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Cours de mathématiques élémentaires. Exercice de géométrie comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 [...]

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Cours de mathématiques élémentaires. Exercice de géométrie comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues par F. G.-M. 6e édition. 1920. 1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupart des reproductions numériques d'oeuvres tombées dans le domaine public provenant des collections de la BnF. Leur réutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet 1978 : - La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre et gratuite dans le respect de la législation en vigueur et notamment du maintien de la mention de source. - La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et fait l'objet d'une licence. Est entendue par réutilisation commerciale la revente de contenus sous forme de produits élaborés ou de fourniture de service. CLIQUER ICI POUR ACCÉDER AUX TARIFS ET À LA LICENCE 2/ Les contenus de Gallica sont la propriété de la BnF au sens de l'article L.2112-1 du code général de la propriété des personnes publiques. 3/ Quelques contenus sont soumis à un régime de réutilisation particulier. Il s'agit : - des reproductions de documents protégés par un droit d'auteur appartenant à un tiers. Ces documents ne peuvent être réutilisés, sauf dans le cadre de la copie privée, sans l'autorisation préalable du titulaire des droits. - des reproductions de documents conservés dans les bibliothèques ou autres institutions partenaires. Ceux-ci sont signalés par la mention Source gallica.BnF.fr / Bibliothèque municipale de ... (ou autre partenaire). L'utilisateur est invité à s'informer auprès de ces bibliothèques de leurs conditions de réutilisation. 4/ Gallica constitue une base de données, dont la BnF est le producteur, protégée au sens des articles L341-1 et suivants du code de la propriété intellectuelle. 5/ Les présentes conditions d'utilisation des contenus de Gallica sont régies par la loi française. En cas de réutilisation prévue dans un autre pays, il appartient à chaque utilisateur de vérifier la conformité de son projet avec le droit de ce pays. 6/ L'utilisateur s'engage à respecter les présentes conditions d'utilisation ainsi que la législation en vigueur, notamment en matière de propriété intellectuelle. En cas de non respect de ces dispositions, il est notamment passible d'une amende prévue par la loi du 17 juillet 1978. 7/ Pour obtenir un document de Gallica en haute définition, contacter [email protected] .

N°

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EXTRAIT DU CATALOGUE OUVRAGES POUR LA PRÉPARATION AUX DIVERS RACCA LAURÉATS OURS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

»

ÉLÉMENTS D'ARITHMÉTIQUE. »

D'ALGÈBRE.

ÉLÉMENTS DE COSMOGRAPHIE. »

DE MÉCANIQUE.

TABLES DE LOGARITHMES. EXERCICES D'ARITHMÉTIQUE.

DE GÉOMÉTRIE.

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D'ALGÈBRE.

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DE TRIGONOMÉTRIE.

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DE GÉOMÉTRIE.

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D'ARPENTAGE ET DE NIVELLE-

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MENT. »

DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

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DE TRIGONOMÉTRIE.

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DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

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DE MÉCANIQUE.

Voir le Cataloguegénéral pour les ouvragesde Littérature,d'Histoire,de Philosophie do Science»phyilque» et naturelle»,etc. etc.

COURS DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

EXERCICES

PAR F. G.-M.

SIXIEME EDITION

PARIS

TOURS MAISON A. MAME ET FILS

J.

DE

GIGORD

RUE CASSETTE, 15

IMPRIMEURS-ÉDITEURS

ET CHEZ LES PRINCIPAUX LIBRAIRES

1920 Tous droits réservés.

AVERTISSEMENT DE LA CINQUIÈME ÉDITION

La cinquième édition des Exercicesde Géométrie complète celle de 1907, en y ajoutant un certain nombre de questions intéressanteset de nombreusesindications biographiqueset

bibliographiques. Les Théorèmeset Problèmesnouvellementintroduits ont eu beaucoupmoins pour but d'accroîtrele nombredes Exercices proposés,que de développercertainsgroupesnaturels,en comblant les lacunesqu'ils présentaient,ou en leur donnantl'extension qu'ils semblaient réclamer. Des notes, parfois très étendues, réunissent et résumentdes renseignements disséminésdansde nombreuxrecueils. Notre travail s'adressant à ceux qui cultivent avecprédilection les éludesde Géométrieélémentaire,il nousa paru utile de leur épargnerdes recherchesqui ne sauraientaboutir; par suite, nous indiquons un assez grand nombrede questions, très simples en apparence,mais dont la solutionéchappeaux élémentsde Géométrieet d'Algèbre. les Exercicesde GéoméLes diversestablesqui accompagnent trie élémentaireet de Géométriedescriptive,ayantété fort appréciées,nousdévelopponscettesourcefécondede renseignements ; ainsi, danscettecinquièmeédition,nousindiquons les questions nouvellementintroduiteset' un assezgrandnombrede références complémentaires.

Complémentde Géométrie.— Nos Élémentsde Géomé-

trie sont complétéspar un Livre d'Exercices,comprenantdes théorèmesà démontrer,des lieux géométriquesà trouver et des problèmesà résoudre.

Utilité des Exercicesde Géométrie.— Nous croyons

qu'il est nécessaired'exercerles élèvesà traiter par eux-mêmes un assezgrandnombrede questions,et l'on peut justifier cette assertionpar deux raisonsprincipales: 1° L'exposition synthétiquedes théorèmesd'un coursélémentaire ne développepas l'esprit de recherche,car rien n'estlaissé à l'initiative de l'étudiant; il faut donc provoquerses propres réflexionsen lui proposantdesexercicesà résoudre,et le porter ainsi à faire usagede toutesles notions qu'il a acquises. 2° L'extrêmevariété desexercicesgéométriques,l'absencede toute méthodeassezgénérale,ou du moins assezpratique,qui conduise d'une manière certaineà la solution d'unequestion nouvelle,exigentquel'élèvese livre à do nombreuses recherches, à tenir tète à l'imprévuquelui s'il veut se préparersérieusement réserventles Examensà subir. Après avoir rappelé l'importance qu'il faut attacherà la recherchedes questionsgéométriques, indiquons rapidement l'esprit qui a présidéà la rédaction de notre ouvrage,les principales divisions de ce volumineux recueil et l'usage des diversesparties qui le constituent.

PREMIÈRE PARTIE

Des Méthodes.— Le recueilque nouspublionscommence

par l'exposédesMéthodes; nous donnonsaussisousce titre certainessolutionsgénéraleset desexemples de discussion. Les Méthodesconstituent lapartie la plusimportantede tout l'ouvrage,commeellesen sont d'ailleursla plus originale.Tout professeur,et mêmetout élève sérieux,devraitposséderparfaitementce complémentde géométrie;car l'exposition des méthodes fait naître et développeles idées générales; elle permetde rattacher des milliers d'exercicesvariésà quelquestypesprincipaux, que l'on retientsanspeineet que l'on appliqueavecfacilité. Afin de contraindrele lecteur,autantqu'il dépendde nous,à s'assimilercomplètementcettepremièrepartie, nousavons proposécommeExercices,dans nos Élémentsde Géométrie(dès la édition), tous les théorèmeset problèmes donnés en exemples dans l'exposémême desMéthodes; puis dans le Livre d'Exercices, au numéroqui correspondà telle ou telle question,nous nous bornonsle plus souventà renvoyerà la premièrepartie; par ce moyen, ontrouve non seulementla démonstrationou la solution cherchée,mais on voit à quel genreil est possible de les rattacher,et quels sont les Exercicesque l'on pourrait traiter d'unemanièreanalogue. 8°

ClassementdesMéthodes.— Donnonsquelques détails

méthodes,sur leur importancerelative et sur le classement des sur leur emploi.

Analyseet Synthèse.— L'Analyseet la Synthèse(I, p. 4

à 24) sont les seulesméthodesgénérales; mais par le fait même qu'elles s'appliquent à toutesles questions,il en résultequ'elles ne dispensentpoint de chercherdesméthodesparticulières,des procédésspéciaux pour traiter rapidement certains groupes d'exercices.

Lieux géométriques.— Les Lieux géométriques(II,

p. 24

à 59) sont si utiles, que nul no regretterales développements que nous avonsdonnésà leur rechercheet à leur emploi ; les quelquespagesconsacrées des notions aux enveloppesprésentent

intéressantes sur des questionsnon traitéesdans les Éléments, mais qui ont conduitau principesi fécond de la dualité.

Emploi desfigures auxiliaires.—

L'emploi des figures ; car la auxiliaires (III, p. 60 à 87) est presqueindispensable plupart desquestionsexigentle tracéde certaineslignes, la constructionde quelquesfigures ou la considérationde surfacesou de volumesauxiliaires. Nous devons ajouter que la duplication et les projections donnentassezsouventdes démonstrationsaussi simplesqu'élégantes.

Transformationdes figures.—

La Transformationdes figures (IV, p. 87 à 116), mêmeen se bornantà ce que nousen avonsdit, est le moyen le plus puissantd'investigationque les Élémentsde Géométriepuissentnous fournir pour découvrirde solutions. nouveauxthéorèmes,ou pour trouverd'heureuses

Discussion.— La Discussionet l'Extension(V, p. 116 à 150)

ont bien des pointscommuns,malgré les différencescaractéristiquesqui les distinguentl'une de l'autre. La discussiondesproblèmesentrede plus en plus dans les habitudesclassiques ;.car, en réalité,une questionn'esttraitée d'unemanièrecomplèteque lorsqu'on a étudié les cas de possibilité, les variations que peuventsubir certainesgrandeurs,et, s'il y a lieu, leur maximum ou leur minimum.

Extension.— L'Extension(p. 129 à 141) est rarementindi-

quéeet plus rarementpratiquée; cependantelle contribueplus que toute autre étude géométriqueà développerles forces de l'esprit, et à produirecet enthousiasme quirend le travail facile. Il noussemblequ'onrendraitun grandserviceaux élèvessi l'on cherchaità faire naîtreen eux cettefaculté créatrice. L'extensionpeut être complétéepar les Déductionssuccessives (p. 141) et" par la Généralisationhypothétique decertainsthéorèmes(p. 145).

Méthodealgébrique.— La Méthodealgébrique(VI, p. 150

à 179) offre desressourcesqu'on aurait grandtort de négliger; elle fournit, pour un grand nombre de questions,dessolutions parfoispeuélégantes,il estvrai, mais toujoursfaciles à imaginer.

En effet, quel quesoit le problèmeproposé,si l'on parvientà lier les inconnuesaux donnéespar deséquationsdes deuxpremiers degrésou par une équationbicarrée,on peut regarder laquestion commecomplètement résolue : car l'algèbrenous donnedes règlescertaineset invariablespour déterminerles inconnues.

Maximaet Minima. — LesMaximaet les Minima (V, p. 179

à 210), traitéspar des moyensà peu prèsexclusivementgéométriques, présententsansdoute une véritable nouveauté; car le petit nombred'exemplesqu'on pourraiten trouver dansd'autres ouvrages neconstituentni une méthodeni mêmeun simple procédésusceptiblede s'appliquerà quelquesexercices; tandis que l'inscription d'unefigure d'aire maxima,celle d'un volume maximum,de mêmeque la circonscriptiond'unefigure d'aireminima ou d'un volume minimum, n'exigent la connaissance que d'un seulproblème: celui de la tangente(n° 310).

DEUXIÈME PARTIE

Recueil d'Exercices. —

Après avoir ainsi fait connaître l'utilité de la premièrepartie de l'ouvrage actuel, relative aux Méthodes,il nous sera bien permisde passerrapidementsur le reste,consacréaux Exercicesproprementdits. Voici néanmoins quelquesindicationsassezimportantes.

Choix des Exercices.—

Dans chaquelivre, on trouve d'aborddes théorèmes,puis des lieux géométriques,et enfin des problèmes; chacunede ces trois grandessectionsest à son tour subdivisée,et chaquegroupeainsi formé présente,au début,des exercicestrès faciles et se terminepar desquestionsoffrant plus d'intérêt et plus de difficultés ; il est donc important que le Professeurse rende compte, par avance,des questionsqu'il veut proposerà ses élèves, afin que les exercicessoient en rapport déjàacquisespar ceux qu'il instruit. avecles connaissances Nousavouonssanspeineque plusieursquestionsréputéesdiffii

ciles ont trouvé placedansnotrerecueil,parce quel'emploijudicieux desMéthodes(p. '1 à 211 ) conduit à desdémonstrations ou à dessolutions remarquables parleur simplicité ; d'ailleursil nous a sembléutile de ne pasnous borner aux questionsqu'on ren¬

i

contre partout, et de laisser à un ouvrageplus élémentairele soin de fournir de nombreuxexercicesfaciles et d'intéressants problèmesd'application.

Démonstrationsou solutionsmultiples.— Plusieurs

ont étédémontrésde diversesmanières; quelquesprothéorèmes blèmesont étéde mômerésolusparl'emploi successifde plusieurs procédés différents. En agissantainsi, nousavonsvoulu montrer l'avantageque peutprésentertelle marchesurtelle autre,donner quelquesexemples del'admirableféconditéde certainesméthodes, et surtoutencourager les chercheurs, on leur prouvantqu'on peut arriver, par bien des voies, au résultatdemandé.

Problèmesnumériques.—

Les problèmesnumériques, qui se trouvaientdansles premièreséditions,n'ontpasété reproduits danscelle-ci, parceque la Géométriedu cours supérieur, pour l'enseignement primaire donne un grandnombrede questions numériques,empruntées,pour la plupart, aux examensdu brevetsupérieurde ce mêmeenseignement. Le baccalauréat èsscienceset le baccalauréat moderne (mathématiques)proposentaussiassezfréquemment desquestionsnumériques,mais il faut presquetoujourschercher préalablement une solutiongénérale; il est donc nécessaired'étudiertout ce qui est relatif aux relationsnumériques: aussiavons-nousmultiplié les exercicesqui s'y rattachent,et les livres III, IV, VI et VII cohtiennentun assezgrand nombrede formulesà démontreret de

relationsà trouver.

Désignation(le certainsExercices.— Plusieursques-

tions sont désignéespar desnoms ou des appellationsdevenues historiques; par exemple,le Théorèmede Ménélaùs,le Théorème de Çuldîn, le Problèmede Pappus,le Problèmede la Section déterminée,etc. ; nous en avonspublié un assezgrandnombre d'autressousle nom de leur auteur,ou bien nousavonsindiqué, après l'énoncé,le nom de l'auteurprésumédu théorèmeou du problème;puis une courte notice historiquevient satisfairela louablecuriositédu lecteur.De même,nousavons cité très fréquemmentles ouvragesauxquelsnousavionsempruntédesExercices, sans pouvoir affirmer néanmoinsque la questionest due à l'auteur même du livre rappelé;car on sait qu'un trèsgrand

.

nombred'ouvragesmathématiques ne donnentaucuneindication sur la provenancedesmatériauxmis en oeuvre.

Citation des auteurs.—

Nous avonscité les grandsgéomètres,parce queleur nom relève,ennoblit, en quelquesorte, les questionsqu'ils ont traitées;nousregardons d'ailleurs comme enversces illustres mathématiciens un devoir de reconnaissance de rappelerleur souvenir à tous ceux qui bénéficientde leurs

travaux. Beaucoupde savantsmoins célèbres,sansnul doute,qu'Archimède, Apollonius, Pascal,Descartes,Newton, Desargues, Poncelet,Chasles,etc., méritentd'autantplus d'êtrementionnés, qu'ils trouvent rarementplace dansles dictionnairesbibliographiques.En effet, la plupartde ces ouvrages,dus à deshommes de lettres, ne veulent point oublier le moindre romancier, le moindre utopistede quelquerenom;mais ils ne se préoccupent pas aumêmedegréde ceuxqui ont voué leur existenceauxlaborieusesrecherches mathématiques. Enfin, à côté des plusgrandsnoms,setrouventaussi lesnoms, parfois très modestes,de certainsauteursque nous avons néanmoins consultésavecprofit ; nousn'avonspashésitéà mettreces hommesestimablesdansle cortègedes plus illustresgéomètres, et nouspouvonsmêmedire que si nous sommesfier de citer les plus grands mathématiciens,nous sommesencore plus heureux de rendrejustice à ceux quela gloire ne viendrajamais couronner. Tablesdiverses.— L'ouvrageseterminepar diversestables de référence; on y trouve : un Lexique géométriqueavecrenvois et ; l'énoncéde quelquesProblèmes aux numéroscorrespondants Théorèmeshistoriques; une Table desnotes et des remarques principales; l'indicationdesexercicesintroduitsdansla cinquième édition; une sériede questionsqu'on ne sait pasconstruireavec la règle et le compas ; enfin un Index bibliographiqueet un Index biographique,destinésà faciliter les rechercheset à rappelerles sourcesoù nousavons puisé.

TROISIÈME PARTIE

HistoriquedesExercicesde Géométrie.—

La première édition des Exercicesde Géométriea été publiée en 1875 (in-12 de 440 pages).Elle constituaitun recueil bien graduéde questions élémentaires de Géométrie. Un complémentde 52 pages,destinéà êtredéveloppéultérieurement,avait pourtitre : des Méthodespourdémontrerou résoudre les Exercices élémentairesde Géométrie, suivi d'un Appendice pourévaluerles volumes,terminaitcettepremièreédition. C'était, en germe,l'exposédes Méthodes(210 p.) qui distingueles Exercices de Géométrieédités par MM. MAME et POUSSIELGUE, et Y Appendiceaux Exercicesde Géométrie(170 p.) publié en 1877.

Deuxièmeédition.— La deuxièmeédition a paruen 1882

(in-12 de 1125pages,F. I. C.) ; c'étaiten quelquesorteun ouvrage nouveau,non seulementparce qu'elle contenait beaucoupde questionsqui ne se trouvaientpoint dansla premièreédition, mais surtout parce qu'elle débutait par un travail original intitulé : Méthodespour démontrerles théorèmeset résoudreles problèmes de Géométrie. Aucun auteur français, croyons-nous, n'avait encorepublié de méthodologiepour l'enseignement élémentairedela Géométrie1. On saitquel'ouvragede PaulSERRET: Des Méthodesen Géométrie, est d'un ordre plus élevé, et n'a presque aucunrapportaveccelui que nous avonsfait connaître en 1875, et développéen 1882. Nous n'avionsguère alors que l'ouvragede Julius PETERSEN: Méthodeset théoriespour la résolution des problèmeset constructions géométriques, dont la traduction françaisevenait d'être publiée (1880).Nous avonsconsultéavecplaisir et profit l'ouvrage remarquable du savantgéomètre danois, tout en conservantnotre travail déjà préparé; d'ailleursce derniera son originalité propre,soit dansle classele choix desquestions ment et l'exposédes méthodes, soit dans étudiées.Quantaux nouveauxexercices,nosmodestesrecherches ont trouvé place à côté des questionsempruntéesaux meilleurs Il en est tout autrementdepuiscette époque,et nous citons môme plusieursdes ouvragesqui ont paru assez,récemmentsur ce sujet. 1

dansle paragraphedesMaxima et Minima ; on auteurs, surtout chercheraitvainement ailleursl'emploi de la tangente pour résoudre géométriquement des problèmesqu'on ne traitait que par l'algèbreet la trigonométrie.

Troisièmeédition.— La troisièmeédition, publiéeen1896

(in-8° de 1135 pages,F. J.), a fourni son contingentde questions nouvellesou peu connues,et a donnéen 118 pagesunesérie d'Exercicesélémentairestrès intéressantssur la Géométrie du triangle. Ce travail a sa physionomiebien particulière; il ne fait pas doubleemploi avec l'Etudesi remarquablepubliée par le savant M. NEUDERG dansle Traitéde Géométriede M. ROUCHÉ, ni avec l'ouvragede JohnCASEY ( n° 2261,9°).

Quatrièmeédition. —

Publiée en juillet 1907 (in-8° de 1228 pages,F. G. M.) La quatrièmeédition différait de la précédenteparles modificationset améliorationssuivantes: Les renseignementsbibliographiquesavaient été notablementdéveloppés et complétésjusqu'ànos jours,surtoutà l'aide de MATHESIS et de l'Intermédiaire des mathématiciens.Ces mêmes périodiques, diversesautrespublicationset quelquesrecherchespersonnelles avaientfourni des questionsnouvelles en assezgrand nombre; mais afin de ne pasaccroîtrenotablementun ouvragetrèsvolumilessolutionsdesquesneux, nousavionssupprimé fréquemment tions les plus élémentaires et les calculsles plusétendus; d'autant plus qu'il est facile de les trouver dans les éditions précédentes. L'énoncédes questionsdont la solution complèten'est point dans nos Exercicesne se trouve pasdansles Élémentsde Gèométric ; néanmoinsnous indiquonsavecsoin les ouvrageset les publications périodiques quidémontrentle théorèmeénoncé, ou donnentla solution du problèmeproposé. Cinquièmeédition. — La cinquième éditionest précédée d'un Avertissementqui rend suffisammentcomptedes modificacationsquelle contient,et qui permettentde la caractériser.

HISTORIQUE

Dès le commencementdu monde,les hommesont eu besoin d'évaluer les grandeurset ont choisi, à cettelin, desunitésconvenables ; il n'y a donc pas lieu de rechercherl'origine des idées d'étendue,de mesure, de nombre,et il est impossibled'assignerla date des premièresdécouvertes relativesaux propriétésdes ligures; néanmoinson croit communément chezles Chaldéenset les que la Géométrieproprementdite prit naissance Egyptiens.Hérodote,le père de l'histoire, fait remonterl'origine de celte science àl'époqueoù Sésostrisfit unerépartitiongénérale des terresentre les habitantsde l'Égypte; Aristote place demême dans cette contréele

berceaudes mathématiques. On doit dire cependantque la Grèceest la vraie patrie de la Géométrie, car c'est là qu'elle a été cultivéeavec ardeur,que de nombreuses découvertesont été faites, et que les résultatsobtenusont étécoordonnés de manièreà former un corpsde doctrine. Au vi° siècle avant J.-C., Thalès, né en Phénicie, va s'instruire en Égypte,y mesurela hauteur des pyramides par leur ombre, porte la Géortiétrieen Grèce,fonde à Milet l'école Ionienne et enrichit la science de divers théorèmessur le triangleisocèle, l'angleinscrit et les triangles semblables. (

Pythagore,né à Samosvers 580 avantJ.-C., estle plus illustre disciple de Thalès; commeson maître, il voyageen Egypte. Aprèsavoir parcouru l'Inde, il se retire en Italie, y fonde une école célèbre; on lui doit la démonstration del'incommensurabilité de la diagonaledu carré comparée au côté de cette figure, la théorie des corps réguliers,le théorème du carréde l'hypoténusedu triangle rectangleet le premiergermede la doctrinedesisopérimètres. Anaxagorede Clazomène,mort vers l'an 430 avant J.-C., s'occupele premierde la quadraturedu cercle.

Hippocratede Chio (vers450 av. J.-C.)s'adonneaux mêmesrecherches, ainsi qu'à l'étude du problèmede la duplication dit cube, et se rend célèbrepar la quadraturede ses lunules.

Platon(430-347av. J.-C.) va d'abord s'instruire en Égypte, puis chez les pythagoriciens. De retour à Athènes,le fondateurdu Lycée introduit dansla géométrie la méthode analytique,les sectionsconiques,la doctrine des lieux géométriques,et donne une solution graphiquedu problèmede la duplication ducube; il appelleDieu l'Éternel Géomètre,et inscrit sur la porte de son école de philosophie: « Que nul n'entreici, s'il n'estgéomètre.» Le phytagoricienArchytas,né à Tarentevers 430 avantJ.-C., s'occupe le premierd'unecourbeà double courbureà l'occasiondu problèmedes deuxmoyennesproportionnelles,auquelHippocrate avait ramenécelui de la duplication ducube. A la même époque,Dinostrate,disciple de Platon, résoutle problème de la trisection de l'angle à l'aide d'unecourbe qu'il nomme quadratrice. Perseusrechercheles propriétésdes spiriques,c'est-à-diredeslignes obtenuesen coupantpar un plan la surfaceannulaireappeléetore. Euclide (vers 285 av. J.-C.) enseigne àAlexandrie, et rédige les Elémentsde Géométrie,en y introduisant la méthodede réduction à l'ab-

surde. Les Élémentscomprennenttreize livres, auxquelson joint deux autres livres, attribuésà Hypsicle, géomètred'Alexandrie,postérieurà Euclide de 150ans. Les six premierslivres traitentdesfigures planes ;les quatre Suivants sont nommésarithmétiques,parcequ'ils traitent des propriétés des nombres,et les cinq dernierss'occupentdes plans et des solides.On n'a fait passerdansl'enseignementque les six premierslivres, le onzième

et le douxième. On doit aussi à Euclide un livre des Données ; il avait écrit sur les Sections coniques, et laissétrois livres de Porismesqui ne noussont point parvenus. Archimède(287-212av. J.-C.) s'occupeparticulièrementde la Géométrie de la mesure;il opèrela quadraturede la parabole,étudie les spirales,donnel'expressiondes volumes dessegmentsdesellipsoïdeset des hyperboloïdes,la proposition de la sphèreet du cylindre circonscrit,le rapport de la circonférenceau diamètre; il lègue aux générationssuivantesnon seulementun grand nombrede théorèmesnouveaux,mais la méthoded'exhaustion qu'ilavait si bien employée. Apollonius (vers 247 av. J.-C.) traite do la Géométriede l'ordre, de la forme et de la situation des figures. On lui doit un Traité des coniques en huit livres; sept nous sont parvenus,et le huitième a été rétabli on 4646 par l'astronomeHalley, d'aprèsles indications de Pappus. Le Traitédesconiquesfit donnerà son auteurle nom de géomètreparexcellence; on y trouve les principalespropriétésdes foyers, la germe des théoriesdespolaires,des dévelopjiées,des maximaet desminima. Après les grandsnoms d'Archimède et d'Apollonius,il faut se borner à citer rapidementquelquesautresgéomètres.

Nicomède(150 av. ,T.-C.) est connu par la conchoïde,courbequi permet de résoudrepar un procédémécaniquele problème desdeux moyennes

proportionnelleset celui de la trisectionde l'angle. Hipparque(vers 150 av. J.-C.) considèrela projectionstéréographique et s'occupedestriangles sphériques. Ménélaüs(vers80 ap. J.-C.), dansson Traité dessphériques,découvre plusieursdespropriétés destriangles sphériqueset donnecommelemme le théorèmefondamental dela théorie des transversales. nommée Ptolémée(vers125 ap. J.-C.), danssa Syntaxe mathématique, Almageste,c'est-à-direTrès grande,par les Arabes,donne lepremier traité de Trigonométrierectiligne et sphériquequi nous soit parvenu. Pappus(sur la fin du VIe siècle del'ère chrétienne)rassemble dans ses Collections mathématiques les découvertes desmathématiciensles plus célèbres,et une multitudede propositions curieuses et de lemmesdestinés à faciliter la lecture de leurs ouvrages.On lui doit le célèbrethéorème de Guldin et la premièremention durapportanharmonique. Dioclès invente la cissoïde pour résoudre le problème des deux moyennesproportionnelles,mais le tracé mécaniquede cettecourbe est dû à Newton. Aux grands géomètressuccèdentquelquescommentateursplus ou moins ingénieux,et l'on arrive à une périodede stagnation quiduré jusqu'auXVIe siècle. (1540-1643),ouvre l'ère modernede la Vîète, de Fontenay-le-Comte science;il complètela méthodeanalytiquede Platon par l'invention de l'Algèbre, il construitgraphiquementles équations dusecondet du troisième degré, préparantainsi la voie à Descartes,et il perfectionnela trigonométrie sphérique. Kepler (1571-1631), danssa Nouvelle stéréométrie,introduit le premier la notion de l'infini dans la géométrie,fait remarquerla nullité d'accroissement d'unevariable au maximumou au minimum, et donne une méthodegraphiquepour déterminerles circonstancesd'une éclipse de soleil. Cavafieri (1598-1647)public sa Géométrie desindivisibles; il considère les solidescomme formés d'une infinité de plans, et les plans, par la réunion d'une infinité de lignes; cette idée féconde, malgré l'inexactitude du fait qu'elle exprime,permetdes évaluations nouvellesde surfaces et do volumes,et la déterminationgéométriquedes centresde gravité. portent son Guldin (1577-1643)découvre lesthéorèmes célèbres qui nom, et que plus tard on a aperçusdansPappus. Grégoirede Saint-Vincent(1584-1667)perfectionnela méthode d'exhaustion d'Archimède, et l'on peut dire avec raison que le petit triangle différentiel qui apparaîtentrela courbe et deux descôtésconsécutifs de

l'un desdeux polygonesinscrit ou circonscrit,a conduitBarrow, Leibniz

et Newton au calcul infinitésimal. Roberval (1602-1673)donneune méthodepour menerles tangentes, baséesur la doctrine desmouvementscomposés,introduite dansla mécanique par Galilée. Fermat(1590-1663) publiela belle méthodede maximis et minimis, en introduisant pour la premièrefois l'infini dans le calcul, comme Kepler l'avaitintroduit dans la géométriepure; il est sans égal dans sa théorie desnombres. Desargues(1593-1662) étend aux coniques lespropriétésdu cercle qui sert de baseau cône, dont il étudie les sections; il considèreles droites parallèlescommeconcourantà l'infini, et donnele théorèmefondamental de l'involution de six points, en considérantune sécantequi coupe une coniqueet un quadrilatèreinscrit dans cette courbe.On lui doit aussi le théorème fondamental desdeux triangleshomologiques. Pascal(1623-1662) écrità seizeans son Traité des sectionsconiques; à dix-huit, ses découvertessur la Roulette ou Cycloïde, et donne le célèbre théorème de l'hexagrammemystique relatifà la propriété de l'hexagoneinscrit dans une conique. Deaoartes(1596-1650),par son inappréciableconceptionde l'application de l'algèbreà la théorie des courbes,change véritablementla face des sciences mathématiques. La physiqueet l'algèbre elle-même retirent de grandsavantagesde la doctrine des coordonnées, et l'analyses'enrichit de la méthode descoefficientsindéterminés. La méthodeanalytique de Descartesest dès lors cultivée par un si grandnombre de géomètres,qu'il faut se borner à en citer quelques-uns. De Wîtt (1625-1672),le grandpensionnairede Hollande, donne une, descriptionorganique desconiques. Wallis (1616-1703) écrit le premier un Traité analytiquedes sections coniques. Viviani (1622-1703)proposele problème do la voûte sphériqueexactement carrable. Huygens(1629-1695),célèbreà bien des litres, donne la théorie des développées,établit le principe de la conservationdes forcesvives, et» public son Traité de la Lumière. La Hire (1640-1718),continuateurdes doctrinesde Desargueset de Pascal, donnelu Nouvelle Méthodeen géométriepour les sections des superficiesconiqueset cylindriques,un Mémoire sur les épicycloïdes,et, en 1685, son grand Traité dessectionsconiques. Newton ( 1612-1727),le grandgéomètre,public l'Arithmétiqueuniverselle, modèle, parfait de l'application de la méthodedo Descartesà la résolutiondes problèmesde géométrieet à la construction desracines des équations.Le grand ouvragedes Principescontient de nombreuses propositionsde géométriepure et la rectification des épicycloïdes;mais

tout sembledisparaîtredevantl'inventiondu calcul des fluxionsou calcul infinitésimal, dont Newton disputela gloire à Leibniz. Leibniz (1646-1716)est le principal auteurdes méthodesmerveilleusement puissantesqu'on nomme calcul différentielet calcul intégral; la premièreest surtout employéepour la détermination destangenteset des maxima ou minima; la secondepour les quadratures,les cubatures, les rectifications. Halley (1656-1742)est non seulementastronomecélèbre,mais géomètre distingué.On lui doit la traductionet la restitutionde plusieurs ouvragesd'Apollonius. Maclaurin (1698-1746)montre,dans son Traité des fluxions, le grand •parti qu'on peut tirer des considérationspurementgéométriquespour étudierles questions relatives à l'attraction des ellipsoïdes. R. Simson(1687-1768)publie, dansson Traité des coniques, lesthéorèmes célèbresde Desargueset de Pascal,ainsi que le problème ad quatuorlineas de Pappus,et s'occupede découvrir les porismesd'Euclidc. Les Bernoulli emploientsurtoutle calcul infinitésimal. JacquesBernoulli (1654-1705)est l'un des premiersà faire usagedu calcul intégral; il étudie la spiralelogarithmique. Le marquis de l'Hôpital (1651-1704) donnel'analysedes infiniment

petits. Jean Bernoulli (1667-1748),émule de son frère Jacques,proposele problèmede la brachistochrone,ou de la plus courte descente,et étudie le problèmedes isopérimètres. Il faut se bornerà nommerRolle (1652-1749)et sonthéorèmed'algèbre; Riccati (1676-1754),dont une équationporte le nom ; Taylor (1685-1731) et sa série;Moivre (1667-1756),Cotes(1682-1716)et leurs théorèmes; Cramer (1704-1752)et son Introduction à l'analysedes courbesalgébriques,pour passerà un des plusgrandsanalystes. Euler (1707-1783)publie l'Introduction à l'analyse des infinis et un grand nombrede mémoires sur les différentesparties des mathématiques. Clairaut (1713-1765)écrit à seize ansle Traité des courbesà double courbure,et exposepour la premièrefois, d'une manièreméthodique, dansl'espace,appliquéeaux surfacescourbes la doctrinedescoordonnées et aux )ignesà double courburequi résultentde leur intersection. D'Alembert (1716-1783)est surtout connu parson Traité de dynamique. Lambert (1728-1777)publie son Traité de perspectiveet son Traité géométriquedes comètes. Bezout(1780-1783),bien connu par son Cours complet de mathématiques.

Logrange(1736-1813),auteurde la Mécaniqueanalytiqueet du Calcul desvariations. Laplace (1749-1827),auquelon doit de nombreuxtravaux d'analyseet la Mécaniquecéleste. La puissanceet la fécondité desMéthodesanalytiquesexercentdèslors un tel attrait sur les intelligences,qu'on ne cultive plus, pour ainsi aire, la géométrieproprementdite ; mais un réveil se produit vers la fin du dix-huitième siècle, et reporte l'attention sur les méthodespurement géométriques. élémentsde construction dispersés Monge (1746-1818) coordonne les dansles oeuvresde Desargues,de Frézieret de divers praticiens,et crée la Géométriedescriptive; il réduit ainsi à un petit nombre de principes invariableset à des constructionsfacileset certainestoutesles opérations géométriques qui peuvent se présenterdansla coupedes pierres,la charpente,la perspective, lagnomonique; il développeen outre la faculté de percevoirles figures dansl'espaceet de découvrirleurs propriétés. Carnot (1753-1823)donne la Méthode des transversales et la Géométrie de position, qui permet de déduire d'un cas donné d'unproblème proposé,les diversautrescasqui peuventse présenter. Legendre(1762-1833),devenupopulairepar sesÉlémentsde Géométrie, publiés en 1794, s'adonneaussi à la plus haute Analyse et à la Théoriedes nombres. Dupin (1784-1873),dans ses Développementset sesApplicationsde géométrie, traitepar de simples considérationsgéométriquesquelquesunesdesquestions lesplus difficiles de l'analyse. Brianchon(1785-1864)fait connaîtreles propriétésde l'hexagonecirconscrit à une conique,et publie son Mémoiresur les lignes du second

ordre.

Ponoelet(1788-1857)devientle principal auteurdesméthodesde transl'homologie et des formation des figurespar les fécondes doctrines de polairesréciproques; son Traité des propriétésprojcctivcs des'figures montre la puissanceextraordinairedes instrumentsqu'il a crééset qu'il met en oeuvre. Il est possible, sans nul doute, de trouver, dans des germesdes méthodesqu'il ouvragespubliés antérieurement, quelques qu'il donne;mais il y a loin d'un théorèmeisolé, quelque intéressant puisseêtre,à une doctrinecomplèteconduisantà de nombreusesapplications. Poinsot (1777-1859),si connu parsa théorie des couples,étudieles polyèdresétoilés. Cauchy(1789-1857)traite la mêmequestionet ne resteétrangerà aucune

desbranches des mathématiques. Möbius (1790-1868)et Steiner(1796-1863)appliquentavec succèsles méthodesde transformationdes figures, et le dernier surtout fait connaîtreun très grand nombrede théorèmesnouveaux.

Gergonne(1771-1859),dans sesAnnales mathématiques,propageles nouvelles doctrines; il formule le principe de dualité,en généralisant les résultatsdonnéspar la méthodedespolairesréciproques. Chasles(1793-1880)reprendtoutesles nouvellesdécouvertes,les étend par sespropresrecherches; puis il les présented'une manière élégante et rigoureuse,en employant les transformations qu'ildésigne sous le nom d'homographieet de corrélationdes figures, et dont le rapport anharmoniqueest la basefondamentale.Sa Géométriesupérieure,le Traité des coniques et le rétablissementdes porismesd'Euclide, font époque dansl'histoire de la géométrie. Cremona(1830-1903),dans sa Géométrieprojective, résumeles principes de la géométriemoderne établispar Poncelet, Steiner,Chasles; il trouve le moyen, trop négligépar la plupart des auteurs,de rendre justice aux savantsqui l'ont précédé. L'inversiondes figures a sespropriétésparticulièreset obtient des travaux spéciauxdes géomètresStubbs,Thomson, Liouville,etc. Pendantce temps,Bellavitis créela théorie des équipollences, et Mannheimdéveloppe la Géométriecinématique,dontRobervalavaitdonnéune premièrenotion par sa méthodedestangentes,et que Poinsotavait continuéepar la théorie du centreinstantané derotation. La transformationdesfigures, appliquéeaux arts mécaniques,donne lieu à d'intéressants travaux : Peaucellier,par son Inverseur,ouvre une voie féconde,que suiventavec succèsKempe,Hart, Sylvester,Liguine, Darboux. De nos.jours, la Géométrie s'est enrichie d'un chapitre très intéressant, grâce aux travaux d'un grand nombre de géomètresdistingués, parmi lesquels il convient de citer d'abord MM. Lemoine, Brocard et Neuberg. On doit nommer ensuite J. Casey,G. Tarry, M. d'Ocagneet G. do Longchamps. Dans diverscongrèsscientifiques,M. E. Vigarié a été l'historiographe desrecherches relativesà la Géométriedu Triangle. En 1904,M. Gaston Darboux a publié un travail remarquable,Étude di ' uts an XI\r siècle. sur ht développement

METHODES I.

METHODES GENERALES

Introduction méthodes. §

§

S

§

I. Classification des

II. Classification

§ §

théorèmes par l'analyse III. Synthèse et réduction à l'absurde IV. Problèmes graphiques Méthodes particulières

§

ç §

§

§

§

S §

15 22

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

24 35 38 46 53

EMPLOI DE FIGURES AUXILIAIRES

I. Constructions auxiliaires 11. Figures symétriques 111. Composition ou décomposition IV. Surfaces auxiliaires V. Volumes auxiliaires VI. Projections ou sections IV.

§

13

Enveloppes

III. §

5

I. Recherche des lieux géométriques Lieu composé II. Emploi des lieux géométriques Emploi de deux lieux géométriques

III.

4

des Exercices de Géométrie et démonstration des

II. §

1

60 65

'

69 73 78 83

TRANSFORMATION DES FIGURES

I. Déplacement parallèle II. Modification des ordonnées III. Similitude et homothélic V. Inversion

Inversion dans l'espace

87 93 96 99 101

110

V. DISCUSSION ET EXTENSION § § § §

I. Discussion d'un problème Manières diverse^ d'envisager un problème II. Méthode par extension Extension aux figures de l'espace III. Déductions successives IV. Généralisation

VI. § § § §

I. Construction des formules

II. Emploi de la méthode algébrique

Relations et lieux à utiliser III. Problèmes sur la tangente Nombre de solutions d'un problème IV. Relations numériques Problèmes d'Apollonius

g

1-13

150

155 160 163

170 172 176

MAXIMA ET MINIMA

I. Solution limite

179

Emploi des principes III. Variable regardée comme constante IV. Emploi de la tangente (à la moitié) V. Volume maximum et minimum VI. Emploi de la tangente (au tiers) Note sur les méthodes en Géométrie

182 188 190 195 202

§ 11.

§ § §

141

METHODE ALGEBRIQUE

VII. §

116 128 129 134

210

EXERCICES LIVRE I Choix des exercices

211 THEOREMES

212 215 217 223 220 232 237

Perpendiculaires et obliques Parallèles Trois droites concourantes Triangle quelconque Triangle isocèle Triangle rectangle Parallélogramme

239 215 218

Quadrilatère quelconque

PROBLEMES

Maxima et minima

250

II

LIVRE

THÉORÈMES

Distances et cordes Tangente Mesure des angles Figures inscrites au cercle Polygones curvilignes Cercle circonscrit à un polvgone Polygones circonscrits au cercle Lignes concourantes Points en ligne droite Figures inversement égales

2G3

....

...

268 274 279 293 293 313 322 327 338

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Lieux à proposer Emploi d'une relation linéaire Emploi d'une relation angulaire

340 341 354 PROBLEMES

Distances diverses Sécantes

300

3lifi 381

Droites et circonférences sécantes Tangentes et raccordement des lignes Construction des triangles isocèles ou rectangles Construction des triangles quelconques Construction des quadrilatères Maxima et minima Questions diverses

LIVRE

394 398 405

408 419 430 444

III

THEOREMES

Lignes proportionnelles Similitude et homothétie Figures planes inversement semblables Relations numériques dans le triangle Relations numériques dans le quadrilatère Transversales Circonférences. — Circonférences. — Relations numériques Figures Inversion symétrique Note sur l'inversion

Situation. inverses

455 408 4M) 485 500 532 501

003 009 015

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Relation de rapport et point de concours Relation de produits ou de carrés

010 033

PROBLEMES

Lignes proportionnelles Recherche des relations numériques Circonférences Droites et circonférences sécantes Figures inscrites ou circonscrites Construction des triangles Construction des quadrilatères Applications des relations numériques Questions diverses Problème de Malfatti

. ,

tangentes

.

.

...........

...

647 660 673 681

687 609 709 714 721

726

LIVRE IV THÉORÈMES

Aires des figures Relations déduites de la considération des aires

735 756

PROBLÈMES

Construction des figures Division des figures Note sur la division des polygones. Maxima et minima. — Polygones . Figures inscrites ou circonscrites au cercle Relations à déterminer Quadrilatère à la fois inscriptible et circonscriplible Surfaces à périmètre curviligne Questions diverses Théorème et figure de VECTEN

..."

LIVRE

769 793 797 798

808 823 837 839 852 860

V

THEOREMES

Droite et plan, Trièdres Quadrilatère gauche

864 873 878 8S2

LIEUX GÉOMÉTRIQUES PROBLÈMES

LIVRE VI THÉORÈMES

Géométrie de position Volume des polyèdres Relations numériques

887 897

908 PROBLÈMES

Maxima et minima Recherche des formules Polygones et polyèdres étoiles

929

LIVRE VII THEORÈMES

Méthodes pour évaluer les volumes Volumes et relations Inscription et position Triangles sphériques Inversion dans l'espace. . . Cônes, Conoïdes, domoïdes. LIEUX GÉOMÉTRIOUES

.

.

1)31

932 947 958

9G8

PROBLEMES

Constructions graphiques. Problèmes littéraux. — Relations Maxima et minima

974 977 994

LIVRE VIII THEOREMES

4015

Hyperbole Parabole

1042

LIEUX GÉOMÉTRIQUES ET ENVELOPPES

1049 1056

PROBLEMES

Ellipse et hyperbole Problèmes relatifs à la parabole Problèmes sur l'hélice Maximum et minimum

101)2

Questions diverses Note sur la conique sphérique

1111 1114

1078 1099 1101

PROBLEMES NUMERIQUES Indications et exemples Segment circulaire Itectilicntion approximative d'un arc de cercle Longueur de l'ellipse

1118 1122 1125 1120 1128

GEOMETRIE DU TRIANGLE Historique et biographie Coordonnées trilinéaires Résumé et complément Coordonnées angulaires Antiparallèles Inversion isogonale Symédianes

1130 1131

1138 1141

1146 1154 1165

Point de Lemoine Cercles de Lemoine, etc Lieux Points et cercle de Brocard Droites isoclines Centre permanent de similitude

•1175 1184

géométriques

Deux figures semblables Trois figures directement semblables Questions de l'Intermédiaire des Mathématiciens

1196

.

. .

1214 1230 1237 12n0 1257 1258

TABLES DE RÉFÉRENCE Lexique géométrique Problèmes et théorèmes historiques Table des notes principales Questions nouvellement introduites (5e édition) Problèmes à constructions non géométriques Index bibliographique Index biographique

1260 •1270

1276 1281

1285 1287 1291

MÉTHODES

MÉTHODES GÉNÉRALES

Introduction. t. Il

est utile de faire précéderl'exposé desméthodesde quelquesindicationsrelatives aux diversespropositionsque l'on peut avoir à démon-

trer.

/

2. Manière d'énoncerle» théorème».L'énoncéd'un théorèmeSe comd'unehypothèseet d'uneconclusion. pose essentiellement Exemple. Tout point de la bissectriced'un angle est cquidistanldes deux côtésde cet angle. L'hypothèseconsisteà supposerque le point appartientà la bissectrice ; la conclusionconsiste à dire que le point est équidistantdes deux côtés. 3. Remarque.L'hypothèses'énonceordinairementau début de la proposition; mais on peut aussi commencerpar la conclusionet dire, par exemple: Deux trianglessontégauxlorsqu'ils ont les trois côtésrespectivement

égaux.

4. Diver»e» aorte» de proposition».Deux propositionscomparéesentre elles peuventêtreréciproques,contraires,contradictoires. Propositionsréciproques.Deux propositions sont réciproqueslorsque l'hypothèseet la conclusionde la première deviennent respectivementla conclusionet l'hypothèsede la seconde. Proposition» contraires.Deux propositionssorit contraireslorsqueles conditions de la secondesont l'inverse ou la négativedes conditionsde la première ; ainsi l'hypothèsede la propositioncontraireest l'opposéde l'hypothèsede la propositiondirecte,et la conclusionde cettemêmeproposition contraire est aussi l'opposéde ia conclusionde la proposition énoncéedirectement.

Deux propositions sont contradictoires Propositions contradictoires. lorsqu'ellesont même hypothèseavec une conclusion opposée,ou des hypothèsesdifférenteset mêmeconclusion. 5.

A toute propositiondonnée directePropositionscorrespondantes.

ment correspondent : 1° La propositionréciproque; 2° La propositioncontraireet sa réciproque; 3" Les deuxpropositionscontradictoireset leurs réciproques.

»

Exemples. Proposition directe.Tout point de la bissectriced'un angle est équidistantdes côtésde cet angle. Propositionréciproque. Tout point équidistant descôtés d'un angle appartientà la bissectricede cet angle. Propositioncontraireet sa réciproque. 1° Tout point pris hors de la bissectriceest inégalement éloignédescôtés de cet angle. éloignédescôtésd'un angle n'appartientpas 2° Tout point inégalement 4 la bissectrice decet angle. Propositionscontradictoires.1° Tout point de la bissectriceserait inégalementéloigné des côtés de l'angle ; 2° tout point pris hors de la bissectrice seraitégalement éloignédescôtés de l'angle.

6. Remarques.1° La réciproqued'un théorèmepeut être une proposition fausse.Afnsi, du théorèmeconnu : tous les anglesdroits sont égaux,on ne peut pas conclure que tous les angleségauxsont droits. 2» La propositioncontraired'un théorèmepeut être fausse; telle est la suivante : tous les anglesqui ne sont pas droits sontinégaux. 3° 11 est évident que si une propositionest vraie, sa contradictoireest fausse,et réciproquement. 4° La propositioncontradictoireest employéelorsqu'ondémontre,par la réductionà l'absurde,la réciproque d'unthéorèmedonné. 7. Dépendancede» proposition».I. Si le théorèmedirect et le théorèmo contrairesont vrais, il en est de même de la propositionréciproquede chacun deces théorèmes. Exemple. Dans le même cercle, ou dansdes cercleségaux,les arcs égauxsont sous-tenduspar des cordes égalescl les arcs inégauxsont sous-tendus par des cordesinégales. sous-tendentdesarcségaux On peuten conclureque descordes égales des arcs inégaux. et que des cordesinégalessous-tendent II. Si le théorèmedirect et la proposition réciproquesont vrais, il en est de mêmede la propositioncontrairede chacunde ces théorèmes.

Exemple. Toute droite perpendiculairefi l'extrémitéd'un rayon est tangenteà la circonférence,et, réciproquement,toute droite tangenteà la circonférenceest perpendiculaireau rayon qui aboutit au point de contact. Il en résulte nécessairement que toute droite non perpendiculaireà l'extrémitéd'un rayon n'est pas tangenteà la circonférence,et que toute droite qui n'est pas tangenten'estpasperpendiculaireà l'extrémité d'un rayon.

