Fisica (3ed)

Fisica LS Ing. Pazzo 17 settembre 2009

2 Si consiglia di affiancare il materiale presente in questo riassunto agli appunti presi a lezione. Questo perché (ovviamente!) non si vuole avere alcuna presunzione di esaustività, né di assoluta correttezza: nonostante le revisioni fin’ora effettuate, potrebbero infatti essere ancora presenti molti errori e imprecisioni.

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Indice 1

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Introduzione matematica 1.1 Angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Angolo piatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Angolo solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vettori e versori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Derivata di un vettore unitario (versore) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Derivata di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Integrazione di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Funzioni a due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Campi scalari e vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Campi scalari: superfici equipotenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Campi scalari: gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Campi vettoriali: linee di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Conservatività, circuitazione e rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Campo vettoriale: flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Campo vettoriale: divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Teorema di Gauss, teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Campi solenoidali e potenziale vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Numeri complessi e formula di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Rappresentazione di grandezze armoniche tramite numeri complessi Relatività ristretta 2.1 Trasformazioni di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Esperimento di Michelson-Morely (1887) . . . . . . . 2.3 Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Deduzione delle trasformazioni . . . . . . . . 2.3.3 Simultaneità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Trasformazioni di Lorentz per le velocità . . . 2.4 La quarta dimensione (. . . ooooooh!) . . . . . . . . . . 2.5 E la meccanica classica? . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Quadridimensionalità e concetto di evento . . . . . . 2.6.1 Cinematica nell’universo quadridimensionale 2.6.2 Dinamica nell’universo quadridimensionale . 2.7 Equazioni di Lorentz ed elettromagnetismo . . . . . .

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7 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14

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17 17 18 21 21 22 23 24 24 25 25 28 30 30 31

Analisi di Fourier 3.1 Elettromagnetismo e onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equazione di D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Onde sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Onde monocromatiche (o armoniche) e teorema di Fourier 3.2 Sviluppo in base ortonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INDICE

4 3.3 3.4 4

Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 39

Onde 4.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Caso unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Esempio: la fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Esempio: onde sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Intensità d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Onde piane monocromatiche . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Relazione di dispersione e velocità di gruppo . . . . . . 4.7.1 Battimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Principio di Huygens e legge di Snell (in breve)

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43 43 43 44 45 47 47 47 48 48 49 51 53

Onde elettromagnetiche 5.1 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Potenziale vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Soluzioni delle equazioni di Maxwell . . . . . . . 5.4 Nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Onde elettro-magnetiche . . . . . . . . . . 5.5 Alcuni campi e onde notevoli . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Dipolo oscillante . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Carica puntiforme in un moto qualunque . 5.6 Conservazione dell’energia, teorema di Poynting 5.7 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Intensità, impedenza, pressione di radiazione . . 5.9 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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55 55 55 56 57 58 58 58 59 60 62 63 64

La crisi della fisica classica 6.1 Le ragioni della crisi . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Il corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Rayleigh-Jeans e la catastrofe ultravioletta 6.2.2 Max Planck e la grande svolta . . . . . . . 6.3 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Onde di materia 7.1 Descrizione ondulatoria della materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Onde di probabilità? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Verso la meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 80 83

8

Meccanica quantistica 8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 La funzione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Funzione d’onda e velocità di gruppo . . . . 8.4 Le equazioni fondamentali . . . . . . . . . . . 8.5 Equazioni di Schrödinger e probabilità . . . 8.5.1 Il paradosso del gatto di Schrödinger 8.6 Grandezze cinematiche e dinamiche . . . . . 8.7 Funzione d’onda del sistema . . . . . . . . .

85 85 86 87 89 90 91 93 93

5

6

4

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Sistemi quantistici 9.1 Buca di potenziale infinita . 9.2 Particella libera . . . . . . . 9.3 Buca di potenziale finita . . 9.4 Assorbimento ed emissione 9.5 Atomo d’idrogeno . . . . . 9.6 Effetto tunnel . . . . . . . .

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97 97 99 100 102 102 103

INDICE

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6

Capitolo 1

Introduzione matematica In questo capitolo ci occuperemo di esaminare i principali concetti matematici necessari alla comprensione di ciò che verrà successivamente svolto.

1.1 1.1.1

Angoli Angolo piatto

L’angolo piatto è una grandezza caratteristica della geometria piana in due dimensioni. Date due semirette uscenti da un punto, la misura dell’angolo piano è il rapporto tra la lunghezza dell’arco di circonferenza delimitato dalle semirette e il raggio della circonferenza stessa (vedi fig. 1.1). θ=

Figura 1.1:

s [rad] r

L’angolo piatto

L’angolo piatto è una grandezza adimensionale; l’unità di misura naturale è il radiante, ma spesso si fa uso dei gradi sessagesimali (angolo giro = 2π radianti = 360 gradi).

1.1.2

Angolo solido

Usato spesso nel calcolo dei flussi attraverso le superfici, l’angolo solido è l’estensione tridimensionale dell’angolo piano. Dato un insieme di semirette uscenti da un unico punto, costituenti una superficie conica, la misura dell’angolo solido è il rapporto tra l’area S della calotta sferica delimitata dalla superficie conica e il quadrato del raggio R della sfera (vedi fig. 1.2). Ω=

S R2

Per superfici infinitesime si ha dΩ =

dS [sterad] R2 7

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

8

Figura 1.2:

L’angolo solido

in quanto la calotta sferica è approssimabile con la superficie dS piana tangente alla sfera. Anche l’angolo solido è una grandezza adimensionale; la sua unità di misura naturale è lo steradiante (l’angolo solido sotteso da tutto lo spazio misura 4π steradianti).

1.2 1.2.1

Vettori e versori Derivata di un vettore unitario (versore)

Figura 1.3:

Derivata di un vettore unitario

Sia uˆ r un vettore unitario (cioè un versore). La sua derivata non è nulla (come si potrebbe erroneamente pensare) ma è definita nel seguente modo: duˆ r ∆uˆ r uˆ r (t + ∆t) − uˆ r (t) = lim = lim dt ∆t ∆t ∆t→0 ∆t→0 Osservando la figura 1.4 si noti che, via via che ∆t → 0, ∆uˆ r verrà a coincidere col vettore perpendicolare alla direzione del vettore originale.

Figura 1.4:

Derivata di un vettore unitario (2)

In particolare, tramite semplici passaggi matematici1 , e facendo riferimento a 1.4, si può ottenere che: duˆ r dϑ dt = dt 1 Che

qui ometteremo: si veda a proposito la slide 9 del blocco 1.

8

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

9

Quindi ora conosciamo sia il modulo che la direzione della derivata del versore: dϑ duˆ r = nˆ = ω nˆ = ω dt dt In queste relazioni si ha dϑ =ω dt dove ω è la rapidità di rotazione (velocità angolare). Si noti inoltre che la direzione della derivata di un versore è perpendicolare al versore stesso, mentre il verso è quello in cui il versore ruota.

1.2.2

Derivata di un vettore

In maniera elementare, un vettore è un versore moltiplicato per un certo scalare a. Si ha quindi: d ( auˆ r ) da dϑ da da = = uˆ r + a nˆ = uˆ r + ω × a dt dt dt dt dt

1.2.3

Integrazione di un vettore

Possiamo sfruttare la linearità integrando singolarmente ogni componente del vettore2 . I = Ix i + Iy j + Iz k =

1.3

∫

Fx (t) dt⋅ i +

∫

Fy (t) dt⋅ j +

∫

Fz (t) dt⋅ k

Funzioni a due variabili

Consistono nella corrispondenza tra un insieme di coppie di numeri ( x, y) e un insieme di numeri reali rappresentato dalla variabile dipendente z. z = F ( x, y) Per le funzioni a due variabili possono essere definite le derivate parziali (rispetto, cioè, ad una sola delle due variabili indipendenti).

Figura 1.5:

Derivate di una funzione a due variabili

2 Il

prodotto vettoriale che compare nell’ultimo passaggio si spiega considerando che a e uˆ r sono sicuramente perpendicolari, quindi il loro prodotto vettoriale dà risultato massimo (= 1). Si ha quindi: ω×a =

dϑ dϑ nˆ ⋅ a ⋅ sin α=a nˆ |{z} dt dt =1

9

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

10 Si definisce inoltre differenziale della funzione: dF =

1.4 1.4.1

∂F ∂F dx + dy ∂x ∂y

Campi scalari e vettoriali Campi scalari: superfici equipotenziali

Consideriamo un campo scalare determinato dalla equazione f ( x, y, z): il luogo dei punti in cui esso assume un valore costante è chiamato superficie equipotenziale3 .

1.4.2

Campi scalari: gradiente

Figura 1.6:

Il gradiente e il suo significato geometrico

Il gradiente di un campo scalare è definito nel seguente modo:

∇u =

∂u ∂u ∂u i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

Si noti che l’operatore gradiente restituisce un campo vettoriale a partire da un campo scalare (dualmente a quanto fa l’operatore divergenza, vedi paragrafo 1.4.6). Il suo significato geometrico è quello di direzione di massima variazione del campo in un dato punto. Infatti (si faccia riferimento alla figura 1.6) si ha: du = ∇u ⋅ dl Tuttavia, essendo dl un piccolo spostamento lungo una superficie equipotenziale, il risultato del prodotto scalare sarà 0 (il campo è invariato) e dunque ∇u e dl devono essere perpendicolari per le proprietà del prodotto scalare. Quindi la direzione del gradiente deve essere perpendicolare alla superficie di livello del campo scalare; inoltre il modulo del gradiente fornisce la rapidità di variazione del campo scalare lungo la direzione ed il verso in cui si ha la maggior variazione del campo scalare stesso.

1.4.3

Campi vettoriali: linee di campo

Per visualizzare le caratteristiche di un campo vettoriale si può sfruttare il fatto che la tangente alla linea di campo in ogni punto dello spazio fornisce la direzione del campo in quel punto (l’orientamento della linea dev’essere concorde al verso del campo vettoriale). In particolare, si può sfruttare il criterio di Faraday: nell’intorno di un punto P si considera una piccola area dS all’interno della quale si tracciano linee di campo perpendicolari alla superficie e distribuite in modo uniforme. Il numero di linee di campo da tracciare sarà tanto maggiore quanto intenso è il campo: il modulo del campo è infatti proporzionale alla densità di linee di campo. 3 Esempio bidimensionale: nelle le carte topografiche si disegna in un piano il luogo dei punti in cui la quota q ( x, y ) sul livello del mare è costante, per valori prefissati ed equidistanziati tra loro.

10

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

1.4.4

11

Conservatività, circuitazione e rotore

Dato un campo scalare u( x, y, z) è sempre possibile ricavarne un campo vettoriale attraverso l’operatore gradiente (vedi par. 1.4.2). Il contrario, in generale, non è vero: infatti, dato un generico campo vettoriale w( x, y, z), non sempre è sempre possibile trovare un campo scalare u( x, y, z) collegabile a w tramite l’operatore gradiente. I campi vettoriali per i quali questo è invece possibile sono detti conservativi. Un campo vettoriale è conservativo se: ∙ l’integrale di linea calcolato lungo un qualsiasi percorso non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi (di partenza e di arrivo); ∙ la circuitazione del campo ∮

Γ linea chiusa

w ⋅ dl,

Γ

è nulla; ∙ si può scrivere come il gradiente di un campo scalare (potenziale, di seguito indicato con V), che è funzione della posizione nello spazio, ed eventualmente del tempo, tale per cui l’integrale di linea tra due punti P1 e P2 (calcolato lungo un percorso qualsiasi) è uguale alla differenza fra i valori che la funzione assume nei punti P1 e P2 rispettivamente: ∫B

w ⋅ dl = V ( B) − V ( A)

A

∙ ha rotore nullo.

1.4.5

rot (w) = ∇ × w = det

i ∂ ∂x wx

j ∂ ∂y wy

k ∂ ∂z wz = 0



Campo vettoriale: flusso

Dato un campo vettoriale w ed una superficie infinitesima orientata dS, il flusso infinitesimo dΦ di w attraverso dS è definito come: d Φ = w ⋅ dS Integrando su tutta la superficie otteniamo il flusso di un campo vettoriale attraverso S: ΦS =

∫∫

dΦ =

∫∫

w ⋅ dS

S

S

ESEMPIO:

Vogliamo calcolare il usso del vettore densità di corrente, il quale può essere inteso in due dierenti modi: ⎧  n=    ⎨m = J= nmv oppure nqv |{z}  |{z} q = densità di massa  densità elettrica  ⎩v =

numero di particelle per unità di volume massa delle particelle carica delle particelle velocità di deriva (uguale per tutte le particelle)

Chiamata S⊥ la supercie perpendicolare a v, l'elemento innitesimo di usso attraverso una supercie orientata S si può scrivere come di seguito: {

dΦ = J ⋅ dS =

nmv ⋅ dS = nmv ⋅ dS ⋅ cos ϑ = nmv ⋅ dS⊥ (portata in massa) nqv ⋅ dS = nqv ⋅ dS ⋅ cos ϑ = nqv ⋅ dS⊥ (corrente elettrica) 11

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

12

Il flusso può essere anche calcolato attraverso una superficie chiusa C (basta integrare opportunamente): ∫∫

ΦC =

dΦ =

C

∫∫

w ⋅ dC

C

Il flusso netto uscente da una superficie chiusa è proporzionale al numero di linee di forza che la superficie intercetta (o come impropriamente si dice che ’attraversano’ la superficie); se attraverso S entrano tante linee quante ne escono allora il flusso è nullo. Consideriamo ora un determinato punto P. Se le linee di flusso sono uscenti da quel punto si parla di sorgente del campo, se le linee di flusso sono entranti nel punto si parla di pozzi del campo. Se il campo vettoriale è associato al moto coerente di un insieme di particelle, il senso del flusso attraverso una superficie aperta è quello di fornire la ’quantità’ di quella determinata grandezza che oltrepassa la superficie nell’unità di tempo. Calcolare il flusso attraverso una superficie chiusa significa invece scoprire se al suo interno sono presenti pozzi (flusso complessivo negativo) oppure sorgenti (flusso complessivo positivo). Questo è anche il significato del teorema di Gauss (vedi par. 1.4.7) per l’elettrostatica4 :

∇⋅E =

ρ ε0

In forma differenziale

∫∫

⃝ E ⋅ dS = S

QS ε0

In forma integrale

Soffermandoci sul teorema di Gauss in forma integrale; sappiamo bene che cariche positive corrispondono a sorgenti (linee di forza uscenti), mentre cariche negative a pozzi (linee di forza entranti): detta QS la quantità di carica contenuta all’interno della superficie chiusa S, se il flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa S è positivo allora significherà che QS > 0 e che dentro la superficie saranno presenti cariche positive5 . Viceversa, se il flusso è negativo, all’interno della superficie QS < 0.

1.4.6

Campo vettoriale: divergenza

La divergenza è definita nel seguente modo: div w = ∇w =

∂wy ∂wz ∂wx + + ∂x ∂y ∂z

Si noti che mentre il gradiente (paragrafo 1.4.2), applicato ad un campo scalare, restituiva una quantità vettoriale, l’operatore divergenza funziona esattamente in maniera duale: applicato a un campo vettoriale restituisce una quantità scalare. Rotore (vedi paragrafo 1.4.4) e divergenza6 sono invece parte integrante di due importantissimi teoremi: il teorema di Gauss (o della divergenza) e il teorema di Stokes (vedi paragrafo 1.4.7).

1.4.7

Teorema di Gauss, teorema di Stokes

TEOREMA DI GAUSS7 (integrale di superficie ⇔ integrale di volume) Il flusso del campo vettoriale w sulla superficie chiusa S è uguale all’integrale della divergenza di w calcolato all’interno del volume V racchiuso entro la superficie S. ∫∫

∫∫∫

S

V

ΦS (w) = ⃝ w ⋅ dS =

∇ ⋅ w dV

4 Si

può passare dalla forma differenziale a quella integrale applicando il teorema di Gauss e ricordando che la carica QS all’interno del volume è calcolabile facendo l’integrale di volume su V (volume racchiuso da S) della densità volumetrica di carica ρ. 5 O comunque le cariche positive saranno in quantità maggiore rispetto a quelle negative. 6 Riportiamo qui qualche identità notevole: ∙ rot (grad u) = 0

per ogni campo scalare

∙ div (rot w) = 0

per ogni campo vettoriale

∙ rot (rot w) = ∇ (∇w) − ∇2 w ∙ div (w × v) = ∇ (w × v) = v ⋅ ∇ × w − w ⋅ ∇ × v 7 Per

ricordarne il contenuto può far comodo sapere che viene anche chiamato Teorema della Divergenza.

12

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

13

Grazie a questo teorema è possibile comprendere come la divergenza fornisca la densità volumetrica di flusso netto (cioè con segno, in modo che contributi uguali e contrari si compensino) uscente8 dall’intorno infinitesimo di un punto: rielaborando la relazione scritta poco sopra si ha infatti dΦS (w) = ∇ ⋅ w dV E quindi dΦS (w) = ∇⋅w dV il che dà l’idea di divergenza come ’densità di flusso’. TEOREMA DI STOKES (integrale di linea ⇔ integrale di superficie) La circuitazione del campo vettoriale w lungo una linea chiusa C è uguale al flusso del rotore di w lungo una qualsiasi superficie S aperta avente come contorno C. ∮

w ⋅ dl =

(∇ × w) ⋅ dS

Σ

C

1.5

∫∫

Campi solenoidali e potenziale vettore

Un campo si dice solenoidale se ha divergenza nulla ovunque (esempio: il campo magnetico). Un campo vettoriale solenoidale può essere derivato da un altro campo vettoriale attraverso l’operatore rotore (vedi paragrafo 1.4.4): infatti, se per ipotesi w è solenoidale, tutti i campi vettoriali A tali che w = ∇×A vanno bene in quanto

∇w = ∇ ⋅ ∇ × A = 0 In tal caso A si chiama potenziale vettore. Il potenziale vettore è definito a meno del gradiente di un campo scalare, dato che il rotore del gradiente di un campo scalare è identicamente nullo. Se facciamo l’ipotesi che il campo vettoriale w sia conservativo, allora esso può essere derivato da un campo scalare u come: w = ∇u In questo caso la divergenza di w diventa: ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∇ ⋅ (∇u) = ∇ u = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2

1.6

{

= 0 equazione di Laplace = c equazione di Poisson

Numeri complessi e formula di Eulero La formula di Eulero è l’equazione più straordinaria della matematica. Richard Feynman

Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l’abbiamo provata, e quindi sappiamo che deve essere la verità. Benjamin Peirce 8 Per questo le linee di forza, se uscenti dalla superficie, generano un flusso positivo mentre viceversa, se entranti, danno un contributo negativo.

13

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

14

I numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali: vengono definiti a partire dalla cosiddetta unità immaginaria √ i = (−1) quantità ovviamente insensata in R. Un numero complesso s generico può essere scritto nella seguente forma: s = p + iq dove p è la parte reale e q la parte immaginaria. Grazie a questa generalizzazione, ogni equazione algebrica può essere risolta: inoltre, data una soluzione, ne esiste un’altra (complessa coniugata) ottenuta dalla prima sostituendo i con −i (teorema fondamentale dell’algebra). Un numero immaginario può essere rappresentato con un segmento orientato di lunghezza r (pari al suo modulo), in un piano cartesiano con un asse ’reale’ x e un asse immaginario y (vedi figura 1.7): z = x + iy Se chiamiamo θ (fase) l’angolo che forma con l’asse x (tracciato in senso antiorario) otteniamo facilmente:

Figura 1.7:

Piano cartesiano e rappresentazione dei numeri immaginari

z = r (cos θ + i sin θ ) Ricordando la famosa formula di Eulero eiθ = cos θ + i sin θ si ha: z = reiθ

1.6.1

Rappresentazione di grandezze armoniche tramite numeri complessi

Se il segmento orientato ruota con velocità angolare costante ω = ω0 , le sue proiezioni sugli assi oscillano armonicamente (vedi fig. 1.8). Il moto armonico può quindi essere descritto dalla parte reale del numero complesso A = Ac eiω0 t dove Ac è l’ampiezza complessa misurata tenendo conto della fase iniziale (Ac = Aeiθ0 ). Questo rende possibile una comoda rappresentazione per le grandezze contenute, ad esempio, nelle equazioni di Maxwell e di Kirchhoff.

14

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

Figura 1.8:

15

Rappresentazione di grandezze armoniche

15

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE MATEMATICA

16

16

Capitolo 2

Relatività ristretta 2.1

Trasformazioni di Galileo

Figura 2.1:

Sistemi di riferimento e trasformazioni di Galileo

Le trasformazioni di Galileo sono per secoli state uno dei pilastri della meccanica. Consideriamo due sistemi di riferimento O e O′ (vedi figura 2.1): le trasformazioni di Galileo ci permettono di ricavare la posizione e la velocità del punto P, al variare del tempo t e rispetto al sistema O′ , una volta che ci vengono date le stesse informazioni rispetto all’altro sistema di riferimento (O). Supponendo che O′ , rispetto ad O, si stia muovendo di moto rettilineo uniforme (velocità u) nella direzione positiva delle x otteniamo1 : ⎧ ′  ⎨ v x (t) = v x (t) − u v′y (t) = vy (t)  ⎩ ′ vz (t) = vz (t)

⎧ ′  ⎨ x (t) = x (t) − ut y′ (t) = y (t)  ⎩ ′ z (t) = z (t)

In generale uno stesso fenomeno fisico avrà due diverse descrizioni cinematiche nei due sistemi di riferimento O e O′ , ma questi ultimi debbono essere indistinguibili rispetto alle leggi della fisica. In questi due sistemi di riferimento, infatti, intervalli temporali e dimensione degli oggetti sono esattamente identici. Generalizzando, arriviamo alla formulazione del principio di relatività: i sistemi di riferimento devono essere indistinguibili dal punto di vista delle leggi fisiche e, dato un certo fenomeno e due diverse descrizioni cinematiche, le forze, le dimensioni degli oggetti in gioco e gli intervalli temporali devono risultare invarianti. 1 Si

è fatta anche l’ipotesi, implicita, che al tempo t = 0 coincidessero tutti e tre gli assi dei due sistemi di riferimento.

17

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

18

2.2

Esperimento di Michelson-Morely (1887) L’esperimento di Michelson-Morely è il più importante esperimento fallito della storia della fisica. Anonimo

Venne eseguito nel 1887 ed è considerato la prima forte prova contro la teoria dell’etere luminifero, immaginaria sostanza che si riteneva permeasse tutto l’universo e rispetto alla quale dovevano essere riferite le velocità di tutti i corpi. Durante il XVIII secolo si riteneva che l’aria fosse formata da una sostanza invisibile, a cui i fisici diedero il nome di etere, e che ogni corpo in movimento nell’universo producesse un vento d’etere che si muoveva alla stessa velocità del corpo in movimento ma con direzione opposta. Per esempio, muovendosi la Terra a 30 km/s, dovrebbe esistere un vento a 30 km/s a spazzare il nostro pianeta in direzione opposta al proprio cammino. Qualsiasi cosa immersa nell’etere sarebbe stata influenzata dal vento, compresa la luce. La fisica nel XIX secolo postulava inoltre che le onde (comprese quelle elettromagnetiche) dovessero avere un mezzo che consentiva la loro propagazione. Anche in questo caso faceva comodo ricorrere alla teoria dell’etere: nel caso della luce si era ipotizzata l’esistenza di un ’etere luminifero’ come mezzo di propagazione. Come sarebbe stato possibile misurare la velocità della luce sulla Terra, sistema di riferimento evidentemente non privilegiato rispetto al ’fisso’ etere?

Figura 2.2:

Apparato per l’esperimento di Michelson-Morley

Albert Abraham Michelson decise di provare a misurare la velocità c della luce per vedere se si trovava traccia del vento d’etere, usando a tale scopo uno strumento da lui stesso ideato che successivamente prese il nome di interferometro di Michelson (vedi figura 2.2). Un sistema di specchi semiriflettenti (che in parte trasmettevano e in parte riflettevano) inviava un raggio di luce facendogli percorrere diversi viaggi di andata e ritorno allo scopo di renderne il tragitto più lungo possibile (e quindi più semplicemente misurabile). Se il vento d’etere fosse esistito la velocità della luce sarebbe stata diversa nelle varie direzioni, quindi, guardando all’interno dell’interferometro, si sarebbero viste delle frange di interferenza dovute allo sfasamento determinato dai diversi tempi di percorrenza delle radiazioni. Utilizzando questo dispositivo sperimentale Michelson effettuò nel 1881 un certo numero di misure, non rilevando lo spostamento minimo previsto delle frange di interferenza (i dati vennero pubblicati da Michelson nello stesso anno). Tuttavia il suo apparecchio prototipale non aveva la precisione sufficiente per escludere con certezza l’esistenza del movimento nell’etere. Per questo decise di effettuare esperimenti più precisi e, nel 1887, si mise in contatto con Edward Morley, che offrì il suo seminterrato per il nuovo esperimento. A tale scopo venne utilizzato un interferometro montato su una lastra di pietra quadrata di 15 cm di lato e circa 5 cm di spessore. Per eliminare le vibrazioni la lastra veniva fatta galleggiare su mercurio liquido, il quale accorgimento permetteva di mantenere la lastra orizzontale e di farla girare attorno ad un perno centrale. Anche con il nuovo esperimento non si trovò traccia di un vento d’etere in quanto la velocità della luce era indipendente dalla direzione e di poco inferiore a 300.000 km/s. La cosa non accadde neanche ripetendo l’esperimento a distanza di tempo e di luogo. 18

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

19

Vediamo meglio il principio di funzionamento dell’interferometro. Esaminiamo la figura 2.3: in essa

Figura 2.3:

Interferometro fisso

viene raffigurato l’interferometro in stato di ’quiete’. Si noti come il percorso ’verticale’ abbia la stessa lunghezza L di quello ’orizzontale’: in tal caso un raggio luminoso impiegherebbe lo stesso tempo t per percorrere entrambi i tratti. Immaginiamo ora che il sistema si muova rispetto all’etere; se ragioniamo coi termini della fisica classica, i due tempi associati ai percorsi orizzontale e verticale saranno diversi perché gli specchi si stanno muovendo: come tuttavia dicevamo in precedenza, il fatto che ciò non risultasse dall’osservazione sperimentale ha lasciato interdetti i fisici del tempo. Com’era possibile una cosa del genere? L’unica soluzione si è rivelata quella di ’distorcere’ tempi e spazi secondo le trasformazioni di Lorentz (vedi paragrafo 2.3). Di seguito mostreremo separatamente i calcoli per le due traiettorie della luce. PERCORSO ORIZZONTALE (figura 2.4) La distanza percorsa dalla luce in andata sarà maggiore di quella che dovrà effettuare al ritorno, dato che lo specchio si muove nella stessa direzione del raggio (quello riflettente tenta di ’sfuggirgli’ all’andata e quello semi-riflettente di andargli incontro al ritorno).

