Extremy

První derivace a lokální extrémy Robert Mařík 27. června 2006

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Obsah Extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1   1+x 4 . . . . Extrémy funkce y = 1−x x . . . . . Extrémy funkce y = (1 + x)3 x3 Extrémy funkce y = . . . . . . x −1 3x + 1 . . . . . . Extrémy funkce y = x3 2 −x Extrémy funkce y = x e . . . . . . x2 . . . . . . . Extrémy funkce y = ln x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

. . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . .

19

. . . . . . . . . . . .

33

. . . . . . . . . . . .

47

. . . . . . . . . . . .

63

. . . . . . . . . . . .

80

. . . . . . . . . . . .

93

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1 a určete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = y′ = (x 3 )′ − 2(x 2 )′ + (x)′ + (1)′

1 3

= 3x 2 − 4x + 1 + 0

= 3x 2 − 4x + 1

3x 2 − 4x + 1 = 0 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x1,2 = =

4±

p

4±2

(−4)2 − 4 · 3 · 1 2·3

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1 a určete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = y′ = (x 3 )′ − 2(x 2 )′ + (x)′ + (1)′

1 3

= 3x 2 − 4x + 1 + 0

= 3x 2 − 4x + 1 • Určíme definiční 3x 2 − 4xobor + 1 funkce. =0

⊳⊳

p 2 −definovaná • Nejsou žádná omezení, je4 tedy funkce (a spojitá) ± (−4) 4·3·1 x1,2 = na R. 2·3 4±2 = c

Robert Mařík, 2006 × ⊳ ⊲ ⊲⊲

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = y′ = (x 3 )′ − 2(x 2 )′ + (x)′ + (1)′

1 3

= 3x 2 − 4x + 1 + 0

= 3x 2 − 4x + 1

3x 2 − 4x + 1 = 0 x1,2 =

4±

p

(−4)2 − 4 · 3 · 1 2·3

4±2 Vypočteme derivaci. Užijeme=vzorec pro derivaci součtu a násobku. 6

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = y′ = (x 3 )′ − 2(x 2 )′ + (x)′ + (1)′

1 3

= 3x 2 − 4x + 1 + 0 = 3x 2 − 4x + 1

3x 2 − 4x + 1 = 0

p

(−4)2 − 4 · 3 · 1 2·3 n ′ n−1 4 ± 2 Vypočítáme jednotlivé derivace . = podle vzorce (x ) = nx 6 x1,2 =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

4±

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = y′ = (x 3 )′ − 2(x 2 )′ + (x)′ + (1)′

1 3

= 3x 2 − 4x + 1 + 0

= 3x 2 − 4x + 1

3x 2 − 4x + 1 = 0 Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x1,2 =

=

4±

p

4±2 6

(−4)2 − 4 · 3 · 1 2·3 c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 3x 2 − 4x + 1 = 0 x1,2 =

4±

p

(−4)2 − 4 · 3 · 1 2·3

4±2 6 • Chceme zjistit, kde funkce x1 = 1 roste a kde klesá. =

⊳⊳

1 3

1 kladná a kde je záporná derivace. • K tomu stačí zjistit,xkde je 2 = 3 • Musíme tedy nejprve hledat body, kde derivace může změnit znaménko. BodyMAX nespojitosti derivace nemá a soustředíme se րkde je derivace nulová. ց ր min na body, 1 x1 = 1 x2 = c

Robert Mařík, 2006 × ⊳ ⊲ ⊲⊲

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 3x 2 − 4x + 1 = 0 x1,2 =

4±

p

1 3

(−4)2 − 4 · 3 · 1 2·3

4±2 6 x1 = 1 1 rovnice ax 2 + bx + c = 0 je Řešíme kvadraticou rovnici. x2 Řešení = 3 p −b ± b2 − 4ac xMAX 1,2 = ր ց2a ր min =

.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x2 =

1

x1 = 1

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 3x 2 − 4x + 1 = 0 x1,2 =

4±

p

4±2 6 x1 = 1 1 x2 = 3 =

ր Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

MAX

x2 =

1

ց

1 3

(−4)2 − 4 · 3 · 1 2·3

min

x1 = 1

ր c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 3x 2 − 4x + 1 = 0 x1,2 =

4±

p

4±2 6 x1 = 1 1 x2 = 3 =

1 3

(−4)2 − 4 · 3 · 1 2·3

MAX ր ց min Určíme řešení. Rovnice má 1dva reálné různé x1 kořeny. =1 x = 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

ր c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = ր

y′ (0) > 0

MAX

x2 =

1 3

ց

ր

min

1 3

x1 = 1 1 y′ ( ) < 0 2

y′ (2) > 0

• Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. • Body nespojitosti nejsou, nevynášíme tedy už nic dalšího. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = ր

MAX

x2 =

1 3

ց

min

ր

1 3

x1 = 1

1 y′ (2) > 0 y′ ( ) < 0 2 1 • Zvolíme číslo z prvního intervalu (−∞, ). Uvažujme například 3 číslo ξ1 = 0. y′ (0) > 0

⊳⊳

• Vypočteme y′ (0) = 3 · 02 − 4 · 0 + 1 = 1 > 0. Funkce je rostoucí 1 na intervalu (−∞, ). 3

