Insiemi E Probabilita'

INSIEMI E PROBABILITA’ 1. Insiemi, sottoinsiemi e operazioni insiemistiche Alla base della probabilità e della statistica, come della matematica in generale, si trova il concetto di insieme. Un insieme può essere inteso come una collezione di oggetti, detti “elementi” dell’insieme. In generale si denota un insieme con una lettera maiuscola come A, B, C e un elemento mediante una lettera minuscola a, b. Se un elemento a appartiene ad un insieme C scriveremo a ∈ C ; scriveremo invece a ∉ C se a non appartiene a C. Un insieme può essere definito elencando i suoi elementi, o nel caso in cui ciò non sia possibile, descrivendo qualche proprietà goduta dagli elementi dell’insieme e non goduta da quelli che non appartengono all’insieme. Il primo modo è detto “metodo della tabella” mentre il secondo “ metodo della proprietà”. Esempio L’insieme di tutte le vocali dell’alfabeto italiano può essere definito col metodo della tabella come {a, e, i, o, u} oppure col metodo della proprietà come {x | x è una vocale} e si leggerà “l’insieme di tutti gli elementi x tale che x è una vocale”. Se ogni elemento di un insieme A appartiene anche ad un insieme B, diremo che A è un “sottoinsieme” di B, scriveremo A ⊂ B o A ⊃ B e leggeremo “A è contenuto in B” oppure “ B contiene A”. Ne segue che, per ogni insieme A, vale A ⊂ A . Se A ⊂ B e B ⊂ A diremo che A e B sono “uguali” e scriveremo A = B; in questo caso A e B hanno esattamente gli stessi elementi. Se A non è uguale a B, cioè se A e B non hanno esattamente gli stessi elementi, scriveremo A ≠ B. Se A ⊂ B ma A ≠ B, diremo che A è un “sottoinsieme proprio” di B.

Esempio Nel lancio di un dado i possibili risultati in cui il dado si presenta con una faccia “pari” sono elementi dell’insieme {2, 4, 6} che è un sottoinsieme proprio dell’insieme di tutti i risultati possibili {1, 2, 3, 4, 5, 6}. E’ utile prendere in considerazione due particolari insiemi.
L’insieme di tutti i risultati possibili che chiameremo “insieme totale” o “spazio” e lo denoteremo con S. Gli elementi dello spazio sono spesso chiamati “punti” dello spazio.
L’insieme privo di elementi che chiameremo “insieme vuoto” o “insieme nullo” e lo denoteremo con Ø. Questo insieme è sottoinsieme di qualunque insieme. Esempio Se lanciamo un dado l’insieme di tutti i risultati possibili è lo spazio S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L’insieme dei risultati la cui somma è pari a 7 o 11 nel lancio di un singolo dado è vuoto. L’insieme totale può essere geometricamente rappresentato mediante l’insieme dei punti interni ad un rettangolo. In questo caso i sottoinsiemi di S (come A e B colorati nella fig. 1) sono rappresentati da insiemi di punti interni ad un circolo. Tali diagrammi, detti “diagrammi di Venn”, sono spesso utili per indicare intuitivamente le relazioni fra insiemi.

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Fig. 1

• Unione. L’insieme di tutti gli elementi (o punti) che appartengono ad A oppure a B oppure ad entrambi è detto l’ “unione” di A e B ed è denotato da A ∪ B . (Fig. 2)

Fig. 2

• Intersezione. L’insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B è detto “intersezione” di A e B ed è denotato da A ∩ B . (Fig. 3)

Fig. 3

Due insiemi A e B tali che A ∩ B = Ø, cioè che non hanno alcun elemento comune, sono detti “insiemi disgiunti”. Sono disgiunti gli insiemi A e B della fig. 1. • Differenza. L’insieme di tutti gli elementi di A che non appartengono a B è detta la “differenza” di A e B ed è denotato da A – B. (Fig. 4)

Fig. 4

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• Complemento. Se B ⊂ A allora A – B è detto il “ complemento di A relativamente a B” ed è denotato da B A . (Fig. 5)

Fig. 5

Se A = S, allora S – B è detto semplicemente il “complemento” di B ed è denotato da B . (Fig. 6)

