Hidrostatica Cap 2 A.pdf

HIDROSTATICA Hidráulica General 69.01 Facultad de Ingeniería UBA

HIDROSTATICA • Estado de equilibrio en reposo. • Todas las partículas en reposo. (En sólidos 3 puntos no alineados)

• Resultante de la sumatoria de fuerzas actuante en cada dirección nula. Fuerzas de superficie Fuerzas de masa

Actúan sobre las caras del volumen aislado. Actúan sobre la masa contenida en un volumen

Principio de Pascal

• La presión en cada punto es constante en cualquiera sea la orientación del plano que lo contenga, por lo tanto es una magnitud escalar.

Principio de Pascal Z

Teorema de Cauchy

C

CBO

Px P dz

ACO Py

dy 0

B

dx

Pz A X

___ ABC

P = p ⋅ ∂Ω

Planteando las 3 ec. de equilibrio SFY

SFX

px ⋅

AOB

Y

∂y ⋅ ∂z 2 ∂x ⋅ ∂z Py = py ⋅ 2 ∂x ⋅ ∂z Pz = pz ⋅ 2

Px = px ⋅

∂y ⋅ ∂z = p∂Ω cos α 2

px = p

py ⋅

∂x ⋅ ∂z = p∂Ω cos β 2

py = p

SFZ

pz ⋅

∂x ⋅ ∂y = p∂Ω cos γ 2

pz = p

Ecuación de Claireaut En reposo: Liquido real = liquido perfecto

ρ = cte

∂p ∂z ⎞ ⎛ p − ⋅ ⎟ ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⎜ ∂z 2 ⎠ ⎝

∂p ∂x ⎞ ⎛ p − ⋅ ⎟ ⋅ ∂y ⋅ ∂z ⎜ ∂x 2 ⎠ ⎝

z

⎛ ∂p ∂y ⎞ ⎜ p − ⋅ ⎟ ⋅ ∂x ⋅ ∂z ∂y 2 ⎠ ⎝

∂y

∂z

∂p ∂x ⎞ ⎛ ⎜ p + ⋅ ⎟ ⋅ ∂y ⋅ ∂z ∂x 2 ⎠ ⎝

x

⎛ ∂p ∂y ⎞ ⎜ p + ⋅ ⎟ ⋅ ∂x ⋅ ∂z ∂y 2 ⎠ ⎝

∂x ∂p ∂z ⎞ ⎛ ⎜ p + ⋅ ⎟ ⋅ ∂x ⋅ ∂y ∂z 2 ⎠ ⎝

y

Fuerzas de superficie ∑ Fx

∂p ∂x ⎞ ∂p ∂x ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ p − ⋅ ⎟ ⋅ ∂y ⋅ ∂z − ⎜ p + ⋅ ⎟ ⋅ ∂y ⋅ ∂z = dp ∂x 2 ⎠ ∂x 2 ⎠ ⎝ ⎝ ∂p − ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = dp ∂x ⎛ ⎛ ∂p ∂y ⎞ ∂p ∂y ⎞ ⎜ p − ⋅ ⎟ ⋅ ∂x ⋅ ∂z − ⎜ p + ⋅ ⎟ ⋅ ∂x ⋅ ∂z = dpY ∂y 2 ⎠ ∂y 2 ⎠ ⎝ ⎝ X

X

∑ Fy

∂p − ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = dp ∂y ∂p ∂z ⎞ ∂p ∂z ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ p − ⋅ ⎟ ⋅ ∂x ⋅ ∂y − ⎜ p + ⋅ ⎟ ⋅ ∂x ⋅ ∂y = dp ∂z 2 ⎠ ∂z 2 ⎠ ⎝ ⎝ ∂p − ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = dp ∂z Y

∑ Fz

Z

Z

Fuerzas de masa Xdm = X ⋅ ρ ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = dFx Ydm = Y ⋅ ρ ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = dFy Zdm = Z ⋅ ρ ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = dFz

Equilibrio F +F sup

masa

=0

∂p X ⋅ ρ ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z − ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = 0 ∂x ∂p Y ⋅ ρ ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z − ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = 0 ∂y ∂p Z ⋅ ρ ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z − ⋅ ∂x ⋅ ∂y ⋅ ∂z = 0 ∂z

Si dividimos por el volumen y por la densidad

∂p 1 X − ⋅ =0 ∂x ρ ∂p 1 Y − ⋅ =0 ∂y ρ ∂p 1 Z− =0 ∂z ρ

Ecuación de Cleireaut

Vectorialmente

∂p ∂p ˆ ⎞ 1 ⎛ ∂p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X ⋅i +Y ⋅ j + Z ⋅ k = ⎜ ⋅i + ⋅ j + ⋅ k ⎟ = 0 ∂y ∂z ⎠ ρ ⎝ ∂x F−

1

ρ

Δp = 0

Superficies Equipotenciales Si se da un desplazamiento virtual

⎞ ∂p ∂p 1 ⎛ ∂p F ⋅ ∂l = Δp ⋅ ∂l = ⎜ ⋅ dx + ⋅ dy + ⋅ dz ⎟ ∂y ∂z ρ ρ ⎝ ∂x ⎠ 1

F ⋅ ∂l =

1

ρ

dp

Diferencial total exacta

dp = ρ ⋅ (F ⋅ ∂l ) = ρ ⋅ dw Se puede admitir la existencia de una función potencial

Φ

dΦ = F ⋅ dl = X ⋅ dx + Y ⋅ dy + Z ⋅ dz = Si

∂Φ X= ∂x

∂Φ Y= ∂y

∂Φ Z= ∂z

1

ρ

dp

Superficies Equipotenciales a)

X ⋅ dx + Y ⋅ dy + Z ⋅ dz = 0 Ec. Superficie equipotencial

b) c)

F ⋅ dl = 0 1

ρ

dp = 0

Fuerzas de masa perpendiculares a las superficies equipotenciales.

