43 ∂u = 1{ ×m m×m vettore riga 2u ' E (1×m ) 1×m

perchè E = E '

Se nella derivazione di L voglio esprimere tutto in termini di vettori colonna: ∂L = − B ' y − Dy + 14 Eu 2 + E43' u = − B ' y − Dy + 2 Eu = 0 1 4 44 2 4 4 43 ∂u = vettore colonna 2u ' E perchè E = E '

( m×1)

Sostituendo a B, D ed E le espressioni precedenti, si ha: −2QCy + 2C ' QCu = 0, ossia: QCy = C ' QCu, 13

La derivata di u’Eu rispetto ad u va scritta tutta in termini di vettori riga o colonna e quindi non può essere scritta come: ∂u ' Eu / ∂u = u ' E + Eu , dato che dobbiamo rendere conformabile i vettori, che sarebbero in questo caso (1 × n)(n × n) ed (n × n) (n × 1). Pertanto, va scritta o come 2u’E (vettore riga) o come 2Eu (vettore colonna). Questa seconda forma è preferibile per le trasformazioni successive dell’espressione.

da cui: u = (C ' QC ) −1 QCy ovvero, se la C è invertibile u = C −1 (C ' Q)−1 C ' Q y 1 44 2 4 43 I

u = C −1 y , ed, essendo C = A–1B, si ha: u = ( A−1 B)−1 y u = B −1 Ay E’ evidente che, se fosse n = m, avremmo: u = B −1 A−1 y = B −1 A−1 y . Avremmo, cioè, lo stesso risultato trovato nel caso di obiettivi fissi e la soluzione sarebbe, quindi, unica (come è ogni volta che n = m). NB: In altre parole la condizione affinché esista tale soluzione è che esista (C ' QC ) −1 . This result directly derives from the omission of explicit instrument costs from equation (4). We can simultaneously consider both the fixed and the flexible target approaches only if we omit explicit instrument costs.14 Consideriamo ora le condizioni di invertibilità della C’QC, che hanno a che fare con le proprietà delle forme quadratiche. Esiste un teorema che afferma che, affinché C’QC sia positiva definita e non singolare, è sufficiente che Q > 0, ρ[C] = ρ[B] = n ≤ m. Le condizioni per la non singolarità possono essere interpretate c.s.: 1) Q > 0 indica che tutti gli m obiettivi sono indipendenti ed hanno un peso positivo; 2) ρ[B] = n assicura l’indipendenza di tutti gli n strumenti ed implica che esiste un numero di obiettivi almeno pari al numero degli strumenti, dato che la B della (1’) è: m × n. Il modello di decisione (F.R.), y = Cu (che possiamo anche indicare come y = Πu, per sottolineare la natura di jacobiano della matrice C, ossia il fatto che essa è una matrice di moltiplicatori degli strumenti), ha ancora uno scopo analitico e stabilisce un mapping (ossia una trasformazione, che nel nostro caso è lineare) dallo spazio degli strumenti, U ∈ ¡ n , a quello degli obiettivi, 14

Notice that, without any loss of generality, each instrument can be decoupled into two variables by considering its possible double nature of instrument and variable of possible interest for the policymaker.

.15 Il policy design richiede un mapping inverso. Questo mapping è diverso a secondo delle dimensioni degli spazi U e Y. Se le trasformazioni sono invertibili (ossia è soddisfatto il teorema di Tinbergen), si ha u = Π–1 y. In caso contrario, è necessario considerare l’invertibilità a sinistra o a destra della matrice Π. e, quindi, l’esistenza di una pseudoinversa. Comunque, il policy design richiede una trasformazione da U ∈ ¡

n

ad Y ∈ ¡ m .

Consideriamo ora le condizioni di invertibilità 2.2.4. Rappresentazione geometrica di un problema di obiettivi fissi Rivediamo ora in modo più attento, sia dal punto di vista analitico che geometrico, il caso di obiettivi fissi e quello di obiettivi flessibili. Ci occuperemo inizialmente del primo. Riprendiamo il sistema AD-AS  AD : p = bq + au1   AS : p = dq + cu2

con b < 0 d >0

↓  p − bq = au1 1 −b   p   a 0   u1  →     =  0 c  u  114 2−4d3 {q  1  2 3 { 2   p − dq = cu2 A

y

B

U

Forma strutturale: (Ay = Bu) 1  u1   a −1 Soluzione: u = B Ay →   =  u 2   1  c

b −  a  p  d   q  − c 

∃ soluzione unica perché ρ(A–1B) = 2 = m = n → c. forte! La forma ridotta (utile ai fini della rappresentazione geometrica) è:  ad − b − d p   y = A−1Bu →   =   q  − a  b − d

bc  b − d   u1   c  u2  b − d 

↓

15

La trasformazione da U a Y assegna ad ogni u  U uno ed uno solo y  Y.

 ad   bc  −   b − d  p   b−d = u +     u2 1 q   − a   c   b − d   b − d  ↓ y = C1u1 + C2 u2 −1 Con C = A B = [ C1 M C2 ] .

Dunque la forma ridotta, y = C1y1 + C2y2, è data dai vettori colonna della matrice C, C1 e C2, sono pesati con i valori degli strumenti u1 e u2 rispettivamente. – Derivando p e q rispetto ad u1, si ottengono i moltiplicatori del primo strumento rispetto ai due obiettivi. Il loro rapporto dà il gradiente del rapporto tra p e q in funzione di variazioni di u1, che è positivo essendo d > 0. ∂p ∂p ad ∂q a ad b − d ∂u1 =− ; =− ⇒ = =d >0 ∂ q ∂u1 b − d ∂u1 b−d b−d a ∂u2 – Derivando p e q rispetto ad u2, si ottengono i moltiplicatori del secondo strumento rispetto ai 2 obiettivi. Il loro rapporto dà il gradiente del rapporto tra p e q in funzione di variazioni di u2, che è negativo essendo b < 0. ∂p ∂p bc ∂q c bc b − d ∂u2 =− ; =− ⇒ = =b<0 ∂q ∂u2 b − d ∂u2 b−d b−d c ∂u2 Da ciò scaturisce la seguente rappresentazione geometrica:

Δp

Δy

Δu1C1 C1

Δu2 C2 C2 O

Δq

sp {C2} s p{C1}

2.2.5. Rappresentazione geometrica di un problema di obiettivi flessibili Geometricamente nel caso di obiettivi flessibili ho un problema del tipo indicato nella fig. 1.

OBIETTIVI FLESSIBILI Vediamo 3 casi (il primo è il più generale e il terzo il più particolare) ( y − Cu ) ' Q ( y − Cu ) + (u − u ) ' R (u − u )  a) min u  Questo tipo di funzione di perdita dipende dagli scostamenti degli obiettivi rispetto ai loro valori desiderati, ma anche dagli scostamenti degli strumenti rispetto ai loro valori desiderati. ( y − Cu ) ' Q ( y − Cu )  b) min u  Questo tipo di funzione di perdita è caratterizzata da obiettivi con diversi pesi (Q è una matrice simmetrica semidefinita positiva). ( y − Cu ) ' I ( y − Cu )  → minimi quadrati c) min u  Questo tipo di funzione di perdita è un caso particolare di quello precedente. Qui i pesi dei vari obiettivi sono uguali e separabili (I è matrice identità).

Rappresentazione geometrica: → caso c) (avrà tutti cerchi concentrici): i pesi dei vari obiettivi sono uguali e separabili

Lo scopo è trovare il punto di tangenza con la circonferenza di raggio minimo. → caso b) (avrà tutte ellissi con diverso orientamento a seconda dei sms): i pesi dei vari obiettivi sono diversi.

Figura 1 y2

O

y1

I casi c) e b) corrispondono analiticamente a: Caso bidimensionale – Se ho Q (matr. semidefin. pos) le mie curve di livello saranno ellissi concentriche; – Se ho I (matr. “identità) le mie curve di livello saranno cerchi concentrici; Da questo grafico posso capire qual è sms y1 , y2 : cioè all’↑ di y1 capisco di quanto ↓ y2 per avere la stessa soddisfazione e viceversa. Con la matrice Q i sms sono in linea generale diversi da 1; al contrario, con la matrice I tutti i sms sono uguali a 1 (preferenze neutrali).

Comunque, il problema con obiettivi flessibili consiste nel min il raggio (raggiungere la circonferenza minore), come indicato nella figura 2. Figura 2 y2

qui ho piena controllabilità !

O

y1

2.2.6. Neutralità endogena Quando consideriamo l’approccio per obiettivi flessibili ogni politica risulta endogena. Definiamo, dunque, tale tipo di neutralità. Neutralità endogena della politica economica: La politica economica è neutrale rispetto ad una variabile obiettivo j ∈ y se il valore di equilibrio di questa variabile non è influenzato da nessun cambiamento nelle preferenze del policymaker. NB: La definizione di “neutralità endogena della politica economica” è una generalizzazione

della

definizione

di

“neutralità

esogena

della

politica

economica” così come l’approccio per obiettivi flessibili generalizza quello per obiettivi flessibili. vedi esercizio n. 2 nel file “Notes esercizio da lezione fulvimari“ 2.2.7. Controllability and sub (partial) controllability We have shown that, if the matrix C is square and full rank, the system is controllable. This is also the case of a rectangular matrix C with more columns (instruments) than row (targets) and a rank equal to the number of rows. By contrast, if C is a rectangular matrix with more rows than columns, the system is not controllable and a flexible target approach should be used. In this

subsection we focus on this latter case. If C is a rectangular matrix with m > n , the Government cannot achieve the target vector (i.e. his first-best outcome) and will trade off between his targets. Because of the quadratic form of preferences, the Government does not generally find it optimal to reach any given target exactly since the gain of getting closer to it decreases as the deviation from it is reduced. However, there is a particular case in which the Government exactly achieves part of his targets and trades off only between the others. In other words, notwithstanding the decreasing marginal rate of substitution between targets implied by the quadratic preferences, there is a case in which the optimal policy of the Government, derived by the flexible target approach, implies that the Government can perfectly control part of the system. The reason is simple to explain. Imagine two distinct problems, one TTcontrollable by the Government and another that is not, e.g. a 2 targets by 2 instruments and a 3 targets by 2 instruments independent LQ-problems. Merging the two problems together the Government will face a system of 5 equations (targets) with 4 unknowns (instruments). Although the new system is not controllable in the sense of getting some pre-assigned values for all the 5 targets, by solving the Government’s optimization problem with the flexible approach it is clear that the Government will achieve the first two targets (for any possible target vector) and will trade off between the other three as the two problems are independent. Hence the system is not controllable but the Government can always achieve the first two targets. In this case we speak of sub-controllability, i.e. the Government perfectly controls part of the system.16 Formally, we first define an M0-augmented block diagonal matrix as:

[ M t , M t −1 ,...M1 , M 0 ]

BD

0 L Mt  0 M t −1  ≡ M O   M  0 ... ...

L

M1 0

0  M  M  0  M 0 

where M i for i ∈ { 1, 2,..., t} are full-rank square matrices. Second, we define the BlockDiag operator, as an operator that by permutations and scalar normalization transforms a matrix in an M0-augmented block 16

It is worth noticing that, in general, the Government can always control part of the system (many target variables as many are controls can always be controlled), but here we are saying that it can perfectly control part of the system as a result of his optimization process.

diagonal form: BlockDiag [ M ] = [ M t , M t −1 ,...M 1 , M 0 ]

BD

where M 0 is a square matrix if and only if C is a square matrix. Of course, if BlockDiag [ M ] = M 0 , M = M 0 . Without loss of generality, we assume that matrix C is already written in a M0augmented block diagonal form by preliminary appropriate row and/or column permutation:17 C = BlockDiag [ C ] = [ Ct , Ct −1 ,...C1 , C0 ]

BD

Representing the economic system by

implies that the Government faces t

controllable independent systems plus an additional independent system that is not controllable if C is not a full-rank square matrix. In other words, the t

∑ rank [ C ]

Government can exactly set the values of the first

i

i =1

targets

t

independently of the problem of setting the last n − ∑ rank [ Ci ] . We can define i =1

t

the set of the controllable targets as the set of the first

∑ rank [ C ] i =1

i

targets by

meaning that the Government can always achieve these targets by solving his optimization problem. By basic linear algebra, the set of controllable targets can be defined in more general terms. By defining e ( i ) ∈ ¡

as an eye vector, i.e. a vector of zero

n

entries with the exception of the i-th entry, which is equal to one, and col ( M ) as the column set of matrix M,18 we can define the controllable target set as follows. Definition 5 (controllable target set). The controllable target set, associated with the Government’s problem: max U = ( y − y ) ′ Q ( y − y ) subject to Ay = Bu + K ,

{

}

−1 is Θ = ∀i ∈ { 1, 2,..., n} e ( i ) ∈ span col ( A B )  .

