Fisica Moderna - De Mb

Università di Udine – Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

FISICA MODERNA per allievi di Matematica, Fisica Computazionale e Informatica (De Angelis) Appunti per il corso dell’A.A. 2002/2003 – Bozza 2.2 del 25/11/02 www.fisica.uniud.it/~deangeli/fismod/corsofismod.html

1) Le origini della Fisica Quantistica - Aspetti corpuscolari della radiazione - Aspetti ondulatori delle particelle 2) Funzione d’onda ed equazione di Schrödinger - Potenziali lineari a tratti; barriere di potenziale ed effetto tunnel - Principio d’indeterminazione di Heisenberg - Sistemi conservativi nell’intorno di una posizione di equilibrio stabile 3) Atomi - Potenziali a simmetria sferica - L’atomo d’idrogeno - Spin e principio di Pauli - Atomi a più elettroni: cenni sulla tavola periodica 4) Statistiche quantistiche - Bose-Einstein (bosoni) - Fermi-Dirac (fermioni); meccanismi di conduzione 5) Cenni sulla meccanica quantistica in un quadro formale (fisici e matematici) o Cenni sui dispositivi a semiconduttore (informatici e ingegneri) 6) Teoria della relatività speciale - Invarianza dell’intervallo spaziotemporale e trasformazioni di Lorentz - Dinamica relativistica - Formulazione covariante della teoria elettromagnetica

Capitolo 1

Le origini della sica quantistica Il mondo era così recente che molte cose erano prive di nome, e per citarle bisognava indicarle col dito.

fuori dal visibile. Infatti un qualunque corpo a una qualunque temperatura

T >0

emette radiazione.

La teoria elettromagnetica classica consente di calcolare la radiazione emessa da un emettitore e

Gabriel Garcia Márquez Cent'anni di solitudine

assorbitore perfetto (corpo nero). Un foro in una cavità è ad esempio con buona approssimazione un corpo nero:

la radiazione che entra nel foro può

uscirne con probabilità bassa. Raileigh e Jeans descrissero la distribuzione di Alla ne del secolo scorso era opinione generale

intensità

I

delle onde emesse in funzione della lun-

che la meccanica newtoniana e la teoria di Maxwell

ghezza d'onda

dell'elettromagnetismo spiegassero tutta la realtà

nero come quella proveniente da un insieme di oscil-

sica. Gli enti sici venivano ricondotti a due rap-

latori che possono emettere e assorbire radiazione

presentazioni: particelle e onde. Alcuni esperimen-

a ogni frequenza. L'espressione ottenuta

λ

modellando la radiazione di corpo

ti indicarono tuttavia fenomeni dicili da inquadrare nei modelli conosciuti: in particolare eviden-

dI/dλ = 2πc

ze sperimentali puntavano verso il fatto che alcu-

kB T λ4

(1.1)

ni sistemi sici possono assumere solo livelli ben

(dove

deniti (quantizzati) di energia, che la descrizione

della luce) diverge per

corpuscolare è talora inadeguata a rappresentare il

letta):

comportamento delle particelle, e che la descrizione

frequenze (apparendo blu) e perdere rapidamente

ondulatoria è talora inadeguata a rappresentare il

tutta la loro energia.

comportamento della radiazione. L'esposizione in questo capitolo

non rispecchia la

storia della sica.

kB

è la costante di Boltzmann e

λ→0

c è la velocità

(catastrofe ultravio-

tutti i corpi dovrebbero emettere ad alte

Le osservazioni sperimentali erano in contrasto con il calcolo classico (Figura 1.1). Tali osservazioni erano descritte dalle seguenti leggi: 1. Legge di Stefan-Boltzmann: l'intensità totale

1.1

La radiazione di corpo nero

emessa per unità di tempo vale

I = σT 4

Una delle eccezioni al successo della teoria ondula-

σ  5.7 × 10−8

2 4 W/(m K ).

toria era associata al calcolo della radiazione emes-

con

sa da un corpo a una determinata temperatura

invece, l'integrale della (1.1) diverge.

T. Constatiamo l'emissione di radiazione da parte di corpi ogni giorno: il sole, il lamento di una lampadina percorsa da corrente - ma anche il lamento di una lampadina non percorso da corrente, ancorché

Si noti che,

2. Legge di Wien: lo spettro di emissione ha un massimo nella lunghezza d'onda

λMAX =

2.9µm T /1000K

1.2 Proprietà corpuscolari della radiazione

2

Figura 1.2: Apparato sperimentale per evidenziare

Figura 1.1: Radiazione di corpo nero.

l'eetto fotoelettrico. (ad esempio approssimando il sole con un assorbitore perfetto si ha

T  6000

K). Si noti

che, invece, la (1.1) non ha massimo.

si noti che l'espressione di Planck tende all'espressione di Raileigh e Jeans nei limiti per per

h → 0.

λ → ∞

e

Il calcolo classico di Raileigh e Jeans riproduce i

Era sensazione generale tuttavia che le ipotesi

dati sperimentali solo per grandi lunghezze d'onda.

di Planck fossero solo un articio matematico per

Nel 1900 Planck propose una teoria della radia-

risolvere il problema.

zione di corpo nero che riproduceva i dati sperimentali a tutte le lunghezze d'onda.

In questa teoria

le molecole non possono avere energie arbitrarie,

quantizzate,

ma al contrario le energie sono

ossia

possono avere solo valori discreti.

1.2

Proprietà corpuscolari della radiazione

1.2.1 L'eetto fotoelettrico

E = nhf

Quando una supercie metallica viene colpita da dove

f

è la frequenza di vibrazione,

positivo e

hè

n

è un intero

radiazioni di frequenza sucientemente alta essa

una costante, oggi chiamata costante

libera elettroni; anche in assenza di dierenza di

di Planck. Inoltre postulò che quando una molecola

potenziale

passa da uno stato di energia più alta a uno di

corrente nell'apparato di Figura 1.2. È quindi plau-

energia più bassa essa emette un

sibile che la luce provochi l'emissione di elettroni

quanto di energia

V

applicata si può quindi misurare una

dal catodo.

E = h ∆n f .

Questo

Con questi postulati, l'espressione ottenuta per la radiazione di corpo nero è

fenomeno,

noto

all'inizio

del

secolo,

si manifesta con caratteristiche inspiegabili dalla sica classica. In particolare: 1. L'emissione, se avviene, è istantanea e il tem-

1 dI hc = 2πc 5 hc/λk T . B dλ λ e −1

po di risposta non dipende dall'intensità

I

del-

la radiazione (qualora l'emissione avvenga l'intensità della corrente è proporzionale all'inten-

Per

h  6.6 × 10

−34

sità della radiazione incidente, in accordo con

Js

i dati sperimentali sono ben riprodotti.

Planck

quindi poteva spiegare la radiazione di corpo nero;

quanto atteso in base a ragionamenti classici). 2. Se la frequenza viene mantenuta costante e

V

1.2 Proprietà corpuscolari della radiazione

3

è diretto in modo tale da opporsi al usso, la corrente si annulla per un valore del potenziale

V = −Vs ; Vs , I.

dipende da

detto potenziale di arresto, non L'energia cinetica degli elettroni

emessi dipende dalla frequenza della radiazione incidente e non dalla sua intensità. 3. L'emissione avviene solo se la luce ha frequenza maggiore di una certa frequenza di soglia

f0 ,

e il potenziale d'arresto è legato alla frequenza dalla relazione

eVs = h(f − f0 ) . La spiegazione di questo fenomeno sta nel fatto che l'energia della radiazione incidente si trasforma in energia cinetica degli elettroni scatterati, che in conseguenza si muovono. Non sempre però essi si staccano dalle proprie orbite, in quanto l'energia cinetica deve essere superiore all'opposto dell'energia totale (negativa) che tiene legati gli elettroni all'atomo.

Questo valore energetico è il potenziale di

arresto, e dipende dal tipo di metallo usato come catodo; tipicamente vale 4-5 V. Einstein suppose che l'energia dell'onda incidente fosse concentrata in pacchetti discreti, chiamati fotoni, ciascuno di energia

E = hf . Quindi, se l'energia di legame degli elettroni degli strati più esterni vale

−E0 ,

l'energia cinetica

EK

acquistata dagli elettroni estratti vale:

EK = hf − E0 (EK > E0 ) . L'intensità della radiazione incidente determina

Figura 1.3: Alto: Dipendenza della corrente dalla dierenza di potenziale applicata V. Basso: dipendenza del potenziale di arresto dalla frequenza della luce

f.

invece il numero degli elettroni destinati ad uscire dall'orbita: più sono i fotoni incidenti maggiore è il numero di elettroni con cui essi interagiranno. Numerose sono le applicazioni pratiche dell'eetto fotoelettrico: ad esempio celle fotoelettriche nel televisore, nel cinema sonoro, nelle macchine fotograche e in generale negli strumenti mediante i quali si vuole evidenziare mediante un impulso di corrente una variazione di un eetto luminoso.

1.2.2 L'eetto Compton

monocromatica, ad esempio un fascio di raggi X, in seguito all'attraversamento di una sottile lamina, per esempio di grate. La lunghezza d'onda della radiazione diusa dalla lamina risulta essere maggiore di quella della radiazione incidente (e quindi si verica una diminuzione della frequenza), e la variazione di lunghezza d'onda dipende dall'angolo di deviazione (Figura 1.5). Questa situazione sperimentale andava a scontrarsi con la teoria della sica classica secondo la

Nel 1922 Compton mise in luce il problema del cam-

quale ogni volta che la radiazione elettromagnetica

biamento della lunghezza d'onda di una radiazione

interagisce con una particella carica, la radiazio-

1.3 Proprietà ondulatorie della materia

4 zione fosse stata trasmessa agli elettroni più esterni della lamina, permettendo ad essi di sganciarsi dalla grate. Il collegamento con la teoria dei quanti consiste

hf

nel fatto che il fotone ha un'energia

proporzio-

nale alla frequenza; nell'interazione con l'elettrone esso perde parte dell'energia (e quindi la sua lunghezza d'onda aumenta). chiamo con

φ

In particolare, se indi-

l'angolo di diusione del fotone dopo

l'urto con l'elettrone e con

∆λ

la dierenza tra la

lunghezza d'onda del fotone prima e dopo l'urto si può calcolare (faremo questo calcolo dopo avere introdotto la teoria della relatività speciale) che: Figura 1.4:

Schema del processo di scattering

∆λ =

Compton. dove

c

h (1 − cos φ) me c

è la velocità della luce,

Planck e

me

h

la costante di

la massa dell'elettrone.

Il risultato

spiega i dati sperimentali.

h/mc

La quantità

viene

chiamata lunghezza

d'onda Compton di una particella di massa

m;

per

l'elettrone ha valore di circa 2.4 pm.

1.3

Proprietà ondulatorie della materia

Se la luce può avere manifestazioni corpuscolari, è ragionevole pensare che a loro volta le particelle siano soggette a fenomeni per spiegare i quali è necessario invocare la meccanica ondulatoria.

1.3.1 Relazione di de Broglie Ciò infatti si verica sperimentalmente: in particolare, gli elettroni sono soggetti a fenomeni di dirazione così come le onde classiche. In tali fenomeni Figura 1.5: Misura della lunghezza d'onda del fo-

l'elettrone si comporta come un'onda di lunghezza

tone diuso dopo scattering Compton in funzione

λ=

dell'angolo di osservazione. dove ne diusa, qualunque sia la direzione, ha la stessa frequenza (e quindi la stessa lunghezza d'onda se il mezzo di propagazione non cambia) della radiazione incidente. Per spiegare il fenomeno, Compton prese spunto dalle nuove teorie riguardanti l'interpretazio-


= h/2π

e

h =⇒ p =
k , p

k = 2π/λ

è il numero d'onda.

L'equazione precedente viene detta relazione di de Broglie.

