Intervalo De Confianza

Intervalo de confianza para µ (media poblacional) con nivel de confianza 1-α:

a) Con σ2 conocida:

X ± Z1-α/2

b) Con σ2 desconocida:

X ± t1-α/2(n-1)

c) Si n > 30 :

X ± Z1-α/2

σ n

S n

S n

Intervalo de confianza para σ² (varianza poblacional) con nivel de confianza 1-α:    (n − 1)S 2 (n − 1)S 2   χ 2 (n − 1) , χ 2 (n − 1)  α  1− α  2  2 

Intervalo de confianza para π (proporción poblacional) con nivel de confianza 1-α:

p ± Z1-α/2

pq n

Intervalo para la diferencia de medias de dos poblaciones µ1-µ2 con nivel de confianza 1-α: a) Con varianzas iguales (σ21 = σ22) (homocedasticidad). 1 1 + ( X1 - X 2 ) ± t1-α/2(n1+n2-2) S n1 n2

(n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 22 donde S = n1 + n2 − 2 2

b) Con varianzas desiguales (σ21 ≠ σ22) (heterocedasticidad). ( X1 - X 2 ) ± t1-α/2(g)

S12 S 22 + n1 n2 2

 S12 S 22    + n n  1 2  −2 donde g = 2 2 2 1  S1  1  S 22    +   n1 + 1  n1  n2 + 1  n2 

Intervalo para la diferencia de proporciones π1- π2 de dos poblaciones con nivel de confianza 1-α: (p1-p2) ± Z1-α/2

p1q1 p2 q2 + n1 n2

Cálculo del Tamaño de la Muestra Definición El error de una estimación en un intervalo de confianza de nivel de confianza 1-α es la semiamplitud del intervalo obtenido. EL PROBLEMA DE LA DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL

Consiste en calcular el tamaño de la muestra necesario para que el error cometido al estimar el parámetro sea menor que una cierta cantidad, e, con un nivel de confianza de (1 – α)100% . Para el cálculo del tamaño de la muestra en una estimación por intervalo de un parámetro debe conocerse: • •

•

La variabilidad de los datos de la población a la cual pertenece el parámetro que se desea estimar. La precisión con que se desea obtener la estimación: es la amplitud deseada del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza. El nivel de confianza deseado.

Tamaño muestra para estimación de la media Al examinar los IC se puede observar que una forma de disminuir el error de estimación es aumentar el tamaño de la muestra, si éste incluye el total de la población, entonces | X -µ| sería igual a cero. Con esto en mente, parece razonable que para un nivel de confianza fijo, sea posible determinar un tamaño de la muestra tal que el error de estimación sea tan pequeño como queramos, para ser mas preciso, dado un nivel de confianza y un error fijo de estimación “e”, se puede escoger un tamaño de muestra n tal que P(| X -µ| < e)=nivel de confianza=1-α. Con el propósito de determinar n. El error máximo de estimación esta dado por: e = Z1-α/2

σ n

Si se eleva al cuadrado ambos lados de esta ecuación y se despeja n de la ecuación resultante, obtenemos:

 Z1−α σ 2 n=  e 

   

2

Como n debe de ser un número entero, redondeamos hacia arriba todos los resultados fraccionarios. En el caso de que se tenga una población finita y un muestreo sin reemplazo, el error de estimación se convierte en:

e=

Z1−α σ 2

n

N −n N −1

De nuevo se eleva al cuadrado ambos lados y se despeja la n, obteniendo:

n=

Z12−α σ 2 N 2

e 2 ( N − 1) + Z12−α σ 2 2

Ejemplo: Supongamos que V(X) = 25, ¿cuál debe ser el mínimo tamaño muestral para que el error de estimación no sea superior a 0,5 con nivel de confianza del 95%? Como la semiamplitud del intervalo es: e = Z1-α/2 Sustituyendo los valores: 1,96

5

σ y se desea que e < 0,5. n

< 0,5.

n

Por tanto, 384,16 < n, luego el menor valor de n es 385.

Tamaño de la Muestra para Estimar una Proporción Se desea saber qué tan grande se requiere que sea una muestra para asegurar que el error al estimar π (proporción poblacional) sea menor que una cantidad específica “e”. pq n

e = Z1-α/2

Elevando al cuadrado la ecuación anterior se despeja n y nos queda:

n=

Z12−α pq 2 2

e

Esta fórmula es algo engañosa, pues debemos utilizar p para determinar el tamaño de la muestra necesario para calcular p y con él estimar π, pero p se calcula a partir de la muestra. Existen ocasiones en las cuales se tiene una idea aproximada de la proporción π de la población y ese valor se puede sustituir en la fórmula, pero si no se sabe nada referente a esa proporción π entonces se tienen dos opciones: •

•

Tomar una muestra preliminar mayor o igual a 30 para proporcionar una estimación de π. Después, con el uso de la fórmula se podría determinar de forma aproximada cuántas observaciones se necesitan para proporcionar el grado de precisión que se desea. Sustituir en la fórmula el valor de p como 0,5 ya que de esa manera se obtiene el tamaño de muestra mayor posible. Observe el siguiente ejemplo:

Se desconoce el valor de P, por lo que se utilizarán diferentes valores y se sustituirán en la fórmula para observar los diferentes tamaños de muestras. El nivel de confianza que se utilizará es del 95% con un error de estimación de 0.30

p

n=

Z12−α pq 2 2

e

n

0.10

3.84

0.20

6.82

0.30

8.96

0.40

10.24

0.50

10.67

0.60

10.24

0.70

8.96

0.80

6.82

0.90

3.84