Hidrostatica

Lic. Lorenzo Minaya Zavaleta 1

Características de los Fluidos  Se necesita un envase para contenerlos.  Toman la forma del envase. Al ponerlo en el envase el fluido se acomoda para tomar la forma del envase. Llega a un estado de equilibrio donde ya no hay mas movimiento. En equilibrio el fluido que está en contacto con el envase siente una fuerza normal (perpendicular) a la superficie del envase y el fluido hace una fuerza (reacción) sobre el envase.  Las diferentes partes del fluido hacen fuerzas sobre las partes adyacentes.  La densidad del fluido puede cambiar fácilmente (gas) o puede que no cambie (líquido incompresible). La mayoría de los líquidos son casi incompresibles.

Densidad y Presión  Queremos estudiar procesos que ocurren “dentro del material”. Así que necesitamos conceptos que sean independientes de la cantidad total de material que tenemos. Por ejemplo, 2 g de agua se congelan igual que 1 g de agua. Así que la masa total no es importante para entender congela-miento.  En vez de masa, usaremos densidad. Casi siempre tomaremos la densidad del fluido como uniforme a través de todo el material.  En vez de fuerza, usaremos presión.  Ponemos cantidades diferenciales porque en muchos casos la presión varía dentro del fluido y tenemos que coger áreas pequeñas para definir la presión en un punto como un proceso diferencial.  Considera poner una esfera pequeña sólida dentro de un fluido. La normal a la superficie de la esfera apunta en todas las direcciones para diferentes partes de la esfera. El fluido hace fuerza sobre la esfera en todas las direcciones. Así que la presión en ese punto no tiene dirección. Corresponde a la magnitud de la fuerza. En un punto dado el fluido hace la misma fuerza sobre una superficie localizada allí no importa la orientación de la superficie.

Densidades de algunas substancias (kg/m3) Aire Helio Hidrógeno Agua dulce Hielo Agua salada Alcohol

1,29 0,18 0,09 1 000 917 1 030 806

Aluminio Cobre Hierro Plomo Oro Mercurio Madera

2 700 8 920 7 860 11 300 19 300 13 600 373

Conceptos Densidad  Masa específica de un cuerpo  Es la masa de cada unidad de volumen de dicho cuerpo  Peso específico de un cuerpo  Es el peso de cada unidad de volumen de dicho cuerpo

dm =

dp =

Presión 

Es la fuerza ejercida sobre cada unidad de superficie

 En el interior de un fluido en equilibrio  La fuerza correspondiente a la presión actúa perpendicularmente a cualquier superficie  La fuerza ejercida por el propio fluido en cualquier punto actúa en todas las direcciones

P =

m V p V F S

 Equivale al peso de una columna de mercurio de 760 mm de

altura  La altura equivalente de agua sería 10,3 metros

 Empuje sobre un objeto sumergido en un fluido  Es la fuerza resultante que el fluido ejerce sobre él

760 mm

 Presión atmosférica

6

PRESION HIDROSTATICA Consideremos un volumen de liquido de masa M y área A.

P = δ.g.h P = ρ.h La presión dentro de un líquido depende de la profundidad y de la densidad del líquido. 7

PRESION HIDROSTATICA “En todo punto del interior de un liquido hay

presiones en todas direcciones y en todos los sentidos”

8

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA PA = δ.g.hA y PB = δ.g.hB PA – PB = δ.g.(hA – hB) “La diferencia de Presiones entre 2 puntos de un mismo líquido es igual al producto entre el Peso Específico del líquido y la diferencia de niveles” 9

La presión total en A será:

PA = Phidrostatica+ Patmosferica PA = δ.g.hA + P0

10

VASOS COMUNICANTES La presión hidrostática no

depende de la forma del recipiente. Como la presión solo depende de δ y de h, la presión a cierto nivel de profundidad en cualquiera de los recipientes es la misma.

11

12

PRINCIPIO DE PASCAL “Un liquido transmite en todas direcciones la

presión que se ejerce sobre el” En cambio un sólido transmite Fuerzas.

13

Un Fluido en Reposo – La Ley de Pascal F2 - F1 – mg = 0

Fuerzas actuando sobre un Volumen de Fluido

Si el líquido está abierto al ambiente, entonces p0 es la presión atmosférica.