1.3.2 Esperienza di Davisson e Germer

ne quantistica della radiazione elettromagnetica, e

Nell'esperienza di Davisson e Germer (1927) un fa-

ipotizzò che la parte dell'energia persa dalla radia-

scio di elettroni era diretto verso un cristallo di nic-

1.4 Spettri di emissione degli atomi e modello di Bohr

5

kel, che poteva essere ruotato per misurare la distribuzione angolare degli elettroni. Si trovò che a certi angoli si aveva un picco nell'intensità degli elettroni diusi, in accordo con la condizione di interferenza costruttiva tra onde elettroniche riesse da diversi piani reticolari, in maniera identica a quello accade con i raggi X. I risultati erano in accordo quantitativo con la relazione di de Broglie. Ad esempio ad un elettrone che si muove a velov = 107 m/s è associata una lunghezza d'on−11 m, dell'ordine delle distanze da λ  7 × 10

cità

interatomiche.

1.4

Figura

1.6:

Meccanismi

di

emissione

e

di

assorbimento della luce.

Spettri di emissione degli atomi e modello di Bohr

Un altro grande problema irrisolto all'inizio del ventesimo secolo riguardava gli atomi.

Da un lato

il modello in base al quale gli elettroni (negativi) orbitano attorno al nucleo comportava l'instabilità dell'atomo: gli elettroni avrebbero dovuto perdere

Figura 1.7: Onde stazionarie di de Broglie per un

energia per l'irraggiamento che compete alle cariche

elettrone in un'orbita circolare.

accelerate, e quindi cadere nel nucleo. Inoltre, se la radiazione da parte degli atomi è legata a cambiamenti di energia nel moto degli elettroni, lo spettro di luce emesso dagli atomi dovrebbe essere continuo. Si osserva al contrario che lo spettro della luce emessa da atomi energetici (sodio e mercurio ad esempio) non è in generale continuo, ma composto

le orbite degli elettroni in un atomo per le quali le onde di materia sono stazionarie possano essere le sole orbite stabili (Figura 1.7). Se

r

è il raggio

dell'orbita, si deve avere

2πr = nλ ; n = 1, 2...

da righe individuali, come ci si aspetterebbe se solo livelli discreti di energia fossero concessi agli elet-

e dunque, utilizzando la relazione di de Broglie

troni, e la luce venisse emessa nella transizione tra due livelli (Figura 1.6).

Considerazioni analoghe

valgono per le energie assorbite. Alla ne del diciannovesimo secolo si osservò che le lunghezze d'onda della luce emessa dall'idrogeno soddisfacevano alla relazione

1 = RH λ




1 1 − 2 2 n m



2πr = n

h =⇒ L = pr = n
. p

Il momento angolare

L e' quindi quantizzato.

cavere la quantizzazione dei valori concessi per il

,

(1.2)

raggio. Abbiamo

un'opportuna

1 e2 4π0 r2

Nel modello di Bohr gli elettroni orbitano intor-

=⇒ EK

con

n < m

numeri interi e

RH

costante. no al nucleo, essendo ad esso legati dall'attrazione elettrostatica. Se il comportamento degli elettroni è quello di un'onda, è plausibile che gli stati stabili siano caratterizzati da onde stazionarie.

Dal-

la quantizzazione del momento angolare si può ri-

Supponiamo che

Ep =⇒ EK + Ep = E

EK mv 2 =2 r r 2 1 e = (1.3) 4π0 2r 1 e2 = − 4π0 r 1 e2 = − (1.4) 4π0 2r = F =

1.5 Conclusione

6

(si noti che per descrivere un sistema idrogenoide, un sistema cioè nel quale ogni atomo ha

protoni e un elettrone, è suciente nella precedente 1 e2 1 Ze2 espressione sostituire 4π r 2 con 4π r 2 ). 0 0 Da

L = mvr = n
m 2 1 e2 v = EK = 2 4π0 2r

(1.5) (1.6)

v = n
/mr

si ricava, sostituendo l'espressione di

•

Z > 1

I soli stati concessi per l'elettrone siano quelli con

•

L = n
,

e che non irradino;

L'atomo emetta o assorba radiazione quando un elettrone passa da uno stato stazionario all'altro, e che, detta

∆E

la dierenza di energia

tra i due stati, la frequenza dell'onda associata al fotone emesso sia

1.5

f = ∆E/h.

Conclusione

nella seconda equazione,

r = 4π0

Verso la ne del secolo scorso evidenze sperimentali

n2
2 ≡ rn . me2

indicarono tra l'altro la

Si noti che, come deve essere per stati legati:

ticelle mediante punti materiali e della radiazione

•

L'energia totale è negativa.

•

La media temporale dell'energia cinetica è pari

mediante onde erano insucienti.

alla metà della media temporale dell'energia potenziale in modulo (teorema del viriale). Il più piccolo valore del raggio concesso si dice raggio di Bohr

C'era bisogno di un nuovo concetto per rappresentare gli enti sici. Per rappresentare i fenomeni d'interferenza osservati, le particelle dovevano essere rappresentate da funzioni d'onda in uno spazio almeno bidimensionale (per rendere conto di ampiezza e fase).

a0 :

a0 = 4π0

quantizzazione di fenomeni

sici, e il fatto che le rappresentazioni delle par-

Il più piccolo ambiente per que-

sta rappresentazione sono le funzioni complesse del-


2 = 0.053 nm . me2

(1.7)

le coordinate spaziali e del tempo; il concetto più semplice sembra quello di

Poiché il raggio e l'energia sono in relazione

onde di probabilità.

tramite la (1.4), si ricava per la quantizzazione

Problemi

dell'energia:

En = −

1 e2 1 e2 1 13.6 eV =− =− . 4π0 2rn 4π0 2a0 n2 n2

È immaginabile che un elettrone, nel passare da uno stato di energia

Ei

a uno stato di energia

Ef < Ei ,

emetta un quanto di energia (fotone) di

frequenza

f

tale che

f = (Ei − Ef )/h

Si ha dunque

2

f=

1 e Ei − Ef = h 4π0 2a0 h

da cui

f 1 = = RH λ c con





(Figura 1.6).

1 1 − 2 n2f ni

1 1 − 2 n2f ni





2

RH =

e 1 . 4π0 2a0 hc

Otteniamo quindi la relazione (1.2). Bohr era arrivato alle stesse conclusioni prima dell'enunciato della relazione di de Broglie,

postulando che:

1. Calcolare l'energia e il momento di un fotone rosso, con lunghezza d'onda

λ=650

nm e

calcolare la lunghezza d'onda di un fotone con energia pari a 2.0 eV. 2. Sapendo

che

tungsteno è

il

potenziale

Vs = 4.52

d'estrazione

del

eV, determinare la fre-

quenza di soglia fotoelettrica per questo metallo, la massima energia cinetica dei fotoelettroni quando la radiazione ha lughezza d'onda di 200 nm ed il potenziale di arresto in questo caso. 3. Utilizzando la legge di Wien, calcolare la lunghezza d'onda alla quale un oggetto a tem◦ peratura ambiente (T=20 C) emette la massima radiazione termica e stabilire no a quale temperatura va riscaldato l'oggetto perché si presenti di colore rosso (λ=650 nm). 4. Raggi X di lunghezza d'onda 0.24 nm sono diffusi secondo la relazione di Compton e il fascio

1.5 Conclusione diuso è osservato ad un angolo di

7 60◦

rispet-

to la direzione di incidenza. Calcolare la lunghezza d'onda dei raggi X diusi, l'energia dei fotoni X diusi, l'energia degli elettroni diusi e la loro direzione rispetto quella d'incidenza. 5. Stimare le lunghezze d'onda di de Broglie per (a) un'automobile dal peso di 1000 kg che viaggia a 100 km/h e (b) un protone con energia di 150 MeV.

Capitolo 2

Funzione d'onda ed equazione di Schrödinger Se i corpi luminosi sono carichi d'incertezza, non resta che adarsi al buio, alle regioni deserte del cielo. Che cosa può esserci di piú stabile del nulla? Eppure anche del nulla non si può essere sicuri al cento per cento. Palomar dove vede una radura del rmamento, una breccia vuota e nera, vi ssa lo sguardo come proiettandosi in essa; ed ecco che anche lì prende forma un qualche granello chiaro (...)

2.1

Le proprietà della funzione d'onda

Vediamo a quali proprietà fondamentali devono soddisfare le funzioni d'onda associate a una particella,

per essere adatte a interpretare i fatti

sperimentali. Se vogliamo rendere conto dell'interferenza fra particelle le funzioni d'onda devono essere a valori complessi.

Italo Calvino Palomar

Vogliamo che laddove il modulo dell'ampiezza dell'onda è grande, più facile sia trovare la particella. Il modo più semplice è imporre la proporzionalità tra il modulo quadro dell'ampiezza dell'onda

w

e la probabilità Intorno al 1926 Erwing Schrödinger formulò una teoria fenomenologica che diede un contributo importantissimo allo sviluppo della sica quantisti-

di trovare la particella in quel

punto e a quell'istante:

dw(r, t) ∝ |Ψ(r, t)|2 dV = Ψ∗ (r, t)Ψ(r, t) dV

(2.1)

ca, scrivendo per le funzioni d'onda un'equazione

che esprime la probabilità di trovare la particel-

analoga alle equazioni della meccanica classica.

la nel volume

dV .

La relazione di proporzionali-

Esaminando risultati fenomenologici sulla funzio-

tà nell'equazione precedente diviene una relazio-

ne d'onda, in questo capitolo formuleremo le pri-

ne di uguaglianza se si impone la condizione di

me interpretazioni di fenomeni caratteristici della

normalizzazione:



sica quantistica, quali ad esempio il principio di Heisenberg, l'eetto tunnel e l'esistenza di energie

V

cinetiche minime per gli stati di un sistema sico. Cominceremo analizzando le proprietà essenziali che deve possedere la funzione d'onda associata ad una particella materiale,

Ψ(r, t),

e successivamen-

te le proprietà dell'equazione adatta a descrivere

normalizzando la fattore.

dV |Ψ(r, t)|2 = 1 Ψ(r, t)

mediante un opportuno

L'integrale è esteso a tutto il volume

V

in cui la particella è osservabile. Inoltre imporremo che le

Ψ(r, t)

siano funzio-

la propagazione di una tale funzione d'onda: l'e-

ni continue con derivate parziali prime continue

quazione che adotteremo in approssimazione non

in ogni punto dello spazio, esclusi al più punti di

relativistica è l'equazione di Schrödinger.

frontiera del dominio (di misura nulla).

2.2 L'equazione di Schrödinger

9

Per spiegare i risultati dell'interferenza delle onde materiali e per motivi di semplicità è desiderabile che per le funzioni d'onda valga il principio di sovrapposizione. Questa proprietà, che viene riscontrata normalmente in elettromagnetismo (si pensi alla luce), può essere descritta aermando che se

Ψ1 (r, t)

due funzioni d'onda

e

Ψ2 (r, t)

sono valide

Per le note relazioni di Planck e de Broglie la (2.3) diventa:


2 k 2 . (2.4) 2m Se ipotizziamo che la Ψ(x, t) come onda piana abbia i(kx−ωt) forma matematica Ψ(x, t) = e , derivando
ω =

rispetto al tempo otteniamo:

descrizioni di una particella, lo è anche la loro combinazione lineare

c1 Ψ1 (r, t) + c2 Ψ2 (r, t)

con

c1

e

∂Ψ(x, t) = −iωΨ(x, t) ∂t

c2

numeri complessi. mentre

2.1.1 Flusso di probabilità

se

d'onda è analogo al usso di energia per un'onda ordinaria. Così come il usso di energia in un'onda attra-

A

vale

dE/Adt = (dE/dV )v⊥ ,

dove

due

volte

rispetto

alla

otteniamo: (2.6)

Sostituendo nella (2.4) le espressioni di

ω

k2

e

che si ricavano dalle (2.5) e (2.6) otteniamo inne:

v⊥ è la componente della velocità normale all'area A, il usso di probabilità per la funzione d'onda Ψ vale

x

∂ 2 Ψ(x, t) = i2 k 2 Ψ(x, t) . ∂x2

Il usso (corrente) di probabilità per la funzione

verso un'area

deriviamo

direzione del moto

(2.5)

i



2 ∂ 2 Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t) =− , ∂t 2m ∂x2

(2.7)

che è proprio l'equazione di Schrödinger cui deve

2

dw/Adt = (dw/dV )v⊥ = |Ψ(r, t)| v⊥ .

