Guia De Ejercicios Propuestos Primer Corte

REPÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL GEOMETRIA ANALITICA

GUÍA DE EJERCICIOS PROPUESTOS. 1ER CORTE 1.- Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (12). 2.- La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-2), hallar el otro punto. 3. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1); (7, -1) y (7, 3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo. Sol: (2, 3); 20. 4.- Hallar las coordenadas de un punto (x,y) que divida al segmento determinado por los puntos

P1 (1,7) y P2 (6,−3) en la relación dada r =

2 3

Sol: P (3, 3) 5.- Hallar las coordenadas del punto P(x,y) que divida al segmento determinado por A(-2,1) y B(3, -4) en la relación r = −

8 3

Sol: P (6, -7) 6.- El extremo del diámetro de una circunferencia de centro C (-4, 1) es B (2,6). Hallar las coordenadas A(x,y) del otro extremo. r = −

1 2

Sol: A (-10,-4) 7.- Los puntos extremos de un segmento son los puntos P1 (2, 4) y P2 (8, -4). Hallar el punto P(x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P: PP1 = -2. Sol: (1, -2). 8.- Los extremos de un segmento son los puntos P1 ( 7,4 ) y P2 ( − 1,−4 ) . Hallar la razón

P1 P : PP2 en que el punto P(1,−2) divide al segmento.

Sol: r =3 3.- Los puntos medios de los lados de un triangulo son (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices. Sol: (-1, 4), (5, 6), (3, -2) 10.- Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (5, -2). Grafique y señale el ángulo. Sol: m = −2, α = 116.6º 11- Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa del otro punto es 4. Hallar su ordenada. Sol: 5

12.- Hallar los ángulos internos del triangulo cuyos vértices son A (-3,-2), B (2, 5) y C(4,2). Sol: α = 24.7 º , β = 69.2º , γ = 86.1º 13.- Hallar la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45º con la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (5, 3). Sol: m 2 = −7 14.- Aplicando el concepto de pendiente, comprobar cuales de los siguientes puntos son colineales. a) (2, 3), (-4, 7) y (5, 8) b) (4, 1), (5,-2) y (6,-5) c) (-1,-4), (2, 5) y (7,-2) Sol: a) NO, b) SI, c) NO Verificar el resultado por la formula de la distancia. 15.- El triángulo con vértices A (1,5); B (4,2); C (5,6) ¿Es isósceles? Demostrarlo a través de la ecuación de distancia entre dos puntos. 16.- El triángulo con vértices A (-5,6); B (2,3); y C (5,10) ¿Es un triángulo rectángulo? Demostrarlo a través de la ecuación de distancia entre dos puntos. 17.- Determinar un punto que equidiste de los puntos A (1,7); B (8,6) y C (7,-1). Sol: P (4,3) 18.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5); (4,2) y (1,1). Determine las coordenadas de sus tres vértices. Sol: P1 (-1,4); P2 (8,6); P3 (2,-2) 19.- Hallar los puntos de trisección (división del segmento en tres partes iguales) y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P1 (-7) y P2 (-19). Sol: P3 (-15), P4 (-11); Pm (-13) 20.- Hallar el ángulo α ubicado en el vértice C dentro del paralelogramo cuyos vértices son A (-2,-1); B (1,5); C (10,7) y D (7,3). Sol: α ≈ 40º. 21.- Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) (-2, 1) son los vértices de un triangulo rectángulo y hallar sus ángulos agudos. Sol: 33,41 y 56,19 22.- Demostrar que los puntos P (2,-2), B (-8,4), C (5,3), son los vértices de un triángulo rectángulo. Halle su perímetro. 23.-Demostrar que los puntos A (3,8); B (-11,3); y C (-8,-2) son los vértices de un triángulo isósceles. 24.- Demostrar que los puntos A (3,3); B (-3,-3); y P ( − 3 3 ,3 3 ) son los vértices de un triángulo equilátero.

25.- Los vértices de un triangulo son A( − 1,3) , B( 3,5) y C ( 7,−1) . Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC. Demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. Sol: AC = 8.94 y DE = 4.47 26.- Una recta l1 pasa por los puntos ( 3,2 ) y ( − 4,−6 ) y la otra recta l 2 pasa por el punto

( − 7,1)

y por el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A sabiendo que l1 es

perpendicular a l 2 . Sol: x = 1 27.- Demostrar que la recta que pasa por los 2 puntos ( − 2,5) y ( 4,1) es perpendicular a la que pasa por los puntos ( − 1,1) y ( 3,7 ) .