Figura 2.4:

Interferometro mobile (u = velocità dell’apparato)

andata → ritorno →

L c−u L dr = L − ut2 = ct2 ⇒ t2 = c+u

d a = L + ut1 = ct1 ⇒ t1 =

Il tempo totale (t1 + t2 ) sarà quindi: ⎛ torizz =

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎟ L L L 1 1 ⎠ L 2 2L ⎜ ⎜ 1 ⎟ )( )⎠ = + = ⎝ + = ⎝( u u u u c−u c+u c 1− c c ⎝ u2 ⎠ 1+ 1− 1+ 1− 2 c c c c c

PERCORSO VERTICALE (figura 2.5) Il percorso della luce avrà una componente verticale (identica al caso statico), più una componente orizzontale (velocità pari ad u) dovuta allo spostamento dell’apparato. La composizione dei due moti 19

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

20

Figura 2.5:

Interferometro mobile (2) - sistema di riferimento non solidale con la macchina

rende la traiettoria del raggio diagonale, come mostrato in figura 2.5. Calcoliamo il tempo necessario a effettuare metà del percorso (la diagonale ’in salita’ o la diagonale ’in discesa’): d=

√

L2 + u2 t2 = ct

L2 + u2 t2 = c2 t2 L t= √ c2 − u2 Moltiplicando per due otteniamo il tempo totale del percorso verticale: ⎛ tvert = √

2L c2 − u2

=

⎞

⎟ 2L ⎜ ⎟ ⎜√ 1 ⎠ ⎝ c u2 1− 2 c

I tempi del percorso verticale e orizzontale sono diversi (si differenziano per una radice al denominatore): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2L ⎜ ⎜ c ⎝

1

⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = torizz ∕= tvert = 2L ⎜ √ 1 ⎟ ⎠ ⎠ 2 c ⎝ u 1− 2 1− 2 c c u2

Tutto faceva pensare che il risultato dell’esperimento sarebbe stato l’osservazione delle frange d’interferenza dovute allo sfasamento delle due onde. Così tuttavia non è stato! Il paradosso sollevato dal risultato negativo si risolve se si ammette che tempi e lunghezze misurate nel sistema mobile possono avere valori diversi da quelli osservati dallo sperimentatore fisso. Questo concetto, al tempo, era fortemente rivoluzionario. La (ai tempi) super-accettata e stra-verificata trasformazione del tempo secondo Galileo, infatti, assumeva che il tempo fosse assoluto: quando si realizza la misura temporale con l’apparecchiatura in moto, il risultato previsto doveva essere lo stesso sia che l’osservatore fosse nel sistema di riferimento fisso, sia che si muovesse. Il risultato, invece, è quello di avere due diverse possibili misure (entrambe valide) e sperimentalmente confermabili: ∙ distanze e tempi misurati in un sistema di riferimento solidale con la macchina (di seguito le indicheremo con l’apice); ∙ distanze e tempi misurati in un sistema di riferimento non solidale con la macchina: sono quelli riportati poco fa. Facendo le ragionevoli ipotesi che la velocità influisca solo sulle lunghezze nella direzione del moto e che il tempo non dipenda dalla direzione del moto, possiamo effettuare le 20

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

21

seguenti sostituzioni ⎛ ⎧    ⎜ 1 L    torizz = 2 orizz ⎜  ⎝  c u2   1− 2    c ⎨ ⎛

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

 ⎟  Lvert ⎜  ⎜√ 1 ⎟  tvert = 2  ⎝ ⎠  2 c  u   1 −    c2  ⎩ Sistema di rif. NON solidale con l’apparato

= L′vert

⎧ L′   t′orizz = 2 orizz   c ⎨ ′ L ⇒ t′ = 2 vert    vert c  ⎩ S.d.r. solidale con l’apparato

HP: solo la direzione del moto influenzata → Lvert = L′vert ⎞

⎛ z}|{ ′ ⎟ Lvert ⎜ ⎟ ⇒ HP (2): tempo indipendente dalla direzione ⇒ t = √ t ⎜√ 1 ⇒ tvert = 2 ⎠ ⎝ u2 u2 | {zc } 1− 2 1− 2 =t′vert c c √ u2 ⇒ si ha quindi, sostituendo nelle equazioni del s.d.r. non solidale: Lorizz = L′orizz 1 − 2 c Concludendo, nel sistema del laboratorio le lunghezze nella direzione del moto sono più corte e i tempi sono più lunghi rispetto a quelli misurati nel sistema di riferimento solidale. Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

Secondo Einstein, tutti gli oggetti nell'universo sono sempre in moto nello spaziotempo con una velocità ssa, quella della luce. (. . . ) Gli oggetti possono distribuire tale velocità lungo quattro dimensioni, ed è questa velocità in senso generalizzato che è sempre uguale a quella della luce. (. . . ) Tutti gli oggetti in quiete rispetto a noi si muovono nel tempo - cioè invecchiano - alla stessa velocità. Se un corpo si muove rispetto a noi, invece, un po' del suo moto nel tempo deve essere trasferito nello spazio, e quindi la sua velocità nel tempo sarà minore. (. . . ) Il moto nello spazio non è che un riesso di quanto è diminuito il moto nel tempo. In questo contesto, vediamo subito perché deve esistere una velocità spaziale limite. La massima velocità spaziale possibile si ha quando tutta la velocità dello spaziotempo è usata nella componente spaziale, cioè quando tutta la velocità nel tempo è convertita in velocità nello spazio. (. . . ) Quindi, la luce non ha età, perché non ha velocità temporale. Un fotone uscito dal Big Bang non è invecchiato di un sol giorno da allora. Alla velocità della luce, il tempo non passa.

2.3 2.3.1

Trasformazioni di Lorentz Introduzione

Le trasformazioni di Lorentz, che prendono il nome dal loro principale scopritore, il fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), furono inizialmente introdotte per rimuovere le contraddizioni esistenti tra elettromagnetismo e meccanica classica e spiegare i risultati nulli dell’esperimento di Michelson-Morley tramite l’introduzione del fenomeno della contrazione delle lunghezze. Tali trasformazioni sono alla base della formulazione matematica della teoria della relatività ristretta di Einstein. In relatività, queste trasformazioni possono essere derivate dal postulato di invarianza della velocità della luce. Le trasformazioni di Lorentz furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Joseph Larmor nel 1897. Nel 1905, Henri Poincaré, il famoso matematico francese, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904. Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi. 21

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

22

Lorentz scoprì nel 1900 che la trasformazione preservava le equazioni di Maxwell. Egli credeva nell’ipotesi dell’etere; fu Albert Einstein, sviluppando la teoria della relatività, che diede un appropriato fondamento alla sua applicazione.

2.3.2

Deduzione delle trasformazioni

Figura 2.6:

Sistemi di riferimento a confronto

I risultati dell’esperimento di Michelson-Morley permettono di ricavare le equazioni sostitutive delle relazioni date da Galileo secoli prima. Consideriamo la figura 2.6: indicando con un apice le quantità riferite al sistema di riferimento O′ (e senza apice quelle riferite ad O) otteniamo √ x = x′

1−

u2 + ut = L H + ut c2

Il primo termine della somma si spiega in quanto la distanza misurata in O′ dal punto di vista di O è leggermente minore di quanto ci si sarebbe aspettati con Galileo (gli oggetti si ’restringono’ nella direzione del moto); il secondo termine è il naturale contributo dovuto al fatto che O′ si sposta rispetto ad O. Invertendo si ha: x − ut x′ = √ u2 1− 2 c Lungo le altre due direzioni non avviene invece alcun moto: y = y′ z = z′ Si sottolinea nuovamente il fatto che, come indicato nella figura 2.6, L H e x ′ non sono la stessa cosa, anche se nel disegno coincidono2 ; si tratta infatti di due distanze misurate in diversi sistemi di riferimento, cosicché appariranno differenti se le si osserva in O rispetto che in O′ . Osserviamo ora la figura 2.7: questa volta i ruoli si invertono perché ci poniamo dal punto di vista di O’ (vediamo il sistema O allontanarsi verso sinistra con velocità ut) e possiamo scrivere: L′H = x ′ + ut′ Tuttavia sappiamo anche che L′H sarà leggermente più piccola di x (anche se nel disegno tali distanze vengono tracciate fra gli stessi punti), in quanto ora - per noi - O′ è fermo e vedrà misure un pelo più corte rispetto ad O: √ u2 L′H = x 1 − 2 c 2 Non

si poteva fare altrimenti, non prendetevela con me! :-)

22

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

Figura 2.7:

23

Sistemi di riferimento a confronto (2)

Uguagliando e sfruttando il risultato ricavato precedentemente per x ′ : √

u2 1− 2 c √ √ x − ut u2 u2 ut′ = x 1 − 2 − x ′ = x 1 − 2 − √ c c u2 1− 2 c x ′ + ut′ = x

Elaborando matematicamente il tutto otteniamo la relazione che intercorre fra i tempi t e t′ : √ ut

2.3.3

′

( ) u2 u2 1 − 2 = x 1 − 2 − ( x − ut) c c √ u2 u t′ 1 − 2 = − x 2 + t c c u t−x 2 ′ c t = √ u2 1− 2 c

Simultaneità

Le trasformazioni di Lorentz hanno la buona proprietà di instaurare simmetria fra coordinate temporali e spaziali: consideriamo ad esempio due eventi simultanei nel sistema di riferimento O evento 1 → t, x1 evento 2 → t, x2 Andando a sostituire nelle equazioni di Lorentz la differenza x1 − x2 : ⎧ x2 − x1  x2′ − x1′ = √     u2   1− 2  ⎨ c

u ( x1 − x2 ) 2    c ∕= 0!! ⇒ Nel sistema mobile gli eventi NON sono simultanei!  t2′ − t1′ = √   2  u  ⎩ 1− 2 c 23

(2.1)

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

24

Viceversa, se ora fissiamo lo spazio (x identico per i due eventi) e prendiamo in considerazione due diversi istanti t1 e t2 evento 1 → t1 , x evento 2 → t2 , x Per il sistema di riferimento mobile otteniamo: ⎧   x ′ − x ′ = u√(t1 − t2 ) ∕= 0!! ⇒ Nel sistema mobile gli eventi NON avvengono nello stesso punto!  2 1   u2   ⎨ 1− 2 c (2.2)  t2 − t1 ′ ′   √ t − t =  2 1   u2  ⎩ 1− 2 c Se mettiamo a confronto le espressioni 2.1 e 2.2 ecco che emerge la rimarcabile simmetria tra coordinate spaziali e coordinata temporale.

Figura 2.8:

2.3.4

Simmetria delle equazioni di Lorentz

Simmetria

Se ci poniamo alternatamente in uno dei due sistemi di riferimento, ecco che le equazioni di Lorentz si dimostrano ancora una volta simmetriche (v. figura 2.8).

2.3.5

Trasformazioni di Lorentz per le velocità

Fin’ora ci siamo occupati dello spazio e del tempo; possiamo tuttavia esaminare la velocità rispetto ai due sistemi di riferimento: ricordando quanto ottenuto, possiamo scrivere ⎧ x − ut ′  x = √   u2   1− 2    c    ′  ⎨y = y z′ = z     xu   t− 2     t′ = √ c    u2 ⎩ 1− 2 c

u c −−−−−−−− → 1 γ= √ 1 − β2 β=

⎧ ′ x = γ ( x − ut)       y′ = y ⎨

⎧ ′ dx = γ (dx − u ⋅ dt)       dy′ = dy ⎨

⇒ dz′ = dz z′ = z     ) ) ( (     xβ dxβ   ′   ⎩t = γ t− ⎩ dt′ = γ dt − c c

24

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

25

Le velocità saranno quindi: ⎧      v′x =                ⎨ v′y =                 v′z =     ⎩

dx dx −u −u γ (dx − u ⋅ dt) vx − u vx − u dx ′ dt ) = = ( = dt = = u ′ β dx ⋅ β dx ⋅ β dxβ dt 1 − vx 2 1 − vx 1− 1− γ dt − c c dt ⋅ c dt ⋅ c c √ u2 dy 1− 2 v dy dy′ y c ) = ( dt ) = ( ) = vy = ( u dxβ dx β β dt′ 1 − vx 2 γ dt − γ 1− γ 1 − vx c c dt c c √ u2 dz 1 − ′ v dz dz c2 ) = ( dt ) = ( z ) = vz = ( u ′ dxβ dx β β dt 1 − vx 2 γ dt − γ 1− γ 1 − vx c c dt c c

Da queste equazioni si evince che la velocità c è una velocità limite: se u > c, infatti, la velocità diviene una quantità immaginaria e quindi insensata.

2.4

La quarta dimensione (. . . ooooooh!)

Il tempo si configura come quarta dimensione oltre alle tre temporali delle quali abbiamo esperienza diretta ogni giorno. Se infatti proviamo a scrivere la seguente somma x ′2 + y ′2 + z ′2 e a sostituire3 ad ogni quantità l’espressione che fornisce il legame con x, y, z ⎧ x − ut ′  x = √   u2   1− 2    c    ′  y = y ⎨ z′ = z           ... e ricordando che    ⎩ otteniamo:

xu t− 2 t′ = √ c u2 1− 2 c

x ′2 + y ′2 + z ′2 = x 2 + y2 + z2 + c2 t ′2 − c2 t2 x ′2 + y ′2 + z ′2 − c2 t2 = x 2 + y2 + z2 − c2 t ′2

( x1′ )2 + ( x2′ )2 + ( x3′ )2 + ( x4′ )2 = x12 + x22 + x32 + x42 Il prodotto ct si configura come quarta dimensione x4 , assolutamente analoga alle dimensioni spaziali: il quadrivettore ( x1 , x2 , x3 , x4 ) si pone invece come il ’gemello quadridimensionale’ del banale vettore posizione tridimensionale al quale siamo abituati. Si può dimostrare che le trasformazioni di Lorentz non alterano il modulo del quadrivettore, che quindi è un valido invariante spazio-temporale.

2.5

E la meccanica classica?

Che fine fa? Varrà ancora F = ma? Fortunatamente la risposta è affermativa. Esaminiamo la figura 2.9: in essa è rappresentato un urto anelastico in 2 dimensioni, fenomeno fisico che classicamente conserva la quantità di moto, secondo due differenti punti di vista, ovvero secondo due differenti sistemi di riferimento. Abbiamo due palline uguali e di massa m0 , una rossa e una blu, che urtano fra di loro procedendo 3 Omettiamo

qui i calcoli.

25

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

26

in direzione opposta: nel sistema S ci poniamo nei panni della pallina rossa e condividiamo con lei gli spostamenti lungo le x (pur non spostandoci solidali ad essa lungo le y), vedendo quindi la pallina blu arrivare da sinistra; nel sistema S′ , invece, assumiamo i panni della pallina blu e vediamo arrivare la rossa da destra. Sia: ∙ u = u1 + u2 la somma delle componenti x della velocità delle due palline (cosicché, se ci poniamo solidali con una pallina, vediamo l’altra venirci incontro con velocità u); ∙ v1y la componente y della pallina rossa; ∙ v2y la componente y della pallina blu.

Figura 2.9:

Urto

Partiamo facendo l’assunzione che la quantità di moto sia formulabile nel seguente modo: p = m0 v

f (βv ) | {z }

che forma ha?

dove βv =

v c

Siccome si deve avere conservazione della quantità di moto possiamo scrivere: p1y + p2y = 0 (

) m0 v1y f ( β 1 ) + v2y f ( β 2 ) = 0 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ √ ⎨ ⎬ 1   2   u √ γu =     ⎩ ⎭ 2 1 −   1 − β 2   1 c ′     ( ) − −−−−−−−−−− → v vy = vy y   u u     1 − v γ 1 − v   x 2 u x 2   ) ( ⎨ ⎬ c c v1 ⇒ m0 v1 f ( β 1 ) − f ( β2 ) = 0 quindi...   γu       v1y = v1 (no effetto contrazione)           1 v   1   ( ) v2y = v1 = − (sì effetto contrazione!)     u ⎩ ⎭ γ u γu 1 − 0 ⋅ 2 c v v1 f ( β 1 ) − 1 f ( β 2 ) = 0 γu β 1 →0 f ( β2 ) f ( β1 ) = −−−−−−−−−−−−→ 1 γu (caso non relativistico) f ( β) = γ 26

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

27

È interessante notare come l’ultimo risultato ricavato abbia valenza del tutto generale. L’espressione della quantità di moto diventa dunque la seguente:

p = m0 v f ( β v ) = m0 vγ = m0 v √

1 v2 1− 2 c

= mv

... e si conserva!!

Se ora proviamo a scrivere la famosa F = ma ecco che otteniamo una relazione fra la massa formulata in senso classico e quella formulata in senso relativistico.

⎧ dv   = ma (meccanica classica) m   dt   ⎛ ⎞      ⎨ ⎜ ⎟ v dp d (mv) ⎟ m0 √ F≜ = = d⎜ ⎠ ⎝  dt dt v2   1 −  dv 1 1  c2   a = m0 √ = m0 √   2 dt dt  v v2  ⎩ 1− 2 1− 2 c c

Sviluppando i termini (m0 , ricordiamo, è la massa definita secondo la meccanica classica) secondo Taylor:

massa relativistica → m = m0 √

( ) )−0,5 ( v2 1 v2 1 v2 3 v4 = m0 1 − 2 = m0 1 + 2 + 4 + ... ≈ m0 + m0 2 2c 8c 2 c c v2 1− 2 c 1

Moltiplichiamo ora per c2 :

1 mc2 ≈ m0 c2 + m0 v2 2

Il primo termine (m0 c2 ) si riferisce all’energia ’a riposo’ del corpo (ovvero l’energia che serve per ’crearlo’), mentre il secondo ( 21 m0 v2 ) è un termine dovuto all’energia cinetica. Il risultato più notevole sta nel fatto che queste relazioni fissano un dualismo massa/energia impensabile fino ai tempi di Einstein: massa e energia sono due facce della stessa medaglia ed è possibile stabilire rapporti quantitativi tra l’una e l’altra entità.

Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

Inoltre, l'energia (relativistica) di un corpo cresce al crescere della sua velocità, e dalla nostra equazione vediamo che all'aumentare della velocità cresce anche la massa (ad esempio i muoni che viaggiano al 99,9% della velocità della luce sono molto più pesanti dei loro omologhi stazionari). Ma più un corpo diventa pesante, più è dicile aumentarne la velocità: la massa cresce senza limiti all'avvicinarsi della velocità della luce, quindi ci vorrebbe una quantità innita per raggiungere il 100%. Questo è naturalmente impossibile, e quindi nulla più andare più veloce della luce. 27

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

28

Scrivendo l’espressione del lavoro nel caso relativistico, possiamo infine giungere alla relativa formulazione del teorema delle forze vive4 : d v dt (mv) |{z} |dt {z }

dL = F ⋅ dr =

F

(

)

dr

(

) ( ) 2m ⋅ dL = 2m ⋅ v ⋅ d (mv) = d m2 v2 = d m2 c2 − m20 c2 = c2 ⋅ d m2 = 2mc2 ⋅ dm 2m ⋅ dL = 2mc2 ⋅ dm ( ) dL = c2 ⋅ dm = d mc2 Ora possiamo finalmente integrare per ottenere il lavoro complessivo:

L AB =

∫B

( ) d mc2 = m B c2 − m A c2 = m0 c2 (γB − γ A ) = ∆E

A

Teorema delle forze vive relativistico Questo teorema ha valenza generale e, se ci riportiamo al caso non relativistico, conduce al teorema delle forze vive ’Newtoniano’ (lavoro applicato sul corpo = variazione dell’energia cinetica).

2.6

Quadridimensionalità e concetto di evento

Nel paragrafo 2.4 abbiamo accennato al fatto che possiamo considerare il tempo come quarta coordinata; formalizzato questo concetto è opportuno ragionare in termini di eventi, ognuno dei quali è individuabile mediante un quadrivettore: Quadrivettore evento → x = (ct, x, y, z) = (ct, r) Un quadrivettore v è una qualunque quaterna di grandezze fisiche (v0 , v1 , v2 , v3 ) che nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all’altro si trasforma tramite una trasformazione di Lorentz. Se effettuiamo il prodotto scalare fra due quadrivettori otteniamo un altro quadrivettore5 , ma nulla varia rispetto alle trasformazioni di Lorentz (si dice che il prodotto scalare è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz6 ): x1 ⋅ x2 = ct1 ct2 − r1 r2 La sottrazione fra due quadrivettori è invece la ’separazione’ (la distanza) fra due eventi: ∆x = x2 − x1 4 Fra

i vari passaggi si è sfruttato il fatto che m= √

m0 v2 c2 2)

1−

( v m2 1 − 2 c

= m20

m2 c2 = m20 c2 + m2 v2 Inoltre, si ricorda che dx = 2xdx e infine che m0 e c sono costanti. 5 Possiamo pensare allo spazio fisico quadridimensionale come ad uno spazio dotato di una metrica non definita positiva, in cui il prodotto scalare viene ottenuto sottraendo al prodotto delle componenti temporali i prodotti delle componenti spaziali. A questo spazio viene dato il nome di spazio di Minkowsky, in onore del matematico che per primo formalizzò la teoria di Einstein. 6 Gruppo di Lorentz: è costituito da tutte le trasformazioni che lasciano invariato il prodotto scalare tra due quadrivettori. Le trasformazioni elementari che formano il gruppo sono date dai tre passaggi a sistemi di riferimento in moto lungo gli assi ( x, y, z) più le tre rotazioni intorno agli assi stessi: alle prime tre trasformazioni, dette anche trasformazioni di Lorentz proprie, viene dato il nome di spinte o boost. Una qualunque combinazione di queste sei trasformazioni appartiene al gruppo. Una qualsiasi trasformazione del gruppo può essere scritta come una rotazione, seguita da una spinta lungo l’asse x, seguita da una nuova rotazione.

28

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

29

Facendo il modulo quadro di questa quantità (ovvero moltiplicandola scalarmente per sé stessa) otteniamo il cosiddetto intervallo fra due eventi: s2 = ∆x ⋅ ∆x = (ct1 − ct2 )2 − (r1 − r2 )2 Se: ∙ s2 > 0 [che equivale a dire che (ct2 − ct1 )2 > (r1 − r2 )2 ] → esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono in istanti diversi ma nello stesso luogo: una persona può quindi assistere all’evento 1, e poi spostarsi in modo da essere presente anche all’evento 2, questo perché la distanza fra i due punti è più piccola di quella che la luce può percorrere nel tempo t2 − t1 . Si dice che i due eventi sono separati temporalmente: tra di essi può esistere un rapporto di causa ed effetto. Si parla quindi di intervallo di tipo tempo; ∙ s2 < 0 → esiste √ un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono contemporaneamente a distanza d = −s2 : nessun viaggiatore, per quanto rapido (neanche la luce!), potrà essere presente contemporaneamente ai due eventi. I due eventi non possono essere collegati da un rapporto di causa-effetto (esempio: se il sole a un certo punto esplodesse, ce ne accorgeremmo solo circa 8 minuti dopo, perché la luce relativa all’evento deve avere tempo di viaggiare fino a noi). Si parla quindi di intervallo di tipo spazio; ∙ s2 = 0 → la distanza temporale tra di due eventi è pari al tempo necessario ad un fotone per percorrere la distanza spaziale fra essi: quindi è possibile ad un fotone partire dal punto 1 all’istante t1 e giungere al punto 2 all’istante t2 . Si dice che due eventi comunicano fra loro attraverso un ’segnale’ che viaggia alla velocità della luce. Quanto detto può essere ritrovato in figura 2.10. Il confine del cono corrisponde alla velocità della luce; un evento che avviene fuori dal cono non può essere visto - in un determinato istante - dall’interno del cono stesso (tuttavia si potranno avere notizie dell’evento successivamente).

Figura 2.10:

Il grafo degli eventi.