Hay Mucha Física en la Ley de Pascal  El agua busca su nivel. Un nivel de agua es muy útil para nivelar cosas que están distantes.

 Instrumentos para medir presión: El Barómetro

El Manómetro

Más Física en la Ley de Pascal El Principio de Pascal Un fluido incompresible (típicamente líquido)

PRENSA HIDRAULICA La ventaja que presentan los líquidos es que al transmitir Presiones, pueden multiplicar las Fuerzas aumentando el área sobre la cuál se ejerce.

Las presiones en los 2

émbolos son iguales: P1 = P2 F1 = F2 A1

A2

UTILIDAD:

Multiplicar una Fuerza. 17

PRENSA HIDRAULICA  Lo que se gana en fuerza, se pierde

en recorrido.  Ej: si A1= 10 cm2, A2= 1000 cm2 y el recorrido por el pistón chico es de 5 cm: V=A1.d1=10 cm2.50 cm=500 cm3 d2=V/A2=500 cm3/1000 cm= 0.05 cm

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Más Física en la Ley de Pascal Máquinas Hidraúlicas

R02 = Fi — Ri2 La fuerza es incrementada por un factor del cuadrado de la razón entre los radios de los pistones. Pero la máquina no puede cambiar la cantidad de trabajo que hay que hacer.

Trabajo es energía y siempre está la ley de conservación de energía.

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Jugando con fuerzas en la bañera de Arquímedes

Arquímedes acude a darse un baño a la bañera (Museo virtual de la Ciencia. CSIC)

Al sumergirse se derrama parte del agua de la bañera (Museo virtual de la Ciencia. CSIC)

El Principio de Arquímedes Pr ofes or : Jo sé Lu is H erná nd ez Pa ch eco

Consideremos un objeto en forma de prisma cuadrangular sumergido en agua.

1

Fa

po es su peso

La presión del fluido provoca sobre sus caras las fuerzas representadas en la figura

-Fx Fy

2

Fy y – Fy se anulan

3

Fx y – Fx se anulan

4

Fa < Fb

-Fy ppa o Fx

Fb

Del balance entre

Fa

y

Fb

resultará una fuerza vertical neta, que estudiamos a continuación.

Para ello retiramos el cuerpo y en su lugar queda la misma figura pero de agua

Deducció n d el Teorema de Arquíme des .2

Fa po -Fx

E

Fy

-Fy pa

pa

Fx es el peso de la figura idéntica de agua

Prescindiendo de las fuerzas que se anulan se tiene 4

Fb – F a = p a

5

Fb – F a = E

6

E = pa

Puesto que el agua está en equilibrio

Fb

Es una fuerza ascensional que llamamos o definimos como empuje

5 en 4 Sustituimos y obtenemos que el valor del empuje es igual al peso del fluido desalojado por el objeto, y dirigido hacia arriba como se ve en la figura.

Deducció n d el Teorema de Arquíme des .3 Si reponemos en su sitio al cuerpo sumergido, las fuerzas ejercidas por el agua que le rodea son las mismas cuya resultante era el empuje, por lo tanto:

“Experimentará un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del agua desalojada.” Como queríamos demostrar

E ppa o

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES “ TODO CUERPO SUMERGIDO EN UN LÍQUIDO

RECIBE UNA FUERZA DESDE ABAJO HACIA ARRIBA, IGUAL AL PESO DEL LIQUIDO DESALOJADO” TAL FUERZA SE CONOCE COMO EMPUJE. SE LLAMA PESO APARENTE AL PESO DE UN CUERPO EN UN LÍQUIDO: Pesoap = Peso - Empuje

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EMPUJE  Sobre la sup. Superior

actúa una fuerza F1 hacia abajo.  Sobre la sup. Inferior actúa una fuerza F2 hacia arriba.  Como F1
F1 es la fuerza peso de la columna que se encuentra por E = F2 – F1 encima de h1. F2 es la fuerza peso de la

El EMPUJE es el peso de la columna de líquido de igual volumen que el cuerpo sumergido. 26

EMPUJE  EMPUJE:

E = F2 – F1 P2=δ.g.h2 y P1=δ.g.h1 F1=P1.A

y F2=P2.A

E=(P2.A) - (P1.A) E=(δ.g.h2.A) – (δ.g.h1.A) E=δ.g.A.(h2-h1) = δ.g.A.L E=δ.g.V = (δ.V).g = m.g E=Peso del liquido

El EMPUJE es el peso de la columna de líquido de igual volumen que el cuerpo sumergido. 27

Empuje = peso del liq. desalojado E = mliq.g= δliq.Vliq.g = ρliq.Vliq =ρliq.Vcuerpo E = ρliq.Vcuerpo Importante: es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina el empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá un gran

empuje; Un cuerpo pequeño, recibe un empuje pequeño.

