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Teoría de Control Curso 2001

Transformada de Laplace - Conceptos Básicos 

Definición: Sea f (t) una función de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se

define como:



L { f (t) } = F(s) = ∫0



e-st f(t)dt

Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces: L { f1(t)  f2(t) } = F1(s)  F2(s) 2. Multiplicación por una constante Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces: L { kf(t)} = kF(s) 3. Diferenciación Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es: L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0) t0

En general, para las derivadas de orden superior de f(t): L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

4. Teorema del Valor Inicial Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces: Lím f(t) = Lím s F(s) t0

s

si el límite existe.

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



Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales: f(t)

L {f(t)} = F(s)

1

K

k/s

2

t

1/s2

3

tn

n!/sn+1

4

eat

1/ s-a

5

sen at

a/ s2 + a2

6

cos at

s/ s2 + a2

7

senh at

a/ s2 - a2

8

cosh at

s/ s2 - a2

Ejercicio Resuelto:

Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla: f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 Aplico Transformada de Laplace: L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 }

(1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se puede expresar como: L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3 } + L { 8 } (2) Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades: L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s2 + 25 ) + 3/4*( 3! / s4 ) + 8/s por lo tanto: F(s) = 3/s+4 + s / 2*( s2 + 25) + 9/2 t - 4 + 8/s

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Transformada Inversa de Laplace - Conceptos Básicos 

Definición:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s)} = f(t) 

Método para hallar la Antitransformada de Laplace: Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se

explicará el Método de las Fracciones Parciales. Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.



Ejercicio resuelto : Hallar L-1 { (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)}

Como se ve, es de la forma L-1 { P(s)/ Q(s)}, donde P(s) = 3s + 7 y Q(s) = s2 - 2s - 3; se puede observar también que el grado de Q(s) > P(s). El polinomio Q(s) se puede expresar como s2 - 2s - 3 = (s+1)(s-3). Entonces: 3s + 7

3s + 7

A

B

s2 - 2s - 3

(s - 3)(s + 1)

s-3

s+1

(1)

Multiplicando por (s - 3)(s + 1) se obtiene: 3s + 7 = A (s + 1) + B (s - 3) = (A + B)s + A - 3B

(2)

Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuación resultante (2), hallo los valores de los coeficientes A y B: A+B=3 A - 3B = 7

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Calculando, resulta A = 4 y B = -1. Reemplazando en (1) : 3s + 7

A

B

(s - 3)(s + 1)

s-3

s+1

4

1

s-3

s+1

(3)

Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace y se reemplazan los términos: L -1

3s + 7

L -1

(s - 3)(s + 1)

4

L -1

s-3 4 L -1

1

1 s+1

L -1

s-3

1 s+1

f (t) = 4 e 3t - e - t

4

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Aplicación de la Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver una ecuación diferencial de segundo orden: d2y/dt2 +  dy/dt +  y = F(t)

o sea

y'' +  y' +  y = F(t)

(1) donde  y  son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera

y(0) = A e y'(0) = B (2).

Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuación algebraica para determinar L { y(t)} = Y(s). La solución requerida se obtiene al calcular la antitransformada de Laplace de Y(s).



Ejercicio resuelto : Resolver y'' + y = t , con y(0) = 1 , y'(0) = -2. Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, y

utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene: L { y''} + L { y } = L { t } s2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s2 s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s2 Entonces: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s2 + (s - 2) Despejando Y(s): Y(s) = [1/s2 + (s - 2)] / [s2 + 1] Y(s) = 1/s2 - 1/s2 + 1 + s/s2 + 1 - 2/ s2 + 1 Y(s) = 1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1 Aplicando Antitransformada a cada término: L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1} Se obtiene de la tabla:

y(t) = t + cos t - 3 sen t

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