Investigacion De Operaciones Ii: Unidad I

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

UNIDAD I: INVENTARIOS

1.1 INTRODUCCIÓN 1.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 1.4 MODELOS DETERMINISTICOS 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES 1.6 APLICACIONES.

INTRODUCCIÓN: Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de la organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluyen la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.

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Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. De esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella. Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsqueda de la optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones. Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización.

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CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS: Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones. Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su “política de inventarios”, es decir, cuándo y cómo se reabastece? En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al aplicar la “administración científica del inventario”. En particular, ellos: 1. Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de inventarios. 2. Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo. 3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer. MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para desarrollar las actividades de cualquier empresa. Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones: La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita). Todos los coeficientes de costos son constantes. En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías para la venta.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Q = Cantidad optima a pedir Im = Inventario Máximo t = Periodo entre pedidos T = Periodo de Planeación En este modelo se representan iguales el inventario máximo y la cantidad económica pedida. Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero. El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes de costo: Costo unitario del producto (C1) Costo de ordenar una compra (C2) Costo de mantener un producto en almacén (C3) El costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera: Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] El costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera siguiente: Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar. ANÁLISIS DE ECUACIONES. Costo unitario por periodo. El costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad óptima a pedir. C1 Q Costo de ordenar una compra. Puesto que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra esta definido por: C2 Costo de mantener el inventario por periodo.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de mantenimiento del inventario por periodo es: Para determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuación: El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera: Nota: La demanda del artículo en un periodo de planeación se define con la letra D. El número de periodos se expresa de la manera siguiente: Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeación (T) se multiplica el costo de un periodo por el número de interperiodos (t) que contenga el periodo de planeación. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuación: Costo Total = Costo (Q*) t Otra manera de representar el costo total para el periodo de planeación es por medio de la siguiente ecuación: Cuando los componentes del costo total se representan gráficamente se obtiene un punto óptimo (de costo mínimo). Una forma de determinar la cantidad óptima a pedir es suponer diversos valores de Q y sustituir en la ecuación anterior hasta encontrar el punto de costo mínimo. Un procedimiento más sencillo consiste en derivar la ecuación del costo total con respecto a Q e igualar la derivada a cero. Al resolver esta derivada tenemos la ecuación para determinar la cantidad óptima a pedir. Q= Esta ecuación ocasiona un costo mínimo y tiene como base un balance entre los dos costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor. Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos más importantes de este modelo de compra.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II EJERCICIO: Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. No se permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar: La cantidad optima pedida

El costo total por año

El numero de pedidos por año

El tiempo entre pedidos

Datos C1= $ 1.00 (Costo unitario del artículo) C2 = $ 400.00 (Compra) C3 = $ 1.20 (Costo de almacenamiento por unidad por año) La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma. = 3 465 Unidades El costo total estará determinado por: Costo = [(1) (18000)] + [(400) (18000/3465)] + [(1.2) (3465/2)] = $ 22, 156 por año El número de pedidos por año es N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por año El tiempo entre pedidos es t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 años

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COSTOS DE INVENTARIOS: La Gestión de Inventarios es una actividad en la que coexisten tres tipos de Costos • • •

Costos asociados a los flujos Costos asociados a los stocks Costos asociados a los procesos

Esta estructura se plantea sin perjuicio de mantener la clásica estructura de Costos por naturaleza, según se clasifican en los dos siguientes grandes grupos. • •