29

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

30

2.6.1

Cinematica nell’universo quadridimensionale

La locazione di un evento viene identificata col quadrivettore posizione: x (t) = (ct, r (t)) L’intervallo corrispondente ad uno spostamento infinitesimo sarà pari a: dx (t) = (c ⋅ dt, v (t) ⋅ dt) ⇒ ) ( ( ) v2 ⇒ inervallo: ds2 = (c ⋅ dt)2 − (v (t) ⋅ dt)2 = c2 dt2 − v2 dt2 = c2 dt2 1 − 2 = c2 dt2 1 − β2 c Nel sistema di riferimento solidale col punto, invece, sussisterà il cosiddetto tempo proprio τ tale per cui7 : ds2 = c2 dτ 2 Siccome l’intervallo è invariante, possiamo uguagliare: ( ) c2 dτ 2 = c2 dt2 1 − β2 = c2 dt2 − β2 c2 dt2 dτ 2 = dt2 − β2 dt2 dτ 2 < dt2

(dilatazione dei tempi) Da qui il famoso paradosso dei gemelli: un gemello parte dall’origine e vi ritorna dopo un tempo t1 misurato dal gemello sedentario. Per il viaggiatore è trascorso un tempo τ1 che, rispetto al tempo misurato dal sedentario vale: τ1 =

∫τ1 0

dτ =

∫t1

1 √

0

1 − β2

dt =

∫t1 0

t 1 dt = 1 < t1 !!! γ γ

Quindi il gemello viaggiatore sarà più giovane del gemello sedentario! Non per questo, tuttavia, sarà più longevo del suo ormai più anziano fratello: egli avrà infatti semplicemente ’vissuto di meno’. A differenza di quanto accade per il vettore posizione ordinario (che è la parte spaziale del quadrivettore posizione), la velocità ordinaria non è la parte spaziale di un quadrivettore! Si definisce quadrivelocità il rapporto (tra quadrivettore quadriscalare): ( ) cdt vdt dx (cdt, vdt) / / , / u= = = = (γc, γv) dτ dt γ dt γ dt γ La quadriaccelerazione si ottiene in modo simile: quadrivelocità

z }| { du (d (γc) , d (γv)) / = = ... a= dτ dt γ

2.6.2

Dinamica nell’universo quadridimensionale

Poco fa abbiamo visto che la quantità di moto e l’energia possono essere in senso relativistico scritti come: p = m0 γv E = mc2 = m0 γc2 Ebbene si ha che queste sono rispettivamente la parte spaziale e temporale del quadrivettore energiaimpulso, ottenuto moltiplicando per m0 la quadrivelocità! ( ) E p¯ = m0 u = (m0 γc, m0 γv) = ( p0 , p) = ,p c 7 In sostanza il calcolo è lo stesso fatto in precedenza, ma questa volta non si tiene conto delle variazioni di r in quanto, essendo noi perfettamente solidali con il punto, vediamo quest’ultimo immobile.

30

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

31

Cercando ora il modulo quadro del nostro vettore8 : ( )2 m0 γc2 E2 2 − (m0 γv)2 = m20 γ2 c2 − m20 γ2 v2 = m20 γ2 c2 − m20 γ2 v2 = m2 c2 − m2 v2 = m20 c2 p¯ = 2 − p = c c2 | {z } | {z } 2

m2

m2

Dalla formula appena scritta e dalle definizioni possiamo ricavare due relazioni: ⎧ 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4   E − p c = m0 c ⇒ E = m0 c + p c ⎨ 2 E m0 γc2 E p¯ 2 = 2 − p2 = m20 c2 ⇒ p = m γv = v =v 2  c 0  c2 c ⎩ | {z } definizione

Se ora facciamo in modo che m0 = 0. . . ⎧ m0 =0  ⎨ E2 = m20 c4 + p2 c2 −−− → E = pc E = pc p E p  ⎩ p = v −−−→ v ⇒ p = v ⇒ v = c !! 2 c c c Quindi, se esistono portatori di energia/impulso privi di massa (m0 = 0), questi debbono avere velocità v = c. Partendo infine dalla seguente derivata invariante è possibile arrivare a definire la quadriforza F: d p¯ dτ

F=

2.7

Equazioni di Lorentz ed elettromagnetismo

Si può dimostrare (ma qui non lo faremo), che le leggi dell’elettromagnetismo classico, una volta ridefinite e rielaborate in modo da riassumerle tutte quante in una singola notazione, sono invarianti rispetto alle equazioni di Lorentz (quindi anche l’elettromagnetismo lo è!). In questo paragrafo, invece, risolveremo un paradosso mica da ridere; si veda la figura 2.11: in essa si vede un elettrone in moto (con velocità v0 ) che subisce il campo magnetico prodotto da un filo in cui sta scorrendo corrente. Il paradosso sta nel fatto che, se guardiamo il tutto da un sistema di riferimento in cui la carica è ferma, non dovremmo notare la forza di tipo magnetico che invece è presente (la forza magnetica si genera da un movimento di cariche, mentre quella carica è ferma, perdindirindina!).

Figura 2.11:

8 Si

Schema del paradosso da disciogliere

ricorda quando detto in una nota poco fa, e cioè che: m= √

m0 v2 c2 2)

1−

( v m2 1 − 2 c

= m20

m2 c2 = m20 c2 + m2 v2

31

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

32 Il campo magnetico prodotto presso la carica è pari a: B=

µ0 i 2πr

Supponiamo che il filo (elettricamente neutro) abbia una densità volumetrica di carica pari a ρ = ρ− = ρ+ =

Q Q = LS V

in cui Q è la quantità di carica e V è un certo volume determinato moltiplicando L per la sezione S. Facendo l’ipotesi che S sia la superficie di una sezione del filo, abbiamo che la corrente che vi scorre è pari a: i = ρv0 S A questo punto abbiamo tutti gli estremi per calcolare la forza F che agisce sull’elettrone: F = q ∣v0 × B∣ = qv0 B = qv0

µ0 ρv0 S q = µ0 ρv20 S 2πr 2πr

Poniamoci ora nell’altro sistema di riferimento (solidale con la carica mobile), cercando di salvare il fatto che, se una carica è ferma, non subisce una forza magnetica (e tuttavia si avvicina al filo!): l’unica soluzione è che il campo presente sia elettrico e non magnetico, ma perché questo accada dev’essere che ρ+ ∕= ρ− e ciò sempre impossibile che accada. . . e invece è proprio così! Come facciamo quadrare i conti? Calcoliamo la densità di carica dal punto di vista del sistema solidale con la carica mobile: ρ′+ =

Q L′+ S′

=

ρ LS ρ ρ V ⎞ = ⎛√ + ⎞ = ⎛√ + ⎞ ⎛√ + v2 v2 v2 ⎝ 1− 0⎠ L ⎝ 1 − 20 ⎠ S L ⎝ 1 − 20 ⎠ S c c c2

Come si vede, solo L viene modificata secondo le trasformazioni di Lorentz, in quanto S giace sul piano perpendicolare a v0 e dunque non subisce alcun effetto relativistico. Facciamo la stessa cosa con ρ− , tenendo conto che questa volta il fattore correttivo di Lorentz va diviso e non moltiplicato (le cariche negative si spostano in un verso mentre la carica positiva, per dualità, dall’altro): √ ρ′−

Q = ′ ′ = L− S

ρ− LS L √

= ρ−

1−

S

v20 < ρ′+ c2

v2 1 − 20 c

Calcoliamo ora la carica totale: ⎛ ′

ρ =

ρ′+

− ρ′−

⎞

⎜ ⎜ 1 = ρ0 ⎜ − ⎜√ ⎝ v20 1− 2 c

√

⎛

⎞ 2 v v20 ⎟ ⎜1 − 1 + 0 ⎟ 2 ⎜ v ⎟ c2 ⎟ ⎟ = ρ0 √ c2 1 − 20 ⎟ = ρ0 ⎜ ⎜ √ ⎟ c ⎟ ⎠ ⎝ v20 ⎠ v2 1− 2 1 − 20 c c

Ora è possibile ricavare la forza che il filo (non più neutro, ma carico!) esercita sulla carica. Chiamando λ la carica per unità di lunghezza si ha:

F′ =

q λ q = 2πε 0 r 2πε 0

v20 2 q S = ρ0 √ c r 2πε 0 r v2 1 − 20 c

ρ′ S

32

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA Ricordando ora che

33

1 1 = c2 ⇒ = c2 µ0 ε 0 µ0 ε0

e sostituendo: v20 v20 v2 2 2 q S q F 1 q S F′ = ⋅ = c2 µ0 ⋅ = = √ ρ0 √ c ρ0 √ c µ0 Sρ0 √ 0 ε 0 2π r 2π r 2πr v2 v2 v2 v2 1 − 20 1 − 20 1 − 20 1 − 20 c c c c Ecco quindi il legame fra le forze nei due sistemi di riferimento9 : un oggetto tridimensionale come la forza, si nota, non è invariante (al contrario dei quadrivettori)!

9 Lo

stesso legame poteva essere ottenuto applicando F=

dp dt

e considerando solo la direzione y.

33

CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

34

34

Capitolo 3

Analisi di Fourier 3.1

Elettromagnetismo e onde

L’analisi di Fourier ha un posto privilegiato nell’elettromagnetismo, in quanto facilita l’analisi delle grandezze ivi più comunemente diffuse (campi elettrico e magnetico, corrente, tensione, . . . ), e riveste grande interesse anche e soprattutto in campo ingegneristico. Vediamo di seguito alcune espressioni e relazioni che sono utili da scomporre secondo Fourier.

3.1.1

Equazione di D’Alembert

In assenza di cariche e di correnti ogni componente di E e B soddisfa l’equazione di D’Alembert, detta anche equazione d’onda:

∇2 f −

1 ∂2 f =0 c2 ∂t2

(nel vuoto)

Fra le sue soluzioni vi sono le funzioni d’onda, caratterizzate da una particolare dipendenza dalle coordinate spazio-tempo.

3.1.2

Onde piane

Figura 3.1:

Raffigurazione di un’onda piana

Le onde piane costituiscono un primo esempio di soluzione dell’equazione di D’Alembert. La loro forma analitica è la seguente: f (r, t) = f (r ⋅ uˆ ± vt) Geometricamente possono essere viste come il luogo dei punti in cui, all’istante t, f è costante ed è un ˆ con velocità v (c nel vuoto). piano: tale piano si sposta nel tempo, lungo la direzione u, 35

CAPITOLO 3. ANALISI DI FOURIER

36

Onda sferica

Figura 3.2:

3.1.3

Onde sferiche

Le onde sferiche, aventi forma analitica f (r, t) =

f (r ± vt) r

sono un’altra possibile soluzione dell’equazione di D’Alembert; il luogo dei punti in cui, all’istante t, f è costante, è in questo caso una superficie sferica centrata nell’origine del sistema di riferimento come mostrato in figura 3.2. Tale superficie si espande (o si contrae) nel tempo con velocità v; inoltre l’intensità del campo F, soluzione dell’equazione di D’Alembert, in un punto di tale superficie, varia come 1/r.

3.1.4

Onde monocromatiche (o armoniche) e teorema di Fourier

Figura 3.3:

Onde armoniche

Costituiscono un’ulteriore soluzione dell’equazione di D’Alembert e hanno la seguente forma: ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ω ⎟ ⎢ ⎜ ⎥ f (r, t) = A cos ⎝|{z} k ⋅r − ωt + δ⎠ = A cos ⎣k ⎝u ⋅ r − t⎠ + δ⎦ = A cos [k (u ⋅ r − vt) + δ] k |{z} =k⋅u v

Le grandezze caratteristiche dell’onda sono: ⎧ 1 1 2π   periodo T = = =   ω (pulsazione) ν frequenza     ω ⎨ k= 2π 2π v lunghezza d’onda λ = − −−v→ v = vT = (k = numero d’onda)    k ω ν    k   ⎩ pulsazione ω = kc = √ (c = velocità della luce = velocità di fase nel vuoto) µ0 ε 0 36

CAPITOLO 3. ANALISI DI FOURIER

37

Come mostrato in figura 3.3, le onde armoniche hanno la proprietà di avere forma sinusoidale sia nello spazio che nel tempo. Le onde armoniche sono l’ingrediente principale del teorema di Fourier, che afferma che ogni perturbazione elettromagnetica fisicamente realizzabile può essere rappresentata come sovrapposizione di onde armoniche.

3.2

Sviluppo in base ortonormale

Sia dato un insieme di funzioni Un ( x ), con n = 1, 2, 3, ... definite per la variabile x appartenente all’intervallo ( a, b). Tali funzioni, reali o complesse, costituiscono un insieme ortonormale (ortogonale normalizzato) se: Prodotto scalare fra funzioni →

∫b

{ Un∗

( x ) Um ( x ) dx = δnm =

0 se n ∕= m 1 se n = m

a

Quindi, data una qualunque funzione f ( x ), reale o complessa, definita in ( a, b) e quadrato sommabile in questo intervallo (cioè l’integrale del suo quadrato è finito), possiamo chiederci se è possibile trovare una serie lineare delle funzioni ortonormali Un ( x ) che approssimi sufficientemente bene la funzione f ( x ). N

∑ an Un (x) ≈

f (x)

n =1

La difficoltà sta nel trovare i coefficienti an che meglio approssimano la funzione: il criterio usato per ricavarli è quello di minimizzare la differenza fra la funzione vera e propria e quella ottenuta tramite la serie di funzioni. scarto =

a

=

∫b

2 ( )( )∗ ∫b N N N f ( x ) − ∑ an Un ( x ) f ( x ) − ∑ am Um ( x ) dx = f ( x ) − ∑ an Un ( x ) dx = n =1 n =1 m =1

∫b

a

∗

2

∣ f (x) ∣ − f (x)

(

N

∑ an Un (x) − f (x) ∑

(

+

am Um ( x )

N

∑ an Un (x)

)(

n =1

m =1

n =1

a

)∗

N

)∗

N

∑

am Um ( x )

dx

m =1

Facendo la derivata rispetto ad an e ponendola uguale a zero per trovare il punto di minimo: ∂scarto = ∂an

=

∫b

∫b

( ∗

− f ( x ) Un ( x ) {z } |

+Un ( x )

a∗n

− f ( x ) Un ( x ) +

Un∗ |

a

dx =

( x ) Un ( x ) {z } {z

am Um ( x )

dx =

∫b

− f ∗ ( x ) Un ( x ) dx + a∗n = 0

a

l’integrale di questo fa 1

|

∑

m =1

a sopravvive questo term. della Σ

∗

)∗

N

}

la sommatoria dà termini = 0 per m∕=n

Otteniamo quindi: a∗n

=

∫b

∗

f ( x ) Un ( x ) dx ⇒ an =

a

∫b

f ( x ) Un∗ ( x ) dx

a

È ragionevole pensare che più grande è N, meglio la serie approssimerà la funzione f ( x ). L’analisi matematica insegna infatti che la serie converge ad f ( x ) se, dato un e piccolo a piacere, esiste un certo N0 tale per cui lo scarto calcolato precedentemente si rivela essere più piccolo di e per N maggiore di N0 . Infine, se l’insieme ortogonale è completo, la somma di funzioni ortonormali restituisce un risultato esatto e non più approssimato. N

∑ an Un (x) =

n =1

37

f (x)

CAPITOLO 3. ANALISI DI FOURIER

38

Proviamo ora a sostituire l’espressione dei coefficienti1 nella sommatoria che serve a ricavare la f ( x ): ⎛ ⎞∗ ∫b ( ) ∫b ( ) ∞ ∞ ( ) ( ) an = f x ′ Un∗ x ′ dx ′ ⇒ f ( x ) = ∑ an Un ( x ) = ∑ ⎝ f x ′ Un∗ x ′ dx ′ ⎠ Un ( x ) = n =1

a

=

∫b a

[

∞

∑

n =1

a

] (

( ) ) ( ) Un∗ x ′ Un ( x ) f x ′ dx ′

n =1

Quest’uguaglianza è possibile solo se: ∞

∑

(

( ) ) ( ) Un∗ x ′ Un ( x ) = δ x ′ − x Delta di Dirac

n =1

La delta di Dirac servirà a filtrare (cioè a selezionare), di tutti i possibili valori che x ′ può assumere all’interno dell’integrale, esattamente x.

Figura 3.4:

3.3

Schema riassuntivo (funzioni ortonormali e insieme completo)

Serie di Fourier

Nella serie di Fourier le funzioni ortonormali utilizzate hanno la forma: 1 Uhseni ( x ) = √ sin (hx ) π 1 Uhcoseni ( x ) = √ cos (hx ) π Esse costituiscono, separatamente, due insiemi (cioè due basi ortonormali, vedi paragrafo 3.2) ma si dimostra che un insieme completo è costituito dall’unione di entrambi i tipi di funzione. In particolare, una funzione reale periodica, definita nell’intervallo (− a/2, a/2) (e negli intervalli contigui), può essere esattamente sviluppata in serie di Fourier: ⎧ Coefficienti:      ) (  ∫a/2   2 2πnx   ( ) ( )] dx f ( x ) cos ⎨ an = ∞ [ a0 2πnx 2πnx a a f (x) = + ∑ an cos + bn sin ⇐ − a/2  2 a a  n =1  ( )  ∫a/2   2 2πnx   b = f x sin dx ( ) n   a a ⎩ − a/2

Per generalità e comodità di notazione è possibile sfruttare la celebre identità di Eulero (vedi paragrafo 1.6) per raggruppare i due termini sinusoidali in un unico termine esponenziale: 2πnx 1 Un ( x ) = √ ei( a ) Base ortonormale a 1 Le

variabili x e x ′ distingue la variabile della funzione f rispetto a quella delle funzioni ortonormali.

38

CAPITOLO 3. ANALISI DI FOURIER

39

e scrivere: 1 f (x) = √ a

∞

∑

n=−∞

an e

i ( 2πnx a )

1 ⇐ Coefficiente: an = √ a

∫a/2

f ( x ) e −i (

2πnx a

) dx

− a/2

Con questa rappresentazione possiamo rappresentare qualunque funzione complessa periodica2 .

Figura 3.5:

Esempio: il dente di sega

È possibile sviluppare in serie di Fourier una funzione non periodica? Ciò significherebbe considerare un intervallo di definizione infinito per la funzione f ( x ). Senza pretesa di rigore, è ragionevole che la sommatoria dello sviluppo diventi in questo caso un integrale e che i coefficienti diventino continui. 1 f (x) = √ 2π

∫∞ −∞

a (k) e

ikx

1 dk ⇐ Coefficiente: a (k ) = √ 2π

∫∞

f ( x ) e−ikx dx

−∞

Quanto detto riguarda funzioni di una qualunque variabile x: in particolare può essere una coordinata spaziale o il tempo. In quest’ultimo caso per convenzione (nei testi di fisica) si inverte il segno dell’esponenziale immaginario. Perché tutta questa fatica? Si noterà che vi è una perfetta simmetria fra la variabile x e la variabile k e viene da pensare che, se siamo in grado di descrivere l’universo con formule in x, allora sarà possibile descrivere un universo parallelo dominato da k (che sarà il quadrivettore energia/impulso).

3.4

La delta di Dirac

Un veloce approfondimento sulla delta di Dirac: cos’è questa bestia? Non è una funzione, bensì una distribuzione la cui introduzione formale ha spianato la strada per lo studio della teoria delle funzioni generalizzate. Viene utilizzata per rappresentare approssimativamente fenomeni come i picchi alti e stretti di alcune funzioni o le loro discontinuità: è lo stesso tipo di astrazione che si fa per la carica puntiforme, la massa puntiforme, l’elettrone puntiforme, etc. . . Ha delle proprietà un po’ stravaganti: vale +∞ in un solo punto (altrove è sempre zero) mentre il suo integrale è 1. Gode inoltre della seguente proprietà: { ∫b ( ) ( ′) f ( x ) se x ∈ dominio di integrazione ′ ′ δ x − x f x dx = 0 altrimenti a

2 Il

caso reale si ottiene separando parte reale e parte immaginaria del caso complesso.

39

CAPITOLO 3. ANALISI DI FOURIER

40

Figura 3.6:

Riepilogo (trasformata di Fourier)

Possiamo provare a rappresentare la delta di Dirac come serie di funzioni o come sviluppo; con Fourier si ha: ∫K ∫∞ ( ) ′ 1 1 ik( x − x ′ ) lim eik( x− x ) dk = δ x − x ′ e dk = 2π k→∞ 2π −∞

−K

Volendo possiamo sfruttare un trucchetto matematico per trovarne una versione matematica particolare: ⎞ ⎛ [ ]K ∫K ∫K ( ) ( ) sin k ( x − x ′ ) ⎜ ik( x − x ′ ) ′ ′ ⎟ = e dk = ⎝cos k x − x + i sin k x − x ⎠ dk = (x − x′ ) {z } | −K −K

−K

funzione dispari

=2

( ) sin K ( x − x ′ ) = 2πδ x − x ′ (x − x′ )

Se grafichiamo il risultato otteniamo qualcosa che, per K → ∞, somiglia sempre più alla Delta di Dirac (vedi figura 3.7)!

Figura 3.7:

Generazione della Delta di Dirac

40

CAPITOLO 3. ANALISI DI FOURIER

41

Un altro possibile metodo prevede un passaggio al limite per la campana di Gauss √ ) ) ( ( a − a ( x − x ′ )2 ′ = δ x − x′ lim δa x − x = lim e a→∞ a→∞ π come mostrato in figura 3.8. L’integrale della campana di Gauss è unitario, ed ecco spiegato come mai la δ eredita tale proprietà.

Figura 3.8:

Generazione della Delta di Dirac (2)

41

CAPITOLO 3. ANALISI DI FOURIER

42

42

Capitolo 4

Onde 4.1

Generalità

Un’onda è una perturbazione (cioè una variazione rispetto alla configurazione di equilibrio di una o più grandezze caratteristiche di un sistema fisico) avente origine in una sorgente e che si propaga, nel tempo, attraverso lo spazio. Per mezzi non dispersivi la velocità di propagazione dell’onda dipende solo dalle caratteristiche del mezzo. Esistono vari tipi di onde: ∙ onde meccaniche: consistenti in oscillazioni del mezzo meccanico; ∙ onde elettromagnetiche (vedi capitolo 5): oscillazioni del campo elettromagnetico; ∙ onde di materia (vedi capitolo 7): oscillazioni della probabilità di presenza. NOTA: i fenomeni ondulatori non comportano il trasporto di materia: i costituenti del mezzo in cui si propaga l’onda oscillano intorno alla loro posizione di equilibrio. Si propagano invece l’energia, la quantità di moto e il momento della quantità di moto trasportati dall’onda. La perturbazione viene rappresentata dalla cosiddetta funzione d’onda: ξ ( x, y, z, t) = ξ (r, t)

4.2

Caso unidimensionale

La traslazione lungo l’asse x di un’onda che si propaga senza distorsione né attenuazione è descrivibile nel seguente modo1 : ⎧ segno + ⇒ onda progressiva       segno − ⇒ onda regressiva    ⎨ v ⇒ velocità di fase ξ ( x, t) = f (k ( x ± vt) + φ0 )  k ⇒ numero d’onda      kv = ω ⇒ pulsazione    ⎩ φ0 ⇒ fase iniziale Con riferimento alla figura 4.1, una perturbazione si dice: ∙ longitudinale: se f y = f z = 0; ∙ trasversale: se la componente f x dell’onda è nulla; 1 L’espressione

indicata è una possibile soluzione dell’equazione di D’Alembert: ∂2 f ∂2 f = v2 2 ∂t2 ∂x

Questa formula può essere scissa nelle componenti riferibili alle tre dimensioni x, y, z.

43

CAPITOLO 4. ONDE

44

Figura 4.1:

Riferimento tridimensionale

– polarizzata linearmente: se la perturbazione è trasversale e f y ∥ f z ; – polarizzata circolarmente: se la perturbazione è trasversale e l’estremo del vettore d’onda disegna un cerchio nel piano trasversale; – polarizzata ellitticamente: se la perturbazione è trasversale e l’estremo del vettore d’onda disegna un’ellisse nel piano trasversale.

4.3

Esempio: la fune

Figura 4.2:

44

La fune

CAPITOLO 4. ONDE

45

All’equilibrio la corda è tesa lungo l’asse x e quindi, chiamata y( x, t) la quota di un punto della fune ad ascissa x e al tempo t, si ha ∀ x e ∀t: y0 ( x, t) = 0 Risolvendo le equazioni del moto verticale di un tratto infinitesimo dx di corda si può dimostrare che lungo la corda si propaga una perturbazione trasversale con velocità di propagazione pari a2 : √ √ T Tensione della fune v= = µ Densità lineare di massa Questa relazione ha un’importante conferma nel calcolo della velocità della perturbazione; consideriamo infatti un sistema di riferimento solidale con la coordinata x del punto di massima perturbazione (vedi figura 4.3. Possiamo facilmente scrivere, per un tratto infinitesimo: Tx = T cos ϑ − T cos ϑ = 0 Ty = −2T sin ϑ Facendo un’operazione al limite per ϑ possiamo confondere il seno con il suo argomento e ottenere:

Figura 4.3:

Sistema di riferimento solidale con la coordinata x del punto di massima perturbazione

( lim Ty = − T (2ϑ )(radianti) = − T

ϑ →0

δl R

)

Se ora applichiamo l’arci-noto principio della dinamica (F = ma) otteniamo:

−T

( 2) δl v = δm ⋅ ay = µ ⋅ δl ⋅ − R R | {z } | {z } δm ay

2

T = µv √ T v= µ

4.4

Esempio: onde sonore

Nelle situazioni più normali il suono è un’onda longitudinale dovuta alla compressione dell’aria3 . Per calcolare la velocità di propagazione dell’onda possiamo agire similmente a come abbiamo fatto nel caso della corda tesa (vedi par. 4.3). 2 La

densità lineare di massa può essere scritta come µ=

3 Tuttavia

dm dx

si può definire onda acustica qualsiasi onda longitudinale, dovuta alla perturbazione di qualunque mezzo meccanico.

