Giros-y-revoluciones.docx

Contenido: GIROS Y REVOLUCIONES ............................................................................... 2 Generalidades: .................................................................................................... 2 1.

Elementos de un Giro: .......................................................................................... 3

2.

Principios Básicos de los Giros: ............................................................................... 4

3.

Giros en el Sistema Ortogonal H-F-P: ....................................................................... 8

4.

Giro de Puntos: ................................................................................................... 8

5.

Giro de Rectas: ................................................................................................. 13

6.

Giro de Planos .................................................................................................. 14

APLICACIONES GENERALES DE LOS GIROS............................................... 15 A. TRANSFORMAR UNA RECTA A OTRA QUE SEA PARALELA A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: ..................................................................................................... 15 B. TRANSFORMAR RECTAS A OTRAS QUE SEAN PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: ................................................................................................. 18 1.

Transformar una recta cualquiera a Vertical: ................................................. 18

2.

Transformar una recta cualquiera a Normal: ................................................. 19

3.

Transformar una recta cualquiera a paralela al eje H - F .................................. 20

C. TRANSFORMAR UN PLANO CUALQUIERA A OTRO QUE SEA PERPENDICULAR A LOS PLANOS DE PROYECCION: ............................................................................. 21 1. Transformar un Plano cualquiera a uno que sea vertical (perpendicular al plano horizontal). (figura 16) ........................................................................................................... 21 2.

Transformar un plano cualquiera a uno de Canto Normal............................................ 22 Transformar un plano cualquiera a paralele al eje H-F .................................................. 23

3.

D. TRANSFORMAR UN PLANO CUALQUIERA A OTRO QUE SEA PARALELO A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: .................................................................................... 24 1.

Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al plano frontal de proyección: ...... 24

2. Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al plano “horizontal” de proyección: (figura20) ........................................................................................................... 26 3. Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al plano Lateral de proyección: (Figura 21) 27

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GIROS Y REVOLUCIONES Generalidades: Un objeto o figura cualquiera en el espacio y referidas a los planos horizontal y frontal de proyección, no siempre puede aparecer en su verdadera magnitud o en una de las formas que nosotros quisiéramos que fuesen presentadas a nuestra vista para su estudio. Cambio de Posición del Observador: Manteniendo fijo, el objeto, de manera que se puede lograr una posición favorable al observar la figura.



 Cambio de Posición del Objeto:

Manteniendo fija la posición del observador hasta lograr la posición deseada. Evidentemente estos procedimientos, no pueden ser ejecutados en forma arbitraria, sino para ser factible el estudio de estas posiciones, existen reglas determinadas y normas que la reglan, y es esto lo que determina los siguientes métodos:  Objeto fijo y Observador variable: Cambio de Planos.  Objeto variable y Observador fijo: Método de Giros.

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1. Elementos de un Giro: Para que un cuerpo del espacio tal como P efectúe un giro, es necesaria la concurrencia de los siguientes factores: (Figura 1)  Objeto de giro:

En geometría en general, es considerado como objeto girante: un punto, una recta, un plano y en general una figura geométrica cualquiera.  Eje de giro:

Se llama así, a una recta cualquiera, alrededor del cual se efectúa el giro. El eje de giro puede ser: exterior al objeto, o tener puntos de contacto con el.  Plano de giro:

Es el plano que generan los puntos del objeto al girar alrededor de un determinado eje. Podemos observar que cada punto del objeto generara un plano de giro. Este plano de giro es perpendicular al eje de giro.  Angulo de giro:

Cuando un punto describe un giro alrededor de un eje, barre una parte del plano de giro, que se llama ángulo del giro. Este ángulo de giro tiene como vértice un punto del eje y como lados, las rectas que unen el vértice con el objeto que gira en sus proyecciones inicial y final.

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2. Principios Básicos de los Giros:  Primero:

Todo objeto elemental P al girar alrededor de un eje, describe una circunferencia o arco de circunferencia que se Llama trayectoria t. El centro C de la trayectoria se encuentra en el eje de giro e y su radio r es la distancia existente entre el objeto P y el eje. ( Figura 2)  Segundo: Todo objeto P al girar alrededor de un eje, genera un plano G llamado Plano de giro y que es perpendicular al eje de giro. ( Figura 3)  Tercero: La proyección de la trayectoria del giro de un objeto P sobre cualquier plano paralelo al plano de giro G, se ve siempre en verdadera magnitud: G'. ( Figura 4)