Costos de Operación. Costos Asociados a la Inversión

Los primeros, son los necesarios para la operación normal en la consecución del Fin. Mientras que los asociados a la Inversión son aquellos financieros relacionados con depreciaciones y amortizaciones. Dentro del ámbito de los flujos habrá que tener en cuenta los Costos de los flujos de aprovisionamiento (transportes), aunque algunas veces serán por cuenta del proveedor (en el caso de contratos tipo CFR, CIF, CPT o CIP, entre otros) y en otros casos estarán incluidos en el propio precio de la mercancía adquirida. Será necesario tener en cuenta tanto los Costos de operación como los asociados a la inversión. Costos asociados a los stocks, en este ámbito deberán incluirse todos los relacionados con Inventarios. Estos serian entre otros Costos de almacenamiento, deterioros, perdidas y degradación de mercancías almacenadas, entre ellos también tenemos los de rupturas de Stock, en este caso cuentan con una componente fundamental los Costos financieros de las existencias, todo esto ya serán explicados mas adelante. Cuando se quiere conocer, en su conjunto los costos de inventarios habrá que tener en cuenta todos los conceptos indicados. Por el contrario, cuando se precise calcular los costos, a los efectos de toma de decisiones, (por ejemplo, para decidir tamaño optimo del pedido) solamente habrá que tener en cuenta los costos evitables (que podrán variar en cada caso considerado), ya que los costos no evitables, por propia definición permanecerán a fuera sea cual fuera la decisión tomada. Por último, dentro del ámbito de los procesos existen numerosos e importantes conceptos que deben imputarse a los Costos de las existencias ellos son: Costos de compras, de lanzamiento de pedidos y de gestión de la actividad. Un caso paradigmático es el siguiente. En general, los Costos de transporte se incorporan al precio de compras (¿por qué no incorporar también los Costos de almacenamiento, o de la gestión de los pedidos?), como consecuencia de que en la mayoría de los casos se trata de transportes por cuenta del proveedor incluidos de manera más o menos tácita o explícita en el precio de adquisición.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Pero incluso cuando el transporte está gestionado directamente por el comprador se mantiene esta práctica, aunque muchas veces el precio del transporte no es directamente proporciona al volumen de mercancías adquiridas, sino que depende del volumen transportado en cada pedido. En estas circunstancias el costo del transporte se convierte también en parte del costo de lanzamiento del pedido. La clasificación puramente logística de Costos que se ha citado hasta ahora no es la más frecuentemente utilizada en "la profesión". Ya hemos citado en el párrafo anterior conceptos como "costo de lanzamiento del pedido" o "costo de adquisición", que no aparecían entre los conceptos inicialmente expuestos. Pues bien, la clasificación habitual de costos que utilizan los gestores de los inventarios es la siguiente: • • • •

Costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesión de stocks Costos de lanzamiento del pedido Costos de adquisición Costos de ruptura de stocks.

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MODELOS DETERMINISTICOS: La naturaleza del problema de inventario consiste en hacer y recibir pedidos de determinados volúmenes, repetidas veces y a intervalos determinados. Una política de inventario responde las siguientes preguntas. ¿Cuanto se debe ordenar? Esto determina el lote económico (EOQ) al minimizar el siguiente modelo de costo: (Costo total del inventario) = (Costo de compra) + (costo de preparación + (Costo de almacenamiento) + (costo de faltante). Todos estos costos se deben expresar en términos del lote económico deseado y del tiempo entre los pedidos. El costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante, o se puede ofrecer con un descuento que depende que dependa del volumen del pedido. El costo de preparación representa el cargo fijo en el cual se incurre cuando se hace un pedido. Este costo es independiente del volumen del pedido El costo de almacenamiento representa el costo de mantener suficientes existencias en el inventario. Incluye el interés sobre el capital, así como el costo de mantenimiento y manejo El costo de faltante es la penalidad en la cual se incurre cuando nos quedamos sin existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos, así como el costo mas subjetivo de la perdida de la buena voluntad de los clientes. ¿Cuando se deben colocar los pedidos? Depende del tipo de sistema de inventario que tenemos. Si el sistema requiere una revisión periódica (por ejemplo, semanal o mensual), el momento para hacer un nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. De manera alternativa, si el sistema se basa en una revisión continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el nivel del inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado el punto de reorden.

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PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES: El MRP o Planificación de necesidades de Materiales, es un sistema de planificación de la producción y de gestión de stocks que responde a las preguntas: ¿QUÉ? ¿CUÁNTO? ¿CUÁNDO? Se debe fabricar y/o aprovisionar. El procedimiento del MRP está basado en dos ideas esenciales: A. La demanda de la mayoría de los artículos no es independiente, únicamente lo es la de los productos terminados. B. Las necesidades de cada artículo y el momento en que deben ser satisfechas estas necesidades, se pueden calcular a partir de unos datos bastantes sencillos: o o

