Factorizacin De Polinomios-2009

03°año FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS • Recordamos como se factorizan los números naturales con el siguiente ejemplo….

40

2

54

2

20

2

27

3

10

2

9

3

son los divisores

5

5

3

3

primos de 54

son los divisores primos de 40

1

1

La expresión factoreada de 40 = •

.5

La expresión factoreada de 54 =

Análogamente, factorear un polinomio sería encontrar los polinomios primos que lo componen, o sea los polinomios divisores del polinomio dado…….

 Decimos que un polinomio esta escrito en forma factoreada, si lo escribimos como producto de sus factores primos.

Ejemplo: Sabemos que las raíces del polinomio Entonces

son: son los divisores de

mi polinomio

Mi polinomio escrito en forma factoreada……..

•

¿Qué grado tiene ?, ¿Cuántas raíces nos indicaba que tenía?, ¿Cuántas veces apareció cada una de ellas?

•

¿Qué relación podes encontrar entre los grados de los polinomios primos y el grado de

?

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

“Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces, considerando las reales y no reales”

1



Todo polinomio compuesto y de grado n, que tenga n raíces reales, puede factorearse como: P( x ) = a n .( x − x1 ).( x − x 2 ).( x − x3 )...... ( x − x n ) , donde es el coeficiente principal de P( x ) y x1 ..... x n son las raíces de P( x )

Resumiendo……..hemos visto que “factorizar un polinomio” es descomponerlo en el mayor número de factores primos, y que para ello debemos conocer las raíces de mi polinomio, ya que : a es raíz de P( x ) ⇔ ( x − a ) es divisor de P( x ) . Ahora bien…..para buscar las raíces de polinomios existen muchos casos, dependiendo del tipo de polinomio, o sea, si es binomio, trinomio, cuatrinomio…como así también del grado de éste. Así como los criterios de divisibilidad nos facilitan la descomposición de un número en factores primos, existen propiedades que ya estudiaste que, a veces, te van a facilitar la descomposición en factores de un polinomio.

P ara factorizar un p olin omio y calcu lar su s raíces vamos a s eg u ir los s iguientes pas os , cuando s ean pos ibles :

1º Factor común de un polinomio En algunos polinomios especiales, es posible encontrar su forma factoreada utilizando otros caminos mas cortos. Para ello aplicamos “Factor común”, consiste en aplicar la “propiedad distributiva”. Recordamos la propiedad distributiva: 2 x.( x + 3) = 2 x 2 + 6 x , podemos ir de un lado al otro de la igualdad en ambas direcciones, pero si nos encontramos en el segundo miembro podemos extraer los factores que tengan en común ambos términos de la igualdad. Es decir, 2 x 2 + 6 x , ambos términos tiene en común el factor 2 y el factor x, ya que x 2 = x.x , entonces extrayendo ambos términos como factor y dividiendo cada término por el factor común elegido nos queda: 2 x.( x +3)  Otros ejemplos………… D e s c om p o n e r e n f a c t or e s s a c a n d o f a c t o r c o m ú n y h a l l a r l a s r a í c e s d e :

1 x 3 + x 2 = x 2 (x + 1) La raíces s on: x = 0 y x = − 1 2 2x 4 + 4x 2 = 2x 2 (x 2 + 2) S ólo tien e u n a raíz X = 0; ya q u e el polin omio, x 2 + 2, no t ien e n in gú n valor qu e lo anu le; d eb id o a q u e al es tar la x al cu a d rad o

s iemp re

d ará

un

nú mero

pos itivo,

por

tan to

es

“ irred u cib le”.

2

2º Diferencia de cuadrados Un a d iferen cia d e cu ad rad os es igu al a s u ma por d iferen cia. a 2 − b 2 = (a + b) · (a − b ) D e s c o m p o n e r e n f ac t o r e s y h a l l a r l a s r a í c e s 1 x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2) Las raíces son X = − 2 y X = 2 O bs e r v a ! ! ! . . . , m i b i n o m i o e r a d e g r a d o 2 y t i e n e d o s r a í c e s r e a l e s , s um a n d o l o s g r a d o s d e l o s b i n o m i o s o b t e n i d o s c o m o f a c t o r e s primos obtengo grado 2, que era el grado del polinomio dado.

2 x 4 − 16 = (x 2 + 4) · (x 2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x 2 + 4) L as raíces s on X = − 2 y X = 2 Aten ción !!...ob s erva q u e ( x 2 + 4 ) , n o tien e raíces reales , p u es n o hay n in gú n nú mero qu e me an u le la exp res ión , es “u n a su ma d e p oten cia p ar”, en ton ces , es irred u cib le , mi b in omio era d e g ra d o 4 y tien e 2 raíces reales mas un b in omio d e grad o 2 s in ra íces reales , s u man d o los grad os d e cad a b in omio ob ten go grad o 4.

