Exercices
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- Words: 766
- Pages: 3
Vendredi 11 avril 2008
Universit´e d’Ottawa
MAT 1730C
Exercices d’entraˆınement Exercice 1 : Calculer la d´eriv´ee de chacune des fonctions suivantes : ln x – f (x) = 2 x cos x – g(x) = sin x r x+3 – h(x) = x−2 – i(x) = e
√ x+3
– j(x) = x2 cos(x3 + 2x2 ) – k(x) = ln(cos(x2 ) + 1) Exercice 2 : Calculer les limites suivantes, si elles existent : ln x + 3 cos2 x cos x lim x→0 x2 1 lim ln( ) x→+∞ x 2 1 lim ( + 10 + e−4x ) x→+∞ x ln x lim x→1 sin(πx) √ x + x1 lim x→+∞ x2 x lim e cos x
– lim
x→1
– – – – – –
x→+∞
Exercice 3 : Calculer les int´egrales suivantes : Z √ 1 – I1 (x) = ( 3 x + x2 − 2 ) dx x Z π – I2 = (e2x + cos(3x)) dx par substitution 0
2π (t − φ))] dt T
– I3 (t) =
Z
[A + B cos(
– I4 (x) =
Z
√ (cos x) sin x dx
par substitution
– I5 (x) =
Z
√ x ( x + ex ) dx
par int´egration par parties
par substitution
(A, B, T, φ sont des constantes)
Vendredi 11 avril 2008
Universit´e d’Ottawa
MAT 1730C
Correction des exercices Correction exercice 1 : x2 x
− 2x ln x 1 − 2 ln x = 4 x x3 − sin x sin x − cos x cos x 1 – g ′ (x) = =− 2 sin2 x sin x ′
– f (x) =
1 x − 2 − (x + 3) 5 × q – h (x) = =− (x − 2)2 x+3 2(x − 2)2 2 x−2 ′
r
x−2 x+3
√ 1 – i′ (x) = √ e x+3 2 x+3
– j ′ (x) = 2x cos(x3 + 2x2 ) + x2 (3x2 + 4x)(− sin(x3 + 2x2 )) = 2x cos(x3 + 2x2 ) − (3x4 + 4x3 ) sin(x3 + 2x2 ) – k ′ (x) = −
2x sin(x2 ) cos(x2 ) + 1
Correction exercice 2 : 3 ln x + 3 = 2 x→1 cos x cos2 1 cos x = +∞ – lim x→0 x2 1 – lim ln( ) = lim (− ln x) = −∞ x→+∞ x→+∞ x 2 1 – lim ( + 10 + e−4x ) = 10 x→+∞ x – lim
1 1 ln x x = lim =− x→1 π cos(πx) x→1 sin(πx) π √ 1 √ − x12 x + x1 2 x = lim =0 – lim x→+∞ x→+∞ x2 2x
– lim
–
lim ex cos x n’existe pas car cos x prend des valeurs parfois n´egatives, parfois positives
x→+∞
et parfois nulles lorsque x tend vers l’infini. Correction exercice 3 : 3 x3 1 – I1 (x) = x4/3 + + +c 4 3 x Z π Z π – I2 = e2x dx + cos(3x) dx 0
0
En posant u = 2x et v = 3x on obtient :
Vendredi 11 avril 2008
Universit´e d’Ottawa
I2 =
Z
2π
0
1 u e du + 2
Z
3π
0
MAT 1730C
1 cos v dv 3
1 1 3π = [eu ]2π 0 + [sin v]0 2 3 1 2π 1 e − 2 2 Remarque : On pouvait aussi trouver la primitive directement, sans passer par une substitution. Z Z 2π – I3 (t) = A dt + B cos( (t − φ)) dt T =
En posant u =
2π T (t
I3 (t) = At + B
Z
− φ) on obtient :
T cos u du 2π
= At +
BT sin u + c 2π
= At +
BT 2π sin( (t − φ)) + c 2π T
– I4 (x) =
Z
√ (cos x) sin x dx
En posant u = sin x on obtient : I4 (x) = =
Z
√ u du
2 3/2 u +c 3
2 (sin x)3/2 + c 3 Z √ – I5 (x) = x ( x + ex ) dx =
√ En posant f (x) = x et g ′ (x) = x + ex on obtient : Z 2 2 I5 (x) = x( x3/2 + ex ) − ( x3/2 + ex ) dx 3 3 =
