Integral Matematika Kelas Xii Sma

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung integral fungsi dengan metode substitusi. 1. UAS Kalkulus Semester Pendek 2004 no. 1b (kriteria: mudah) Z p Tentukan 2x 4x2 + 5 dx Jawab:

Dengan memisalkan u = 4x2 + 5 =) du = 8x dx =) maka

Z

p 2x 4x2 + 5dx = =

1 du = 2x dx; 4

Z 1 p 1 2 udu = u3=2 + C 4 4 3 1 3=2 4x2 + 5 + C: 6

2. UAS Kalkulus 2004 no. 4 (kriteria: mudah) Z2 Diketahui f (x) dx = 6. Dengan menggunakan aturan substitusi, 1

hitung

Z1

xf (x2 + 1) dx.

0

Jawab: Diketahui

Z

2

f (x) dx = 6: Dengan memisalkan

1

u = x2 + 1 =) du = 2x dx =)

1 du = x dx; 2

dan mengubah batas pengintegralan x = 0 =) u = 1; x = 1 =) u = 2; maka integral Z

1

xf x2 + 1 dx =

0

=

1

Z 1 2 f (u) du 2 1 1 (6) = 3: 2

3. UAS Kalkulus (1) 2003 no. 2a (kriteria: mudah) Tentukan

Z

q x 1

Jawab:

2

dx 2

(ln x)

1 Misalkan u = ln x; maka du = dx; sehingga x Z Z 1 2 q dx = 2 p du = 2 sin 2 1 u2 x 1 (ln x) = 2 sin

1

1

(u) + C

(ln x) + C; dengan C konstanta.

4. UAS Kalkulus 2002 no. 1b (kriteria: mudah) Z p Tentukan x x2 + 2 dx Jawab:

Misalkan u = x2 + 2 =) du = 2x dx =)

1 du = x dx 2

sehingga Z

Z 1 1 2 3=2 u1=2 du = u 2 2 3 1 2 3=2 x +2 + C: 3

p x x2 + 2dx = =

+C

5. UAS Kalkulus 1, tahun 2002 no. 1b (kriteria: mudah) Tentukan

Z

2

[ln (x)] dx x

Jawab: Misalkan u = ln x =) du =

1 dx x

sehingga Z

2

(ln (x)) dx = x

Z

u2 du =

1 3 1 3 u + C = (ln x) + C: 3 3

6. UAS Kalkulus 2002 no. 2 (kriteria: mudah) Tentukan Z ex a. dx 1 + ex Jawab:

b.

Z

p (sec2 x) 1 + tan x dx:

2

(a) Misalkan u = 1 + ex =) du = ex dx sehingga Z

ex dx = 1 + ex

Z

1 du = ln juj + C = ln j1 + ex j + C: u

(b) Misalkan u = 1 + tan x =) du = sec2 x dx; sehingga Z Z p 2 sec x 1 + tan xdx = u1=2 du =

2 3=2 2 3=2 u + C = (1 + tan x) + C: 3 3

7. UAS Kalkulus tahun 2001 no. 1a (5 poin) R p Tentukan 2x x2 1 dx Jawab:

Misalkan u = x2

1 =) du = 2x dx;

sehingga Z

p 2x x2

1dx = =

Z

u1=2 du =

2 2 x 3

1

2 3=2 u +C 3

3=2

+ C:

8. UAS Kalkulus1 tahun 2001 no. 3 p Z ln x (ln x)2 + 1 dx: Tentukan x Jawab: 1 1 ln x Misalkan u = (ln x)2 + 1; maka du = 2 (ln x) dx: Jadi du = dx; x 2 x sehingga integralnya menjadi Z i3=2 1 1 2 3=2 1h 2 u1=2 du = u +C = (ln x) + 1 + C: 2 23 3 9. UAS Kalkulus 1 tahun 1999 no. 2 Hitunglah integral tak tentu berikut Z p (a) x 1 x dx 3

(b)

Z

p

x dx 1 x

Jawab: Misalkan u = 1

x; maka du =

dx; dan x = 1

u; sehingga

(a) Z

p x 1

Z

xdx =

(1 Z

=

p u) u ( du) u1=2

u3=2 du

2 3=2 2 5=2 u + u +C 3 5 2 2 3=2 (1 x) + (1 3 5

= =

5=2

x)