8. Résumé.En représentantpar A et A' une proposition et sa réciproque,par B et B' les propositionscontrairesde A et A', par C et C' les propositionscontradictoiresde A, on peut démontrerdirectementA et B pour en déduireA' et B', ou bien démontrerA et A' pour en déduireB et sa réciproqueB'. Enfin on peutdémontrerdirectementqueA étantune propositionvraie, si l'on prouve quel'une des propositions contradictoires C ou C de la réciproque A' est une proposition fausse,on en conclural'exactitude de A', et par suite de B et B'. On peut dire aussi : « La réciproqueet la contraired'une proposition quelconquevraie ou fausse, sont toujours vraies ou faussesen môme temps. » (L. Gérard.) Hypothèsessimultanées.Un mêmethéorèmepeut énoncerou contenir plusieurshypothèsesdevant exister ensemblepour aboutir à une conclusionunique.Dans ce cas, il y a autant de propositionsréciproques qu'il y a d'hypothèses. Exemple.Deuxangles adjacents dont les côtésextérieursformentune ligne droite sont supplémentaires. La condition d'êtreadjacentsforme une premièrehypothèse,et celle d'avoir les côtésextérieursen ligne droite en forme une seconde. On a les deuxréciproquessuivantes: 1° Si deux angles supplémentaires sont adjacents,les côtésextérieurs sont en ligne droite. 2° Si deux anglessupplémentaires ont les côtésextérieursen ligne droite, ces anglessont adjacents. La première réciproqueest vraie; elle correspondaux angles a et b (fig. 1). La secondene l'est pas; car si l'on prend l'angle c égal à b, les angles a et c sont supplémentaires,ont deux côtés en ligne droite, et " néanmoinsils ne sont pasadjacents. .

;

Dansla figure 2, les anglesa et b sont supplémentaires et ont les côtés extérieursen ligne droite; néanmoinsils ne sont pasadjacents. 10. Remarque.Les indicationsque l'on vient de donnersont importantes,et môme nécessaires, pour prévenirles conclusionset les conséquencesinexactesqu'onserait tentéde tirer d'un théorèmedont on négligerait d'étudierdirectementla proposition réciproqueou la proposition contraire.Ainsi « il est bon que les élèvesaient desidéesgénéralesprécisessur les méthodesde démonstration les ; ils suivent plus facilement

détailsd'un théorème,et ils peuventabrégerle travail relatif aux propositionscontraires,réciproques,etc... » (J. BOÙRGET, Journal de mathématiquesélémentaires ,1877,p. 37.) Clermont, Note. * J. BOURGET, ancienprofesseurà la Facultédes sciences de puis recteurde la mêmeFaculté.(Voir ci-après, n» 55, note.)

Journalde mathématiques élémentaires, fondéen 1877, publiésousla direc-

tion de MM. BOURGET et KOEIII.ER. — Depuis 1880, cette utile publicationa et spéciales.M. G. DE pour titre : Journal de mathématiques élémentaires LONGCHAMPS(1842-1906),professeurde mathématiques spécialesau lycée SaintLouis, en a pris la direction en 1888 et l'a continuéejusqu'enoctobre1897. * M. L. GÉRARD, auteurd'unenotebibliographiquesur les Exercices de géométrie, par F. J., 3e édition, dans leBulletin de mathématiques élémentaires, année1896-1897,p. 109. Cette intéressante publication, commencéele 1er octobre1895, porte aujourd'hui le titre de Bulletin de SciencesMathématiqueset Physiquesélémentaires, fondé par M. B. NIEWENGLOWSKI, inspecteurde l'académiede Paris, sous la direction de MM. L. GÉRARD, professeurau lycée Charlemagne,et CH. MICHEL, professeurau lycée deDouai.

§

I.

—

Classification desméthodes.

11. But des méthodes.Les méthodesindiquent la marche qu'ilfaut suivre pour démontrerun théorème,ou pour résoudreun problème. En géométrie,il n'estpaspossibled'indiquerune mêmevoie qui, dans tous les cas, conduise inévitablement au but; mais on peut diriger les

rechercheset faire trouverplus facilementles résultatsdemandés.

12. Principalessortes de méthodes.On classe les méthodesen deux groupesprincipaux.On distingueles méthodesgénéraleset les méthodes

particulières.

Les méthodesgénéralespeuvents'appliquerà toutesles questions. Les méthodesparticulièresne peuventêtre utilisées que dansun certain nombre de questions.L'emploi de plusieursd'entreelles est si restreint, qu'on doit considérerces méthodescomme neconstituantque de

simplesprocédés. Les méthodesgénéralessont l'analyseet la synthèse.

13. Analyse. L'analyse est la méthode par laquelle une proposition inconnueA se ramèneà une autre proposition inconnueB, puis cette secondeB à une troisièmeG, et celle-ci à une quatrièmeD, etc., jusqu'à ce que l'on tombe sur une propositionconnue. Entre la proposition d'où l'onpart et celle où l'on arrive, il peut se trouver un nombrequelconquede propositionsintermédiaires.

14. Synthèse.La synthèseest la méthodepar laquelleon passed'une proposition connue 1) à une autre proposition connue C, puis de cette secondeC à une troisièmeB, de celle-ci à une quatrième,etc., jusqu'àce que l'on arrive ainsi à la propositionA que l'on devait étudier. L'analyseet la synthèsesuivent des voies opposées: tandis que lu premièrepart de la questionà traiter pourarriver à une questionconnue, la secondepart d'unequestionconnue pour tomber sur la questionproposée.

18. Déduction.Quel que soit l'exercicegéométriqueà étudier et quelle que soit là méthodeque l'on veut employer,il l'aut que les propositions se déduisentrigoureusementles unes des autres,et que deux proposisoientréciproques,au point de vue logique. tionsconsécutivesquelconques 16. Propositionsréciproques.Deux propositionssont réciproques,au point de vue logique, lorsquechacuned'elles entraînel'autre et toutesses conséquences. Exemple. Lorsque les anglesd'un triangle sont respectivementégaux à ceux d'un autre triangle, les côtés du premier triangle sont à ceux du seconddans un rapportconstant,et il en est de mêmedes hauteurs correspondantes, etc. Réciproquement,de la proportionnalitédes côtés on déduit l'égalité des angleset toutesles propriétésqui en découlent. , Ainsi l'égalitédes anglesde deux triangleset le rapportconstantdes côtéshomologuesdonnentlieu à deux propositions réciproques. L'égalité descôtés de deux triangleset l'égalité des anglesopposésne donnentpas lieu, au point de vue logique, à'deuxpropositionsréciproques; car dé l'égalité des côtés on déduit bien l'égalité des angles n'entraînepas celle descôtés. opposés,mais l'égalité des angles 16 a. Note. Dans le numéro précédent,l'expressionpropositions réciproques n'a pas la signification qu'on a indiquée au n» 4. Il est regrettableqile les mêmesternies soientemployésen géométrieavec deux sons différents. Pour la rédactionde ce paragraphe,nous avons surtoutmis à profit les premiersvolumesde l'ouvrage: Desméthodesdans les sciencesde raisonnement, par DUHAMEL. Méthode analytique.En géométrie,la méthode analytique indiquéedans l'ouvrage ci-dessusn'est pas la méthode analytiquedes Anciens,due à PIATON. A ce sujet, il est bon delire un article publié dansMathesis,1902, p. 266 Â

273.

Cette étudeestdue à M. P. MANSION. * DUHAMEL, né à Saint-Malo en 1797, mort à Paris en IS72, professeurà l'École Polytechnique,membrede l'Institut. * PLATON (430-317av. J.-C.) alla s'instruire des mathématiques en Égypte, puis en Italie. De retour à Athènes,le célèbrephilosopheintroduisit dansla géométriela méthodeanalytique; il étudia les sectionsconiques,et fit connaître les cinq polyèdres réguliers convexes. On connaît l'inscription qu'il avait fait mettreà l'entréede son école philosophique: Que nul n'entre ici, s'il n'est géomètre. P. MANSION, professeurà l'Universitéde Gand, deconcertavecM. J. NEUnuiu;, professeurà l'Université de Liége, a fondé un recueil mathématique, nomméMathesis,que nousauronsà citer fréquemment,car nous lui avons fait d'asseznombreux emprunts. > 1

§

Exercices Géométrie de Classification des — et Démonstrationdes théorèmespar l'analyse. II.

17. Exercice» de Géométrie.Les exercicesou questionsde géométrie al des problèmes. comprennenttics théorèmes,des lieux géométriques Il convientdo parler en premier lieu des théorèmes,parce qu'on les utilise pour la résolutiondes problèmes. Lu détermination des lieux géométriquesdoit venir ensuite,car leur

emploi constitueune des méthodesles plusfécondespour résoudreles problèmes degéométrie. 18. Emploi de l'analyse.Pour démontrerun théorèmepar l'analyse,on procèdeordinairementcommeil suit :

Du théorèmeà démontrer,regardécomme vrai, on déduit une deuxièmeproposition; de celle-ci on passeà unetroisième,etc.,jusqu'à ce que l'on arrive à une propositionconnue.Mais il faut que les propoà deux,soient toujoursréciproques sitionsconsécutives, considérées deux au point de vue logique(nos 13 et 16). théorèmes démontrés Voici quelques exemples de par l'analyse. Théorème. 19. Par un point quelconquede la based'un triangle isocèleon mène des parallèlesaux côtés égaux;prouver que le parallélogramme ainsi

formé a un périmètreconstant. Soient OM, ON deux parallèlesaux côtés égauxCB, AB. OMBN est conIl faut prouver que le périmètredu parallélogramme stant. Il suffit de le démontrerpour le demi-périmètreOM + ON. 1° Pour reconnaître s'il est constant, on peutporterles deux partiessur la mêmedroite et prendre OL = ON. Les anglesl, m sont égaux comme opposés par le sommet; m = n comme étant respectivement égaux aux angles A et G; donc les triangles COL, CNO sont égaux commeayant un angle égal compris entre des côtés égaux; donc l'angle OCL=OCN=A, les deux droites CL, AB sont parallèleset MLCB est un parallélogramme; donc OM ON ou ML = BC, longueurconstante; donc... 2° Pouravoir la sommeOM-f-ON, on peut remplacerchacunede ces formulespar une droite égale. Ainsi OM = BN, commecôtés opposésd'un parallélogramme. Le triangle ONC est isocèle, car l'angle n = A= C; par suite, ON = CN ; donc... Quantitéconstante. +

Théorème.

abaissées d'un point quelconque 20. La somme des perpendiculaires de la base d'un triangle isocèle sur les côtés égaux, est une quantité constante. I« Une analyseanalogueà la précédentenous conduità prolongerOM d'unequantitéOL égale à ON, et à prouver que CL est parallèleà AB;

+

donc la somme OM ON est constante,car elle est égale à la distance des parallèles AB,CL. Ainsi OM + ON égale la hauteurCH, quantité constante. 2" En menantOIC parallèleà AB, on a : OM HK, ON CK, car les deux triangles rectanglesCNO et CKO sont égaux(G., n° 54) ; donc OM + ON = CH.

=

=

Théorèmede Miquel. 21.. Quatre droites, se coupant deux à deux, forment quatretriangles; les circonférencescirconscritesà ces quatre trianglespassentpar un mêmepoint. Les quatredroites, se coupantdeux à deux, donnentsix sommetsA, B, C, D, E, F. Circonscrivonsdes circonférences àdeux desquatre triangles, par exempleaux triangles ACE, ADE ; soit M le secondpoint où les circonférencesse coupent,et joignons ce point aux six sommets; il faut prouver que les circonférencescirconscritesaux triangles BDF, BCE, passentaussi par le point M. En admettantque cela ait lieu, on reconnaîtque le quadrilatèreCBME serait inscrit,et, par suite, que l'angle BCM égaleraitBEM (G., n° 148); mais l'égalité de ces deux angles peut En effet, s'établir directement.

=

angle BCM ou FCM FAM, comme ayant même mesure, 1/t FM, car le quadrilatèreFAGM est inscrit; angleBEM ou DEM DAM ou FAM, commeayant même mesure,(/t DM ; donc angleBCM angleBEM. Or, les anglesBCM, BEM étant égaux,il est démontré(G., nos 154-155) que la circonférencecirconscrite au triangle BGE passe parle point M. Il en est de même de là circonférencecirconscrite au triangle BDF ; donc... note. Le point de concoursdes quatre circonférencescirconscritesa été nommépoint de Miquel, par M. KANTOR de Vienne. Le théorèmeest probablementde STEINER (voir ci-aprèsn°' 689 et 711, notes).

=

=

Théorèmede Simson. 22. Si d'unpoint pris sur la circonférencecirconscriteà un triangle, on abaissedes perpendiculairessur chaquecôté du triangle, les.trois pointsainsi obtenussont en ligne droite. \ Ce théorèmes'énoncequelquefoiscommeil suit : Les projectionsd'un point quelconquede la circonférencecirconscrite n un triangle,sur chaquecôté de ce triangle,sont en ligne droite.

Soit M un point quelconque dela circonférencecirconscriteau triangle ABC; abaissonsles perpendiculairesMD, ME, MF sur les côtés; il faut prouver que les trois points D, E, F sont en ligne droite. Si les segmentsDE, EF ne formaient qu'une même droite, les angles AED, CEF seraientégaux commeopposéspar le sommet. Les quadrilatèresADME, CFEM sont inscriptibles: le premier,parceque les anglesopposésD et E sont supplémentaires(G., n° 157) ; le deuxième,parce que les deux triangles rectanglesMEC et MFC ont même hypoténuse MC ; donc, de l'égalité des anglesAED, CEF, on conclurait l'égalitédes anglesAMD, Lair respectivementégaux aux premiers. Il suffit donc de démontrer directementl'égalité des angles AMD, CMF, ou bien l'égalité de leurs complémentsMAD, MCF. Or l'angle exinscrit MAD, supplémentde l'angleMAB, a pour mesure moitié de l'arc MAB ; ainsi il égale l'angle MCF, qui a aussipour mesure moitié de l'arc MAB. Donc l'hypothèsequi a servi de point de départ est vraie, et les trois points D, E, F sont en ligne droite. 23. Remarques.1° Les propositionsconsécutivesdont nous nous sont évidemmentrécisommesservis dansla précédente démonstration proquesau point de vue logique (n° 10), car tout reposesur l'égalité desangles; les exercicessuivants offrirontquelquesnouvelles particularités. 2° La droite DEF, qui passepar les trois projectionsdu point M, est appeléedroite de Simson,parceque le théorèmelui-mêmeestattribué à RobertSimson. 3» Le cercle circonscritest le lieu des points dont les projectionssur les trois côtésd'un triangle sqnt en ligne droite. 23 m. Hote. 1° Voir ci-après,n"5 702 à 705.D'aprèsX'IntermédiairedesMathématiciens,1894, p. 174, la droite de Simsonporteraità tort le nom de ce géomètre,car il ne s'enest point occupé; on devraitla nommerdroitede Wallace, parce que ce mathématicienl'a mentionnéepour la première fois en 1799, ou 1800.

L'IntermédiairedesMathématiciens rendde réelsservicesà tous les savants qui ont à demanderdes renseignements Ce sur des questions mathématiques. recueil si intéressantest dû à MM. LAISANT et LEMOINE ; il a commencéen 1894; puis en 1901, M. MAILLET, ingénieurdes luuts et Chaussées,a collaboréactivementà cette importante revue. Nous aurons fréquemmentà citer l'Intermédiaire. à Glasgow.On mathématicienécossais, professa d'Fua de lui un Traité des sections coniques.11 rétablit plusieurs porismes CLIDK, ainsi que la sectiondéterminéed'Apot.I.ONU's. 11 ne faut pas confondre R. SIMSON avec THOMAS SIMPSON (1710-1701). Ce dernierest surtout connu par les formulestrigonométriquesqui portentson nom (Trigonométrie,n° 57) et par une formule do quadrature(Géométrie, * ROBERT SIMSON (1687-1768),

n» 983).

Théorème. 24. Lorsque la demi-circonférencedécritesur le côté oblique d'un trapèze rectant/le coupe le côté opposé, chaque point d'intersection divise la hauteuren deuxsegmentsdont le produit égalele produit des basesdu trapèze. Supposonsque la demi-circonférenceayant AD pour diamètrecoupela hauteur BC aux points M et N. Il faut prouverque l'on a, par exemple: DM MC = AB CD. (f) . . En admettant cette relation comme vrjiie, on peut écrire :

BM_CD

AB — MC

w

•

Alors les trianglesrectanglesAMB, MCD seraientsemblablescomme ayantun angle égal compris entre côtés proportionnels(G., n° 225); il la similitude de ces trianglés; or suffit donc dedémontrer directement les anglesAMB, DMC sont complémentaires, car l'angle AMD est droit. Donc l'angle AMB égale MDC comme ayant même complément DMC. Ainsi les trianglessont semblables,et l'on peut en déduirela proportion (2), et par suite la relation (1). Remarques.1° On a de même : ' BN NC AB CD. . . 2° Quand la demi-circonférenceAD est tangenteà BC, le point de contact est au milieu de la hauteur;le carré de la moitié de BC égaleAB . CD. 3° Lorsque la demi-circonférencene coupe point BC, on ne peut pas diviser BC en deux segmentsadditifs dont le produitsoit égal au produit AB. CD. AB, CD sont 4» Lorsque les'perpendiculaires dirigées en sens contraire(fig. 8), il y a toujours intersection; mais les points M, N sont sur le prolongementde BC, et l'on a commepréBM CM — AB CD BN. CN. cédemment: . .

=

=

Théorème.

d'un point quelconque.M d'une circonférenceà une corde donnéeAB est moyenneproportionnelleentre les distances ME, MO du mêmepoint M aux tangentesAC, BC, menéespar les extrémités de la corde donnée. 23. Lu distanceMI'

11

laut prouverque l'on a

:

MP2= ME

. MC.

(1)

Regardantcette relation comme étant démontrée,nous pouvons en déduireles rapportségaux Mais les angles EMP,PMG sont égaux, car ils égalentrespectivement

=

supplémentaires, puisqu'ilssont droits; donc l'angleMPE MAE comme correspondantau mêmearc dansla circonférence circonscrite au quadrilatèreAPME. De même,l'angle MGP MBP. Or les anglesMAE, MBP ont pour mesurela moitié de l'arc AM ; donc ils sont égaux,et il en est de même desanglesMPE, MGP. Le théorèmeest donc démontré,et l'on peut écrire:

=

26. Remarque.Dans le raisonnementci-dessus,deux propositions consécutivessont toujours réciproques. Ainsi, de mêmeque, de la similitude des triangles établiepar l'égalité de trois angles,on déduit : de même,de l'égalitéde ces rapports etde l'égalité des anglesen M, on déduitque l'angle MPE MGP, etc.

=

Théorème. 27. Cercle de» neuf point». Dans un triangle, les milieux des eûtes,les pieds des hauteurset les milieux des droites qui joignent les sommets au point de eoncoursdes huuteurs,sont situéssur une même,circonfêrenee. Soient D, E, E les points milieux des côtés; AK, CG deux des hauteurs, et L le point milieu de AU. Circonscrivonsune circonférenceau triangle DEF des points milieux descôtés.

Pour démontrerle théorème,il suffit de prouver quecette circonférencepassepar le pied K, d'une hauteurquelconque,et par le point L, milieu de Ail. d« La droite FK, qui joint le sommetIv de l'angle droit au point milieu F de l'hypoténuseAC, égale la moitié de cette hypoténuse;donc FK = FC = donc DE. Ainsi lé trapèze EDFK est isocèle; par suite, la circonférencequi passepar E, D, F, passeaussipar le quatrièmesommetK. 2° La droite FL, qui joint les points milieux F, L des côtés dii triangle ACH, est parallèle à la base CH ; d'ailleurs FE est aussiparallèle à AB ; donc l'angle EFL égalel'angle AGC, égaledonc 90 degrés. Le quadrilatèreEKFL est inscriptible à causedes anglesdroits EKL, EFL; donc la circonférencequi passepar les trois sommetsF, K, E, passeaussipar le quatrièmesommetL. 28. Remarques.1° Le centre du cercle desneufpoints est au milieu de la droite qui joint le point de concoursdes hauteursau centredu cerclecirconscrit à ce triangle.

Eu effet, le centre se trouve sur les perpendiculaires élevéesau milieu de FG et de KE (fig. 11) ; or ces perpendiculaires passentpar le point M, milieu de OH. La droite OII qui contient le centre du cercle des neufpoints et qui joint l'orthocentre,ou point de concours des hauteurs,au centre du cerclecirconscrit,a reçu le nom de droite d'Euler. 2° Le rayon du cercledes neufpoints est la moitié du rayon du cercle circonscrit. Car Cela résulte aussi des triangles semblablesEOM, AHO. 3° La tangenteEJ, du cercle d'Euler, au point milieu d'un côte,et ce mêmecôté sont anliparallèlespar rapportaux côtés de l'angle opposé. Les tangentesEJ, AT sont parallèles, car elles sont perpendiculairesaux rayons parallèles EM, AO ; de plus, l'angle CAT CBA. Donc AT et CB ou EJ et CH sont antiparallèlespar rapportà l'angle A.

=

Note. Le théorèmedu cercledes neuf points est dû à EULER ; il a été donné en d705, dans les mémoiresde Saint-Pétersbourg. * EULER, né à Bâle en 1707, mort à Saint-Pétersbourg, en 1783, célèbreanalyste; il perfectionnale calcul intégral et fit connaître les cinq surfaces du

seconddegré,nomméesaussi quadriques. Pour l'emploi du mot orthocentre,voir ci-aprèsn° 663, note.

Remarques. 29. 1° C'est par l'emploi judicieux de l'analyse que l'on découvreles relationsles plus simplesqui rattachententre ejles les diversesparties d'unemême questionet que l'on trouve, par suite, le meilleur mode de

démonstration. 2° L'analyseest aussi très utile lorsqu'il s'agit de la géométriedans l'espace.Dans bien des cas elle permet de se passerde figure, ou du moins de remplacerpar une construction simpleune figure compliquée peu facile à étudier. En voici quelquesexemples(n«s 30 et 31). Théorème.

30. On donne une sphère et un point fixe P; par ce point on mène trois plansrectangulairesdeux à deuxet qui déterminenttrois cercles; prouver que Ici sommede ces trois cerclesest constante. Soient a, b, c les rayons de ces cercles,r le payon de la sphèreet a', b', c' les distances ducentrede la sphèreaux cercles;il faut prouverque l'on a : ~a- -j- zb2 -j- ^c3 = constante, ou , ce qui revient au même, a2 + b2 + c2 = une valeur constante; mais o'r2 — a'"2 ; b2 = r2 — b- ; c5 = r- — d-; on a donc : a- -j- b"- -j- c- 3r'2 — (a'2 -j- b'2 c'3). Il suffit de prouver quela quantitéà soustraireest constante. Or les trois distancesa', b', c, perpendiculairesdeux à deux, menées du centre0 sur les trois plans rectangulaires,dont P est le point comrectangleayant mun, sont les trois arêteslatérales d'un parallélipipède PO pour diagonale; par suite, la somme des carrésde ces arêteségale PO2, et le théorèmeest démontré.

=

=

31. Remarque.La déterminationde la valeur constanten'offre aucune difficulté. Ainsi

donc La sommedes trois cerclesdéterminéspar le trièdre tri-rectangledont P est le sommet,égale trois grandscerclesmoinsle cercle qui aurait TO

pour rayon. Théorème. 32. Lorsque les arêtesopposéesd'un orlaèdrèinscrit dansune sphère sont dansun mêmeplan, les trois diagonalesde l'octaèdrese coupent au même point. En menant un plan tangentà la sphèrepar chaque, sommetde l'octaèdre,ou forme, un hexaèdre,circonscrit dontles faces, jirises quatreù quatre,concourenten'unmêmepoint (G., n" 4'2'J). 1° Les arêtesopposéesétant dansun mêmeplan les deux diagonales qui joignentles extrémitésdes arêtes opposées se coupent,car elles sont deux à deux dans un même plan.Les trois diagonalesde l'octaèdrene

peuventêtredansun même plan; car, si cela avait lieu, lès six sommets seraientainsi dansun mêmeplan, et il n'y aurait pas de solide : or les trois diagonalesn'étant pas dans un même plan, et se coupantdeux à deux, doivent passer parun même point. qui correspondent à deux quelconquesdes dia2» Les quatre sommets gonalesde l'octaèdresont dans un même plan. Les plans tangents,en ces quatre points, déterminentquatre faces consécutivesde l'hexaèdre circonscrit. Or le plan des quatre sommetsconsidéréscoupe la sphère suivant un cercledont la circonférencepeut être considéréeçomme la courbe de contact d'un cône circonscrità la sphère; mais les planstangentsmenéspar les quatresommetssont en même temps tangentsà la sphèreet au cône circonscrit; donc ces quatreplanspassentpar le sommet du cône, et par suite se coupentau mêmepoint. 33. Remarque.Les six faces del'hexaèdre,prises quatreà quatre, donnentlieu à trois groupes,ét par suite, à trois points de concours;le point de rencontredes diagonalesde l'octaèdre inscritest le pôle du plan des trois points de concoursdesfaces del'hexaèdre. §

III.

—

Synthèseet Réductionà l'absurde.

34. Emploi de la synthèse.Pour démontrerun théorèmepar la synthèse,on part d'une véritéconnue,on en déduit une deuxièmeproposition connue,de celle-ci une troisième,etc.,jusqu'àce que l'on tombe

sur la propositionà démontrer.

Comme enchaînementde propositions, la synthèse suitune marche inversede celle del'analyse. Appliquonsla synthèse àl'exemple déjà donné(n« 25).

38. Théorème.La distanceMP, d'un point quelconqueM d'une circonférence à une corde donnée AB, est moyenne proportionnelle entre les distancesMG, ME du mêmepoint M aux tangentesAC, BC, menéespar les extrémitésde la corde donnée. Le quadrilatèreAPME est inscriptible, parce que deux de ses angles opposés sont droits; donc l'angle MPE = MAE, comme anglqs inscrits dansun mêmesegment. De même, l'angle MGP MBP. D'ailleurs,les anglesMAE, MBP sont égaux; MPE MCP, donc l'angle et puisqueles anglesEMP, GMP sontégauxcommeétant respectivement égauxaux angles en m, il en résulte que les trianglesMPE, MGP sont équiangles,et par suite semblables.

=

=

Donc

d'où Remarque.Mais commentest-onconduit à considérerle quadrilatère APME?... pourquoi s'occuperde l'égalité des angles MBP, MAE... et ? autresquestions analogues Aucune réponsecomplètementsatisfaisantene peut être donnée; en réalité, l'intuition la plus heureusen'estque la conséquence d'une analyse rapide,parfois inconsciente,mais néanmoins trèsréelle : pour rechercherla vérité, il faut doncrecourir à l'analyse. 36. Réduction k l'absurde. La démonstrationd'un théorèmepar la réduction à l'absurdeconsisteà admettreprovisoirementcommevraie la propositioncontradictoiredu théorèmeénoncé,à en déduireunesuite de conséquences, jusqu'àce quel'on parvienneà un résultatévidemment incompatibleavec les véritésconnues. Exemple.Pour démontrerle théorèmesuivant: Si deux droitessont parallèles,toute droite perpendiculaireù l'une d'elles AB est aussiperpendiculaireà l'autredroite CD (G., n« 76), On admet, ou plutôt l'on raisonne comme si l'on admettait la proposition contradictoire: Si deux droitesAB et CD sontparallèles,une droite AC, perpendiculaire à l'une d'ellesAB, n'estpas

perpendiculaire àl'autreCD. Par suite, on pourrait élever une perpendicu-

'

laire CE sur AC; mais les droites AB et CE seraient parallèles d'après le théorèmedirect déjà démontré(G., n° 72) ; il en résulteraitque par le point G on aurait deux parallèlesà une même droite. Or cette conséquenceest évidemmentinadmissibled'aprèsle Postulatum(G., n° 74) ; il faut doncque CD soit perpendiculaireà AC. 37. Remarque.Il faut avoir soin d'étudier lescas différentsque peut présenterla propositioncontradictoire; car, sanscela, de l'absurditéde l'un d'eux on ne pourraitpas conclure lavérité du théorèmeproposé. Exemple. On sait que toute parallèle DE, menée à la base d'un triangle, détermine un second triangle ADE semblable au premier; c'est-à-dire détermine un triangle ayant même angle au sommet que le premier et dont les côtés, qui comprennent l'angle commun, sont respectivementproportionnels. Ea proposition réciproque serait fausse si on l'énonçaitcommeil suit : Lorsquedeux triangles ont un angle commun compris entre des côtés proportionnels,les bases de ces trianglessont parallèles. En effet, une droite telle que DE' obtenue en prenant AD' AD, AE' AE donnedeux trianglessemblablesAD'E', ABC, qui remplissent

=

=

toutesles conditionsde l'énoncéde lapropositionréciproque ;néanmoins D'E' n'estpas parallèle àBG. Ces deux autresdroites sont antiparallèles. 38. Emploi de la réductionà l'absurde.La démonstrationpar la réduction à l'absurdeconvainc,mais n'éclairepas; elle contraintà reconnaître l'exactitudede la propositionénoncée,néanmoinselle satisfaitpeul'esprit, parcequ'elle ne traite pas directementle théorèmedemandé;aussi on a rarementrecoursà cette méthodeaujourd'hui(d'aprèsDUHAMEL). 38 a. Note. La méthodepar réductionà l'absurdeest due àEUCLIDE; elle a

été employéefréquemmentpar LEGENDRE. *EUCLIDE, né vers 315 av. J.-C., mort vers 255, se fixa à Alexandrie,auprès de PtoléméeI. Ses Éléments de géométrie,composésde treize livres, ont l'inappréciableavantagede réunir en un corps de doctrine les vérités géométriques plus ou moins éparsesjusqu'àcelte époque,et, tout en ajoutant aux découvertesdes ouvrages antérieurs,de donner des démonstrations rigoureuses. Les Elémentsd'EUCLIDE sont encore classiquesen Angleterre; on doit citer le Manuel deTODHUNTER,celui de JOHN CASEY, les ÉlémentséditésparML COLLINS, et surtoutl'édition magistralede ROBERT POTTS.Ce dernierouvragecontient un grand nombred'exerciceset des notestrès importantes. * LEGENDRE, né à Paris, et non à Toulouse, en 1752, mort à Auteuilen 1833, fut membredu Bureaudes Longitudes.On lui doit plusieurssavantsouvrages: ses Élémentsde géométrie,publiés en 1794, ont rendu son nom populaire mathématique,1907,p. 219.) parmi les étudiantsau xixe siècle. (Enseignement

§ IV. —

Problèmes graphiques. f

39. Analyse. Pour traiter par l'analyseun problèmegraphique,on le supposerésolu; puis on considèreles rapports des donnéeset des inconnues,et l'on en déduit des conséquences jusqu'àce qu'on arrive à des résultatsconnus. On doit avoir soin que les propositionsdéduitesles unes des autres soientréciproquesau point de vue logique (n° 16) ; sans quoi on pourrait omettreou perdre des solutions,ou en introduire d'étrangèresà la questionproposée.

40. Synthèse.Pour traiter par synthèseun problèmegraphique,on indique immédiatementles constructionsà ejfectuer pour arriver au les constructionsainsi résultatdemandé,et l'on justifie successivement faites. Nous allons appliquer successivementl'analyse et la synthèseà un mêmeproblème. Problème. 41. Construireun carré,connaissantla somme1 de la diagonaleet du Coté.

1° Analyse. Supposonsle problème résolu, et soit ABGD le carré

demandé. Menonsla diagonaleAG, prolongeonscette ligne, et prenons unelongueur CE égaleà AB ; nous auronsAE = l.

Si l'on mèneBE, on reconnaîtque le triangle BCE est isocèle; l'angle BCA. extérieur à ce triangle, étant de 45 degrés,chacun des angles B, E du triangleisocèle BCE égale la moitié de 45 degrés. Ainsi, dans le triangle ABE, on connaît la baséAE ou l et les anglesadjacents A, E. On peut donc construirele triangle, et le petit côté AB serale côté du carrédemandé. L'ordre le plus pratique, pour ces constructions, est celui que nousallons indiquer dans la

Synthèse. 2° Synthèse.Sur le milieu d'une droite AE, égale à la longueurdonnéel, il faut élever une perpendiculaire ; porter MA de M en N ; tracer NA et NE; mener EB bissectricede l'angle E, puis BC perpendiculaire à AB, et enfin AD et CD qui complètentle carré. En effet, dans le triangle ABC, l'angle B est droit, l'angle A égale 45 degrés,et par suite, C égale aussi45 degrés; ainsi BG=;AB. L'angleAEN égale45 degrés; donc AEB la moitié de 45 degrés. Dans letriangle BCE, l'angle B égalel'angle extérieurG moins l'angle intérieurE,

=

ou

=

donc le triangle BCE est isocèle; CE CB ou AB, et Ja ligne AE ou l égale la diagonaleAG, plus la longueurdu côté. Le problèmeest donc résolu. Remarque.Nousallons donnerquelquesautresexemplesde résolution de problèmes,mais en nousbornantà les traiter par l'analyse. Problème.

42. Diviser un arc de cercle en deux parties,de manièreque les cordes des arcs ainsi déterminessoient entre elles dans un rapport m donne —.

Soit ACB l'arc donné. Supposonsle problème résolu et admettons qu on ait :

Pour être conduit à la solution, il suffit d'employer le théorèmede la bissectrice(G., n° 215), car on sait que la base est divisée en segments proportionnelsaux côtés. On a donc : On peut dès lors déterminer le point E; car la bissectrice de l'angle D doit passerpar point milieu de l'arc AFB. On est donc conduit à la construction

le suivante.

Construction.Sur une droite quelconquemenéepar le point A, il faut prendreAM = m, MN = n ; joindre B au point N; par M mener à NB la parallèleME et joindre le milieu F de l'arc au point E; la droite FED déterminele point D. Remarque.Le point D', symétriquede D par rapportau diamètreCF, correspondà Problème. 43. Construireun triangle, connaissant deux côtés et la bissectrice de l'angle compris entreces deux côtés. Soient ABC le triangle demandé,les côtés BC, BA respectivement égaux aux longueursdonnéesa, c, et la bissectriceBD, égaleà une autre longueurconnueb. En menantune parallèle AE à la bissectrice, on forme un triangle isocèle ABE (G., n° 215), dont on,peutdéterminer la base. En effet, les trianglessemblablesCAE, CDB donnentla relation

car

ou

d'où la Ainsi, aprèsavoir déterminé,par une quatrième proportionnelle, longueurde AE, il faudra construireun triangle isocèleABE, ayant AE pour baseet c pour longueurdes côtés égaux. Par le sommetB du triangle isocèle, mener une parallèleà la base, prendreBD b et menerdes droites EB, AD jusqu'àleur point de concours.

=

Problème. 44. Étant donné un triangle ABC, ayant trois côtés inégaux, on demandede menerdes droites OM, ON par un point quelconquede la ba'se.de manièreque ces droitesOM, ON, limitées aux deux côtés, aient pour somme une longueur( donnée), et que,pour tout autrepoint de la base,\ les parallèlesmenéesaux dnpites OM, ON aient constammentpour somme1. Admettons que la questionproposéepuisseêtre résolue,et soit OM + ON l. Puisque la somme doit être constantepour un point quelconquede la base, il faut que BE, parallèle à ON, égale l; car, pour le point B, la parallèle menée à OM est nulle. De môme CG, menéeparallèlementà OM, doit égalerl. Nous sommesdonc conduitsà la constructionsuivante:

=

Du point B, avec l pour rayon, décrire un arc qui coupe AC en E; avec le même rayon, de C comme centre, déterminer G sur AB ; puis, par un point quelconque0 de la base,mener des parallèlesaux droitesBE, CG. Il suffit de prouverque OM + ON l. En effet, les trianglessemblablesOGN, BCE donnent:

=

d'où Les trianglessemblablesOBM, CBG donnentde même :

Parsuite, 45. Remarque.Dans les problèmes précédents,le rappel d'un seul théorèmea conduit à la solution ; mais il n'en est pas ainsi pour la plupart des questions ; on peut procéderalors commeil suit : à un problèmeplus simple, On chercheà ramenerle problème proposé puis ce secondà un troisièmeencoreplus facile à résoudre,et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on parvienne à une question connue, ou du moins à un problèmequi puisseêtre résoluimmédiatement. Voici quelquesexemples: Problème.

46. Décrire une circonférencetangenteà trois. circonférencesdonnéesA, B, C. Soienta, b, c les rayonsrespectifsde ces circonférences,et D le centro de la circonférencedemandée.

En décrivant une circonférencedu centre D, avec le rayon AD, on du centreBavec reconnaîtqu'elleseratangenteà la circonférence décrite

le rayon b — a, et à celle que l'on décrirait du centre C avecle rayon c — a; donc le problèmeest ramenéau suivant : Problème. 47. Décrire une circonférencequi passepar un point A et qui soit tangenteà deux circonférencesdonnéesBF et CG (fig. 19). En supposantle problème résolu, menantla tangentecommuneEGF et joignant le centrede similitude E au point A, on sait que l'on a : EA EH = EF.EG; (G., n° 819) . donc, pour déterminerle point H, il suffit de faire passerune circonférence par les pointsA, F, G ; puis, le cercledemandé devant passer par deux points connusA, H, la questionest ramenéeà la suivante:

•

Problème. 48. Décrire unecirconférencequi passepar deuxpointsdonnésA, II, et qui soit tangenteà une circonférencedonnée. Ce troisièmeproblème se ramèneà ce quatrième: faire passerune circonférencepar trois points donnés.

49. Remarque.La marcheindiquéeestcomplètement analytique ; mais, comme les questionssuccessivesne sont pas réciproquesles unesdes autres,il faut étudier chacuned'elles avec soin, afin de ne pas omettre certainessolutions. Ainsi le quatrièmeproblème, faire passerune circonférencepar trois points, n'a qu'une solution;le troisième,faire passer une circonférencepar deux pointset tangenteà une autre circonférence,en a deux; le deuxième,faire passerune circonférencepar un point et tangenteà deux autrescirconférences,en a quatre,et le premier, déérire une circonférencetangenteà trois autrescirconférences, a huit solutions. La méthode synthétiqueexpose enpremier lieu le problèmele plus simple. Dans l'exemplecité, c'estle quatrième ; puisviendrontsuccessivementle troisième,le deuxièmeet le premier. 49 a. Note. La première solution géométriquedu problème: construireun cercle qui en touche trois autres,est due à VIÈTE; elle se trouve dansson Apollonius Gallus : c'est la solution mêmeque nousdonnons;mais ce savant procèdedu simple au composé,il traite des cas particuliers et termine par le

problèmegénéral, tandisque dansle mode d'expositionci-dessus,on procède à l'inverse, afin d'amenerla questionproposéeà un problèmede plus en plus simple : telle a été probablementla marcheque Viète lui-mêmea suivie pour trouver la solution remarquableque nouslui devons(voir ci-aprèsla note du

n° 1463). Le bel exemplede simplificationssuccessicesque nousvenonsde donnerse trouve dans les Problèmesde géométrie,de ItlTT. (Vendée),devint maître * FRANÇOIS VIÈTE, né en 1510 à Fontenay-le-Comte des requêtes,mais cultiva les mathématiques avec beaucoupd'ardeuret de succès.Il est le premier qui ait construit géométriquement les formules algébriques. Il mourut à Paris en 1(108. GEORGES RITT, né à Toulon en 1800, mort à Paris en 1864, ancienélèvede l'Ecole normale supérieure,inspecteurgénéral de l'instruction publique dès

1816, est surtoutconnu par son Arithmétique élémentaire et pap les recueils de problèmes relatifsà l'Algèbre, aux élémentsde géométrieet ,à la Géométrie

analytique. Ces divers ouvragessont remarquables par le choix des problèmes,le mode d'expositionet les aperçusnouveauxqu'ils contiennent.C'est dans ses Problèmesde Géométrieque nousavonspris l'idéede faire précéderles Exercices de Géométrie d'unevéritable Méthodologie appliquéeaux théorèmeset problèmes. .

Problème. i

80. Dansune ellipse, quelle est la distanceOL du centreà une corde MN parallèleà AA', et dont la longueur est la moitié du grandaxe? (Baccalauréatès sciences,Toulouse.) 1° Considéronsle cercle principal de l'ellipse. (G., n° 626.) La corde correspondante mit égale a, rayon de ce cercle; en joignant les extrémités au centre, on forme un triangle équilatéral nOm. La hauteurde ce ) (G., triangleégale n° 316.) Or cette distanceest réduite pour la

^

cordede l'ellipse, dansle rapport centreà la cordede l'ellipse égale:

(G., n° 636); donc la distancedu

2° On peut arriver plus rapidementà ce résultat. Par rapport au cercle décrit sur le petit axe, la demi-

est l'abscisseDE d'un point D ; pour le petit cercle, la demi-corde correspondantedE T,-. (G., n° 635.) Mais dc b est la base d'un triangle équilatéral; donc corde

=

=

3" Le moyen général pour traiter ces questions,c'est d'employer l'équationde la courbe a2y2 b2x2 a2b2. (G., n° 645.) +

et Remplaçonsx par ML ou -tj-, d'où x2

=

l'équation devient suc-

cessivement:

Problèmede Castillon. 81. On donnetrois pointsA, B, G, et unecirconférence;inscrire dans cette circonférenceun triangle DEE, tel que chaquecôtépassepar un despoints donnés. Soit le problèmerésolu et DEF le triangle demandé.Il suffit qu'un seul sommetsoit déterminé.Pourétabliraisémentcertainesrelationsentre

les donnéeset les Inconnues,menonsFG parallèleà BC et menonsGEH. Les angles inscrits D, G sont égaux, donc l'angle EHB D; les triangles BHE, BDG sont semblables,car ils ont un angle B commun et un angle H égal a D ; on a par conséquent :

=

d'où Les longueursBE et BD ne sont point connues,mais leur produit égale le carré de la tangenteBT ;

d'où Ainsi le point H peut être déterminé,et le problème proposéserait résolu, si l'on savait déterminerun point E, tel qu'enle joignant aux points A et II, la cordeGF fût parallèle àBC. On est donc conduità résoudrele problème suivant(n° 52).

par CRAMER, a été résoluen 1776 parCASa. Note. Ce problème, proposé TILI.ON, géomètreitalien (1708-1791).Le problèmeavait été résolu par PAPPUS dansle cas particulier où les trois points A, B, C, sont en ligne droite. (Nouannée1844,p. 464.) velles Annalesmathématiques', * CRAMER, né à Genèveen 1704, mort à Bagnols-sur-Cèze en 1752. On lui doit Y Introductionà l'analysedes courbesalgébriques,et les formules d'éli51

mination qui portent son nom. * PAPPUSvivait à Alexandrievers la fin du IVe siècle de l'ère chrétienne.Ses les principalesdécouvertes faites collections mathématiques contiennent jusqu'alorsen géométrie,et les recherchespersonnellesde l'auteur.On y trouve mêmeune questionanalogueau théorèmede Guldin, et le théorèmefondamental relatif au rapport anharmonique.

Problème. 82. On donne deux points A, II, une circonférenceet une droite BC. Déterminer sur cette circonférenceun point E, tel qu'en le joignant aux deuxpoints donnésA, H, la corde FG soit parallèle àla droite BC.' Soit le problèmerésolu et FG parallèleà BC. Par analogie à la question précédente,menons FL parallèle à AH, puis la ligne LGM, et déterminons la positiondu point M. Les triangles MGH, EAH sont semblables. En effet, l'angle H est commun et l'angle M égale l'angle E, car ces deux anglesont pour supplément le mêmeangle L. On a donc :

d'où Ainsi le point M est connu de position; d'ailleurs, l'angle LFG = A1IB angle donné; donc il suffit de menerpar le point M une sécanteMGL

telle que l'angle inscrit correspondantLFG soit égal à l'angle formé par les droitesdonnéesAH et BC. La résolutioncomplète duproblèmede Castillon n'exige plus que la résolutionde l'exercicetrès simple que voici : Problème. 83.

Par un point donné M, mener une sécantetelle

que l'angle inscrit LFG, qui correspondà la corde interceptéeGL, soit égaleà un angle donnéAHB. Tous les angles inscrits égaux correspondentà desarcségaux,et par suite à des cordes égales. Il suffit donc de faire un angle inscrit C égal à H, de mener une circonférence concentrique à la premièreet taDgenteà la corde DE, puispar le point M de menerà cette deuxièmecirconférence une tangenteMGL. Tout angle inscrit tel que F égaleraH. Résumé.

84. La synthèsepermet à celui qui sait, d'exposerce qu'il connaît; il est d'usagede l'employer,dansles élémentsde géométrie,à la démonstrationdes théorèmes; mais la synthèsene peut guèreêtre utilisée dans la résolution desproblèmes,car rien n'indique, à priori, les constructionsà effectuer. L'analyseest, par excellence,la méthodepour découvrir;par suite, on en fait constammentusagedansla solution des questionsque l'on n'a .pas encoreétudiées. Méthodesparticulières.

88. Pour faciliter la démonstrationdes théorèmeset la résolutiondes problèmesgraphiques,il estaproposd'indiquerplusieursméthodesparticulièresqui se rapportenten réalitéà l'analyse. La classificationdes méthodesparticulièresn'a rien d'absolu,car un grand nombre d'exercicespourraientêtre rapportésA plusieurs de ces méthodes.Souventaussi la démonstrationou la résolution d'une question proposéepeut exiger l'emploi simultanéde plusieursdes procédés spéciauxqui vont être indiqués.On ne doit jamaisperdrede vue l'observation suivante: Il faut, danschaquecas,employerla méthodequi mènepromptement. et le plus facilement au but, mais toujoursen conservantl'inexorable rigueurlogiquequi est l'âmede la science.(TERQUKM , NouvellesAnnales mathématiques, 1852, p. 4.-47.) 55 a. Note. Le journal connu sous le nom de NouvellesAnnalesmathématiques a été fondé en 1812, par MM. TERQUEM et GÉRONO.

remplacépar MM. E. PROUM. TERQUEM, mort en 1862, a été successivement IIET, J. BOURGET, CH. BRISSE. L'honorableet savantM. GERONO a continué jusqu'en1887; à cette époque,il se fit remplacerpar M. E. ROUCHÉ.

Plus tard, en 1896, les NouvellesAnnalesfurent rédigéesparMM. LAISANT et ANTOMARI. Ce dernierfut remplacépar DUPORCQ; celui-ci, à son tour, décédé MM. BOURLET et en 1903, après une courte carrière, a eu pour successeurs BRICARD.

Nous aurons à citer fréquemmentles NouvellesAnnales, car cet ouvrage et intéressantesquestionset d'utiles renseignenous a fourni de nombreuses ments bibliographiques.Les renvois seront indiqués par N. A., année

page...

né à Metz en 1782, mort à Paris en 1862, fut admis à l'École Polytechniqueen 1801 ; il occupa la chaire de mathématiques transcendantes, au lycée de Mayençe,de 1804 à 1814. A partir de cette époque, ilfut bibliothécaire au dépôtd'artillerie à Paris, publiadivers ouvrages,et collaboraassidûmentau Journalde M. GÉRONO. * GÉRONO, né à Paris le 30 décembre 1799,décédéen1892,aprèsavoir dirigé les Nouvelles Annalespendantplus de 45 ans et publié diversouvrages,notamment des Traités de Géométrieanalytiqueet de Géométriedescriptive (voir la Notice publiée par M. BOUCHÉ, Nouvelles Annales,1892, p. 538). * E. PROUHET, décédéen 1867, répétiteurà l'École Polytechnique. * J. BOURGET, décédéen 1887, recteurà Clermont-Ferrand, aprèsavoir été recteurà Aix, directeur des études à Sainte-Barbe,et antérieurementprofesseur à la Faculté des sciencesde Clermont-Ferrand. à l'ÉcoleCentrale,répétiteurà l'École Polytechnique. * CH. BRISSE,professeur * E. ROUCHÉ, mort le 19 août 1910, à Lunel, professeurau Conservatoire des Arts et Métiers,auteurdes Appendicessi estimés,du Traitéde Géométrie qui porte son nom et celui de M. DE COMBEROUSSE. de l'Intermé* C.-A. LAISANT, répétiteurà l'École Polytechnique, directeur diaire des Mathématiciens. spécialesau lycée * X. ANTOMARI (1860-1902),professeurdo mathématiques Carnot. * E. DUPORCQ (1873-1903),ingénieurdestélégraphes. * C. BOURLET, professeur au ConservatoiredesArts et Métiers. * R. BRICARD, répétiteurà l'École Polytechnique. TERQUEM,

II LIEUX GÉOMÉTRIQUES

§

I.

—

Recherchedes lieux géométriques.

l'ensemble despoints qui Définition. On appelle lieu géométrique jouissentd'une môme propriété. Les Éléments de géométrieindiquent un assezgrandnombrede lieux géométriques; ainsi : La perpendiculaireélevéeau milieu d'une droiteest le lieu despoints équidislantsdes extrémitésde celte droite. (G., n° 42.) La bissectriced'un angle est le lieu desjjoints équidislantsdes deux côtésde cet angle. (G.,n° 66.) On connaîtaussi le lieu des points distantsd'une longueur donnée d'une droiteou d'unecirconférence.(G., nos 84, 115, 2°.) Le lieu des points distantsd'une longueurdonnéed'un plan ou d'une sphère,est un plan parallèleau premier ou une sphèreconcentriqueà la sphèreproposée. 56.