Fig. 6

2. Esperimenti casuali, spazio dei campioni, eventi Tutti conoscono l’importanza che hanno gli esperimenti nella scienza e nella tecnologia, ed il fondamentale principio secondo cui, se si esegue ripetutamente un esperimento nelle stesse condizioni, si arriva a risultati che sono essenzialmente uguali. Ci sono tuttavia esperimenti che, nonostante siano condotti nelle medesime condizioni, possono avere diversi risultati possibili, e il cui risultato non è prevedibile con certezza: esperimenti di questo tipo sono detti “casuali”. Esempio 1 Se lanciamo una moneta il risultato dell’esperimento può essere T(testa) o C(croce), cioè uno degli elementi dell’insieme {T, C}. Esempio 2 Se lanciamo un dado il risultato sarà uno dei numeri dell’insieme {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esempio 3 Se lanciamo due volte una moneta, il risultato può essere uno degli elementi dell’insieme {TT, CC, TC, CT}. Come si osserva dagli esempi, i possibili risultati dell’esperimento si possono esplicitare a priori, ma non si può dire con certezza quale si verificherà. Un insieme S contenente tutti i possibili risultati di un esperimento casuale è detto lo “spazio dei campioni” e ciascun risultato è detto un “punto campione”. Di solito ci potrà essere più di uno spazio dei campioni in grado di descrivere i risultati di un esperimento, ma uno solo ci darà le maggiori informazioni possibili. Si noti che S corrisponde all’insieme totale.

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Esempio Se lanciamo un dado, uno spazio dei campioni è {1, 2, 3, 4, 5, 6} mentre un altro è {pari, dispari}. Chiaramente quest’ultimo non ci permette di determinare, ad esempio, se il risultato è divisibile per 3. E’ spesso utile rappresentare graficamente uno spazio dei campioni; in questi casi si consiglia di usare numeri al posto di lettere tutte le volte in cui ciò sia possibile.

Esempio Se lanciamo due volte una moneta e usiamo 0 per indicare croce ed 1 per indicare testa, lo spazio dei campioni può essere rappresentato dai punti della figura in cui, ad esempio, (0, 1) rappresenta croce al primo e testa al secondo lancio, cioè CT.

Gli spazi dei campioni vengono classificati in base al numero degli elementi che essi contengono. - Lo spazio dei campioni corrispondente al lancio di un dado contiene 6 elementi, e costituisce un esempio di “spazio dei campioni finito”. - Se si considera come evento il numero di volte che un dado deve essere lanciato prima di ottenere un 6, si ha invece uno “spazio dei campioni infinito”: infatti ogni numero intero positivo è un possibile risultato. Il numero degli elementi in questo caso è un’infinità numerabile. - Uno spazio dei campioni è detto “discreto” se ha un numero finito o un’infinità numerabile di elementi. - Se lo spazio corrisponde a tutti i punti di un intervallo della retta reale, quale 0 ≤ x ≤ 1, lo spazio dei campioni è detto “ continuo”. Un “evento” è un sottoinsieme E dello spazio dei campioni S, cioè un insieme di risultati possibili. Esempio Si effettuano due lanci consecutivi di una moneta; lo spazio dei campioni è l’insieme S = {TT, CC, TC, CT} L’evento che si verifica quando si presenta una sola volta T è il sottoinsieme E1 = {TC, CT}. L’evento che si verifica quando si presenta la prima volta T è E2 = {TT, TC}. Se il risultato di un esperimento è un elemento di E, diremo che l’evento E si è verificato. Anche l’intero spazio S è un evento: l’evento “sicuro” o “certo”, poiché un elemento di S deve verificarsi. Ad esempio nel lancio di un dado l’evento certo è che esca uno dei numeri {1,2,3,4,5,6}. Anche l’insieme vuoto Ø è un evento: l’ “evento impossibile”. Dal momento che gli eventi sono insiemi, ogni affermazione concernente gli eventi può essere tradotta nel linguaggio della teoria degli insiemi e viceversa; in particolare avremo un’ “algebra degli eventi” corrispondente all’algebra degli insiemi. 4