Las demandas independientes La estructura del producto

Así pues, MRP I consiste esencialmente en un cálculo de necesidades netas de los artículos ( productos terminados, subconjuntos, componentes, materia prima, etc.) introduciendo un factor nuevo, no considerado en los métodos tradicionales de gestión de stocks, que es el plazo de fabricación o compra de cada uno de los artículos, lo que en definitiva conduce a modular a lo largo del tiempo las necesidades, ya que indica la oportunidad de fabricar ( o aprovisionar) los componentes con la debida planificación respecto a su utilización en la fase siguiente de fabricación. En la base del nacimiento de los sistemas MRP está la distinción entre demanda independiente y demanda dependiente. Demanda Independiente Se entiende por demanda independiente aquella que se genera a partir de decisiones ajenas a la empresa, por ejemplo la demanda de productos terminados acostumbra a ser externa a la empresa en el sentido en que las decisiones de los clientes no son controlables por la empresa (aunque sí pueden ser influidas). También se clasificaría como demanda independiente la correspondiente a piezas de recambio.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Demanda Dependiente Es la que se genera a partir de decisiones tomadas por la propia empresa, por ejemplo aún si se pronostica una demanda de 100 coches para el mes próximo (demanda independiente) la Dirección puede determinar fabricar 120 este mes, para lo que se precisaran 120 carburadores , 120 volantes, 600 ruedas,.... ,etc. La demanda de carburadores, volantes, ruedas es una demanda dependiente de la decisión tomada por la propia empresa de fabricar 120 coches. Es importante esta distinción, porque los métodos a usar en la gestión de stocks de un producto variarán completamente según éste se halle sujeto a demanda dependiente o independiente. Cuando la demanda es independiente se aplican métodos estadísticos de previsión de esta demanda, generalmente basados en modelos que suponen una demanda continua, pero cuando la demanda es dependiente se utiliza un sistema MRP generado por una demanda discreta. El aplicar las técnicas clásicas de control de inventarios a productos con demanda dependiente (como se hacia antes del MRP) genera ciertos inconvenientes. El Concepto de MRP I, por tanto, es bien sencillo: como se dijo, se trata de saber qué se debe aprovisionar y/o fabricar, en qué cantidad, y en qué momento para cumplir con los compromisos adquiridos. EL SISTEMA MRP El sistema MRP comprende la información obtenida de al menos tres fuentes o ficheros de Información principales que a su vez suelen ser generados por otros subsistemas específicos, pudiendo concebirse como un proceso cuyas entradas son: : El plan maestro de producción, el cual contiene las cantidades y fechas en que han de estar disponibles los productos de la planta que están sometidos a demanda externa (productos finales fundamentalmente y, posiblemente, piezas de repuesto). o : El estado del inventario, que recoge las cantidades de cada una de las referencias de la planta que están disponibles o en curso de fabricación. En este último caso ha de conocerse la fecha de recepción de las mismas. o : La lista de materiales, que representa la estructura de fabricación en la empresa. En concreto, ha de conocerse el árbol de fabricación de cada una de las referencias que aparecen en el Plan Maestro de Producción. o

A partir de estos datos la explosión de las necesidades proporciona como resultado la siguiente información: o

: El plan de producción de cada uno de los ítems que han de ser fabricados, especificando cantidades y fechas en que han de ser lanzadas las órdenes de fabricación. Para calcular las cargas de trabajo de cada una de las secciones de la planta y posteriormente para establecer el programa detallado de fabricación.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II : El plan de aprovisionamiento, detallando las fechas y tamaños de los pedidos a proveedores para todas aquellas referencias que son adquiridas en el exterior. o : El informe de excepciones, que permite conocer que‚ órdenes de fabricación van retrasadas y cuales son sus posibles repercusiones sobre el plan de producción y en última instancia sobre las fechas de entrega de los pedidos a los clientes. Se comprende la importancia de esta información con vistas a renegociar‚ estas si es posible o, alternativamente, el lanzamiento de órdenes de fabricación urgentes, adquisición en el exterior, contratación de horas extraordinarias u otras medidas que el supervisor o responsable de producción considere oportunas. o

Así pues, la explosión de las necesidades de fabricación no es más que el proceso por el que las demandas externas correspondientes a los productos finales son traducidas en órdenes concretas de fabricación y aprovisionamiento para cada uno de los ítems que intervienen en el proceso productivo. Plan Maestro de Producción PMP, MPS (Master production Schedule) Plan maestro detallado de producción, que nos dice en base a los pedidos de los clientes y los pronósticos de demanda, qué productos finales hay que fabricar y en qué plazos debe tenerse terminados. El cual contiene las cantidades y fechas en que han de estar disponibles los productos de la planta que están sometidos a demanda externa (productos finales fundamentalmente y, posiblemente, piezas de repuesto). El otro aspecto básico del plan maestro de producción es el calendario de fechas que indica cuando tienen que estar disponibles los productos finales. Para ello es necesario discretizar el horizonte de tiempo que se presenta ante la empresa en intervalos de duración reducida que se tratan como unidades de tiempo. Habitualmente se ha propuesto el empleo de la semana laboral como unidad de tiempo natural para el plan maestro. Pero debe tenerse en cuenta que todo el sistema de programación y control responde a dicho intervalo una vez fijado, siendo indistinguible para el sistema la secuencia en el tiempo de los sucesos que ocurran durante la semana. Debido a ello, se debe ser muy cuidadoso en la elección de este intervalo básico, debiendo existir otro subsistema que ordene y controle la producción en la empresa durante dicho intervalo. La función del plan maestro se suele comparar dentro del sistema básico de programación y control de la producción con respecto a los otros elementos del mismo, todo el sistema tiene como finalidad adecuar la producción en la fábrica a los dictados del programa maestro. Una vez fijado este, el cometido del resto del sistema es su cumplimiento y ejecución con el máximo de eficiencia.