57. Détermination du lieu. Pour reconnaîtrela nature du lieu des points qui jouissent d'une propriété donnée, et pour reconnaître la position de ce lieu par rapport aux grandeursconnues,on considère quelquespoints spéciauxdu lieu et l'on cherche quelleest la ligne qui peut passerparlespoints ainsi trouvés,puis on suit un des deux modes

ci-après.

Premiermode.1° On démontreque tousles pointsde la ligne jouissent

de la propriétéénoncée. 2" On prouve quetout point pris hors de la ligne considérée n'a pasla propriété demandée. ' Secondmode. 1° On démontre qu'unpoint quelconque,jouissantde la propriétévoulue, se trouve sur la ligne. 2» On prouve que toute la ligne appartientau lieu, ou on reconnaît quelle est la partie de cette ligne qui appartient réellement à ce lieu. Remarques.1° A causede l'importancede la déterminationdes lieuxgéométriqueset des difficultésque présentel'application desconsidérations généralesci-dessus,nous allons traiter quelquesexemplesavec tous les détails nécessaires. 2° La doctrine des lieux géométriques,de même que l'analyse,est attribuéeà Platon. (Aperçu historique,page 5.)

Problème. y8. Par chaquepoint d'unecirconférence,on mènedes droitesparallèles sur lesquelleson prendune longueur constante1 ; quel est le lieu des points ainsi obtenus? Soit CN égaleet parallèleà BM. Par le centre A menonsune parallèle AO égaleà l. La figure ABMO est un parallélogramme comme ayant deux côtés opposéségaux et parallèles; donc De même

Le lieu est donc une circonférenceégaleà la première.

Remarques.1° En appliquantles conditionsde l'énoncéci-dessus à une figure quelconque,on obtiendraitaussiune figure égale. La démonstrationgénéraleest la suivante. Les droites BD et ME sont égaleset parallèles,car BM et DE sont égaleset parallèles,et de mêmeDC et EN sont égaleset parallèles,et les anglesBDG, MEN sont égauxcommeayant les côtés parallèleset de même sens. Ainsi les figures BDCF, MENG sont égalescommeayant les côtés respectivementégauxet les angleségaux. Les figures courbessont égalescomme limites de polygoneségaux. 2" Dans les applications,on peut considérer lafigure MENG comme ayant été obtenuepar le déplacementde la figure BDCF, dont tous les sommetsont glissé sur des parallèles.Ainsi on peut dire que la figure MENG a été obtenueà l'aide de BDCF, en employantun déplacementou une translation,tous les pointsglissantsur desdroites parallèles. 59.

Problème. (10. Quel est le

lieu despoints dont le rapport des distancesà deux

droites égaleun rapportdonné SoientOX, OY les droitesdonnées. Le point U appartientau lieu; soit A un point tel qu'on ait :

La droite. AO est le lieu demandé,car pour tout autrepoint A', on aura: La droite OB appartientaussiau lieu, car on peut avoir :

Problème. 01. Quel est le lieu géométriquedes points dont les distancesà deux points donnés A et B sont

dans un rapport constant m n

9

Sur la droite AB et sur son prolongement, déterminons les points M et N tels qu'on ait :

(G., n° 307.) Ces deux points M et N appartiennentau lieu demande. Pour un autrepoint quelconqueC du lieu, on a par hypothèse:

donc Mais la bissectricede l'angle ACB et celle de l'angle supplémentaire BCD donneraient,sur la base,deux points dont le rapport des distances '

donc les droitesCM et CN aux points A et B égalerait -çg- ou sont elles-mêmes lesbissectricescherchées. Les bissectricesde deux anglessupplémentaires sont perpendiculaires l'une à l'autre; donc l'angleMCN est droit, et le point C appartientà la circonférencedécritesur le diamètreMN. On prouve ensuiteque tout point de la circonférenceappartientau lieu. (G., n° 307, 2°.) 62. Note. 1° En tenantcomptedes signes,on écrit :

Lesquatrepoints A, B, M, N, formentunedivision harmonique.Dansla Géométrie récentedu triangle(n°s 22(52 et suivants),on écrit de préférence:

afin que le rapportqui correspondau point compris entreM et N soit positif. 2° Le lieu des points dontle rapport des distancesà un point et à une droite est constantest une conique. On obtient une ellipse pour

(G., n° 846.)

—

une parabolepour

(G., n° 848.)

—

une hyperbolepour

(G., n° 850.)

Problème. 63. On joint les divers points M d'une droite à un point donné0, et l'on prendsur chuque ligneainsi menéeune distanceON, telle que Quel est le lieu des

pointsN? Soient N et N' deux points du lieu. Les trianglesMOM', NON' sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre côtés homologues,proportionnels,car donc les droitesMM' et NN' sont parallèles.

64. Remarque,Le point O (fig. 27) est le centre de similitude directe. Le point O (fig. 28) est le centrede similitude inverse.(G., nos 305 et 813.)

Problème. On joint les divers points M d'une circonférenceà un point donné0, et l'on prend sur chaqueligne ainsi menéeune distanceON, 615.

telle que égale un rapport donné Quêl est le lieu des points N? Soit'N un point quelconque dulieu. Sur la ligne AO prenons une longueur OB, telle qu'on ait

:

Les triangles AOM, BON sont semblablescomme ayantun angleégal compris entre côtés proportionnels; donc

d'où

quantité constante.

Donc lo.lieu des points N est une circonférencedécrite du point B

n pourrayon. w » AM centre avec comme . — 66. Remarques.1° Quand lepoint 0 est entre M et N, la similitude est inverse; elle est directe dansle cas contraire. 2° Le théorèmes'appliqueà une figure quelconque; le lieu des pointsN est une figure semblableà la première.

Problème. 67.

Par un point donné0, l'on mène une droite quelconque;elle

rencontreune droite donnéeAB en un point N, et l'on prend sur la sécanteune longueurOM telle que le produit OM ON ait une valeur . constantek*. Quel est le lieu du point M? Le lieu est évidemmentsymétriquepar rapport à la perpendiculaireOB, abaissée du point 0 sur la droite donnée; déterminons doncle point D tel que l'on ait : OB OD = . Soit M un point quelconquedu lieu; on OM ON = lfl. aura: . Les produitségaux OB OD et OM ON

k2. .

.

donnent: Donc les triangles OBN, OMD sont semblables,car ils ont un angle égal compris entre côtés homologues proportionnels;donc l'angleM est droit, car il égale B. Ainsi tout point M du lieu appartientà la circonférencedécrite sur le diamètreOD.

68. Remarques.1° Il serait facile de prouver quetous les points dela circonférenceappartiennentau lieu. 2° En donnantun point 0 sur une circonférenceayant OD pour diamètre,et déterminantON' par la relation OM. ON' k2 le lieu despoints N' est la perpendiculaireN'B', menéeau diamètre par un point B', tel qu'on ait: OB'. OD k 2. (G., n° 825.) 3° Lorsquele point 0 n'est pas sur la circonférence des points M, le lieu des pointsN', tels que OM ON' k2, est unesecondecirconférence; les deux courbesont le point 0. pour centrede similitude. (G., n° 828.)

=

= =

Problème. 60. Quel est le lieu despoints dontla sommedes carrésdes dislances à deux pointsdonnéségaleun carrédonnék2'? SoientA, B les points donnés,G un point du lieu tel quel'on ait: A C2

+ BC2

= des carrésde deux côtés

Puisqu'ona la somme du triangle ABG, on est conduit à appliquer le théorèmedu carré de la médiane. (G., n° 254.) Joignonsdonc le point G au point milieu O de lu base; on aura: donc Ainsi CO est une longueurconstante.

Le lieu est donc la circonférencedécrite du point milieu centre,avec OG pour rayon.

0 comme

70. Remarques,1° Toute la circonférenceappartientau lieu. 2° Pour déterminerle rayon, on peut élever une perpendiculaireau point 0 sur AB (fig. 31), et du point A comme centre, avec un rayon égal au côté du carré équivalentà Ja moitié de k-, couper la perpendiculaire au point D. 3° Il faut que k- égaleau moins 2A02 ou Problème. 71. Quel est le lieu des points dont la di/Jérencedes carrés des dislancesà deux points donnés égaleun carrédonnék-? BG2 Soit : 2 k2.

AC -

=

= AD- -f CD ;

BC2

Puisqu'il s'agit de la différencedes carrés des deux côtésd'un triangle, on est conduit à étudier les projectionsde cescôtéssur AB. (G., n° 255, 2°.) Abaissonsdonc la perpendiculaireCD; on a: A G-

d'où

2

AC2

— BC2

= BD2-j- CD2;

= AD2 — BD2.

.

Ainsi, quel que soit le point du lieu, la différence AD2—-BD2 ne varie point, elle égalek^; donc le point D est déterminé, et la perpendiculaire CD appartientau lieu demandé. Le lieu complet comprendencorela perpendiculaireCD' telle que

Remarques. 1° Les doux perpendiculairessont équidistantesdu milieu 0. 2° La différencepeut varier de zéro à -)- oc. Lorsqu'elle est nulle, les deux droites DG, D'C se réduisentà une seuleperpendiculaireau milieu de AB au point 0. Problème. 72. Quel est le lieu des points dont la sommedes carrésdes distances à deux droites rectangulairesest égale à un

carrédonnéa2? Soit: On a:

OB étant une longueur constante,le lieu du point B est la circonférencedécrite du

centre0 aveca pour rayon.

73. Remarques.1° Pour la différence des carrésou B'D'2 — B'C'2 a2, le lieu est une hyperbole équilatère ayantAA' 2« pour axe transverse.(G., n° 676.)

=

=

le premier lieu est une 2° Lorsque lesaxes nesont pas rectangulaires, ellipse et le secondune hyberboleà axesinégaux. 3° Le lieu des points dont la somme ou la différence des carrésdes distancesà un point et à unedroite est constante,çst aussiune conique.

Problème. 74. Quel est le lieu des points dont la somme des distancesà deux droitesconcouranteségaleune longueurdonnée1? Soient deux droites concourantesBX, BY.

Sur chacunede ces droites il y a un des points du lieu; pour BY c'est un point C tel que la hauteur CH = l, car là distance dumôme point C à la droite BY est nulle. Pour déterminer C, on prend une perpendiculaire M'L' égale à la longueur donnéel, et l'on mène une parallèle L'L. On déterminede mêmeun point A tel que AG — l. Il suffit d'ailleursde prendre BA BC, car le triangleABC est isocèle commeayant deux hauteurségales, •1» On est donc conduit à regarder hypothétiquement la droite AC commeétant le lieu demandé. En effet, pour tout autrepoint 0 de la baseon a (n° 20) : OM + ON ML l,

=

=

=

2° Il resteà examinersi tobs les points de la ligne déterminéepar les points A et C appartiennentau lieu. Or, pour tout point 0' pris sur le prolongementde la haseAC. du tri-

angle isocèle,on a: Ainsi l'on doit regarderune des perpendiculaires commeétant négative ou modifier l'énoncé,car les pointssituéssur le prolongementde la base appartiennentau lieu des points dont la différence des distancesaux droitesdonnéeségale l. ^

Extension.Mais les droitesBX. BY sont illimitées ; il y a donc lieu de considérerles quatre angles que ces droites forment en se coupant (fig. 35). On trouve ainsi la solution complètequi suit. Théorème.Le lieu despoints dontla sommedes distancesà deux droitesconcourantesest égaleà 1, est formépar le périmètred'un rectangleAGDK; et le lieu des points dont la différence des distancesest desquatrecôté»de ce rectangle. égale« 1, est formépar lesprolongement» 71».

Figures complémentaires.On nomme figures complémentairesles

figuresqui répondentaux mêmesdonnéeset à la mâmequestion,maisavec un changementde signe dans la relation:elles constituent l'ensemblecomplet d'un lieu géométrique. Ainsi le rectangle ACIIE, qui correspondà .une somme (n° 75), et les prolongements des côtés de ce même rectangle,qui correspondentà une différence,sont des figures complémentaires.Il en est de môme du cercle et de l'hyperbole(n° 72).

Remarque.Le lieu des points dont la somme ou la différence des distances àdeux points donnés égale une longueur donnée 2a, est une ellipse ou une hyperbole. (G., nos 618 et 653.) Note. Le mot complémentaireest employé dans la Géométrierécentedu triangle, dans un sens différent, mais ici nous prenonsle terme même dej l'ONCELET, avec le sensqu'il y attachait.

Problème. 70. Quel est le lieu des points dontla somme oula différence des distancesà une droite et à un point donnésest constante? Soient F le point et-BC la droite donnée. SoientM, M1... despoints du lieu; on a donc: MF + MN l. Pour ajouter les deux droités, il suffit de prendreMP égal à MF, M'P' égal à M'F; donc PN = P'N' l. Le lieu des points P est une droite parallèle à BC; et les points M, M', étant équidistants d'un point F et d'une droite DP, appartiennent à une paraboleayant F pour foyer et DP pour directrice. (G., n° 681.) compris à droite de I1C Les points de-la parabole correspondent à la différence; FI 1K, car FI — IJ JK = l. et 77. Remarques.1° Lorsquel est < FE, tous les pointsde la parabole correspondentà une différence; la courbe ne coupe point la droite donnée. 2° Si l'on retranchaitle rayon vecteur de la distancedu point considéré à la droite donnée,la directrice se trouverait entre la droite et le point donnés.

=

=

= =

Problème. Quel est le lieu des points dont le produit des distancesà deux axesrectangulaireségaleun carrédonnék1? 711.

Soit;

MP MN .

—

Le lieu est une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes. (G., n° 678.) Tous les rectanglestels que ceux q ui ont pour sommetsles points M, M' sont équivalentsentreeux. La tangente DE, à la courbe, est divisée en deux parties égales par le point de contact(voir n° 175, ci-après); par suite, le triangle DOE, double du rectangle OPMN, est équivalent au triangle D'OE'.

79. Note. 1° Lorsque les droites OX, OY le lieu despoints ne sont pas rectangulaires, dont le produitdesdistancesaux deuxdroites estconstantest une hyperboleà axesinégaux. 2° En géométrieélémentaire,il n'y a point à s'occuperdu lieu despoints dont le produit des distancesà un point et à une droite est constant,car ta

courbeest du quatrièmedegré. 3° Le lieu des pointsdont le produit des distances à deux points donnésest constantest du quatrièmedegré; il est connu sousle nom de courbe cassinienne et comprendplusieurs variétés,entre autres l'ovale de Cassiniet la lemniscatede Bernoulli. Pour l'étude de ce lieu géométrique,on peut consulterdivers Traités de Géométrieanalytique: BRIOT, n° 339 ; SONNET et FRONTEIU, n° 20; PRUVOST, n» 175, exempleIt; M. G. DE LONGCIIAMPS, n<» 27-29. On peut aussi voir nos Exercicesde Géométrie'descriptive, 4e édition, n05 934 à 940. Les CASSINI ont été surtout astronomes,et ont travaillé de père en fils, pendantquatre générations,soit au tracé de la méridienne,soit à celui de la grandecarte de France,commencéen 1744 et terminéeen 1793. * Les BEr.NOULLr, voir ci-après,n° 770, note.

Problème. 80. Quel est le lieu des points milieux des cordesmenuesà une circonférencepur un mêmepoint A ? 1" Le lion doit passer par le centre O, milieu du diamètre,et par le point A, car ce point est le milieu de la corde GH, perpendiculaire au diamètre LK; d'ailleurs le lieu estsymétriquepar rapportà AO. 2° Pour le point milieu D d'unecorde quelconque CB, on sait que la droite OD est perpendiculaire à la corde BC, ; donc lo point D, sommet de l'angle droit ADO, appartient à la circonférencedécrite sur AO, commediamètre. 3" Lorsque le point A est intérieur(fig. 38), toute la circonférenceAO appartientévidemmentau lieu; mais il n'en est pas de mêmesi lo point 14 est extérieur (fig. 39).

Lorsqu'onse placeau point de vue de la géométrieélémentaireet des constructionsultérieures qu'onpourrait avoir à effectuer,l'arc MDON, limité aux tangentesAM, AN, appartient seul au lieu, puisque, en dehorsde ces tangentes,il n'y a pas de droite menéepar le point A qui puisserencontrerla circonférence0. Néanmoins,afin de serendrecompte de la présencede l'arc MAN comme lieu, il suffit de remarquerque l'angle ADO est droit et de poserla question commeil suit: Quel est le lieu géométriquedu sommetde l'angledroit d'un trianglerectangle dontAO est l'hypoténuse? Car, dans ce cas, le point E appartient évidemmentau lieu; mais il y a une maniéré plus generalede se rendrecomptede la présencede l'arc MAN. 81. Note. L'équationdu cerclerapportée à deux axesrectangulaires menésparson

centreest:

x2 + y2

= r2.

(G., n° 646.)

L'équation d'une sécante quelconque menéepar le point A est de la forme y = ax '+ b. b est une longueurconstante,a un coefficient angulairevariablepour caractériserla position de la droite par rapportà AO. En éliminant y, on trouve l'équation du seconddegré ou Les deux valeursde x correspondent aux abscissesAG, Ail des deux points d intersection; la demi-sommede ces lignes est l'abscisseAP du point milieu de la corde; de même que CP est la demi-sommedes ordonnéesBH et DG. Or, on sait que la sommedes racineségale le coefficient dex, pris en signe contraire; donc l'abscisse AP du point milieu est toujours réelle,mêmelorsque les rapinessont imaginaires,c'est-à-direlorsquela sécantene rencontrepas la circonférence.11 en est de même de l'ordonnée; dans ce cas, on dit que les points de rencontresont imaginaires.Ainsi: Une sécante quelconque menéepar le point A rencontrela circonférenceen deux points réels ou imaginaires,mais le point milieu de la distancedes deux points d'intersection est toujours réel et appartientau lieu. On peut consulterles Élémentsd'algèbre,F. I.-C., ou le Cours d'algèbre, E. G.-M.

Problème. On donneune circonférenceet un diamètrefixe AU. D'un point quelconqueC, pris sur le prolongement dudiamètre,on mèneune tangenteC.T, puis la bissectricede l'ilngle ACT ; quel est le lieu du piedde 112.

la perpendiculaireabaisséedu centre sur la bissectrice?(Énoncé de BLANCHET.)

Étudionsles positionsparticulièresde la tangente. Pour la tangenteau point 1), la bissectriceest parallèle à la tangente et au diamètreAB; elle passepar le point milieu E de OD. La tangenteau point B donneune bissectriceBD qui coupe le diamètre OG détermineun triangle OGB, sousun angle de45°. La perpendiculaire rectangleisocèle; donc 1°

Les quatre points G, G', G'', G'" sont les sommetsd'un carré ayant le point 0 pour centre. Le côté GG passepar le point E déjà déterminé. 2° Pour une tangentequelconqueCT, le point M est la projectiondu centre sur la bissectriceCM. Prouvons que le point M appartientà la droite GEG'. Menonsle rayon NM do la circonférenceOTC qui déterminele point de contact;soit H le point où ce rayon coupela corde OT; 1

on a: Or lestrianglesrectanglesOMP, OMH sontégauxcommeayantl'hypoténusecommuneet l'angle MON OMN.

=

Donc

83. Remarque.Le lieu complet,pour le diamètrefixe AB, se composo de deux parallèlesillimitées. Les segmentsGG', G"G'" correspondent à la bissectrice IJ de l'angle aiguque la tangente fait avec le diamètre, tandisque les prolongements correspondent à la bissectriceIK de l'angle obtus. 83 a. Note. Le problèmea été proposédansla Géométriede Legendre,revue par A. BLANCHET, ancien directeurdes étudesà Sainte-Barbe. Les théorèmes,lieux géométriqueset problèmesproposésdanscet ouvrage, ont intéresséde nombreuxélèves. La solutionde toutesces questionsest con-

tenue dansun ouvragepublié en 1870. * Applications de Blanchet,par M. NEEL, ancien élève de l'École militaire belyo.

Problème. 84. Deux côtésopposésAH cl CD d'un quadrilatèresont donnés : ils se coupent en un point 0. Un des côtésAB estfixe, l'autre CD tourne autour du point 0. Quel est le lieu du point M où se coupent les deux autrescôtés AC, BD, et le lieu du point d'intersectionM' des diago-

nalesAD, BC ? Par le point M menons MN parallèle à OCD, et cherchonsla relation qui existeentre AN, NM et les longueurs données. Soient OA = a ; OB = b ;

AB=b — a=l;

c; OD = d. = Les trianglessemblablesNBM, OBD, puis NAM, OAC donnent ÔG

:

d'où donc

mais

d'où quantitéconstante; on tire :

puis, de

quantité constante.

Donc le lieu du point M est une circonférence dontle centreN est

sur OAB.

Le lieu de

M1

est la circonférencedont N' est le centre et N'M' le

rayon. L'ensembledes deux circonférences,ayantpour centresrespectifsN et N', constituele lieu complet. 85. Lieu composé. Le lieu géométriquedemandépeut être formé par plusieurslignesd'espèces différentes droite et d'un : par exemple, d'une cercle,ou bien d'un cercle et d'une hyperbole. Dans ce cas, l'étude en est plus difficile, car on est exposéà omettrequelquepartie du lieu. Cette particularité s'est présentéedans un problème de concours (n» 86); mais avant de l'examiner, nous étudieronsun cas très simple de la mêmequestion(n° 85 b). Traitonsd'abordd'un lieu composéd'une droite et d'un cercle.

Problème. Ciî a. Du sommet. A quelconque,(le 13 et C

(l'un triangle isocèle BAC, on décrit un cercle on mène des tangentesau cercle variable de

centreA ; quel est le lien des points de concours des tangentesainsi

menées? Les tangentesse coupenten quatrepoints E, F, I, J. . 1° Le lieu des points E, F est évidemmentla droite EAF perpendiculaire à la baseBG.' 2° Le lieu des points I, J est le cercle circonscrit au triangle BAC. En effet, si l'on mène les rayons de contact AM, AN, on reconnaîtque les triangles rectanglesAMB, ANC sont égaux; donc ABM égale ACN, l'angle BIC BAC, et le point I appartientau cercleBAC. Remarque.Ainsi le lieu complet desquatrepointsde concourssecomposede deux partiesdistinctes: d'une droiteAli et d'un cercle ABC.

=

Problème.

03 b. On donneune droite XX' et deux perpendiculaires Y Y', ZZ' à la première.D'un point M on abaisse des perpendiculairesMP, MQ, MR sur ces droites. Quel est le lieu du point M lorsque MP est moyenne proportionnelle entre MQ et MR? 1° Soit

MP2

= MQ. MR.

On a donc : MP2 PA PA'; . donc le lieu du point M est la circonférencedécritesur AA' pris

=

pour diamètre. 2» Mais on peut avoir aussi: M'P'2 = M'Q'. M'R' ou M'P'2 P'A P'A'. .

=

Or, si l'on représentel'ordonnéeM'P7 par y, la distanceOP' par x et le rayon du cercle par a, on a : ?/2 (x — a) (x~-f a) x- — a(G., n» C7G c), équation d'une hyperbole équilatère, ayant AA' pour axe transverse: ainsi le lieu complet se composed'un cercle et d'une hyperboleéquilatère facile à déterminer. Remarque.La circonférenceet l'hyperbolesont des courbescomplémentaires,dansle sensindiqué par PONCELET (n° 75).

=

=

Problème.

86. Un triangle isocèleest donné; on demandele lieu des points tels que la distancede chacun d'eux à la base du triangle soit moyenne proportionnelleentre les distancesdu même point aux deux autres côtés. (Concours des lycées, 1865 ; cours de logique, section scientifique.) On reconnaîtimmédiatementque le centre0 du cercle inscrit et les centresII, I, J descerclesexinscrits appartiennent au lieu demandé,car chacun d'euxest équidistantdes trois côtés. Les points A et B appartiennentaussiau lieu. En effet, la distancede chacunde ces points à la baseet à l'un des côtésest nulle, ce qui suffit pourannulerle carreet le produit. Les six pointsainsi trouvés directementne peuventévidemment appartenirni à une mêmedroite, ni à une mêmecirconférence; les meilleurs élèves ont été arrêtés par cette considération, tandis que ceux qui n'avaient songé qu'aux points A, O, B, H, ont donné pour réponseune circonférence,et telle était bien la solution demandée. C'est aussi la seule solution qu'indiqueun ouvrage,d'ailleurs remarquableà bien despointsde vue (Voir noteci-après,n° 86 a). Mais le lieu complet comprend lesdeuxpartiesindiquéesci-après: 4" La circonférencetangenteaux deux côtés en A et B ; celte courbe passepar les centresII et 0. On sait que tous les points de cette circonlérence appartiennent au lieu (n° 25). La géométrieanalytiquedonneen outre, commesolution : '> Une hyperboleJA J', IBI', tangenteaux côtésen A et II, et par suite les tangenteà la premièrepartie du lieu. Cette seconde courbe contient centres I et J des cercles exinscrits aux côtés égaux du triangle isocèle. 86 a. Note. 1° La première partiede la solution se trouve dans l'ouvrage suivant : Théorèmeset problèmesde G contétrie élémentaire, par CATALAN, G'- édition, 1879, problèmeXLI, page 243.

La premièreédition a pour titre : Théorèmes.etc., par H.-CH. DE LAFRÉMOIRE, ancienélève de l'École Polytechnique,répétiteurde mathématiques au collège Louis-le-Grand.— TERQUEM a rendu comptede cet ouvrage(N. A. 1843, p.-515); puis on a : Théorèmes,etc., par H.-CH. DE LAFRÉMOIRE.Secondeédition, entièrementrevue et corrigée par E. CATALAN, docteurès sciences,etc. Enfin l'on — E. PROUHET en a fait le compte rendu (N. A. 1852, p. 113). arrive au titre ci-dessus: Théorèmes,etc., par EUGÈNE CATALAN. 2° Nous donnons quelques autres exemplesde lieux composés(nos 1407 o n'en donnentpas, et et 2166 a), parceque la plupart des recueils élémentaires qu'il est utile de prévenir les débutantsdes cas exceptionnels quipeuvent se présenterdans les examens. Une remarqueanaloguepeut être faite pour les étudesplus élevées(Voir ciaprès,n° 2166 c). * EUGÈNE CATALAN (1814-1894), professeurémérite à l'Université de Liège, auteur de plusieursouvragesestimés: Manuel du candidatà l'Ecole Polgtechnique,Élémentsde géométrie,Théorèmeset problèmesde géométrieélémentaire.— Nouvelle correspondancemathématique,de 1874-75à 1880; on On peut lire à son lui doit de nombreuxet savantsmémoiresmathématiques. sujet le Discourssur les travaux mathématiquesde M. E. C. Catalan, par M. MANSION, professeurà l'Université de Gand,membrede l'Académie royale de Belgique(Mathesis,1885).

§

II.

—

Emploi des lieux géométriques.

8T. Lieux'à employer.Les principaux lieux géométriquesà utiliser

dansla recherchedes problèmessont les suivants: à deux (a) Lieu des pointsdont la somme oula différencedes distances droites données égaleune longueurdonhée; (b) Lieu despoints dont les distancesà deux droitessont dansun rapport donné; (o) Lieu des points dont les distancesà deux points donnéssont dans un rapportdonné; (d) Lieu des pointsoù les droites menéesd'un point à une droite ou à ÎH divisées circonférence dans donné sont rapport un une —; »

(e) Lieu des pointsN où une droite OM, menéed'un point O, à une droite ou à une circonférence,est divisée en deux partiestelles que le produit OM ON est constant; (f) Lieu des points dont la sommeou la différencedes carrésdes distancesà deux points donnéségale une. valeur donnée. 88. Détermination d'un point. Dans la plupart descas, la résolution d'un problèmegraphique revientà déterminerla position d'un point. de la questionproposée, Or, en ne tenantpascompted'une des données on trouve une. ligne, contenantle point cherché;puis, en prenantla con-

x

dition négligée, maisen faisant abstractiond'uneautredonnée,on obtient encoreune ligne à laquelle appartientle point à déterminer; donc l'intersection desdeux lieux géométriquesdoçnele point demandé.

Emploi d'un seul lieu géométrique. 88. La déterminationd'un point n'exige parfoisquela constructiond'un seul lieu ; cette circonstancese présentelorsque le point doit appartenir à une ligne donnée. Envoici quelquesexemples.

Problème. 00. Sur une ligne AB, déterminerun point L tel que ses distances LM, LN à deux droites OX, OY, soient dans

un rapportdonné Il faut détermienr le lieu OZ des points dont les distancesEF, EG sont dans le rapport donné(n° 60).

Remarque.Pour la construction,on peut prendre OC m, OD = n et menerles parallèles CE, DE, car on a : =

Problème. 91. Sur un ligne AB déterminerun point L Ici qu'enle joignantaux extrémités de deux segmentsm et n, les trianglesobtenussoient équivalents. On détermine le lieu OLE des points dont le rapport des distances à PM, QN soit inverse des longueurs m, n de ces segments. Pour cela sur OC, perpendiculaireà PM, on prend n' n ; sur OD, perpendiculaire à QN, on prend m' m, et l'on mèneles parallèlesCE, DE; les triangles.LMP, LNQ sont équivalents.

=

=

Problème. 02. On donneun point sur une circonférenceainsi qu'unecorde;par le point, menerune secondecorde qui soit diviséeen deuxpartieségales

par la première.

1re Solution. Soient A le point donnéet BG

la corde donnée. Si ADE est la corde demandée,le point D doit se trouversur BC et sur le lieu despoints milieux des cordesmenées par le point A (n» 80). Il suffit donc de décrire une circonférencesur le diamètreAO. Les points D et û' déterminentles cordes demandées. 2e Solution. Le point E doit se trouver sur la circonférence donnée et sur le lieu, tel que toute ligne menéepar le point A se trouve divisée en deux partieségales

par BG.

Donc, sur une ligne droite quelconqueAIJ, il suffit de prendreIJ et de menerune parallèleEE' à BC.

= Al

93. Remarques.10 Lorsqu'unesolution dépendde l'intersection d'une droite et d'un cercle, il peuty avoir deux réponses,uneseule,ou aucune. Nous nous dispenseronsparfois de répétercette observation. 2° La secondesolution peut être employéemême lorsque la circonférenceest remplacéepar une courbequelconque. La question proposéen'est qu'un cas particulier de l'exercice suivant. %

Problème.

94. On donneun point 0 et deux droites quelconques ; par le point donné, mener une sécante MQN limitée aux deux lignes données, et telle que les segmentsinterceptésOM, ON soient dans un rapport donné

~.

Soient lesdroitesXY, XZ et MON divisée dansle rapportvoulu. Le point N doit appartenirà XZ et au lieu des points tels que toute droite menéepar le point 0 se trouve Il faut divisée dans lerapport donc construire ce lieu. Pour cela, menonsune droite quelconqueA OR; et par le point B prenons menonsune parallèleà XY. On aura:

98. Remarque.Pour une droite XY et unecirconférence,le mêmelieu

donne : Tour une droite et une courbequelconque,on procèdecommeci-dessus; pour une circonférenceet unecourbequelconque,on procèdecoinmo ci-après(n° 96). Problème. 96. Même question(n» 94), mais on donnedeux circonférences. SoieiA les circonférencesayant respectivementpour centres les points A et B. Il faut trouver le lieu des pointstels que

-- ™.

On a vu (n° 65) que ce lieu est une circonférencede centreC, telle que le point donne O soit le centre de similitude des circonférencesA et C; donc sur la droite AO

prenons: puis un rayon c, tel qu'on ait : Les droites MN et M'N' répondentà la question, car on a :

Problème. !)". Par an point 0, donné dansun angle YXZ, mener une sécante MON, telle que le produit OM ON ait une valeur donnéek5. .

Il suffit, comme précédemment,de déterminerdirectement une des extrémités de la secante,N par exemple. Or le point N doit se trouver sur XZ et sur le lieu despoints tels que OM ON .

= k'

2.

Or, pour déterminer ce dernier lieu (n» 67), il faut abaisserla perpendiculaire OA, prendreOB tel que OB OA k 2, et = . diamètre décrire sur OB comme une circonférence. Lès points d'intersectionN et N' avec XZ répondentà la question. 98. Remarque.Une des droites peut être remplacéepar une circonférence,ou par

une courbe quelconque. On peutdonnerdeux circonférences,ou bien une circonférenceet une courbe quelconque. Problème.

Par un point

de l'hypoténused'un triangle rectangle,mener des parallèles aux côtés de l'angle droit, de manière que le rectangle obtenu réalise certainesconditions imjiosées. (a) Le périmètre du rectangle doit égalerune longueurdonnée2p. Soient ABC, le triangle rectangle donné; AI'MN un rectangle tel que le demi-périmètre

00.

+ MP = p (fig. 52). Le point M doit appartenirau côté MN

BU et au

lieu des pointsdont'la

AC égale p (n° 75) ; AB, rectangulaires droites distances des aux somme donc il suffit de prendre AD AE = p et de menerDME. AB < p < AC. On doit avoir : (b) La différence de deux côtés adjacents du rectangle doitégaler une longueurdonnée d. Il faut employer le lieu des points dont la différence des distanceségale une ligne donnée(n° 75), et prendre: AE d (fig. 53). AD Le point M étant sur lé prolongement de la base DE du triangle isocèle ADE, on a :

=

=

MN — MP

=

= d. =

Remarques.1° E'M' donne une secondesolution : M'P' — M'N' d. 2" La différencepeut être nulle ; on obtient alors le carré inscrit; la ligne AO, à 45», correspondà ce cas. Il y a deux solutionslorsqued est moindreque le plus petit descôtés. AB AC. Aucune

pour

(c) Le rapport des côtésdu rectangledoit égaler Ou bien : le rectangledoit être semblable

à un rectangledonné. Le point M doit appartenirau lieu des points dont le rapport des distancesaux côtés AB et AC égale

— n .

Pour construire ce lieu (fig. 54), il faut déterminer un point M1 dont, les 'distances soient dans le rapport voulu. Pour AP' yyi cela, il suffit de prendre et de = <•/ , menerdes parallèlesP'M', N'M' ou biende construireun rectangleAP'M'N' égal au rectangledonné. 11 y a deux solutions, car on peut disposerle rectangleAP'M'N' de manièreque la petite basesoit sur AC. (d) La somme des carrésdes côtés adjacentsdu rectangledoit égaler un carrédonnék2. Du point A comme centre, avec une longueurAK = k, on décrit un arc de cercle(fig. 54). Il peut y avoir deux solutions,une seule,ou aucune. (e) Dans un triangle rectangleisocèle,inscrire un rectangledont la surfacesoit équivalenteù un carré donnék3. BC (fig. 55) et do l'hyIl faudrait chercherl'intersectionde l'hypoténuse

perboleéquilatère,lieu despoints M de produit constant(n° 78); mais, lhyperbolene pouvantêtre tracéepar des procédésgéométriques,il faut recourirà d'autres constructions. Le rectangleseradéterminélorsquele point I' seraconnu. Or le triangle étant isocèle, la sommedes côtés MP, MN est constante; elle égaleAC (n° 74). Or tous les rectanglesqui ont AC pour sommedescôtés,ont pour surfacele carrédes diverses ordonnéestelles que PE, du demicercle AEG décrit sur AC comme diamètre (G., n° 256) ; donc il faut prendre AD — k et menerune parallèleDE. (G., n° 340.) On aura: AP PC EP2 ou AP PM = . .

=

Problème. 100, Bans un cerclq donné,inscrire un rectangledont le périmètre égaleune longueurdonnée1. (B) I) suffit évidemmentde s'occuperdu quart du périmètre et do

poser:

MP + MN

= 1/4.

Le point M doit appartenirà l'arc BMC (fig. 56) et au lieu des points

dont la sommedes distancesaux droitesAB, AC égale

donc il faut

prendre AD = AE = /

et menerDE (n° 99, a). , Remarque.Il peuty avoir deux solutions,uneseule,ou aucune(n» 93). (b) La différence des côtés adjacentsdu rectangledoit égalerd (fig. 56). On prend:

AF

= AG =; £

2

FGM. et on mène: On trouve: MN — MP ~ ; MM" MM' d. d'où — adjacentsdu rcc(o) Le rapportdes côtés yn tangle doit égaler —..

= =

On procède comme pour le triangle (n° 99, o). (d) La

surface durectangledoit égaler

un carrédonné(fig. 57).

Puisqu'il suffit de s'occuperdu quart APMN du rectangle demandé, représentonsla surface.totale par 4/»*.

= k2; (G., n« G4G.) AP + MP = AM5=r!. Donc AP + 2AP MP + MP . (AP + MP) = r2 + 2k2. ou AP MP

On aura :

.

d'ailleurs

1

2

2

2

2

Nous pouvons donc connaître la , côtés adjacents des deux et resomme tombersur une questionconnue(a). Soit AFGH le carrédonné; AG2

= 2k2.

Portonscette longueurAG de A en I, et menonsles perpendiculairesIL, CL.

AL2=r2+

2k2; AP + MP. AL Puis portons AL de A en E et en D, ci menonsle lieu DE.

On a: donc

=

(e) La différence des carrés de deux côtés adjacentsdu rectangle doit égalerun carrédonné (fig. 58).

Il faudrait, comme au n° 99 (e), construire une hyperboleet prendreson intersectionavec le cercledonné;mais on préfèreremplacercette courbepar une droite. En représentantla différence des carres par 4k-, on aura:

Il suffit donc de construirecettelongueur. k; alors AL 2 r2 k2; puis élever une per11 faut prendre CL pendiculaireI1G au milieu de AL, jusqu'àla rencontrede la demi-circonférenceAGL.

=

= +

On aura :

Enfin, en portant AG de A en P, la droite PY, parallèle à Ail, est le lieu des points distantsde AI1 de la longueurvoulue MN ; donc M est le sommetdu rectangle. conduisentà faire les remarques Remarque.Les exercices déjà résolus suivantes. Pour certains problèmes,on utilise immédiatementles lieux géométriques(nos 90, 91, 92, 94...), tandisque pour d'autresquestionsil faut préparerla solution.

Los exemplesdonnés (99, e; 100 d, e) peuvent se rapporter à la Méthodealgébrique(n° 301), tandisque les deux suivants réclament des constructionsauxiliaires(n<> 135); le problème101 peut être rapportéà la Méthodede translation(n<> 194).

Problème. 101. On donne deuxpoints A et B sur une circonférence,ainsi qu'un diamètreEF fixe de position; trouver sur la circonférenceun point C, tel que les cordesCA, CB déterminentsur le diamètrefixe un segment MN de longueurdonnée1. Supposonsle problèmerésolu, et MN l. Nous connaissons la position despoints A, B, et par suite la grandeur de I angle inscrit C. On connaît aussi la longueur donnée. Or, en menant des parallèles ND, AD aux droites AM, MN, nous formons un parallélogrammedans lequel AD = MN=l; de plus, les anglesDNB et O sontégauxcommecorrespondants. Mais le point D peut être déterminé directement; donc nous sommes conduitsà la construction suivante: Par le point A, il faut menerune parallèle au diamètrefixe, prendreAD == l; sur BD décrireun segmentcapablede l'angleconnu C, puis tracer BNC et CA. On aura : MN l; le point G' donneune seconde solution.

=

=

Problème. 102. On donne deuxpoints A et B sur une circonférenceainsi qu'un diamètreEF fixe déposition;trouver sur la circonférenceun point G, tel que les cordesCA, CB déterminentsur le diamètrefixe, à partir du centreO, des segmentségauxOM, ON. Supposonsle problèmerésolu et OM ON. En menantle diamètreAOD et joignant le point N au point D, nous formons deux triangles AOM, DON qui sont égaux, comme ayant un angle égal, au point O, compris entre deux côtés égaux; donc la droite ND est parallèle à AG, et nous pouvons connaître la valeur de l'angle BND. En effet, l'angle DNC C. Or ce dernier angle est connu, car il a pour mesure la moitié de l'arc AB. Puis l'angle BND, supplémentde DNC, est aussi le supplémentde C; nous sommesdonc conduits a la construction suivante:

=

=

Il faut menerle diamètreAOD ; sur BD décrire un segmentcapabledu Supplémentde l'angle connuC. Le point N se trouveainsi déterminé; on mèneBNG, et l'on joint G au point A.

Remarque.Le point N' correspondà une secondesolution. L'angleBN'D, supplémentde BND, égaleC. Emploi de deux lieux géométriques.

Lorsque le point à déterminerne doit pas se trouver sur une ligne donnée, il faut recourir à l'emploi simultanéde deux lieux géométriques (n» 88); maisil faut chercherles lieux les plus faciles à construire,en se rappelantqu'on ne peut tracerdirectementque des droiteset des circonférences. Voici quelquesexemples: Problème. 103. Dans un triangle,déterminerun point, dont les distancesx, y, i. aux trois côtésa, b, c du triangle, soient entreelles dansle mêmerapport que les côtés correspondants. Pour deux dessommetsA et B, il suffit de déterminer ladroite qui est le lieu despoints dont les distancesaux deux côtés correspondants sont dansle môme rapportque ces côtés(n°60).

Pour A, élevonsaux extrémités descôtés b et c des perpendiculaires CD, BE qui soient dansle rapport de ces côtés; par exemple,la moitié; puis par D, E des parallèlesDM, KM aux côtés correspondantsb et c; le point M appartientau lieu AM. On procède demême pour le sommet B, et l'on trouve BN; donc le point K répond à la question,car l'on a :

x

"s

a ~c

'

=

i/ z

_

b c'

ou x : y : z a : b : c. Le point K est nommé point de Lemoine (Voir ci-après,m,s 2352 et suivants).

Problème. 104. Construire un rectangle, connaissantle périmètre 2p et la sommek- des carresdes côtésadjacents. Soit un angle droit XAY. En ne considérantque la premièrecondition, on est conduit à prendre: AE AD p. Le sommetM doit se trouver sur DE. En ne tenant compte que de la seconde, on décrit un arc de cercle ducentreA aveck

=

=

pour rayon. L'intersectiondes deux lieux fait connaître le point M. En effet,

MN

MN²

+ MP = AE = p, + MP² = AM 2 = h².

(n° 74.) (n° 72.)

Problème.

triangle, connaissantla base AB, l'angle au sommetet la hauteurh abaissée dece dernier point. En ne tenant pas compte de la hauteur, le 10;î. Construire an

sommetpourrait être en un point quelconquede l'arc ACB, capable del'angle donné. Mais tous les triangles ayant AB pour base et h pour hauteur ont leur sommet sur une parallèle FC,distantede la baseAB d'une longueur donnéeh. Donc le sommet 0 est au point dintersection dusegmentcapablede l'angle donnéet de la parallèleFC. Problème.

100. Construireun triangle, connaissantla base,l'angle opposéet le produit ns des deux eûtesqui comprennentcet angle. 1° Le sommetdoit se trouversur l'arc du segmentcapablede l'angle donné.11 en résulteque l'on connaîtle diamètred du cercle circonscrit. Or le produit a* des deux côtésdu triangleégalele produit du diamètred par la hauteurh. (G., n° 270.)

Donc

b

=

d

.

2° Le sommet se trouverasur une parallèleà la base,la distance des

deux parallèlesayant pour valeur

a'

'-j

(n° 105).

Problème. 107. Construireun triangle, connaissantla base AB, la hauteurli et la valeur k2 de la sommedescarres des deuxautrescôtés. En ne tenantpas comptede la hauteur, il ne resteque la relation a2+ b2 k2; .donc le sommet M doit se trouver sur le lieu des points dont la somme à deux points des carrésdes distances fixes A et B a une valeur constantek 2. Ce lieu est une circonférencedécrite du point milieu G, pris pour centre,avec un rayon

=

b2 k 2, et en considérantla Puis, en négligeantla condition = hauteurdonnée h,oh voit que le sommetdoit se trouver sur une parallèle à AB menéeà une distance hde AB. Donc le sommet M sera déterminé par l'intersectionde la circonférenceet d'une droite parallèleà la a2 +

base.

Problème. 103. Construireun triangle,connaissantla longueurde la base,une droite sur laquelle cette basedoit se trouver, l'angle opposé,et sachant que les côtésqui comprennentcet angledoiventpasserpar deux points fixes A et B. Le sommetG doit se trouver sur l'arc du segmentcapable de l'angle donnéG et décrit sur la corde AB. La considérationde cet arc AGB suffit pour ramenerle problèmeproposéà une question déjà connue (n° 101), mais où le diamètrefixe. la droite donnée remplace En réalité, on pourra donc so borneraux

constructions suivantes : Par le point A, mener une parallèle à EE. Prendrela ligne Al) égaleà la longueurque la base doit avoir; sur BD décrire un segmentcapable del'angle donné, joindre le point 11 au point N, où l'arc de segmentcoupe la droite donnéeEF; menerla droite BNG, et par le point A mener une parallèle à DN. Le triangle MCN est le triangle demandé.

109. Remarques,1° Ce problème peut s'énoncerautrement : Une droite EF et deuxjioinls extérieursétant donnés,ainsi qu'une longueur

I, placercette ligne sur EF, de manièreque l'angle G, formé par les droitesAM et BN, égaleun angle donné. 2° Le nouvel énoncéconduit à poser une questiontrès intéressante, qui seratraitée au paragrapherelatif aux maxima et aux minima. Voici le problème : Comment varie l'angle C, lorsque le segmentMN se déplacesur EF? (Voir ci-aprèsn° 253.) Problème. 110. Construireun trapèze,connaissantles angleset les diagonales. (Elémentsde Géométriede Legendre,revus par BLANCHET, n° 28, des problèmesà résoudre.)

Dans un trapèze,à partir du point de concours des diagonales, les segments AO, OB sont dans le même rapport que les diagonales. Soientd et d' les diagonales. Surune droite quelconqueAB je fais les angles donnésA et B ; je décris le lieu DD' des points dontles distances aux points A et B sont dansle rapport -^r ; et je mènela médianeMG, qui généralement coupe le lieu en deux points. MenonsAOC, BOE ; la ligure obtenueest un trapèze,comme il est facile de le démontrer; de d! de A en C', menons plus, il est semblableau trapèzeproposé. Portons les parallèlesCE', C'B' ; et AB'C'E' est le trapèzedemandé.Le point 0 a été déterminépar la rencontrede deux lieuxgéométriques. 111. Remarque.On ne peut employerdirectementà la résolutiondes problèmesque les lieux géométriquesconstituéspar des droites ou des circonférences(n° 103) ; car on ne sait pas construired'une manière continue, par des moyens suffisammentrigoureux, ni l'ellipse, ni les le point à déterminerse deux autrescourbes du second degré. Lorsque il faut cherrapporteà un lieu qu'on ne traceraitpas géométriquement,

cher une solution particulièrequi n'exige point la constructiondu lieu ; c'est ainsi qu'ona procédé(nos 99 e, 100 d); en voici quelquesautres exemples. Problème. 112. Construireun triangle,connaissantla baseFF', la hauteurh correspondante et la somme2a des deux autrescôtes. MP h, MF + MF' 2a. Soit Le sommet M est sur la parallèle distantede la base d'une longueur h, et sur l'ellipse qui aurait F, F' pour foyers et A A' =2a pour grandaxe. Le problème proposé revient donc au problèmeconnu :

=

=

Sans construire la courbe, trouver les points d'intersectiond'une ellipse et d'unedroite MM'. (G., n° 642.) Sur AA' comme diamètre,décrivons le cercle principal; cherchonscruelle est la droite NN' qui correspondà MM'. Pour cela, déterminonsle rapde l'ellipseet du cercle. Du centreF, port des ordonnéescorrespondantes avec a pour rayon, couponsla perpendiculaireOD au point B ; cette ligne OB est le demi-petitaxe de l'ellipse; puis traçantAG, DG, BE et les droites OG, OE, il suffira de menerl'ordonnéedu point 1. Son intersection J, avec OG, fait connaîtrela ligne JL, qui corresponda HI. L'intersectionde la circonférenceet de JL donne les points N et N', et par suite M et M'. Le point M appartientà l'ellipse, car on a : donc MF

+

MF'

= 2a,

et FMF' est le triangle demandé.

Problème.

H3. («) Construireun triangle dont la baseest donnée,connsanlais la différence ddes autrescôtes et sachant que le sommetinconnudoit se trouversur une droite donnée. SoientA et B les pointsdonnés,xy la droite sur laquelle doit se trouver le troisièmesommet. Supposonsle problèmerésolu et >

AC-BC=d. On reconnaîtque le point C appartient à l'hyperbolequi aurait A et B pour foyers et d pour axe trans-

verse. Le problèmerevient doncà la question suivante ;

Déterminerles points où une droite xy coupeune hyperboledont on connaîtles foyersA, B et la différenceconstanted desrayonsvecteurs. En décrivantune circonférencedu point A commecentreavec d pour (b)

rayon, on trouve :

CB

= CH.

Donc on est ramenéau problème suivant: (c) Décrire une circonférencequi ait son centre sur une droite xy, qui passepar un point B et soit tangenteà une circonférenceAH. Mais le cercle qui a son centre sur xy et passepar le point B passe nécessairement par le point D, symétriqûede B. Donc la questionpeut s'énoncer: (d) Décrireune circonférencequi passepardeuxpointsdonnésB, D et qui soit tangenteà un cercle Ail. Or cette questionest connue.(G, n° 299.) Par B et D on fait passerun cercle qui coupe le cercle AH, on mène EFG, DBG; puis les tangentesGH, GL, et l'on fait passerune circonférencepar les trois points B, D, H, ce qui donneune premièresolution C; et une autrecirconférencepar B, D, L, ce qui donneune secondesolution 0 ; car OB — OA d. 114. Remarque.Dans les exemplesci-dessus(nos 112 et 113), la considérationdu lieu que l'on ne peut tracerconduit néanmoins àla solution. Dans les exemplessuivants(n°s 115 et 117), la solution trouvéedirectementrésoutun problèmerelatif aux coniques.

