Guia De Dinamica De Fluidos

Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada UNEFA. Núcleo Bruzual/Yaracuy Cátedra: Física 2. Guía de estudio N° 2: Dinámica de fluidos.

Dinámica de fluidos. Hasta ahora estudiamos a los fluidos en reposo y a los principios que rigen su comportamiento, como el de Pascal y el de Arquímedes. Pasaremos entonces a centrarnos en fluidos (líquidos) en movimiento y algunos de sus modelos matemáticos que los describen, como el de Bernoulli. El comportamiento de los fluidos en movimiento (FEM) es bastante complejo y por tanto también los modelos matemáticos asociados. Sin embargo podemos lograr buenas aproximaciones a lo real haciendo ciertas simplificaciones. Se pueden clasificar los FEM en dos tipos: el estable (laminar) y el turbulento. En el laminar cada partícula del fluido sigue una de muchas posibles trayectorias lisas las cuales nunca se cruzan entre si. (Fig. 1). En este tipo de flujo la velocidad de una partícula que pasa por un punto determinado es constante en el tiempo y de dirección tangente a la línea de flujo. Bajo ciertas condiciones (entre ellas la velocidad) el flujo deja de ser estable y se hace TURBULENTO y se caracteriza por tener regiones con “remolinos”. Para describir el movimiento de fluidos se supone que este se desplaza en capas deslizantes, entre las cuales existe un roce que causa una disipación de la energía cinética del mismo. A esta fricción interna se le mide mediante el término VISCOSIDAD. A mayor viscosidad mayor perdida de energía cinética y menor capacidad de “fluir”. Para un flujo ideal haremos las siguientes simplificaciones: • • • •

El fluido es NO VISCOSO, no hay perdidas internas. Es estable, la velocidad en cada punto permanece constante. Es fluido es incomprensible, no hay disminución del volumen. El flujo es IRROTACIONAL. No tiene cantidad de movimiento angular en ningún punto.

Elaborado por: Ing° José L. Vásquez

Octubre 2009

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Fig. 1 Flujo laminar. Observe las líneas de flujo y la velocidad de una partícula en un punto P.

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Ecuación de continuidad para fluidos. Imaginemos un fluido ideal que circula “dentro de un tubo” de sección no uniforme (Fig. 2). En pequeño intervalo de tiempo Δt el fluido en la sección inferior se desplazara una distancia Δx₁=v₁Δt, siendo v₁ la velocidad del fluido en esa pequeña sección. Si A₁ es la sección transversal en el intervalo Δt se habrá desplazado un volumen de fluido V₁ = A₁v₁Δt y en términos de masa se habrá desplazado una cantidad de m₁ = ρA₁v₁Δt. Podemos hacer las mismas consideraciones para la sección final y establecer que en ΔT se ha desplazado una masa m₂ = ρA₂v₂Δt. Tomando en cuenta que trabajamos con un fluido ideal tenemos que m₂=m₁ y por tanto ρA₁v₁Δt = ρA₂v₂Δt y así llegamos a la ECUACION DE CONTINUIDAD

A₁v₁ = A₂v₂ = Constante=Q Esta expresa que el producto del área por la rapidez del fluido es constante a lo largo de un tubo de un fluido ideal en movimiento. A esta cantidad constante se le conoce como caudal Q y tiene unidades de volumen sobre tiempo [m3/s]. Esta ecuación la podemos utilizar con muy buena aproximación a fluidos reales, bajo ciertas condiciones. Explique, utilizando la ecuación de continuidad, porque al regar un jardín, cuando tapamos parcialmente con un dedo una manguera el agua expelida llega más lejos.

Fig. 2 Flujo estable a través de un tubo de sección variable.

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Ejercicios. 1. Un jardinero utiliza una manguera de 2,5 cm de diámetro para llenar

un tobo de 30 lt. El nota que tarda un minuto en llenarlo. A continuación tapa con el dedo la salida de agua dejando una abertura de 0,5 cm2. Si coloca la manguera horizontalmente y a un metro de altura ¿a que distancia llegara el agua? Solución: Para calcular la distancia alcanzada necesitamos calcular la velocidad inicial de un movimiento de lanzamiento horizontal en caída libre (del agua). La ecuación de continuidad relaciona el caudal con áreas transversales y velocidades: A1v1 = A2v2 = Constante=Q

De la ecuación podemos despejar la velocidad 2 (de salida): v₂ = Q /A₂. El caudal lo calculamos con el tiempo que dura en llenarse el tobo: Q= V/t = 30[lt]/1[min] = 30.10-3 [m3] / 60[s] = 0, 5 .10-3 [m3/s] Ahora: V₂ = 0,5.10-3 [m3/s]

/ 0,5.10-4 [m2] = 10 [m/s]

Teniendo la velocidad inicial procedemos a calcular el alcance horizontal con y = 1[m] X= v₂ (2y/g)½ = 10 [2(1/9,8)]½ = 4,52 [m] Conclusión: El agua sale disparada con una velocidad de 10m/s y si la manguera se coloca horizontalmente a un metro de altura el agua llegara hasta una distancia de 4,52m 2. En el ejercicio anterior ¿cual debe ser el área de apertura para que el

agua alcance una distancia 5m? 3. Sobre el ejercicio 1. ¿Cambiara el alcance del agua (4,52m) si colocamos, bajo las mismas condiciones, una manguera de mayor diámetro?