3ºa) Trinomio cuadrado perfecto Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio Se basa en las siguientes fórmulas

D es co mp on er en factores los trin omios cu ad rad os p erfectos y h alla r su s raíces

L a ra íz es x = − 3.

3

L a ra íz es x = 2. At en ciòn !!!...ob s erva q u e es un a “raíz d ob le”, ya q u e el b in omio es t a elevad o al cu ad rad o, o s ea ( 3 + x ) 2 = ( 3 + x ).( 3 + x ) como as í tamb ién

( x + 2) 2 = ( x + 2).( x + 2) , en amb os cas o mi raíz s e rep ite 2 veces 3º b) Trinomio de segundo grado 1. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de la forma: ax 2 + bx + c , con a ; b ; c números reales y a ≠ 0 , debemos igualar a cero la

expresión y aplicar una fórmula que nos permite hallar las raíces de este polinomio.

Formula resolvente o de Baskara: x1 ; x 2 =

− b ± b 2 − 4.a.c , si x1 ≠ x 2 , entonces la expresión factoreada de 2.a

ax 2 + bx + c = a.( x − x1 ).( x − x 2 ) D es comp on er en factores los trin omios d e s egu n d o grad o y h a lla r s u s raíces 1.

P( x ) = x 2 − 5 x + 6

identifica mos a= 1;

b= -5;

c= 6

I g u alamos a cero el polinomio y aplica mos la fórmula res olvente: x 2 − 5x + 6 = 0 − b ± b 2 − 4.a.c x1 ; x 2 = 2.a

⇒

x1 ; x 2 =

x1 = x1 ; x 2 =

5 ± 25 − 24 2

− ( − 5) ±

( − 5) 2 − 4.1.6 2.1

5 +1 6 = =3 2 2

=

x2 =

5 −1 4 = =2 2 2

L as ra íces s on x=3 y x=2

4

2 . 2 x 2 − 2 x − 12

2 x 2 − 2 x − 12 = 0

a= 2;

b= -2;

c= -12

x1 =

x1 ; x 2 =

− ( − 2) ±

( − 2 ) 2 − 4.2.( −12 ) 2.2

=

2 + 10 12 = =3 4 4

2 ± 4 + 96 2 ± 10 = = 4 4

x2 =

2 − 10 8 = − = −2 4 4

L as ra íces s on : x=-2 y x=3

4º Factorización de un polinomio de grado superior a dos U t ilizamos el teorema d el res to y la regla d e Ru ffin i para factorear los s igu ien tes b in omios . E j em p los : 3 1 . P( x ) = x − 27

a. s e bus can las raíces y para ello igualo “a cer o” , entones : x 3 − 27 = 0 ⇒ x 3 = 27 ⇒ x = 3 27 ⇒ x = 3

P o r el teorema del res to P( 3 ) = 0 , entonces (x-3) es divis or de P( x ) Ah ora b ien ….h allamos el cocien te ap lican d o R u ffin i 1 0 0 -27 3

3 1 3

9 27 9

0

(

P( x ) = x 3 − 27 = ( x − 3). x 2 + 3 x + 9

)

3 2 . P( x ) = x + 1 ⇒ I gu alo a cero

5

x 3 + 1 = 0 ⇒ x 3 = − 1 ⇒ x = 3 − 1 ⇒ x = −1

P o r el teorema del res to P( −1) = 0 , entonces (x+ 1) es divis or de P( x ) Ap licamos Ru ffin i para hallar el cocien te

1 -1

0

0

-1

1

1

-1

1

(

1

)

P( x ) = x 3 + 1 = ( x + 1). x 2 − x + 1

-1 0

NOTA: Como verás es importante encontrar las raíces del polinomio y para ello deberíamos ir probando cuáles son los valores que anulan el polinomio aplicando el teorema del resto. Mas adelante veremos cómo encontrar las “posibles raíces “de un polinomio……..