+C

(b) Z

x p dx = 1 x

Z

= =

1 u p ( du) u Z (1 u) u 1=2 du Z (u 1=2 u1=2 )du

2 2u1=2 + u3=2 + C 3 2 1=2 2 (1 x) + (1 3

= =

3=2

x)

+ C:

10. UAS Kalkulus1 tahun 1997 no. 1b. Tentukan integral taktentu bagi fungsi berikut:

f (x) = 9x2 3x3

Jawab: Misalkan u = 3x3 10; maka du = 9x2 dx; sehingga Z Z 7 9x2 3x3 10 dx = u7 du

1 8 1 u +C = 3x3 8 8

=

11. UAS Kalkulus1 tahun 1997 no. 3 Tentukan integral tentu berikut: (a)

Z4

p

x+

p

2x + 1 dx

0

4

10

8

+ C:

10

7

(b)

Z0

p 3x2 x3 + 1 dx

1

Jawab:

(a)

Z4

p

x+

p

2x + 1 dx =

0

Z4

p

xdx +

0

Z4

p

2x + 1dx:

0

Untuk integral kedua, misalkan u = 2x + 1; maka du = 2dx; sehingga 1 du = dx: 2 Ubah batas integralnya x=0 ) u=1 x=4 ) u=9 Sehingga Z4

p

xdx +

Z4

p

2x + 1dx =

0

0

Z4

p

1 xdx + 2

0

= = =

Z9

u1=2 du

1

4

9

1 2 3=2 u 2 3 0 1 1 3=2 2 3=2 4 0 + 9 13=2 3 3 1 42 2 (8) + (26) = = 14: 3 3 3 2 3=2 x 3

+

(b) Misalkan u = x3 + 1; maka du = 3x2 dx: Ubah batas: x= 1 ) u=0 x=0 ) u=1 Sehingga Z

0

3x2 1

p

x3 + 1dx =

Z

1

p

udu

0

2 3=2 u 3

= 12. UAS 1997 no. 6b. Hitunglah integral taktentu berikut: Jawab: 5

Z

1

= 0

x 1

x2

dx

2 (1 3

0) =

2 : 3

Misalkan u = 1 x2 ; maka du = 2xdx; sehingga Z Z x 1 du dx = 2 1 x 2 u 1 ln juj + C = 2 1 = ln 1 x2 + C; dengan C konstanta. 2 13. UAS tahun 1996 no. 1b.

Z

Tentukan integral taktentu berikut Jawab:

sin7 (7x) cos (7x) dx:

Misalkan u = sin (7x) ; maka du = 7 cos (7x) dx; sehingga Z Z 1 sin7 (7x) cos (7x) dx = u7 du 7 11 8 = u +C 78 1 sin8 (7x) + C; = 56 dengan C suatu konstanta. 14. UAS tahun 1996 no. 2a. Tentukan integral taktentu berikut: Jawab: Z

cos3 (5x) dx =

Z

Z

Z

cos3 (5x) dx

cos2 (5x) cos (5x) dx

sin2 (5x) cos (5x) dx Z Z = cos (5x) dx sin2 (5x) cos (5x) dx =

1

Dengan memisalkan u = 5x; maka du = 5dx pada integral suku pertama, dan pemisalan u = sin (5x) sehingga du = 5 cos (5x) dx pada integral suku kedua, maka integral tersebut menjadi Z 1 1 1 11 3 u +C sin (5x) u2 du = sin (5x) 5 5 5 53 1 1 = sin (5x) sin3 (5x) + C; 5 15 dengan C suatu konstanta.

6

15. UAS tahun 1996 no. 3a. Tentukan

Z

2

p x x

1dx;

1

Jawab: Misalkan u = x

1; maka du = dx dan x = u + 1:

(a) Ubah batas: x=1 ) u=0 x=2 ) u=1 Sehingga Z

2

p x x

1dx =

1

Z

1

p (u + 1) udu

0

=

Z

1

u3=2 + u1=2 du

0

= = =

2 5=2 2 3=2 u + u 5 3 2 2 (1) + (1) 5 3 16 2 2 + = : 5 3 15

1 0

(0 + 0)

16. UAS 1996 no. 6 Tentukan: (a)

(b)