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APLICACIONES: Áreas funcionales Una muestra de los problemas que la IO ha estudiado y resuelto con éxito en negocios e industria se tiene a continuación: Personal La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción. Mercado y distribución El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores. Compras y materiales Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar. Manufactura La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad. Finanzas y contabilidad Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorias y reclamaciones. Planeación Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto simultáneas como las que deben esperar para ejecutarse.

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UNIDAD II: LINEAS DE ESPERA

2.1 INTRODUCCIÓN 2.2 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN 2.3 TEOREMA DE LITTLE 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO 2.5 SOLUCIÓN ANALÍTICA.

INTRODUCCIÓN: Las colas (líneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos hemos acostumbrado a esperas largas, pero todavía nos molesta cuando lo son demasiado. Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su economía. Por ejemplo, antes de su disolución, la Unión Soviética era notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solían tener que soportar solo para comprar artículos básicos. Hoy en Estados Unidos se estima que las personas pasan 37 mil millones de horas al año en líneas de espera. Si este tiempo se usara de manera productiva significaría cerca de 20 millones de personas-años de trabajo útil cada año. Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la espera excesiva. También ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de espera que no son personas en una Cola. La Teoría de Colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas para cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias. Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Proporcionar demasiada capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no contar con suficiente capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.

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TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN: No se permite el faltante. Suposiciones: 1. La demanda tiene que ser constante. 2. Los costos son constantes (no se permite descuento en adquisiciones voluminosas). 3. Los proveedores entregaran con puntualidad los pedidos en el periodo comprendido. 4. El lote mínimo es igual al inventario máximo. Nomenclatura: Q = tamaño económico del lote. Si es muy grande o muy chico N = número de pedido. Puedes pedir una o 2 veces D = Demanda. Por si las dudas ten cuidado y siempre papelito habla Ci = Costo de compra. A lo mejor te sale mas barato en otro lado Ch = Costo de mantener un unidad en los inventarios (%). Co = Costo de ordenar. Ya ves que hay gandallas que te cobran el envió R = Punto de reorden. L = Tiempo de consumo. En menos de 30 min si te cobran sino PS no T = Tiempo para consumir el inventario máximo. el tiempo en el que te atragantas Imáx = Inventario Máximo. Î =Inventario Promedio. Ct = Costo Total. Ct = Costo de compra + Costo de ordenar + Costo de tenencia. Costo de compra = CiD Costo de ordenar = Costo de tenencia =

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Si la demanda es de 50 piezas por día y el proveedor pasa 10 días en surtir por tanto necesitamos 500 piezas para no tener faltante. R =? = 50 * 10 −500 D = 50 pza/día. L = 10 días. R=DL Unidad = 5040 Ejemplo: Una Cía. fabricante de refrescos de la marca de coca cola a observado que requiere anualmente de 3000 valeros que son utilizados en las bombas de agua a propulsión a chorro con un programa de mantenimiento preventivo diseñado por el departamento de producción. El costo de cada unidad es de $ 80,000, el costo de oportunidad de inversión es de 12% del costo del producto. Los costos generados por el control de inventarios como son el sueldo de personal de almacén, agua y electricidad es de 2,400 * unidad lo cual es muy caro por que yo solo pago cuatrocientos pesos de luz, otro costo que representa aun los deterioros, extravió y envejecimiento de los productos almacenados anualmente y alcanzan un costo de $2,000 * unidad .La orden de compra se ha estimado en $120,000. Suponga que el proveedor tarda en promedio 15 días en surtir una orden, determinar: El tamaño económico del lote. El inventario máximo. El inventario Promedio. El punto de reorden. El tiempo requerido para consumir el inventario máximo. Costo total del inventario. Número de pedidos. Datos: D = 3000 unidad por año. Ci = $80,000 Co =$120,000

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Ch= 0.12 (80,000)+ 2,900 + 2,000 Ch = 14,000 unidades por año. L = 15 días. Q = 227 unidad. Imáx. = Q = 227 u. = = e) T - Q/D = 0.075 Años = 27 días. f) Ct = $ 243, 174,340 g) =

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SOLUCIÓN ANALÍTICA:

Supongamos una barra metálica de longitud L, conectada por sus extremos a dos focos de calor a temperaturas Ta y Tb respectivamente. Sea T0 la temperatura inicial de la barra cuando se conectan los focos a los extremos de la barra.