Ahora bien...... Veamos un ejemplo de cómo descomponer en el mayor número de factores primos un polinomio de grado mayor a dos

Ejemplo 3 2 1. Te informan que x=1 es una raíz de P( x ) = 4 x − 8 x + x + 3 . Sabiendo que P( x ) no

tiene raíces irracionales, intenta encontrar las raíces que faltan

a. Como sabemos que x=1 es raíz de P( x ) , entonces (x-1) es divisor del polinomio---b. Aplicamos Ruffini y hallamos el cociente 4

1 4

-8

1

3

4

-4

-3

-4

-3

0

C( x ) = 4 x 2 − 4 x − 3

6

2 Entonces…..la primera descomposición en factores de P( x ) = ( x − 1).( 4 x − 4 x − 3)

ATENCIÒN! El factor 4 x 2 − 4 x − 3 es un “trinomio de grado 2”, del cual también busco sus raíces y lo expreso en “forma factoreada” Para buscar las raíces de un trinomio de grado 2 aplicamos “la formulita”…..o sea Baskara o Fórmula Resolvente, que es su verdadero nombre…..

c. En 4 x 2 − 4 x − 3 identificamos a= 4;

− b ± b 2 − 4.a.c − ( − 4 ) ± x1 ; x 2 = = 2.a

b=-4; c=-3

( − 4) 2 − 4.4.( − 3) 2 .4

=

4 ± 64 8

x1 =

4 + 8 12 3 = = 8 8 2

x2 =

1 4 −8 4 1  =− =− Entonces  x +  es otro divisor del polinomio 2 8 8 2 

 

3 2

Entonces  x −  es divisor del polinomio

ATENCIÒN: Ahora lo expresamos en forma factoreada y para ello “Recuerda”



P( x ) = a n .( x − x1 ).( x − x 2 ).( x − x3 )...... ( x − x n )

principal de

P( x )

y

x1 ..... x n

donde son las raíces de

es el coeficiente P( x )

Entonces …… 3  1  P( x ) = 4 x 3 − 8 x 2 + x + 3 = 4.( x −1). x − . x +  , donde 4 es “el coeficiente principal” y 2  2 

x1 = 1 ; x 2 =

3 1 ; x3 = − son las raíces de P( x ) . 2 2

 ¿Cuál es el grado de P( x ) ?

 ¿Cuántas raíces encontraste?

“Recuerda”..... TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA “Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces, considerando las reales y no reales”

7

D es comp os ición d e un p olin omio d e grad o su p erior a d os y cálcu lo d e su s raíces - T eorema d e Gau s s

TEOREMA DE GAUSS

Sea P( x ) un polinomio de grado n, con todos sus coeficientes enteros y término p

independiente no nulo. Si el número racional q , escrito de manera irreducible, es raíz de P( x ) ; entonces p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal

O sea, para hallar las raìces racionales de un polinomio debemos: 1º buscar los divisores del termino independiente, que los llamamos p 2º buscar los divisores del coeficiente principal, que los llamamos q p

3º Armar las posibles raìces que serìan q

4º Verificar con Teorema del resto cuàles son raìces de P( x ) , una vez encontradas hallar los cocientes, y luego escribirlo como el sucesivo producto de todos los binomios divisores

 Entonces……veamos con un ejemplo como, según Gauss, podemos encontrar las raìces racionales de un polinomio 3 Sea P( x ) = x − 3 x + 2

p

2 1º divisores de p: ±1;±

3º posibles raìces q

2º divisores de q: ±1

±1;± 2

4ºVerificamos con T. del resto para cada posible raìz Probamos para -1 3 a. P( −1) = ( − 1) − 3.( − 1) + 2 ≠ 0 ⇒ ( x +1) no es divisor

b. probamos para 1 P(1) = 13 − 3.1 + 2 = 0 ⇒ ( x −1) es divisor

Hallamos el cociente aplicando Ruffini 1 1

0

-3

2

1

1

-2

8

1

1

-2

0

Entonces…..la primera descomposición en factores queda: ( x −1).( x 2 + x − 2) c. Continuamos con el segundo factor, que como es un trinomio de grado 2, aplico la “formulita….” x2 + x − 2 = 0

x1 ; x 2 =

a =1 ;

b =1 ;

c = −2

x1 =

−1 + 3 =1 2

−1 ± 12 − 4.1.( − 2 ) − b ± b 2 − 4.a.c −1 ± 9 = = = 2.a 2.1 2

x2 =

−1 − 3 = −2 2

ATENCIÒN!!!...., Una vez mas x=1 es raìz, o sea ( x −1) divisor de P( x ) , y la otra raìz es -2, o sea ( x + 2) el otro divisor de P( x ) . AHORA SI ARMAMOS LA DESCOMPOSICIÒN DEL POLINOMIO EN FUNCIÒN DE SUS RAÌCES x 3 − 3 x + 2 = ( x −1).( x −1).( x + 2 ) , y como ( x −1) lo tengo 2 veces, significa que x=1 es

una “raìz de multiplicidad doble”….