45

CAPITOLO 4. ONDE

46

Figura 4.4:

Colonna d’aria

Se consideriamo una piccola porzione del tubo sonoro in figura 4.4 (sia A la superficie perpendicolare a v) e calcoliamo la forza risultante, sfruttando la relazione che equipara tale forza alla pressione moltiplicata per la superficie, otteniamo: F = ( p + δp) A − pA = δpA Se chiamiamo ρ la densità volumetrica di massa del gas, e ricordando che δx = vδt, possiamo anche scrivere: δm = ρV = ρA ⋅ δx = ρAv ⋅ δt Inoltre:

A ⋅ δv ⋅ δt δv δV = = V Av ⋅ δt v Possiamo infine formulare l’accelerazione come a=−

δv δt

dove il segno meno è dovuto ai versi che abbiamo scelto. Mettendo insieme queste relazioni nell’ambito del solito principio della dinamica e semplificando: ⎞ ⎛ ) ( δv F = δp ⋅ A = ma = ⎝ρ ⋅ |δt{z⋅ v} A⎠ − δt | {z } δx | {z } F | {z } a m

δv δV δp = −ρv ⋅ δv = −ρv2 = −ρv2 v V Chiamando la quantità δV ρv2 δp V = ρv2 B≜− = δV δV V V modulo di compressibilità, otteniamo la seguente relazione: √ B v= ρ ESEMPIO:

Ricordando la termodinamica, per un gas perfetto si ha: ⎧ nRT  ⎨ pV = nRT ⇒ p = V ⇒ p = ρ nRT = ρ RT 1 ρ ρ  nM M ⎩ = = V m nM ργ B = γp = RT M

Quindi:

v u γρ √ u ⎷ M RT γ v= = RT ρ M 46

CAPITOLO 4. ONDE

4.5

47

Intensità d’onda

L’intensità d’onda (misurata in Watt/m2 ) misura l’energia media nel tempo che attraversa una superficie di area unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda4 . I=

∆E P = A ⋅ ∆t A

Volendo, possiamo mettere in relazione la velocità di propagazione dell’onda con l’intensità: I=

∆E ⋅ v ∆E ⋅ v = = uE v Atv V

dove u E è la ’densità volumetrica di energia’ (energia/volume). Supponendo che nell’aria contenuta all’interno di un tubo (vedi fig. 4.5) si stia propagando un’onda sonora del tipo s( x, t) = sm cos(kx − ωt) si ha (omettendo la dimostrazione) che l’intensità I è pari a: I=

1 2 2 ρω sm v = u E v 2

Come si nota, l’intensità è proporzionale a s2m I ∝ s2m

Figura 4.5:

4.6

Schema delle zone di massimo e di minimo della pressione

Onde piane monocromatiche

Per questo tipo di onde si veda il paragrafo 3.1.4.

4.7

Relazione di dispersione e velocità di gruppo

La velocità di propagazione dipende solo dalle caratteristiche del mezzo (elasticità, densità, . . . ): questo, tuttavia, può reagire in diversi modi alle frequenze alle quali viene sollecitato. In tal caso si parla di mezzo dispersivo e si avranno velocità di fase diverse per diverse frequenze, perché la relazione di dispersione non è lineare. Ha quindi senso chiedersi quale sia la velocità di un ’gruppo’ o ’pacchetto’ di onde in un mezzo dispersivo? La risposta è affermativa, ma solo per determinate situazioni (come ad esempio nel caso dei battimenti, vedi par. 4.7.1). 4 Ovvero,

potenza media per unità di area con la quale l’energia è trasmessa dall’onda

47

CAPITOLO 4. ONDE

48

4.7.1

Battimenti

Si verifica quando si ha una somma di onde progressive/regressive con pulsazione e lunghezza d’onda leggermente diverse tra loro (supponiamo per ipotesi che siano ω1 e ω2 , con ω1 > ω2 ). Il risultato di questa interferenza, se prendiamo in considerazione l’esempio ’acustico’, è la generazione di un suono avente pulsazione pari a ω1 − ω2 . Un luogo e un momento in cui i battimenti si possono sentire chiaramente è l’accordatura dei vari strumenti di un’orchestra a partire dal la del diapason o del violino solista. In questo caso le note di ogni strumento, all’inizio, saranno vicine al la ma non esattamente coincidenti. Questa differenza viene percepita dai musicisti come battimento: per accordare, ogni strumentista modula la tensione della corda (o la lunghezza del tubo sonoro) fino a quando il battimento non viene più percepito. In tal caso le frequenze delle note sono identiche e l’accordatura sarà corretta5 . Per il suono generato dal fenomeno dei battimenti, supponendo che l’interazione sia fra onde armoniche di uguale ampiezza A, si ha la seguente espressione analitica: f = 2A cos (k s x − ωs t) sin (k m x − ωm t) con

⎧ ⎧ k − k2 k + k2   ⎨ ks = 1 ⎨ km = 1 2 2 ω − ω ω + ω2   2 1 1 ⎩ ωs = ⎩ ωm = 2 2 L’equazione si può interpretare come un’onda sinusoidale progressiva, che si propaga con velocità di fase vm =

ωm km

e la cui ampiezza varia da punto a punto (nonché istante per istante) secondo la legge AS = 2A cos (k s x − ωs t) Se le pulsazioni ω1 e ω2 sono circa uguali, e se il mezzo non è dispersivo, la componente ’a pedice s’ è quella che determina la cosiddetta velocità di gruppo vg =

ωs ks

dei ’pacchetti’ d’onda che si vengono a formare in seguito ai battimenti (come mostrato in figura 4.6).

Figura 4.6:

4.8

Battimenti e ’pacchetti’ d’onda

Onde stazionarie

Si verifica quando si ha una somma di onde progressive e regressive che si propagano nello stesso mezzo e con la stessa frequenza. } f 1 ( x, t) = A sin (kx − ωt) ⇒ f 1 + f 2 = f = 2A sin (kx ) cos (ωt) f 2 ( x, t) = A sin (kx + ωt) 5 Questo principio sta dietro un’altra applicazione musicale, il terzo suono di Tartini, scoperto appunto dal Tartini nel ’700. Il celebre violinista constatò infatti che, suonando due note con rapporto di frequenze 3/2, si sentiva al basso un’altra nota la cui frequenza corrispondeva a un numero di vibrazioni pari alla differenza fra quelle dei due suoni originari. Così, ad esempio, se un suono aveva 900 vibrazioni e l’altro 600, il suono ulteriore che si sentiva aveva 300 vibrazioni al secondo ed era, quindi, di un’ottava più grave. Il fenomeno del terzo suono trova una sua applicazione pratica nella costruzione degli organi: talvolta, invece di costruire canne enormi per frequenza molto basse si creano registri in cui due canne a distanza di quinta suonano contemporaneamente creando l’illusione di un terzo suono più profondo.

48

CAPITOLO 4. ONDE

49

Il risultato è un’onda, in quanto soddisfa l’equazione di D’Alembert, ma la dipendenza non è del tipo (kx − vt): non è infatti un’onda in moto ma è stazionaria (come per tutte le onde ogni punto oscilla verticalmente sulla sua posizione di equilibrio, ma in questo caso l’onda non pare proprio spostarsi!). L’esempio più facile al quale si può pensare è quello di una corda alla quale vengono impresse due perturbazioni: ∙ se la corda è fissa ad un estremo la perturbazione riflessa cambia segno. Nell’interferenza di onde riflesse, l’estremo fisso rappresenta un nodo; l’interferenza genera onde stazionarie solo per alcune frequenze (frequenze di risonanza, tali per cui la lunghezza della corda è un multiplo dispari di un quarto lunghezza d’onda): L=n frequenza → ν =

λ 4

v v = n (n dispari) λ 4L

∙ se, viceversa, si ha un ’vincolo morbido’ ad un estremo (la corda è anche lì libera di oscillare), la perturbazione conserva il segno. Nell’interferenza di onde riflesse, tale vincolo è un ventre. Valgono le frequenze di risonanza del caso precedente; ∙ se abbiamo un vincolo rigido ad entrambi gli estremi, solo per alcune frequenze (frequenze di risonanza, tali per cui la lunghezza della corda è un multiplo di una mezza lunghezza d’onda) L=n ν=

λ 2

v v = n (n qualunque) λ 2L

l’interferenza genera onde stazionarie; ∙ se abbiamo un vincolo morbido ad entrambi gli estremi valgono le frequenze di risonanza del caso precedente.

4.9

Interferenza

Si verifica quando si ha una somma di onde progressive/regressive con la stessa pulsazione, con la stessa lunghezza d’onda, ma con una differenza di fase costante nel tempo (sorgenti coerenti).

Figura 4.7:

Schema di riferimento per l’interferenza

Molto lontano dalle sorgenti (puntiformi) le onde sono approssimabili da onde piane (piuttosto che sferiche). Con riferimento alla figura 4.7, se le due sorgenti generano onde armoniche con la stessa ampiezza A si ha: ξ 1 = A1 sin (kr1 − ωt + φ1 ) ξ 2 = A2 sin (kr2 − ωt + φ2 ) 49

CAPITOLO 4. ONDE

50

In un punto P dello spazio, la perturbazione sarà la somma delle perturbazioni generate dalle due sorgenti ξ ( P) = ξ 1 + ξ 2 Se le fasi iniziali sono nulle, o se la differenza di fase iniziale φ2 − φ1 tra le due sorgenti rimane costante nel tempo, la sola differenza di fase che può nascere è dovuta alla differenza dei cammini delle due onde. Le due perturbazioni giungeranno in fase al punto P dello spazio (e quindi vi sarà in P interferenza costruttiva) se la differenza di percorso è: r1 − r2 = nλ ⇒ k (r1 − r2 ) =

2π ⋅nλ = 2πn λ |{z} k

Nei punti in cui si ha interferenza costruttiva avremo, com’è prevedibile, massimi di radiazione (frange chiare). Avremo invece interferenza distruttiva se la differenza di percorso è: r1 − r2 = (2n + 1)

λ λ 2π ⋅ (2n + 1) = π (2n + 1) ⇒ k (r1 − r2 ) = 2 λ 2 |{z} k

Nei punti in cui si ha interferenza distruttiva avremo, com’è prevedibile, minimi di radiazione (frange scure). Il generico sfasamento sarà invece pari a: k (r1 − r2 ) =

2π (r − r2 ) = δ λ 1

La presenza di massimi e di minimi di radiazione è la causa delle cosiddette ’frange di interferenza’. Volendo fare uso dei fasori, queste sono le espressioni delle due onde f 1 = Im F1 = Im A1 ei(kx−ωt) f 2 = Im F2 = Im A2 ei(kx−ωt) eiδ e questa l’espressione della loro somma nel punto P (in figura 4.8 possiamo vederne la rappresentazione cartesiana) f = f 1 + f 2 = Im F = Im ( F1 + F2 ) = ∣ F ∣ sin (kx − ωt + α) dove ∣ F ∣ può essere trovando facendo uso del teorema di Carnot:

∣ F∣ =

√

A21 + A22 + 2A1 A2 cos δ

L’intensità dell’onda (vedi paragrafo 4.5) avrà forma: 1 I = ρω 2 vs2m ∝ 2

{

F2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos δ A2

Se supponiamo che A1 = A2 = A: F2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos δ = A2 + A2 + 2A A cos δ = 2A2 (1 + cos δ) √ δ F = 2A2 (1 + cos δ) ≈ 2A cos 2 L’intensità, in questo caso, sarà pari a: I=

F2 δ I0 = 4I0 cos2 2 A2 50

CAPITOLO 4. ONDE

51

Figura 4.8:

Schema interferenza

dove I0 è l’intensità dell’onda generata da una sola delle due sorgenti. Se poniamo lo sfasamento pari a6 ( ) 2π 2π δ= d sin ϑ (∣ F1 ∣ − ∣ F2 ∣) ≈ λ | λ {z } ≈d sin ϑ

l’intensità diventa: I = 4I0 cos2

(π

d sin ϑ

)

λ L’andamento sinusoidale dell’intensità (vedi figura 4.9) sottolinea ancora una volta quale sia l’origine delle frange di interferenza.

Figura 4.9:

4.10

Andamento dell’intensità di radiazione

Diffrazione

La diffrazione è un fenomeno fisico associato alla deviazione della traiettoria delle onde (come anche la riflessione, la rifrazione, la diffusione o l’interferenza) quando queste incontrano un ostacolo sul loro cammino. È tipica di ogni genere di onda, come il suono, le onde sulla superficie dell’acqua o le onde elettromagnetiche come la luce o le onde radio; la diffrazione si verifica anche nelle particolari situazioni in cui la materia mostra proprietà ondulatorie, in accordo con la dualità onda-particella (vedi capitolo 7). Nel 6 Si

sfrutta l’ipotesi che il punto P sia molto lontano dalle sorgenti.

51

CAPITOLO 4. ONDE

52

caso ottico, gli effetti della diffrazione sono però rilevanti quando la sorgente di luce è puntiforme (cioè quando può essere assimilata ad una singola sorgente di onde sferiche) e quando l’ostacolo (o l’apertura in uno schermo opaco) è piccolo, in un senso non facile da definire ma che si intuisce facilmente.

Figura 4.10:

Diffrazione

Figura 4.11:

Diffrazione

La diffrazione può venire intuitivamente intesa come una ’richiesta di continuità’ da parte del fronte d’onda che subisce una discontinuità dal bordo (o dai bordi) di un ostacolo. Esaminiamo le figure 4.10 e 4.11: oltre la fenditura il fronte d’onda incidente è tagliato dai due bordi e la parte di fronte d’onda contigua a ciascun bordo ’piega’ attorno al bordo stesso fornendo così una perturbazione continua, come se l’ostacolo diventasse una sorgente (fittizia) di un’onda a simmetria cilindrica che si sovrappone sia all’onda trasmessa secondo le leggi dell’ottica geometrica sia, ovviamente, all’altra onda di bordo. Secondo la chiave di lettura del principio di Huygens (vedi paragrafo 4.10.1), il fronte d’onda incidente è l’inviluppo 52

CAPITOLO 4. ONDE

53

di onde elementari sferiche le cui le sorgenti (fittizie) sono lungo i punti della fenditura. L’inviluppo di tali onde sferiche in prossimità del bordo si propaga dando luogo ai nuovi fronti d’onda successivi.

Figura 4.12:

Pattern della diffrazione

Nell’esempio effettuato con onde e.m. nello spettro del visibile, il risultato è quello in figura 4.12. Si noti la presenza di frange chiare e scure corrispondenti a massimi e minimi di radiazione (vedi anche paragrafo 4.9). Nella diffrazione da singola fenditura le frange chiare si producono laddove la differenza di cammino tra i raggi provenienti dagli estremi della fenditura sono multipli di λ (anche per questo fai riferimento al paragrafo 4.9). Al diminuire di λ, quindi, le frange si avvicinano fra loro. Quanto detto fin’ora è valido per un’unica fenditura; volendo si può ripetere l’esperimento introducendo una seconda fenditura (vedi figura 4.13): in tal caso si ha una combinazione fra l’effetto dell’interferenza fra le due radiazioni (ciascuna proveniente dalla sua fenditura) e l’effetto della diffrazione.

Figura 4.13:

4.10.1

Pattern della diffrazione con doppia fenditura

Principio di Huygens e legge di Snell (in breve)

Il principio di Huygens recita così: i punti di un fronte d’onda fungono da sorgenti puntuali di onde elementari sferiche secondarie aventi la stessa frequenza dell’onda principale. Dopo un tempo t la nuova 53

CAPITOLO 4. ONDE

54

posizione del fronte d’onda è rappresentata dalla tangente superficiale a queste onde secondarie. Tale principio costituisce uno strumento di calcolo molto utile, in quanto consente di determinare direttamente il fronte d’onda ad un certo istante una volta noto quello ad un qualsiasi istante precedente (o successivo). Inoltre, grazie ad Huygens, il calcolo della figura di interferenza prodotta dalla convoluzione delle onde sferiche secondarie è possibile sia quando l’onda si propaga liberamente, sia quando essa viene limitata da un ostacolo impenetrabile; dunque, il nostro principio è utilizzabile nella determinazione degli effetti di diffrazione prodotti da uno schermo su una radiazione.

Figura 4.14:

Schema del principio di Huygens

La legge di Snell è una formula che descrive le modalità di rifrazione di un raggio luminoso nella transizione tra due mezzi con indice di rifrazione diverso. Con riferimento alla figura 4.15, in base alla legge di Snell si ha che: n1 sin ϑ1 = n2 sin ϑ2 Il parametro n è l’indice di rifrazione e ha forma n=

c v

dove c è la velocità della luce nel vuoto e v la velocità della luce nel mezzo avente indice di rifrazione, appunto, n. Il principio di Snell è alla base dei fenomeni della rifrazione e della riflessione.

Figura 4.15:

Schema della legge di Snell

54

Capitolo 5

Onde elettromagnetiche 5.1

Equazioni di Maxwell

Sarebbe stato strano che un capitolo sulle onde elettromagnetiche non iniziasse con le Equazioni di Maxwell, perciò. . . eccole qui. ⎧ ∫∫ Q   E ⋅ dS = interna a Σ   ε0   Σ   ∫∫     B ⋅ dS = 0    ⎨

⎧ ρ  ∇⋅E =    ε0      ∇ ⋅ B = 0 ⎨

Σ

Σ superficie chiusa

⇔ ∫∫ ∂B dΦ B   ∇×E = −   E ⋅ dr = −   ∂t     ( ) dt     ∂E Γ     ( )  ⎩ ∇ × B = µ0 J + ε 0 ∫ ∫   dΦ E ∂t   B ⋅ dr = µ I + ε 0 0  ⎩ dt Γ

La presenza di cariche elettriche nella materia contribuisce a determinare il campo elettrico e il campo magnetico macroscopici all’interno di un mezzo materiale, assieme alle (eventuali) sorgenti esterne costituite da fissate distribuzioni di cariche e di correnti. In particolare, in un mezzo materiale, lineare, isotropo e omogeneo si hanno i seguenti vettori di induzione elettrica e induzione magnetica: P = ε0

χ |{z}

E ∝ E ⇒ D = ε 0 E + P = |{z} ε E ε 0 (1+ χ )

suscettività el.

M=µ

χm |{z}

B∝B⇒H=

suscettività magn.

5.2

B −M = µ0

µ H |{z}

µ0 (1+ χ m )

Potenziale vettore

Il potenziale vettore A è l’entità in grado di riassumere in sé campo magnetico e campo elettrico. Le relazioni fra queste quantità e il potenziale vettore sono infatti: B = ∇×A E = −∇φ −

∂A ∂t

Il campo B è ottenuto facendo il rotore di A, mentre il campo E viene ricavato a partire dal gradiente di un campo scalare ϕ e dalla derivata temporale di A. Le quantità A e ϕ hanno un certo margine di ambiguità perché non sono univoche: scelta una funzione c(r, t) arbitraria, qualunque coppia ( A′ , φ′ ) è 55

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

56

legata a ( A, φ) da queste equazioni (trasformazioni di gauge)1 : ∂χ ∂t A′ = A + ∇χ φ′ = φ −

dà origine agli stessi campi E e B. Se quindi possiamo giocare sulle trasformazioni di gauge, perché non prendere la più comoda? Si dimostra che, con un’opportuna scelta di gauge, è possibile ricavare una forma simile per esprimere il potenziale vettore A e il potenziale scalare ϕ: ⎧ ⎨ per la prima equazione sostituire: ψ = φ, s = ρ 2ψ ∂ 2 ε0 ∇ ψ − µ0 ε 0 2 = − s ⇐ ⎩ |{z} ∂t per la seconda equazione sostituire: ψ = A, s = µ0 J 1/ 2 c Prendiamo quella indicata come ’seconda equazione’, quella col potenziale vettore: a sinistra dell’uguale sono presenti le derivate seconde rispetto alle tre coordinate spaziali (nel gradiente) e quella rispetto al tempo. L’idea è quella di riunire il tutto all’interno di un quadrivettore spazio-tempo (invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz) e di fare la stessa cosa a destra dell’uguale. Otteniamo:

¯ = −µ0 J¯ ⇒ ∇2 A

⎧ ¯ quadripotenziale A     ⎨ J¯ quadricorrente   2   ⎩∇ =

5.3

3

∂2

∑ ∂x2

i =0

D’Alembertiano

i

Soluzioni delle equazioni di Maxwell

La soluzione in onde sferiche delle equazioni di Maxwell nel vuoto implica l’esistenza di cariche nell’origine, che generano l’onda uscente. Nel caso di carica ’piccola’ racchiusa in un volumetto V nell’origine, si ha la seguente soluzione:

ψ (r, t) =

∫∫∫ ⎧  S = s dV  ⎨

( r) S t− ⇐ r = distanza fra l’origine e il punto  c  ⎩ c = velocità della luce ψ vicino all’origine 1 4πr |{z}

Nel caso, più generale, di carica estesa e non nell’origine (vedi figura 5.1) si ha: ) ∣r − r′ ∣ 1 c φ (r, t) = dV 4πε 0 ∣r − r′ ∣ V ( ) ∣r − r′ ∣ ′ ∫∫∫ J r , t − µ0 c A (r, t) = dV 4π ∣r − r′ ∣ (

∫∫∫ ρ

r′ , t −

V

In queste formule si è semplicemente applicato il procedimento valido nel caso di carica puntiforme un numero infinito di volte (una volta per ogni carica puntiforme, ognuna presa nella corretta posizione) grazie all’operatore integrale. 1 Con

χ si indica un campo scalare.

56

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

Figura 5.1:

5.4

57

Sorgente estesa

Nel vuoto

Nel vuoto le equazioni di Maxwell hanno quest’aspetto: ⎧ ∇⋅E = 0       ∇⋅B = 0  ⎨ ∂B ∇×E = −   ∂t      ⎩ ∇ × B = µ0 ε 0 ∂E ∂t Applicando l’operatore rotore alle ultime due: ⎧ ∂ (∇ × B) ∂2 E   = − µ0 ε 0 2 ⎨ ∇ × (∇ × E) = − ∂t ∂t  ∂ × E ∂2 B (∇ )  ⎩ ∇ × (∇ × B) = µ0 ε 0 = − µ0 ε 0 2 ∂t ∂t Ricordando la proprietà del doppio rotore: ∂2 E ∇ × ∇ × E = ∇ (∇ ⋅ E) −∇2 E ⇒ ∇2 E − µ0 ε 0 2 = 0 | {z } ∂t =0 (eq. Max.)

∂2 B ∇ × ∇ × E = ∇ (∇ ⋅ B) −∇2 B ⇒ ∇2 B − µ0 ε 0 2 = 0 | {z } ∂t =0 (eq. Max.)

Si noti la somiglianza di queste due espressioni con quelle viste nel paragrafo 5.2: ⎧ ∂2 φ ρ Nel vuoto   = 0 ⎨ ∇2 φ − µ0 ε 0 2 = − ε ∂t 2  vuoto  ⎩ ∇2 A − µ0 ε 0 ∂ A = −µ0 J Nel = 0 ∂t2 In assenza di cariche e di correnti ogni componente di E e B (così come ϕ e le componenti di A) soddisfa l’equazione di D’Alembert, detta anche equazione d’onda:

∇2 f −

1 ∂2 f =0 c2 ∂t2

Fra le sue soluzioni vi sono le funzioni d’onda, caratterizzate da una particolare dipendenza dalle coordinate spazio-tempo. 57

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

58

5.4.1

Onde elettro-magnetiche

Figura 5.2:

Lo spettro delle onde e.m.

Consideriamo onde piane monocromatiche nel vuoto, le quali sono costituite da un campo elettrico E e da uno magnetico B variabili nel tempo, che si propagano in fase tra loro: E = E0 ei(k⋅r−ωt) B = B0 ei(k⋅r−ωt) Sfruttando le proprietà della divergenza di E e di B si ha:

∇ ⋅ E = 0 = i ⋅ k ⋅ E ⇒ k⊥E ∇ ⋅ B = 0 = i ⋅ k ⋅ B ⇒ k⊥B Da qui si evince che il vettore d’onda è perpendicolare ai campi magnetico ed elettrico, che si trovano sul piano costituente la superficie d’onda, e sono fra loro ortogonali2 : si dice quindi che k, E, B costituiscono una terna cartesiana ortogonale destrorsa (in quanto E, B, e la velocità dell’onda v sono legati dalla regola della mano destra). Inoltre, tale tipo di onda è chiamata trasversale (in opposizione all’onda longitudinale) in quanto E e B oscillano perpendicolarmente alla direzione di propagazione. La velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto, come già si è detto, è c = √µ10 e0 (velocità della luce); in altri mezzi, invece, la velocità di propagazione è inferiore e pari a v =

5.5 5.5.1

√1 . µe

Alcuni campi e onde notevoli Dipolo oscillante

Iniziamo con il campo magnetico: consideriamo infatti il campo B a distanza generica da una carica puntiforme che oscilla su una piccola distanza rispetto ad un’altra carica di segno opposto +q e −q 2 Inoltre,

ricordando le proprietà dei fasori (derivazione → moltiplicazione per −iω): ∂B = iωB ∂t ∂E ∇ × B = µε = −iωµεE ∂t

∇×E = −

58

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

Figura 5.3:

59

Dipolo oscillante

(vedi figura 5.3). Poniamoci in una situazione non relativistica e supponiamo quindi che la velocità della particella sia molto minore di quella della luce. Si definisce momento di dipolo: p(t) = qd(t) dove q è la carica e d il vettore che ha punto di applicazione in −q e termina in +q. Sfruttando le regole già viste per ricavare il campo magnetico dal potenziale vettore: r) dp ( ⋅ t − µ0 dt c potenziale vettore ⇒ A (r, t) = 4π r ) ⎡( ⎤ ⎧ ( ) r d2 p ( ) dp r r    ⋅ t − + ⋅ t − × r ˆ ⎢ dt ⎥   c c dt2 c ⎥  µ0 ⎢  ⎢ ⎥  campo vicino ⇒  ⎢ ⎥  4π ⎣ r  ⎦ ⎨ B = rot (A) = ∇ × A =   ] [   ( ) 2  r d p   ⋅ t− × rˆ    c dt2  ⎩ campo lontano ⇒ lim (campo vicino) = µ0 r →∞ 4πc r Facendo uso delle stesse regole possiamo ricavare anche il campo elettrico: ⎧   campo vicino ...  ⎨

∂A E = −∇φ − = ... =  ∂t   ⎩ campo lontano ⇒ µ0 4π

[

] d2 p ( r) ⋅ t− × rˆ × rˆ c dt2 r

Da queste formule si evince che si ha un massimo di radiazione nella direzione perpendicolare al dipolo e uno zero di radiazione lungo il dipolo; p è infatti diretto come il dipolo, mentre r punta verso il punto in analisi: se tale punto è perpendicolare all’asse del dipolo si ha p × rˆ = 1 (massimo), mentre se giace sull’asse la stessa quantità darà 0 (minimo).