(2.2)

soddisfare la funzione d'onda di particelle libere non relativistiche. Essa corrisponde a quella che in meccanica classica si direbbe l'equazione del moto

2.2

L'equazione di Schrödinger

a potenziale costante. In

presenza di

un

potenziale

si

ottiene,

ag-

La teoria dell'equazione di Schrödinger riguarda

giungendo al termine cinetico nella (2.4) l'energia

un'equazione d'onda che deve descrivere le onde

potenziale

materiali associate a una particella secondo l'ipotesi di Louis de Broglie. La funzione d'onda è una funzione a valori complessi della posizione e del tempo. In base a quanto detto precedentemente a proposito del principio di sovrapposizione, l'equazione della quale essa è soluzione dovrà essere lineare; in particolare, se a una denita funzione d'onda

Ψ(r, t)

corrisponde un de-

nito stato di moto della particella, anche la funzioiγ ne e Ψ(r, t), dove γ è una costante reale arbitraria, descriverà lo stesso stato: il signicato sico di entrambe sarà identico per la (2.1). Quindi, mentre a ogni funzione d'onda corrisponde uno stato di moto univoco della particella, l'inverso è vero a meno di un fattore complesso di valore assoluto 1. Nel seguito per semplicità ci restringeremo ad un problema unidimensionale.

Consideriamo dappri-

m, in moto lungo l'asse x con una quantità di moto p. La sua energia

ma una particella libera di massa sarà

p2 . E= 2m

(2.3)

i


U (x, t):


2 ∂ 2 Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t) =− + U (x, t)Ψ(x, t) . ∂t 2m ∂x2

(2.8)

Nel caso tridimensionale l'equazione precedente diviene naturalmente:

i
dove

∂Ψ(r, t)
2 2 =− ∇ Ψ(r, t) + U (r, t)Ψ(r, t) , ∂t 2m ∇2

(2.9)

è il laplaciano.

2.2.1 Nota sugli operatori Osserviamo che nell'equazione di Schrödinger tutto funziona come se si fosse sostituito alla componente della quantità di moto lungo l'asse

pˆx = −i


x

l'operatore

∂ , ∂x

che agisce sulla funzione d'onda, e quindi

pˆ = −i
∇ .

(2.10)

2.3 L'equazione di Schrödinger stazionaria Questo è vero in generale (come vedremo in un

10 Calcolando la derivata seconda spaziale e la

capitolo successivo): in meccanica quantistica al-

prima temporale avremo:

le osservabili sono associati opportuni operatori



2 ∂ 2 ψ(x) ∂ϕ(t) = ϕ(t) − i
ψ(x) + U (x)ψ(x) . ∂t 2m ∂x2

(cioè enti matematici che portano una funzione in un'altra). Si noti il cappellino

(hat) ad indicare l'operatore.

Dividendo inne ambo i membri per

ψ(x)φ(t)

L'operatore momento angolare In analogia con la meccanica classica, deniamo l'operatore momento angolare dalla

ˆ L = rˆ × pˆ = −i
r × ∇ .

I due membri dell'uguaglianza dipendono rispet-

In coordinate polari il quadrato dell'operatore



1 ∂ sin θ ∂θ


 ∂ 1 ∂2 . sin θ + ∂θ sin2 θ ∂φ2

L'equazione

di

li. Essendo uguali, essi devono essere uguali a una costante; chiamiamola

(2.11)

2.3


2 i
∂ϕ(t) ∂ 2 ψ(x) =− + U (x) . ϕ(t) ∂t 2mψ(x) ∂x2

tivamente solo dalle coordinate temporali e spazia-

momento angolare si esprime come

Lˆ2 = −
2

Schrödin-

ger stazionaria

rivate parziali; in casi particolari essa può esse-

−

−

variabili. Per il momento limitiamoci per semplicità al caso unidimensionale. Supponiamo che il potenziale sia

U (x, t) = U (x);

φ

dipende solo da

la (2.8)


2 ∂ 2 Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t) =− i
+ U (x)Ψ(x, t) . ∂t 2m ∂x2

(2.12)

Ψ(x, t) si ϕ(t) dipenden-

Proviamo una soluzione nella quale la possa scrivere come prodotto di una posizione

=

Eψ(x)

=

Eϕ(t) ,

e la

ψ

solo da

x,

Risolviamo

la

solo dalla variabile

x,

semplice

=

Eψ(x) (2.13)

=

Eϕ(t) . (2.14)

(2.14)

separando

le

variabili. Otteniamo:

ϕ(t) = e−i poiché,

Et


;

per la relazione di Einstein-Planck,

eguaglia l'energia della particella,

E


ω

si identica

con l'energia totale. La soluzione dell'equazione di Schrödinger per un potenziale indipendente dal tempo è dunque una funzione del tipo

Ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t) . Sostituendo nella (2.12) otterremo:

∂(ψ(x)ϕ(t)) = i
∂t

−

t


2 d2 ψ(x) + U (x)ψ(x) 2m dx2 dϕ(t) i
dt

diviene:

ψ(x)

Si hanno quindi le due


2 ∂ 2 ψ(x) + U (x)ψ(x) 2m ∂x2 ∂ϕ(t) i
∂t

che, poiché la

re risolta attraverso la tecnica di separazione delle

te solo dal tempo ed una

E.

equazioni dierenziali ordinarie:

possono essere scritte:

L'equazione di Schrödinger è un'equazione alle de-

indipendente dal tempo,

Ψ(x, t) =

separiamo le variabili:


2 ∂ 2 (ψ(x)ϕ(t)) + U (x)(ψ(x)ϕ(t)) . 2m ∂x2

Ψ(x, t) = ψ(x)e−i dove la

ψ(x)

Et


viene dalla soluzione della (2.13), che

è detta equazione di Schrödinger stazionaria.

Si

noti che la (2.13) è un'equazione agli autovalori; le funzioni che la risolvono vengono chiamate autofunzioni (eigenfunctions).

2.4 Buca di potenziale

11

2.3.1 Particella libera Il caso più semplice di moto in una dimensione si ha per un valore di potenziale costante (particella libera); senza ledere la generalità possiamo porre

U (x) = 0.

L'equazione stazionaria diventa:

− Le


2 d2 ψ(x) = Eψ(x) . 2m dx2

autofunzioni

Ψ(x, t) sono legate ψ(x)e−iEt/
.

ψ(x)

e

le

funzioni

dalla nota relazione

d'onda

Ψ(x, t) =

Sappiamo che gli autovalori sono uguali all'energia totale

E

della particella; per quanto detto pre-

cedentemente sono accettabili le soluzioni tali che

E ≥ 0.

È nota anche la struttura matematica di

una possibile funzione d'onda soluzione di questo

Figura 2.1: Buca di potenziale.

problema, l'onda piana:

Ψ(x, t) = ei(kx−ωt) .

Qui nel seguito studieremo il caso limite in cui

Se risolviamo l'equazione stazionaria otteniamo

ψ(x) = Aeikx + Be−ikx (k =

√ 2mE/
)

la barriera ha pareti d'altezza innita, e quindi la particella è connata nella regione



U (x) =

e dunque

con

Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) + Be−i(kx+ωt) √ k = 2mE/
.

−
2 d2 ψ = Eψ , 2m dx2

La soluzione più generale è dunque la combinaa una particella che viaggia nel verso positivo del-

x

x,

entrambe delocalizzate (la probabilità

e di una che viaggia nel verso negativo delle |Ψ∗ Ψ| di

trovarle in un punto qualunque non dipende da

0 0 ≤ x ≤ a; ∞ altrimenti.

Cerchiamo stati stazionari, cioè soluzioni della

zione lineare di una funzione d'onda corrispondente le

0 < x < a:

x).

con

ψ(0) = ψ(a) = 0 poiché ψ = 0 dove U

Si ottiene

d2 ψ = −k 2 ψ con k = dx2

è innita.

√ 2mE ,


le cui soluzioni sono del tipo

2.4

ψ(x) = Aeikx + Be−ikx .

L'equazione di Schrödinger e la buca di potenziale

Conviene ora usare la rappresentazione attraverso funzioni trigonometriche:

La congurazione del potenziale in questo caso è descritta nella Figura 2.1. seguente:

  U0 U (x) = 0   U0

La situazione è la

Risulta evidente che per avere

x < 0; 0 ≤ x ≤ a; x>a

Tale situazione viene detta buca di potenziale di pareti nite, e una particella materiale viene connata nella regione costanti niti

U0

ψ(x) = (A + B) cos(kx) + i(A − B) sin(kx) .

0 < x < +a

del potenziale.

fra due valori

ψ(0) = 0

il primo

addendo deve essere nullo; quindi

ψ(x) = A˜ sin(kx) . Se vogliamo che il modulo quadro della funzione,

a, dia 1, dovremo avere A˜ = che ψ(a) = 0 avremo  nπx 2 sin ψn (x) = a a

integrato fra 0 e Imponendo

2/a.

(2.15)

2.4 Buca di potenziale

12

Figura 2.3:

Energia potenziale per una molecola

biatomica, e spettro degli autovalori.

Figura 2.2: Autofunzioni concesse per la buca di potenziale innita e livelli di energia.

2.4.2 Estensione al caso bidimensionale E' un'importante estensione del caso precedente.

con


2 n2 π 2 En = = n2 2m a2 e

n

intero





2 π 2 2ma2

Ora la particella è vincolata da una barriera di ener-



gia innita a rimanere in un piano

2

≡ n E0

positivo (per n = 0 l'autofunzione non è

normalizzabile). Le energie concesse sono dunque quantizzate come i livelli energetici degli elettroni nell'atomo di idrogeno (l'energia è proporzionale al quadrato di un numero quantico

n).

to di minima energia (n

Si nota inoltre che lo sta-

= 1)

ha energia cinetica

maggiore di 0. 2.2 e corrispondono agli stati stazionari.


2 d2 ψ + U (x)ψ = Eψ , 2m dx2

per

x → ±∞.

Se

E > U0 ,

E < U0 ,

valida per gli

nel caso in una dimensione, anche se ora si tratta di estendere lo schema ad un problema a due variabili:


2 ∂ 2 ψ(x, y) −
2 ∂ 2 ψ(x, y) − + U (x, y)ψ(x, y) 2m ∂x2 2m ∂y 2 = Eψ(x, y) . La soluzione di quest'equazione richiede opporIl

buon senso ci suggerisce comunque di ammettere che la densità di probabilità fuori dalla bu-

ta,

All'interno si usa co-

ψ(x, y) = X(x)Y (y),

dove

X

e

Y

risultano

funzioni esattamente del tipo ottenuto nel caso

X(x) entrambe le

tutti gli stati energetici sono concessi (spettro conSe

ne di Schrödinger segue la stessa strategia delineata

unidimensionale:

soluzioni sono oscillanti e non ci sono stati legati; tinuo).

(ad esempio

me soluzione di prova una funzione fattorizza-

L'equazione di Schrödinger stazionaria è

U → U0

xy

La soluzione dell'equazio-

ca sia identicamente nulla.

2.4.1 Nota sugli stati legati

con

a).

tune tecniche di separazione delle variabili.

Le autofunzioni stabili sono illustrate in Figura

−

un quadrato di lato

c'è una soluzione sicamente

autovalori dell'energia E .