Al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito, que en la práctica depende del tipo de material que empleamos, se establece un estado estacionario en el que la temperatura de cada punto de la barra no varía con el tiempo. Dicho estado está caracterizado por un flujo J constante de energía. La ley de Fourier establece que la temperatura variará linealmente con la distancia x al origen de la barra.

Para describir el estado transitorio buscamos una solución de la forma T(x, t)=F(x) ·G (t), variables separadas

El signo negativo asegura el carácter transitorio. Integramos la primera ecuación diferencial

Integramos la segunda ecuación diferencial

Es una ecuación diferencial similar a la de un MAS, cuya solución es a·sen (ωr+δ)

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es la solución de la ecuación diferencial, que es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente más la del régimen transitorio.

Condiciones de contorno •

En x=0, T(0, t)=Ta, temperatura fija del extremo izquierdo de la barra

•

En x=L, T(L, t)=Tb, temperatura fija del extremo derecho de la barra

El régimen variable general de temperaturas de la barra es

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UNIDAD III: SIMULACIÓN 3.1 INTRODUCCIÓN 3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACIÓN 3.3 LOS NÚMEROS ALEATORIOS Y EL MUESTREO DE VARIABLES ALEATORIAS. 3.4 SIMULACIÓN DE INVENTARIOS 3.5 SIMULACIÓN DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA 3.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACIÓN.

INTRODUCCIÓN La simulación es reproducir el ambiente, las variables (rasgos, apariencia, características, contexto) de un sistema real. Es imitar una situación del mundo real en forma matemática. La simulación constituye una técnica económica que nos permite ofrecer varios escenarios posibles de una situación y nos permite equivocarnos sin provocar efectos sobre el mundo real (por ejemplo un simulador de vuelo o conducción).

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PROCEDIMIENTO DE SIMULACIÓN: Las simulaciones se realizaron por medio de una versión baro trópica y verticalmente integrada del HAMSOM. El uso de códigos de estas características es habitual en los sistemas de predicción de ondas de tormenta. El hecho de emplear un modelo 3-D con toda la carga adicional de física y parametrizaciones, no aporta una mejora sobre el valor estimado del nivel del mar, aunque si puede tener sentido a la hora de predecir corrientes superficiales. El cálculo de residuos en un punto se ha realizado por medio de una técnica que implica la realización de dos simulaciones diferentes. La primera consiste en una simulación de marea. Con todos los armónicos disponibles en el modelo y reproduciendo la situación real existente durante los días concretos del estudio. Para ello ha sido necesario introducir en el código una rutina que calcule, para todos los armónicos contemplados y para una fecha determinada, los factores nodales y el desfase con respecto al origen de tiempo. A través de esta rutina, el término de desfase

se calcula al inicio del periodo

considerado y el valor de fi, t se actualiza al principio de cada día. En estas simulaciones el modelo reproduce el comportamiento de los 7 armónicos más importantes, que poseen más del 95% de la energía de la marea. La segunda simulación consiste en una ejecución conjunta de los forzamientos de la atmósfera (vientos y presiones procedentes del HIRLAM) y la marea. En este caso, se reproduce el nivel absoluto del mar, a excepción de las contribuciones baro clínicas y las debidas a los armónicos no considerados. Los residuos se calculan como la diferencia entre ambas simulaciones. La figura ilustra este procedimiento a través de los resultados del modelo en el punto de malla de Bilbao. Los datos corresponden a unos cuantos días del periodo considerado en este estudio. La gráfica superior muestra los resultados de la simulación de marea con 7 armónicos.

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En esta figura se manifiesta con claridad la presencia del ciclo de mareas vivas y muertas. La central muestra la elevación resultante de introducir marea y forzamiento meteorológico.

Cálculo de residuos (gráfica inferior) a partir de las simulaciones de marea (gráfica superior) y de marea con meteorología (gráfica central). El eje de abscisas muestra los días transcurridos desde el inicio de la simulación. Nótese el cambio en la escala vertical.