5.5.2

Carica puntiforme in un moto qualunque

Si veda la figura 5.4. 59

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

60

Figura 5.4:

5.6

Carica puntiforme in un moto qualunque: campi elettrico e magnetico

Conservazione dell’energia, teorema di Poynting

Data una distribuzione spaziale qualunque di cariche elettriche in movimento, qual è l’espressione generale della legge di conservazione dell’energia? Il sistema, contenuto in un volume V racchiuso da una superficie S, è caratterizzato dalla densità di carica ρ(r, t), dal campo delle velocità v(r, t) e dai campi E e B. La carica infinitesima dq contenuta nel volume dV subisce la forza, dovuta alle altre cariche, pari a: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ dq=ρdV dF = dq ⎝ |{z} E + v × B ⎠ = (ρE + ρv × B) dV = (ρE + J × B) dV | {z } forza el.

forza magn.

I campi E e B quindi compiono su dq, in un tempo dt (ricordando che la forza magnetica non compie lavoro), il lavoro elementare: dL = dF ⋅ ds = dF ⋅ vdt = ρE ⋅ dV ⋅ vdt = (E ⋅ J) ⋅ dV ⋅ dt Mettiamo ora insieme quest’ultimo termine, riferentesi al lavoro elementare, e una delle equazioni di Maxwell: ⎧  ⎨ lavoro → (E ⋅ J) ⋅ dV ⋅ dt = δw ⋅ dt ⇒ δw = (E ⋅ J) ⋅ dV ( ) ∂E ∂E ∂E (∇ × B)  ⇒ ∇ × B = µ0 J + µ0 ε 0 ⇒J= − ε0 ⎩ eq. Max. → ∇ × B = µ0 J + ε 0 ∂t ∂t µ0 ∂t ( ( )) ( ) ∂E E ⋅ (∇ × B) ∂E (∇ × B) δw = (E ⋅ J) ⋅ dV = E ⋅ − ε0 ⋅ dV = − ε0E ⋅ dV µ0 ∂t µ0 ∂t Sfruttando ora la seguente identità

∇ ⋅ (E × B) = (∇ × E) ⋅ B − E ⋅ (∇ × B) ⇒ E ⋅ (∇ × B) = (∇ × E) ⋅ B − ∇ ⋅ (E × B) e sostituendo nel termine trovato prima, otteniamo: ( ) ∂E (∇ × E) ⋅ B − ∇ ⋅ (E × B) δw = − ε0E ⋅ dV µ0 ∂t 60

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

61

Applicando nuovamente le leggi di Maxwell: ⎞ ⎛ =∇×E z }| { ⎟ ⎜ ∂B ⎟ ⎜− ( ) ⎟ ⎜ ∂t ⋅B − ∇ ⋅ (E × B) 1 ∂B ∂E 1 ∂E ⎟ ⎜ − ε 0 E ⎟ ⋅ dV = − ⋅ B − ∇ ⋅ (E × B) − ε 0 E ⋅ dV = (E ⋅ J) dV δw = ⎜ µ0 ∂t ⎟ µ0 ∂t µ0 ∂t ⎜ ⎠ ⎝ Elaborando un pochetto:

−

B ∂B 1 ∂E ⋅ dV − ∇ ⋅ (E × B) ⋅ dV − ε 0 E ⋅ dV = (E ⋅ J) dV µ0 ∂t µ0 ∂t

... trucco diabolico con le derivate... ) ∂ 1 ∂ ( ε0 2) E ⋅ dV = (E ⋅ J) dV − ⋅ dV − ∇ ⋅ (E × B) ⋅ dV − ∂t 2µ0 µ0 | ∂t 2{z } | {z } ∂E B ∂B =−ε 0 E ⋅dV =− ⋅dV ∂t µ0 ∂t ( 2 ) B ε 1 ∂ + 0 E2 ⋅ dV + ∇ ⋅ (E × B) ⋅ dV = 0 (E ⋅ J) dV + ∂t 2µ0 2 µ0 (

B2

Se ora applichiamo gli operatori integrali, e applichiamo il teorema di Gauss (vedi paragrafo 1.4.7) sul-

Figura 5.5:

Teorema di Poynting

l’ultimo termine, otteniamo il Teorema di Poynting (v. figura 5.5), che è un’emanazione del ben più generale e universale teorema della conservazione dell’energia. Supponendo che il termine J sia nullo, otteniamo: ⎛ ⎞ ( 2 ) 1 ∂ B ε 1 ∂ ⎜ ⎟ + 0 E2 + ∇ ⋅ ( E × B ) = ⎝ umagn + uelett ⎠ + ∇ ⋅ (E × B) = | {z } ∂t 2µ0 2 µ0 ∂t µ0 | {z } energia elett.

energia magn.

⎛ ∂ ⎜ = ⎝ ∂t

⎞ { umagn | {z }

energia magn.

+

uelett | {z }

⎟ ⎠+∇⋅

energia elett.

} 1 (E × B) = 0 µ0 | {z }

vettore di Poynting S

∮ ) ) ∂ ( ∂ ( umagn + uelett = −∇ ⋅ S ⇒ Umagn + Uelett = − ∇ ⋅ S dΣ ∂t ∂t Σ

Il vettore di Poynting rappresenta sicuramente un flusso di energia quando è diverso da zero attraverso una superficie chiusa. 61

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

62

5.7

Impulso

Ragioniamo analogamente a quanto abbiamo fatto nel paragrafo precedente. Data una distribuzione spaziale qualunque di cariche elettriche in movimento, qual è l’espressione generale della legge di conservazione dell’impulso? Il sistema, contenuto in un volume V racchiuso da una superficie S, è caratterizzato dalla densità di carica ρ(r, t), dal campo delle velocità v(r, t) e dai campi E e B. La carica dq contenuta nel volume dV subisce la forza, dovuta alle altre cariche: ) dp ( δF = dq (E + v × B) = (ρE + ρv × B) dV = (ρE + J × B) dV = ≜ δF dt dq=ρ⋅dV Ancora una volta ci appoggiamo alle equazioni di Maxwell per arrivare a ricavare una formulazione elegante del teorema di conservazione dell’impulso: ⎧  ) ) ( ( ⎨ δF = (ρE + J × B) dV ∂E ∇×B ( ) − ε0 × B dV ⇒ δF = ρE + ∂E ∇×B ∂E  µ0 ∂t ⇒ − ε0 =J ⎩ ∇ × B = µ0 J + ε 0 ∂t µ0 ∂t ( ) ∂ (∇ × B) × B δF = ρE + − ε 0 (E × B) dV µ0 ∂t Inoltre, siccome

∇⋅E = si ha:

( δF =

ρ ⇒ ε 0 (∇ ⋅ E) = ρ ε0

∂ (∇ × B) × B − ε 0 (E × B) ε 0 (∇ ⋅ E) ⋅ E + µ0 ∂t

)

Adesso sfruttiamo le relazioni:

⎧ ⎨∇⋅B = 0 ⎩ ∂ (E × B) = ∂E × B + E × ∂B ∂t ∂t ∂t Sostituendo e sfruttando il fatto che ∇ ⋅ B = 0 (quindi possiamo introdurre un termine che lo contiene senza alterare l’equazione) otteniamo: ) ( ∂B ∂E 1 (∇ × B) × B − ε0 × B − ε0E × dV δF = ε 0 (∇ ⋅ E) ⋅ E + (∇ ⋅ B) ⋅ B + µ0 µ0 ∂t ∂t ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 1 ∂E (∇ × B) × B ⎜ ⎟ δF = ⎜ε 0 (∇ ⋅ E) ⋅ E + × B − ε 0 E × (−∇ × E)⎟ dV = − ε0 (∇ ⋅ B) ⋅ B + ⎜ µ0 µ0 ∂t | {z }⎟ ⎠ ⎝ ∂B ∂t ⎛ ⎞ ( ) ⎜ 1 ⎟ 1 ∂E ⎜ ⎟ = ⎜ ((∇ ⋅ B) ⋅ B − (∇ × B) × B) + ε 0 ((∇ ⋅ E) ⋅ E − E × (∇ × E)) − ε 0 µ0 × B ⎟ dV ⎝ µ0 ⎠ |{z} µ0 ∂t | {z } 1/ 2 =−T c Si noti la somiglianza fra i primi due termini fra parentesi! Applicando ora l’operatore integrale al termine precedente che, riordinato, ha forma dp 1 1 ∂ dp 1 1 ∂ dV = − 2 dV + 2 (E × B) ⋅ dV − T ⋅ dV ⇒ (E × B) ⋅ dV = −T ⋅ dV dt dt c µ0 ∂t c µ0 ∂t otteniamo la legge di conservazione dell’impulso (vedi figura 5.6). All’interno di tale formulazione è presente il vettore di Poynting: in particolare si ha che l’impulso avente origine da cause elettromagnetiche sta in questa relazione con S d S 1 E×B = 2 (pmat + pem ) = −∇T ⇒ pem = 2 dt c µ0 c 62

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

Figura 5.6:

63

Legge di conservazione dell’impulso

la quale mostra chiaramente che il vettore di Poynting è legato alla densità d’impulso per unità di volume associata al campo elettromagnetico nel volume V. Il vettore S è quindi fondamentale per esprimere due grandezze importanti: ∙ la quantità di energia che fluisce, nel tempo dt, attraverso l’elemento di superficie dΣ nei punti del quale siano presenti campi elettrici e magnetici: dUΣ =

E×B ⋅ dΣ ⋅ dt = S ⋅ dΣ ⋅ dt µ0

∙ quantità di moto δP associata ad un volume dV al cui interno vi siano campi elettrici e magnetici: δP =

S 1 E×B dV = 2 dV c2 µ0 c

Infine, forti delle relazioni che siamo riusciti a desumere, possiamo fare qualche interessante osservazione sull’equipartizione dell’energia e densità di impulso (vedi fig. 5.7).

Figura 5.7:

5.8

Equipartizione dell’energia e densità di impulso

Intensità, impedenza, pressione di radiazione

Giunti qui dobbiamo ancora esaminare alcune quantità notevoli quali intensità, impedenza, pressione di radiazione; consideriamo la figura 5.8: la quantità infinitesima di energia elettromagnetica 63

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

64

Figura 5.8:

Sottile sezione di filo conduttore

immagazzinata al suo interno può essere espressa come dUem = uem |{z} A ⋅ |{z} v dt

superficie lunghezza

|

{z

volume

}

Possiamo trovare l’intensità secondo la definizione e scoprire che è pari al modulo del vettore di Poynting (per le relazioni usate si veda la figura 5.7): I≜

dUem = uem v |{z} = A dt

uem = pem v

Inoltre: I = vuem

pem v2 |{z} = S S= pem v2

E2 1 = vεE ≜ ⇒ Z = impedenza intrinseca ≜ = |{z} Z vε |{z} 2

uem =εE2

v= √1µε

√

µ ε

Se un’onda EM investe la superficie di un corpo esercita su di esso una pressione di radiazione, indipendentemente dal verso del campo elettrico e dal segno della carica. Tale pressione è pari a: p˜ =

5.9

dp 1 pem δV 1 I F = = = pem v = uem ⇒ p˜ = A dt A dt A v

Polarizzazione

Si veda la figura 5.9.

64

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

Figura 5.9:

65

Polarizzazione

65

CAPITOLO 5. ONDE ELETTROMAGNETICHE

66

66

Capitolo 6

La crisi della fisica classica 6.1

Le ragioni della crisi

Circa un secolo fa evidenze sperimentali contraddissero le teorie classiche, la meccanica newtoniana e l’elettromagnetismo di Maxwell: ciò rese quindi necessaria una riformulazione della fisica nelle nuove teorie della meccanica relativistica e della fisica quantistica. Le violazioni della fisica classica divengono apprezzabili a scale di distanze molto piccole (confrontabili con le dimensioni di un atomo) o a velocità molto grandi (confrontabili con la velocità della luce): per le velocità e le distanze in gioco nella nostra vita quotidiana la meccanica classica funziona perfettamente. I baluardi della fisica classica che sono stati demoliti dalla fisica moderna sono: ∙ viviamo in un mondo tridimensionale, nel quale il movimento è scandito dal tempo (secondo la fisica moderna la descrizione avviene per eventi e si snoda nelle quattro dimensioni); ∙ gli intervalli spaziali e temporali sono invarianti rispetto al sistema di riferimento in cui vengono misurati (nella fisica moderna viene ridefinito il concetto di simultaneità e non esiste più un punto di vista assoluto); ∙ l’universo è omogeneo e isotropo; ∙ il tempo è omogeneo (secondo la fisica moderna è quantizzato); ∙ le variabili che descrivono i sistemi sono continue (anche queste, secondo la fisica moderna, sono quantizzate); ∙ i sistemi fisici elementari vengono descritti attraverso il formalismo o delle particelle o delle onde (la fisica moderna avanza il dualismo onda/corpuscolo, come illustrato nel capitolo 7). Diversi sono invece stati i fenomeni protagonisti della crisi: ∙ la stabilità degli atomi non si spiega con la fisica classica; ∙ la spettroscopia atomica: in contrasto con la continuità delle variabili fisiche, gli atomi emettono luce solo a determinate lunghezze d’onda; ∙ la radiazione emessa dai corpi caldi si comporta in modo diverso da quanto predetto dall’elettromagnetismo classico (radiazione del corpo nero, vedi paragrafo 6.2); ∙ alcune proprietà della luce non si spiegano con la teoria ondulatoria (es.: effetto fotoelettrico, paragrafo 6.3, ed effetto Compton, paragrafo 6.4); ∙ alcune proprietà delle particelle non si spiegano con il modello corpuscolare. 67

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

68

6.2

Il corpo nero

Definiamo: ∙ eλ il potere emissivo o emittanza monocromatica (energia irradiata per unità di tempo, per unità di superficie, in un intervallo di lunghezza d’onda dλ); ∙ aλ il potere assorbente (rapporto tra energia assorbita e energia incidente, è la frazione di energia incidente che viene effettivamente assorbita). Tali due grandezze, in generale, sono funzione della temperatura del corpo considerato e delle grandezze fisiche (dimensioni geometriche, composizione chimica . . . ) che lo caratterizzano. Il loro rapporto, invece, dipende solo dalla frequenza e dalla temperatura ed è una funzione ’universale’: eλ = f (λ, T ) aλ Il Corpo Nero è un oggetto ideale che assorbe il 100% delle radiazioni che lo colpiscono (aλ = 1), non riflettendo alcunché. Se messo in condizione di non emettere, tale corpo deve apparire perfettamente nero. In altre parole, il corpo nero è un corpo all’equilibrio termico in cui l’energia verso di lui irradiata si bilancia con l’energia che assorbe1 . Orbene, la legge di Kirchhoff sulla radiazione del corpo nero affermerebbe che il rapporto tra il potere emissivo di un corpo ed il suo potere assorbente è lo stesso per tutti i corpi ad una data temperatura e coincide con il potere emittente di un corpo nero alla stessa temperatura. ( ) eλ = (eλ )CN = f (λ, T ) aλ CN Kirchhoff mostrò infatti con considerazioni termodinamiche che, all’equilibrio termico, la radiazione contenuta in una cavità con pareti impermeabili alla radiazione è della stessa ’qualità ed intensità’ di quella di un corpo nero alla stessa temperatura. Il problema è: com’è fatta questa f (λ, T )?2 Nel corso degli anni successivi alle considerazioni di Kirchhoff la sperimentazione e la teoria ha potuto godere dei contributi di: ∙ Langley (1880), astrofisico americano che ha inventato il bolometro3 , strumento di misurazione avente sensibilità di un ordine di grandezza superiore a quella delle termocoppie in serie (termopile) usate in precedenza; ∙ Stefan-Boltzmann (1884), che formulano la celebre legge che stabilisce il legame fra l’intensità di radiazione e la temperatura di un corpo: ⎧ ⎨ σ = 5, 67 ⋅ 10−8 W = costante di Boltzmann 4 I ( T ) = σT m2 K4 ⎩ T = temperatura assoluta D’altronde, è abbastanza ragionevole che, all’aumentare della temperatura di un corpo, esso irradi maggiormente (si pensi a una barra si ferro a temperatura ambiente e alla stessa barra resa incandescente). Non così ovvio era invece dimostrare sperimentalmente che il legame è quello indicato dalla legge di Stefan-Boltzmann; ∙ C. Christiansen (1884), che esprime l’idea che cavità isotermiche possono essere usate per lo studio della radiazione di corpo nero; 1 Una buona approssimazione di corpo nero (messo in condizione di non emettere) può essere quella di immaginare una cavità di materiale opaco, nella quale è praticato un piccolo foro. Il corpo nero è il foro stesso! 2 Nel 1860 Kirchhoff scriveva: ’È compito della massima importanza determinare la funzione f ( λ, T ). Grandi difficoltà si frappongono alla sua determinazione sperimentale. Tuttavia non appare priva di fondamento la speranza che essa abbia una forma semplice, come accade per tutte le funzioni finora note indipendenti dalle proprietà dei singoli corpi’. 3 Il bolometro è uno strumento usato per misurare la radiazione elettromagnetica totale, comprensiva cioè di tutte le lunghezze d’onda. È costituito da un elemento in grado di assorbire tutto lo spettro elettromagnetico (idealmente un corpo nero) termicamente isolato posto in una camera termostatata. La radiazione assorbita provoca un innalzamento della temperatura che può essere misurata con sensibili termometri, solitamente costituiti da una resistenza a filo di platino. In alcuni modelli il termometro è lo stesso elemento assorbente, in altri i due elementi sono distinti.

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CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

69

∙ Lummer e Wien (1893-95), che costruiscono la prima cavità e la usano per le misure. Questo porterà alla formulazione delle leggi di Wien le quali, con considerazioni basate su termodinamica ed elettromagnetismo, stabiliscono un’espressione (legge della cavità, o legge di Wien) per la densità di energia elettromagnetica nella cavità, (ν) dν u (ν, T ) dν = ν3 f T dove ν è la frequenza e f una certa funzione avente la seguente formulazione4 (ν) ν f = c 1 e − c2 T T oltre ad affermare che temperatura e lunghezza d’onda sono inversamente proporzionali (attenzione: questo è vero solo in un certo range di valori!) secondo la seguente legge dello spostamento: λmax T = C0 = 0, 2898 ⋅ 10−3 mK ∙ Paschen-Wanner (1897-99), i quali scoprirono che la distribuzione della intensità (per unità di λ) è abbastanza simile per tutte le superfici materiali e che l’emissione tende ad annullarsi a piccole o grandi lunghezze d’onda, con un massimo per un valore di λ che dipende dalla temperatura secondo la legge di Wien. Wien non sarà però stato contento di sapere che, contrariamente a quando dice la sua legge, il grafico non tende a +∞ per lunghezze d’onda piccole (alte frequenze), bensì crolla verso lo zero. Questo fatto è inspiegabile senza Planck (paragrafo 6.2.2) e la meccanica quantistica (capitolo 8): com’è possibile che all’aumentare della frequenza la curva non continui a crescere, ma cali?

Figura 6.1:

Intensità in funzione della lunghezza d’onda a varie temperature

∙ Rayleigh-Jeans (1900), che hanno compiuto un esperimento sboronissimo (ipse dixit) che verrà illustrato nel paragrafo 6.2.1; ∙ Max Planck (1899-1901) (vedi paragrafo 6.2.2), che illustrò come gli scambi di energia nei fenomeni di emissione e di assorbimento delle radiazioni elettromagnetiche avvengono in forma discontinua (proporzionale alla loro frequenza di oscillazione, secondo una costante universale) e non in forma continua, come sosteneva la teoria elettromagnetica classica. 4 Per

analogia con la distribuzione di Maxwell delle velocità delle molecole in un gas.

69

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

70

6.2.1

Rayleigh-Jeans e la catastrofe ultravioletta Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

La strada verso la meccanica quantistica inizia con un rompicapo. Immaginate di avere un forno perfettamente isolato, che riscaldate a una temperatura di 180∘ . Anche se l'interno del forno è privo di aria, il riscaldamento genera onde di radiazione (. . . ). Le onde elettromagnetiche trasportano energia (. . . ) [e], all'inizio del Novecento, alcuni scienziati si misero a calcolare l'energia totale di tutte le onde all'interno di un forno isolato a una temperatura data. Con tecniche ben sperimentate, trovarono che il risultato era insensato: indipendentemente dalla temperatura, l'energia totale nel forno era innita. Risulta ovvio che ciò non ha senso (. . . ). Dalla teoria di Maxwell si deduce che le onde generate dal forno devono avere un numero intero di picchi e ventri per incastrarsi perfettamente fra due pareti opposte. (. . . ) Usando la termodinamica che si conosceva nell'Ottocento, si può calcolare quanta energia viene immessa dalle pareti del forno nelle onde elettromagnetiche per ciascuna delle lunghezze d'onda permesse. Il risultato è questo: tutte le onde - indipendentemente dalla lunghezza - portano la stessa energia. (. . . ) Ad una prima occhiata questo sembra un risultato interessante quanto innocuo. Ma non è così, perché è la campana che suona a morto per la sica classica: (. . . ) dentro il forno c'è un numero innito di onde ammissibili (. . . ) e, poiché portano tutte la stessa dose di energia, dobbiamo concludere che la quantità totale di energia è anch'essa innita. Al volgere del secolo, la teoria scopriva una crepa gigantesca nel suo edicio. Immaginiamo di ’riempire’ di onde elettromagnetiche una cavità in equilibrio termodinamico con le pareti: tale radiazione elettromagnetica scambia di continuo energia con gli oscillatori (gli atomi, che supporremo possano vibrare con qualsiasi frequenza) e si manifesta in onde stazionarie, la cui funzione d’onda è la stessa che regola un oscillatore armonico: E = E0 sin (k ⋅ r) cos (ωt) Per una data lunghezza d’onda ci sono più condizioni di quantizzazione, ovvero più modi in cui può formarsi un’onda stazionaria: il vincolo è che la lunghezza di un lato sia pari ad un numero intero di semilunghezze d’onda. λ 2Lk 2L L = n ⇒ nk = = kν 2 λ c (modo di onda stazionaria caratterizzato da nk ) Il numero di ’modi’ d’onda (ovvero il numero modalità in cui è possibile instaurare un’onda stazionaria) nell’intervallo di lunghezze d’onda ∆λ è ∆nk = nk (λ) − nk (λ + ∆λ) 4L 4Lk lim ∆nk = dnk = 2k dλ = dν c λ ∆λ→0 (il 4 al numeratore si spiega già considerando i due possibili stati di polarizzazione dell’onda EM) Questo ragionamento dev’essere fatto anche nelle tre dimensioni, ma ovviamente la cosa diventa più complicata e conviene ragionare in termini di vettore d’onda k. A partire dall’insieme di condizioni ⎧ π  kx = nx   L x   ⎨ π ky = ny L y      ⎩ k z = π nz Lz che costituiscono un’estensione tridimensionale delle condizioni già viste in 2D (applicate alle proiezioni del vettore d’onda k sugli assi), si dimostra che le terne ( ) n x , ny , nz che soddisfano la condizione di quantizzazione stanno su un ellissoide in quanto vale la seguente relazione ( ) n2y n2x n2z 4ν2 + 2+ 2 = 2 2 Lx Ly Lz c 70

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

Figura 6.2:

71

Rayleigh in tre dimensioni

nella quale si riconosce facilmente l’espressione analitica di un ellissoide geometrico. Dopo svariati calcoli si scopre che il numero di modi (N) per unità di volume (V), per frequenze con valori tra ν e ν + dν, è pari a: 4πV 3 dN 4π N= ν ⇒ = 3 ν2 dν 3 V 3c c dN Il termine viene chiamato densità di radiazione. All’equilibrio termodinamico gli oscillatori scambiano V continuamente energia con il campo di radiazione nella cavità: l’energia media della radiazione è quindi uguale a quella dell’oscillatore al quale abbiamo comparato la cavità. Ricordiamo dalla teoria cinetica dei gas che l’energia cinetica media di una molecola libera è pari a 0, 5KT per ogni grado di libertà (dove K è la costante di Boltzmann, T è la temperatura assoluta). Il nostro oscillatore armonico è vincolato (quindi avremo un termine aggiuntivo 0, 5KT per considerare l’energia potenziale5 ) e due gradi di libertà, per cui l’energia media complessiva di una particella diviene pari a 2KT. Moltiplicando la densità di radiazione per l’energia media complessiva otteniamo la densità di energia elettromagnetica per frequenze con valori tra ν e ν + dν: 8KTπ 2 ν dν du E (ν) = c3 Infine, ricordando che la distribuzione della densità di energia è proporzionale alla intensità di radiazione emessa secondo la relazione I = uem c, ecco l’intensità di radiazione: dI (ν) = du E (ν) c =

8KTπ 8KTπ 2 ν dν ⇔ dI (λ) = du E (ν) c = dλ 2 c λ4

Il risultato ci soddisfa? Neanche per idea: va bene solo alle basse frequenze, dopodiché cade nell’assurdo con la cosiddetta catastrofe ultravioletta6 in quanto, secondo l’espressione dell’intensità di radiazione sopra riportata, all’aumentare della frequenza di un sistema questo deve produrre radiazioni che crescono in modo esponenziale come energia. Quindi, a frequenze sempre più alte, la potenza irradiata tende ad andare verso +∞: questo è chiaramente impossibile e, al tempo, Paschen e Wanner (grafico 6.1) se n’erano già accorti.