17

18

Hence also all the other vectors are adjusted. Invariant normalizations of this kind are rather common (see e.g. Engwerda et al., 2002). Notice that the column set has not a unique representation, but infinite equivalent ones.

It is easy to verify that if the number of independent instruments is equal to (or −1 greater than) the number of independent targets, ∀e ( i ) ∈ span  col ( A B )  and,

therefore, ∀i ∈ Θ , for i ∈ { 1, 2,.., n} . In other words, the system Ay = Bu + K is controllable.19

19

An example is provided in Appendix B of Acocella, N. and G. Di Bartolomeo (2005. Appendix C in the same paper explains a simple operative computer-based procedure to verify subcontrollability.4. The Lucas Cri

4.1. The essence of the critique The procedures of policy evaluation using econometric models in the tradition of Tinbergen and Theil’s approach assume that private agents’ behavior rules are fixed while the government considers variations of its policy rule. Lucas noted that if private agents solve optimization problems, then their

actions depend on the government’s policy rule: if the policy rule is changed, agents will adjust their behavior. Because the traditional theory of economic policy misses this dependence, it will not give reliable policy advice. In other words, in the decision model presented above, the behavior of private agents is assumed to be predictable on the basis of a given specification of the behavioral functions and the identification of the fixed parameters. Policy decisions are determined by setting certain objectives and taking into account the relationships between these objectives and policy instruments based on the behavior of private agents. However, this approach ignores the feedback effect of government decisions on the behavioral functions of private agents. For instance, we can assume that government influences national income (through government spending on consumption and investment) or disposable income (through taxes and transfers in addition to government consumption and investment), private consumption will be affected by fiscal policy: if C = c (Y – T + TR), where T are taxes and TR are transfers to households, fiscal policy will affect C through G (which acts on Y), T and TR, and therefore the model accounts for consumers’ reactions to government action. Rather, we wish to argue that changes in policy regimes (or the rules governing policy choices) can influence the parameters of private behavioral functions (in our example, c), i.e. the sensitivity of private agents to government decisions, and/or the functional form of private agents’ behavior. This is the substance of the critique advanced by Lucas (1976) against the classical model of economic policy. The analytical models used as a basis for decision models are normally the product of econometric analysis that establishes the exact specification of the form of behavioral functions and the independent variables as well as the

value of the parameters. Econometric tests are based on available data about the relevant variables in past situations (characterized by the presence of certain external shocks, certain types of policy, etc.). The tested model is then used to forecast the consequences of certain policies, e.g., an increase in government spending, and design an optimal policy. However, this is accomplished by taking as given and invariant the estimated values of the parameters and the form of the behavioral functions of private agents (e.g. the propensity to consume and the form of consumption function) in the new situation. This might not be the case. Suppose that government spending has not been adjusted in previous years or that any adjustment in the past involved different forms of spending, for example, investment rather than government consumption or transfers, or certain types of government expenditure (teachers’ salaries) rather than others (student canteens). A change in the volume and/or content of public expenditure may give rise to new private behavior. For example, a program to increase the number of student canteens might change students’ propensity to consume so that it differed from that estimated with econometric models based on data collected before the number of canteens was increased. If the model parameters change, reflecting a change in the behavior of the system, and the ‘old’ model is taken as a constraint in the government decision model, the ensuing policies will not be optimal at all: they would be so only if private behavior did not change. In other words, the constraint underlying the design of government action is not a real constraint, but rather changes as government behavior itself changes. 4.2. A Formal Exposition Assume the following behavioral function of private agents at time t:

y t = α x t + β E ( z t +1 | Ω t ) + η t

where yt, the dependent variable, is a function of another variable, xt, as well as the expected value at time t+1 of a third variable, z (conditional on the information set Ωt available at t) and a stochastic disturbance, η t. Assume also that zt is stochastically dependent on the values of z in the previous two periods, i.e. it follows a second-order autoregressive process: zt = φ 1zt −1 + φ 2 zt − 2 + ε t

where ε t is white noise, with E (ε t |Ω t−i ) = 0, 0 < i < t. The rational expectation of zt +1 is then: E ( zt + 1| Ωt ) = φ1zt + φ2 zt − 1

Substituting into , we have the true model of the economy if holds: yt = αxt + β( φ 1zt + φ 2 zt −1 ) + η t

The econometrician will actually estimate a function of the form: yt = α xt + γ 1zt + γ 2 zt −1 + η t

which is equivalent to the ‘true’ model of the economy. The policymaker takes an estimate of

and defines the optimal policy,

and this remains valid if implementing the policy does not change the form of equation . This may not be the case, especially if changes are made in the rules of government decisions. For example, imagine that the intermediate target of monetary policy is changed from the money supply to the interest rate. This may alter the nature of the autoregressive process that generates zt, which might be better represented in some other way. For example, assume that z represents the money supply. If the intermediate target of monetary policy is the money supply, we can show zt as being affected by the values of z in the previous two periods. If, however, the intermediate target is the interest rate, the money supply at time t can be represented better by a random walk

process, which is a specific autoregressive process of order one: zt = zt −1 + ε t

If this is the case, the description of the economy’s behavior given by is no longer accurate and, in order to obtain an appropriate policy, should be replaced by another relation, obtained by substituting into : yt = α xt + β z t + η t

However, the choice between and as the constraint on the optimization process leading to the policy decision (and therefore the selection of the intermediate target) obviously cannot be made if we do not already know the outcome of the decision, since the behavior of the economy changes in response to the government decision. We are thus faced with a situation where we do not know the right model. 4.3. Deep Parameters and Rational Expectations: A Solution? Acknowledging the Lucas critique, there are a number of ways to redefine the public decision process in a more satisfactory fashion, at least at the theoretical level. One way to circumvent Lucas’ critique is to consider the rational expectations and deep parameters, such as β in equation , which can ensure the stability of the relation. Deep parameters are those that appear in the functions describing consumer tastes and technology, which should not change in any systematic way as a result of changes in countercyclical policies. The above solution is however just a way to circumvent the main argument against the classical theory of economic policy, i.e. the existence of strategic interactions between the policymaker and other agents. In fact, it implies the explicit or implicit consideration of the strategic interaction between the government and the private sector: in fact, deep parameter and rational expectations can be introduced into the constraint faced by the

decision-maker

only

after

introducing

and

solving

a

private

sector’s

optimization problem (in particular, as we will see in the next chapter, this situation corresponds to a Stackelberg game). Another shortcoming of the fixed-deep parameters is about their drift. Lucas raised his critique when Keynesian macro-econometric models were highly regarded as tools for quantitative policy evaluation. Despite he stressed that the methods used in econometric forecasting contradicted the assumption that agents’ behavior rules were fixed, the coefficients in important forecasting equations were frequently adjusted. Lucas left the drift in coefficients unexplained. Neither the macroeconomic theory nor the rational expectations econometrics constructed after Lucas’ critique explain such drift. Although the econometric forecasting literature has taken coefficient drift increasingly seriously, it typically offers no economic explanation of parameter drift. It is a key piece of evidence that government’s beliefs about the economy and therefore its policy toward inflation have evolved over time. Drift can be explained by resorting to a strategic formulation of public decision-making in a more general manner by considering learning and model misspecification. 4.4. Overtaking the Critique The Lucas critique is undoubtedly well-founded and raises both practical and theoretical problems. At the practical level, the amount by which parameters change in response to the change in economic policies is important: if the change is small, designing policy on the basis of previously estimated values will be broadly reliable. Obviously, reliability also depends on the data set used to estimate the parameters: the larger the set and the more it encompasses situations in which different policies were in use, the less the parameters will vary and the greater the reliability of the model’s indication of

optimal policies will be. In the 1970s many macroeconomic relationships broke down as a consequence of major changes in the policy regime, since agents adjusted their behavior to the new environment. From a theoretical point of view, the Lucas critique underscores the presence of reciprocal interactions between the behavior of private agents and that of the government. In particular, the private sector plays an active rather than passive role, changing its behavior as expectations about government behavior change. The critique is a response to the fact that traditional approach to the economic policy does not admit this sort of interaction. Once we recognize the fact that the behavioral functions of private agents can themselves change in relation to public choices, we recognize that both government and private agents must consider the reciprocal effects of their decisions. Thus, we need to change the approach, moving from a parametric to a strategic context. The usual solution is to introduce rational expectation. However, the most natural way to tackle the problem is to make use of game theory, since it is specifically structured to model strategic interactions between agents and nests the rational expectations as particular case. The rest of this book is about this strategic view of the economic policy management. Questions raised by Lucas’ critique have a specific relevance for the evolution of agents’ conduct and market performance since the 1980s. The spread of economic knowledge, liberalization and international opening of markets, the rising importance of financial markets and the speed of changes in those markets all imply the formation and spread of forward-looking expectations. By their nature, these features mean that sudden changes are possible, following rules that are difficult to detect. There are at least two consequences relevant for economic policy: First, economic trends are more often the outcome of conventions and

‘fads’; in this situation only public policy can move the economy out of liquidity traps, unemployment, and, more generally, undesired equilibria. Public policy must, however, take account of the active nature of private agents’ conduct as well as the effects on the formation of their expectations. Hence, public action should not breed expectations that make it ineffective; on the contrary, it should create expectations that generate desirable conduct. These necessary features of public policy tend to limit the range of feasible policies. In summary, the evolution of economic systems, while making public intervention more necessary, also seems to impose certain restrictions on the range of effective policies. The importance of financial markets in these conclusions cannot be overstated. They are the main mechanism for channeling the influence of expectations and, then, the limits to the effectiveness of public policy. This is because expectations in financial markets change more rapidly than in other markets: since financial instruments are promises rather than physical objects, by their very nature they express evaluations of the future to a larger extent than physical assets, which, in any case, have a value in the present (see Gnesutta, 1999). At different points in the subsequent analysis we will underscore the interaction between public action and private agents' behavior through the influence of public action on private agents’ expectations.

6. A brief analytic survey of the issue of neutrality in policy games. In this section we intend to show how the literature on policy games has indicated the conditions for non-neutrality to hold. For reasons of conciseness we will deal only with some studies on monetary policy. 6.1 Barro and Gordon (1983). Perché è importante il modello di Barro – Gordon: 1^ ragione (metodologica) : Per vedere come si imposta un problema di politica economica in presenza di aspettative razionali, per tener conto della “critica” di Lucas.

2^ ragione (sostanziale): Per analizzare un caso molto noto, che è alla base di un’ampia letteratura, in cui la politica economica monetaria è neutrale e il tentativo di effettuare una politica espansiva si risolve in un bias inflazionistico. 3^ ragione (metodologica): Per rendersi conto del fatto che un problema di PE con AR, può essere impostato come un “policy game”, evitando così la “critica” di Lucas. 4^ ragione (metodologica): Per rendersi conto del fatto che, seguendo la letteratura successiva a BG sui “policy game” vengono fuori sia modelli con neutralità della PE che modelli non neutrali e questo ha dato modo di verificare che la neutralità o meno della PE, in realtà, dipende dall’antico problema del numero di strumenti con il numero di obiettivi, proprio della Teoria Classica della PE (ritorno alle origini!), consentendo quindi di riformularla in un contesto, quello dei policy game esente dalla critica di Lucas. Consideriamo la curva di offerta di Lucas: y = {y + b(π − π e ) (1) output naturale

Il livello di output è funzione delle aspettative. – Se le aspettative sono perfettamente realizzate (π = π e ) allora l’output sarà uguale a quello naturale ( y = y ) . – Se π < π e → y < y – Se π > π e → y > y (cioè la sorpresa inflazionistica fa ↑ l’output rispetto a quello naturale) Consideriamo il problema della BC. Impostando questo problema con un problema classico della p.e. dovremmo:

(2) min U = π 2 β + ( y − yBC )2 → funzione di perdita della BC s.t. (1) ossia y = y + b(π − π e )

→ vincolo dato dalla curva di offerta di Lucas

I due target values della BC sono: π = 0   y = yBC (Questo sarebbe il mondo migliore per la BC!) π

B (yBC , 0) O

y

y BC

y

In termini grafici il first best per la BC è indicato dalla figura precedente. Ogni altro punto comporta per la BC una perdita. Gli scostamenti sopra o sotto i target sono uguali → i costi sono in tal senso simmetrici e aumentano in modo più che proporzionale (forma quadratica) quanto più si allontanano dal bliss point. NB: Stiamo supponendo plausibile yBC > y per ragioni quali ad esempio la presenza di sindacati, monopoli, … Le funzioni di indifferenza saranno: – Se β = 1 delle circonferenze – Se β ≠ 1 delle ellissi

π

β>1

B

B y

O

β<1

π

O

y

→ se β > 1 il costo in termini di π è più importante del costo in termini di y. → se β < 1 il costo in termini di π è meno importante del costo in termini di output. con β misura del peso che la BC dà all’ π. β = grado di conservatorismo della BC Le curve di indifferenza hanno queste forme perché se la BC si sposta dal suo bliss point (B) i costi ↑ in modo più che proporzionale sia che si sposti verso destra o verso sinistra, verso l’alto o verso il basso. Prima di risolvere il problema di minimo vincolato, esaminiamo il vincolo. La curva di offerta di Lucas. (1) y = y + b(π − π e ) può essere scritta anche come: (1') π = −

y + y + π{ e 1 questo = (y − y) +π e {b non è questo b noto è un dato

alla BC

e rappresentata graficamente come un fascio di rette parallele, spostate verso l’alto all’aumentare di π e .