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = ր

y′ (0) > 0

MAX

x2 =

1 3

ց

min

ր

1 3

x1 = 1 1 y′ ( ) < 0 2

y′ (2) > 0

1 1 1 1 Podobně, protože platí y′ ( ) = 3 − 4 + 1 = − < 0, je funkce 2 4 2 4 1 klesající na intervalu ( , 1). 3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = ր

y′ (0) > 0

MAX

x2 =

1 3

ց

min

ր

1 3

x1 = 1 1 y′ ( ) < 0 2

y′ (2) > 0

Monotonie se mění v bodě x2 . Funkce má v tomto bodě lokání maximum. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = ր

y′ (0) > 0

MAX

x2 =

1 3

ց

⊳

⊲

⊲⊲

ր

x1 = 1 1 y′ ( ) < 0 2

Platí y′ (2) = 3 · 22 − 4 · 2 + 1 = 5

⊳⊳

min

1 3

y′ (2) > 0

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = ր

y′ (0) > 0

MAX

x2 =

1 3

ց

min

ր

1 3

x1 = 1 1 y′ ( ) < 0 2

y′ (2) > 0

Monotonie se mění v bodě x1 = 1 a je zde lokální extrém – lokální minimum.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 − 2x 2 + x + 1.

Dom(f ) = R; y′ = 3x 2 − 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = ր

MAX

x2 =

1 3

ց

min

ր

1 3

x1 = 1

Hotovo! ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = monotonosti.

Dom(f ) = R \ {1} ; ′

y =4



y′ = 8 1+x 1−x

3



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5

4

a určete intervaly

x1 = −1

1(1 − x) − (1 + x)(−1) (1 − x)2

(1 + x)3 1 − x + 1 + x · (1 − x)3 (1 − x)2 3 (1 + x) =8 (1 − x)5 =4

Stacionární bod: x1 = −1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ց

min

ր

c

Robert Mařík, 2006 × ց

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ′

y =4



y′ = 8

1+x 1−x

3



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5

4

. x1 = −1

1(1 − x) − (1 + x)(−1) (1 − x)2

(1 + x)3 1 − x + 1 + x · (1 − x)3 (1 − x)2 3 + x) Jediné omezení pochází ze Určíme definiční obor(1funkce. =8 jmenovatele zlomku. (1 − x)5 1 − x 6= 0, =4

t.j. Stacionární bod: x1 = −1 ց

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

min

x 6= 1. ր

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ′

y =4



y′ = 8

1+x 1−x

3



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5

4

. x1 = −1

1(1 − x) − (1 + x)(−1) (1 − x)2

(1 + x)3 1 − x + 1 + x · (1 − x)3 (1 − x)2 3 • Derivujeme složenou funkci. Vněší složka je mocninná funkce, (1 + x) =8 kterou derivujeme podle pravidla (x 4 )′ = 4x 3 . (1 − x)5 =4

• Vnitřní složka je zlomek, který derivujeme podle pravidla  u ′ u′ v − uv ′ = . Stacionární v bod: x1v 2= −1 ց

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

min

ր

ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ′

y =4



y′ = 8

1+x 1−x

3



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5

4

. x1 = −1

1(1 − x) − (1 + x)(−1) (1 − x)2

(1 + x)3 1 − x + 1 + x · (1 − x)3 (1 − x)2 3 (1 + x) =8 (1 − x)5 =4

Stacionární bod: x1 = −1 Upravíme druhý zlomek. ց min ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ′

y =4



y′ = 8

1+x 1−x

3



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5

4

. x1 = −1

1(1 − x) − (1 + x)(−1) (1 − x)2

(1 + x)3 1 − x + 1 + x · (1 − x)3 (1 − x)2 3 (1 + x) =8 (1 − x)5 =4

Stacionární bod: x1 = −1 Ještě upravíme. ց min ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ;

Stacionární bod: x1 = −1 ց

′

y (−2) < 0

y′ = 8

min

x1 = −1



1+x 1−x

4

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

y′ (0) > 0

. x1 = −1

◦ 1

ց

y′ (2) < 0

• Našli jsme derivaci y′ . • Omezení na x plynoucí z y′ jsou stejná, jako byla u původní funkce. Derivace je tedy definována na množině R \ {1}. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ;

Stacionární bod: x1 = −1 ց

′

y′ = 8

min



1+x 1−x

4

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

x1 = −1

y (−2) < 0 y′ (0) > 0 ′ • Hledáme body, kde y = 0.

. x1 = −1

◦ 1

ց

y′ (2) < 0

• Podíl je nula, pokud je čitatel nula. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice (1 + x)3 = 0. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ց

y′ (−2) < 0

y′ = 8

min

x1 = −1



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

y′ (0) > 0

4

. x1 = −1

◦ 1

ց

y′ (2) < 0

• Vyznačíme stacionární bod a bod nespojitosti na osu. • Osa je rozdělena na tři podintervaly. Na každém podintervalu má funkce ve všech bodech tentýž typ monotonie. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ց

y′ (−2) < 0

y′ = 8

min

x1 = −1



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

y′ (0) > 0

4

. x1 = −1

◦ 1

ց

y′ (2) < 0

• Zkoumáme typ monotonie na intervalu (−∞, −1)

