Isometri 2

ISOMETRI PENGERTIAN ISOMETRI Definisi : Misalkan T suatu transformasi, transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik P dan Q anggota dari bidang Euclid v berlaku bahwa P’Q’= PQ dimana P’= T(P) dan Q’= T(Q) Contoh : misalkan diketahui garis g pada bidang v. anda pandang transformasi T yang ditetapkan sebagai berikut a. Jika P ∈ g maka T(P) = P b. Jika P ∉ g maka T(P) = P’ sehingga g sumbu dari PP ' . Apakah transformasi T ini suatu isometri atau bukan? Jawab: Sesuai dengan definisi, ambil dua titik sebarang P dan Q anggota dari v .misalkan T(P)=P’ dan T(Q) = Q’.Maka diperoleh: 1. g sumbu dari PP ' , apabila kita misalkan g ∩PP ' = { N } , maka PN = NP’ 2. g sumbu dari QQ ' , apabila kita misalkan g ∩QQ ' = {M } ,maka QM = MQ’ sekarang perhatikan gambar, hubungkan masing-masing P dan Q, P’ dan Q’, P dan M serta P’ dan M g Q`

Q

M

N

P`

P

Gambar 2.1

kemudian pandang ∆PNM dengan ∆P' NM Karena PN = NP’ . ∠PNM ≅ ∠P ' NM (siku-siku) dan NM = NM , maka ∆PNM ≅ ∆P ' NM . Akibatnya : 1. PM = P’M 2. ∠PMN ≅ ∠P ' MN Sekarang pandang ∆PQM dengan ∆P' Q ' M PM = P’M…………………………………………(1) ∠NMQ ≅ ∠NMQ ' (Siku-siku) ∠ PMN ≅∠ P ' MN ∠ PMQ =∠ NMQ −∠ PMN ∠ P ' M ' Q ' =∠ NMQ '−P ' MN

= ∠NMQ −∠PMN 1

Akibatnya : ∠PMQ ≅∠P ' M ' Q '......... .......... .......( 2) QM = Q’M……………………………………....(3) Dari (1), (2), dan (3) disimpulkan ∆PQM ≅ P' QM Akibatnya PQ = P’Q’ Karena P dan Q diambil sebarang titik pada v, maka dapat disimpulkan bahwa untuk setiap pasang titik P dan Q pada v berlaku P’Q’= PQ. Sehingga transformasi T yang ditetapkan diatas memenuhi definisi Jadi dapat disimpulkan transformasi T merupakan suatu isometric Contoh lain: Asumsi bahwa sebuah system koordinat membangun suatu bidang datar .dan pemetaan T T ( P ) = P`

didefinisikan untuk suatu titik P(x,y) oleh : = ( x,−y ) Maka dapat ditunjukan bahwa T suatu transformasi menunjukan T suatu isometri, ambil sepasang titik A ( a1 , a 2 ) dan B ( b1 , b2 ) bayangannya masing-masing A` ( a1 ,−a 2 ) dan B` ( b1 ,−b2 ) kemudian buktikan bahwa A`B`=AB y  A(a1,a2) B(b1,b2) 

B’(b1,-b2)

 

A’(a1,-a2)

Dengan rumus jarak diperoleh : A`B`=

( a1 − b1 ) 2 + ( − a2 − ( − b2 ) ) 2

=

( a1 − b1 ) 2 + ( b2 − a2 ) 2

=

( a1 − b1 ) 2 + ( a2 − b2 ) 2

= AB

Karena itu T adalah isometri. SIFAT-SIFAT ISOMETRI Setiap isometri mempunyai sifat. Seperti yang tertuang dalam teorema berikut TEOREMA Setiap isometri bersifat : a) Memetakan garis menjadi garis b) Mengawetkan ukuran sudut c) Mengawetkan kesejajaran Bukti : teorema diatas bagian a Ambil isometri sebarang T dan garis g akan ditunjukan bahwa T(g) berupa sebuah garis.perhatikan gambar, ambil dua titik sebarang A dan B pada garis g. misalkan T(A)=A’ dan T(B)=B’ dan garis lurus yang menghubungkan A, dan B’, namakanlah sebagai h