La gura 2.3 rappresenta un esempio: il poten-

= Ax sin kx x + Bx cos kx x

Y (y) = Ay sin ky y + By cos ky y , e i numeri d'onda

kx , ky

sono ora richiesti sepa-

ratamente soddisfare alle condizioni di stazionarietà perché la soluzione di prova sia accettabile. Applicando le condizioni di continuità ai bordi,

ziale di interazione di una molecola biatomica in

ψ(0, y) = ψ(x, 0) = ψ(a, y) = ψ(x, a) = 0

funzione della distanza (per una soluzione appros-

ancora una situazione di stazionarietà di onde in

simata nell'intorno della posizione di equilibrio si

due dimensioni (analogamente al caso della vibra-

veda il capitolo 4).

zione di una membrana piana vincolata ai bordi,

si ottiene

2.5 Il principio d'indeterminazione (di Heisenberg) come la pelle di un tamburo).

k

za i numeri d'onda

In corrisponden-

13

quantità di moto lungo

risultano quantizzati, e l'e-

∆px ∆x

.

nergia è ancora quantizzata ed assegnabile in funzione di due numeri quantici. La funzione d'onda normalizzata che si ottiene è

ψ(x, y) =

La relazione sopra enunciata viene chiamata

principio d'indeterminazione posizione-momento.

2 sin(nx πx/a) sin(ny πy/a) a

Anche tra energia e tempo in cui quest'energia viene misurata esiste un'analoga relazione d'indeterminazione.

e l'energia

una funzione

2 2

E = E(nx , ny ) =


π (n2 + n2y ) = E0 (n2x + n2y ) . 2ma2 x

Infatti un'onda è esprimibile come

f (kx − ωt):

no per la coppia

(E =
ω, t).

(p =
k, x)

ci dierenti (dunque dierenti funzioni d'onda) che danno la stessa energia. I valori danno entrambi

particolare

Il caso appena citato è tutto sommato accettabile in quanto le due coppie di numeri quantici corrispondono ad uno scambio degli assi coordinati. In realtà la situazione può essere più complessa:

(nx , ny ) = (1, 7)

spondono alla stessa

le

(nx , ny ) = (5, 5) corrienergia, 50E0 . Ma le funzioni e

d'onda (e i loro moduli quadrati) sono di natura sostanzialmente dierente. La degenerazione è tipica di sistemi a più dimensioni (in realtà esistono aascinanti connessioni fra la simmetria di un sistema sico e le possibili degenerazioni quantistiche). Quanto detto si estende banalmente al caso di una buca di potenziale tridimensionale.

(2.17)

L'energia non è quindi misurabile al meglio di

∼
/∆t,

e questo è anche il limite intrinseco alla

conservazione dell'energia. Su una scala di tempo

(nx , ny ) = (2, 1) e E = 5E0 . Questo ∆t,

è un primo esempio di degenerazione quantistica.

valgo-

Si avrà dunque in

∆t∆E

.

Osserviamo che vi sono coppie di numeri quanti-

coppie

tutte le considerazioni

fatte per la coppia di variabili

Degenerazione

(nx , ny ) = (1, 2)

x

si possono produrre quanti di energia

no a


/∆t.

virtuali

2.5.1 Interpretazione del principio d'indeterminazione In un'onda piana la lunghezza d'onda (o il numero d'onda,

k)

sono perfettamente deniti, e l'onda

è totalmente delocalizzata nello spazio.

Essa non

sembra dunque adatta a descrivere una particella nel senso di de Broglie.

A prescindere da questo

aspetto, è peraltro chiaro che sovrapponendo due onde piane di diversa lunghezza d'onda si assiste ad un fenomeno più o meno marcato di battimento: l'onda risultante tende periodicamente a localizzarsi in corrispondenza delle interferenze costruttive. Aggiungendo altre lunghezze d'onda la sovrapposi-

2.5

Il principio d'indetermina-

sumere l'aspetto di un pacchetto localizzato in una

zione (di Heisenberg)

zona di ampiezza

Abbiamo visto che a dierenza del caso classico, una particella connata in un segmento di lunghezza

a = 2∆x

non può stare ferma. La sua quantità

di moto è incerta (non è noto il verso), e la minima incertezza possibile eguaglia in ordine di grandezza il modulo della quantità di moto corrispondente alla minima energia

E1 ,

e cioè


π

π = ∼ ∆px = |px | = 2mE1 = a 2∆x ∆x Chiamando dinata

x

e

zione tende sempre più a concentrarsi, no ad as-

∆x.

La posizione viene determi-

nata sempre meglio a spese della lunghezza d'onda, in modo che

∆x∆k ∼ 1:

se l'onda è poco sparpa-

gliata, è dicile ottenere una stima precisa della sua lunghezza d'onda e viceversa. Lo stesso discorso è fattibile nel dominio del tempo: per un'onda viaggiante, la determinazione precisa della frequenza temporale richiede un tempo lungo di ripetizioni cicliche ovvero, se l'onda dura poco tempo, la sua frequenza sarà male determinata:

∆t∆ω ∼ 1.

E' ora possibile estendere queste regole di indeter-

(2.16)

minazione all'onda di de Broglie con fondamentali

∆x l'incertezza sul valore della coor-

conseguenze nella comprensione sica del modello

∆px

l'incertezza sulla componente della

ondulatorio della materia.

2.6 Altri potenziali 1-dimensionali costanti a tratti

14

p =
k , dalla ∆x∆k ∼ 1 si ∆x∆px ∼
. Analogamente, dalla E =
ω ∆t∆ω ∼ 1 si ottiene ∆t∆E ∼
. Queste

Tenuto conto che ottiene e dalla

due relazioni costituiscono la forma (rispettivamente spazio-momento ed energia-tempo) del principio di indeterminazione di Heisenberg. In pratica esso stabilisce l'impossibilità di determinare simultaneamente con precisione assoluta posizione e velocità (energia e tempo) di una particella. Le implicazioni sono profonde: è facile accettare e comprendere l'indeterminazione spaziale di un'onda del mare (viste le argomentazioni classiche sulle onde piane sopra descritte), ma per una particella materiale questo è molto più complicato e comunque al di fuori della portata del senso comune. Di fatto è la natura stessa che impone un limite all'accuratezza Figura 2.4: Gradino di potenziale.

con la quale possiamo eettuare misure. Considerando ad esempio un elettrone con velocità lungo x 6 pari a 3.6 10 m/s, nota con precisione dell'1%, la precisione nella posizione lungo x stimata a partire −24 −26 da: px = 3.3 · 10 kg m/s e ∆px = 3.3 · 10 kg −9 m/s, è ∆x 
/∆px =0.5·10 m (dell'ordine del

elettrico dell'onda, la probabilità quantistica è proporzionale al modulo quadro dell'ampiezza d'onda di de Broglie.

diametro atomico). Insomma la rappresentazione ondulatoria implica che, per descrivere una particella localizzata nello spazio, abbiamo bisogno della combinazione li-

2.6

Soluzione per altri potenziali

unidimensionali

co-

k. Il nuk corrisponde, attraverso la relazione Broglie p =
k , alla quantità di moto: quin-

Cominciamo a passare i rassegna le soluzioni dell'e-

di la quantità di moto di una particella localizzata

quazione di Schrödinger stazionaria in una dimen-

neare di onde con diversi numeri d'onda

stanti a tratti

mero d'onda di de

nello spazio non potrà essere ben denita. Se si prepara un sistema sico in un certo modo, potremo misurare grandezze rilevanti entro la loro indeterminazione. Ripetendo la misura si otterranno valori dierenti, anche se lo stato iniziale del sistema è lo stesso. Si evidenziano dunque forti

sione per altri tipi di potenziale

U (x).

Accennere-

mo anche alle conferme sperimentali delle previsioni teoriche ottenute.

2.6.1 Gradino di potenziale

connessioni con la teoria della probabilità e statisti-

Nella Figura 2.4 viene schematizzato il problema

ca: è impossibile prevedere il singolo evento, ma con

di una particella libera che procedendo secondo le

tante misure (o con tanti sistemi eguali) si giunge ad una distribuzione di probabilità. La meccanica

x crescenti incontra un potenziale costante U (x) = U0 . Questa congurazione viene detta del gradino

quantistica fornisce l'apparato matematico per cal-

di potenziale.

colare tali distribuzioni. C'è una dierenza critica

Il potenziale è così denito:



fra statistica e meccanica quantistica: nella prima l'indeterminismo è causato dalla incompleta conoscenza del sistema all'inizio, nella seconda l'inde-

U (x) =

0 U0

x<0 altrove .

terminismo è intrinseco alla natura, insuperabile. L'ampiezza dell'onda di de Broglie è collegata al-

Fisicamente questa situazione approssima il po-

la probabilità di trovare la particella: così come la

tenziale per un elettrone in un metallo in prossimità

probabilità di trovare il fotone di Planck è propor-

della supercie. All'interno del metallo l'elettrone

zionale al modulo quadro dell'ampiezza del campo

è sottoposto all'azione di un potenziale costante,

2.6 Altri potenziali 1-dimensionali costanti a tratti mentre fuori dalla supercie incontra un potenziale

15

Si ha dunque



bruscamente superiore. Distinguiamo due casi: a. la particella proveniente dalle energia cinetica

x

negative ha

E < U0 .

Classicamente la situazione viene descritta me-

D 2 (1 D 2 (1

= =

+ i kk21 ) − i kk21 )

Le funzioni d'onda corrispondenti sono

 k2 ik1 x −iωt D  e  2 (1 + i k1 )e k2 −ik1 x −iωt D + 2 (1 − i k )e e   −k2 x −iωt1 De e

diante una forza di tipo impulsivo che per un tempo brevissimo agisce sulla particella nella posizione

A B

x = 0, nel verso delle x decrescenti, e

che determina per il teorema dell'impulso una

x<0 x≥0

variazione nita del momento della particella. La particella non può penetrare nella regione delle

x

positive poiché la sua energia cinetica

L'interpretazione sica della prima è che per la regione delle

x<0

la sovrapposizione delle

diverrebbe negativa. Quindi secondo la mecca-

funzioni d'onda forma un'onda stazionaria con

nica classica la particella deve invertire il verso

un'onda incidente ed una riessa. Calcoliamo

R che classicamente

del suo moto e rimbalzare sul gradino di po-

il coeciente di riessione

tenziale con un momento uguale in modulo ed

è dato dal rapporto fra le ampiezze dell'onda

opposto in verso a quello di incidenza , con2 servando l'energia cinetica E = p /2m. Nel

riessa

punto d'inversione

x=0

e

p = 0.

B

e quella

A

dell'onda incidente.

Data l'espressione del usso (corrente) di pro-

Nel caso quantistico scriviamo l'equazione di

babilità ricavata nella (2.2), avremo R = vrif B ∗ B/(vinc A∗ A (in questo caso le veloci-

Schrödinger stazionaria per le due regioni:

tà delle onde riessa e incidente sono uguali). Si ottiene:


2 d2 ψ(x) − 2m dx2
2 d2 ψ(x) − + U0 ψ(x) 2m dx2

= Eψ(x) (x < 0) = Eψ(x) (x ≥ 0) .

zioni raccordando le soluzioni per

x=0

dove

le autofunzioni dovranno essere univoche, continue e nite, assieme alle derivate prime. Si arriva alle soluzioni:

 ik1 x 1x Ae + Be−ik    √      k1 = 2mE
k2 x

(1 − ik2 /k1 )∗ (1 − ik2 /k1 ) B∗B = = 1. ∗ A A (1 + ik2 /k1 )∗ (1 + ik2 /k1 )

Il valore 1 esprime il risultato che la particella

Si risolvono separatamente queste due equa-

ψ(x) =

R=

x<0

viene sempre riessa per

Ce + De 
 x≥0  √   2m(U0 −E)   k2 =


in accordo

ne quantistica sorprendente è che la probabilità di trovare la particella oltre il gradino non è zero. Infatti nella regione

x > 0:

Ψ∗ Ψ = D∗ D × ψ ∗ ψ × ϕ∗ ϕ = |D2 |e−2k2 x con

−k2 x

E < U0 ,

con la meccanica classica. Tuttavia la previsio-

k2

reale.

La probabilità di trovare la particella a

x>0è

nita e nonnulla. Questo fenomeno quantistico viene detto penetrazione nella regione proibita classicamente.