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 Cuarto: La proyección de la trayectoria de giro de un objeto P sobre un plano perpendicular al plano de giro, es un segmento de recta cuya verdadera magnitud es igual al diámetro de la trayectoria. Al girar el objeto P alrededor del eje e, describe la trayectoria t. La proyección de dicha trayectoria sobre el plano W es el segmento mn’ cuya longitud es igual al diámetro de la circunferencia descrita: siendo los puntos m y m' las posiciones sobre el plano W, del objeto P al girar. ( Figura 5)  Corolario: Las proyecciones del objeto P sobre el plano W al girar, siempre estará comprendido entre los extremos m y m’ y además nunca podrá ser exterior a

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3. Giros en el Sistema Ortogonal H-F-P: En este sistema, los giros pueden realizarse siempre empleando los siguientes tipos de ejes:    

Eje perpendicular al plano horizontal (punta vertical Eje perpendicular al plano frontal (punta normas Eje perpendicular a H-F Eje cualquiera

Nomenclatura:  El eje de giro será designado por el segmento ee’.  El punto girado se le llamara con el mismo nombre del punto en su posición original y con una rayita en la parte superior si ha efectuado un solo giro; con dos rayitas si hubiese efectuado dos giros, y así sucesivamente.

4. Giro de Puntos:  Giro alrededor de un eje vertical: Sea P un punto del espacio que debe girar alrededor del eje ee' perpendicular al plano horizontal de proyección. Por el segundo principio básico, el plano de giro es un plano no paralelo al plano horizontal, por lo tanto, la trayectoria se ve en él, en verdadera magnitud. (Figura 6) Descripción del Giro en el espacio:  Sea el eje de giro, la recta vertical ee’  Llamemos P al punto del espacio que ha de girar, en su posición inicial.  La trayectoria del giro es la circunferencia t, cuya  verdadera magnitud es la circunferencia proyectada en el plano horizontal de proyección.  El centro de la trayectoria es el punto c.  Indiquemos el sentido del giro, mediante un arco con una flecha en su extremo. GRUPO 09

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Depurado: Se unen las proyecciones horizontales eHeH’ del eje con la proyección horizontal pH del punto que va a girar. Con centro en la proyección horizontal del eje de giro y un radio igual al segmento que une las proyecciones horizontales del eje y del punto, se describe un arco de circunferencia en el sentido horario (o antihorario) hasta barrer el ángulo 6 dado, llegando a la posición que es pH, que será la proyección horizontal del punto ya girado en su posición final. Para encontrar la proyección frontal del p unto girado: por pH trazamos una línea de referencia y por pF una paralela al eje HF. El punto de corte de estas dos líneas, determinaran la proyección pF girado.

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Giro alrededor de un Eje Normal: Tratándose de un eje normal, o sea uno perpendicular al plano frontal, el procedimiento es semejante al caso anterior y por estas razones, nos limitaremos a describir el procedimiento general. (Figura 7)

 Se unen las proyecciones frontales del eje de giro con la proyección frontal del punto a girar, en su posición inicial.  Con centro en la proyección frontal del eje y tomando como radio la distancia al punto a girar, se describe un arco de circunferencia, barriendo el ángulo 0 dado y en la dirección señalada.  Habiendo barrido el ángulo 6 obtenemos la proyección frontal del punto girado.  Por la proyección frontal del punto girado, se traza una línea de referencia; por la proyección horizontal del punto en su posición inicial se traza una paralela al eje H-F.  El punto de corte de las dos líneas antes trazadas, definirán la proyección frontal del punto girado.

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 Giro alrededor de un Eje Paralelo al H-F: Siendo el eje paralelo al eje H-F, el plano de giro deberá ser paralelo al plano lateral de proyección, Luego la trayectoria t del punto al girar, se verá en verdadera magnitud en la proyección de perfil. (Figura 8) Procedimiento:  Se halla la proyección de perfil del punto: pP  Se determina la proyección de perfil del eje de giro: ePeP'.  Con centro ePeP' y una radio igual al segmento ePeP’pP se describe

un arco de circunferencia en el sentido fijado y barriendo el ángulo 0 dado, hasta llegar a la posición ya girado y representado por el punto pP girado.

