Kelompok 1 Isometri

MAKALAH ISOMETRI DAN SIFAT – SIFAT PENJUMLAHAN ISOMETRI Dosen Pengampu : Yandika Nugraha, M.Pd.

OLEH NAMA

NIM

1. ANDARI FILNA JESIKA 2. NURUL AINI 3. M. ZAINUDDIN TSANI

160103068 160103064 160103077

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN JURUSAN TADRIS MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MATARAM 2018

BAB I PEMBAHASAN 1

1.1 Isometri Bahasan mengenai isometri, merupakan suatu transformasi atas pencerminan (refleksi), pergeseran (translasi) dan perputaran (rotasi). Dalam kamus Bahasa isometri diartikan sebagai kata sifat yang berkenaan dengan atau memiliki ukuran yang sama dengan lainnya. Isometri merupakan suatu transformasi yang mengawetkan/mempertahankan jarak. Secara matematis dapat ditentukan sebagai : Misalkan

'

' E =T (E) , maka T dikatakan suatu

dan

D =T (D)

isometri jika dan hanya jika │ DE │=│ D ' E ' │ Contoh Soal T

adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh

T ( P )=(x−4, y +2)

untuk semua titik

P ( x , y ) ∈ u . Selidiki apakah suatu isometri?

Pembahasan : Benda

Bayangan

D(2,1)

D' (−2, 3)

E(1,2)

E (−3, 4)

'

Syarat isometri . │ DE │=│ D ' E ' │

√(x

E

−x D )2 +( y E − y D )2= √ (x E −x D ' )2 +( y E − y D ' )2 '

'

√(1−2)2 +(2−1)2 =√(−3+2)2 +(4−3)2 √ 1+1=√ 1+ 1 √ 2=√ 2 Maka, T (P) adalah isometri.

Soal dan Pembahasan

2

1. N adalah suatu transformasi yang didefinisikan untuk semua titik

P( x , y ) sebagai

N (P)=(−y , x) . Selidiki apakah N suatu isometri ?

Pembahasan : N transformasi ∀ P ( x , y ) , N (P)=(−y , x) P1 (x , y ), P2 (d , e)

Ambil

N (P1 )=(− y , x)=P ' 1 N (P2 )=(−e , d)=P ' 2 P1 P2=P ' 1 P ' 2

Akan ditunjukkan

P1 P2= √ ( x−d )2+( y−e)2 ¿ √ x 2−2dx +d 2 + y 2−2 ey + e2

P 1 P 2=√ (−y + e ) + ( x−d ) '

2

'

2

¿ √ y 2−2 ey+ e 2+ x 2−2 dx +d 2

¿ √ x 2−2dx +d 2 + y 2−2 ey + e2 Diperoleh

P1 P2=P ' 1 P ' 2

Jadi, N mengawetkan jarak, sehingga N merupakan isometri. 2. Sebuah

transformasi

T ( P )= ( 2 x , y −1 ) .

T

didefinisikan

untuk

semua

titik

P( x , y )

sebagai

Selidiki apakah T suatu isometri?

Pembahasan : Benda

Bayangan

D(1,3)

D' (2,2)

E(2,4)

E (4, 3)

'

Syarat isometri . │ DE │=│ D ' E ' │

√(x

E

−x D )2 +( y E − y D )2= √ (x E −x D ' )2 +( y E − y D ' )2 '

'

√(2−1)2 +(4−3)2=√(4−2)2 +( 3−2)2 √ 1+1=√ 4+ 1 √ 2=√ 5 Karena │ DE │≠ │ D ' E ' │ , maka T

bukan isometri. 3

3. Periksalah apakah T suatu isometri yang didefinisikan untuk

x, y ) oleh M¿

T ( A ) =( x−5, y−2) ! Pembahasan :

Benda

Bayangan

D(1,3)

D' (−4,1)

E(3,1)

E (−2,−1)

'

Syarat isometri . │ DE │=│ D ' E ' │

√(x

E

−x D )2 +( y E − y D )2= √ (x E −x D ' )2 +( y E − y D ' )2 '

'

√(3−1)2 +(1−3)2=√(−2+4 )2+(−1−1)2 √ 4+ 4=√ 4 +4 √ 8= √ 8 Karena │ DE │=│ D ' E ' │ , maka T 4.