Como la

densidad no puede ser infinita, dp=0, Por lo que las superficies equipotenciales seran SUPERFICIES ISOBARICAS

Aplicación al campo gravitatorio terrestre Fuerzas de masa

X =0

∂p 1 X − ⋅ =0 ∂x ρ ∂p 1 Y − ⋅ =0 ∂y ρ ∂p 1 Z− =0 ∂z ρ

Y =0

∂p 1 0− ⋅ =0 ∂x ρ ∂p 1 0− ⋅ =0 ∂y ρ ∂p 1 −g− =0 ∂z ρ

Z = −g

∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y 1 ∂p g+ ⋅ =0 ρ ∂z

Aplicación al campo gravitatorio terrestre Dividiendo por g

1 ∂p g+ ⋅ =0 ρ ∂z 1 ∂p 1+ ⋅ = 0 γ ∂z

Si se realiza un desplazamiento virtual

dz +

∂p

γ

=0

Integrando

Z+

P

γ

= cte

Ecuación fundamental de la Hidrostática Aplicando la ecuación de la sup. Equipotencial:

X ⋅ dx + Y ⋅ dy + Z ⋅ dz = 0 Con:

− g ⋅ dz = 0

Z = cte

1

ρ

dp = 0

p = cte

Ecuación fundamental de la Hidrostática Integración entre sup. Isobaricas

− g ⋅ dz =

1

⋅ dp

ρ dp = −γ ⋅ dz

p2

Z2

p1

Z1

Sup. Equipotenciales horizontales

Z

∫ dp = −γ ⋅ ∫ dz

p2 − p1 = Δp1− 2 = γ ⋅ (Z1 − Z 2 ) p2 = p1 + γ ⋅ (Z1 − Z 2 ) p1 p2 Z1 + = + Z 2 = cte

γ

γ

Z1-Z2 Z1

Z2

Ecuación fundamental de la Hidrostática Z

4 h1

h3

h2

Z4

Z1 Z2

Z1 +

p1

γ

=

p2

γ

+ Z2 =

Z3

p3

γ

+ Z3 =

p4

γ

+ Z4

Presiones Relativas patm = 0

p4 = 0

p1 = γ ⋅ (Z 4 − Z1 ) = γ ⋅ h1 p2 = γ ⋅ h2

p3 = γ ⋅ h3 p = γ ⋅h

γ agua

gr =1

cm3

Diagrama de presiones A hb

45°

B

hc hc

C

hc hd

D

E

he hd

Medición de la presión patm = 101330 Pa = 1013.30 HPa En sistema técnico

patm

kg 1,033 2 cm = 1033cm = 10,33m hag = kg 0,001 3 cm

kg = 1,033 2 = γ ag ⋅ hag cm

patm = γ Hg ⋅ hHg

hHg

kg 1,033 2 cm = 76cm = 760mmHg = kg 0,01365 3 cm

Presión Relativa y Absoluta

p = p + patm

p = γ ⋅ h + patm

p

γ

= h+

patm

γ

Piezómetros patm

0

a

patm

b

0

Plano Isobarico

pa = p b = patm

Piezómetros patm

patm + γ ´⋅h´= patm + γ ⋅ h

γ ´⋅h´= γ ⋅ h

γ ⋅h h´= γ´

h 0

patm

h´

´

0

Piezómetros

patm

p m = pm + pa

´ pm>patm k 1

h

h/2 1 h/2

0

0

h⎞ ⎛ pm + pa + γ ´⋅⎜ k + ⎟ = pa + γ ⋅ h 2⎠ ⎝ h⎞ ⎛ pm = γ ⋅ h − γ ´⋅⎜ k + ⎟ 2⎠ ⎝

Si dentro del recipiente se tiene un gas cuyo peso especifico es casi despreciable

pm = γ ⋅ h

Piezómetro Compuesto ´ ´ M

hm h

patm

Piezómetro Diferencial patm m

m

n

n

km h 0

kn h/2 h/2 0

Piezómetro Diferencial h⎞ h⎞ ⎛ ⎛ Pa + Pm + γ m ⋅ ⎜ k m + ⎟ = Pa + Pn + γ n ⋅ ⎜ k n − ⎟ + γ ⋅ h 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ h⎞ h⎞ ⎛ ⎛ Pm − Pn = ΔP = γ ⋅ h + γ n ⋅ ⎜ k n − ⎟ − γ m ⋅ ⎜ k m + ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ Si

γ n = γ m = γ´ ΔP = γ ⋅ h − γ ´⋅(k m − k n + h )

Si ambas conexiones están al mismo nivel

ΔP = γ ⋅ h − γ ´⋅h = h ⋅ (γ − γ ´)

Piezómetro Abierto patm

´

k 1

0

h

h/2 h/2

1

0

Piezómetro Abierto P m = Pm + Pa h⎞ ⎛ Pm + Pa + γ ´⋅⎜ k + ⎟ = Pa + γ ⋅ h 2⎠ ⎝ h⎞ ⎛ Pm = γ ⋅ h − γ ´⋅⎜ k + ⎟ 2⎠ ⎝

γ ´<< γ Para gases

Pm = γ ⋅ h

Piezómetro Inclinado Ω = n⋅w P + γ ⋅ (h + Δz ) = Pa p

patm Z y

w 0

m

h

1

0

Piezómetro Inclinado Volumen a desplazar

w y Δz ⋅ Ω = y ⋅ w ⇒ Δz = y ⋅ = Ω n

h = y ⋅ senφ 1⎞ ⎛ P = Pa − γ ⋅ y ⋅ ⎜ senφ + ⎟ n⎠ ⎝ ⎛ m 1⎞ P = Pa − γ ⋅ y ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟ 2 n⎠ 1 + m ⎝

Piezómetros patm

Pm > patm hm M

Pm = γ ⋅ hm P m = Patm + γ ⋅ hm

h

(+)

h

(-)

M hm

(-)

Pm = −γ ⋅ hm P m = Patm − γ ⋅ hm

Piezómetros patm

0

a

patm

patm

b

patm

h´

0

h

Patm + γ ´⋅h´= Patm + γ ⋅ h

γ ´⋅h´= γ ⋅ h

⇒

γ h´= ⋅ h γ´

Empuje sobre pared plana Empuje: es la fuerza de superficie que ejerce un liquido normalmente a toda superficie sometida a una presión, y se desarrolla toda vez que esta superficie este en contacto con un liquido en reposo.