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LOS NÚMEROS ALEATORIOS Y MUESTREO DE VARIABLES ALEATORIAS: Un número aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada por una función de distribución. Cuando no se especifica ninguna distribución, se presupone que se utiliza la distribución uniforme continua en el intervalo [0,1). En los ordenadores personales es fácil simular la generación de números aleatorios, mediante mecanismos de generación de números pseudo aleatorios, que, sin ser aleatorios (siguen una fórmula), lo aparentan. Un Generador de números aleatorios es un componente o funcionalidad que crea números o símbolos para un programa software en una forma que carezca de un patrón evidente, y que así parezcan ser números aleatorios. La mayor parte de los generadores de números aleatorios son, en realidad, pseudo aleatorios: se calcula (o introduce internamente) un valor X0, que llamaremos semilla, y, a partir de él, se van generando X1, X2, X3,... Siempre que se parta de la misma semilla, se obtendrá la misma secuencia de valores. El algoritmo básico es el método congruencial, que genera valores en el intervalo [0,1), mediante el siguiente esquema: Se fijan A, B, enteros positivos (deben tener ciertas propiedades para obtener un buen generador), y, a partir de una semilla X0 en el conjunto 0,1,...,(N-1), se generan X1 = A*X0+B (mod N) X2 = A*X1+B (mod N) X3 = A*X2+B (mod N) ... X(k+1) = A*Xk+B (mod N) ... Donde A*X+B (mod N) es el resto de la división entera de A*X+B entre N. Por ejemplo, 16 (mod 7) es 2. A partir del método congruencial, es posible tomar valores pseudo aleatorios en el intervalo [0,1) como sigue: Se toma N, entero, muy grande, se toman A, B adecuados, y una semilla X0 en 0,1,.., (N-1). A partir de ella, se generan X1, X2, X3,... por el método congruencial, y a partir de ellos, Y0, Y1, Y2, Y3,... mediante la fórmula Yk = Xk /N

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SIMULACIÓN DE INVENTARIOS: En base al estudio de Teoría de Inventarios, el simulador a describir, fue desarrollado en NetLogo. El simulador fue programado para analizar los siguientes datos de entrada: El número de pedidos de un producto La cantidad demandada de un producto La caducidad del producto. Costo adicional por pedido. Revisión del inventario (stock) Tiempo de demora en los pedidos. El modelo de simulación que se utilizó fue el modelo determinístico del lote económico EOQ. Para la simulación se ha creado un solo objeto denominado producto que tiene una sola propiedad, caducidad. Este objeto simula el comportamiento de un producto en general que se puede adquirir o si se llega a cumplir su periodo de caducidad el mismo se da de baja, es decir se elimina del inventario. De manera general la lógica de la aplicación es la siguiente, en caso de que no se desee optimizar la simulación, el usuario configura los datos de entrada, se generan los productos, se inicia la simulación, se actualizan los elementos de salida (output y plots). Cuando el usuario desea optimizar la simulación algunos de los datos de entrada son calculados en base a la información ingresada por el usuario, a pesar de que hayan sido configurados por el usuario, esto debido a que la optimización aplica los cálculos de los sistemas de inventarios para determinar el stock óptimo, cuando y cuánto comprar.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Los resultados de la simulación se pueden ver mediante dos elementos: 1 plot, un conjunto de Output y por supuesto la pantalla de gráficos. En el plot se grafican las unidades que están en stock (o nivel de inventario) y la cantidad de ventas que se han realizado. Es importante la información que este diagrama aporta por cuanto se puede ver cómo el nivel de inventario toma la forma característica para los modelos de lote económico, lo que nos garantiza que los cálculos optimizados son correctos, lo que trae como consecuencia la no escasez de los productos y un inventario óptimo en cuestión de costos.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II SIMULACIÓN DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA: Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de Sistemas. Los modelos de líneas de espera (LE) son importantes en la simulación y modelación de sistemas computacionales debido a: Pueden ser usados para entender aspectos estocásticos de las redes de Comunicación y redes de cómputo. Pueden ser usados para simular servidores de sistemas diversos tales− como: Bancarios, sistemas de producción, simulación de vuelos, etc. Al fin una cola es una línea de espera Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE SIMULACIÓN: La simulación es el diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentalmente con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema del mundo real o evaluar varias estrategias con los cuales puedan operar el sistema. La Simulación es una herramienta universalmente aceptada por diversas razones. VENTAJAS: 1. Es un proceso relativamente eficiente y flexible. 2. Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situación real, pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de análisis cuantitativo convencional.

3.

En

algunos

casos

la

simulación

es

el

único

método

disponible.