2

T B

B’ Y

X

A

A’ T(g)

g

h

Gambar 2.2

Kemudian ditetapkan T(g) = {YIY = T ( X ), X ∈ g } , akibatnya A’, B’ ∈T (g ) . Untuk mencapai tujuan bahwa T(g) berupa garis lurus maka harus ditunjukan T(g)=h, artinya harus ditunjukan a) T ( g ) ⊂ h dan b) h ⊂ T (g ) a) Untuk T ( g ) ⊂ h Ambil sebarang titik Y ∈T (g ) , hal ini berakibat tiga kasus, yaitu Y ∈T (g ) Terletak antara A’ dan B’ atau (A’YB’), Y ∈T (g ) diluar daerah antara A’ dan B’, tetapi dibagian A’(B’A’Y) atau Y ∈T (g ) diluar daerah antara A’ dan B’ atau (A’B’Y). Ambil kasus pertama, yaitu Y ∈T (g ) dan (A’YB’) maka ada X ∈ g dan X antara A dan B atau (AXB). Karena A, X dan B kolinear, maka berlaku: AX + XB = AB ………………….(1) Karena A’ = T(A), B’=T(B) dan Y=T(X) dan T suatu isometri maka A’Y=AX,YB’=XB dan A’B’=AB…………..(2) Apabila 920 disubtitusikan pada (1), didapat hubungan, A’Y+YB’=A’B’………….(3) Akibat dari (3) A’,Y, dan B’ Kolinear. Artinya Y ∈ h . Karena untuk sebarang Y ∈T (g ) ternyata Y ∈ h , dapat disimpulkan bahwa T ( g ) ⊂ h . Untuk kasus kedua (A’B’Y) dan kasus ketiga (A’B’Y) dapat anda buktikan sendiri. b) Untuk h ⊂ T (g ) Ambil sebarang C’ ∈ h ,seperti pada a) akan terdapat tiga kasus, yaitu C’antara A’ dan B’ atau (A’C’B’), C’ diluar daerah antara A’ dan B’ dipihak A’ atau (B’A’C’), atau C’ di luar daerah antara A’ dan B’ dipihak B’ atau (A’B’C’).tetapi karena setiap kasus pada pembuktiannya serupa maka hanya ditunjukan untuk kasus (A’C’B’).karena C’ ∈ h dan h ∈ v , maka C’ ∈ v . karena T suatu transformasi dan C’ ∈ v , maka ada C ∈ v sehingga C’ = T(C). Selanjutnya kita andaikan bahwa C ∉ g . Perhatiakan gambar Karena C ∉ g diperoleh hubungan AC + CB ≠ AB ,…………….(1)

3

T B

B’

C’

C

A

A’ T(g)

g

h

Gambar 2.3

Tetapi karena C’=T(C), A’=T(A), dan B’=T(B) dan T suatu isometri maka didapat A’C’=AC, C’B’= CB, dan A’B’=AB. Apabila ini disubtitusi pada (1) diperoleh hubungan A' C '+C ' B ' ≠ A' B ' ………………………(3) Tetapi katena A’, B’ dan C’ terletak pada garis lurus h dan C’ antara A’ dan B’, maka didapat hubungan : A' C '+C ' B ' = A' B ' ………………………(4) Terjadi kontradiksi antara (3) dan (4). Karena terjadi hal ini, artinya pengandaian bahwa C ≠ g bernilai salah. Akibatnya haruslah C ∈g .karena C ∈g maka C '∈T ( g ) (perhatikan ketentuan T(g)). Karena untuk sebarang C '∈h , dapat ditunjukan bahwa C '∈T ( g ) , maka h ⊂ T (g ) karena T ( g ) ⊂ h dan h ⊂ T (g ) , hal ini berakibat bahwa T ( g ) = h . Karena h suatu garis lurus, maka T(g) juga garis lurus. Teorema 2.2 Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus. Bukti : Karena sudut yang dibentuk oleh g dan h adalah siku-siku dan T suatu isometri, berdasarkan teorema 2.1 bagian b) mengakibatkan bahwa sudut yang dibentuk oleh T(g) dan T(h) juga siku-siku. Dengan kata lain T(g) dan T(h) saling tegak lurus. Teorema 2.3 Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri. Bukti Ambil dua isometri, namakanlah dengan T1 dan T2 .terjadilah komposisi dari T1 dan T2 , yaitu ; T1T2 dan T2  T1 .Dalam uraian ini akan ditunjukan salah satu saja, yaitu untuk T1  T2 adalah isometri.ambil dua titik sebarang A, B ∈ v ,