=

Problèmes. 113. Construireun triangle, connaissant la baseAB, l'angleopposéet la somme2a descôtésqui comprennentcet angle. lo Le sommetG appartientà l'arc de segment capablede l'angle donné. 2» Le même sommetappartientaussià l'ellipse qui aurait-A et B pour foyers et 2a pour longueur du grand axe; mais comme on ne peut utiliser directementcette ellipse, il faut

chercherune autre solution. Supposonsle problèmerésolu, et soit 2a. AC + CB = En portant CB de C en D, sur le prolongement de AC, nous formons un triangle isocèle BCD ; or l'angle extérieur ACB égale la somme des angles égaux GBD, CDB ; donc l'angle D est constant,car il égale la moitié de l'angle donné G; donc, sur AB décrivons un segmentcapable de l'angle et du point A comme centre, avec une longueur2a, coupons en D et D' l'arc decrit, puis menonsDA et BC; ACB est une des réponses. l^e problèmerésoludonnela solution du suivant :

116. Sanstracer une ellipse, dont on connaît les foyers A et B, la longueur2a du grand axe, déterminerles points où cette courbe est coupéepar unecirconférenceACB, dont le centreest sur le petit axe de

l'ellipse.

Remarques.1° Pour décrire l'arccapablede l'angle on prend le point 0 pour centreet OB pour rayon.Ou bien on se borne à décrire G directementle segmentcapable del'arc C/2, et l'on élève une perpendiculaire au milieu de BD jusqu'àla rencontrede AD. 2» Si la différence descôtés était donnéo,on porteraitCA de C en E. A

= E= 90o—

donc AEB

= 90» -f-

•

^90°

Sur AB on décrirait un segmentcapablede -jet du point B, avec la différencedonnée,on couperaitl'arc du segment. Problème. 117. Couperles côtés d'un angledroit par une droite d'unelongueur donnée, de manièreque le triangle rectanglerésultant aitune airé

donnée.

Soit le triangle ABC, tel que sa surfaceégale 1kl, aire donnée,et que BC la longueur 2l. Par M, point milieu de l'hypoténuse,menons des parallèlesaux côtésAB, AC. Le rectangle APMN est la moitié du triangle,il égale et

=

Donc le point M appartientau cerpledécrit du centre A, avec l pour rayon; il faut ensuiteinscrire un rectangle APMN ayant une aire donnéek2 ; c'est une question connue (n° 100, d) ; enfin il faut prendre PB Al 1 et joindre BMC.

=

118. Remarque.Le lieu des points M, tels que le produit des distances MP, MN à deux axes rectangulaires,égale une quantité constante /t2, est une hyperbole équilatère ayant fc' pour puissance,et AX, AY pour asymptotes(G., n° 678) ; donc on a résolu la questionsuivante : Une hyperboleéquilatère.étant donnéeparses asymptoteset par sa puissanceks, menerune tangentesansconstruirela courbe,de manière que ta droite interceptée o.lre les asymptotesait uni: longueur donnée 21.

§

III.

—

Enveloppes.

119. Définition. On nommecourbe enveloppe, ou simplement enveloppe d'unedroite mobile,la courbetangenteà la droite danschaque position que cettedernièreligne peut occuper. Exemple. L'enveloppedes droites équidistantes d'un pointdonnéest une circonférenceayantce point pour centre. L'enveloppese réduit au point donné,lorsquela distancedes droitesà ce point devientnulle. L'enveloppepeut être considéréecomme formée par la suite despoints d'intersectionde ses tangentes,prisesdeux à deux, dansdes positions qui diffèrent infiniment peullune de l'autre. 120. Droite mobile. La droite qui engendrela courbe enveloppeest assujettieà se mouvoir suivant une certaine loi; en d'autrestermes, chaquetangentejouit d'une même propriété,et l'ensemblede ces lignes constitueune famille de droites,analogueau lieu géométriqueformé par l'ensembledespoints qui jouissentd'unemêmepropriété. 121. Emploi desenveloppes.De mêmequ'un point peut être déterminé par l'intersection de deux lieux, une droite peut être déterminéepar deux enveloppes,car elle est tangente à chacune deces courbes. Ilsuffit que l'on connaisseune enveloppe decette droite et une autrecondition à

laquellela ligne demandéeest assujettie. Remarque.La connaissance des propriétés des courbesenveloppes facilite non seulementla résolutionde quelquesproblèmes,mais elleest indispensablepour arriver à comprendreet à utiliser la théorie des polairesréciproques.Il faut reconnaîtrenéanmoinsque les Élémentsde Géométrie n'offrent que de faibles ressourcespour traiter des enveloppes.Nous devons doncnous borner à-citer quelquesexemplestrès simplesqui, d'ailleurs,serontsuffisantspour les questionsà traiter ulté rieurement. Problème. 122. Un des côtés AX d'un angle droit XAY roule sur une circonférence, pendantque le sommet A glisse sur

une circonférenceconcentriqueà la première; quelle est l'enveloqjpe du second côté AY de l'angledroit ? Soit 0 le centre commun aux circonférences donnéesOB,' OA. Quelle que soit la position ABX, la perpendiculaire OG forme un rectangle ABOG dont les dimensions ne varient pas, car OA, OB ont des longueursdonnées,et l'angle ABO est droit; donc la perpendiculaireOG est constante; par suite, le côte ACY OG ; donc l'enveloppede A Y à la circonférence sora constamment tangent est la circonférencedécrite du centreO, avec OG pour rayon.

Remarque.Quel que soit l'angle A, le côté AY reste à une distance circonférence demandée est l'enveloppe une 0, et du centre constante concentriqueaux premières. Problème. 123. Quelle est l'enveloppe de la base BC d'un triangle BAC. dont le périmètre est constant, et dont l'angle A est donné de grandeur et de position?

Proposons-nous de trouver un triangle isocèle EAF dont la sommedes côtés AE, AF égale le périmètre ABC; menons les B et C. bissectricesdes angles extérieurs On aura AE + AF AB + + AC, OG OE OF. et Donc la baseBC est tangenteà la circonférence exinscrite; en d'autres termes, l'enveloppede la droite BC est l'arc EGF. Remarque.L'arc EG'F est l'enveloppede la droite B'G' telle que AB' + AC' — B'C est une quantité constante, égaleau périmètrede ABC.

= = =

BC

Problème.

124. Par un point fixe A pris sur une circonférence,on mbie deux cordesAB, AC dont le produit k2 est constant,quelle est l'enveloppede la baseBC du triangle BAC'? (lY. A. — 1868, p. 187.) En abaissantla perpendiculaireAD, on reconnaît que sa longueur est constante,car le produit des deux côtésd'un triangle égalela hauteurde ce triangle multipliée par le diamètre ducercle circonscrit. (G., n» 270.) Donc

AD

=

-'-JY .

Ainsi l'enveloppede BC est une circonférence décrite kdu point A commecentre,avec la valeur -,)([ pour

rayon. Remarque.L'enveloppeest la niôuie pour toutes les circonférences ayant11 pour rayon et passantpar le point donné A. Problème. 123. On décrit deux circonférences tangentesentre elles, et tangentes respectivementà une droite en des points donnés A et lî. Quel est le lieu du point de contact0 des circonférencesentre elles., et t'enveloppe de la droite des centresMN ?

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

55

Menonsla tangentecommuneOD.

Problème. 420. Le côtéCX d'un angledroit XCY passepar un point fixe F, tandis que le sommet C de l'angle droit glisse sur une droite AG; quelle est l'enveloppedu côté CY ? En prolongeantFC d'une grandeur CF,, égaleà CF, le lieu despoints F, sera une droite DF, parallèle à AC et telle que AD =AF. Or on sait que toute perpendiculaire CY, élevée au milieu de FF,, est tangente à la parabole dont F est le foyer et DF, la directrice; donc l'enveloppede CY est une paraboleayant F pour foyer et AG pour tangenteau sommet.

Remarque.Il est possible d'arriverplus rapidementà la conclusion, car il suffit de se rappelerque le lieu des projections du foyer d'uneparabole,sur les tangentes à celle courbe, est la tangenteau sommet (G., n° 697); mais si les théorèmes relatifs à la directrice et à la tangenteau sommet (G., nos 695 et 697) n'étaient pas connus, les Éléments de Géométrie ne conduiraient pas à la connaissancede la courbe enveloppe. Problème. 127. Le côté CF d'un angle droit FCT passepar un point fixe F ; quelle est l'enveloppe de l'autre côté CT, lorsque le sommet C glisse sur une circonférencedonnée ACA' ? Quand le point F est dansle corde, l'enveloppede CT estune ellipse ayant AA' pour grand axo et F pour foyer; car lo lieu de la projection G du foyer F sur les tan-

gentesà l'ellipse est le cercle principal décrit sur le diamètre AA'. (G., n° 626.) Lorsquele point fixe est extérieurau cercle,l'enveloppeest unehyperbole ayantF pour un de ses foyers et le diamètreAA', qui passe parle (G., n° 667.) point fixe pour axe transverse. 127 a. Note. Ce théorèmeest DÛ à MACLAURIN, Traité despropriétésprojectives des figures, tome I, n° 447. Il est attribué souventà LA HIRE. Voir Aperçuhistorique,page125. * MACLAURIN OU MAC-LAURIN, né en 1698, mort à York en 1746, donna divers

procédéspour le tracéorganiquedescourbes,et publia son Traité des fluxions. Cet ouvragecélèbrea été traduit en françaispar le PèrePÉZENAS. * LA HIRE, né à Paris en 1640,mort en 1718, publia, en 1685, un grand traité sur les coniques.Danscet ouvrage,il étudiait les propriétés ducercle,considéré commeétantla based'un cône,et en déduisaitdes propriétéscorrespondantes pour les sections coniques. 11 fit un grand emploi de la proportion harmonique,et établit les théorèmesprincipauxde la théorie des polaires. Dansson Traitédesplaniconiques,il donne la premièreméthodesuffisamment générale,pour transformerdes figures donnéesen d'autres figures de mêmegenre.

Problème. 128. Quelleest l'envelopped'unedroite AG qui divise deux droitesDM, DN, donnéesde longueur et de position, en parties inversementproportionnelles? On a

AM CD AD — CN '

:

L'enveloppeest une parabole, car un théorème connu(G., n° 710) prouve que la parabole tangenteen M, N aux lignes données,est tangente à toute droite AG qui divise les côtés DM, DN en parties inversementproportionnelles. Problème. 129. On coupe les côtés d'un angle droit XOY par une droite DE, de manière que le triangle DOE ait une aire constantea'; quelle est l'enveloppedu côté.DE ? 01). OE Soit a3. ^

=

Du point M milieu de DE, abaissons les perpendiculairesMN, MP; on aura . MN MP .

=

()l-

=

Ç.

Or le produit MN MP des coordon. milieu M étant lieu du point M eBt une hyperpoint le du constant, nées

bole équilatèreayant OX, OY pour asymptoteet pour puissance. (G., n° 677.) On sait d'ailleursque la tangente,limitée aux asymptotes,est divisée en deux parties égalespar le point de contact(n° 75) ; donc DE est tangenteau lieu obtenu;par suite, l'enveloppede DE est l'hyperbole, lieu despoints M.

Remarque.Quel que soit l'angle donné,l'enveloppede la baseDE d'un triangleà aire constanteestunehyperboleayantOX, OY pourasymptotes. Problème. 130. Les hauteurs d'untriangle ABC, inscrit dans un cercle de centre 0, se coupent en un point H. Ce dernier pointpeut servir de point de concoursdes hauteursd'une infinité de trianglesinscritsdans le même cercle; quelle est l'enveloppedes côtésde tous ces triangles? (Paul SERRET.— N. A. —1865,p. 428.) lo En prolongeantchaquehauteurjusqu'à la circonférence,Chaque côté BC, par exemple,est perpendiculaireau milieu de HL, car l'angle CAL ; mais l'angle CAD CBE; donc DH DL, etc. CBL HE EM, HF FN. De même, 2» Il y a une infinité de triangles dont les hauteursse coupenten un point donné H. En effet, admettonsqu'on ne donne que le cercle et le point H; prouvons qu'à toute corde menée par H correspond un triangle dont ce point est le point de concoursdes hauteurs.Menons une corde quelconque BHM, élevons une perpendiculaire AG au milieu de HM : les trois hauteurs de ABC se couperontau point H, car

=

EU

=

=

=

=

= EM ; donc...

3" La propriété connuedu cercledirecteur (G., n° 624) prouve queles côtés AC perpendiculaire au milieu de HM, AB perpendiculaire au milieu de UN, etc., sont tangentsé une ellipse ayant pour foyers les points 0 et II» et le cercle circonscrit pour cercle directeur;donc l'enveloppedes côtésest l'ellipse OH.

Remarque.— Lorsquele point de concoursdeshauteursest hors du cercle, l'enveloppeest une hyperbole.(G., n° 660.) 130 a. Note. 1° Le théorèmeproposé par PAUL SERRET,en 1865, a été résolu par PICQUET (N. A. 1866, p. 153, IX) ; puis par divers auteurs,p. 168 et 170. L'idée premièrede la questionappartientà M. E. LKMOINE(N. A. 1858, p. 240). 2" La dénomination defoyers, pour l'ellipse et l'hyperbole,se trouve dans

les ouvragesd'APOLLONIUS. * APOLLONIUS de Perge (vers 247 av. J.-C.) vivait à Alexandriesous le régne de PtoléméePhilopator; il publia un traité célèbresur les Sectionsconiques. Ce grand ouvrage,dans lequel se trouventles propriétésles plus remarquables des coniques, avait fait donner à son auteur le surnom de géomètrepar excellence.

131. Envelopped'une courbevariable.L'envelopped'une courbe qui varie suivant une loi donnéeest une secondecourbetangenteà la première danstoutesles positionsque celle-ci peutoccuper. Exemple. L'envelopped'un cercle de rayon constant-dontle centre décrit une circonférencedonnée,est l'ensemblede deux circonférences concentriquesà celle que décrit le centredu cerclemobile. Lorsquer est le rayon de la circonférencefixe et s le rayon de la circonférence mobile,l'un desrayonsde l'enveloppeégale >•-|-s et l'autre r — s. Problème. 132. Quelle est l'enveloppedes cerclesdont le centreest suruneparaboleet qui so7it tangents à une corde perpendiculaireà l'axe de cette courbe? La parabole est le lieu des points dont la somme ou la différence desdistancesau foyer F et à la droite BG est constante(n« 7G). Donc FM -|- MN FL FA + AE FD, ou FM' — M'N' de même FL' FD. ou Ainsi l'enveloppeest la circonférenceDLL', décrite du foyer F pris pour centreavec FA + AE pour rayon. Remarque.La courbepassepar les pointsB et G.

=

=

=

Problème. 133. Quelle est l'enveloppedes cercles dont le centre est sur une

ellipse et qui sont tangentsà une circonférencedécrite d'un foyer commecentre? Soit MN un cercle quelconque; décrivonsle cercledirecteurrelatif au foyer F'. Pour tout centre M, pris sur l'ellipse, la circonférence qui passe par le foyer est tangente au cercle directeur au point O. (G., n° 625.) Donc l'enveloppedes cerclesdécrits du centre M, et tangentsau cercleLF, est une circonférenceconcentriqueau cercle directeur;F'N on ' est le rayon. Les circonférencesauxquellesle cercle F seraittangentintérieurement auraientpour enveloppele cercle dont F'N' seraitle rayon.

Problèmes.

134. Construire un triangle, connaissantle périmètre, un angleet la hauteurabaisséedu sommetde cet angle. Formons un angle A égal à l'angle donné; déterminons l'enveloppe de la base du triangle à périmètre constant 2p (n° 124). Pour cela, prenons AD AE = p ; élevons les perpendiculaires DO, EÔ, et décrivons le cercle exinscrit au triangle demandé. Du sommetA, il faut décrire une autre circonférence avech pour rayon, puis menerune tangentecommune aux deux circonférencesA, 0.

=

134 a. Construireun triangle,connaissantle périmètre,un angle et le rayon du cercle inscrit. Gomme précédemment (n° 134) faisonsun angle A égal à l'angledonné, déterminonsle cercle exinscritde centre 0 qui sera l'enveloppe dela base,puis le cercle inscrit de centre I et de rayon donné r, puis menons la tangenteintérieurecommuneaux cerclesinscrit et exinscrit. 134 b. Note. La dénominationde cercles exinscrits est due à LHUILIER, de Genève,en 1810 (Annalesde Gergonne,1810-1811,p. 149). * SIMON LHUILIER, né à Genève en 1750, eut pour professeurLOUIS BER(n° 425). LHUILIER résida TRAND, connu parla démonstrationdes parallèles

longtemps à Varsovie, puis fut professeurde mathématiquesà l'académie impérialede Genève; il y publia la Polygonométrieet mourut en 1840, après avoir comptéSTURM au nombre de ses élèves.

III EMPLOI DE FIGURES AUXILIAIRES

§

I.

auxiliaires. Constructions —

135. Le recoursà des constructionsauxiliaires, soit pour démontrer

un théorème,soit pour résoudreun problème,est moins une méthode qu'un procédé dont l'emploi est réclamépar la plupart des questionsà traiter. Les exercicesdéjà proposésen fournissentplusieursexemples (nos 46, 47, 51). Il est impossibled'indiquer d'unemanièregénérale lesconstructions qu'il convient de faire ; mais parfois uue seule ligne donne des rapports inattendusd'où dérive directementla solution. Dans les exemplesque nousallons donner,les lignes auxiliairesseront tantôt une ou plusieursdroites, et tantôt une circonférence. Théorème. 136. Les côtés opposésd'un quadrilatèreinscriplible, dont une des diagonalesest un diamètre,se projettent sur l'autre diagonalesuivant des longueurségales. SoientABCD un quadrilatère inscrit,AOC le diamètre, CE, AF les perpendiculaires abaissées sur la diagonaleBD. DF. 11 faut prouver que BE En effet, en traçantcomme ligne auxiliaire le diamètre parallèle à BD, prolongeantCE, et menant la perpendiculaire OU,on obtient deux trianglesrectangleségaux : OAN, OCM

=

donc d'où De même

OM

BE BF

OX, —

= FD.

= ED.

Problème. 137. Unerivière, dont le coursestrectiligne dansla partieconsidérée, passeentredeux localitésinégalementéloignéesdu coursd'eau.Où fautil construireun pont perpendiculaireà la rivière, pour que les deux

du localités soientà des distanceségales de l'entrée correspondante 7 nnw/9 Supposonsle problème résolu; soit AMNB la ligne brisée telleque MN soit perpendiculaire à RM et que AM BN. En menant une droite auxiliaire BG égale et parallèle à MN, on reconnaît immédiatement que le point M sera déterminé par la perpendiculaire DM élevée au milieu de AC ; car la ligure BCMN est un parallélogramme ; donc

=

BN

CM

= AM.

— Remarque.Cet exemple, comme plusieursautres,peut être rapporté à la Méthodede translation(n° 194).

Problème. 138. Étant donnéesdeux circonférencessécantesA et B, menerpar Vun despoints d'intersectionE une sécantequi soit diviséepar ce point

dansun rapport donné Pour résoudre laquestion proposée, on pourrait recourir à un lieu géométrique déjà étudié (no65); mais le problèmecomporteune solution particulière très simple, qu'il est utile d'indiquer. Soit le problèmerésolu et ou

en ne prenantque la moitiédes cordes. Si l'on mène par le point E une perpendiculaireEF a GH, la ligne AB seradiviséedansle rapport donné,et le point F fera connaîtrela direction de FE; donc il faut diviser AB dansle rapport —, joindre le point F au point E, puis au point E éleverune perpendiculaire CD à la droite EF. Problème.

Par l'un

des points d'intersection de deux circonférencesqui se coupent, mener une sécantequi ait une longueurdonnée21. En supposantle problème résolu, et CED = 2l, on est conduit comme précédemment(n° 138) à ne considérerque la moitié Cil de la sécante. Il suffit de considérerune droite auxiliaire BF parallèle a CD pour reconnaîtreque le problème revientà construire un triangle rectangle 139.

AFB dont on connaît l'hypoténuseAB et la longueurl d'un côté BF de l'angle droit. On est donc amenéà faire la constructionsuivante: Sur AB commediamètre, il faut décrire une demi- circonférence; du point B comme centre,avec un rayon BL égal à l, décrireun arc LF,, enfin menerune droite CED parallèleà BF. Remarque.La longueurdonnée21 peut au plus être égaleà 2AB; ainsi la sécantemaximaest parallèleà la ligne des centres. Problème. 140. Une droite DF étant donnéede longueuret de position, trouver sur un cercle aussi donnéun point C tel qu'en le joignant aux points D, F, la cordeinterceptéeAB soit parallèleà DF. Supposonsle problèmerésolu et AB parallèleà DF. Il suffit de déterminer un des pointsA ou B. Pour rattacherle point inconnu A aux données du problème, menons la tangente AE. Tout serait déterminé si le point E était connu de position. Or les triangles ADE, FDC sont semblablescomme ayant un angleD commun, et l'angle A égale F ; car l'angle A, ou son opposépar le sommet, a pour mesurela moitié de l'arc ATC, et il en est de même de l'angle B, auquel l'angle F estégal. Les triangles semblables

donnent: DE

DA

_ DF'

DG —

d ou DE

=

DA.DC .

-

Nous ne connaissonsni DA ni DC, mais leur produit est connu; car en menantla tangenteDT, on a : DA DC DT2 ; . donc

DE

Il suffit donc de connuesDT et DF.

=

—

-yp

.

construire une troisièmeproportionnelleaux lignes

Construction.Sur DF décrivons une demi-circonférence; portonsDT de D en II, abaissonsla perpendiculaireHIC; menonsla tangente EA, puis les lignes DAC et CF. 11 y a deux solutions.

140 a. Note. Cette questiona été choisiepar BOURDON dansson Application de l'algèbre à la géométrie(nos 20 et 21), pour montrer toute l'utilité qu'on

peut retirer de l'introduction de certaineslignesauxiliaires,telles que la tangenteAE. à l'École Polytechnique,estsur* BOURDON, ancienexaminateur d'admission tout connu par l'admirableclarté qui règnedans tout sesouvrages: Arithmétique, Algèbre, Applicationde l'algèbreà la géométrie.

Théorème. 141. Lorsqu'un parallélogrammeABCD de grandeurinvariable se meut dans son plan de manière que deux côtés adjacentsAB, AD passentrespectivement, par deux pointsfixes M

et N, la diagonaleAG passeaussipar un point

fixe. L'angle DAB est constant,donc le sommet A du parallélogrammese meut sur l'arc du segment MAN capablede l'angle donnéA. La considérationde la circonférence MANO conduit très simplementà la démonstration du

théorème. En effet, l'angle NAO ou D'A'G' est constant,le premier côté A'D' de l'anglepassepar le point N ; point fixe O. donc le secondcôté A'C' passera par un 141 a. Note. Cette question si élémentaire conduità

un théorèmeremar-

quable de statique : Lorsqu'onfait tourner deux forces concourantesd'une mêmequantitéangulaireet dansle même sensautour de leurspoints respectifsd'application, larésultantetourne de la mêmequantitéet passepar un point fixe. Le théorèmen° 141 a été énoncépar M. MAURICE D'OCAGNE, alors élèveà l'École Polytechnique(N. A. 1880, page116), plus tard ingénieurdespontset chaussées, auteurde nombreuxarticlesdans diversrecueilsscientifiqueset de plusieurs ouvragesestimés.Voir ci-après(n° 963). Le théorèmede statique avait été citéantérieurementcomme étant déjà connu (N. A. 1863, p. 142). AUEL TRANSON le donne à démontreret en indique la généralisation.

Lieu.

142. Quel est le lieu des points M tels que la droite AB qui joint les de cepoint surdeux droites MA, MB abaissées piedsdes perpendiculaires fixes OX, ÔY, ait unelongueurconstante17 Soient M un point du lieu, MA perpendiculaire sur OX, MB sur OY et AB l. La considération du cerclecirconscrit au quadrilatèreAMBO, dont deux angles sont droits, conduit immédiatement à la réponse. En elfet, i cause des angles droits A et B, le cercle circonscrit a pour diamètre MO. Mais AB ayant une longueur constante,on peut dire que l'arc AOB est l'arc de segmentdécrit sur AB et capablede l'angle donné XOY. Ainsi

^

la circonférence circonscrite changede position, niais non de grandeur; donc le diamètreMO a une longueurconstante; et le lieu du point M est une circonférencedécritedu point 0, avecOM pour rayon. Remarque.Pour l'étudecomplète,on peut voir ci-aprèsn° 801. Lieu. 443. Les sommetsA et B d'un triangle ABC glissent respectivement sur les deux droitesfixes OX, OY, dont l'angle XOY est le supplément de l'angle G; quel est le lieu décrit par ce troisièmesommetC'.' Soit l'angle C supplémentairede l'angleO. Comme précédemment, la considérationdu cercle circonscrit amène facilementà la connaissancedu lieu. En effet, quelle que soit la position du triangle donnéABC, le cercle circonscritpasse par le point 0, car le quadrilatèreAOBC est inscriptible; or l'angle BOC égale A; donc l'angle BOC est constant; le point C, quelle que soit la position du triangle mobile, se trouve sur une droite ZOZ' formant avec OY un angleégal à l'angle donnéA. Remarque.Pouravoir les positionsextrêmesdu sommetG, il faut porter sur OZ et sur OZ' des longueurs égalesau diamètre OD du cercle

circonscrit.

Lieu. 144. Les sommetsA et B d'un triangle ABM glissent respectivement sur deux droites fixes OX, OY. Quel est le lieu décrit par le troisième sommetM? Le problème précédentnous conduit à déterminerdes points liés au triangle, et dont le lieu soit une droite passantpar'lc point 0. Or tous les points de l'arc EDF se meuvent suivant desdroites; car pourle point D, par exemple, l'angleADB est le supplémentde 0. Les points de l'arc AOB donnentaussi des droites, car l'angle ACB O. Menons le diamètre CM qui passepar le sommetM ; soit D le point où l'arc LE est coupépar CM. La ligne GDM resteinvariablementliée au triangle. En effet, l'arc ADB, capabled'un anglesupplémentairede l'angleXOY, a un rayon constant et une position invariable, par rapport au triangle donné.Il coupo MB en un certain point E tel que le segmentBE ne varie pas de longueur; de même, le centre du cercle AOBD reste à une distance invariablede la base AB; ainsi le diamètreMDGC a une position déterminéeet passeconstammentpar un même point 11 de la base AB;

=

donc MDGC participeau mouvementdu triangle donnéABM, et le quadrilatère inscriptible ACBD est mobile dansson plan, mais il ne varie point de forme ni de grandeur. Or l'angleDOC est droit ; donc les extrémitésC et D de la droite CD glissentsur deux droitesrectangulairesOX',OY'; par suite, tout point M de cette droite décrit une ellipse. (G., n° 643.) Remarque.O est le centre de la courbe, les axessont dirigés suivant OX' et OY'. Les longueursMC, MD font connaître lesdemi-axesa et b. 144 a. Note. La recherche analytique du lieu demandén'offre aucunedifficulté, elle est connuedepuis longtemps ; mais la déterminationgéométrique des axesde l'ellipse ne remontequ'à 1859; elle estdue àMANNHEIM, alors élève à l'École Polytechnique, plustard professeurà la mêmeécole,auteurd'aperçus nouveauxet remarquables sur la Géométriecinématique.

§

II.

—

Figures symétriques.

143. L'emploi desfigures symétriquesconstituelaméthodepar duplication ou par retournement. Danscertainscas ondétermine,par rapport à un axe donné,le point symétrique d'un point donné; en d'autres circonstances, on remplace une ligne droite ou courbe par la ligne symétrique. On trouve une applicationde cette méthodedansla résolutiondu problème duchemin briséminimum (G., n« 176), et aussidans Je suivant : Prouverqu'on peut circonscrireunecirconférence àtout polygonerégulier. (G., n° 163.) 145 a. Note. Les mots méthodepar duplicationse trouventdansun ouvrage de M. PAUL SERRET: Des Méthodesen Géométrie,1855. Celivre remarquable nousa été fort utile. * M. PAUL SERRET, né à Aubenas en 1827, a publié diversarticles dansles Nouvellesannalesde M. Gérono.Il professait, de nosjours, à l'Institut catholique de Paris.

Théorème. 146. Dans un triangle isocèle, la somme des distances d'un point quelconquede la baseaux deux autrescôtés est constante, de la différencedesdistancesd'un

point pris sur le prolongement et la base estaussiconstante. Dans le rabattement,à cause des angles égaux en M, ME devient ME' sur le prolongement de DM. Or DE' CG, quantité constante. De même NL devient NL', et NLNII — L'H = CG.

=

=

Problème. 147. Sur une droite donnéexy, déterminer un point G tel que les tangentesmenéesde ce point à deux circonférencesdonnéesA et B fassentdes angleségauxavec xy. Je cherche B' symétrique de B; je mène une tangentecommune aux circonférences A et B'. Le point C est le point demandé. Il y a généralementquatresolutions.

Problème. 147 a. Sur une droite OY, déterminerun point M, tel que la somme des distancesMA -f- MB de ce point a un point donné A et à une droite donnéeOX soit minima. Menons la droite OX' symétrique de OX, par rapportà OY, et abaissons la perpendiculaireAMB' sur OX'. On aura : MB < NA MA NC; donc...

+

+

Problème. 148. Dans un triangle, déterminer ladroite symétriqued'une médiane,par rapport à la bissectricequi part du même sommet. Prouver que les distancesde chacun de ses points aux deux côtés sont proportionnelles à ces mêmescôtés. 1» Il suffit de prendre CA' CA, ,CB' CB et de menerla médiane CM' du triangle A'CB'. 2<> Les distances d'un point quelconque d'une médiane aux côtés qui partent du même sommet, sont inversementproportionnellesà ces côtés (voir ci-après,n° 163) ; donc on a :

=

=

MP MQ

CA'

= CB '

ou

MP MQ

=

CA CB

RemarqueLa droite CS, symétrique de la médiane CM, par rapport à la bissectriceCI, a reçu le nom de symédiane;elle jouit de nombreuses propriétés.(On peut voir ci-après,n° 2331.) Le nom de symédianeest dû à M. MAURICE D'OCAGNE.

Théorèmede FUSS. 149. Quelle que soit lu baseAB du trianglesphériqueAGB, le lieu du troisième sommet G est un grand cercle, lorsque la somme des arcs latéraux est une demi-circonférence.(Aperçu historique, page 326, note 1.) Soit arc AG 4- arc BG TTR. La somme constantedes arcs étant une demi-circonférence, nous sommesconduits à considérerune figure double de celle qui est donnée. Pour cela, déterminons les points symétriquesde A et B, par rapport au diamètre parallèle à la corde AB, ou bien menonsles diamètresAOA', BOB'.

=

arc BG = TIR égalearc AC + arc CA' ; donc arcBG arcCA'. Ainsi, quelle que soit la longueur de la baseAB et la position des demi-cerclesACA', BCB', le triangle sphérique BCA' est isocèle, lacorde BA' est perpendiculaireà la cordeAB; donc le sommetC a pour lieu géométriquele grand cercleDCD', dont le plan est perpendiculaireau diamètre EE' quipassepar le milieu de la baseAEB.

L'arc

AG

=

,

149 a. Note. Aperçu historique sur l'origine et le développementdes Méthodesen géométrie,par M. CHASLES. Ndus avons eufréquemmentrecoursà cet ouvragesi completet si riche en

renseignements. *

M. MICHEL CHASLES (1793-1880)est sans contredit un des plus féconds

géomètresdu XIXe siècle.On doit à cet auteurde nombreux mémoiresmathématiques,la Géométriesupérieure,l'Aperçu historique,les Porismesd'Euclide, un Traité des coniques. * NICOLAS FUSS (1755-1826),secrétaireperpétuelde l'Académie dessciences (Voir n° 1183, note.) de Saint-Pétersbourg.

149 b. Remarque.A la méthodepar duplication,on peut rattacherle procédé qui consisteà disposer les diversesparties d'une figure, de manièreà ramenerla questionproposéeà une questiondéjq connue.En voici deuxexemples. Théorème. 1150. Lorsque deux trianglesont

deux angles respectivementégaux et deux anglessupplémentaires,les côtés opposésaux angleségaux sont proportionnelsaux côtés opposés aux anglessupplémentaires. Plaçonsles deux triangles on ABC et ADE, de manièrequelesangleségauxsoientadjacents, B et D. et quo le côté commun soit adjacentaux anglessupplémentaires

A la seuledispositionde la figure, on reconnaîtle théorèmede la bis sectrice.(G., n° 215.)

On a

AC AF CB — BF'

:

donc

AC AE GB — DE

AC

BC

' ou AE — BE

•

Problème. 11SI. Construireun

quadrilatère inscriptible,connaissantles quatre cotés. (STURM.) Supposonsle problèmerésolu, et a, b, c, d, les quatre côtés

donnés. du La propriété caractéristique quadrilatèreinscriptible d'avoir les angles opposés supplémentaires,et l'étude de l'exerciceprécédent(n° 150), conduisentà placer le triangle BGD en BEF, afin de découvrir quelque relation simple entre les lignes données. EF est parallèle à DA, et le problème serait résolu si l'on pouvait construirelp triangle DBG. Or les trianglessemblablesABG et EBF ou CED donnent: AG CD

AB ou AG CB ou '

"

c

~ b' a

d'où Ainsi DG est connu. On peut détermineren outre le rapport des côtésBD et BG.. En effet,

BD

BE

b

W^BÂT = «',

donc, par rapportaux points D et G, dont la distanceDG est connue,il faut décrire le lieu des points B tels que le rapport îles distancesaux deux premiers égale Puis du point A commecentre,avec la lon. gueura pour rayon,couper le lieu, et l'on trouve ainsi le point Iî. Enfin circonscrireune circonférenceau triangle ABD, et prendreune corde BG égale à b. La cordeCD seraégale à la longueurdonnéec. 151 a. Note. * STURM, né A Genève,en 1803, a passéla plus grande partie do sa vie à Paris; il est mort professeurà l'Ecole Polytechniqueen 1855. On con-

naît son Traité de calcul infinitésimalet son Traité de mécaniquerationnelle. Son élégante démonstration du parallélogramme des forces se trouve dans la plupart des traitésde mécanique; on cite surtout le célèbrethéorèmealgébrique connusousle nom de théorèmede Sturm.

§

III.

—

Compositionou décomposition.

152. Composition.La méthode par composition consiste àcompléter une figure donnée,en ne la considérantque commeune partie d'une ligure déjà connue.

Exemples. Pouravoir l'aire du triangle, on considère leparallélogramme,dont la premièrefigure n'estquela moitié. (G., n° 314.) Pouravoir le volumecTu prismetriangulaire,on considèrele parallélépipède devolume double. (G., n° 443.) Pour obtenir le volume dela pyramidetriangulaire, on prouve que cettepyramideest le tiers du prisme de même baseet de mêmehauteur. (G., n° 469.) 153. Décomposition.La méthodepar décompositionconsiste àpartager la figure à étudieren plusieursfigures connues.

Exemples. Pour trouver la somme des angles d'un polygone, on décomposece polygoneen triangles.(G., n° 94.) On procèdede la même manière pour trouver l'aire d'un polygone.

(G., nos 317 et 319.) Pour déterminerle volume du tronc de pyramidetriangulaire ou du tronc dè prisme, on décompose letronc en trois tétraèdres.(G., n° 475.) Dans la Méthode desommation(G., n° 943), la surface à étudierest décomposéeen rectangles,et le solideà évaluerestdécomposé enprismes.

154. Résumé. Par la compositionou par la décomposition,la figure donnéeest considéréecomme étant la différence ou la sommede plusieursfigures connues. (Voir n° 556, construction de polygones,comme application de cette méthode.) ' ' Théorème. 183. Lorsque deux droites AC, BD de longueur donnéese coupent sousun angle constant,le quadrilatèreABGD, formé enjoignant deux à deuxles extrémitésde ces droites,a une surface

constante. élémenOn peutdonner plusieursdémonstrations taires de ce théorème,maisla plus simple se rapporte à la méthodepar composition. Par le3 sommetsA et C, menonsdes parallèlesà la diagonale BD ; et par les sommetsB et D, menons desparallèlesà AG. I.c parallélogrammeainsi forméest constant,car l'angle G ou 0 est donné, et il en «est de même des côtésGF, GH. Or le quadrilatèreest la moitié du parallélogramme, car le triangle AOB égale ABE, etc.; donc le quadrilatèrea une surface constante.

Théorème. 1S6. Lorsquetrois droitesde longueurdonnéeAB, CD, EF se coupent en un mêmepoint 0 et sous des anglesconstants,l'octaèdrequi aurait pour sommetsles extrémitésdes trois droites,a un volume constant.

• En effet, le quadrilatèreCEDF qui divise l'octaèdreen deux pyramides quadrangulaires, invariableLMNP, que est la moitié du parallélogramme l'on forme comme à l'exercice précédent.Or, en menant par les som-

metsA et B des plans parallèlesau parallélogrammeLMNP, et en menantpar MN, NP, etc., des plans latéraux parallèles â AB, on forme un parallélépipèdeinvariable, car les arêtessont égales et parallèlesaux trois lignes donnéesAB, CD, EF, et ceslignes ont des longueursdonnéeset se rencontrentsous des anglesconstants. Mais la pyramideA,CDEF n'est que la sixième partie du parallélépipèdede même hauteuret do basedouble LMNP, car le volume dela pyramide s'obtient en multipliant la baseCEDF par le tiers de la perpendiculaireabaisséedu point A sur la base.De même,la pyramideB,CDEF est le sixième du parallélépipède correspondant;donc l'octaèdrea un volumeconstant, total. car ce volume est le sixièmede celui du parallélépipède Remarque.Dans le cas particulieroù les droitesdonnéessont rectan•1 gulairesdeux à deux, on a : V -yAB CD EF. .

=

.

Problème. 137. Parles arêtesopposéesd'un tétraèdre,on mènedesplansparallèles; on forme ainsi un parallélépipède circonscrit ; quel est le rapport desvolumesdes deux corps?

Par les deux arêtesopposéesAB et DC, on peut mener deux plans parallèles. En effet, si, lon mène CX parallèle à AB, le plan DCX sera parallèle ù la droite AB, et par cette dernièreligne on pourra mener un plan parallèle au plan DCX. (G., n° 378.) De même, par les arêtes opposées AD,BG on peut menor deux plans parallèlesentre eux. Enfin, par AC et BD, ou peut aussi mener deux plans parallèles, et former ainsi un parallélépipèdecirconscrit au tétraèdredonné. Le volume du tétraèdreégalecelui du parallélépipède diminué de celui do quatrepyramides équivalentes, dont chacuneest lo sixième duparal-

lélépipède. En effet, la pyramideB,DC11 a mêmehauteurque lo parallélépipède, et sa baseDCH n'estquela moitié du parallélogrammeLD11G.

En représentantpar P le volume du parallélépipède,on a donc : pyramide B,DCH -(y P.

=

Il en est de même pour chacunedes pyramides A,CDL, C,AEB, î 4 D,ABF; donc le tétraèdreégale P — -y P — P. Aiiisi le tétraèdreest le tiers du parallélépipède circonscrit. Note. Le théorèmeestde MONGE (d'aprèsM. J. NEUBERG).

Théorèmede Steiner. 188. Sur deux droites XX', YY' non situées dans un même plan, on prend respectivementdeux longueursdonnées AB,CD ; prouverque le tétraèdrequi aurait pour sommetsles quatrepoints A, B, C, D, a un volumeconstant,quelle quesoit la position de AB sur XX', et celle de CD

sur YY'.

circonscrit, il suffit de prouverque le Construisonsle parallélépipède volume de ce corps est constant, car celui du tétraèdre en est le tiers (n° 157). Or la diagonale HLest égale et parallèleà AB; donc, quelle que soit la position des segmentsdonnes AB et CD, le parallélogramme de baseCHDL a une surfaceconstante, car ses deux diagonalesont deslongueursdonnéeset secoupent sousun angle égal à celui que forment entre elles les droitesXX' et YY'. La hauteurou perpendiculaireabaissée dupoint B, par exemple,sur la baseCHDL, est la longueurde la plus courtedistancedes lignesXX', YY' (G., n° 441); donc elle ne varie point. Par suite, le volume du parallélépipèdeest constant,et il en est de même du tétraèdre. 158 a. Remarque.Dans le cas particulier où les droites CD et LH l'une à l'autre,et représentées seraientperpendiculaires commelongueurs YY111 de la base serait la surface et par m n, —g -. Si d représentela plus courte distancedesdroites XX', YY', on aurait, pour le parallélépipède:

,. , Volume

mnd

=—;

donc le tétraèdreserait : Si les diagonalesforment entre elles un angle a, on a :

Tetraèdre=

mn

.sin & d mnd .sin .-jy, ou ç, -

& (Trig.,

n° 76.)

Cette expressiondu volume du tétraèdreétant connue peut servir à démontrerle théorèmede Steiner. La formule

est due à P. T ENTHÉRIC et à TIMMERMÀNS ( Annales de athématiques, 1828, p. 250, d'aprèsLE COINTE, Fonctionscirculaires,p. 380). 158 b. Note. * STEINER, né à Soleureen 1796, mort à Berne en 1863, professeurà Berlin, auteurde nombreusesquestionsproposéesdansles Annalesde Gergonne,ou dansle Journalde Crelle, a publié, en 1832,l'ouvrageintitulé :

Développementsystématiquede la dépendance des formesgéométriques. de GERGONNEont été publiées de1810 à 1831 ; Les Annalesmathématiques elles comprennentvingt et un volumes,et contiennenfde nombreuxarticles de LHUILIER, de PONCELETet de STEINER. On y trouve la première exposition de la méthodesi fécondedes Polairesréciproques.(Voir aussin° 251 f.) Le Journalde mathématiques pureset appliquéesdu docteurCRELLE a été fondé en 1826. Il a rendu en Allemagne des services analoguesà ceux qu'ont rendusen Franceles Annales de Gergonneet les NouvellesAnnalesde Terquemet Gérono. * P. LENTHÉRIC, professeurà la faculté des sciences de Montpellier. * TIMMERMANS, professeur à l'athénéeroyal de Tournay. * CRELLE (1780-1855),ingénieurdes ponts etchaussées en Prusse.

Théorème. 139. En prenantdeux à deux les arêtesopposéesd'un tétraèdre,on

obtient trois groupesd'arêtes. 1» Un tétraèdrepeut avoir un, deux ou trois groupesd'arêteségales. 2" Un tétraèdrepeut avoir un seul groupe d'arêtesperpendiculaires l'une à Vautre, ou trois groupesd'arêtesperpendiculaires. 1° Pour que deux arêtes opposéesAB et DG ou LH et DG soient égales,il faut et il suffit que la baseCHDL soit un rectangle.Dansce cas, le parallélépipèdeseraità baserectangle,mais les deux autresfaces BHCE,BHDF seraientdes parallélogrammesquelconques. Le parallélépipèdedroit a deux groupes de faces rectangulaires ; donc le tétraèdre correspondantaura deux groupes d'arêtes égales. Enfin le tétraèdreaura trois groupesd'arêtes égales, si le parallélépipèdeestrectangle. 2" Pour que deux arêtesopposéesAB et DG ou LH et DG soient perpendiculairesl'une à l'autre, il faut que la face CHDL soit un losange. Si dansdeux groupesles arêtesopposéessont rectangulaires, il en est de mêmedansle troisièmegroupe. En effet, si AD est perpendiculaireà BC, la figure BHCE est un HB losange; donc HC HD. Ainsi la face IIBFD est aussiun losange,et l'arête BD est perpendiculaire à AC. Remarque.On nomme tétraèdreorthogonalle tétraèdredont les trois groupes d'arêtessont formés par des lignesperpendiculairesl'une à l'autre. Le tétraèdreorthogonaljouit de nombreusespropriétés pour l'étude desquelleson peut consulterles ouvragessuivants: NouvellesAnnales,année1854, pages290et385; année1871, page451.

= =

Questionsde Géométrie,par M. DESBOVES,3E édition, pages218 et 219. Journalde Mathématiques élémentaires et spéciales,par J. BOURGET et KOEHLER, année1881, pages337 et suivantes.

Théorèmede Guéneau d'Aumont.

La sommede deux angles opposésd'un quadrilatèresphérique inscrit est égale àla sommedes deuxautresangles.(Aperçu historique ICO.

de CHASLES, page238.) Soient 0 le centrede la sphère,ABCD le quadrilatèreformé par quatre arcs de grand cercle, dontles sommetsA, B, C, D se trouventsur une même circonférenceayant P pour un de ses pôles.(G., n° 544.) Il faut démontrerque les angles dièdresqui correspondentaux arêtesAO, GO, ont unesommeégaleà celle des dièdres qui correspondent aux arêtesBO, DO. Parle pôleP et parchaquesommetfaisons passerdesgrandscercles;chaquecôté AB, par exemple,est la based'un triangle isocèle APB,car l'arc PA P,B;

= donc l'angle BAP = ABP; 1 = 1 ; 2 = 2, etc. ou

Or la sommede deux anglesdièdresopposésse composede 1 + 2+3 4; donc A C B + D.

+ =

+

professeurdurantde longuesannéesau collège royal de Dijon, puis à la Faculté decette ville, s'estdistinguépar son zèle pour l'enseignement. Le théorèmequi porte son noma étépublié dansle tome XII, année1821-1822,des Annales deGergonne. ' 160 a. Note.

GUÉNEAU D'AUMONT,

§ IV. —

Surfacesauxiliaires.

161. Surfacesauxiliaires. La méthodedes Surfacesauxiliaires con-

siste à faire intervenir des surfaces,lorsqu'il s'agit d'établir certaines relationsentredeslignes données. En voici quelquesexemples: Théorème.

La bissectricede l'angle d'un triangle divise le côté opposéen segmentsproportionnelsaux côtés adjacents. En effet, les triangles BCI, ACI, ayant mêmesommetC et leurs bases respectivessur la même droite, sont dans le même rapport que leurs basesm et ». 1G2.

Ces mêmestrianglesont des hauteurségales h ; ils sont donc entre

eux commea et b; donc

De mêmepour la bissectriceextérieure.

Théorème. 163. Bans un triangle isocèle, la somme
Le doublede l'aire du triangleisocèle peut être exprimépar

ou par

AB

AB.CG, AB MD+AC ME, . .

lorsquel'on considèreles deux trianglesABM,

=

+

AMC

; mais

AC

= AB.

CG AB(MD ME) ; Donc . d'où MD plus ME égalela perpendiculaireCG abaisséedu point C sur le côté AB. Pourle point N on a : AB.CG AB.NH — AC.NL ; d'où CG NH — NL.

= =

Remarque.La question précédentea déjà été traitée par une autre

méthode(n° 146).

Théorème. 164. Les distancesd'un point quelconqued'une médiane aux côtés qui partentdu mêmesommet,sont inversementproportionnellesà ces côtés.

En effet, Or les trianglesCBM', ABM' sont équivalents; donc

d'où Théorème. 16d. Lorsque trois droites issues des sommets d'un triangle se coupent au

mêmepoint 0, on a la relation

En effet, les triangles BOC et BAC sont entreeux commeleurs hauteurs, ou commeles lignesOD et AD, proportionnellesa ceshauteurs: de même

et

En ajoutantces égalitéson trouve : ou On trouverait,par une marcheanalogue,que

Théorèmede Ménélaus. 166. Lorsqu'unetransversalecoupe les trois côtés d'un triangle, le produit des trois segmentsn'ayantpas d'extrémité commune,égale le produit des trois autressegments. Désignonspar A, B, G les triangles ADN,

BLM, CMN.

On peut écrire:

A

B C ~ÏT ' "(T ° "A

=

Or les triangles qui ont un angle égal ou supplémentaire,sont entreeux commeles produits dos côtésqui comprennentcet angle;

donc (G.,n°

329) A B G

'

C

AL LN .

BM.LM — CM.MN ' CN.MN

A — AN LN"' .

En multipliant ces égalitésmembreà membreet simplifiant, on a :

on 166 a. Note. * MÉNÉLAUS (vers l'an 80 aprèsJ.-C.) a vécu à Alexandrie; il parait êtrele premierqui se soit occupé detrigonométrie.On lui doit le théorème fondamentaldes transversales. Néanmoins ce théorèmeest fréquemment attribuéà PTOLÉMÉE. * PTOLÉMÉE (vers 128 à 168 aprèsJ.-C.) résida à Canobe,près d'Alexandrie. Il estsurtoutconnu commeastronome,et c'estparsonAlmagesteque le théorème de MÉNÉLAUS est venu jusqu'à nous. On lui doit aussi les premières

notionsde la doctrinedesprojections.