Usando le operazioni insiemistiche sugli eventi di S si possono ottenere nuovi eventi di S. Se A e B sono eventi di S, allora 1. A ∪ B è l’evento “A oppure B o entrambi”. 2. A ∩ B è l’evento “sia A che B”. 3. A è l’evento “non A”. 4. A – B è l’evento “A ma non B”. Se gli insiemi corrispondenti agli eventi A e B sono disgiunti, cioè se A ∩ B = Ø, diremo che gli eventi sono “mutuamente esclusivi” intendendo dire che non possono verificarsi contemporaneamente. Esempio 1 Si effettuano due lanci di una moneta. Spazio dei campioni S = {TT, CC, TC, CT} Evento A = “si presenta almeno una T” Evento B = “il risultato del secondo lancio è C” Allora A = {TT, TC, CT}, B = {CC, TC} e quindi avremo A ∪ B = {TT, CC, TC, CT} = S A ∩ B = {TC} ≠ Ø A = {CC} A – B = {TT, CT} Gli eventi A e B non sono mutuamente esclusivi. Esempio 2 Si effettua un lancio di un dado. Spazio dei campioni S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento A = “uscita di un numero pari” Evento B = “uscita di un numero dispari” Allora A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5} e quindi avremo A ∪ B = S ⇒ A ∪ B evento certo A ∩ B = Ø ⇒ A ∩ B evento impossibile Gli eventi A e B sono mutuamente esclusivi.

3. Il concetto di probabilità In ogni esperimento casuale non sappiamo mai se un determinato evento si presenterà oppure no. La teoria della probabilità studia concetti e metodi per esprimere quantitativamente il grado di fiducia sul verificarsi di certi eventi. Ci sono due importanti procedure mediante le quali è possibile stimare la probabilità di un evento:


Probabilità a priori o probabilità matematica. La definizione classica di “probabilità matematica” P è: P=

numero casi favorevoli numero casi possibili

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Questa definizione assume che tutti i risultati possibili di un esperimento siano ugualmente probabili e che lo spazio dei campioni sia finito. La misura della probabilità viene perciò assegnata con il seguente procedimento: 1 – si determina il numero di tutti i casi possibili; 2 – si determina il numero dei casi favorevoli, cioè di quei casi che rendono verificato l’evento di cui si vuole calcolare la probabilità; 3 – si calcola il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili. Secondo questa definizione, ogni probabilità P è un numero compreso fra 0 e 1; inoltre la probabilità di un evento che non può accadere (“evento impossibile”) è P = 0 e la probabilità di un evento che accade sempre (“evento certo”) è P = 1. Talvolta la probabilità P viene moltiplicata per 100 ed espressa in percentuale: 0% ≤ P ≤ 100%. Esempio Supponiamo di voler determinare la probabilità che lanciando una moneta si verifichi testa. Ci sono due modi ugualmente possibili in cui la moneta può fermarsi e di questi due, testa può 1 presentarsi in un sol modo; concludiamo allora che la probabilità è . 2
Probabilità a posteriori o probabilità statistica (o frequentistica) Ci sono molti casi in cui i vari risultati possibili di un esperimento non sono tutti ugualmente probabili. In tal caso si può definire la probabilità per mezzo di una stima frequentistica, possibile solo dopo aver esaminato un gran numero di casi. Se, dopo aver ripetuto n volte un esperimento, con n sufficientemente grande, un evento si è verificato h volte, si dice che la probabilità di questo evento è h P= n Affinché questa definizione sia valida, occorre che tutte la prove avvengano nelle stesse condizioni, cosa che in realtà non è sempre ottenibile quando si analizzano fenomeni statistici. Esempio Se lanciamo 1000 volte una moneta e troviamo che testa si verifica 532 volte, stimiamo la probabilità di testa pari a 532/1000 = 0,532. Sia l’approccio classico sia quello frequentistico vanno incontro a serie difficoltà: il primo a ragione dell’espressione “ugualmente possibile” e il secondo per aver presupposto “n molto grande”, concetti la cui vaghezza è palese. A causa di queste difficoltà i matematici preferiscono l’“approccio assiomatico” alla probabilità che fa uso degli insiemi.