4. Los modelos de simulación se estructuran y nos resuelve en general problemas trascendentes. 5. Los directivos requieren conocer como se avanza y que opciones son atractivas; el directivo con la ayuda del computador puede obtener varias opciones de decisión. 6. La simulación no interfiere en sistemas del mundo real. 7. La simulación permite estudiar los efectos interactivos de los componentes individuales o variables para determinar las más importantes. 8. La simulación permite la inclusión de complicaciones del mundo real.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II DESVENTAJAS: 1. Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a menudo el proceso de desarrollar un modelo es largo y complicado. 2. La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis cuantitativos, en técnicas como cantidad económica de pedido, programación lineal o PERT. Por ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridas en el computador. 3. Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar las soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por si mismo. 4. Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son usualmente transferibles a otros problemas. 5. Siempre quedarán variables por fuera, y esas variables (si hay mala suerte) pueden cambiar completamente los resultados en la vida real que la simulación no previó... en ingeniería se "minimizan riesgos, no se evitan".

QUE INTENTA LA SIMULACION? 1. Descubrir el comportamiento de un sistema 2. Postular teorías o hipótesis que expliquen el comportamiento observado 3. usar esas teorías para predecir el comportamiento futuro del sistema, es decir mirar los efectos que se producirían en el sistema mediante los cambios dentro de él o en su método de operación (tiempo en minutos)

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UNIDAD IV: CADENAS DE MARKOV 4.1 DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICIÓN 4.2 CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN Y DE ESTADO LIBRE. 4.3 APLICACIONES. CADENAS DE MARKOV Una cadena de Markov, que recibe su nombre del matemático ruso Andrei Markov, es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la Propiedad de Markov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro. Una cadena de Markov es una secuencia X1, X2, X3,… de variables aleatorias. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces: Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la Propiedad de Markov.

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Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En la siguiente figura se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. El generador de Markov produce uno de n eventos posibles, Ej, donde j = 1, 2,. . ., n, a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales). Las probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. Este estado se describe por el último evento generado. En la figura, el último evento generado fue Ej., de manera que el generador se encuentra en el estado Mj.

La probabilidad de que J.C. sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional: P (Ek / Mj). Esto se llama probabilidad de transición del estado Mj al estado Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición. Probabilidades de transición. Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados, como el que se muestra en la figura 4.1.2. En ésta se ilustra un sistema de Markov con cuatro estados posibles: M1, M2, M3 y M4. La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama

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Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en la tabla 4.1.1

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . Para n = 0, 1, 2,....

El superíndice n no se escribe cuando n = 1.

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CALCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN Y DE ESTADO ESTABLE

En general no es posible saber en que estado se encuentra una cadena en una determinada etapa, por lo tanto lo que haremos será trabajar con un vector de probabilidades

en el cual representaremos la probabilidad de cada estado en la etapa k. Supongamos que queremos calcular las probabilidades de cambiar al estado ej en la etapa k+1. Para ello debemos utilizar el teorema de las probabilidades totales:

Lo que es equivalente a

Y por tanto obtenemos que el vector de probabilidades de la etapa k+1 se calcula multiplicando el vector de la etapa k por la matriz de transición:

Habitualmente nosotros tendremos una configuración de probabilidades inicial

y

nos interesará calcular cuales son las probabilidades después de k etapas. Esto se consigue aplicando recursivamente el resultado anterior:

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Ejemplo: Veamos como podemos aplicar esto en el problema de las operadoras de telefonía en el cuál recordemos

T= Supongamos que queremos saber cual será la compañía que contratará dentro de un año un usuario que ahora mismo trabaje con la compañía A.

·

Tendremos entonces que la configuración inicial de probabilidades será

= (1, 0,

0) ya que sabemos a ciencia cierta que el usuario trabaja con A. ·

Además, lo que nosotros buscamos son las probabilidades después de un año, es

decir dos etapas después. Por tanto

·

Con lo cual obtenemos que un año después el usuario tendrá una probabilidad de

0.32 de estar en la compañía A, 0.28 de estar en la B y 0.4 de estar en la C.

MATERIA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Ejemplo: De la misma manera podemos trabajar con una configuración inicial no determinista, por ejemplo si en el instante inicial la compañía A tiene un 40% de cuota de mercado, la B un 15% y la C un 45. En ese caso si queremos ver como estará el mercado después de dos años lo que haremos será:

·

En este caso la configuración inicial es

= (0.4, 0.15, 0.45)

·

Dos años equivalen a cuatro etapas, por tanto

Por tanto dentro de dos años la compañía A tendrá el 21.87% de la cuota de mercado, la B el 23.59% y la C el 54.54%.

