Fark Eşitlikleri

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

FARK EŞİTLİKLERİ

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

BÖLÜM 3 FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ 3.0 GİRİŞ Bu bölümde “fark eşitliklerinin lineerliği” konusu ele alınırken, 2.Bölüm’de tartışılarak ortaya konan bir takım sonuçlar, matriks ifadeler olarak kullanılacaktır. 3.1’den 3.4’e kadar olan kısımda; sabitlerin değişimi metodu ve yüksek mertebeden denklemleri içeren “Temel Teori”ye yer verilecek, “Poincore’nin Klasik Teorisi”nden bahsedilecektir. 3.6’da ise sürekli çözüm durumları, 3.7’de de sınır değer problemleri verilecektir. Son olarak; 3.8’de konu ile ilgili bazı örnek problemler verilerek bölüm sonuçlandırılacaktır. Burada da bahsi geçen; “Matriks Teorisi” ile ilgili bilgilere Ek A’ dan da ulaşılabilirsiniz.

3.1 TEMEL TEORİ kümesinde tanımlı olan A(n) ve kompleks ve reel edilebilir.

( veya

) ifadelerinden; A(n) fonksiyonu

fonksiyonel matriks elemanlarından oluşan bir s x s matriks ile ifade için lineer bir eşitlik olan;

eşitliği; “homojen olmayan fark eşitliği” olarak adlandırılır. “homojen fark eşitliği” de;

şeklindedir. “

” başlangıç vektörü olarak seçildiğinde (3.1) ve (3.2) denklemlerinin

kümesinde çözümlü oldukları kolaylıkla görülebilir. Örneğin; (3.2) denklemi için başlangıç vektörü

alınırsa;

denklemi elde edilir. Bu denklemden de;

ifadesinin tüm “n” değerleri için

ifadesine bağlı tekil olmayan çözümlerine ulaşılır. A(i) matriks elemanlarının çözüm

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

içerisindeki sıralanış şekli önemlidir. En düşük indisli matriks daima en sağda olacak şekilde çözüm; A ( n – 1 ) A( n - 2) …A ( n0 ) şeklinde okunmalıdır. Bazen karışıklıktan kurtulmak amacı ile (3.1) veya (3.2) denklemlerinin çözümlerini “

” başlangıç vektörü olacak şekilde

olarak göstermemiz gerekebilir. Şimdi (3.2)

denkleminin çözümlerinden oluşan s-uzayını ele alalım. (3.2) denkleminin iki farklı çözümünün olmadığı durumlarda bu s-uzayı lineer bir uzaydır. Bu denklemin farklı çözümlerinin lineer kombinasyonunun, aynı eşitliğin bir çözümü olduğu kolaylıkla gösterilebilir; “ “

” vektörleri

üzerinde birer birim vektör olmak üzere ve

“ için; “s” çözümleri “E1” başlangıç vektörüne bağlı olarak ifade

edilmiş olur.

Kabul 3.1.1

s-uzayındaki

”

herhangi bir çözüm ifadesi için “

yazılabilir. İspat: “

” ifadesi

S’nin lineerliğinden ve “

için (3.2)’ nin bir çözümü olsun. Bu durumda; ” ifadesinden yola çıkarak;

ifadesi elde edilebilir. Bu ifade; c başlangıç değeri olacak şekilde ve

’nin

ile birebir örtük olması durumunda (3.2)’nin tam bir çözümüdür.

Tanım 3.1.1 “ i = 1, 2, …, s” değerleri için

’ da tanımlı olan “ fi(n)” fonksiyonlarındaki

“ai, i = 1, 2, 3, … , s” katsayılarının sıfır olmadığı durumlarda bu fonksiyonlar “lineer”dir. Yani; lineerlik her

için;

olmamasına bağlıdır.

Tanım 3.1.2 “fi (n), i = 1, 2, …. , s” ifadeleri arasında lineer bir ilişki söz konusu değilse bu ifadeler lineer bağımsızdır. olacak şekilde artan indisli fi(n) fonksiyonlarından oluşan sütunlara sahip bir K(n) matriksi tanımlayalım. Benzer şekilde “a” için de; olsun.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Teorem 3.1.1 Eğer

Recep ÖZCAN

olacak şekilde bir

var ise; fi(n), i = 1, 2, …. , s

fonksiyonları lineer bağımsızdır.

İspat:

için

olsun. “a=0” değerleri için

olduğunda “f(n)” ifadeleri lineer bağımsız

olur. Bu durumda (3.2)’nin çözümleri

olmak üzere;

olur.

Teorem 3.1.2 0 ve

İspat:

fonksiyonları (3.2)’nin çözümleri olmak üzere ise ve tüm

değerleri için

için

olur.

için ;

olur. Buradan da;

olur.

Sonuç 3.1.1

oluyor ise (3.2)’nin

için

çözümü

lineer bağımsızdır.

İspat:

’ın determinantı birim matrikse eşit olduğu durumda

olduğu

durumdan ve Teorem 3.1.1’den ispat tamamlanmış olur.

Sonuç 3.1.2 durumda tüm

ise K(n) matriksinin sütunları lineer bağımsız çözümleri verir. Bu değerleri için

olur.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

İspat: (3.5) ifadesinden yola çıktığımızda;

şartını sağlayan “n” değerleri

var ise; K(n) matriksinin sütunları, (3.2)’nin çözümleridir. Bu çözüm ifadelerini içeren matrikse “Cosarati Matriks” ya da “Temel Matriks” adı verilir. Bu bölümde diğer matriks ifadelerden biraz daha farklı olan K(n) matriksine de Cosarati Matriksi olarak yer verilecektir. Yine burada bu matrikslerin determinantı için; “Wronskian” isimlendirmesinde de olduğu gibi “Cosaratian” ifadesi kullanılacaktır.

Teorem 3.1.3 (3.2) ‘nin çözümlerinden oluşan s-uzayı, s-boyutlu ve lineer bir uzaydır. Kabul 3.1.1 ve Sonuç 3.1.1’den kolaylıkla gerçekleştirilmiştir.

Tanım 3.1.3 (3.2)’nin lineer bağımsız s-çözümleri ve keyfi belirlenmiş

değerleri için;

ifadesi (3.2)’nin genel çözümü olarak adlandırılır. Başlangıç değeri

veya

olarak alındığında ve Tanım 3.1.3.’den

olur;

için daha genel bir ifade olarak;

yazılabilir. Matriks ifadesi de,

şeklini alır. K(n) için kullanılan eşitlikte de olduğu gibi;

yazabiliriz. Yine tüm

değerleri için

olduğu durumda

matriks” olacaktır. (3.7)’yi tekrar yazacak olursak; Buradaki

(i) (ii)

- matriksinin özellikleri;

Eğer

var ise [email protected]

-matriksi de “temel olduğu görülür.

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olur. (3.10) bağıntısından s
tanımlanabilir. Şimdi homojen olmayan (3.1) eşitliğini ele

alacak olursak; Kabul 3.1.2 (3.1) ve (3.2)’nin çözümleri olan

ve

arasındaki farklılık (3.2)’nin bir

çözümüdür.

İspat:

ifadeleri yazılabilir. Bu ifadelerden de

yazılabilir ki; bu

eşitlik ile Kabul 3.1.2.’nin ispatını tamamlamış oluruz.

Teorem 3.1.4 (3.1)’in her çözümü için; (3.1)’in çözümleri ve

yazılabilir. Burada

ifadeleri

da homojen eşitlik olan (3.2)’nin temel matriksidir.

İspat: Kabul 3.1.2’den

ve s-uzayının yine bir elemanı olarak

yazılabilir. Eğer A-matriksi “n”den bağımsız ise temel matriks ifadesi sadeleşir çünkü; olur.

3.2

SABİTLERİN VARYASYONU METODU (3.2)’nin genel çözümünden (3.1)’in çözümü elde edilebilir. (3.2) ‘nin genel çözümü; şeklinde idi. Burada “c” ifadesinin

‘in bir elemanı olması,

çözümlerini, (3.1)’e de genelleme imkanı sağlar. Buradan hareketle;

ifadesini elde edebiliriz. Bu ifadeden tüm

değerleri için

ettiğimizde;

olur. [email protected]

olduğunu kabul

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Üstteki ifadenin çözümü de;

şeklindedir. Şimdi (3.1)’in çözümü için;

yazabiliriz.

için;

olur. (3.4) ve (3.9)’ dan

için (3.11) ifadesi;

ve

yazılabilir. A-matriksi sabit olduğunda;

ve tabii ki

için (3.12) ifadesi yeniden düzenlenirse;

şeklini alır. Şimdi A(n) ve

ifadelerinin

üzerinde tanımlı oldukları durumları dikkate alacak

olursak; Teorem 3.2.1

Olduğunu kabul edersek ve

olduğunda;

Şeklindeki ifade (3.1)’in bir çözümüdür.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

için

İspat:

Recep ÖZCAN

olduğu durum dikkate alındığında

elde edilir. Bu ifade sırası ile ve

olur. Bu dizi

değerleri

olacak şekilde seçilirse; Cauchy dizisi olur. Buradan da;

yazılabilir. Bu dizi

için yakınsaktır. Dolayısı ile

yazılabilir. Bu ifade de yine (3.1)’in bir çözümü olup

ifadesi için;

için;

şeklinde gösterilebilir. Sabit katsayı değerleri için çözümü tekrar düzenlediğimizde A’nın öz değerlerinin birim çember içinde kaldığı durumlar için

ifadesi;

şeklini alır. Bu kısmı, formal seriler şeklindeki çözüm ifadelerini vererek kapatacak olursak; yazılabilir. Bu ifade

ile çarpılıp sıfır ile sonsuz arasında toplam şeklinde

yazılabilir ve böylelikle ifademiz;

şeklini alır.

İfadeleri de yerine konulduğunda;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

elde edilmiş olur. Buradan da;

ve ifadelerine ulaşılır. Bu formal seriler yakınsak olduğu durumda, (3.17) eşitliği Y(z)’nin çözümlerini verir. matrikside A’nın çözümleyicisi olarak adlandırılır. Bu matriksin özellikleri sayesinde, “ ” çözümünün özellikleri hakkında fikir sahibi olabiliriz.

3.3 BAĞIMSIZ (ÖZERK) SİSTEMLER

eşitliğindeki reel n x n matriksinden oluşan “A” ifadesinden, uygulamadaki önemi dolayısıyla özellikle bahsetmek gerekmektedir. Doğal olarak “A” matriksinin özellikleri ile çözümlerin özellikleri arasında bir bağ söz konusudur. Bu ilişkinin bir kısmı “sabitlik” ile alakalı olmakla birlikte, bir sonraki bölümde bu konu tartışılacaktır. Ayrık Morkov zincirlerinde olduğu gibi uygulama anlamında önemli olan diğer özelliklerden de söz etmemiz gerekmektedir. Burada dikkate alacağımız iki durum söz konusudur; (1)

A matriksinin içerisinde

olarak adlandırılan ve diğerlerinden daha geniş bir moda

sahip olan bir tepe öz değeri vardır. (2)

A matriksinde bulunan tepe öz değerlerinin modları aynıdır.

İlk durumda n’nin büyük değerleri için “

” çözümü “

eğilimindedir. Çözüm için başlangıç değeri “ oluruz. Bu durumda

” öz vektörü ile paralellik gösterme

” olarak alacak olursak kabulü de ispatlamış

çözümü için;

yazılabiliriz. [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

EkA’da verilmiş olan hesaplamalardan da faydalanarak “ ” çözümü;

olarak gösterilebilir. Bu ifadeden de anlaşılabileceği üzere; “ birden küçüktür ve “

” değeri modüler anlamda

” ifadesi öz vektör ile ilişkilendirdiğimiz “

” doğrultusundadır. Bu

sonuç önemlidir çünkü; pek çok matriks benzer özelliği sergilemektedir. Peron-Frobenius teoreminde adı geçen pozitif matriksler için de benzer özellikten bahsedilmektedir. (Bakınız EkA). İkinci durumda ise her biri eşlenik ve kompleks olan ortak öz değerlerden, giderek artış gösteren periyodik çözümler türetilebilir. Bu durumla ilgili benzer bir örnek Bölüm 8’deki “Leslic Model” konusunda da verilecektir.