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Flotación EQUILIBRIO DE CUERPOS SUMERGIDOS Sumergimos un cuerpo de masa m, volumen V y densidad d en un líquido de densidad d' 1 Peso = m g Se deducen directamente de sus definiciones 2 m = V d 3 2 en 1 Peso = g V d Sustituir Empuje = V d' g Aplicar 3 al empuje 4 Peso > Empuje ⇒ d > d' (El cuerpo se va al fondo) Peso = Empuje ⇒ d = d' (Equilibrio) 5 Peso < Empuje ⇒ d < d' (El cuerpo asciende)

G E

G E

El equilibrio existe cuando el centro de gravedad, G, del cuerpo sumergido y el centro de empuje, E (Punto donde está aplicada la fuerza de empuje), se encuentran en la misma vertical, (No forman un par de fuerzas) 6 7 8

G debajo de E ⇒ Equilibrio estable G coincide con E ⇒ Equilibrio indiferente G encima de E ⇒ Equilibrio inestable

Un cuerpo flotante, no totalmente sumergido, puede estar en equilibrio estable teniendo G encima de E Explicación: E corresponde sólo a la parte sumergida, y puede cambiar de posición al zozobrar, y generarse un par de fuerzas peso-empuje que hagan girar al cuerpo para recuperar su posición original.

G E

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA La diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en equilibrio bajo la gravedad es igual al peso de una columna líquida que tiene por base la unidad y por altura la diferencia de alturas de los puntos Consideremos un cilindro vertical de base unidad, como se representa en la figura. Las fuerzas que actúan sobre la superficie lateral se anulan por simetría. Sobre sus bases se cumplirá: 10 P + p = P Siendo Pa: fuerza sobre base A, Pb: fuerza sobre base B, p : peso del cilindro a b 11

Pb - Pa = p

Despejar en 10

12

De acuerdo con la ecuación 3 ( V coincide con h al ser la base = 1 ) Pb - Pa = d g h Consecuencias pa Todos los puntos de un líquido en equilibrio que se A encuentran en una superficie horizontal están a la p h misma presión. B 13 Pb - Pa = 0 Hacer h=0 en 12 pb La presión en un punto de un líquido es igual al peso de una columna de líquido que tiene por base la unidad y por altura la distancia del punto a la Paradoja hidrostática superficie Vasos comunicantes 14 Pb = d g h Considerar el punto A en la superficie

Teorema de Pascal

La presión ejercida en un punto de un líquido se transmite íntegramente a todos sus puntos.

Prensa hidráulica

¿Porqué algunos cuerpos flotan y otros no? Sobre un cuerpo sumergido actúan 2 fuerzas.

1) su peso ( hacia abajo) y 2) empuje (hacia arriba). Puede ocurrir: E=d.g.Vliq Pc=d.g.Vcuerpo E

2 aguas. E>P (δliq>δcuerpo): el cuerpo flota.

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La Ley de Arquímides La segunda ley de Newton F2 - F1 – mg = 0 FB = F2 - F1 = mg

Volvemos a mirar las fuerzas que actuan sobre un volumen de fluido en equilibrio. F2 y F1 son las fuerzas que hace el resto del fluido hacia arriba y hacia abajo respectivamente. F2 > F1 ya que la presión es mayor por abajo hacia arriba. FB = F2 - F1 es el resultado neto de estas fuerzas. Es una fuerza hacia arriba la cual llamamos fuerza boyante. Es igual al peso del volumen de fluido.