J

suatu isometri.

adalah suatu transformasi yang didefinisikan untuk semua titik

J ( P)=( 2 x ,3 y ) . Selidiki apakah J

P( x , y ) sebagai

suatu isometri ?

Pembahasan : J transformasi

∀ P ( x , y ) , J (P)=(2 x ,3 y ) P1 (2,,3), P2 (3,2)

Ambil

J ( P1 )=( 4, 9)=P' 1 J (P2 )=(6,6)=P ' 2 Akan ditunjukkan

P1 P2=P ' 1 P ' 2

P1 P2= √ (3−2)2 +(2−3)2 ¿ √2 P 1 P 2=√ ( 6−4 ) + ( 6−9 ) '

2

'

2

¿ √13 Diperoleh Karena

P1 P2 ≠ P ' 1 P' 2

P1 P2 ≠ P ' 1 P' 2 , maka J

bukan suatu isometri. 4

5. Diketahui titik-titik

A= (1,−1 ) , B= ( 4, 0 ) ,C (−4,1 ) dan D=(−2,k ) . Apabila T suatu

isometri sehingga T ( A ) =C dan T ( B )=D . Tentukanlah nilai k ? Pembahasan : │ AB│=│CD │

√(x

B

−x A )2 +( y B − y A )2=√( x D−x C )2+( y D − y C )2

√(4−1)2 +( 0+1)2= √(−2+ 4)2 +(k−1)2 √ 9+1= √ 4+(k−1)2 √ 10=√ 4 + ( k −1 )

2

10=4+(k −1)2 2

6=(k −1)

± √6=k −1 k 1=1+ √ 6 k 2=1−√ 6 6.

Diketahui titik-titik

A= (1,0 ) , B=( 2, 1 ) ,C (−2, 2 ) dan D=(−1, k ) . Apabila T suatu

isometri sehingga T ( A ) =C dan T ( B )=D . Tentukanlah nilai k ? Pembahasan : │ AB│=│CD │

√(x

B

−x A )2 +( y B − y A )2=√( x D−x C )2+( y D − y C )2

√(2−1)2 +(1−0)2=√(−1+2)2 +(k −2)2 √ 1+1=√ 1+(k −2)2 √ 2=√ 1+ ( k−2 )

2

2=1+(k −2)2 2

1=(k−2) 1=k −2

k =3 1.2 Sifat – sifat Penjumlahan Isometri 5

Refleksi garis mempunyai sifat-sifat dasar, yaitu: 1. Pemetaan satu-satu daro bidang onto bidang 2. Mempertahankan jarak Sifat-sifat di atas telah kita ketahui gembarannya tentang bayangan (peta) titik satu persatu melalui suatu transformasi. Bagaimana halnya dengan transformasi sekelompok titik? Misalnya, apa yang terjadi dengan transformasi suatu segitiga oleh refleksi sumbu y? seperti yang sudah dibicarakn sebelumnya tentang notasi transformasi suatu titik, maka notasi itu dapat kita perluas pula untuk menyatakan transformasi dan fungsi sekelompok titik. Misalnya, T (Δ ABC ) menyatakn transformasi suatu

Δ ABC ,

atau

Ms (t) yang menyatakanfungsi atau pemetaan

M yang berupa refleksikan titik-titik pada garis t oleh suatu garis s. Untuk menyatakan bahwa himpunan y adalah bayangan (peta) dari

Δ ABC

ΔABC ) artinya, bayangan (peta) dari setiap titik S=T ¿

pemetaan T di tulis :

oleh suatu

Δ ABC

adalah

anggota S dan setiap anggota ( Δ ABC ¿ adalah bayangan (peta) dari beberapa titik pada Δ ABC .

karena berlaku :

P∈ s '=T (s)

. Jika dan hanya jika ada sebuah titik R pada s

sedemikian hingga T (R)=P. Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat berikut : a. memetakan garis menjadi garis b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis c. mengawetkan kesejajaran dua garis Sifat-sifat tersebut yang akan dijabarkan dalam teorema sebagai berikut : Teorema a Bayangan (peta) suatu garis pada suatu isometri adalah sebuah garis. Bila T isometri dan

j

suatu garis, maka

suatu

j ' =T ( j ) adalah suatu garis.