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 Giro alrededor de un eje cualquiera: Cuando los ejes son perpendiculares a los planos de proyección, los giros se efectúan directamente sobre el sistema H-F. Pero tratándose de un eje que tiene una posición cualquiera, la trayectoria del punto al girar no podrá verse en verdadera magnitud en forma directa es sus proyecciones horizontal y frontal; por lo tanto, previo a la operación de giro, se debe llevar el eje dado a una posición favorable mediante obtención de un eje auxiliar para tener el eje transformado en uno de punta que puede ser vertical o normal. En este nuevo sistema, se ejecuta el giro aplicando las reglas de los casos anteriores. Obtenido las proyecciones del punto girado en e nuevo sistema, se debe efectuar el regreso del sistema original y en cual se debe dar la solución final. (figura 9)

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5. Giro de Rectas: Elementalmente, una recta queda determinada por dos puntos cualquiera, por lo tanto, el procedimiento general que se debe aplicar en el giro de una recta dada alrededor de un cierto eje y en una dirección determinada, se sigue en la siguiente forma:  Se toman dos puntos cualesquiera de la recta dada.  Se giran los puntos tomados, el ángulo dado y en el mismo sentido.

Los puntos obtenidos ya girados, se unen, determinado en esta forma la posición de la recta dada, ya girada. Se deben considerar los dos siguientes sub-casos:



 Sub-caso 1:

Girar una recta cualquiera alrededor de un eje exterior a ella: Girar la recta ab alrededor del eje ee’ un cierto ángulo. Procedimiento:  El eje dado es de punta vertical.  Se giran los puntos a y b en el sentido horario y el mismo ángulo  Se

unen los puntos girados, que determinan las proyecciones de la recta en su nueva posición.

 Sub-caso 2:

Girar una recta cualquiera alrededor de un eje que tiene un punto en común con la recta. Este método es el más empleado, ya que teniendo la recta y el eje un punto en común, bastara con tomar otro punto de la recta y girarlo bajo las condiciones dadas.

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6. Giro de Planos  Sabemos que, en el caso más general, un plano está determinado por tres

puntos no situados en línea recta. Por lo tanto, para girar un plano cualquiera bajo ciertas condiciones, seguiremos el siguiente procedimiento:  Se

giran tres puntos cualesquiera del plano bajo las condiciones establecidas.  Se unen los puntos girados, determinando en esta forma el plano girado Aplicación: Se da el plano abc. Girarlo alrededor del eje ee un ángulo y en sentido horario. (Figura 10)

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APLICACIONES GENERALES DE LOS GIROS. A. TRANSFORMAR UNA RECTA A OTRA QUE SEA PARALELA A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: Verdadera Magnitud de la Recta. Transformar una recta cualquiera

Horizontal: Transformar la recta ab en horizontal. (figura11) Procedimiento

● Empleando un eje perpendicular1 al plano frontal: Eje Normal ee. Hacemos pasar dicho eje por el punto b de la recta dada. ● Se gira el punto a alrededor del eje dado, de modo que la proyección frontal de los puntos de la recta, queden situados en una misma paralela al eje H-F, determinando en esta forma la proyección frontal de la recta ya girada: . ● La proyección horizontal de la recta girada, queda determinada al unir las proyecciones horizontales de los puntos girados que han sido determinados por el procedimiento general conocido.

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 Transformar una recta

cualquiera a Frontal: Transformar la recta ab en frontal. (Figura 12)

Procedimiento:  Empleamos un eje perpendicular al plano horizontal de proyección: eje Vertical ee.  Hacemos pasar el eje por el punto a de la recta.  Giramos el punto b de la recta, alrededor del eje dado, de modo que las proyecciones horizontales de los puntos queden situadas en una misma paralela al eje H-F. Uniendo los puntos girados obtenemos la proyección horizontal de la recta girada.  La proyección frontal de la recta girada, queda determinada al unir  las proyecciones frontales de los puntos gira -dos que son y que han sido hallados por el método general.

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 Transformar una recta

cualquiera a Perfil: Transformar la recta ab a una eme sea de perfil. (Figura 13) Procedimiento: ● Se hace pasar un eje vertical por un punto de la recta: lo hacemos pasar por el punto by ● Se gira el punto a alrededor del eje ee, de modo que la proyección horizontal de los puntos do la recta, se sitúen en una misma perpendicular al eje H-F. En esta forma queda determinado la proyección horizontal de la recta. ● La proyección frontal de la recta girada, queda determinada al. unir las proyecciones frontales de los puntos girados que previamente han ● sido hallados por el método general de puntos. La proyección frontal de la recta también debe ser perpendicular al eje H-F.

