Informe Numeros Primos

¿QUÉ ES UN NÚMERO PRIMO? "Los números primos son aquellos números enteros que sólo son divisibles por si mismos y por la unidad". Ejemplos: 1,2,3,5,7,11,13,17,19..., -1,2,-3,... UN POCO DE HISTORIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS Los números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia.

Los matemáticos de la

Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables. Un número perfecto es aquel que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en si mismo. Por ejemplo, el número 6 tiene como divisores propios al 1, 2 y al 3 y 1 + 2 + 3 = 6, 28 tiene divisores 1, 2, 4, 7 y 14 y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Un par de números amigables es un par como 220 y 284 tal que los divisores propios de un número suman el otro y viceversa. Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinidad de números primos. Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdo para establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primos. Euclides también demostró que si el número 2n - 1 es primo, entonces el número 2n-1(2n - 1) es un número perfecto. El matemático Euler (más tarde, en 1747) pudo demostrar que todos, aún los números perfectos, tienen esta forma. Hasta el día de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar.

Cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes. Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente llamado la Edad Obscura. El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat en los inicios del siglo XVII. El demostró que la teoría de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4 n + 1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados y demostró como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados. Ideó un nuevo método de factorización de números largos que demostró por medio de la factorización del número 2027651281 = 44021 × 46061. Probó lo que se conoce como El pequeño teorema de Fermat (para distinguirlo del llamado Ultimo Teorema).

Este establece que si p es un número primo

entonces para cualquier entero a obtenemos que ap = a modulo p. Esto prueba la mitad de lo que se ha llamado la Hipótesis China que data de unos 2000 años antes, y que dice que un entero n es primo si y solo si el número 2n - 2 es divisible por n. La otra mitad es falsa, ya que, por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341 aún cuando 341 = 31 × 11 es compuesto. El Pequeño Teorema de Fermat es la base de otros muchos resultados en la Teoría de Números y es la base de métodos de verificación de números primos que se utilizan aún hoy en ordenadores electrónicos. Fermat mantuvo correspondencia con otros matemáticos de su época, y en particular con el monje Marín Mersenne. En una de sus cartas a Mersenne, él conjetura que los números 2n + 1 eran siempre primos si n es una potencia de 2. El había verificado esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16 y sabía que si n no era una potencia de 2, el resultado fallaba. Los números de esta forma son llamados Números de Fermat y no fue hasta más de 100 años más tarde que Euler demostró que 232 + 1 = 4294967297 es divisible por 641 y por tanto no es primo.

Los números de la forma 2n - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto. A menudo éstos son llamados Números primos de Mersenne Mn, dado que Mersenne los estudió. No todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 es compuesto, aunque fue notado por primera vez en 1536. Durante muchos años los números obtenidos de esta forma fueron los primos más largos conocidos. Cataldi probó que el número M19 es primo en 1588 y fue el primo más grande conocido por unos 200 años hasta que Euler probó que M31 es primo. Este marcó el récord por otra centuria hasta que Lucas demostró que M127 (el cual tiene 39 dígitos) es primo, tomando el récord hasta la era de la computadora electrónica. En 1952 Robinson probó que los números primos de Mersenne M 521, M607, M1279, M2203 y M2281 son primos utilizando un modelo temprano de ordenador comenzando así la era electrónica. Para el 2005 habían sido encontrados un total de 42 primos de Mersenne. El más grande es M25964951, el cual tiene 7816230 dígitos decimales. El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría numérica en general y sobre la de primos en particular. Él amplió el Teorema Pequeño de Fermat e introdujo la función φ de Euler. Como mencionamos antes, factorizó el 5o número Fermat 232 + 1, y encontró 60 pares de números amigables a los que nos referimos anteriormente, y estableció (pero no pudo demostrar) lo que se conoce como la Ley de Reciprocidad Cuadrática. Fue el primero en notar que la Teoría de Números puede ser estudiada utilizando las herramientas del análisis y así fundo el objeto de la Teoría del

Análisis Numérico. Él demostró que no solo las llamadas series Armónicas ∑ (1/n) divergen, sino que las series 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... formadas por la suma de los recíprocos de los números primos, son también divergentes. La suma de n términos en las series armónicas crece rápidamente como log(n), mientras que las series tardías divergen más lentamente como log[ log(n) ]. Esto significa, por ejemplo, que sumando los recíprocos de todos los primos que hemos listado, aún en las más poderosas computadoras, solo da un resultado próximo a 4, pero la serie continúa divergiendo a infinito. A primera vista, los primos parecen estar distribuidos de manera caótica entre los enteros. Por ejemplo entre los 100 números anteriores a 10 000 000 hay 9 primos, mientras que entre los 100 números posteriores hay solo 2 primos. Sin embargo, tomando una escala mayor, la distribución de los números primos es bastante regular. Legendre y Gauss realizaron exhaustivos cálculos sobre la densidad de los números primos. Gauss (que fue un calculador prodigioso) le dijo a un amigo que siempre que tenía 15 minutos libres los gastaba en contar los primos existentes en un 'chiliad' (rango de 1000 números). Para el final de su vida se estima que había contado todos los primos existentes en un rango de cerca de 3 millones. Legendre y Gauss llegaron a la conclusión de que para un largo de n la densidad de los primos cercanos a n es de aproximadamente 1/log(n). Legendre dio una estimación para π(n) del número de primos ≤n de π(n) = n / (log(n) - 1.08366) mientras la estimación de Gauss es en términos de Integrales Logarítmicas