Z

earctan(2x) dx; 4x2 + 1 Z

p

x dx x+1

Jawab: (a) Dengan memisalkan u = arctan (2x) ; maka du =

7

2 2

(2x) + 1

dx; se-

hingga Z

Z

earctan(2x) dx = 4x2 + 1

earctan(2x)

dx 2 (2x) + 1 Z 1 eu du 2 1 u e +C 2 1 arctan(2x) e + C; dengan C konstanta. 2

= = =

(b) Misalkan u = x + 1; maka du = dx dan x = u 1; sehingga Z Z Z x u 1 p p du = (u 1) u 1=2 du dx = u x+1 Z = u1=2 u 1=2 du 2 3=2 u 2u1=2 + C 3 2 3=2 1=2 (x + 1) 2 (x + 1) + C; = 3 dengan C suatu konstanta. =

17. UAS tahun 1995 no. 7a. Tentukan integral tentu berikut:

Z4

1 p dx x+ x

1

Jawab:

Z

Z 4 1 1 p dx = p p dx: x + x x ( x + 1) 1 1 p 1 1 Dengan substitusi u = x+1; maka du = p dx; sehingga p dx = 2du: 2 x x Jadi: 4

(a) Cara 1: Z Ini berarti Z

1

4

Z 1 1 p p dx = 2 du = 2 ln juj + C u x ( x + 1) p = 2 ln x + 1 + C:

1 p dx = x+ x

2 ln

=

p

2 ln (3)

8

x+1 +C

4 1

2 ln (2) = 2 ln

3 2

:

Cara 2: Ubah batas: x = 1 ) u = 2; dan x = 4 ) u = 3; sehingga Z 4 Z 3 1 1 3 p dx = 2 du = 2 [ln juj]2 x 1 x+ 2 u 3 = 2 ln (3) 2 ln (2) = 2 ln : 2

1

Substitusi trigonometri 1. UAS tahun 1997 no. 6a.

Z

Hitunglah integral taktentu berikut: Jawab:

p

1

dx

x2

1

Dengan substitusi (trigonometri) x = sin t; maka dx = cos t dt; sehingga Z Z 1 1 p p dx = cos t dt 2 1 x 1 sin2 t Z cos t p dt = cos2 t Z = dt = t + C =

arcsin (x) + C:

2. UAS 1996 no. 9. Tentukan

Z

(x (6x

2

3)

5=2

x2 )

dx:

Jawab: Z

(x (6x

2

3)

dx = 5=2 x2 ) =

Dengan memisalkan x

Z Z

(x [ (x2 h

(x (x

2

3)

5=2

6x)]

dx

2

3)

i5=2 dx 3) + 9 2

3 = 3 sin ; maka dx = 3 cos d ; sehingga

9

Z

h

(x (x

2

3)

i5=2 dx = 2 3) + 9 = = = = = =

3. UAS tahun 1995 no. 6b. Tentukan integral taktentu berikut: Jawab: Z

Z

9 sin2 9

9 sin2

5=2

3 cos d

Z

9 sin2 (3 cos ) d (9 cos2 )5=2 Z 27 sin2 cos d 35 cos5 Z 1 sin2 d 9 cos4 Z 1 tan2 sec2 d 9 11 tan3 + C 93 3 (x 3) 1 h i3=2 + C 27 2 9 (x 3)

Z

p

4 4

x dx 9x2

Z Z x 4 x p p dx = dx dx: 9x2 4 9x2 4 9x2 2 2 Dengan memisalkan x = sin ( ) ; maka dx = cos ( ) d ; sehingga 3 3 2 Z Z Z cos ( ) d 4 8 cos ( ) p q dx = 4 p3 = d 2 3 4 9x2 4 4 sin 2 1 sin2 ( ) Z Z 4 cos ( ) 4 4 p = d = d = 3 3 3 cos2 ( ) p

4 4

=

4 sin 3

1

3x 2

+ C1

Sekarang dengan substitusi u = 4 9x2 ; maka du = 18x dx; sehingga Z Z x 1 du 1 p p = dx = 2u1=2 + C2 18 18 u 4 9x2 1p 4 9x2 + C2 = 9 Jadi Z 4 4 x 3x 1p p dx = sin 1 4 9x2 + C: + 3 2 9 4 9x2 10