Empuje sobre pared plana L

Sup. Libre l h lg hg hp lp L

g Cp mp

M

M

Empuje sobre pared plana dP = p ⋅ dΩ

p = γ ⋅h con

⇒

dP = γ ⋅ h ⋅ dΩ

h = l ⋅ senφ

dP = γ ⋅ l ⋅ senφ ⋅ dΩ P = γ ⋅ senφ ⋅ ∫ l ⋅ dΩ Ω

Momento estático con respecto del eje L-L

Empuje sobre pared plana P = γ ⋅ senφ ⋅ l g ⋅ Ω = γ ⋅ hg ⋅ Ω Siendo

p g : Presión en el centro de gravedad

P = pg ⋅ Ω

Centro de Empuje M R = P ⋅ l p = ∫ dM Ω

Se toman momentos con respecto del eje L-L

P ⋅ l p = ∫ l ⋅ dP Ω

P ⋅ l p = ∫ l ⋅ γ ⋅ l ⋅ senθ ⋅ dΩ =γ ⋅ senθ ⋅ ∫ l ⋅ dΩ 2

Ω

Ω

Centro de Empuje Momento de inercia con respecto del eje L-L

γ ⋅ senθ ⋅ ∫ l ⋅ dΩ 2

lp =

Ω

P

γ ⋅ senθ ⋅ ∫ l ⋅ dΩ 2

=

Ω

γ ⋅ senθ ⋅ l g ⋅ Ω

I g + lg ⋅ Ω Ig I LL lp = = = lg + lg ⋅ Ω lg ⋅ Ω lg ⋅ Ω 2

Regla de Steiner

Centro de empuje l g = ig ⋅ Ω 2

⇒

l p = lg +

ig

2

lg

Radio de giro

Para ubicar Cp es necesario referirlo al eje L-M

Centro de Empuje Para ubicar Cp es necesario referirlo al eje L-M

P ⋅ m p = ∫ m ⋅ dP Ω

P ⋅ m p = ∫ m ⋅ γ ⋅ l ⋅ senθ ⋅ dΩ Ω

mp =

γ ⋅ senθ ∫ m ⋅ l ⋅ dΩ Ω

P

lp =

=

∫ m ⋅ l ⋅ dΩ

Ω

lg ⋅ Ω

γ ⋅ senθ ∫ m ⋅ l ⋅ dΩ Ω

γ ⋅ senθ ⋅ l g ⋅ Ω I LM = lg ⋅ Ω

Centro de Empuje ILM es el momento centrifugo respecto a los 2 ejes L-L y L-M de la superficie Ω

Ω´

Proyecciones

h

PH = P ⋅ senθ = γ ⋅ hg ⋅ Ω ⋅ senθ PV = P ⋅ cos θ = γ ⋅ hg ⋅ Ω ⋅ cos θ P = PH + PV 2

PH tgθ = PV

2

h

Ω´´ h

Empuje sobre sup. Rectangular ancho b

Empuje sobre sup. Rectangular ancho b

(

1 2 2 II ) P = ⋅ γ ⋅ b ⋅ h − h0 2

1 I ) P = ⋅ γ ⋅ b ⋅ h2 2

)

1 1 h 2 III ) P = ⋅ γ ⋅ b ⋅ senθ ⋅ l = ⋅ γ ⋅ b ⋅ 2 2 senθ 2

(

)

(

h − h0 1 1 2 2 IV ) P = ⋅ γ ⋅ b ⋅ senθ ⋅ l − l0 = ⋅ γ ⋅ b ⋅ 2 2 senθ 2

2

)

Centros de empuje Siendo b=cte existe un eje vertical de simetría por lo tanto, el centro de empuje estará sobre él. Restará solamente determinar la altura del centro de empuje.

dP = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dh

P ⋅ h p = ∫ dM Ω

h

P ⋅ h p = ∫ h ⋅ dP = γ ⋅ b ⋅ ∫ h ⋅ dh 2

Ω

1 3 P ⋅ hp = ⋅ γ ⋅ b ⋅ h 3

0

Centros de empuje 1 3 ⋅ γ ⋅ b ⋅ h3 1 3 ⋅ γ ⋅ b ⋅ h3 2 hp = = = ⋅h 2 1 2⋅ γ ⋅b ⋅ h 3 P

ig

h

2

2

h 2 12 h p = hg + = + = h hg 2 h 3 2 h hp = 2

∴

h ig = 12

Parábola de empuje

1 2 2 P = ⋅ γ ⋅ b ⋅ senθ ⋅ (l − l0 ) 2 P = P (l ) 2

Empuje sobre sup. Curvas dPx = γ ⋅ h ⋅ dΩ x Ωz o h

Ωx

dPy = γ ⋅ h ⋅ dΩ y dPh = γ ⋅ h ⋅ dΩ h

Ωy

Px = γ ⋅ ∫ h ⋅ dΩ x Ωx

Py = γ ⋅ ∫ h ⋅ dΩ y Ωy

Ph = γ ⋅ ∫ h ⋅ dΩ h Ωh

Empuje Sobre Superficies cilíndricas de generatrices de ancho constante y directriz cualquiera