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Ecuación de Bernoulli. Cuando un fluido se mueve por una región donde cambia su rapidez y elevación, la presión del fluido también cambia en función de aquellos (Fig. 3). La relación entre rapidez, elevación y presión queda expresada en la ecuación de Bernoulii (EDB):

P + ½ ρ v² + ρgy = constante El término ½ ρ v² expresa la energía cinética por unidad de volumen y el término ρgy la energía potencial por unidad de volumen. Esta ecuación nos dice, entre otras cosas que: Si aumenta la velocidad, disminuye la presión ( y viceversa) Si aumenta la altura, disminuye la presión (relacione esto con la presión de agua entre los pisos inferiores y superiores de un edificio).

Fig. 3. Fluido en un tubo, con velocidad y altura variable

. Otra forma de expresar la EDB es comparando presión, velocidad y elevación entre dos puntos diferentes del “tubo de flujo”. P ₁+ ½ ρ v₁² + ρgy₁ = P₂ + ½ ρ v₂² + ρgy₂ Si aplicamos la EDB para un líquido al mismo nivel miembros se cancelan y nos queda:

(y2=y1), ambos

P 1+ ½ ρ v₁² = P2 + ½ ρ v₂² Y de acuerdo a la EDC v₁ = (A2/A1)* v₂

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obtenemos que:

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V₂ = A₁ [ 2(p₂-p₂) / ρ(A₁² –A₂²) ]½ Es decir que podemos medir la velocidad de un fluido, midiendo la presión para dos secciones diferentes. Este es el principio que se aplica en el TUBO VENTURI. (fig. 4)

Fig. 4 Tubo venturi, utilizado para la medición de velocidades en fluidos.

Ejercicio propuesto: 4. Halle la ecuación que relaciona la presión con la profundidad (Tema

1), aplicando la EDB a un fluido en reposo (v₁ =v₂=0). Ejercicios: 5. Si se coloca una moneda al borde de una mesa y se “sopla

rápidamente” esta saltara (haga la prueba). a) Explique este fenómeno usando la EDB b) Calcule la velocidad mínima del “soplido” para que se pueda elevar una moneda de 2,24 gr y 1,78 cm de diámetro. Solución: a) Cuando se sopla la moneda, por la parte superior de esta circula aire a una velocidad v2. Por debajo de la misma la velocidad es cero (v1=0). Podemos asumir entonces que la monedita esta en el interior de un “tubo de aire”. Si despreciamos la anchura de la moneda (y₂=y₁), la EDB nos queda: P 1+ ½ ρ v1² = P2 + ½ ρ v2² ½ ρ v₂²



P 1+ ½ ρ v₂² = P2



p2-p1=

Esto significa que se ha creado una diferencia de presión (Δp=p2-p1) no nula entre la parte superior e inferior de la moneda. Esta diferencia de Elaborado por: Ing° José L. Vásquez

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presión aplicada sobre el área de la misma produce una fuerza (f= Δp*A) que es la responsable del “salto” de esta. b) La velocidad del soplido (v2) debe ser capaz de crear una diferencia de presión, que a su vez sea capaz de producir una fuerza superior al peso de la moneda. Es decir como mínimo: f=mg Despejando:

 Δp*A = mg v₂ = (2mg/ρA)½

Área de la moneda  2,5.10-4 [m²]

(½ ρ v₂²)*A = mg



A = π(d²)/4 = 3,14*(1,78.10-2m)²

Densidad del aire ρ = 1,29 [Kg/m3]

/

4

=

m= 2,24.10-3 [Kg]

Haciendo los cálculos correspondientes obtenemos: [m/s]

v₂ = 11,7

Conclusión: Se debe soplar la moneda con una velocidad mayor a 11,7 m/s para que se produzca una diferencia de presión que genera una fuerza de elevación mayor a su peso. Ejercicios propuestos: 6. Utilizando la EDB explique los siguientes fenómenos: a) Si estamos a orillas de una carretera y pasa un camión a alta velocidad sentimos que “nos hala”. b) Como los lanzadores de beisbol logran lanzar grandes curvas c) Porque las pelotas de golf tienen orificios en la superficie 1. Se utiliza un tubo de venturi para medir el caudal de etanol que circula por una tubería. A la entrada el tubo tiene un diámetro de 8cm y a la salida 6 cm. Calcular el caudal cuando el presostato 1 marca 5 atm y el presostato 2 indica 3,5 atm. 2. Para el ejercicio anterior ¿a que velocidad saldría expelido el etanol si se rompe (completamente) la unión de salida del venturi? ¿a que distancia llegaría el chorro si la tubería esta a una altura de 2m sobre el piso? ¿ cuanto tardaría en llenarse un tanque de emergencia de 300 000 lt?. Densidad del etanol = 0,8 gr/cm³ Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. La dinámica de fluidos y la EDB tienen diversas aplicaciones científicas, industriales y comerciales. Por ejemplo en la aeronáutica se aplica en el Elaborado por: Ing° José L. Vásquez

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diseño de aeronaves, cohetes y relacionados. Se aplica intensamente en la navegación marítima, vuelos espaciales, etc. También es de utilidad en el control de fluidos en procesos de refinerías, gasoductos, producción de alcoholes, ácidos, etc. En el plano residencial y comercial lo necesitamos para el cálculo de tuberías de aguas limpias y servidas, de control de presiones, etc. Existen aplicaciones en el área de aerosoles, bombas neumáticas, compresores, flujos de aguas en canales y ríos, y un largo etc., etc. Asignación: Revise la literatura recomendada y seleccione un tema de su interés donde sea aplicada la dinámica de fluidos y elabore un resumen. Involucre la EDB en la descripción de los fenómenos tratados.

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