Fiche Exercices Edl
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- Words: 1,031
- Pages: 2
1
Les basiques
Exercice 1 Soit f (x) =
ex , donner une équation différentielle dont f est solution. +1
ex
Exercice 2 L’équation différentielle sh (x) y ′ + xy = 1 admet-elle des solutions sur R ? Exercice 3 Résoudre les équations différentielles suivantes , on précisera les intervalles sur lesquels il y a une solution. Attention, la variable est, selon le cas, soit x, soit t a) c)
e)
g) i) k)
y ′ + ty = 0 y ′ − sin (t) y = 0 1 + t2 y ′ + 2ty = 0
b) d)
f)
′
y + y = sin (t) + 3 sin (2t) (1 + t2 )y ′ + ty = 1 + 2t2 y ′ − (t + 1)(y + 1) = 0
h) j) l)
Exercice 4
2
′ 2t−t √ =′ e y + 2ty 2 1 + x y + xy = 1 + x2 1 ch (t) y ′ + sh (t) y = 1 + t2 2 ′ 1 + x2 y′ + xy = 1 x 1 + x2 y′ + 2xy = e + x 1 + x y − arctan (x) y = 0
1. Résoudre l’équation différentielle (ex + 1) y ′ − y =
ex 1 + x2
(E)
Indication (belge) : Quelle est la dérivée de ln (1 + ex ) ? π 2. Donner la solution y0 (x) telle que y0 (0) = − . Simplifier l’expression de f pour x > 0. 4
3. Quelle est la limite de y0 (x) quand x tend vers +∞ ? Exercice 5 On considère l’équation différentielle ch (x) y ′ + sh (x) y = 1 + (2x + 1) e2x
(E)
1. Résoudre l’équation homogène sur R. 2. A l’aide de la variation de la constante, trouver une solution particulière de (E) 3. Vérifier que yp (x) = 2xex est une solution particulière de (E) . 4. Déterminer la solution de (E) telle que y (ln 2) = 0. Exercice 6 Résoudre l’équation différentielle |1 − x| y′ + xy = x, traiter les problèmes éventuels de raccords. Exercice 7 Résoudre l’équation différentielle sin (x) y ′ − cos (x) y = 1.
2
Les Techniques
Exercice 8 Déterminer les solutions sur R de l’équation différentielle t2 y′ + (1 − t) y = 1 Exercice 9 Résoudre l’équation différentielle 1 − x2 y ′ + 1 + x2 y = ex . Exercice 10 Résoudre (ex − 1) y ′ + (ex + 1) y = 3 + 2ex .
Exercice 11 Résoudre l’équation différentielle |x| y′ + (x − 1)y = x3 . Exercice 12 Résoudre l’équation différentielle |1 + t| y ′ + y = 1 + 2t. Exercice 13 Résoudre l’équation différentielle (1 + |x|) y ′ + xy = 0. —1/2—
L F , L
PCSI2
Fiche 7
Equations différentielles linéaires du premier ordre
x Exercice 14 Trouver toutes les applications f : R → R, continues telles que ∀x ∈ R, 2xf (x) = 3 f (t)dt. 0
Exercice 15 Trouver toutes les fonctions f et g continues sur R qui vérifient x x f (t) dt = x + g (x) et g (t) dt = x + f (x) − 1 0
0
Exercice 16 Résoudre l’équation yy′ + y 2 = 12 e−2x on posera z = y 2 et on cherchera une équation vérifiée par z.
Exercice 17 On se place dans le plan affine R2 , on considère deux droites D et D′ sécantes en un point O. Soit Γ une courbe supposée pourvue d’une tangente en chacun de ses points. Pour tout point M de Γ, on désigne par H l’intersection de D et de la parallèle à D′ passant par M . Soit par ailleurs T le point d’intersection de la tangente en M à Γ et de D. Déterminer les courbes Γ telles que OH = 2OT .
Exercice 18 Vous connaissez tous cette fameuse règle de dérivation simplifiée : (fg)′ = f ′ g ′ , ou en d’autres termes, la dérivée d’un produit est le produit des dérivées ! 2 La question est la suivante, si f (x) = e x = exp x2 , déterminer un intervalle [a, b] et une fonction g définie sur [a, b] telle que (fg)′ = f ′ g ′ sur [a, b] . − → − → Exercice 19 On se place dans le plan R2 muni d’un repère orthonormé O, i , j . soit f une fonction dérivable sur R et M le point du graphe de f d’abscisse x. On appelle normale en M la droite passant par M et orthogonale à la tangente en M. Soit N le point d’intersection de la normale à M et de l’axe Ox. Déterminer f pour que le milieu de MN décrive la parabole d’équation y2 = 2px. Exercice 20 Equations à variables séparables : Résoudre les équations différentielles : ′ 1) yy ′ = (1 + x) 1 + y2 2) x 3) y′ = ex−y + yy2 = ′0 2 ′ 2 2 5) 1 + x y = 2xy 4) 1 + x y = 1 + y 6) y′ + xy = x
3
Les Olympiques
Exercice 21 Déterminer les fonctions réelles f dérivables en 0 telles que ∀ (x, y) ∈ R, f (x + y) = ex f (y) + ey f (x) Exercice 22 Soient (k, λ) ∈ R∗ × R, déterminer les fonctions f dérivables sur R telles que ∀x ∈ R, f ′ (x) = kf (λ − x) Exercice 23 Soient a (x) y ′ +b (x) y = c (x) une équation différentielle du premier ordre avec a, b, c continues sur I sur lequel a (x) = 0. Soit x ∈ I, montrer que les tangentes aux courbes intégrales au point d’abscisse x sont concourantes ou parallèles. Que dire si l’équation différentielle admet une solution affine ?