OM traza de la superficie con el plano h-y

Empuje Sobre Superficies cilíndricas de generatrices de ancho constante y directriz cualquiera

dP = p ⋅ dΩ = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dl M

M

M

0

0

0

P = ∫ dP = ∫ γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dl = γ ⋅ b ⋅ ∫ h ⋅ dl

Empuje Sobre Superficies cilíndricas de generatrices de ancho constante y directriz cualquiera Vertical

Horizontal

dPH = dPy = dP ⋅ senθ

dPV = dPh = dP ⋅ cos θ

dPy = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dl ⋅ senα

dPh = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dl ⋅ cos α

dPy = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dh

dPh = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dy

H

PH = Py = γ ⋅ b ∫ h ⋅ dh = 0

γ ⋅b 2

L

⋅H2

PV = Ph = γ ⋅ b ∫ h ⋅ dy 0

Si se conoce la función h=f(y) la resolución es inmediata, en caso contrario se deberá resolver por métodos gráficos o numéricos.

PRESIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA

Como origen de presiones se puede tomar: ‐ la presión nula, obteniéndose presiones absolutas, ‐ la presión atmosférica local (presión barométrica),  obteniéndose presiones relativas, que también se  denominan: • presiones manométricas (para presiones mayores que la atmosférica)  o • presiones vacuométricas (para presiones menores que la atmosférica).

P abs.= P rel. + P atm. Barómetro:                        manómetro:

PRESIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA

Presión atmosférica 1 atmósfera = 760 mm de mercurio = 101325 Pa =  10.34 m de agua = 34 pie de agua = 30 pulg de  mercurio = 2116 lb/pie2 = 14.7 psi.

HIDROSTATICA (REPASO)

HIDROSTATICA (REPASO)

Ecuación de Clairaut Cuando el fluido se encuentra en reposo o sea en el equilibrio, la suma  de las fuerzas en cualquier dirección es cero (suponiendo ρ=cte.)  Fuerzas en la superficie:

δp dx ⎞ δp dx ⎞ δp ⎛ ⎛ ⎜ p− ⎟dydz − ⎜ p + ⎟dydz = − dxdydz = dPx δx 2 ⎠ δx 2 ⎠ δx ⎝ ⎝ ⎛ δp ⎜⎜ p − δy ⎝ δp ⎛ ⎜ p− δz ⎝

⎛ dy ⎞ δp dy ⎞ δp ⎟⎟dxdz = − dxdydz = dPy ⎟⎟dxdz − ⎜⎜ p + 2 ⎠ δy δy 2 ⎠ ⎝ dz ⎞ δp dz ⎞ δp ⎛ ⎟dxdy − ⎜ p + ⎟dxdy = − dxdydz = dPz 2⎠ δz 2 ⎠ δz ⎝

HIDROSTATICA (REPASO)

Fuerzas en la masa:

Xdm = Xρdxdydz = dFx Ydm = Yρdxdydz = dFy Zdm = Zρdxdydz = dFz r ∑ F = Fsup + Fmasa = 0 Planteando equilibrio:

δp Xρdxdydz − dxdydz = 0 δx δp Yρdxdydz − dxdydz = 0 δy δp Zρdxdydz − dxdydz = 0 δz

HIDROSTATICA (REPASO)

Dividiendo por el volumen y por la masa especifica:

1 δp X− =0 ρ δx 1 δp Y− =0 ρ δy 1 δp Z− =0 ρ δz

Forma escalar

v 1 F − gradp = 0

ρ

Forma vectorial

HIDROSTATICA (REPASO)

Haciendo un desplazamiento virtual dl: 1 ⎛ δp 1 δp 1 δp ⎞ 1 ⎟⎟dl = dp = dφ Xdx + Ydy + Zdy = ⎜⎜ + + ρ ⎝ δx ρ δy ρ δz ⎠ ρ La función Φ es el potencial del campo. APLICACION AL CAMPO GRAVITATORIO: X = 0; Y = 0; Z = g δp δp = 0; = 0 δx δy dp 1 δp desplazamiento _ dz −g− = 0 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ dz + =0 ρ δz γ p z + = cte

γ

EQUILIBRIO RELATIVO Equilibrio Relativo Definición Se considerará como casos de equilibrio relativo a aquellos en los cuales el equilibrio es estático de líquidos incompresibles en otros campos de fuerza, además del gravitacional terrestre. Es decir, los problemas denominados de equilibrio relativo son aquellos de movimientos, en que las partículas en contacto no tienen desplazamientos relativos de manera que no existan esfuerzos tangenciales provenientes de la viscosidad, lo cual permite considerar al líquido como si estuviera en reposo para una terna móvil que se desplaza junto con el mismo. Para que exista un equilibrio relativo el campo debe ser conservativo, admitiendo una cierta función potencial φ siendo de aplicación las ecuaciones de Claireaut en las cuales se incluyen las nuevas fuerzas que determinan el campo indicado.

EQUILIBRIO RELATIVO Para el equilibrio relativo se usa en sistemas no inerciales el Principio de D’Alambert v r

F + Fu −

Dando un desplazamiento dl

1

ρ

gradp = 0

(

)

(

)

v r 1 F + Fu dl − gradp • dl = 0

ρ

v r 1 F + Fu dl = dp

Para superficies equipotenciales dp=0

ρ

( X + X u )dx + (Y + Yu )dy + (Z + Z u )dz = 0 Se analizarán dos casos de interes: ‰

Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado.

‰

Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante.