3.4 YÜKSEK MERTEBELİ EŞİTLİKLERDEKİ DURUM K. ıncı dereceden bir lineer fark eşitliği olan ;

için

’deki birinci sıklık ifadesi için;

yazılabilir ve benzer şekilde matriks ifadesi;

şeklini alır. Bu ifadelerden hareketle ve “

” başlangıç değeri olarak belirlendiğinde (3.18) ifadesi için;

yazılabilir. Buradaki A(n) ifadesi “eş matriks” ya da “Frobenius Matriks’i olarak adlandırılır. (3.21)’de verilen çözüm ilgi çekici özelliklere sahiptir ve bu özellikler sıralanacak olursa;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

(i)

“

Recep ÖZCAN

”nın determinantı olan

ifadesindeki

A’nın değerlerine karşılık gelen “n.inci” dereceden fark eşitliğinin özelliğini ortaya koyan bir ifadedir. (ii)

(3.18) ifadesi k, reel bir sayı olmak üzere k.ıncı dereceden bir eşitlik ise; olur ve buradaki A(n) ifadesi tekil değildir.

(iii)

A(n)’in basit olmayan hiçbir öz değeri, yarı basit değere sahip değildir (Bkz. EkA). Bu durumda; A’ya karşılık gelen öz değerlerin cebirsel ve geometrik çarpımları çakışıktır. Bu özellik çözümlerin niteliksel özelliklerinin ortaya konması anlamında önemlidir.

(iv)

A’nın n’den bağımsız ve basit

öz değerlerini alması durumunda, “A” ile gösterilebilir. Burada V: Vandermonde

daha basit bir ifade olan; Matriksi olup;

ve

şeklindedir.

(3.21)’in çözümü (3.11) ile birlikte düşünüldüğünde “

şeklini alır. Temel Matriks olan “

” ifadesi;

” ifadesi de;

olur. Şimdi de Casorati Matriks’i olan K(n)’in homojen (3.21) eşitliği için k’ya bağlı çözümleri olan “

”için K(n) ifadesi;

olur. Örnek 4: Chebyshed Polinomları olarak da tanımlanan ikincil yapıdaki eşitlikleri dikkate aldığımızda; (Bkz. EkC’den benzer polinomların özellikleri); yazılabilir. Bu ifadeyi matriks olarak yazdığımızda;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

şeklini alır. Burada problemin temel matriksi olarak

seçilirse çözüm de;

şeklini alır. ifadesini doğrudan hesaplamak mümkün değildir.

ifadesi dikkate alındığında “

” değeri daha kolay elde edilebilir. Bu ifade Casorati Matriksi

yapısına sahiptir. (Bkz. EkC) ve bu ifade K(0) için;

olur. “

” eşitliği ve Chebyshev polinomlarının özelliklerinden faydalanarak;

eşitliğini yazabiliriz. Bu sonuçlardan faydalanarak fark eşitliklerinin çözümlerinin özellikleri ile ilgili genel çıkarımlara gitmek mümkündür. Buradaki “z” değerleri için ve N>0 olduğu durumda “

” olduğunu da göstermiş oluruz (Bkz. Problem 3.5).

Örnek 5: “

” olduğunu biliyoruz (Bkz. Bölüm 2)

ettiğimizde bir önceki örnekteki eşitlik; ’nin değişik değerleri için alınabilir ve bu durumda ifade 1. dereceden bir polinom olarak karşımıza çıkar;

ve

Matriks ifadesi olan; [email protected]

olarak kabul olarak

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

kullanıldığında;

yazılabilir. Uzay boyutu çiftlendiğinde; İkincil yapıdaki eşitlik birincil yapıdaki;

: n-boyutlu özdeşlik matriksidir. Bu örnekte Problem

eşitliğine dönüştürülebilir. Burada 3.6’daki “

” olduğu gösterilmiştir (Bkz. Problem 3.6).

3.4.1 Tek Taraflı Green Fonksiyonları (3.21)’in de çözümleri olan “

” ifadeleri (3.18)’in çözümü ile ilgili pek çok bilgiyi

bize sunmaktadır. Örneğin; (3.18)’in çözümü için. “

” ifadesinin

” olarak kabul edildiğinde (3.11)’den;

herhangi bir bileşenini ele almak yeterlidir. “

elde edilmiş olur. (3.19’dan da; ’i elde etmek için

olduğu görülür. Burada

şartını sağlayan

olur. (3.18)’in çözümü olan ’in son değeri dikkate alındığında ise;

’dir. Dolayısı ile H ifadesi;

şeklindedir. Buradan; (3.23)’ün çözümü için;

yazılabilir.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Buradaki

Recep ÖZCAN

fonksiyonu “Tek Taraflı Green Fonksiyonu” olarak adlandırılır ve

değişik özelliklere sahiptir. Burada (3.24)’den faydalanarak “H” için;

yazılabilir. Ek özellikleri de dikkate aldığımızda;

öz değerini yazabiliriz. Buradaki “

” ler

’da birim vektör ve I: Özdeşlik matriksidir.

(3.24)’den bir diğer gösterim olarak “H” ifadesi; K(n+1) dizi elemanları ve

son

sütün elemanlarının toplamı olarak yazılabilir.;

’in son sütunu dikkate alındığında bunun “K(j+1)” matriksinin son dizi elemanlarının kofaktörü olduğu görülür. Buradan da;

olarak yazılabilir. Sonuç olarak;

ve

elde edilir.

Teorem 3.4.1 H(n,j) fonksiyonu, farklı “j” değerleri için (3.18) ile ilişkilendirildiğinde;

olur.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

İspat: (3.25)’in çözümü için, (3.29)’dan ve determinant özelliklerinden faydalanarak; ise

için;

yazılabilir.

çözümünden başlangıç koşullarının keyfi olarak belirlendiği durum ve (3.18)’den benzer şekilde bir takım ifadelere ulaşılabilir. k.ıncı değer için elimizdeki ifade;

şeklini alır. Sabit katsayılar içinse H(n,j) daha basit şekilde ifade edilebilir.

’ye bağlı karakteristik

polinomların tamamının farklı olduğunu kabul ettiğimizde (3.28) için;

yazabiliriz. Burada “

”, son dizinin i.nci elemanı ve

:

’ye bağlı karakteristik

polinomun türevidir. Burada

olduğu da kolaylıkla görebiliriz. yazıldığında çözüm ifadesi için;

olur. Öyle ki;

için de;

olur. [email protected]

için

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Sonuç olarak; (3.29), (3.30) ve (3.31)’in özelliklerinden faydalandığımızda sırası ile; ve

şeklini alır.

3.5 Poincare Teoremi Bu kısımda “

” için (3.18)’in çözümleri ile ilgili iki temel teorem üzerinde

durulacaktır.

Teorem 3.5.1 (Poincare): Eğer

oluğu durumda

ise

, (3.36)’nın bir çözümü olmak üzere, her bir

çözümü için;

olur. ve

ifadesinde

İspat:

için A(n) matriksi

şeklinde ayrı yazılabilir. Burada;

şeklindedir. Dolayısı ile (3.21)

;

ve denklemi;

şeklini alır. Şimdi de A ifadesini

aldığımızda, buradaki V ifadesi, A’nın Matriksi olup

öz değerlerinden oluşan Vandermonde

şeklindedir. Yine burada

kabul edersek, farklı değişkenler için de;

olduğu

olduğunu

ve

Bu gösterimlerden yola çıkarak; bileşenleri

olarak

yazılabilir. ifadesine ulaşmış oluruz.

’in lineer kombinasyonları şeklindedir. Bu da bizi “

sonucuna

götürür.

Şimdi

de

“n”

değerine

olduğunu varsayalım. Bu durumda;

bağlı

“ için “ “s”

indeksleri

” için,

olacak şekilde bir “

değeri seçilecek olursa; S(n) fonksiyonu azalan bir fonksiyon olmamaktadır.

[email protected]

’nin

”

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

için

Biliyoruz ki;

Recep ÖZCAN

olacak şekilde ve

sağlayacak kadar küçük bir “ ” değeri seçecek olursak;

koşulunu ve “s(n+1)=s” için;

ve

yazılabilir. Sonrasında; eğer “s(n+1) = j” ifadesi s(n) fonksiyonundan daha küçük olduğu durum için;

olduğunu gösterebiliriz. Böylelikle de j’ye bağlı bir ifade seti elde etmiş oluruz. Burada n>N seçimi, tüm değerleri karşılayan ya da “k” değerine denk gelen uygun bir seçim olur. Değişik rotasyon değerleri;

şeklinde sıfıra yaklaşan bir şekilde gösterir ve işlemleri bunun üzerinden ilerletecek olursak; önceki ifadelerden de bildiğimiz şekli ile “

” ifadesini ilk hareket

noktamız olarak alalım bu durumda; (3.37) için “ ” , daha yüksek limit değerine sahip olmaktadır. Sonrasında (3.37)’nin “ ” ya bağlı artış gösteren olarak j>s kabulünü yaptığımızda;

olur. Buradan;

yazılabilir. Bu da bizi keyfi belirlenmiş küçük “ ” değerleri için;

[email protected]

değerleri ve

için ilk

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

sonucuna götürür. Bu ilişki “ durum için de “

” için “

Recep ÖZCAN

” koşulu ile sağlanabilmektedir. “j<s” olduğu

” için benzer sonuçlara ulaşabiliriz;

Şimdi orijinal “ ” çözümünü dikkate alalım. Ayrı iki dizi olan “ ifadelerinden;

” ve “

”

için;

ve

sonuçlarına ulaşabiliriz ve bu sonuçlardan da;

olduğunu kolaylıkla gösterebilir. Şimdi ispatlamalara gidilmeksizin bir sonraki teorem olan Perron’dan bahsedilecektir. Teorem 3.5.2 (Peron) Teorem 3.5.1’in doğru olduğunu ve kabul ettiğimizde. “k” çözümleri olan

için;

olarak yazılabilir.

[email protected]

için

olduğunu

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

3.6 Periyodik Çözümler “N”nin birden büyük pozitif tam sayı olması durumunda. dereceden fark eşitliğinin çözümü olan

“ ”

ise birinci

ifadesi periyodiktir ve bu çözümünlerin

periyodu “N” dir. Örnek 6: Örnek 5’de tanımlanan sistem ele alındığında.

oluncaya kadar herhangi bir

sistemin periyot 10’a sahip olduğu görülür ve aynı periyoda sahip fark eşitlikleri içinde;

yazılabilir.

eşitliği dikkate değer bir sonuçtur ve burada “ ” değeri için; olarak alınabilir. Bu ifade de bizi eski bir basit geometrik hesaplamanın

sonucu olan altın orana, oradan da düzgün dekagona götürür (Bkz. Problem 3.20). Bu örnekte de olduğu gibi tek bir periyodik çözüm söz konusudur. Fakat diğer durumlarda; bir sonraki örnekte de görüleceği üzere; pek çok periyodik çözüm bulunabilir. Örnek 7: Örnek 5’de;

olması durumunda

ve

olmalıdır.

Buradan N’in farklı değerlerine karşılık gelen, Z’nin “N” periyodundaki periyodik çözümleri için;

olur. Burada tekil olmayan birinci dereceden sistemler için durum şu şekildedir; A(n), tekil olmayan reel s x s matrikslerden oluşur ve

vektörleri

’in elemanlarıdır. A(n) ve

periyodik olduğunu varsaydığımızda da; A(n+N)=A(n) ve

olmaktadır.