6.2.2

Max Planck e la grande svolta Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

Planck, arditamente, avanzò l'ipotesi che l'energia trasportata da un'onda elettromagnetica potesse 5 In

questa situazione, infatti, l’energia cinetica media equivale all’energia potenziale media. termine ’catastrofe ultravioletta’ era stato usato la prima volta nel 1911 da Paul Ehrenfest, benché il concetto risalga al 1905; la parola ’ultravioletto’ si riferisce al fatto che il problema appare nella regione ad alta frequenza dello spettro elettromagnetico. Dalla prima apparizione del termine, è stato usato per altre predizioni di natura simile, per esempio nell’elettrodinamica quantistica (in questo caso è usato anche il termine divergenza ultravioletta). 6 Il

71

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

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presentarsi, come il denaro contante, solo in pacchetti ben precisi. Introdotta una 'moneta energetica', i valori possibili sono solo multipli interi di questa unità (. . . ). Planck ipotizzò che il contenuto energetico minimo di un'onda - il pacchetto più piccolo che può trasportare - fosse determinato dalla sua frequenza: per la precisione, che l'energia minima fosse proporzionale alla frequenza. (. . . ) I calcoli di Planck mostrarono che questa parcellizzazione dell'energia emendava l'assurdo risultato relativo al forno. Abbiamo visto che le leggi della termodinamica ottocentesca prevedevano che tutte quante le onde generate all'interno di un forno riscaldato contribuissero (ognuna con la stessa quantità) all'energia totale. Ma (. . . ) se un'onda ha un'energia minima intrinseca più grande del valore che dovrebbe teoricamente fornire all'energia totale, non 'paga' e rimane inerte. Poiché l'energia minima è proporzionale alla frequenza, man mano che esaminiamo onde di lunghezza sempre più corta arriveremo a trovarne una la cui quota di energia minima è maggiore del contributo teorico. (. . . ) Quindi, visto che solo un numero nito di onde può essere preso in considerazione, l'energia totale del sistema sarà nita. (. . . ) La suddivisione in pacchetti, accoppiata con il fatto che i pacchetti diventano sempre più grandi no a superare un certo valore, cambia un risultato innito in uno nito.

Figura 6.3:

Ingredienti della teoria di Planck

A partire dagli ingredienti riportati in figura 6.3, Planck ha criticato il calcolo dell’energia media e ha proposto7 di quantizzare l’energia dei modi di oscillazione: questo porta a sostituire l’integrale delle relazioni ∫∞ E (ν) e− βE dν [ ] E 1 1 −∞ − KT − βE Emedia = = KT ⇐ β = ⇒ P E ∝ e = e ( ) ∫∞ − βE 2 KT e dν −∞

con la sommatoria delle seguenti equazioni: ∞

∑ En e− βEn

Emedia =

n =0 ∞

∑ e− βEn

n =0

− =

d ∞ − βEn ∑ e dβ n=0 ∞

∑ e− βEn

n =0

− =

d ∞ − βnhν ∑ e dβ n=0 ∞

∑ e− βnhν

d =− ln dβ

(

∞

∑e

n =0

) − βnhν

d =− ln dβ

(

1 1 − e− βhν

n =0

Dalle precedenti relazioni (in cui si sono sfruttate le proprietà delle derivate e il valore di convergenza della serie geometrica) si ha: hν Emedia = hν e KT − 1 Mettendo insieme questo risultato (moltiplicato per due per la già illustrata equivalenza di energia cinetica e potenziale) con la relazione dN 4π = 3 ν2 dν V c 7 In realtà lui non si era sbilanciato più di tanto a parlare di quantizzazione: ha tuttavia pagato questa sua fifonaggine (sic) dato che Einstein l’ha battuto sul tempo.

72

)

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

73

otteniamo: dI (ν) = du E (ν) c =

8πh c 8πh ν3 dν ⇔ dI (λ) = du E (λ) c = 5 hν dλ hν 2 c e KT − 1 λ e λKT − 1

Questa formulazione riproduce i risultati sperimentali con un’esattezza impressionante (e risolve il fatto che, in figura 6.1, quando la frequenza aumenta l’intensità cala: tutto merito del termine esponenziale al denominatore che, da un certo punto in poi, prevale e porta giù la funzione di I (ν)). Tramite la misurazione di λmax , T e grazie alla conoscenza di K è possibile ottenere il valore di h, denominata costante di Planck8 : h = 6, 626068... ⋅ 10−34 J ⋅ s Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

Il valore piccolo della costante di Planck implica che i pacchetti minimi d'energia sono altrettanto piccoli; questo ci dà l'illusione di poter variare l'energia di un'onda in modo continuo, ad esempio quando pizzichiamo la corda di un violino. Invece l'intensità sonora prodotta (l'energia) passa attraverso valori discreti come i gradini di una scala, ma i gradini sono talmente piccoli che saltando tra l'uno e l'altro ci sembra di salire una rampa continua. La dimensione di questi gradini, come abbiamo visto, cresce al crescere della frequenza e questa è la chiave di volta che risolve il paradosso dell'energia innita. Riassumendo, Planck riproduce i dati sperimentali dello spettro di emissione del corpo nero partendo da una teoria microscopica, assumendo lo scambio di quanti discreti di energia tra atomi e radiazione della cavità, con un parametro libero da aggiustare, che risulta essere una costante fondamentale della natura: sarà in seguito Einstein a suggerire che la radiazione elettromagnetica è costituita da un insieme di particelle di energia hν: i fotoni. Il calcolo classico è accurato nel limite di grandi lunghezze d’onda, o quando h può essere considerato piccolo a piacere; con un passaggio al limite si ha infatti: dI (ν) c 8πh 8πh c KT = 5 hν −−−−−−−−−−→ = 8π 4 hν dλ λ e λKT − 1 h→0 oppure λ→∞ λ5 λKT λ Concludendo: ∙ gli oscillatori elementari possono assumere solo energie quantizzate che soddisfano la relazione E = nhν, dove h è la costante di Planck e n è chiamato numero quantico; ∙ le transizioni di livello vengono accompagnate dall’emissione/assorbimento di quanti di radiazione (fotoni); ∙ la fisica quantistica coincide con la fisica classica nel limite h → 0.

6.3

Effetto fotoelettrico

Gli studi sull’effetto fotoelettrico9 , ad opera di Einstein (che in seguito a tale opera vinse il Nobel), trovano applicazione in molti dispositivi (interruttori a fotocellula, telecamere, ecc. . . ). Supponiamo di 8 In meccanica quantistica, la sua esistenza determina nella materia a livello microscopico la prima quantizzazione di grandezze come l’energia, la quantità di moto e il momento angolare di una particella. La costante di Planck è detta anche quanto d’azione, la sua scoperta ha avuto un ruolo determinante per la nascita e la successiva evoluzione della meccanica quantistica. La costante prende il nome da Max Planck, senza i cui studi fondamentali sullo spettro della radiazione di corpo nero non sarebbe potuta nascere la teoria quantistica. Max Planck è per questo a pieno titolo il padre, seppur involontario, della moderna teoria quantistica. 9 La scoperta dell’effetto fotoelettrico va fatta risalire alla seconda metà del XIX secolo e ai tentativi di spiegare la conduzione nei liquidi e nei gas. Nel 1880 Hertz, riprendendo e sviluppando gli studi di Schuster sulla scarica dei conduttori elettrizzati stimolata da una scintilla elettrica nelle vicinanze, si accorse che tale fenomeno è più intenso se gli elettrodi vengono illuminati con luce ultravioletta. Nello stesso anno Eilhard Ernst Gustav Wiedemann e Hermann Ebert stabilirono che la sede dell’azione di scarica è l’elettrodo negativo e Wilhem Hallwachs trovò che la dispersione delle cariche elettriche negative è accelerata se i conduttori vengono illuminati con luce ultravioletta. Nei primi mesi del 1888 il fisico italiano Augusto Righi, nel tentativo di spiegare i fenomeni osservati, scoprì un fatto nuovo: una lastra metallica conduttrice investita da una radiazione UV si carica positivamente. Righi introdusse, per primo, il termine fotoelettrico per descrivere il fenomeno. Hallwachs, che aveva sospettato ma non accertato il fenomeno qualche mese prima di Righi, dopo qualche mese dimostrava, indipendentemente dall’italiano, che non si trattava di trasporto, ma di vera e propria produzione di elettricità. Sulla priorità della scoperta tra i due scienziati si accese una disputa, riportata sulle pagine de Il Nuovo Cimento. La comunità scientifica tagliò corto e risolse la controversia chiamando il fenomeno effetto Hertz-Hallwachs. Fu poi Einstein nel 1905 a darne l’interpretazione corretta, per la quale ricevette il Premio Nobel per la fisica nel 1921.

73

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

74

Figura 6.4:

Schema dell’esperimento che ha portato alla scoperta dell’effetto fotoelettrico

investire con un fascio di luce una superficie metallica lucida: in determinate condizioni la luce può espellere elettroni dalla superficie. Secondo la fisica classica tale emissione si dovrebbe avere per ogni frequenza della luce, purché abbastanza intensa; inoltre, sempre secondo le ipotesi classiche, l’energia cinetica dei fotoelettroni deve dipendere dall’intensità della radiazione incidente. Osservazioni sperimentali

Figura 6.5:

Effetto fotoelettrico: fisica classica vs. fisica moderna

(vedi figura 6.6) dimostrano invece che: ∙ si ha emissione elettronica solo se la frequenza della radiazione incidente è maggiore di un certo valore ν0 chiamato soglia fotoelettrica o frequenza di taglio; ∙ l’energia cinetica degli elettroni emessi dipende dalla frequenza ν della radiazione incidente e non dalla sua intensità; ∙ il numero di fotoelettroni emessi nell’unità di tempo (fotocorrente) dipende dalla intensità della radiazione incidente. Einstein fu quello che spiegò perché le ipotesi sperimentali contraddicevano la fisica classica e formulò una sintesi coerente in base alla quale lo scambio di energia tra onda elettromagnetica ed elettroni avviene 74

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

Figura 6.6:

75

Osservazioni sperimentali

per quanti (nel 1926 verranno chiamati fotoni), di energia E = hν. { φ = lavoro di estrazione (energia di legame) hν = φ + Tmax Tmax = energia cinetica Einstein trovò che la h era la stessa di Planck; si noti poi che questa spiegazione ipotizza una natura corpuscolare (singole particelle) della radiazione!

6.4

Effetto Compton

Visto l’aspetto corpuscolare della radiazione elettromagnetica, la si dovrebbe trattare (anche) sulla base della teoria degli urti e della conservazione dell’impulso. L’energia elettromagnetica è pari a: ⎧ ε 0 E2   = uB ⎨ uE = B2 2 ⇒ uem = ε 0 E2 = 2  µ0 B  ⎩ uB = = uE 2µ0 Tuttavia le onde elettromagnetiche trasportano anche energia e momento lungo la direzione e il verso del vettore di Poynting (direzione s): uem pem = sˆ c Nel 1916 Einstein ipotizza l’impulso del fotone (n f = n∘ di fotoni per unità di volume) cosicché possiamo sfruttare una delle formule che già conosciamo (quella che mette in relazione l’impulso con l’energia elettromagnetica) per scrivere: pem =

n f hν uem hν h = ⇒ pf = = c c c λ

E qui entra in gioco l’effetto Compton, fenomeno fisico interpretato come l’urto tra un fotone e un elettrone e osservato per la prima volta da Arthur Compton10 nel 1922: per la validità dei suoi risultati, esso divenne ben presto una delle prove decisive in favore della descrizione quantistica della radiazione elettromagnetica. Osserviamo la figura 6.7: se si effettua l’esperimento che prevede di far collidere la luce con un elettrone in quiete, si osserva che la luce diffusa cambia la sua lunghezza d’onda11 (e la nuova λ dipende dall’angolo di scattering θ). Per questo fenomeno non esiste spiegazione classica. 10 L’effetto fu scoperto mentre Compton stava effettuando degli esperimenti per verificare se i raggi X potevano essere descritti in maniera corpuscolare. 11 Effetto riscontrabile grazie alla presenza di un picco dello spettro ad una frequenza diversa da quella prevista.

75

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

76

Figura 6.7:

Figura 6.8:

Effetto Compton

Interpretazione dei dati e schema di concetto

L’interpretazione dei dati secondo la nuova teoria è invece la seguente: hν′ |{z}

=

hν |{z}

+

energia fotone incidente

energia fotone deviato

hν pˆ c |{z}

hν′

pˆ ′ | c{z }

=

impulso fotone incidente

energia relativistica

+

impulso fotone deviato

= hν′ + me c2 (γ − 1)

Ee |{z}

me vγeˆ | {z }

impulso elettrone

Se scindiamo le componenti sull’asse x e y e sfruttiamo il teorema di conservazione dell’impulso otteniamo: hν hν′ asse x ⇒ cos ϑ + me vγ cos φ = c c |{z} impulso iniz. solo asse x

asse y ⇒ Imponendo anche che

hν′ c

sin ϑ + me vγ sin φ =

0 |{z}

impulso iniz. solo asse x

hν = hν′ + me c2 (γ − 1) ⇒ hν + me c2 = hν′ + me c2 γ

si ha: ∆λ =

h (1 − cos ϑ) me c 76

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

77

Il termine mhe c viene chiamato lunghezza d’onda Compton. Secondo la fisica classica l’elettrone si mette a oscillare, emettendo inizialmente radiazione della stessa frequenza; tuttavia l’elettrone trasla lentamente, producendo effetto Doppler: la radiazione all’indietro avrà progressivamente λ crescente. Ancora una volta si spiegano i risultati sperimentali trattando la luce come un insieme di particelle (fotoni) tali che E = hν, in collisione elastica contro gli elettroni. La dimostrazione assume solo che il fotone e l’elettrone siano particelle puntiformi, e che il momento e l’energia siano conservati nell’urto.

77

CAPITOLO 6. LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA

78

78

Capitolo 7

Onde di materia 7.1

Descrizione ondulatoria della materia Tutta la meccanica quantistica può essere intuita riflettendo attentamente su questo esperimento. Richard Feynman

In questo paragrafo effettueremo virtualmente tre esperimenti (che possono naturalmente essere replicati nella realtà): ∙ il primo esperimento l’abbiamo in realtà già descritto nei capitoli precedenti. Si veda la figura 7.1: immaginiamo che un’onda incidente investa una sottile fessura1 e quindi altre due fessure poco distanti. In questo caso, la luce subisce il fenomeno dell’interferenza e della diffrazione e determina, sullo schermo posto nel retro, le righe raffigurate nell’immagine 7.1;

Figura 7.1:

Interferenza/diffrazione

∙ immaginiamo che, al posto della radiazione elettromagnetica, vi sia - come ’sorgente’ - un soldato armato di mitra che spara proiettili in tutte le direzioni. In tal caso il comportamento che ci aspettiamo è di tipo non più ondulatorio ma puramente corpuscolare; se osserviamo infatti la figura 7.2 notiamo che, presso lo schermo, possiamo individuare punto per punto la probabilità che un proiettile incida su quella coordinata, ma non è riscontrabile alcun effetto di interferenza; 1 Il

termine sottile viene inteso rispetto alla lunghezza d’onda.

79

CAPITOLO 7. ONDE DI MATERIA

80

Figura 7.2:

Comportamento di tipo corpuscolare

∙ infine proviamo a sparare piccoli ’pezzi di materia’, come degli elettroni, al posto dei più massicci e grandi proiettili. Sorprendentemente, quel che si nota è che il risultato di questo esperimento è analogo a quello che aveva come protagoniste le onde elettromagnetiche. Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

Feynman aermò che ogni elettrone che raggiunge lo schermo passa in realtà attraverso entrambe le fenditure. Sembra pazzesco, ma non andatevene: le cose stanno per diventare ancora più folli. Secondo Feynman, ogni elettrone che parte dalla fonte e arriva su un punto dello schermo, percorre in realtà tutte le traiettorie possibili simultaneamente. L'elettrone segue una bella linea retta attraverso la fenditura sinistra, ma allo stesso tempo attraverso quella di destra, e simultaneamente si dirige verso la fenditura destra per poi zigzagare verso quella di sinistra. Ma non è nita: contemporaneamente si fa un giretto no alla galassia di Andromeda, ritorna sulla Terra e decide di passare dalla fenditura destra. E così via, all'innito. L'elettrone 'annusa' tutti i possibili percorsi che congiungono il suo punto di partenza alla destinazione nale. (. . . ) La probabilità che un elettrone - visto sempre come una particella - arrivi in un punto dello schermo è data dall'eetto combinato di tutti i possibili modi di arrivarci. (. . . ) Ma la natura può essere stravagante quanto vuole a scala microscopica, l'importante è che ci consenta di recuperare una prospettiva più familiare nel mondo macroscopico. A questo scopo, Feynman dimostrò che applicando il suo metodo a corpi pesanti, i numeri assegnati alle varie traiettorie fanno sì che queste si cancellino tutte, tranne una, quando sono combinate. E l'unica traiettoria che rimane è proprio quella calcolata secondo le leggi di Newton. La materia si comporta dunque come le onde?

7.2

Onde di probabilità? Se non avete strabuzzato gli occhi di fronte a questo fatto, significa che lo conoscevate già, o che siete troppo blasé. Brian Greene

Ha senso chiedersi se un oggetto è un’onda o una particella? Può forse capitare che un’entità si comporti talvolta in un modo e altre volte diversamente? Dai tre esperimenti effettuati parrebbe che l’osservazione dell’oggetto determini la sua natura ondulatoria o particellare. Tuttavia, simmetricamente a quanto visto per la radiazione (onda EM/fotone), anche gli oggetti massivi presentano carattere ondulatorio (elettroni che interferiscono). In realtà si dimostra che, per determinare la natura di un oggetto (corpuscolare o ondulatoria?), risulta fondamentale il rapporto fra la lunghezza d’onda λ e le dimensioni dell’apparato di osservazione (misura). 80

CAPITOLO 7. ONDE DI MATERIA

81

La luce che passa attraverso una fenditura di dimensione D, ad esempio, mostra caratteri ondulatori se λ ≈ D (diffrazione); se λ << D essa è assimilabile ad un raggio (come una particella). Nell’effetto Compton (con λ piccola rispetto alle dimensioni atomiche, vedi paragrafo 6.4), per esempio, i raggi X si comportano come particelle, trasferendo impulso ed energia. Ha quindi senso attribuire un carattere particellare anche alla radiazione elettromagnetica e sostenere che la natura ondulatoria e corpuscolare della luce sono aspetti (o descrizioni) diversi di uno stesso fenomeno. Ad alta intensità sono evidenti le caratteristiche dell’interferenza, ovvero la presenza di massimi (righe d’interferenza) e minimi. Si potrebbe pensare che questo valga soltanto per le onde elettromagnetiche: le particelle non si sommano distruttivamente, generando interferenza, mentre le onde sì! Riducendo tuttavia di molto l’intensità (cioè la frequenza con la quale si sparano i fotoni), la distribuzione non cambia: nonostante si spari una particella (fotone) alla volta, la natura ondulatoria non si perde e la figura sullo schermo rimane invariata. Questo significa che nelle zone dei massimi di intensità è maggiore la probabilità che vada un fotone; ma, grande intensità vuol dire grande (quadrato della) ampiezza dell’onda nel caso ondulatorio (ovvero duale): quindi la densità di probabilità di trovare una particella in un certo punto è proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’onda associata: descrizione corpuscolare ⇔ descrizione ondulatoria P ( ϑ ) ∝ E2 ( ϑ ) Il lancio di fotoni, ovvero il nostro terzo esperimento virtuale (realizzato per la prima volta nel 1927 da C.J. Davisson ed L.H. Germer e seguito da molte altre verifiche sperimentali), è quindi la risposta affermativa alla seguente domanda: ’Se un’onda può comportarsi come un fascio di particelle, per simmetria, può una particella comportarsi come un’onda?’ (De Broglie2 , 1924). Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

Nei primi trent'anni del ventesimo secolo, i più grandi sici teorici si dedicarono anima e corpo alla ricerca di un quadro concettuale matematicamente coerente e sicamente sensato in cui studiare queste nuove scoperte sul comportamento microscopico della natura. Ad esempio, sotto la guida di Niels Bohr, a Copenaghen, si fecero grandi progressi nello studio delle proprietà della luce emessa da atomi di idrogeno riscaldati al calor bianco. Fino alla metà degli anni venti si procedeva soprattutto tentando di unire alla bell'è meglio le idee della sica classica ai nuovi fenomeni. Si era ben lontani da una teoria coerente, chiara e logica come quelle di Newton o Maxwell. Nel 1923 un giovane francese di nobili origini, Louis de Broglie, gettò nella mischia quantistica una nuova idea, che presto avrebbe spalancato le porte della teoria moderna della meccanica quantistica e che gli avrebbe regalato il Nobel nel 1929. Grazie a una serie di deduzioni a partire dalla relatività ristretta, de Broglie ipotizzò che la dualità onda-particella non si dovesse applicare solo alla luce, ma anche alla materia. Il ragionamento era più o meno questo: la relatività ristretta aveva collegato la massa all'energia con la formula E = mc2 , mentre Planck ed Einstein avevano messo in relazione l'energia con la frequenza delle onde; combinando le due cose, si può pensare che anche la massa abbia un'incarnazione ondulatoria. Dopo molte speculazioni, de Broglie propose questa idea: così come la luce è un fenomeno ondulatorio che può essere descritto in modo ugualmente valido da una teoria particellare, un elettrone che è comunemente inteso come una particella potrebbe avere specularmente una descrizione altrettanto valida in termini di onde. Einstein fu entusiasta della proposta, visto che gli sembrava una naturale prosecuzione dei suoi studi sulla relatività e sui fotoni. Ciò non toglieva, comunque, che la teoria dovesse essere vericata sperimentalmente, ma tale conferma sarebbe arrivata di lì a poco. De Broglie propose di applicare a qualunque particella la relazione ipotizzata da Einstein per i quanti di luce (nel paragrafo 8.2 si può vedere come è stata ricavata questa quantità): h λ Dunque ad ogni particella di quantità di moto p è associata un’onda di materia di lunghezza d’onda: p=

λ=

h p

2 Il duca Louis-Victor Pierre de Broglie, comunemente chiamato Louis de Broglie (Dieppe, 15 agosto 1892 - Louveciennes, 19 marzo 1987), è stato un matematico e fisico francese, vincitore del Premio Nobel per la fisica e accademico di Francia. De Broglie, con la tesi di laurea impose all’attenzione del mondo scientifico le sue teorie innovative sul dualismo onda-particella.

81

CAPITOLO 7. ONDE DI MATERIA

82

Ecco quindi che possiamo spiegare come mai gli oggetti macroscopici si comportino come particelle: a 300 m/s per un aeroplano (18000 kg) e un elettrone (9⋅10−31 kg) si ha λaereo = 1, 23 ⋅ 10−40 m λelettrone = 2, 43 ⋅ 10−6 m Siccome la dimensione di un aereo è molto maggiore di 1, 23 ⋅ 10−40 , è impossibile che esso si comporti come un’onda (per la fortuna dei passeggeri). Se l’intensità dell’onda è collegabile alla presenza di particelle ad una determinata coordinata, i campi elettrico e magnetico, oltre ad esercitare forze sulle cariche, misurano la probabilità di trovare in un punto la particella associata (fotone). Inoltre, quando una grandezza ha natura ondulatoria, vi è una qualche incertezza in alcune delle sue proprietà particellari. Infatti la diffrazione di un’onda piana attraverso una fenditura larga ∆x è tanto più accentuata quanto più essa è stretta in rapporto alla lunghezza d’onda: ( Iϑ = Im

sin α α

)2

⇒α=

π δ = ∆x sin ϑ 2 λ

Ma quanto più stringiamo la fessura (∆x → 0) tanto più abbiamo una dispersione della quantità di moto p x nella direzione x (principio di indeterminazione): ∆x ∆p x = costante Così Feynman, nelle sue celebri lezioni, ha descritto il principio di indeterminazione (illustrato per la

Figura 7.3:

Schema di riferimento per l’illustrazione del principio di indeterminazione

prima volta da Heisenberg3 ): ’se, eseguendo la misura di un oggetto qualsiasi, si riesce a determinare la componente x del suo impulso con un’incertezza ∆p, non si può contemporaneamente conoscere la sua h posizione con una precisione maggiore di ∆x = ∆p ’. Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

Se cerchiamo di vedere attraverso quale fenditura passa un elettrone (cioè la sua posizione), disturbiamo il suo stato di moto successivo (cioè la sua velocità). Nel mondo macroscopico noi possiamo accertarci della presenza di qualcuno sia sorandolo sia assestandogli una randellata sulla schiena; perché non fare lo stesso a livello microscopico, cercando di determinare la posizione dell'elettrone con un tocco più leggero in modo da avere meno impatto sul suo moto? (. . . ) Diminuendo l'intensità 3 Werner Karl Heisenberg (Würzburg, 5 dicembre 1901 - Monaco di Baviera, 1o febbraio 1976) è stato un fisico tedesco. Ottenne il Premio Nobel per la Fisica nel 1932 ed è considerato uno dei fondatori della meccanica quantistica.

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CAPITOLO 7. ONDE DI MATERIA

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della luce facciamo decrescere il numero di fotoni emessi. Se arriviamo al punto limite in cui emettiamo un fotone alla volta, non possiamo fare più nulla per ridurre la luce, se non spegnerla. Ci sarà dunque sempre qualche fotone, e ci sarà un limite fondamentale - dato dalla meccanica quantistica - alla 'gentilezza' del nostro tocco. Misurando la posizione di un elettrone causiamo sempre una qualche perturbazione sul suo moto. Ma forse c'è una scappatoia: la legge di Planck ci dice che l'energia di un fotone è proporzionale alla sua frequenza. Usando fotoni di frequenza sempre minore dovremo produrre fotoni dal tocco sempre più lieve. Ma ecco l'inghippo: quando usiamo un'onda contro un corpo, i'informazione che ne ricaviamo è suciente a determinare la posizione del corpo stesso con un margine d'errore uguale alla lunghezza d'onda. (. . . ) Se usiamo luce ad alta frequenza (onde corte) riusciamo a localizzare un elettrone con maggiore precisione, ma questo tipo di luce ha molta energia e quindi disturba il moto del bersaglio. Al contrario, con luce a bassa frequenza (onde lunghe) minimizziamo l'eetto di disturbo sul moto, a scapito però della precisione della misura. Concludendo, anche la materia è descritta da una funzione d’onda caratterizzata da lunghezza d’onda, frequenza, velocità, ampiezza: ψ(r, t) La funzione d’onda è anche chiamata ampiezza di probabilità. Ciò è confermato sperimentalmente, anche a velocità relativistiche (per esempio con esperimenti di diffrazione di elettroni).