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B. TRANSFORMAR RECTAS A OTRAS QUE SEAN PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: Rectas de punta: 1. Transformar una recta cualquiera a Vertical: Se deben emplear en este caso dos giros: ( Figura 14)  La

recta dada se transforma primero en Frontal, mediante un giro alrededor de un eje vertical.  Empleando un nuevo eje, ahora normal, se transforma la Frontal anterior en Vertical. Aplicación: La recta ab transformarla a Vertical median el empleo de los giros. Procedimiento:  Primer Paso: La recta dada ab la transformamos a frontal girando en la forma ya conocida alrededor del eje vertical ee.  Segundo Paso: La recta vertical (girada una vez) la transformamos a vertical, girándola alrededor del eje normal que hacemos pasar por el punto, de modo que la proyección frontal de la recta girada sea perpendicular al eje H-F. La proyección horizontal de la recta ya vertical, se determina mediante el procedimiento conocido. Aclaraciones en el Depurado  Proyección horizontal del eje vertical es eHeH. La proyección frontal del eje no se dibuja por no ser necesaria y sobre todo para no recargar el depurado. Se gira aH alrededor del eje, hasta que está en una paralela al eje H-F y que será la proyección horizontal de la recta ya girada.  En el segundo giro, se ha hecho pasar el eje por el punto b y cuya proyección frontal es sFsF cuya proyección horizontal no se ha dibujado por razones obvias.  Se ha girado la proyección frontal aF hasta que quede situado en una perpendicular al eje H-F y que viene a ser la proyección frontal de la recta ya girada y que ya es vertical.

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aF

2. Transformar una recta cualquiera a Normal: Se deben efectuar también en este caso Dos giros:  La recta dada se transforma en recta horizontal mediante el giro alrededor de un eje normal.  Mediante un segundo giro, esta vez alrededor de un eje vertical, se transforma la horizontal anterior, en recta normal. ( Figura 15) Aclaraciones en el Depurado ● El primer eje de giro es ee que se ha hecho pasar por el punto a de la recta dada, de modo que la proyección frontal se confunde con aH. La proyección horizontal del eje no se dibuja por no ser necesario. ● Se ha girado la proyección bF, alrededor del eje, hasta que con la proyección frontal del punto a quede situado en una paralela al eje H-P, formando en esta forma la proyección frontal de la recta girada. ● El segundo eje está representado por ss que hacemos pasar por el punto a de la recta, Su proyección horizontal es que se confunde con aH. Análogamente, la proyección frontal de dicho eje no se ha trazado.

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● Alrededor del nuevo eje, se gira el punto, hasta que su proyección horizontal se sitúe en una misma perpendicular con al eje H - F. La proyección frontal de la recta que ya es normal, se halla en la forma conocida.

H

3. Transformar una recta cualquiera a paralela al eje H - F Como ya sabemos, una recta paralela al eje H-P es paralela simultáneamente a los dos planos de proyección, luego es la vez horizontal y frontal. Por lo tanto, para efectuar esta transformación emplearemos dos giros.

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C. TRANSFORMAR UN PLANO CUALQUIERA A OTRO QUE SEA PERPENDICULAR A LOS PLANOS DE PROYECCION: 1. Transformar un Plano cualquiera a uno que sea vertical (perpendicular al plano horizontal). (figura 16) Transformar el plano abc cualquiera a uno que se de Canto Vertical. Procedimiento:  Se tomará en el plano dado, una recta frontal tal como bm.  Mediante un giro se transforma la recta bm en una que sea de punta vertical.  Girando el mismo ángulo y en el mismo sentido a los otros puntos del plano, se obtiene finalmente el plano y convertido a vertical (proyección horizontal una recta). Depurado:  Se ha tomado un eje normal ee que pasa por el punto b.  Se transforma bm a recta vertical, habiendo girado para esto un ángulo de valor  Los puntos a y c se ha girado el mismo ángulo y en el mismo sentido.  La proyección la horizontal del plano girado es una recta.

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2. Transformar un plano cualquiera a uno de Canto Normal. Transformar el plano mns cualquiera a uno que sea de canto normal (perpendicular al plano frontal) (figura 17) Procedimiento:  Se toma en plano dado, una recta horizontal tal como am.  Mediante un giro, se transforma la recta am en una de punta normal.  Girando el mismo ángulo en el mismo sentido a los demás puntos del plano, se obtendrá el plano que ya es de posición normal (proyección frontal es una recta) Depurado:  se toma el eje vertical ee que hacemos pasar por el punto del plano m.  se transforma la recta m en normal, determinando en este giro el valor del ángulo.  Los otros puntos del plano, o sea n y s se giran en el mismo sentido y el mismo ángulo anterior.  La nueva proyección frontal del plano girado bebe ser una recta.