Se le aspettative non sono razionali, le soluzioni del problema di minimizzazione della perdita della BC sono infinite e sono date da tutti i possibili punti di tangenza fra le curve di isoperdita e le rette rappresentanti la (1’).

π

O

R

1 π = ( y− y)+π b

y

yBC

e

y

Abbiamo definito la politica monetaria, ora dobbiamo definire il livello di inflazione attesa. Varie alternative: 1. la BC potrebbe ipotizzare π e = k 2. potremmo pensare che il modo razionale con il quale il settore privato fissa le aspettative costituisca un ulteriore vincolo nella minimizzazione di L da parte della BC, ossia che questa minimizzi (2) s.t. (1), e, in aggiunta π = π e . 3. potremmo modellizzare l’azione del settore privato come abbiamo fatto per la BC. Vediamo le 3 possibili alternative. 1. Nel primo caso la soluzione non esiste, o non è stabile, perché il modello sarebbe soggetto alla critica di Lucas. 2. In questo caso per la BC ci sarebbe un vincolo ulteriore, oltre a quello

dato dalla (1), e tale vincolo sarebbe appunto π = π e (AR). NB: Una simile impostazione non è soggetta alla critica di Lucas: c’è l’interazione del settore pubblico e privato. La BC fissa π (strumento di politica monetaria), ma quando fissa π, πe è un dato (sono i privati che fissano πe). Diciamo che questo modello non è soggetto alla critica di Lucas perché πe, a sua volta, dipende da π (che ad es., in caso di politica monetaria espansiva sarà >). Vediamo che cosa implica. π πeI

R

πeII

A B

πeIII πeIV πeV

C

πeVI

D π4

E F G

O

y

y BC

y

– Queste sono tutte curve di offerta di Lucas le quali si diversificano per il valore di πe. Soltanto una di queste curva soddisfa l’hp di AR: π = π e . – Data la politica monetaria (data la curva di reazione della BC), se il settore privato sceglie πeIV allora la BC sceglie π4 e così via... Ho varie coppie di risultati! Data πe, la BC sceglie π che min la sua perdita.

Questo è proprio ciò che dicevano Tinbergen e Theil, ma è soggetto alla critica di Lucas: il settore privato sembra non reagire! Per superare questa critica devo vedere quale tra i punti A, B, C, D, E, F, G, soddisfa l’ipotesi di AR ( π = π e ) e, al tempo stesso, risolve il problema della BC. Tale punto è C perché ad esso corrisponde y = y (che si ha se π = π e ) e perchè, contemporaneamente, tale punto si trova lungo la RG (ossia è un punto di tangenza nel problema di minimo). In questo contesto, se deve valere contemporaneamente   allora vale y = y y = y + b(π − π ) 

π =πe

e

NB: Tinbergen e Theil sostenevano che bisognasse scegliere un punto sulla curva di offerta di Phillips.

π Curva di Phillips

O

y

In seguito alla critica di Lucas si comprende che le πe spostano la curva di Phillips, ma la BC non riesce ad incidere su y (se vuole un y > y otterrà semplicemente un π >).

π Curva di Phillips corretta per le aspettative / Curva di Lucas

O

y

y

3. Nel terzo caso possiamo costruire un policy game, ossia un gioco fra giocatori uno dei quali almeno è un soggetto pubblico, come segue – Funzione di perdita BC:

U = βπ 2 + ( y − yBC )2 { bliss point

e 2 – Funzione di perdita settore privato: P = (π − blissπ{point )

– Economia descritta dalla curva di offerta di Lucas: y = y + b(π − π e ) Nella funzione di perdita della BC (U), β =

a1 = sms tra i due obiettivi a2

Con riferimento alla funzione di perdita del settore privato, l’obiettivo del sindacato (settore privato) è π = πe → i privati governano le aspettative d’inflazione, ma scegliere il tasso πe è come scegliere il tasso di aumento del salario monetario (w). Supponiamo cioè per semplicità che non vi siano variazioni di produttività né del margine di profitto. Sarà allora π = w → si possono rappresentare le curva di Phillips in termini di variazioni di salario e di prezzo sullo stesso diagramma.

w, π

w

O

u1

uN

y

Se ci troviamo in u1, i lavoratori vogliono un aumento di salario pari a w1 se e perché si aspettano πe = 0. Questa aspettativa non è coerente con la realtà, perché con u = u1 e con w = w1 ci sarà un tasso π ad essi corrispondente. In realtà i salariati tenderanno ad imporre un aumento di salario pari a w1 aumentato per le aspettative di crescita dei prezzi, che per ipotesi in questo caso è π 1 = w1 . Otteniamo così la curva di Phillips aumentata per le aspettative d’inflazione. Calcoliamo le funzioni di reazione della BC e del settore privato. e 2 min { S = (π − π )

πe

FOC

∂S = −2(π − π e ) = 0 ∂π e → π = πe FUNZIONE DI REAZIONE DEL SETTORE PRIVATO: ottengo un

luogo di punti infiniti su tutto l’asse delle ordinate → l’asse delle ordinate è la funzione di reazione dei privati, cioè il luogo di tutti i comportamenti ottimali dei privati, dato il comportamento della BC.

 min U = βπ 2 + ( y − yBC )2 π  e  s.t. y = y + b(π − π )  min U = βπ 2 +  y + b(π − π e ) − y  2 BC    π  ∂u  FOC = 2πβ + 2b  y + b(π − π e ) − yBC  = 0  ∂π  2 2 e  2πβ + 2by + 2b π − 2b π − 2byBC = 0 π ( β + b 2 ) = b2π e + by − by BC 

π=

b(bπ e + yBC − y ) (β + b2 )

FUNZIONE DI REAZIONE DELLA BC: π dipende da πe

(comportamento del settore privato) che a sua volta determina la posizione della curva di Phillips aumentata per le aspettative.

π

equilibrio Nash equilibrio Stacklberg u-uN

bliss point BC bliss point sindacato

Curva di Phillips

Il punto di incontro tra le due funzioni di reazione ci dà l’equilibrio di Nash.

Sostituisco Rs (π = πe) anche nel vincolo dell’economia y = y + b(π − π e ) y=y L’equilibrio di Nash è caratterizzato da:

π=

b ( yBC − y ); y = y β e quindi non è un’equazione paretianamente efficiente (ad esso è infatti

associata inflation bias). L’equilibrio di Stackelberg con la BC come leader è superiore all’equilibrio di Nash. Per trovare l’equilibrio di Stackelberg devo minimizzare la funzione di perdita della BC sotto il vincolo dato dal funzionamento del sistema economico e dalla funzione di reazione del settore privato (che devo conoscere). Quindi:  min U = βπ 2 + ( y − yBC )2 (1)  π e (2)  s.t. y = y + b(π − π ) π = π e (3)  min U = βπ 2 + ( y − yBC )2 π

FOC

∂U = 2βπ = 0 → π = 0 ∂π sostituisco questo risultato in (2) e in (3)

y=y π = πe = 0 Dunque l’equilibrio di Stackelberg con la BC leader è caratterizzato da: y = y ; π = πe = 0 e quindi è paretianamente superiore all’equilibrio di Nash e all’equilibrio di Stackelberg con il settore privato come leader (nel caso di BC leader non c’è l’inflation bias).

Consideriamo il caso 2) in cui l’economia funziona secondo AD/AS π

AD

AS

O

y

m determina la posizione dell’AD w determina la posizione dell’AS m, w spostano le due curve! La BC sceglie la posizione dell’AD, ossia n = m – p (scegliendo m), mentre il sindacato sceglie la posizione dell’AS ossia, n = p – w (scegliendo w). – Giocatori (due): – BC – sindacato – Payoffs: U = βπ 2 + ( y − yBC )2  2  S = ( y − y ) Ricorda: (yBC, 0) era il payoff migliore per la BC La BC ha due obiettivi: π = 0;   y = yBC

il S ha 1 obiettivo : y = y

– Strategie

 BC : m ∈ ¡  +  S : w ∈ ¡

+

→ m è la variabile di controllo del governo → w è la variabile di controllo del sindacato

– Timing del gioco NB: Il timing non è legato al momento dell’azione, ma alle informazioni che i giocatori hanno circa l’azione dell’altro. (Quando i due giocatori non hanno info sull’azione dell’altro, quello che ottengo è l’equilibrio di Nash.) Il modello di Barro-Gordon ha un timing Stackelberg

BC m

w

Il sindacato muove per primo formulando un’aspettativa su m (me); dopo di che si decide la politica monetaria (la BC osserva il salario monetario). Se invece usiamo un timing Nash in questo sistema, quello che otteniamo non è più l’equazione di Barro-Gordon (anche se, tuttavia, le soluzioni Stackelberg e Nash coincidono)

m, w

Risolviamo l’equilibrio di Nash (insieme di strategie che, data la strategia dell’avversario max il payoff del giocatore in questione) in questo gioco. Nessun giocatore ha incentivo a cambiare la propria politica…

Per trovare l’equilibrio di Nash devo ricavare le funzioni di reazione dei due giocatori e devo vedere se si incontrano, cioè:  max { UC Funz. reaz. BC.  m  s.t. AD, AS

Se esiste una coppia (m*, w*) che soddisfa

queste

due

condizioni

questa

coppia

sarà

l’equilibrio di Nash.  max { S Funz. reaz. S  w  s.t. AD, AS

Otterremo aspettative autorealizzanti: w* → E(m) = m* m* → E(w) = w*

Il vincolo per la BC è la AS

π

AS IV AS III AS

RBC

Il vincolo per S è la AD

π

RS

II

AS I

O

y BC

y

O

y

AD

I

AD

II

y

AD III

La funzione di reazione del sindacato è verticale perché l’utilità del

sindacato è max quando y = y .