—2/2—
L F , L
Les basiques
Exercice 1 Soit f (x) =
ex , donner une équation différentielle dont f est solution. +1
ex
Exercice 2 L’équation différentielle sh (x) y ′ + xy = 1 admet-elle des solutions sur R ? Exercice 3 Résoudre les équations différentielles suivantes , on précisera les intervalles sur lesquels il y a une solution. Attention, la variable est, selon le cas, soit x, soit t a) c)
e)
g) i) k)
y ′ + ty = 0 y ′ − sin (t) y = 0 1 + t2 y ′ + 2ty = 0
b) d)
f)
′
y + y = sin (t) + 3 sin (2t) (1 + t2 )y ′ + ty = 1 + 2t2 y ′ − (t + 1)(y + 1) = 0
h) j) l)
Exercice 4
2
′ 2t−t √ =′ e y + 2ty 2 1 + x y + xy = 1 + x2 1 ch (t) y ′ + sh (t) y = 1 + t2 2 ′ 1 + x2 y′ + xy = 1 x 1 + x2 y′ + 2xy = e + x 1 + x y − arctan (x) y = 0
1. Résoudre l’équation différentielle (ex + 1) y ′ − y =
ex 1 + x2
(E)
Indication (belge) : Quelle est la dérivée de ln (1 + ex ) ? π 2. Donner la solution y0 (x) telle que y0 (0) = − . Simplifier l’expression de f pour x > 0. 4
3. Quelle est la limite de y0 (x) quand x tend vers +∞ ? Exercice 5 On considère l’équation différentielle ch (x) y ′ + sh (x) y = 1 + (2x + 1) e2x
(E)
1. Résoudre l’équation homogène sur R. 2. A l’aide de la variation de la constante, trouver une solution particulière de (E) 3. Vérifier que yp (x) = 2xex est une solution particulière de (E) . 4. Déterminer la solution de (E) telle que y (ln 2) = 0. Exercice 6 Résoudre l’équation différentielle |1 − x| y′ + xy = x, traiter les problèmes éventuels de raccords. Exercice 7 Résoudre l’équation différentielle sin (x) y ′ − cos (x) y = 1.
2
Les Techniques
Exercice 8 Déterminer les solutions sur R de l’équation différentielle t2 y′ + (1 − t) y = 1 Exercice 9 Résoudre l’équation différentielle 1 − x2 y ′ + 1 + x2 y = ex . Exercice 10 Résoudre (ex − 1) y ′ + (ex + 1) y = 3 + 2ex .
Exercice 11 Résoudre l’équation différentielle |x| y′ + (x − 1)y = x3 . Exercice 12 Résoudre l’équation différentielle |1 + t| y ′ + y = 1 + 2t. Exercice 13 Résoudre l’équation différentielle (1 + |x|) y ′ + xy = 0. —1/2—
L F , L
PCSI2
Fiche 7
Equations différentielles linéaires du premier ordre
x Exercice 14 Trouver toutes les applications f : R → R, continues telles que ∀x ∈ R, 2xf (x) = 3 f (t)dt. 0
Exercice 15 Trouver toutes les fonctions f et g continues sur R qui vérifient x x f (t) dt = x + g (x) et g (t) dt = x + f (x) − 1 0
0
Exercice 16 Résoudre l’équation yy′ + y 2 = 12 e−2x on posera z = y 2 et on cherchera une équation vérifiée par z.
Exercice 17 On se place dans le plan affine R2 , on considère deux droites D et D′ sécantes en un point O. Soit Γ une courbe supposée pourvue d’une tangente en chacun de ses points. Pour tout point M de Γ, on désigne par H l’intersection de D et de la parallèle à D′ passant par M . Soit par ailleurs T le point d’intersection de la tangente en M à Γ et de D. Déterminer les courbes Γ telles que OH = 2OT .
Exercice 18 Vous connaissez tous cette fameuse règle de dérivation simplifiée : (fg)′ = f ′ g ′ , ou en d’autres termes, la dérivée d’un produit est le produit des dérivées ! 2 La question est la suivante, si f (x) = e x = exp x2 , déterminer un intervalle [a, b] et une fonction g définie sur [a, b] telle que (fg)′ = f ′ g ′ sur [a, b] . − → − → Exercice 19 On se place dans le plan R2 muni d’un repère orthonormé O, i , j . soit f une fonction dérivable sur R et M le point du graphe de f d’abscisse x. On appelle normale en M la droite passant par M et orthogonale à la tangente en M. Soit N le point d’intersection de la normale à M et de l’axe Ox. Déterminer f pour que le milieu de MN décrive la parabole d’équation y2 = 2px. Exercice 20 Equations à variables séparables : Résoudre les équations différentielles : ′ 1) yy ′ = (1 + x) 1 + y2 2) x 3) y′ = ex−y + yy2 = ′0 2 ′ 2 2 5) 1 + x y = 2xy 4) 1 + x y = 1 + y 6) y′ + xy = x
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Les Olympiques
Exercice 21 Déterminer les fonctions réelles f dérivables en 0 telles que ∀ (x, y) ∈ R, f (x + y) = ex f (y) + ey f (x) Exercice 22 Soient (k, λ) ∈ R∗ × R, déterminer les fonctions f dérivables sur R telles que ∀x ∈ R, f ′ (x) = kf (λ − x) Exercice 23 Soient a (x) y ′ +b (x) y = c (x) une équation différentielle du premier ordre avec a, b, c continues sur I sur lequel a (x) = 0. Soit x ∈ I, montrer que les tangentes aux courbes intégrales au point d’abscisse x sont concourantes ou parallèles. Que dire si l’équation différentielle admet une solution affine ?
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L F , L