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3. Transformar un plano cualquiera a paralele al eje H-F Transformar el plano abc cualquiera a uno que sea perpendicular al plano lateral. (Figura 18) Procedimiento:  Tomamos en el plano una recta frontal tal como as.  Esta recta frontal, mediante un giro se transforma a una que sea paralela al eje H - F (Ver 7-B-c) o sea que es perpendicular al plano lateral de proyección  Los otros puntos del plano, también se giran en el mismo sentido y el ángulo determinado en el primer giro.  Se obtiene los puntos a, b y c girados que van a formar el nuevo plano, que por tener la recta as que es paralela al eje H-F, también lo es. Depurado:  Tomamos la frontal del plano: as.  Hacemos pasar por el punto s un eje vertical ee’  La frontal as se gira liaste que quede paralela al eje H-F, barriendo en esta operación el ángulo 0. Se determina las nuevas proyecciones horizontal y frontal, obtenemos las nuevas proyecciones giradas que forman el plano que ya es paralelo al eje H-F.

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D. TRANSFORMAR UN PLANO CUALQUIERA A OTRO QUE SEA PARALELO A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: "Verdadera magnitud de un plano" Prácticamente, el hecho de que un plano sea transformado a uno que sea paralelo a uno de los planos de proyección, significa determinar su verdadera magnitud, o sea encontrar su verdadera extensión, de manera que cualquier figura contenida en dicho plano se vea en su verdadera magnitud (Se recuerda que estos conceptos ya se habían visto en la Primera Parte: Vistas Auxiliares) . 1. Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al plano frontal de proyección: Transformar el plano abc a uno que sea paralelo al plano frontal de proyección. (Figura 19) Procedimiento:  Con el empleo primeramente de un eje de giro normal, que pasa por el punto a, transformamos la recta frontal bs del plano en una vertical, para que el plano dado sea perpendicular al placo horizontal de proyección,  Tomando un segando eje vertical, se transforma al plano de canto vertical a paralelo al plano frontal* de proyección (haciendo girar su proyección horizontal hasta que quede paralelo al eje H-P.)  Determinando las proyecciones frontales de los puntos girados, obtenemos la proyección frontal del plano en su verdadera magnitud (figura a rayas) Depurado:  Se toma la recta frontal bs en el plano dado.  Por el punto s pasamos el primer eje Normal  Se transforma la recta sb en frontal, girando en sentido horario el ángulo  Tomamos un segundo eje, esta vez, vertical que pase por el punto a (la proyección horizontal del eje pasa por art)  Se gira el plano hasta que la proyección horizontal quede paralelo al eje H--P (giro en sentido horario el ángulo 0§  Se determinan las proyecciones frontales del plano, obteniendo en su verdadera magnitud (aFbFcF) GRUPO 09

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2. Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al plano “horizontal” de proyección: (figura20) Procedimiento:  Con un primer giro, tenemos que transformar el plano dado en uno de canto normal (perpendicular el plano frontal). El eje empleado en este caso es vertical.  Ejecutando un segundo giro alrededor de un eje normal, se transforma el plano normal en horizontal. El plano referencia se vera en verdadera magnitud en proyección horizontal. Depurado:  Tomemos la recta horizontal aw en el plano dado. Mediante un giro alrededor del eje vertical que pasa por el punto w se transforma la recta aw en normal. Con esta operación el plano se ha transformado en uno de canto normal (la proyección frontal aFbFcF es una recta).  Empleando un segundo eje normal (que pasa por el punto c) se gira el plano normal, hasta que queda paralelo al plano horizontal de proyección. El ángulo girado en este caso es θ’. La proyección frontal aFbFcF queda paralela al eje H-F.  La proyección horizontal aHbHcH del plano queda en verdadera magnitud.

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3. Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al plano Lateral de proyección: (Figura 21) Siendo este tipo de plano, perpendicular simultáneamente a los dos planos de proyección, es de advertir que basta que, mediante dos giros, se transforme el plano dado en normal primero, y luego en vertical; o también en su defecto primero en vertical y luego en normal. En ambos casos deberá emplearse los ejes convenientes y efectuar los giros en la forma reglamentaria. Deberá tenerse en cuenta que al final del trabajo, las proyecciones horizontales y frontales del plano deberán quedar en una misma línea perpendicular al eje H

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