Théorèmede Céva. 167. Les droitesqui joignent les sommetsd'un triangle àun même point 0, déterminentsix segmentstels que le produit de trois d'entre eux n'ayant pas d'extrémité commune, égale le produit des trois

autres.

Désignonspar a, b, c... les triangles AOL, BOM, etc. Les triangles qui ont même sommet sont entre eux commeleurs bases ; on a donc:

d'où Il suffit de prouver que

~Jjj- — 1-

Or

En multipliant ceségalités membre à membre,on trouve:

Autre démonstration: On peut dire plus simplement:

Produit= 1. 167 a. Note. On peut nommerceviennetoule droite qui part du sommetd'un triangle pour se limiter au côté opposé.Voir ci-après,nos 2262 et suivants.)On

dit aussitransversale angulaire. L'appellation de cévienneest utile dansla Géométriedu triangle ; elle est due à M. À POULAIN, professeurà la Faculté catholique d'Angers. * JEAN CÉVA, de Milan, publia diversouvragesde mathématiques e ; ntreautres, staticaconstructio. en 1678, De lineis redis se invicem secantibus Son frère, THOMAS CÉVA (1648-1737),construisitun instrumentpour opérer mécaniquement la trisectionde l'angle. Voir l'Intermédiairedes Mathématiciens, 1895, p. 182, n° 585, et 1899, p. 177.

Théorème. 168. La droite la plus courte que Von puisse menerpar un point donné E dans un angle donné, est définie par cette condition, que la perpendiculaireEG à cette droite, menéepar le point donnéE, et les" perpendiculairesBC, DC aux côtés de l'angle, menéespar les extrémitésde la droite BED, concourent en un môme point C. (NEWTON, Opuscules,tome I, page87.) En admettantque les droites concourantesCB, CD, CE soient respectivementperpendiculaires aux côtés du triangle ABD, on reconnaît"que le quadrilatèreABGD a deux anglesopposésB et D qui sont droits; par suite, AC serait le diamètre du cerclecirconscrit,et comme on a déjà prouvé BG, AD ont des, projections que les côtés opposés BE, FD égalesentre elles (n° 136), le théorème revientau suivant : La droite la plus courte qu'on puissemenerpar un point donnéE dansun angle donnéXAY (lig. 112) est une droite BEG telle que le segment BE égale la projection FG du côté AG. (De môme, le segmentCE égalealors la projection BF du côté AB.) , Démonstration.Soit BE FG. En élevant une perpendiculaireEG à BC et prenant EG AF, on forme un parallélogrammeABGG. Bar le point E menonsune autredroite MEN ; il faut prouvér que BG

=

C3t

=

<MN.'

Comparonsles trianglesBGG, MGN. Si nous démontronsque BGG est plus petit que MGN, nous aurons

prouvéque BC est < MN, car la hauteurGE du premierest plus grande que la hauteurGH du second. Or, à causedes parallèlesAG et BG, les trianglesBGC, BGN sont équivalents, car ils ont meme base BG et même hauteur. Il suffit donc de comparerBGN et MGN ; pour cela menons une parallèle BO au côté NG pris pour base. Le point 0 se trouve entre M et 'G, car l'angle GBO, égal à BGN, est plus petit que les angles égauxBGC, GBM ; donc la perpendiculaireabaissée dupoint B sur GN est plus courte que la perpendiculaire abaisséedu sommet M sur la même base GN ; ainsi ,1e triangle BGN est plus petit que MGN. ' Donc le triangle BGC est plus petit que MGN, d'où BC < MN. 168 a. Note. Le théorèmeprécédentn'estqu'un cas particulier du théorème généralde NEWTON : La droite laplus courte qu'on puissemener entre deux courbesdonnées, demanièreque cette droite BEC passepar un point donné ou soit tangenteà une troisièmecourbe, est celle qui remplit les conditions suivantes Les normalesmenéesaux courbespar les extrémitésB et C de la

. droite doivent concouriren un mêmepoint avec la normalemenéeà la troisièmecourbepar le point de contactE. On peut consulter les ouvragessuivants: Annalesde Gergonne,tome II (1811-1812),p. 17, art. de LIIUILIER de Genève.— Principlesof modem Geomelrg, by JOHN .MUI.OAIIY, n° 104, page 106; Questions deGéométrie,par M. DESBOVES, pages 126 434; et Des méthodesen Géométrie, par PAUL , SERRET, nu 56, page104. (Voir ci-aprèsn° 1615 a.) * NEWTON (1642-1727)naquit dans le comté de Lincoln, en Angleterre.Un de sesprincipauxouvragesa pour titre : Philosophioenaturalis principiamathematica.NEWTON inventa le calcul desfluxions, qui ne diffère du calcul différentiel de LEIBNIZ que patle point de départ et par la notation. On doit aussiau géomètreanglaisune premièreélude de la classificationdes courbes du troisièmedegré. * LEIBNIZ, né à Leipzig en 1616, mort à Hanovreen 1716, est l'inventeur du calcul différentiel,nommé aussi calculinfinitésimal; il avait trouvé ce nouveaucalcul dès 1674 ou 1075, maisce n'estqu'en1684 que parut sa Nova Methoduspro maximis et minimis.

§ V. —

Volumes auxiliaires.

169). Volumesauxiliaires.L'emploi desvolumesauxiliairesest analogue t\ celui des surfacesauxiliaires,mais il est beaucoup plus étendu.A l'aide

des volumesauxiliaireson peut chercher: 1° Des relationsentrecertaineslignes (n° 170) ; 2° L'aire d'uneligure (n° 173) ; 3» Les propriétés d'une ligure plané considéréecomme sectiond'un' solide (n° 174).

PremierCar. llelationt linéaires. '

Théorème. 170. Lorsqu'untétraèdrea trois faceségales,la sommedes distances d'unpoint quelconquede la quatrièmeface à chacunedes trois autres

est constante. La démonstrationest analogueà celle d'un théorèmeconnu (n° 163). On joint le point donnéaux quatre sommets, ce qui décomposele solide donnéen trois pyramidesayant pour baseune des faceslatérales,etc. De même, le théorèmerelatif aux droites issues d'un même point (n° 165) conduit au théorème suivant, facile à démontrerà l'aide de volumesauxiliaires: Lorsquedesdroitesissuesde chaquesommetd'un tétraèdre se coupent en un mêmepoint 0 dansl'intérieur du solide, l'unité est la valeur de la somme des quotientsobtenus en divisant, par la ligne entière correspondante, chaquesegmentcomprisentre le point 0 et la face de la pyramide. Théorème.

171. Étant donnéun point à l'intérieur d'un polyèdre régulier, la abaissées de cepoint sur les facesdupolyèdre sommedesperpendiculaires est une quantitéconstante. On prendChaque facepour base,d'unepyramideayanten premierlieu le point donnépour sommet,puis on considèreun autre groupede pyramidesayantpour sommetle centredu polyèdre. Le volume s'obtient tantôt en multipliant le tiers d'une face par la sommedes perpendiculaires,et tantôt en multipliant le tiers d'uneface par la sommedes apothèmes dupolyèdre; donc la sommedes perpendiculaires est constante,car elle égalécelle des apothèmes. 172. Remarque.La méthode par les surfaces ou les volumes auxiliaires est parfois moins élégantequ'une solution directe;mais elle s'appliqueà un assezgrand nombre de questions.Au point de vue des méthodesque l'on peut employerpour démontrerLe théorèmeconnu: La sommedesperpendiculaires abaisséesd'un point quelconquede la based'un triangle isocèlesur les côtéségauxest unequantitéconstante, on peut faire les remarquessuivantes: La démonstrationdonnée(n» 20) est ingénieuse,mais ne s'applique qu'è cette question.La méthodepar duplication(n» 74) est plus générale, mais ne convient qu'aux figures planes; et l'emploi des surfacesauxiliaires (n° 163) de bien plus nombreuses applicationset conduit à des démonstrationsanaloguespour la géométriedansl'espace. a

2" Ca«. On considèredes volumesconnus, pour obtenir l'aire

d'une

surfacedemandée.

Problème. 173. Trouver lu surfaceconvexe d'un cône de révolution coupépar une section oblique.

La section BC est une ellipse donton peut mesurerou calculer les axes. Du point D, où l'axe rencontre la section, abaissons une perpendiculaireDE sur une génératrice; abaissons la perpendiculaireAH sur la section. . Le volume du cône ABC égale:

ellipse BC

X

;

mais le point D est à égale distancede toutes les génératrices.Le cône peut donc être regardé comme la limite vers laquelle tend la somme des pyramides triangulaires qui auraient le point D pour sommet,et dont le triangle de baseaurait pourcôtés deuxgénératrices voisineset unecordede l'ellipse. Donc le volume nF. peuts'obteniren multipliant la surfacelatéralepar -y- ; donc aussi surfaceconvexeBAC =

ellipseCBx AII

Voir Appendiceaux Exercices de Géométrie, nos 875 et 876, et ci-après la note du n» 199. Cet exercice173 permet d'étudier la sinusoïde, connaissant le volume de l'onglet cylindrique. 30 Cas. On emploieun volumeauxiliaire,,afind'étudierles propriétés

d'unefigure plane,quel'on jieut considérercommeétantune sectiondu

solide.

Théorème. 174. Sur une sécante quelconque,l'hyperboleet sesasymptotes interceptentdes segments égaux. Considéronsle cône formé par la rotation de ON autourde Ou\ Un plan sécant perpendiculaire au méridien principal, et dont la trace serait NN', couperait le cône suivant une ellipse, puisquetoutesles génératricesde la môme nappe seraient rencontrées. a" 844.) Soit N11N' le rabattementdo la moitié de l'ellipse : le plan qui donne l'hyperboleest éloigné de l'axe du cône de la longueur OB; donc sa trace sur l'ellipse est une corde HH' parallèleà NN' et telle que EU OU. Mais, NN' étant le grand axe de l'ellipse, la perpendiculaireélevée au milieu

=

=

de NN' divise toutecorde parallèleen deuxpartieségales: ainsi GH GH'; donc MN M'N'. Si la sécantecoupaitles deux branches,la sectionserait une hyperbole dont RR' serait l'axe transverse,M'M1 serait la projection d'unecorde parallèle; donc encore M1R=M'R'.

=

Application. A l'aide de la propriétédémontrée,on construit très facilementune hyperbolelorsqu'onconnaît les asymptoteset un point de la courbe. 173. Corollaire. Toute tangentelimitée aux asymptotesest divisée en dèuxpartieségalespar le point de contact. Note. On trouve facilementla plupart des propriétésde l'ellipse lorsqu'onla

considèrecommeétantobtenuepar la section obliqued'un cônede révolution. MAC-LAURIN, dès 1742, en donne de nombreuxexemplesdansson Traité des fluxions, tome II, chap. XIV, page96.

Théorèmede d'Alembert. deuxà deux, ont six centresde 170. Trois circonférences,considérées similitude; les trois centresextérieurssont en ligne droite; il en est de mêmede deux centresintérieurset d'un centreextérieur. Démonstrationde MONGE. Considérons dessphèresayantpour grands cercles les cercles donnésA, B, C. Les cônes, circonscrits à ces sphères prisesdeux àdeux, ont respectivementpour sommetsles centresde simi,

litude.

Pour démontrerque les trois centresextérieursL, M, N sont en ligne droite, il suffit de considérerles deux plans tangentsqui laissent les trois sphères d'unmême côté. Ces deux plans contiennentles trois sommets L, M, N des cônes circonscrits ; or deux plans se.coupentsuivant une droite; donc les trois points L, M, N sont en ligne droite. Remarque.Pour F, D, N, on considère les deuxplans tangentsqui laissentles sphèresB et C d'un mêmecôté, tandisque la sphèreA est de l'autre côté, etc. Note. * D'ALEMBERT, né à Parisen 1717, mort en 1783. On lui doit un Traité de dynamique,le Traité de l'équilibre et du mouvementdes fluides, et un

grand nombre d'autres écrits.

MONPE, né à Beauneen 1746, mort à

Paris en 1818, élève, puis répétiteur à l'école militaire de Mézières,est le principal créateurde la géométriedescriptive. Après avoir accompagné Bonaparte en Égypte, il eut à son retour la direction del'École Polytechnique. *

Théorèmede Desargues. 177. Lorsque les côtés de deux triangles ABC, abc se coupent deux à deux en trois pomts situés en ligne droite, les droitesAa, Bb, Ce, qui joignent les sommetscorrespondantsse coupentau même

point.

Admettons que abc soit la base d'unprisme triangulaire,dontA'B'C serait la section par un plan mené par la droite LMN. Les droites AB, A'B' concourent au ppint L, car LA'B' est l'intersection du plan sécantet du plan conduit par Lai». Il est évident que les droites AA', BB', CC' concourent en un mêmepoint S; car si par les lignes concourantesLAB, LA'B' on fait passerun premier plan, puis un secondpar MAC, MA'C, un troisième par NBC, NB'C', les trois plans se coupent en un même point S. , Donc les trois droitesAa, Bb, Cc concourent eu un même point s, projection du sommetS de la pyramide sur la baseABC. Note. * DESARGUES,né à Lyon en 1593, mort en 1602, s'occupasurtoutde la

partie pratiquedes mathématiques.PASCAI,, DESCAKTES, EEHMAT,LA LLINN ont profité des idées decet auteur.On doit à DESARGUES le théorèmerelatif à deux trianglesdont les sommetssont deux à deux sur trois droitesconcourantes, théorèmeque PONCELET a pris pour hase de sa théorie des figures homolo-

giques. (Voir ci-aprèsn,,s 1247-1249.)

i

Théorème. 177 *, Lorsqueles sommetsde deux trianglesAQC, abc sont deux à deuxsur trois droites qui concourenten un mêmepoint s, les côtésdes trianglesse coupentdeux à deux, eu trois points L, M, N situés en

ligne droite. Considéronsune pyramide dont saA, sbB, scC seraientles projections des arêteslatérales.Les projetantesqui correspondentaux sommetsa, b, c donneraientA', B', C', sur les arêtescorrespondantes.

Or le plan de la section A'B'C' coupe celui de la basesuivant une certaine droite, et les côtéscorrespondants AB, A'B' se coupentsur cette droite, en L, par exemple;donc ab passeaussipar ce point, car ab est la projectionde A'B'. 177 b. Note. Les deux théorèmesde Desarguessont fondamentauxdans la théorie de l'homologie. L'homologie,commecorps de doctrineet procédégénéral detransformation des ligures, est dueà PONCELET.Pour se rendrecomptede la féconditéde cette méthodeet de l'esprit investigateur ducréateurde l'homologie, il faut lire son Traité despropriétésprojectivesdesfigures, et les Applications d'analyseet de géométrie,du mêmeauteur. Traité despropriétésprojectivesdesfigures,2 vol. in-4°. La premièreédition est de 1822,et la secondede 1865. Les premièresrecherchesdatent de 1813, pendantla captivité de l'auteuren Russie; elles furent communiquéesdès 1814 à MM. FRANÇOIS et SERVOIS, professeursaux écoles d'artillerie et du génie à Metz.

Quelquesfragmentsde ces recherchesont été publiés en 1817-1818dansle tome VIII des Annalesde Gergonne. * SERVOIS (1767-1847),officier d'artillerie,quitta le serviceactif à trente-trois ans, pour étudieret professerà Metz; il publia, en 1812, les Solutionspeu connuesde différentsproblèmesde géométriepratique.

§ VI. —

Projectionsou Sections.

178. La méthodedesprojectionsou dessectionsest, en quelquesorte,

la contre-partiede la méthode quiemploie dessurfacesou des volumes auxiliairespour étudierdes questionsde géométrieplane. En effet, par la méthode des projections,on se proposed'obtenir une figure plus simple que la figure proposée,ou bien on ramèneune question degéométrie dans l'espaceà un exerciceplan, se bornantà étudierla section obtenueen coupantle solidepar un plan convenablement choisi. Nous ne considéronsici que la projection cylindrique,c'est-à-direla projectionobtenuepar des droites parallèlesentre elles, mais dans une direction d'ailleursquelconquepar rapport au plan de la section.Ainsi, étudier la projectionplane d'une figure donnéerevient à considérerla sectiondu cylindre formépar les projetantesde cette figure donnée. Théorème. 170. La bissectricede l'angle d'untriangle divise le côté opposeen segments proportionnelsaux côtésadjacents. Projetonsles sommets A et B sur la bissectriceextérieureOJ. Les côtés a et b, étant également incli-

b

nés sur 01, sont proportionnelsà leurs projectionsc et d. Il en estde mômedessegmentsm et n; a c m donc d

= = n.

Remarque.Pour les segmentsdéterminéspar la bissectriceextérieure, on projette ces segmentset les côtés adjacentssur la bissectriceintérieure. La démonstrationest toutaussisimple que la précédente. Théorèmede Ménélaüs. 180. Lorsqu'une transversale coupe les trois côtés d'un triangle, le produit des trois segmentsn'ayant pas d'extrémitécommune,égale le produit des trois autressegments(n° 166). les' trois sommetsdu triangle Sur une droite quelconque, projetons par des lignesAa, Bb, Cc, parallèlesà la transversale.Le point o est la projection des trois points L, M, N. Les parallèles divisent les sécantes en parties proportionnelles; on peut donc remplacerle rapport BL par

ao

~W>

etc-

= BL

Mais AL BM CN . . AL BM CN BL CM AN ou

.

CM

.

AN,

peut être

remplacépar ao

bo co bo ' co ' ao

' Or cette dernière égalité est évidente; la relation demandéeest par suite démontrée. Théorèmede Carnot. 481. Lorsqu'unetransversalecoupe les côtés d'un polygone plan, chaquecôté est divisé en deux segments;le produit de tous les segmentsn'ayantpas d'extrémitécommune,égale le produit de tous les autressegments. Soit, par exemple,un pentagoneABCUE dont lescôtés successifsAB, coupéspar une transversaleen des points H, K, L, M, N. CD, sont ... Projetonsla figure sur une droite quelconquexy située dansson plan, par des droitesparallèles à la transversale,et soit o le point où cette ligne rencontrexy. Il faut prouverqu'on a :

AH BK CL DM EN BH ' CK' DL ' EM ' AN ' ao bo co do co ou bo ' co ' do eo ' ao ' Or cette dernièrerelation est évidente. La premièreest donc démon-

trée.

Remarque.On démontreaussi d'une manièrefort simple lu généralisationsuivante: 181 a.

Lorsqu'unplan coupeles côtésd'un polygonegauche,chaquecôté est divisé en deuxsegments ; le produit de tous les segmentsn'ayantpas d'extrémitécommune,égalele produit de tous les autressegments. Il suffit de projeter la figure sur un plan parallèleau plan sécant,en recourantà desdroitesparallèlesà ce mêmeplan sécant; car onretombe sur le théorèmede Carnot. 181 b. Note. * CARNOT né à Nolay (Côte-d'Or)en 1753, mort à Magdebourg , 1823, élève de MONGE à l'école de Mézières,publia un Essaisur les transen

position.

versales, Dela corrélation dans les figures de géométrie,la Géométriede

On ne cite généralement que la Géométriede position,publiéeen 1803; mais le théorèmeci-dessus,ainsi que sonextensionà un polygonegauche,se trouve déjà dans l'ouvragepubliéen 1801 .• De la corrélationdesfiguresde géométrie, n05 220 et 221, page162.

Lieu. 182. UnepyramidetriangulaireSABC estcoupéepar un planqui rencontre le plan de base suivant LMN, et déterminedans lapyramide une sectionA'B'C'. On fait tournerla sectionA'B'C autourde l'axe MN, et l'on joint AA', BB', CC'; quel est le lieu décrit par le sommetde la pyramideainsi obtenue?

Par la hauteurSH menonsun plan SIIOR perpendiculaireà l'axe de rotation ; ce plan déterminedeux droitesDE, D'E' dont il suffit d'étudier la position respective,car elles sont invariablementliées à la baseet à la section.Le problèmerevientdonc à une questionconnuede géométrie plage. On demandele lieu décrit par le point de concoursS des droites DD', EE' (n°84).

Le sommetS décrit une circonférencedont le plan est perpendiculaire à MN ; R en est le centre etRS le rayon.

Remarque.On peut considérerle point S comme le point de vue de deux figures perspectives A'B'C', ABC, et la questions'annonce fréquemmentsousla forme dethéorème: Lorsqu'unefigure ABC restefixe et que saperspectiveA'B'C' tourne autourde la tracedu tableauLMN, le lieu du point S est un cercledont le plan estperpendiculaire à l'axe LMÎT. 182 à. Note. Le théorème précédent, n° 182, a été indiqué parPONCELETdans

l'étudede l'homologie; mais il est attribué ordinairementà STEINER qui l'a , formulé explicitement dansle Journalde Crelle. La démonstrationque nousdonnonsest très simple; néanmoinson lira avec fruit la solution de BOBILLIER, dans les Annales de Gergonne,tome XVII (1826-1827), p. 335, et celle de A. AMIOT, Leçons nouvellesde géométrieélémentaire,2E édition, p. 570. — L'édition de 1897 a été revue par M. VINTÉspécialesau lycée Saint-Louis. JOUX, professeurhonorairede mathématiques * A. AMIOT, ancien professeur de mathématiquesspécialesau lycée Saint-Louis, est surtoutconnupar les nombreuxélèvesqu'il a préparéspour l'École Normale supérieureet pour l'École Polytechnique.On lui doit divers ouvrages classiques,entre autresdesÉlémentsde géométrieet desLeçons nouvellesde géométriedescriptive.

Théorème. 183. Dansun trièdre, les trois plansmenéspar une arêteet la bissectrice del'anglede la faceopposéesecoupentsuivantunemêmedroite. Prenonsdes grandeurségales SA, SB, SC sur chaque arête; nous auronsune pyramideayant pour baseABC et pour faces latéralestrois trianglesisocèles. La bissectrice del'angle au sommet de chacund'eux passeau milieu du côté opposé; donc les tracessur le plan ABC destrois plansmenésdans le trièdre sont les médianesdu triangle ABC ; or ces lignes se coupenten un même point M; par suite, les trois plansse coupentsuivantSM.

Problème. 184. Circonscrireun cône de révolutionà un trièdre donné. D'aprèsle théorème précédent, on voit qu'il suffit de circonscrireune circonférenceau triangleABC, obtenuen prenant: SA SB SC. Les arêtesétant égales,le côneserade révolution. I

= =

Remarques.1° On peut circonscrirequatrecônesde révolution à dpux nappes,à trois droitesqui passentpar un même point. De même on peut inscrirequatrecônesde révolutionà deux nappes,à trois plansqui passentpar un même point. 2° La Géométriedescriptivepermet d'effectuerles constructionsrelatives & ce problème.(Voir Élémentsde Géométriedescriptive,par if. J., et les Exercicesde Géométriedescriptive,4e édition.)

IV TRANSFORMATION DES FIGURES

185. Définition. La méthode ditepar Transformation desfigures consiste à remplacerune figure donnéepar une figure plus simple, liée à la premièrepar des relationsde position et de grandeur. Dansl'exposédes méthodesélémentaires,nous emploieronsles trans-

formationsqui résultentdes modifications suivantes : 1" Le déplacementet la translationparallèles; 2» La réductionet l'inclinaisondes ordonnéesd'une figure ; 3° La similitude et l'homothétie; 4? Le problèmecontraire; 5° L'inversion, ou transformationpar rayonsvecteursréciproques. §

I.

—

Déplacementparallèleou Translation.

186. Déplacement d'un sommet.Les théorèmesfondamentauxrelatifs à co modede transformationsont les suivants: Deux trianglesqui ont mêmebaseet mêmehauteursont équivalents. (C., n° 315, 2°.) Deuxpyramidesqui ont mêmebaseet mêmehauteursontéquivalentes.

467.)

(G., n° On emploiefréquemmentle premierde ces théorèmes dans toutes les questionsoù il s'agit de transformerun polygonedonnéen un triangle équivalent, et de partagerun polygone en parties équivalentes, ou en partiesproportionnellesà desgrandeursdonnées. On emploiele secondpour démontrer des théorèmes relatifs au volume du tronc de prismeet du tronc de pyramide. (G.,nos 473 et 475.) Voici la propriétédont nous ferons le plus fréquemment usage: Théorème.

•

187. Lorsque le sommetd'un triangleglisse sur une parallèle à la base,le segmentdéterminépar les deux autrescôtés du triangle sur une sécanteparallèleà cette basea une longueurconstante,quelle que

soit la positiondu sommetmobile.

Soit le triangle ABC, dont le sommet est transportéen C. On doit M'N'. avoir : MN

=

MN AB

On a :

~

d

mais

A

=

d A

>'

M'N' AB ' MN.

M'N' donc 188. Remarque.Les rectanglescorrespondantsMNPQ et M'N'P'Q' sont égaux. Les parallélogrammesqu'on obtiendraitm menant par N et N' des droites respectivement parallèlesaux côtés AG et AC', seraient équivalents. Voici une application:

Problème. 189. Dans un triangleABC, menerune parallèle à labase,de manière que le rectangleinscrit correspondantait une valeur donnéer3 pour somme des carrés des deux côtésadjacents. Transportonsle sommetC en D, de manière à obtenirun trianglerectangleABD. On doit avoir :

EG3 + EH2

=

= r2 ;

AE r. donc Ainsi du point A commecentre, avec r pour rayon, il faut décrire une circonférence.Cette courberencontreBD aux points E, F. Par le point E, menons une parallèle ENM MP et NQ : à la basedu triangle, puis abaissonsles perpendiculaires HE (n° 187); MN MN 2 MP2 donc Remarque.Le minimum de la sommedescarrescorrespondau pied K de la perpendiculaireAK.

= +

=

Problème. 190. Dansun triangledonnéABC, inscrire un rectangle dont le périmètre égale une longueur don-

'

née 21.

En supposant le problème résolu et MPNQ le rectangle,tel que MN + MP l, on reconnaît que la questionrevient ù inscrire le rectangleAUGI dansle trianglerectangle CAD, de même base et de mémo ' hauteurque le triangle proposé.

=

a:

Or il suffit de prendre: et de menerFE (n° 99 a). On donc aussi

AE — AF =

l,

= l; MP + MN = l. GH +

GI

191. Remarques.1° On peut éviter la construction dutriangle CAD, car il suffit de menerune parallèleFJ jusqu'àla rencontrede ABJ, et de joindre le point J au point E.

d'où

On a, en effet :

d'où donc 2° Cette secondeconstructionconduit immédiatementà la solution du problèmesuivant, quide primeabord sembleplus difficile.

Problème. 192. Dans un triangle quelconque,mener une parallèleMN à la base, et par les points M et N des droites MP, NQ parallèlesà une ligne donnéeXY, de manièreque le parallélogrammeinscrit MNQP ait un périmètredonné2p. La solution développéedu problème précédent,et l'emploi desmêmeslettres, permet de nous borner à l'indication desconstructionsà effectuer. Par le sommetA menonsune parallèle à XY ; prenons: AF AE = p. ProlongeonsAB jusqu'à la rencontrede la parallèleFJ ; la droite EJ déterminele sommetM du parallélogramme. On aura : MN + MP p.

=

=

Problème. 193. Dans un triangle donné, inscrire un

rectangleayant pour diagonaleune longueur donnée. On a déjà traité cette questionsousun énoncé différent (n° 189). Considéronsle triangle rectangleBAD. Du point A comme centre, avec la longueur donnée AL pour rayon, décrivons un arc de cerclequi coupera l'hypoténuseen deux points E et F.

Ces points d'intersection donnent la réponse QM AE l.

= =

Remarque.La perpendiculaireAK ferait connaîtrete rectangleà diagonaleminima : IJ seraitla basesupérieurede ce rectangle. 194. Translationd'unefigure. La translationparallèle,ou simplement la méthodede translation,consisteà transporterune figure ABGD... d'une position donnéeà une autre position A'B'C'D de manièreque les .., droites AA', BB', CC', etc., soientégaleset parallèles. Cette méthode donne souvent des solutions fort simples; en voici quelquesexemples: t

Problème. 194 a. Construire un quadrilatère,connaissant les angleset deux côtés opposés. Soit le problème résolu; AB et DC les côtés donnés: opérons latranslationdu côté DC en AE. L'angle DAE est le supplémentde l'angle D, donc l'angle BAE est connu, car il égalel'angle A moinsle supplémentde D ; on peutdonc construire l'angleBAE, prendreensuite AE DC, longueur connue, et par le point E mener une parallèle à AD jusqu'àla rencontrede BY ; ce qui détermine le sommetG.

=

Problème. données,inscrire une droite de lon194 b. Entre deuxcirconférences gueur 1, et qui soit parallèle à une ligne XY. Soient A et B les circonférences, données;il faut recourir au lieu géométriquequ'on obtient par une translation parallèle(n° 59, rem. 2°). Par le centre A menonsla droite AC égale à l et parallèle àXY ; puis, du point C comme centre, décrivons une circonférenceégale au cercle A. En d'autrestermes: transportonsla circonférenceA en C, de manière que AC égale l et soit parallèleà XY. Les points d'intersectionM, M' donnent les solutions, puisqueles figuresANMÇ et AN'M'C sont des parallélogrammes.

Remarques.La circonférenceA peut être remplacéepar un polygone quelconque;alors le déplacementpourra être effectué en n'employant

que la règle et le compas. La circonférenceB peut être remplacéepar une courbe quelconque. Dans le cas général,il y a quatresolutions.

Problème 194 c. On donnedeux circonférencesextérieuresA et B, ainsi qu'une droite XY ; menerune sécanteparallèleà XY, de manièreque la somme égaleune longueur1. des cordesinterceptées Employonsunetrans-

lation parallèle, et, comme à l'exercice précédent, menons la droite AC parallèle à XY et égale à la longueur donnée l, et du point C décrivons une circonférencede même rayon que A. Toute parallèleà XY telle que

EG égale l. Par un seconddéplacementparallèle,amenonsle cercleB a avoir son centreen D sur la perpendiculaireélevéeau milieu de AC. Les points d'intersectiondonnentla solution. En effet, EG AC l ; FG MN ; donc EF MN=L de XY. On voit, sur la figure, une secondesolution plus rapprochée

= =

=

+

Théorème. 194 d. Lorsqu'unquadrilatèrea deux côtés opposéségaux, la droite qui joint les points milieux des deuxautres côtés est parallèle à la bissectricede l'angle formé par les deux premierscôtés. Soient AD BC et M le point milieu de AB. Par une translation, amenonsAD en ME et BG en MF. MenonsEF et prouvonsque le point N d'intersectionest le milieu de DG. Lés triangles équiangles DNE, CNF sont égaux,car DE = CF, donc DN = CN; par suite, MN est la droite despoints milieux ; or le triangle EMF est isocèle,et puisque NE=NF, la hauteur MN est bissectricede l'angle au sommetM, et se trouve parallèle à la bissectrice (AD, BC). A.

=

Théorème. 194 e. Lorsqu'ona deux trianglesdirectementsemblablesABC, A'B'C', et qu'on divise en parties proportionnellesen a, (, y, les droites qui joignentles sommetshomologues,on obtient un triangleafSv semblable

aux deuxpremiers.

En opérantune translationde A'B'C' en AB"C", puis divisant BB1' et CG dans lemême rapportque BB et CC', on obtient un triangle Alî'y',

semblableaux deux premierset égal à apy; donc ce dernier est semblable aux triangles donnés. translation,déjà mentionnée(n° 59 a), "a été indiPÉTERSEN, et souventappliquée par ce savant danois. Voir à ce sujet : Méthodeset théoriespour la resolutiondesproblèmes de constructions géométriques, pages50 à 60, La Méthode detranslationest aussi mentionnéepar M. IVAN ALEXANDROFF, dans ses Problèmesde Géométrie élémentaire,groupés fi'après les méthodes à employerpour leur résolution (pages94 et 98). Cet auteurindiquele moyensuivantpour résoudreun grand nombrede problèmessur le quadrilatère quelconque

195. Note. La Méthodede

quée par M.

ABCI).

Par le sommetC, on prend CE égal et parallèleà

AD; de même CF à AB. 1» La figure BDEF est un parallélogramme, dont les côtés égalentles diagonales duquadrilatère donné. 2° Les quatre angles du quadrilatèresont reportés en C. 3° La diagonaleDF est double de la droite MN qui joint les milieux de AD, BC. Nous avonsfait un usagefréquentde la Translation,dins l'étudedesfigures inversementégales,danscelle des figuresdirectementsemblableset desfigures inversementsemblables.(Voir Eléments deGéométrie,par F. J., édition, nu» 1062, 1074, 1088. — Exercicesde Géométrie,n»1 771, 1150.) IVAN ALEXANDROFF (en 1899), professeurau lycée de Tambov (Russie). * D. AITOFF a traduit en français (en 1899) la sixième édition des problèmes de Géométrieélémentairedont nous venonsde parler. 9e

§

II.

—

Modification des Ordonnées.

196. Définition. On sait qu'on nommeordonnées d'une figure les per-

pendiculairesabaisséesdes divers points d'un périmètre sur une droite fixe prise pour axe. (G., n° 357.)

L'abscissed'un point est la distance du pied de l'ordonnéeà un point fixe, nommé origine, et pris sur l'axe choisi. On prend plus généralementpour axesdeux droites concourantes OX, OY, formant un angle quelconque.Par chaque point du périmètrede la figure étudiée, on mène lesparallèles aux axes. Les parallèles à l'axe OY sont les ordonnées,et les parallèlesà OX sont les abscisses.Ainsi MP est l'ordonnéedu point M; MQ, ou sonégaleOP, en est l'abscisse. • 197. Remarque.Les modes de transformationque l'on va indiquer sont connus sousle nom de réduction desordonnéesou inclinaisondes ordonnées; mais la modificationpeut être opéréesur les abscissesaussi bien que sur les ordonnées. On peut indifféremmentréduireon amplifier les ordonnées,c'est-àdire que l'on peut multiplier chaqueordonnéeou chaqueabscissepar un nombreconstant,entier, expressionfractionnaireou fraction. Problème. 198. Étudierles modificationsqui résultentde la réductiondesordonnéesd'unefigure. "

Il faut distinguer ce qui se rapporteà la géométriede positionet ce qui est relatif aux aires ou aux volumes. 1° Pour les mêmesabscissesOE, OE\ OP. CC, Les sécantescorrespondantes GG coupentl'axe au même point L. (G., n° 640.) Les tangentesMT, NT rencontrent aussil'axe en un même point T. (G., n« 640.) 2° Les surfaces sont réduites ou amplifiéesdans le rapport des ordon(G., n° 637.) néescorrespondantes. 3» Les volumessont réduits ou am(G., n° 911.) plifiés dansle même rapportque les lignes correspondantes.

Note- Le célèbrepeintre ALBERT DURER (1474- 1528) transformait lecercle en

ellipse en faisant croître proportionnellementtoutes les ordonnéesde la prehistorique,pages216 et 529.) mière courbe. (Aperçu

Problème. 199. Étudierles variations quirésultentde l'inclinaisondesordonnées. correspondantes 1° Les sécantes concourentau mêmepoint du diamètre communà la figure donnéeet à sa transformée; il en est de mêmedes tangentescorrespondantes. 2° L'aire de la surfacequ'on obtient en inclinant les ordonnées d'une figure données'obtienten multipliant l'aire de cette figure par le sinus de l'angle d'inclinaison.(G., n° 910.) 3° Il en est de mêmedes volumes. (G., n° 913.) 199 a. Note. Les élémentsde géométrie,et surtout les exercicesproposés dans l'appendice,Offrent un grand nombre d'exemplesrelatifs à l'ellipse

mais nous ne pouvons obtenuepar l'inclinaison des ordonnées du cercle; point insister ici sur ce mode de transformation,parce que nousn'y aurons pas recours dans ce travail. (Voir Appendiceaux Exercices deGéométrie, nos 724, 726, 734, 737, etc.) Appendiceaux Exercicesde Géométrie,F. I. C. 1877, Cet ouvrage donne proposéesà la fin de l'Appendice la solution des questionscomplémentaires aux Élémentsde Géométrie,3e édition. Il contient quelquesdéveloppements relatifs aux coniques; il donne le volume des segmentsdes corps qui sont limités par une surfacedu seconddegré,et traite plusieursquestionsdont la connaissanceest utile en géométrie descriptive. — Cet ouvragen'est plus en librairie. i

Théorème. 200. Quand on modifie les ordonnéesou les abscissesd'une figure sont entre elles dans le donnée,les figures inscrites correspondantes môme rapportque les figures circonscritescorrespondantes. Considéronstrois trianglesayantmêmehauteur,et dont les basessont sur une mêmedroite ; couponsces trianglespar une droite NP parallèle à la base,et menonsPM parallèleà AG; P'M' parallèle àA'G', etc.

On a évidemment ;

doue

Théorème. 201. Les figures inscritesde surfacemaoeimasont correspondantes. du théorème précédent C'est une conséquence immédiate ; mais le grandparti que nous tireronsde ce corollaire nousconduit à le présenter directement. Dans un triangle rectangleisocèleABC, on démontretrès simplement que le rectanglemaximum inscrit AFDE (fig. 433) a son sommetau milieu de l'hypoténuse,car la sommeDE + DF est constante,elle 'égale PM + PN CA or, pour le point milieu D, les facteurssont égaux.Le rectanglemaximumestla moitié du triangle circonscrit.

=

;

On a donc:

et ce rapport du rectangle inscritau triangle rectangle circonscritest maximum.Or on a de même: afde A'F'D'E' 4 A'B'C 2' abc donc,pour un triangle quelconque,le parallélogramme inscrit maximum est celui qu'on obtient en menant,par le point milieu du côté donné,desparallèlesaux deux autrescôtés. Problème. 202. Bans un triangle quelconque,inscrireun rectangle dontla surface soit équivalenteà un carrédonnék-. Nous pouvons remplacerle triangle donnéABC par un triangle rectangle ADC de môme base et de môme hauteur(n° 187). Soit AJHK = NMPQ =k 2. Si le triangle ADC était rectangleisocèle, la questionserait résolue(n° 99, e). Or, en prenant:

= AD = h', A.1EF JE AJHK = JH

AG on a :

Or

JE

7IT =

AG AC

h

=V

d'où. l'on déduit: AJEF= d'où = . Nous pouvons chercher un carré l1 qui soit au carré 72 dans le h (G., 345), puis • l de A en L, mener. rapport -gporter le côtétrouvé n° 1JNM; On a succesune parallèleLI à AD et abaisserune perpendiculaire sivement:

y.

1

Mais

ou

RemplaçonsAJEF ou AJ JD par sa valeur .

fc

2.

.

On aura: 203. Parallélépipède inscrit.Lorsque par un point quelconque deIn baseABC d'un tétraèdreS,ABC on mène des plansparallèlesaux faces latérales,on forme un parallélépipède dont trois faces sont sur les faces de l'angle S et dont un sommetest sur ABC.

Théorème. 204. Quelle que soit la modificationapportéeà une ou à plusieursdes arêtesde l'angle S, le parallélépipède inscritest au tétraèdreprimitif dansle rapportdu nouveauparallélépipède au tétraèdretransformé. Bornons-nousà examiner le cas le plus simple. Admettonsque dans le tétraèdreS,ABC, dont P est le sommetdu parallélépipèdeinscrit, on réduise l'arête SA de moitié, par exemple, la distancede P' à la face B'S'C' ne seraque la moitié de la distancede P à la face BSC, tandisque les deuxautresdimensionsdu parallélépipèdene varient point; donc, en désignantles solidesinscrits par P et P', on aura : P' P S,ABC = S',A'B'C' 205. Corollaire. Au maximum du parallélépipèdeinscrit dans le tétraèdreS, correspondrale maximum de celui qui serait inscrit dansle tétraèdreS'. / démontré dans le avoir trièdre tri-rectangleà trois Ainsi, après que arêteségales,le maximumest obtenuquandP est au point de concours des médianesdu triangle équilatéralABC, et qu'alorsle parallélépipède

9

du tétraèdre,nous en concluronsque pour un tétraèdre est les quelconque,le sommetIv doit être au point de concoursdes médianes 2 solide maximum inscrit les du tétraèdre A'B'C', le de est et que

9

considéré. §

III.

—

Similitude et homothétie.

200. Similitude. L'étudedes figures semblablesreposeprincipalement sur le théorème deThalès,relatif aux trianglessemblables.(G., n° 221.) Pour résoudreun problèmeà l'aidede la similitude ou de l'homothétie, on construitune ligure semblableà la ligure demandée,et on compare On opèresurtoutainsi lorsque une dimensionà son homologue donnée.

le problèmeproposé,ou le problèmeplus simple auquelon a pu le rame^ ner, ne dépendque d'uneligne donnée. 206 a. Note. Le nom d'homothétieest dù à CHASLES,mais l'étudedes figures

homothétiquesest de PONCELET. Actuellementl'étudede V homothélieprécèdecelle de la similitude, ou des figures semblables. * THALÈS, un des sept sagesde la Grèce (639 à 548 av. J.-C.).alla s'instruire en Egypte; il mesurala hauteurdes pyramidespar le moyen de leur ombre; THALÈS aussi lui attribue-t-onles théorèmes relatifsaux triangles semblables. S'établitensuiteà Millet, et y fonda l'Écoleionienne.11 eut la gloire de compter PYTHAGORE au nombre de sesdisciples.

Problème. 207. Construireun carré, connaissantla somma ou la différence do sa diagonaleet de son côté. Tous les carrés sont des figuressemblables; ainsi toutes leurs dimensionshomologuessont dans un même rapport. Or la somme oula différence du côté et de la diagonale,dans un carré quelconque,est homologue à lasommeou à la différencedu côté et de la diagonaledansun autre carré. De là on conclut la constructionci-après: Construireun carré quelconqueABCD ; tracer et prolonger la diagonale AC; du point C, avec CD pour rayon, décrire la demi-circonférence FBE, ou du moins marquer les points F et E. Porteren AE ou AF la longueurdonnée pour la sommeou pour la différence du côté et de la diagonale; mener EB ou FB, puis E'B' ou FB parallèleà EB ou FB. On détermineainsi le côté AB du carrédemandé. ,

208. Remarques.1° L'emploi desfigures semblablesfournit des solutions faciles à trouver, mais peu élégantes.Ce procédéest' utile dans l'inscription d'unefigure semblableà une figure donnée. 2" Dans certainscas,il faut combiner l'emploi des constructionsauxiliairesà celui des figuressemblables. Problème. F

200. Dans un triangle ABC, inscrire un

rectanglesemblableà un rectangle donné.

Sur AC il faut construireun rectanglesemblableau rectangledonné, joindre le sommetB aux points P'et Q' ; puis élever lesperpendiculaires PM. ON.

210. Remarques.1° On peut construireun rectangle sur chaquecôté, ce qui donnetrois solutions. 2° Comme sur le côté AC, on peut construireun secondrectanglesemblable au rectangledemandé,on obtiendrasur AC. une seconde solution, et, en considérantles trois côtés,on aurait six solutions. 3° Pour inscrire un carré, il suffit de prendreAP' AC. Il n'y a alors que trois solutions.

=

Problème. 211. Dans un cercle donne,inscrire un triangle isocèle, connaissant la somme1 de la baseet de la hauteur. Supposonsle problème résolu, et soit ABC le triangledemandé,tel que AC + BD l. Portonsla base AC de D en L à la suite de la hauteur;alors BL =1.

=

Pour tout triangle semblableà LAC, la hauteurégale la base; donc en prolongeant LA, LC jusqu'àla tangenteen B, on aura : FE = BL ou BE Do là on

= ~.

déduitla constructionsuivante:

BE=-^-, puis Sur une tangente, il faut prendre menerLE. Le point A est déterminé; on a en effet :

BL=Î,

et

Il y a généralement une secondesolution A'BC. Remarques,1° Ce problèmeseradéveloppéet discuté(n° 1503). 2° On procéderait d'une manière analogue pour inscrire un triangle isocèle, connaissantô-f/i, dans un polygone régulier quelconque,et mêmedanstoute ligure ayantun axede symétrie, pourvu quele sommet du triangle dût se trouver à l'un des points où l'qxe de symétrie coupe le périmètre.

Théorèmede d'Alembert. 212. Ti •ois circonférencesconsidéréesdeux à deux ont six centres A'homothétie: les trois centresextérieurssont en ligne droite, il en est de mêmede deux centresintérieurset d'un centreextérieur.

SoientL, M, N les centresextérieurs;D, E, F les intérieurs: prouvons que lés trois premierssont en ligne droite.

Toute droite menéepar un centred'homothétiede deuxfigures est Un axe de similitude pour ces figures, c'est-à-direconstitueun couple de lignes homologues superposées réciproquement, ; tout axe d'homothétie de deux figures passepar le centre correspondantd'homothétie.Ainsi considéronsla droite LM ; il suffit de prouverqu'elle passepar le troisième point N ; or, passantpar L; elle estaxe d'homothétiepourles circonférences A et B ; passantpar M, elle l'est pour les circonférences A et C ; donc cettedroite est axe d'homothétiepour B et G, et, par conséquent,elle doit passerpar le centred'homothétieN de ces mêmescirconférences.

g IV. Méthodedu problèmecontraire. 213. Problèmecontraire.La méthodedu problème contraireconsiste à s'occuperd'abord d'un problème opposéà celui qui est proposé,et à revenir ensuiteà ce dernier,en construisantune figure égaleou semblable à celle qu'on a d'abordobtenue. On emploie le problème contraire dans la plupart des cas relatifs à l'inscription des ligures.Par exemple,pour inscrireune figure A dansune figure donnée B, on circonscrit à la figure A une figure égaleou semblable à la figure B, et l'on chercheles relations de positionqui permettentde faire la constructiondansun sensinverse. Note. Lu méthodedu problème contraire a été nomméeparfoisméthodepar inversion : mais il est préférablede réservercelte dernière appellationà une méthodetrès importanteque nous feronsconnaîtreplus loin (nu217).

Problème.

2ld.

un arc donnéAB mener une langenteMNC, limitée aux rayons OAM, OBN, de manière que le segment CM soit triple de CN. Nous pouvons construire une ,figure omn semblableà celle que l'on demande ;pour cela : Prenonsmc = 3cn. Sur mn décrivons un segment capable de l'angle donné AOB. Élevons la perpendiculaireco, et du point o comme cenlre décrivonsl'arc acb. Il ne resteplus qu'à revenirà la figure donnée.Nous pouvonsdécrire, avec on pour rayon, un arc A'C'B', puis prendre l'arcA'C' ac, mener OC'C, et par le point C1 menerune perpendiculaireMNG au rayonOC. 3CN. A causedes figures semblables,on à MC .-1

=

=

Problème. 218. Dans un triangle donné ABC, inscrire un triangle donnéDEF.

triangle égal à an

Circonscrivonsau triangle DEF un triangleégal à ABC. Sur DÉ décrivons un segmentcapablede l'angle B ; sur DF un segment capablede l'angle A ; par le point C menonsune sécanteab égale AB (n° 139). Les triangles abc,ABC sont égaux,comme ayant un côtés égal adjacent à deux angles égaux ; donc la figuro de droite est égale à celle qu'on cherché.PrenonsAd aD, etc., et def serale triangle demandé. Remarque.Dans bien des cas, onse borneà traiter le problèmecontraire ; car de ce dernieron passefacilementà la questionproposée.

=

Problème.

Deux parallèlesèi AO et DB sont cloignfes d'une longueurdonnée d; d'un point fixe O, distantde h de la première,on mènela perperpcndiculaire.communeOAB. A quelle distancey de cette droite une autreperpendiculaire,communeCl) scra-t-elle vue du point O sous tin angle maximumCOD 21(1.

?

Résolvonsle problèmecontraire. Par le point 0 menons une parallèle aux droites AC, BD; et, DC étant donnée de position, cherchonssur OE le point 0 qui donne l'angle maximum COD. Pour un cercle quelconque de centre N, qui passe parD et C, et qui rencontre la parallèle, l'angle E N. Donc il sera maximum lorsque le rayon sera le plus petit possible. Ainsi par DC, faisonspasser uncercle M tangentà la parallèle,l'angle O = M ; et, puisqueCM est < CN, on a : angleM > N. Remarque.On peut facilement calculerles élémentstrigonométriques de l'angle maximum COD : angleO = angle M. Le triangle rectangleCLM a pour côtés :

=

donc Ainsi

Sinus 0 ou sinus donc TangenteM ou tangente

§ V.

Inversion.

217. Définition. On appelle figures inverses deuxfigures tellesque toute droite OMM' (fig. 142), menéepar un point donné0, et coupantl'une d'elles en M et l'autre en M, donne un produit OM . OM' dont la valeur est constante. On nomme origine ou centre d'inversion le point fixe donné. Les points correspondantsM et M' sont appelés points réciproquesou points inverses. Les distancesOM, OM' sont connues sousle nom de rayonsvecteurs

réciproques.On appelle puissance d'inversionle produit constantdes rayonsvecteursdes deux pointscorrespondants. La puissanceest positive, lorsque lest points M et M' sont d'un même côté de l'origine O ; elle est négative,lorsque ces points sont de part et d'autre de l'origine. La puissancese représenteassez fréquemment par+ k1. figure MNP... en une autreM'N'P'..., à l'aide La transformation d'une de l'inversion, se nomme: transformationpar rayons vecteurs réciproques.Nous dirons simplement: transformationpar inversion. Note. La dénomination : puissanced'un point par rapport à un cercle (G., n° 829), d'où estvenuepuissanced'inversion,a été introduite par STEINER. Théorème. 218. Deux couples depointsinversesappartiennent à une même circonférence. Les cordes correspondantesMN, M'N' sont antiparallclcs. Soit k2 la puissance; on a : ON. ON' ; OM OM' = k2 . donc les quatrepoints appartiennent à unemêmecirconférence.(G., n° 261.) Les angles M' et ONM sont égaux; il en est de même deN' et de OMN ; donc les cordes correspondantes sont antiparallèlespar rapport aux rayons vecteursOMM', ONN' qui aboutissentà leurs extrémités.