Homojen (3.2) eşitliğinin basit periyodik çözümlerinden birisi “ Homojen olmayan (3.1) denklemi içinse; tüm “n” değerleri için sağlayan bir “ ” değeri var ise bu “ ” ifadesi basit periyodiktir. Bu kısımda da basit olmayan periyodik çözümler araştırılacaktır. [email protected]

’in

” şeklindedir. eşitliğini

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Teorem 3.6.1 Eğer A(n) periyodik ve periyodu N ise temel matriks olan

Recep ÖZCAN

ifadesi;

olur. İspat: Bu ifadenin ispatına

’nin tanımından ve A(n)’nin periyodikliği ile ilgili

hipotezlerden kolaylıkla ulaşılabilir.

Teorem 3.6.2 Eğer homojen (3.2)’nin periyodik çözümü sadece “

”

ise homojen

olmayan (3.1) eşitliğinin N periyodu için tek bir periyodik çözüm vardır ve bu ifadenin terside doğrudur.

İspat: (3.1) ve (3.2)’nin periyodik çözümleri sırası ile

olmak üzere

başlangıç değeri “ ” için bu çözümler;

şeklindedir ve aynı “ ” değeri için;

olur. Burada

‘dır.

(3.39) ve (3.40) eşitliklerinin çözümleri başlangıç değeri için, (3.2) ve (3.1)’in periyodik çözümlerini verecektir. İspatlandığı üzere; eğer (3.39)’un “ =0” şeklinde tek bir çözümü var ise

olur ve bu durumda da (3.40)’ın basit olmayan tek bir çözümü

vardır. Yine bu durumun tersinin geçerliliği de ispatlanmıştır. Şimdi

ve N(B) (B’nin boş uzayı) k-boyutlu ise (3.39)’un k-tane çözümü

vardır ve benzer şekilde (3.2)’nin de k-tane periyodik çözümü olacaktır. Eğer (3.40)’daki problem durumu için;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

yazılacak olursa ve bu ifade ifadeleri

Recep ÖZCAN

ile dik ise çözümlerin varlığından söz edilebilir. ’nin esas değerleri olmak üzere;

olur. Buradan da;

yazabiliriz. Diklik şartı için de;

yazılabilir.Benzer şekilde;

olur. Sonuç olarak da;

ifadesine ulaşırız. Bu sonuçtan faydalanarak Teorem 3.6.3 ortaya konulabilir.

Teorem 3.6.3 Eğer homojen (3.2) eşitliğinin N periyoduna sahip periyodik çözümü var ise (3.45)’den homojen olmayan (3.1) eşitliğinin de N periyotlu periyodik çözümleri vardır.

(3.44) ile verilen fonksiyonları dikkate aldığımızda

yazılabilir. “

olacak şekilde;

” değerlerinin N periyotlu olması durumunda;

olup bu ifade (3.1)’in “Katkılı Eşitliği” olarak adlandırılır. Bu eşitliğin temel matriksi olmak üzere bu temel matriks için;

yazılabilir. (3.46) kullanılarak Teorem 3.6.3, Teorem 3.6.4’de olduğu gibi farklı bir şekilde ifade edilebilir.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Teorem 3.6.4 Homojen (3.2) eşitliğinin N periyotlu k-tane periyodik çözümü var ise ve ” ile verilen vektör ifadesi “katkılı eşitliğe (3.46)” ait çözümlere dik

“

ise homojen olmayan (3.1) eşitliğinin N periyotlu periyodik çözümleri vardır.

Teorem 3.6.5 A(n) ve

’nin N periyotlu periyodik ifadeler olduğunu kabul edelim. Eğer

homojen olmayan (3.1) eşitliğinin N periyotlu periyodik çözümleri yok ise bu eşitlik sınırlı sayıdaki çözümlere sahip olamaz. İspat: (3.1)’in hiçbir periyodik çözümünün olmadığı durumda, Teorem 3.6.2.’den hareketle; (3.1)’in (3.45)’deki koşullarını sağlayamadığı sınırsız sayıda çözümü vardır. Bu durumda;

;

olur. (3.1)’in tüm “

bir çözümdür. Buradan;

” çözümler için de ;

genel ifadesi yazılabilir.

’nin periyodikliği ve (3.38)’den faydalanarak. Benzer

şekilde;

yazabiliriz. k>0 için daha da genel bir ifade ile;

şeklini alır. Bu ifadede görüldüğü gibi “

” ifadesi sınırlandırılamamaktadır.

Periyodik çözümlerin sabitliği konusu incelendiğinde; “

” matriksinin

sabitlik ile ilişkilendirilmesi anlamında önemli bir yere sahip olduğu görülmektedir.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

ve (3.38)’den;

olur. k>0 için aynı ifade;

şeklini alır. U’nun öz değerlerinden birisi “ ” olduğunda ve v’nin öz vektör ile ilişkili olması durumunda;

ve

için

yazılabilir. Buradan da;

ifadesine ulaşabiliriz. Bu ifaden de anlaşılabileceği üzere; homojen eşitliğin çözümü “

”

başlangıç değerini almakta ve tek periyot sonrasında da “ ” ile çarpılmaktadır. Dolayısı ile U’nun öz değerleri “çarpanlar” olarak adlandırılmaktadır. Bu durumun tersi de doğrudur. Eğer “ ” tüm “n” değerleri için çözüm ise ve tüm “n” değerleri için “

” eşitliği yazılabilir ve bu eşitlikte bizi “

oluyorsa

” sonucuna götürür ki buradaki

“ ” ifadesi, U’nun birim vektörüdür. Örnek 4’de de görüldüğü üzere; A(n) matriksi sabit olduğu durumda periyodik sonuçlar artış gösterebilmektedir.

3.7 Sınır Değer Problemleri Sturn-Liouville problemi;

eşitliklerinde de olduğu gibi farklı bir şekilde ele alınabilir. Bu eşitlik koşulları ise; ve

şeklindedir. Buradaki tüm dizi elemanları reel

sayılardan oluşmaktadır. Bu problem durumunun ileriki aşamalarda bazı ergümanların da [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

kullanılmasıyla çok sade bir şekilde ifade edilebileceği görülecektir. İfadeler vektör formuna sokularak, lineer cebir problemi şeklini alacaktır. İlk iş olarak (3.51) ifadesinden yola çıkacak olursak, bu ifade;

olacak şekilde aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir;

ve

için de;

olur. Elde edilen son eşitlik, görülebileceği üzere (3.51)-(3.52) eşitliklerinin eş değeri şeklindedir. Bu (3.54) eşitliği, A matriksinin bir genelleştirilmiş öz değer denklemidir. Bu problem durumunun çözümlerinin olması durumunda; olur ki bu da bir polinom eşitliğidir.

Teorem 3.7.1 (3.54)’ün genelleştirilmiş öz değerleri reeldir.

İspat:

olsun, bu durumda (3.55)’in kökleri;

olmak üzere; (3.56)’nın da kökleridir. SAS matriksi simetrik ise reel öz değerlere sahiptir ve her bir “ ” öz değerine karşılık (3.54)’ün çözümü olan bir “ ” öz vektörü vardır. Bu durum, standart ergümanlardan da kolaylıkla ispatlanabilir; eğer farklı öz değere karşılık gelen öz vektörler ise; [email protected]

ve

iki

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olur.

Tanım 3.7.1

’de olduğu gibi “ ” ve “ ” iki farklı vektör olmak üzere bu

ifadeler R-Ortogonal olarak adlandırılırlar. Sturn Liouville problemi olan (3.51)-(3.52), (3.54)’ün eşiti olduğunda;

Teorem 3.7.2 Sturn-Liouville probleminin iki ayrı çözümü için iki farklı öz değer vardır ve bunlar R-Ortogonaldır.

Şimdi

ve A(n), s x s matriks olmak üzere daha genel problem durumu olan;

eşitliğini dikkate alarak sınırlandırılmış durum için;

olduğunu varsayalım. Burada “n” ve “w”; sağlayan birer vektördür.

ve

ifadesi de s x s matriks olarak verilmiştir.

problem olan; için temel matriks olarak seçildiğinde,

için (3.58)’in çözümleri;

şeklini alır. Burada “ ” belirsiz başlangıç koşuludur ve (3.59)’un sınırlılığı için;

yazılabilir. Bu sonuç;

[email protected]

koşullarını , homojen

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

şeklinde yeniden düzenlenebilir. Burada basamak matriksi olan T(j,n), için de “0” a eşit olarak tanımlanmıştır.

için “I” ya eşit ve

olarak alındığında ise bir

önceki ifade;

olmaktadır.

Teorem 3.7.3 Eğer “Q” matriksi tekil olmaması ve (3.58) probleminin sınırlı olduğu durum için (3.59)’un;

şeklinde tek bir çözümü vardır. Buradaki G (n,j) matriksi de;

şeklinde tanımlıdır. İspat: Q matriksinin tekil olmadığı durumda, (3.36)’dan da görüleceği üzere başlangıç koşulları için;

yazılırsa; (3.61) ifadesi problem durumunun çözümüdür. “

” (3.61)’de yerine

konulduğunda;

olur. (3.64)’de verilen G(n,j)’nin tanımını ve Green matriksi ile ilgili bilgileri hatırlayacak olursak; G(n,j), Green matriksi olarak isimlendirilmekteydi ve bu Green matriksi aşağıdaki gibi dikkat çeken özelliklere sahip idi; (1)

Farklı “j” değerleri için G(n,j) sınırlı olan [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olarak yazılabilir. (2)

Farklı “j” değerleri ve

için G(n,j) fonksiyonu için homojen olan;

yazılabilir. (3)

“n=j” için;

olur.

Yukarıdaki ifadeler ile ilgili ispatlar Problem 3.26 ve 3.27’de olduğu gibi yapılmıştır. Eğer Q matriksi tekil ise (3.65)’in sonsuz sayıda çözümü olabileceği gibi hiçbir çözümü de olmayabilir. (3.63)’ün daha basit gösterimi amacı ile eşitliğin sağ tarafı için “b” yazdığımızda ifade;

şeklini alır. R(Q) ve N(Q)’nun sırası ile yüksek değerleri ve “Q” boş uzayı için eğer ise (3.67) çözümlü olacaktır. Bu durumda; “c”, N(Q)’da herhangi bir vektör ve (3.67)’in herhangi bir çözümü olan “ ” için de çözüm; “

” olmaktadır. Diğer yandan

olduğu durumlar için de problem çözümsüzdür. Birinci durum için yani;

olduğunda; problemin çözümü, Q’nun tersinin

genelleştirilmiş halinden elde edilebilir ve “r=rankQ” şeklinde tanımlanabilir. Q’nun tersinin genelleştirilmiş hali olan “

Burada P ve

” ile ilgili olarak aşağıdakiler yazılabilir;

; R(Q) ve

üzerindeki hesaplamalardır (

: Q’nun eşlenik

transpozudur.) İyi bilinmelidir ki; eğer “F” s x s matrik ise ve sütun değerleri R(Q) ise “p” için;

yazılabilir.

olduğu durumda

ifadesini kullanarak (3.67)’nin çözümü olan “ ”

için;

yazılabilir. ifadesinin elimizde olmasına karşın, sınırlı değer probleminin bir çözümü olan “ ” ifadesi (3.64) ve (3.65) de “

[email protected]

” yerine “

” yazılması ile daha

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

basitleştirilmiş olur. Bu çözüm az önce de gördüğümüz üzere tekil bir çözüm değildir. Aslında olduğunda

ifadesi;

olduğu sürece sınır değer koşullarında bir çözüm almaktadır. bağıntısı için en küçük kare çözümüne sahiptir çünkü; “ ” değeri

olduğunda ise (3.71) niceliğini

minimum yapmaktadır ve “ ” dizisi yaklaşık bir çözüm olabileceği tanımı yapılabilir.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

BÖLÜM 4 SABİTLİK TEORİSİ 4.0 Giriş Bu bölümde; 4.1’de, çeşitli sabitlik gösterimleri ve birkaç basit örnek durum verilerek, 4.2’den 4.4’e kadar olan kısımda lineer fark eşitliklerinin sabitliği teorisi üzerinde durulacaktır. 4.5 kısmında da ölçüt normların ve karşılaştırma prensiplerinin kullanımı ile elde edilen genel sonuçlardan bahsedilerek, sabit formüllerinin lineer olmayan varyanslarına 4.6’da yer verilecektir. 4.7 kısmında ise ilk tahmini değer ile sabitlik konusuna değinilecektir. 4.8 ve 4.9’da Liapunov Fonksiyonları, karşılaştırma prensibi ve birkaç teorem ile sabitlik teorisi incelenecek olup, 4.10 kısmında da zıt durumlar ile ilgili gerekli tartışmalar yapılacaktır. 4.11’de nümerik analizde olduğu kadar tüm uygulamalarda önemli yeri olan, “uygulamalı sabitlik” ile ilgili genel kavramlara değinilerek, 4.7’deki konu ile ilgili tamamlayıcı birkaç problem durumu ile bölüm sonuçlandırılacaktır.