4

misalkan T2 ( A) = A1 , T2 ( B ) = B1 dan T1 ( A1 ) = A' , T1 ( B1 ) = B' . Berdasarkan (T1  T2 )( A) = T1 [T2 ( A)] = T1 ( A1 ) = A' pemisalan ini, dapat dicari (T1  T2 )( B ) = T1 [T2 ( B )] = T1 ( B1 ) = B ' Karena T2 isometri maka A1 B1 = AB dan karena T1 isometri maka B’A’= A1 B1

Karena A' B ' = A1 B1 dan A1 B1 = AB , maka A’B’=AB. Jadi T1  T2 suatu isometri. ISOMETRI LANGSUNG DAN ISOMETRI LAWAN Untuk mempelajari pengertian isometri langsung dan isometri lawan, Anda harus mempelajari pengertian orientasi. Hal ini dituangkan dalam definisi berikut ini. DEFINISI 2.2 : Misalkan (P1, P2, P3) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinear. Apabila uturan perputaran P1, P2, ke P3 sesuai dengan perputaran jarum lonceng maka (P1, P2, P3) disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P1, P2, P3 berlawanan dengan perputaran jarim lonceng maka (P1, P2, P3) disebut memiliki orientasi positif. Untuk lebih menjelaskan makna dari definisi di atas, Anda pelajari contoh berikut ini. CONTOH 2.2 : Misalkan diberikan enam buah titik (lihat gambar 2.4). Karena urutan perputaran A, B, ke C berlawanan dengna perputaran jarum lonceng maka (A, B, C) berorientasi positif. Sedangkan urutan perputaran P, Q, ke R sesuai dengan perputaran jarum lonceng, akibatnya (P, Q, R) berorientasi positif. C

P

B Q R

A

Gambar 2.4

DEFINISI 2.3 : Misalkan T suatu transformasi T disebut mengawetkan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik (P1, P2, P3) yang tidak kolinear orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya disebut tidak mengawetkan orientasi. DEFINISI 2.4 : Suatu transformasi T disebut transformasi langsung jika dan hanya jika transformasi itu mengawetkan orientasi. Sedangkan transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu tidak mengawetkan orientasi.

5

DEFINISI 2.5 : Isometri langsung adalah isometri yang merupakan transformasi langsung, sedangkan isometri lawan adalah isometri yang merupakan transformasi lawan. Untuk lebih memantapkan makna definisi-definisi di atas, Anda pelajari contoh berikut ini CONTOH 2.3 : Apabila Anda perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam contoh 2.1. Sudah diterusuri bahwa trasnformasi T ini merupakan suatu isometri. Pertanyaan timbul apakah T ini merupakan isometri langsung atau isometri lawan? Untuk menarik kesimpulan ini, perhatikan Gambar 2.5. Misalkan Anda ambil tiga titik tak kolibear sembarang, A, B, dan C. Kemudian Anda mencari T(A), T(B), dan T(C)=B` dan T(C)=C`

A

A’

B

B’ C’

C

Gambar 2.5

Karena (A, B, C) berorientasi positif, sedangkan (A`, B`, C`) berorientasi negatif, maka transformasi T merupakan transformasi lawan. Akibatnua T suatu isometri lawan.

Daftar pustaka

6

Eccle, Frank M. 2003. Pengantar Geometri Transformasi. Bandung : Pustaka Setia. Rasmedi, Ame. 2005. Geometri transformasi.jakarta. universitas terbuka

7