RS

RBC

π

Equilibrio di Nash

B O

y

yBC

y

L’output non varia in nessun caso. Ecco perché diciamo che nel modello di BG la politica monetaria è sempre neutrale. Più la BC diventa avversa all’inflazione (cioè, più la BC diventa conservatrice) più RBC si schiaccia facendo perno in B → un banchiere avverso all’inflazione, infatti, farà si che l’π ↓ (l’output non varia). Più la BC diventa populista (= meno conservatrice), tanto più RBC si alza facendo perno in B → un banchiere che non teme l’inflazione ne incoraggia ↑ (l’output non varia). E’ evidente che al variare del grado di conservatorismo della BC l’output non varia comunque → alla BC conviene allora essere conservatrice (e perseguire così il suo obiettivo di π = 0)! L’equilibrio di Nash è un equilibrio inefficiente ed è tanto più inefficiente quanto minore è il grado di conservatorismo della BC. Ad esso è infatti associato un elevato livello di inflazione (inflation bias) che ↑ al ↓ del grado di conservatorismo.

vedi es. n. 5 del file “Notes esercizi da lezione fulvimari” To sum up what we have just said a quite simple version of this model can be represented as follows: G=−

a1 a (n − ng ) 2 − 2 ( p − pg )2 2 2

1 S = (n − n p ) 2 2

n=( e)p

p

p

n

where U is the Government’s loss, depending on employment (n) and price (p) deviations from a target, S is a similar function for the private sector, and equation

describes the baseline structure of the economy. The

government controls inflation whereas the private sector controls inflation expectations. The trivial well-known Nash solution of the model is:

n = np a p=g2( ), p a1

g

n

n

p

The government’s policy is neutral with respect to employment. It is easy to verify that this holds if we consider a more complex economy where the government sets the quantity of money, m, instead of the price level, and the demand side is described by: n = m – p, whereas the private sector sets the nominal wage, w, rather than price expectations, and the supply side is given by: n = p−w

6.2 Conclusione del modello di Barro-Gordon (1983) – neutralità della politica monetaria; – inflation bias. Per quasi due decenni il modello di Barro-Gordon (BG) è stato il punto di riferimento della politica monetaria e il punto di partenza di tutte le discussioni riguardanti la BC. L’idea di questo modello è che il gioco tra BC e settore privato genera inflation bias. Nonostante la semplicità analitica le conclusioni del modello di BG hanno una rilevanza non solo teorica, ma anche empirica. – Dal 1983 fiorisce un’ampia letteratura volta a trovare regole di politica monetaria per fronteggiare l’inflation bias: – nominare un banchiere centrale indipendente e conservatore (che ovviamente goda di credibilità e buona reputazione), che assegni cioè un peso più elevato all’obiettivo inflazionistico → ROGOFF (1985): – incentivare contrattualmente il banchiere ad adottare la pol. ottima, cioè a comportarsi come se facesse commitment (con il commitment la BC si “lega le mani” impegnandosi a rispettare una regola ottima) → WALSH (1995); – adottare un regime di inflation targeting → SVENSSON (1997). NB: Questi consigli hanno influenzato l’orientamento delle autorità di politica monetaria nel riformare le istituzioni esistenti e nell’idearne di nuove (es. hanno influenzato molto la struttura dello SME). – Parallelamente ai discorsi sulla struttura dell’autorità monetaria si sviluppa un importante dibattito riguardante l’interazione tra settore privato e settore pubblico. Inoltre la letteratura da Gylfason e Lindbeck a Coricelli 82006) ha enfatizzato due ottiche contrastanti riguardanti la necessità e gli effetti di una BC conservatrice, sottolineando il ruolo giocato da wage setters non

atomistici, centralizzazione della contrattazione salariale e avversione del sindacato all’inflazione nel determinare la performance del sistema economico. Tra questi discorsi alternativi rispetto a quelli riguardanti la struttura dell’autorità monetaria, sempre comunque in tema di metodi per fronteggiare e ridurre l’inflation bias, inseriamo il modello di Gylfason e Lindbeck (1994). Gylfason-Lindbeck (GL) furono i primi a mostrare che l’avversione del sindacato all’inflazione può ↓ l’inflation bias rendendo la politica monetaria non neutrale e ↑ il livello dell’output. Si tratta di conclusioni di estrema importanza, prive tuttavia di rilevanza empirica, non solo per il ruolo limitato del sindacato in molti paesi, ma anche per il dubbio fondamento dell’ipotesi alla base di tale modello, vale a dire l’esistenza di un sindacato avverso all’inflazione. Dunque conclusione importante quella di GL (possibilità per entrambi i giocatori di influenzare output e inflazione se ognuno ha come obiettivo l’inflazione), ma ipotesi non troppo realistica (esistenza di un sindacato avverso all’inflazione). 6.3 Modello di Gylfason and Lindbeck (1994) Gylfason e Lindbeck (GL) hanno scritto un importante articolo nel 1994. BARRO GORDON U = β p 2 + ( y − y g )2  2  S = ( y − y p )

GYLFASON-LINDBECK

U = β p 2 + ( y − yg )2  b b b  S = 1 ( w − p − wp ) 2 + 2 ( y − y p )2 + 3 ( p − pp )2 { { { 2 2 2  bliss bliss bliss  point point point Tutto è in termini logaritmici! NB: w = salario nominale wp = salario reale desiderato dal settore privato G&L fanno un passo ulteriore rispetto a BG considerando la distorsione del settore privato come endogena. Guardando alla funzione di perdita del settore privato ci chiediamo per quale motivo il sindacato sia interessato a non essere eccessivamente inflazionistico (tra i suoi obiettivi ha anche quello di non avere l’inflazione sopra un certo livello di pp), quando ha già un obiettivo in termini di salario reale (wp). Probabilmente il sindacato è antinflazionistico per ragioni legate al valore delle liquidazioni, al valore in termini reali delle attività finanziarie… Vediamo più nel dettaglio il modello di GL. Funzione di perdita del governo: U = –(y – yg)2 – v (p – pg)2 Funzione di perdita del sindacato: S = – (w – p – wp)2 – u(y – yp)2 – q(p – pp)2 Descrizione dell’economia: AD: y = m – p → (#) y=

m−w 2 AS: y = – (w – p)

p=

m+w 2 (#)

y = m − p m+w → m − p = −w + p → m + w = 2 p → p =  2  y = −( w − p ) Sostituisco il valore di p nella AD: y = m−

m + w 2m − m − w m − w = = 2 2 2

→ Dunque la forma ridotta del modello AD-AS è: y=

m−w m+w ;p= 2 2 Per trovare l’equilibrio di Nash del modello di GL devo prima di tutto

ricavare le funzioni di reazione del governo e del sindacato (ricordando che la variabile di controllo del governo è m e la variabile di controllo del sindacato è w), dopo di che le devo mettere a sistema. Troverò dunque: m, w → strumenti ↓ metto a sistema i 2 valori e ricavo... y, p → obiettivi { valori di equilibrio di Nash

Proviamo a ricavare i valori di equilibrio di Nash ipotizzando per semplicità che i bliss point di governo e sindacato siano uguali Funzioni di perdita: 2 2 U = −( y − y*) − v( p − p*) (1)  2 2 2  S = −( w − p − wp ) − u ( y − y*) − q( p − p*) (2)

Forma ridotta modello AD-AS:

m−w   y = 2 (3)   p = m + w (4)  2 vedi esercizio n. 3 (nel file “Notes esercizio da lezione fulvimari) 6.4 Modello di Acocella Ciccarone (1997) Acocella e Ciccarone (AC) generalizzano il risultato di GL. Il proposito del loro lavoro, infatti, è quello di dimostrare che GL altro non è che un caso particolare di uno più generale → La non neutralità della politica monetaria non deriva dal fatto che il sindacato condivide con la BC proprio l’obiettivo di stabilità dei prezzi, ma più in generale dal fatto che condividono obiettivi (non necessariamente quello legato all’inflazione). L’impostazione del modello è leggermente modificata rispetto a quella di GL. In particolare, AC: – introducono un ulteriore giocatore, il governo → i giocatori diventano tre: BC, sindacato e governo; – introducono un ulteriore obiettivo (diverso dall’inflazione), il livello del debito pubblico, condiviso tra sindacato e BC; – leggera modifica del modello dell’economia; in particolare hanno variato la funzione di utilità del sindacato perché anziché considerare una funzione quadratica nel salario (come negli altri obiettivi) hanno considerato una funzione lineare del salario. FUNZIONE DI PERDITA DEL SINDACATO (lineare nel salario): S = – (W – p) – U(y – yp)2 – q(b – bp)2 FUNZIONE DI PERDITA DELLA BC: U = – (y – yc) 2 – V(p – pc)2 – r(b – bc)2

FUNZIONE DI PERDITA DEL GOVERNO (influisce sull’offerta attraverso la spesa per sussidi → y = (p – w) + ng: G =– (y – yg)2 – z(p – pg)2 → Se q ≠ 0: politica monetaria non neutrale → stessa conclusione di GL, ma più generica: stiamo infatti dicendo che il sindacato condivide con la BC un qualsiasi obiettivo (in questo caso abbiamo considerato l’obiettivo debito pubblico) allora la politica monetaria è non neutrale! – Altra novità di questo modello riguarda il timing del gioco. Fino ad ora abbiamo parlato di equilibrio di Nash, ma se ci sono 3 giocatori come in questo caso, è difficile che tutti e tre giochino Nash. Ci potrebbe essere: → Equilibrio di Stackelberg e ciò richiederebbe un super leader (in ordine (di leader) realisticamente avremmo: – sindacato – governo – BC ma, se la BC fa commitment allora essa è super leader) → Equilibrio misto Nash-Stackelberg 6.5 Gli sviluppi dell’avversione all’inflazione (a) Ritorniamo all’avversione all’inflazione. E’ giustificato introdurre sindacati con avversione diretta all’inflazione? Acocella e Ciccarone (1997) criticano l’ipotesi da vari punti di vista. Soskice and Iversen (2000) ritengono che si tratti di un’ipotesi ad hoc per ottenere la non neutralità della politica monetaria. Tuttavia l’avversione all’inflazione può risultare indirettamente e in modo abbastanza naturale in molti modi. Ad es.: 1) può risultare attraverso giochi cooperativi tra un sindacato e un policymaker interessato all’inflazione;

2) può risultare dall’esistenza di un cuneo tra il salario rilevante per il lavoratore e quello rilevante per l’impresa (wage-wedge) → La funzione di preferenza del sindacato viene allora a dipendere sia dall’output che, indirettamente, dal livello dei prezzi. 3) Acocella, Di Bartolomeo, Tirelli (2008) hanno microfondato l’avversione all’inflazione. In entrambi i casi la politica monetaria risulta non neutrale. Ci sono diversi modi per introdurre il cuneo salariale, e quindi l’inflazione, nella funzione di preferenza del sindacato. Ad es.: – tassazione

(introduzione

della

tassazione

determina infatti

una

divergenza tra il salario rilevante per il lavoratore e quello rilevante per l’impresa, ma, al tempo stesso, richiede un modello di rappresentazione dell’economia più complicato): –

contesto

con

molteplici

unions

che

interagiscono

in

mercati

monopolistici. (anche in questo caso il salario reale rilevante per il sindacato non corrisponde a quello rilevante per l’impresa che negozia il salario monetario on il sindacato poiché il primo è calcolato tenendo conto dell’indice medio dei prezzi, mentre il secondo è calcolato tenendo in considerazione soltanto i prezzi di produzione); – economia aperta (il salario rilevante per il sindacato è calcolato sulla base del CPI* ed è diverso dal salario rilevante per l’impresa che è pari al salario monetario deflazionato dall’indice dei prezzi di produzione nazionali) (*tiene conto anche dei prezzi esteri). (b) – CORICELLI, CUKIERMAN e DALMAZZO (CCD) (2004 e 2006): Dopo 4 anni di lavoro pubblicano due articoli molto importanti. Essi

considerano un modello con un numero infinito di sindacati e imprese e una situazione di concorrenza imperfetta sia sul mercato del lavoro che dei beni (→ non c’è un agente rappresentativo perché siamo in concorrenza imperfetta). Il sindacato non ha obiettivi inflazionistici! Ipotesi: – concorrenza monopolistica fra sindacati – concorrenza monopolistica fra imprese Da queste premesse CCD deducono la non neutralità della politica monetaria. (c) Monopolistic competition and wage setters More recent contributions in the policy game literature stress an apparently new channel of monetary non-neutrality. Soskice and Iversen (1998, 2000), Coricelli et al. (2004) and Cukierman and Lippi (2001) showed that if there is a multiplicity of unions and product markets are monopolistically competitive, a Barro-Gordon framework delivers policy non-neutrality, even if unions are not (directly) averse to inflation. We can describe a model of the above kind in a simple way. In the economy n unions and a central bank are active. The central bank seeks to maximize the following quadratic objective function: B=−

β 2 1 2 p − u , 2 2

where p is the price level and u is the unemployment rate. Each union seeks

to

maximize

a

linear-quadratic

preference

function

with

the

membership’s log real wage, wi − p , and the unemployment rate, ui , as arguments:

1 Si = b1 ( wi − p) − ui2 , 2

i ∈ { 1, 2,...n} ,

The economy consists of three equations: ui =

p=α 1()

η 1 ( wi − p ) − ( m − p) α +η ( 1− α ) α +η ( 1− α ) w

1 u= ( ) 1−α

m w

p

where wi is the wage set by the union i; η > 1 is the degree of monopolistic competition and α ∈ ( 0,1) is the labor coefficient of the productions

w wj function; w=σi(1) is the average wage. The general level of prices is defined according 1

to the Dixit-Stigliz’s tradition as p = ∫ pij dj . 0

By solving the model, the Nash equilibrium is: p=

( 1 − ασ ) ( η − α ( η − 1) ) ( α − φ + αφ ) b1 ≥ 0 ( η − ασ ( η − 1) ) ( 1 + φ )

u=

( 1 − ασ ) ( η − α ( η − 1) ) b1 > 0 . η − ασ ( η − 1)

α ( 1− ) 1 where φ= 2 . In order to evaluate possible non-neutrality, notice that φ is the 1 ( 1− α ) only parameter containing central bank’s preference. By solving the model, the Stackelberg equilibrium (with the unions as leaders) is: p=

( 1 − ( α − φ + αφ ) σ ) ( α − φ + αφ ) ( α + ( 1 − α ) η ) b { η ( 1 − σ ( α − φ + αφ ) ) + ασ ( 1 + φ ) } ( 1 + φ )

1

≥0

u=

( 1 − ( α − φ + αφ ) σ ) ( α + ( 1 − α ) η ) b η ( 1 − ( α − φ + αφ ) σ ) + ασ ( 1 + φ )

1

>0.