4.1 Sabitlik Gösterimleri “y” merkezli ve “ ” yarı çaplı “B” açık yuvarı; “B(y, “y=0” içinde daha kısa bir gösterim olan; “ olduğunda;

)” şeklinde gösterilecektir.

” kullanılacaktır.

ve

yuvarlarında da olduğu gibi; orijin noktası tartışılırken, bu

noktaların daima D’ de olduğu varsayılacaktır.

fark eşitliğini ele alalım.

Tanım 4.1.1

buradaki “ y” noktaları

şeklinde tanımlı ve tüm “n” değerleri de (4.1)’in sabit

noktalarıdır. Bu noktalar, “kritik noktalar” veya “denge noktaları” olarak adlandırılır. İfadelerin basitleştirilmesi için sabit noktaların orijinde olduğu kabulü yapılacaktır. Sabit

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

noktalar orijinde olmadığında;

şeklinde bir koordinat değişimi yapıldığında sabit

noktaların merkezde olduğu;

durumuna kolaylıkla geçiş yapılabilmektedir. Tanım 4.1.2 (4.1)’in “y=0” çözümü için aşağıdaki tanımlamalar yapılabilir;

(i)

Eğer her

ve her

için

olacak şekilde bir

değeri

varsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “sabit”tir. (ii)

“y=0” çözümü sabit ve “ ”, “

” dan bağımsız seçilmişse; (4.1)’in “y=0” çözümü

“tek tip sabit”tir. (iii)

Eğer

olduğunda

oluyorsa; (4.1)’in “y=0”

için

çözümü “çekici”dir. (iv)

Eğer çözüm, çekici ve “ ” değeri “

”dan bağımsız seçilebiliyorsa; (4.1)’in

“y=0” çözümü “tek tip çekicidir”. (v)

Eğer çözüm sabit ve çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “asimptotik sabit”tir.

(vi)

Eğer çözüm tek tip sabit ve tek tip çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “asimptotik tek tip sabit”tir.

(vii)

değerleri için çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “geniş

Eğer çözüm tüm çaplı çekici”dir.

(viii)

değerleri için asimptotik sabitse; (4.1)’in “y=0” çözümü

Eğer çözüm tüm

“geniş çaplı asimptotik sabit”tir. (ix)

Eğer “ >0”, “a>0” koşulunu sağlayan “ ” ve “a” değerleri var ise ve yazılabiliyorsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “tek tip

için; ekspronansiyel sabit”tir. (x)

Eğer çözüm sabit ise ve bazı “p>0” değerleri için; oluyorsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “ -sabit” tir.

(xi)

Eğer bir önceki madde “ ” ile ilgili olarak tek tip bir noktada birleşiyorsa (4.1)’in “y=0” çözümü “ tek tip

- sabit”tir.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Örnek 8:

fark eşitliğini ele alalım. Buradaki “ ” değerleri reel sayılardan oluşmak üzere (4.2)’nin çözümü için;

yazılabilir. Bu çözümle ilgili olarak şunlar söylenebilir; (a) Çözümün sabit olması durumunda;

ise

olur ve sabitlik için

ifadesi;

değerlerini alır. (b) Çözümün tek tip sabit olması durumunda

ve

olmalıdır. Bu tek tip sabitlik durumu,

olması koşuluna da bağlıdır.

(c) “y=0” çözümünün asimptotik sabit olduğu durumda; eğer “a” nın tekil ifadesi;

ise

yazılabilir. Bu durum “

” olduğunda geçerli değildir. Bu da göstermektedir ki; “tek

tip sabitlik” ve “asimptotik sabitlik” iki farklı yapılanmaya işaret eder. (d)

ve buradaki “

” ve “

” ise; “x=0” çözümü “ekspronansiyel sabittir”. [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Burada bahsi geçen farklı çeşitlilikteki sabitlikler için hiyerarşik bir yapı söz konusudur. Örneğin; sabitliğin “tek tip asimptotik” olması; sabitliğin “asimptotik” olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde; çözümün “tek tip sabit” olduğu durumda aynı çözümün “sabit” olduğu yargısına varılabilir. Buradan bir genellemeye gidilecek olursa; çözümün “asimptotik sabit” olması; çözümün “sabit” olduğu anlamına gelir. “f” in “n” e bağlı olmadığı durumlarda (4.1) eşitliği “özerk eşitlik” olarak adlandırılır. “özerk eşitlikler” tek tip sabittirler ve bu durum; “özerk

olarak

durum”

adlandırıldığında

bu

” eşitliğinden görülebilmekteyiz.

“

eşitlik ifadesini yazızlabiliriz. İki çözümünde “

özerkliği için de aynı

” için aynı değere sahip olduğunu

” için birbiri ile uyumludurular. Bu da demek oluyor

varsaydığımızda da; bu çözümler “

ki; özerk eşitliklerin sabit nokta değerleri için her zaman “

” alınabilir. Eğer “

” için

sabit çözüm durumu söz konusu ise ve tüm “ ” değerleri içinde aynı durum geçerliyse; çözümün “tek tip” olduğu söylenebilir. “Çekicilik” kavramı “sabitlik” kavramından daha farklı bir yapılanmaya sahiptir ve bir sonraki örnekte de bu durum ortaya konulmuştur. Örnek 9: Aşağıdaki eşitlikleri ele aldığımızda;

şeklindedir ve (4.4)’ün orjinin sabit olmaması durumunda bu ifade;

Burada

“geniş çaplı çekici” dir. Elbetteki çözüm için “ -sabitliği” söz konusu ise sistemin asimptotik serisinin,

sabit olduğu da söylenebilir. Çünkü; yaklaşır. Ekspronansiyel sabitliğin,

ortak ifadesi sıfıra

-sabitlik ile olan ilişkisi de aşağıda gösterildiği gibidir.

Teorem 4.1.1 Eğer “y=0” çözümü, “ekspronansiyel sabit” ise bu çözüm aynı zamanda “ sabit”tir. İspat: Tanımdan faydalanarak,

ve

yazılabilir. Buradan da;

[email protected]

olması durumunda;

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

şeklinde ispat tamamlanmış olur.

4.2 Lineer Durum Şimdi “tek tip sabit”lik ve “asimptotik sabitlik” karakteristik yapıları ile ilgili sonuçlar, temel matriks ifadesi ile birlikte ele alınacaktır. İlk olarak A(n)’in s x s bir matriks olduğu;

eşitliğini ele alalım;

Teorem 4.2.1

eşitliğinde

, (4.5)’in temel matriksi olmak üzere;

için M>0 şeklinde bir “M” var ise “y=0” çözümü “tek tip sabit” olur.

İspat:

olduğunda;

ve yeter şart

ve için

konusuysa;

olması için gerek olmasıdır. Eğer burada tek tip sabitlik söz olmak zorundadır ve

olarak

alındığında da;

şeklinde sınırlandırılmış ifade elde edilir. Dikkat edilmelidir ki; (4.7),

’ın sadece

tanımıdır (Bkz. EkA).

Teorem 4.2.2 Eğer çözümü;

olacak şekilde “ ” ve “ ” gibi iki pozitif sayı var ise (4.5)’in “y=0” ifadesinden de görüleceği üzere; “tek tip asimptotik sabit”tir.

İspat: Bu koşullu durumun ispatı daha önce de olduğu gibi basittir. Çözümün “tek tip asimptotik sabit”liği durumunda, “ koşullarını sağlayan “ de

” olacak şekilde sabit bir noktadır. “ ve “

” değerleri mevcuttur.

olur. Daha önce de olduğu gibi bu ifadeden olduğu kolaylıkla görülebilir. [email protected]

için için

için “ ” ifadesi keyfi

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olarak ufak seçilirse; çözüm “tek tip asimptotik sabit” olur. Daha önceden bahsedilen Hiyerarşik yapılanmadan da bu ifadenin aynı zamanda “tek tip sabit” olduğunu söyleyebiliriz. Bu tek tip sabitlik durumundan hareketle de; değerleri için

sonucu tüm

pozitif değeri ile sınırlandırılmış olur.

Dahası;

için;

ve

yazılabilir. Burada

alındığında teoremin ispatı tamamlanmış

olur. Bu teoremden; lineer yapılanmalar için “tek tip asimptotik sabit”liğin “ekpronansiyel sabitlik” ile eşdeğer olduğunu görebiliriz.

4.3 Özerk Lineer Sistemler Bu kısımda uygulamalardaki önemi dolayısıyla “lineer özerk eşitlikler” incelenilecektir. Hali hazırda Teorem 4.2.1 ve 4.2.2 ile ilgili sonuçlar elimizdeyken burada da olduğu gibi, daha açık ve anlaşılır sonuçlara ulaşılabilir. Homojen özerk eşitlik olan;

için çözüm; olmaktadır. Matriks teorisinden de biliyoruz ki (Bkz Ek A);

idi. (4.10)’daki A’nın öz değerleri birim değerler olarak alındığında;

olur.

Bu sonuç, sonraki sonuçlara ulaşmak için hareket noktası özelliği taşımaktadır.

Teorem 4.3.1 Eğer A matriksinin öz değerleri, birim disk içerisinde kalıyor ise (4.8)’in “y=0” çözümü “asimptotik sabit”tir. [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Eğer

Recep ÖZCAN

0 ise “ ” öz değerini “yarı basit” olarak adlandırmıştık.

Teorem 4.3.2 Eğer A matriksi, birden az veya bire eşit yarı basit moda sahip ise (4.8)’in “y=0” çözümü “sabit”tir. İspat: (4.10)’dan kolaylıkla görüleceği üzere; yarı basit öz değerler için “q” ifadesi için

olacak şekilde işlem devam ettirilebilir. Aynı zamanda burada

olmamalıdır. A matriksinin “eş matriks” olması durumunda ise basit olmayan hiçbir yarı basit öz değerden bahsedemeyiz (Bkz. EkA). Bu durumda Teorem 4.3.2, sözü edilen şekli alır.

Teorem 4.3.3 A, eş matriks olsun. A’nın öz değerleri birden küçük ya da bire eşit mod değerlerine sahip ve bu modlardan birisi basit ise “y=0” çözümü “sabit” olur. Örnek 10:

eşitliği basit çözümlü bir denklemdir. Burada “I” matriksi s x s şeklidedir ve öz değerlerinin çarpımı bir olan, birim matrikse örnek teşkil etmektedir. (4.11) ifadesi ise yarı basittir ve “y=0” çözümü sabittir. Şimdi homojen olmayan;

denklemini ele alalım. Buradaki A, s x s matriks ve b’de negatif olamayan bir vektördür. Kritik nokta olan “ ” için çözüm olarak;

yazabiliriz. Burada, fark eşitliklerinde de olduğu gibi (4.13)’ün negatif olmayan çözümleri ile sabitlik özellikleri arasında bir ilişki vardır. Aşağıdaki iki teorem içinde kullanılan gösterimler için EkA kısmına bakınız.