Un polinomio P( x ) tiene raìz mùltiple, si al descomponerlo en funciòn de sus raìces hay factores iguales; el orden de multiplicidad de la misma està dado por el exponente del factor. Entonces…. x 3 − 3 x + 2 = ( x −1) 2 .( x + 2 ) Ejemplos:  Te informan que un polinomio escrito en form factoreada es: 1 2  P( x ) = 3.( x −1).( x + 2 ) . x −  2 

¿Cuàl es el grado de P( x ) ? ¿Cuàles son las raìces de P( x ) ?, y la multiplicidad de las mismas? Para responder a estas preguntas es conveniente: 1º identificamos las raìces: las mismas son……. x =1 ;

x = -2 y como està elevda al cuadrado significa que se repite 2 veces, o sea de multiplicidad doble x=

1 2

Conclusiòn: el polinomio tiene 3 raìces y una doble, entonces el grado del polinomio es 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

EN RESUMEN……… 9

Esta guìa tiene por objetivo ayudarte a factorear polinomios, es por ello que te sugiero que a la hora de hacerlo tengas en cuenta algunas cuestiones…. a. siempre que puedas debes sacar factor comùn b. identifica que tipo de polinomio es, o sea, grado y cantidad de tèrminos

c. apliques alguno de los procedimientos explicados en esta guìa según sea el grado y cantidad de tèrminos del polinomio.

EJEMPLOS: Factorizar los siguientes polinomios

1.

a. Podemos sacar factor común: x 3 + 2 x 2 + x = x.( x 2 + 2 x + 1) b. El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto, entonces, encontrando los cuadrados perfectos y verificando que el otro tèrmino sea el duplo del 1º por el 2º………nos queda :

(

)

2 x 3 + 2 x 2 + x = x. x 2 + 2 x + 1 = x.( x + 1) , y sus raìces son: x = 0 y x = −1 , esta ultima es

doble, o sea de multiplicidad 2

2.a. Sacamos factor común: b. El segundo factor, o sea, el paréntesis es una diferencia de cuadrados, entonces nos queda: 3 x.( x 4 −16 ) = 3 x.( x 2 − 4 ).( x 2 + 4 ) c. Fijate que el segundo paréntesis sigue siendo una diferencia de cuadrados….. 3 x.( x 4 −16 ) = 3 x.( x 2 − 4 ).( x 2 + 4 ) = 3 x.( x + 2 ).( x − 2 ).( x 2 + 4 ) d. Observa que el binomio de 2º grado que tenemos en el tercer paréntesis, no lo

podemos factorizar, pues no existe ningùn valor que me lo anule, pues si buscamos las raìces igualamos a cero……. x 2 + 4 = 0 → x 2 = −4 → x = ± − 4 Que no tiene soluciòn en reales

Entonces…..las raìces son: x = 0 ; x = 2; x = −2 y dos raìces que ∉R

3. x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 − 6 x − 9 a. No podemos aplicar factor comùn, y por tratarse de un cuatrinomio de grado superior a

dos, aplicamos GAUSS b. Debemos buscar los divisores del tèrmino independiente, del coeficiente principal y luego armar las posibles raìces: 3;± 9 Divisores de p: ±1;± Divisores de q: ±1

p

3;± 9 posibles raìces q = ±1;±

c. Aplicando T. del resto probamos para 1

P( 1) = 14 + 6.13 + 8.12 − 6.1 − 9 = 0 ⇒ ( x − 1) es divisor

Aplico Ruffini 1

6

8

-6

-9

10

1

1 7 15 9 1 7 15 9 0 Obtenemos la primer factorizaciòn 3 2 x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 − 6 x − 9 = ( x −1).( x + 7 x + 15 x + 9 )

•

Con el segundo factor debemos aplicar nuevamente GAUSS, aunque en este caso tanto p, como q son los mismos entonces mis posibles raìces son las mismas: ±1;± 3;± 9

Probamos nuevamente para 1, pero ahora en .( x 3 + 7 x 2 + 15 x + 9 ) P(1) = 13 + 7.12 + 15 .1 + 9 ≠ 0 ⇒ 1 no es raìz, ( x −1) no es divisor

Probamos para -1 P( −1) = ( − 1) + 7.( − 1) + 15 .( − 1) + 9 = 0' ⇒ ( x + 1) es divisor 3

2

Aplico Rufini 1 -1 1

7

15

9

-1 -6

-9

6

9 0

Obtenemos la segunda factorizaciòn 2 x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 − 6 x − 9 = ( x −1).( x +1).( x + 6 x + 9 )

•

Con el tercer factor observamos que es un “trinomio de grado 2 y cuadrado perfecto”……uffff

•

En este caso se me facilita la cuestiòn…..¡basta de GAUSS!

(

)

. x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) Obtenemos asì la factorizaciòn del ùltimo factor 2

ENTONCES……. x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 − 6 x − 9 = ( x −1).( x +1).( x + 3) 2 y sus raìces son: x = 1 ; x = −1 ; x = −3 de multiplicidad doble

11