• Vybereme libovolný testovací bod z tohoto intervalu. • Buď ξ1 = −2 takový testovací bod. • Určíme derivaci v tomto bodě. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ց

y′ (−2) < 0

y′ = 8

min

x1 = −1

y′ (−2) = 8



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

y′ (0) > 0

4

. x1 = −1

◦ 1

ց

y′ (2) < 0

(1 − 2)3 −1 = 8 5 < 0. (1 − (−2))5 3

Derivace je záporná a funkce klesá v bodě ξ2 = −2 a na intervalu (−∞, −1).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ց

y′ (−2) < 0

y′ = 8

min

x1 = −1



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

y′ (0) > 0

4

. x1 = −1

◦ 1

ց

y′ (2) < 0

Podobně naložíme s bodem ξ2 = 0, který náleží do intervalu (−1, 1) a splňuje 1 y′ (0) = 8 5 > 0. 1 Funkce je rostoucí v bodě ξ2 = 0 a na intervalu (−1, 1).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ց

y′ (−2) < 0

y′ = 8

min

x1 = −1



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

y′ (0) > 0

4

. x1 = −1

◦ 1

ց

y′ (2) < 0

Konečně, bod ξ3 = 2 patří do intervalu (1, ∞) a splňuje y′ (2) = 8

(1 + 2)3 < 0. (1 − 2)5

Funkce je klesající v bodě ξ3 = 2 a na intervalu (1, ∞).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ց

y′ (−2) < 0

y′ = 8

min

x1 = −1



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

y′ (0) > 0

4

. x1 = −1

◦ 1

ց

y′ (2) < 0

• Funkce má lokální minimum v x = −1.

⊳⊳

• Funkce nemá žádný další lokální extrém. Zejména, funkce nemá extrém v bodě x = 1, protože 1 6∈ Dom(f ).

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1} ; ց

y′ = 8

min

x1 = −1



1+x 1−x

(1 + x)3 ; (1 − x)5 ր

4

. x1 = −1

◦ 1

ց

Hotovo! ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y =

monotonie.

Dom(f ) = R \ {−1} ;

y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 − 2x ; (1 + x)4

1 (1 + x)3 − x 3(1 + x)2 ((1 + x)3 )2 (1 + x)2 (1 + x − 3x) = (1 + x)6 1 − 2x = (1 + x)4

y′ =

Stacionární bod: x1 =

x a určete intervaly (1 + x)3

1 2

MAX

x1 =

1 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {−1} ;

y′ =

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4

x1 =

1 2

1 (1 + x)3 − x 3(1 + x)2 ((1 + x)3 )2 (1 + x)2 (1 + x − 3x) = (1 + x)6 1 − 2x Určíme definiční obor. = Jediné plyne ze jmenovatele zlomku: (1 + omezení x)4 y′ =

1 t.j. Stacionární bod: x1 = 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

1 + x 6= 0, x 6= −1. ր

MAX

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {−1} ;

y′ =

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4

x1 =

1 2

1 (1 + x)3 − x 3(1 + x)2 ((1 + x)3 )2 (1 + x)2 (1 + x − 3x) = (1 + x)6 1 − 2x = 4 (1 + x) • Derivujeme funkci podle pravidla pro derivaci podílu. y′ =

• Při derivování jmenovatele (1 + x)3 neumocňujeme, ale použijeme řetězové pravidlo ((1+x)3)′ = 3(1+x)2 (1+x)′ = 3(1+x)2. 1 Stacionární bod: x1 = Tento trik umožní 2 v dalším kroku vytknout a zkrátit. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

ր

MAX

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {−1} ;

y′ =

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4

1 (1 + x)3 − x 3(1 + x)2 ((1 + x)3 )2 (1 + x)2 (1 + x − 3x) = (1 + x)6 1 − 2x = (1 + x)4

y′ =

x1 =

1 2

1 Stacionární bod: xdruhého 2 1 = Upravíme čitatel 2 zlomku. Vytkneme výraz (1 + x) před závorku v čitateli. MAX ր ր ց c

Robert Mařík, 2006 × ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {−1} ;

y′ =

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4

1 (1 + x)3 − x 3(1 + x)2 ((1 + x)3 )2 (1 + x)2 (1 + x − 3x) = (1 + x)6 1 − 2x = (1 + x)4

y′ =

1 Stacionární bod: x1 = 2 Zkrátíme (1 + x)2 a upravíme. ր ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

ր

MAX

x1 =

1 2

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {−1} ;

Stacionární bod: x1 = ր

1 2

◦ −1

y′ (−2) > 0 y′ . • Máme derivaci

y′ =

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4 ր

y′ (0) > 0

x1 =

MAX

x1 =

1 2

1 2 ց

y′ (2) < 0

• Definiční obor této derivace se shoduje s definičním oborem původní funkce, t.j. R \ {−1}.

• Budeme zkoumat znaménko derivace. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {−1} ;

Stacionární bod: x1 = ր

1 2

◦ −1

y′ =

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4

x1 =

MAX

ր

x1 =

1 2 ց

1 2

• Hledáme nejprve body, kde platí y′ = 0. y′ (−2) > 0 y′ (0) > 0 y′ (2) < 0 • Zlomek je nulový, pokud je nulový čitatel. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice 1 − 2x = 0. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {−1} ; ր

y′ (−2) > 0

◦ −1

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4 ր

y′ (0) > 0

MAX

x1 =

1 2

x1 =

1 2

ց

y′ (2) < 0

• Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu. • Osa je rozdělena na tři podintervaly. Funkce zachovává na každém intervalu typ monotonie. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {−1} ; ր

◦ −1

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4 ր

y′ (−2) > 0 y′ (0) > 0 • Zkoumejme interval (−∞, −1)

MAX

x1 =

• Zvolíme v tomto intervalu testovací bod.