Under the assumption of imperfect competition, η ≠ ∞ , the model implies neutrality in the Nash equilibrium and non-neutrality in the Stackelberg one (discretion) as equations and confirm. As a result, if β and b1 are different from zero, neutrality does not emerge unless

α +η ( 1−α ) η

= 0 . In fact, for η → +∞

1 (perfect competition), equation becomes U i = − ui 2 and the standard results 2 arise. Other checks similar to those used above can be easily made by varying parameter values. 6.6 The wage-wedge in a small open economy Still an apparently different way to obtain non-neutrality of monetary policy is that resulting in a small open economy (see Acocella and Di Bartolomeo, 2004). Together with the supply equation , we now consider the following simple logarithmic demand, instead of equation : n = m − p − ( µ − 1) ( p − e − p* ) where e and p* are the exogenously given nominal exchange rate and the foreign price level respectively,

( µ − 1)

is the real exchange rate elasticity of

output. For the sake of brevity, without loss of generality, we assume e and p* equal to zero. In this economy, the policymaker sets the nominal money supply and the union sets the nominal wage. The Government loss is derived from equation :

U =−

β 2 1 p − ( n − ng )2 2 2

where β = a1 a2 and pg = 0 . The union loss is a generalization of equation : S = α1 ( w − cpi ) −

α2 1 ϑ ( w − cpi − ω p ) 2 − ( n − n p )2 − p2 2 2 2

* p i the consumer h p h price p where c=1() is index and h is the weight of foreign goods

in the consumption basket of wage-earners. Here the relevant real wage for firms could differ from the real wage relevant for the union. The real wage relevant for firms, w − p , is expressed in terms of producer prices while the one relevant for the union, w − cpi , is in terms of the consumer price index. The Nash equilibrium level of output and the Nash equilibrium price level are: n=

p=

βµ nP − β ( µ + h ) ( α 2ω P + α 1 ) + h ( µ + h ) α 2 + ϑ  n G

( β + h ) ( µ + h ) α 2 + ( βµ + ϑ )

( µ + h ) ( α1 + α 2ωP ) − µ nP + ( µ + h) α2 + µ nG ( β + h ) ( µ + h ) α2 + ( βµ + ϑ )

By assuming that the union is the game leader and solving the game by backward induction, Stackelberg outcomes are: n=

p=

β 2 nP − β ( β + h ) ( α 2ω P + α 1 ) +  h ( β + h ) α 2 + ϑ  n G

( β + h)

2

α2 + ( β 2 + ϑ )

( β + h ) ( α1 + α 2ωP ) − β yP + ( β + h ) α 2 + β  y G . 2 ( β + h) α2 + ( β 2 + ϑ )

If α 2 , ϑ are zero and β ≠ 0 , then in the Nash equilibrium monetary policy is neutral with respect to employment whereas it is not neutral in the Stackelberg equilibrium.

vedi esercizio 4 (nel file “Notes esercizio da lezione fulvimari”) These are the same results as those obtained by Soskice and Iversen (1998, 2000), Coricelli et al. (2004) and Cukierman and Lippi (2001). The structure of the model, in fact, is in the end very similar, as each union in a multi-union model is in a situation very much like that of the monopolistic union in an open economy: being interested in the real wage, it cares about the nominal wage and the consumer price index, but the latter is in some way related to the (home) price level through the model of the economy. Thus, by taking account of the model, one can say that the necessary condition for non-neutrality is that the union and the government directly or indirectly (through the model) share a target. Direct inclusion of inflation in the union’s preference function is not a necessary condition for non-neutrality to hold, as the union’s interest in inflation can enter indirectly via the introduction of a wage-wedge or the existence of a multiplicity of unions and firms (or, but we do not want to pursue this issue here, co-operative playing). In addition, in the cases of either a direct or an indirect union interest in inflation, the information setting and the form (not only the arguments) of the union’s preference function are relevant for non-neutrality to hold. In fact the said necessary condition needs one of the two following qualifications to become a sufficient condition for non-neutrality to hold: 1) the marginal rate of substitution between output and prices in the ‘inflation-augmented preference function’ should depend on prices; or 2) the union should be able to precommit to its wage policy. This conclusion of the debate on conditions for policy neutrality closed with an apparently good result. However, the conclusion rested on some

implicit assumptions related to the nature of the models from which it was derived: as these models were usually characterized by a small number of targets (at most two or three) for each player, sharing one (at most two) such target(s) was likely to be a condition valid only under the specific features of the models considered. In addition, as the conclusion referred mainly to target sharing, with a minor role attributed to the model, also from this point of view it hid a deeper analysis of the conditions for policy neutrality. For these reasons the conclusion introduced a kind of rule of thumb. There was a suggestion to relate it to the counting rule of the classical theory of economic policy (Acocella and Di Bartolomeo, 2004: section 4), but this was not pursued in a formal way. Then the problem arises of formally deriving general conditions for the effectiveness of policy instruments in a policy game in terms similar to those stated in the classical theory of economic policy. Going back to this theory, our approach will link together the problem of effectiveness with the issue of equilibrium existence in static LQ games. In fact, we will find necessary and sufficient matrix-rank conditions for the existence of the game equilibrium, which, as is well-known, may fail to exist in an LQ context. 6.7 Le condizioni di neutralità prima della generalizzazione della regola di Tinbergen in un contesto strategico – ACOCELLA e DI BARTOLOMEO (2004): Studiano un caso in apparenza diverso, ma in realtà identico a quello di CCD e arrivano alle stesse conclusioni: non neutralità della politica monetaria. Inoltre, essi delineano le condizioni necessarie e sufficienti per la non neutralità della politica monetaria. Vediamo… NON NEUTRALITA’ E COSTI E BENEFICI DELLE POLITICHE SALARIALI DEL SINDACATO.

La presenza di un sindacato avverso all’inflazione (ipotesi GL) può implicare la non neutralità della politica monetaria dal momento che aggiunge un secondo obiettivo a quello del salario reale o dell’output (i due obiettivi ricordiamo essere tra loro l.d.), La diretta inclusione dell’inflazione nella funzione di preferenza del sindacato non è tuttavia una condizione necessaria per la non neutralità dal momento che l’interesse del sindacato nei confronti dell’inflazione può anche entrare indirettamente nella funzione di preferenza del sindacato stesso attraverso l’introduzione di un cuneo salariale (o attraverso

l’introduzione

di

giochi

cooperativi

tra

un

sindacato

e

un

policymaker interessato all’inflazione). → Cerchiamo di delineare le condizioni necessarie e sufficienti per la non neutralità In questo semplice schema teorico… … la condizione necessaria per la non neutralità è che il sindacato includa nella sua funzione di preferenza gli effetti sui prezzi. Ciò significa che la funzione di preferenza del sindacato dipende non solo dall’output, ma anche dai prezzi dopo aver tenuto conto della domanda di lavoro. … FUNZIONE DI PREFERENZA AUMENTATA PER L’INFLAZIONE Questa condizione necessaria richiede un’ulteriore qualificazione per diventare condizione sufficiente; 1) sms tra y e p nella funzione di preferenza aumentata per l’inflazione deve dipendere da p: 2) il sindacato deve essere in grado di legarsi (e non deviare) alla sua politica salariale → pre-commitment E’ necessario uno solo di questi due requisiti! La necessità di una funzione di preferenza del sindacato aumentata per l’inflazione come requisito per la non neutralità è semplicemente una

generalizzazione dell’ipotesi di GL derivata dalla considerazione che non solo l’inclusione diretta dell’inflazione nella funzione di preferenza del sindacato, ma anche la sua inclusione indiretta porti al medesimo risultato. In questo modello gli obiettivi rilevanti sono l’inflazione e reddito reale, variabili tra cui non esiste un trade off costruito a priori. Il trade off nasce solo se i giocatori vogliono perseguire obiettivi diversi nello stesso istante di tempo. – Se il sindacato è neutrale (direttamente o indirettamente) rispetto all’inflazione il gioco continuerà fino a che il cm del policymaker di ↑ l’offerta di moneta (in termini di prezzi più alti) uguaglierà il suo beneficio marginale (in termini di output più alto) → il risultato del gioco sarà la neutralità della politica monetaria: il policymaker, infatti, non può influenzare il salario reale e l’output, ma solo l’inflazione). – Se il sindacato tiene in considerazione l’inflazione allora tutti e due i giocatori fronteggiano il tarde off inflazione-reddito. Il risultato di questo gioco sarà ovviamente quello di non neutralità della politica monetaria. Tuttavia, per assicurare questo risultato, come detto è necessario un altro requisito tra: 1) sms tra y e p deve dipendere dai prezzi; 2) il sindacato deve essere in grado di legarsi alla sua politica salariale. Vediamo cosa succede se è valido (a turno) uno dei due requisiti… 1) Se il sms tra y e p dipende dai prezzi allora il trade off dei 2 giocatori tra y e inflazione dipende da prezzi. Consideriamo il caso in cui p più alti con un livello di y dato, ↓ l’utilità del sindacato. Ogni tentativo del sindacato di raggiungere livelli di y più bassi (salario reale più alto) aumentando il salario monetario, sarà contrastato dall’impatto negativo sui prezzi → il costo della politica salariale dipende dal livello dei prezzi → politica monetaria non neutrale! NB: Nel caso in cui il sindacato è neutrale rispetto all’inflazione il sms non

dipende dai prezzi semplicemente perché esso non può essere definito. Se invece il sindacato tiene in considerazione l’inflazione tale sms può essere definito, ma se esso non dip dai prezzi è opportuno concludere che la politica monetaria è neutrale. 2) Se il sindacato è in grado di legarsi alla sua politica salariale, la dipendenza del sms del sindacato dai p non è più un requisito necessario per la non neutralità. quando il sindacato ha il vantaggio della prima mossa (ha informazione maggiore) allora esso considererà la sua informazione aggiuntiva al fine di eguagliare il costo marginale della sua politica salariale al suo beneficio marginale. Sia per il requisito 1) che per il requisito 2) ciò che è importante è la possibilità per la politica monetaria di interessare la scelta del sindacato influenzando il costo marginale o il beneficio marginale della sua politica salariale. Infatti il sindacato nel fissare la sua politica ottima confronta sempre il suo costo marginale con il suo beneficio marginale. In conclusione ciò che è veramente rilevante per la non neutralità è la dipendenza del costo marginale e del beneficio marginale del sindacato dall’offerta di moneta quando esso fissa la sua politica ottima. Questa dipendenza può derivare direttamente dagli effetti del prezzo sul sms, o indirettamente dal vantaggio in termini di informazione legato a giochi in cui il sindacato è in grado di legarsi alla sua politica. NON NEUTRALITA’ E REGOLA DI TINBERGEN Nei discorsi fatti abbiamo considerato la neutralità al modo di Tinbergen, vale a dire in termini della relazione tra il numero di strumenti e il numero di obiettivi. Ripensiamo alla funzione di preferenza del sindacato nel modello di GL. Se il sindacato non è interessato all’inflazione, sia il sindacato che il governo

hanno apparentemente due obiettivi indipendenti e uno strumento. Tuttavia guardando meglio ci si rende conto che i due obiettivi del sindacato non sono indipendenti → il sindacato ha un obiettivo effettivo e uno strumento → neutralità della politica monetaria. Al contrario, quando gli obiettivi di ciascun giocatore sono davvero indipendenti, il che avviene quando il sindacato oltre all’obiettivo di salario reale e output ha anche quello di inflazione, allora i giocatori sono costretti a condividere i loro obiettivi → politica monetaria non neutrale (la neutralità può emergere solo come caso speciale). 6.8 Quadro riassuntivo dei modelli visti NEUTRALITA’ NON NEUTRALITA’ BG (1983): G → 2 obiettivi; 1 strumento P → 1 obiettivo; 1 strumento GL (1994) + AC(1997): G → 2 obiettivi; 1 strumento P → 2 obiettivi espliciti (1 comune con G); 1 strumento ADB (2004) G → 2 obiettivi; 1 strumento P → 1 obiettivo esplicito + 1 obiettivo implicito lineare; 1 strumento (casi A1, A2, B1) ADB (2004)