Pembuktian teorema a j , maka akan dibuktikan bahwa bayangan/petanya adalah sebuah garis.

Terdapat sebuah garis Misal garis

k

adalah bayangan (peta) dari

bahwa setiap titik di

j

'

terletak

' j . j =k untuk membuktikan

'

j =k

k , dan begitu pula sebaliknya (k ⊂ j ' ) dan

tunjukan ' ( j ⊂k) .

6

E D

E’ D’

j

k

(i) Akan dibuktikan k ⊂ j ' Ambil sebarang X ∈k . Oleh karena bidang Euclides, kita andaikan (D' X ' E ') , artinya D' X ' + X ' B' =D ' E ' . Karena T transformasi, maka ada X sehingga T ( X )=X . Karena T suatu isometri maka DX =D' X ' , XE =X ' E' , dan DE=D ' E ' . Diperoleh D' X ' + X ' E' =DX + XE=DE . Ini berarti bahwa D , X , E segaris pada j dan berarti pula X ' =T (X )∈ j ' . Jadi untuk setiap X ' ∈ k maka X ' ∈ j ' Sehingga k ⊂ j ' (ii) Akan dibuktikan j ' ⊂ k Ambil lagi Y ' ∈ j ' . Maka ada Y ∈ j sehingga T ( Y )=Y ' dengan Y misalnya ( D Y E) , artinya Y ∈ j dan DY +YE=DE . Karena T transformasi, maka ada DY =D' Y ' ,YE=Y ' E ' , dan DE=D ' E ' Sehingga D ' Y ' +Y ' E ' =DY +YE=DE=D ' E ' . Ini berarti bahwa D ' , Y ' , E ' segaris, yaitu garis yang melalui A ’ dan B ’ . Oleh karena k garis yang melalui D’ dan E ’ maka Y ' ∈k . Jadi jika Y ' ∈ j ' dan Y ∈ j berarti j ' ⊂ k Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh k ⊂ j ' dan j ' ⊂ k maka k = j ' . Jadi kalau j sebuah garis maka k =T ( j) adalah sebuah garis. Teorema b Bayangan (peta) suatu sudut oleh suatu isometri mempunyai ukuran sudut yang sama dengan sudut semula. Pembuktian Ambil sebuah ∠≝¿ ¿ Akan ditunjukkan m¿

D

∠≝¿ m(D ' E' F ' )

D’

7

E

F

E’

F’

(a)

(b)

D' =T ( D ) , E '=T (E), F '=T ( F ).

Andaikan

Menurut (a), maka

' ' D´ E

merupakan peta dari

´ adalah garis lurus. Karena EF E '´F '

´ dan DE

´ DE

dan

E '´F ' merupakan peta dari

D´' E'

´ merupakan garis lurus maka EF

dan

merupakan garis lurus.

ED ∪ ⃗ EF maka ∠ D' E' F ' =E ' D ' ∪ E ' F ' . Karena ∠≝¿ ⃗

△≝¿ dan

Perhatikan

' ' ' △D E F .

' ' ' ' ' ' D E =DE , E F =EF , F D =FD . Menurut teorema kekongruenan jika dua buah segitiga

yang memiliki sifat S S S sama maka kedua segitiga tersebut kongruen. Sehingga △≝≅ △ D' E' F ' . Jadi, ∠ D' E' F ' =∠≝. Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sudut. Teorema c Bayangan (peta) dua garis oleh suatu isometri adalah sejajar jika dan hanya jika garisgaris semula sejajar. d’ d

e P’

e’ Pembuktian Kita harus memperlihatkan d ' // e ' . Andaikan

d'

berarti bahwa d

memotong d memotong

e'

di sebuah titik e

di

P'

, jadi

' ' P ∈ d dan

P' ∈ e ' . Ini

P , jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa

// e .

Maka pengandaian d '

memotong e '

salah.

Jadi haruslah d ' // e ' . Soal dan Pembahasan 1. Suatu transformasi T ditentukan oleh T ( P)=( x +2, y) untuk semua

P( x , y ) .

8

A (1,2)

a) Jika

B (2,−1)

dan

AB dan pula persamaan ⃗

tentukan

dan

B ’=T ( B) . Tentukan

⃗ A 'B' .