7.3

Verso la meccanica quantistica

Giunti qui, abbiamo finalmente tutti gli ingredienti per definire la meccanica quantistica: ∙ nuove costanti universali: la velocità della luce c e la costante di Planck h; ∙ il concetto di quantizzazione e la relazione tra energia e frequenza E = hν; ∙ la relazione tra quantità di moto e lunghezza d’onda: p = h/λ; ∙ il dualismo onda-particella; ∙ il concetto onda di materia associata alla probabilità di presenza di una particella in un punto dello spazio (tempo); ∙ diverse osservabili collegate da un principio di indeterminazione; ∙ bontà della Fisica Classica quando v << c e h → 0.

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CAPITOLO 7. ONDE DI MATERIA

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Capitolo 8

Meccanica quantistica Un tempo i giornali scrivevano che solo dodici uomini al mondo erano in grado di capire la teoria della relatività. Non penso che sia vero. Forse c’è stato un momento in cui un solo uomo ne capiva qualcosa, perché era l’unico che ci stava pensando, prima di scrivere il suo articolo. Ma dopo la pubblicazione, la teoria è stata in qualche modo capita da molta gente, certo più di una dozzina di persone. Invece penso di poter affermare con sicurezza che nessuno capisce la meccanica quantistica. Richard Feynman

8.1

Introduzione

(Tratto da http://www.eravolgare.net/) Alcune idee hanno rivoluzionato profondamente la vita di ognuno di noi, anche se a volte il loro contributo resta indifferente a molte persone. Agli inizi del XX secolo un’idea in particolare diede inizio a una serie di congetture e ipotesi che con un effetto a ricaduta distrussero le convinzioni e i traguardi che si credeva di aver raggiunto nel campo della scienza e della chimica (in particolare, ma coinvolsero anche la biologia, la medicina e tutte le scienze naturali). Persino il dibattito filosofico ne risentì fortemente. Quest’idea prendeva in considerazione la possibilità che l’energia potesse essere quantizzata invece che essere un continuum. Tale ipotesi si deve a Niels Bohr che, insieme all’ipotesi della quantizzazione dell’energia, propose anche un modello per la struttura degli atomi basato su orbite circolari. Secondo questo modello (poi rivelatosi falso) gli elettroni potevano viaggiare intorno al nucleo atomico esclusivamente rimanendo all’interno di orbite fisse e ben determinate. Successivamente, con il principio di indeterminazione, nel 1927 Heisenberg sconvolse letteralmente il modo di fare fisica e chimica. Con l’omonimo principio, infatti, Heisenberg dichiarava a chiare lettere il fallimento della meccanica classica (quella di Newton e Galileo, per intenderci, e di cui il modello di Bohr risentiva pesantemente) ponendo le basi della moderna meccanica quantistica. Secondo la meccanica classica, velocità e posizione di un punto materiale sono sempre unicamente determinate e contemporaneamente conoscibili; per la meccanica quantistica, invece, tutto ciò è falso. Bisogna tuttavia fare attenzione: non è che di punto in bianco tutte le conquiste della fisica classica si siano rivelate false, anzi, esse rimanevano valide ma solo entro certi limiti più o meno definiti (e con le opportune approssimazioni) che non comprendevano le scale di dimensioni molecolari e atomiche. Ma analizziamo meglio il principio di indeterminazione e cerchiamo di capire a cosa si riferisce esattamente. Se gli elettroni attorno al nucleo dell’atomo possono collocarsi esclusivamente su determinati livelli quantici (ovvero caratterizzati da un numero quantico, generalmente contrassegnato dalla lettera n, che indica la loro energia), ciò significa che se noi cerchiamo di osservarli con un microscopio ne modificheremo lo stato e non osserveremo più le particelle come erano effettivamente ma ne osserveremo una versione distorta. Perché? Perché per effettuare un salto da un livello all’altro un elettrone ha bisogno di 85

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

86

assorbire energia e, d’altro canto, noi per poterlo vedere dobbiamo irradiarlo di luce che altro non è che una delle tante forme di energia disponibili in natura. Ciò rende impossibile ’vedere’ l’elettrone senza intaccarne la natura, ottenendo in questo modo una immagine deformata della realtà. Se dunque non possiamo conoscere posizione e velocità di una particella senza modificarne lo stato, come possiamo agire per elaborare un modello che riesca a descrivere in modo più fedele possibile la realtà che ci circonda? L’unica soluzione, a questo punto, è affidarsi alla probabilità. Partendo dal principio di indeterminazione di Heisenberg, Schrödinger elaborò l’ormai famosissima omonima equazione che, una volta risolta, ci dà le coordinate spaziali della probabilità di trovare l’elettrone attorno al nucleo. Recuperando i termini dalla teoria atomica di Bohr, queste distribuzioni di probabilità vennero chiamate orbitali. Tutto sembrava filare liscio, ma l’evidenza sperimentale costrinse gli scienziati a rivedere le teorie. Infatti il modello andava piuttosto bene per l’atomo di idrogeno (e per tutte le specie idrogenoidi, ovvero con un solo elettrone attorno al nucleo), ma non faceva altrettanto con atomi polielettronici. Nonostante ciò, il grande salto era stato compiuto. Il determinismo statico della scienza era stato smantellato ed in questo modo furono aperte le porte ad una realtà fino ad allora sconosciuta, anche se molti scienziati non furono così felici della novità. Tra questi Einstein che, parlando di meccanica quantistica, disse la famosa frase ’Dio non gioca a dadi con l’universo’ e a cui Bohr rispose freddamente con: ’Piantala di dire a Dio che cosa fare con i suoi dadi’.

8.2

La funzione d’onda

Abbiamo detto che anche la materia è descritta da una funzione d’onda caratterizzata da lunghezza d’onda, frequenza, velocità, ampiezza, e che la funzione d’onda è chiamata ampiezza di probabilità: ψ(r, t) Essendo ψ una funzione d’onda, dovrà essere soddisfatta l’equazione di D’Alembert:

∇2 ψ −

1 ∂2 ψ =0 v2 ∂t2

Ora la grande sfida è trovare le relazioni tra le grandezze caratteristiche delle onde e delle particelle:

[ψ0 , k, ω ] ⇔ [p, E, m] Partiamo dall’energia di un fotone1 , e proviamo a generalizzarla per ricavare l’energia di una particella di massa m, tenendo conto della relatività ristretta. Se chiamiamo h¯ (’acca tagliato’) la quantità h¯ =

h 2π

possiamo scrivere: mc2 mc2 = √ ⇒ω= √ 1−β h¯ 1 − β v2 1− 2 c Identifichiamo v con la velocità di gruppo del pacchetto d’onde associato alla particella (per maggiori lumi su come viene definita la velocità di gruppo si veda il paragrafo 8.3): ( ) ( 2 ( )− 3 ) dv dω dω dv d mc2 dv mc v 2 2 √ v = vgruppo ≜ = = = 1−β ⋅ = dk dk dv dv h¯ 1 − β2 dk h¯ c2 dk ( )− 3 ) dv m ( 2 2 = v 1−β ⋅ h¯ dk 3 ) )− 3 ( ( −2 dk m m 2 = 1 − β2 ⇒ dk = 1 − β2 dv ⇒ dv h¯ h¯ )− 1 integrazione mv ( mv 1 2 ⇒ √ k= 1 − β2 = h¯ h¯ 1 − β2 E = hν = h¯ ω = √

1 Assumere

mc2

la costante h dei fotoni è un’ipotesi poi suffragata dagli esperimenti.

86

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

87

Moltiplicando per h¯ e riconoscendo il termine p otteniamo: p = h¯ k Ora possiamo sfruttare le relazioni trovate per esprimere λ in funzione delle grandezze della particella in moto; di seguito riportiamo due modalità2 : √ 1 − β2 h¯ λ h h 1 1 h = ⇒ = ⇒ λ = = h⋅ = h⋅ −−→ λ ≈ k p 2π 2π p p p mv | mv {z } β→0 1/p

λ=

hc = pc

hc √ |

2 E2 − (mc2 )

{z

−−−−−→ λ ≈ mc2 << E

hc E

}

energia − energia a riposo = energia cinetica

8.3

Funzione d’onda e velocità di gruppo

Abbiamo già parlato della velocità di gruppo, ovvero della velocità di un pacchetto di onde in un mezzo dispersivo (caratterizzato da una funzione di dispersione ω = ω (k)). In particolare, la velocità di gruppo è la velocità del punto in cui tutte le differenze di fase delle singole onde che lo compongono si mantengono nulle. Consideriamo ora n onde monocromatiche con pulsazioni equidistanziate tra ω1 e ω2 , fase iniziale nulla e uguale ampiezza, che si propagano nella stessa direzione. Relativamente ad un punto x0 fissato, che supponiamo per semplicità coincidente con l’origine, tali onde possono essere rappresentate nel piano complesso da n vettori ruotanti con pulsazioni distanziate dω (vedi figura 8.1).

Figura 8.1:

Velocità di gruppo e rappresentazione tramite vettori

All’istante iniziale gli n vettori saranno tutti sovrapposti, quindi l’ampiezza del risultante ψ sarà la massima possibile; col passare del tempo i vettori si apriranno a ventaglio così che ψ ruoterà e diminuirà in lunghezza (vedi figura 8.2). Si giungerà così all’istante tm1 , nel quale le punte degli n vettori occuperanno ciascuna uno dei vertici 2π di un poligono regolare di n lati, così che l’angolo fra un vettore e il successivo sarà e la risultante n della somma di tutti i vettori, ovvero ψ, si annullerà. A questo punto è facile rendersi conto che si avrà un risultante nullo in tutti gli istanti di tempo tm,l tali che: δω ⋅ tm,l = l

2 Si

2π 2π n − 1 l n−1 −−−−−−−−−→ tm,l = l = , n n ω2 − ω1 n ν2 − ν1 ω2 − ω1 δω = n−1

noti che si poteva avere, più semplicemente, λ=

c hc = ν E

87

con l = 1, 2, 3..., n − 1

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

88

Figura 8.2:

Massima ampiezza e somma dei vettori

La prima volta, dopo l’istante iniziale, che l’ampiezza di ψ tornerà ad essere massima sarà nell’istante nel quale gli n vettori saranno di nuovo sovrapposti; ciò capiterà quando l’angolo fra due vettori consecutivi sarà 2π, e cioè al tempo t M,1 tale che: n−1 n−1 = δω ⋅ t M,1 = 2π −−−−−−−−−→ t M,l = 2π ω2 − ω1 ν2 − ν1 ω2 − ω1 δω = n−1 In funzione del tempo l’andamento di ψ, cioè della funzione che descrive ’pacchetti’ di onde, avrà i seguenti parametri: ∙ ’lunghezza’ (temporale) di ogni pacchetto: tm,1 ; ∙ ’distanza’ (temporale) fra i pacchetti: t M,1 . Più piccolo faccio l’intervallo tra le onde e più i massimi si allontanano (massimi molto lontani = i pacchetti d’onda si ’isolano’): aumento n ⇒ intervallo fra onde più piccolo 2π lim ∆t = n→∞ ∆ω n−1 =∞ lim t M,1 = lim n→∞ n→∞ ν2 − ν1 In modo del tutto analogo si può analizzare l’evoluzione di ψ nello spazio (in ogni dimensione) in un istante t = t0 fissato e, con ovvio significato dei simboli, si arriva alla conclusione: 2π ∆k =∞

lim ∆x =

n→∞

lim x M,1

n→∞

Dunque:

∆x dω = ∆t dk Si arriva inoltre alle importanti relazioni di indeterminazione ’tempo - energia’ e ’posizione - impulso’: vg =

lim ∆t =

n→∞

2π ∆ω ∆ω ⇒ ∆t∆ω = 2π ⇒ ∆t = 1 ⇒ ∆t ⋅ h = h ⇒ ∆t∆E = h ∆ω 2π |2π{z } ∆E

2π ∆k ∆k lim ∆x = ⇒ ∆x∆k = 2π ⇒ ∆x = 1 ⇒ ∆x ⋅ h = h ⇒ ∆x∆p x = h n→∞ ∆k 2π |2π{z } ∆p x

Il principio di indeterminazione ci suggerisce ad esempio che, se in un tempo inferiore ad h nasce e muore energia, non possiamo accorgerci di tale evento: nel vuoto possono quindi nascere coppie particellaantiparticella in grado di annichilirsi senza che ce ne accorgiamo (a meno che in seguito non si verifichino, di tale evento, alcune conseguenze misurabili). 88

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

Figura 8.3:

8.4

89

Riassumendo: onde di materia

Le equazioni fondamentali

Abbiamo già più volte detto che esiste una funzione, detta funzione d’onda ψ, che contiene tutta l’informazione sul sistema in esame. Abbiamo anche specificato il fatto che tale funzione ψ deve soddisfare l’equazione di D’Alembert3 : 1 ∂2 ψ ∇2 ψ − 2 2 = 0 v ∂t Essa deve render conto dei dati sperimentali, e quindi deve poter: ∙ rappresentare enti dotati di lunghezza d’onda e frequenza; ∙ soddisfare una equazione d’onda; ∙ rappresentare una (densità di) probabilità; ∙ rappresentare particelle. Il primo passo è quindi determinare le equazioni, oltre quella di D’Alembert (che non è molto generale, né è quella fondamentale), cui la funzione d’onda deve sottostare. Tra queste funzioni spiccano le equazioni di Schrödinger, le quali rappresentano una delle più importanti conquiste della fisica ed in particolare della meccanica quantistica. Per ottenerle dobbiamo: ∙ derivare ψ due volte rispetto allo spazio: se la nostra funzione ha la seguente espressione di onda piana complessa ψ (r, t) = Aei(k⋅r−ωt) si ha: 2

(

2

∇ ψ (r, t) = −k ψ (r, t) = −

p2 h¯ 2

) ψ (r, t)

3 Si noti che: la derivata seconda spaziale assicura la simmetria ’onda progressiva - onda regressiva’, come si ha per tutti i tipi di onde ai quali siamo abituati (elettromagnetiche, etc. . . ) e che la derivata seconda temporale fa si che non si mescolino parte reale e parte immaginaria, come richiesto se la grandezza fisica è data dalla parte reale di ψ. Siccome tuttavia ci interessa il modulo quadro della densità di probabilità, possiamo rinunciar e al secondo dei due requisiti.

89

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

90 ∙ derivare parzialmente ψ rispetto al tempo:

∂ ψ (r, t) = −iωψ (r, t) = −i ∂t

( ) E ψ (r, t) h¯

∙ sfruttare le relazioni della meccanica non relativistica: ⎧ ...energia totale E = T + V     ⎨ p2 1 = ⇒ p2 = 2mT ...energia cinetica T = mv2 |{z} 2 2m   p=mv   ⎩ 2 ⇒ p = 2m ( E − V ) Sostituendo ed elaborando le relazioni nel terzo punto con quelle del primo e del secondo: ( 2) p sostituendo 2 2 p = 2m ( E − V ) −−−−−−→ ∇ ψ (r, t) = − ψ (r, t) h¯ 2 ( ) 2m (V − E) 2mVψ (r, t) − 2mEψ (r, t) ∇2 ψ (r, t) = ψ (r, t) = 2 h¯ h¯ 2 2 h¯ ∇2 ψ (r, t) = Vψ (r, t) − Eψ (r, t) 2m

−

h¯ 2 2 ∇ ψ (r, t) + Vψ (r, t) = Eψ (r, t) 2m

p2 sostituendo ∂ p = 2m ( E − V ) ⇒ + V = E ⇒−−−−−−→ ψ (r, t) = −i 2m ∂t ⎛ 2 ⎞ p ⎜ 2m + V ⎟ ∂ ⎟ ψ (r, t) ψ (r, t) = −i ⎜ ⎝ ⎠ ∂t h¯ 2

i¯h

∂ ψ (r, t) = ∂t

p2 ψ (r, t) 2m

i¯h

( ) E ψ (r, t) h¯

⎫ ⎧ 2  ⎬ ⎨ ∇2 ψ (r, t) = − p ψ (r, t)  + Vψ (r, t) ⇐ h¯ 2  ⎩ −h¯ 2 ∇2 ψ r, t = p2 ψ r, t  ( ) ( )⎭

∂ h¯ 2 2 ψ (r, t) = − ∇ ψ (r, t) + Vψ (r, t) ∂t 2m

Le due relazioni rettangolate sono le celebri equazioni di Schrödinger.

8.5

Equazioni di Schrödinger e probabilità

Secondo l’interpretazione statistica di Born (1926), la probabilità di trovare la particella rappresentata da ψ(r, t) in un volume dV intorno al punto r, all’istante t, è data da: P (r, t) dV =

∣ψ (r, t)∣2 | {z }

dV

densità di probabilità

(Nota: ψ (r, t) , onda di probabilità , è complessa) Avendo interpretato il modulo quadro di ψ come densità di probabilità, deve per forza valere la seguente proprietà di normalizzazione: ∫∞

∣ψ (r, t)∣2 dV = 1

−∞

Questo esclude immediatamente per ψ tutte le funzioni che vanno a zero più lentamente di le funzioni non quadrato sommabili). 90

1 (cioè tutte r2

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

91

Si dice poi che la proprietà di normalizzazione, nel tempo, si conserva: ∂ ∂t

∫∞

∣ψ (r, t)∣2 dV = 0

−∞

Questo significa anche che il flusso di tale grandezza (densità di probabilità) attraverso una superficie deve tendere a 0, un po’ come succedeva con la corrente nell’elettromagnetismo. Si può addirittura fare un parallelismo e scrivere la versione ’densità di probabilità-istica’ della funzione di conservazione della carica elettrica, ovvero: ∂ ∣ψ (r, t)∣2 + ∇ ⋅ j = 0 ∂t Quella appena scritta viene chiamata legge di conservazione della (densità di) probabilità, cosicché j assume lo strano nome di densità di corrente di probabilità4 . Ma che significa dare una descrizione probabilistica e statistica del sistema? Com’è possibile fare misure quando tutto, invece di essere deterministico, è aleatorio? Nella fisica classica la misura ha senso come operazione che rivela (per una certa grandezza), in un certo istante, lo stato preesistente di un sistema. La misura è ripetibile e, subito prima della stessa, lo stato del sistema è sostanzialmente uguale. In meccanica quantistica la misura perde questo significato e finisce per descrivere uno dei tanti stati possibili: nulla si può dire dello stato del sistema nell’istante immediatamente precedente. Ma allora, se conosciamo la posizione x0 di una particella all’istante t, cosa possiamo dire degli istanti precedenti?. C’è anche solo una possibilità di sapere dove si trovava la particella immediatamente prima? Storicamente ci si è trovati di fronte a un trivio: ∙ secondo la visione realistica (Einstein) essa si troverà vicinissima a x0 , ma la meccanica quantistica non è in grado di dimostrarlo: esistono infatti variabili nascoste nella teoria, che quindi è incompleta; ∙ secondo la visione agnostica non ha senso chiedersi cosa succede prima, visto che non si è in grado di misurarlo; ∙ secondo la visione ortodossa (Bohr), la particella non era in alcun punto particolare finché l’operazione di misura l’ha costretta a presentarsi in un punto preciso. L’ultima visione (quella ortodossa) si è dimostrata essere quella corretta5 . Ma allora, cos’è una misura, e che ruolo hanno l’osservatore e l’apparato? L’atto della misura crea la particella nella posizione x0 . Si dice che la funzione è collassata in x0 in seguito all’operazione di misura (con i vincoli dati dalla funzione d’onda e dal soddisfacimento dell’equazione di Schrödinger6 ). Il sistema è cambiato in maniera irreversibile e l’atto della misura cambia radicalmente le condizioni al contorno.

8.5.1

Il paradosso del gatto di Schrödinger

Il paradosso del gatto di Schrödinger è un esperimento mentale ideato da Erwin Schrödinger allo scopo di dimostrare come quella che era l’interpretazione classica della meccanica quantistica (l’Interpretazione di Copenaghen) risulta essere incompleta quando deve descrivere sistemi fisici in cui il livello subatomico interagisce con il livello macroscopico. Si possono anche costruire casi del tutto burleschi. Si rinchiuda un gatto in una scatola d’acciaio insieme con la seguente macchina infernale (che occorre proteggere dalla possibilità d’essere afferrata direttamente dal gatto): in un contatore Geiger si trova una minuscola porzione di sostanza radioattiva, 4E

vale: j = −i

h¯ [ψ∗ ∇ψ − ψ∇ψ∗ ] 2m

5 Nel 1964 John Bell dimostra che nessuna teoria fisica a variabili locali nascoste può riprodurre le predizioni della meccanica quantistica. La visione per la quale le grandezze fisiche hanno valori definiti indipendentemente dall’atto di osservazione, e per la quale gli effetti fisici hanno una velocità di propagazione finita, impone delle restrizioni che non sono richieste dalla meccanica quantistica e che vengono chiamate disuguaglianze di Bell. Dal 1972 (Freedman e Clauser) ad oggi (Zeilinger, 2007) dimostrano sperimentalmente la violazione delle diseguaglianze di Bell, in completo accordo con l’interpretazione ortodossa. 6 La funzione d’onda evolve secondo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.

91

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

92

così poca che nel corso di un’ora forse uno dei suoi atomi si disintegra, ma anche in modo parimenti verosimile nessuno; se ciò succede, allora il contatore lo segnala e aziona un relais di un martelletto che rompe una fiala con del cianuro. Dopo avere lasciato indisturbato questo intero sistema per un’ora, si direbbe che il gatto è ancora vivo se nel frattempo nessun atomo si fosse disintegrato. La prima disintegrazione atomica lo avrebbe avvelenato. La funzione dell’intero sistema porta ad affermare che in essa il gatto vivo e il gatto morto non sono stati puri, ma miscelati con uguale peso. Dopo un certo periodo di tempo, quindi, il gatto ha la stessa probabilità di essere morto quanto l’atomo di essere decaduto. Visto che fino al momento dell’osservazione l’atomo esiste nei due stati sovrapposti, il gatto resta sia vivo sia morto fino a quando non si apre la scatola, ossia non si compie un’osservazione. In pratica, dal momento che una particella elementare possiede la capacità di collocarsi in diverse posizioni contemporaneamente, ed anche di esser dotata di quantità d’energia diverse al medesimo istante, per quanto assurda al nostro modo di pensare, queste strane proprietà della materia e dell’energia corrispondono alla realtà del mondo dei quanti. Le particelle subatomiche sono ’delocalizzate’ nello spazio e nel moto, per cui - fra un esperimento e l’altro - si comportano come se stessero in più luoghi contemporaneamente. Ma, paradosso nel paradosso, ogni qualvolta una particella delocalizzata venga osservata con un esperimento che - per propria natura - modifica indispensabilmente sia il livello energetico, la quantità di moto e pure la posizione della particella in esame, essa verrà certamente trovata nella posizione cercata e dotata di quel determinato livello energetico. Ritornando al caso del gatto, fino a quando l’atomo non si disintegra (e questo evento dipende unicamente dalla natura dell’atomo radioattivo scelto, quindi è un evento unicamente probabilistico), emettendo la particella che aziona il marchingegno letale, il gatto è sicuramente vivo. Viceversa, al decadimento dell’atomo, il gatto va certamente incontro alla morte. Pertanto, se non si apre il contenitore in cui alloggiano il gatto ed il marchingegno letale, non si potrà sapere che destino abbia avuto il gatto: di conseguenza, il gatto può - al contempo - esser considerato sia vivo sia morto. Solo aprendo il contenitore (quindi, compiendo l’esperimento) si reperirà un gatto vivo o morto. Il paradosso, solo apparente, sta proprio qui: finché non si compie l’osservazione, il gatto può esser descritto indifferentemente come vivo o come morto, in quanto è soltanto l’osservazione diretta che, alterando i parametri basali del sistema, attribuirà al gatto (al sistema medesimo) uno stato determinato e coerente con la nostra consueta realtà. È sempre stato così, solamente non ce ne siamo accorti fino al secolo scorso: nel mondo microscopico, ogni singola particella si comporta individualmente come delocalizzata. Viceversa, nel nostro universo macroscopico, un aggregato di singole particelle non si comporta - ovviamente - individualmente, come la singola particella. Il collettivo delle particelle singole, una volta aggregate in un insieme macroscopico, azzera le singole posizioni individuali, abolendo l’anomalia propria di ciascuna particella singola. Ovvero, un corpo macroscopico ha come risultante nulla le singole proprietà delle particelle componenti, il che conferisce al tutto le ’consuete proprietà’. L’interazione reciproca delle singole particelle in una realtà macroscopica che sgretola le singole anomalie prende il nome di desincronizzazione delle funzioni d’onda o di decoerenza. E questa proprietà è positiva, altrimenti nessuno potrebbe vedere, afferrare, pensare, e così via. Viceversa, si può altrimenti affermare che una particella microscopica, di dimensioni compatibili con quelle di una lunghezza d’onda, può comportarsi come una particella materiale o come un’onda energetica al contempo. Ma è estremamente improbabile che un corpo macroscopico, in un qualche momento, si trovi ad avere dimensioni compatibili con quelle d’una lunghezza d’onda, comportandosi, pertanto, come un’onda vera e propria. L’esperimento del gatto, così come proposto da Schrödinger, non è mai stato messo in pratica. Tuttavia, un esperimento analogo, egualmente basato sull’interazione tra un’onda e un corpo macroscopico, è stato messo in atto immettendo un fotone in un cavo a fibra ottica. Il fotone, essendo un’onda, gode di due stati quantici contemporaneamente, esattamente come la sostanza radioattiva citata da Schrödinger. Inserendo un secondo cavo a metà del primo, perché intercetti il fotone mentre passa attraverso il primo e registri l’informazione riguardo allo stato di tale fotone, avviene ciò che in quantistica si chiama compiere un’osservazione, e, come nel paradosso di Schrödinger, da quel momento la luce si trova in uno solo dei due stati. L’esperimento ha permesso tra l’altro di dimostrare che l’osservazione non deve necessariamente essere compiuta da un essere umano: in questo caso, l’osservazione è stata compiuta dal secondo cavo quando ha intercettato il fotone passante nel primo. Già in quel momento la realtà macroscopica ha interagito con quella quantica, obbligando quest’ultima a incanalarsi in uno dei due stati. Quando, in un secondo 92

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

93

momento, arriverà anche l’osservazione da parte dell’uomo, il fotone era già passato a uno solo dei due stati. Se l’uomo, per ipotesi, già sapesse che l’intercettazione è avvenuta, ma non avesse ancora letto il risultato sul monitor del suo computer, dovrebbe comunque già concludere che in quel momento il fotone si trova ormai in uno dei due stati, anche se non sa ancora in quale dei due. Così, anche per l’esempio del gatto, diversamente da come era stato ipotizzato da Schrödinger, già l’interazione della sostanza radioattiva con il contatore Geiger obbligherebbe tale materia ad assumere uno solo dei due stati: il gatto, in quanto parte del mondo macroscopico, sarebbe quindi sempre o solo vivo o solo morto, anche se ovviamente l’osservazione umana è necessaria perché l’uomo sappia quale di questi due casi si sia effettivamente verificato.