G → 2 obiettivi; 1 strumento P → 1 obiettivo esplicito + 1 obiettivo implicito reso in termini quadratici; 1 strumento (caso B2) ADB (2004) G → 2 obiettivi; 1 strumento P → 1 obiettivo esplicito + 1 obiettivo implicito reso indirettamente tramite la funzione reazione del governo; 1 strumento (caso A2 in termini di eq. di Stackelberg con sindacato leader) CCD (04, 06): concorrenza monopolistica + concorrenza imperfetta 7. The theory of economic policy in a strategic context: statics LA

TEORIA

DELLA

POLITICA

ECONOMICA

IN

UN

CONTESTO

STRATEGICO: STATICO La teoria classica, che era stata abbandonata con la critica di Lucas, torna in auge con l’approccio di teoria dei giochi (che consiste nella modellizzazione diretta del comportamento dei giocatori ottenuta considerando problemi di ottimizzazione separati, ma non indipendenti), approccio questo molto importante anche a livello di “model building”. Per semplicità considereremo soltanto due giocatori (governo e settore privato). Inoltre, quando parleremo di politica neutrale ci riferiremo sempre alla politica del governo (→ chiaramente se volessimo fare un’analisi più generica potremmo guardare anche alla neutralità delle politica del settore pubblico). L’estensione del TTA ad un contesto strategico richiede vari requisiti:

a) possiamo considerare la possibilità che i due giocatori condividano alcuni obiettivi, mentre altri sono propri di ciascun giocatore; b) consideriamo un sistema algebrico più generico di (Ay = Bu + k) → questo sistema dovrebbe infatti essere ampliato andando a considerare anche quelle variabili che il settore privato non condivide con il governo. c) è utile suddividere il processo di ottimizzazione in due distinti processi di ottimizzazione alla TT (uno ∀ giocatore). d) deve essere specificato il tipo di relazione esistente tra i due giocatori, vale a dire il tipo di equilibrio che si raggiunge. 4 i passi da seguire…

1. Distinguiamo tre vettori di variabili obiettivo: a) vettore di variabili obiettivo del solo governo: y u ∈ ¡

g

b) vettore di variabili obiettivo di entrambi i giocatori: y s ∈ ¡

2

c) vettore di variabili obiettivo del solo settore privato: y w ∈ ¡ NB: y (yu, ys); g + l = m Per quanto riguarda gli strumenti distinguiamo: a) vettore di strumenti controllati dal governo: u ∈ ¡

n

b) vettore di strumenti controllati dal settore privato: w ∈ ¡ p .

2. Riscriviamo il sistema Ay%= Bz%+ k , come: k u   y u   Duu   Dwu          (1) A  y s  −  Dus  u −  Dws  w =  k s  → Ax − Du u − Dw w = k k w   y w   Duw   Dww         

v

vediamo bene come è scritto il modello (in termini estesi):  a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1g yg + ... + a1,g + l y g + l + ... + a1,g + l + v y g + l + v = a11z 1 + ... + b1n z n + ... + b1,n + p x n + p + k 1  1 4 4 2 4 43 1 4 4 2 4 43 1 4 44 2 4 4 43   1 4 4 44 2 4 4 4 43 1 44 2 4 43 strumenti. del governo ( n ) ob. del governo ( g ) ob. comuni (l ) ob. dei privati ( v) strumenti. dei privati ( p )   M  sono   a y + a y + ... + a y + ... + a y + ... + a y = a z + ... + b z + ... + b x + k 2 2 + l + v g + l+ v g , n+ p n + p  1g 41 4 4g 4 2 4 4 4 gg43g 1 44 g2, g +4l 4g3+ l 1 4 g4, g2 4 4 3 1g14 14 2 4 4gn3 n 1 4 44 2 4 4 43g   ob. del governo ( g ) ob. comuni (l ) ob. dei privati (v) strumenti. del governo ( n) strumenti. dei privati ( p )     M  a y + ... + a y + ... + a + l , g + l y g + l + ... + a g + l , g + l + v y g + l + v = a g + l ,1z 1 + ... + b g +l , n zn + ... + bg + l , n + p ... sono l  1g +4l ,1 41 4 2 4 4g + l4, g 3g 1 44g 2 4 43 1 4 44 2 4 4 43  ob. del governo ( g ) ob. comuni ( l ) ob. dei privati ( v)    M    am + v,1 y1 + ... + am + v, g y g + ... + a m + v , g + l y g + l + ... + a m + v , g + l + v y g + l + v = a m + v ,1z 1 + ... + bm + v , n z n .... sono v 1 4 44 2 4 4 43  1 4 4 44 2 4 4 4 43 1 4 4 2 4 43  ob. del governo ( g ) ob. comuni ( l ) ob. dei privati ( v)  

   g    sono m( g + l = m)     

Dal modello k u   y u   Duu   Dwu          A  y s  =  Dus  u +  Dws  w +  k s  → Ax = Du u + Dw w + k k w   y w   Duw   Dww          estraiamo, con semplici manipolazioni, le prime m equazioni (cu + cw = m) e otterremo il seguente sistema:  Du   Du   yu   Du  k u  (2)  s   s  =  us  u +  ws  w +  s  → Ay = Bu + k D   y   Du  k { w 1D44 { { 2 4 43 A

y

B

k

ancora, dal modello k u   y u   Duu   Dwu          A  y s  =  Dus  u +  Dws  w +  k s  → Ax = Du u − Dw w + k k w   y w   Duw   Dww          estraiamo, con semplici manipolazioni, le ultime v equazioni (cu + cw …) e otterremo il seguente sistema:  Dws   D s   y s   Dus  k u  (3)  w   w  =  w  u +  w  w +  s  D   y   Du  { k   Dw  { A%

z

NB: è evidente che i sistemi (2) e (3) sono stati ricavati da (1) estraendo dalla matrice A 2 sottomatrici: – A∈ ¡

m×m

– A%∈ ¡

( l + v )×( l + v )

u s s w Assumiamo inoltre che  Du M Du  ' e  Dw M Dw  ' siano matrici di rango

pieno. ciò significa che nel problema di ciascun giocatore gli obiettivi sono indipendenti dagli strumenti. −1 −1 −1 → Dato (1) Ax = Du u − Dw w + k ricavo (4) x = A Du u + A Dw w + A k forma ridotta

3. Al fine di esprimere l’approccio di teoria dei giochi in termini simili al TTA è conveniente suddividere la (4) in due distinti sistemi …  Duu   Dwu  k u  → Dalla (2) Ay =  s  u +  s  w +  s  ricavo k   Du   Dw   Du   Du  k u  (5) y = A−1  us  u + A−1  ws  w + A−1  s  → y = Cu + Ew + F forma ridotta Du  Dw  k 14 2 43 14 2 43 14 2 43 C

E

F

Questo è il vincolo del governo (vale a dire dati gli strumenti del settore privato) nel risolvere il problema di ottimizzazione nel TTA.  Dus   Dws  k u  % (3) Az = u + w + → Dalla  w  w  s  ricavo k   Du   Dw  s s s −1  Dw  −1  Du  −1  k  % % % % + Eu + F% (6) z = A  w  w + A  w  w + A   → z = Cw forma ridotta D D kw w 14 2 43 14 2 43 14 2 4u3 C%

E%

F%

Questo è il vincolo del settore privato (vale a dire considerando dati gli strumenti del governo) nel risolvere il problema di ottimizzazione nel TTA Processo di ottimizzazione del governo:

 min U = ( y − y ) ' Q( y − y )  u u   u  u −1 Du −1 Dw −1  k   s.t. y = A  s  u + A  s  w + A  s  k   Du   Dw   con – y = ( y u , y s ) , vettore degli obiettivi del governo – Q: matrice simmetrica semi definita positiva e diagonale per semplicità. Ottengo la funzione di reazione del governo. Processo di ottimizzazione del settore privato:  min W = ( z − z ) ' N ( z − z )  w s   s  s −1 Dw −1 Du −1  k  % % % s . t . z = A w + A u + A   w  w  w k   Dw   Du   con – z = ( z s , z w ) , vettore degli obiettivi del settore privato – N: matrice simmetrica semi definita positiva e diagonale per semplicità. Ottengo la funzione di reazione del settore privato Il sistema  Du   Du  k u  (5) y = A−1  us  u + A−1  ws  w + A−1  s  k   Du   Dw  è controllabile (nell’accezione di controllabilità di TT) se il numero degli strumenti del governo è uguale al numero dei suoi obiettivi. Il sistema s s  Ds  −1  Du  −1  k  % (6) z = A%−1  ww  w + A% u + A  w  w k   Dw   Du 

è controllabile (nell’accezione di controllabilità di TT) se il numero degli strumenti del settore privato è uguale al numero dei suoi obiettivi

4. Vediamo ora tre tipi di possibili interazioni tra i due giocatori, vale a dire tre tipi diversi di equilibri ottenibili risolvendo i seguenti processi di ottimizzazione rispetto ad u e rispetto a w… NB: tutte e tre queste definizioni di equilibrio descrivono il Nash equilibrium. Infatti, nel gioco Stackelberg abbiamo equilibrio di Nash nei sottogiochi! Questo perché ci sono solo 2 giocatori. Nash equilibrium (non cooperative): corrisponde

ad

una

situazione

nella

quale

i

giocatori

giocano

simultaneamente e quindi ognuno di loro deve formare aspettative sulla politica dell’avversario.  min U = ( y − y ) ' Q( y − y )   u  → funzione di reazione del governo   s.t. y = Cu + Ew + F  N @ W = ( z − z ) ' N ( z − z )   min w  → funzione del settore privato  % % % s . t . z = Cw + Eu + F      Quindi, l’equilibrio di Nash si ottiene mettendo a sistema le funzioni di reazione dei due giocatori. NB: Essendo l’equilibrio di Nash tipico di un gioco simultaneo, affinché tale equilibrio valga, avremo che se un giocatore riesce a controllare tutti i suoi obiettivi, allora l’altro non può controllare le variabili relative agli obiettivi comuni! Commitment equilibrium: corrisponde ad un equilibrio di Stackelberg con governo leader. In questo caso il governo forma aspettative sul comportamento del settore privato, può impegnarsi a rispettare una certa politica che non dipende in alcun modo dal

comportamento dell’avversario. U = ( y − y ) ' Q( y − y ) → funzione di perdita del governo  min  u  min W = ( z − z ) ' N ( z − z )  C @ s.t.  w  → funzione di reazione del settore privato % % % s . t . z = Cw + Eu + F     y = Cu + Ew + F → vincolo del governo  Discretionary equilibrium: corrisponde ad un equilibrio di Stackelberg con settore privato leader. In questo caso il governo, essendo follower, non può impegnarsi in una certa politica mentre il settore privato forma aspettative sul suo comportamento. W = (z − z ) ' N (z − z ) → funzione di perdita del settore privato min  w  min U = ( y − y ) ' Q( y − y )  D @ s.t.  u  → funzione di reazione del governo    s.t. y = Cu + Ew + F  % + Eu % + F% z = Cw → vincolo settore privato  Ricapitolando, in contesto strategico il problema di decisione è stato ricondotto a due processi di ottimizzazione TT, i quali possono essere studiati con gli strumenti propri dell’approccio tradizionale della politica economica.

Neutralità della politica La questione dell’esistenza dell’equilibrio è strettamente correlata ai concetti di controllabilità e neutralità. Esistenza della politica del governo. L’equilibrio del gioco nello spazio degli obiettivi ∃ se l’intersezione degli insiemi controllabili dei due giocatori è vuota o i due giocatori condividono gli stessi bliss points per le variabili contenute in tali insiemi.