D(d , e) ∈ ⃗ AB selidiki apakah

b) Apabila

A ’=T ( A)

D ' =T (D) ∈⃗ A' B'

c) Menurut teorema, disebutkan bahwa jika transformasi T suatu isometric maka peta sebuah garis adalah suatu garis. Apakah kebalikannya benar? Pembahasan : ∀

T ( P)=( x +2, y)

P( x , y ) .

A (1,2) , B (2,−1)

a)

A ’=T ( A ) =( 1+ 2,2 ) =( 3,2 ) B ’=T ( B )=( 2+2,−1 ) =(4,−1)

⃗ AB ⇨

y −2 x−1 = −1−2 2−1

⇨ ⇨

⇨

y − y 1 x−x 1 = y 2− y 1 x 2−x 1

y −2 x −1 = −3 1 y−2=−3 x +3

⇨

⃗ A 'B'⇨

y +3 x−5=0 y− y 1 x−x 1 = y 2− y 1 x2 −x1

⇨ ⇨ ⇨

y −2 x−3 = −1−2 4−3 y −2 x −3 = −3 1 y−2=−3 x +9

⇨

b)

y +3 x−11=0

D (d , e )∈⃗ AB

Akan diselidiki

D ' =T ( D ) ∈⃗ A' B'

B A ' B ' merupakan peta dari ⃗ AB . ), maka ⃗ A ’=T ( A) , B ’=T ¿ ' ' AB maka D ' =T ( D ) ∈⃗ Sehingga jika D∈ ⃗ AB Karena

c) Dipunyai

j'

adalah garis.

Akan ditunjukkan Andaikan

j

adalah garis dengan

j bukan garis maka

j ' =T ( j)

j ' =T ( j ) bukan garis. 9

Padahal dipunyai

j'

garis.

Maka pengandaian harus dibatalkan. Artinya, j'

Jadi, jika

garis maka

2. Diketahui lima garis Apabila

j

j suatu garis .

juga garis dengan

g , g ’ ,h , h ’ , dan

g ’/¿ h ’ buktikan bahwa

k

' j =T ( j) .

sehingga

g ’=Mk(g) , dan

h ’=Mk( h) .

g/¿ h .

Pembahasan : g ’/¿ h ’ .

Dipunyai Adt

g/¿ h

Andaikan

g

tidak sejajar

h , maka menurut teorema, bahwa isometri

mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh Padahal dipunyai artinya,

Mk

g tidak sejajar dengan h .

g ’/¿ h ’ , maka pengandaian harus dibatalkan.

g/¿ h .

3. Jika d = {( X , Y )| y=−x } dan e ¿ {(X ,Y )| y=2 x−3 } Carilah sebuah persamaan untuk e’ =

Md

(e).

Pembahasan : Pertama carilah bayangan dua titik pada t oleh suatu refleksi Md, kemudian menurut teorema adanya garis yang melalui kedua bayangan titik tadi. Titik

A (0,−3)

dan

B (3/2,0)

adalah tepat dua titik pada e. Untuk menunjukkan bahwa jika P(x,y) adalah suatu titik, maka : Md ( P)={− y ,−x } Untuk A ( 0,−3 ) → Md ( A )=( 3,0 ) dan B

( 2,03 ) → Md ( B )=( 0, 32 )

Karena kemiringan (gradien)

yaitu

3 −0 2 1 , maka kita dapatkan suatu persamaan e’, AB= = 3−0 2

x 3 y= − 2 2

10

DAFTAR PUSTAKA M. Eccels, Frank. 2003. Pengantar Geometri Transformasi. Penerj. Sudrajat. Bandung : Pustaka Setia Dwi Kurniasih, Meyta & Handayani, Isnaini. 2017. Tangkas Geometri Transformasi. Bahan Ajar. Jakarta : Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Prof Dr HAMKA. https://s3.amazonaws.com/ppt-download/rangkumanmateri-150615042822-lva1-app6892.pdf? response-content-disposition=attachment&Signature=u7YJAQpv5p9wh8dpGohJ4fT4jlA %3D&Expires=1537927589&AWSAccessKeyId=AKIAIA5TS2BVP74IAVEQ

diakses

pada

tanggal ( 26 September 2018 )

/

11