La Ley de Arquímides, continuación

Consideremos la fuerza boyante en dos situaciones diferentes. (b) Un volumen de fluido de forma irregular – La fuerza boyante será igual al caso en que es cúbico, o sea, igual al peso del fluido. (c) Un objeto de otro material que desplaza al fluido – Como la fuerza boyante se debe al resto del fluido y éste está en la misma situación que en (a), la fuerza boyante será la misma que en (a), o sea, igual al peso del fluido desplazado. Conclusión: La fuerza boyante es siempre (en todos los casos) igual al peso del volumen de fluido desplazado. Esta es la ley de Arquímides.

FB = ρf Vd g

Receta General para Analizar Situaciones con la Ley de Arquímides 1) El método es esencialmente igual que el ánalisis con la segunda ley de Newton. 2) Se hace un diagrama de fuerzas. • Se dibuja una sola fuerza para el efecto neto del fluido sobre el sistema. Esta es la fuerza boyante. Siempre es hacia arriba. • Se considera la fuerza de gravedad actuando sobre las diferentes partes del sistema (si hay mas de una parte). • Se consideran las otras fuerzas actuando sobre el sistema. • Se escribe la ecuación de la segunda ley de Newton. Muchas veces hay equilibrio y la aceleración es cero. • Para calcular la fuerza boyante y la(s) fuerza(s) de gravedad hay que considerar cuidadosamente los diferentes volumenes y las diferentes densidades de las partes del sistema y del fluido. • Hay que prestar especial atención a cuál es el volumen desplazado.

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides

Completamente sumergido (no en el fondo): FB - FG = ma ρf Vd g - ρO VO g = ma Vd = VO !!!!!!! ma = (ρf - ρO) VO g Así que la aceleración será hacia arriba o hacia abajo dependiendo de cuál tenga la densidad más grande, el fluido o el objeto. Para dos objetos del mismo volumen y diferentes materiales (ver dibujo), la fuerza boyante es la misma.

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides Completamente sumergido pero sostenido. Esto se da cuando el objeto es más denso que el fluido. Llamemos N a la fuerza normal que hace el piso sobre el objeto para sostenerlo. N también podría ser la fuerza que hace una persona o una soga o cualquier cosa que está sosteniendo el objeto. N es el peso aparente. FB - FG + N = 0

equilibrio!!!

N = F G - FB Vd = VO !!!!!!! N = (ρO - ρf) VO g > 0 N es igual al peso real del objeto menos la fuerza boyante. Los objetos parecen pesar menos cuando están dentro de un fluido.

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides

Flotando. Esto se da cuando el objeto es menos denso que el fluido. Análisis – Cuando el objeto sobresale de la superficie del fluido, desplaza menos volumen que cuando está sumergido. Por lo tanto, la fuerza boyante disminuye hasta que llega a equilibrio con el peso del objeto. FB - FG = 0

equilibrio!!!

FB = F G Vd < VO !!!!!!! ρf Vd = ρO VO La fracción del volumen del objeto que está bajo el nivel del fluido es igual a la razón entre las densidades.

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides

Flotando con Otra Masa Encima o Colgando. Similar al caso anterior excepto que hay que añadir la otra masa. Todavía hay equilibrio. Análisis –

FB - mOg - mMg = 0

FB = mOg + mMg FB ha aumentado así que tiene que estar más sumergido. Vd ≤ VO Vd ha aumentado y podría llegar a hundirse completamente pero no necesariamente. ρf Vd = ρO VO + mM Se ha perdido la relación sencilla entre los volumenes. No hay razón para aprendérsela de memoria. El caso de un globo con una carga se analiza igual. Ahí Vd = VO .

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides ¿Cómo flota un Barco de Hierro?  El hierro es más denso que el agua y uno quizás pensaría que se debiera hundir.  Pero ¿de qué está hecho el barco? - De Aire. La gran mayoría del volumen que desplaza el barco está ocupado por aire.  Podemos despreciar el peso del aire. Las ecuaciones no cambian excepto que mO será la masa del hierro y mM la masa de la carga. Análisis –

FB - mOg - mMg = 0 FB = mOg + mMg ρf Vd = ρO VO + mM

En este caso, Vd >> VO , , para balancear el hecho de que ρf < ρO y que también hay que soportar a mM . Aquí tampoco se da la relación sencilla entre los volumenes. No hay razón para aprendérsela de memoria.