Neutralità della politica del governo: La politica del governo è neutrale rispetto a tutte quelle variabili obiettivo (del governo) contenute nell’insieme degli obiettivi controllabili dal settore privato. Praticamente si agisce nel seguente modo: 1) si prende un gioco di politica economica; 2) si individuano gli obiettivi di ciascun governatore; 3) si ricava la forma ridotta del modello nei termini di (5) e (6); 4) si controllano i ranghi di C e C%. 3 casi: ) mi dicono che C e C% sono di rango pieno, ed esistono a) se ρ (C) e ρ (C% obiettivi comuni, con bliss points diversi, allora  l’equilibrio (curve di reazione parallele) NB: se fossi nell’ambito della teoria classica della politica economica direi che c’è controllabilità forte, ma essendo in contesto strategico, ed avendo i 2 giocatori obiettivi comuni con bliss points diversi, concludo che  l’equilibrio. (Se tutti e due i giocatori hanno controllo pieno e i bliss points sono diversi  l’equilibrio! – Chi raggiungerebbe il suo bliss point? Dovrebbero raggiungerlo entrambi ma i bliss point di ognuno sono diversi) ) mi dicono che C e C%sono di rango pieno, ed esistono b) Se ρ (C) e ρ (C% obiettivi comuni, con bliss points uguali, allora ∃ l’equilibrio. ) è pieno e | C |= 0 ), il primo c) Se ρ (C) è pieno e | C%|= 0 (ovvero ρ (C% giocatore (ovvero il secondo) controlla il sistema e le politiche del secondo giocatore (ovvero del primo) non possono che essere neutrali per gli obiettivi comuni con bliss points diversi. noi non abbiano la pretesa di risolvere tutti i modelli, ma grazie a quanto visto (seguendo i quattro punti qui sopra!) siamo in gradi conoscere due

caratteristiche basilari del modello: esistenza dell’equilibrio, neutralità della politica. Le condizioni astratte per la neutralità della politica economica e per l’esistenza dell’equilibrio ci hanno portato a rivalutare la teoria classica della politica economica, la quale abbiano verificato essere valida anche in un contesto di policy games.

Dimostriamo a): se C e C% sono di rango pieno ed ∃ obiettivi comuni con bliss points diversi, allora  l’equilibrio. L’equilibrio di Nash si calcola solitamente attraverso l’inversione della matrice dei coefficienti delle funzioni di reazione dei giocatori, ma può anche essere

ottenuto

direttamente

nello

spazio

degli

obiettivi

risolvendo

simultaneamente il sistema dato dalle FOC:  ∂U  ∂u = 2C ' Q( y − y ) = 0   ∂W = 2C%' N ( z − z ) = 0  ∂w Per ipotesi assumiamo che C e C%siano di rango pieno → assumendo che i due giocatori possano perfettamente controllare i loro sottosistemi deduciamo che le matrici C’Q e C%' N sono quadrate e quindi y = y e z = z . Questo risultato è coerente soltanto con il caso in cui esista una soluzione non conflittuale, vale a dire con il caso in cui i due giocatori condividono lo stesso bliss point ( y s = z s ) o con il caso in cui  obiettivi comuni. Al contrario, se i due giocatori hanno pieno controllo (sempre nell’accezione TT) dei loro sottosistemi, ma hanno bliss points diversi per il loro obiettivo comune, allora il

sistema dato dalle due FOC risulterà sovradeterminato. Dunque, se il settore privato ha pieno controllo del suo sottosistema, esso potrà raggiungere tutti i suoi obiettivi, compresi i valori delle variabili condivise → la politica del governo sarà allora neutrale rispetto alle variabili obiettivo condivise. Se, invece, anche il governo controlla il suo sottosistema allora l’intersezione degli insiemi comprendenti rispettivamente le variabili obiettivo controllate dal settore privato e le variabili obiettivo controllate dal governo non sarà vuota e non potrà quindi esistere l’equilibrio. 7.2. Policy neutrality In

the

above

decoupled

representation

of

the

policy

game,

a

straightforward condition for neutrality can be defined as follows. Provided that equilibrium exists, the Government’s policy is neutral with respect to the targets shared with the Agent, if the system formed by the last cw + cs equations of (1) is TT-controllable by the Agent. Although

it

is

intuitive,

the

above

condition

nests

an

apparent

contradiction, since the Agent’s TT-controllability does not exclude that also the Government can TT-control its sub-system. As we will show, the contradiction is however only apparent. In fact, were this the case, the equilibrium would not exist. The issue of equilibrium existence is indeed crucially related to that of controllability and neutrality, as the following theorem more formally states. Theorem 3 (Government’s policy existence and neutrality). (i) The equilibrium of the game in the target space exists if the intersection of the players’ controllable sets is empty or the players share the same target values for the variables therein contained. (ii) The Government’s policy is neutral for all the Government’s target variables contained in the Agent’s controllable

target set. Indicating formal necessary and sufficient conditions for the existence of Nash equilibrium is not a negligible task. However, our LQ-context simplifies the discussion. Here, the existence problem is related to the solution of a linear-equation system and, therefore, can be reduced to some rank conditions. A proof of the above theorem in the target-variable space follows (See Appendix D of Acocella, N. and G. Di Bartolomeo (2005) for a formal proof in the usual control space). Proof. Nash equilibrium is usually computed by the inversion of the coefficient matrix of players’ reaction functions, but it can also be derived directly in the target-variable space (dual problem) by simultaneously solving the system of the following first order conditions: ∂U = 2C ′Q ( y − y ) = 0 ∈ ¡ ∂u

n

∂W ′N ( z − z ) = 0 ∈ ¡ = 2C% ∂w

p

Since

both

rank ( C ) = min ( n, g + l )

matrices and

C

( )

and

C% are

rank C% = min ( p, l + v ) .

full

rank

by

assumption,

Moreover,

we

can

restrict

ourselves to the most relevant cases: n ≤ g + l and p ≤ l + v . By assuming that both players can perfectly control their sub-systems, matrices C ′Q and C% ′N are square (of order n = g + l and p = l + v , respectively) and thus y = y and z = z follow. This result is consistent only in the trivial cases of either inexistence of shared targets or y s = z s , i.e. a non-conflict solution exists. In other words, if both players TT-control their sub-systems, the system formed by equations

and

would be over-determined, as n + p = g + v + 2l

independent equations would be used to find g + v + l independent unknowns.

Once the first part of the theorem is acquired, the proof of the second part is rather intuitive. If the Agent is able to TT-control its sub-system, it can reach all its targets, including the shared target variables. Hence, Government policy is neutral with respect to the shared target variables, as claimed. If also the Government controlled its sub-system the intersection of the Government and Agent controllable target sets would be not empty, the equilibrium would not exists. Thus the theorem is verified.  Proof extension (Stackelberg equilibria). The above inconsistencies can emerge for Stackelberg equilibria as well. In fact, if one player is able to control one or many target variables, his optimal policy is independent of the kind of policy-game solution considered.  The reason why an issue of existence can emerge in our context may also be usefully discussed in terms of the conditions required by a well-known Nash equilibrium theorem of existence with bounded strategies (i.e. instrument costs). In one-shot games, a Nash equilibrium always exists if i) the space of strategies of each player is convex and compact; ii) the payoff function of each player is a definite, bounded, and continuous function for each strategic combination; iii) the player i’s payoff function is concave with respect to each player i’s strategy for all possible strategic combinations and for all the players. In our case condition i) is not met since the players’ controls are unbounded. Hence the equilibrium non-existence discussed above is a possible outcome. In policy games, quadratic costs for instrumental variables are often introduced in order to achieve solution existence. In this case instruments become bounded and the Nash equilibrium always exists. Formally, the introduction of quadratic instrument costs in our context would imply that the dimensions of matrices Q and N become g + l + n and v + l + p , respectively. Thus, the instruments’ number would be less than the targets’ and the system

would not be TT-controllable by any player. The above results can be intuitively summarized and generalized to Zplayers as follows. Theorem 4 (equilibrium existence and neutrality generalized). (i) The equilibrium of a policy game between Z player exists (in the target space) if the intersection of their controllable target sets is empty or if the variables contained in the set are associated with the same quantitative target for all the players which control them. (ii) Player z’s policy is neutral for all its targets contained in the intersection set of the other players’ controllable target sets. 8. The theory of economic policy in a strategic context: dynamics 8.1. The Basic Setup We consider the problem where n players try to minimize their individual quadratic criterion. Each player controls a different set of inputs to a single system, which is described by the following difference equation:

x(+ ∑ i t 1 ) ∈i

A( xt)

B u() t

N

where N is the set of the players, x ∈ ¡ system; ui ∈ ¡ and A ∈ ¡

M ×M

m(i )

M

, is the vector of the states of the

is the (control variable) vector that player i can manipulate;

and Bi ∈ ¡

M ×m ( i )

are full-rank matrices describing the system

parameters which (for simplicity) are constant. The criterion player i ∈ N aims to minimize is +∞

J i ( u1 , u2 ,..., un ) = ∑ ( xi (t ) − xi ) ′ Qi ( xi (t ) − xi ) t =0

where xi ∈ ¡ system of is:

M ( i)

is a vector of target values. For player i , the relevant sub-

xi (t + 1) = Ai xi (t ) + ∑ Bij u j (t ) j∈N

where Ai ∈ ¡

M ( i) ×M ( i)

M(×)( i ) m i and Bi∈¡ j are appropriate sub-matrices of A and Bi . We

assume that all matrices are of full rank, and that M ( i ) ≥ m(i) . The economic interpretation of these assumptions is straightforward. The Nash Feedback Equilibrium can now be defined as follows. Definition

(Nash

u * ( t ) = ( u1* ( t ) , u2* ( t ) ,..., u*i ( t ) ..., u*n ( t ) )

Feedback is

J i ( u * ( t ) ) ≥ J i ( u1* ( t ) , u2* ( t ) ,..., ui ( t ) ..., un* ( t ) )

a

Equilibrium):

Nash

Feedback

A

vector

Equilibrium

if

for any ui ( t ) and for any player i, where

ui ( t ) is a feedback strategy given the information at period t. Operationally, a feedback strategy means that a contingent rule (dependent on the system’s state vector) is provided for each player, and that the rules themselves can be obtained from the backward recursions of dynamic programming (Holly and Hughes Hallett, 1989: 176-179). 8.2. The Golden Rule and the Equilibrium Properties In order to apply the traditional theory of economic policy to study the properties of Nash Feedback Equilibrium, we first recall the traditional Tinbergen idea of static controllability: Definition (Golden Rule): A policymaker satisfies the Golden Rule of economic policy if the number of its independent instruments (at least) equals the number of its independent targets. Second, we need to redefine policy ineffectiveness, since its classical definition cannot be maintained in the realm of multi-player policy games

where policies become endogenous variables. Instead, the following definition of ineffectiveness can be applied. Definition (ineffectiveness): A policy is ineffective if the equilibrium values of the targets are never affected by changes in the parameters of its criterion function. Controllability, in the terms of the Golden Rule of economic policy, ineffectiveness and the Nash Feedback Equilibrium existence are related through the following two theorems. Theorem 1 (ineffectiveness): Provided that an equilibrium exists, if one player satisfies the Golden Rule, all the other players’ policies are ineffective with respect to the target variables shared with that player. Proof. We start by assuming that the policymakers’ value functions are quadratic, Vi ( x ) = ( xi (t ) − xi ) ′ Pi ( xi (t ) − xi ) , where Pi are negative definite symmetric matrices so that there are no redundant targets (and for the sake of simplicity, time indexes are omitted). By using the transition law to eliminate the next period state, the n Bellman equations become:    ′ xi − xi ) ′ Qi ( xi − xi ) +  Ai x + ∑ Bij uj ( xi − xi ) Pi ( xi − xi ) = max (  ui j∈N  

′   Pi  Ai x + ∑ Bij uj j∈N  

    

A Nash Feedback Equilibrium must satisfy the first-order conditions: 

 Bij u j  j∈N / i 

′ ( Bii′ PB i ii ) ui = − Bii Pi  Ai ( xi − xi ) + ∑ 

which yields the following policy rule: −1 ' ' −1 ' ui = −( Bii' PB i ii ) Bii Pi Ai ( xi − xi ) − ( Bii PB i ii ) Bii P