=

Théorème. 219. La longueurd'une corde MN s'obtient en multipliant la corde correspondante par la puissance,et en divisant ce résultatpar le produit des rayonsvecteursqui aboutissentaux extrémitésde cetteseconde corde. Les cordesMN, M'N' (fig. 143) sont antiparallèles; les trianglesOMN, ON'M' sont donc semblables,d'où

» , Il suffit d'exprimerON en fonction de la puissance et de ON'.

Or de ON. ON'

= k2,

on tire

ON

:

-

,

donc On aurait . de , méme :

,„VT[ M'N'

=k

2

MN

(2)

Théorème. 220. Les tangentesmenéesà deux courbesinverses,par deux points correspondants, forment des angles égaux avec le rayon vecteur des points de contact. En effet, pour deux rayons quelconquesOMM', ONN' (fig. 144), lequadrilatère MM'N'N est inscriptible, les cordesMN, M'N' sont antiparallèles ;

=

l'angle PMM' P'N'O. A la limite, quand lesrayonsserapprochentindéfiniment l'un de l'autre, lés cordesdeviennent des tangentesen M et M' ; on a donc : angleTMM' TM'M. — Scolie. Deux tangentesTM, TM', et le segmentMM' du rayon vecteur des points decontact,formentun triangleisocèle. Théorème. 221. L'angle de deux lignes d'une figuredonnéeégalel'angledesdeux lignes réciproquesde la fi-

gureinverse. L'angle de deux courbes qui se coupent est l'angle des tangentesmenées àces courbes par le point commun." Soient les courbes MD, ME qui appartiennentà une première figure ; M'D', M'E les courbesinverses despre-

mières.

Il faut prouverque l'angle AMC destangentes AM'C'.

=

Or l'angle l'angle donc l'angle

= C'M'M, AMM' = AM'M, AMC = AM'C'. CMM'

(n° 220)

222. Remarques.1° Les deuxcouplesde tangentesdonnerftun quadrilatère symétrique,par rapportà la droite AB des pointsde concours. MD est une 2» Danscertainscas, la figure inversed'une circonférence droite M'C (n° 223). Le théorèmen'en subsistepas moins. L'angle destangentesAMC égale l'angle que la tangenteAM'- fait avec la droite M'C', inversede l'arc MD. 3° 11 ne faut pas comparerl'angle formé par deux couplesde cordes correspondantes, car ces droites no sont pas inverses,mais bien l'angle do doux couplesdo tangentes.

Théorème. 223. L'inverse d'une circonférence,lorsque le centre d'inversion est sur cette courbe,est une droite perpendiculaireau diamètrequi passe par l'origine donnée.(G., il 0 825.)

224. Réciproquement: L'inverse d'une drpite donnéeest une circonférencequi passepar l'origine; le diamètremenépar ce point est perpendiculaireà la droite donnée.(G., n 827.) 11

22». L'inversed'unecirconférence,lorsquele centre d'inversionn'est passur la courbe donnée,est une circonférencehomothétiquede la première, par rapportà l'origine donnée.(G., n" 828.) Voici quelquesapplications: 1er Théorèmede Ptolémée.

226. Dans tout quadrilatèreinscrit, le produit des diagonaleségale la sommedes produitsdes côtésopposés. Considéronsun quadrilatèreinscrit. Menons une droite quelconqueB'D', perpendiculaireau diamètre quipasse par le sommetA : la puissanceégale AE AF Les segments déterminés par les droites AD, AC, AB donnentla rela(1) D B'= D'C'+C'B'. tion

x =

Mais (n° 210)

D'B'

= DB.

D'C = M • 'KUTKC C'B' = CB XC-AT' CB./;' DC.ADR./.-* ; , L égalité(1), devient , . . : XD 7AB AG~Alf • ADTaC + En réduisantau mêmedénominateuret simplifiant, on trouve : DB. AC = DC.AB + CB.AD. (2) égalela sommedes produits des côtés Donc le produit des diagonales opposés. ' *

=

RemarqueQuand le triangle ADB est équilatéral,

BD=AB ; = théorème AD

l'égalité(2) devient AC = DC -)- CB, ce qui démontrece connu : La distanced'un point du cercle circonscrità un triangleéquilatéralà l'un des somme/s >e ce triangle, égalela sommedes distances dumôme point aux deux muressommets(n" 080). 226 a. Autre démonstration. Prenonspourorigine un point quelconque du cercle;désignonspar a, b, c, d les rayons vecteursAO, BO, CO, DO.

On sait que pour quatresegmentsconsécutifs,on a l'identitésuivante: A'B'. CD' -f A'D' B'C' B'D'. A'C'.

=

.

Car, en remplaçantles lignes A'D', B'D' et A'C par les segmentsqui les composent,chaquemembrede l'égalité (1) a pour valeur : A'B'. C'D' + A'B'. B'C' + B'C'. B'C' + C D'. B'C'. (2) "

Mais

A'B'=^-, C'D'=-^-, ab ' cd'

etc.

En mettantces valeursdans(2), on trouve :

Et, en supprimantle dénominateurcommun,on a :

+ AD

= BD • AC. 226 b. Remarque. LorsqueAB CD = AD. BC, on a aussi R'C' D'C' -S^7-^TT-. B' .C'D' = A'D' .B'C' ou A B A' = D A AB CD .

.

BC

.

.

Dansce cas la droite A'C' est dite divisée harmoniquement aux points B' et D' (G., n° 786); réciproquement,B'D' estdiviséedelà mêmemanière aux points A' et C. Des droites qui concourentau point 0 forment un faisceau harmonique.Toute droite qui traverse un tel faisceau est toujours divjsée liarinoniquement(G., n» 704); on a donc le résultat suivant : Théorème. 227. Lorsque lesrectanglesformés par les côtésopose'sd'un quadrilatère inscrit sont équivalents,toute droite qui coupe le faisceauformé en joignant les quatressommetsdu quadrilatèreà un point quelconque de ta circonférencecirconscriteest divisée harmoniquement par ce faisceau. Remarque.On nommequadrilatèreharmoniqueun quadrilatèreinscriptible, dans lequel le produit de deux côtés opposéségale le produit des deux autrescôtés; par suite, chacunde ces produitsest la moitié du produit des diagonales. Le quadrilatèreharmoniquea été l'objet d'étudestoutes récentes;il propriétés.(Voir ci-aprèsn° 2154.) jouit de nombreuses

Problème. 228. Par deuxpoints A et B, faire passermie circonférencequi coupe C, sows un angle donném. une circonférence donnée Soit le problème résolu et l'angle des tangentes,au point D, égal à l'angle donnéLMN ou m. Transformonspar inversionla ligure donnée,par rapportà l'origine A. Afin de conserverle cercle donné CM, prenons AK 2 pour puissance. L'inversede la circonférence demandée0 sera unedroite telle que FG, qui couperala circonférenceG sous un angle égal à l'angle donné. Il suffit donc de déterminercette sécante FG. Or prenonsl'inverse du point B, par rapportau point A ; c'est-à-dire prenons AB . AH AK 2. Par le point II il suffira de mener une tangenteà la circonférence quiest elle-mêmetangenteà MN, puis le centre0 setrouverasur la perpendiculaireabaisséedu point A sur FG. Le diamètreest donnéepar AE AF AK 2. . Remarque.Il y a deux solutions,et deux seulement,bien que chaque point H et II', inverse de B, en donne deux; mais si l'on fait varier la circonférencepassantpar A et B, son angle ne passeque deux fois par la valeur m. En réalité, H' correspondà la puissancepositive AK 2, tandis que II correspondà — AK 2 : il faut se borner à considérerun seul de ces deux points II ou II'. Lieu.

=

=

220. Quel est le lieu du point de contactdes circonférencestangentes deux à deux et tangentesà deux cerclesdonnes? .

Considéronsune suite de circonférencestangentesdeux à deux et tan-

gentes aux côtés d'un angle A. En prenantdans le plan un point quelconque 0 pour origine, et une puissancequelconque/c' 2, les côtésde l'angle et la bissectricequi contient les centres ontpour figure inverse des circonférencesqui passent par le mémo point. On doit avoir : OD' /;'J. Les circonférencestangentes OB OB' OC OC deux à deux ont pour inversesdes circonférencestangentesdeux à deux et tangentesaux inversesdes côtés del'angle : on arrive donc au théorème suivant :

x

= x

=

x

=

229 a. Lorsqu'oninscrit une suite de circonférences tangentesdeux à deux, entredeuxcerclesB et C, les pointsde contactsont sur'unemême circonférenceD. 230. Rémaques.1° Le lieu des pointsde contact,c'est-à-direle cercle OD, étant la ligure inverse de la bissectriceAD', est le cercle bissecteur des cerclesqui se coupentaux points 0, E. La tangenteOa, qui lui correspond,est bissectricede l'angle mOn. 2" En vue destransformationsà l'aire, il est utile d'indiquer les théorèmessuivants.

Théorème. 231. Toutes les circonférencesqui coupent orthogonalementdeux cerclesdonnésA et B passentpar deux mêmespoints situéssur lu ligne des centresdes cerclesA et B. L'axe radical CD est le lieu descentresdes cerclestels que G et D qui A et B. (G., n° 835.) coupentorthogonalementdeux cercles donnés

Et même,d'une manière plus générale,l'axe radical est le lieu des centresdes cerclesqui coupentorthogonalementtous les cerclesqui ont ce même axe radical GD ; car les tangentesCE, CF1', CF',sontégaleset perpendiculaires aux rayonsAE, BF, B'F'... Mais doux cerclesdu secondsystème,ayant pour centresG et D, ont pour axe radical la ligne des centresAB des premiers,car le point A est d'égalepuissancepour ces deux cercles; et il en est de même^u point B, car AE2 = AG2 et BF2 = BII2.

Or la cordecommunedes cerclesC et D est l'axe radical desdeux premiersA et B ; donc les cerclesG et D se coupenten deux points I et J de la ligue des centresAB; car les points d'intersectionde deux cercles sont des points d'égalepuissance. 232. Remarques.1° PONCELET,à qui l'on doit la considérationde ces pointsremarquables,les nommepoints limites. (V. Traitédespropriétés projectivesdes figures, tome I, n° 76.) 2° Les points limites sont réels,quandles cercles donnésA, B, B' ne se coupentpoint ; mais pour les cerclesorthogonauxC, D du secondsystème,ils sont imaginaires,parce queles cerclesA et B de l'autre système ne rencontrentpoint la ligne descentresCD. 232 a. Note. PONCELET, né

À

Metz en 1788, mort à Paris en 1867, fut fait

prisonnierpendantla campagnede Russie,et s'occupadés lors desMéthodes rte transformationdes figures. On lui doit la doctrine del'homologie et celle des polairesréciproques.Il est en réalité le principal créateurdes méthodes modernes.Au point de vue géométrique,il faut citer avant toutson Traité des propriétésprojectivesdesfigures,puis ses Applicationsd'analyseet de géométrie. . Un jugil bien compétent,M. P. MANSION, a dit : « Le vrai créateurde la géométrie supérieureest PONCELET, ainsi que SALMON le fait remarquerdansses Coniques. » (Compte rendu de la G" édition du Traité de géométrie,par MM. ROLCHÉ et DE COMBEROUSSE; voir ilathesis,1892, à la lin du volqme,

page3.)

Théorème. 233. Deux cerclesqui ne se coupentpoint se transformentpar inversion en cerclesconcentriques,lorsqu'onprendpourorigine un despoints limites. En effet, en prenant,par exemple,le point I (fig. 150) pour origine, tous les cerclesorthogonauxdu secondsystèmese transformenten ligne droite, car ils passentpar l'origine (G., n° 825) ; mais les droites, qui sont les transforméesdes cerclesC, D.'.., doivent couperorthogonalement tous les cercles obtenuspar l'inversion des cerclesA, B, B'...; donc ces cerclesse transformenten de nouveaux cercles ayant le point I pour centrecommun.

234. Remarque.Tous les cercles qui ne se coupentpoint et qui ont mêmeaxe radical CD, peuventse transformeren cercles concentriques. Théorème. 233. Deux cercles qui se coupent,se. transforment,en cercles égaux lorsqu'onprendpour origine un point quelconqued'un des cercles bissecteursdes cerclesdonnés. En effet, le cercle bissecteur,passantpar l'origine, se transformeen une droite qui devient l'axe radical desligures inversesdes cerclesdonnés; mais cescerclesinversescoupentl'axe radicalsousdesangleségaux, donc ils sont égaux-; car deux cercles qui coupentsous le même angle leur corde Communeont nécessairement des rayons égaux.

même lorsqueles deux cercles 236. Remarque.Le théorème s'applique ne se coupentpas. Dans ce cas, le cercle qui correspondau cercle bissecteurde deux circonférencessécantesest le cercle qui passepar les elles deux à deux et points de contactdescirconférences tangentes entre tangentesaux deux circonférences données (n° 229).

Théorème.

i

237. Entre deux cerclesA et B non concentriques,et qui n'ont pas de point commun,on inscrit un cercleG tangentaux deuxpremiers,puis un cercle D tangentau cercle G et aux deux premiers; ensuiteun cercle E tangentà D et à A et B, etc. 1" Les points dp contactqu'ontentreeux les cerclesinscritsC, D, E... sont sur unemêmecirconférence ; 2° si un derniercercleN, de rang n, ferme la sérieen se 'trouvant tangent au cercleC, une nouvelle série, commençanten un point quelconque,se termineraaprèsn cerclesconsécutifs. Il suffit de transformerpar inversionles cerclesA et B en deux cercles concentriquesA' et B'. Tous lescerclesC', D'... serontégauxentre eux ; les points de contact à D' et G. Si n cercles fermentle cirseront sur un cercle concentrique cuit, on peut les considérercomme inscrits dans n secteurségaux.Et quel que doit le point de départ d'unenouvellesérie, on n'aura qu'àformer n secteurségauxpour revenir au point de départ.

Théorèmede Feuerbach. 238. Le cercledes neufpoints est tangentau cercleinscrit et auxtrois cerclesexinscrits.

Soient ABG le triangle donné,M, N les centreset m, n les rayonsdu cercleinscrit et d'un cercleexinscrit; H, I, J les milieux des côtés. Menons les rayonsdes points de contactet projetonsle point G en G,

sur AB.

On sait qu'on a

:

d'où (G., nos 305 et 300.)

On peut remplacerchaque lignepar sa projection sur AD.; on a donc : GE DE G F — DF ' Ainsi les pointsD, G divisent harmoniquementle segmentEF. (G., n» 786.) Mais la moitié du segmentdivisé est une moyenne proportionnelle entre les distancesde son point milieu aux deux conjugués(G., n° 787) ; d'ailleursAE —BE (G., n« 351), d'où I1E IIF ; donc HE2 HD . HG ; soit HE2 k2. Ceci établi, transformonsla figure par inversion, en prenantH pour pôle et k2 pour puissanced'inversion.Les cerclesM et N se reproduisent puisque le carré de leurs tangentesrespectives HE,HF égale k'2. Le cercle des neuf points, passantpar l'origine H, point milieu de AB, se transformesuivant une droite ; mais le cercledes neuf points passepar le pied G de la hauteur CG, or Dest le point inverse de G, car HD. HG k2; donc la droite passepar ce point D. La droite obtenuepar la transformationdu cercle des neuf points coupela baseAD sous le mêmeangle que la tangenteHL, car HL et AB sont antiparallèlespar rapportà l'angle C (n° 28, 3°). Or la ligne antiparallèle menéepar le point D n'est autre que la secondetangenteintérieure DT, et puisquecette droite est tangenteaux cercles M et N, il en neuf points. est de même du cercle des 238 a. Remarque. Pourdéterminer les points de contact R et S du cercle des neuf points et des cerclesinscrit et exinscrit, il suffit de joindre le point milieu H aux points de contact des cercles M et N et de la secondetangenteintérieure; ainsi HT déterminele point S, et HPR déterminele point de contactR. (Voir aussin° 1341.) 238 b. Note. Le Cercle des neufpoints, d'abordsignalé par EULER pour six points (pieds des hauteurset des médianes),est parfois nommé Cercle de Feuerbach,à causedu théorèmeprécédent.Le cercle des neuf points est assezmal nommé à causedu très grand nombrede points du cercle que l'on connaîtactuellement. On nommepoint de Feuerbach,le point de contactdu cercle inscrit et du points (n» 1341 a). cercle des neufs de mathématiques * FEUERBACH, professeur au gymnased'Erlangen,est né en 1800 à Iéna, et mort en 1834. On a de cet auteur: Propriétésde quelques points remarquables du triangle rectiligne et de plusieurslignes et figures qu'ils déterminent. Inversion dansl'espace.

_

=

=

=

=

239. Considéronsles figures inverses dans l'espace,niais en nousbornant à la sphèreet au plan. En faisant tourner une droite et un cercle autourdu diamètreperpendiculaire à la droite, on obtient une sphèreet un plan. Deux cerclestournantautourde la ligne des centresengendrentdeux sphères;on a donc les résultatssuivants:

Théorème. 240. La figure inversed'unesphère pur rapport à un point de celle , surface pris pour origine, est un plan pcrpcndicxtluiic uu diamètre

menépar l'origine.

La figure inverse d'un plan par rapport à un point extérieur à ce , plan, est une sphèrequi passepar l'origine, cf. dont le diamètrecorrespondantest perpendiculaireau plan donné. La figure inversed'unesphère,par rapport à un point extérieurà cette surface,est une autresphèreet l'origine est un centre de similitude pour les deux sphères. Théorème. 241. Bansdeux figures inverses,les angles correspondants sontégaux. Soient dans l'espacela courbe M'N' inverse de MN et M'L' inverse de ML. Ces courbesMN et M'N' sont dans un même plan passantpar l'origine; il en est de même desdeux autres.Dans chacun de ces plans, on mène les tangentes ; il faut prouver que ces lignes se coupentsousdes angleségaux. ConsidéronsMA, MB et les prolongementsM'A', M'B' dirigés en senscontraire. Les anglestrièdresM, OAB et M', OA'B' sont égaux commeayantun angle dièdre égal compris entre deux angles plansrespectivementégaux. En effet, lesdièdresqui ont pourarêtecommuneOMM' sont opposésau sommet. L'angleplan AMO A'M'O, ainsi qu'on l'a démontré(n° 221). De même l'angle

=

BMO

= B'M'O.

Donc le troisièmearrgle plan A'M'B'. AMB

=

Remarque.On étudie les angles opposés afin que les trièdresconsidéréssoientégaux, maisles angles opposés par le sommetsont égaux; donc angle AMB C'M'D'.

=

Théorème. 242. L'inversed'uncercle,par rapportà uneoriginesituée hors de son plan, est un cercle. SoientAB un cercle,O un point extérieurpris pour origine. Abaissonsla perpendiculaireOM sur le plan du cercle. Prenonsle plan OMC pour plan principal de la déterminons "figure à. représenter, l'inverse M' du point M. La sphèredécrite sur le diamètre OM sera l'inversedu plan P qui contient le cercle donné (n° 240). Donc tous les points inversesdu cercle AU se trouvent sur la sphèreS. En menant un rayon vecteurquelconqueDOD' limité à lu sphère,on aura; OD . UD' k2.

=

Dans le plan OMG faisons passerun cercle par les pointsA et B et leurs inversesA', B'. La sphèreV, qui aura pour grand cercle la circonférencedécrite ABA'B', doit passerpar tous les points inversesti ls que D', E', car chaque corde menée par le point 0 donne un produit constant. L'inverse ducercle AB est donc un cercle A'D'B'E', car cette figure est l'intersectionde deux sphèresS et V. 243. Remarques.1° Les cerclesinversesAB, A'B' sont les sections antiparallèlesdu cônedont 0 est le sommet. 2° Tout plan parallèle au plan du cercleAB donne un autre cercle inversede A'B', mais avecune puissance différente d'inversion. 3° Le plan tangent à la sphèredu sommet0 au cône donneun cercle infiniment petit. Sa direction suffit pour déterminerles sectionsantiparallèlesd'un côneobliqueOA'B', à basecirculaire, inscrit dansune sphère. 4» En considérantla sphèreY, on peut dire : tout cônede sommetquelconque0, ayantpour baseun cercle AB de la sphère,coupeencorecette sphèresuivantun autre cercle A'B'. 5° Avec une puissance positive k- égaleà 2r-, le planpassepar le centre de la sphèreinverse.

244. Projection stéréographique.On nomme projection stéréographique d'une figure sphériquela projection conique obtenuesur un plan diamétral de la sphère,lorsqu'onprend, pour sommetdu cône projetant, une des extrémités du diamètre perpendiculaire au plan de projection. Conséquences.Tout ce qui a été démontrépour les figures inverses dansl'espaces'appliqueau casparticulier qui constituela projectionsté-

réographique.

Ainsi un cercle AMI1 a pour projectionun cercleA'M'B'. Les anglessont conservésen vraie grandeur. 244 a.Note. La dénominationde projectionstéréographîque, que l'on a donnée

à la projectionemployéepar PTOLÉMÉE danssonplanisphère,est assezrécente, carelle est due au P. AQUILLON, de Bruxelles, et se trouve dansson Optique, publiéeen 1713. (Aperçu historique,p. 510.)

Théorèmede Chasles.

centreN' de la circonférenceobtenuepar In projection d'un cercle AMB de la sphèreest lu projection du sommet N du cènecirconscrità la sphère,suivant le cercle considéréAMB. En effet, pour un point quelconqueM, menonsle plan MON qui passe par l'origine O et par le sommetN du cônecirconscrit. La droite NN'O est la projetantedu sommetN, et la ligne M'N' est la projection de la tangenteMN. l'our démontrerle théorèmeproposéet pour fournir en même temps une autre démonstrationd'un théorèmeconnu (n° 242), il suffit de prouver que M'N' a une longueurconstante. 2415. Le

En effet, l'angle OMN formé par le rayon OM et la tangenteMN mesure l'angleque fait le mêmerayon OM avec l'arc de cercle que déterminele plan OMN. L'inverse de cet arc est la droite M'N' (nos 220 et 223) ; donc les angles OMN et OM'N' sont supplémentaires. Or les côtés opposésaux angleségaux ou supplémen,tai>es sont proportionnels(n° 150); donc

Ainsi la longueurde M'N' est constante;

donc...

245 a. Note. Le théorèmede CHASLES a été donnéen 1816. L'énoncé précédent (n°245)

est devenu classiqueet ne doit pas être modilié; mais il ne s'agit point de projection orthogonale,mais bien de projection conique ou projection centrale,c'est-à-diredu point d'intersectionN' de l'a droite ON et du cercle.VU'.

Remarquegénérale. 240. Quelle que soit la position dq plan P qui a pour inverse une perpendisphèredonnée,l'origine est à une des extrémités du diamètre culaire au plan, et l'on peut faire les remarquessuivantes,en désignant par M' le point du plan que déterminele diamètreOM mené par l'origine. Tout grandcerclede la sphèrequi passepar l'origine 0 se transforme en une droite quipassepar le point M'. Tout petit cercle qui passepar l'origine a une droite pour inverse, v mais cette ligne ne passepoint par M'. Tout cercle qui ne passepas par l'originea un cercle pourinverse. Les cercles qui passentpar M, dans le plan P, sont les inversesdes petits cerclesqui passentpar l'extrémitédu diamètreopposéeà l'origine. Toute propriété d'une figure sphériquedonne lieu à une propriété d'unefigure plane. correspondante Réciproquement,toute propriétéd'une figure plane donne une propriété correspondante pour une figure sphérique. Exemples. 247. Théorème.(a) Dans un même Théorème» corrélatif»,(a) Sur une plan, toutesécantemenéepur un des sphère,tout grand cercle mené par

centresde similitudede deux circon- un descentresde similitude de deux férencescoupe ces deux courbessous petits cerclescoupe ces deux courbes le mêmeangle. sous le mêmeangle. (b) Deux points antihomologues (b) Deux points antihomologues peuventêtre considéréscommeétant peuventêtreconsidéréscommeétant lespointsite contactd'uncerclelangent les points de contactd'un cercle tanaux deux premiers.(C., n° 818, 1°.) gent aux deux petits cerclesdonnés. (c) Quatre points antihomologues (c) Quatre points antihomologues

appartiennent à une mêmecirconfé- appartiennentà une mêmecirconférence.(G., n° 818, 2°.) (d) Le lieu despoints d'où l'on peut destanmenerà deuxcirconférences genteségalesest uneperpendiculaire à la ligne des centres (G., il" 830.) Cettedroite se nomme axe radical des deux circonférences. Tout cercle ayant pour centre un point de l'axe radical, et pour rayonla tangentemenéede ce point à deux circonférences données,coupe orthogonalement ces deux circonférences.(G., n° 835.) (f) Lorsquepar deux points fixes on fait passerune suite de circonférencesqui coupent un cercle donné, toutes les cordes communespassent par un mêmepoint. (e)

rence. (d) Le lieu despointsd'où l'on peut menerà deuxpetits cerclesdes arcs de grand cercle tangentset égaux est un grand cercle perpendiculaire à celui qui passepar les centresdes deuxpetitscercles. Ce grand cercle se nomme cercle radicaldes deux petits cercles. (e) Tout cercleayantpourcentreun point du cercleradical,et pourrayon polairela cordede l'arc tangentmené de ce point aux deux cerclesdonnés, coupeorthogonalementces deux cercles. (f) Lorsquepar deux points fixes d'unesphèreon fait passerune suite de circonférencesqui rencontrentun petit cercle donné, tous les grands cercles,qui tiennentlieu de cordecommune,passent parun mêmediamètre.

Pascal(G., n° 747), l'hexagone 248. Remarques.i"L'hexagramme.de de Brianchon(G., n° 807) ont leurs analoguessur la sphère,et l'on peut énoncerles théorèmessuivants: inscrit à un petit cercle, les points de Dans tout hexagone sphérique concoursdes côtés opposésse trouventsur un grand cercle. Les arcs diagonauxqui joignent les sommetsopposésd'un hexagone sphérique circonscrità un petit cerclese coupentaux mêmespoints. En d'autre termes,les trois grandscercles qui passentpar les sommets opposésd'un hexagonesphériquecirconscrit à un petit cerclese coupentsuivantun mêmediamètre. Voici un exempled'un théorèmesphérique,conduisantà un théoyéme

de géométrieplane. Le Théorèmede Guéneaud'Aumont (n<> 160) devient : La sommede doux anglesopposésd'un quadrilatèreplan inscrit, et dont les côtés sont des arcs de. cercle de rayon quelconque,égale la sommedes autresangles.(BALTZER, § IV, n" 4.) Il est d'ailleurs facile, ainsi que nous l'établirons(Exercicesdu livre II, n® 086), de démontrer directement ce dernier théorème et plusieurs autres,qui ont été déduits, par inversion, de théorèmesrelatifs aux polygonessphériques.(E. de G., 2e, 3e, 4e éditions, livre II, n° 686.) 2° La projection stéréographique est usitée en cartographie.En prônant un grand cercle comme tableauet l'un de ses pôles pour contre do projection, tous les cercles tracés sur la sphèrese projettentsurce tableau suivantdes cercles;par suite, les méridiensde la sphèreet lés cerclos parallèlesde latitude sont représentés sur la carte par dos arcscirculaires faciles à tracer.La conservationdos angleslait quetoute figure sphérique ; mais les surfaceséquivalentes,inégaleest assezfidèlementreprésentée ment éloignées dupôle, ne se projettentpas suivantdes surfaceséquivalentes.

3° La loxodromie est une courbe sphériquequi coupe les méridiens

sousun angle constant;pour la tracer,on peutdessinerunespiralelogarithmique sur le plan d'un grandcercle, et, du pôle de ce cercle, projeter la courbe plane sur l'hémisphèreopposé(Exercicesde Géométrie descriptive,nos 1217 à 1223). D'après une propriété connue,la spirale logarithmiquecoupe les rayons vecteurssous un angle constant;par suite, il en serade même de la loxodromiepour les méridiens. 4° Le théorèmede Villarceau : le plan bitangentau tore coupecette égaux, a conduit MANNHEIM au théorème surface suivant deux cercles analoguepour la sphèrebitangenteau tore. (Exercicesde Géométriedescriptive, nos 942, 943,et '1202 à 120o.) 248 a. Note. La projectionstéréographique parait due à HIPPARQUE (150.av. J.-C.). Elle nous a été transmisepar PTOLÉMÉE. (Aperçu historique,pages24 et 28.) La méthodede transformationpar inversiona étéproposéepar STUBBS en 1843, puis appliquéepar WILLIAM THOMSON sous le nom de Principedes images.— M. LIOUVILLE a généraliséce principe en 1849; il l'a traité par l'analyseet l'a désigné sous le nom de Transformationpar rayonsvecteurs réciproques.— Le nom de Surfacesinversesa été employéparBRAVAIS lorsque la puissancek2 égale — 1. (N. A., 1854, pages227 et suivantes.) La méthodede transformationpar inversionesttrès féconde; on peutmême l'appliquer utilement à l'étude de la Trigonométrie sphérique. (VoirPAUL SEHRET, Des Méthodes en géométrie,page 30.) * PASCAL, né à Clermont-Ferrand en 1623, mort en 1602,donna,dès l'âge le plus tendre,des marquesd'un esprit extraordinaire. A l'âge de seize ans, il publia un Essaisur les coniques,ouvragequi contientl'hexagramme mystique et le theorèmefondamentalde l'involution. 11 fit connaîtrele trianglearithmétique et étudia les propriétésde la cycloïde. * BRIANCHON, né à Sèvres en 1785, ancienélève de l'École Polytechnique, était capitained'artillerie en 1817, lorsqu'il publia son Mémoiresur les courbes du secondordre. BRIANCHON est mort à Versailles en 1864. Le théorèmequi porte son nom est le 36e de cetouvrage; mais il l'avait publié en 1810, dansle XIIIe cahier du journal de l'École Polytechnique. * WILLIAM THOMSON, rédacteurdu Cambridgeand Dublin mathemalical

Journal.

LIOUVILLE, 1809-1882,membrede

l'Académie des scienceset du Bureau des Longitudes,fondateurdu Journalde Mathématiques,cité fréquemment sous le nom de Journalde M. Liouville. * A. BRAVAIS. On lui doit divers théorèmes relatifs.à la symétrie.(G., n»3 489496.) Le Journalde M. Liouville a publié plusieursde sesmémoires. * HIPPARQUE, environ 150 av. J.-C. Astronome célèbre, « un des hommes les plus étonnantsde l'antiquité» d'aprèsDEI.AMBRE (Histoire des Sciences Mathématiqueset Physiques,par MAXIMILIEN MARIE (tome 1, p. 208 à 217). *

V EISCUSSION ET EXTENSION

§

I

—

Discussiond'un Problème.

249. Définition. Discuterun problème,c'est étudier les divers cas qui peuventse présenterlorsquecertainesdonnées varient. Problème. 2 i0. Mener uneparallèle aux basesd'un trapèze,de manièreque le segmentcoinprisentreles diagonalesait une longueurdonnée1. Construction.On prend BE Z, et on mèneEM parallèle à CD; la droite MN parallèle aux bases est la ligne demandée. (a) Soit l BA. On prend BE' Z, puis on mène E'M' parallèle à OB; par cette construction, l'on obtient une droite M'N' extérieure au trapèze;mais il y a une solution, quelleque soit la longueur de l. (b) Soit l =: BA. Dans ce cas,AB répond à la question.

=

>

(c) Soit

l

AB — CD y

=

.

Lorsque t est la demi-différencedes bases,le segment IJ est sur la basemoyenne. En effet,

donc (d) Si l zéro, on n'a plusque le point de. concoursdes diagonales. (e) Enfin, pour une valeur négative,on porterait I de B en l'on obtiendrait M"N", dont la direction do droite à gaucheest contraire à celle de MN.

=

Eet

Résumé.Le problèmeadmet toujours une solution, et une seule; la longueur donnée peut varier de oc à zéro, et de zéro à — oc. Si l'op ne tenait pas compte de la direction de MN, et le point M devant se trouver sur AC, la longueur l ne recevraitque des valeurs deux solutions; l'une d'elles positives: à chacuned'elles correspondraient seraitsituée dansl'angle AOB, et l'autre dansl'angle COD. Problème. 2151. Soit à

décrira une circonférencetangenteà trois cercles donnés

A, B, C. Le contact peut être extérieurou intérieur.Dans lé premiercas,représentonsles cerclespar A, B, C; et dansle second,par a, b, c. On a les

huit solutionssuivantes:

A, b, c A, B, G ( A, B, c (3) B, c a, et \ (2) A, b, c a, b, C (a, B, C (4) a, b, c. Mais, en réalité, il n'y a que quatreconstructionsdifférentes. En effet (1) donnetrois contactsextérieurs. Le groupe(2) correspondà deux contactsextérieurset un intérieur. Le groupe(3) donneun contactextérieuret deux intérieurs. Enfin.(4) a les trois contactsintérieurs. Remarque.Les huit solutionsse correspondentdeux à deux commeil (1)

suit :

A, B, C

a, b,

c

A, B, c a, b, C

A, b, G ( «,

c

l

a, B,

(

A, b, c.

G

Cas particuliers.Un ou plusieurscerclespeuventseréduireà un point, car un point peut être considérécomme un cercledont lé rayon est nul ; : on peut avoir successivement 1» Deux cercleset un point; 2° Un cercleet deux points;

> Trois points.

Un ou plusieurscerclespeuventêtre remplacéspar une droite,car une droite peut être considéréecomme un cercle de rayon infini. On peut donc avoir : 4° Deux cercleset une droite; 5" Un cercle et deux droites;

Trois droites. On doit encoreconsidérerles trois combinaisonssuivantes: 7° Un cercle, un point et une droite; 8" Deux points et une droite; 9" Un point et deux droites. Variétés. Le cas général de trois cercleset chaque cas particulier peuventoffrir des variétésrelativesà la position desdonnées. Ainsi,pour trois cerclesdonnésA, B, U, on peut faire les remarquessuivantes: fa) Trois cerclesextérieursdeux à deux,et dont les centresne sont pas en ligne droite, donnentlieu à huit solutionsdifférentes. 6°

(b) Trois cerclesextérieursdeux à deux, mais dont lescentressont en ligne droite, donnenthuit solutions symétriques deux à deux par rapport à la ligne descentres. (c) Trois cercles,dont deux, A et B, se coupent,tandisque C est extérieur, n'offrent plus que quatresolutions.En effet, A et B seronten même tempsou tangentsextérieurement,ou tangentsintérieurementau .cercle demandé; on n'a donc que les groupesci-après: A, B, C a, b, C

et

A, B, c

(

a, b, c.

(d) A et B sont extérieursl'un à l'autre, mais intérieursau cercle C. Quatresolutions.Le contact avec C sera toujours intérieur, mais on peut avoir les groupessuivants: A, b, c A, B, c

et

a, b, c et, B, c. (e) A et B se coupentet sontintérieursà C. Deuxsolutions: A, B, c et a, h, c. RemarqueLes indications précédentes suffisent pour montrer l'étonnantevariété desaspectsdifférentsquepeut présenterun problèmedonné; maison auraitàexaminerbien d'autresparticularités,si l'on voulait rechercher toutesles circonstancespossibles. peut voir lu belle solution due à GERGONNE, en 1814 (Annales de mathématiques, la Géométriede Bobillier, tome IV). Elle est reproduite dans page 37-2; ainsi (pie dans les premières éditionsdu Traité de Géométriede Rouchéet Comberousse, n" 38'J. — I'ONCEI.ET, dans son Traité des propriétés projectilesdes figures, tome I, page 137, etc., indique diversessolutions. — M. FOUCHÉ a donnéunetrès belle solution,en 1892, dansles Nouvelles Annales de mathématiques. A son insu, le savantprofesseura retrouvéune des solutions de PONCELET, mais il l'a développéeet complétée. * GERGONNE, professeur, puis recteurà Montpellier, mort en 1859, fondateur d'un journal célèbre,connu sousle nom d'Annales de Gergonne,et ou l'on de LIIUII.IER, FRANÇAIS, SERVOIS, AVRONSKI, trouve des articles remarquables 251 a Note. On

PUISSANT, LAMÉ, BIUANCIION, DURRANUE, CH. DUPIN, FRÉGIER, PONCEI.ET, VALLÈS, GUÉNEAU n'AI'.MONT, STLTLM, AMPÈRE, AHEL, CAUCHY. MAGNIIS, FLÉCHER, BOBILLIER, GÉIIONO, LENTIIÉRIC, STEINER, QUÉTELET, DANDELIN, CIIASI.ES, GALOIS, SARRUS, etc. à l'école d'artset métiersde Chiilons, * BORILLIER (1797-1832), professeur

auteurdu Cours de Géométrie,des Principes d'algèbre,destinésaux élèves des écolesd'arts et métiers.

Problème. 21J2. Examinerte nombrede solutionsque peut avoir

la questionsuivante: Avec un rugondonnéc, décrire une circonférenceC, tangenteà deux circonférencesA et B. Soienta et b les rayonsde A et B, d la distance descentros. La plus grandedistance des circonférences donnéeségale a + b + d; et la plus petite distanceégale d (a + b). (G., n°138.) Admettons en outre que a soit plus grand que b et que les deuxcirconférencesA et B soient extérieures,c'est-à-direqu'on ait d'unemanière générale: d > a -|- b.

-

> d + a + b.

On a huit solutionssymétriquesdeux à deux par rapportà la ligue des centresdes cerclesA et B. 2° 2c d + a + b. On obtient septsolutions; car les deux circonférencessymétriquesqui enveloppaientA et B dans le cas précédentse réduisentà une seule. d a — b, et a fortiori >d-\-b— a. 3° 2c d + a b, mais On a six solutions. Cinq solutions. 4° 2c d + a b. d + b a. Quatre solutions. 5° 2c d + a b, mais Trois solutions. 6° 2c d + b a. 7° 2c < + b — a, mais — (a b). Deux solutions. solution. 8° 2c = d (a Point de solution. 9° 2c
=

<

+

>

= < =

--

>

d

-

-

b).Une +

+

Cas particuliers.Il y aurait ensuite à examinerles réponsesque l'on obtient suivantla position relative desdeux circonférencesdonnées et les diversesvaleursque c peut recevoir. Ainsi, quandla circonférenceB est dans la circonférenceA, on peut avoir, suivant la grandeurrelative desrayonset la distancedes centres, soit quatresolutions, trois,deux, une ou aucune.

Problème.

Sur une droite illimitée

XY se meut un segmentMN de longueur constante.Deux points fixes A et B sont donnes;on mène AMC, BNG; étudierles variationsde l angle C 2133.

ainsi déterminé. Soit MN le segmentdans une position quelconque. Pour simplifier la question,il suffit de menerla droite AD égale et parallèle àMN. Le point D sera ainsi déterminé,et l'angle DNB seraégal à l'angle variable C. Or l'angle N est d'autantplus grand que le rayon du cercle qui passe par les points fixes B et D est plus petit (n° 216); donc le maximum G est donné par le cercle tangent BDF. Le cercle BDF' donne un secondmaximum. Entre les deux maximums, l'angledevientnul pour le cercle de rayon infini, c'est-à-direpour la corde communeBD. En effet, les droites BDI, A.J sont alors parallèles.

Variations. Lorsque N est situé à l'infini, vers la droite, l'angle est nul ; puis lorsquele point vient en N', l'angle a une certaine valeur, et cette valeur augmentejusqu'à la position oi'i il y a un maximum G ; ensuiteil diminue en N, jusqu'enO, où il est nbl. Depuis le point 0 jus-

qu'à l'infini, vers la gauche, l'angle,d'abordnul, augmente,passepar le maximumF, diminue et revientà zéro. Remarque.Au point de vue de la continuitéde la fonction,il n'y a pas deux maximums,car l'angle changede signe; mais il y a, en réalité,un maximum et un minimum. Problème. 234. Diviser un trapèzeen deuxpartieséquivalentes, par une droite menéepar un point donné. La droite MN, qui joint les points milieux des bases(fig. 157), divise le trapèzeen deux partieséquivalentes;par suite,toute droite EF, menée par le milieu 0 de MN, et qui rencontreles deuxbases,divise le trapèze en deux parties équivalentes.Il n'en est plus ainsi lorsque le point F tombesur le prolongementde la petite base;on est doncconduità déterminer les positionsextrêmesde la ligne de division. (a) MenonsGOC', DOD' (fig. 157). La droite EFpassepar le point 0 et coupeles deux bases dutrapèze, lorsquele point P est situé dans l'angle COD ou dansson opposépar le sommet.

(b) Déterminonsles positions limites dela droite de division,lorsqu'elle coupe la grandebaseet un descôtés latéraux. Il suffit de joindre le point A au point C (fig. 158), de Graphiquement. menerla parallèleG'G, puis AG. Le triangle ABG est équivalentà G'IîG. » Numériquement.On peut calculer la hauteur h'du triangle AliG en fonction dela hauteurh du trapèzeet de sesbasesb et b

On doit avoir. :

bit'

^ —

''

.h;

d'où h' =

•

Le point II est à la même hauteurque G. Les droitesAG, DU se coupent sur MN en un point 1. En outre, AG coupeCG au point K et BH coupe 1)1)' au point L ; donc La droite de division coupe la grande baseet le côté BG, lorsque le point P est comprisdansl'angle CKG ou dansson opposéau sommet. La droite coupeAB et AD, lorsquele point P estsituédansl'angle DIIL ou dans opposé.

(c) Enfin la droite coupeles deux côtésnon parallèles,lorsque le point

P est dans l'angleAIH ou dansson opposépar le sommet. (d) Soient Ret S les points où BH rencontreCC et où AG rencontreDD'. Pour tout point compris dansle quadrilatère non convexe OKIL, il y a trois solutions,car le point appartientà trois despositionsconsidérées. Pour ORIS, la droite peut couper CD et C'D', o CG et AC, ou bien DR et BD'. Pour un point P compris dans le triangle RIK, la droite coupeDC et C'D', ou AH et GB ou bien CG et AC ; remarqueanaloguepour SIL. On aura : DC et C'D', ou BG et AH, ou bien DH et BD'. ' (e) Pour tout point du périmètre du quadrilatèreOKIL, il y a deuxsolutions. (F) Tout point pris hors du quadrilatèreOKIL ne donne qu'unesolution. Remarque.Le périmètredu trapèzeest partagéen huit segmentsassociés deux à deux. La droite de division doit toujours rencontrer deux segmentscorrespondants. Problème. On donne une circonférenceet une droite; mener une corde telle que le carréqui aurait cette cordepour un de ses côtés,ait le côté opposésur la droite donnée. Discuter le problème, en admettantque la droite varie de position par rapport au centrede la circonférence. Soit XY la ligne donnée. Puisqu'il s'agit d'inscrire une figure semblableà une figure donnée, on peut recourir à la similitude (n° 206). Sur XY construisonsun carré de côté quelconque,mais dont P, milieu du côté des carrés,soit aussi le milieu de IIL, et menonsl'M, PN. La figure ABCD estun carré, puisqu'elle est semblableà LMN1I. La corde A'B' donne un secondcarré. Remarque. Il suffit de mener le diamètre perpendiculaireà XY, de prendre une perpendiculaireUN, égaleau double de PII', et de mener NBPB'. Les perpendiculairesBC et BC sont les côtésdescarrés. On peut aussi mener par le point P une droite PN, faisant avec XY l'angle constanta d'un triangle rectangle PHN, dontle côté UN est double dePli. La droite PN détermineles sommetsB'ct B', et par suite les côtésBC, et ll'C' desdeux carrés. 2i>o.

Discussion. Il suffit de déplacerla droite XY, parallèlementà ellemême, à partir du centre et d'un seul côtédo ce point, car les deux

positionssymétriquesde XY, par rapport au point 0, donnent desrésultats analogues. (a) XY passepar le centre(fig. 160). Il y a deux solutionségalesAD, BC ; d'ailleurs,

donc

(b) Dés que XY s'éloignedu centre, on obtient deux carrésinégaux

AD, BC (fig. 161). (c) Lorsquela droite X'Y' est tangenteau cercle, un des carréss'annule; il ne resteplus que B'C' (fig. 161). (d) Lorsquela droite XY devientextérieure(fig. 162), il y a deux carrés de mêmesens,pourvu que la droite PAB coupela circonférenceen deux points. (e) LorsqueOP égalele diamètre, la droite P B' passepar l'extrémité du rayon OB', parallèleà X'Y' (fig. 102) ; alors BC donnele carré maximum. Il égale4r5.

(f) XY, s'éloignant encore du centre O, atteint une position pour

laquelle la droite PB se trouve tangenteà la circonférence(fig. 163). ; et, au point de vue géométrique,il n'y a Les deux solutions coïncident q'uun seul carré. Pour calculerla superficie de ce carré, peut on considérerles triangles rectanglessemblables,BEO PBE

= 2. OE, —^ -f= r- ;

D'abord

BE

puisque BC = 2. CP,

BEa=-^-rs. d'où 5BE2 = 4rî; d'où = BE2 *x O Or BE est la moitié du côté du carré; donc

DE- -f- OE2

BC-

=

-"l-

r2.

Le triangle restangleOBP est semblableà BEP; donc BP 2r, et OP2 5rs. Ainsi, à la position limite, OP rv/5 . (g) Pour une valeur de OP plusgrandeque r (fig. 163), il n'y a plus de solution.

=

=

=

,

pour P' par exemple

précédenteà la Note. Il est utile de comparerla discussion géométrique discussionalgébriquedu mêmeproblème.(Voir Exercices d'algèbre, n° 1460.

Problème. 238. Dans un triangle quelconqueABC, inscrire un rectangled) périmètredonné2p. Construction.Élevons une perpendiculaireAF sur AC, menonsla

parallèleBD. On sait qu'on résout le problème pour le triangle rectangleCAD, en prenant AE AF p et menantFE. Le point 0 fait connaîtreM (n° 99, a). On peut se borner à mener FG et GE (n° 191).

=

=

On a: MN MP = p. Lorsque le demi-périmètre variera, il suItira de menerdes parallèlesà GE. 1° Soit la base AC plus grande que la hauteur BH ou AD. (a) Supposons p AC ; par exemple,p AE'. La droite E'M' parallèleà GE, coupele prolongement inférieurde BC. La hauteur M'P' est de sens contraire à MP, elle doit être regardée comme négative,et en ne tenant compte que des valeursabsolues,on a M'N' M'P; A E p ; en effet — (b) p AC. La hauteurest nulle; le demi-périmètrese réduit à la longueurAG. (o) AD. p AC mais Le point M est donnépar unedrbite GE,qui coupeBC entreles point3 B et C. On a la sommeproprementdite MN + MP = p. +

>

=

-

:

<

=

=

>

Remarque.En vue des applicationsultérieures,posonsl

= 2S ; on a :

et Huitième principe. 348. Lorsque deux variables,affectées decoefficients,ont une somme constante,le minimum de la sommedes carrésde ces variablesa lieu quandces dernièresquantitéssont proportionnellesà leurs coefficients respectifs. (1) Soit ax + by l. Le minimum de x2 + y2 a lieu quandon a :

=

=

puis éliminons une des inconnues,en En effet, posonsx2 y2 procédantcomme ci-dessus; on reconnaîtque le radical s'annulepour +

alors d'où Vérification. En prenantdes valeursqui vérifient la relation (1), par

et

exemple

on trouve, toutesréductionsfaites :

donc le minimum a bien lieu quandc est nul et que l'on prend :

Remarque.Pour les applicationsultérieures,on peut poser l Dans ce cas,

= 2S.

et Problème.

349. Dansun triangle isocèlerectangle,inscrire le rectanglede surface maxima. 1o On sait que pour chaquepoint de la base d'un triangle isocèle,la sommedes perpendiculairesabaisséessur les autrescôtésestconstante; donc MP

+ MQ = DE + DF;

donc, d'aprèsle premier principe,le rectangle MPAQ est maximum lorsqueles côtésMP, MQ sont égaux; par suite, le rectangle maximum a pour sommetle milieu M de l'hypoténuse.

Ce théorèmea d'ailleursété déjà donnécomme applicationde la méthode de modification des ordonnées(no 201), et déduit aussi d'un problèmerésolupar la Méthodealgébrique(n« 203 d, Remarque). Mais l'emploi très fréquentque nousen ferons exige quelquesnou-

veauxdétails.

Problème 352. Dansun trianglequelconquéinscrirele rectanglemaximum. Deux des sommetsdu rectangledoivent être sur la basedu triangle, et les deux autressommetssur les côtés. 1° Fig. (a). Pour un triangle rectangleBAC, dont les côtés AB, AC pourraientêtre inégaux,le rectanglemaximum est donné par le point milieu M de BC.