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Si se considera que un recipiente como el de la siguiente figura, que contiene un volumen líquido homogéneo (agua), se encuentra sometido a una aceleración constante horizontal ay. Z

ay

y

El agua, que inicialmente se encontraba en reposo, al ser acelerada se mueve, oscila, hasta llegar a un punto de equilibrio en el cual el nivel se estabiliza pues todas las partículas se moverán con la velocidad del recipiente.

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Z

En reposo:

y

Fg

En movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado:

Fay Fatot

Z

y

Fg

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Se observa que en el líquido en reposo solamente actúa la acción de la fuerza debido a la gravedad, mientras que en el líquido acelerado, además de la gravedad entra en juego la acción de la fuerza de inercia debido a la aceleración horizontal ay. (Se recuerda que las fuerzas debido a la aceleración tienen sentido contrario a la misma) Si consideramos que la terna X-Y-Z se mueve con la misma aceleración que el recipiente, se puede aplicar la Ecuación de Claireaut en forma escalar de la siguiente manera:

∂p =0 ρ ∂x 1 ∂p y + yu − . =0 ρ ∂y 1 ∂p z + zu − . =0 ∂z ρ x + xu −

1

.

Donde:

x=0 y=0 z = −g

xu = 0 yu = − a y zu = 0

Las superficies equipotenciales son perpendiculares a los vectores que definen el campo resultante.

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Trabajando matemáticamente.

∂p ∂p ∂p . dx + . dy + . dz = 0 dp = ∂x ∂y ∂z dp = (ρ . ( x + xu )) . dx + (ρ . ( y + yu )) . dy + (ρ . ( z + zu )) . dz = 0

(x + xu ) . dx + ( y + yu ) . dy + (z + zu ) . dz =

1

ρ

. dp

Si consideramos superficies de equilibrio en la cual la presión permanece constante (superficies isobáricas - -> coinciden con las equipotenciales):

(x + xu ) . dx + ( y + yu ) . dy + (z + zu ) . dz = 1 . dp = 0 ρ

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Entonces la ecuación queda de la siguiente manera:

0 . dx + (− a y ) . dy + (− g ) . dz =

1

ρ

. dp

Para obtener la superficie isobárica (dp = 0)

(− a ) . dy + (− g ) . dz = 0 y

Si despejamos dz:

dz = −

ay g

. dy

Ecuación diferencial de las superficies equipotenciales

Integrando la misma queda:

z=−

ay g

. y+c

Ecuación de una superficie equipotencial cualquiera

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Para hallar la constante de integración c será necesario hacer uno de los siguientes análisis: ‰

Para un recipiente cerrado: igualar el volumen de agua en reposo con el volumen de agua en movimiento.

‰

Para un recipiente cerrado: igualar el volumen de aire en reposo con el volumen de aire en movimiento.

‰

Para un recipiente abierto: plantear inicialmente igualación de volúmenes en reposo y movimiento. Si la constante supera la altura del recipiente se deberá eliminar el excedente de agua que corresponda limitando la constante a ese valor, calculando el volumen de agua perdida.

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Para el caso de un recipiente cerrado, si igualamos volúmenes queda: Para la situación en reposo: Z

Volumen en reposo:

Donde: b = ancho del recipiente h = tirante de agua en el recipiente L = longitud del recipiente

H

h

τ reposo = h . L . b

L

y

0

Para la situación en movimiento:

Volumen en movimiento:

Z

L

l1 α

H

τ movimiento = H . l1 . b + b . ∫ z . dy l1

L

L

Donde: b = ancho del recipiente H = altura del recipiente L = longitud del recipiente

τ = H . l1 . b + b . ∫ ( − h movimiento 1

y

l1

ay . y + c ) . dy g

h1 = altura líquida para y = L l1 = long. de altura líquida que coincide con el techo del recipiente α = ángulo que forma la superficie líquida

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Trabajando matemáticamente. L

h . L . b = H . l1 . b + b . ∫ ( − l1

ay . y + c ) . dy g

⎡ a y L2 ⎤ a y l1 2 + c .L)−(− + c . l1 )⎥ . b . . h . L . b = H . l1 . b + ⎢( − 1 g 2 g 2 ⎣ ⎦ ay . y+c Por otro lado: z = − Despejamos c y h1: g a Para y = L tenemos que z debe ser igual a h1 c = h1 + y . L a g c = H + y . l1 a y (H − h1 ) ay g tg (α ) = = h = H − . (L − l1 ) (L − l1 ) g 1 g Insertando c en la ecuación 1 se obtiene una ecuación donde la única incógnita es l1. Con el valor de l1 se obtiene c y h1.

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado Para saber la presión en cualquier punto líquido del recipiente: Partiendo de la Ecuación de Claireaut para nuestro problema se tiene:

− a y . dy − g . dz =

1

ρ

. dp

Si hacemos la integración:

− a y . y − g . z + c2 =

1

ρ

.p

Despejando la presión nos queda:

p = − ρ . a y . y − ρ . g . z + c3 Para hallar la constante c3 se plantea como condición de borde que cuando y = L, z = h1 la presión relativa es la presión del aire dentro del recipiente, lo cual para nuestro caso es 0.

c3 = ρ . a y . L + ρ . g . h1 Para el caso del gas (aire) la presión es uniforme y constante en todo el volumen que ocupa.

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante Si se considera que un recipiente como el de la siguiente figura, que contiene un volumen líquido homogéneo (agua), se encuentra sometido a una rotación a velocidad constante (velocidad angular constante ω) respecto a un eje vertical z. z

En reposo

z

En movimiento

z

ω

h y x x

z0

y x

y

Al principio las partículas del líquido en la proximidad de la pared y del fondo se mueven más lentamente que el recipiente. Cuando la velocidad se transmite a la totalidad de las partículas debido a la viscosidad y se encuentran girando a un valor constante se llega a un estado de equilibrio relativo.