∑ Bu

j∈N / i

ij

j

Now, to demonstrate Theorem 1, we focus (without loss of generality) on

M1 × M 1 player 1. If player 1 satisfies the Golden Rule, then m(1) = M ( 1) and B1∈¡() 1is square

and nonsingular. Equation then becomes: n

u1 = − B11−1 A1 ( x1 − x1 ) − B11−1 ∑ B1 j u j j =2

since Pi is also nonsingular. That implies:

x1 (t + 1) = x1 for all t ∈ [ 0, +∞ ] Thus, if a Nash Feedback Equilibrium exists, the value of the target vector x1 is time invariant and only depends on the preferences of player 1, since in that case condition will hold for all periods t ∈ [ 0, +∞] . This completes the proof of Theorem 1.  Theorem 2 (non-existence): The Nash Feedback Equilibrium of the policy game described does not exist if two or more players satisfy the Golden Rule and at least two of them share one or more target variables. Proof. To prove Theorem 2 we only need to show that if also another player (e.g. player 2) satisfies his/her Golden Rule, the equilibrium does not exist. Assume a solution exists and that this solution implies the following * * . * u ., * t. u Then, u given u*3(),n, . u., 1* t ( t ) *and u t u2* ( t ) must satisfy the optimal policy vector u=(,1 n) at2 , time

following system (obtained from ):  B11′ P1 B11  B′ P B  11 1 21

′ P2 B12   u1  B22  B′ P = −  11 1    ′ P2 B22  u2  B22  ∅

 A1 ( x1 − x1 ) + ∑ B1 j u *j  ∅   j∈N /1   * B22′ P2  A2 ( x2 − x2 ) + ∑ B2 j u j   j∈N / 2  

Notice that the first-partitioned matrix of is always square; and that if both players satisfy their Golden Rule, then all the matrices therein are also square. Now assume that both players share the same target variables, i.e.

x1 = x2 . In this case, we have A1 = A2 and Bij = Bij for i ∈ { 1, 2}

and

j ∈ N . The first-partitioned matrix of

therefore has a zero

determinant ( B11 = B21 and B12 = B22 ) and cannot be inverted. Hence, a couple

( u ,u ) * 1

* 2

satisfying does not exist and, therefore, u * cannot be the solution, as

claimed by the theorem. Conversely, consider now target space instead of instrument space. If the first two players both satisfy the Golden Rule, it is easy to show that by substituting the first order condition for u2 from (5) into (7) for u1, the first order conditions for both players cannot both be satisfied unless they both share the same target values, i.e. unless the following holds:

A(1−)0 or2 x x1 x = x 2 . Next, consider the case where the first two players do not share all their targets. When the system can be controlled, this case can be solved by decomposing the problem of each player into two mutually interdependent problems: (A) to minimize the quadratic deviations of the shared targets from their shared target values using an equal number of (arbitrary selected) instruments from u1, assuming that non-shared target values can be reached; (B) to minimize the quadratic deviations of the non-shared targets from their target values with respect to the remaining instruments, assuming that the shared targets are satisfied (and equal to their target values because of the Golden Rule). Given (10), the impossibility of a solution now emerges from the first-order conditions for the first of the two problems (A). Hence, as claimed, if at least two players control their sub-systems and share at least one target variable, the Nash Feedback Equilibrium cannot exist. 

Comment

1: Theorem 1 gives a sufficient condition for policy

effectiveness. But this does not assure the existence of an equilibrium, which may fail to occur. By contrast, Theorem 2 gives a necessary condition for an equilibrium to exist since it states a sufficient condition for the opposite. However, it may not be sufficient for existence. Note also that if Theorem 1 is satisfied, Theorem 2 is not (and vice versa). Comment 2: The importance of these results for economic policy is exemplified by Theorem 2. It says that if two independent policy authorities, say fiscal policy makers and the central bank, decide to pursue different inflation targets, then the Nash equilibrium may not exist and the economy may not be able to reach an equilibrium when both policy makers try to optimize their policies. The conditions for this to happen are not particularly stringent. In other words, except for certain sparse economies discussed below, target independence may be unhelpful – not because fiscal and monetary policies

cannot

be

coordinated

properly,

but

because

the

underlying

equilibrium cannot be reached if both policy makers try to optimize their policy choices independently. 8.3. A Generalization: Sparse Economic Systems We now relax Theorems 1 and 2 in a way which may prove important in economic models, but which is less often observed in physical systems. Most economic models display sparseness. That is to say, when written in structural form, they typically relate each endogenous variable to just one or two other endogenous variables; and a small number of lagged endogenous variables, control variables, or predetermined variables. In that case, the structural model from which is derived can be written as x(t + 1) = Cx(t + 1) + Dx (t ) + ∑ Fu i i (t ) i∈N

where C, D and Fi are sparse matrices (predominantly zero matrices, with just a few nonzero elements per row). For the sake of simplicity we assume that all the players share all the target variables (as discussed in the previous section, this assumption can be easily relaxed). In that case, the index on matrices A can be removed, together with the second index on the B matrices. In this situation, has

A=( ) and Bi=( ) I −1

−1

C I

D C

where ( I − C )

−1

i

F

exists by virtue of the normalization in , irrespective of the

definitions of C, D and Fi . But A and Bi are now no longer of full rank. However, we can pre-multiply by a permutation matrix T; and insert T −1T (where T −1 = T ′ , a property of permutation matrices) into the first two terms on the right of . This allows us to separate those target variables which are affected directly by dynamic adjustments over time, from those which are not. We get the reordered system:

%x(+%∑i t1 ) ∈i

A( tx%)

B u() t

N

 A 0 −1 −1 (t ) = Tx(t ) , A%=( ′) and A%=  11 I TC %B=i( ′) .T But TI D T this T C T formulation T F T where x%  i then implies  A21 0  where A11 is a square full rank matrix of order ℓ, A21 ∈ ¡

(M−ℓ)× ℓ

, and where ℓ is the

number of target variables in the system that are directly subject to dynamic adjustments (i.e. the rank of C). Hence M−ℓ target variables are not directly

(t ) . subject to dynamic adjustments. They appear in the second sub-vector of x% Now we can rework Theorem 2. We get: Theorem

3

(ineffectiveness

and

non-neutrality

in

sparse

economies). If the targets of one (and only one) player which are directly subject to dynamic adjustments also satisfy the Golden Rule among themselves, then the policies of all other players will be ineffective with respect to their dynamic targets. Conversely, no Nash Feedback Equilibrium exists in this policy game if two or more players satisfy the Golden Rule for their dynamic targets – unless they happen to share target values for those variables. But the Nash equilibrium may still exist if the Golden Rule is satisfied and the target values for the non-dynamic targets differ across players; and the policies of the other players will still be effective for those targets even if one (or some) player satisfies the Golden Rule. Proof. Recall that, until now, if players 1 and 2 satisfy the Golden Rule, their reaction functions implyA(1−)0. In ax sparse economic system, the equivalent 2x −1 condition is A%( x1 − x2 ) = 0 (note that B% still exists if it is square, and the Golden 1

Rule applies to player 1). We now write x11 as the first ℓ elements of x1 (corresponding to the first ℓ elements, or dynamic targets, in x%) and x21 as the remaining M−ℓ elements of x 1 . Similarly, we define x12 and x22 to be the associated sub-vectors of x2 . These partitions conform to that in A%.

Our

theorem now follows from the fact that both A11 ( x11 − x12 ) = 0 and A21 ( x11 − x12 ) = 0 , and hence x 11 = x 12 (since A11 and A21 differ in dimension and A11 is of full rank), will be needed to satisfy the replacement for (10) in this case: namely, A%( x1 − x2 ) = 0 . However x21 − x22 ≠ 0 is consistent with A%( x1 − x2 ) = 0 . That completes the proof.  8.4. An Example

We turn now to some simple examples to illustrate the usefulness of these results in practice. Consider an economy that can be described by the following well-known model: (66)

yt = ρ yt −1 + α (π t − π te ) − β (it − πte ) + εt

(67)

it = c0 + c1 (π t − π ∗ ) + c2 yt

(68) π te − π te−1 = d (π t −1 − π te−1 )

with 0< d < 1.

Equation (66) is an elaboration of the standard workhorse model which has been part of the theory of monetary policy since the Barro-Gordon model was introduced in 1983. It consists of a short run Phillips curve with persistence ( ρ ≠ 0 ), set within a standard Lucas supply function (long run Phillips curve) and elaborated to include the effects of interest rate changes on output. It could therefore be interpreted as either a dynamic open economy Phillips curve; or a new Keynesian IS curve with dynamics. In that context, yt is the deviation of output from its natural rate (the output gap); πt is the rate of inflation, and π te the expected rate of inflation in the private sector; it is the nominal rate of interest ( it − π te , the corresponding real rate of interest); and ε t a supply shock with mean zero and constant variance. The chief policy instrument (control variable) in this example will be it . Equation (67) is therefore a Taylor rule: c0 is a constant term, reflecting control errors or the equilibrium rate of interest; π ∗ is the target inflation rate, and determinacy (the Taylor principle) suggests c1 > 1. Finally, (68) says that expectations are formed by the adaptive principle (we improve on that below); and all parameters, in all three equations, are defined to be positive. This

e model has lags in all three endogenous variables: yt , π t and π t .

To obtain the reduced form of (66)-(68), corresponding to (54), we renormalize (67) on πt . This then yields, corresponding to (64), (69)

 1 c c −1  2 1  0

−α α − β   yt   ρ   1 0   π t  =  0 0 1   π te   0

0 0   yt −1   − β   εt    −1   ∗ −1  0 0   π t −1  +  c1  it +  π − c1  0 d 1 − d   π te−1   0  

  .  

From here we can determine the value of A for this model, using (65). It is  ρ  −1 −1 (70) A = ∆  − ρ c2c1   0

− d (α − β ) d (α − β )c2 c1−1 d ( 1 + c2 c1−1α )

−(1 − d )(α − β )   (1 − d )(α − β )c2 c1−1  ( 1 + c2 c1−1α ) ( 1 − d ) 

where ∆ = 1 + α c2 c1−1 , the determinant of the Jacobian matrix in (69), is nonzero as long as α c2 + c1 ≠ 0 , a condition which always holds. But (70) cannot be re-organized to deliver zeros in the right hand column (the condition that allows one target to be decoupled). Hence, if there are multiple policy makers in this model, they would have to set identical target values for the output gap, the inflation rate, and the inflation expectations that they want the markets to have, if there is to be an equilibrium for the policy game; and if those targets are to be controllable. Moreover there could be competing policy makers, with the central bank using nominal interest rates to control inflation but another authority (the government) setting the long term inflation target π ∗ ; or where fiscal policy makers try to moderate the effects of monetary policy by means of tax breaks or suitable budgetary policies; or where policy makers try to influence inflation expectations by setting intermediate targets, or by talking the exchange rate up or down (this would require an extra “constant” term in (68) and hence the third equation of (69)). These are all situations that are

common in practice. The Bank of England is an example of the first case; the US, or Italy and France in the Euro is an example of the second; and Turkey or many high inflation countries of the third. Next we consider a variant on this example. Suppose, because of data revisions, policy makers recognize that it is difficult to measure the current output gap accurately, and use a more reliable past measure yt −1 in equation (67) instead. Suppose also that the private sector, perhaps for similar reasons, find that imperfect expectations introduce too much volatility into the system, and find it cheaper to use simple lagged expectations instead: π te = d π t −1 . The model now has no lags in π te . Solving through (64) and (65), we now get

(71)

 ρ  A%= ∆ −1  −c2 c1−1 ρ   0

−d (α − β ) d (α − β )c2 c1−1 d ( 1 + c2c1−1α )

0  0 .  0 

This allows our potential policy makers to disagree on the (intermediate) inflation targets they announce to the markets (π te ) , but still have controllable target variables and a reachable Nash equilibrium. This happens because there is now a delay before some of the target variables are affected by the policy instruments. So they can set policies to reach some agreed targets first, allowing differences to persist elsewhere, and then use them again to reach the other target values later. A stronger version of this result is obtained if the contemporaneous output gap is restored to the Taylor rule (67), but expectations are rational. That means (68) is replaced by

(73) π te = π t − vt where vt is a random expectations error with mean zero. This is the form of the model that most theorists would favor. It implies that we now have no lags in either πt or π te , and that (74)

 1 −1 −1  % A = ∆ Γ  −c2 c1−1  c2 c1−1

0 0 0 0  0 0 

−1 −1 where Γ = ( ∆ + c2 c1 ( α − β ) ) ρ . Evidently, in this model, the policy makers e could have different target values for both π t and π t and still reach a Nash

equilibrium outcome for their target variables. Once again, different policy makers (in government and the central bank) could have target independence (and hence different inflation targets) and still expect to reach an equilibrium position. But it could nevertheless prove to be a dream since if expectations are not rational (because it is too expensive to gather the necessary information accurately), or if it is difficult to measure the current output gap reliably, then they will not be able to reach this idealized equilibrium – or indeed any other solution which allows both to optimize their policies.