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UNIDAD V: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 5.1 INTRODUCCIÓN 5.2 FORMULACIÓN DE MÉTODOS 5.3 MÉTODO HACIA ATRÁS.

INTRODUCCIÓN La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro. Conviene resaltar que a diferencia de la programación lineal, el modelado de problemas de programación dinámica no sigue una forma estándar. Así, para cada problema será necesario especificar cada uno de los componentes que caracterizan un problema de programación dinámica. El procedimiento general de resolución de estas situaciones se divide en el análisis recursivo de cada una de las etapas del problema, en orden inverso, es decir comenzando por la última y pasando en cada iteración a la etapa antecesora. El análisis de la primera etapa finaliza con la obtención del óptimo del problema.

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Los problemas de programación lineal tienen dos características comunes: son estáticos y lineales. Estos atributos significan que los problemas se expresan y resuelven en términos de una situación específica que ocurre en determinado momento y cumpliendo con las cuatro condiciones descritas en las características de la programación lineal. Cuando se considera un problema con respecto a variaciones no lineales en el transcurso de etapas, que pueden ser periodos de tiempo, ya no son aplicables las técnicas de programación lineal. Un enfoque que incluye las etapas fases es el de la programación dinámica. Para la aplicación de la programación dinámica es necesario tener un cierto grado de creatividad que se puede adquirir mediante la práctica en la solución de diversos tipos de problemas.

Ejemplo prototipo Supóngase que nos encontramos en una zona de la ciudad cuyas principales calles se encuentran distribuidas como se muestra en la figura:

Todas las calles son en un solo sentido y los números que aparecen sobre ellas nos indican el esfuerzo necesario para ir de un extremo de la calle al siguiente. Este esfuerzo puede representar el costo del combustible, el tiempo para recorrer la distancia, etc.

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Una manera de resolver este problema es empleando la técnica de la ruta más corta. Otra manera, es enumerando todas las posibles rutas entre sumar los esfuerzos cuadra por cuadra, y después escoger la ruta cuya suma sea menor. Existen 20 rutas distintas para llegar de O a T, y es necesario hacer 5 sumas para encontrar el esfuerzo total de cada ruta, esto nos da como resultado 100 sumas y 20 comparaciones. Desde luego, existe un método que nos permite resolver el problema con un menor número de sumas y de comparaciones. Este método es conocido con el nombre programación dinámica. Para desarrollar el método de la programación dinámica es necesario razonar el problema de la siguiente manera: en este momento me encuentro en el nodo =, y no sé si dirigirme hacia el nodo A o en nodo B, si de alguna manera conociera el mínimo esfuerzo para ir de A hacia T, entonces fácilmente podría decidir el camino a tomar estando en el origen 0. La idea fundamental de la programación dinámica, es que, únicamente es relevante el esfuerzo total de A a T y de B a T cuando nos encontramos en 0, y que todas las posibles rutas de A a T y de B a T no se toman en cuenta para la decisión en 0. Por lo tanto, razonando en forma similar al encontramos en cada nodo, deducimos que debemos resolver el problema del final hacia el principio.

Características de la programación dinámica La programación dinámica parte de una pequeña porción del problema y llega a la solución óptima para esa pequeña parte del problema, entonces gradualmente se agranda el problema hallando la solución óptima en curso a partir de la anterior. Este proceso se repite hasta obtener la solución óptima del problema original.

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Definiciones Etapa: es un periodo o fase perfectamente identificable del problema, en el cual es necesario tomar una decisión de acuerdo a una política establecida. Estado: es el conjunto de alternativas posibles que se encuentran dentro de una etapa. Políticas de decisión: es la mecánica para elegir una alternativa que nos llevará a i estado en la siguiente etapa. Objetivo: es la meta a alcanzar tomando las decisiones de acuerdo a la política ce decisión establecida en cada etapa del problema. Principio de optimalidad de Bellman: la política de decisión óptima en cualquier etap2 depende solamente del estado en esa etapa, y no de las decisiones tomadas en etapas anteriores. Un problema de programación dinámica puede representarse mediante una red en la cual los nodos representen los diferentes estados en una etapa, y las ramas representan las decisiones que se toman para ir a la siguiente etapa. Es muy importante hacer notar que no se pueden tomar dos decisiones ni simultáneamente ni sucesivamente dentro de una misma etapa, por lo tanto, los estados dentro de una misma etapa nunca se podrán conectar entre sí, pues al elegir una decisión, las deben de quedar automáticamente excluidas.