1 2

x1 =

1 2

ց

y′ (2) < 0

• Nechť ξ1 = −2 je testovací bod. • Určíme derivaci v tomto bodě.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {−1} ; ր

◦ −1

y′ (−2) > 0 y′ (−2) =

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4 ր

y′ (0) > 0

MAX

x1 =

1 2

x1 =

1 2

ց

y′ (2) < 0

1 − 2(−2) 5 = > 0. (1 − 2)6 1

Derivace je kladná a funkce roste v bodě ξ2 = −2 a na intervalu (−∞, −1).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {−1} ; ր

y′ (−2) > 0

◦ −1

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4 ր

y′ (0) > 0

MAX

x1 =

1 2

x1 =

1 2

ց

y′ (2) < 0

1 Podobně, bod ξ2 = 0 leží v intervalu (−1, ) a splňuje 2 1 ′ y (0) = > 0. Funkce je rostoucí v bodě ξ2 = 0 a na intervalu 1 1 (−1, ). 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {−1} ; ր

y′ (−2) > 0 Konečně, platí y′ (2) = 1 intervalu ( , ∞). 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ −1

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4 ր

y′ (0) > 0

MAX

x1 =

1 2

x1 =

1 2

ց

y′ (2) < 0

1−4 < 0. Funkce klesá v bodě ξ3 = 2 a na 34 c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {−1} ; ր

y′ (−2) > 0

◦ −1

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4 ր

y′ (0) > 0

MAX

x1 =

• Funkce má lokální maximum v bodě x =

• Funkce nemá žádný další lokální extrém. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 2

x1 =

1 2

ց

y′ (2) < 0

1 . 2 c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {−1} ; ր

◦ −1

x . (1 + x)3

1 − 2x ; (1 + x)4 ր

MAX

x1 =

x1 =

1 2

ց

1 2

Hotovo! ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y =

monotonie.

Dom(f ) = R \ {1};

y′ =

⊳

⊲

⊲⊲

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

(x 3 )′ (x − 1) − x 3 (x − 1)′ (x − 1)2 2 3x (x − 1) − x 3 (1 − 0) = (x − 1)2 3 2x − 3x 2 = (x − 1)2 x 2 (2x − 3) = (x − 1)2

y′ =

⊳⊳

x3 a určete intervaly x −1 3 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1};

y′ =

x3 . x −1

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

(x 3 )′ (x − 1) − x 3 (x − 1)′ (x − 1)2 2 3x (x − 1) − x 3 (1 − 0) = (x − 1)2 3 2x − 3x 2 = (x − 1)2 x 2 (2x − 3) = (x − 1)2

y′ =

Určíme definiční obor. Nesmí být nula ve jmenovateli. x 2 (2x − 3) ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

3 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1};

y′ =

x3 . x −1

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

(x 3 )′ (x − 1) − x 3 (x − 1)′ (x − 1)2 2 3x (x − 1) − x 3 (1 − 0) = (x − 1)2 3 2x − 3x 2 = (x − 1)2 Derivujeme podíl podle vzorce x 2 (2x − 3) =  u ′ 2u′ v − uv ′ (x −= 1) . v v2 y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x 2 (2x − 3)

3 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1};

y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

(x 3 )′ (x − 1) − x 3 (x − 1)′ (x − 1)2 2 3x (x − 1) − x 3 (1 − 0) = (x − 1)2 3 2x − 3x 2 = (x − 1)2 x 2 (2x − 3) = (x − 1)2

y′ =

Doderivujeme

x3 . x −1

x 2 (2x − 3)

3 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1};

y′ =

x3 . x −1

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

3 2

(x 3 )′ (x − 1) − x 3 (x − 1)′ (x − 1)2 2 3x (x − 1) − x 3 (1 − 0) = (x − 1)2 3 2x − 3x 2 = (x − 1)2 x 2 (2x − 3) = (x − 1)2 Upravíme. Zde je jedno jestli nejprve roznásobíme nebo vytkneme, protože roznásobujeme jenom mocninou x. x 2 (2x − 3) c

Robert Mařík, 2006 × ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ y′ =

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {1};

Rozložíme na součin. ⊳

⊲

⊲⊲

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

(x 3 )′ (x − 1) − x 3 (x − 1)′ (x − 1)2 2 3x (x − 1) − x 3 (1 − 0) = (x − 1)2 3 2x − 3x 2 = (x − 1)2 x 2 (2x − 3) = (x − 1)2

y′ =

⊳⊳

x3 . x −1

x 2 (2x − 3)

3 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1};

y′ =

x3 . x −1

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

x 2 (2x − 3) =0 (x − 1)2

3 2

x 2 (2x − 3) = 0

x1,2 = 0 3 je tato derivace kladná a • Našli jsme derivaci. Zajímá nás, kdy x3 = kdy záporná. 2