4. Gli assiomi della probabilità Sia S uno spazio dei campioni finito. Ad ogni evento A di S si associa un numero reale P(A), detto “probabilità dell’evento A”, che soddisfa i seguenti assiomi: Assioma 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1

Assioma 2. P(S) = 1 Assioma 3. Se A e B sono eventi mutuamente esclusivi di S (cioè A ∩ B = Ø), allora P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) In generale se A1, A2,…, An sono eventi mutuamente esclusivi di S, allora P( A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An) 6

P è una funzione definita sull’insieme degli eventi di S e a valori reali, detta “funzione di probabilità”, che a ogni sottoinsieme A di S associa un numero reale P : A ⊆ S → P(A) ∈ R. Dal 1° assioma segue che P(A) è un numero reale appartenente all’intervallo [0,1], dal 2° assioma segue che la probabilità dell’evento certo è 1, dal 3° assioma segue che le funzioni di probabilità sono additive. Esempio Un esperimento ha tre soli possibili risultati a, b, c; in ciascuno dei casi seguenti verificare se i valori assegnati alle probabilità sono accettabili 1 1 1 1 – P(a) = ; P(b) = ; P(c) = 3 3 3 2 – P(a) = 0,64; P(b) = 0,38; P(c) = -0,02 3 – P(a) = 0,35; P(b) = 0,52; P(c) = 0,26

1 – I valori assegnati alle probabilità sono accettabili, perchè sono compresi nell’intervallo [0,1] e la loro somma vale 1. 2 – Il valore di P(c) = -0,02 non è accettabile perché negativo. 3 – I valori non sono accettabili perchè la loro somma è 0,35 + 0,52 + 0,26 = 1,13 > 1

5. Alcuni importanti teoremi sulla probabilità Elenchiamo alcuni teoremi elementari che seguono dagli assiomi appena enunciati.

Teorema 1. Se A1 ⊂ A2, allora P(A1) ≤ P(A2) e P(A2 – A1) = P(A2) – P(A1). Teorema 2. Se A = A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n , in cui A1, A2,…, An sono mutuamente esclusivi, allora P(A) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An) In particolare se A = S, lo spazio dei campioni, allora P(A1) + P(A2) + …+ P(An) = 1

Teorema 3. Se A è il complemento di A allora P( A ) = 1 – P(A) In particolare l’evento impossibile ha probabilità nulla P(Ø) = 0

Teorema 4. Se A e B sono due eventi qualsiasi, allora P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B ) Più in generale, se A1, A2, A3 sono tre eventi qualsiasi, allora P( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P( A1 ∩ A 2 ) – P( A 2 ∩ A 3 ) – P( A 3 ∩ A 1 ) + P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) Sono anche possibili generalizzazioni a n eventi.

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6. Assegnazione di probabilità Se uno spazio dei campioni S contiene solo gli eventi A1, A2,…, An, allora per il teorema 2 P(A1) + P(A2) + …+ P(An) = 1 In particolare, se supponiamo che gli eventi semplici sono “equiprobabili”, allora 1 P(A k ) = k = 1, 2,…, n n e se A è un qualsiasi evento formato a partire da h di tali eventi semplici abbiamo h P(A) = n Questo equivale all’approccio classico alla probabilità descritto a pagina 5. Esempio1 Si lanci un solo dado; si trovi la probabilità che si verifichi un 2 o un 5. Lo spazio dei campioni è S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se assegniamo uguale probabilità ai punti campioni, 1 cioè se assumiamo che il dado non sia truccato, allora P(1) = P(2) = ... = P(6) = . 6 L’evento che si verifica quando si presenta 2 oppure 5 è indicato da 2 ∪ 5 ; vale dunque 1 1 1 P(2 ∪ 5) = P(2 ) + P(5) = + = 6 6 3 Esempio2 Siano A e B due eventi mutuamente esclusivi, con P(A) = 0,5 e P( A ∪ B ) = 0,6. Calcolare P(B). Poiché gli eventi sono mutuamente esclusivi, si ha P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) quindi P(B) = P( A ∪ B ) – P(A) = 0,6 – 0,5 = 0,1 Esempio3 Trovare la probabilità di non ottenere come somma del lancio di due dadi né 7 né 11. Lo spazio dei campioni S è costituito da 36 coppie di numeri, che rappresentano le possibili uscite su ciascuno dei due dadi. I punti del grafico rappresentano l’insieme S. Evento A = “ somma uguale a 7 oppure a 11” Evento A = “ somma né 7 né 11”

( )