Teorem 4.3.4

Eğer

ise ve A’nın spektral yarıçapı olan “

küçük ise (4.13) denklemi negatif olmayan çözümlere sahiptir.

[email protected]

” değeri birden

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

İspat:

var ise

Recep ÖZCAN

ifadesi için

da negatif olmayan çözüm;

=

yazılabilir. Buradan

şeklinde gösterilir.

ile ilgili kabulden;

“y” nin “asimptotik sabit” olduğunu görüyoruz.

Teorem 4.3.5

ve “b” pozitif sayı olsun. Eğer (4.13)’ün pozitif

çözümü var ise;

olmak zorundadır.

İspat: Perra-Frobenius teoreminden, “

” denkleminde olduğu gibi “ ”

değeri negatif olmayan öz vektör olmak üzere, “

” ifadesi “

“ile gösterilen reel

öz değerlere sahiptir. (4.13) denkleminden; transpoz çarpımlarını ve “ ” için de; yazabiliriz. Burada eğer

” ve “

nin ikisi birden pozitif ise

<1 olmaktadır. Yukarıdaki sonuçlar, lineer eşitliklerde kullanılan metodlardaki uygulamaları dolayısı ile önemlidir.

4.4 Periyodik Katsayılı Lineer Eşitlikler Önceki kısımlarda ortaya konan sonuçlar, aşağıda verilen “özerk olmayan eşitlikler” için genellenememektedir. Bu kısım için;

denklemini dikkate aldığımızda buradaki A(n);

şeklini almaktadır. Buradaki tüm “n” değerleri içinde A(n)’in öz değerleri “

” olmakla

birlikte bu öz değerlerin tamamı “birim disk” içerisindedir. Fakat bu durum sıfır çözümün sabitliği konusunda emin olmamamız için yeterli bir sonuç değildir. Emin olabilmek için için

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

temel matriks olarak alındığında eğer “n” değeri sonsuz bir ifade ise eşitliğimiz;

şeklini alır. Bu durumda çözüm, ekpronansiyel olarak orjinden uzaklaşır. Dolayısıyla; A(n)’in başlangıç koşulları için sabitliğinden söz edebiliriz. Her ne kadar konu başlığı, “periyodik A(n) matriksleri için lineer denklemler” olsa da burada bir “ara durum” söz konusudur. (3.49) eşitliği de bize göstermektedir ki; esas eleman olan “U”,

olmakla birlikte

için;

olarak yazılabilir. Elde etmiş olduğumuz bu çözümün özellikleri, “

” ifadesinin özellikleri

ile doğrudan ilişkilidir. Bu ifade sonraki çözümlemelere emsal teşkil etmesinin yanı sıra Teorem 4.3.1’in basit ve karşılaştırılabilir şeklidir.

Teorem 4.4.1 “N” periyotlu “A(n)” için; “U” matriksinin öz değerlerinin “birim disk” içerisinde kalması durumunda

eşitliğinin sıfır çözümü “asimptotik sabit” tir.

Burada ortaya konan, özerk ve periyodik eşitliklerin basit çözümlemeleri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bu ilişki durumundan, bir sonraki teoremde de bahsedilecektir.

Teorem 4.4.2 Tüm “i” değerleri için tekil olmayan ve periyodik bir A(i) ifadesi var ise bu periyodik A(i) yapılanması özerk yapılanmaya dönüştürülebilir. İspat: “U” matriksinin tekil olmadığı durum için;

teoreminden hareketle C matriksini;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

şeklinde yazmak mümkündür (Bkz EkA). Eğer

oluyor ise

yazılabilir ve bu ifade de;

koşulunu sağladığında periyodiktir. Yeni varyasyonların gösterimi için bir matriks olan;

kullanılarak.

olduğunda;

olarak alınabilir. Buradan da ;

sonucuna ulaşırız. Bu da teoremin ispatı niteliğindedir. Çözüm ifadesi, C’nin (ya da U’nun) öz değerleri başlangıç değeri olarak seçildiğinde; olur. Burada : Öz vektör ve değeri “U”nun öz değeri olduğunda;

ifadesi de öz vektöre bağlı bir değişkendir. Fakat olur ki bu da aşağıda olduğu gibi orijinal eşitlik

ile ilişkilendirildiğinde bizi;

ifadesine götürür buna benzer bir durumu Bölüm 3’ten de hatırlayabiliriz. (4.23) çözümleri, “Floquet Çözümleri” olarak adlandırılır. Bu isimlendirme ve sonuçlar, sonraki uygulamalarda da kullanılacaktır.

4.5 Karşılaştırma Prensibinin Kullanımı Burada, kısmın (1.8)’de de değindiğimiz karşılaştırma teorileri aracılığı ile fark eşitliklerinin çözümlerinin önemli özelliklerini ortaya koyabiliriz. Bu karşılaştırma teorileri, diferansiyel denklemlerin ilişkilenimi teorisi ile paralellik gösterir.

Teorem 4.5.1 g(n,u) ifadesi, u’nun azalmayan değerleri için genel olmayan bir fonksiyon olduğunda; (1) [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

(2)

Recep ÖZCAN

ve

(3) kabullerini yapabiliriz. Dolayısıyla;

denkleminin sıfır çözümü ile (4.1)’in sıfır çözümünün sabitlik özellikleri örtüşür. İspat: (4.1)’den;

yazılabilir. Bu ifade (4.24) ile karşılaştırıldığında ve Teorem 1.6.1 ( için

olduğunda) kullanıldığında

olduğu sonucuna ulaşırız. Şimdi

(4.24)’ün sıfır çözümünün sabit olduğunu kabul edecek olursak; olacak şekilde bir

için

’dan söz edebiliriz. Bu da (4.1)’in sıfır çözümünün sabit olduğu

anlamına gelir. Bu durumda (3)’de kabul edilen ifadenin yerini; (4)

alır. Burada “u” nun azalmayan değerleri için ifademiz “g(n,u)=u+w(n,u)” şekline dönüşür. (4) ‘deki “w” değeri bazı durumlarda pozitif olarak alınması bize fayda sağlayabilmektedir. Burada (4) ile yapmış olduğumuz kabul, “Liapunov Fonksiyonları” nın kullanıldığı durum ile benzerlik göstermektedir. Aynı zamanda Teorem 4.5.1’in

Şimdi 4.5.1. ve

versiyonu son derece kullanışlıdır.

teoremlerinden, bir takım önemli varyasyonlar gösterilecektir.

Teorem 4.5.2 (i)

lineer eşitlikler için temel matriks olmak üzere;

olsun. (ii) ve [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olsun. (iii)

“ ”’nin çözümleri olan;

ifadesi

için sınırlı olsun. Bu durumda (4.25) lineer eşitliğinin sabitlik özelliği;

ifadenin sıfır çözümlerinin özellikleri ile benzerdir.

İspat:

için lineer dönüşüm sonrası (4.28) ifadesi;

şeklini alır. Buradan da;

yazılabilir. Eğer

oluyor ise

yazabiliriz ve

ifadesi “ ”nin çözümü olmak üzere;

sonucuna ulaşırız. Eğer lineer yapılanmanın çözümü örnek olarak “tek tip asimptotik” seçilirse; Teorem 4.2.2’den

olması gerektiği görülebilir.

ve

koşulları için

aynı ifade daha uygun bir biçimde;

olarak yeniden yazılabilir. Bu sonuca göre “x=0” çözümünün “tek tip asimptotik sabit” olduğu söylenebilir. Çünkü; bu ifade “ ” ile sınırlandırılmıştır. Benzer şekilde diğer durumlar da basitçe ispatlanabilir. Şimdi “nümerik analiz”de geniş anlamda kullanılmakta olan Teorem konusuna değinilecektir. Teorem 4.5.3 h: pozitif bir sabit olmak üzere fark eşitliği;

[email protected]

varyantı

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

şeklinde verilmiş olsun. Burada; (1)

için

(2)

ve ve

olarak alındığında;

denkleminin sıfır çözümlerinin sabitlik özellikleri, (4.30) ifadesinin sıfır çözümünün sabitlik özellikleri ile örtüşür. Yukarıda bahsi geçen teoremlerdeki ifade, diferansiyel denklemlerde kullanılan nümerik metotların neden olduğu hatalar dolayısı ile kullanılmaktadır. Şimdi (4.31) den farklı olarak genellikle kullanılmakta olan “karşılaştırma denklemi”ni ele aldığımızda;

olması dolayısı ile burada kullanılamayabilir. Buradaki (4.31)

için

denklemini bizi daha ilginç sonuçlara götüreceği ortadadır. Çünkü; A’nın öz değerlerinin tüm negatif reel sayıları alması durumunda;

ifadesi birden küçük olabilmektedir. Bu

duruma örnek vermek gerekirse;

yazılabilir ve bu ifade sıfırdan küçüktür. Tanımdan da faydalanarak;

şeklini alır. Bu da bize;

kabulü imkanı sağlar ki buradan da karşılaştırma eşitliği olan;

ifadesine ulaşabiliriz. Bir sonraki teorem f’nin çeşitli varyanslarından herhangi biri için koşul gerekliliklerini ortaya koymakla birlikte kritik noktanın varlığı ile ilgili basit ve öznel bilgilere ulaşmamızı sağlar. Bunun için ilk olarak genel bir ifade olarak;

yazalım.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Teorem 4.5.4 Aşağıdaki kabulleri yaptığımızda; (i)

“

”,

’de sürekli bir fonsiyon, “g” ise pozitif bir fonksiyon olmak üzere; her

iki fonksiyonda

’de tanımlıdır. Burada “ ” ifadeleri

’nin alt kümesidir ve

orjin noktasını kapsamaktadırlar. (ii)

için “

(iii)

dizisi için;

” dizisi D’de süreklidir.

ilişkisi söz konusudur. (iv)

Karşılaştırma eşitliği olan;

için orjinde sabit bir noktada ekspronansiyel sabitlik söz konusudur. İspat: Eğer

ise;

yazılabilir ve “g” nin azalmayan değerleri için ifade;

şeklini alır. Teorem 1.6.5’den “ Buradan da; için “

” (4.36)’nın çözümü olmak üzere;

olmalıdır.

olur. Eğer orjin noktası, (4.36) için ekspronansiyel sabit ise “ ”

” dizisi sıfıra yaklaşır ve benzer durum

Benzer şekilde “P” değerleri için, eğer

içinde geçerlidir.

oluyorsa;

yazabiliriz. Bu sonuçtan (4.36)’nın ekspronansiyel sabit orjin ifadesinden ve Teorem 4.1.1’den “

sabitlik” özelliğine ulaşılmış olur. “

birleşmektedir. Eğer n,

” serisi tek bir noktada

değerleri keyfi olarak seçilirse; “ ” ile gösterilen

ifade “Cauchy dizisi” ne dönüşmüş olur. [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

4.6 Sabitlerin Varyasyonu Bu kısımda A(n), Tekil olmayan s x s matriks ve “f” fonksiyonunun, şeklinde tanımlı olduğu;

eşitliğini ilk olarak ele aldığımızda.

Teorem 4.6.1 (4.37)’nin çözümü olan

eşitliği yazılabilir. Burada

için;

ifadesi de;

şeklinde ayrıca yazılabilir.

İspat:

olsun. Bu ifade, (4.37)’de yerine konduğundaki şekliyle;

olur. Buradan da;

ve

olduğu görülür. (4.40) eşitliğinden de ifademiz;

şeklini alır. Şimdi de“f” fonksiyonunun,

[email protected]

şeklinde tanımlı olduğu;

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

eşitliğini dikkate alalım. Kabul 4.6.1 f,

şeklinde tanımlı ve kısmi türevleri

için (4.42)’nin çözümü;

olur. Bu durumda;

’de olsun.

ve

için de;

yazılabilir. Bu ifade;

eşitliğinin çözümü olup;

olarak da gösterilebilir. Bu eşitlik; “varyasyonel eşitlik” olarak adlandırılmaktadır. İspat: (4.42)’nin “ ” için diferansiyel ifadesi;

olmaktadır. Şimdi “ ” nin tanımından ve (4.45)’den Teorem 4.6.1;

eşitliğine genellenebilir.