⊳⊳

• Předně: derivace není definovaná pro x = 1. ց ց ր ց min • Dále řešíme rovnici y′ = 0. ◦ x1,2 = 0 x=1 3 x3 = c Mařík, 2006 × ⊳ ⊲ ⊲⊲ 2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1};

y′ =

x3 . x −1

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

x 2 (2x − 3) =0 (x − 1)2

3 2

x 2 (2x − 3) = 0

x1,2 = 0 3 x3 = 2

ց

ց

ր ց min ◦ Zlomek je nulový právě x1,2 = 0 tehdy, když x = 1je nulový čitatel zlomku. 3 x3 = c Mařík, 2006 × ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ 2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1};

y′ =

x3 . x −1

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

x1,2 = 0, x3 =

x 2 (2x − 3) =0 (x − 1)2

3 2

x 2 (2x − 3) = 0

x1,2 = 0 3 x3 = 2

Součin ց je nula jestliže je ց alespoň jeden ze ց součinitelů nule. min rovenր ◦ 2 Řešíme tedy rovnice x1,2 = 0 x = 0 a x2x =− 13=0. 3 x3 = c Mařík, 2006 × ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ 2 Robert

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1}; ց

x1,2 = 0

y′ =

x3 . x −1

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

ց

◦ x=1

x1,2 = 0, x3 = ց

min

x3 =

3 2

ր

3 2

1 y′ (1, 2) < 0 y′ (2) > 0 y′ (−1) < 0 y′ ( ) < 0 2 • Máme stacionární body a body, kde derivace není definována (a je nespojitá). • Jedině v těchto bodech může derivace měnit znaménko. Vyneseme tyto body na reálnou osu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {1}; ց

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

ց

x1,2 = 0

x3 . x −1

◦ x=1

x1,2 = 0, x3 = ց

min

x3 =

3 2

ր

3 2

1 y′ (−1) < 0 y′ ( ) < 0 y′ (1, 2) < 0 y′ (2) > 0 2 Počítáme derivace v libovolných bodech, po jednom z každého podintervalu. y′ (−1) = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

−5 (−1)2 (−2 − 3) = <0 něco kladného něco kladného c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {1}; ց

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

ց

x1,2 = 0 y′ (−1) < 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x3 . x −1

1 y′ ( ) < 0 2

◦ x=1

x1,2 = 0, x3 = ց

min

x3 =

y′ (1, 2) < 0

1 1 4 (1 − 3) y′ ( ) = <0 2 něco kladného

3 2

ր

3 2

y′ (2) > 0

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {1}; ց

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

ց

◦ x=1

x1,2 = 0 y′ (−1) < 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x3 . x −1

1 y′ ( ) < 0 2 y′ (1, 2) =

x1,2 = 0, x3 = ց

min

x3 =

y′ (1, 2) < 0

(1, 2)2 (2, 4 − 3) <0 něco kladného

3 2

ր

3 2

y′ (2) > 0

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = y′ =

Dom(f ) = R \ {1}; ց

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

ց

◦ x=1

x1,2 = 0 y′ (−1) < 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x3 . x −1

1 y′ ( ) < 0 2 y′ (2) =

x1,2 = 0, x3 = ց

min

x3 =

y′ (1, 2) < 0

(2)2 (4 − 3) >0 něco kladného

3 2

ր

3 2

y′ (2) > 0

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1}; ց

y′ =

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

ց

x1,2 = 0 y′ (−1) < 0

x3 . x −1

1 y′ ( ) < 0 2

◦ x=1

x1,2 = 0, x3 = ց

min

x3 =

y′ (1, 2) < 0

3 2

ր

3 2

y′ (2) > 0

3 Pouze v bodě x = se mění charakter monotonie. V tomto bodě je 2 lokální minimum.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = Dom(f ) = R \ {1}; ց

y′ =

x 2 (2x − 3) ; (x − 1)2

ց

x1,2 = 0 y′ (−1) < 0

x3 . x −1

1 y′ ( ) < 0 2

◦ x=1

x1,2 = 0, x3 = ց

min

x3 =

y′ (1, 2) < 0

3 2

ր

3 2

y′ (2) > 0

Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = monotonie. Dom(f ) = R \ {0} ;

y′ (x) = −3

3x + 1 a určete intervaly x3 2x + 1 ; x4

x1 = −

  3 2 3x 2 x − (3x + 1) 3x − (3x + 1)3x y′ = = (x 3 )2 x6 −2x − 1 2x + 1 x − 3x − 1 =3 = −3 =3 4 4 x x x4

1 Stacionární bod: x1 = − . 2 ր

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

MAX

x1 = −

ց 1 2

◦ 0

1 2

ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

x1 = −

  3 2 3x 2 x − (3x + 1) 3x − (3x + 1)3x y′ = = (x 3 )2 x6 −2x − 1 2x + 1 x − 3x − 1 =3 = −3 =3 4 4 x x x4

1 Stacionární bod: x1 = − . 2 ր

MAX

1 2

ց

ց ◦ Určíme definiční obor funkce. 1Jediné omezení 0 plyne ze jmenovatele zlomku. Tedy x 6= 0. x1 = − 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

x1 = −

  3 2 3x 2 x − (3x + 1) 3x − (3x + 1)3x y′ = = (x 3 )2 x6 −2x − 1 2x + 1 x − 3x − 1 =3 = −3 =3 4 4 x x x4

1 . Stacionární 1 = − vzorce Derivujeme bod: podílxpodle 2  u ′ u′ v − uv ′ MAX ր = ց 2 ◦ v v 0 1 x = − kde u = 3x + 1 a v = x13 . 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 2

ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

x1 = −

  3 2 3x 2 x − (3x + 1) 3x − (3x + 1)3x y′ = = (x 3 )2 x6 −2x − 1 2x + 1 x − 3x − 1 =3 = −3 =3 4 4 x x x4

1 2

• Hledáme nejprve body, kde je derivace nulová. 1 Stacionární bod: x1 = − . 2 • Abychom měli později snadné a pohodlné, co nejvíce upravíme MAX a rozložímeր na součin. ց ց ◦ 0 • Vytkneme tedy faktor 3x12 . x1 = − 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

x1 = −

  3x 2 x − (3x + 1) 3 2 3x − (3x + 1)3x = y′ = (x 3 )2 x6 2x + 1 x − 3x − 1 −2x − 1 = −3 =3 =3 4 4 x x x4

1 Stacionární bod: x1 = − . 2

MAX • Zkrátíme faktorem x2. ր

⊳⊳

ց

ց ◦ 1 • Konstantní násobek 3 napíšeme před 0zlomek. x1 = − 2

⊳

⊲

⊲⊲

1 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

x1 = −

  3x 2 x − (3x + 1) 3 2 3x − (3x + 1)3x = y′ = (x 3 )2 x6 x − 3x − 1 −2x − 1 2x + 1 =3 =3 = −3 4 4 x x x4

1 Stacionární bod: x1 = − . 2 ր

Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

MAX

x1 = −

ց 1 2

◦ 0

1 2

ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

x1 = −

  3x 2 x − (3x + 1) 3 2 3x − (3x + 1)3x = y′ = (x 3 )2 x6 −2x − 1 x − 3x − 1 2x + 1 =3 =3 = −3 4 4 x x x4

1 Stacionární bod: x1 = − . 2 ր

MAX

1 x1 = − Vytkneme záporné znaménko. 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ց

◦ 0

1 2

ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; Dom(f ) = R \ {0} ; x4 1 Stacionární bod: x1 = − . 2 Najděte lokální extrémy funkce y =

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

◦ 0

x1 = −

1 2

ց

• Definiční obor derivace je shodný s definičním oborem původní funkce. • Hledáme nejprve stacionární body. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 ; Dom(f ) = R \ {0} ; y′ (x) = −3 x4 1 Stacionární bod: x1 = − . 2 Najděte lokální extrémy funkce y =

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

◦ 0

x1 = −

1 2

ց

• Podíl je nulový, pokud je nulový čitatel. 1 1 • 2x + 1 = 0 pro x = − . Bod x1 = − je jediným stacionárním 2 2 bodem zadané funkce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 ; y′ (x) = −3 x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

◦ 0

x1 = − ց

1 2

• Vyznačíme bod nespojitosti a stacionární bod na osu x. • Osa x je rozdělena na podintervaly. Na každém podintervalu je zachován tentýž typ monotonie pro všechna x náležející do tohoto podintervalu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

◦ 0

x1 = − ց

1 2

1 Zvolíme testovací bod z intervalu (−∞, − ). Nechť je to bod 2 ξ1 = −1. Vypočteme derivaci v bodě ξ1 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

y′ (−1) = −3

◦ 0

x1 = − ց

1 2

−2 + 1 >0 (−1)4

Funkce je tedy rostoucí v bodě ξ1 = −1 a totéž platí pro všechny 1 body z intervalu (−∞, − ). 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

◦ 0

x1 = − ց

1 2

1 1 Zvolíme bod ξ2 = − z intervalu (− , 0). Určíme derivaci v tomto 4 2 bodě.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

y′ (−1/4) = −3

◦ 0

x1 = − ց

1 2

− 12 + 1 <0 kladný výraz

a funkce je tedy klesající v bodě ξ2 = −1/4 a i na celém intervalu 1 (− , 0). 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 y′ (x) = −3 ; x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

◦ 0

x1 = − ց

1 2

Podobně, pro ξ3 = 1 dostáváme y′ (1) = −3

2+1 <0 kladný výraz

a funkce je klesající v bodě ξ3 = 1 a na intervalu (0, ∞).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 ; y′ (x) = −3 x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

◦ 0

x1 = − ց

1 2

• Funkce je spojitá na R \ {0}. 1 • Funkce má lokální maximum v bodě x = − a nemá žádný 2 další lokální extrém. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

3x + 1 . x3 2x + 1 ; y′ (x) = −3 x4

Najděte lokální extrémy funkce y =

Dom(f ) = R \ {0} ;

ր

MAX

x1 = −

ց

1 2

◦ 0

x1 = − ց

1 2

• Problém je vyřešen! • Všechno co se týká monotonie plyne z nakresleného schematu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

y′ (x) = e−x x(2 − x) ;

Dom(f ) = R ;

y′ = (x 2 )′ e−x + x 2 (e−x )′ = 2xe−x + x 2 (−1)e−x = e−x (2x − x 2 ) = e−x x(2 − x)

Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. ց

min

x1 = 0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

MAX

ց

x2 = 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

y′ (x) = e−x x(2 − x) ;

Dom(f ) = R ;

y′ = (x 2 )′ e−x + x 2 (e−x )′ = 2xe−x + x 2 (−1)e−x = e−x (2x − x 2 ) = e−x x(2 − x)

Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. ց

min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x2 = 2

Na proměnnou x nemní třeba naložit žádné omezující podmínky a proto je defičním oborem celá množina R. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

y′ (x) = e−x x(2 − x) ;