C=0

si ottiene dalla necessità di normalizza-

bilità; la condizione di continuità fra le autofunzioni e tra le loro derivate nel punto implica:



D −k2 D

= A+B = ik1 A − ik1 B

x=0

b. la particella proveniente dalle energia cinetica

x

negative ha

E > U0 .

Classicamente la particella procede con una energia totale E e momento p1 tale che E = p21 /2m nella regione delle x < 0 nel verso positivo dell'asse. Nel punto x = 0 è sottoposta ad una forza che la rallenta nel suo moto;

2.6 Altri potenziali 1-dimensionali costanti a tratti p2

nella seconda regione ha momento (E − U0 ) = p22 /2m.

16

tale che

Si avrà

  Aeik1 x + Be−ik1 x ψ(x) =

  √ x < 0 k1 = 2mE
 √
2m(E−U0 ) x ≥ 0 k2 =


 Ceik2 x + De−ik2 x

Ricordiamo che classicamente una particella in questa situazione sica ha probabilità 1 di attraversare il gradino nel punto

x = 0.

Vediamo

che cosa accade quantisticamente calcolando come precedentemente le autofunzioni a meno di una ampiezza e poi il coeciente di riessione e trasmissione. Se supponiamo dalle condizoni iniziali che non ci sia onda proveniente da

x → +∞,

avremo

raccordo in

x = 0: C k2 C

D = 0;

dalle condizioni di

Figura

B C

Barriera

  0 U (x) = U0   0

2 = A kk11 −k +k2 1 = A k12k +k2 .



k2 =

2 −ik1 x Aeik1 x + A kk11 −k +k2 e 2k1 ik2 x A k1 +k2 e

Il primo addendo della

ψ(x)

per

con

una

x < 0; 0 ≤ x ≤ a; x>a 

Le autofunzioni sono quindi

ψ(x) =

potenziale,

Nella barriera di potenziale (Figura 2.5):

Supponiamo



di

2.6.2 La barriera di potenziale e l'eetto tunnel

=A+B = k1 (A − B)

Si ha dunque



2.5:

visualizzazione dell'eetto tunnel.

e poniamo

rappre-

k1 =

2mE
2 e

2m(U0 −E) . Si ha
2

 ik1 x  + Ae−ik1 x e ψ(x) = Be−k2 x + Cek2 x   ik1 x De

x<0 x≥0

x<0

E < U0

x < 0; 0 ≤ x ≤ a; x > a,

senta l'onda incidente mentre il secondo l'on-

dove il fattore moltiplicativo del primo termine

da riessa; la seconda equazione invece rap-

(onda incidente contro la barriera) è stato ssato

presenta l'onda trasmessa. Calcoliamo ora R = vB ∗ B/vA∗ A, cioè il coeciente di ries-

arbitrariamente all'unità.

sione quantistico, che rappresenta la probabili-

vo

tà della particella di essere riessa nella regione

vo non deve necessariamente annullarsi: l'integrale

x < 0:

della funzione non diverge essendo il dominio della


R=

k1 − k2 k1 + k2

2

A dierenza del risultato classico,

T = 1 − R.

C

dell'esponenziale con esponente reale e positi-

funzione stessa di misura nita. Imponendo le condizioni di continuità abbiamo

0 < R < 1:

parte dell'onda viene riessa. Il coeciente di trasmissione è

Si noti che in questo caso il fattore moltiplicati-

D=

−4ik1 k2 (k2 − ik1 )2 e(ik1 +k2 )a − (k2 + ik1 )2 e(ik1 −k2 )a

e la probabilità di passare dall'altra parte della

2.7 L'oscillatore armonico in una dimensione (eetto tunnel) è proporzionale a

barriera

La soluzione di questa equazione porta a determinare un insieme di possibili valori di

4k12 k22 |D| = 2 , 2 2 (k1 + k2 ) sinh2 k2 a + 4k12 k22 2

che varia come un esponenziale decrescente in ma è diversa da zero (per casa:

dell'energia

E.

γ

e cioè

L'equazione dierenziale è lineare

omogenea ma a coecienti non costanti. Per il me-

k2 a,

se ne calcoli il

valore).

2.7

17

todo di soluzione si rimanda alla bibliograa (p. es. al testo di Greiner). Alla ne dei calcoli si determina l'espressione degli autovalori:

L'oscillatore

armonico

En = hf (n + 1/2) con n ∈ N0 .

in

una dimensione

Il valore di

E

dierisce da quello della teoria de-

classici sia quantistici è basata su forze di natura

gli oscillatori E0 = 12 hf = poiché ci dice

elastica, per la quale il moto è di tipo oscillato-

minima la particella sottoposta al potenziale (l'o-

rio armonico (per piccole oscillazioni). L'utilità di

scillatore) non può essere ferma, avendo comunque

Una situazione molto comune nei modelli sici sia

di Planck per una costante additiva 1 2
ω . Questo risultato è importante che nello stato quantistico di energia

proporre la soluzione quantistica per questo caso

un'energia di punto zero

è che esso costituisce un valido punto di parten-

un'energia di punto zero è legata al principio di Hei-

za per la modellizzazione di sistemi sici di inte-

senberg: valgono considerazioni analoghe a quelle

resse reale (per piccoli spostamenti dall'equilibrio

fatte a proposito della buca di potenziale innita.

ogni energia potenziale ha andamento quadratico, U (x) = kx2 /2).

seguente:

Un sistema conservativo a

N >1

gradi di liber-

te una trasformazione unitaria delle coordinate e

N

dove

sistemi unidimensionali.

L'impostazione classica di questo problema è la seguente. Ponendo lo zero delle coordinate nel punto di equilibrio, la forza può essere descritta al

La presenza di

L'espressione delle autofunzioni normalizzate è la

tà può in generale venire diagonalizzato medianscomposto in

E0 > 0.

ψn (ξ) = An e−ξ √ ξ = x β , le Hn sono

2

/2

i

Hn (ξ) ,

polinomi di Hermite

deniti dalla

Hn (ξ) = (−1)n eξ

prim'ordine dalla legge di Hooke

2

dn −ξ2 e dξ n

e il fattore di normalizzazione vale

F = −kx



1 2 con k > 0 (U (x)  U (0) + kx ); si ha dunque per 2 la seconda legge di Newton

d2 x + ω2x = 0 dt2

ω = 2πf = k/m ⇒ k = 4π 2 f 2 m

An =

√ β √ n . π2 n!

H0 (ξ) H1 (ξ)

= =

1 2ξ

Scriviamo ora l'equazione di Schrödinger stazio-

H2 (ξ) H3 (ξ)

= =

4ξ 2 − 2 8ξ 3 − 12ξ .

e dove

m

la massa della particella.

ψ(x) U (0) = 0:

naria chiamando ponendo

l'autofunzione incognita e

4π 2 f 2 m2 2 2m d2 ψ(x) − x ψ(x) = − 2 Eψ(x) dx2
2
e dunque, ponendo

2

γ = 2mE/
2

e

(2.19)

I primi 4 polinomi di Hermite sono:

è

con

(2.18)

β = 2πmf /
,

d ψ(x) + (γ − β 2 x2 )ψ(x) = 0 . dx2

Nella gura 2.6 sono riportati i graci delle prime autofunzioni dell'oscillatore armonico: la densità di probabilità (in funzione della coordinata

x)

per

n

basso è molto diversa rispetto all'occupazione nel caso classico. La corrispondenza migliora per alti valori di

n

(si veda la gura 2.7, dove l'andamento classico e

2.7 L'oscillatore armonico in una dimensione

18

2.7.1 Operatori di creazione e distruzione Abbiamo visto che le autofunzioni normalizzate per l'oscillatore armonico unidimensionale sono del tipo:

ψn (ξ) = An e−(ξ

2

/2)

Hn (ξ)

Per polinomi di Hermite si ricavano le relazioni:

ξHn (ξ)

=

1 nHn−1 (ξ) + Hn+1 (ξ) (2.20) 2

d Hn (ξ) dξ

=

2nHn−1 (ξ) .

(2.21)

Si ricava dalle (2.19), (2.21) e (2.20) che

ξψn = Figura 2.6: Prime autofunzioni dell'oscillatore ar-

x

monico in funzione dello spostamento

dalla po-

sizione di equilibrio: sopra l'autofunzione, sotto la densità di probabilità.

n/2ψn−1 + (n + 1)/2ψn+1

d ψn = 2 n/2ψn−1 − ξψn dξ

(2.22) (2.23)

da cui, inserendo la (2.22) nella (2.23)

d ψn = n/2ψn−1 − (n + 1)/2ψn+1 , dξ

(2.24)

che sommata e sottratta alla (2.22) dà:


1 √ ξ+ 2
1 √ ξ− 2 Deniamo

 d ψn dξ  d ψn dξ

i

primi

operatore di distruzione

a ˆ

=

a ˆ+

classica (linea tratteggiata) per

n=1

e

=

√ nψn−1

(2.25)

=

√ n + 1ψn+1 .

(2.26)

membri

a ˆ

n=6.

rispettivamente a ˆ+ :

e di creazione


1 √ ξ+ 2
1 √ ξ− 2

Figura 2.7: Probabilità quantistica (linea continua) e inverso della velocità per la soluzione in meccanica

=

 d dξ  d . dξ

(2.27)

(2.28)

Essi operano nel modo seguente:

a ˆψn +

a ˆ ψn

quello quantistico sono confrontati per diversi valori di

n).

= =

√ nψn−1 √ n + 1ψn+1 .

(2.29) (2.30)

L'andamento classico è rappresentato

dall'inverso del modulo della velocità, che è pro-

Vediamo come agiscono su un generico stato di

n:

porzionale alla probabilità di trovare il corpo in un

numero quantico

punto a un istante di tempo arbitrario.

sforma l'autofunzione dello stato

l'operatore di creazione tra-

stato immediatamente superiore Si noti inne che poiché il potenziale è simmetrico le autofunzioni sono pari o dispari rispetto a un cambiamento di segno della

x.

n in quella dello n + 1, viceversa

l'operatore di distruzione trasforma l'autofunzione dello stato

n

in quella dello stato immediatamente

precedente di numero quantico

n − 1.

2.7 L'oscillatore armonico in una dimensione

19 Si osservi che l'energia è quantizzata ed assegnata in termini di un unico numero quantico

n

secondo

la semplice relazione

E = E(n) = (n + 1/2)ω


dove ω = k/m ; n = 0, 1, 2, ... . La sequenza di livelli energetici (lo spettro del sistema) è ora equispaziata (cosa che non accade per la Figura 2.8:

Schema della transizione tra livelli

particella in una scatola di energia innita). Anche qui il livello energetico più basso è maggiore di 0,

mediante assorbimento/emissione di fononi.

a dierenza del caso classico. Questo è consistente con il principio di Heisenberg. Si ha

1 a+ )n ψ0 . ψn = √ (ˆ n!

Si ha anche

Problemi

a ˆ+ a ˆψn = nψn

1. Una palla da biliardo di massa m=100 g è posta su un piano entro la lunghezza di 1 m.

per cui possiamo denire l'operatore

Per il principio di indeterminazione dobbiamo ammettere che la biglia abbia una piccola ve-

ˆ =a N ˆ+ a ˆ

locità.

che ha gli stessi autovettori dell'hamiltoniamo e gli autovalori

n.

Calcolarne il valore e commentare il

risultato.

L'operatore hamiltoniano può essere

2. Un elettrone è vincolato in una regione unidi-

espresso in termini degli operatori di creazione e

mensionale di lunghezza dell'ordine di un dia−10 metro atomico, 10 m. Quanta energia (mi-

distruzione mediante la:




ˆ = hf H

ˆ+1 N 2



surata in eV) va fornita all'elettrone per pro-

.