Surface 2° Fig. (b). D'aprèsle théorèmerelatif à la modificationdes ordonnées (n° 201), le parallélogrammemaximum ALMQ est donné par le point milieu M de BC ; d'ailleurs, comme on peut le vérifier directement,on a 4

= ½ ABC,

ainsi qu'on le déduirait du n° 201. Or le rectangle RPMQ est équivalentau parallélogramme;donc, pour un triangle quelconque,le rectanglemaximum a deux de sessommetsaux pointsmilieux des deux côtés. Sa surfaceest la moitié de celle du triangle. En menantla hauteur,on aurait pu dire, d'aprèsle premiercas,le rectangle RHIQ est maximum pour AHB, et il égale sa moitié; de même HI'MI est maximum pour HCB et égalésa moitié; donc RPMQ est maximum pour ABC et égalesa moitié. ALMQ

3° Fig. (c). On peut encore arriver au résultatprécédentpar unevoie qui sera très utile pour l'étude desfigures inscrites dansles courbesà diamètresrectilignes. Menons la médianeBN (fig. c) et les parallèlesME et QF. Chacundes parallélogrammesNEMG, FNGQ, égauxentre eux, est ; mais le rectangleRPMQ est maximum pour le triangle correspondant équivalentau parallélogrammeFEMQ; donc le rectangleest maximum. Remarques.1° Pour un triangledonnéABC, en prenantsuccessivement chaquecôté pour base,on obtient trois rectangleséquivalentsentreeux, car chaquerectanglemàximumest la moitié du triangle. 2" Tous les triangles circonscritsau rectangle(fig. a) et ayant même hauteuront aussimômebase,car cette ligne égale2MQ ; ils sont équivalents entreeux et correspondentau triangle minimum circonscrit.

Théorème. 361. Lorsqu'on a deux courbes AB, CD qui tournent leurconcavité vers un même point O du segment rectiligne AC qui joint deuxpoints de insces courbes,le rectangle maximum crit PMNQ est celui qui est déterminé par des tangentesEMF, FNG, divisées en deuxpartieségalespar les pointsde contactM et N. En effet, le rectangle PMNQ est le plus grand qu'on puisse incrire dans le triangle EFG; donc tout autre rectangle inscrit dansles courbesdonne : IJKL < ITK'L'< NMPQ.

Problèmede Newton. 302. Bans un segmentdonné d'une courbe quelconque,inscrire un rectangled'aire maxima. A la courbedonnée,il faut circonscrireun angleEFG,tel que les points EF, FG. de contact M, N soient les milieux des côtés Remarques.1° On peut arriver à la solution de ce problèmeen recouinfinitésimalesassezélémentaires. rant à des considérations (Voir Paul SERRET, Des méthodesen Géométrie,page105.) 2» Voici quelquesapplicationsde l'emploi de la tangente: Problème. 363. A une circonférencedonnée,inscrire le triangle isocèle d'aire

maxima.

On sait quele triangle d'airemaximaest équilatéral(n° 354, Remarque 3"). On arrive a la même conclusionen employant la tangente. Il suffit de considérerla moitié de la figure comprise entrela tangenteAX et la perpendiculaire AY. La tangenteMCN telle que MC CN répond à la question, APCQ est maximum (n° 360), mais les tangentesMA, MG sont égales comme issuesdu même point ; donc LM MN. Puis le triangle ABC est maximum en même tero.psque le rectanglePCBR ; d'ailleursAC, médianedu triangle CM AM rectangleMAN, égale BC. Donc, pour les trianglesinscrits, le triangle équilatéralABC est maxi-

=

=

=

=

mum.

Remarque.La tangenteMCN, que le point de contactC divise en doux partieségales,donneaussile triangle circonscrit minimum,ainsi qu'on le démontrerabientôt (n° 367).

Problème. 364. Dansion secteurAOB ou dansun segmentEGF, inscrire le rec-

tangle maximum. Il suffit de s'occuperde la moi-

tié de la figure.

Pour le secteur,il suffit de prendrela moitié G de l'arc AD, car la tangenteMGN seradivisée en deux parties égales. RPCQ est maximum pour le triangle RMN. RPHL est maximum pour 1°

RMO. Donc LHCQ est maximumpour OMN ; d'ailleurs, C est le seul

point du périmètre du triangle qui appartienneà l'arc ; donc, a fortiori, tout autre rectangle appuyésur rare et sur OA seraitplus petit que LHCQ. 2° Pour le segment,il faut menerIHJ de manièreque H soit le milieu. Le calcul du rectangledépendde la longueurOJ qui déterminela tangente(n° 312). Soient OA r et OS a; on a :

=

=

(n° 312, formule 1)

(formule 2)

Problème. 363. Dansun segmentdonné, inscrirele trapèzemaximum. Le trapèze doit avoir pour basela corde quilimite le segmentet une parallèleà cette corde. La solution très simple que nousallonsdonners'appliqueavec facilité à toutes les courbes qui ont un diamètre rectiligne pour lieu géométriquedes points milieux des cordes qui sont parallèles à la basedu segment. Soit le problèmerésolu,OL le diamètrequi divise en deux parties égales toute parallèle à AB, et AGN une parallèleà OL. On a donc AO OB, DH = HC. par suite AF EB. Donc les trianglesAGD, GBE sont équivalentscomme

=

=

a

3

+

+

4

+

Problème 206. s

84o. Trouver un point qui soit à une distance donnée a, de deux lignes données,droites ou circulaires. Pourchacune des deux lignes données,on construitle doublelieu des points situésà la distance donnée a ; les rencontresde ces lieux peuvent fournir huit points remplissantla condition demandée. Remarque.Chacun des pointsobtenuspeut servir de centre à une circonférencedécrite avec le rayon a tangentiellementaux deux lignes données. Problème 206.— I.

846. Avec un rayon donnér, décrireune circonférencequi passepar un point donnéA, et dont la plus courte distanceà une circonférence donnéeB soit d'une longueurdonnéee. La distanceBD desdeux centresdoit êtreégaleà la sommedesrayons augmentéede la distancedonnéee. Donc le centre D doit se trouver sur la circonférence décritedu point B, avec un rayon égal à cette longueur totale. , Puisquela circonférence demandée doit passer parle point A, son centre doit se trouver sur la circonférence décrite du point A avec le rayon r. La rencontrede ces deux lieux géométriquesdonne généralementdeux points D et E, et ce sont les centresdes circonférencesqui répondentà la question.

Sécantes. 847. Les problèmessur les sécantessont nombreux et intéressants. Pour les résoudre,il faut utiliser non seulement lesthéorèmesdu second livre des Élémentsde Géométrie,mais encoreplusieursde ceux que emploiele plus l'on a proposéspour exercices; voici les théorèmes qu'on fréquemment: Les partiesde parallèlescomprisesentreparallèlessont égales. Les cordeségalessontéquitlistantesdu centrede la circonférence. Lorsquedeux circonférencesse coupent,la sécantecommunela plus longueest parallèleà la ligne des centres(n° 616). Problème207. 848. Liant donnésun, point fixe A et deux droites parallèles, mener par le point A une sécante telleque la partie comprise entre les deux parallèlessoit d'unelongueur donnée1.

D'un point quelconqueB pris sur l'une des parallèles,et avec un rayon égal à la longueurdonnée l, on décrit un arc qui coupe l'autre parallèle en C et D ; puis par A, on mènedes parallèlesà BG et BD. Problème208.

\

849. Étantdonnesun cercleB et un point fixe A, menerpar ce point une sécantetelle que la partie CD comprise' dansle cercle soit d'une longueur donnéem. D'un point quelconqueG pris sur a , circonférencedonnée,et avec un rayon égal à la longueurdonnéel, on décrit un arc qui coupe en H la circonférence donnée; on décrit, du point B, une circonférencetangenteà la corde GH, et l'on mène tangentiellementà cette circonférenceauxiliaire les droites AD et AF, qui satisfontau problème. Car les cordesCD, EF et GH sont égales,comme égalementéloignées du centre. Problème 208.— I. 880. Par un point donné dansun cercle menerune corde telle que , la somme oula différencedes segmentségale une longueurdonnée1. 1° Pour la somme, on procède comme ci-dessus (n° 849). 2° Pour la différence,supposonsle problème résolu. Soit BAC la corde demandée telle que AB AC l. Pour retrancher AC de AB, on peut porter AC de B en D; alors AD l; mais A et D appartiennentà la circonférencedécrite du centre O avec OA pour rayon;donc il faut décrire la circonférenceOA ; du point A avec l pour rayon, couperla circonférenceauxiliaire en D : la corde CADB répondà la question. Discussion.Il y a généralementdeux solutions. La différencel peut au plus égaler 2AO ; alors la sécanteEOF passe par le centre.La différencepeut devenir nulle, alors la sécanteMN est tangenteà la circonférenceauxiliaire. ' Dansles' deux dernierscas, il n'y a qu'uneseule solution.

-

=

=

Problème208. — II. 881. On donneun point A et deux circonférencosconcentriques ; par le point donné,menerune sécante telleque la partie compriseentreles deux circonférencesait une longueur1.

Remarque.La droite MN passepar le point O, milieu de la distance AH, qu'on obtienten prenantBH égal au petit côtéAC. droite des milieux, ainsi nomméepar CHASLES. Les côtés de l'angle A sur lesquelson prend des grandeurségales deux à deux, tellesque BH = AC, BD = CE, etc., peuventêtre considérés 1091 a. Note. La droite MNO est la

comme deux figures inversementégales(n° 771 b), et les points milieux M, N, 0 des droitesDE, BC, HA, qui joignentdeux à deux les pointscorrespondants, sont sur une droite MNO parallèleà la bissectricede l'angleA.

Théorème311.

triangle,la distancede l'orthocentre à un côté donnéégalele prolongementjusqu'au cercle circonscrit,de la hauteur abaisséesur ce même côté ; 2° La distanced'un sommetà l'orthocentreest le double de la distancedu centredu cerclecirconscritait côté opposé. 1002. 1« Dans tout

=

1° Il faut prouver quePH PL (fig. 654). Voir Méthodes, n° 292 o; d'ailleurs a

=p

comme ayant les côtés respectivementperpendiculaires;puis a et y ont même mesure,donc ss y et PH PL. 2» Le centreK est au milieu de OH, et le point D milieu deAH appartient au cercled'Euler;donc OE DH AD.

=

=

=

=

Théorème311. — I. 1093. 1" Les cerclescirconscritsà un triangledonne,et aux triangles qui ont pour sommets l'orthocentreet deux des sommetsdu triangle donné,sont égauxentreeux. (CARNOT.) 2° Le triangle ayantpour sommetsles centresdes trois cercles symétriques ci-dessusest égal au triangle donné, et admet même cercle desneufpoints. triangle donné(triangle obtenu 3° Le triangle anticomplémentaire du en menant par chaque sommet d'un triangle une parallèle au côté opposé)admetl'orthocentredu premier pour centre de son cercle circonscrit; ce cercleest tangentaux trois cerclessymétriques. 1» On peut voir Méthodesn° 292 e ; d'ailleurs il suffit de se rappeler que les triangles égaux CHB, CLB (fig. 654) admettentdes cercles circonscritségaux.Le cerclecirconscrità CHB est symétrique,par rapport à CB, du cerclecirconscrità CLB, c'est-à-direà GBA. 2<> Les points A', B', C', symétriquesdu centreO par rapportaux côtés, tels que CHA ; or sont les centresrespectifs des trois cercles symétriques EF est parallèleà A'B' et en égale la moitié; donc A'B' égaleAB, et lui est parallèle. Le centreK du cercledes neuf points est le centre d'homothétiedes triangleségauxABC, A'B'C'. Les triangleségauxont mêmecercle des neuf points.

directementsemblables; en effet, les angles AOA', BOB', sont respectivementégauxà l'angle D, donc l'angle AOB A'OB' ; en outre, les supplémentsdesanglesobtus BAO, B'A'O, ont mêmemesuredemi-arcDO. 1146 b. Remarque.Pour déterminerle point 0 avec plus de précision, on peut menerla bissectriceMEO de l'angle BOB' ; il suffit de diviser BB en segmentsproportionnelsà BO et B'O, c'est-à-direaux segments donnésAB et A'B' ; le segmentest déterminépar l'intersectionde la circonférenceBDB' et de la bissectriceME; on sait queM est le point milieu de l'arc BMB'.

=

Problème330. — II. 1146 c. Amener deux figures planesdirectementsemblablesà être homothétiques. On déterminele point double0; puis, par une rotation convenable, on amèneA' en A" sur OA, B' en B, etc. L'homothétieest directe, si A" est sur OA ; elle est inverse, si A" est sur le prolongementdu segmentrectiligneOA. Théorème330. — III. 1146 d. Lorsqu'on a deux figures directement semblables dans un mêmeplan, et qu'on divise dans le même rapporten A", B", G", etc., les droitesAA', BB', CC', etc., qui joignentdeuxà deux les points homologues,on obtient une figure A"B"G"... semblableaux deux premières. Il suffit de considérerdeux trianglessemblablesABC A'B'C'. A l'aide d'unetranslation,amenonsA'B'C' en AB'1C'1, divisons BB et

BB',, puis, CC et C'C,' dans le rapport voulu, et joignons les points homologues,le triangle A"B"C" égale AB"1C"1 ; or celui-ci est semblable aux trianglesdonnés,donc il en est de mêmede A"B"C".

1146 e. Remarques.1° La questionprécédenteconduit au théorème suivant, fortremarquable: lkux figures directementsemblables, situées dans un même plan, peuventêtre considéréescomme étant deux positions différentesd'une, mêmefigure, invariablede forme, mais variablede grandeur,et dont tous les points glissentsur des droites.

Ce théorème,qu'onpeut étendreà un polygonecirconscrit,d'unnombre

quelconquede côtés et au polygoneinscrit, obtenu en joignant deux à deuxles points de contactdu premier,se démontred'une manièreanalogue au théorèmede l'Exercice 344, mais en utilisant le théorèmede l'Exercice345 (nos 1176 et 1178). Soient a, b, c les distancesdu point de la circonférenceaux trois points d'intersectionde la sécanteet des côtésdu triangleinscrit; d, e, f les distancesdu mêmepoint aux points où la sécanterencontreles côtés du triangle circonscrit; enfin représentonspar l, m, n des valeursconstantes; on aura :

1181. Remarques.1° La constantedépendà la fois du triangle donné et de la directionde la sécante. 2» En représentantpar a', b', c', d', e', f' les distancesdes mêmes points d'intersectionau second pointoù la sécante coupe la circonférence,on aura,quelle que soit la direction de cettesécante: a'b'c' abc

def.

d'e'f'

Théorèmed'Euler 346. 4182. Dans tout triangle, la distanced du centredu cercle circonscrit au centredu cercleinscrit est donnéepar la relation 2r). d2 R (R (Voir Méthodes,n° 327 ; voir aussile JournaldeM. É. de M. DE LONGCHAMPS, 1895, p. 198.)

=

-

1182 a. Autre démonstration.La bissectrice AID passe par le milieu de l'arc BDG, et l'on sait que DI DB DC (n° 701 R et n° 816 R). On a : AI. ID AI. BD. R2 — d2 Or si l'on mènele diamètre DE et le rayon IK, les triangles rectangles semblables AIK, BDE

= =

=

=

donnent:

r_

AI

AI. ou et par suite, ou

2R BD

'

BD

= 2Rr,

R2 — d2 d2 R2

= 2Rr,

=

— 2Rr.

ThéorèmeR. 346. — I. 1182 b. Lorsqu'ona la relation d- = R2 — 2Rr, on peut circonscrire au cercleI une infinité de trianglesqui soient inscrits au cercle0. Par un point quelconqueA du cercleO, menonsles tangentesAB, AC. Le centreI est sur la bissectricede l'angle BAC. La relation d2=R2 2Rr prouve que AI. ID 2Rr ; or les trianglesAIK, BED sont semblables,et par suite on a AI. ID 2Rr ; donc ID = BD et par conséquentI est le centre du cercle inscrit au triangle ABC; en d'autrestermes,BC est tangentau cercle decentreI, et cela a lieu quel que soit le point A ; donc... 1182 c. Note. 1° La démonstrationci-dessusdu théorèmed'Euler et de sa réciproquea été empruntéeau Bulletin dessciencesmathématiques et physifondé par M. B. NIEWENGLOWSKI, inspecteurde l'Académie quesélémentaires, de Paris; rédigépar MM. L. GÉRARD, professeurau lycée Buffon, et CH. MICHEL alors professeurau lycée de Douai (année1903, p. 194, 2°). Ce Bulletin a eessé de paraîtreen octobre1910. On peut lire aussi une belle étude élémentairesur le théorèmed'Euleret sa généralisation dans le Journalde Mathématiquesélémentaires de M. H. Vui-

-

=

=

(année1902-1903,p. 57). 2° On peut poser la question suivante: De tous les triangles inscritsau cercle O et circonscrits au cercle I, quel est le

BERT

triangle dont l'aire est maxima et celui dont l'aire est minima ?

D'aprèsune remarqueantérieure(n° 573), on est conduit à considérer les triangles isocèles ayant respectivementpour sommetsles extrémités du diamètreAOIA'. Le maximum correspondau triangle ABC ; le minimum correspondau triangle A'B'C'.

(A. BOUTIN.)

(Intermédiairedes Mathématiciens,1904, pages248 à 252; solutions diver-

ses par MM. WEINMEISTER, MATHIEU, MALO, BOUTIN.) 3" Les triangles qui sont inscrits à un même cercle et circonscrits à un sont mêmesecondcercle, jouissentde diversespropriétés ; diverses quantités constantes ;il en est ainsi notammentdes suivantes:

Le centre du cercle des neuf points, l'orthocentreet centre de gravité décriventdescirconférences. (Mathesis,1901, page271, n° 22.) 4° Les limites du périmètred'un triangle inscrit à un cercle et circonscrità un cercledonné sont les suivantes:

_

Théorème346. — IV. 1188. Si l'on mine un diamètrecommunMN aux circonférencesinscrite et circonscrite à un triangle ABC, le rayon de la circonférenceinscrite est moyen proportionnel entre les segments MP, NQ comprisentre les deux circonférences.(N. A., 1850, page210.) Soient ON OM R ; OD d ; DQ = DP = r. MP OM — OD — DP R — r — d, NQ ND — DQ = R r d, MP NQ (R — r)2 — d2. . Or, d'aprèsle théorèmed'Euler, d2 =z R(R — 2r) ou R2 — 2Rr ; donc MP.NQ R2 — 2Rr + r2 — (R2 — 2Rr), MP. NQ r2. ou Remarques.1<> MQ NP 4Rr -f- r2. . 2» En représentant P et Q du cercle par ^ et S' la puissance des points inscrit par rapport au cercle circonscrit,on obtient la relation due à GRUNERT : SS' r3 (4R + r). (NouvellesAnnales,1858, p. 447.)

=

= =

= =

=

=

=

- +

=

=

=

1185 n. Note. Relationsnumériques.La sixième édition desThéorèmeset problèmes deCatalancontientun assezgrandnombre de relations; il en est de mêmedes recueils scientifiques que nousavonscités ; mais tout ce qu'il y a

de plus intéressant,pour la Géométrietraditionnelle ou classique,se trouve réuni dansl'ouvragesuivantde M. VUIBEUT : Relations entreles élémentsdu triangle(1893). L'ouvragecomprend110 relationsentreles Elémentslinéaires, 59 entre les Elémentsangulaires,104 entre les Eléments linéaires et angulaires,en tout, 273 formulesavec leurs démonstrations. élémentairesde M. G. DE Divers articles du Journal de mathématiques LONGCHAMPS donnentde nombreuses relationspour la Géométrierécentedu triangle; il en est de même deMathesiset des ouvragesde MM. CASEY et EMMERICH. (A sequelto the first six Books of the Eléments of Euclid, by JOHN Gebilde,von Dr A. EMMERICH.) GASUY, et Die Brocardschen

Théorème346. — V. 1103 h. On peut construire une infinité de triangles ayant même, cerclecirconscritet une des conditions suivantes : 1« Même cercle inscrit; 2° même orthoqentre;3° même centre de gravité; 4° mêmepoint de Lcmoine. 1° Si l'on donnedeux cercles telsque ceux de centres0 et D (fig. 716, n° 1185), dont les rayonsR, r et la distancedescentressoientliés par lu

relationd'Euler;

d2

= R(R — 2r),

toute tangenteAB au cercle intérieur donne lieu à un triangle ABC inscrit daii9 le cercleO (n° 1182 a).

donc

a2

+ c2 = b2 + d2.

(1)

de (1) on déduit : Réciproquement,

donc la droite BD est

— a2; perpendiculaire sur AG. c2 —

b2

d2=

Théorème351.

Dans un quadrilatèreABCD, les diagonalesAC, BD se coupent à angle droit. Si l'on déforme le quadrilatèreen gardantles quatre mêmescôtés, mais en rapprochantdeux sommetsopposésA et G, les diagonalesde la nouvelle figure se couperont aussi à angle droit 4 108.

(fig. 725).

Les diagonalesse coupantà angle droit, on a :

= =

=

d2.

— a2 n2 — m2 c2 — Mais la relation b2 a2 c2 d2 subsiste constamment,car les — — côtés quatre ne varient pas de longueur;donc les points B et D appartiennentà une mêmedroite perpendiculaire à AC (n° 1197). b2

1198 a. Remarques.1° Les carrésdesquatresegmentsdes diagonales donnentune sommeconstante: m2 «2 p* ql '/s (a2 62 c2 d2). 2° On nomme quadrilatère àdiagonalesorthogonales,ou mêmesimplementquadrilatèreorlhodiagoual,le quadrilatère dontles diagonales sont à angle droit. 3° On nommepseudo-carré le quadrilatèreorthodiagonaldont les diagonalessont égales.(Mathesis,1894,p. 208.) 4" On nommerhomboïdeun quadrilatèreorthodiagonal symétrique par rapportà une de sesdiagonales.

+ + + =

+ + +

Théorème351. — I. 1198 b. Lorsque deux rhomboïdessemblablesABGD, CDEF ont un

un angle C communs,la droite AEH est perpendiculaireà BC. côte CD et

1° Prolongeonsles droites égalesAD, DE. Les trianglesABM, CDN ont deux angles respectivement

égaux, donc l'angle M N ; par suite, la bissectrice, de l'angle D du triangle isocèle ADE est parallèleà MN, et la base AE, perpendiculaireà la bissectrice,l'est donc aussià

=

BG.

2° On pourrait dire aussi ADE 360°— +

=

2( ).

:

dans le quadrilatère ABCD, l'angle

= +

= = +

+ Pj — 180®. 2(a ADE 2DAE 180° angles AED DAE Les ou — Angle DAE a b — 90°. Ainsi l'angle BAE a 90° — (a + B) 90° — B ; angleBAH + B 90°. par suite, D'où résulteque la droite AEH est perpendiculairesur BC.

= +

=

=

Théorème352. 1199. En désignantpar a et b les basesd'un trapèze,par d la longueur de la parallèle menée aux basespar le point de concours des diagonales,on a la *"^rd (n® '1109). relation

=a

+

b

En désignantpar d' la longueurde HLK, on a là relation d'= 2ab 2®

a— b

Théorème352. — I. 1200.En désignantpar d la longueurd'uneparallèleDL aux basesdu le rapport dans lequel cette parallèle divise les trapèze,par deux autrescôtés,on a la relation

Trois cas peuventse présenter: 1® Les basesAM, BN sont d'un mêmecôté de MN (fig. 728). MenonsBM. On a : ou

d'où De même,

d'où 2° Une baseest nulle (fig. 729).

La formule (1) se réduit à

La figure donne immédiatement ce

tat.

résul-

sont de sens contraire(fig. 730). bm an DG CL d ou = m -f- n . (3) Remarques.1" Pour que la formule (1) convienneà tous les cas,il suffit de regarder les basescommeétant de mêmesignedansle 1er cas, et de signes contraires dans le 3" (nos 412 et 436). 2° A causede l'importancede cettequestion, il convient de la proposeraussi comme problème.(Voir ci-après,n° 1436.) 3» Les basesAM, BN

-

"

Théorème352. — II. 1201. En parcourantle périmètred'un triangledansun mêmesens, on divise les trois côtés dans un même rapport.Le triangle qui a pour sommetsles trois points de division a même point de concours des médianesque le triangle donné.(PAPPUS.)

Soit Il faut prouver que les trianglesABC, DEF ont même point de concours des médianes. Par le point G de concours des médianes de ABC, menons unedroite quelconque XY et abaissons les perpendiculaires Aa, Bb, Cc, et Dd, Ee, Ff. Représentons ces perJ pendiculairespar a, b, ... On sait que pour toute droite XY - menée par le point G, on a : a b + c (n° 462). La sommealgébrique a + b c est nulle, lorsqu'on regarde comme 6 et c. négativesdes perpendiculaires

=

+

,

a=b

+ c, la Si l'on a la valeur absolue 1201 a. Réciproquement. droite XY doit passerparlepoint de concoursdesmédianes; donc,pour démontrerle théorèmeproposé,il suffit do prouverque d = c + f.

Or

d'où car

d=c

+

f,

an +am= bn + bm

ou

a(m + n) = b(m + n)

a= b

ainsi

+

c

+

bm

(m +

cn

+

cm, +

n),

relation bienconnue; donc... 1201 b. Note. Le théorème précédent peut donnerlieu à diversesobservations. +

c

Ainsi : 1° Le lieu du point milieu L de EF est la droite MN gui joint les points milieux des côtés CA, CB Car DGL est médianedu triangle DEF, et puisqueles médianesdes deux triangles concourent au même point, et que ce point divise chacune d'elles aux deux tiers de sa longueur à partir du sommet, on a : AG

CM

_

_DG GL

_

_2_ 1

'

Ainsi les triangles AGD, MGL sont semblables; par suite, ML est parallèle à AD. Ainsi MI.N est la droite qui joint les points milieux des côtés CA,,CB. 2° Toute droite EF qui divise les côtés CA, CB en partiesinversementproportionnelles,a partir du sommet C, est tangenteà une parabolequi se raccorde elle-même aux droites CA, CB, aux points donnésA et B. (G., n° 712.) La droite MN est ellemême tangenteà la même courbeau point I ; MN est la tangenteau sommet CB. = Ainsi l'enveloppedu côté EF

lorsqueCA

est la paraboleA1B. Chacun desautres côtés DE, DF a aussi pour enveloppeune parabole. Ces trois paraboles,que nousavonsindiquéesdés 1882, sont nomméesparaboles de Artzt, du nom du professeurqui les a signaléesen 1884. On lira avec grand intérêt les articles de M. BROCARD, commandantdu génie en retraite, et spéciales, et G. DE LONGCHAMI'S. (Journalde mathématiques élémentaires 1885, page76, et 1890, page 149.) 3" On prouvera,au livre IV, que parmi tous les trianglesDEF, le triangle de surface minimaest celui qu'on obtienten joignant deux à deux les points milieux J, M, N des côtésdu triangle donné. (n° 1201) est l'énoncé géométrique du théorèmesui4" Le théorème ci-dessus vant de I'AITUS. Si trois mobileségauxplacésan sommetd'un trianglepartent en mêmetempset parcourentrespectivementles trois côtés,en allant danste mêmesenset avec des vitessesproportinnnellesà ces trois côtés, leur centre de gravitéresteraimmobile. (.V. A., 1881, p. 337.) D'aprèsle théorèmede la compositiondes forcesparallèleset la détermination du centrede gravité d'un triangle (Mécanique,F. J., n®» 48 et 72), il est très facile de démontrerle théorèmede Pappus.En effet, admettonsque trois poids égaux,p, soient simultanémentaux points D, E, F qui divisent les eûtes dans le rapport m ; on peut remplacerle poids p placé en D par des poids

Tn^'IT

~m"+

disen A cl B et inversement proportionnels aux n tancesAl) et BD. De même,le poids p placé en E peut être remplacépar un placéen B et 1111 poids poids placéen C; remarqueanalogue

'

I,'ac*-'s

„

pour le poids placéen F; or chaquesommetB, parexemple,a les poids-.

n''1

m +

— n

_j_ ou p, donc le systèmecorrespondaux premières données, chaque et m n sommeta un poids p, par suite G est bien le centrede gravité.

1201 c. Autre démonstration.La considérationdes solidesauxiliairesqu des projections conduit à une méthode très utile pour démontrerfacilement certains théorèmes. Aux exemples déjàdonnés (nos 174, 176, 177) on peut

joindre le suivant: On sait qu'un triangle quelconquepeut être projeté suivantun triangle équilatéral,ou, ce qui revient au même, qu'un prisme triangulairequi aurait pour sectionun triangledonné,peut être coupé suivantun triangleéquilatéral (n° 1844 a, note)] donc nous pouvons remplacerle triangle donnéABC par un triangle équilatéralcorrespondant,que nous désignonspar abc. Or les rapportsse conserventen projection; donc on aura:

mais Or, dansle triangle équilatéralabc, les côtés ab, bc, ca sont égaux; donc ad= be cf, et le triangle def est équilatéral,car les trois trianglesadf, bed, cfe sont égaux; donc de = ef fd. Mais il est évidentque les médianesdes triangleséquilatérauxabc, def, dont le secondest inscrit au premier,passent par un mêmepoint; donc il en est de mêmedes médianesdes triangles ABC, DEF ; car à la médianedl correspondDL, etc. M. N. AGROMONOF de Reval (Russie)a donné un complément très intéressantdu théorèmeprécédent(Mathesis,1907, p. 98, n° 9). M. GOHIERRE DE LONGCHAMPS, né à Alençon en 1842, mort à Parisen 1906, pendantlongtemps professeurde mathématiquesspéciales au lycée Charleélémentaireset spéciales magne.Depuis 1882, \e Journalde mathématiques fut sous sadirection. Dans nos Exercices de Géométriedescriptive(4e édition), nousavonseu à citer plusieursfois la Géométrieanalytiquede ce savant

=

=

auteur. *

M. BROCARD, commandantdu génie. Un desprincipauxauteursde la Géo-

métrie du triangle; il a publié de nombreux articlesdansle 9. M. E. et S., dansMathesiset dansl'IntermédiairedesMathématiciens. Théorème352. — III.

1201 d. Sur chaquecôtéd'un triangleABC, on construitdes triangles semblablesAA'B, BB'C, CG'A, ayant même orientation, tous à l'extérieur, ou tous à l'intérieur du triangle donné; prouver que les médianesde A'B'C se coupentau mêmepoint que celles de ABC. JoignonsA' au point milieu M de AB, et prenonsMD MA' ; le triangle ADB est égal à BA'A : prouvonsque DB'CC est un parallélo-

=

gramme. 1« Les trianglesDBB' et CAB sont semblablescomme ayant un angle égal, compris entre côtés proportionnels,car angle ABC = DBB' et BB' à cause des triangles semblables ABD et CBB' ; il en DB, AC est égale à l'angle résulteque l'inclinaisondes côtés homologues DBA, égal lui-même à C'CA ; ainsi les droites GC, DB' sont parallèles;

=

Théorèmede S. Roberts 353. 1202. Dansun trapèzeisocèle articulé dont les deux côtés égauxet 1rs diagonalesont des longueursinvariables,une droite PMN, menée parallèlementaux basespar un point fixe de AB, donneun produit i PM PN qui est constant,quel que soit le trapèzeformé par les quatre . données.(Nouvelle Correspondance droites de M. CATALAN, 1877,p. 132.) Soient AP m ; BP n; AB CD b ; AC BD a.

= = =

= = =

On a :

d'où

AD. BC = a2 — b2;

donc

PM PN .

— = (a²

b²)

quantitéconstante.

=

Remarques.1° PM. PN. MP ML . On peut doncprendre Pou M pour pôle d'inversion(n° 1203 a). 2° Le quadrilatèrenonconvexeABDC,danslequelAC BD etAB = CD, (voir DOSTOR, N. A., 1807, (2) VI, se nomme contre-parallélogramme p. 57, et NEUBERG; Mathesis,1887, p. 227). 3° Soit E le point de concoursdes diagonaleségales,AE+EB AC constante; donc, dansla déformation duquadrilatèrearticulé, lorsque = AL est fixe, le point de concoursE desdiagonalesdécrit une ellipse, dont A et B sontles foyers. 1203. Noie iur les lnver»eum.L'inverseurde M. l'eaucelliera résolupour la

=

=

premièrefois la transformationrigoureused'un mouvementcirculaireen mouvement rectiligne. Cette découvertea été énoncéeen termesgénéraux,et sous forme dequestion,en 1864,dans lesNouvellesAnnales demathématiques, p. 414. L'auteuren a donnéun exposédétaillé, dansle mômejournal, en 1873, page71 ; mais M. LIPKINE, de Saint-Pétersbourg, ayanttrouvéla mêmesolution en 1870, en avait présentéla descriptionet la théorie à l'Académiede Saint-Pétersbourg en 1871. Depuiscetteépoque,les étudeset les découvertessur les inverseursse sont

(1302, p. 127). M. .J. Enfin dans les Nouvelles Annalesde mathématiques RÉVEILLE, professeurd'hydrographie,a publié une élude géométriquetrès intéressantesur le systèmearticuléde Hart à cinq tiges, qui' permetde décrire unedroite ou une circonférence,et que MM. DARROUX et KOENIGS avaientétudié par le calcul. Dans la troisièmepartie des Récréations mathématiques et Problèmesde W. ROUSE-BALL, traduits par M. FITZ-PATRICK, le savantet très érudit M. A. AUBRY a donné une fort belle étudesur la Géométriedes systèmesarticulés (1909, p. 240 à 260.) Antérieurement,en 1900, le mêmeauteuravait publié un travail remarquable: Estudiosobre los cononicôgrafios,dans El Progressa matematicode Saragosse(1900, p. 337 à 363).

Théorème353.

—

I.

1203 B. Si sur deux côtés opposésAB, CD d'un quadrilatère,on construit extérieurementet sur les deux autres côtés BC, DA intérieurement,les trianglesAA'B, CCD, CB'B, AD'D, semblablesà un triangle donné, la figure A'B'C'D' sera un parallélogramme.(II. VAN AUREL. Mathesis,1881, p. 167.) Démonstrationanalogueà la premièrepartie de 1201 d. professeurà l'Athénéed'Anvers, a proposéou résolu (1874 d'intéressantes mathématique questions dans la Nouvellecorrespondance Note. * H.

VAN AUBEL,

à 1880).

Théorème353. — II. 1203 c. On donneun quadrilatèrequelconqueABCD. Sur chaquecôté pris commehypoténuse,on construit un triangleisocèle rectangle; les diagonales A'C', B'D' du quadrilatère des sommets A'B'C'D' sont égales et rec-

tangulaires.

1« Ellessontrectangulaires

car elles sont les diagonales du carré EFGH circonscrit au quadrilatèreABCD (n° 1021). 2° Elles sont égales. Soit a le côté du carréEFGH. La diagonaleA'C égale : A'E GC' oV2, (1) et la diagonale D'B' égale : D'F HB'— (2)

+

+

+

a^;

or dans le quadrilatère inscrit AEBA' on a :

et

de môme, et

ou

ou

En remplaçant leslignes desquantités(1) et (2) par leur valeur, on a

:

Note. L'énoncéest de M. Ed. COLLIGNON, Inspecteurdes ponts et chaussées (A. F., Marseille, p. 53).

Théorime 354. 1204. Dansun quadrilatèrequelconqueABCD, la sommedes carrés des diagonalesî et g est double de la sommedes carrés des deux droites r et s qui joignent les milieux des côtés opposés. Les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme,dont les côtés sont moitié des diagonalesdu quadrilatère(n° 542) ; et dans ce parallélogramme,la somme des carrés des côtés égale la somme des carrés des diagonales(1490). On a donc : 2m2 + 2n2 — r2 + s2,

4m2+4n2 = 2(r2+s2).

et

4m2 = (2m)2 = f2, et 4n2 = (2n)2 L'égalité(1) devient donc: 2(r2 + s2). + g2 Mais

f2

=

=g

(1)

2.

les Annales de Gergonne,tome II, 1811Note. Ce théorème, proposé dans 1812, page196, a été résolupage310, par ENCONTRE, ROCHAT, etc., dont les nomsfigurent fréquemmentdans les Annales. L'étude de cettequestiona conduit à divers autresthéorèmes,notammentaux suivants: Dans tout tétraèdre la sommedes carrés de deux arêtesopposées,plus le doubledu carréde la droite qui joint leurs milieux, est une quantitéconstante(loc. cit., p. 314); puis au Théorèmed'Euler. (E. de G., n» 1205.)

Théorèmed'Euler 355. 120i>. Dans un quadrilatère ABCD, la sommedes carrés des côtéségale la somme des carrés des diagonales,plus quatrefois le carré de la droite EE qui joint les milieux des diagonales. Joignonsle point E, milieu de l'une des diagonales, aux sommetsopposésB et D. La droite BE sera unemédianedu triangle ABC, DE une médianedu triangle CDA, et FE une médianedu triangle BED.

Les trianglessemblablesDEA et DC.B donnent:

-^5-

-^; =

d'où bd = BD.AE.

(1)

1 » comme li> angle Ces memes triangles jdonnentencore-jjg; et total t s t + r, les deux triangles CDE et BDA sont semblables, commeayanten D un angle égal comprisentre descôtésproportionnels, et l'on a :

=

1

+ =

-EQ=-^-,

= BD. CE.

(2)

d'où ac

En additionnantles résultatsobtenus(1) et (2), on trouve : ac + bd = BD(AE + CE). Et si l'on remplaceAE + CE parla valeur moindre AC, on aura : BD AC .

< ac + bd.

Remarques.1° Le sommetB peut être indifféremmentà l'intérieur ou à l'extérieurdu cercle,et l'énoncén'estpas modifié. 2° Des deux premiersthéorèmesde Ptolémée,on conclut quesi le produit des diagonalesd'un quadrilatèreest égal à la sommedesproduits des côtés opposés,le quadrilatèreest inscriptible. Théorème358. 1211. Les diagonalesd'un quadrilatère inscrit sont entre elles comme les sommesdesproduitsdescôtés qui aboutissentà leurs extré-

mités: (La démonstrationqui suit supposeconnue la formulequi exprimela surfaced'un triangle: l'aire du triangle ADC égaleil^ny, et l'aire du triangle ABC égale1/2 nz; de sorte que l'aire du

4- nz \ nu , ., quadrilatère est Appelons2R le diamètredu cercle circonscrit. On sait que le produit des deux côtésd'un triangle égale la hauteurrelativeau troisième côté, multipliée par le diamètre du cercle circonscrit.(G., nos 270 et 316, III.) On a donc, dansles trianglesADC et ABC : vu cd = 2Ri/, d'où cdn= 2Rt/n= 4R - ^

=

ab = 2Ilz, d'où abn

=

2Rzn

4R Ztl

i

.

n{ab -f cd) — 4R X quadrilatèreABCD. Et en additionnant, On trouveraitde même: m {ad -j- bc) 411 quadrilatèreARCI). ab + cd m Ou a donc : m(ud -f- bc) — n(ab -J- cd); d ou "ut( _j_ oc •

= x

d'où

AC AL .

= AB

.

AM

+ AD

AN.

.

Remarque.Les trianglessemblablesABC, NLM donnentaussi:

-£&

=

§£-,

d'Où AB.LM

= AD.LN.

Le théorèmeconnu (n° 1189) n'est qu'un cas particulier de celui que nousvenonsde démontrer.

Théorème358. — IV. 1213 a. Si sur les côtésd'un angle A, on prenddeux pointsM et N, liés par la relation(3 AM -}- 8 AN 1, où $ et o sont des constantes, — . . le cercle circonscrit au triangle AMN passepar un point fixe. [J. de M. de VUIBERT, 1905, p. 87.)

En prenantAB = p, AD = 8, le théorème précédent donne:

doncle point L est fixe sur la diagonaleAC. Théorème dePappus359. t

1214. Le produit des distancesd'unpoint quelconqueM d'unecirconférenceà deuxcôtés opposésd'un quadrilatèreinscrit ABGD, égalele produit des distancesde ce mêmepoint aux deuxautrescôtés. Il faut prouverque l'on a : ME MG MF MH ou eg fh. .

=

.

=

1re Démonstration.Joignonsle point M à deux sommetsopposés,B et D, par exemple,par les droitesMB ou r, et MD ou s. Les trianglesMBE et MDI1 sont rectangles en E et II, et leurs anglesen B et D ont l'un et l'autre pour mesurela moitié de l'arc

AM; ainsi ces triangles sont semblableset

donnent:

Les trianglesMDG et MBF sont rectangles en G et F, et leurs anglesen B et D ont l'un et l'autre pour mesure la moitié de l'arc CBM; ainsi ces trianglessont semblableset

donnent:

En multipliant membreà membreles deux égalitésobtenues,on a : donc

eg

= fh.

2e Démonstration.On sait que le

produit de deux côtésd'un triang égale la hauteurabaisséesur le troisième côté, multipliée par le di mètredu cercle circonscrit.(G., n° 270.) Prenons chaque côté du quadrilatèredon pour troisième côté d'un triangle qui aurait pour sommet. On aura : ab 2re et cd 2rg, — bc = 2rf et da= 2rh ; donc abcd 4r2eg,

=

= bcda= 4r2fh ; eg = fh.

d'où

1213. Cas particulier.Deux sommetsC et D sont au mêmepoint.

Le quadrilatèreest remplacépar un tr angle, et le côté CD est une tangente ;o a encore: eg fh. Ainsi on obtientle théorèmesuivant:

=

1213a. Lorsqu'unecirconférenceest ci conscriteà un triangle, le produit des di tancesd'un point du cercleà deux côt du triangleégale le produit des dislanc du même point au troisième côté et à tangentemenéepar le sommetopposé. 2° Deux côtésopposésdu quadrilatèreAB et CD coïncident(fig. 746 On retrouvele théorèmeconnu suivant: 1213 b. La distanced'unpoint quelconqued'unecirconférenceà un corde donnéeest moyenneqmoportionnelleentre les distancesdu mê point aux tangentesmenéespar les extrémitésde la corde. En effet, eg fh (fig. 746) revient à e2 fh. —

=

3" Trois sommetsB, C, D coïncident(fig. 747).

La question n'offre plus d'intérêt, mais il est évidentqu'on a encore

eg — fh.

1210. 3e Démon Le théorème de Pappuspeut être démontré à l'aide d'un de ces cas particuliers(n° 1215 a, 2°) établi directement. (Méthodes, n° 25.) Cette nouvelle démonstrationsera appliquéeà une question beaucoupplus généraleque celle du quadrilatère inscrit, et cette dernière elle-même deviendra ainsi un simple corollaire du théorèmegénéralquenous donneronsplus loin (n° 1222).

Théorème359. — I. 1217.Le produit des distancesd'un point quelconqueM d'une circonférenceà deuxcôtés opposésd'un quadrilatèreinscrit, égalele produit desdistancesdu mêmepoint aux deux diagonales. Démonstrationanalogueà celle qu'on a déjà donnée(n° 1214). D'ailleurs,il suffit de considérerles diagonalescommeétantdeux côtés opposésd'un quadrilatère. Théorème359. — II. 1217 a (nos 1214 èt 1217). Par un point quelcon M on mèneune droite e' qui coupe AB sous un angledonnéa, une droite f qui coupe BC sousun angtêdonnéf), une droite g' qui coupe CD sous un angle donnéy, et h' qui coupe DA sous un angle 3. Le rapport du produit des lignes qui coupentdeux côtés opposésau produit des lignes qui coupentles deux autrescôtés (ou les diagonales)est constant. La démonstrationest identiqueà celle du théorèmede Desargues, ciaprès,relatif à l'involution (n° 1219).

Théorème359. — III. 1218. Théorème corrélatifdu Théorèmede Pappus.Dans tout quadrilatère circonscrità un cercle, le produit des distancesd'une tangente mobile à deux sommetsopposés est au produit de ses distancesaux

deux autressommetsdansun rapportconstant.(CIIASLES.)

Soienta, b, c, d les distances respectives des sommetsA, B, C, D à la tangenteEF. Il faut prouverque

On a :

= constante.

donc Or, les anglesCOB et FOE étant égaux (n° 739), il en résulte: COF BOE. De plus, les anglesFOE et AOD étant supplémentaires,il en résulte : AOE + DOF 180°; les sinus disparaissentdeux à deux, et il reste:

=

=

Théorèmede Desargues360. 1219. Lorsqu'unesécantecoupeune circonférenceen deux pointsM, M', deux côtésopposésd'un quadrilatèreinscrit en A. et A', les deux autrescôtés opposésen B et B', le rapport des produits des distances de M aux points déterminéssur les côtés,opposéspris deux à deux égalele rapportdesproduitsdes distancesde M' aux mômespoints.

Du point M, abaissonsles perpendiculairesMC, MC', MD, MD' sur les côtésdu quadrilatère.On a (n° 1214) : MC MC' .

= MD . MD'

ou

= 1.

(1)

Or nous allons prouver que,pour une môme direction dela sécante,

le raPPort""MB^MBr est constant><ïue' 9ue s0't 'e P°'nt M. Chaque triangle, tel que MD'B', reste semblableà lui-même; ainsi, pour un point N, on a le triangle NFE semblableà MD'B'; donc MB' = MD' multiplié par un rapport constant qui ne dépend que do NE MB' NE l'angle B' ; on aurait, en effet, "MD' ="Ï
NF,

n'estautrechoseque l'inversedu sinusB

1 \) Représentons NE égal -^r; rapport un par jj'~8jn 1

Mit •—7=-jr; -1

c'est-à-dire:

MD'

d'où MD' = MB'. I',

= MB'sin B'.

on aura:

On obtiendraitde même : MB. b, MC MA. a, et MC' MA'. a'. MO MC, MC, etc., par leurs valeursrespectives; Dans(1), remplaçons. MA a bb' MA' a' MA MA' . on trouve : M,, . b >< w ^ -. y- — 1, ; d„ ou | ( ftJ,,, . bb' Or est une quantitéconstantequi ne dépendque de la direction de la sécante; on aurait donc aussi:

=

=

=

x

_

donc

Corollaires.Le théorèmede Desarguesa un grand nombrede corollaires;il faut se borner à citer les plus importants: •1220.

1° Deux côtés opposés peu-

vent être remplacéspar les deuxdiagonales. Les quatrecouplesde points A, A' ; B, B' ; C, C' ; M, M', étant pris trois à trois, donnent six points en involution ; on obtientquatrecombinaisons différentes. 2» Lorsque la transversaleEE' passepar un point commun à deux côtés opposésou aux diagonales,le point D est Un point double. 9° Dans le casparticulier où le point D serait au milieu de la corde EE', les points L, IV seraientéquidislantsde D ; il en serait de même despoints où la transversale couperait les deux autrescôtés opposés. -i" La tangenteHH' donneun point doubleN. 5» Jm transversale qui passeraitpar le point de concours D des gonaleset par le point de concoursA de deux côtésopposéset qui rencontrerait la_ circonférenceen M et M', donneraitune involution de quatrepoints, dont deux,A et D, seraientdespoints doubles. On aurait :

car A et A' se confondent,et il en est de même de D et D. La propositionrevient à Ainsi M et M' sont les pointsconjuguésqui divisent harmoniquement la droite AD. 1221. Note Hur 1'involution. Le théorèmede Desarguesest

dans

la théoriede l'involution.

... L,'gjlllc

MA

MA'

.

M'A

.

M'A'

()

' qui a lieu entre huit quantités,peut se transformeren relation à six ternieset (2) donner: AB' BM' MA' i- A'B B M . M'A.

,

"Ml!

MU'

.

.