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante Se observa que en el líquido en reposo solamente actúa la acción de la fuerza debido a la gravedad, mientras que en el líquido acelerado, además de la gravedad entra en juego la acción de la fuerza de inercia debido a la velocidad angular ω. Si consideramos que la terna X-Y se mueve con la misma velocidad rotativa alrededor del eje Z, se puede aplicar la Ecuación de Claireaut en forma escalar de la siguiente manera:

z

x + xu − y + yu − r

z + zu −

Fg dr x

y

∂p =0 ∂x

ρ

.

1

∂p . =0 ∂y

ρ

Fω = ω² . r FR

z0

1

1

ρ

.

∂p =0 ∂z

Donde:

x=0

xu = ω 2 . x

y=0

yu = ω 2 . y

z = −g

zu = 0

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante Reemplazando en la siguiente ecuación expresada anteriormente.

(x + xu ) . dx + ( y + yu ) . dy + (z + zu ) . dz = 1 . dp ρ

ω 2 . x . dx + ω 2 . y . dy + (− g ) . dz =

1

ρ

. dp

Trabajando matemáticamente.

ω 2 . ( x . dx + y . dy ) − g . dz =

1

ρ

. dp

Si queremos hallar la ecuación de las superficies equipotenciales (superficies isobáricas), recordemos que dp = 0

ω 2 . (x . dx + y . dy ) − g . dz = 0 Por otro lado, si consideramos que r² = x² + y² entonces (r . dr)= (x . dx + y . dy)

ω 2 . r . dr − g . dz = 0 Si despejamos dz nos queda:

dz =

ω 2. r g

. dr

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante Integrando.

z=

ω 2. r 2 2. g

+ c5

Ecuación de una superficie equipotencial cualquiera

Las superficies equipotenciales en este caso son paraboloides de revolución. Si queremos determinar el potencial correspondiente a la superficie libre la constante c5 debe ser aquella para la cual los volúmenes de agua en reposo y en movimiento sean los mismos. Volumen en reposo: τ reposo

= h .π . R2

Volumen en movimiento: R

Donde: h = tirante de agua en el recipiente en reposo R = radio del recipiente g = aceleración de la gravedad ω = velocidad angular

τ movimiento = ∫ 2 . π . r . z . dr τ movimiento τ movimiento

Igualando ambas ecuaciones y simplificando:

h=

ω 2. R2 4.g

+ c5

c5 = h −

ω 2. R2 4.g

0 R

⎞ ⎛ ω 2. r 2 = ∫ 2 . π . r . ⎜⎜ + c5 ⎟⎟ . dr ⎠ ⎝ 2.g 0 2 4 2 ⎛ω . R R ⎞ ⎟⎟ = 2 . π . ⎜⎜ + c5 . 2 ⎠ ⎝ 8. g

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante Reemplazando en la ecuación:

z=

ω 2. r 2 2. g

+h−

ω 2. R2 4. g

Para conocer la ordenada en el vértice planteamos r = 0

z0 = h −

ω 2. R2 4. g

Si se desea calcular la altura en el borde del recipiente zmáx, se plantea r = R y nos queda:

z máx =

ω 2. R2 2. g

+h−

ω 2. R2 4. g

z máx = h +

ω 2. R2 4. g

De donde se deduce que lo que desciende el líquido en el eje será igual a lo que asciende en los bordes del recipiente.

EQUILIBRIO RELATIVO Ejemplos de Equilibrio Relativo Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante Si se desea conocer los puntos de intersección de la nueva superficie con la del líquido en reposo, la condición que debe cumplir la ecuación es que z = h

z=

ω 2. r 2 2. g

+h−

ω 2. R2 4. g

=h

R2 r = 2 2

Lo cual indica que la abscisa no depende de la velocidad de rotación del vaso. El punto de intersección es puramente geométrico.

FLOTACIÓN Principio de Arquímedes Descripción Todo cuerpo sumergido en una masa líquida (en nuestro caso agua) experimenta una fuerza de abajo hacia arriba (empuje vertical) igual al peso de volumen del líquido desalojado.

Demostración Adoptaremos para la demostración el caso de un cubo elemental sumergido y observamos las fuerzas que aparecen sobre el mismo. Fuerzas verticales

Fuerzas laterales

FLOTACIÓN Principio de Arquímedes Demostración Si se observan las fuerzas laterales se tiene para cada lado del cubo el siguiente esquema:

Como queda expuesto sobre cada lado del cubo se genera una misma fuerza resultante horizontal por lo cual las cuatro fuerzas que se indican en la diapositiva anterior quedan equilibradas.

FLOTACIÓN Principio de Arquímedes Demostración Si se observan las fuerzas verticales se tiene para la cara superior e inferior del cubo el siguiente esquema: La diferencia entre PI y PS nos da como resultante una fuerza de abajo hacia arriba que vale:

PZ = PI − PS = p2 . L2 − p1 . L2 PZ = PI − PS = γ . h2 . L2 − γ . h1 . L2 PZ = PI − PS = γ . L2 . (h2 − h1 ) PZ = PI − PS = γ . L3 Donde γ . L³ = peso de líquido desalojado por el volumen del cubo sumergido.

FLOTACIÓN Principio de Arquímedes Conclusión Si G es el peso del cuerpo sin sumergir, una vez sumergido su peso disminuye en una cantidad equivalente al peso del volumen desalojado por lo que el peso aparente será:

G´= G − PZ Sabiendo que:

G = γ sólido . τ solido PZ = γ w . τ solido

Para un material homogéneo con γsólido = peso específico del sólido Donde γw = peso específico del agua

Nos queda:

G´= γ sólido . τ sólido − γ w . τ sólido G´= (γ sólido − γ w ) . τ sólido Peso específico sumergido = γ´

Lo cual nos permite, conociendo el material sólido y las características del líquido en el cual se sumerge, midiendo el peso del objeto sin sumergir y sumergido, calcular el volumen del mismo.