(2.31)

l'energia più bassa? In questo stato di energia

Se inne applichiamo allo stato fondamentale

corrispondente

al

numero

muoverlo al primo stato eccitato a partire dal-

quantico

n = 0

a ˆ otteniamo:
 d ξ+ ψ0 = 0 . dξ

l'operatore di distruzione

L'energia dell'oscillatore armonico nello stato ge-

minima, qual è la probabilità di trovare l'elet−10 trone nella regione fra 0.05 ×10 m e 0.15 −10 ×10 m? 3. Calcolare l'intensità di riessione per una particella che incide contro un gradino di potenziale di altezza a

E = eU0 ,

con

U0 con energia e > 1. Qual è

cinetica pari l'intensità di

riessione nel caso classico?

n è En = hf (n+1/2), dove per n = 0 si ottieE0 = hf /2. Quindi lo stato generico ψn possiede l'energia En più grande di quella minima di nhf . Ogni livello

4. Qual è il signicato sico della condizione di

energetico dierisce da quelli adiacenti di un quanto

5. Dimostrare che il valore atteso per

nerico

ne l'energia dello stato fondamentale:

hf ;

questo quanto per l'oscillatore armonico viene

detto

fonone.

Allora si può interpretare l'azione ˆ+ , a ˆ sul generico stato ψn come degli operatori a creazione o distruzione di un fonone. Questi operatori giocano un ruolo fondamentale nella seconda quantizzazione dell'elettrodinamica quantistica (QED), nella quale i quanti dei campi d'onda dell'oscillatore sono i fotoni.

normalizzazione della funzione d'onda?

buca di energia innita dimensione è dato da

x2 in una e larghezza a in una a2 [1/3 − 1/(2n2 π 2 )].

Qual è la dierenza più importante fra questo risultato ed il valore atteso per

x?

Capitolo 3

Atomi Non c`è alcuna possibilità che gli uomini un giorno accedano all'energia atomica. Robert Millikan Premio Nobel per la Fisica 1923

3.1

Potenziali a simmetria sferica

In problemi a simmetria sferica il potenziale

U (r)

dipende solo dalla distanza dall'origine, dove è posta

la sorgente. È quindi vantaggioso riferirsi a coordinate polari sferiche

(r, θ, φ)

come in gura 3.1.

Si ha

x =

r sin θ cos φ

y z

r sin θ sin φ r cos θ .

= =

Con una trasformazione di coordinate, e ricordando la 2.11, il laplaciano diviene

2

∇

= =



 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 ∂ = r + 2 sin θ + 2 2 ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 1 1 Lˆ2 ∇2r + 2 ∇2θ,φ = ∇2r − 2 2 ; r r
1 ∂ r2 ∂r

l'equazione agli autovalori associata all'equazione di Schrödinger stazionaria si scrive per una particella di massa

µ:  

 ∂2 ∂
2 1 ∂ 1 ∂ 1 2 ∂ − ψ + U (r)ψ = Eψ . r + 2 sin θ + 2 2 2µ r2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2

Cerchiamo soluzioni del tipo ambo i membri per

RΘΦ

ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ);

(3.1)

inserendo nell'espressione (3.1) e dividendo

ottieniamo:

1 d2 Φ sin2 θ d = − Φ dφ2 R dr



 sin θ d dΘ 2µ 2 dR r − sin θ − 2 r2 sin2 θ[E − U (r)] . dr Θ dθ dθ


(3.2)

3.1 Potenziali a simmetria sferica

21

Figura 3.1: Coordinate polari sferiche.

Il primo membro dipende solo da

φ,

il secondo da

separazione:

r

e

θ;

si ha dunque, chiamata

−m2&

d2 Φ = −m2& Φ . dφ2

la costante di

(3.3)

Si può vericare che la (3.3) è risolta da funzioni del tipo

Φ(φ) = eim φ Φ(0) = Φ(2π)

se imponiamo che

(univocità) abbiamo che

m&

deve essere intero.

Per il secondo membro della (3.2) si ha

−

1 d R dr



 d dR m2 1 dΘ 2µ r2 − sin θ − 2 r2 [E − U (r)] = − 2& dr Θ sin θ dθ dθ
sin θ

(3.4)

che può venire riscritta come

1 d R dr



 m2& 1 2µ 2 d dΘ 2 dR − r + 2 r [E − U (r)] = sin θ . dr
dθ sin2 θ Θ sin θ dθ

Possiamo eguagliare entrambi i membri a una generica costante che chiamiamo


 1 d dΘ m2 Θ − sin θ + &2 = 8(8 + 1)Θ sin θ dθ dθ sin θ
 R 2µ 1 d dR r2 + 2 [E − U (r)]R = 8(8 + 1) 2 . r2 dr dr
r

8(8 + 1);

(3.5)

otteniamo così

(3.6)

(3.7)

La risoluzione della (3.6) è un problema noto in matematica. Le soluzioni della (3.6), dette funzioni P&m (cos θ), hanno signicato sico (danno luogo a una ψ nita) solo per 8 ∈ Z e 8 ≥ |m& |. Complessivamente dunque la parte angolare ha la forma:

di Legendre

Y&,m (θ, φ) = Θ&,m (θ)Φm (φ) = N&,m P&m (cos θ)eim φ

(3.8)

3.1 Potenziali a simmetria sferica

22

Figura 3.2: Diagrammi polari per la dipendenza direzionale della densità di probabilità per e

m = ±l.

8 = 1, 2, 3, 4

N&,m è una costante di normalizzazione, mentre le P&m (cos θ) sono le funzioni di Legendre. Le Y&,m (θ, φ) sono dette armoniche sferiche: di seguito sono scritte quelle degli ordini più bassi. In genere, seguendo la nomenclatura della convenzione atomica, lo stato a 8 = 0 viene detto stato s, lo stato 8 = 1 viene detto stato p, ecc. 1 Y0,0 = (4π)1/2
1/2
1/2 3 3 Y1,0 = cos θ ; Y1,±1 = ∓ e±iφ sin θ 4π 8π

1/2
1/2 1/2 5 15 15 2 ±iφ Y2,0 = (3 cos θ − 1) ; Y2,±1 = ∓ e sin θ cos θ ; Y2,±2 = e±2iφ sin2 θ . 16π 8π 32π dove

m2& = (−1/Φ)d2 Φ/dφ2 ; si ha
 1 d dΘ 1 d2 Φ Θ − = 8(8 + 1)Θ sin θ − sin θ dθ dθ Φ dφ2 sin2 θ

Inseriamo nell'equazione (3.6) la (3.3)

che, moltiplicando per

RΦ,

dà

1 d − sin θ dθ


 dψ 1 d2 ψ = 8(8 + 1)ψ sin θ − dθ sin2 θ dφ2

e, tenuto conto della (2.11),

Lˆ2 ψ = 8(8 + 1)ψ .
2 Gli autovalori del quadrato del momento angolare sono quindi pari a

8(8 + 1)
2 ,

in disaccordo con il

modello di Bohr. Nelle gure 3.2 e 3.3 si mostrano i diagrammi polari corrispondenti alle densità di probabiltà associate Θ∗ Θ (la densità

alle armoniche sferiche. Nei diagrammi polari la distanza dall'origine è proporzionale a di probabilità non dipende da

φ).

3.2 L'atomo d'idrogeno

23

Figura 3.3: Diagrammi polari per la dipendenza direzionale della densità di probabilità per

m& = 0, ±1, ±2, ±3. 3.2

8=3

e e

L'atomo d'idrogeno

Passiamo ora ad analizzare i sistemi idrogenoidi: un elettrone legato dalla forza elettrostatica ad un nucleo carico positivo. Tali sistemi costituiscono la base di molti studi chimico-sici. −27 I parametri sici in gioco sono la massa del protone mp  1.67×10 kg, la massa dell'elettrone me  −31 −19 kg, la carica elettrica dell'elettrone e del protone che in valore assoluto vale e  1.6 × 10 9.1 × 10 C. Il sistema protone-elettrone dell'atomo d'idrogeno si può considerare, come d'abitudine in meccanica, me mp alla stregua di una particella di massa pari alla massa ridotta µ = m +m orbitante intorno a un punto e p sso in un sistema inerziale.

Dato che la massa

me

dell'elettrone è circa 1/2000 della massa

mp

del

protone, la massa ridotta coincide con la massa dell'elettrone entro una parte su 2000. La particella di massa

µ

è sottoposta al potenziale a simmetria sferica della legge di Coulomb

U (r) = − Poniamo per semplicità

Z=1

e2 Z . 4π0 r

(atomo d'idrogeno).

L'equazione di Schrödinger in coordinate polari sferiche per il sistema elettrone-protone si scrive:

−


2 2 ∇ ψ(r, θ, φ) + U (r)ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) . 2µ

ψ è fattorizzabile come R(r)Y&,m (θ, φ); R(r) deve soddisfare all'equazione 
  1 d e2 2µ R 2 dR r + 2 E+ R = 8(8 + 1) 2 . 2 r dr dr
4π0 r r

Per quanto visto nella sezione precedente la

Y&,m (θ, φ)

la parte angolare

è data dalle (3.8) e la

(3.9)

3.2 L'atomo d'idrogeno Denito il

24 2

raggio di Bohr a0 = 4π0 e
2 µ  53 pm, si ha che le soluzioni radiali sono quantizzate: & Rnl (r/a0 ) = Nnl e−r/2a0 (r/a0 ) L˜2l+1 n+1 (r/a0 )

Nnl è un coeciente di n > l sono accettabili.

dove con

normalizzazione e gli

L˜

sono detti polinomi di Laguerre. Solo le soluzioni

Con i loro numeri quantici, le soluzioni dell'equazione di Schrödinger per l'atomo d'idrogeno possono venire scritte

ψn,l,m (r, θ, φ) = Rn,l (r)Θ&,m (θ)Φm (φ) dove gli indici

n, l, m&

sono i numeri quantici necessari a descrivere le soluzioni.

I numeri quantici

permessi sono:

n 8 m&

numero quantico principale

1, 2, 3, ...

n−1 ±1, ±2, ..., ±l

numero quantico del momento angolare

0, 1, 2,...,

numero quantico magnetico

0,

Di seguito elenchiamo le funzioni d'onda corrispondenti ai primi numeri quantici.

.

Capitolo 5

La sica quantistica in un quadro (in)formale Non vi era evidenza che la topologia naturale degli spazi hilbertiani consentisse di render conto dell'apparizione dell'atto libero; non era neppure certo che al momento si potesse porre il problema, se non in termini estremamente metaforici. Michel Houellebecq Le particelle elementari

L'assiomatizzazione della sica quantistica è una sda che è stata lanciata da alcuni fra i più grandi ingegni del secolo (Heisenberg, Bohm, von Neumann solo per citarne alcuni). Il fatto che esistano ancor oggi accese discussioni chiarisce che non esiste una soluzione che abbia raccolto consenso universale. Questo capitolo non ha l'ambizione di formalizzare un'assiomatica, ma solo di inquadrare in un quadro formale più soddisfacente gli elementi per i quali un'euristica è stata formulata nei capitoli precedenti.

5.1

Funzione d'onda e spazi di Hilbert

Nell'interpretazione probabilistica di una funzione d'onda

Ψ(r, t)

di una particella, il dierenziale

|Ψ(r, t)|2 dV = Ψ∗ (r, t)Ψ(r, t) dV rappresenta la probabilità di trovare la particella nel volume

dV ,

(5.1)

intorno del punto

r,

al tempo

t.