π (n) = ∫

1/log(t) dt dónde el tramo de integración va de 2 a n. Al enunciado de que la densidad de primos es 1/log(n) se le conoce como el Teorema de Números Primos. Los intentos por probarlo continuaron durante el Siglo XIX, con los notables progresos realizados por Chebyshev y Riemann quien pudo relacionar este problema con algo llamado la Hipótesis de Riemann: un resultado aún sin probar acerca de los ceros en el plano complejo de algo llamado la función-zeta de Riemann. Los resultados fueron demostrados (utilizando poderosos métodos de análisis complejo) por Hadamard y Vallée Poussin en 1896.

TEOREMA.- Hay infinitos números primos. Si quieres puedes ver la prueba que hace Euclides de este teorema .Se trata de la primera prueba conocida mediante el método de reducción al absurdo; y este método consiste en suponer cierto lo contrario de lo que se quiere probar para llegar a una contradicción descubriendo falsa la suposición hecha. Hubo, y sigue habiendo muchos intentos para determinar qué números son primos. Uno de los primeros que se conocen es un procedimiento heurístico

debido

a

otro

importante

matemático

griego

llamado

ERATÓSTENES. LA CRIBA DE ERATÓSTENES La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número. Para obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, a partir del 2, se van marcando (nosotros los hemos puesto de amarillo) todos los números saltando de 2 en 2. A continuación, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, y así sucesivamente. Los números que quedan sin color amarillo (los que están en rojo), son los números primos. Los números en color rojo son primos. Los números en color amarillo no son primos. 1 11 21 31 41 51 61 71

2 3 12 13 22 23 32 33 42 43 52 53 62 63 72 73

4 14 24 34 44 54 64 74

5 15 25 35 45 55 65 75

6 16 26 36 46 56 66 76

7 17 27 37 47 57 67 77

8 18 28 38 48 58 68 78

9 19 29 39 49 59 69 79

10 20 30 40 50 60 70 80

81 91 101 111 121 131 141

82 92 102 112 122 132 142

83 93 103 113 123 133 143

84 94 104 114 124 134 144

85 95 105 115 125 135 145

86 96 106 116 126 136 146

87 97 107 117 127 137 147

88 98 108 118 128 138 148

89 99 109 119 129 139 149

90 100 110 120 130 140 150

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS PRIMOS •

Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. (Lema de Euclides)

•

Si p es primo y a es algún número entero, entonces ap − a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat)

•

Un número p es primo si y solo si el factorial (p − 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson)

•

Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que

•

. (Postulado de Bertrand)

En toda progresión aritmética positivos

, donde los enteros

son primos entre sí, existen infinitos números primos.

(Teorema de Dirichlet). •

El número de primos menores que un x dado sigue una función

asintótica a •

(Teorema de los números primos).

El anillo Z/nZ es un cuerpo si y solo si n es primo. Equivalentemente: n es primo si y solo si φ(n) = n − 1.

ALGUNAS CONJETURAS PARA NÚMEROS PRIMOS

•

La conjetura de los primos gemelos: Diremos que dos números primos p y q son gemelos si q=p+2. Por ejemplo 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 29 y 31, etc. . La conjetura dice que existen infinitos primos gemelos.

•

La conjetura de Goldbach (mencionada por primera vez en una carta de C Goldbach a Euler en 1742): Cualquier número par más grande que 2 es suma de dos números primos. Algunos ejemplos: 4=2+2 6=3+3 8=5+3 10=7+3 12=7+5 14=11+3 16=13+3 18=13+5 20=17+3 Esta conjetura ha sido verificada hasta 100000000000000, pero aun no se ha encontrado un argumento matemático que demuestre que es cierta para todo número par. De hecho existen resultados ya muy "cercanos" a la conjetura:

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Se sabe que cualquier número par es suma de 6 o menos números primos(Ramaré, 1995).

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Se sabe también, demostrado por Chen en 1966, que cualquier número par "suficientemente grande" es suma de un numero primo más el producto de dos números primos. El problema es que no esta claro que es lo que se quiere decir con suficientemente grande....

•

Observase que si la conjetura de Goldbach es cierta, entonces cualquier numero impar mayor que 5 ha de ser suma de 3 o menos números primos, llamada la conjetura de Goldbach impar. Vinogradov probó en 1937 que si n es un número impar suficientemente grande, entonces n es suma de tres números primos. Se deduce de esto que cualquier número par suficientemente grande es suma de 4 números primos o menos. Se ha visto que este "suficientemente grande" puede tomarse 1043000(aun demasiado grande para poder comprobarlo por ordenador).

•

También se sabe que si la Hipótesis de Riemann es cierta, entonces la conjetura de Goldbach impar implica la conjetura de Goldbach (par). De hecho, también se ha visto (Deshouillers, Effinger, Te Riele y Zinoviev en

1997) que si la Hipótesis de Riemann generalizada es cierta, entonces la conjetura de Goldbach también es cierta.