Teorem 4.6.2

ve

ifadesinin

olması durumunda eğer;

eşitliğinin çözümü;

ise (4.47)’nin her bir çözümü için ayrıca;

[email protected]

’de tanımlı ve sürekli

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

yazılabilir. Burada;

olmakla birlikte “ ” ifadesi, (4.50)’de de verilen kapalı eşitlik ile ilişkilidir. ve

İspat:

ifadelerini kullanarak;

yazabiliriz. Buradan; ifadesine ulaşırız. “Esas Değer Teoremi”nden;

olmaktadır. Bu ifade (4.44)’den;

şeklini alır. Bu son ifade de;

ile denk olup işlem buradan devam ettirildiğinde;

ve

şeklinde işlem sonuçlandırılmış olur.

Sonuç 4.6.1 Teorem 4.6.2’den

çözümü için;

yazılabilir.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

İspat: “Esas Değer Teoremi”ni (4.49) için bir kez daha uygulayınız.

Sonuç 4.6.2 Eğer

oluyor ise (4.52) eşitliği (4.38)’e indirgenmiş olur.

İspat: Eğer

ise;

olur. Daha önceden de; ve

olduğunu biliyoruz ki; buradan da işlem yukarıdaki gibi sonuçlandırılabilir..

4.7 İlk Yaklaşık Değer İle Sabitlik “y” değeri

şeklide tanımlı, A(n) ise s x s şeklinde bir matriks olsun. Ayrıca “f”

fonksiyonu

şeklide tanımlı ve f(n,0)=0 olmak üzere;

şeklinde bir ifade yazabiliriz. Şimdi bu eşitliği inceleyecek olursak; “f” değeri yeteri kadar küçük seçildiğinde (4.53);

olarak ifade edilebilir. Burada aklımıza gelen sorulardan birisi (4.54)’ün sabitlik özellikleri ile (4.53)’ün sabitlik özellikleri arasında nasıl bir ilişkiden söz edilebileceğidir. Bu sorunun cevabı da bir sonraki teoremde verilmiştir.

Teorem 4.7.1

olsun. Burada eğer“ ” değerleri pozitif ve

ise (4.54)’ün sıfır çözümü “tek tip

sabit (ya da tek tip asimptotik)” olur. Aynı bu durum (4.53) içinde geçerlidir. Yani; (4.53)’ün sıfır çözümünün de “tek tip sabit ( ya da tek tip asimptotik sabit)” olduğunu söyleriz.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

İspat: (4.38)den;

olur. Benzer şekilde Teorem 42.1 ve (4.55)’den;

ifadesine ulaşabiliriz. Sonuç 1.6.2’den de ;

olmak üzere

değerini yeteri kadar küçük seçtiğimizde işlemi;

şeklinde devam ettirebiliriz. “Tek tip asimptotik sabitlik” durumundaysa ve her

yazılabilir. Burada da

,

için;

olmalıdır.

Sonuç 4.7.1 (4.54)’ün çözümlerinin sınırlandırıldığı ve A(n)’in sabit olduğu durumdaki çözüm için;

yazılabilir. Burada;

koşulu sağlanmalıdır.

Teorem 4.7.2

olması koşulu ile L>0 olacak şekilde ufak bir değer olarak alındığında; (4.54)’ün “ çözümü “tek tip asimptotik sabit” olur. Benzer şekilde; (4.53)’ün “ “ekspronansiyel tek tip asimptotik sabit” olur.

[email protected]

”

” çözümü de

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

İspat: Teorem 4.2.2’den; H>0,

Recep ÖZCAN

için;

yazılabilir buradan hareketle (4.58) de kullanılarak;

olması durumunda;

ifadesine ulaşabiliriz. Yeni varyasyonel değerlerin;

olduğunu görüyoruz. Burada Sonuç 1.6.2’yi tekrar kullandığımızda;

sonucuna ulaşırız. Bu ifade bize;

olduğunu gösterir. Buradan da sonuç olarak;

için

yazabiliriz.

Aşağıda bahsi geçen özel durum, uygulamalarda daha sık kullanılmaktadır.

Sonuç 4.7.2 (Perron)

denklemini dikkate aldığımızda. A’nın tüm öz değerlerinin birim disk içerisinde olması durumunda, dahası;

olduğunda “n”e bağlı tek tip olarak (4.60)’in sıfır çözümleri “ekspronansiyel asimptotik sabit” olur. Bu sonucu kolaylıkla ispatlayabiliriz.

Teorem 4.7.3 A, s x s matriks olmak üzere “

” eşitliğinin sıfır çözümü eğer;

koşulunu sağlıyor ise“asimptotik sabit”tir. Dolayısıyla (4.56)’nın sıfır çözümü de “asimptotik sabit” olur. [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

4.8 Liapunov Fonksiyonları Kritik noktaların sabitlik özellikleri çalışılırken kullanılacak en etkili yöntem; “Liapunov’un ikincil metodu”dur. Bu metotta, mekanik sistemlerdeki enerjinin rolünü genelleyen bir yardımcı fonksiyon kullanılır. Diferansiyel sistemlerde 1982 yılından bu yana kullanılmasına karşın, “fark eşitlikleri”nde kullanımı çok daha yeni bir hadisedir. “yardımcı fonksiyon” ifadesini vermeden önce bu fonksiyonla birlikte bir takım özel fonksiyonları da vermek faydalı olacaktır.

Tanım 4.8.1 “ ” fonksiyonu, eğer “

” aralığında sürekli ise “k-tipi fonksiyon” olarak

adlandırılır. Bu fonksiyon artan bir fonksiyondur ve “

” dır.

Herhangi iki fonksiyonun ikisinin de “k-tipi” olup olmadığını kontrol etmek son derece kolaydır; Tanım 4.8.2

fonksiyonu, eğer

Bu

için;

( veya

olacak şekilde tüm

) şartını sağlayan bir fonksiyon ise “pozitif

tanımlı” ( veya negatif tanımlıdır).

Tanım 4.8.3 Tüm sağlayan

olacak şekilde

için;

şartını

fonksiyonu “artan”dır.

şeklinde tanımlı olduğu,

f’in

ve

’in “x” için

sürekli olduğu;

, (4.62)’nin çözümü olmak üzere başlangıç koşullarında

eşitliğini ele alalım. için

değerlerini alır. “V” fonksiyonunun varyasyonlarını (4.62)’nin

çözümlerinde kullanacak olursak;

olduğunu

görürüz.

Burada

eğer

şeklinde

koşulunu sağlayan bir “w” fonksiyonu var ise;

[email protected]

tanımlı

ve

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

ifadesi “karşılaştırma eşitliği” ile ilişkilendirerek;

yazabiliriz. Burada yardımcı fonksiyon olan V(n,x), “Liapunov Fonksiyon”u olarak adlandırılır. Bu fonksiyon ile ilgili ikincil ergüman olarak; bu fonksiyonların daima sürekli oldukları kabul edilecektir.

Teorem 4.8.1 “V”, “g”,

ve

şeklinde aşağıdaki koşulları sağlayan iki fonksiyon

olsun; (1)

ve “ ” için

(2) (3)

için “

fonksiyonu azalmayandır.

” fonksiyonu pozitif tanımlı ve süreklidir.

“V” fonksiyonu (4.64) ile ilişkilidir.

Bu koşullarda; (a) (4.65)’in “ (b) “

” çözümünün sabitliği “

” çözümü “asimptotik sabit” ise “

” çözümünün sabitliği ile aynıdır. ” çözümü de “asimptotik sabit”tir.

İspat: Teorem 1.6.1’den de biliyoruz ki;

için

idi. Buradan

olduğu da görülebilir. “Pozitif Kapalılık” hipotezinden de

için;

olduğunu gösterebiliriz. Eğer karşılaştırma eşitliği sabit ise; zorundadır. Dolayısı ile

şeklini alır.

olmak ifadesinden

de; sonucuna ulaşırız. “V” nin sürekliliği ile ilgili hipotezden de biliyoriz ki; şekilde bir “

” bulabiliriz. Bu durumda

olacak yazarak asimptotik

sabitliliğin bir sonucu olan; ifadesinden

olduğu

sonucuna

olur.

[email protected]

ulaşırız.

Benzer

şekilde;

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Sonuç 4.8.1 Eğer

’da tanımlı ve “x” için sürekli bir “pozitif tanımlı V(n,x)

fonksiyonu” var ise

yazılabilir. Bu durumda da (4.62)’nin sıfır çözümü “sabit”

olur. İspat: “w(n,u)=0” olduğu durumda karşılaştırma eşitliği; sabit sıfır çözümüne sahip; “

” şeklini alır.

Teorem 4.8.2 V(n,x) ve g(n,u) fonksiyonları (1), (2) ve (3) koşullarını sağlayan iki fonksiyon olsun. V’nin de artan olduğu durumda şunlar söylenebilir; •

“

” çözümünün “tek tip sabit “olması “

” çözümünün de “tek tip sabit”

olduğu anlamına gelir. •

“

” çözümü “tek tip asimptotik sabit” ise “

” çözümü de “tek tip

asimptotik sabit” olur. İspat: İspatımıza, bir önceki durumda kabul ettiğimiz

ifadesinin “ ” dan

bağımsız olarak seçilebilir olduğunu göstererek devam edebiliriz. Bunu da; olacak şekilde bir “

” değeri var ise V(n,x) fonksiyonunun

sürekli olduğu hipotezinden faydalanarak gösterebiliriz. Daha önce de yazdığımız gibi;

idi.

Buradan;

olmak

üzere

yazabiliriz.

şartını sağlayacak şekilde olursak; “

Sonuç 4.8.2 Eğer fonksiyonu” var ise “ Sonuç 4.8.3 Eğer

” ifadesi her

için

Eğer alacak

olur.

olacak şekilde; “pozitif tanımlı” ve “artan” bir “V ” çözümü “tek tip sabit” olur. olmak üzere;

ve

olacak şekilde bir “v” fonksiyonu var ise “

” çözümü “tek tip asimptotik sabit” olur.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

İspat: “

” ve “

Recep ÖZCAN

” olarak alındığında

olur. Dolayısı ile

olmak zorundadır. Açıkça görülmektedir ki; “ sabit”tir. “tek tip asimptotik sabitlik” için;

” “tek tip

olarak verilmiş ve

olsun.

Bu durumda tek tip sabitlik özelliklerinden;

şeklinde bir sayı değerine ulaşırız. Bu durumda ifade için tam sayı seçtiğimizde; ve

olacak şekilde bir

olacaktır. Aksi halde tüm

için

olarak gösterilebilir. Bu da

olacaktır. Buradan da;

’nin tanımı dolayısı ile bir çelişki durumu ortaya

çıkarır. Sonuç olarak; için

olduğunu göstermemiz yeterli

olacak şekilde bir “

” vardır ve bu da “

olduğu anlamına gelir. Başka bir ifade ile

”

için

yazılarak ispat sonuçlandırılmış olur. Benzer şekilde “

” seçimi için

olduğu görülebilir.

Eğer “V” fonksiyonunu Teorem 4.8.2 ile ele alacak olursak, V’nin artan özelliği ortadan kalkar ve sıfır çözümü “asimptotik sabit” şeklini alır.

Teorem 4.8.3 V fonksiyonu;

, V pozitif tanımlı ve sürekli

(1) (2)

olduğunda orjin noktası (4.62) için “asimptotik sabit” olur. İspat: Teorem 4.8.1’den de biliyoruz ki; orjin noktası sabittir. Bu noktanın asimptotik sabit olmadığını kabul ettiğimizde çözümün ve

için olduğunu söyleyebiliriz.