FLOTACIÓN

Estabilidad de objetos flotantes. El tipo de calculo para cuerpos flotantes arbitrarios, constituyen un arte especifico de  los ingenieros navales, veremos algunos principios básicos del calculo de la estabilidad  estática. Si aplicamos una perturbación vamos a obtener un par restaurador

El comportamiento de un cuerpo sumergido ante una acción externa resulta distinto según se trate de: ‰ Cuerpo homogéneo ‰

Cuerpo heterogéneo

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos sumergidos Cuerpos homogéneos En este caso el centro de gravedad coincide con el centro de empuje y el equilibrio es indiferente. Si γsólido > γw el cuerpo se hunde. Si γsólido < γw el cuerpo flota. Si γsólido = γw el cuerpo se encuentra en condición de equilibrio indiferente. Cualquier clase de movimiento que se le aplique al cuerpo no altera la condición señalada.

Ev

Ev

γw

γsólido

Cg = Cp Cg = Cp

G

γw

γsólido

G

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos sumergidos Cuerpos heterogéneos En este caso el centro de gravedad NO coincide con el centro de empuje.

γsólido-1

Ev

Cp G

Cp

γsólido-2

Cg

γw

Ev

γw

γsólido-2

Cg

γsólido-1 G

Si γsólido-1 > γsólido-2 el cuerpo tiende a tomar la posición que se indica en el gráfico. Si γsólido = (γsólido-1 . Vol1 +γsólido-2 . Vol2) / (Vol1+Vol2) > γw el cuerpo se hunde girando hasta tomar la posición indicada en el gráfico. Si γsólido < γw el cuerpo flota y gira hasta alcanzar la posición de equilibrio. Si γsólido = γw el cuerpo no se desplaza verticalmente y gira hasta alcanzar la situación de equilibrio (las fuerzas se encuentren en la misma vertical).

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos sumergidos Cuerpos heterogéneos

Ev Ev Cp

γw

γsólido-2

γsólido-1 Cg

Cg

γsólido-1 G Equilibrio estable Cp se encuentra linealmente por encima de Cg

γsólido-2

Cp G

Equilibrio inestable Cp se encuentra linealmente por debajo de Cg

γw

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Descripción Un cuerpo flotante es un sólido de forma cualquiera donde parte de su volumen emerge sobre la superficie libre estando en equilibrio con respecto al líquido. Como se mencionó anteriormente esta condición solo puede darse cuando γsólido < γw Volumen emergente

El volumen total se calcula como:

τ total = τ emergente + τ carena

Volumen sumergido ó de carena

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Definiciones ‰

τe

Volumen emergente

‰

τs

Volumen sumergido o de carena

‰

τ

Volumen total

‰

Carena

Volumen sumergido del cuerpo

‰

Centro de carena

Centro de empuje del volumen sumergido

‰

Superficie de flotación

Intersección del plano de la superficie libre con el cuerpo flotante

‰

Línea de flotación

Perímetro de la superficie de flotación

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Volumen emergente Superficie de flotación

Línea de flotación

Volumen sumergido ó de carena

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Si se considera un cuerpo homogéneo de peso específico γsólido cuyo volumen sumergido es τs y el emergente es τe se puede deducir lo siguiente:

τ = τ s +τ e Ev = G Ev = γ w . τ s G = γ sólido . τ = γ sólido . (τ s + τ e )

γ w . τ s = γ sólido . τ s + γ sólido . τ e

(γ w − γ sólido ) . τ s = γ sólido . τ e τ e (γ w − γ sólido ) = τs γ sólido

De modo que es posible obtener la relación entre volumen emergente a volumen sumergido en función de los pesos específicos. Si el cuerpo es heterogéneo se debe definir un peso específico medio del cuerpo y así obtener la relación buscada.

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Equilibrio y Estabilidad Los cuerpos flotantes pueden estar sometidos a diversos tipos de movimientos: ‰

Traslación horizontal: el equilibrio subsiste después de cualquier traslación horizontal.

‰

Traslación vertical: el cuerpo tiende a volver a su primitiva posición de equilibrio. El equilibrio es estable ante desplazamientos verticales.

‰

Rotación alrededor de un eje horizontal: la estabilidad del cuerpo flotante depende de las características geométricas del volumen sumergido. ( Ver ejemplo de embarcación)

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación Una embarcación posee un plano de simetría longitudinal vertical. El giro que se produce alrededor de un eje horizontal contenido en ese plano se llama rolido y el giro respecto a un eje horizontal normal a ese plano se llama cabeceo. y

Rolido

Plano vertical de simetría

x

Plano vertical de simetría

z Rolido x

z

x

x

Cabeceo Eje perpendicular al plano vertical de simetría

y

A simple vista resulta obvio que la embarcación va a ser mucho más estable al cabeceo que al rolido, por lo que se verificará en primera instancia la embarcación al rolido.

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación Si a partir de la posición de equilibrio se gira con una inclinación infinitamente pequeña θ:

θ

Plano vertical de simetría Centro de gravedad

G: peso de la embarcación Superficie de flotación A A

Cg

E

B

A´

B´

E

Cg Cp Centro de presión o de carena

B

C´p D

D

Ev: empuje vertical

El giro se provoca alrededor de un eje que coincide con la intersección entre el plano de simetría DE y la superficie de flotación AB. La nueva superficie de flotación adopta la traza A´B´, cambiando la forma de la carena y su centro (C´p) pero manteniendo el volumen (G = Ev).

