Formes Quadratiques

Leçon 128 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel sur ou . Classification dans chacun des deux cas. On suppose connue la notion forme bilinéaire symétrique. Dans tout la suite, E désigne un K-espace vectoriel avec K = ou K = .

A. Généralités sur les formes quadratiques. 1. Définition Définition : Soit ϕ une forme bilinéaire sur E×E. L’application Φ : E → K définie par Φ(x) = ϕ(x;x) est appelée forme quadratique sur E. Exemple : Soit S∈S(). Φ : M() → est une forme quadratique sur M(). A → tr(SAA) Théorème : Soit Φ une forme quadratique sur E. Il existe une unique f.b.s. ϕ telle que ∀x∈E Φ(x) = ϕ (x;x). On a ∀(x;y)∈E×E ϕ(x;y) = (Φ(x+y)−Φ(x)−Φ (y)) = (Φ(x+y)− Φ(x−y)) ϕ est alors appelée la forme polaire de Φ. Exemple : Soient u, v ∈ . Φ: → est une forme quadratique sur . x → [x,u,v∧x] Propriété : ∀x∈E ∀λ∈K Φ(λx) = λΦ (x) Dans toute la suite, Φ désigne une forme quadratique et ϕ la forme polaire associée.

2. Expression matricielle en dimension finie. Dans cette partie, E est de dimension finie, notée n. B est une base de E. Proposition : Soient A = Mat(ϕ), x et y dans E avec X = Mat(x) et Y = Mat(x).

On a alors ϕ(x;y) = XAY et Φ(x) = XAX . Propriété : Règle du dédoublement. Soient x = (x;…;x) et y = (y;…;y) deux éléments de E. Si Φ(x) = αx + 2αxx alors on obtient ϕ(x;y) = αxy + α(xy + xy) Exemple : La matrice de Φ : → (x,y,z) → 3x + y + 2xy − 3xz dans la base canonique est . Proposition : Soient A = Mat(ϕ), B’ une base de E, P la matrice de passage de B à B’ et A’ = Mat(ϕ). On a alors A’ = PAP Définition : On appelle rang de Φ le rang de la matrice de sa forme polaire dans B.

B. Orthogonalité Définitions : • Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux selon Φ lorsque ϕ(x;y) = 0.

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On appelle orthogonal de A⊂E selon Φ l’ensemble A = {y∈E | ∀x∈A ϕ(x;y)=0}. On appelle noyau de Φ l’ensemble Ker Φ = E.

Application : Détermination de la nature de la quadrique d’équation : x+2xy+2y−2yz+(λ+1)z−2x+2y−4z+λ+4 = 0

C. Classification des formes quadratiques. Dans cette partie, E est de dimension finie, notée n et r est le rang de la forme quadratique Φ. Théorème : Classification des formes quadratiques complexes. Il existe une base B de E tel que Mat(Φ) = Corollaire : Il existe une base B = (e;…;e) de E telle que pour tout x = xe ∈ E Φ(x) = x . Théorème : Classification des formes quadratiques réelles. Il existe un unique couple (p;q) de tel qu’il existe une base B de E telle que Mat(Φ) = Corollaire : Il existe un unique couple (p;q) de tel qu’il existe une base B = (e;…;e) de E telle que pour tout x = xe ∈ E Φ(x) = x −x . Définition : Le couple (p;q) est appelé la signature de Φ.

On dit que Φ est non dégénérée si Ker Φ = {0}. Une base B de E est dite Φ-orthogonal si pour tout couple (e;e’) d’éléments distincts de B, on a ϕ(e;e’) = 0.

Théorème : Si E est de dimension finie alors il existe au moins une base de E Φ-orthogonale. Corollaire : Toute forme quadratique Φ sur E est décomposable d’au moins une façon en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. Pratique : Algorithme de décomposition de Gauss d’une forme quadratique. Détermination de son noyau et de son rang.

Bibliographie :

Gourdon, Algèbre. Monier, Algèbre 2. Ladegaillerie, Géométrie. Sorosina, Algèbre et géométrie.