[email protected]

olacak şekilde bir

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olur. Burada “n” değeri

olduğunda ise isteğe bağlı olarak “

” içerisinden geniş olmakla birlikte tüm “

” değerleri için

limit değerine baktığımızda;

olduğu görülür. Bu da V’nin pozitif tanımlı olduğu hipoteziyle ters düşen bir durumdur.

Teorem 4.8.4 V fonksiyonu;

(1)

olmak üzere; “pozitif tanımlı” ve “sürekli”,

(2)

; (p ve c pozitif sabitlerdir.) koşullarını sağlıyor olsun. Bu

durumda “

” çözümü “ -sabit” olur.

İspat: Teorem 4.8.3’den biliyoruz ki; “ için

” çözümü “asimptotik sabit” olduğunda;

koşulunu sağlayan bir “

G(n) fonksiyonu için;

olsun. Buradan;

ve

için ;

ve

yazılabilir. Bu ifadelerde ;

ve

şekline dönüşür.

[email protected]

” vardır. Şimdi;

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Bir sonraki teorem bir öncekinin genelleştirilmiş halidir. Bu aynı zamanda LaSalle’nin inveryans prensibinin de uygun bir gösterimidir.

yukarıdaki denkleminin çözümü olan

ifadesinin başlangıç vektörü “ ” sürekli

olsun.

Teorem 4.8.5 (1)

olsun;

V(n,y)’in sınırlandırılmış formu olan

için;

olacak şekilde iki tane reel değerli V(n,y), w(y)>0 fonksiyonu vardır. (2)

için

olup

çözümü sınırlı değildir ya da;

kümesinde yakınsaktır.

İspat:

için

kabulünden

Çünkü; “V” sınırlıdır.

’in artan olduğunu söyleyebiliriz.

için V fonksiyonu yakınsaktır ve

ifadesi de sıfıra

yaklaşmaktadır. Bu durumda “limitE” içerisinde sonlu bir ifade olmakta veya sonsuz kalmaktadır.

Sonuç 4.8.4 “u(x)” ve “v(x)” fonksiyonlarının

için;

olacak şekilde “sürekli reel değişkenli” fonksiyonlar olduğunu kabul edelim. alınması durumunda;

kümesi

şeklini alır.

Teorem 4.8.5’deki hipotezden ve

için; tüm çözüm ifadeleri,

’a kadar olan değerleri alır. Bunun yanı sıra “

İspat:

olsun.

olduğunda

için;

’nin sabit

olur.

[email protected]

ile başlar ve

” için de E’ye yaklaşır.

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Örnek 11: M, s x s matriks olmak üzere; eşitliğini dikkate aldığımızda.

ifadesi;

şeklinde gösterilebilir. Buradan; yazabiliriz.

olduğunda da

şekilde tüm

için

olur. Benzer

ve

olduğunda;

olduğunu gösterebiliriz. Burada görmekteyiz ki;

için

oluyorsa “w(y)” ifadesi

pozitiftir. sınırları dahilinde olabilir çünkü; V,

E-kümesi, orjin ve

için artan

durumundadır. Bu artan durum içinde, son olasılık durumu söz konusu olamaz. Çözümün ile başlayan şekli, bu kümenin dışında olamaz ve orjin noktasına yakınsar.

ise orjinin

asimptotik sabit olduğu, özel sınırlarını belirler. “ ” in farklı değerleri için de farklı asimptotik sabitlik bölgeleri olur. Ayrıca bu farklı bölgelerin her birisinin kendi içerisinde asimptotik sabit olduğu ortadadır. Eğer “M” değeri, spektral yarıçapı birden ufak olan “n” değerlerinden bağımsız ise “

” in sürekli olduğu durum için “

” seçimi yapabiliriz. Buradaki

sonuçlara göre söyleyebiliriz ki; “asimptotik sabitlik” için farklı bölgeler tanımlanabilir.

Tanım 4.8.4

şeklindeki limit kümesi

değerlerinden oluşan bir kümedir. kümesi var ise

Tanım 4.8.5 için

ve

için “ ” dizisinin tüm limit için

olacak şekilde bir sınırsız

olur.

olduğu durumda

kümesi “inveryant” olarak adlandırılır ve

yazılabilir.

Fark eşitliğinin özerk olması durumunda f sürekli bir fonksiyon olmak üzere “f(0)=0” olur. Şimdi Teorem 4.8.5 kullanıldığında;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Teorem 4.8.6

(1)

Recep ÖZCAN

için;

“y” de sürekli iki reel değişkenli ve “V” ile sınırlandırılmış iki fonksiyon olarak V(y),

w(y) var ise; (2)

olur. için

olur.

koşullarının sağlandığını düşünelim. bu durumda “ ” sınırlandırılmış olur veya “ ” ifadesi E’de sürekli olmak üzere, maksimum inveryant kümesi olan M’e benzerdir. İspat: Daha önce de olduğu gibi “özerk eşitliğin” herhangi pozitif limit değerler kümesi, boş bir küme değildir. Bu küme inveryant ve aynı zamanda da küçük bir kümedir (Bkz. Problem 4.14). Sonuç 4.8.4 aşağıdaki gibi tekrardan yazılabilir.

Sonuç 4.8.5 Teorem 4.8’dan D kümesindeki bazı “

yazacak olursak; tüm çözümler,

Teorem 4.8.7

şeklinde tanımlı ve

”

için “ ise “

İspat:

için M kümesine benzerdir.

’de olur ve bu ifade

fonksiyon olmak üzere; herhangi bir veya “

“ değerleri için;

için;

için

şeklinde sürekli bir çözümünü sınırlandırılmış oluruz

” ifadesi sıfıra yaklaşır. Daha genel bir ifade ile eğer ” için sıfır değerine yaklaşır.

olarak alındığında;

olur ve eğer

olacak şekilde bir şeklini

alır.

Diğer

taraftan

değeri var ise “n>k” için tüm

“n”

değerleri

içinde

yazabiliriz. Her iki durumda da “V” fonksiyonu “monoton”dur. “V” azalmayan bir fonksiyon ve “ üzere;

” ifadesi de

’in boş küme olmaması durumunda,

’in pozitif limit kümesi olmak ifadesi sınırsız olup

teoremin ispatı tamamlanmış olur. Dolayısı ile monoton bir fonksiyonun limiti tekil [email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olacağından “

” için

ifadesi de sabit olur. Fakat bu ikinci durum imkansızdır.

çünkü;

olmadığı sürece

olmak zorundadır. Böylelikle alternatif

durumlar da basitçe ispatlanmış olur.

4.9 Asimptotik Sabitlik Bölgesi Bu kısma kadar bulunan sonuçlar bizi; başlangıç değerinin yeteri kadar küçük olması durumunda orjin için çeşitli sabitlik durumlarının oluğunu sonucuna götürmektedir. Uygulamalarda ise esas ilgilenilen husus; hangi başlangıç durumları için “asimptotik sabitlik” bölgesi oluştuğudur. Diğer bir ifade ile

’deki bir sürekli sabitlik bölgesinin hangi başlangıç

değerleri için çözümlerin sabit noktaya yaklaştığını bilmemiz gerekmektedir. Bu problem durumu; çözümü zor olan bir problem olup bir sonraki bölümde cevapları tartışılmıştır. Bunun yanında özerk fark eşitlikleri olan;

ile ilgili bir takım sonuçlar daha sonra verilecektir. Burada f, “0” için

şeklinde tanımlı ve

değerini almaktadır.

Teorem 4.9.1

ve

şeklinde tanımlıdır ve

olsun. Bu durumda orjin “asimptotik sabit”tir. Dahası eğer

bu fonksiyon için ve

için “V” fonksiyonu

için

ise orjin “küresel asimptotik sabit “olur.

İspat: Teorem 4.8.1 ve Sonuç 4.8.1’de de kullanıldığı gibi V’nin sürekliliği ergümanı ispat için kullanılacak olursa; Asimptotik sabitliğin ispatı için için

olmak üzere

’in hızlı azalan ve sıfıra yaklaşan bir ifade olduğunu göstermemiz

gerekmektedir. Yine

V’nin

sürekliliği

ifadesinden

“ ”

dizisinin

sıfıra

yaklaşması

gerekmektedir. Şimdi son hipotezin doğruluğunu varsayalım. Bu durumda; şeklini alır ve böylelikle de ispat tamamlanmış olur. Örneğin; (4.74) eşitliğini ele aldığımız da f’nin lineer olması durumunda;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olursa ve buradan da “B” ifadesi “pozitif simetrik belirli matriks” olmak üzere;

yazılabilir.

0 olması durumunda da;

ifadesi için; olmalıdır. Buradaki herhangi bir “C” pozitif belirli matriksi için aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir.

Sonuç 4.9.1 (4.77)’nin ispatından da olduğu gibi eğer bir “belirli pozitif simetrik B matriksi” var ise orjin “küresel asimptotik sabit”tir. Bu sonucun terside doğrudur.

Teorem 4.9.2 (4.75) için orjinin “asimptotik sabit” olduğunu kabul ettiğimizde (4.47)’de olduğu gibi “belirli pozitif B ve C matriksleri”nin varlığı ispatlanmış olur. (4.77) ifadesinin sürekli durumu için;

olur. Burada “G” ve “

” , “belirli pozitif simetrik matriksler”dir ve “S” ifadesi de negatif reel

öz değerleri alan bir ifadedir. Buradaki (4.78) eşitliği “Liapunov Matriks Eşitliği” olarak adlandırılır. Elbette buradaki (4.77) ve (4.78) ifadeleri arasında bir ilişki söz konusudur. olarak alındığında (4.78) ifadesi (4.77) şekline dönüşür. içinde aynın durum geçerlidir. “B” matriksini bulmak istediğimizde (4.77) matriks eşitliğini çözmemiz gerekmektedir, bunun içinde “A” çin uygun “C”ler seçilmelidir. (4.77)’nin çözüm metodu ile ilgili çalışmaların büyük bir bölümü geçtiğimiz yıllarda tamamlanmıştır. Aşağıdaki teoremde (4.74)’ün sıfır çözümü için orjinin “asimptotik sabitliği” tartışılmış olup Zubov’un teoreminin bir versiyonu şeklinde düşünülebilir.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

Teorem 4.9.3 (4.74) eşitliğini ele aldığımızda ve “V” ve “ ” fonksiyonlarının aşağıdaki koşulları sağladığını varsayarsak;

(1)

için

(2)

için

(3) kümesi “asimptotik sabitlik” için gerekli koşul bölgesini oluşturur İspat: (3) koşulundan;

yazılabilir. Burada bilinmesi gereken

olduğudur. Şimdi “

”ın asimptotik sabitlik bölgesi boyunca uzandığını varsayalım.

Bu durumda eşitliğin sol tarafı bir değere yaklaşır, benzer şekilde eşitliğin sağ tarafının da;

olduğu durumda “

” ifadesine yaklaşır. Buradan da olur. Bu durumun aksi olan

görülebileceği üzere “

için

için (4.79)’dan da

” değeri D’nin dışında kalır ve “V” fonksiyonu asla sıfır

olmaz. Bu da “ ” nin sıfıra yaklaşmadığı anlamı taşır. Eğer bu teoremi kullanacak olursak, ilk olarak (4.74)’ün “ ” çözümü bilinmeli, diğer taraftan da (4.79) kullanılarak

“D”

kümesini

tanımlayan

sadece

birkaç

durum

için

gerekleştirilebilmektedir. Teorem 4.8.5, 4.8.7 ve bunların sonuçları bize “E” kümesi için “

” terimlerini

içeren “asimptotik sabitlik bölgeleri” vermektedir. Teorem 4.8.7 ifadesi kritik noktalar için “asimptotik sabitlik bölgeleri” verir. Benzer şekilde Teorem 4.8.7. “asimptotik sabitlik bölgelerinin” gösteriminde kullanılabilir. Orjini içeren bir açık “H” alanı için olduğunu düşündüğümüzde,

için;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

ve olur. Burada

şeklindedir.