.

~~~

MB

•

.

M 1!

Pourpasserde la formule (1) à la formule(2), on peut recouriraux propriétés du rapportanharmonique. (Voir CIIASI.ES, Géométriesupérieure, ch. IX, n° 184.), On dit que six points, situés en ligne droite, sont en involution, lorsquele

produit de trois segmentsrectilignes, n'ayantpas d'extrémitécommune,égale le produit des trois autressegments. L'involution est une méthodetrès féconde,surtoutpour l'éludedes coniques. DESARGUESa établi le théorèmefondamental; PASCAL l'a cité dans son Essai sur les coniques.CHASLESa rattaché l'involutionà la théoriedu rapportanharmonique. Les principaux ouvrages quel'on peut consultersont les suivants: CIIASI.ES, Géométriesupérieure ; HOUSEL, Introductionà ta Géométriesupérieure. — CREMONA, Géométrieprojective; ,I. LENTIIÉRIC, Expositionélémentaire de la Géométriemoderne.Ces deux derniersouvragesse complètentl'un par l'autre: le premier est surtoutdescriptif, tandisque le second utiliseprincipalementles relations algébriques. On connaîtaussi le bel Appendiceau livre VIII du Traité de Géométriede MM. ROUCHÉ ET DE COMBEROUSSE(7e édition). Aucun ouvragen'est plus élémentaireque l'Introductionà l'élude de l'homographiede M. RAYNAUD, professeurà Toulouse. d'une même famille, * LENTHÉRIC, nom porté par trois honorables membres à Montpellier. Le premier, Pierre de mathématiques successivement professeurs LENTHÉRIC (1793-1810),protégépar ENCONTRE, professeurà la faculté deMontpellier, auquel il succéda plus lard,a eu pour élèves: OssianBONNET, l'abbé AOUST, E. ROCHE, son successeurà la faculté, et son neveu J. LENTHÉRIC, auteurde divers articlesdu N. A. (d'après'0.TEIUJCEM, N. A., 1850, p. 419). De nos jours, on connaît les ouvragesremarquables : Les Villes mortes du golfe de Lion, le Rhône,etc., par M. CH. LENTHÉRIC, ingénieuren chef des ponts etchaussées. importants, * CREMONA, né à Pavie en 1830. On lui doit divers mémoires ainsi que la Géométrieprojective. Il professaà Crémone,Milan, Bologne et Rome, où il mourut en 1903.

Théorème 360.— I. 1222. Lorsqu'un polygone d'un nombre qtair 2n de côtés est inscrit à une circonférence,le produit des distancesd'unjioint quelconquede la circonférenceà n côtés, n'ayant pus

d'extrémitécommune,égalele produit point aux n des distances, du même autrescôtés.

Considérons des hexagones. Soient a, b, c, d, e, f les distances de M aux côtés de l'hexagoneinscrit,

i,j,

et g, h, k, l les distancesde M aux côtés de l'hexagonecirconscrit, a étant la perpendiculaireabaisséesur la corde quicorrespondaux tangentesdont g, h sont les distancesau point M. Un sait que la distance d'un point M à une corde quelconqueest moyenneproportionnelleentre les distancesdu même point aux deux • tangentescorrespondantes (n° 25) ; donc a2 gh ; b2 = hi ij ; d2 = jk ; c2 kl ; f2 = lg ; donc a2c2e2 = gh ij kl, . . b2d2f2 = hi. jk . donc ace bdf.

; =

=

=

c2

=

lg

1223. Remarque.Lorsque le polygonea un nombre impair de côtés (2n 1), on le considèrecomme étant un polygone de2n côtés,en menantune tangentepar l'un des sommets,ainsi qu'on l'a déjà indiqué (n° 1215).

-

Théorème360. — II, 1224. Lorsqu'unpolygonea pour sommetsles points decontactd'un polygonecirconscritd'un nombre quelconquede côtés, le produit des dislancesd'un pointquelconquede la circonférenceaux côtés du polygoneinscrit égalele produit des distancesdu mêmepoint aux côtés du polygonecirconscrit. Soienta, b, c, d, e les distancesde M aux côtés du polygone inscrit ; g, h, i, j, k les distancesdu mêmepoint aux côtés du polygone circonscrit. Gommeprécédemment, on aura :

d'où

—

b2

= ij; di=jk; abcdè= ghijk.

= hi;

c1

c"

—

kg;

Théorème360. — III. 12215. 1° Même énoncépour les

polygonesinscrit et circonscrit(n° 1224). Si l'on mèneune sécantedans une direction donnéeet qu'on désigne par a, b, etc., g, h, etc., les distancesd'un, point d'intersectionM de la srranteet de la circonférenceaux divers pointsoù la sécantecoupeles côtés, on aura : abede

ghijk =constante;

En désignantpar a' b'

g',

les distances dusecond point M' d'intersectionde la circonférenceaux points où la sécante coupeles côtés,on aura,quellequesoit la directiondessécuntesmenées: 2"

11'

Remarque.La propriété fondamentale du quadrilatère inscriptible (nos 1219 et 1221), relative à l'involution, est donc ainsi étendueà un polygoneinscriptiblequelconque (n°1225, 2°).

Transversales. 1226. Pour prouver quetrois points donnéssont en ligne droite, ou que trois droites concourentau même point, il est parfois très utile de recouriraux théorèmesde Ménélaüset de Céva. D'ailleurs la démonstration de ces deux théorèmesfondamentauxest si simple, qu'il serait très fâcheuxd'en priverles élèves.

Théorèmede Ménélaüs361. 1227. Lorsqu'unetransversalecoupe les trois côtés d'un triangle, le produit de trois segments,n'ayantpas d'extrémitécommune,égale le produit des trois autressegments. La démonstrationdonnéedans lesÉlémentsde Géométrie(n° 743) est baseesur les lignes proportionnelles. Dans lesMéthodes(n° 166), on a recoursaux surfacesauxiliaires. Au n° 180, la démonstration, extrêmementsimple, est baséesur les projections, et se trouve indiquée dans le Traité des propriétésprojectives de Poncelet. Enfin, la démonstrationsuivantene le cède en simplicité et en éléganceà aucune des précédentes. Par les trois sommets,menons trois droites parallèles entre elles; par exemple,des perpendiculaires a, b, c à la transversale. On a :

donc la relation à démontrer,ou

revient à prouverqu'on a : Or cetterelation est évidente; donc... ThéorèmeR. 362. 1228. Si trois points déterminentsur les côtés d'un triangle six segments tels que le produit de trois segmentsnon consécutifségale le produit des trois autressegments,les trois twints sont en ligne droite.

Un seul des trois points doit se trouver sur le prolongementd'un côté, ou les trois pointsdoiventse trouversur les prolongements. On a recoursà la réductionpar l'absurde.(G., 745.)

Théorèmede Carnot. 362. — I. 4229. Lorsqu'une transversale,coupe les côtés d'un polygone plan, chaque côté est divisé en segments;le produit de tous les segments, n'ayantpas d'extrémitécommune,égale le produit de tous les autres segments. (Méthodes,n° 181.)

Théorème363. 4230. lo Les bissectricesextérieuresdes anglesd'un trianglerencontrent les côtés opposésen trois pointssituésen ligne droite.

La bissectriceextérieure de l'angle C coupe le côté opposéAB au point L, etc. Il faut prouverque L, M et N sont en ligne droite. Désignonsles trois côtésdu triangle par a, b, c. Les segmentsAL, BL, déterminéspar la bissectriceCL, sont proportionnelsaux côtésAC et BC ; on a donc:

Donc les trois points L, M, N sont en ligne droite. 2° Deux pointsD, E déterminés par les bissectricesintérieureset le point. M de la bissectriceextérieuredu troisièmeangle, sont en ligne

droite.

Môme démonstrationque précédemment (n° 1230). On obtient trois nouvellesdroites; ainsi les bissectricesintérieureset les bissectricesextérieures,en coupant les côtés opposésd'un triangle, donnentlieu à six points d'intersection.

RemarqueOn peut voir pour ces théorèmesla Géométriesupérieure

de CHASLES, n° 394.

Théorème363. — I. 1231. Transversales réciproques. Une transversale coupeles côtéss, h, c,, d'un triangle en trois points L, M, N; on prend les points symétriques de ces points par rapport au point milieu du côté considéré;prouver que L', M', N' sont en ligne droite.

La relation

donne aussi: donc les trois nouveauxpoints sont en ligne droite. 1231 a. Note. Les points L, L' symétriquespar rapport au point milieu du côté a, etc., ont été nomméspoints isotomiques; les droites AL, AL sont des droitesisotomiques.(Voir ci-après,n° 2329.) LMN et L'M'N' sont nomméestransversales réciproques. Les transversales La théorie des transversales réciproques est due à M. G. DE LONGCHAMPS et nombreuses en 1866 ; le savant auteur en a donné depuisd'intéressantes applications: à ce sujet, on peut voir le Journalde Mathématiques élémentaires, 1880, page 272 ; le J. de M. spéciales,1882, page 25 ; Tranformation réciproque,même année,pages49, 77, 97 et 121. Puis en 1885, Essai sur la Géométrie dela règle et du compas; en 1886,

Généralitésde la Géométriedu triangle.

Théorème363. — II. 1231 b. Une transversaledonnéeDEF coupe les côtés a, b, c d'un triangle ABC; elle divise le côté a au point D dansun certain rapport

tel qu'on a : de même

si E' divisa le côté CA dans le rapport

port

'1

,

F' le côté AB dans le rap-

et D' le côté BC dans un rapport

les trois points D', E',

»

F' sont en ligne droite.

s

En effet, en exprimantchaquesegmenten fonction du côtécorrespondant et du rapport donné par le point de division, on peut remplacer DB DC I'»r

am

Un'

bp

EC EA I'ar bq

et

FA

FB ',ar

cr

La relation connuedevient :

Dans le second cas, c'est le côté b qui est divisé par E' dansle rap-

Yït

port —,

c dans le rapport

et a dans le rapport — ; donc on a

1}

:

car le premier membre de( l) et de (2) sont identiques,puisquechacun d eux se réduit a

p

m

n

——

•

„ q

r~ s

1231 c. Remarque.Avec des rapportsdonnés, en suivantle périmètre

du triangledansun sensdéterminé,on obtient trois transversales, et en suivantle périmètreen senscontraire, on obtient lestransversalesréciproquesdestrois premières. ~()n a donc en tout six groupesde trois points collinéaires. Extensionanaloguepour le théorèmede Ceva; ce qui permetd'avoir en tout six pointsde concours,lorsque l'un d'eux est donné. Théorème363. — III.

1232. La médianeAI) d'un triangle quelconquel'.AC. coupela corda EF d'un arc décrit du sommetA, et limité aux cotés du triangle en deux parties,dont le rapport est inverse de celui des côtésAB, AC. (IIOUSKL, Introduction à la Géométrie supérieure,p. 175.) ProlongeonsEF et BC jusqu'à leur rencontre; considérons les deux triangles BEH, CFH et la transversaleAD; on a : HD. BA. EG = BD. EA. HG, C.D. FA. HG HD. CA. FG,

=

Multiplions ces deux égalitésmembreà membre, supprimons lesfacteursHD, HG communsaux deux termesde l'égalitéet les facteurségaux AE, AF et BD, CD ; on trouve: BA EG CA FG, .

=

.

d'où

Remarque.Lorsqu'onmène AD de manièreque

la , on a

relation Théorème364. 1233. Les milieux des trois diagonales d'un quadrilatèrecompletsont en ligne droite. (GAUSS, en 1810.)

Pou que L, M, N sont trois points en ligne droite, considérons le triangle GIIK formé en joignant deux à deux les points milieux du triangleBCE. Le côté HK passepar le point L milieu de AC, GK passepar M milieu de BD, et GH par N. Il suffit donc de démontrerqu'on a la relation (n° 1228)

Or chacundes six segmentsci-dessusest la moitié du segmentcorrespondantque la transversaleADF détermineraitsur les côtés du triangle BCE. En effet, GM = 1/i®'D, KM = '/i ''f> e'c- Donc la relation écrite est exacte,car les segmentsde longueurdouble, déterminéspar la transversaleADF, donnentune relation analogue. Ainsi, L, M, N sonten ligne droite. 1233 a. Note. La démonstration ci-dessus a été donnéepar J. MENTION dans les N. A. de 1853, p. 420 ; elle est plus éléganteet plus rapide que celle de BOBILLIER ; celte dernièrea été reproduitepar BLANCHET dans son Appendice aux Elémentsde Géométrie. La droite qui passeparlespoints milieux des trois diagonalesd'un quadrila¬

tore complet est appeléeparfois Droite de Newton. On trouveaussi ligne de Caussdu quadrilatère. (Mathesis,1902, page 170. Question1188bis, 1906, p. 143, n° 1278.) Voir aussi Die Elémenteder Malhematik, von DR BALTZER, OU Elementidi Mathematicadel Dr B., § 7, n° 5.

Théorème deRochat364. — I. 1233 b. Danstout quadrilatère complet,les trois diagonalespeuvent être prisesdeux à deux detrois manièresdifférentes,ce qui permetde considérertrois quadrilatèressimples; en appelantcentre du quadrilatère, le centre des moyennesdistances deses quatresommets,on a le théorèmesuivant: 1" Le milieu des trois diagonalessont sur une même droite (n« 1233). contient aussiles 2» La droite qui contient les milieux des diagonales centresdes trois quadrilatèressimples,en sorteque six pointssontsur une mêmedroite. des diagonales 3° Les distancesentreles milieux de deux quelconques sont doubles dela distance entre les centres des deux quadrilatères simplesauxquelsces diagonalesappartiennent. Note. Le nom de Théorème deRochatest dù à GERGONNE. (Annales, t. I, 1810-1811,p. 314.) à GAUSS, a été démontrée ci-dessus (n° 1233). La première partie, due de navigation àSaint-Brieuc,a donnéle théorèmequi * ROCHAT, professeur porte son nom, à l'occasionde l'exercice dun° 548 ; ce même auteura répondu les premiersvolumesdes A. deG. fréquemmentaux questionsproposées dans

Théorème365. 1234. Si d'un point quelconquedu cercle circonscrità un triangle, on mènedes droitesqui fassent,dans le même sens, des angleségaux avec les côtésdu triangle, les pieds de ces droites serontsur une même ligne droite. Soit l'angle CEO CFO BDO. Les triangles COE, AOD sont semblables,car E D, et les angles DAO, ECO sont égaux, comme suppléments l'un et l'autre de l'angle

BAO

;

=

=

=

donc

Les triangles OBE, AOF sont aussi semblables, car les angles en A et en B sont égaux,et il en est de même dans les anglesen E et en F. BO DE Donc AF AO' Les triangles COF, BOD sont aussi semblables,car les angles Fet D sont égaux entre OCF, OBD ont même mesure.

=

et les angles

Donc

En multipliant membreà membreles trois égalités,on trouve:

Donc les trois pointsD, E, F sont en ligne droite (n° 1228). 1235.Remarques.1° Le théorèmede Robert Simsonou de Wallace (n° 22) n'estqu'un cas particulierdu précédent. L'extensionci-dessus(n° 1234) est de CARNOT. 2° Le théorème(n° 1234) est intuitif lorsqu'onconnaîtles propositions relatives aux lignes isoclines (nos 2457 et suivants); c'est-à-dire aux lignes qui, partantd'un mêmepoint 0, coupentles côtés d'un polygone sousle même angle et dans la mêmedirection, en suivant lepérimètre du polygoned'un mouvementcontinu. Il suffit de dire : Les normales issues d'un même point 0 du cercle circonscrit donnent lieu à un triangle podaire,qui se réduit à une droite ; il en est donc de même des isoclinesmenéespar le même point, sous une inclinaison quelconque.(Voir ci-après,n° 2464.) 3° Le théorèmeattribué à SALMON (n° 766) peut recevoir l'extension suivante. Lorsquesur trois cordesAO, EO, CO (fig. 758)-, issuesd'un même point 0, on décrit dès arcs de segment capablesd'un angle donnéa, on obtientsix cerclesqui se coupentdeuxà deuxen six autres

pointsplacéstrois à trois sur deux droites.

Théorème365. — I. 1236. On donneune circonférenceet deux points fixes A et B;

par

ce dernier on mène une corde quelA.CC', ADD'. conqueCDD et les sécantes

Prouver que la corde'C'D' passepar un point fixe. (PONCELET, Application d'analyseet du Géométrie.) 1re Démonstration. En appliquant l'homologie (n° 1249) on fait passer le point A à l'infini ; les droitesDD', EC deviennentparallèleset sont menées dansune direction constante; dès lors la figure obtenueest un trapèzeisocèle, et le côté CD' passe évidemmentpar Un point fixe B', symétriquede B par rapport au diamètre perpendiculaire aux bases(n° 607). Donc, dans la figure donnée,le côté CD' passeaussi par un point fixe. (fig. 750). Le Théorèmede Desargues,relatif à l'in2» Démonstration volution (n° 1219), donnela démonstrationsansqu'il soit nécessairede recourir à l'homologie. En effet, A, étant le point de concoursdes côtésopposés duquadrilatère, est un point doublede l'involution ; on a :

dou

M'A*. MB M'B'-Mjj( — M'B MA 1 *

_

.

M'B' de droite membre Le est const le rapport MB' est connu, et le point B' est déterminéde position (G., n° 208). 1237. 3e Démonstration(fig. 760). Soient 0 le point de concoursde GD et C D', puis Ple point où la polaire de A coupeAB'. Cettepolaire HP

isceau• passe parle point de concours O des droites CD, C'D', et (OA, ODBC, OP, OD'B'C') est harmonique. Par conséquent, les quatre points A, B, P, B' communsà ce faisceauet à la droite AB forment une division harmonique.Les pointsA, B, P étant fixes, il en est de mêmedu quatrièmeB'. (D'après/. M. E., 1890, page208. SOLLERTINSKY.) Théorème 365.— II. 1237 a. Lorsqu'unquadrilatèreABCD est inscrit, les couples detangentesmenéesau cercle circonscrit par les sommetsopposés coupent

sur la troisièmediagonale.

Les tangentesBL, DL, se coupentsur MN. Il en serait de même des tangentesFAE, GCII. C'estun simple corollaire del'hexagrammede Puscal.(G., nos 747, 748, 2°, et E. de G., n° 1117 o.)

Remarques. 1° Le point de concours P des diagonales du quadrilatère circonscrit, ou point de Brianchon(G., n° 807), est le pôle de la PascaleMN du quadrilatèreinscrit. 2° Les cordesdo contactAC, BD passentpar P.

1237 b. Extensio A un quadrilatèrequelconque,on peut circonscrire une infinité de coniques;les couplesdes tangentesmenéesà la conique circonscritepar les sommetsopposésdu quadrilatèrese coupentsur la troisième,diagonalede attefigure, parce queles théorèmesde Pascal et de Brianchonsont applicablesà une coniquequelconque. Théorème366. 1238. cordesAD et BC se coupentau milieu 0 d ordeEF. Prouverque les segmentsOM, ON, interceptéssur EF par les droites AC et BD, sont égaux. 1re Démonstration.Il est possible de démontrerle théorèmeen se bornantà recouriraux Elémentsde Géométrie,mais la marcheà suivre estlente et pénible : inutile de la reproduireici, caron peut consulterles précédentes éditions des Exercicesde Géométrie(2e et 3e). 2e Démonstration.On peut utiliser le théorèmede Ménélaüs, relatif (n° 1227). aux transversales Le triangle MON, coupé par BC et par AD, donne :

Multiplions membreà membreon trouve : OM 2 ON2

BN DN CM

Nous pouvons

car CG . AG = BG .

. .

AM

CG AG . BG DG .

'

pprimer la dernière fracti DG,

d'où Nous retrouvonsl'égalité connue(6) de la premièredémonstration, donc OM = ON. 3e Démonstration(fig. 762). La question

cas particulier du théorèmede Desarguessur l'involution (n° 1219). Envertu de ce théorème,en prenantAG et BD comme côtés opposésdu quadrilatère inscrit ABCD et AD, BC commediagonales,on a :

Mais le point O est le point milieu de EF ; ainsi lesdénominateurssont égaux, et par suite il en est de mêmedes numérateurs;

EM. EN = FM.FN, d'où Or celte proportion ne peut être vérifiée que par EM

= FN ; donc...

4e Démonstration.On a recours aux

pol

et

faisceauxharmo-

niques.(G., n° 803.)

1239. Remarques.1° On peut énoncerle théorèmecomme il suit : Les anglesopposésd'un quadrilatèreinscrit interceptentdessegments

égaux sur la perpendiculairemenée du point de concoursdes diagonales,sur la droite qui joint ce point au centre du cercle. 2° En employant le théorème de Desargues,on reconnaîtque le théorèmeproposé subsiste,lorsque les points I et J (fig. 763), au lieu de coïncider, sont équidistantsdu milieu 0 de la corde. 3° Les côtés opposésAB, CD donnent

=

aussi OG OH. Il suffit que les deux points d'un destrois couplesIJ, MN ou GH , soientéquidistantsdu milieu de la corde, autrescouples. pour qu'il en soit de mêmedes points des deux 1239 a. Note. 1° L'exemple donnémontre combien il est important d'étudier

quelquesthéorèmesfondamentaux,tels que ceux de MÉNÉLAÜS sur les transversales(n° 1227); de DESARGUES, pour les trois couples depoints en involution. (n° 1219); et il en est de mêmede celui de CÉVA, pour les droitesconcourantes(n° 1240), car rien n'estplus facile que de prendreun des cas particuliers de ces théorèmeset de le proposercommequestion élémentaire ; mais il est souventdifficile de traiter la questionà l'aide des seulesressourcesque fournissentles Elémentsde Géométrie.Ainsi la 1re démonstration,uniquement baséesur les théorèmesles plus connusdos Eléments,est extrêmement laborieuse; la 2e démonstration,qui utilise les transversales,est encoreassez longue ; tandis que la 3e démonstration,qui se rapporte à l'involution, est d'une très grande simplicité; il en est de même de la 4e, donnéedansles Éléments(G., n° 803), et qui se basesur la théoriedespolaires. 2° L'IntermédiairedesMathématiciens, 1907,p. 3266, demande lethéorème dualistique du précédent(E.-B. ESCOTT). M. H. BROCARD renvoie à divers ouvrages,notammentaux Exercicesde Géométrie,pages523-525. Voir aussiE.-A. MAJOI. et M. I.ERCII, dans l'Intermédiaire,1908, pages20 À 22, 3266 140, par M. PLANCHEREL.

Théorèmede Céva367, 1240. Les droites quijoignentles sommetsd'u un même oint déterminentsur les côtés six segmentstels que le produit de trois d'entreeux, n'ayantpas d'ertrérnitecommune,égalele produitdestrois

autres.

(G., n° 749 ; Méthodes,n°

Autres démonstrations.1° A cause du quadrilatèrecomplet OMAN, les points L et P sontconjuguésharmoniquespar rapportà BG. On a

:

donc les relations

2° Menons BD, CE parallèles à AL

on a :

;

d'où 1240 a. Note. 1° La 2e démonstrationest de M. MONSALLUT, professeurau lycée de Limoges. (Journalde Math. élém. de Vuibcrt, 1" janvier 1901.) 2° On peut nommer céviennesles droites qui partent du sommet d'un triangle (n° 167 R) ; alors le théorèmes'énoncecommeil suit : Trois céviennes

concourantesdéterminent,etc. Le termecéviennea été proposéparM. POULAIN (voir J. M. E., 1888, p. 278). POULAIN, S. J., professeurà la Faculté catholique d'Angers, auteur de nombreux articles dans le J. M. E. et S., ainsi que du remarquabletravail intitulé: Principesdelànouvelle Géométriedu triangle.

Théorème 368. 1241. Si trois points situessur les cotés d'un triangle divisent les côtesen six segmentstels que le produit de trois segmentsnon consécutifs égale le produit des trois autres,les trois, droites, qui joignent chacunde ces points au sommetopposé,passentpar un mêmepoint. Les trois points sont sur les côtés, ou Oieg un seul est sur un côté et les deux autressur les prolongements. Pour ce théorèmeréciproque,on a recours à la démonstrationpar l'absurde.(G., n° 751.) Théorème368. — I. 1211 a. Trois droitesissues dessommetsd'un triangle se coupent en un mêmepoint, si elles partagentles côtés opposéseu partiespropor-

tionnellesauxanglesadjacents.

Le théorèmepeut être généralisé: il suffit que les grandeurssoient proportionnellesaux mêmesfonctionsdes anglesadjacents,ou même à un des chacuned'elles correspondant à trois grandeurs quelconques, côlés. (GénéralDE COATPONT; voir N. C. M., 1879, pp. 384 et 438.) Exemple : Si l'on divise les côtés en parties proportionnellesaux nombresde degrésdes anglesadjacents,on peut représenterles deux segmentsde a par ci.B° et a.O, etc. On a : 1241 b. Remarque.La questionprécédenteoffre l'exemple, fort rare, d'une relation directe entre des angleset des lignes, et c'c6t avec raison que l'auteur de la question appelle l'attentionsur cette parti (Nouvelle Correspondance mathématique,1879, p. 438.)

Théorème369. 1242. 1° Les droites quijoignentles pointsde contactdu cercleinscrit à un triangle, aux sommetsopposes,se coupentau mêmepoint. 2° Il en est de mêmepour les joints de contactde chaquecercle ex-

inscrit.

= BD, CE = CE, AD = AF. BE

1° On a :

En multipliantmembreà membre,on tro BE. CF. AD BE CE AF. . . Donc, d'aprèsle théorèmede Céva (n° 1240), les droites se coupent en un mêmepoint 0. 2° Les céviennesAE', BF', CD', relatives au même cercle exinscrit, se coupenten un mêmepoint O. 3° Même démonstration pour les trois droites analogues à la ligne AE', qui joignent chaquesommet au point de contact du cercle exinscrit opposé.

:

=

1242 a. Note. 1° Le point de concours

desdroites qui joignent chaquesommet au point de contactdu cercle inscritest appelépoint de Gergonne,parceque ce mathématicienavait proposéconnuequestion, dans sesAnnales,le théorème ci-dessus. 2» Les trois points tels que O, relatif à un même cercle exinscrit, sont les pointsadjointsau point de Oergonne.(Mathesis,1887, p. 59, n° 0.) 3" Le point de concoursdes droites qui joignent chaquesommetau point de contactdu cercle exinscrit opposéest nommépoint de Nagel. 4° Les points de Gergonneet de Nagel d'un triangle A11C des points réciproquesde Longchamps(voir n» 1242 d). Pour le point de Nagel,on peut voir J. M. 1886, page 158, M. VIGARIÉ, et Mathesis,1887, p. 57 ; puis 1900, p. 93, n° 10. Ou le nomme parfois : Point isopérimétrigue.

5° Le point de Gergonnea été signalé par JEAN CÉVÀ (Aperçu historiquede Chastes,note VII. page290 ; d'après17. desM., 1900, pageSi, n° 1787). 6° Le lieu des points de Gergonne,quand la base BC (fig. 766) varie, est une ellipse tangenteen D, F. (/. M. E., 1893, page225. BOUTIN.)

Théorème369. — I.

J242b. Les droites qui joignent les sommetsd'un triangleABC aux pointsde contactA, B , U descôtes opposes et du cercleinscrit se coupenten un point Iv, tel que (Mathesis,1884, p. 245. THIRY.) Le triangle ABA' coupépar CC donne:

d'pù

de même:

%. % .

d'où

le point milieu 1242 o. Les trois dro de chaquecôté d'un triangle au point milieu de la hauteurcorrespondantese coupentau mêmepoint.

ont une propriétécommune qui permet de les grouperdans le nombre illimité des points de Franke. 4° La droite d'Eulerd'un triangle ABC est aussi le lieu de certains points bien déterminés: ainsi le centre du cerclecirconscrit au triangle tangentieldu triangle donné ABC se trouve sur cette droite. Voir Notes de Géométrierécente,parM. A.GOB, professeuragrégéde l'enseignement moyen. (Supplémentde Mathesis,t. IX, 1889.) 1242 p. Note. 1° Le théorèmeprécédentest de M. A. BOUTIN. Il l'a donné dès1890(J.M. S., page266: « En considérant..., etc. »). Mais cettebelle,question,

traitée en quelqueslignes, est passéeinaperçue.Il en a été tout autrement lorsque M. FRANKE de. Berlin, quatorze ans plus tard, a indiqué ce même théorèmedans VEnseignementmathématique(1904, p. 407, V). Nous proposonsnéanmoinsde continuer à appelerpoint de Franke, le point qui avait reçu ce nom; ce sera une sorte de dédommagement pour le géomètrequi s'estlaissé devancer. 2° Lorsque l'on prendsur les médiatricesOD, OE, OF, des longueursOD', OE', OF' inversementproportionnellesaux médiatrices,c'est-à-diretelles que l'on ait : OD OD' = OE ÔE' = OF OF' = Ka, les droites AD', BE', CF' se . . Q. Le lieu du point Q, lorsque la puissancelt 3 coupenten un. même point varie, est une hyperboleéquilatèrecirconscriteau triangle. Les trianglesABC, D'E'F' sont homologiques,Q est le centred'homologie. (A. F., 1889, pages202 et 203, E. LEMOINE.) L'énoncédu savantauteura lieu quel que soit le point que l'on projettesur les cqtés dutriangle ; mais nous nous bornonsau casqui se rapporteà la droite d'Euler; c'est la contre-partie du théorèmede Boutin. — L'hyperbolepassepar le point de LemoineK, ce qui permetde l'identifier avec l'hyperbole deJerabeck. 3° La transforméeisogonale(inversion du capitainèMATHIEU, N. A., 1865, pages393, 481 et 529) de toute droite du triangle ABC est une conique circonscriteau triangle : c'estune ellipse, si elle ne coupepas le cercle circonscrit à ABC ; c'est une parabolesi la droite est tangente, etune hyperbole si elle coupe le cercle. En outre, l'hyperboleest équilatèresi la droite passepar le point 0 centredu cercle circonscrit,parce quedans ce cas l'hyperbolepasse par l'orthocentreH, point inversede 0 ; or l'hyperbole équilatère circonscrite au triangleABC doit passeren effet par II, d'aprèsun théorèmede Brianchon et Poncelet(n° 2183 b). 4» La transforméede la droite d'Euler OGH est L'hyperbole de Jerabeck (Mathesis,1888, p. 81, J. NEUBERG, et J. M. B., 1890, p. 260, A. BOUTIN). L'hyperbolepassepar point deLemoineK, point inversede G. La transforméede OK a été nomméehyperbole de Kiepert. (Voir ci-après, le

n° 1773 o.) (Pources diverseshyperLa transforméedo OI est Vhyperbolede Feuerback. boles, voir A. F., 1889, p. 203, E. LEMOINE ; J. M. S., 1890, pages105 et 124, A. BOUTIN ; Mathesis,1887, p. 208, M'CAY, du Trinily Collègede Dublin ; 1891, pages191 et 192 ; 1892, p. 241, J. NEUBERG ; 1893, p. 81, NEUBERG et MANDART ; 1893, p. 265, Si'ECKMAN d'Arnhem; 1905, p. 118, J. NEUBERG; N. A., 1887, P. 231, n° 15, E. CESARO. — Voir aussid'asseznombreuxarticles du J.M. S., 1884, 1885, 1886, 1889,1890. 5" Les transforméesisogonalesqui joignent le centre O, soit au point de Gergonne,de Nagel ou de Brocard, sont aussi des hyperboleséquilatères circonscritesau triangle ABC. Le lieu des centresdes hyperboleséijuilalères circonscrites est le cercledes neuf pottils du triangle donné (il" 2183 o.) (N. A., 1863, pages475 et 476, J.-J.-A. MATHIEU, alors capitained'artillerie, et Mathesis,1891, p. 192). 6° Pour obtenir les asymptotesd'une hyperbole équilatèrecirconscriteau

+

AN- (nn 1243) a La relation AL 2 -f13M- -f CN2 BL 5 -f CM 2 lieu évidemment,lorsqu'on élève des perpendiculairesau milieu de chaque côté d'un triangle: car, dans ce cas, AL BL, BM = CM et CN AN par construction; donc les trois perpendiculairesconcourent au même point (n° 1244). ' 2" Considéronsles hauteurs;a, b, c désignant les côtés du triangle, on a (n° 1162) : AL 2 — BL 2 AC2 — BC2, AL 2 — BL 2 b2 — a2, ou = c2 — b2, BM2 — CM2 CN2 — AN 2 = a2 — c2 ; d'où AL 2 -f BM2-f CN2—(BL2+CM2 AN2)=0.

=

1»

=

=

= =

+

Théorème371. — I. 1246. Les perpendiculairesélevéessur les côtés d'un triangle, aux trois points où les cerclesexinscritssont tangentsà ces côtés,se coupent au mêmepoint. 1re Démonstration(n° 757). 2e Démonstration.Soient L, M,N les points de concours des bissectrices extérieures; il faut prouver LD, MB, NF que les perpendiculaires se coupentau mêmepoint. Il suffit de prouverque BD2+CE2 AF2 DC2 + AE2 BF2. Or les six segments sontégaux à ceux que déterminent les points de contact du cercle inscrit, et ces derniers sont égaux deux à deux, ce qui vérifie la relation du théorèmede Carnot (n° 1244); donc les perpendiculaires se coupenten un mêmepoint P. 3e Démonstration.Les trois points de contact D, E, F des cerclesexinscritssont les points isotomiquesdes trois points de contactdu cercle inscrit; donc les trois perpendiculairesconsidéréesse coupenten un mêmepoint P, puisqu'il en est ainsi des trois rayons du cercle inscrit qui leur correspondent.Le théorème proposé(n° 1246) peut être considéré comme un cas particulier d'un théorèmeprécédent(n° 752). Le point P et le centre0 du cercle inscrit (fig. 777) sont symétriquespar rapport au centredu cercle circonscrit. 1246 a. Note. 1° Si l'on prendsur PD, PE, PF deslongueursPD', PE'. PF' inversementproportionnellesà ces mêmeslignes, les droitesAD', BE', CF' se coupenten un mêmepoint. (LEMOINE, n° 1142 n, historique.) Ce théorèmeestanalogueà ceux de KARIYA (n° 1242m) et de FRANKE (n° 1242o). LE point de Nagel, l'orthocentre et le point P, point isotomique du centre du cercle inscrit, appartiennent au lieu des points ainsi obtenus. 2" On peut se poserla questionsuivante: Quel est le lieu d'un point Q, tel que ses projectionsA', B', C sur les côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC

+

=

+

soient les piedsdes trois céviennesAA', BB', CC' qui concourenten un même point P ?(E.LUCAS, N. C.,1876,p. 94, question83, et N. A., 1876, p. 240, n° 1207.) La questiona été traitéepar différentsauteurs; nous citons d'abord H. VAN AUBEL, à causede la figure dont il a accompagné sasolution.(Correspondance mathématique,t. IV, 1878, pages261 à 272.) Le lieu est une cubiqueremarquablequi passepar les trois sommetsA, B, C, par l'orthocentre H, le centre0 du cercle circonscrit, par les centresI, 1', I", des cercles inscrit et exinscritset par les points symétriques des sommets, par rapportau centre 0, ou plus simplement,le point 0 est le centre de la courbe; elle a pour asymptotesles trois médiatricesdu triangle. Si le triangle donnéest isocèle, le lieu se compose de la bissectricede l'angle au sommet et d'une hyperbole qui passepar les extrémités de la base,et dont les médiatricesdes côtéségaux du triangle sont les asymptotes. Le lieu des points P de trois céviennes tellesque leurspieds A', B', C' soient les projections orthogonales d'un même point Q, est une cubique indiquée par GRÉER, dès 1865-66; elle a quatrepoints communs avec la précédente: ainsi elle passeraitpar les trois sommetset l'orthocentreH ; puis par G (et non par 0) et par les points d'intersectiondes droites qui joignent les sommetsdu triangle aux points de contact des côtés opposésavec le cercle inscrit, ou avec un des cercles exinscrits. (N. A., 1876, pages 550 à 555, E. DKWUI.F, et N. C., 1880, p. 56, VAN

1

AUBEI..)

Pour plus de développementset pour les notes bibliographiques,voir le Journalde mathématiques spécialesde Longchamps,1890, pages63 à 69, art. de M. E. VIGARIÉ ; citation de l'étude de H.-R GRÉER, page66. Voir aussile bel article de M. BOUTIN, 1889, pages265 à 268.

Théorème371. — II. 1246 b. Dans un trapèze rectangle circonscrit au demi-cercle décrit sur le côté perpendiculaire aux bases,pris pour diamètre, les diagonalesse coupentau point milieu de la parallèlemenéeaux bases,par le point de contact du

quatrièmecôté.

Soit F le point où BE rencontre AU ; il suffit de prouver que

AF=FII

On a:

= OD ON' = OE

OM ON .

OM

.

. .

OF,

(1)

OC.

(2)

Prouvonsque les produitsOD . OF et OE . OC sont égaux. Le demi-cercleAFEB donne : OB OE OA OF. . . Les parallèlesAB, CD donnent:

d'où

=

(3)

OB OD = OA OC. . .

(4)

Divisons (3) par (4) ; on trouve :

d'où

OE OC .

= OD . OF.

Ainsi, en comparant(1) et (2), on a OM ON

d'où

.

:

= OM . ON',

ON = ON

Théorèmede Newton 386., 4274. Les diagonalesd'un quadrilatèrecirconscrit à un cercle et les cordes des points de contact des côtés opposésse coupentau même

point.

Ou bien : Lorsqu'unquadrilatèreinscrit à un cercle a

les points de contact d'un quadrilatère circonscrit à ce même cercle, les diagonales dés deux quadrilatèresse coupent au même

point. , Démonstrationde L. Anne. On sait que lorsque deux triangles ont deux angleségaux et deux angles supplémentaires,les côtés opposésaux angles égaux sont proportionnels aux côtésopposésaux anglessupplémentaires

pour sommets

(n° 150). Soit 0 le point d'intersectionde AC et HF. Les trianglesAOII, CFO ont des angleségaux au point 0, et les angles en F et H sont supplémentaires,comme formés par des tangentesaux extrémitésd'unemêmecordeFil; donc

AH

—AO

CF — C0" ' ,

Soit 0' la rencontrede AC et de EG; on aura : AO' AE CG — — CO'

Zurich, dans Y Intermédiairedes Mathématiciens,et la réponsede M. E. ' LEMOINE, 1894,pages151 et 223 ; on y signalemêmeun travail de M. S. KANTOR, sur le mêmesujet. Il conviendraitd'appelerpoint de Mathot d'un quadrilatèreinscriptible,le point symétriquedu centre du cercle circonscrit, par rapport au point de concoursdes bimédianesdu quadrilatère,c'est-à-diredes droites quijoignent les points milieux des côtés opposés et des diagonales; car le quadrilatère harmoniquea sonpoint de Lemoine. 3° On pourrait citer de nombreusespropriétésdu quadrilatèreinscriptible voici quelquesindications : N. A., 1901, page374, par M. E. LEGRAND ; 1904, page400, M. T. LEMOYNE ; 1908, p. 442, A. DETEUF, ingénieurdes Ponts et Chaussées ; Mathesis,1904, p. 77, question1442; page 79, n° 1141. Le journalde G. DE LONGCHAMPS donnede nombreusesformulesrelativesau quadrilatèreinscriptible, par LECOCQ, ancien professeurau lycée d'Avignon (J. M. E., 1897, pagesil, 32, 53, 78, 111, 134, 151, 174.La table manque).Cè même volume contient desarticles très intéressantsde M. A. AUBRY, sur la Géométriede la Mesure.

Théorème388. — III. 1277 c. Le quadrilatèreayantpour sommets les centresde gravité des quatretriangles d'un quadrilatèredopnéABCD, est homothétique à ce mômequadrilatèreABCD. (Journalde Mathématiquesde VUIRERT, 1905-1906,p. 44, n° 6079.) Théorème389. 1278. Si deuxpolygonesréalisentles conditions suivantes: 1» sont semblables, 2° ont les côtés homologues parallèles, 3" ont des intervalles égaux entre les côtés homologues, ccsi deux polygonessont circonscriptiblesà descercles.(BORDONI, professeurà Pavie. — N. A., 1860, p. 306.) Les deux polygones sont homothétiques,c'est-à-dire semblables et semblablementplacés. Soit 0 le centre de similitude ou d'homothétie. Abaissonsles perpendiculaires p et p' sur deux côtés homologues AB et A'B', et les perpendiculaires q, q' sur les côtés BC, B'C'. Cesperpendiculairessont des ligneshomologues,ainsi

=

Mais les différencessont égalespar construction;doncp' q'elji — q; donc lescôtéssont tangentsà descirconférences ayant O pour centre. Remarques.1° Les polygonesdonnés(n° 1278)sontinscriptibleslorsque AB BC, etc.

=

les deux autreset par le point A en deux segmentsdont le

rapportest

constant. Si une droite mAn est tangenteà la circonférenceOO'O" (fig. 805), le point A tiendralieu du point 0, et l'on aura :

Si la droite est tangenteà la circonférenceMM'M", le point A tiendra lieu du point M, et l'on aura,par exemple:

d'où Enfin la droite pourrait être tangenteà la circonférenceNN'N".

Théorème 390.— III. 1281. Lorsqu'undriangle LMN se meut dans son plan en restant semblableà lui-même,tandis que deux sommetsM, N se meuventsur

deux circonférences ayant une corde communeAB, et que le côté AMN passe par un des points d'intersectionA, le troisième sommet L décrit une circonférencequi passepar le point B. Joignons le point B au point L; soit 0 le point où la ligne BL coupeMN. Le quadrilatère LMBN reste semblable à luimême, car tous les angles sont constants,et il en est BM

* de mêmedu rapport (n° 1279). Donc la diagonaleBL divise MN en deux segmentsdont le est constant donc le point 0 décrit une circonférence rapport

;

AGI! qui passepar les points d'intersectionA et B des deux premières ainsi qu'on l'a démontré(n° 1279).

Le quadrilatèreLMBN restant semblableà lui-même, le rapport -j^— estconstant; donc les points L, 0 décriventdes circonférencesayant le point B pourcentreextérieurde similitude (n° 1279 b).

Théorème390. — IV. 1282. Pur un des points d'intersectionde deux circonférencesqui se coupent,on mène des sécantesABC; sur chucunéd'elles on construit

Théorème 393.— I. 1287. Lorsqu'unedroite est divisée en moyenneet extrêmeraison, la sommedu carréde la ligne entière et du carrédu petit segmentégale trois fois le carrédu, grandsegment. En effet, soit a la ligne entière,m le grand segmentet n le petit; m est la différencede a et de n; donc m2

Mais, par définition donc

Remarque.On a aussi:

= a2 + n2 — 2an. m2

= an;

= a2+n2. a2 + n2 = 3an. 3m2

Note. On lira avecintérêt un bel article de M. CLÉMENT THIRY

sur Quelques propriétésd'une droite divisée en moyenneet extrêmeraison. (Voir Mathesis, 1894, page22.)

Théorème394. 1288. La corde qui sous-tendun arc triple de celui qui correspondau côté du décagoneinscrit, égalela sommedu rayon et du côté du décagone. Il faut prouverque AD

= AO +

CD.

= AO +

CD.

Les anglesDCM et DMC sont égaux, comme ayantmême mesure,de même pour les anglesen M et en O; donc les trianglesCDM, MAO sont isocèles; ainsi AD

Théorème395. 1289. Dans la méthodedes isopérimètres,si on représentepar r et a le rayon et l'apothème dupolygone de n côtés et par r' et a' le rayon et l'apothèmedu polygone de 2n, on a r' a'<'/,(r a). (N. A., 1847, p. 27.) Soit AB le côté du polygoneinscrit ayant AO pour rayon, OD pour apothème. En joignant les milieux A' et II des cordes égalesAC, GB, on obtiendra A'B' pour côté du polygone, isopérimètred'un nombre double do ½ AB, et l'angle A'OB' ½ AOB. côtés,car A'B' r' A'O et a' OD' ; Or donc r—a CD, r' — a' C'D'. Mais CD' ½ CD ; ainsi CD' = DD'. Il suffit de prouverque C'D' est

-

_

=

=

= =

= =

=

< CC'. La

droite A'C' est bissectricede l'angle du segmentCA'D', et, commeA'D' est < A'C, il en résulteC'D' < CC' (n° 182); donc C'D'< 1/2CD'<1/4CD. On aurait de même: r"— a" < 1/4 (r' — a'), r" — a" < l/iti{r — a), etc., donc et généralement '

rn — a„ <

^(r — a). 1

La différence du rayon et de l'apothèmetend doncvers zéro.

méthodedes isopérimètres,attribuée à SCHWAB, est due À DESCARTES; elle a été reproduitepar EULER dansun de sesmémoires.(Citation de M. CATALAN, N. A., 1864, page545.) * J. SCHWAB est né en 1765 à Mannheim; mais quand il a publié la Méthode des figures isopérimétriques,il était citoyen français; car des 1793 il avait quitté définitivementl'Allemagne pour venir habiter la France.Sa Géométrie plane a été publiée à Nancy en 1813; l'auteur mourut dans celte ville lç 23 novembre dela même année. 1289 a. Noie. La

r

Théorème396. 1290. La différencedes périmètresdespolygonesréguliersde 2n cédés inscrit et circonscrit à un cercle, est moindreque le '/4 de la différencedes périmètres,des polygonesréguliersde n côtésinscrit et circonscrit au même cercle. (N. A., 1843, p. 188.) SoientAB, CD deux demi-côtés des polygonesde n côtés,et AD, 2» EF les côtésdes polygones de côtés. Menonsle rayon OG perpendiculaire à EF, AP parallèle àce rayon, AJM parallèle à OD, et PML parallèleà AD. 2n, CR la différencedes EJ est la différence descôtés des polygones demi-côtésdes polygones n. Il suffit doncde prouverqu'on a : EJ < 1/4CR. A causedes triangleségaux OGF, ODK, la ligne DF égaleGK, mais la perpendiculaireGII est plus courte que l'oblique DF ; d'ailleurs HK LK,

PK

=

— DK ; GK, d'où HG < ½ HK ou HG < 1/4 AP. Mais les triangles semblablesEAJ, NAM ont des basesproportionnellesà lours hauteurs; donc EJ < 1/4 NM.

car donc

HG <

D'ailleurs la perpendiculaireMI'N, menée à la bissectriceAP. est plus petite que CR ; donc, a fortiori, EJ <

Or N est le complémentde 1. 1 droit, car les angles au point 0 valent deux droits; 1 AOM

+ =

donc

d'où AM-BN

'

= A02.

Théorème399. — I. J297. Par an point L pris sur an diamètreAB, on mène une corde quelconqueCLD et les droites BCE, BDF jusqu'àla rencontrede la tangenteEAF menéepar le point A; prouver que le produit de AE par AF est constant. MenonsMLN parallèleà la tangente. Les droites CM, DN sont antiparallèles. En effet, l'angle M 1/2 (BJ — CI) 1/BC,

=

mais

=

= =

angle D 1/2 BC, donc angle M D. Ainsi le quadrilatère CMND est inscriptible, et l'on a : LM. LN LC. LD LI2 ; donc AE AF AG2, . quantitéconstante.

=

=

=

Théorème 400. 1298'. On donneune droite XY,

une circonférenceet deux pointsA

et B sur cette courbe; on joint chaquepoint M de la circonférence aux points A et B, l'on détermine ainsi despoints C, D sur la droite ; prouver qu'il existe sur XY deux points fixes I, J, tels que le produit CI. DJ soit constant.(Concours de 1876, Mathématiquesélémentaires.) On ne peut être conduit à la déterminationdes points I et J, qu'en présupposant l'existenced'une certainesymétriedansles élémentsde la figure. En menantles parallèlesAA', BB' et les sécantesA'B'I, A'BJ, on obtient deux triangles semblablesAIC, DJB ; car l'angle I = J, l'angle A = MBB', parce qu'ils ont le même supplémentMAB'; donc l'angle CAI

= D.

On a :

-

Or le produit AI

.

BJ

d'où CI. DJ = AI. BJ.

est constant;donc il en est de même de CI DJ. .

1298 a. Sote sur l'homographie.Les côtésd'un angleconstantM, qui passent par deux points fixes A et B, déterminentsur une mêmedroite XY deux divisions homographiques, c'est-à-diredeux suites depointssecorrespondant deux à deux, et tels que le produit des distances CI, DJ, de deuxpoints correspondants C et D à deux points fixes I, J, est constant.Les divisions homographiquespeuventappartenirà deux droites différentes. L'homographieest due à M. CHASI.ES (Géométriesupérieure,chap. IV et VII). L'illustre auteur définit l'homographiepar la propriété que présentent

d'une division d'avoir mêmerapportanharmonique quatrepoints quelconques de la seconde division.Il traite l'involuque les quatrepoints correspondants tion comme cas particulier de l'homographie(chap. IX), et établit un grand nombrede propriétésnouvelles relativesà une suite de points en involution. Puis, à l'aide du puissant instrument qu'ila créé,il s'emparedes travaux de sesdevanciers,et rattacheles unsaux autresles théorèmesles plus célèbres relatifs aux coniques: c'estainsi que l'hexagramme de Pascal(G., n» 747), le quadrilatèrede Pappus(n° 1214), l'involution de Desargues (n° 1219), le théorèmede Carnot, relatif au triangle et à une conique(n° 1250), le théorèmede Brianchon(G., nu 807), le théorèmedeNewton,relatifaux sécantes parallèles,etc., sedéduisentfacilementlesunsdesautres.(CIIASLES,ÎVaitc des sections coniques, chap.II et in.) Dans sesÉlémentsde Géométrieprojective, M. CiiEMONAfait dériverl'homographiede la projection centrale.Pour cet auteur, une suite de points en ligne droite estune ponctuelle; les divisions homographiques sur deux droites différentesconstituentdeux ponctuellesprojectives; deux divisionssur la même droite donnent lieu à deux ponctuelles projectives superposées. Avec cette nomenclature,les théorèmespeuventêtre énoncésavec plus de concision. Les Élémentsde Géométrie projectivede M. CIÎEMONA ont été traduitspar M. ED. DEWULF, alors chefde bataillon du génie, plus tard généralde brigade en retraite. L'ouvragecontientde nombreuses citations ; on y rencontre lesnomsdes plusillustresgéomètres,et la Francey est dignementreprésentée parDESARGUES,PASCAL, LA HIRE, CARNOT, BRIANCHON, ,PONCEI.LT,CHASLES,etc. Théorème400. — I. 4299. Par un point L pris sur un diamètreAB ou sttr sonprolonge- ' ment, on mèneune sécanteCD, on élève une perpendiculaireLM sur le diamètre,et l'on mèneles droitesBCM, BDN jusqu'àla rencontrede la perpendiculaire; prouverque le produit LM . LN est constant.(N. A., 1844, page 502.)

Le quadrilatèreCDNM estinscriptible.