Dom(f ) = R ;

y′ = (x 2 )′ e−x + x 2 (e−x )′ = 2xe−x + x 2 (−1)e−x = e−x (2x − x 2 ) = e−x x(2 − x)

Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. ց

min

ր

MAX

ց

1 = 0 součinu x2 = 2 Použijeme pravidlo pro xderivaci

with u = x 2 and v = e−x .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

(uv)′ = u′ v + uv ′

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

y′ (x) = e−x x(2 − x) ;

Dom(f ) = R ;

y′ = (x 2 )′ e−x + x 2 (e−x )′ = 2xe−x + x 2 (−1)e−x = e−x (2x − x 2 ) = e−x x(2 − x)

Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. ց

min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x2 = 2

Dále použijeme derivaci mocninné funkce x 2 a funkci e−x derivujeme podle pravidla pro derivaci složené funkce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

y′ (x) = e−x x(2 − x) ;

Dom(f ) = R ;

y′ = (x 2 )′ e−x + x 2 (e−x )′ = 2xe−x + x 2 (−1)e−x = e−x (2x − x 2 ) = e−x x(2 − x)

Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. MAX ր ց min ′ • Hledáme body s nulovou x1 = 0 derivací: yx2 = = 0. 2

ց

• Abychom tuto rovnici snadno vyřešili, rozložíme na součin. • Vytkneme opakující se výraz e−x . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

y′ (x) = e−x x(2 − x) ;

Dom(f ) = R ;

y′ = (x 2 )′ e−x + x 2 (e−x )′ = 2xe−x + x 2 (−1)e−x = e−x (2x − x 2 ) = e−x x(2 − x)

Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. ց

min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x2 = 2

Kvadratický výraz v závorce je možno rozložit na součin vytknutím x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie. y′ (x) = e−x x(2 − x) ;

Dom(f ) = R ;

Stacionární body: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. ց

min

ր

x1 = 0

MAX

ց

x2 = 2

• Nyní vidíme všechny stacionární body.

• Derivace je nula tehdy a jen tehdy, když alespoň jeden z výrazů v součinu je nulový. • Výraz e−x není roven nule nikdy.

⊳⊳

• Výraz (x − 2) je roven nule pro x = 2.

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

Dom(f ) = R ;

ց

y′ (x) = e−x x(2 − x) ; min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x1 = 0, x2 = 2.

x2 = 2

• Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. Body nespojitosti derivace nemá • Osa je rozdělena na tři podintervaly. • Ve všech bodech jednoho každého podintervalu je stejný typ monotonie. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

Dom(f ) = R ;

ց

y′ (x) = e−x x(2 − x) ; min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x1 = 0, x2 = 2.

x2 = 2

Zvolíme libovolného reprezentanta z prvního intervalu (−∞, 0). nechť tímto reprezentantem je číslo ξ1 = −1. Vypočteme derivaci v ξ1 : y′ (−1) = e−(−1) (−1)(2 − (−1)) = e1 (−1)3 < 0 Funkce je tedy klesající v bodě ξ1 a totéž platí pro všechny body intervalu (−∞, 0).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

Dom(f ) = R ;

ց

y′ (x) = e−x x(2 − x) ; min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x1 = 0, x2 = 2.

x2 = 2

Zvolíme reprezentanta ξ2 = 1 v intervalu (0, 2). Derivace y′ (1) = e−1 1(2 − 1) = e−1 > 0

je v tomto bodě kladná a funkce roste v bodě ξ2 = 1 a i v celém intervalu (0, 2).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

Dom(f ) = R ;

ց

y′ (x) = e−x x(2 − x) ; min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x1 = 0, x2 = 2.

x2 = 2

Zvolíme reprezentanta ξ3 = 3 v intervalu (2, ∞). Derivace y′ (3) = e−3 3(2 − 3) = −3e−3 < 0

je záporná a funkce klasá v bodě ξ3 = 3 a klesá i v celém intervalu (2, ∞).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

Dom(f ) = R ;

ց

y′ (x) = e−x x(2 − x) ; min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x1 = 0, x2 = 2.

x2 = 2

• Funkce je spojitá na R.

⊳⊳

• Ze schématu s monotonií plyne že fuknce má lokální minimum v bodě x = 0 a maximum v bodě x = 2.

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Najděte lokální extrémy funkce y = x 2 e−x a určete intervaly monotonie.

Dom(f ) = R ;

ց

y′ (x) = e−x x(2 − x) ; min

x1 = 0

ր

MAX

ց

x1 = 0, x2 = 2.

x2 = 2

• Vyřešeno! ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

x2 . Establish the Find local extrema of the function y = ln x intervals of monotonicity.

Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞). y′ =

2x ln x − x 2 x1 2

ln x

Stationary point: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

ց

=

2x ln x − x x(2 ln x − 1) = 2 ln x ln2 x

y′ = ◦ 1

x(2 ln x − 1) ; ln2 x ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2 c

Robert Mařík, 2006 ×

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞). y′ =

2x ln x − x 2 1x ln2 x

=

x2 . ln x

2x ln x − x x(2 ln x − 1) = ln2 x ln2 x

1/2 Stationary point: x1 the = edomain . • We establish of the function. x(2 ln x − 1) ; x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; y′ = 2 • There is a restriction x > 0 fromlnthe x ln(·) function.