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación

θ M3

A´

E

= M2

B´

Cg M1

Cp C´p1 C´p2

C´p3

a3 a2 a1

Se denomina: ♦ M: Metacentro: punto de intersección de la traza del plano de simetría con la recta de acción del empuje aplicado al nuevo centro de carena C´p. ♦ CgM: Segmento que se llama altura metacéntrica. Se considera positiva cuando la misma se encuentra por encima de Cg. ♦ a: Distancia paralela a la línea de flotación entre el Cp inicial y la nueva posición C´p.

FLOTACIÓN

Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación

θ M3

A´

E

= M2

B´

Cg M1

C´p1 C´p2

C´p3

Por Teorema de Dupin la posición del Centro de presiones se desplaza paralelamente a la línea de flotación.

El equilibrio que ocurre para cada caso es: ♦ Inestable: Caso de que ocurra C´p1 tal que la distancia CgM1 se encuentra por debajo de Cg. ♦ Indiferente: Caso de que ocurra C´p2 tal que la distancia CgM2 = 0 (ambas coinciden). ♦ Estable: Caso de que ocurra C´p3 tal que la distancia CgM3 se encuentra por arriba de Cg.

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación Para establecer la condición de estabilidad de un cuerpo flotante debe conocerse la ubicación del metacentro (M) y para ello es necesario determinar la nueva posición del centro de carena C´p. La ubicación de C´p surge de averiguar el centro de gravedad de la nueva forma del volumen sumergido, que es numéricamente el mismo ya que no se han modificado las fuerzas G y Ev, paro ha cambiado su forma.

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación l

l

θ M

L

A

Línea de flotación

A´

F1

E

B´

F2

θ

C´p

Cp

a Ev

B

Ev

Por efecto de la cuñas sombreadas (una que se sumerge y otra que emerge) se origina un movimiento producido por las fuerzas F1 y F2. El empuje ascendente total Ev, en su nueva posición C´p genera un momento resultante equivalente al producido por Ev en su posición original y las fuerzas F1 = F2 por efecto de las cuñas.

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación Sabiendo que F1 = F2 = F y que l vale lo siguiente:

L 1 L 2 L l = . . tg (θ ) . sen 2 (θ ) + sen 2 (θ ) . . cos(θ ) + cos 2 (θ ) . . . cos(θ ) 3 2 2 3 2 F . 2 . l = Ev . a 2

b ⎛L⎞ F = γ . ⎜ ⎟ . tg (θ ) . 2 ⎝2⎠ Donde b es el ancho en profundidad de la cuña. Si trabajamos matemáticamente se puede expresar:

F . 2 . l = γ . tg (θ ) . I z Donde Iz es el momento de inercia del área de la sección del barco a nivel de la superficie de flotación en el estado de reposo con respecto al eje z que pasa por el punto E.

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación Como dijimos anteriormente la condición de equilibrio estable al rolido está dada por la condición: C´p3 tal que la distancia CgM3 se encuentra por arriba de Cg.

sen(θ ) =

a CpM

CpM = CpCg + CgM CgM =

a − CpCg > 0 sen(θ )

CgM =

tg (θ ) . I z − CpCg > 0 Siendo τ0 el volumen desplazado por el barco. τ 0 . sen(θ )

Este valor debe ser positivo para que verifique la estabilidad.

Si se considera que θ es pequeño: sen(θ) ~ tg(θ) y entonces queda:

CpCg <

Iz

τ0

FLOTACIÓN Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes Ejemplo de embarcación Si consideramos en lugar de rolido la verificación al cabeceo obtendremos por analogía la siguiente ecuación de verificación: Si se considera que θ es pequeño: sen(θ) ~ tg(θ) y entonces queda:

CpCg <

Ix

τ0

Siendo τ0 el volumen desplazado por el barco

Las alturas metacéntricas (CgM) empleadas en el diseño de barcos son: ‰

Para barcos de vela: 0.90m a 1.50m

‰

Para barcos de guerra: 0.75m a 1.30m

‰

Para barcos cargueros: 0.60m a 0.90m

‰

Para barcos de pasajeros: 0.45m a 0.60m

Parábola de empuje

1 2 2 P = ⋅ γ ⋅ b ⋅ senθ ⋅ (l − l0 ) 2 P = P (l ) 2

Empuje sobre sup. Curvas dPx = γ ⋅ h ⋅ dΩ x Ωz o h

Ωx

dPy = γ ⋅ h ⋅ dΩ y dPh = γ ⋅ h ⋅ dΩ h

Ωy

Px = γ ⋅ ∫ h ⋅ dΩ x Ωx

Py = γ ⋅ ∫ h ⋅ dΩ y Ωy

Ph = γ ⋅ ∫ h ⋅ dΩ h Ωh

Empuje Sobre Superficies cilíndricas de generatrices de ancho constante y directriz cualquiera

OM traza de la superficie con el plano h-y

Empuje Sobre Superficies cilíndricas de generatrices de ancho constante y directriz cualquiera

dP = p ⋅ dΩ = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dl M

M

M

0

0

0

P = ∫ dP = ∫ γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dl = γ ⋅ b ⋅ ∫ h ⋅ dl

Empuje Sobre Superficies cilíndricas de generatrices de ancho constante y directriz cualquiera Vertical

Horizontal

dPH = dPy = dP ⋅ senθ

dPV = dPh = dP ⋅ cos θ

dPy = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dl ⋅ senα

dPh = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dl ⋅ cos α

dPy = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dh

dPh = γ ⋅ h ⋅ b ⋅ dy

H

PH = Py = γ ⋅ b ∫ h ⋅ dh = 0

γ ⋅b 2

L

⋅H2

PV = Ph = γ ⋅ b ∫ h ⋅ dy 0

Si se conoce la función h=f(y) la resolución es inmediata, en caso contrario se deberá resolver por métodos gráficos o numéricos.