P A = 1 − P(A ) = 1 −

8 7 = 36 9

8

7. Probabilità condizionata La probabilità di un evento è un numero che misura il grado di fiducia che noi abbiamo circa il realizzarsi di questo evento. E’ naturale allora che la probabilità di uno stesso evento possa cambiare, se cambiano le informazioni in nostro possesso. Il concetto di probabilità condizionata traduce formalmente l’idea intuitiva di probabilità di un evento, calcolata sapendo che si è verificato un altro evento. Siano A e B due eventi qualsiasi dello spazio campione S, rappresentati in figura, e sia P(A) ≠ 0. Si denoti con P(B | A) la probabilità di B quando si suppone che A si sia verificato. Dal momento che si sa che A si è verificato, esso diviene il nuovo spazio dei campioni in sostituzione di S. Da questa considerazione siamo condotti alla seguente definizione P(A ∩ B) P(B A ) = P(A) oppure P(A ∩ B) = P(A) P(B A ) . In parole, la probabilità del verificarsi di entrambi gli eventi A e B è uguale alla probabilità di A moltiplicata la probabilità che B si verifichi quando si supponga che A si sia già verificato. Indicheremo con P(B | A) la “probabilità di B condizionata ad A”, cioè la probabilità che si verifichi B supposto che si sia verificato A. Analogamente, se P(B) ≠ 0, la “probabilità di A condizionata a B” è definita da P(A ∩ B) P(A B ) = . P(B) Esempio Si trovi la probabilità che lanciando un dado una sola volta si verifichi un numero minore di 4 supponendo che: a) questo sia tutto ciò che sappiamo; b) sappiamo che il risultato è un numero dispari. Consideriamo i seguenti eventi Evento A = “esce un numero dispari” A = {1,3,5} Evento B = “esce un numero minore di 4” B = {1,2,3} a) Dal teorema 2 segue che: 1 1 1 3 1 P(B) = P(1) + P(2) + P(3) = + + = = 6 6 6 6 2 3 1 b) P(A) = = 6 2 2 1 A ∩ B = {1,3} ⇒ P(A ∩ B) = = 6 3 1 P(A ∩ B) 3 2 Quindi P(B A ) = = = . 1 3 P(A) 2

Si constata quindi che l’informazione b) aggiunta ad a) porta la probabilità da 1/2 a 2/3.

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7.1 Teoremi sulla probabilità condizionata Teorema 1. Per tre eventi A1, A2 e A3 qualsiasi vale P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = P(A1)P(A2 | A1) P(A3 | A1 ∩ A 2 ) cioè, la probabilità che A1, A2 e A3 si verifichino tutti e tre è pari alla probabilità che A1 si verifichi moltiplicata la probabilità che anche A2 si verifichi supponendo che A1 si sia già verificato moltiplicata infine la probabilità che A3 si verifichi quando si supponga che tanto A1 quanto A2 si siano già verificati. Il risultato si generalizza facilmente ad n eventi. Teorema 2. Se un evento A segue da uno degli eventi A1, A2,….., An tra di loro mutuamente esclusivi allora P(A) = P(A1)P(A | A1) + P(A2)P(A | A2) + …+ P(An)P(A | An) Esempio L’urna I contiene 3 palline rosse e 2 azzurre mentre l’urna II ne contiene 2 rosse e 8 azzurre. Una moneta non truccata è lanciata per decidere da quale urna estrarre le palline e se si verifica testa si estrae dall’urna I, in caso contrario dall’urna II. Si determini la probabilità di estrarre una pallina rossa. Evento R = “la pallina estratta è rossa”; Evento I = “la pallina proviene dall’urna I”; Evento II = “ la pallina proviene dall’urna II”. Poiché una pallina rossa può essere estratta sia dall’urna I sia dall’urna II possiamo usare il teorema 2 applicando la formula: P(A) = P(A1)P(A | A1) + P(A2)P(A | A2) in cui: A = R, A1 = I, A2 = II. Così la probabilità di estrarre una pallina rossa è  1  3   1  2  2 P(R) = P(I)P(R | I) + P(II)P(R | II) =    +   =  2  3 + 2   2  2 + 8  5

8. Eventi indipendenti Se P(B A ) = P(B), cioè se la probabilità del verificarsi di B non è influenzata dal fatto che A si sia verificato oppure no, allora diremo che A e B sono “eventi indipendenti”. Questo equivale a P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) . Questa relazione viene spesso assunta come definizione di eventi indipendenti; in ogni caso può essere usata per determinare se due eventi sono indipendenti.