La

probabilità complessiva di trovare la particella da qualche parte nello spazio è uguale a 1, e dunque



dev'essere:

dV |Ψ(r, t)|2 = 1

(5.2)

dove l'integrale si estende su tutto lo spazio accessibile alle particelle. Per poter imporre la condizione di normalizzazione, ci riconduciamo allora allo studio dell'insieme

L2

delle

funzioni a quadrato sommabile,

ossia l'insieme delle funzioni per le quali l'integrale (5.2) converge.

spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi C; infatti: ∃ un'addizione + interna a L2 tale che (L2 ,+) è un gruppo abeliano, ossia:

L'insieme

•

L2

ha la struttura di

5.2 Osservabili e operatori

81

è commutativa; è associativa;

zero e indicato con 0); ∀ Ψ ∈ L2 ∃ Φ ∈ L2 tale che Ψ + Φ = 0; Φ è detto opposto di Ψ e indicato con −Ψ; ∃ una moltiplicazione degli elementi di L2 per uno scalare, cioè un elemento del campo, tale che: ammette un unico elemento neutro (detto

•

è distributiva rispetto all'addizione:

∀ c, c1 , c2 ∈ C, Ψ, Ψ1 , Ψ2 ∈ L2

c(Ψ1 + Ψ2 ) = cΨ1 + cΨ2 ; (c1 + c2 )Ψ = c1 Ψ + c2 Ψ; vale la proprietà:

∀ c1 , c2 ∈ C, Ψ ∈ L2

c1 (c2 Ψ) = (c1 c2 )Ψ. Su

L2

deniamo il prodotto scalare

(Ψ, Φ)

come



(Ψ, Φ) = il quale è tale che

∀ Ψ, Φ1 , Φ2 ∈ L2 , λ1 , λ2 ∈ C ∗

• (Ψ, Φ) = (Φ, Ψ)

V

dV Ψ∗ (r, t)Φ(r, t)

(5.3)

:

;

• (Ψ, λ1 Φ1 + λ2 Φ2 ) = λ1 (Ψ, Φ1 ) + λ2 (Ψ, Φ2 ). e induce su

L2

la norma

2

|Ψ| = (Ψ, Ψ) ≥ 0.

Uno spazio vettoriale normato è detto Hilbert su

C

(con la norma quadrata

spazio di Hilbert; allora possiamo dire che L2 è uno spazio di

| Ψ |2 ).

Osserviamo che vale la disuguaglianza triangolare di Schwarz:

| Ψ + Φ |2 ≤ | Ψ |2 + | Φ |2 . 5.2

Osservabili e operatori

operatore lineare

ˆ su L2 è un ente matematico che associa a una funzione Ψ di L2 la funM ˆ : Ψ = M ˆ Ψ tale che ∀ Ψ1 , Ψ2 ∈ L2 , λ1 , λ2 ∈ C Ψ tramite una corrispondenza lineare M ˆ ˆ ˆ M (λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 ) = λ1 M Ψ1 + λ2 M Ψ2 .

Un

zione

Vogliamo ora rappresentare gli osservabili tramite operatori, cosicché come ad uno stato sico corrisponde una funzione d'onda

Ψ(r, t),

così all'operazione di misura corrisponda un operatore lineare

ˆ. M

Richiediamo che tale operatore lineare sia hermitiano (o autoaggiunto).

5.2.1 Operatori hermitiani ˆ l'operatore M ˆ + tale che Si denisce operatore aggiunto di M ˆ + Ψ, Φ) = (Ψ, M ˆ Φ) ∀ Ψ, Φ ∈ L2 (M Un operatore lineare

ˆ M

si dice

(5.4)

autoaggiunto o hermitiano se Mˆ + = Mˆ , cioè se ∀ Ψ, Φ ∈ L2 ˆ Ψ, Φ) = (Ψ, M ˆ Φ) (M

(5.5)

5.2 Osservabili e operatori

82 

ovvero

ˆ Φ) = dV Ψ∗ (M



ˆ Ψ)∗ Φ dV (M

(5.6)

Si deniscono anche la somma e il prodotto di operatori, nel modo seguente: Somma:

 = (Aˆ + B)  è tale che C  = (Aˆ + B)Ψ  = AΨ ˆ + BΨ  CΨ

∀ Ψ ∈ L2

(5.7)

Consegue dalla denizione di operatore aggiunto che la somma di due operatori hermitiani è ancora un operatore hermitiano. Prodotto:

 = (AˆB)  è tale che C  = (AˆB)Ψ  = A( ˆ BΨ)  CΨ

∀ Ψ ∈ L2

(5.8)

Da questa denizione segue che l'operatore aggiunto del prodotto di due operatori Infatti:

 (Ψ, (AˆB)Φ) =



 + (AˆB)

è

 + Aˆ+ . B

 ˆ   = dV Ψ (A(BΦ)) == dV (Aˆ+ Ψ)∗ (BΦ) V   + (Aˆ+ Ψ))∗ Φ = ((B  + Aˆ+ )Ψ, Φ) = dV (B ∗

V

V

Osserviamo che, in generale,

 = (B  A) ˆ. (AˆB)

Per esempio,

px (xΨ) = x(  px Ψ) poiché


 ∂Ψ ∂(xΨ) = x −i
−i
∂x ∂x

Vediamo due esempi di operatori autoaggiunti.

Esempio 1. Esempio 2. Dato che

L'operatore posizione

rˆ,

corrispondendo a una terna di numeri reali, è hermitiano.

pˆ = −i
∇, è hermitiano. pˆ = (ˆ px , 0, 0) + (0, pˆy , 0) + (0, 0, pˆz ), limitiamoci a dimostrare L'operatore quantità di moto

che

pˆx

(per esempio) è

autoaggiunto:

 (Ψ, pˆx Φ) =

poiché

+∞

+∞

−∞

[Ψ∗ Φ]−∞ = 0



   +∞ ∂Φ(x) ∂Ψ∗ dx Ψ∗ (x) −i
− dx −i
Φ(x) = [Ψ∗ Φ]+∞ = −∞ ∂x ∂x −∞
∗  +∞ ∂Ψ(x) dx −i
Φ(x) = (ˆ px Ψ, Φ) = ∂x −∞

dal momento che le due funzioni sono a quadrato sommabile.

5.2.2 Relazioni di commutazione ˆ e B  l'operatore [A, ˆ B]  − (talora più brevemente indicato Si denisce commutatore di due operatori A ˆ  ˆ  ˆ   ˆ come [A, B]) mediante la relazione [A, B]− = (AB − B A), e si dice che due operatori commutano quando il loro commutatore è l'operatore nullo.

5.3 Notazione di Dirac

 B

83

Il commutatore di due operatori è hermitiano solo quando è l'operatore nullo. Se i due operatori

Aˆ

e

sono autoaggiunti, si ha infatti:

ˆ B]  + = (AˆB −B  A) ˆ+ [A, − + = B  + Aˆ+ − Aˆ+ B  Aˆ − AˆB  = −[A, ˆ B] − =B Analogamente, si denisce

+B  A) ˆ, (AˆB

ˆ B]  + come [A, ˆ B] += anticommutatore di due operatori Aˆ e B l'operatore [A, Aˆ

che è sempre autoaggiunto se i due operatori

e

 B

sono autoaggiunti. Si ha infatti:

ˆ B]  + = (AˆB +B  A) ˆ+ [A, + + = B  + Aˆ+ + Aˆ+ B  Aˆ + AˆB  = [A, ˆ B] + =B

Osserviamo che

 = 1 [A, ˆ B]  + + 1 [A, ˆ B] − AˆB 2 2

e dunque che il prodotto di due operatori hermitiani è hermitiano se e solo se gli operatori commutano. Aˆn di un operatore è un operatore autoaggiunto.  r) = p2 /2m + U (r) = −
2 ∇2 /2m + U (r) è hermitiano, L'operatore hamiltoniano H(

In particolare, la generica potenza

Esempio 3.

perché lo sono la somma e le potenze di operatori hermitiani.

5.3

Notazione di Dirac

notazione di Dirac per gli spazi vettoriali, un vettore dello spazio è identicato dal simbolo | Φ >, ket, mentre il simbolo < Ψ | è chiamato bra. La loro giustapposizione forma il bracket < Ψ | Φ >, che rappresenta il prodotto scalare dei due

Nella

ed è chiamato



vettori:

< Ψ | Φ > = (Ψ, Φ) = In questa notazione, ogni operatore

Aˆ

agisce su un ket



dunque

< Ψ | Aˆ | Φ > = Il duale di

5.4

Aˆ | Φ >

è

[ Aˆ | Φ > ]∗ = < Aˆ Φ |

dV Ψ∗ Φ .

| Φ >

, e lo trasforma nel ket

Aˆ | Φ >

, e

ˆ . dV Ψ∗ (AΦ)

.

Autovalori e autovettori di operatori hermitiani

5.4.1 Valore d'aspettazione Allo scopo di rappresentare le funzioni d'onda, l'insieme

L2

risulta, da un punto di vista sico, troppo

grande: le funzioni d'onda devono possedere alcune proprietà di regolarità, in relazione al signicato 2 attribuito a |Ψ(r, t)| . Possiamo validamente ritenere che le funzioni

Ψ(r, t)

adatte a denire gli stati sici siano denite

in qualunque punto interno al dominio (esclusi al più punti di frontiera a misura nulla), continue, e dierenziabili innite volte (per esempio, lo stato la cui funzione d'onda fosse discontinuo in un dato punto dello spazio non ha signicato sico, dato che nessun esperimento ci permette di avere accesso −30 a fenomeni reali su scala molto piccola, dell'ordine di 10 m). Possiamo anche ridurci a considerare

5.4 Autovalori e autovettori di operatori hermitiani

84

le funzioni d'onda che hanno un dominio limitato (per avere la certezza che una particella possa essere trovata dentro una regione nita dello spazio, per esempio dentro un laboratorio). Senza dare una lista precisa e completa di queste condizioni supplementari, chiamiamo (contenuto in

L2 )

H

l'insieme

delle funzioni d'onda adatte a descrivere le evidenze siche.

Formuliamo a questo punto due postulati.

•

Lo stato di una particella ad un tempo

•

L'operazione di misura è rappresentata dall'applicazione di un operatore hermitiano

∈ H.

t è rappresentato da una funzione

d'onda (un ket)

Aˆ

| Ψt (r) >

ad un ket:

Aˆ | Ψt (r) > e il valore di aspettazione (valore medio o valore atteso) di una operazione di misura è

A = < Ψt (r) | Aˆ | Ψt (r) > . Si dice che l'operatore

Aˆ

è

in sandwich nel bracket < Ψt (r) | Aˆ | Ψt (r) > (=

 V

ˆ t (r)). dV Ψt (r)∗ AΨ

Osserviamo che il formalismo che abbiamo scelto è tale che i risultati delle misure sono numeri reali; infatti:

Lemma 1 ∀ Ψ, Φ ∈ H Dimostrazione.

< Ψ | Aˆ | Φ > = < Φ | Aˆ+ | Ψ >∗ ˆ > = < AΦ ˆ | Ψ >∗ = < Ψ | Aˆ | Φ > = < Ψ | AΦ + ∗ = < Φ | Aˆ Ψ > = < Φ | Aˆ+ | Ψ >∗ ✷

Teorema 1 Il valor medio A di un'osservabile Aˆ è reale. Dimostrazione. Grazie al Lemma 1 e all'hermiticità di Aˆ A = < Ψ | Aˆ | Ψ > = < Ψ | Aˆ+ | Ψ >∗ = < Ψ | Aˆ | Ψ >∗ = A ∗ ✷ Si denisce lo

scarto (spread) ∆Aˆ dell'operatore Aˆ la dierenza ∆Aˆ = Aˆ − A; esso indica quanto una

singola misura si discosti dal valore di aspettazione. Evidentemente ˆ 2. in quel caso lo è anche (∆A)

ˆ 2 = < Ψ | (∆A) ˆ 2 | Ψ > ≥ 0 (forma (∆A) interessati a cercare quegli stati ΨA per i quali

∆Aˆ

è hermitiano quando lo è

Osserviamo che

semidenita positiva).

Siamo ora

lo scarto si annulla (ove

A

< ΨA | ∆Aˆ | ΨA > = 0 < Ψ | Ψ > = 1,

(Aˆ − A) | Ψ > = 0 ⇒ < Ψ | (Aˆ − A) | Ψ > = 0 ⇒ Aˆ | Ψ > = A | Ψ > cioè vogliamo risolvere l'equazione agli autovalori

Aˆ | Ψ > = A | Ψ > con

A

una costante (reale!).