2 5/2 4 x + xex − x5/2 − ex + c 3 15
=
2 5/2 x + (x − 1)ex + c 5
Universit´e d’Ottawa
MAT 1730C
Exercices d’entraˆınement Exercice 1 : Calculer la d´eriv´ee de chacune des fonctions suivantes : ln x – f (x) = 2 x cos x – g(x) = sin x r x+3 – h(x) = x−2 – i(x) = e
√ x+3
– j(x) = x2 cos(x3 + 2x2 ) – k(x) = ln(cos(x2 ) + 1) Exercice 2 : Calculer les limites suivantes, si elles existent : ln x + 3 cos2 x cos x lim x→0 x2 1 lim ln( ) x→+∞ x 2 1 lim ( + 10 + e−4x ) x→+∞ x ln x lim x→1 sin(πx) √ x + x1 lim x→+∞ x2 x lim e cos x
– lim
x→1
– – – – – –
x→+∞
Exercice 3 : Calculer les int´egrales suivantes : Z √ 1 – I1 (x) = ( 3 x + x2 − 2 ) dx x Z π – I2 = (e2x + cos(3x)) dx par substitution 0
2π (t − φ))] dt T
– I3 (t) =
Z
[A + B cos(
– I4 (x) =
Z
√ (cos x) sin x dx
par substitution
– I5 (x) =
Z
√ x ( x + ex ) dx
par int´egration par parties
par substitution
(A, B, T, φ sont des constantes)
Vendredi 11 avril 2008
Universit´e d’Ottawa
MAT 1730C
Correction des exercices Correction exercice 1 : x2 x
− 2x ln x 1 − 2 ln x = 4 x x3 − sin x sin x − cos x cos x 1 – g ′ (x) = =− 2 sin2 x sin x ′
– f (x) =
1 x − 2 − (x + 3) 5 × q – h (x) = =− (x − 2)2 x+3 2(x − 2)2 2 x−2 ′
r
x−2 x+3
√ 1 – i′ (x) = √ e x+3 2 x+3
– j ′ (x) = 2x cos(x3 + 2x2 ) + x2 (3x2 + 4x)(− sin(x3 + 2x2 )) = 2x cos(x3 + 2x2 ) − (3x4 + 4x3 ) sin(x3 + 2x2 ) – k ′ (x) = −
2x sin(x2 ) cos(x2 ) + 1
Correction exercice 2 : 3 ln x + 3 = 2 x→1 cos x cos2 1 cos x = +∞ – lim x→0 x2 1 – lim ln( ) = lim (− ln x) = −∞ x→+∞ x→+∞ x 2 1 – lim ( + 10 + e−4x ) = 10 x→+∞ x – lim
1 1 ln x x = lim =− x→1 π cos(πx) x→1 sin(πx) π √ 1 √ − x12 x + x1 2 x = lim =0 – lim x→+∞ x→+∞ x2 2x
– lim
–
lim ex cos x n’existe pas car cos x prend des valeurs parfois n´egatives, parfois positives
x→+∞
et parfois nulles lorsque x tend vers l’infini. Correction exercice 3 : 3 x3 1 – I1 (x) = x4/3 + + +c 4 3 x Z π Z π – I2 = e2x dx + cos(3x) dx 0
0
En posant u = 2x et v = 3x on obtient :
Vendredi 11 avril 2008
Universit´e d’Ottawa
I2 =
Z
2π
0
1 u e du + 2
Z
3π
0
MAT 1730C
1 cos v dv 3
1 1 3π = [eu ]2π 0 + [sin v]0 2 3 1 2π 1 e − 2 2 Remarque : On pouvait aussi trouver la primitive directement, sans passer par une substitution. Z Z 2π – I3 (t) = A dt + B cos( (t − φ)) dt T =
En posant u =
2π T (t
I3 (t) = At + B
Z
− φ) on obtient :
T cos u du 2π
= At +
BT sin u + c 2π
= At +
BT 2π sin( (t − φ)) + c 2π T
– I4 (x) =
Z
√ (cos x) sin x dx
En posant u = sin x on obtient : I4 (x) = =
Z
√ u du
2 3/2 u +c 3
2 (sin x)3/2 + c 3 Z √ – I5 (x) = x ( x + ex ) dx =
√ En posant f (x) = x et g ′ (x) = x + ex on obtient : Z 2 2 I5 (x) = x( x3/2 + ex ) − ( x3/2 + ex ) dx 3 3 =
2 5/2 4 x + xex − x5/2 − ex + c 3 15
=
2 5/2 x + (x − 1)ex + c 5