Teorem 4.9.4 Eğer “

” bölgeleri sınırlı ve boş değil ise (4.74)’ün “asimptotik sabitliği” için

özel tanımlı alanlar vardır. İspat: Eğer “ “

” boş değilse ve

ise

olduğu sürece “

” değeri

” nin hiçbir yörünge değeri için artan değildir. Buradan hareketle de;

ve yazılabilir. olur. Buradan da görmekteyiz ki; “y(n,x)” ifadesi

Burada tüm “k” değerleri için sınırlıdır. Teorem 4.8.7 ve değerleri için

için daha açık sonuçlar elde edilebilir. “H” deki “V”

koşulunu sağlayan bölgeler için;

H sınırı yazılabilir. Örnek olarak “biomatematikte” her geçen gün kullanımı artan bir sonraki yapılanmayı dikkate alacak olursak; Örnek 12:

için;

ifadesini dikkate alırsak;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

kümesi orjini kapsar.

Recep ÖZCAN

için

ve “

” için;

yazılabilir.

4.10 Zıt Teoremler Bu kısımda, kesin sabitlik durumlarında “Liapunov Fonksiyonları”nın nasıl yapılandığı konusuna yer verilmiştir. Bu yapılanmalardan ve problemlerin çözümlerinin kullanımından da anlaşılacağı üzere “Liapunov Fonksiyonları” pratikte çok ufak bir kullanım alanına sahiptir. Uygulamalarda çok önemli bir yere sahip olan “toplam sabitlik” ile ilgili sonuçların ortaya konmasından önce “zıtlık teoremlerinin” gerçek önemi ortaya konacaktır. Bundan dolayı bir takım sonuçlar burada ortaya konacak ve daha sonra da bu sonuçlar gerektiğinde kullanılacaktır.

Teorem 4.10.1 (4.62)’nin sıfır “tek tip” olduğunu kabul edelim. Bu durumda tüm çözümler için

olarak şekilde pozitif belirli ve artan bir “V” fonksiyonu vardır.

İspat:

fonksiyonunu ele alalım. Her zaman olduğu gibi buradaki “ şeklidedir. (4.80)’in bir sonucu olarak;

” ifadesi

olur ve bu koşulda “V” nin

belirli pozitif olduğunu gösterir. Tek tip sabitlik tanımından da biliyoruz ki; eğer ise

oluyordu.

Genel

ifadelerden

Bkz Problem 4.8ve4.9) olduğu kabul edilecektir. “

uzaklaşmaksızın

” olsun bu durumda;

yazılabilir. Bu ifade bize göstermektedir ki; “V” fonksiyonu artandır. Diğer taraftan tüm çözümler için;

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

ve

yazılabilir. Böylelikle ispat tamamlanmış olur.

Teorem 4.10.2

f(n,x), ifadesinin orjin çevresinde “bölgesel Lipschitz” olduğu durumda

(4.62)’nin sıfır çözümünün “tek tip asimptotik” olduğunu kabul edelim. Bu durumda; tüm çözümler için

olacak şekilde bir belirli pozitif ve artan bir “V”

fonksiyonu vardır. Buradaki “V” fonksiyonu “Bölgesel Lipschitzean”dır. İspat: r>0, G(0)=0, tanımlanmış olsun.

0, olduğu sürece;

ve

olur. “u=w/x” olarak alınırsa;

olur. Tanım olarak ta;

yazılabilir. Burada “k=0” için;

olur. Orjin için “tek tip sabitlik” durumu söz konusu ise; olacak şekilde bir

ifadesi vardır. Buradan da;

yazılabilir (Bkz. Bir önceki teorem).

[email protected]

olacak şekilde bir G(r) fonksiyonu

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

ise olur. Asimptotik sabitlik durumunda ve

için

olmak üzere;

için;

ve

olur. Bu da bizi;

sonucuna götürür. Bu ifade göstermektedir ki; “

” ifadesi için;

yazılabilir. “ ”in istenen farklı değerleri için;

olur. Buradan da;

sonuçlarına ulaşılır.

: Lipschitz sabitleri olmak üzere;

[email protected]

olacak şekilde

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olur. En son ifadeden;

yazılabilir. “ ” fonksiyonu tüm

“K” değerlerini alır çünkü;

için hızlı artan bir fonksiyondur ve G(0)=0’dır.

İspatı tamamlamak için; “V” de olduğu gibi G’nin Lipschitz fonksiyon olduğu bir “G” fonksiyonu seçebileceğimizi göstermemiz gerekmektedir. Tek

tip

asimptotik

sabitliğin

tanımından;

olacak şekilde bir “

r>0

için

ve

” vardır. Çünkü; “f” bir “Libschitz

Fonksiyon”dur. Dolayısı ile olur. Daha önce de tanımlanmış olan N(r) fonksiyonu için;

ve

olsun. “G(r)” için de benzer durumlar söz konusudur. Çünkü; N(r) fonksiyonu artandır ve

olur. Daha önce de görmüştük ki;

olduğunda;

olmaktadır. Daha açık bir gösterim için “

” olarak kabul ettiğimizde “ ” için;

ve “ ” içinde; olur. Fakat “

” için de;

olur. Gerekli ifadeler yerine konulduğunda;

[email protected]

yazdığımızda;

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

ifadesine ulaşırız. (4.87) ve (4.83)’den ve (4.87)’nin “

” ile

çarpımından;

olur. Buradan da,

olmak koşulu ile;

olarak gösterilebilir.

ve

kendi

içindeki değişimlerinden daha basit bir ifade olarak; yazılabilir. Bu da bize göstermektedir ki;

ifadesi teoremi ispatlamaktadır. Bir sonraki teorem “ -sabitlik” durumunun “zıtlığı” ile ilgilidir.

Teorem 4.10.3 (4.62)’nin sıfır çözümü “ -sabit” olsun ve olsun. Bu durumda;

,

olmak üzere; olacak şekilde bir

şeklinde tanımlı, belirli bir pozitif artan “V” fonksiyonu vardır.

İspat:

olsun. Bu durumda;

olur ve bu da V’nin “belirli pozitif” olduğunu gösterir. İşlemi devam ettirdiğimizde;

ve

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olur. Bu eşitlikle de ispat tamamlanmış olur.

4.11Tam Sabitlik ve Uygulamadaki Sabitlik R,

’da Lipschitz fonksiyonu, “R(n,0)=0” ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere;

eşitliklerini dikkate alacak olursak. Buradaki (4.88) eşitliği (4.89)’un farklı bir gösterimi olarak düşünülecektir. (4.89)’un sıfır çözümünün çeşitli sabitlik özelliklerine sahip olduğunu kabul edelim. Bizim burada bulmaya çalışacağımız cevap; R’nin hangi durumlar için sıfır çözümü çeşitli sabitlik özelliklerine sahip olmaktadır.

Tanım 4.11.1 (4.89)’un “y=0” çözümü “tam sabitlik” olarak adlandırılır. Eğer her bir ” olacak şekilde iki pozitif sayı var ise; (4.88)’in

” ve “

için “

çözümü “ ”nın içindedir. Bu durumda

için;

ve

,

için de

olarak yazılabilir.

Teorem 4.11.1 (4.89)’un sıfır çözümünün “tek tip asimptotik sabit” olduğunu kabul edelim. Bu durumda eğer;

ise bu sıfır çözümü “tam sabit”tir.

İspat:

, (4.88)’in çözümü olsun. “tek tip asimptotik sabitlik teorisi”nden

(Bkz. Teorem 4.10.2)

için

ve

olur. Buradan hareketle de fonksiyonu için şu sonuçlar yazılabilir;

[email protected]

olur ve ve

içinde olmak üzere “V”

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

(a)

,

(b)

ve

(c)

Recep ÖZCAN

için ve

,

olsun.

olarak seçildiğinde de;

yazılabilir. “ ” değeri keyfi olarak küçük seçildiğinde;

olur.

olsun; bu durumda

ve

olarak bulunur. Ayrıca

ifadeleri elde edilir. Şimdi ve

ve

için;

olmak üzere;

olduğunu kabul edelim. Bu durumda;

ve olur. Burada

için

olacak şekilde bir indeks değeri vardır. Bu da bizi;

ve

sonucuna götürür. Sonuç olarak;

bulunur. (4.92) ve (4.91)’den de;

[email protected]

ifadesinden;

için

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

olur.

Sonuç

4.11.1

Teorem

4.11.1’in

doğru

olduğu

ve

olduğu

durumda;

” için monotondur. Bu durumda (4.89) ifadesinin çözümü

olur “ “tek tip asimptotik sabit”tir.

İspat: Elimizde (4.91)’den; bulunmaktadır.

Şimdi

“ ”

ile

ilgili

hipotezlerden

ve

olduğunu kabul edelim. Bu durumda

ve ve buradan da;

olacak şekilde bir “M” değeri seçilebilir. Buradan;

yazılabilir ki; bu da Teorem 4.8.5’in ispatı olur. “Toplam sabitlik” ifadesi; (4.89) ve (4.88)’in “uygulamalı sabitlik” ifadesi ile ilişkilendirildiğinde; “R(n,0)=0” olamayacağı gibi (4.88) ifadesi için orjinde sabit bir noktaya sahip olmadığı görülebilir; fakat şu da bilinmektedir ki; tüm “n” değerleri için sınırlıdır. Bu türden sabitliklerde nümerik analizde son derece önemli bir yere sahiptir. Burada hataların kesin eşitliliği yörüngesel anlamda daha küçük kılınamamaktadır.

Tanım 4.11.2 (4.89)’un “y=0” çözümü “uygulamalı sabitlik” olarak adlandırılır. Eğer orjine yakın bir “A” komşuluğu söz konusu ise ve benzer şekilde

ise;

için (4.89)’un

çözümü A’nın içinde kalır.

Teorem 4.11.2 (4.88) eşitliğini dikkate aldığımızda; var sayalım. Bu durumda şunlar söylenebilir; (1) (2) Bu koşullar altında orjin (4.89) için “uygulamalı sabit” olur.

[email protected]

olacak şekilde kümenin oldğunu

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

İspat:

Recep ÖZCAN

sırası ile (4.88) ve (4.89)’un çözümleri olsun;

ve

hipotezden de

ve

yazılacak olursa. Buradan; Açıklama:

sonucuna ulaşmış oluruz. Eğer burada “ “

” değerinden büyük olamaz.

iki çözümde

” ise iki çözüm arasındaki çözüm asla

olacak şekilde uygun bir değer seçildiğinde her

yuvarı içerisinde kalır ve böylelikle ispat tamamlanmış olur. Bir

sonraki teoremde bu sonuçların genelleştirilmesi ile ilgilidir.

Teorem 4.11.3 (4.88) eşitliğini ve

kümesini dikkate aldığımızda; eğer tüm

olacak şekilde, reel değerler alan D’ de tanımlı iki sürekli fonksiyon var ise;

koşulunu

saplayan sabit değerler için; (1) (2) olur. Burada S ifadesi;

ve A ifadesi de;

olduğunda tüm çözümler D’nin içerisinde kalır ve “ olduğu gibi

” olduğunda A’ya dahil olanlar

içinde bu çözümler A’nın içinde kalır. olarak

İspat:

olur. Eğer “ olur. Buradan da olduğu için;

kabul

edersek;

ve

” ifadesi sıfırdan küçük ve

ise;

yazılabilir.

olduğu durumda ise

olmak zorundadır. Bu ifadeyle de ispat

tamamlanmış olur.

Sonuç 4.11.2

Eğer

ise; (4.88)’in her bir çözümü D’nin

içerisinde kalır ve sınırlı sayıdaki değer için olan çözümler de A’ olur.

[email protected]

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

’dan

İspat: yazılabilir. Bu durumda

ve

olduğundan dolayı bir çelişkidir.

[email protected]

olur ve bu da

için