ր ց mindenominator • There∅ is a restriction ln x 6= 0 ց from the of the 0 fraction. ◦0Since ln x = 0 ◦ for x = e = 1, this is equivalent to 1 x1 = e1/2 the restriction x 6= 1.

⊳⊳

• The domain is Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞).

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞). y′ =

2x ln x − x 2 1x ln2 x

Stationary point: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ;

=

x2 . ln x

x(2 ln x − 1) 2x ln x − x = ln2 x ln2 x

y′ =

x(2 ln x − 1) ; ln2 x

x1 = e1/2 .

ր ∅ min We differentiate by theցquotient rule ց ◦ ◦ 0  u ′ 1 u′ v − uv ′x1 = e1/2 = v v2 with u = x 2 and v = ln x.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞). y′ =

2x ln x − x 2 x1 ln2 x

Stationary point: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

◦ 0

ց

=

2x ln x − x x(2 ln x − 1) = ln2 x ln2 x

y′ = ◦ 1

x2 . ln x

x(2 ln x − 1) ; ln2 x ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2

We simplify the numerator. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞). y′ =

2x ln x − x 2 x1 ln2 x

Stationary point: x1 = e1/2 .

=

x2 . ln x

2x ln x − x x(2 ln x − 1) = ln2 x ln2 x

x(2 ln x − 1) ; x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; y′ = ln2 ′x • We will look for the points where y = 0. ր ∅ ց ց min • The fraction ◦ equals zero ◦iff the numerator equals zero. 0 1 x1 = e1/2 • From this reason it is useful to factor the numerator. • We take out the common factor x in the numerator.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞). y′ =

2x ln x − x 2 x1 ln2 x

Stationary point: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ;

=

x2 . ln x

2x ln x − x x(2 ln x − 1) = ln2 x ln2 x

y′ =

x(2 ln x − 1) ; ln2 x

x1 = e1/2 .

ր ∅ ց ց min • Now it is◦0easy to find the◦ stationary points. 1 x1 = e1/2

• The fraction equals zero iff one of the factors in the numerator equals to zero. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞). y′ =

2x ln x − x 2 x1 ln2 x

Stationary point: x1 = e1/2 . Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

⊳⊳

◦ 0

ց

=

x(2 ln x − 1) 2x ln x − x = ln2 x ln2 x

y′ = ◦ 1

x2 . ln x

x(2 ln x − 1) ; ln2 x ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2 1 • The factor (2 ln x − 1) equals zero for ln x = , i.e. for x = e1/2 2

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = R+ \ {1} = (0, 1) ∪ (1, ∞). y′ =

2x ln x − x 2 x1 ln2 x

Stationary point: x1 = e1/2 .

Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ;

=

x2 . ln x

x(2 ln x − 1) 2x ln x − x = ln2 x ln2 x

y′ =

x(2 ln x − 1) ; ln2 x

x1 = e1/2 .

ր ∅ ց ց min ◦ x never equals ◦ zero due to the restriction on the • The factor 0 1 x1 = e1/2 domain.

• There is no other stationary point ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

x2 . ln x x(2 ln x − 1) ; y′ = ln2 x

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

◦ 0

ց

◦ 1

ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2

• We will work with the derivative and the stationary point. • We have to find the domain of the derivative. Since the restrictions are the same as for the original function, the domain of f ′ is the same as the domain of f . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

x2 . ln x x(2 ln x − 1) y′ = ; ln2 x

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

◦ 0

ց

◦ 1

ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2

• We mark the domain of the derivative (including the point of discontinuity) and the stationary point to the real axis. • Since 1 = e0 and 0 < 1/2, then 1 < e1/2 . (The exponential function is increasing) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

x2 . ln x x(2 ln x − 1) y′ = ; ln2 x

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

◦ 0

ց

◦ 1

ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2

• The axis is divided into four subintervals. One of these subintervals does not belong to the domain. • In each of the remaining subintervals the type of the monotonicity is preserved for all x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

x2 . ln x x(2 ln x − 1) y′ = ; ln2 x

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

◦ 0

ց

◦ 1

ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2

Let ξ1 = e−1 is a test number from the first subinterval. The e−1 (−2 − 1) < 0, where derivative at ξ1 is negative, since y′ (−1) = (−1)2 −1 we used ln(e ) = −1. Hence the function is decreasing at ξ1 and the same is true for the interval (0, 1).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

x2 . ln x x(2 ln x − 1) y′ = ; ln2 x

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

◦ 0

ց

ց

◦ 1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

min

x1 = e1/2

ξ2 = e1/4 satisfies 1 < e1/4 < e1/2 and ln(e1/2 ) = y′ (e1/4 ) =

x1 = e1/2 .

e1/4 ( 12 − 1) < 0.  2

1 . Hence 2

1 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

x2 . ln x x(2 ln x − 1) y′ = ; ln2 x

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

◦ 0

ց

◦ 1

ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2

ξ3 = e satisfies 1 < e and ln(e) = 1. Hence y′ (e) =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

e(2 − 1) > 0. 12

c

Robert Mařík, 2006 ×

x2 . ln x x(2 ln x − 1) y′ = ; ln2 x

Find local extrema of the function y =

Dom(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞) ; ∅

◦ 0

ց

◦ 1

ց

min

x1 = e1/2 . ր

x1 = e1/2

1

Finished. The function possesses unique local minimum at x = e 2 and no local maximum.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Konec

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×