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Esempio 1 Si lancia un dado; sia A l’evento “esce un numero pari” e B l’evento “esce un numero maggiore di 3”. Verificare se A e B sono indipendenti. Si ha A = {2,4,6}; B = {4,5,6}; A ∩ B = {4,6} P(A) = P(B) = P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B) =

3 1 = 6 2

1 1 1 ⋅ = 2 2 4

2 1 = 6 3

Dunque gli eventi non sono indipendenti, essendo P(A ∩ B) ≠ P(A) ⋅ P(B) . Esempio 2 Si effettuano due lanci di un dado. Sia Evento A = “primo lancio pari” Evento B = “secondo lancio ≤ 2” Stabilire se gli eventi A e B sono indipendenti. Lo spazio dei campioni S ha 36 elementi, che sono le coordinate dei punti del diagramma. A ∩ B = {(2,1); (2,2); (4,1); (4,2); (6,1); (6,2)}

P(A) =

18 1 = 36 2

P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B) =

P(B) =

12 1 = 36 3

1 1 1 ⋅ = 2 3 6

6 1 = 36 6

Dunque gli eventi A e B sono indipendenti, essendo P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) . Se A1, A2 e A3 sono indipendenti, essi devono essere indipendenti a due a due

P(A j ∩ A k ) = P(A j ) ⋅ P(A k ) j ≠ k in cui j, k = 1, 2, 3 e dovrà anche valere P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = P(A 1 ) ⋅ P(A 2 ) ⋅ P(A 3 ) . Anche in questo caso quanto abbiamo detto si generalizza facilmente nel caso di più di tre eventi.

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Esempio Tre palline sono estratte successivamente da un’urna che ne contiene 6 rosse, 4 bianche e 5 azzurre. Si trovi la probabilità che esse siano nell’ordine rossa, bianca e azzurra quando a) ciascuna pallina è rimessa nell’urna dopo l’estrazione; b) non è rimessa nell’urna. R1 = evento “rossa alla prima estrazione”; B2 = evento “bianca alla seconda estrazione”; A3 = evento “azzurra alla terza estrazione”. Si determini P(R 1 ∩ B 2 ∩ A 3 ) . a) Se ciascuna pallina è rimessa nell’urna, allora gli eventi sono indipendenti e P( R 1 ∩ B 2 ∩ A 3 ) = P(R 1 )P(B 2 )P(A 3 ) = 6 4 5 8       120 = = ⋅ ⋅ =  6 + 4 + 5   6 + 4 + 5   6 + 4 + 5  3375 225 b) Se le palline non sono rimesse nell’urna, allora gli eventi sono dipendenti e P( R 1 ∩ B 2 ∩ A 3 ) = P(R1)P(B2 | R1) P(A3 | R 1 ∩ B 2 ) = 6 4 5 4       120 = = ⋅  ⋅ =  6 + 4 + 5   5 + 4 + 5   5 + 3 + 5  2730 91

9. Teorema di Bayes Si supponga che A1, A2, ….., An siano eventi mutuamente esclusivi e la cui unione è lo spazio dei campioni S, cioè uno di essi si deve verificare. Se A è un evento con P(A) > 0, allora:

P(A k | A) =

P(A k ) P(A | A k ) n

∑ P(A ) P(A | A ) k =1

k

k

Questo teorema ci permette di trovare le probabilità degli eventi A1, A2, ….., An che possono essere la causa del verificarsi dell’evento A; per questo motivo è detto anche “teorema della probabilità delle cause”. Esempio Siano date due urne contenenti delle palline bianche e nere; nell’urna I il 70% delle palline sono nere; nell’urna II il 40% delle palline sono nere. La probabilità di scegliere l’urna I sia 0,1; la probabilità di scegliere l’urna II sia invece 0,9. Calcolare la probabilità che una pallina nera estratta a caso provenga dall’urna I. Evento N = “pallina estratta nera”; Evento I = “la pallina proviene dall’urna I”; Evento II = “ la pallina proviene dall’urna II”. P(I) = 0,1 P(II) = 0,9 P(N | I) = 0,7 P(N | II) = 0,4 Dal teorema di Bayes segue P(I ) ⋅ P(N | I ) 0,1 ⋅ 0,7 P(I | N) = = = 0,163 = 16,3% P(I ) ⋅ P(N | I ) + P(II ) ⋅ P(N | II ) 0,1 ⋅ 0,7 + 0,9 ⋅ 0,4

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