Postuliamo allora:

e

è una costante),

cioè tali che:

Dato che ipotizziamo che

Aˆ,

5.5 Sviluppo in serie di un operatore • •

85

che i possibili risultati di una misura siano gli autovalori dell'operatore che la rappresenta (cioè che

Aˆ | Ψ > = A | Ψ >),

e

che immediatamente dopo la misura che ha dato come risultato l'autovalore

A

il sistema sia in uno

stato corrispondente a quell'autovalore. Sia

Ai , i ∈ N

l'insieme degli autovalori dell'operatore

Aˆ.

Teorema 2 Le autofunzioni relative ad autovalori diversi sono ortogonali. Dimostrazione. Siano Ψm , Ψn, Am , An tali che n = m ⇒ Am = An e Aˆ | Ψm > = Am |Ψm >

Aˆ | Ψn > = An |Ψn >

Allora

An < Ψn | Ψm > = < Ψn | Aˆ | Ψm > = Am < Ψn | Ψm > ⇒ 0 = (An − Am ) < Ψn | Ψm > ⇒ < Ψn | Ψm > = 0 ∀ m = n .✷ Con la opportuna normalizzazione, si ottiene che

< Ψn | Ψm > = δmn

dove

δmn

è la funzione

delta di Kronecker, che vale 1 se m = n e 0 se m = n.

Naturalmente alcuni autovalori possono essere degeneri, e corrispondere a più autovettori indipendenti.

5.5

Sviluppo in serie di un operatore

Si dimostra che le autofunzioni di un operatore hermitiano costituiscono una base completa per lo spazio di Hilbert delle possibili funzioni d'onda a un tempo t. A partire da una base completa, è sempre possibile costruire una base ortonormale dello spazio (metodo di Gram-Schmidt), sicché

I=



| Ψm > < Ψm | .

(5.9)

m (relazione di completezza). Questo signica che una qualunque funzione d'onda può essere rappresentata in questa base ortonormale da un'unica combinazione lineare degli elementi della base:

|Ψ >=



| Ψm > < Ψm | Ψ > =

m (i

< Ψ m | Ψ > = cm



cm | Ψ m >

m

sono numeri).

La normalizzazione del modulo quadro della

1 =< Ψ|Ψ >=



|Ψ >

a 1 equivale a una relazione sulle

< Ψ| Ψm > < Ψm |Ψ >=

m e la probabilità di ottenere da una misura l'autovalore



cm :

2

|cm | ,

m

am

vale

2

Pm = | < Ψm |Ψ > | = |cm |2 . Inoltre, esistono coecienti

Aˆ | Ψ > =

 mn

amn = < Ψm | Aˆ | Ψn >

tali che:

| Ψm > < Ψm | Aˆ | Ψn > < Ψn | Ψ > =



amn cn | Ψm > .

m,n

[amn ] è una matrice quadrata (innita), che rappresenta l'operatore Aˆ sullo spazio di Hilbert L2 matriciale; le cn sono una n-tupla di componenti del vettore che rappresenta la |Ψ >.

in forma

5.6 Misura simultanea di osservabili diverse 5.6 Siano

86

Misura simultanea di osservabili diverse

Aˆ

e

 B

due operatori hermitiani; deniamo

resto di commutazione di Aˆ e B l'operatore C tale che

ˆ B]  − = iC  [A, Osserviamo che

 C

è hermitiano:

⇒

 = 1 [A, ˆ B] − C i ˆ B]  + = − 1 (−[A, ˆ B]  − ) = 1 [A, ˆ B] −=C + = − 1 [A,  C − i i i

Si ha anche che

ˆ ∆B]  − = [(Aˆ − A), (B  − B)]− = [∆A,   − B) − (B  − B)(Aˆ − A) = = (Aˆ − A)(B    − AB  − B Aˆ + AB) − (B  Aˆ − B Aˆ − AB  + AB) = = (AˆB 

−B  A) ˆ = (AˆB ˆ B]  − = iC  ˆ ∆B]  − = [A, =⇒ [∆A, Sia

I(α) =



 2 dV |(α∆Aˆ − i∆B)Ψ|

Allora

con un generico

 I(α) =

 =

 dV

  ∗    (α∆Aˆ − i∆B)Ψ = (α∆Aˆ − i∆B)Ψ

dV  =

α ∈ R; I(α) ≥ 0∀ α ∈ R.

 dV

   Ψ= Ψ∗ (α∆Aˆ + i∆B)(α∆ Aˆ − i∆B)

   ˆ 2 + iα(∆B∆  Aˆ − ∆A∆ ˆ B)  + (∆B)  2 Ψ = Ψ∗ α2 (∆A)      ˆ 2 + αC  + (∆B)  2 Ψ ≥0 = dV Ψ∗ α2 (∆A)

In più,

 0 ≤ I(α) =

dV

    ˆ 2 + αC  + (∆B)  2 Ψ = Ψ∗ α2 (∆A)

ˆ 2 | Ψ > + < Ψ | (∆B)  2 |Ψ> +α<Ψ|C |Ψ>= = α2 < Ψ | (∆A)   C = (∆A)2 α2 + α + (∆B)2 = (∆A)2   2 2 C C C 2 = (∆A)2 α + α + = + (∆B)2 − (∆A)2 4(∆A)4 4(∆A)2  2 2 C C + (∆B)2 − ∀α∈R = (∆A)2 α + 2(∆A)2 4(∆A)2 ⇒ (∆B)2 −

C

2

4(∆A)2

2

≥0 ⇔

(∆A)2 (∆B)2 ≥

C . 4

5.7 Evoluzione temporale dei valori medi

87

Questo signica che se due osservabili non commutano tra loro, non possono essere misurate contemporaneamente con precisione arbitraria.

Esempio. [ˆ px x ] =

Posizione e quantità di moto.



 

 ∂x· ∂ ∂ ∂ ∂ + 1(−i
) − x −i
−i
, x = −i
− x −i
= −xi
= −i
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

dunque

(∆px )2 (∆x)2 ≥


2 4

che può scriversi come

∆px ∆x ≥


2

(principio di indeterminazione di Heisenberg per posizione e impulso).

5.6.1 L'operatore momento angolare In analogia con la meccanica classica, l'operatore momento angolare è denito dalla

ˆ L = rˆ × pˆ . Si osserva che l'operatore è hermitiano. Il quadrato dell'operatore

Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z è anch'esso hermitiano. Valgono le seguenti proprietà di commutazione:



     Lˆx , Lˆy = i
Lˆz ; Lˆy , Lˆz = i
Lˆx ; Lˆz , Lˆx = i
Lˆy   Lˆ2 , Lˆx = [Lˆ2 , Lˆy ] = [Lˆ2 , Lˆz ] = 0

e quindi è impossibile misurare contemporaneamente con precisione due componenti diverse del momento angolare, mentre è possibile misurare contemporaneamente con arbitraria precisione il quadrato del momento angolare e la proiezione su un asse coordinato.

5.7

Evoluzione temporale dei valori medi

Si postula che

•

L'evoluzione temporale di uno stato sia regolata dall'equazione di Schrödinger

i
con

ˆ H

∂ ˆ >, |Ψ >= H|Ψ ∂t

denito come nel capitolo precedente, e con le denizioni di momento e posizione del capitolo

precedente.

5.8 Simmetrie

88

Consideriamo un operatore hermitiano della quantità

A

Aˆ

non esplicitamente dipendente dal tempo.

∂ ∂ A¯ = < Ψ | Aˆ | Ψ >= ∂t ∂t e, poiché dall'equazione di Schrödinger

dA¯ = dt



Il valor medio

dipenderà in generale dal tempo tramite la



     ∂Ψ  ˆ   ˆ  ∂Ψ A Ψ + Ψ A ∂t ∂t

ˆ i
∂Ψ/∂t = HΨ

e

ˆ H

è hermitiano,

           −i ˆ  ˆ  i ˆ  ˆ   ˆ  −i ˆ  ˆ i ˆ HΨ  A  Ψ + Ψ  A  HΨ = ΨH  A  Ψ − Ψ  A  HΨ =



 i i ˆ A|Ψ ˆ > − < Ψ|AˆH|Ψ ˆ > = < Ψ|[H, ˆ A]|Ψ ˆ = < Ψ|H >



Quindi

i ˆ ˆ dA¯ = [H, A] . dt


5.7.1 Commutazione con l'Hamiltoniano e invarianza Come corollario del fatto che la derivata del valore di aspettazione di un'osservabile rispetto al tempo è il valore di aspettazione del commutatore dell'Hamiltoniano con l'operatore associato all'osservabile si ha il fatto che se un operatore commuta con l'hamiltoniano il valore di aspettazione dell'osservabile associata è una costante del moto. Questo fatto mostra un'interessante analogia con il teorema di Nöther in meccanica classica. In particolare l'Hamiltoniano commuta con se stesso; quindi, se non è dipendente esplicitamente dal tempo, l'osservabile ad esso associata (l'energia) si conserva. Se

∂U/∂x = 0

l'operatore

pˆx

commuta con

ˆ; H

proprietà analoghe valgono per

pˆy

e

pˆz .

In assenza di

forze esterne, la quantità di moto si conserva. In presenza di forze centrali, dunque dipendenti solo da polari sferiche è funzione soltanto di

θ

e

φ)

r,il

momento angolare (che in coordinate

commuta con l'hamiltoniano: dunque il momento angolare

si conserva.

5.8

Simmetrie

Se l'hamiltoniano è invariante per l'applicazione di un operatore di simmetria, esso commuta con l'operatore stesso (quindi è denibile una opportuna costante del moto: ritroviamo il teorema di Nöther). Ciò ha un'applicazione particolare nel caso delle cosiddette numero nito di autovalori. Consideriamo ad esempio l'operatore

simmetrie discrete,

che cioè hanno un

parità Π che agisce sulla base r mediante la trasformazione Π|r >= | − r >

(in pratica scambia le coordinate

r

con

−r ).

L'operatore è tale che

Π2 = I e dunque ammette autovalori

±1.

Un hamiltoniano invariante per riessione conserva la parità.

Analoghe considerazioni possono farsi per operatori come la coniugazione di carica cariche delle particelle.

C

che scambia le

5.9 Rappresentazione 5.9

89

Rappresentazione

Cambiare rappresentazione signica cambiare base.

ˆ > è anche Teorema 3 Se due operatori Aˆ e Bˆ commutano, e se |ψ > è un autovettore di Aˆ, allora B|ψ autovettore di Aˆ con lo stesso autovalore. Si ha infatti

ˆ >= A|ψ >⇒ B ˆ A|ψ ˆ >= AB|ψ ˆ > A|ψ e dunque, sfruttando la commutazione

ˆ B|ψ ˆ >) = A(B|ψ ˆ >) A( ✷ Ma allora

ˆ >) è proporzionale a |ψ > nel caso non degenere, o comunque appartiene allo stesso sot(B|ψ

tospazio nel caso degenere: dunque se due osservabili commutano si può costruire una base ortonormale

H

per lo spazio

a partire da autovettori comuni ai due operatori.

In generale due operatori non commutano: dunque un cambiamento di rappresentazione costituisce un cambiamento di base. Questo cambiamento può essere realizzato utilizzando le relazioni di completezza (5.9). Due rappresentazioni particolarmente utilizzate sono quelle sulla base e sulla base

p

r degli autovettori della posizione

degli autovettori del momento.

5.9.1 Insiemi completi di osservabili compatibili Per denizione un insieme di osservabili costituisce un insieme completo di osservabili compatibili se:

• •

Tutte le osservabili commutano a coppie; Specicare gli autovalori di tutte le osservabili determina un unico autovettore (a meno di fattori moltiplicativi): l'insieme di osservabili rimuove la degenerazione.

Problemi 1. Per l'operatore momento angolare, calcolare i seguenti commutatori:

  • Lˆ2 , Lˆx   • Lˆx , Lˆy   • Lˆx , Lˆz

2. Per una particella di massa

m

sottoposta a una forza gravitazionale, tale che

ˆ2 ˆ = p − G mM H 2m r con

G

e

M

costanti, dimostrare che il momento angolare rispetto all'origine si conserva.