8.6

Grandezze cinematiche e dinamiche

Il valore aspettato (o di aspettazione) della posizione di una particella nello stato ψ( x, t) è

⟨x⟩ =

∫∞

x ∣ψ ( x, t)∣2 dx

−∞

rappresenta il valore medio di numerose misure effettuate su altrettanti sistemi tutti preparati allo stesso modo (nello stesso stato ψ). Postuliamo ora che la velocità della particella sia data dalla derivata di < x >: otteniamo d ⟨x⟩ ⟨v⟩ = dt Scrivendo il rapporto incrementale: ⎤ ⎡ ∫∞ ∫∞ ∫∞ ∂ d 1 ⎣ x ∣ψ ( x, t)∣2 dx x ∣ψ ( x, t)∣2 dx ⎦ = x ∣ψ ( x, t + ∆t)∣2 dx − ⟨ x ⟩ = lim dt ∂t ∆t→0 ∆t −∞

−∞

−∞

Sfruttando le equazioni di Schrödinger e le relazioni ricavate in precedenza si ottiene7 :

⟨v⟩ =

∫∞ −∞

x

h¯ ∂ ∣ψ ( x, t)∣2 dx ⇒ atto di fede ⇒ −i ∂t m

∫∞ −∞

ψ∗

∂ψ dx ∂x

Moltiplicando per la massa possiamo ottenere il momento della quantità di moto: ⎛ ∞ ∞ ∞ ) ( ∫ ∫ ∫ ⎜ ∂ψ ∂ψ h¯ ∂ m ⟨v⟩ = −i¯h ψ∗ dx = ψ∗ −i¯h dx = ψ∗ ⎜ ⎝ ∂x ∂x ∂x} |i {z −∞ −∞ −∞

⎞ ⎟ ψ⎟ ⎠ dx

operatore momento

In figura 8.4 si mostra come ogni grandezza fisica possa essere espressa come combinazione dei due operatori posizione-momento e vengono illustrate alcune quantità notevoli.

8.7

Funzione d’onda del sistema

La soluzione generale dell’equazione di Schrödinger, per un determinato sistema, fatto salvo che la densità di probabilità e la posizione siano indipendenti dal tempo, è schematizzabile tramite la seguente serie di Fourier (vedi capitolo 3): ∞

ψgen ( x, t) =

{ } En c ψ x ⋅ exp − i t ∑ n n( ) h¯ n =1

Tale soluzione non ha energia definita univocamente. 7 Ci si accontenti dell’atto di fede oppure si dia un’occhiata alla slide 18 del blocco n∘ 9. A quel punto si propenderà per la fede, poco ma sicuro.

93

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

94

Figura 8.4:

Gli operatori e le grandezze fondamentali

Le funzioni ψ che soddisfano l’equazione per un dato operatore si chiamano autofunzioni o autostati8 di Q (grandezza fisica). I valori q possono essere discreti o continui, finiti o infiniti: si chiamano autovalori di Q. L’equazione di Schrödinger è l’equazione agli autovalori dell’operatore Hamiltoniano o dell’energia totale: si conosce dunque un sistema quando si conoscono autofunzioni ed autovalori di un insieme completo di operatori (insieme completo di autofunzioni). La funzione d’onda più generale del sistema sarà allora una combinazione lineare (sommatoria o integrale, finita o infinita) di tali autofunzioni. Se V è costante (indipendente dal tempo), il problema si riduce perciò alla ricerca di un insieme completo di autofunzioni - autovalori per l’Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo: si parla allora di stati stazionari ψn ( x ), tali che si abbia { } En ψ ( x, t) = ψn ( x ) ⋅ exp −i t h¯ per i quali l’energia è definita univocamente. Dato un certo sistema (ovvero data una hamiltoniana): 1. si trovano gli stati stazionari ψn ( x ) (autofunzioni dell’energia); 2. si trovano i valori permessi dell’energia (autovalori E); 3. si costruisce la soluzione generica come combinazione lineare, e infine 4. si cercano i valori di cn che soddisfano le condizioni al contorno; Tutto ciò comporta risolvere solo l’equazione non dipendente dal tempo: la soluzione generale viene costruita dalle proprietà generali appendendo a ciascuna autofunzione dell’energia il termine esponenziale.

8 Quando

compiamo una misura, facciamo collassare la funzione d’onda in un autovalore che è un autostato dell’energia.

94

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

95

Figura 8.5:

Riepilogo

95

CAPITOLO 8. MECCANICA QUANTISTICA

96

96

Capitolo 9

Sistemi quantistici 9.1

Buca di potenziale infinita

Figura 9.1:

Buca di potenziale unidimensionale

Consideriamo una buca di potenziale unidimensionale, ovvero una zona a potenziale nullo circondata da due zone a potenziale molto elevato (lo considereremo infinito). { V=

0 per 0 ⩽ x ⩽ L ∞ per x > L, x < 0

Classicamente la particella può avere qualunque energia E > 0 e qualunque velocità (momento): se dunque si misura la sua posizione i valori 0 ≤ x ≤ L sarebbero equiprobabili. Andiamo ora a vedere cosa ci dice la meccanica quantistica e adoperiamoci per ricavare la funzione d’onda del nostro sistema. Per prima cosa dobbiamo ricavarci gli stati stazionari, ovvero quelli che si avrebbero in una situazione indipendente dal tempo; abbiamo in questo caso due stati stazionari, uno diverso da zero e uno identicamente nullo: {

ψ ( x ) ∕= 0 per 0 < x < L ψ ( x ) = 0 per x ⩽ 0, x ⩾ L 97

CAPITOLO 9. SISTEMI QUANTISTICI

98

Per trovare ψ in 0 < x < L affidiamoci all’equazione di Schödinger e risolviamola (ciò comporta risolvere un’equazione differenziale di secondo grado). √ ⎧ 2   ⎨ ψ ( x ) = ψ0 sin (kx ) , ψ0 = ∂2 2m h¯ 2 ∂2 ψ L + Vψ = Eψ ⇒ 2 ψ + 2 E ⋅ ψ = 0 ⇒ − √  2m ∂x2 |{z} ∂x h¯  2mE ⎩k = =0 , kL = nπ, n = 1, 2, 3 . . . h¯ Dopodiché determiniamo le autofunzioni e gli autovalori: ⎫ √ ( π )  2   sin n x Autofunzioni ⇒ ψn ( x ) = ⎬ L L √ √ ⇒ ( ) 2mE 2mE n2 h¯ 2 π 2 1 π¯h 2 n2    k= ⇒ kL = nπ = L ⇒ = En ⇒ Autovalori ⇒ En = ⎭ h¯ h¯ L 2m L2 2m √ ( π ) En 2 sin n x e−i h¯ t ⇒ ψn ( x, t) = L L Esaminiamo gli autovalori: ( En =

π¯h L

)2

n2 = 2m

(

πh L ⋅ 2π

)2

n2 n2 n2 h2 = = 2m 8m 8mL2

( )2 h L

Da qui si nota che E può avere solo valori discreti (detti livelli energetici), con E > 0: il livello inferiore è lo stato fondamentale, mentre gli altri livelli di energia sono detti stati eccitati.

Figura 9.2:

Livelli energetici

Esaminiamo ora le autofunzioni e la parte indipendente dal tempo: √ ( π ) ∞ 2 ψn ( x ) = sin n x ⇒ f ( x ) qualsiasi può essere scritta come = ∑ cn ψn ( x ) L L n =1 | {z } ortonormali!

Ricordando tuttavia che ψ2 rappresenta una densità di probabilità (indipendente dal tempo), si ha anche ( nπ ) 2 ψn2 ( x ) = sin2 x con n = 1, 2, 3 . . . L L 98

CAPITOLO 9. SISTEMI QUANTISTICI

Figura 9.3:

99

Funzione densità di probabilità con diversi n

Tale funzione viene graficata in figura 9.3. Ovviamente deve anche valere la proprietà posseduta da tutte le distribuzioni di probabilità:

∣ψn ( x, t)∣2 = ∣ψn ( x )∣2 ⇒

∫∞

ψn2 ( x ) dx = 1

−∞

Si noti, comunque, che la probabilità non è costante per tutti gli x interni alla buca di potenziale, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare dalla fisica classica. La distribuzione di probabilità varia inoltre al variare del numero quantico n e, all’aumentare di n, la distribuzione di probabilità tende ad essere uniforme (principio di corrispondenza, la fisica quantistica approssima quella classica). Fin’ora ci siamo occupati della situazione stazionaria (cioè indipendente dal tempo); tuttavia, in base a quanto abbiamo detto nel capitolo precedente, è ancora necessario trovare la soluzione dipendente dal tempo tramite la sommatoria: √ { } ( nπ ) 2 En ψn ( x, t) = sin x exp −i t con n = 1, 2, 3 . . . L L h¯ Inoltre, si dimostra che in virtù delle proprietà di ortonormalità e completezza, è verificato il teorema di conservazione dell’energia. Avendo a disposizione la funzione d’onda, possiamo calcolare il momento: √ ( nπ ) h¯ ∂ψn h¯ nπ 2 ⌢ pψn ( x, t) = = cos x ∕= pn ψn i ∂x i L L L Come indicato, non esistono pn che soddisfino una equazione agli autovalori cioè le ψ non sono autofunzioni del momento.

9.2

Particella libera

Esaminiamo ora il caso di particella libera, ovvero con V = 0 ovunque. Classicamente la velocità (momento) può assumere un valore qualunque (compreso v = 0) e costante e il moto risulta essere p2 rettilineo. L’energia totale è inoltre pari all’energia cinetica E = e può assumere qualunque valore ≥ 0 2m (se E = 0 la particella è in quiete). Iniziamo dalla soluzione stazionaria: √ h¯ 2 ∂2 ψ 2mE ikx −ikx − = Eψ ⇒ ψ ( x ) = Ae + Be ⇐k= 2m ∂x2 h¯ 99

CAPITOLO 9. SISTEMI QUANTISTICI

100

Se ora introduciamo la parte dipendente dal tempo e consideriamo una sola componente (progressiva o regressiva) otteniamo: ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ E ⎟ ⎜ −ikx ⎠ ikx i (kx −ωt) ψE ( x, t) = ⎝ Aeikx + |Be{z } exp ⎝−i h¯ t⎠ = Ae exp (−iωt) = Ae |{z} =0 =ω

Sembra tutto normale? E invece no. . . l’insidia è nascosta dietro l’angolo! Non abbiamo infatti verificato se ψ è una funzione d’onda valida: ∫∞

ψn2

( x ) dx =

∫∞

∣ A∣2 dx → diverge!! AHIA!

−∞

−∞

Quindi tutte le energie sono ammesse (non vi è quantizzazione) ma gli stati stazionari non sono stati fisici! Non esiste quindi in natura una particella libera con energia definita. La particella libera fisica è un pacchetto d’onde avente la seguente ψ: 1 ψ ( x, t) = √ 2π

∫∞ −∞

∫∞

1 √ ψ ( x, 0) e−ikx dk ⋅ e−i(kx−ωt) dx 2π −∞ | {z } a(k)

Tale pacchetto sarà costituito da frequenze piuttosto vicine tali per cui: Epart ∼ h¯ ωm ⇒ v = vgruppo =

9.3

dω h¯ k m = dk m

Buca di potenziale finita

Figura 9.4:

Buca di potenziale finita

Tratteremo questo argomento molto velocemente: si faccia riferimento alle slide 14-15 dell'ultimo blocco di slide per, eventualmente, integrare. La buca di potenziale finita ha la seguente struttura: { 0 per a > x > − a V (x) = V0 per ∣ x ∣ > a La risoluzione di questo caso è un po’ complicata perché dobbiamo mettere insieme sei soluzioni: infatti 100

CAPITOLO 9. SISTEMI QUANTISTICI

101

∙ abbiamo tre regioni spaziali (x < − a, − a < x > a, x > a); ∙ abbiamo due regioni energetiche (potenziale nullo oppure no). Inoltre, la funzione d’onda deve risultare continua nei punti di discontinuità di V: tuttavia le equazioni di raccordo nei punti di discontinuità, più quelle di normalizzazione, permettono di calcolare le varie costanti e trovare gli stati stazionari.

Figura 9.5:

Soluzioni stazionarie

Risolto il problema si ha che: ∙ gli stati legati sono in numero finito (energia quantizzata), dipendente dalla profondità della buca; ∙ esistono inoltre degli stati di diffusione che invece non sono quantizzati: lì ogni energia è consentita (vedi figura 9.6); ∙ gli stati legati debordano nelle zone con V > V0 , dove vi è una probabilità di presenza della particella diversa da zero; ∙ una particella incidente sulla buca (da sinistra) con E > 0 può essere trasmessa (e questo è il solo possibile risultato classico), ma può anche essere riflessa!

Figura 9.6:

Stati legati e stati di diffusione

101

CAPITOLO 9. SISTEMI QUANTISTICI

102

9.4

Assorbimento ed emissione

Cosa succede se all’elettrone viene fornita energia? Esso può passare ad un livello di energia superiore, che però non può che essere uno di quelli corrispondenti ad un valore di energia permesso, in base alla relazione: ( 2 ) h n2 En = 8mL2 L’elettrone può quindi assorbire solo valori discreti di energia: ∆E = Esup − Einf Un modo possibile per l’elettrone di assorbire l’energia per saltare ad un livello più alto (salto quantico) di quello in cui si trova consiste nel ricevere un fotone. Deve però essere verificata esattamente la relazione: hν = ∆E = Esup − Einf Una volta raggiunto il livello superiore (eccitato) l’elettrone tenderà a riportarsi a valori inferiori (purché possibili) di energia. Durante tale transizione vengono emessi uno o più fotoni: così facendo l’atomo ’restituisce’ l’energia che aveva ottenuto precedentemente.

9.5

Atomo d’idrogeno

L’idrogeno è l’elemento più abbondante dell’universo, forma fino al 75% della materia, in base alla massa, e più del 90%, in base al numero di atomi. Questo elemento si trova principalmente nelle stelle e nei giganti gassosi. Relativamente alla sua abbondanza generale, l’idrogeno è molto raro nell’atmosfera terrestre (una particella per milione) e praticamente inesistente allo stato puro sulla superficie e nel sottosuolo terrestre. Secondo la rappresentazione dell’atomo postulata da Bohr1 abbiamo un nucleo formato da un protone e un elettrone che vi orbita intorno: il diagramma del potenziale è a simmetria sferica e, considerando che la carica del protone è circa uguale a quella (e) dell’elettrone cambiata di segno, si ha U=

1 q1 q2 1 e2 =− 4πε 0 r 4πε 0 r

L’elettrone dell’atomo di idrogeno è intrappolato in una buca di potenziale tridimensionale (estensione dei casi visti nei punti precedenti) pertanto le funzioni d’onda che descrivono gli stati quantici discreti dell’atomo di idrogeno e le corrispondenti energie quantizzate si trovano risolvendo l’equazione di Schrödinger tridimensionale: h¯ 2 − 2m

(

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y2 ∂z2

) ψ (r, t) + U (r) ψ (r, t) = i¯h

∂ ψ (r, t) ∂t

I possibili livelli energetici hanno valore: ( En =

− |

) me4 8ε20 h2 {z }

1 −13, 6 = eV 2 n n2

costante di Rydberg R∞

Il livello fondamentale (energia minima) dell’elettrone si ha per n = 1 e vale −13, 6 eV. Per n → ∞, invece, si ottiene En → 0 cioè uno stato non quantizzato. Normalmente l’elettrone tende a restare nel suo stato fondamentale, ma può passare ad uno stato eccitato solo assorbendo energia (ad esempio un fotone di energia esattamente pari alla differenza dei valori di energia dei due livelli). 1 Il modello atomico proposto da Niels Bohr nel 1913 è la più famosa applicazione della quantizzazione dell’energia, che, insieme all’equazione di Schrödinger e alle spiegazioni teoriche sulla radiazione di corpo nero, sull’effetto fotoelettrico e sullo scattering Compton sono la base della meccanica quantistica. Il modello, proposto per l’atomo di idrogeno, ottenne degli eccellenti risultati, coincidenti, entro il margine degli errori, con lo spettro sperimentale.

102

CAPITOLO 9. SISTEMI QUANTISTICI

9.6

103

Effetto tunnel

L’effetto tunnel2 è un effetto quanto-meccanico che permette una transizione ad uno stato impedita dalla meccanica classica. Nella meccanica classica la legge di conservazione dell’energia impone che una particella non possa superare un ostacolo (barriera) se non ha l’energia necessaria per farlo. Questo corrisponde al fatto intuitivo che, per far risalire un dislivello ad un corpo, è necessario imprimergli una certa velocità ovvero cedergli dell’energia. La meccanica quantistica invece prevede che una particella abbia una probabilità, piccola ma finita, di attraversare spontaneamente una barriera arbitrariamente alta. Sebbene l’effetto tunnel sia estremamente controintuitivo e possa sembrare per alcuni versi paradossale esiste una enorme quantità di prove sperimentali a sostegno della sua reale esistenza3 . Molti dispositivi elettronici moderni (come ad esempio i diodi tunnel4 e le memorie flash) basano il loro funzionamento su questo effetto.

Figura 9.7:

Ce la farà l’elettrone a superare la barriera?

Ricavare le equazioni d’onda per il caso della barriera di potenziale che deve attraversare l’elettrone (vedi figura 9.8) significa risolvere una versione ’duale’ del caso di buca di potenziale finita (vedi paragrafo 9.3). Anche in questo caso abbiamo sei soluzioni da calcolare; tre volte (una per ogni regione spaziale) dovremo appoggiarci a

−

h¯ 2 ∂2 ψ + Vψ = Eψ 2m ∂x2

e dobbiamo tenere conto della presenza di due diverse regioni energetiche (per un totale, appunto, di 3 ⋅ 2 = 6 soluzioni). Una volta portato a termine il procedimento si scopre che esistono degli stadi di riflessione per i quali, appunto, esiste una probabilità finita che un’onda di materia penetri attraverso la barriera, giungendo nella regione x > a: in particolare, è possibile definire un coefficiente di riflessione e un coefficiente di trasmissione. 2 L’effetto tunnel venne utilizzato per la prima volta nel 1928 dal fisico ucraino George Gamow per spiegare il decadimento alfa, nel quale una particella alfa (un nucleo di elio) viene emessa da un nucleo perché riesce a superarne la barriera di potenziale. Successivamente Max Born realizzò che l’effetto tunnel non è esclusivo della fisica nucleare, ma si presenta anche in altri fenomeni fisici. 3 Una delle prove più spettacolari ci è fornita dal nostro Sole e dalle stelle in genere: senza l’effetto tunnel, le temperature presenti nei nuclei delle stelle non sarebbero sufficienti a innescare le reazioni nucleari che costituiscono il motore di questi corpi celesti. 4 Nel diodo ad effetto tunnel il flusso di elettroni (che passa attraverso il dispositivo per tunneling) può essere interrotto o permesso con grande rapidità (< 5 ps) variando l’altezza della barriera di potenziale (cosa molto importante in applicazioni che richiedono risposte rapidissime).

103

CAPITOLO 9. SISTEMI QUANTISTICI

104

Figura 9.8:

Barriera di potenziale

Infine è interessante accennare al fatto che, per il principio di indeterminazione di Heisenberg, non è mai possibile osservare una particella mentre attraversa tale barriera, ma solo prima e dopo tale transizione. Dal libro L’universo elegante, di Brian Greene:

Se sparate un pallino di plastica contro un muro di cemento spesso tre metri, la sica classica conferma ciò che l'istinto già vi dice: il pallino rimbalza. Questo perché non ha abbastanza energia per penetrare un oggetto così resistente. Ma a livello microscopico, la meccanica quantistica dimostra senza dubbio che le funzioni d'onda (. . . ) hanno tutte un pezzetto che trapassa il muro. Quindi c'è una piccola probabilità, diversa da zero, che il pallino passi attraverso il bersaglio. (. . . ) Esiste un legame tra la precisione di misura dell'energia e la durata della misura stessa5 : secondo la meccanica quantistica, non si può aermare che la tale particella, in un preciso istante, abbia una certa quantità di energia, perché misurazioni più precise di quest'ultima richiedono in tempo sempre maggiore. (. . . ) Le equazioni della meccanica quantistica [permettono a una particella di prendere a prestito energia purché la restituisca entro un lasso di tempo determinato dal principio di indeterminazione] e mostrano che maggiore è la quantità di energia necessaria minore è la probabilità che questo prestito improprio avvenga. Ma le particelle microscopiche di fronte a un muro di cemento a volte riescono a compiere un'impresa impossibile secondo la sica classica: penetrare una regione nello spazio dove inizialmente non hanno energia per entrare. Man mano che i corpi che spariamo contro il muro crescono di dimensioni e di complessità, essendo formati da più costituenti elementari, diminuisce la probabilità dell'eetto tunnel, perché tutte le particelle dovrebbero prendere l'energia necessaria contemporaneamente.

5 Si

vedano le relazioni di indeterminazione tempo-energia in 8.3.

104

Elenco delle figure 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

L’angolo piatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’angolo solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivata di un vettore unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivata di un vettore unitario (2) . . . . . . . . . . . . . . . Derivate di una funzione a due variabili . . . . . . . . . . . . Il gradiente e il suo significato geometrico . . . . . . . . . . Piano cartesiano e rappresentazione dei numeri immaginari Rappresentazione di grandezze armoniche . . . . . . . . . .

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7 8 8 8 9 10 14 15

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Sistemi di riferimento e trasformazioni di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apparato per l’esperimento di Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interferometro fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interferometro mobile (u = velocità dell’apparato) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interferometro mobile (2) - sistema di riferimento non solidale con la macchina . Sistemi di riferimento a confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemi di riferimento a confronto (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simmetria delle equazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il grafo degli eventi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema del paradosso da disciogliere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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17 18 19 19 20 22 23 24 26 29 31

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Raffigurazione di un’onda piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onda sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema riassuntivo (funzioni ortonormali e insieme completo) Esempio: il dente di sega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riepilogo (trasformata di Fourier) . . . . . . . . . . . . . . . . . Generazione della Delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generazione della Delta di Dirac (2) . . . . . . . . . . . . . . . .

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35 36 36 38 39 40 40 41

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15

Riferimento tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema di riferimento solidale con la coordinata x del punto di massima perturbazione Colonna d’aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema delle zone di massimo e di minimo della pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . Battimenti e ’pacchetti’ d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema di riferimento per l’interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andamento dell’intensità di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pattern della diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pattern della diffrazione con doppia fenditura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema del principio di Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema della legge di Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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44 44 45 46 47 48 49 51 51 52 52 53 53 54 54

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ELENCO DELLE FIGURE

106 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Sorgente estesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo spettro delle onde e.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dipolo oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carica puntiforme in un moto qualunque: campi elettrico e magnetico Teorema di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legge di conservazione dell’impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equipartizione dell’energia e densità di impulso . . . . . . . . . . . . . Sottile sezione di filo conduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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57 58 59 60 61 63 63 64 65

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

Intensità in funzione della lunghezza d’onda a varie temperature . . . . . . . . Rayleigh in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ingredienti della teoria di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema dell’esperimento che ha portato alla scoperta dell’effetto fotoelettrico . Effetto fotoelettrico: fisica classica vs. fisica moderna . . . . . . . . . . . . . . . Osservazioni sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretazione dei dati e schema di concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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69 71 72 74 74 75 76 76

7.1 7.2 7.3

Interferenza/diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportamento di tipo corpuscolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schema di riferimento per l’illustrazione del principio di indeterminazione . . . . . . . . . .

79 80 82

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Velocità di gruppo e rappresentazione tramite vettori Massima ampiezza e somma dei vettori . . . . . . . . Riassumendo: onde di materia . . . . . . . . . . . . . Gli operatori e le grandezze fondamentali . . . . . . . Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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87 88 89 94 95

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Buca di potenziale unidimensionale . . . . . Livelli energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . Funzione densità di probabilità con diversi n Buca di potenziale finita . . . . . . . . . . . . Soluzioni stazionarie . . . . . . . . . . . . . . Stati legati e stati di diffusione . . . . . . . . Ce la farà l’elettrone a superare la barriera? . Barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . .

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97 98 99 100 101 101 103 104

106

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