28.- Los puntos P (2,-4) y Q (6,0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla: a) Los otros dos vértices b) Los ángulos del paralelogramo 29.- Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de ordenadas; otros dos vértices opuestos son B (3,1) y D (-5,-3). Halla las coordenadas de los vértices A y C, y el área del rombo. 30.- Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P( x, y ) que pertenezca a la recta que pasa por el punto ( 3,−1) y que tiene una pendiente igual a 4. Sol: 4 X − Y − 13 = 0

31.- Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P( x, y ) que pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos ( 2,−1) y ( 7,3) . Sol: 4 X − 5Y − 13 = 0

32.- En cada uno de los ejercicios discútase la ecuación estudiando las intercepciones, simetría y extensión. Después trácese la grafica correspondiente.

a. b. c. d. e.

5x + 4y – 20 = 0 3x2 + 3y2 -10 = 0 16y2 – x = 0 x3 – x – y = 0 x2 + y2 – 2x – 2y = 14

33. En cada uno de los casos siguientes construir la curva de la ecuación dada. a. xy – 2y – 3 = 0 b. xy – 3y – x = 0 c. x4 – 4 x2 – y = 0 d. x2 – 2xy + y2 – 6x – 6y +3 = 0 e. x y2 – 9x – y – 1 = 0 34.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 45o 35.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A (4, 2) y B (-5, 7).

36.- Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax – By + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos C (-3, 1) y D (1, 6). Sol: A= 20/19, B= 16/19 37.- Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0, 3x + 2y – 7 = 0. Sol: 80,16o 39.- Hallar la ecuación de una recta determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y, es decir sus intersecciones, son 3 y -5, respectivamente. Sol: 5x – 3y -15 = 0 40.- Hallar la ecuación de la recta determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1, -3). Sol: 4x + 3y + 13 = 0

GUÍA DE EJERCICIOS DE RECTAS 1.- Hallar las ecuaciones de las rectas con las condiciones dadas:

 Pendiente 3 y pasa por el punto (-2, 7).

Sol: 3 x − y + 13 = 0

 Pendiente -4/3 y pasa por el punto (-1, 7).  Pasa por los puntos (-2, 6) y (3,-5).

Sol: 4 x + 3 y + 17 = 0

Sol: 11x + 5 y − 8 = 0

 Pendiente 0 y pasa por el punto (3, 8). Sol: y − 8 = 0  Pasa por los puntos (8,-2) y (7,-2).

Sol: y + 2 = 0

 Pendiente 0 e intersección con y igual a -5.

Sol: y + 5 = 0

 Pendiente -3 e intersección con y igual a cero.

Sol: 3 x + y = 0

2.- Hallar la pendiente y la intersección con Y de la recta 2 x + 7 y + 1 = 0 . Sol: m = −

2 1 →b=− 7 7

3.- Hallar ambas intersecciones de la recta 2 x + 5 y + 8 = 0 . Sol: con x = −4 con y = −

8 5

4.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y es paralela a la recta x + 5y − 3 = 0 . Sol: x + 5 y + 19 = 0 5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta 2x + 3y + 4 = 0 . Sol: 3 x − 2 y − 13 = 0 6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,-3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (3, 2) y (5, 7). Sol: 5 x + 8 y + 29 = 0 7.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-5, 3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (7, 0) y (-8, 1). Sol: 15 x − y + 78 = 0 8.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene por extremos (6, 2) y Sol: 14 x − 2 y − 30 = 0

(-1, 3).

9.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene por extremos (1, 7) y Sol: 8 x + 10 y − 37 = 0

(-3, 2).

10.- Use la forma de ecuación de la recta adecuada para calcular la pendiente y la ordenada en el origen. Represente su lugar geométrico. a) 3 x − 4 y + 8 = 0 b) x + 2 y = 0 c) 5 x + 4 y = 20 d) x = 3 y + 7 Sol: a) m =

3 →b=2 4

c) m = −

5 →b=5 4

b) m = −

d) m =

1 →b=0 2

1 7 →b=− 3 3

Resumen de ecuaciones y − y1 = m( x − x1 ) Punto pendiente Que pasa por dos puntos Pendiente ordenada en el origen Ecuación general Rectas paralelas Rectas perpendiculares Recta horizontal Recta vertical

y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

y = m.x + b Ax + By + C = 0 m1 = m2 m1 × m2 = −1 → m1 =

−1 m2

y=k x=k

m>0 m<0

m no esta definida

m=0